Apostila Completa - Instituto de Engenharia de Produção e Gestão

Transcrição

ENGENHARIA
ECONÔMICA II
Edson de Oliveira Pamplona – http://www.iem.efei.br/edson
José Arnaldo Barra Montevechi – http://www.iem.efei.br/arnaldo
2005
SUMÁRIO
1.
Introdução
2.
Considerações Sobre Critérios de Decisão
3.
Análise de Investimento em Situação de Incerteza
3.1.
Introdução
3.2.
A Natureza das Incertezas
3.3.
Métodos de Decisão em Condições de Incerteza
3.3.1. Análise de Sensibilidade
3.3.2. Métodos Baseados na Teoria dos Jogos
4.
Método de Análise Hierárquica
5.
Introdução à Programação Linear
6.
Análise de Investimento em Situação de Risco
6.1.
Probabilidade da Inviabilidade de Investimentos
6.2.
Simulação de Monte-Carlo
7.
Árvores de Decisão
8.
Opções Reais
9.
Determinação da Taxa Mínima de Atratividade pelo WACC e CAPM
Referências Bibliográficas
Apêndices
Estudos de Caso
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO
O curso de Engenharia Econômica II visa o aprofundamento nas técnicas de
Engenharia Econômica, complementando conhecimentos já obtidos em cursos introdutórios
da área.
O objetivo do curso é que o aluno domine as técnicas apresentadas, obtendo uma base
sólida para tomada de decisão sobre investimentos, considerando todo o ambiente de
incertezas que cerca este tipo de análise.
Aborda-se, inicialmente, a comparação entre os critérios de decisão mais utilizados,
forçando uma revisão do assunto.
Passa-se, então, aos métodos para análise de investimentos em condições de risco e
incerteza. Para enfrentar a incerteza, sempre presente, serão estudados métodos como análise
de sensibilidade e critérios baseados na teoria dos jogos.
Adicionalmente será transmitido o método AHP (Analytic Hierarchy Process) para
análise multicriterial.
Outra técnica apresentada é a Programação Linear, um dos tópicos de Pesquisa
operacional mais utilizados em problemas de otimização. Com aplicação à Engenharia
Econômica, a Programação Linear busca a distribuição eficiente de recursos limitados para
atender determinado objetivo, em geral, maximizar lucros, resultados econômicos e
minimizar custos.
O risco será tratado com a utilização de elementos da estatística. O Valor Esperado e o
risco de VPL’s e TIR’s, a probabilidade de inviabilidade de projetos, a simulação por Monte
Carlo e árvores de decisão serão vistos.
Alguns investimentos podem ser encarados como opções. O curso de Engenharia
Econômica II apresenta a “Teoria de Opções Reais”, uma forma de considerar a flexibilidade
gerencial de exercer, ou não, opções em avaliações de ativos reais com o uso de métodos já
consagrados em opções financeiras.
Finalmente, será abordado o Modelo de Precificação de Ativos (CAPM) que pode
auxiliar no entendimento da inclusão do risco na avaliação de investimentos e na
determinação da taxa de descontos..
Os autores
CAP. 2 – CONSIDERAÇÕES SOBRE OS
CRITÉRIOS DE DECISÃO
1. OS CRITÉRIOS DE DECISÃO
Dentre os métodos para avaliar investimentos, que variam desde o “bom senso” até os
mais sofisticados modelos matemáticos, três se destacam por serem exatos e equivalentes,
quando adequadamente utilizados. São eles: Método do Valor Presente Líquido, Método do
Valor Anual e Método da Taxa Interna de Retorno.
1.1 RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA
As ferramentas básicas para o auxílio na utilização dos critérios citados acima são os
fatores de equivalência, que transportam quantias no tempo. Tais fatores são demonstrados
com base na Matemática Financeira, utilizando-se do sistema de juros compostos. O quadro 1
apresenta as principais relações de equivalência.
Com base nestas relações pode-se transportar valores para qualquer ponto em um determinado
horizonte de planejamento, permitindo assim as comparações entre alternativas de
investimentos
Forma
Mnemônica
(F/P, i, n)
(P/F, i, n)
(F/A, i, n)
(A/F, i, n)
(P/A, i, n)
(A/P, i, n)
(P/G, i, n)
Nome do Fator
Fator de Acumulação de Capital de um pagto simples
Fator de Valor Presente de um pagto simples
Fator de Acumulação de Capital de uma série uniforme
Fator de Formação de Capital de uma série uniforme
Fator de Valor Presente de uma série uniforme
Fator de Recuperação de capital
Fator de Valor Presente de uma série gradiente
Quadro 1 – Fatores de Equivalência
Fator
(1+ i)n
(1 + i)-n
[(1+i)n-1]/i
i /[(1+i)n-1]
[(1+i)n-1]/(1+i)n.i
(1+i)n.i /[(1+i)n-1]
[(1+i)n-1]/i – n
i (1+i)n
Capítulo 2 – Considerações sobre os critérios ... 2. 2
1.2 EQUAÇÃO GENÉRICA PARA OS CRITÉRIOS DO
VALOR PRESENTE LÍQUIDO E DA TAXA INTERNA DE
RETORNO
VALOR PRESENTE LÍQUIDO – O Valor Presente Líquido de uma proposta de
investimento é a soma algébrica, na data zero, dos saldos dos fluxos de caixa descontados à
Taxa Mínima de Atratividade, conforme mostra a equação 1.
C1
C2
Cn
C3
C0
Equação 1:
n
VPL = ∑ C j (1 + i ) − j
j =0
Se o Valor Presente Líquido for positivo a proposta deve ser aceita, pois sua
rentabilidade cobre a taxa mínima de atratividade i adotada pela empresa.
Considere o seguinte diagrama de fluxo de caixa:
400
500
800
300
600
O VPL é dado por:
VPL = -600 –300(1+i)-1 + 400(1+1)-2 + 500(1+1)-3 +800(1+1)-4
O gráfico do VPL versus a taxa de descontos é mostrado na figura 1, com dados da
tabela a seguir:
TAXA
0
10%
20%
30%
VPL
800
390
103
-86,4
800
25%
390
103
30%
10%
-86,4
20%
Figura 1 – VPL x Taxa
Pode-se observar a influência da taxa na viabilidade de um investimento, pois se neste
caso a TMA fosse de 10% o empreendimento seria viável, mas se a TMA fosse de 30% o
projeto não deveria ser aceito.
TAXA INTERNA DE RETORNO – A Taxa Interna de Retorno é a taxa que torna nulo o
Valor Presente Líquido de um investimento. A vantagem desse método, em relação ao
anterior é expressar os resultados em termos de taxas percentuais, cujo significado é mais
facilmente assimilado do que o valor presente expresso em termos monetários. A despeito da
necessidade de comparação do resultado com uma TMA, o cálculo da TIR independe do
conhecimento desta taxa mínima, o que pode ser considerado também como vantagem em
certas situações.
Considerando o mesmo exemplo utilizado no item anterior, verifica-se que o valor
presente se torna nulo à taxa de 25% ao ano. Esta é a Taxa Interna de Retorno do
investimento.
Normalmente utiliza-se do processo de iteração para a determinação da TIR, o que
torna seu cálculo manual mais trabalhoso, uma desvantagem eliminada pelo uso de
calculadoras financeiras, programas de computadores ou planilhas eletrônicas. Mas problemas
matemáticos, como a possibilidade de encontrar mais de uma taxa que anula o VPL, no caso
de fluxos de caixa com mais que uma inversão de sinal e, ainda, a impossibilidade de calcular
TIR’s em diagramas formados apenas por fluxos negativos, podem inviabilizar seu uso.
No exemplo considerado, a TIR de 25% ao ano tem a seguinte interpretação: o capital
empregado é integralmente recuperado, rendendo uma taxa de juros compostos de 25% ao
ano, ao longo do período considerado.
Só devem ser escolhidos projetos que apresentem taxa interna de retorno superior à
taxa mínima de atratividade da empresa.
Ambos os critérios devem apresentar o mesmo resultado final, apesar de que algumas
vezes tal equivalência não é verificada de imediato, senão vejamos:
Considere dois projetos mutuamente exclusivos e admita que a empresa possua
recursos suficientes para aplicar em qualquer dos dois projetos:
ANOS
0
1
2
3
4
Projeto A
-600
-300
400
500
800
Projeto B
-400
-200
300
400
500
Observe que o projeto A tem um investimento maior, mas também gera maiores
retornos que o projeto B. Calculando a taxa interna de retorno dos dois projetos, obtém-se:
Projeto A:
TIRA = 25% ao ano
Projeto B:
TIRB = 28,3% ao ano
Conclui-se que o projeto B é mais rentável que o projeto A. Mas isto não quer dizer
que o projeto B é o melhor para a empresa.
Se a TMA da empresa for de 10% ao ano, o Valor Presente Líquido de cada um dos
projetos é:
Projeto A:
VPLA = $ 390,00
Projeto B:
VPLB = $ 308,15
Constata-se que, à taxa de descontos de 10% ao ano, o projeto A tem um VPL maior
que o do projeto B sendo, portanto, o escolhido. Mas os critérios não são equivalentes? Pos
quê então o resultado diferente. O gráfico a seguir permite visualizar o que está ocorrendo:
800
600
25%
390
308,15
28,3%
103
-86,4
30%
10%
18,3% 20%
Figura 2 – VPL versus Taxa
De fato a rentabilidade do Projeto B é maior que a rentabilidade do projeto A.
Entretanto, o critério da TIR considera apenas o capital investido no projeto que, no caso do
projeto B é menor. Este critério não considera o valor da diferença entre os gastos com
investimentos do projeto A em relação ao B.
Ora, se os dois projetos estão sendo analisados é porque existem recursos, ou a
possibilidade de financia-los, para investir em qualquer um dos projetos. Assim, a diferença
entre os investimentos deve também ser considerada. Se a TMA é de 10% ao ano, esta
diferença poderia ser aplicada, ou deixada de ser financiada a esta taxa, e isto não é
considerado pelo critério da TIR. Mas o critério do VPL embute esta consideração, pois
qualquer valor aplicado à TMA gera um VPL igual a zero.
No nosso caso a TMA, de 10%, é menor que a taxa de 18,3%, correspondente ao
ponto em que as curvas se cruzam, fazendo com que ocorra a inversão de preferência pelos
dois métodos. Se a TMA fosse maior, por exemplo, superior à taxa de 18,3%, o projeto
escolhido seria o B, pois a diferença estaria sendo aplicada a taxas compensadoras. E o
critério do VPL mostraria claramente esta afirmativa.
Como devemos então proceder para analisar corretamente através do critério TIR?
Deve-se analisar se vale a pena investir a diferença dos valores na alternativa de maior
investimento. Este processo é chamado de análise incremental, que veremos a seguir:
ANÁLISE INCREMENTAL – Após verificar se as alternativas são atrativas, desenha-se o
diagrama da diferença dos fluxos entre a alternativa de maior investimento e a de menor
investimento (A-B):
300
100
100
100
200
A taxa que iguala o VPL do fluxo incremental a zero é 18,3%, ou seja, a taxa interna
de retorno da diferença é de 18,3%. Assim, como esta TIR incremental é maior que a TMA de
10%, pode-se concluir que vale a pena investir na diferença, sendo escolhida a alternativa A.
Se a TIR incremental fosse menor que a TMA, seria mais interessante investir na alternativa
de menor investimento, que no nosso caso seria a B.
Observe que a TIR incremental é exatamente a taxa onde ocorre o cruzamento das
curvas na figura 2. De fato, a TIR incremental é a taxa que iguala o VPL do fluxo das
diferenças a zero, que matematicamente é a mesma taxa que iguala o VPL do projeto A com o
VPL do projeto B. Assim, para a taxa de 18,3%, os VPL’s são iguais.
1.3 PROBLEMAS
PROBLEMA 1
Se o diretor da Companhia Catarinense de Tratores viesse lhe solicitar para aconselhalo sobre qual dos tornos deveria comprar, a fim de tomar a decisão que maximize a
rentabilidade de sua empresa. Qual seria sua resposta?
São conhecidos os valores da tabela a seguir e o gráfico do VPL em função da taxa.
TORNO A
$ 10.000,00
$ 2.000,00
$ 4.000,00
$ 8.000,00
2 anos
Valor da compra
Receita do 1º ano
Receita do 2º ano
Valor residual
Vida útil
TORNO B
$ 10.000,00
$ 10.000,00
$ 3.125,00
0
2 anos
VPL
4000
3125
A
B
25%
1548
11 %
i%
20%
PROBLEMA 2
A administração de uma empresa está considerando a possibilidade de automatizar seu
serviço de embalagem. Atualmente os produtos são acondicionados manualmente a um custo
anual de $ 30.000,00. Dois tipos de equipamentos capazes de executar a mesma função de
automatização, gerando a economia do acondicionamento manual, encontram-se disponíveis
no mercado, apresentando as seguintes características:
Discriminação
Custo Inicial
Custo operacional anual
Valor residual
Vida Econômica
Equipamento A
$ 100.000,00
$ 9.500,00
Zero
10 anos
Equipamento B
$ 70.000,00
$ 15.000,00
Zero
10 anos
Sendo a TMA da empresa igual a 12% ao ano, qual o equipamento deve ser escolhido?
Utilizar o critério da TIR.
PROBLEMA 3
A Gerência de Marketing de uma firma industrial está analisando duas possibilidades para a
localização de uma central de distribuição para os seus produtos. Cada alternativa exige
diferentes investimentos, devido ao preço do terreno, custo de construção do depósito
necessário. Também são diferentes os valores residuais e reduções anuais nos custos de
distribuição. Admitindo-se um período de utilização igual a 10 anos, foram efetuadas as
seguintes estimativas:
LOCALIZAÇÃ INVESTIMENTO REDUÇÃO ANUAL
O
NECESSÁRIO
CUSTOS DISTRIB.
Gov. Valadares
$ 680.000,00
$ 112.000,00
Ipatinga
$ 880.000,00
$ 160.000,00
VALOR
RESIDUAL
$560.000,00
$700.000,00
TIR
15,63%
17,28%
Determinar a localização mais interessante economicamente para a central de
distribuição.
PROBLEMA 4
Numa fábrica de bens de consumo de alta produção está sendo proposta uma alteração no
método de armazenagem dos produtos. Duas alternativas encontram-se em consideração,
sendo que em ambas será exigida a realização de investimentos na compra de sistemas de
transporte e manuseio automatizados.
A primeira alternativa exige um investimento inicial de $ 60.000,00 e são esperadas reduções
de custos da ordem de $ 10.000,00 / ano.
A segunda alternativa proporcionará a eliminação de um número maior de operações manuais
e deverá custar originalmente $ 70.000,00, apresentando reduções de custos de $ 12.000,00
por ano.
A vida estimada para ambas as alternativas é de 8 anos ao final dos quais não haverá valor
residual. O retorno mínimo aceitável pela gerência é de 9% ao ano.
Qual deverá ser a conclusão final do analista encarregado desse estudo, baseado no método da
taxa interna de retorno?
PROBLEMA 5 (Problema de curso de engenharia econômica I – para revisão dos
métodos de tomada de decisão)
Numa análise realizada em determinada empresa, foram detectados custos operacionais
excessivamente elevados numa linha de produção, em decorrência da utilização de
equipamentos velhos e obsoletos.
Os engenheiros responsáveis pelo problema propuseram à gerência duas soluções alternativas.
A primeira consistindo numa reforma geral da linha, exigindo investimentos estimados em $
10.000, cujo resultado será uma redução anual de custos igual a $ 2.000 durante 10 anos,
após os quais os equipamentos seriam sucatados sem nenhum valor residual. A segunda
proposição foi a aquisição de uma nova linha de produção no valor de $ 35.000 para substituir
os equipamentos existentes, cujo valor líquido de revenda foi estimado a $ 5.000. Esta
alternativa deverá proporcionar ganhos de $ 4.700 por ano, apresentando ainda um valor
residual de $ 10.705 após dez anos.
Sendo a TMA para a empresa igual a 8% ao ano, qual das alternativas deve ser preferida pela
gerência?
CAP. 3 - ANÁLISE DE INVESTIMENTOS
EM SITUAÇÕES DE INCERTEZA
1. INTRODUÇÃO
No fluxo de caixa esquemático mostrado na Figura 1, como se sabe na data zero,
normalmente se tem o investimento necessário para o projeto, as demais parcelas são os
resultados da composição de receitas, despesas de manutenção, mão de obra, matéria
prima, energia elétrica, imposto, depreciação, financiamentos, etc... a acontecerem em
cada uma das datas previstas dentro da vida do projeto.
0
1
2
3
4
n-3
n-2
n-1
n
vida do projeto
investimento
Figura 1 - Fluxo de caixa esquemático de um projeto
Os métodos que permitem avaliar o fluxo de caixa da Figura 1 do ponto de vista
econômico são os métodos: do valor presente (VPL), o método do valor anual (VA) e a
taxa interna de retorno (TIR). Acontece que na maioria das vezes ao analisar estes
fluxos a consideração sobre os diversos dados é determinística. Será que isto ocorre na
realidade? Como se sabe isto não é verdade. Existem variações sobre os diversos
elementos que compõe o fluxo de caixa que precisam ser consideradas para o total
sucesso da escolha da melhor alternativa.
É comum se distinguir duas situações quanto a variação dos dados no fluxo de caixa.
Estas situações são chamadas de análise de risco e análise de incerteza. Na análise de
Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 2
risco é possível calcular uma distribuição de probabilidades associada a um resultado do
fluxo de caixa (VPL, VA ou TIR). Com a distribuição probabilística é possível se
calcular as chances do projeto se tornar inviável, fornecendo subsídios para decidir
entre as alternativas que possuem diferentes graus de risco. As técnicas usuais de se
trabalhar com o risco são:
1. Distribuição de probabilidades;
2. Simulação do fluxo de caixa;
3. Árvore de decisão.
Na análise de incerteza não se conhece a distribuição estatística de um fluxo de caixa e
vai se trabalhar com opiniões e sugestões de especialistas que terão de decidir sobre
qual o melhor projeto do ponto de vista econômico. Infelizmente, é esta a situação mais
freqüente e também a qual os analistas estão menos preparados para enfrentar. Como
responder as seguintes perguntas: “Qual será a inflação daqui a três anos?”, “Qual o
valor do KW/h se as companhias de distribuição forem privatizadas?”, “Qual o valor
do petróleo daqui a 5 anos?”..., pode-se notar que situações desta natureza sempre
existem nos projetos. Então, a consideração de incertezas traz com um de seus objetivos
a discussão de como reagir frente a decisões necessárias, em ambientes onde não é
possível se ter valores exatos ou uma distribuição probabilística dos dados. As técnicas
utilizadas para consideração da incerteza são:
1. Análise de sensibilidade;
2. Método de Laplace;
3. Método MAX MIN;
4. Método MAX MAX;
5. Método de Hurwicz;
6. Método de Savage;
7. Técnicas baseadas na teoria sobre Fuzzy Sets.
Os métodos 2, 3, 4, 5 e 6 são baseados na teoria dos jogos, teoria que se consagrou no
ano de 1994, quando o Prêmio Nobel de Economia foi conferido ao americano John F.
Nash, ao húngaro John Harsanyi e ao alemão Reinhard Selten pelo desenvolvimento
mais rigoroso da teoria dos jogos e sua aplicação em economia. A concepção da teoria
dos jogos em si se deve a John Von Neumann e Oskar Morgenstern que, inspirados em
jogos como os de xadrez e de pôquer, publicaram em 1944 um volume de 640 páginas
de matemática chamado “A Teoria dos jogos e o comportamento econômico”. Von
Neumann foi um dos maiores matemáticos deste século e não recebeu o Nobel com
Morgenstern pelo fato de ambos já se encontrarem falecidos em 1994.
2. A NATUREZA DAS INCERTEZAS
Como mostrado esquematicamente na Figura 2: “O futuro pode revelar surpresas”.
Quanto maior a vida do projeto maior as chances de se ter problemas com estimativas
feitas na época da análise econômica do projeto.
0
1
2
3
4
n-3
n-2
n-1
n
investimento
Aumento das incertezas
Fatores imprevistos
Figura 2 - A incerteza que pode acontecer com os fluxos de caixas
Vários são os fatores que podem contribuir para a incerteza. Alguns destes fatores estão
sintetizados na Figura 3. Como se pode notar alguns fatores, por exemplo, aumento de
impostos, podem afetar a todas empresas e são os chamados sistemáticos. Outros
fatores, como, por exemplo, o aumento de preço de uma matéria prima específica,
atinge empresas em casos isolados e são os não sistemáticos.
Econômicos
• Oferta
subdimensionada
Financeiros
• Insuficiência de
capital
Técnicos
Outros
• Inadequabilidade
do processo
utilizado
• Fatores políticos
• Demanda
• Falta de
superdimensionad
capacidade de
a
pagamento
das matérias
primas
• Fatores
institucionais
• Dimensionamento
incorreto
da tecnologia
empregada
• Problema de
gerenciamento de
projeto
• Alteração dos
produtos e
subprodutos
• Greve
• Alteração dos
preços da matéria
prima
• Inflação
• Investimentos
imprevistos
Figura 3 - Fatores que levam a incerteza
3. MÉTODOS DE DECISÃO EM
CONDIÇÕES DE INCERTEZA
Alguns dos conceitos que serão mostrados são problemáticos, mas o conhecimento
destas técnicas pode ser útil em alguns casos.
3.1 ANÁLISE DE SENSIBILIDADE
Técnica bastante prática para se tratar o problema das incertezas. Na verdade é mais um
enfoque que uma técnica. Consiste em medir o efeito produzido na rentabilidade do
investimento, ao se variar os dados de entrada. Deve-se variar cada parâmetro de uma
vez estabelecendo o valor mais provável, o limite inferior e superior da variação. Para
cada valor calcula-se VPL, VA ou TIR e com isto pode-se ter uma idéia da
sensibilidade do parâmetro em questão.
