Caracterização e definição de Quadrados Mágicos

QUADRADOS MÁGICOS
I e II
Índice
1. Nota Introdutória......................................................................................................... 2
2. Breve História Inicial................................................................................................... 2
3. Quadrados Mágicos: Definições Básicas.................................................................... 4
4. Quadrados Mágicos: Classificação Geral.................................................................. 7
5. Emissão Quadrados Mágicos I: .................................................................................. 9
5.1 Bloco B152 (1/1): Quadrado Mágico Luo Shu............................................................. 9
5.2 Folha Miniatura.............................................................................................................. 10
5.3 Sobrescrito do Primeiro Dia ENA174/ENB154:
John R. Hendricks – Quadrados Mágicos Interiores ................................................. 10
5.4 Selo S172 (6/1): Sator – Palíndromo ............................................................................. 11
5.5 Selo S172 (6/2): Franklin – Diagonais Curvas............................................................. 11
5.6 Selo S172 (6/3): Dürer – Melancolia I........................................................................... 12
5.7 Selo S172 (6/4): Su Hui – Xuan Ji Tu – Palíndromo ................................................... 13
5.8 Selo S172 (6/5): Lee Sallows – Panmágico 3×3 ............................................................ 16
5.9 Selo S172 (6/6): Método de Construção La Loubère ou Siamês ................................ 17
6. Emissão Quadrados Mágicos II: ................................................................................ 18
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
Bloco B166 (1/1): Método de Construção Salto de Cavalo......................................... 18
Folha Miniatura.............................................................................................................. 20
Sobrescrito do Primeiro Dia ENA195/ENB168: Círculos Mágicos De Yang Hui.... 21
Selo S193 (3/1): McClintock / Ollerenshaw – Mais Perfeito ...................................... 22
Selo S193 (3/2): David Collison – Quadrado Mágico Manta de Retalhos ................ 24
Selo S193 (3/3): Inder Taneja – IXOHOXI 88 ............................................................. 24
7. Bibliografia................................................................................................................. 26
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1. Nota Introdutória
Os Correios de Macau, ao dedicarem as sexta e sétima emissões da série “Ciência e Tecnologia”
aos Quadrados Mágicos, pretendem não só divulgar e promover este tema em termos científicos e
culturais, como também criar um produto ímpar na história da Filatelia, ou seja, um Quadrado
Mágico constituído por selos especificamente produzidos para o efeito. A emissão Quadrados
Mágicos I ocorreu em 09 de Outubro de 2014, Dia Mundial dos Correios, enquanto a emissão
Quadrados Mágicos II foi publicada em 12 de Novembro de 2015.
Na emissão Quadrados Mágicos I, para além dum Bloco baseado no Quadrado Mágico Luo
Shu, foi emitida uma Folha Miniatura, com a forma de uma Matriz de 3 Filas × 3 Colunas (9 selos),
réplica do Quadrado Mágico Luo Shu, composta por seis selos, ocupando três selos a Fila Superior,
com as taxas de 4, 9 e 2 patacas, e os outros três selos a Fila Central, com as taxas de 3, 5 e 7 patacas.
A Fila Inferior foi deixada intencionalmente vazia para acomodar os restantes três selos, a publicar na
emissão Quadrados Mágicos II.
Na emissão Quadrados Mágicos II, foi igualmente emitida uma Folha Miniatura, com a forma
de uma Matriz de 3 Filas × 3 Colunas (9 selos), réplica do Quadrado Mágico Luo Shu, composta por
três selos, ocupando a Fila Inferior, com as taxas de 8, 1 e 6 patacas. As Filas Superior e Central
foram deixadas intencionalmente vazias para acomodar os restantes seis selos publicados na emissão
Quadrados Mágicos I.
Assim, é possível construir, tomando como base a Folha Miniatura da primeira emissão
(adicionando-lhe os últimos 3 selos emitidos) ou a Folha Miniatura da segunda emissão
(adicionando-lhe os primeiros seis selos emitidos), um Quadrado Mágico Luo Shu feito de selos.
