Exercícios de Matemática Polinômios

Exercícios de Matemática
Polinômios
1) (ITA-1977) Se P(x) é um polinômio do 5º grau que
satisfaz as condições 1 = P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) e
P(6) = 0, então temos:
a) P(0) = 4
b) P(0) = 3
c) P(0) = 9
d) P(0) = 2
e) N.D.A.
2) (UFC-2002) Seja P(x) um polinômio de grau n  1, com
coeficientes reais. Sabendo que P(3 + i ) = 2 - 4i, onde i2 = 1, calcule P(3 - i ).
3) (ITA-2005) No desenvolvimento de (ax2 - 2bx + c + 1)5
obtém-se um polinômio p(x) cujos coeficientes somam 32.
Se 0 e - 1 são raízes de p(x), então a soma a + b + c é igual
a
1
a) 2
1
b) 4
1
c)
2
d) 1
3
e)
2
4) (Unicamp-1994) Determine o quociente e o resto da
divisão de x100 + x + 1 por x2 - 1.
5) (UNICAMP-2009) Seja f(x) = anxn + an-1xn-1 + ...+ a1x + a0
um polinômio de grau n tal que an ≠ 0 e aj  IR para
qualquer j entre 0 e n. Seja g(x) = nanxn-1 + (n - 1)an-1xn-2
+...+ 2a2x + a1 o polinômio de grau n - 1 em que os
coeficientes a1,a2,...,an são os mesmos empregados na
definição de f(x).
h

x  
2=
a) Supondo que n = 2, mostre que g 
f ( x  h)  f ( x )
h
,para todo x, h  IR, h ≠ 0.
b) Supondo que n = 3 e que a3 = 1, determine a expressão
do polinômio f(x), sabendo que f(1) = g(1) = f(-1) = 0.
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6) (UFSCar-2009) Em relação a P(x), um polinômio de
terceiro grau, sabe-se que P(-1) = 2, P(0) = 1, P(1) = 2 e
P(2) = 7.
a) Determine a equação reduzida da reta que passa pelo
ponto em que o gráfico da função polinomial P(x) cruza o
eixo y, sabendo que essa reta tem coeficiente angular
numericamente igual à soma dos coeficientes de P(x).
b) Determine P(x).
7) (Fuvest-1991) Considere um polinômio não nulo p(x) tal
que (p(x))3 = x2.p(x) = x.p(x2) para todo x real.
a) qual é o grau de p(x)?
b) Determine p(x).
8) (Fuvest-1993) Sabendo-se que p(x) é um polinômio, a é
a.cosx
2
uma constante real e p(x) = x3 - 3x2 + 2x + 2  x é um
identidade em x, determine:
a) O valor da constante a. Justifique
b) as raízes da equação p(x) = 0.
9) (Fuvest-1985) Um polinômio P(x) = x3 + ax2 + bx + c
satisfaz as seguintes condições: P(1) = 0; P(-x) + P(x) = 0,
qualquer que seja x real. Qual o valor de P(2) ?
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
10) (Fuvest-1985) Dado o polinômio complexo p(z) = z2 +
(1+i)2 expresse, na forma a + bi, com a e b reais:
 2 
p

1 i 
a) 
b) as raízes do polinômio
11) (Fuvest-1981) O polinômio P é tal que P(x) + x.P(2-x) =
x2 + 3 para todo x real.
a) Determine P(0), P(1) e P(2).
b) Demonstre que o grau de P é 1.
12) (Unifesp-2003) A divisão de um polinômio p(x) por um
polinômio k(x) tem q(x) = x3 + 3x2 + 5 como quociente e
r(x) = x2 + x + 7 como resto. Sabendo-se que o resto da
divisão de k(x) por x é 2, o resto da divisão de p(x) por x é
a) 10.
b) 12.
c) 17.
d) 25.
e) 70.