A análise de sensibilidade é baseada no conceito de elasticidade. Supondo o fluxo de
caixa da Figura 4, onde I é o investimento inicial, C os custos envolvidos, R a receita
prevista, L o valor residual e n a vida útil do projeto.
R+L
R
0
1
I
2
3
4
n-3
n-2
n-1
n
C
Figura 4
R é o resultado da venda de X unidades de um produto pelo preço P. C é o custo
composto de duas parcelas, o custo fixo CF e o custo variável CV referente a utilização
de 2 matérias primas, mp1 e mp2. A expressão que permite calcular o custo é a
seguinte:
C = CF + CV = CF + (µ1 P1 + µ2P2) X
Nesta expressão µ1 e µ2 representam a razão com que as duas matérias primas mp1 e
mp2 são utilizadas por unidade de produto. São também chamados de coeficientes
técnicos. P1 e P2 são os preços das duas matérias primas.
O valor presente do fluxo de caixa mostrado na Figura 4 pode ser representado pela
seguinte expressão:
VPL = - I + {PX - [CF + ( µ1 P1 + µ2P2) X]}(P/A, i%, n) + L / (1 + i)
n
Trabalhando a expressão, ela pode ser reescrita da seguinte forma:
VPL = - I + [(P - µ1 P1 - µ2P2) X - CF] (P/A, i%, n) + L / (1 + i)
n
Ao se variar X na expressão acima se chega no gráfico da Figura 5, onde se nota
perfeitamente o valor mínimo a ser vendido do produto para que VPL possa ser maior
que zero. O ponto de cruzamento da curva com a abscissa é chamado de ponto de
nivelamento.
VPL(x)
0
X0
X quantidade vendida
Figura 5 - Ponto de nivelamento
Pela análise da Figura 5 nota-se que quantidades de X abaixo de X0 faz o projeto ser
inviável. O ponto de nivelamento pode ser alterado para qualquer variável do fluxo de
caixa (I, P, P1, P2, i,...) e com isto pode-se estudar a viabilidade para as diversas
alterações, além de se descobrir quais são os parâmetros mais sensíveis, que fazem o
projeto se inviabilizar mais facilmente. Sobre estes parâmetros é que se devem
estabelecer controles mais rígido. É a maneira mais simples de se analisar a incerteza, e
consiste no primeiro passo para a análise de risco, pois se toma conhecimento dos
parâmetros mais sensíveis que necessitam de um estudo mais aprofundado.
3.1.1
EXEMPLO 1
Uma empresa do setor de garrafas térmica esta pensando em lançar uma nova garrafa
para manter líquidos gelados. O investimento necessário é de US$ 100.000,00. A
previsão de vendas é de 10 mil garrafas por mês a um preço de US$ 10,00 por garrafa.
Os custos fixos serão de US$ 20.000,00 por mês e os custos variáveis de US$ 4,00 por
garrafa. Ao final de três meses a empresa venderá a linha por US$ 30.000,00. Analise a
TIR sob a previsão de vendas e sob a possibilidade de erros nesta previsão. A TMA da
empresa é de 10% ao mês.
SOLUÇÃO:
a) Sob a previsão de vendas original:
Investimento = 100.000
Receita mensal = 10.000 x 10 = US$ 100.000,00 / mês
Custos variáveis = 10.000 x 4 = US$ 40.000,00 / mês
Custos fixos = US$ 20.000,00
Valor residual = US$ 30.000,00
Fluxo de caixa
30.000 + 40.000
40.000
100.000
TIR = 20,94 % ao mês
Pela TIR para esta situação pode-se concluir que o projeto é viável.
b) Vejamos o que pode acontecer se a previsão de vendas não for atendida. Imaginando
variações negativas de 10%, 20% e 30%. Os resultados dos três casos são sintetizados a
seguir:
- 10% nas vendas
- 20% nas vendas
- 30% nas vendas
Receita mensal =
Receita mensal =
Receita mensal =
9.000 x 10 = 90.000
8.000 x 10 = 80.000
7.000 x 10 = 70.000
Custos variáveis =
Custos variáveis =
Custos variáveis =
9.000 x 4 = 36.000
8.000 x 4 = 32.000
7.000 x 4 = 28.000
Custos fixos: não se alteram
Fluxo de caixa:
Fluxo de caixa:
Fluxo de caixa:
64
58
52
28
34
22
100
100
TIR: 13,56 %
100
TIR: 6,02 %
TIR: -1.75%
Com as hipóteses de erros na previsão de vendas, pode-se elaborar a seguinte curva:
TIR X Volume de vendas
25
Ponto de
equilibrio
20
TIR
15
TMA
10
5
0
10000
-5
9000
8500
8000
7000
Volum e de vendas
Pelo gráfico é possível visualizar a situação da rentabilidade do projeto em função do
volume de vendas realizadas pela empresa. É necessário que pelo menos 8500 garrafas
sejam vendidas para que o projeto não de prejuízo.
3.1.2
EXEMPLO 2
Considere o fluxo de caixa da Figura 4 e os seguintes parâmetros:
I = 100
P1 = 2
i = 10 % a.a.
L = 15
µ1 = 0.5
n = 5 anos
X = 20
P2 = 3
CF = 10
P=9
µ2 = 2
Analise a sensibilidade do fluxo de caixa e calcule os pontos de nivelamento para X e I.
SOLUÇÃO:
I
Valor
esperado
Situação
L
X
P
P1
µ1
P2
µ2
CF
i
n
pessimista
∆VP
VPL
Situação
Tabela de análise de sensibilidade (variações de 10%, exceto para n).
3.1.3
Estudo de caso
ASSUNTO: Sensibilidade – Exemplo extra
Uma empresa está considerando a possibilidade de realizar um novo gasoduto. A
instalação deste novo gasoduto requererá um gasto de US$2.000.000.000,00 em
investimento fixo.
Estima-se uma vida econômica, para o projeto, de 20 anos. A empresa espera contar
com um volume de gás para comercializar de 16 milhões de m3/dia, pagando por este
gás um preço de US$0,90 por Milhão de btu. A empresa espera comercializar este gás a
um valor de US$2,70 por Milhão de btu. O poder calorífico do gás é de 36785,43
(btu/m3).
A empresa que terá um custo de operação de US$13.000.000,00 e um custo de
manutenção de US$32.000.000,00 por ano, de acordo com previsões de especialistas.
O valor dos equipamentos após os 20 anos é estimado que tenham um valor de
US$200.000.000,00.
A empresa tem um custo de capital de 15% ao ano.
Considerando o ano com 365 dias, responder as seguintes questões:
1. Verificar a atratividade do projeto.
2. Analisar a sensibilidade do projeto para uma variação negativa de 15% no
volume de vendas de gás.
3. Calcular o preço de venda mínimo do gás.
4. Verificar a sensibilidade do projeto para um acréscimo de 20% no valor do
investimento fixo.
3.2 MÉTODOS BASEADOS NA TEORIA DOS
JOGOS
Antes de descrever os métodos de Laplace, MAX MIN, MAX MAX, Hurwicz e
Savage, são necessárias algumas considerações. Primeiramente uma definição
importante é sobre o chamado “Estado da natureza”, que é um conjunto de situações
possíveis de ocorrer e sobre as quais não se tem a princípio controle, mas que afetarão o
resultado do projeto. Como exemplo, pode-se citar:
1. Entrada ou não de um novo concorrente no mercado;
2. Aumento desproporcional de um produto;
3. Aumento da inflação, etc...
O problema consistirá em selecionar a alternativa ótima, segundo certos critérios, sem
se conhecer qual o estado da natureza que se verificará no futuro. Para a decisão
representam-se as diversas alternativas e estados da natureza em forma de matriz, como
ilustrado na Figura 6. Rij representa VPL, VA ou TIR da alternativa Ai se a natureza
assumir o estado Ej no futuro. Uma outra consideração importante é que tanto as
alternativas como os estados da natureza são mutuamente exclusivos.
Estado da natureza / eventos
Alternativas /
ações
E1
E2
....
En
A1
R11
R12
....
R1n
A2
R21
R22
....
R2n
:
:
:
Am
Rm1
Rm2
:
....
Rmn
Figura 6 - Matriz de resultados
Antes de se aplicar qualquer dos métodos deve-se verificar se existem alternativas
dominadas. As alternativas dominadas podem ser eliminadas da análise facilitando os
cálculos. A relação de dominância é dada para a seguinte situação:
Rik ≤ Rjk
Um exemplo de dominância pode ser entendido pelo exemplo seguinte. Uma empresa
esta escolhendo um veículo de comunicação para empreender sua propaganda. Através
de um estudo chegou-se ao número de consumidores que veriam a propaganda em
função do tempo, estes dados estão na Figura 7.
Tempo
Veículo de
divulgação
Ruim
Moderado
Bom
Excelente
TV
200
190
170
130
Jornal
180
160
150
130
Outdoors
110
140
140
190
Figura 7 - Número de consumidores que vem a propaganda (em milhares)
Pela análise da Figura 7 pode-se ver que alternativa Jornal é dominada pela TV. Em
nenhuma situação de tempo, a alternativa Jornal será melhor que a TV, por isto pode
ser retirada da análise.
3.2.1
MÉTODO DE LAPLACE
Também conhecido como “princípio da razão insuficiente”. O método se baseia na
consideração que se não se sabe a probabilidade de ocorrência dos eventos, elas devem
ser consideradas iguais. Para entender os métodos vamos estudá-los através de um
mesmo exemplo. A1, A2, A3 e A4 são alternativas que dependem do comportamento da
inflação. A inflação poderá ter três cenários para o futuro, sendo eles:
• E1 = a inflação aumenta no próximo ano;
• E2 = a inflação se manterá no mesmo nível;
• E3 = a inflação cairá.
Após os cálculos chegou-se a seguinte matriz:
Alternativas /
ações
E1
E2
E3
A1
106
60
20
A2
60
100
30
A3
20
40
80
A4
90
50
15
EXEMPLO
Escolher a melhor alternativa para a matriz de resultados anterior pelo método de
Laplace.
SOLUÇÃO:
3.2.2
MÉTODO MAX MIN
Este método é pessimista ao extremo. Baseia-se na escolha do pior caso para cada
alternativa. Em seguida escolhe-se a alternativa “menos pior”. Representa a pior
condição possível para o projeto. Consiste assim em um critério de extrema segurança.
Este é o problema do método, o extremo conservadorismo.
EXEMPLO
Decidir para a mesma situação do problema anterior através do método MAX MIN.
SOLUÇÃO:
3.2.3
MÉTODO MAX MAX
Ao contrário do método anterior, este é otimista ao extremo. Baseia-se na hipótese que
o “estado da natureza” será o mais favorável ao projeto.
EXEMPLO
Aplicar o método MAX MAX para o caso.
SOLUÇÃO:
3.2.4
MÉTODO DE HURWICZ
Os métodos anteriores baseiam-se em situações extremas. O primeiro é muito
pessimista e o segundo muito otimista. O método de Hurwicz combina linearmente
estes dois métodos, utilizando um índice de pessimismo relativo α, tal que:
0≤α≤1
Assim, para cada alternativa Ai obtém-se o melhor resultado Mi e o pior resultado mi.
Pode-se associar a cada Ai um valor H(Ai) dado por:
H(Ai) = α mi + (1- α) Mi
A desvantagem do método e a de que o decisor tem de tomar uma posição quanto ao
valor de α.
EXEMPLO
Aplicar o método de Hurwicz ao problema em discussão.
SOLUÇÃO:
3.2.5
Método de savage
Este método também conhecido como “min max - regret”. Busca minimizar um
possível arrependimento. Baseia-se em determinar os desapontamentos das alternativas
para cada evento, obtendo a matriz de desapontamento. Este procedimento é
representado da seguinte forma:
Mrj = Rij - Rrj
onde, Rij é o valor máximo para cada evento Ei. A escolha será sobre a alternativa que
minimiza o “desapontamento”.
EXEMPLO
Aplicar o método de Savage ao exemplo.
SOLUÇÃO:
3.2.6
EXEMPLO 01
Aplicar os métodos de Laplace, MAX MIN, MAX MAX, Hurwicz e Savage ao seguinte
caso:
Alternativas /
ações
E1
E2
E3
E4
A1
18
11
11
10
A2
16
16
16
16
A3
17
20
8
17
A4
9
10
17
16
A5
10
13
17
18
SOLUÇÃO:
3.2.7
EXEMPLO 02
Aplicar os métodos de Laplace, MAX MIN, MAX MAX, Hurwicz e Savage ao seguinte
caso:
Alternativas /
ações
E1
E2
E3
E4
E5
E6
A1
39
29
-2
3
10
9
A2
28
32
10
28
-8
10
A3
10
26
42
16
-6
16
A4
27
9
30
12
16
16
A5
15
-3
20
38
15
20
SOLUÇÃO:
3.2.8
Estudo de Caso
Assunto: Teoria dos Jogos
Uma empresa de gás deseja iniciar imediatamente investimentos em novas redes de
distribuição. Entretanto, existem dúvidas sobre qual a política que será adotada nos
próximos anos, para o setor. Sabe-se que o atendimento a demanda projetada de gás na
área de atuação da empresa, pode ser atendida com três opções diferentes de origens do
gás.
Mas, estas opções são incertas, pois a opção a ser escolhida dependerá de discussões e
política futura. Existem quatro alternativas de se iniciar o investimento, e cada uma tem
um resultado econômico distinto em função da origem do gás.
Os resultados previstos pelos analistas econômicos da empresa encontram-se na tabela a
seguir. Utilizando os conceitos da teoria dos jogos, utilizar os diversos métodos para se
ter um cenário para a discussão e decisão de qual alternativa de investimento deveria ser
escolhida pela empresa.
Cenários possíveis
(resultados em VPL)
GASBOL
Bacia de Santos
Argentina
Alternativa 1
1200
1000
-200
Alternativa 2
-100
1500
800
Alternativa 3
-300
1000
1700
Alternativa 4
1100
900
-250
Origem do gás
Opções de
investimento
CAP. 4 – MÉTODO DE ANÁLISE
HIERÁRQUICA
1. TÉCNICA BASEADA NA TEORIA
SOBRE FUZZY SETS
Será mostrada aqui a utilização de um método, o AHP “Analytical Hierarchy Process”
proposto por SAATY. O método se insere dentro dos objetivos de Fuzzy sets que lidar
com a opinião do ser humano. O método será apresentado através de exemplos.
Inicialmente é mostrada uma forma de quantificar opinião de especialistas. Fato sempre
necessário em decisões de investimento, mas muito difícil de se fazer. Esta etapa é
importante para árvores de decisão onde os pesos são atribuídos de uma forma muito
subjetiva. O AHP consiste então num caminho para esta arbitrariedade. Em seguida é
mostrada uma aplicação do método para decisão entre alternativas, empatadas quando
analisadas por VPL, VA ou TIR, mas onde benefícios intangíveis, como por exemplo,
status junto ao cliente ou percepção de risco, poderá ser analisado.
1.1 O CÁLCULO DO AUTO VETOR E
AUTOVALOR
Para a primeira etapa, o exemplo a ser mostrado é o caso de se estimar a distância entre
a cidade da Filadélfia e outras seis cidades, através da opinião de um especialista, que
para o caso é um viajante com grande quantidade de viagens aéreas entre as cidades.
Vai se trabalhar com a sua opinião de sua percepção de quanto tempo passa em avião,
quando se desloca de uma cidade para outra. As cidades analisadas estão mostradas na
Figura 1.
Capítulo 4 – Método de Análise Hierárquica 4. 2
O A H P através de um exem plo (estim ando
distância entre 6 cidades e a Filadélfia)
•
•
•
•
•
•
Cairo;
Tóquio;
Chicago;
São Francisco;
Londres;
M ontreal.
Figura 1 - Cidades a serem analisadas pelo AHP
Saaty propõe o uso dos números racionais tirados de um conjunto finito, para montar
uma matriz que será a base dos cálculos. A tabela sugerida por Saaty é mostrada na
Figura 2.
Intensidade de
importância
Definição
Explicação
1
Igual importância
Duas atividades contribuem igualmente
para o objetivo
3
Fraca importância de uma sobre a
outra
Experiência e julgamento favorecem
ligeiramente uma atividade e relação a
outra
5
Essencial ou forte importância
Experiência e julgamento favorecem
fortemente uma atividade em relação a
outra
7
Importância demonstrada
Uma atividade é fortemente favorecida
e sua dominância é demonstrada na
prática
9
Absoluta importância
A evidência favorecendo uma atividade
sobre a outra é a mais alta ordem de
afirmação
2, 4, 6, 8
Valores intermediários entre dois
julgamentos sucessivos
Quando se deseja um maior
compromisso
Recíprocos dos valores
acima
Se uma atividade i tem um dos
valores não zero acima quando
comparado com a atividade j , então
j tem um valor recíproco quando
comparado com i.
Racionais
Razões surgidas da escala
Se a consistência foi forçada para
obtenção de n valores numéricos para
cobrir a matriz
Figura 2 - Tabela de Saaty
Com base nesta Tabela o especialista monta uma matriz, comparando as cidades 2 a 2, e
respondendo a seguinte pergunta: “qual a intensidade que a cidade i é mais distante que
a cidade j da Filadélfia?”. Com isto, chega-se a seguinte matriz:
Cairo
Tokyo
Chicago
São
Francisco
Londres
Montreal
Cairo
Tokyo
Chicago
São
Francisco
Londres
Montreal
n
Utilizando a seguinte fórmula Vi = ( ∏ a ij )1/ n , estima-se o autovetor da matriz, que é
j=1
calculado como mostrado a seguir:
V1 =
V2 =
V3 =
V4 =
V5 =
V6 =
Em seguida este autovetor deve ser normalizado para que a cidade mais distante receba
valor 1 (máximo) em relação as outras cidades. Este calculo é mostrado a seguir:
Cidade
Cairo
Tokyo
Chicago
São Francisco
Londres
Montreal
∑
Vi
Vetor normalizado
O autovetor também deve ser normalizado para que o somatório de seus elementos seja
igual a um. Isto é feito da seguinte maneira:
T=
/
/
/
/
/
/
O resultado é:
T=
Para testar a consistência da resposta, o que indica que os dados estão logicamente
relacionados, é necessário se estimar o autovalor. A estimativa é feita pela seguinte
relação: λmax = T.w. O elemento w é calculado pelo somatório da colunas da matriz
montada pelo especialista, que será:
w
Coluna 1
Coluna 2
Coluna 3
Coluna 4
Coluna 5
Coluna 6
Agora se pode estimar λmax:
λ max = [
⎡
⎢
⎢
⎢
]⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥=
⎥
⎥
⎥
⎦
Pode-se agora estimar um índice que indicará a consistência da resposta.
Primeiramente, calcula-se CI baseado na seguinte expressão, onde n é o número de
cidades:
IC =
( λ max − n)
=
(n − 1)
CR é calculado com base na relação RC =
IC
, onde CA é um índice randômico
CA
retirado da seguinte tabela:
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
0
0.58
0.9
1.12
1.24
1.32
1.41
1.45
CA
aleatória
Se o índice RC for menor que 0.10, a resposta é baseada numa entrada de dados
coerentes. Para o caso que esta sendo analisado:
RC =
Para se ter uma idéia do julgamento feito, analisemos a seguinte tabela:
Cidade
Cairo
Tokyo
Chicago
São Francisco
Londres
Montreal
Distância da
Distância
Filadélfia (milhas)
normalizada
autovetor
Como se pode notar o método apresentado propicia uma maneira de quantificar opinião
de especialistas.
1.2 A CONSIDERAÇÃO DE INTANGÍVEIS EM
ANÁLISE DE INVESTIMENTOS
Este método pode ser usado agora para decisão de forma a que benefícios intangíveis
possam ser considerados na análise da melhor alternativa. Vamos imaginar que três
projetos, X, Y e Z estejam próximos do ponto de vista de rentabilidade. Foram
relacionadas algumas características que podem ajudar na decisão, mas que são difíceis
de quantificar, são elas:
Idoneidade do fornecedor principal
A
Benefício político interno
B
Status junto ao cliente
C
Percepção do risco
D
Inovação tecnológica
E
Segurança
Ergonomia
Risco ambiental
Problemas de mão de obra
F
Resistência à mudança
Foram escolhidas as características mais significativas para as alternativas, sendo que
elas foram identificadas de A a F na tabela acima. Como primeiro passo é realizado
uma comparação entre as características, com relação à importância relativa a cada uma
para a escolha da melhor alternativa. Esta comparação gera uma matriz cujas entradas
são baseadas na tabela de Saaty, mostrada anteriormente. A matriz é:
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
Desta matriz é calculado o seu autovetor, autovalor e o índice RC, conforme mostrado
anteriormente, sendo eles:
Autovetor
Autovalor
CR
Deve-se agora comparar as três alternativas de investimento com respeito às seis
características, isto é feito em seguida:
A
X
Y
B
Z
X
X
X
Y
Y
Z
Z
autovetor
autovetor
λmax
λmax
C
Y
D
Z
X
Y
Z
X
X
X
Y
Y
Z
Z
autovetor
autovetor
λmax
λmax
E
X
Y
Z
F
Y
Z
X
X
X
Y
Y
Z
Z
autovetor
autovetor
λmax
λmax
Y
Z
Para a obtenção do rank das alternativas, multiplica-se a matriz de autovetores relativo
as alternativas e o que representa a importância das características na análise. Isto é
feito a seguir:
A
B
C
D
E
F
X
Y
Z
=
X=
Y=
Z=
Com esta resposta pode-se optar pela melhor alternativa segundo a opinião das pessoas
entendidas e envolvidas com a decisão. Com isto se tem uma ferramenta sistematizada e
metodológica para tratar com benefícios intangíveis. A figura abaixo mostra que o
relacionamento entre os diversos elementos desta análise, ficando clara a dificuldade em
optar por um projeto sem um mecanismo metodológico.
Benefícios
A
B
intangíveis
C
X
do
projeto
D
Y
E
Z
F
1.3 ESTUDO DE CASO
Assunto: AHP
Um grupo de investidores está avaliando alternativas para iniciar um novo projeto em geração de energia
elétrica. Na reunião que aconteceu foram pensadas as seguintes alternativas:
1.