O interesse pelo tema Quadrados Mágicos é transversal às culturas Chinesa e Ocidental. A
importância desta temática para a cultura Chinesa remonta aos tempos mais ancestrais da sua história,
testemunhada pelos mitos que o Bloco Luo Shu da emissão Quadrados Mágicos I ilustra, bem como
os Círculos Mágicos elaborados por Yang Hui apresentados no Sobrescrito do Primeiro Dia da
emissão Quadrados Mágicos II.
2.
Breve História Inicial
De acordo com alguns investigadores e académicos a história inicial dos Quadrados Mágicos
não está nem bem investigada nem documentada. Contudo, existe uma visão generalizada de que três
civilizações contribuíram para a sua criação: a Chinesa, a Indiana e a Arabe.
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O primeiro Quadrado Mágico, de Ordem 3, é conhecido como Luo Shu ou Pergaminho do Rio
Luo e foi apresentado detalhadamente no Bloco da emissão Quadrados Mágicos I. Mais tarde
Quadrados Mágicos e Círculos Mágicos apareceram na Literatura Chinesa por volta da Dinastia Song
do Norte (960-1127).
Alguns investigadores advogam que, da China, os Quadrados Mágicos viajaram até à Índia,
aonde vários Quadrado Mágicos de Ordem 4 foram apresentados pelo Budista Filósofo Nagarjuna,
que viveu por volta do Segundo Século, no seu trabalho Kaksaputa. Foram necessários mais de 1000
anos para encontrar uma Inscrição de Jaina que apresentava novamente um Quadrado Mágico de
Ordem 4, porém, com propriedades especiais ainda não encontradas nos seus precursores. Esta espécie
de Quadrados Mágicos foi mais tarde designada por Quadrados Mágicos de Jaina.
Deve-se, no entanto, ao Matemático Narayana Pandit o estudo sistemático de Quadrados
Mágicos que, no seu trabalho Ganita Kaumudi (1356), apresentou métodos gerais para construir
várias espécies.
Da Índia, provavelmente, os Quadrados Mágicos viajaram para o mundo Árabe, sabendo-se que
Matemáticos Árabes e Islâmicos tomaram conhecimentos deles antes do Século VII. Deste modo, não
constitui surpresa que Quadrados Mágicos de Ordem 5 e 6 aparecessem na Rasa’il Ikhwan al-Safa,
Enciclopédia da Irmandade da Pureza, composta por 52 Epístolas, em Matemática, Ciências
Naturais, Psicologia e Teologia, em Bagdá, por volta do ano 983. Mais tarde, por volta de 1200,
Ahmad al-Buni, famoso Matemático Árabe, também estudou Quadrados Mágicos.
Os Árabes não só utilizaram Quadrados Mágicos na elaboração de cálculos e predições
astrológicas, como, à semelhança de Ahmad al-Buni, ainda acreditavam nas suas propriedades
místicas.
Crê-se, que a introdução de Quadrados Mágicos na Europa, se efectuou, não só, em 1280,
através de um Manuscrito Espanhol em que a cada Quadrado Mágico se associava um Planeta,
como na Literatura Islâmica, como ainda, cerca do ano 1300, quando o Grego-Bizantino Manuel
Moschopoulos (1265-1316) escreveu um tratado matemático baseado nos trabalhos de Ahmad al-Buni.
Quadrados Mágicos de Ordem 6 e 9 voltaram a aparecer no Século XIV, em Florença, no (Trattato
d’Abbaco) Tratado do Ábaco, de Paolo Dagomari, Matemático, Astrónomo e Astrólogo. Seguindo
Moschopoulos, Luca Pacioli (1445-1517), conterrâneo de Dagomari, também estudou Quadrados
Mágicos tendo no seu trabalho De Viribus Quantitatis, por volta de 1500, apresentado vários de
Ordem 3 a 9.
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Seguindo estes pioneiros, nos Séculos XV a XVII, os nomes mais notáveis em trabalhos ou no
desenvolvimento de Métodos para resolver Quadrados Mágicos foram, designadamente: Albrecht
Dürer (1471-1528), cuja gravura Melancolia I, que contém um Quadrado Mágico de Ordem 4, foi
também apresentado na emissão Quadrados Mágicos I; o Médico e Teólogo Alemão Heinrich
Cornelius Agrippa (1486-1535) que escreveu, em 1510, “Sobre a Filosofia Oculta, Livro Três”, um
dos livros mais influentes na Europa, por essa ocasião, no qual, com exemplos, expôs os poderes
místicos dos Quadrados Mágicos de Ordem 3 a 9; Johann Faulhaber (1580-1635); Claude Gaspar
Bachet de Méziriac (1581-1638); Simon de La Loubère (1642-1729), cujo Método de Construção
de Quadrados Mágicos foi apresentado num selo, na emissão Quadrados Mágicos I.