13) (UFC-2003) O coeficiente de x3 no polinômio p(x) = (x 1)·(x + 3)5 é:
a) 30
b) 50
c) 100
d) 120
e) 180
18) (Fuvest-1998) P(x) é um polinômio de grau  2 e tal que
P(1) = 2 e P(2) = 1. Sejam D(x) = (x 2) (x 1) e Q(x) o
quociente da divisão de P(x) por D(x).
14) (Vunesp-1999) Considere o polinômio
p(x) = x3 - mx2 + m2x - m3, em que mR. Sabendo-se que
2i é raiz de p (x), determine:
a) Determine o resto da divisão de P(x) por D(x).
b) Sabendo que o termo independente de P(x) é igual a 8,
determine o termo independente de Q(x).
a) os valores que m pode assumir;
b) dentre os valores de m encontrados em (a), o valor de m
tal que o resto da divisão de p(x) por (x  1) seja 5.
15) (UNIUBE-2001) O resto r(x) da divisão de p(x) = x 2001
por q(x) = x2-1 é igual a
a) x3
b) x
c) -x -1
d) x1999 -1
16) (IBMEC-2001) Seja P(x) um polinômio de coeficientes
reais com P(1 – i) = 2 + 3i. Logo, P(1 + i) é igual a:
a) 1 – i
b) 1 + i
c) 2 + 3i
d) 2 – 3i
e) 13
17) (Fuvest-2002) Dado o polinômio p(x) = x2.(x – 1) (x2 4), o gráfico da função y = p(x – 2) é melhor representado
por:
19) (ITA-2002) A divisão de um polinômio f(x) por (x - 1)(x
- 2) tem resto x + 1. Se os restos das divisões de f(x) por x 1 e x - 2 são, respectivamente, os números a e b, então a2 +
b2 vale:
a) 13
b) 5
c) 2
d)1
e) 0
20) (Fuvest-1996) Seja p(x) um polinômio divisível por
x3. Dividindo p(x) por x1 obtemos quociente q(x) e resto
r=10. O resto da divisão de q(x) por x3 é:
a) 5
b) 3
c) 0
d) 3
e) 5
21) (FUVEST-2009) O polinômio p(x) = x3 + ax2 + bx, em
que a e b são números reais, tem restos 2 e 4 quando
dividido por x – 2 e x - 1, respectivamente.
Assim, o valor de a é
a) - 6
b) - 7
c) - 8
d) - 9
e) - 10
22) (UNIFESP-2007) Se
x
a
b
=
+
é
x  3x  2 x  1 x  2
2
verdadeira para todo x real, x  1, x  2, então o valor de
a.b é
a) – 4.
b) – 3.
c) – 2.
d) 2.
e) 6.
23) (VUNESP-2008) Seja x um número real positivo. O
volume de um paralelepípedo reto-retângulo é dado, em
função de x, pelo polinômio x3 + 7x2 + 14x + 8. Se uma
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aresta do paralelepípedo mede x+1, a área da face
perpendicular a essa aresta pode ser expressa por:
a) x2 – 6x + 8.
b) x2 + 14x + 8.
c) x2 + 7x + 8.
d) x2 – 7x + 8.
e) x2 + 6x + 8.
24) (UFC-2007) Os números reais a, b, c e d são tais que,
para todo x real, tem-se
ax3 + bx2 + cx + d = (x2 + x – 2)(x – 4) – (x + 1)(x2 – 5x +
3).
Desse modo, o valor de b + d é:
a) –2
b) 0
c) 4
d) 6
e) 10
b)
c)
d)
e)
f)
FVF
FFV
VVF
VFV
FVV
28) (Vunesp-2006) Considere o polinômio p(x) = x3 + bx2 +
cx + d, onde b, c e d são constantes reais. A derivada de
p(x) é, por definição, o polinômio p’(x) = 3x2 + 2bx + c. Se
p’(1) = 0, p’(-1) = 4 e o resto da divisão de p(x) por x - 1 é
2, então o polinômio p(x) é:
a) x3 - x2 + x + 1.
b) x3 - x2 - x + 3.
c) x3 - x2 - x - 3.
d) x3 - x2 - 2x + 4.
e) x3 - x2 - x + 2.