Termoelétrica a gás;
2.
Hidrelétrica;
3.
Usina nuclear.
Houve um consenso que os critérios que deveriam fazer parte da escolha fossem os seguintes:
1.
Taxa interna de retorno;
2.
Prazo de conclusão da obra;
3.
Riscos ambientais;
4.
Confiabilidade no fornecimento de energia.
Para o critério 1, se a diferença for de até 2% ao ano, entre duas alternativas quaisquer, ambas são
consideradas iguais e, acima de 6% ao ano, a melhor TIR tem importância muito grande. Se a diferença
entre as taxas for intermediária, a preferência é proporcional.
Para o critério 2, uma diferença entre alternativas de um ano, considera-se que as alternativas estejam
empatadas. Uma diferença de 4 anos à importância absoluta é para a de menor prazo de construção.
Para o critério 3, um projeto considerado de baixo risco ambiental é o de importância absoluta. O de alto
risco é considerado de pouco preferência. Outras designações a preferência é proporcional.
Para o critério 4, uma alternativa com confiabilidade acima de 95% é de importância grande. Entre 95% e
85% considera-se alternativas equivalentes. Abaixo de 85% a preferência é mínima.
Entre os critérios a serem considerados, os investidores consideram que a TIR e a confiança no
fornecimento de energia estão no mesmo nível de importância. Os critérios problemas ambientais e
prazo de conclusão da obra são de mesmo nível de importância, entretanto TIR e confiança no
fornecimento de energia têm importância muito grande sobre estes dois.
A tabela a seguir com informações sobre as alternativas foi montada para os investidores.
Critérios
TIR
Prazo de conclusão
da obra
Riscos ambientais
Confiabilidade
Termoelétrica
20%
2 anos
Baixo
94%
Hidrelétrica
29%
7 anos
Médio
99%
Nuclear
22%
3 anos
Alto
85%
Alternativas
Ajudar aos investidores estabelecer a ordem de prioridades entre as alternativas.
CAP. 5 - INTRODUÇÃO A PROGRAMAÇÃO
LINEAR
1. GENERALIDADES
Sem dúvida nenhuma a Programação Linear é uma das técnicas da Pesquisa Operacional das
mais utilizadas em se tratando de problemas de otimização.
Os problemas de Programação Linear (PL) buscam a distribuição eficiente de recursos
limitados para atender um determinado objetivo, em geral, maximizar lucros ou minimizar
custos. Em se tratando de PL, esse objetivo é expresso através de uma função linear,
denominada de "Função Objetivo".
É necessário também que se defina quais as atividades que consomem recursos e em que
proporções os mesmos são consumidos. Essas informações são apresentadas em forma de
equações as inequações lineares, uma para cada recurso. Ao conjunto dessas equações e/ou
inequações, denomina-se "Restrições do Modelo".
Normalmente se tem inúmeras maneiras de distribuir os recursos escassos entre as diversas
atividades em estudo, bastando para com isso que essas distribuições estejam coerentes com
as restrições do modelo. No entanto, o que se busca, num problema PL é a função objetivo,
isto é, a maximização do lucro ou a minimização dos custos. A essa solução dá-se o nome de
solução ótima.
Assim, a Programação linear se incube de achar a solução ótima de um problema, uma vez
definida o modelo linear, ou seja, a função objetivo e as restrições lineares.
2. PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR
Como foi dito anteriormente, está-se diante de um problema de PL quando os problemas
práticos que se pretende resolver pode ser escrito de forma de maximização (ou minimização)
de uma função objetivo linear, sujeita a um conjunto de restrições que podem ser expressos
sob a forma de inequações ou equações lineares.
Exemplos de problemas que podem ser resolvidos por
programação linear:
Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional
5. 2
a) Um fabricante está iniciando a última semana de produção de quatro diferentes modelos de
consoles em madeira para aparelhos de televisão, designados respectivamente, I, II, III e IV.
Cada um deles deve ser montado e em seguida decorado. Os modelos necessitam,
respectivamente de 4, 5, 3 e 5 horas para montagem e de 2, 1, 5, 3 e 3 horas para decoração.
Os lucros sobre as vendas dos modelos são respectivamente 7, 7, 6 e 9 reais. O fabricante
dispõe de 30.000 horas para a montagem destes produtos (750 montadores trabalhando 40
horas por semana) e de 20.000 horas para decoração (500 decoradores trabalhando 40 horas
por semana). Quanto de cada um dos modelos deve ser produzido durante esta última semana
a fim de maximizar o lucro? Admita que todas as unidades possam ser vendidas.
b) Seja o caso de um investidor que, dispondo de $6000 esteja contemplando a possibilidade
de compra de dois seguintes tipos de ações:
•
Tipo 1 - preço unitário de compra de $ 5,00 e rentabilidade anual esperada de 30%.
•
Tipo 2 - preço unitário de compra de $ 3,00 e rentabilidade anual estimada em 35%.
Supondo que o investidor não deseje adquirir mais do que 1750 ações, e que seu corretor só
possa conseguir 1000 ações do tipo 1 e 1500 ações do tipo 2, que quantidades deve comprar
de cada tipo de ação, na hipótese de que seja seu objetivo maximizar o total de capital no fim
de um ano?
c) Uma empresa esta analisando um conjunto de alternativas de projetos de investimentos
disponíveis e apresentados na tabela seguir.
Projeto
Investimento no Investimento no
ano 1
ano 2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
12
54
6
6
30
6
48
36
18
3
7
6
2
35
6
4
3
2
Vida útil
5 anos
5 anos
5 anos
5 anos
5 anos
5 anos
5 anos
5 anos
5 anos
Economia anual
nos próximos 3
anos
9.29
26.85
9.88
7.92
35.33
8.14
22.78
16.91
11.04
O orçamento para investimento é de 50 para o primeiro ano e 20 para o segundo. Sabendo-se
que a TMA da empresa é de 10% a.a., qual a combinação ótima desses projetos.
5. 3
3. OBTENDO FUNÇÃO OBJETIVO E AS RESTRIÇÕES
Antes de discutir as técnicas possíveis para obtenção de resultados, através de um problema
será discutido como obter a função objetivo e as restrições.
Exemplo para discutir a obtenção da função objetivo e as
restrições:
Giapetto fabrica dois tipos de brinquedos de madeira: soldados e trens. Um soldado é vendido
por $27 e usa $10 de matéria prima. Cada soldado que é fabricado tem um custo adicional de
$14 relativo a mão de obra. Um trem é vendido por $21 e gasta $9 de matéria prima. O custo
de mão de obra adicional para cada trem é de $10. A fabricação destes brinquedos requer dois
tipos de mão de obra: carpintaria e acabamento. Um soldado necessita de 2 horas para
acabamento e 1 de carpintaria. Um trem necessita de 1 hora para acabamento e 1 hora de
carpintaria. Cada semana, Giapetto pode obter qualquer quantidade de matéria prima, mas
tem a disposição até 100 horas de acabamento e 80 de carpintaria. A demanda por trens é
ilimitada, mas a venda de soldados é de no máximo 40 por semana. Giapetto quer maximizar
seu lucro diário (receitas-custos). Formular o modelo matemático que poderá ser usado por
Giapetto para maximizar seu lucro semanal.
Solução:
Sabendo que a matéria prima
necessária é obtida sem problemas,
Giapetto tem como objetivo
maximizar o lucro semanal (receitas custos).
Vamos então formular
matematicamente a situação de
Giapetto com o objetivo de maximizar
o lucro semanal.
Primeiro ponto importante:
Variáveis de decisão
Em qualquer modelo de PL, as variáveis
de decisão devem descrever
completamente as decisões a serem
feitas.
Caso de Giapetto: quantos soldados e trens
devem ser feitos na semana.
Variáveis de decisão
• X1 = número de soldados produzidos
cada semana;
• X2 = número de trens produzidos a cada
semana.
Segundo ponto importante:
Função objetivo
Em qualquer modelo de PL, o decisor
quer maximizar ou minimizar alguma
função das variáveis de decisão.
Caso de Giapetto: custos fixos (aluguel,
seguro) não depende dos valores de X1
e X2, assim ele pode se concentrar em
maximizar a venda da semana.
5. 4
Receitas e custos: podem ser expressos em
termos das variáveis X1 e X2. Seria tolice
Giapetto produzir mais soldados que ele possa
vender, assim assumimos que todos
brinquedos produzidos podem ser vendidos.
Assim:
Receita da semana = receita dos soldados +
receita dos trens
Receita da semana = $/soldado * soldado/semana + $/trem * trem/semana
Receita por semana = 27*X1 + 21*X2
Também podemos escrever:
• Custos de M.P. = 10*X1 + 9*X2
• Custos de M.O. = 14*X1 + 10*X2
Então Giapetto quer maximizar:
(27X1 + 21X2) - (10X1 + 9X2) - (14X1 + 10 X2) = 3X1 + 2X2
Assim o objetivo de Giapetto é escolher X1 e X2 para
maximizar 3X1 + 2X2
Objetivo:
maximizar Z = 3X1 + 2X2
ou
max Z = 3X1 + 2X2
Variável
usualmente
utilizada
5. 5
Terceiro ponto importante:
restrições
Se X1 e X2 aumentam, a função objetivo de
Giapetto será sempre maior. Mas infelizmente X1
e X2 são limitados pelas seguintes restrições:
• 1 - cada semana, não mais que 100 horas de
acabamento;
• 2 - cada semana, não mais de 80 horas de
carpintaria;
• 3 - limitação de demanda, não mais de 40
soldados por semana.
M.P. ilimitada, portanto não há
restrições. Como, próximo
passo, é necessário expressar as
restrições 1, 2 e 3, em termo das
variáveis de decisão: X1 eX2.
Restrição 1:
não mais de 100 h de acabamento
Total de h de acab./semana = horas de aca./sold. * sold. feitos/semana +
horas de acab./trem * trens feitos/semana
Total de h de acab./semana = 2*X1 + 1*X2
Restrição 1 - 2X1 + X2 <= 100
5. 6
Restrição 2:
não mais de 80 h de carpintaria
Total de h de carp./semana = horas de carp./sold. * sold. feitos/semana +
horas de carp./trem * trens feitos/semana
Total de h de carp./semana = 1*X1 + 1*X2
Restrição 2 - 1X1 + X2 <= 80
Restrição 3:
venda máxima de soldados: 40
Restrição 3 - X1 <= 40
Restrições:
• 1 - 2X1 + X2 <= 100
• 2 - X1 + X2 <= 80
• 3 - X1 <= 40
Coeficientes
tecnológicos:
refletem a quantia
usada para
diferentes produtos.
Restrições para o
problema de PL
de Giapetto
Usualmente
representam a
quantidade de
recursos
disponíveis.
5. 7
5. 8
Quarto ponto importante:
Restrições adicionais
Para completar a formulação do problema:
• X1 >= 0
• X2 >= 0
Significa que
X1 e X2
precisam satisfazer
todas as restrições
Resumindo
• max Z = 3X1 + 2X2
sujeito a:
• 2X1 + X2 <= 100
• X1 + X2 <= 80
• X1<= 40
• X1 >= 0
• X2 >= 0
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
P.L. - todos os
termos X são de
expoente 1 e as
restrições são
inequações
lineares
O problema de Giapetto
é tipico de muitos outros,
onde precisa-se
maximizar lucros
sujeitos a recursos
limitados
4. SOLUÇÃO DE UM PROBLEMA DE P.L. - MÉTODO
GRÁFICO
Um problema de P.L. só pode ser resolvido graficamente desde que o modelo, em estudo,
apresentar duas variáveis.
O fato de que a função objetivo
para um PL precisar ser uma
função linear de variáveis tem
2 implicações:
• 1 - A contribuição para a função objetivo
de cada variável de decisão é proporcinal
ao valor da variável de decisão;
• 2 - A contribuição para a função objetivo
para cada variável é independente dos
valores de outras variáveis de decisão.
Definição: região de solução
- para um problema de PL é
o conjunto de todos os
pontos que satisfazem todas
as restrições do problema.
Giapetto: X1 = 40 X2 = 20
Restrições:
• 2X1 + X2 <= 100
• X1 + X2 <= 80
• X1<= 40
• X1 >= 0
• X2 >= 0
região de solução
(2), ok 2*40+20<=100
(3), ok 40+20<=80
(4), ok 40<=40
(5), ok 40>=0
(6), ok 20>=0
5. 9
não é região de solução
Giapetto: X1 = 15 X2 = 70
Restrições:
• 2X1 + X2 <= 100
• X1 + X2 <= 80
• X1<= 40
• X1 >= 0
• X2 >= 0
(2), ok 2*15+70<=100
(3), não ok 15+70> 80
(4), ok 15<=40
(5), ok 15>=0
(6), ok 70>=0
região de solução
Pontos que atendem e onde será procurada
a solução ótima
Solução ótima
Ponto da região de solução, que leva ao maior
valor da função objetivo.
• A maioria dos problemas de PL, tem
somente uma solução ótima;
• Alguns não tem solução ótima;
• Alguns tem infinitas soluções.
Para o problema de Giapetto, solução ótima:
X1=20 e X2 = 60
Z = 3*20 +2*60 = 180
lucro = 180 - 100 = 80/semana
5. 10
Solução gráfica para o
problema de 2 variáveis
Um PL com 2 variáveis
pode ser resolvido
graficamente. Nós sempre
nomeamos as variáveis X1
e X2 e os eixos
coordenados por X1 e X2.
Se nós queremos delimitar em
um gráfico o conjunto de
pontos que satisfaça a:
2X1+3X2 <= 6 (1)
3X2 <= 6 - 2X1
X2<=1/3*(6 - 2X1) = 2 - 2/3X1 (2)
O conjunto de pontos que satisfaz (1) e
(2) cai sobre a reta ou abaixo dela
X2
X2 = 2 - 2/3X1
6
5
4
Região onde:
2X1+3X2>=6
3
2
1
Região onde:
2X1+3X2<=6
X1
1
2
3
4
5
6
5. 11
A solução gráfica para o problema de Giapetto é a seguinte:
Encontrando a região de solução
do problema de Giapetto:
•
•
•
•
•
2X1 + X2 <= 100
X1 + X2 <= 80
X1<= 40
X1 >= 0
X2 >= 0
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Para um
ponto (X1, X2)
pertencer a região de
solução é preciso
satisfazer todas
estas inequações.
(5) e (6) indicam o primeiro quadrante
X2
(2)
(4)
120
D
Poligono DGFEH - região de solução
B
100
80
G
60
40
F
20
E
H
20
(3)
A
40
X1
C
60
80
100 120
Encontrando a solução ótima
Após a identificação da região de
solução, nós devemos procurar a
solução ótima, que será o ponto da
região que levar ao maior valor de
Z = 3X1+2X2
5. 12
Para encontrar a solução ótima, nós
precisamos desenhar uma linha sobra
a qual todos os pontos levem ao mesmo
valor de Z.
Escolhe-se qualquer ponto da região de
solução:
(20, 0) - Z = 3X1+2X2 = 60
Assim (20, 0) cai sobre a reta:
Z = 3X1 + 2X2 = 60
X2 = 30 - 3/2X1
3X1 + 2X2 = 60
tem coeficiente angular = -3/2
Assim todas as retas 3X1+2X2 =
constante terão o mesmo coeficiente
angular.
Importante: uma vez desenhada a reta,
podemos encontrar
todas as outras pelo movimento paralelo da reta
que desenhamos.
X2
(2)
(4)
120
100
D
80
B
G
Indica o ponto ótimo - G (20, 60)
60
40
F
20
A
E
20
H
X2 = 30 - 3/2 X1
(3)
40
X1
C
60
80
100 120
5. 13
5. 14
Ponto ótimo:
Z = 3*20 + 2*60 = 180
5. PROBLEMAS INTERESSANTES QUE PODEM SER
FORMULADOS PARA SEREM RESOLVIDOS POR
PROGRAMAÇÃO LINEAR
O que será visto a seguir é a formulação de vários problemas complicados da Programação
Linear. O passo mais importante na formulação de um modelo é a escolha apropriada das
variáveis de decisão. Se as variáveis de decisão forem selecionadas adequadamente, a função
objetivo e as restrições devem ser obtidas sem muita dificuldade. Problemas na determinação
da função objetivo e restrições normalmente são devido a uma escolha incorreta das variáveis
de decisão.
5.1 Exemplo 1: Problema de orçamento de capital
Uma empresa de petróleo esta considerando 5 diferentes oportunidades de investimento. O
fluxo de caixa e valor presente (em milhões de reais) é dado na tabela a seguir.
A empresa tem no momento $ 40 milhões para investir; e estima-se que no primeiro ano
estarão disponíveis $ 20 milhões para investimento. A empresa pode comprar qualquer fração
de cada investimento. Neste caso, o fluxo de caixa e valor presente são ajustados de acordo
com a proporção do investimento realizado. Por exemplo, se a empresa comprar 1/5 do
investimento 3, então o pagamento necessário será de 1/5 ($5) = $1 nos tempos 0 e 1. O valor
presente do investimento 3 será de 1/5 (16) = $3.2 milhões. A empresa quer maximizar o
valor presente que pode ser obtido pelos investimentos realizados entre as opções 1 a 5.
5. 15
Formular o problema para atingir este objetivo. Assumir que qualquer fundo não usado no
instante 0 não poderá ser usado no primeiro ano (instante 1).
Desembolso
instante 0
Desembolso
instante 1
Valor
presente
Inv. 1
11
Inv. 2
53
Inv. 3
5
Inv. 4
5
Inv. 5
29
3
6
5
1
34
13
16
16
14
39
5.2 Exemplo 2: planejamento financeiro de curto prazo
Uma empresa eletrônica que fabrica gravadores e rádios têm seus custos de mão de obra,
matéria prima e preço de venda de cada produto discriminados na tabela a seguir.
Gravador
100
50
30
Preço de venda
Mão de obra
Custo matéria prima
Rádio
90
35
40
Em primeiro de dezembro de 98, a empresa terá matéria prima que é suficiente para fabricar
100 gravadores e 100 rádios. Na mesma data, o balancete previsto da empresa é o mostrado a
seguir, e a razão entre ativo circulante e as suas obrigações (dívida com banco) será 2
(20000/10000).
Ativo circulante
Caixa
Contas a receber
Estoques
Dívidas em bancos
Obrigações
10000
3000
7000
10000
A empresa precisa determinar quantos gravadores e rádios deverão produzidos em Dezembro.
A demanda é alta o suficiente para garantir que todos os produtos fabricados serão vendidos.
Todas as vendas são feitas a crédito, pagamentos por produtos fabricados em Dezembro não
serão recebidos até primeiro de Fevereiro de 99. Durante Dezembro, a empresa irá receber
$2000 e precisará pagar $1000 devido ao empréstimo bancário e $1000 referente ao seu
aluguel. Em primeiro de janeiro de 99, a empresa receberá um carregamento de matéria prima
no valor de $2000, que será pago em Fevereiro de 99. A gerência decidiu que em primeiro de
5. 16
janeiro de 99 precisa ter pelo menos $4000 em caixa. Também o banco exige que a razão
entre dinheiro disponível e financiamento seja de pelo menos 2. Para maximizar o lucro da
produção em Dezembro, o que deveria empresa produzir durante este mês?
5.3 Exemplo 3: Modelos de financiamento multi período
O exemplo a seguir ilustra como a programação linear pode ser usada para problemas de
gerenciamento de fluxo de caixa. A chave é determinar as relações de dinheiro nas mãos
durante diferentes períodos.
Uma empresa de investimentos precisa determinar a estratégia de investimento para os
próximos 3 anos. Atualmente a empresa tem $100.000 disponível para investir. Os
investimentos A, B, C, D e E estão disponíveis. O fluxo de caixa associado com investir $1
em cada opção é dado na tabela a seguir.
A
B
C
D
E
0
-$1
$0
-$1
-$1
$0
1
$0.50
-$1
$1.2
$0
$0
2
$1
$0.50
$0
$0
-$1
3
$0
$1
$0
$1.9
$1.5
Por exemplo, 1$ investido na opção B requer um pagamento de $1 no ano 1 e retorna $0.50
no ano 2 e $1 no ano 3. Para assegurar que o portifólio da empresa seja diversificado, a
política da empresa é a de aplicar até $ 75.000 em um único investimento. Adicionalmente
aos investimentos A-E, a empresa pode obter taxas de 8% ao ano mantendo o dinheiro não
investido em fundos do mercado. Ganhos dos investimentos podem ser imediatamente
reinvestidos. Por exemplo, o dinheiro recebido no ano 1 do investimento C pode ser
imediatamente reinvestido na opção B. A empresa tem como diretriz não emprestar dinheiro
de fundos, assim o dinheiro disponível para investimento a qualquer tempo é limitado ao
disponível. Formular a programação linear que maximiza o dinheiro em mãos no ano 3.
6. SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE P.L. - MÉTODO SIMPLEX
5. 17
Nas formulações anteriores, problemas com mais de 2 variáveis não poderiam ser
solucionados com o método gráfico. Desta forma é necessário o estudo de outro procedimento
para a busca de soluções.
Agora, será apresentado mais um procedimento geral para resolução de problemas de
programação linear, denominado "Método Simplex" e que foi desenvolvido em1947 por
George B. Dantzig.
O método simplex é um método interativo (algoritmo) utilizado para achar, algebricamente, a
solução ótima de um problema de P.L..
6.1 Teoremas Básicos
Teorema 1 - O conjunto de todas as soluções compatíveis do modelo de programação linear é
um conjunto convexo cujos vértices (pontos extremos) correspondem a soluções básicas
viáveis.
Teorema 2 - Se a função objetiva possui um máximo (mínimo) finito, então pelo menos uma
solução ótima é um ponto extremo do conjunto convexo do teorema1.