Ao longo dos anos, vários matemáticos como Pierre de Fermat (1601-1665), Bernard Frénicle
de Bessy (1605-1675), Benjamin Franklin (1706-1790), apresentado no selo Diagonais Curvas da
emissão Quadrados Mágicos I; Leonhard Euler (1707-1783), Arthur Cayley (1821-1895), etc. se
interessaram pelo estudo de Quadrados Mágicos tendo descoberto interessantes relações e
propriedades.
3.
Quadrados Mágicos: Definições Básicas
A – Quadrados Mágicos Numéricos
3.01 Célula – Cada um dos n2 = n × n quadradinhos que constituem as n Filas e as n Colunas do
quadrado. As Células podem ser preenchidas com Números, Letras/Caracteres ou
Formas/Peças Geométricas.
3.02 Coluna – Conjunto de n Células na vertical. Um quadrado de Ordem n tem n Colunas.
3.03 Diagonais
3.03.1 Diagonal Curta – Diagonal que é paralela a uma das Diagonais Principais e intercepta
dois lados adjacentes do quadrado. Uma Diagonal Curta pode ter entre 1 a n-1 Células.
3.03.2. Diagonal Curva – Diagonal, com o mesmo número n de Células que a Ordem n do
Quadrado, que:
Começa em qualquer Célula de qualquer lado do Quadrado e que termina na Célula e
lado opostos;
É composta por dois segmentos perpendiculares e simétricos, em forma de “V”, cujo
vértice coincide com: o centro do Quadrado, para a Ordem Par; o centro da Célula
central, para a Ordem Ímpar.
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Existem 4 × n Diagonais Curvas, assim distribuídas:
Ordem Par: Contínuas, 2(n+2), Enroladas, 2(n-2);
Ordem Ímpar: Contínuas, 2(n+1), Enroladas, 2(n-1).
As Diagonais Curvas também somam a Soma Mágica S e são a principal propriedade dos
“Quadrados Mágicos” de Benjamin Franklin.
3.03.3. Diagonal Enrolada – Diagonal Curva que se obtém pelo processo de Enrolar.
3.03.4 Diagonal Principal – Cada uma das duas diagonais designadas por Diagonal Esquerda e
Diagonal Direita, constituída por n Células, e que liga os vértices opostos do quadrado.
3.03.5 Diagonal Quebrada, Par – Duas Diagonais Curtas – com o mesmo ou diferente número
de Células – que são paralelas a uma Diagonal Principal, mas situadas em lados opostos,
e que, quando ligadas, contêm o mesmo número n de Células de cada Fila, Coluna ou
Diagonal Principal, i.e. a Ordem n do Quadrado Mágico.
As Diagonais Quebradas também somam a Soma Mágica S e são a principal
característica dos Quadrados Mágicos Pandiagonais.
3.03.6 Pandiagonal – Que inclui todas as diagonais: Diagonais Principais e Diagonais
Quebradas.
3.03.7 Par de Diagonais Curtas e Opostas – Duas Diagonais Curtas que são paralelas e se
localizam em lados opostos de uma Diagonal Principal e que contêm o mesmo número
de Células.
3.04 Enrolar – Ligar os lados opostos do quadrado (i.e. o esquerdo ao direito ou o superior ao inferior)
de modo a formar uma superfície continua cilíndrica, em que os lados opostos se sobrepõem.
3.05 Fila – Conjunto de n Células na horizontal. Um quadrado de Ordem n tem n Filas.
3.06 Linha Mágica Fechada – Linhas que ligam os centros das Células, em sequência numérica,
incluindo o regresso à primeira, i.e. 1, 2, 3, …., n2,…. 3, 2, 1 para um Quadrado Mágico Normal
(depois de Claude Bragdon). Quando as áreas entre a Linha Mágica são preenchidas com cores
diferentes, alguns padrões interessantes podem ser criados, chamados Padrões Sequência
(depois de Jim Moran).