25) (Vunesp-2006) Se a, b, c são números reais tais que ax2
+ b(x + 1)2 + c(x + 2)2 = (x + 3)2 para todo x real, então o
valor de a - b + c é
a) -5.
b) -1.
c) 1.
d) 3.
e) 7.
29) (UFV-2005) Éder e Vando, alunos de 7ª série, brincam
de modificar polinômios com uma Regra de Três Passos
(R3P). No 1º passo, apagam o termo independente; no 2ª
passo, multiplicam cada monômio pelo seu grau; e, no 3º
passo, subtraem 1 no grau de cada monômio. Pela aplicação
da R3P ao polinômio p(x ) = (2x +1)(x -3 ) obtém-se o
polinômio:
a) 4x -5
b) 2x + 3
c) 4x + 5
d) 4x + 3
e) 2x - 5
26) (Mack-2006)
Considerando o resto r(x) e o quociente Q(x) da divisão
acima, se r(4) = 0, Q(1) vale
ax4 + 5x2 -ax+4
x2-4
r(x)
Q(x)
30) (Mack-2004) Considere o polinômio P(x), do segundo
grau, tal que P(x) - P(x + 1) = x, qualquer que seja x real.
Sabendo que P(0) = 0, assinale, dentre as alternativas, o
melhor esboço gráfico de y = P(x).
a)
a) 1
b) -3
c) -5
d) -4
e) 2
b)
27) (UFPB-2006) Considerando as proposições sobre
polinômios, assinale com V a(s) verdadeira(s) e com F, a(s)
falsa(s).
c)
( )Sejam f (x) e g (x) polinômios não-nulos tais que
f ( 2) = g (2) = 0. Se r ( x) é o resto da divisão de f ( x) por
g ( x), então r ( 2) = 0.
f ( x )  x 3  3x  2
( )O polinômio
tem uma raiz inteira.
( )Se f (x) e g (x) são polinômios de grau 3, então o grau do
produto f ( x) g ( x) é 9.
A seqüência correta é:
a)
VFF
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d)
e)
36) (UFPA-1998) Considere o polinômio P(x) = x3 + 2x2 +
mx + n, com m, n  R. Sabendo-se que P(x) + 2 é divisível
por x + 2 e P(x)2 é divisível por x2, determine os
valores de m e n.
37) (Vunesp-1995) Se m é raiz do polinômio real p(x) = x6
 (m+1)x5 + 32, determine o resto da divisão de p(x) por
x1.
31) (Fuvest-1992) Sejam R1 e R2 os restos das divisões de
um polinômio P(x) por x-1 e por x+1, respectivamente.
Nessas condições, se R(x) é o resto da divisão de P(x) por
x2-1 então R(0) é igual a:
a) R1 - R2
R1  R 2
b) R 1R 2
c) R1 + R2
d) R1.R2
R1  R 2
2
e)
32) (Fuvest-1984) Dividindo-se um polinômio p(x) por (x1)2, obtém-se um resto que, dividido por (x-1), dá resto 3.
Ache p(1).