6.2 Procedimentos do Método Simplex
Supondo o seguinte problema para maximização:
Max z = 5X1 + 2X2
Sujeito a:
X1 ≤ 3
X2 ≤ 4
X1 + 2X2 ≤ 9
X1, X2 ≥ 0
A solução gráfica do problema é a seguinte:
X2
E(0, 4)
Z
ZB = 15
D(1, 4)
ZB = 15
ZD = 13
C(3, 3)
ZE = 8
5. 18
Pontos extremos
Sabe-se que a solução ótima do modelo é uma solução compatível básica do sistema, ou seja,
um ponto extremo do polígono A,B,C,D,E.
O método simplex, para ser iniciado, necessita conhecer uma solução compatível básica
(solução inicial) do sistema, isto é, um dos pontos A,B,C,D,E do trapézio. Suponha-se que
essa solução seja o ponto A.
O método simplex verifica se a presente solução é ótima. Se for o processo está encerrado. Se
não for ótima, é porque um dos pontos adjacentes fornece um valor maior que o ponto A.
Neste caso, o método simplex faz então a mudança do ponto A para o ponto extremo
adjacente que mais aumente o valor da função objetivo. No caso o ponto B.
Agora, tudo que foi feito para o ponto extremo A é feito para o ponto extremo B. O processo
finaliza quando se obtém um ponto extremo onde todos os pontos extremos a ele adjacentes,
fornecem valores menores que a função objetivo.
Como fazer, algebricamente, a mudança de um ponto extremo para outro, a ele adjacente?
Achar, portanto, a próxima solução básica (ponto extremo adjacente) exige a escolha de uma
variável básica para deixar a base atual, tornando-se não básica, e a escolha de uma variável
não básica para entrar na base em sua substituição.
O método simplex compreenderá, portanto, os seguintes passos:
1. Achar uma solução compatível básica inicial.
2. Verificar se a solução atual é ótima. Se for, pare. Caso contrário siga para o passo III.
3. Determinar a variável não-básica que deve entrar na base.
4. Determinar a variável básica que deve sair da base.
5. Achar a nova solução compatível básica, e voltar ao passo II
6.3 O Método Simplex
5. 19
A seguir será mostrado passo a passo o método simplex.
Definição Geral de Programação Linear:
Maximizar ou Minimizar Z = C 1X 1 + C2 X2 + .... + Cn Xn
sujeito a:
a11X1 + a12X1 + ..........+ a1nXn
(≤ ou = ou ≥) b1
a21X1 + a22X1 + ..........+ a2nXn
(≤ ou = ou ≥) b2
a31X1 + a32X1 + ..........+ a3nXn
(≤ ou = ou ≥) b3
am1X1 + am2X1 + ..........+ amnXn
X1, X2, X3, Xn
(≤ ou = ou ≥) bm
≥0
O Método Simplex é aplicado diretamente quando:
1. todas as restrições são ≤ bi
2. todos os bi ≥ 0
3. se quer maximizar Z
Quando uma dessas condições não é atendida estamos em presença de um caso particular.
O Método Simplex será estudado, acompanhando a seguinte formulação:
Maximizar Z = 3x1 + 2x2 + 5x3
Sujeito a
x1+ 2x2 + x3 ≤ 430
3x1 + 2x3 ≤ 460
xl + 4x2 ≤ 420
x1, x2, x3 ≥ 0
Primeiro passo: Transformar o sistema de M desigualdades lineares restritivas em um
sistema de M equações lineares.
Para isso adiciona-se a cada uma das desigualdades uma variável não-negativa chamada
“Variável de Folga".
5. 20
Obs: Tem-se tantas variáveis de folga quantos forem as restrições.
Representação das Folgas = xn+1 , xn+2 , ... , xn+m.
Assim temos:
x1+ 2x2 + x3 + x4 = 430
3x1 + 2x3 + x5 = 460
xl + 4x2 + x6 = 420
Segundo passo: Colocar as equações em forma de tabela
Z - 3x1 - 2x2 - 5x3
=0
x1+ 2x2 + x3 + x4
3x1
+2x3
= 430
+ x5
xl + 4x2
= 460
+ x6 = 420
Terceiro passo: Determinar uma solução inicial viável.
Pode ser demonstrado que a solução ótima de um problema de programação linear é uma
solução básica. Una solução básica para um sistema de M equações e N incógnitas.
Possui M variáveis diferentes de O (zero) e (N - M) variáveis iguais a 0 (zero). As variáveis
diferentes de 0 (zero) são chamadas "Variáveis Básicas" e aquelas iguais a 0 (zero) são as
"Variáveis Não Básicas".
No Método Simplex escolhe-se como variáveis básicas aquelas em cuja coluna aparece um
valor igual a 1 e os demais iguais a 0 (zero).
Quarto passo: verificar se a solução é ótima.
Examinar os valores dos coeficientes das Variáveis não básicas na la linha (no exemplo, linha
de Z) e concluir:
a. Se todos os valores forem positivos a solução é ótima e única.
b. Se aparecerem valores positivos e alguns nulos a solução é ótima mas não única.
c. Se aparecer algum valor negativo a solução não é ótima. Deve-se, então executar o 5o
passo.
Como pode se verificar na tabela a seguir, existem números negativos na primeira linha,
assim a solução não é ótima, e precisa-se continuar os passos do método.
Base
z
X1
X2
X3
X4
X5
X6
b
bi/aie
equac.
Z
X4
X5
X6
1
0
0
0
-3
1
3
1
-2
2
0
4
-5
1
2
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
430
460
420
430
230
ind.
5. 21
0
1
2
3
Quinto passo: Determinar a variável que entra (xe )
A variável que entra deve satisfazer as seguintes condições:
- ser igual a 0 (zero) na solução atual (ou seja deve ser não básica)
- ter coeficiente menor ou igual a 0 (zero) na linha de Z (na la linha)
- possuir em sua coluna, pelo menos um coeficiente positivo. Escolher para entrar na base
aquela que apresentar, na linha de Z, o coeficiente negativo de maior valor absoluto. Marcar a
coluna na tabela.
Sexto passo: Determinar a variável que sai (xs).
Calcula-se o valor de bi/aie para cada linha da tabela e escolhe-se para sair a variável para a
qual o quociente tiver o menor valor não negativo.
Marcar na matriz a linha de xs. O quinto e sexto passos podem ser vistos nesta tabela:
entra
Base
Z
X4
X5
X6
z
1
0
0
0
X1
-3
1
3
1
sai
X2
-2
2
0
4
X3
-5
1
2
0
X4
0
1
0
0
X5
0
0
1
0
X6
0
0
0
1
b
0
430
460
420
bi/aie
430
230
ind.
equac.
0
1
2
3
Pivô
Sétimo passo: Calcular a nova matriz de coeficientes, executando as operações convenientes
nas linhas da matriz.
Os coeficientes da nova matriz podem ser calculados da seguinte maneira:
10 - Dividir todos os elementos da linha marcada pelo pivô (esta linha não muda mais).
20 - Multiplicar a linha marcada pelo fator Fi= aie / ase
Subtrair a linha i da matriz, da linha marcada e multiplicada pelo fator Fi.
5. 22
30 - Substituir na coluna base a variável que sai pela variável que entra.
O resultado destas operações na tabela anterior resulta em:
Base
Z
X4
X3
X6
z
1
0
0
0
X1
4.5
-0.5
1.5
1
X2
-2
2
0
4
X3
0
0
1
0
X4
0
1
0
0
X5
2.5
-0.5
0.5
0
X6
0
0
0
1
b
1150
200
230
420
bi/aie
100
ind.
105
equac.
0
1
2
3
Como na primeira linha da coluna de X2 aparece um número negativo, a solução ainda não é a
ótima.
Oitavo passo: Repetir todos os passos, do 40 ao 70, tantas vezes quanto forem necessárias, até
que a solução ótima seja encontrada. O resultado final da tabela anterior aparece na próxima
iteração, e como não existem mais números negativos na primeira linha a solução é ótima. O
resultado é mostrado a seguir.
Base
Z
X2
X3
X6
z
1
0
0
0
X1
4
-0.25
1.5
2
X2
0
1
0
0
X3
0
0
1
0
X4
1
0.5
0
-2
X5
2
-0.25
0.5
1
X6
0
0
0
1
b
1350
100
230
20
bi/aie
O máximo Z é 1350, para X2 = 100, X3 = 230 e X6 = 20.
6.4 EXEMPLO - Resolver o problema do GIAPETTO pelo
simplex.
equac.
0
1
2
3
Resolvendo o problema de
Giapetto pelo simplex
• max Z = 3X1 + 2X2
sujeito a:
• 2X1 + X2 <= 100
• X1 + X2 <= 80
• X1<= 40
• X1 >= 0
• X2 >= 0
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Primeiro passo importante:
converter o problema de PL na
forma canônica
• max Z = 3X1 + 2X2 (1)
sujeito a:
• 2X1 + X2 + X3
= 100
• X1 + X2
+ X4
= 80
• X1
+ X5 = 40
• X1, X2, X3, X4 e X5 >=0
• max Z = 3X1 + 2X2 (1)
sujeito a:
• 2X1 + X2 + X3
= 100
• X1 + X2
+ X4
= 80
• X1
+ X5 = 40
• X1, X2, X3, X4 e X5 >=0
(2)
(3)
(4)
(2)
(3)
(4)
Variáveis não básicas: X1 = X2 = 0
Variáveis básicas: X3 = 100 X4 = 80 X5 = 40
5. 23
O problema pode ser representado assim:
Pivo
Base
X3
X4
X5
Z
1
0
0
0
X1
-3
2
1
1
X2
-2
1
1
0
X3
0
1
0
0
X4
0
0
1
0
X5
0
0
0
1
b
0
100
80
40
Razão
(1)
(2)
(3)
(4)
100/2=50
80/1=80
40/1=40
Indica que
X1 entra no
lugar de X5
Solução parcial: (0, 0, 100, 80, 40)
Próximo quadro - Base: X3, X4 e X1
Devem se colocadas na forma canônica
Ainda não é a
solução ótima
Pivo
Base
X3
X4
X1
Z
1
0
0
0
X1
0
0
0
1
X2
-2
1
1
0
X3
0
1
0
0
X4
0
0
1
0
X5
3
-2
-1
1
b
120
20
40
40
Razão
20/1=20
40/1=40
40/0
(1)+3(4) (1)
(2)-2(4) (2)
(3)-(4) (3)
(4)
(4)
Indica que
X2 entra no
lugar de X3
Solução parcial: (40, 0, 20, 40, 0)
Ainda não é a
solução ótima
Base
X2
X4
X1
Z
1
0
0
0
X1
0
0
0
1
X2
0
1
0
0
Pivo
X3
2
1
-1
0
X4
0
0
1
0
X5
-1
-2
1
1
Solução parcial: (40, 20, 0, 20, 0)
b
160
20
20
40
Razão
-10
20
40
(1)+2(2) (1)
(2)
(2)
(3)-(2) (3)
(4)
(4)
Indica que
X5 entra no
lugar de X4
5. 24
Valor máximo possível
para a função objetivo
solução é ótima
Base
X2
X5
X1
Z
1
0
0
0
X1
0
0
0
1
X2
0
1
0
0
X3
1
-1
-1
1
X4
1
2
1
-1
X5
0
0
1
0
b
180
60
20
20
Razão
(1)+(3) (1)
(2)+2(3) (2)
(3)
(3)
(4)-(3) (4)
Solução ótima: (20, 60, 0, 0, 20)
A restrição 4 tem um folga de 20
Solução do problema de
Giapetto pelo simplex
• max Z = 3X1 + 2X2 (1)
sujeito a:
• 2X1 + X2 + X3
= 100
• X1 + X2
+ X4
= 80
• X1
+ X5 = 40
• X1, X2, X3, X4 e X5 >=0
Solução ótima: (20, 60, 0, 0, 20)
Z = 3*20 + 2*60 = 180
A restrição 4 tem um folga de 20
Resolver pelo Simplex a seguinte formulação:
Max Z = 5X1 +2X2
Sujeito a:
X1 ≤ 3
X2 ≤ 4
X1 + 2X2 ≤ 9
X1 ≥ 0
X2 ≥ 0
(2)
(3)
(4)
5. 25
5. 26
7. SOFTWARES COMPUTACIONAIS
A utilização de programação linear é recomendada para problemas de maior porte, em que
muitas variáveis e restrições devem ser consideradas. Por isso, o desenvolvimento de
algoritmos computacionais eficientes e precisos têm sido a maior preocupação entre os
pesquisadores. Programas adequados existem, virtualmente, para cada sistema computacional
comercial desenvolvido nos últimos 20 anos.
Problemas de grande porte requerem sistemas computacionais potentes e, portanto, sistemas
paralelos têm sido utilizados nos últimos anos. Entretanto, problemas menores podem ser
resolvidos em um computador pessoal utilizando um dos softwares desenvolvidos para
resolução de problemas de programação linear, como por exemplo XPress-MP LINDO e
MINOS.
Para problemas considerados médios, é recomendável a utilização de planilhas eletrônicas
com recursos para resolução de problemas. Exemplos destas planilhas são o "What's Best?"
(LINDO Systems) para Lotus 1-2-3, o Microsoft Excel e Borland Quattro e ainda o solver
para microsoft Excel. Todos eles são ferramentas poderosas, apesar de sua aparência simples.
O Solver do Excel será utilizado em alguns exemplos apresentados. Outro programa que
também será visto é o LINDO.
O instituto de pesquisa operacional e ciências administrativas (INFOR-MS) publica,
eventualmente, pesquisas sobre os softwares de programação matemática em seu periódico
OR/MS Today. O relatório de 1995 apresenta softwares que rodam em computadores pessoais
e destaca softwares capazes de atacar problemas maiores tanto quanto extensões de planilhas
eletrônicas.
7.1 Uma introdução ao uso do LINDO
LINDO (Linear Interactive and Discrete Optimizer) foi desenvolvido por Linus Schrage
(1986). Ele é um programa de computador que pode ser usado para resolver problemas de
programação linear, inteira e quadrática. Para ilustrar seu uso, vamos usar o exemplo de
Giapetto, discutido anteriormente, e que foi sintetizado na seguinte formulação:
•
•
•
•
•
•
max Z = 3X1 + 2X2
sujeito a:
2X1 + X2 <= 100
X1 + X2 <= 80
X1<= 40
X1 >= 0
X2 >= 0
5. 27
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
O programa executável tem o nome LINDO.EXE, apesar dele ser originalmente desenvolvido
para o ambiente DOS, pode-se executá-lo pelo WINDOWS. O LINDO assume que todas as
variáveis são não negativas, e as restrições adicionais não precisam ser fornecidas.
7.1.1 Comandos do LINDO
São os seguintes os comandos do LINDO:
MAX – entrada inicial para o problema de maximização;
MIN – entrada inicial para o problema de minimização;
END – finalização da formulação, deixando o LINDO pronto para aceitar outros comandos;
GO – resolve a formulação corrente e apresenta a solução;
LOOK – mostra seleção estabelecida da atual formulação;
ALTER – altera um elemento da formulação corrente;
EXT – soma uma ou mais restrições ao modelo;
DEL – retira uma ou mais restrições do modelo;
DIVERT – saída para um arquivo, de tal forma que possa ser impresso;
RVRT – finaliza o comando DIVERT;
SAVE – salva uma formulação, de tal forma que possa ser recuperada para uso futuro;
RETRIEVE – recupera um arquivo anteriormente salvo;
EDIT – chama o editor do programa;
SOLU – mostra a solução da formulação (usar o comando GO antes do SOLU);
TABLEAU – mostra a tabela da formulação pelo simplex;
TAKE – habilita o LINDO a trabalhar com arquivos gerados por outros editores.
Uma lista completa dos comandos pode ser obtida através do comando COMMAND.
5. 28
7.1.2 Usando o LINDO
O programa assume que todas as variáveis precisam ser não negativas. Assim, usando o
programa não é necessário digitar as variáveis de não negatividade. Para entrar com ≥ ou ≤,
basta digitar > ou <. O problema de Giapetto no programa fica da maneira ilustrada na figura
abaixo.
Depois de inserida a formulação no programa, pode-se usar qualquer dos comandos
mostrados anteriormente. Para problemas com muitas variáveis, a função objetivo ou as
restrições podem se estender por mais de uma linha. Se algum equivoco é cometido durante o
processo de entrada da formulação, o LINDO acusará o erro e instruções de correção.
Uma vez a formulação tenha sido programada, é sempre útil verificar se houve algum erro de
digitação. Para o programa mostrar a formulação, o comando LOOK, pode ser usado. Ele irá
perguntar qual a linha que se deseja verificar. Responda com um número de uma determinada
linha, por exemplo, 3; ou por uma faica de linhas, 1-3; ou todas (ALL). Lembre que o LINDO
considera a função objetivo como a linha 1.
Para alterar algum aspecto da formulação, usar o comando ALTER. O programa irá
perguntar qual o número da linha, nome da variável, e o novo coeficiente, nesta seqüência.
Para trocar o lado direito de uma restrição, digitar RHS quando o programa perguntar pela
variável. Para trocar o sinal da restrição (por exemplo ≥ para ≤), digitar DIR quando o
programa perguntar pela variável. Mudanças adicionais podem ser feitas usando EXT (para
adicionar novas linhas), DEL (apagar uma linha) e APPC (para somar uma variável a uma ou
mais linhas).
Uma vez que o programa esta digitado, para salvar basta digitar SAVE e dar um nome para o
problema. Para recuperar o arquivo basta usar RETRIEVE.
5. 29
Para verificar o resultado do problema, basta digitar GO. Para obter uma impressão é preciso
criar um arquivo e imprimir este arquivo. Isto é realizado com o comando DIVERT.
Para resolver o problema, basta usar GO. Apenas a solução ótima é mostrada na tela, mas a
solução inteira pode ser vista no arquivo de saída para impressão. Em seguida o programa
pergunta se é desejo fazer uma análise de sensibilidade. Digitar NO ou YES. Para sair do
programa é necessário digitar QUIT.
Qualquer problema no uso do programa, o comando HELP fornece algumas informações.
Finalmente, o LINDO não aceita parênteses e virgulas. Assim 400(X1+X2) precisa ser
digitado como 400X1+400X2.
7.1.3 O editor do LINDO
Em versões mais novas do LINDO usando o comando EDIT, um editor para corrigir e
verificar a formulação inteira é uma ferramenta bastante interessante. Neste editor as teclas
tem as seguintes funções:
Home – manda o cursor para o inicio da formulação;
End – manda o cursor para o fim da formulação;
PgUp – movimenta uma página a frente;
PgDn– movimenta uma página a trás;
Setas – movimenta o cursor de uma posição;
Esc – sai do editor;
Del – apaga caracter;
Backspace – apaga o caracter a esquerda do cursor;
Enter – muda o texto a direita para a próxima linha;
Crtl – seta direita – manda o cursor para o fim da próxima palavra;
Crtl – seta esquerda – manda o cursor para o fim da palavra anterior;
Crtl-S – move o cursor para o início da linha;
Crtl-E – move o cursor para o fim da linha;
7.2 UTILIZANDO O SOLVER DO EXCEL
Como foi dito anteriormente, a aplicação de programação linear não é mais limitada pela
necessidade de um software especialista. Planilhas eletrônicas geralmente possuem
ferramentas que podem ser utilizados para atacar problemas de programação linear de
5. 30
tamanho considerável. Talvez as duas planilhas mais utilizadas sejam o Excel, que contém um
opcional conhecido como solver, e o Lotus 1-2-3, que possui o módulo What's best?. Ambos
os sistemas são muito simples de serem utilizados e, embora sejam um pouco mais lentos que
os softwares especialistas, podem resolver problemas de tamanho razoável. Existem, é claro,
alguns perigos na sua facilidade de uso, assim como existem armadilhas que devem ser
evitadas quando modelos de programação linear são construídos e rodados, as quais podem
ser encobertas neste software amigável. Entretanto, a disponibilidade deste software é algo
passível de ser elogiada.
A discussão apresentada a seguir é baseada no Microsoft Excel v7. Versões mais recentes ou
mais antigas deste software poderão apresentar pequenas diferenças na estrutura, mas as
idéias básicas são as mesmas.
7.2.1 Formulação para o Solver
Na base de qualquer modelo de programação linear existe um conjunto de restrições às quais
uma função objetivo a ser otimizada está submetida. O exemplo simples de Giapetto foi
formulado anteriormente, neste capítulo, através das equações algébricas representadas a
seguir:
Max Z = 3X1+ 2X2
Função objetivo
Sujeita a:
2X1 + X2 ≤ 100
Restrição quanto a tempo de acabamento
X1 + X2 ≤ 80
Restrição quanto a tempo de carpintaria
X1 ≤ 40
Restrição de venda máxima de soldados
Estas equações podem ser representadas de maneira diferente, através da utilização de
matrizes. Esta representação está exposta a seguir:
maximizar
Sujeito as restrições
X1 = número
de soldados
3
2
1
1
X2 = número de
trens
2
1
1
0
≤
≤
≤
limite
100
80
40
Lucro bruto
Solução
0
0
5. 31
0
Com exceção da última linha, denominada solução, as demais restrições expostas nas matrizes
já eram conhecidas. A linha de solução representa os valores atribuídos a X1 e X2 antes de
qualquer otimização. No estado atual, ambos X1 e X2 são definidos como zero, o que resulta
em um lucro bruto de zero unidades.
O primeiro estágio de uso Solver é escrever esta matriz na planilha, como apresentado na
Figura 1. Como em qualquer planilha, é muito importante observar que algumas células
contêm valores constantes, mas outras contêm fórmulas as quais assumem os valores que são
exibidos nas mesmas. Neste exemplo, as células D4, D5, D6 e E8 contêm fórmulas. As
demais contêm textos, que são utilizados para deixar o exemplo mais claro, ou contêm
valores.
Figura 1 - formulação básica do problema.
Uma rápida explicação da Figura 1 é dada abaixo:
1. Neste exemplo, as colunas B e C possuem os valores dos coeficientes das expressões
utilizadas na formulação algébrica e na tabela anteriormente.
2. A linha 2 contém os valores dos coeficientes da função objetivo (2 e 1).
3. As linhas 4 a 6 apresentam os valores dos coeficientes das restrições descritas
anteriormente.