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3.07 Ordem n – Relativamente à Ordem existem quatro classes de Quadrados Mágicos:
3.07.1 Par – Quando n é par, i.e., n = 2, 4, 6, 8…;
3.07.2 Ímpar – Quando n é ímpar, i.e. n = 3 , 5, 7….;
3.07.3 Duplamente Par – Quando n é múltiplo de 4, i.e. n = 4, 8, 12…;
3.07.4 Simplesmente Par – Quando n é par mas não divisível por 4, i.e. n = 6, 10, 14…
3.08 Par Complementar ou Números Complementares – Par de Células ou Par de Números cuja
soma é igual à soma do primeiro e último termos da série, i.e. 1 + n2.
3.09 Par Simétrico ou Células Simétricas – Par de Células, diametralmente equidistantes ou
simétricas relativamente ao Centro do Quadrado.
3.10 Quadrado de Ordem n – Quadrado composto por n Filas, n Colunas e n2 Células.
3.11 Quadrado Mágico Normal ou Puro ou Tradicional de Ordem n – Quadrado Mágico em que
os números utilizados para preencher as n2 Células, são números inteiros consecutivos de 1 a n2.
3.12 Soma Mágica ou Número Mágico ou Constante Mágica – Soma constante das n Células de
cada Fila, Coluna, Diagonais Principais, etc. e que é dada por S = n/2(1 + n2) em que n é a
Ordem do Quadrado Mágico.
B – Quadrados Mágicos de Letras/Palavras/Caracteres
3.13 Palíndromo – Número, palavra ou frase que pode ser lido em diferentes direcções (e.g. da
esquerda para a direita ou da direita para a esquerda) sem se alterar. Porém, como é o caso do
poema Palíndromo Xuan Ji Tu da poetisa Su Hui, os versos, em língua chinesa, podem também
ser lidos em diferentes direcções, não com o mesmo significado, mas ainda com perfeito sentido.
C – Quadrados Mágicos Geométricos
3.14 Alvo Mágico – A Forma ou Peça Maior Constante formada pela união de n Formas ou Peças
que ocorrem em qualquer Fila, Coluna ou Diagonal Principal. As Formas ou Peças utilizadas
são normalmente planares podendo, no entanto, ser de qualquer dimensão. Peças tridimensionais
(3-D) formarão Alvos tridimensionais (3-D), enquanto Formas unidimensionais (1-D) são
simplesmente segmentos de linha recta (cada um dos quais pode ser alternativamente
representado por um número). O Alvo Mágico será então outro segmento de linha recta (igual ao
comprimento da soma desses números). Deste facto pode-se ver que os Quadrados Mágicos
Numéricos são uma classe particular de Quadrados Geomágicos.
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3.15 Quadrado Mágico Geométrico ou Quadrado Geomágico – Matriz de n2 Células (n Filas × n
Colunas), cada uma ocupada por uma Forma ou Peça geométrica distinta (usualmente planar),
de tal forma que n delas tomadas de qualquer Fila, Coluna ou Diagonal Principal podem ser
montadas para criar uma Forma ou Peça Maior Constante conhecida por Alvo Mágico. Por
Dimensão de um Quadrado Geomágico entende-se a dimensão das suas Formas ou Peças.
4.
Quadrados Mágicos: Classificação Geral
Os Quadrados Mágicos podem ser classificados, de diferentes maneiras, de acordo com
propriedades especiais que possam ter. Quando as Células do quadrado são preenchidas por Números,
Letras/Caracteres ou Formas Geométricas, o quadrado designa-se, respectivamente, por Quadrado
Numérico, Quadrado de Letras/Palavras/Caracteres e Quadrado Geomágico (depois de Lee
Sallows).
Uma das classificações mais frequentes divide-os em três classes: Simples, Associado e
Pandiagonal. No entanto, retirando ou acrescentando-lhes algumas propriedades, podemos considerar
também os seguintes: Semi-Mágico, Semi-Pandiagonal e Mais-Perfeito.