33) (Fuvest-1981) O grau dos polinômios f, g e h é 3. O
número natural n pode ser o grau do polinômio não nulo
f(g+h) se e somente se:
a) n = 6
b) n = 9
c) 0  n  6
d) 3  n  9
e) 3  n  6
34) (Mack-2005) Um polinômio p(x) tem resto A, quando
dividido por (x - A), e resto B, quando dividido por (x - B),
sendo A e B números reais. Se o polinômio p(x) é divisível
por (x - A).(x - B), então:
a) A = B = 0
b) A = B = 1
c) A = 1 e B = -1
d) A = 0 e B = 1
e) A = 1 e B = 0
35) (PUCCamp-1998) Se os graus dos polinômios f, g, h
são, respectivamente, 4, 3 e 2, então o grau do polinômio:
a) g2 é 9
b) f.g é 7
c) f + h é 6
d) g  h é 1
e) 3. f é 12
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38) (Unitau-1995) Sabe-se que 1, 2 e 3 são raízes de um
polinômio do terceiro grau P(x) e que P(0) = 1. logo, P(10)
vale:
a) 48.
b) 24.
c) -84.
d) 104.
e) 34.
39) (UEL-1996) O polinômio p tem grau 4n+2 e o polinômio
q tem grau 3n1, sendo n inteiro e positivo. O grau do
polinômio p.q é sempre:
a) igual ao máximo divisor comum entre 4n+2 e 3n1.
b) igual a 7n+1.
c) inferior a 7n+1.
d) igual a 12n2+2n+2.
e) inferior a 12n2+2n+2.
40) (Mack-1997) O polinômio P(x) = 3x3+ax2+bx+c é
divisível por x23x+2 e por x22x+1. Então a soma dos
números reais a, b e c é:
a) 2
b) -2
c) 3
d) -3
e) zero
41) (Mack-1997) O resto da divisão de um polinômio de
P(x) por (x k) é R. Se o resto da divisão de P(x) + R/3 por
(x k) é 24, então R vale:
a) 14
b) 16
c) 18
d) 20
e) 22
42) (Mack-1996) O resto da divisão de um polinômio P(x)
por 2x1 é 4; deste modo, o resto da divisão de (x2x).P(x)
por 2x1 é:
a) -2
1
b) 2
1
2
d) 2
e) 4
c)
P(x)
x-2
4
Q(x)
Q(x)
x-6
1
Q1(x)
43) (ITA-1995) A divisão de um polinômio P(x) por x2-x
resulta no quociente 6x2+5x+3 e resto 7x. O resto da
divisão de P(x) por 2x+1 é igual a:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
a) 2 x + 2
b) 2 x + 1
c) x + 2
d) 3 x - 2
e) x + 1
44) (FGV-1995) Sabe-se que o polinômio f = x4-x3-3x2+x+2
é divisível por x2-1. Um outro divisor de f é o polinômio:
a) x2 - 4
b) x2 + 1
c) (x + 1)2
d) (x - 2)3
e) (x - 1)2
45) (FEI-1996) A soma de dois polinômios P(x) + Q(x) é um
polinômio de grau 6, e a diferença P(x)-Q(x) é um
polinômio de grau 4. É válido afirmar-se que:
a) a diferença Q(x) - P(x) tem grau 6.
b) P(x) e Q(x) têm o mesmo grau.
c) P(x) tem grau 5.
d) Q(x) tem grau 4.
e) P(x) tem grau 4.
46) (FEI-1994) Se na divisão do polinômio P(x) = x3 + 5x 4 pelo polinômio Q(x) obtém-se um quociente x e um resto
R(x) que é divisível por x-1, então R(x) vale:
a) (x -1)
b) 2(x -1)
c) 3(x -1)
d) 4(x -1)
e) 5(x -1)
2x  5

a
b

2x  1 2x  1
47) (UFC-2004) Se a expressão 4x  1
,onde a e b são constantes, é verdadeira para todo número
1
real x   2 , então o valor de a+b é:
a) -2
b) -1
c) 1
d) 2
e) 3
2
48) (Mack-1998) Considerando as divisões de polinômios
dados, podemos afirmar que o resto da divisão de P(x) por
x2 - 8 x + 12 é:
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49) (UEL-1994) O polinômio x3  x2  14x + 24 é divisível
por
a) x1 e x+3
b) x2 e x+5
c) x2 e x+4
d) x3 e x+2
e) x+5 e x3
50) (Fatec-1995) Os restos da divisão de um polinômio p
por (x1) e por (x+2) são respectivamente, 1 e 23. O resto
da divisão de p por (x1)(x+2) é:
a) -23
b) -22x
c) x-2
d) 3x+1
e) 8x-7
51) (Cesgranrio-1994) O resto da divisão do polinômio
P(x)=(x2+1)2 pelo polinômio D(x)=(x-1)2 é igual a:
a) 2
b) 4
c) 2x-1
d) 4x-2
e) 8x-4
52) (FGV-2004) a) Na figura a seguir, ABCD é um
retângulo e AMCN é um losango.