4. A linha 8 contém os valores dados inicialmente para X1 e X2 antes de qualquer
otimização.
5. 32
5. A coluna D possui suas linhas com valor zero, porém suas células representam a
utilização das três restrições. Assim, a célula D4 contém a fórmula:
= $B$8*$B4 + $C$8*$C4
Observe que as referências às células B10 e C10 são ambas absolutas. Assim, esta fórmula
estendida da célula D4 a à D6 é dada por:
D4 = $B$8*$B4 + $C$8*$C4
D5 = $B$8*$B5 + $C$8*$C5
D6 = $B$8*$B6 + $C$8*$C6
A coluna E foi utilizada para que os limites máximos e mínimos das restrições fossem
observados, a qual é freqüentemente conhecida como right-hand-sides (abreviada como RHS
por muitas pessoas). Assim, existe um limite de 100 horas para acabamento, de 80 horas para
carpintaria e venda máxima de 40 soldados. A coluna D, como mencionado anteriormente, é
usada para armazenar a utilização atual dos recursos. Assim, a célula D4 representa a
quantidade da restrição horas de acabamento que foi utilizada e seu valor é zero, uma vez que
as células B8 e C8 contêm valor zero antes de qualquer otimização.
Finalmente, uma célula da planilha deve ser utilizada para armazenar o resultado da
otimização (neste caso, o valor do lucro semanal obtido); nesta planilha, este valor está
contido na célula E8.
7.2.2 Janela de Parâmetros do Solver
Utilizando os botões do mouse ou o teclado, devemos selecionar o Solver a partir do menu de
ferramentas do Microsoft Excel. A Figura 2 apresenta a janela que irá aparecer na tela. Esta
janela de parâmetros do Solver é utilizada quando o usuário fornece ao Solver as informações
necessárias para que o mesmo busque a solução otimizada.
5. 33
Figura 2 - Janela de parâmetros do Solver.
Para chegarmos à solução ótima do exemplo, o Solver precisa das seguintes informações:
1. Onde o valor da função objetivo será armazenado? Este valor representa o resultado da
otimização dado pela combinação de valores de X1 e X2 determinada. Neste caso, o
resultado será armazenada na célula E8. Isto significa que a célula E8 deve conter a
fórmula apropriada para a otimização, a qual, neste caso, é dada por: = $B$2*$B$8 +
$C$2*$C$8. Observe que as células de referência são absolutas - o que é recomendável,
porém não é necessário.
2. Quais são as restrições e que forma as mesmas possuem? Para fornecer estas informações
para o Solver, clique no botão adicionar da subjanela de restrições da janela dos
parâmetros do Solver. Uma caixa de diálogo, como a apresentada na Figura 3, irá
aparecer. Neste caso, a caixa de diálogo corresponde à primeira restrição, a restrição das
horas de acabamento, a qual possui seus coeficientes nas células B4 e C4 e sua expressão
está contida na célula D4. Assim, a célula $D$4 deve ser digitada na caixa referência de
célula, uma vez que a mesma contém a expressão da restrição. Esta restrição é do tipo
menor ou igual a, assim devemos selecionar este símbolo da caixa central da janela.
Finalmente, o valor máximo para esta restrição encontra-se na célula $E$4 e esta célula
deve ser indicada na caixa à esquerda da janela. Aperte o botão OK e a caixa de diálogo
irá fechar-se retornando à janela de parâmetros do Solver. Cada uma das restrições deve
ser descrita do mesmo modo como a anterior.
Figura 3 - janela para entrada das restrições.
5. 34
3. Quais células irão conter os valores de X1 e X2, os quais serão modificados até que se
otimize a função objetivo, e qual tipo de otimização deve-se procurar? Esta informação
deve ser fornecida pelo usuário através da janela de parâmetros do Solver. As células
cujos valores serão variados são a B8 e a C8 e, como mostra a Figura 4, devem ser
descritas como células de referência na caixa células variáveis. Como se busca a
maximização destas variáveis, a opção Máx deve ser selecionada.
Figura 4 - entrada das células que irão variar para que a solução ótima seja encontrada
(células variáveis).
Antes de executar a otimização, é interessante informar ao Solver que todas as restrições são
expressões lineares, assim como a função objetivo. Estas informações devem ser fornecidas,
pois estamos tratando de um problema de programação linear. Para entrar com esta
informação, clique o botão opções da janela dos parâmetros do Solver. Uma nova janela irá
aparecer onde a opção presume modelo linear deve ser selecionada. Isto irá aumentar a
velocidade da otimização e, também, fará com que os relatórios fornecidos sejam adaptados
para o formato de problemas de programação linear (veja a seguir).
Para executar a otimização, retorne à janela de parâmetros do Solver e aperte o botão resolver.
A Figura 5 apresenta o resultado da otimização.
5. 35
Figura 5 - solução do problema
É importante observar que muitas outras informações, além do valor ótimo das variáveis
estudadas, podem ser obtidas a partir da solução fornecida para um problema de programação
linear. Um bom pacote computacional como o Solver fornece relatórios que ajudam o usuário
a entender muito mais sobre a solução apresentada. O Solver fornece três relatórios padrão e
permite que sua solução seja exportada para outro pacote se uma análise mais detalhada for
necessária.
7.2.3 O Relatório de Resultados do Solver
O relatório resume os resultados da pasta de trabalho e também fornece algumas informações
a mais. Estas informações extras podem ser calculadas pelo usuário, mas é importante guardálas em algum lugar. O relatório da otimização para o problema apresentado é mostrado na
Figura 6 e possui três partes, como descrito abaixo:
•
1.Célula de destino (Máximo): apresenta o máximo lucro obtido pelo Solver. Se este fosse
um problema de minimização, esta seção iria conter o valor mínimo.
•
Células ajustáveis: mostram as variáveis de entrada, seus valores após a solução ótima e
seus valores iniciais (zero, neste caso).
Restrições: indicam a utilização de cada um dos recursos ao final da otimização. A coluna de
status classifica as restrições como obrigatória (restrição com utilização máxima) ou não-
5. 36
obrigatória, estas últimas são as que apresentam algum recurso que não foi utilizado indicado pelo valor diferente de zero na coluna diferencial (slacks - folgas).
Os outros dois relatórios fornecem mais informações sobre a sensibilidade da solução ótima,
informações que podem ser importantes por várias razões. Primeiro, porque são raros os casos
de programação matemática em ciências administrativas nos quais todos os coeficientes ou
valores do modelo são conhecidos com precisão. Geralmente, alguns coeficientes são
conhecidos e vários serão aproximações, estimativas ou até mesmo hipóteses. O que fazer, se
os valores tomados forem errados? Qual será o efeito destes erros na solução? Assim, uma
solução alternativa não tão ótima pode ser, algumas vezes, melhor que uma solução ótima que
se toma sensível aos valores atribuídos aos coeficientes. A segunda razão que torna
importante a análise de sensibilidade está relacionada à idéia de que o mundo é dinâmico e,
por isso, as coisas estão mudando constantemente. Por exemplo, pode ser verdade que esta
semana a matéria-prima tenha um certo custo, porém, se o período observado for um mês,
este custo pode ser diferente. Assim, é importante conhecer quais são os efeitos que as
mudanças nos coeficientes podem gerar na solução ótima.
Figura 7 - relatório de resposta para o problema
CAP. 6 - ANÁLISE DE INVESTIMENTOS
EM SITUAÇÃO DE RISCO
1. APRESENTAÇÃO
Neste capítulo serão abordados vários métodos que levam em conta o uso das
probabilidades na análise de investimentos. Estes métodos visam subsidiar as decisões
informando o valor esperado dos resultados econômicos e, também, o risco das alternativas
de investimentos, através da dispersão destes resultados. Outra informação de interesse é a
probabilidade de inviabilidade dos investimentos.
2. FLUXOS DE CAIXA INDEPENDENTES NO TEMPO
Esta hipótese, a mais simplificada, supõe que o valor e o sinal do fluxo de caixa no
período “k” são independentes do fluxo de caixa no período “k - 1”, ou seja, a variação do
fluxo das receitas (e/ou despesas) de um período nada tem a ver com a variação do fluxo
das receitas (e/ou despesas) do período anterior.
2.1 MÉDIA E VARIÂNCIA DO VPL DE UM FLUXO DE CAIXA
Considera-se que, em cada período, no lugar de um valor para o fluxo líquido,
podem ocorrer vários fluxos líquidos possíveis (Atk), cada um com sua respectiva
probabilidade de ocorrência (Ptk), conforme mostrado na figura 1.
Capítulo 6 - Análise de Investimentos em Situação de Risco 6. 2
A01
P01
P02
0
A02
A0k
P0k
A11
P11
P12
1
A12
A1k
P1k
F.C.
At1
Pt1
Pt2
t
At2
Atk
Ptk
An1
Pn1
Pn2
n
An2
Ank
Pnk
Figura 1 - Fluxo de Caixa
O valor médio de cada fluxo de caixa, em cada período t é:
k
A t = ∑ Ptj A tj
(1)
j= 1
e o desvio-padrão (raíz quadrada da variância) de cada fluxo de caixa, de cada período, é
dado por:
σ(A t ) =
k
∑P
tj
(A tj − A t ) 2
(2)
j= 1
Com estes dois dados (média e desvio-padrão) do fluxo de cada período, pode-se,
então, calcular a média e variância da distribuição do valor presente.
A média desta distribuição de probabilidade nada mais é do que o somatório das
médias de cada período, descontadas à taxa de juros “ï”. Assim:
At
A1
...
An
...
1
t
n
A0
n
E(VPL) = ∑
t =0
At
(1 + i ) t
(3)
O desvio-padrão do valor presente líquido, σ(VPL), é calculado a partir da
variância da distribuição:
σ(A0)
σ(A1)
σ(At)
...
...
1
0
σ(An)
t
2
n
σ 2 (A t )
⎡ σ (A t ) ⎤
σ (VPL) = ∑ ⎢
=
∑
2t
t ⎥
t = 0 ⎣ (1 + i ) ⎦
t = 0 (1 + i )
n
n
2
(4)
2.1.1 Exemplo 1
Seja um investimento de valor inicial de $ 10.000.000, analisado por uma empresa
cujo custo de capital é de 5 % a. p.. Este investimento deve gerar fluxos de caixa positivos
nos três períodos posteriores. Os valores possíveis desses fluxos e suas respectivas
probabilidades de ocorrência foram estimados assim:
Período 1
Período 2
Período 3
Valor
($1000)
Probabilidade
Valor
($1000)
Probabilidade
Valor
($1000)
Probabilidade
2.000
0,05
2.000
0,10
1.000
0,20
4.000
0,20
3.000
0,25
2.000
0,20
5.000
0,50
6.000
0,40
4.000
0,30
6.000
0,15
7.000
0,20
5.000
0,20
8.000
0,10
8.000
0,05
6.000
0,10
Se os fluxos são independentes, qual a probabilidade do investimento se tornar
inviável ?
Solução:
a) Cálculo do Valor Esperado do Valor Presente Líquido E(VPL):
k
A t = ∑ Ptj A tj
j=1
A1 =
A2 =
A3 =
n
E(VPL) = ∑
t =0
At
(1 + i ) t
E(VPL) =
b) Cálculo do desvio-padrão do VPL “σ(VPL)”:
σ(A t ) =
k
∑P
tj
j= 1
σ(A1) =
(A tj − A t ) 2
σ(A2) =
σ(A3) =
2
n
σ 2 (A t )
⎡ σ (A t ) ⎤
σ (VPL) = ∑ ⎢
=
∑
t ⎥
2t
t = 0 ⎣ (1 + i ) ⎦
t = 0 (1 + i )
n
2
σ2(VPL) =
σ(VPL) =
c) Cálculo da probabilidade do investimento se tornar inviável:
Trabalha-se com a distribuição normal padronizada “z”, onde:
z =
VPL - E(VPL)
σ (VPL)
(5)
2.2 USO DA DISTRIBUIÇÃO BETA
Uma forma bastante utilizada para se chegar aos parâmetros da distribuição do
valor presente líquido, em se tratando de fluxos de caixa independentes no tempo, é o
método dos três estimadores.
Esse método, que é bastante utilizado em pesquisa operacional e pert-cpm, aplicase ao caso em que não é possível estabelecer a distribuição de probabilidades para cada
fluxo de caixa. Neste caso, é comum estabelecer 3 estimativas para cada fluxo:
• Uma estimativa mais provável - m
• Uma estimativa alta possível, embora pouco provável - b
• Uma estimativa baixa possível, embora pouco provável - a
Neste caso, os valores estimados seguem uma distribuição estatística Beta (β),
cujos parâmetros estatísticos são dados por:
µ=
b + 4m + a
6
(6)
e
⎡b − a⎤
σ =⎢
⎣ 6 ⎥⎦
2
2
(7)
Desta forma, chega-se com certa facilidade aos valores de E(VPL) e σ2(VPL).
A média e o desvio padrão do fluxo de caixa em um período t são:
At =
b t + 4m t + a t
6
(8)
e
⎡b − at ⎤
σ (A t ) = ⎢ t
⎥
⎣ 6 ⎦
2
2
(9)
Já a média e a variância da distribuição de probabilidades do valor presente líquido
da alternativa de investimento, da mesma forma que no item anterior, é dado por:
At
A1
...
An
...
1
t
n
A0
n
E(VPL) = ∑
t =0
At
(1 + i ) t
(3)
e
σ(A0)
σ(A1)
σ(At)
...
...
1
0
σ(An)
t
n
2
n
σ 2 (A t )
⎡ σ (A t ) ⎤
σ (VPL) = ∑ ⎢
=∑
t ⎥
2t
t = 0 (1 + i )
t = 0 ⎣ (1 + i ) ⎦
n
2
(4)
2.2.1 Exemplo 2
Uma empresa pretende adquirir uma máquina que custa atualmente $ 300.000. De
acordo com um estudo criterioso, chegou-se às seguintes previsões de lucro para os
próximos 3 períodos:
Lucro
Período 1
Período 2
Período 3
Máximo
250.000
220.000
150.000
Mais provável
200.000
200.000
150.000
Mínimo
150.000
120.000
90.000
Se a TMA da empresa é de 10% a. p., qual o risco de inviabilidade que a empresa
está sujeita com a compra da máquina ?
Solução:
a) Cálculo de E(VPL):
b) Cálculo de σ(VPL):
c) Cálculo do risco do investimento se tornar inviável:
3. FLUXOS DE CAIXA DEPENDENTES NO TEMPO
Neste caso, ou seja, na hipótese da correlação perfeita entre os fluxos de caixa no
tempo, nada muda em relação ao cálculo do valor esperado do valor presente líquido. Será
alterado, no entanto, o valor da variância da distribuição, que será sempre maior do que
quando se considera independência entre os fluxos de caixa.
Na prática, entretanto, esta hipótese de correlação perfeita não ocorre, mas pode ser
utilizada como uma boa base para um estudo de análise de sensibilidade onde se testa o
limite máximo da variância de um investimento.
A vaiância da distribuição do valor presente líquido é igual a:
σ 2 (VPL) =
σ 2 (A 0 )
σ 2 (A 1 )
σ 2 (A n ) 2 cov(A 0 , A 1 ) 2 cov(A 0 , A 2 )
....
+
+
+
+
+
+ ....
(1 + i ) 2*n (1 + i ) 0 (1 + i ) 1 (1 + i ) 0 (1 + i ) 2
(1 + i ) 2*0 (1 + i ) 2*1
onde:
cov (Aj,Ak) = ρjk . σ(Aj).σ(Ak)
e
ρjk = 1 , hipótese de correlação perfeita
Fazendo o desenvolvimento da expressão, chega-se a:
σ (A n ) ⎤
⎡ σ (A 0 ) σ (A 1 )
σ (VPL) = ⎢
+
+ ....+
⎥
0
1
(1 + i )
(1 + i ) n ⎦
⎣ (1 + i )
2
2
Assim, no caso de correlação perfeita, os estimadores da distribuição dos valores
presente são:
n
E(VPL) = ∑
t =0
At
(1 + i ) t
e
⎡ n σ (A t ) ⎤
σ (VPL) = ⎢∑
t ⎥
⎣ t = 0 (1 + i ) ⎦
2
2
(10)
3.1.1 Exemplo 3
Resolver o exemplo 1, considerando correlação perfeita entre os fluxos de caixa.
Solução:
a) Cálculo do Valor Esperado do Valor Presente Líquido
E(VPL) =
(igual ao do exemplo 1)
b) Cálculo do desvio-padrão do VPL:
⎡ n σ (A t ) ⎤
σ (VPL) = ⎢∑
t ⎥
⎣ t = 0 (1 + i ) ⎦
2
c) Cálculo do risco do investimento se tornar inviável:
2
4. FLUXOS DE CAIXA COM DEPENDÊNCIA
MODERADA
Nos casos anteriores o coeficiente de correlação é igual a 0 (zero) ou 1 (um), ou
seja, ocorre independência ou dependência dos fluxos. Assim os cálculos são facilitados e
não há a necessidade de estimar a correlação entre os fluxos de caixa, o que nem sempre é
possível. De qualquer forma os resultados extremos auxiliam a análise. Mas para resolver o
problema, pode-se utilizar outro método de solução: A SIMULAÇÃO.
Será apresentado aqui um modelo de simulação bastante simples e conhecido, o
Método de Monte-Carlo, bem como a aplicação desse método na análise de
investimentos, desenvolvida por David B. Hertz.
4.1 MÉTODO DE SIMULAÇÃO DE MONTE-CARLO
O mátodo se divide em quatro fases:
Fase 1:
Para cada variável que influencia o diagrama de fluxos de caixa do investimento,
estimar o seu intervalo de variação possível. Estabelecer, então, uma distribuição de
probabilidades correspondente e transformá-la em uma distribuição de probabilidades
acumulada.
Fase 2:
Selecionar, ao acaso, valores para cada variável, de acordo com as suas
probabilidades de ocorrência. Calcular o Valor Presente Líquido ou Taxa interna de
Retorno ou qualqur outra medida de de atratividade para o projeto, para cada combinação
de valores obitida. Se houver dependência entre variáveis, esse fato deve ser considerado
de forma a existir correspondência entre os valores selecionados.
Fase 3:
Efetuar esta operação repetidas vezes, até obter uma distribuição de probabilidades
do retorno do investimento.
Fase 4:
Acumular a distribuição de probabilidades do retorno, para se ter uma visãi melhor
do comportamento da curva. Em alguns casos pode ser interessante calcular a m’dia e o
desvio-padrão da distribuição, para auxiliar a comparação entre alternativas. Pode ser
preferível escolher uma alternativa de retorno inferior, porém de menor variabilidade.
4.2 EXEMPLO 4
Uma firma consultora, contratada para desenvolver um projeto de viabilidade,
estimou os seguintes valores prováveis para o empreendimento:
• Investimento necessário:
$ 70.000
• Benefícios anuais esperados
$ 14.000
• Valor residual
$ 5.000
• Vida econômica
10 anos
Sendo a taxa mínima de atratividade igual a 10 % ao ano, determinar:
a) O valor presente líquido do projeto para suas estimativas mais prováveis.
b) Analisar o projeto, considerando que os valores envolvidos podem variar de acordo com
as distribuições de probabilidades apresentadas a seguir:
Investimento
Benefícios anuais
Valor Residual
Vida Econômica
Valor
Probabili
Valor
Probabili
Valor
Probabili
Valor
Probabili
Médio ($) dade (%) Médio ($) dade (%) Médio ($) dade (%) Médio ($) dade (%)
65.000
12
12.000
5
4.000
30
9
35
70.000
35
13.000
15
5.000
40
10
45
75.000
25
14.000
50
6.000
30
11
20
80.000
15
15.000
20
85.000
13
16.000
10
Solução:
a) Considerando valores mais prováveis:
b) Simulação:
As distribuições de probabilidades acumuladas são preparadas conforme a seguir:
INVESTIMENTO
Valor Dist. acum.
65000
12
70000
47
75000
72
80000
87
85000
100
RECEITA
VALOR RESID. VIDA
Taxa
Valor Dist. acum. Valor Dist. acum. Anos Dist. acum.
12000
5 4000
30
9
35 10%
13000
20 5000
70
10
80
100
11
100
14000
70 6000
15000
90
16000
100
Para ser obtida uma combinação de valores, seleciona-se números aleatórios entre 0
e 100 para cada variável, representando probabilidades. Os números aleatórios são usados
como entradas nas distribuições cumulativas, a fim de obterem-se os valores das variáveis.
A tabela a seguir apresenta 50 de 100 VPL’s simulados, a partir dos quais foi
preparada a distribuição de freqüência cumulativa, para o Valor Presente Líquido.
A título ilustrativo, a seleção dos valores da primeira linha desta tabela foi indicada
com traços de tonalidade forte na tabela de distribuição de probabilidades acumuladas.
Para a variável investimento, por exemplo, o número aleatório de 87 corresponde a um
valor de investimento de $ 80.000, para a receita, 68 representa R$ 14.000,00 e assim por
diante. Cada linha da tabela representa um diagrama de fluxos de caixa, cujo VPL é
calculado na última coluna.