Quando apresentam características específicas tomam outras designações como: Bimágico,
Marginado ou Concêntrico, Interior, Alfamágico, Latino, Dominó, IXOHOXI, Primo,
Serrilhado, etc, etc.
As seis classes anteriormente referidas são definidas para Quadrados Mágicos Normais de
Ordem n, nos parágrafos 4.1 a 4.6 seguintes, por ordem crescente da complexidade das suas
propriedades.
4.1
Quadrado Semi-Mágico - Matriz de n2 Células, (n Filas × n Colunas), em que a soma de cada
Fila e de cada Coluna é igual à Soma Mágica S. A soma de uma ou das duas Diagonais
Principais é diferente de S e daí o nome de Semi-Mágico.
4.2
Quadrado Mágico, Numérico, Normal, Simples de Ordem n ou simplesmente Quadrado
Mágico - Matriz de n2 Células ( n Filas × n Colunas ) preenchidas, cada uma, por um
determinado número que conduza a que as somas de cada Fila, de cada Coluna e das duas
Diagonais Principais tenham todas o mesmo valor S, designado por Soma Mágica.
A satisfação das propriedades acima mencionadas, constitui o mínimo dos requisitos para obter a
qualificação de Quadrado Mágico.
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4.3
Quadrado Mágico Associado ou Regular ou Simétrico – Quadrado Mágico em que a soma de
todos os Pares Simétricos é igual à soma do primeiro e do último termos da série, i.e. 1+n2.
Num Quadrado Mágico Associado de Ordem Ímpar, a Célula do Centro é sempre igual ao
número intermédio da série, i.e. (1 + n2) / 2.
Não existem Quadrados Mágicos Associados quando n é Simplesmente Par.
4.4
Quadrado Mágico Semi-Pandiagonal ou Semi-Diabólico ou Semi-Nasik – Quadrado Mágico
com as seguintes propriedades:
Ordem Par:
‧A soma de um Par de Diagonais Curtas Opostas com n Células é igual à Soma Mágica, S.
Ordem Ímpar:
‧A soma de um Par de Diagonais Curtas Opostas com n-1 Células mais a Célula Central é
igual à Soma Mágica, S;
‧A soma de um Par de Diagonais Curtas Opostas com n+1 Células menos a Célula Central é
igual à Soma Mágica, S.
Num Quadrado Mágico de Ordem n, a Soma Mágica S é sempre calculada levando em
consideração as n Células, das Filas, Colunas e Diagonais Pandiagonais. Daí a necessidade de
adicionar ou subtraír a Célula do Centro do Quadrado às Células que constituem o Par de
Diagonais Curtas Opostas, quando estas são, respectivamente, n-1 e n+1.
4.5
Quadrado Mágico Pandiagonal ou Diabólico ou Nasik ou Contínuo – Quadrado Mágico em
que a soma de cada Par de Diagonais Quebradas é igual à Soma Mágica, S.
O Quadrado Mágico Pandiagonal é considerado um dos mais sofisticados entre as classes de
Quadrados Mágicos.
Não existem Quadrados Mágicos Pandiagonais quando n é Simplesmente Par.
4.6
Quadrado Mágico Mais-Perfeito – Quadrado Mágico Pandiagonal de Ordem Duplamente Par
com as duas seguintes propriedades adicionais:
‧As Células de qualquer quadrado de Ordem 2, (2×2 Células) extraído dele, mesmo quando
obtido pelo processo de Enrolar, somam o mesmo valor, 2(1 + n2);
‧Ao longo das Diagonais Principais e Quebradas quaisquer dois números separados por n/2
Células, formam um Par Complementar, i.e. somam 1+n2.
Todos os Quadrados Mágicos Pandiagonais de Ordem 4 são Mais-Perfeitos. Porém, para n>4 a
proporção Pandiagonal/Mais-Perfeito diminui à medida que n aumenta.
4.7
Quadrado Mágico Interior é um Quadrado Mágico que contém dentro dele outros Quadrados
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Mágicos de Ordem Inferior. Os Quadrados Mágicos Interiores de Ordem Inferior podem ser
formados por qualquer número no seu interior (contrariamente aos Quadrado Mágicos
Emoldurados, aonde a moldura deve conter os menores e os maiores números da série) e
colocados em qualquer posição no interior do Quadrado. Podem também conter outros
Quadrados Mágicos Interiores dentro deles próprios.