Determine a medida do segmento NB, sabendo que AB =
2AD = 20cm.
b) Considere dois polinômios, f(x) e g(x), tais que o grau de
f(x) é n + 2 e o grau de g(x) é n - 1. Sejam q(x) e r(x) (r(x)
0), respectivamente, o quociente e o resto da divisão de f(x)
por g(x). O que se pode afirmar a respeito dos graus dos
polinômios q(x) e r(x)?
b) 1
c) 2
a
a
3
2
2
53) (Fatec-2002) O polinômio p = x + x - 7x - 2 , a 
R, é divisível por (x - 2).
Se o polinômio q = 2ax3 + 3ax2 + bx + 1 é um cubo
perfeito, então o valor de b é
e)
26
60) (FGV-2002) Se o polinômio P(x) = x3 - kx2 + 6x - 1 for
divisível por (x - 1), ele também será divisível por:
a) x2 - 5x + 1
b) x2 - 5x + 3
c) x2 + 5x + 1
d) x2 + 5x + 3
e) x2 - 5x + 5
54) (PUC-PR-2003) Dado o polinômio x4 + x3 - mx2 - nx +
2, determinar m e n para que o mesmo seja divisível por x 2
- x - 2. A soma m + n é igual a:
a) 6
b) 7
c) 10
d) 9
e) 8
61) (UFC-2002) O polinômio P(x) = 2x3 - x2 + ax + b, em
que a e b são números reais, possui o número complexo i
como uma de suas raízes. Então o produto ab é igual a:
a) -2
b) -1
c) 0
d) 1
e) 2
55) (CPCAR-2002) O resto da divisão do polinômio
p(x)  x 4  2x 3  2x 2  x  1 por x + 1 é um número
62) (Fatec-1996) Se f é uma função de IR em IR definida
x 3
f(x)  f(1)
2
x  1 , para x1, é
por f(x)= x  3 , então a expressão
equivalente a:
x3
2
2(x
 3)
a)
a) ímpar menor que 5
b) par menor que 6
c) primo maior que 5
d) primo menor que 7
110
56) (UEL-2002) Qual é o resto da divisão de p(x)  x  x
x 3
2
b) 2(x  3)
x 1
2
c) 2(x  3)
2
pelo polinômio q(x)  x  x ?
a) - 2x
b) - 2
c) x
d) - x
e) 0
57) (Vunesp-2000) Ao dividirmos um polinômio p(x) por (x
- c), obtemos quociente q(x) = 3x3 - 2x2 + x - 1 e resto p(c)
= 3. Sabendo-se que p(1) = 2, determine
x 1
2
d) 2(x  3)
1
e) x
63) (Vunesp-2002) Considere a função polinomial de 3º
grau, p(x) = x3 – 3x + 1.
a) o valor de c;
b) o polinômio p(x).
5
4
3
58) (Mack-2002) Se o polinômio p(x) = x + 4ax + 3x + a
a)
2
59) (PUC-RJ-2002) Dado que as raízes do polinômio p(x) =
x3 + ax2 + bx + c são 0,1 e -1, calcule p(2).
a) 6
b) 4
c) 3
d) 2
e) 1
, a  IR , é divisível por x - a , então
d)
3
a 2  1 é:
10
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a) Calcule p(–2), p(0), p(1), p(2) e esboce o gráfico.
b) Com base no item (a), responda, justificando sua
resposta, quantas raízes reais e quantas raízes complexas
(não reais) tem p(x).