N
INVEST
aleat
Valor
RECEITA
aleat
Valor
VALOR
RESIDUAL
aleat
Valor
VIDA
aleat
Anos
V.Neg
VPL
Valor
Valor
1
73
80000
68
14000
52
5000
36
10
R$ 87.951,66
R$7.951,66
2
91
85000
40
14000
86
6000
80
11
R$ 93.033,82
R$8.033,82
3
5
65000
12
13000
23
4000
99
11
R$ 85.837,77
R$20.837,77
4
32
70000
61
14000
68
5000
98
11
R$ 92.683,32
R$22.683,32
5
91
85000
46
14000
81
6000
82
11
R$ 93.033,82
R$8.033,82
6
28
70000
57
14000
63
5000
10
9
R$ 82.746,82
R$12.746,82
7
48
75000
2
12000
7
4000
28
9
R$ 70.804,68
(R$4.195,32)
8
18
70000
94
16000
31
5000
36
10
R$ 100.240,79
R$30.240,79
9
51
75000
28
14000
69
5000
88
11
R$ 92.683,32
R$17.683,32
10
25
70000
11
13000
30
4000
96
11
R$ 85.837,77
R$15.837,77
11
58
75000
65
14000
73
6000
23
9
R$ 83.170,92
R$8.170,92
12
28
70000
91
16000
70
5000
57
10
R$ 100.240,79
R$30.240,79
13
87
85000
76
15000
54
5000
85
11
R$ 99.178,38
R$14.178,38
14
69
75000
71
15000
68
5000
60
10
R$ 94.096,22
R$19.096,22
15
56
75000
97
16000
48
5000
25
9
R$ 94.264,87
R$19.264,87
16
37
70000
79
15000
6
4000
3
9
R$ 88.081,75
R$18.081,75
17
10
65000
58
14000
80
6000
12
9
R$ 83.170,92
R$18.170,92
18
20
70000
22
14000
59
5000
72
10
R$ 87.951,66
R$17.951,66
19
92
85000
96
16000
70
5000
38
10
R$ 100.240,79
R$15.240,79
20
87
85000
9
13000
39
5000
59
10
R$ 81.807,09
(R$3.192,91)
21
75
80000
22
14000
76
6000
28
9
R$ 83.170,92
R$3.170,92
22
59
75000
24
14000
94
6000
97
11
R$ 93.033,82
R$18.033,82
23
21
70000
57
14000
48
5000
59
10
R$ 87.951,66
R$17.951,66
24
93
85000
86
15000
70
5000
5
9
R$ 88.505,85
R$3.505,85
25
24
70000
63
14000
71
6000
38
10
R$ 88.337,20
R$18.337,20
26
18
70000
18
13000
12
4000
48
10
R$ 81.421,55
R$11.421,55
27
72
75000
56
14000
56
5000
74
10
R$ 87.951,66
R$12.951,66
28
25
70000
15
13000
31
5000
38
10
R$ 81.807,09
R$11.807,09
29
47
70000
8
13000
80
6000
22
9
R$ 77.411,90
R$7.411,90
30
79
80000
25
14000
57
5000
46
10
R$ 87.951,66
R$7.951,66
31
22
70000
68
14000
44
5000
77
10
R$ 87.951,66
R$17.951,66
32
1
65000
20
13000
62
5000
75
10
R$ 81.807,09
R$16.807,09
33
81
80000
24
14000
71
6000
84
11
R$ 93.033,82
R$13.033,82
34
88
85000
60
14000
57
5000
100
11
R$ 92.683,32
R$7.683,32
35
51
75000
45
14000
7
4000
57
10
R$ 87.566,11
R$12.566,11
36
32
70000
50
14000
38
5000
56
10
R$ 87.951,66
R$17.951,66
37
45
70000
70
14000
63
5000
1
9
R$ 82.746,82
R$12.746,82
38
36
70000
48
14000
63
5000
39
10
R$ 87.951,66
R$17.951,66
39
36
70000
55
14000
40
5000
91
11
R$ 92.683,32
R$22.683,32
40
79
80000
50
14000
35
5000
70
10
R$ 87.951,66
R$7.951,66
41
70
75000
32
14000
16
4000
69
10
R$ 87.566,11
R$12.566,11
42
76
80000
53
14000
4
4000
28
9
R$ 82.322,72
R$2.322,72
43
40
70000
76
15000
22
4000
3
9
R$ 88.081,75
R$18.081,75
44
74
80000
28
14000
98
6000
41
10
R$ 88.337,20
R$8.337,20
45
91
85000
34
14000
87
6000
86
11
R$ 93.033,82
R$8.033,82
46
2
65000
32
14000
6
4000
87
11
R$ 92.332,83
R$27.332,83
47
15
70000
14
13000
15
4000
51
10
R$ 81.421,55
R$11.421,55
48
20
70000
30
14000
38
5000
9
9
R$ 82.746,82
R$12.746,82
49
13
70000
13
13000
90
6000
66
10
R$ 82.192,63
R$12.192,63
50
78
80000
2
12000
25
4000
18
9
R$ 70.804,68
(R$9.195,32)
Pode-se calcular agora a média dos VPL, ou seja, o E(VPL) -Valor Esperado dos
VPL. Calcula-se, também o risco do projeto através de seu desvio-padrão (DP(VPL)). O
Valor Esperado, para os 100 valores da amostra é de R$ 14.000, bem abaixo dos 17.952
encontrados anteriormente. O desvio-padrão, que é o risco do projeto, é de R$ 9.200.
A partir dos 100 resultados simulados gera-se as seguintes distribuição de
freqüência dos VPL’s:
De
a
Freqüência
Freqüência Acumulada
-20000
-10000
0
0
-10000
0
6
6
0
10000
32
38
10000
20000
41
79
20000
30000
15
94
30000
40000
4
98
40000
50000
2
100
Estas freqüências oferecem uma aproximação da distribuição de probabilidades
para o valor presente líquido do projeto, grafada a seguir. Tal aproximação será tanto
melhor quanto maior for o número de dados simulados.
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
-10000
0
10000
20000
30000
40000
50000
Analisando a distribuição cumulativa de probabilidades, observa-se que a chance
de falha do projeto (probabilidade de VPL < 0) é baixa, situando-se ao redor dos 6 %.
120
100
80
60
40
20
0
-20000 -10000
0
10000
20000
30000
40000
50000
60000
Entretanto, existe 63 % de probabilidade de que o valor presente líquido do projeto
seja inferior ao valor de $ 17.952, calculado com base nas estimativas mais prováveis.
Esta informação é de extrema relevância para a decisão, principalmente quando se
comparam alternativas.
5. PROBLEMAS PROPOSTOS
5.1 PROBLEMA 1
Uma empresa do setor de energia estuda um investimento em uma termelétrica a gás de
350 MW e levantou os seguintes dados:
Investimento
Produção de energia
$ 500.000,00 por MW instalado
2.800.000 MWh por ano
Preço da energia elétrica produzida
$30,00 por MWh
Custos de Operação e Manutenção
$ 4,00 por MWh
Outros Custos (Transporte de energia, etc.)
Consumo de gás
$ 1.000.000,00 por ano
500.000.000 m3 por ano
Custo do gás
$ 0,06 por m3
O horizonte de planejamento é de 20 anos, após os quais a termelétrica será vendida por
$35 milhões.
A taxa mínima de atratividade da empresa é de 15% ao ano após o imposto de renda.
Pede-se
1. Analise a viabilidade do investimento sem considerar risco
2. Qual a tarifa mínima de energia elétrica para o investimento ser viável?
3. Analise o investimento com risco considerando que as seguintes variáveis podem
tomar os valores abaixo:
Produca
Invest
Prob o
Prob Tarifa Prob Custos OM Prob Custo gas Prob
450000
10 2600000
30
25
30
3
8
0,05
5
500000
60 2800000
60
30
40
4
70
0,06
70
550000
30 3000000
10
35
30
5
22
0,07
25
Calcule o Valor esperado e o risco do VPL, a probabilidade de inviabilidade e faça o
histograma da distribuição dos VPL’s.
Calcule, também, o Valor Esperado e o Risco das TIR’s, além de sua probabilidade de
inviabilidade.
5.2 PROBLEMA 2
A empresa de eletrônica SRS desenvolve um novo tipo de placa eletrônica em SMD e
avalia a possibilidade de iniciar sua produção. A nova forma de produção, com o uso de
um robô, agiliza e reduz o custo de produção. A intenção é instalar esta nova linha de
produção em sua fábrica no Sul de Minas. Os dados são os seguintes:
•
•
•
•
Investimentos adicionais para instalar linha:
• Robô: 150.000,
• Máquina solda: 60.000,
• Computadores, Bancadas e outros: 60.000.
• Investimento em Capital de Giro: R$ 65.000,00
Produção e venda das placas: 500 placas por dia em 360 dias no ano
Preço da placa R$ 4,10
Aluguel:
R$ 60.000,00 por ano
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Mão-de-obra: R$ 100.000,00 por ano
encargos:
R$ 70.000,00 por ano
Componentes: R$ 0,60 por placa
Base: R$ 0,30 por placa
Despesas administrativas: R$ 50.000,00 por ano
Despesas de vendas: R$ 40.000,00 por ano
ICMS, IPI, PIS, Cofins: 18%
IRPJ + CSSL = 35%
Taxa de depreciação sobre os equipamentos: 10% por ano
A Empresa tem garantias de compra das placas durante os próximos 10 anos, no final dos
quais os investimentos fixos terão um valor residual de venda de R$ 80.000,00. A taxa
mínima de atratividade da empresa é de 18% ao ano.
Elaborar a Projeção da demonstração de resultados e do fluxo de caixa, calcular o Valor do
Negócio, o VPL e a TIR com os dados acima. Realizar a análise de risco por Simulação de
Monte-Carlo, considerando as seguintes probabilidades:
Produção
Prob
Preço
Prob
cv comp
Prob
450
15
3,9
25
0,8
30
500
75
4,1
60
0,6
50
550
10
4,3
15
0,5
20
5.3 PROBLEMA 3
Seja o caso de uma empresa que fará investimentos para lançar um produto para a
próxima temporada de verão: um novo modelo de ventilador doméstico.
O investimento, em ajuste de equipamentos, treinamento de pessoal, pesquisa de
mercado e projeto do produto, monta a $ 3 milhões.
O estudo de mercado previu, para os meses de novembro, dezembro, janeiro,
fevereiro e março, as seguintes quantidades de unidades vendidas.
Quantidade
(unidades)
Novembro
Dezembro
Janeiro
Fevereiro
Março
Máxima
1200
1600
2500
1800
1000
Mais provável
1000
1300
2000
1600
800
Mínima
500
1100
1700
1200
500
Estudos anteriores demonstraram que a venda de cada mês normalmente
independem das vendas dos meses anteriores. A dependência maior é das condições
climáticas. O preço de venda do produto é de $ 1.000. O custo variável unitério é de $ 200.
O custo fixo total é de $ 300 mil.
A empresa deseja conhecer o risco que correrá em não conseguir atingir sua TMA,
que é de 6% ao mês.
5.4 PROBLEMA 4
Resolver o problema anterior, supondo que as parcelas sejam dependentes entre sí,
ou seja, que os erros de previsão aconteçam de forma uniforme para todos os meses.
CAPÍTULO 7 - ÁRVORES DE DECISÃO
1. CONSIDERAÇÕES INICIAIS
A árvore de decisão é uma maneira gráfica de visualizar as consequências de decisões
atuais e futuras bem como os eventos aleatórios relacionados. Ela permite a conceptualização
e o controle de um bom número de problemas de investimentos sujeitos a riscos.
Veja a estrutura de uma árvore de decisão:
Os nós quadrados representam decisões, e os nós redondos, nós de incerteza,
representam eventos aleatórios.
Nos ramos de uma árvore de decisão devem ser anotados:
• as probabilidades após os nós de incerteza
• os valores de investimentos nos nós de decisão
• os retornos no final dos ramos
Através de um exemplo ilustra-se o uso da árvore de decisão:
Capítulo 7 - Árvores de Decisão 7. 2
2. EXEMPLO 1* :
Um vendedor ambulante está considerando a possibilidade de vender camisas
esportivas. As camisas seriam compradas por $ 10.00 e vendidas por $ 35.00. Como a
qualidade do material é baixa estima-se que haja 30% de perda para o vendedor ambulante.
Independente da quantidade adquirida, seus custos de transporte e manutenção serão
de $ 1000.00 por dia.
As camisas não vendidas terão um valor residual de $ 2.00.
A demanda diária pelas camisas depende das condições de vigilância nas ruas: se a
vigilância for ostensiva, o vendedor somente consegue vender 50 camisas, vendendo 4 vezes
mais se a vigilância das ruas for fraca. Caso a vigilância for média, o vendedor consegue
colocar 120 camisas.
As camisas só podem ser compradas em lotes pré - determinados: 80, 160, 240 ou 320
unidades. A experiência tem mostrado que há 40% de chance de que a vigilância seja fraca
contra 30% de vigilância ostensiva. Em consequência ela é média 30% das vezes.
Calcule:
a) Qual a quantidade de camisas que o vendedor ambulante deverá comprar para
maximizar o seu lucro esperado?
b) Disponha os resultados sob forma de matriz de receitas.
Solução:
a) Quantidade de camisas que maximiza o lucro esperado.
Alternativas:
A. compra de 80 camisas
B. compra de 160 camisas
C. compra de 240 camisas
*
Adaptado de: CAZAROTTO FILHO, Nelson e KOPITTKE, Bruno H. Análise de Investimentos. 5o ed.
Vértice, São Paulo, 1992.
D. compra de 320 camisas
Alternativa A:
Custo da alternativa: 80 x 10.00 + 1000.00 = 1800.00
Camisas vendáveis: 80 x 0,7 = 56
Receitas:
para vigilância ostensiva: 50 x 35.00 + 6 x 2.00 = 1762.00
para vigilância média: 56 x 35,00 = 1960.00
para vigilância fraca: 56 x 35.00 = 1960.00
Receita líquida:
Para vigilância ostensiva (o): 1762.00 - 1800.00 = -38.00
para vigilância média (m): 160.00
para vigilância fraca (f): 160.00
Calcula-se as receitas líquidas das outras alternativas de forma análoga.
A árvore de decisão apresenta-se assim:
o:0,3
-38.00
m:0,3
f:0,4
o:0,3
A
B
160.00
-726.00
m:0,3
f:0,4
o:0,3
-1414.00
m:0,3
f:0,4
o:0,3
1320.00
1320.00
C
D
160.00
896.00
2480.00
-2102.00
m:0,3
f:0,4
As receitas líquidas esperadas são as seguintes:
208.00
2848.00
E(A) = 0,3 x (-38) + 0,3 x 160 + 0,4 x 160 = 100.60
E(B) = 706.20
E(C) = 836.60
E(D) = 571.00
Desta forma, a melhor alternativa é a C, que consiste na compra de 240 camisas.
b) Matriz de decisão.
Pode-se, também, apresentar o problema sob a forma de matriz de decisão:
Vigilância
Alternativas
Ostensiva
Média
Fraca
A
-38.00
160.00
160.00
B
-726.00
1320.00
1320.00
C
-1414.00
896.00
2480.00
D
-2102.00
208.00
2848.00
P(v)
0,3
0,3
0,4
A partir destes dados pode-se, por exemplo, calcular o valor de uma informação
adicional. Vejamos o caso de uma informação perfeita:
Até quanto o vendedor ambulante poderá pagar a um hipotético policial corrupto para
que lhe informe qual o tipo de vigilância que irá ocorrer com certeza?
Deve-se verificar, neste caso, qual a melhor opção quando se sabe o que vai ocorrer:
• Caso a vigilância seja ostensiva a melhor alternativa é a A, ou seja, o prejuízo será
de $38.00.
• Caso a vigilância seja média a melhor alternativa é a B, com lucro de 1320.
• Caso a vigilância seja fraca a melhor opção é a alternativa D, com lucro de 2848.
Assim o valor esperado da receita líquida, com informação perfeita, é de:
V(p) = -38 x 0,3 + 1320 x 0,3 + 2848 x 0,4 = 1523,80
Ora, o valor esperado sem esta informação era de $836,60, correspondente à
alternativa C. Assim o vendedor deve estar disposto a pagar ao policial no máximo:
1523,80 - 836,60 = 687,20.
3. EXEMPLO 2* :
Deseja-se decidir entre várias alternativas a respeito do nível de produção de um
determinado produto levando-se em conta as incertezas do lado da demanda.
Considere que há dois tamanhos de plantas como alternativas de investimentos:
a) Uma planta de grande capacidade que exigiria investimentos da ordem de $ 40 milhões e
b) Uma planta de pequena capacidade que exigiria investimentos, bem menores, de cerca de
metade do investimento anterior. Optando-se pela planta pequena, pode-se ainda daqui a
três anos atingir a capacidade da planta grande através de um projeto de expansão cujos
investimentos valem, atualizados para a época de referência, cerca de $ 25 milhões.
Supõe-se que o mercado tem um comportamento aleatório, não se sabendo com
certeza se a demanda ao longo da vida útil do projeto será elevada, média ou pequena, nem
suas taxas de crescimento. Foram, no entanto, estimadas probabilidades a respeito da
ocorrência desses diversos tipos de comportamento.
Se a empresa optar pela planta grande e o mercado se revelar insuficiente no início da
vida do projeto, poderá ter perdas da ordem de $ 10 milhões, optando pelo fechamento da
fábrica. O grupo investidor poderá, também, esperar o crescimento da demanda. Caso espere
*
Adaptado de: NEVES, Cesar das. Análise de Investimentos: Projetos Industriais e Engenharia Econômica.
Zahar Editores, Rio de Janeiro, 1982.
o crescimento da demanda e esta se mantenha pequena, o grupo não terá condições de arcar
com os prejuízos de cerca de $ 30 milhões. Este tipo de raciocínio é estendido a todas as
situações possíveis.
A figura a seguir apresenta as probabilidades de ocorrência dos eventos aleatórios,
bem como os investimentos necessários e os lucros previstos para cada situação:
(60)
Dem. cresce (0,6)
Dem. alta (0,2)
(95)
Manter planta
Dem. média (0,5)
(-10)
Mantém (0,3)
(70)
Planta grande
(-40)
Dem. peq. (0,3)
Fechar planta (-10)
Demanda
diminui (0,1)
Fechar
(-30)
Produzir
Expandir (-25)
Dem. mantém alta (0,9)
Dem. alta (0,2)
(90)
Planta pequena
(-20)
Dem. diminui (0.1)
Não expandir
Dem. média (0,5) (55)
Não produzir
(0)
(60)
Dem. mantém alta (0,9)
Dem. peq. (0,3)
(30)
(50)
Dem. diminui (0.1)
(30)
Escolha a melhor alternativa para a empresa.
4. APLICAÇÕES:
1. As Fibras Mágicas
Você é o analista de investimentos da transmission and distribution corporation (TDC).
O grupo de desenvolvimento acaba de criar tecnologia para transmitir energia por fibras
ótico-infra-plus-red. O grupo de marketing propõe que a TDC construa alguns protótipos e
faça testes de mercado das fibras. O grupo de planejamento, incluindo representantes das
áreas de produção, marketing e engenharia, recomendou que a empresa prosseguisse com a
fase de teste e desenvolvimento. Estima-se que essa fase preliminar durará um ano e custará
$100 milhões. Além do mais, o grupo acredita que há uma probabilidade de 65% de que os
testes de produção e marketing sejam bem sucedidos.
A venda destas fibras, porém, está sujeita a:
• Incertezas quanto à demanda por energia elétrica no futuro
• Incertezas quanto ao preço futuro da transmissão de energia
• Incertezas quanto à participação da TDC no mercado de fibras
• Incertezas quanto ao aparecimento de outras formas de geração e transmissão de energia
Se os testes iniciais de mercado forem bem sucedidos, a TDC poderá investir em terrenos,
construção e equipamentos ao final do primeiro ano. Essa fase custará $1.500 milhões. A
produção se dará nos próximos cinco anos. O fluxo de caixa líquido por ano é de $900
milhões. A TMA é de 15% ao ano
Se o teste for malsucedido o fluxo de caixa líquido do investimento será de -630 milhões por
ano.
As decisões a serem tomadas são as seguintes:
1. Deve-se testar e desenvolver a fibra?
2. Deve-se investir na produção em escala?
2. Uma empresa está considerando a compra de um processo industrial. O preço solicitado
pelo processo é de 1300 u.m. Não se sabe exatamente se o processo funcionará sem
problemas quando implantado em regime normal de produção. Melhores garantias de
funcionamento podem ser obtidas se a empresa construir uma planta em pequena escala,
testando o novo processo nesse projeto piloto. O custo desse projeto piloto é estimado em
5900 u.m. Caso o processo funcione a contento, o lucro obtido será, em termos de valores
atuais, da ordem de 25000 u.m. Caso o processo tenha problemas de funcionamento, haverá
um prejuízo de 10000 u.m. Esses valores incluem os gastos de investimentos na planta, custos
operacionais, receitas geradas etc., excluindo porém os gastos referentes à compra do
processo e os gastos com o projeto piloto. As probabilidades de funcionamento, com e sem os
gastos em pesquisa no projeto piloto são:
Sem projeto piloto
Com projeto piloto
Funcionamento normal
0,50
0,70
Funcionamento com problemas
0,50
0,30
1,00
1,00
Estabeleça a árvore de decisão levando em consideração todas as alternativas
possíveis. Determine o curso de ação mais recomendável.
CAPÍTULO 8 – OPÇÕES REAIS
1. CONSIDERAÇÕES INICIAIS
Segundo Copeland, Koller e Murrin “Os métodos de precificação de opções são
superiores às abordagens DCF (Discounted Cash Flow) tradicionais porque captam
explicitamente o valor da flexibilidade. Assim, cremos que estas técnicas eventualmente
substituam os métodos tradicionais no que se refere a decisões de investimento em que haja
considerável flexibilidade no futuro”
Veja na figura 1 o fluxo de caixa (em $1.000) que pode exprimir as entradas e saídas
de caixa de um desenvolvimento de um novo produto:
3.017
Fluxos líquidos de caixa
$900
1
0
-$100
Desenvolvimento
2
6
Valor do negócio em 1 = 3.017
VPL em 1 = 1.517
-$1.500
Investimento em
Ativos para
produção
Fig. 1 – Fluxo de caixa do desenvolvimento de um “bom” produto
Se o investimento no desenvolvimento surtir em possíveis bons resultados para a empresa, os
fluxos líquidos anuais resultantes do investimento na produção do produto desenvolvido serão
de R$ 900.000 por ano. O Valor do Negócio (Valor presente dos fluxos líquidos de caixa sem
considerar os investimentos) no ano 1 (um) será de R$3.017.000 com os fluxos descontados a
15%. O VPL será de R$1.517.000,00 em 1.
Capítulo 8 – Opções Reais 8. 2
Dessa forma o investimento na produção seria considerado viável e poderia ser realizado.