64) (UFPR-1999) Considerando que os polinômios desta
questão têm coeficientes reais, é correto afirmar:
(01)
Se o resto da divisão de um polinômio p(x) por
x1 é 5 e por x+1 é 3, então 3p(1) = 5p(1).
(02)
Se p(x) e q(x) são polinômios de grau n, então o
polinômio p(x) + q(x) sempre tem grau n.
(04)
Se p(x) = (x2)5, então a soma das raízes da
equação p(x) = 0 é igual a 10.
(08)
Se os números complexos 1+i e 2+i são raízes da
equação polinomial p(x) = 0, então é possível que o grau da
equação seja igual a 2.
(16)
Se a equação polinomial p(x) = 0 não tem raízes
reais, então o gráfico de p(x), em um sistema de
coordenadas cartesianas ortogonais, não intercepta o eixo
das abscissas.
Marque como resposta a soma dos itens corretos.
65) (Fuvest-1999) Dividindo-se o polinômio p(x) por 2x2 
3x + 1, obtêm-se quociente 3x2 + 1 e resto x + 2. Nessas
condições, o resto da divisão de p(x) por x 1 é:
a) 2
b) 1
c) 0
d) -1
e) -2
66) (Fuvest-1999) O gráfico:
Pode representar a função f(x)=
a) x (x – 1)
b) x2 (x2 – 1)
c) x3 (x – 1)
d) x (x2 – 1)
e) x2(x – 1)
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h

x  
2  +a
=2a2 
1
h


x  
2
= g
Gabarito
1) Alternativa: D
Note que, se todos os restos das divisões por (x-1), (x-2),
(x-3), (x-4) e (x-5) são 1, então P(x) -1 é divisível por (x1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5).
Assim, P(x) - 1 = a(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5). Como P(6) =
1
120
0, temos -1 = a.5.4.3.2.1, ou seja, temos a = .
1
Daí, P(x) = - 120 (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) + 1 e portanto,
fazendo x = 0, temos P(0) = 2.
2) P(3-i) = 2+4i
Resolução: Seja P(x) = anxn + a-n-1xn-1 + ... + a1x + ao, an  0.
Temos:
P(3  i)  a n (3  i) n  a n 1 (3  i) n 1  ...  a1 (3  i)  a o
 a n (3  i) n  a n 1 (3  i) n 1  ...  a1 (3  i)  a o
n
 a n (3  i)  a n 1 (3  i)
n 1
 ...  a1 (3  i)  a o
 a n (3  i) n  a n 1 (3  i) n 1  ...  a1 (3  i)  a o
 P(3  i)
 2  4i
 2  4i .
3) Alternativa: A
(supondo-se coeficientes reais para o polinômio. Caso
contrário, não há solução correta.)
4) a) R(x) = x + 2
b) Q(x) = x98 + x96 + x94 + ... + x2 + 1
2
5) a) Para n = 2, temos f(x) = a2x + a1x + a0 e g(x) = 2a2x +
a1 .
f ( x  h)  f ( x )
h
Assim,
=
2
a 2 ( x  h)  a1 ( x  h)  a0  (a 2 x 2  a1 x  a0)
b) f(x) = x3 -x2 -x + 1
6) a) y = 2x + 1
1 3
1
b) P(x) =
x + x2 – x + 1
3
3
7) Se (p(x))3 = x2.p(x) então ou p(x) = 0 ou p(x) 2 = x2.