Entretanto o desenvolvimento do produto pode não trazer os resultados esperados e a
produção de um produto “não interessante” poderia levar a fluxos líquidos de caixa negativos,
como na figura 2.
0
-$100
Desenvolvimento
6
1
-630
Fluxos líquidos de
caixa
Valor
do Negócio em 1 = -2.111
-$1.500
VPL em 1 = -3.611
Investimento em
Ativos para
produção
-2.111
Fig. 2 – Fluxo de caixa do desenvolvimento de “mal” produto
Supondo que os fluxos líquidos de caixa sejam de R$650.000,00 negativos por ano, o Valor
do Negócio seria Negativo (-R$2.111.000,00) e o VPL seria de - R$3.611.000,00. Ou seja,
inviável a produção.
A análise da viabilidade em 1 (um) é mais fácil de ser realizada do que avaliar o
desenvolvimento do produto em 0 (zero). Em 1 já se tem idéia do sucesso ou fracasso do
desenvolvimento e a decisão será por investir ou não na produção. Mas quando se analisa se o
produto deve ser desenvolvido ou não, não se tem idéia se o resultado das pesquisas será um
ou outro.
Se forem consideradas as duas possibilidades, de desenvolvimento bem e mal sucedido, em
uma mesma análise através do cálculo do Valor Esperado de seus VPLs, incorre-se no erro de
não considerar a flexibilidade que se tem de optar por não investir quando o desenvolvimento
não se sair bem.
Dessa forma o uso de Árvores de decisão pode ser útil ao considerar a decisão de não investir.
Veja na figura 3 a solução por Árvore de Decisão.
Desenv 1.517
Bem
Sucedido
1517x0,65 + 0x0,35 = 986
0,65
Fazer
Desen
757
Não
Fazer
Desenv.
Investir
Valor Negócio
VPL
em
1
em
1
=
=
Não
Investir
VPL = 0
Não
Investir
Desenv
Mal
Sucedido
0,35
0
Investir
Valor Negócio em 1 = VPL em 1 = -
Fim = 0
986
E(VPL) em 0 = 986 / 1,15 – 100 =
757
0
1
Fig. 3 – Árvore de Decisão
Nos cálculos da Árvore de Decisão foram consideradas as probabilidades de sucesso no
desenvolvimento em 65% e de insucesso em 35%. A TMA ainda é de 15% ao ano.
O Valor esperado do VPL em zero é de R$757.000,00 e, o investimento no desenvolvimento
do produto deveria ser realizado. Agora se o desenvolvimento não der certo o investimento na
produção não será feito e se perderá os valores gastos no desenvolvimento.
Esse é um caso típico de opção de compra e é um direito do investidor. O direito de optar tem
valor e deveria ser valorizado da forma correta.
Os métodos tradicionais de avaliação de investimentos, como o VPL ou TIR, são do tipo
“faça ou não faça” e não consideram a flexibilidade de optar por não fazer em algum
momento posterior a zero.
Mesmo quando se usa métodos mais formais como a Simulação de Monte Carlo, o resultado
incorpora as possibilidades de resultados negativos caso o investimento na produção seja
realizado, mesmo com desenvolvimento malsucedido do produto.
Veja na figura 4 a solução por simulação de monte Carlo.
DP
E(V.Negócio)
1
0
Desenvolvimento
2
=
6
Valor esperado do negócio em 1 = 1.222
E(VPL) em 1 = -278
E(VPL) em 0 = -278/1,15 – 100 = -341
Investimento em
Ativos para produção
A decisão seria por não investir no
desenvolvimento.
Mas deve-se avaliar com mais
cuidado!!!!!!
Fig. 4 – Resultado de uma Simulação de Monte Carlo
Se o desenvolvimento não der certo não se investirá em ativos para produção!!! Os resultados
negativos são abortados!!!
O Valor do Negócio é maior por se ter a possibilidade de fazer a opção de investir. Como
calcular o Valor de poder fazer a opção por investir?
Quanto vale a opção?
2. UMA PALAVRA SOBRE OPÇÕES
FINANCEIRAS
Uma opção é um contrato que dá a seu titular o direito, mas não a obrigação, de comprar
ou vender um ativo a um preço pré-fixado em certa data ou antes disso. O titular da opção
usa a opção somente se é interessante fazê-lo; em caso contrário, a opção pode ser jogada
fora.
As Opções de Compra (Call Options) dão ao titular o direto, mas não a obrigação, de comprar
um ativo. As Opções de Venda (Put options) dão ao titular o direito, mas não a obrigação, de
vender o ativo.
Alguns termos utilizados na área são mostrados a seguir:
•
Exercício da Opção
–
•
O ato de comprar ou vender o ativo-objeto por meio do contrato de opção.
Preço de Exercício
–
Preço fixado no contrato da opção, ao qual o titular pode comprar ou vender o
ativo-objeto.
•
Data de Vencimento (Expiry)
–
•
Data a partir da qual a opção não existe mais, ou expira.
Opções americanas e européias.
–
Opções Européias podem ser exercidas só na data de vencimento.
–
Opções Americanas podem ser exercidas a qualquer momento, até a data de
vencimento
•
Dentro do dinheiro (In-the-Money)
–
O preço de mercado (St - spot price) do ativo-objeto é maior que o preço de
exercício (E).
•
No dinheiro (At-the-Money)
–
•
O preço de mercado do ativo-objeto é igual ao preço de exercício..
Fora do Dinheiro (Out-of-the-Money)
–
O preço de mercado (spot price) do ativo-objeto é menor que preço de exercício.
Como calcular o valor de uma opção?
Opções de Compra
O Valor da Opção de Compra na data de vencimento depende do preço da ação-objeto (ST) na
data de vencimento. ST não é conhecido antes do vencimento. Se a Opção está dentro do
dinheiro, seu valor é ST – E. Se a Opção está fora do dinheiro, ela não tem valor, ou seja é
zero.
CaT = CeT = Max[ST - E, 0]
Eq. 1
Onde
ST é o valor da ação no vencimento (data T)
E é o preço de exercício.
CaT é o valor de opção de compra americana no vencimento
CeTé o valor da opção européia no vencimento
O valor da opção de compra na data de vencimento é apresentado na figura 5.
Valor da Opção no vencimento (C) ($)
60
Valor de uma opção de compra
(Compra de uma opção de compra)
40
20
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Preço da ação ST
Preço de Exercício (E) = $50
ST
-
100
Se Preço da Ação é $60,
O valor da opção
no vencimento é $10.
Prêmio
(E)
Fig. 5 – Valor de uma opção de compra na data de vencimento
O valor de uma opção de compra, na data de vencimento, é zero se o preço da ação é menor
que o preço de exercício. Mas, se o preço da ação for superior ao de exercício, a opção terá
valor. Antes de ver formas para se calcular o preço da opção antes da data de vencimento que,
aliás, é o que interessa, veremos o básico sobre opções de vendas
Opções de Venda
Opções de Venda dão ao titular o direito, mas não a obrigação, de vender o ativo a um preço
prefixado durante certo período.
Quando você vende o Ativo você exerce o direito de venda.
Se a Opção de Venda está Dentro do Dinheiro, o valor de mercado é menor que o preço de
exercício e a opção será exercida. Seu valor é E - ST.
Se a Opção de Venda está Fora do Dinheiro, seu valor de mercado é maior que o preço de
exercício, ela não tem valor e não será exercida.
PaT = PeT = Max[E - ST, 0]
Eq. 2
Valor de uma Opção de Venda – P - ($)
60
40
Compra de uma Opção de
20
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Preço da Ação - ST ($)
-
Preço de Exercício = $50
Se ST = $60 o valor da opção no vencimento é zero
Se ST = $40 o valor da opção no vencimento é de $10
Fig. 6 – Valor de uma opção de venda no vencimento
Uma questão de interesse maior é determinar o valor da opção antes do vencimento.
Os fatores que determinam o valor da opção de compra são os seguintes:
Valor da opção (C0)
1. Preço ação ou do ativo objeto (St)
+
2. Preço Exercício (E)
–
3. Taxa juros (r)
+
4. Volatilidade preço ação (s2)
+
5. Data de vencimento (T)
+
O valor de uma opção de compra C0 deve cair entre
max (S0 – E, 0) < C0 < S0.
E a posição correta dependerá dos fatores acima.
A figura 7 mostra o Valor de Mercado, Valor no Tempo e Valor intrínseco de uma opção de
compra americana.
O valor de uma opção de compra C0 deve cair entre max (S0 – E, 0) < C0 < S0.
Valor
ST
ST - E
CaT > Max[ST - E, 0]
Valor Mercado
Valor intrínseco
ST
E
Fora do dinheiro
Dentro do dinheiro
Fig. 7 – Valor de uma opção de compra
O Modelo Black-Scholes para avaliar opções
O Modelo Black-Scholes é expreso pela equação 3.
C0 = S × N(d1 ) − Ee − rT × N(d 2 )
Eq. 3
Onde
C0 = o valor de uma opção européia na data t = 0
r = a taxa de juros livre de risco.
N(d) = Probabilidade de uma variável aleatória, normalmente distribuída, padronizada, ser
menor ou igual a d.
d1 =
ln(S / E ) + (r +
σ T
σ2
)T
2
d 2 = d1 − σ T
O modelo Black-Scholes permite-nos avaliar opções no mundo real.
Exemplo de Opções Financeiras:
Encontre o valor de uma opção de compra Microsoft com um preço de exercício de $150. O
valor corrente da ação da Microsoft é $160. A taxa de juros disponível nos EUA é r = 5%.
O vencimento da opção é de 6 meses. A volatilidade do Ativo-objeto é de 30% por ano.
Antes de iniciarmos note que o valor intrínseco da opção é $10 — nossa resposta deve ser no
mínimo essa quantia.
Primeiro calcule d1 e d2
d1 =
d1 =
ln( S / E ) + (r + .5σ 2 )T
σ T
ln(160 / 150) + (.05 + .5(0.30) 2 ).5
= 0.5282
0.30 .5
Então,
d 2 = d1 − σ T = 0.52815 − 0.30 .5 = 0.31602
C0 = S × N(d1 ) − Ee − rT × N(d 2 )
N(d1) = N(0.52815) = 0.7013
N(d2) = N(0.31602) = 0.62401
C0 = $160 × 0.7013 − 150e −.05×.5 × 0.62401
C0 = $20.92
O valor de uma opção da microsoft com preço de exercício de $150 e Valor corrente de $160
com vencimento em 6 meses é de $20.92
3. OPÇÕES REAIS
Suponha o diagrama de fluxos de caixa da figura 8 que representa o investimento no
desenvolvimento de um produto e o subseqüente investimento em ativos como terrenos,
construções e equipamentos, além do fluxo líquido gerado pela venda dos novos produtos.
DP
E(V.Negócio) = Valor de Mercado (St)
0
-
1
6
2
Desenvolvimento
-$1.500
Investimento em
Ativos para produção
Fig. 8 – Diagrama de Fluxos de Caixa de um investimento em desenvolvimento de produto
Compare a figura 8 com a figura 9, onde está representada o investimento em uma opção de
compra.
DP
Valor de Mercado
Se o valor de mercado do ativo objeto
for menor que o preço de exercício a
opção não será exercida.
0
-
T
–
Data
de
Prêmio
-
Preço de exercício (E)
Fig. 9 – Fluxo de Caixa de uma opção de compra
A analogia é clara, pois, como em opções, o investimento em desenvolvimento é um prêmio
pago para se ter a opção ou não de investir. O investimento nos ativos é análogo ao preço de
exercício e o Valor do Negócio pode ser comparado ao valor de mercado.
Como o investimento no desenvolvimento de produtos não é uma atividade financeira, a
aplicação da teoria de opções financeiras para avaliar este investimento é chamada de teoria
de Opções Reais.
Uma das principais preocupações em opções é calcular o valor intrínseco do prêmio que deve
ser pago pela opção. No caso de opções reais é de interesse o cálculo de qual seria o valor
intrínseco de um desenvolvimento de um produto. Esse valor intrínseco pode ser calculado
pelos métodos adotados em opções financeiras, como binomial ou Black and Scholes.
Se o gasto em desenvolvimento do produto for maior que seu valor intrínseco na mesma data,
então não vale a pena realizar o investimento. Mas, se ao contrário, o gasto em
desenvolvimento for menor que o valor calculado, o VPL será positivo e haverá interesse no
investimento.
Dessa forma: “Pode-se usar os modelos para avaliação de opções financeiras para se dar o
valor de uma opção em ativos reais”
O valor da opção é o valor da Flexibilidade Gerencial que o decisor tem para:
– Investir ou não na produção de um produto gerado por pesquisa e desenvolvimento
– Investir ou adiar um investimento a espera de melhores preços ou condições
– Abandonar ou não um projeto que não está indo bem
– Mudar ou não a forma de operação de um projeto
– Prorrogar ou abreviar a vida de um ativo
EXEMPLO 1:
Suponha que os fluxos gerados por um investimento na produção, após uma simulação de
Monte Carlo, apontem o Valor esperado do Valor do Negócio de R$1.390 no período 1 e um
risco de 20%.
O investimento em ativos para produção é de R$ 1.500 em 1, gerando um Valor esperado do
VPL em 1 de - R$ 110 e na data zero de – R$ 195, já considerando o investimento no
desenvolvimento.
Verifica-se, conforme mostrado na figura 10, que o investimento é considerado inviável.
DP = 20%
do
0
Custo da pesquisa
E
E(V.Negócio)
1
=
2
Valor esperado do negócio em 1 = 1.390
E(VPL) em 1 = 1390 - 1500 = -110
6
E(VPL) em 0 = -110/1,15 - 100 = -195
Investimento em ativos
para a produção
E(VPL) = -
Inviável
?
Fig. 10 – Fluxos de caixa do exemplo 1
De outra forma pode-se trazer o Valor Esperado do Valor do Negócio para a data zero:
E(Valor do Negócio) em zero = 1390 / 1,15 = 1209
Este valor esperado pode ser comparado ao valor de mercado na data zero S0. Dessa forma S0
será considerado igual a 1209
O valor do investimento em ativos na data um seria: 1500
Esse é o preço de exercício na data um.
Considerando, então, os seguintes dados:
• Valor do ativo objeto (S) =1209
• Preço de exercício (E) = 1500
• T = 1 ano
• Variância = (0,2)2 = 0,04
• Taxa livre de risco = 10%
d1 = (ln(1209/1500) + (0,1+ 0,04/2).1) / 0,2 *1 = - 0,47962
d2 = - 0,47962 – 0,2 * 1 = -0,67962
N(d1) = 0,31575
N(d2) = 0,24837
Valor da opção = 1209 * 0,31575 – 1500*e -0,1* 1 * 0,24837
Valor da opção = $44.54 mil
O projeto é viável ou não? Qual a sua posição?
EXEMPLO 2
Investir ou adiar um investimento a espera de melhores preços ou condições
Suponha um investimento de $ 1600 mil em um novo projeto. O fluxo de caixa depende do
preço do produto e hoje é de $200 mil, mas poderá passar para $300 mil ou $100 mil no fim
do ano, com igual probabilidade para cada lado. Depois continuará para sempre nos novos
níveis.
O custo de capital é de 10% ao ano. Admita que os fluxos de caixa são gerados
imediatamente.
Solução:
Investir agora:
Fluxo esperado = 300 x 0,5 + 100 x 0,5 =
0
1
VPL = -1600 + 200 + 200 / 0,1 =
$1 600
O critério VPL adota a premissa implícita de que o investimento deve ser realizado
imediatamente ou não deve ser realizado (se o VPL fosse menor que zero)
Mas, se avaliarmos o projeto com a opção de adiar até que tenhamos maiores informações
sobre o preço:
300
100
0
1
VPL c/ flexibilidade = 0,5 * MAX [-1600/1,1 + 300 / 0,1 , 0 ]
+
-
VPL c/ flexibilidade = 0,5 * MAX [1545 , 0 ] +
0,5 * MAX [ -455 , 0] = 0,5 * 1545 + 0,5 *
VPL com flexibilidade =
Dessa forma pode-se fazer a seguinte análise:
Se investir agora: VPL = $600 mil
Investir no fim do ano: VPL = $773 mil
Valor da flexibilidade = $173 mil
Que é o valor da opção
Se o risco for maior, melhor. Veja o caso que, ao invés de fluxos de caixa de 300 ou 100
tivéssemos 400 ou zero:
400
0
0
1
VPL c/ flexibilidade = 0,5 * MAX [-1600/1,1 + 400 / 0,1 , 0 ]
+
-
VPL c/ flexibilidade = 0,5 * MAX [2545 , 0 ] +
0,5 * MAX [ -1455 , 0] = 0,5 * 2545 + 0,5 *
VPL com flexibilidade =
Que é maior por ter risco maior.
Aplicações:
1. Opção de expansão em uma usina hidroelétrica (Brasil, 2004).
Suponha uma oferta de investimento por uma agência reguladora do mercado de energia. Ela
está propondo para investidores projeto de investimento em uma usina hidrelétrica no estado
do mato Grosso do Sul. O quadro abaixo apresenta as linhas componentes dos fluxos de caixa
operacionais esperados do investimento, cuja vida útili é de 30 anos, coincidente com o prazo
de concessão.
Ano
Fluxo de Caixa (R$ mil)
0
- 9.800
1a5
2000
6 a 15
1500
16 a 30
1000
Para WACC de 18% ao ano o VPL é de –R$ 174 mil.
A volatilidade anual do empreendimento σ é de 20% e a taxa livre de risco é de 10% ao ano.
Esse projeto possui uma opção de expansão da capacidade de geração da usina em 40% da
potência inicial instalada. Essa expansão só poderá ser feita a partir do quinto ano da
concessão. O VP (no ano 5) dos fluxos de ingresso dessa expansão deverá ser de R$ 3.000
mil, para um investimento no ano 5 de R$ 2.800 mil e a volatilidade dessa expansão é a
mesma daquela apurada pela simulação. Os fluxos de caixa da etapa inicial e da etapa de
expansão são perfeitamente correlacionados.
Avalie o valor da opção de expansão e o VPL do projeto final considerando a opção de
expansão por Black & Scholes.
2. Considere uma jazida petrolífera offshore com reservas de petróleo estimadas em 50
milhões de barris, em que o valor presente do custo de desenvolvimento é de $ 12.00 por
barril e a defasagem de desenvolvimento é de dois anos. A empresa detém os direitos de
exploração sobre esta jazida pelos próximos 20 anos, e o valor marginal atual por barril de
petróleo é de $12.00 (preço por barril – custo marginal por barril). Uma vez desenvolvido, a
receita líquida de produção será de 5% do valor das reservas. A taxa livre de risco é 8% ao
ano e a variância em ln (preço do petróleo) é de 0,03.
Preço de exercício =
Tempo a decorrer até o vencimento da opção=
Variância do valor do ativo subjacente=
Taxa livre de risco=
Rendimento de dividendos = receita líquida de produção/valor da reserva =
d1=
d2=
N(d1) =
N(d2) =
Valor da opção =
CAP. 9 – DETERMINAÇÃO DA TMA PELO
WACC E CAPM
1. INTRODUÇÃO
O estudo do risco em análise de ações será útil para um entendimento mais
aprofundado da taxa de descontos a ser utilizada nas avaliações de investimento
2. CLASSIFICAÇÃO FUNDAMENTAL DO RISCO
O risco total de um investimento, medido pela dispersão dos retornos previstos, pode
ser desdobrado em dois componentes distintos:
2.1 RISCO SISTEMÁTICO
Tem origem nas flutuações a que está sujeito o sistema econômico como um todo. No
mercado de ações, portanto, o risco sistemático afeta todas as ações.
Mudanças no ambiente econômico, político e social são fontes de risco sistemático.
Essencialmente, o risco sistemático é relacionado à taxa de juros, ao poder de compra
e ao mercado.
2.2 RISCO NÃO SISTEMÁTICO
É a parcela do risco total que é característica de um empreendimento ou de um setor
de atividade. Este tipo de risco está associado às particularidades de uma empresa ou
a um grupo de empresas similares, como, por exemplo, aceitação de seus produtos
pelo mercado, greves, invenções e obsoletismo. Uma importante função é
desempenhada pela administração neste tipo de risco, pois, em grande parte, as
perdas provocadas podem ser atribuídas a erros de previsão dos executivos
responsáveis pela condução do empreendimento.
As principais fontes de risco não sistemático são o risco financeiro, o risco de
administração e os riscos do setor.
Capítulo 9 - Risco em Análise de Ações 9. 2
O risco sistemático é também chamado de risco não diversificável, enquanto que o
risco não sistemático é o risco diversificável.
O desmembramento do risco total entre risco sistemático e não sistemático será de
grande interesse prático.
3. DIVERSIFICAÇÃO DO RISCO - TEORIA DE
MARKOWITZ
Pode-se afirmar que a diversificação do risco é a estratégia fundamental para a
proteção contra a incerteza.
A análise teórica do risco foi impulsionada pelo clássico artigo de Harry Markowitz “Portfolio Selection”, escrito para The Journal of Finance, volume VII, n. 1, em março de
1952, onde o autor propõe estratégias de diversificação que podem ser consideradas como
um marco histórico na evolução da teoria financeira.
Esta teoria pode ser estendida para análise de qualquer tipo de ativos, e não só para
ativos financeiros (títulos e ações).
3.1 O PRINCÍPIO DA DOMINÂNCIA
Admite-se que, por mais informais que sejam os métodos de seleção de
investimentos, eles estão sujeitos ao Princípio da Dominância.
As hipóteses fundamentais deste princípio são:
• Os investidores procurarão minimizar o nível de risco, dentro de certa classe de
retorno esperado.
• Eles procurarão maximizar o nível de retorno esperado, dentro de determinada
classe de riscos
3.2 A DIVERSIFICAÇÃO SIMPLES (“NAIVE”)
Antes de discorrermos sobre a diversificação de Markowitz, vejamos o tipo de
diversificação que pode ser designada por “simples”. A diversificação simples é a tentativa
de colocar em prática a recomendação implícita no ditado “não ponha todos os ovos numa só
cesta”. Pode-se inferir que, quanto maior o número de cestas, menor será a chance de
quebrar todos os ovos.