Como p(x) é não nulo, então p(x)2 = x2  p(x) = x ou p(x)
= -x. E ambos também verificam a condição (p(x)) 3 =
x.p(x2).
a) grau = 1
b) p(x) = x ou p(x) = -x
8) a) a = 0, considerando-se que os monômios precisam ser
da forma .xn com  real e n inteiro, para qualquer x.
b) raízes: 0, 1 e 2
9) Alternativa: E
10) a) 4i
b) -1+i e 1-i
11) a) P(0) = 3, P(1) = 2 e P(2) = 1.
b) Como o grau de x2 + 3 é 2, e o grau de x.P(2-x) > grau de
P(x), então o grau de x.P(2-x) é 2. Como o grau de x é 1, o
grau de P(2-x) é 2-1 = 1. Assim, o grau de P(x) é 1.
12) Alternativa: C
13) Alternativa: E
(x+3)5 = x5 + 5.x4.3 +10.x3.32+10.x2 .33 + 5.x.34+35 = x5 +
15.x4 +90.x3.+270.x2 + 405x.+ 243. Daí o termo de grau 3
em (x-1)(x+3)5 será 270x3 - 90x3 = 180x3. Portanto, o
coeficiente do termo de grau 3 deste polinômio é 180.
14) a) m=2 ou m=-2
b) m=2
h
15) Alternativa: B
=
a 2 x 2  2a 2 xh  a 2 h 2  a1 x  a1h  a0  a2 x 2  a1 x  a0
h
h.(2a 2 x  a 2 h  a1 )
h
=
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16) Alternativa: D
17) Alternativa: A
Se p(x) = x2.(x – 1) (x2 – 4) então p’(x) = p(x–2) = (x–
2)2.(x-2 - 1) ((x-2)2 – 4) = (x–2)2.(x–3).(x2 –4x) = x(x–
2)2.(x–3).(x–4), ou seja, p’(x) têm raízes em x=0, x=2 (raiz
dupla), x=3 e x=4.
As únicas alternativas possíveis são (a) e (b). Como p’(1) =
1.(–1)2.(1–3).(1–4) = 6 então o gráfico de p’(x) é positivo
para 0<x<2 e a alternativa correta é a (a)
18) a) R(x) = - x + 3
5
b)
2
41) Alternativa: C
42) Sem alternativa. O resto = –1
43) Alternativa: E
44) Alternativa: C
45) Alternativa: B
46) Alternativa: D
19) Alternativa: A
47) Alternativa: C
20) Alternativa: A
48) Alternativa: C
21) Alternativa: A
49) Alternativa: C
22) Alternativa: C
50) Alternativa: E
23) Alternativa: E
51) Alternativa: E
24) Alternativa: D
25) Alternativa: E
26) Alternativa: C
5 41
cm
2
52) a) BN =
b) gr(q) = 3 e 0 gr(r) < n - 1
27) Alternativa: A
53) Alternativa: A
28) Alternativa: B
54) Alternativa: E
29) Alternativa: A
55) Alternativa: C
30) Alternativa: B
56) Alternativa: B
31) Alternativa: E
32) p(1) = 3
57) a) c = 2
b) p(x) = 3x4 -8x3 + 5x2 + 3x + 5
58) Alternativa: B
33) Alternativa: E
59) p(2) = 6
34) Alternativa: A
60) Alternativa: A
35) Alternativa: B
36) m = –3 e n = –8
61) Alternativa: A
62) Alternativa: A
37) Resto = 30
38) Alternativa: C
39) Alternativa: B
40) Alternativa: D
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63) a) p(x) = x3 – 3x + 1
p(–2) = – 8 + 6 + 1  p(–2) = – 1
p(0) = 0 – 0 + 1  p(0) = 1
p(1) = 1 – 3 + 1  p(1) = – 1
p(2) = 8 – 6 + 1  p(2) = 3
b) Como p(x) é do 3o grau, ele tem 3 raízes complexas. Pelo
gráfico de p(x) percebemos que todas as 3 são reais (3
“cortes” no eixo x), portanto nenhuma é imaginária.
64) V – F – V – F – V = 1+4+16 = 21
65) Alternativa: B
66) Alternativa: D
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