Assim, aqueles que buscam uma diversificação simples esperam reduzir o nível de
risco do portfólio, repartindo ao máximo a sua aplicação entre as alternativas de
investimentos oferecidas.
Com efeito, a diversificação simples consegue a redução do risco não sistemático, e
até sua anulação. Entretanto, estudos empíricos demonstram que portfólios construídos
apenas com 10 a 15 ações são suficientes para reduzir a variabilidade total ao nível de
variabilidade média atribuível ao risco sistemático. Portanto, a busca à diversificação
máxima pode levar à diversificação supérflua, que poderá reduzir o retorno da carteira de
investimentos.
Variância do
Retorno da Carteira
Risco não
Sistemático
Risco
Sistemático
Número de
Ações
Fig. 1 - Relação entre a variância do retorno de uma carteira e o número de títulos contidos na carteira
3.3 RETORNO E RISCO DE UMA AÇÃO
O retorno esperado é dado pela seguinte fórmula:
∑
n
E (r) =
j= 1
Pj x rj
Como pode-se observar E(r) é a média ponderada dos retornos rj, tais retornos podem
ser meras opiniões (probabilidades subjetivas) ou, então, retornos de uma série histórica
suficientemente grande (probabilidades objetivas).
O risco é avaliado pela variabilidade dos retornos em torno de E(r):
∑P [r
n
2
σ =
j
j
- E(r)] 2
e
σ = σ2
j =1
Exemplo 1 (Ross, 2002):
Suponha que os analistas financeiros achem que há quatro situações futuras possíveis
e equiprováveis para a economia do país: depressão, recessão, normalidade e expansão.
Os retornos da Supertech Company devem acompanhar de perto o comportamento da
economia, mas o mesmo não acontecerá com os da Slowpoke Company. As predições de
retorno são fornecidas a seguir.
Retornos da Supertech Retornos da Slowpoke
Depressão
-20%
5%
Recessão
10
20
Normalidade
30
-12
Expansão
50
9
O retorno esperado da Supertech é de 17,5% enquanto que o da Slowpoke é de 5,5%.
O desvio Padrão da Supertech é de 25,86% e da Slowpoke de 11,50%.
O retorno esperado e o desvio padrão de uma ação também pode ser calculado
através de uma série histórica.
Exemplo 2:
Suponha duas ações, A e B, que tenham tido o seguinte comportamento nos últimos 5
anos:
A
B
Ano -5
15%
-18
Ano -4
-15
10
Ano -3
17
50
Ano -2
5
45
Último ano
30
65
O retorno esperado da ação A, baseado na média aritmética dos anos anteriores, é de
10% e, da ação B, de 30%. O desvio padrão da ação A é de 15% e da ação B de 30%.
Aplicação
Calcular o Valor esperado dos retornos, o desvio padrão e correlação das ações da Ambev e
da Cemig considerando a série histórica dos últimos 24 meses
(usar planilha eletrônica)
3.4 O MODELO DE DIVERSIFICAÇÃO DE MARKOWITZ
O retorno esperado, para o caso de um portfólio formado por dois ativos (A e B), é
:
E(rp) = wA x E(rA) + wB x E(rB)
Onde:
w é a participação de um ativo no portfólio
O risco de um portfólio é avaliado da seguinte maneira:
σ2p = w2A x σ2Α + w2B x σ2Β + 2 x wA x wB x rA,,B x σΑ x σΒ
Onde:
rA,B é o coeficiente de correlação entre A e B, e pode ser calculado da seguinte forma:
∑
n
Pt x [rA,t - E(rA )] x [rB,t - E(rB )]
rA,B =
t=1
σA x σB
Em que:
Pt é a probabilidade de ocorrência do evento t.
rA,t é o retorno para o ativo A na hipótese t.
Exemplo 3:
Suponha duas ações com as seguintes características:
Ações
E(r)
σ
A
10%
15%
B
30%
30%
Calcule o valor esperado do retorno do portfólio para várias combinações dos ativos
A e B, e o desvio padrão para as hipóteses de correlação igual a (-1), (0) e (1).
Faça um gráfico do valor esperado em função do risco para os três coeficientes de
correlação.
Solução:
Combinações
E(rp)
wA
wB
0
1,00
0,10
Desvio - Padrão
r=1
r=0
r = -1
30%
30,0%
30,0%
30,0%
0,90
28
28,5
27,0
25,5
0,20
0,80
26
27,0
24,2
21,0
0,30
0,70
24
25,5
21,5
16,5
0,40
0,60
22
24,0
19,0
12,0
0,50
0,50
20
22,5
16,8
7,5
0,60
0,40
18
21,0
15,0
3,0
0,65
0,35
17
20,2
14,3
0,7
0,70
0,30
16
19,5
13,8
1,5
0,80
0,20
14
18,0
13,4
6,0
0,90
0,10
12
16,5
13,8
10,5
1,00
0
10
15,0
15,0
15,0
E o gráfico é o seguinte:
E(rp)
30%
rA,B= -1
rA,B= 0
20%
rA,B= 1
16,7%
10%
15%
30%
σp
O gráfico representa o modelo de Markowitz, e auxilia a visualizar a principal
conclusão deste modelo:
“É possível anular o nível de risco através da formação de carteiras
diversificadas de ações, uma vez que, se duas ações tiverem correlação
perfeitamente negativa (r = - 1), haverá determinada combinação de
ambas em que o risco é nulo.”
É possível, portanto, reduzir o risco abaixo do nível sistemático, desde que o analista
possa localizar investimentos cujas taxas de retorno tenham correlação suficientemente
baixas.
A conseqüência prática da teoria de Markowitz é a determinação do efeito da
correlação entre as variabilidades de retorno dos ativos sobre a variabilidade do portfólio.
A diversificação não deve ser feita aleatoriamente (naive diversification). Não se trata
apenas de pôr os ovos no maior número de cestas que seja possível. Trata-se de considerar o
grau de correlação entre as variabilidades dos ativos ao compor o portfólio.
Pode-se concluir também que os portfólios dominam os ativos individuais, pois a
diversificação implica na redução de riscos e otimização dos retornos.
Exemplo 4:
Se o coeficiente de correlação entre as ações A e B do exemplo anterior é de 0,453,
qual o retorno e risco de um portfólio formado por 60% de A e 40% de B ?
Aplicação
Qual o retorno e o risco de uma carteira formada por 70% de ações da Ambev e 30%
de ações da Cemig (usar planilha eletrônica)
3.5 A FRONTEIRA EFICIENTE E A CML (CAPITAL MARKET
LINE)
No gráfico a seguir os pontos representam ativos individuais ou portfólios
ineficientes, e a linha curva - a Fronteira Eficiente - representa os portfólios diversificados.
Pela teoria de Markowitz, os portfólios diversificados dominarão os portfólios
construídos através da diversificação randômica.
Se aplicarmos a diversificação de Markowitz a todos os ativos do mercado, todos os
portfólios possíveis estariam representados sobre a fronteira eficiente.
E(r)
CML
M
R
σ
Em 1963, William Sharpe estendeu a teoria de Markowitz para uma conceituação
mais ampla: a inclusão de ativos “livres de risco” em portfólios diversificados.
Suponhamos um ativo livre de risco, como títulos do governo federal (?), cuja taxa de
retorno seja “R”. O portfólio formado por este ativo e um outro “j” (sujeito a risco) tem os
seguintes parâmetros:
E(rp) = wR x R + wj x E(rj)
σp = wj x σj
Pois o ativo livre de risco tem variabilidade nula e, portanto, ri,R = 0.
Ambas as equações são lineares, resultando na representação linear dos portfólios,
que são possíveis de ser montados, variando-se wR e wj.
Supondo, ainda, que seja possível tomar emprestado à taxa R, pode-se estender as
retas para além dos pontos marcados que representam ativos arriscados. Ao adotarmos esta
hipótese, estamos admitindo que wR < 0 .
Observa-se ainda que os portfólios que estão representados pela linha RM são mais
eficientes do que todas as demais alternativas, uma vez que esta linha tangencia a fronteira
eficiente no ponto M. Esta linha é denominada de CML (Capital Market Line).
A CML antes do ponto M representa portfólios formados com ativos livres de risco e
o portfólio M diversificado. O segmento à direita de M indica o portfólio alavancado
(“leveraged portfolios”), onde wR < 0 .
A reta CML passa a ser a verdadeira fronteira eficiente do mercado. Sua forma linear
indica que os portfólios por ela representados estão positiva e perfeitamente correlacionados.
O portfólio M representa o portfólio do mercado. Portanto a sua taxa de retorno pode
ser avaliada através da análise das médias do mercado.
Exemplo 5:
Qual o retorno e o risco de um portfólio formado pela composição do exemplo 4 com
um ativo livre de risco (R) com retorno igual a 6%:
a) se R é 30% do total
b) se utiliza-se a taxa de R para financiar 40% dos fundos iniciais para aplicação no portfólio
que combina A e B.
3.6 A TOMADA DE DECISÃO
O comportamento de aversão ao risco deve caracterizar a decisão de um investidor
racional. Isto nos leva às curvas de indiferença.
As curvas U1 , U2 e U3 , no gráfico a seguir, representam, cada uma, combinações
possíveis de risco e retorno que proporcionariam o mesmo nível de utilidade total ao
investidor. U3 apresenta as combinações que proporcionam utilidade maior que U2 e U1 .
U3
E(r)
U2
U1
CML
M
R
σ
Onde houver tangência entre a curva de indiferença de maior índice e a CML,
teremos a combinação ideal de risco e retorno.
Neste ponto, o portfólio escolhido apresentará apenas risco sistemático, pois se trata
de portfólio diversificado combinado com o ativo livre de risco. Trata-se de um portfólio
eficiente. Também neste ponto, o investidor encontra o mais alto grau de satisfação possível.
4. MODELO DE PRECIFICAÇÃO DE ATIVOS (CAPM)
O risco sistemático está associado à incerteza que envolve o mercado como um todo,
assim ele pode ser avaliado pela correlação que existe entre o risco de determinado ativo e o
risco do portfólio do mercado. Através de uma regressão entre os retornos de um ativo e dos
retornos do mercado, encontraríamos a seguinte equação:
ri,t = αi + βi x rm,t + et
Onde:
ri,t : retorno do ativo i no período t
αi : parâmetro linear da regressão
βi : parâmetro angular da regressão
et : erro
rm,t : retorno do portfólio do mercado no período t (taxa de variação de uma média do
mercado)
Esta reta é chamada de “linha característica” do ativo i .
A variância dos retornos é dada pela equação:
Var (ri) = Var(αi) + Var(βi x rM) + Var(e)
ou:
Var (ri) = Var(βi x rM) + Var(e)
em que o primeiro termo representa o risco sistemático e o segundo termo o risco não
sistemático.
Se considerarmos β o indicador do risco sistemático, pode-se traçar a SML (Security
Market Line) como é apresentada no gráfico a seguir:
E(r)
A
SML
E(rM)
B
R
1,0
β
A equação da SML, denominada CAPM (Capital Asset Pricing Model), pode ser
escrita da seguinte forma:
E (ri) = R + β [ E (rM) - R ]
(CAPM)
Assim:
Retorno
esperado de
um título
=
Retorno do
ativo sem
risco
+
Beta
do
título
x
Diferença entre o retorno
da carteira de mercado e
a taxa livre de risco
β pode ser calculado por:
β = Cov( ri , rM ) / (σΜ)2
Os ativos com β menor que a unidade são considerados ativos defensivos, pois a
variação em seu retorno é menor que a variação do mercado como um todo, enquanto que os
ativos com β maior que a unidade são os agressivos.
Se:
Valor teórico do ativo = (rendimento no final de um período + variação no preço)/ TIR
A decisão de comprar seria tomada quando o mercado subavaliasse esse ativo. No
gráfico, A (com β menor que a unidade) se encontra subavaliado. A médio prazo o mercado
reconhecerá esta incoerência, e a demanda por este ativo aumentará sensivelmente, fazendo
o seu preço aumentar e, com isso, reduzindo o retorno esperado até a SML. Pode-se analisar
B por analogia.
Aplicação
Calcular o Beta das ações da Ambev e Cemig em relação ao Ibovespa, utilizando a
fórmula de beta e utilizando a inclinação da linha característica.
Calcular o valor esperado do retorno das ações da Ambev e da Cemig, considerando
que o investimento livre de risco no Brasil é de 8% ao ano e o prêmio pelo risco de mercado
é de 5%.
5. A TAXA DE DESCONTOS PARA AVALIAÇÕES
ECONÔMICAS (WACC)
Um dos modelos mais utilizados para determinação da taxa de desconto é o WACC
(Weighted Average Cost of Capital) ou Custo Médio Ponderado de Capital. O WACC é
mensurado através de uma ponderação entre custo de capital próprio e custo das dívidas em
função do nível de endividamento da empresa, como na equação abaixo.
WACC =
Onde:
E
D
* RE +
* R D (1 − τ )
E+D
E+D
E: Valor do capital próprio;
D: Valor da Dívida;
RE: Custo de Capital Próprio;
RD: Custo das Dívidas (taxa de juros antes do imposto de renda)
τ : alíquota do IRPJ / CSL
Atualmente, um dos modelos mais utilizados para cálculo do custo de capital próprio é o
CAPM, já apresentado nesse trabalho. A equação do CAPM apresentada anteriormente
apresenta o cálculo da taxa de retorno exigida de um ativo qualquer (Ri) em função de três
variáveis, o índice beta (β) a taxa de retorno do ativo livre de risco (Rf) e o prêmio por risco
de mercado (Rm – Rf). Pode-se dizer que o custo de capital próprio de uma empresa deve
refletir a taxa de retorno exigida para esse investimento, dessa forma pode-se elaborar a
equação a seguir que substitui o custo de capital próprio (RE) pela equação do modelo
CAPM.
WACC =
E
* (R f + β * (R m − R f
E+D
)) +
D
* R D * (1 − τ )
E+D
Aplicação
Qual o Custo Médio Ponderado de Capital da Ambev e da Cemig se as estruturas de capital
das duas empresas são:
Ambev: 50% de endividamento
Cemig: 40% de endividamento
O custo de capital de terceiros é de 14% ao ano e a alíquota de imposto de renda é de 34%
5.1 EXEMPLO 1 :
São apresentadas a seguir as taxas de retorno da ação A e do índice de mercado nos
anos de 1 a 12:
Anos
Índice
Bovespa (x)
Ação A (y)
1
5,0%
7,0%
2
2,5
3,75
3
1,0
1,8
4
0,5
1,15
5
3,0
4,5
6
-2,5
-2,75
7
-2,1
-2,2
8
-3,2
-3,7
9
2,1
3,1
10
4,1
5,9
11
-3,0
-3,5
12
-1,5
-1,4
Calcular α, β e r da ação e analisar os resultados.
Calcular o retorno esperado da ação A se o Rf é 7% e (Rm – Rf) é 6%.
5.2 EXEMPLO 3:
Veja alguns exemplos retirados do anuário do Bovespa:
α
β
r
Villares
1,08
0,94
0,57
Brahma
0,98
0,95
0,67
BB
0,59
1,07
0,67
Petrobrás
-1,94
1,19
0,85
Souza Cruz
1,82
0,72
0,68
Ações
5.3 APLICAÇÕES:
1.
Calcule os coeficientes de correlação dos retornos das três ações no período
considerado:
Ano
Ação A
Ação B
Ação C
1
10%
6%
-5%
2
-5
10
15
3
-7
12
20
4
15
8
25
5
20
14
30
6
-30
7
-35
7
12
8
20
2. Calcule os desvios - padrão das ações, considerando o período de amostra.
3. Qual o retorno esperado de um portfólio feito com 20% de A, 40% de B e 40% de C.
Considere os retornos anuais dos sete anos.
4. Determine o desvio - padrão de um portfólio feito de 20% do ativo A, 40% do B e 40% do
C.
5. Qual o retorno esperado para um portfólio que tem 50% investido em A e 50% em B ?
Use todos os sete anos dos dados históricos.
6. Determine o desvio - padrão do portfólio igualmente ponderado de dois ativos sugerido
no problema 5.
7. Determine a covariância dos retornos das ações A e B na amostra de 7 anos. (As
informações dos problemas 1 e 2 podem ser úteis)
8. Se a correlação entre D e G é 0,1, determine o desvio padrão mínimo para o portfólio
formado por D e G. Qual o retorno esperado deste portfólio ? Dica: A seguinte fórmula
determina a proporção de D para o desvio padrão mínimo de um portfólio:
wD =
σ G2 - rD,G σ D σ G
σ D2 + σ G2 - 2rD,G σ D σ G
Ação
E(r)
Desv. Padrão
D
10%
15%
G
18%
30%
9. Usando as informações do problema 8, qual o retorno e o risco do investidor se ele (a)
investir apenas em um ativo livre de risco com R = 8%, (b) investir metade dos fundos no
ativo livre de risco e a outra metade no portfólio de mercado m, e (c) emprestar 50% de seus
fundos iniciais para uma inversão adicional e investir todos os fundos no portfólio de
mercado.
10. Qual a alocação ótima de ativos entre ações ordinárias, títulos de longo prazo do tesouro
e obrigações do tesouro nacional ? use as estatísticas abaixo:
A. Valor esperado do retorno:
Ações ordinárias: 12%
Títulos do tesouro: 4,6%
Obrigações do tesouro : 3,5%
B. Matriz de variância e covariância
Ações
Ações Ordinárias
Títulos
Obrigações
σ = 21,1%
cov(a,t) = 19,7%
cov(a,t) = -5,02%
σ = 8,5%
cov(t,o) = 6,07%
Títulos
σ = 3,4%
Obrigações
C. Matriz de correlação:
Ações
Ações
Títulos
Obrigações
1,0
0,11
-0,07
1,0
0,21
Títulos
1,0
Obrigações
11. Calcule o coeficiente beta para a IBM dos 12 trimestres abaixo:
Trimestre
Retorno trimestral IBM
S & P 500 return
1
6,61%
10,02%
2
19,12
11,10
3
6,3
-0,1
4
-3,09
0,4
5
-5,78
-2,4
6
-6,4
-2,61
7
18,53
9,68
8
-0,02
1,76
9
4,04
9,18
10
-1,69
7,34
11
0,99
-4,10
12
26,42
17,19
12. Calcule a variância dos retornos da IBM, os componentes de risco sistemático e não
sistemático, o coeficiente de determinação da IBM com o S & P 500. Qual a relação entre
o risco sistemático da IBM e seu coeficiente de determinação ? mostre a relação
matematicamente. Dica: particione a variância.
13. Uma ação tem beta igual a 0,9. Um analista especializado nesta ação espera que seu
retorno seja de 13%. Suponha que a taxa livre de risco seja igual a 8% e que o prêmio de
mercado por unidade de risco seja de 6%. Qual sua opinião: o analista é otimista ou
pessimista em relação a esta ação, comparativamente às expectativas do resto do
mercado?
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
1. BEKMAN, O. R. e COSTA NETO, Pedro L. Análise Estatística da Decisão. São Paulo, Edgard Blucher,
1980.
2. BRASIL, Haroldo G. Avaliação Moderna de Investimentos. Rio de Janeiro: Qualitymark, 2004.
3. CASAROTTO FILHO, Nelson e KOPITTKE, Bruno H. Análise de Investimentos. 9o ed. Atlas, São Paulo,
2000.
4. COPELAND, KOLLER e MURRIN. Valuation. Makron Books, 2002
5. DAMODARAM, A. Avaliação de Investimentos. Qualitymark, 1997
6. DIXIT e PINDYCK. Investment Under Uncertainty. Princeton University Press, 1994
7. EHRLICH, Pierre J. Engenharia Econômica. Editora Atlas, São Paulo, 1983
8. GRANT, Eugene L. et Alli. Principles of Engineering Economy. New York: Wiley, 1990.
9. HERTZ, David B. Risk Analysis in Capital Investment. Harvard Business Review, Jan. 1964.
10. HILLIER, F. S. et alli, Introduction to Operations Research. San Francisco, Holden Day, 1967.
11. HIRSCHFELD, Henrique. Engenharia Econômica e Análise de Custos. São Paulo, Atlas, 2001.
12. MONTEVECHI, J. A. B. Contribuição para Identificação de Similaridades entre Peças - Abordagem
Baseada na Lógica Fuzzy em Sistemas de Apoio Computadorizados. Tese de Doutorado. USP, SP, 1995.
13. NEVES, Cesar das. Análise de Investimentos: Projetos Industriais e Engenharia Econômica. Rio de
Janeiro, Zahar, 1982.
14. OLIVEIRA, J. A. N. Engenharia Econômica: Uma Abordagem às Decisões de Investimentos. São Paulo,
Mc Grow-Hill, 1982.
15. PAMPLONA, E. O. Abordagem da Inflação na Análise Econômico-Financeira de Investimentos.
Dissertação de Mestrado, UFSC, 1984.
16. PAMPLONA, E. O. Contribuição para o Sistema de Custos ABC Através da Avaliação dos
Direcionadores de Custos. Tese de Doutorado. FGV / SP. 1997.
17. ROSS, Stephen, WESTERFIELD, Randolph e JAFFE, Jeffrey. Administração Financeira: Corporate
Finance. São Paulo: Atlas, 2002.
18. SANTOS, Elieber M. e PAMPLONA, Edson de O. Teoria das Opções Reais: uma atraente opção no
processo de análise de investimentos. Revista de Administração da USP - RAUSP. ISSN 0080-2107. V.
40, n. 3, julho/setembro de 2005
19. WISTON, Wayne L. Introduction to Mathematical Programming: Applications and Algoritms. Duxbury
Press. 1995.
20. WOILER, S et Alli. Projetos. São Paulo, Atlas, 1983.
APÊNDICE A
ÁREAS SOB A CURVA NORMAL
APÊNDICE B
NÚMEROS ALEATÓRIOS
APÊNDICE C
FATORES DE JUROS COMPOSTOS
PARA RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA

Apostila Completa - Instituto de Engenharia de Produção e Gestão

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