5.
Emissão Quadrados Mágicos I: Bloco, Folha Miniatura, Sobrescrito do Primeiro Dia e Selos
5.1 Bloco B152 (1/1): Quadrado Mágico Luo Shu
A história da civilização chinesa é rica em mitos, lendas e folclore baseados em entes
mitológicos. Entre os primeiros legendários, semi-divinos heróis culturais, os mais veneráveis são: Fu
Xi, Shen Nong (Deus da Agricultura) e Huang Di ou Imperador Amarelo, conhecidos como “Os
Três Imperadores Divinos”. Depois do Imperador Amarelo, seguem-se os “Os Três Reis Sábios”,
Yao, Shun e Yu “O Grande”, fundador da Dinastia Xia. Foi durante o reinado de Yu “O Grande” que
maior esforço foi dedicado ao controlo das grandes inundações.
Entre estes, “O Divino Imperador Fu Xi” e “O Rei Sábio Yu” foram, respectivamente,
testemunhas da visita de duas criaturas míticas: um “Dragão-Cavalo” e uma “Tartaruga” ambas
apresentando nas suas costas diferentes Padrões de Pontos.
Fu Xi, de acordo com a lenda, ensinou os seus súbditos, a como pescar com rede, a caçar, a
domesticar animais e a cozinhar. Um dia, enquanto estava sentado na margem do Huang He ou Rio
Amarelo, uma criatura com a forma de um “Dragão-Cavalo”emergiu do rio com um Diagrama nas
costas composto por 55 “Pontos” organizados em 5 conjuntos. Antes de submergir também deixou
pegadas com 8 Padrões compostos por Segmentos de Linhas. O Diagrama ficou conhecido como He
Tu ou Mapa do Rio e as pegadas como Ba Gua ou Oito Trigramas. Os Oito Trigramas foram mais
tarde rearranjados pelo Imperador Wen, fundador da Dinastia Zhou, dando origem aos 64
Hexagramas do Yi Jing.
O Rei Sábio Yu, “O Grande”, tornou-se num monarca lendário pela introdução de um sistema de
controlo de inundações, através da construção de diques e canais. Também um dia, enquanto estava
sentado na margem do Rio Luo – afluente do Huang He ou Rio Amarelo – uma “Tartaruga” emergiu
da água com um Diagrama Quadrangular na carapaça formando 9 pequenos contornos
quadrangulares, com uma série de pontos no interior de cada um deles, representando os números 1 a 9.
O Rei Yu ficou bastante surpreendido ao descobrir que cada Fila, Coluna e Diagonal Principal do
Diagrama Quadrangular continha 15 Pontos. O Diagrama Quadrangular ficou conhecido como Luo
Shu ou Pergaminho do Rio Luo. É também comummente designado por Jiu Gong Shu ou
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Diagrama dos Nove Palácios.
O He Tu (Mapa do Rio) e o Luo Shu (Pergaminho do Rio Luo) são tecidos fundamentais no
desenvolvimento da cultura chinesa tradicional e estenderam a sua influência à religião, sociologia,
politica, filosofia, matemática, medicina, engenharia civil, etc.
5.2 Folha Miniatura
As Folhas Miniaturas das emissões I e II foram concebidas para apresentarem uma disposição
dos valores faciais dos selos (1 a 9 patacas) igual à disposição que os números 1 a 9 ocupam no
Quadrado Mágico Luo Shu.
Na emissão Quadrados Mágicos I foram emitidos sómente 6 selos, correspondentes às duas
primeiras Filas – Fila Superior e Fila Central – , sendo os 3 selos na terceira Fila – Fila Inferior –
emitidos na emissão Quadrados Mágicos II.
Com os desenhos das Folhas Miniaturas das emissões I e II, a Filatelia de Macau, não só pretende
continuar a divulgar e a promover o conhecimento científico, como ainda apresentar aos filatelistas
e entusiastas de Quadrados Mágicos uma peça nunca antes produzida na história da Filatelia.
Na Folha Miniatura são ainda de notar:
A utilização de duas cores diferentes, preto e vermelho, para os valores faciais impares e
pares dos selos, quando normalmente só uma cor é indiferentemente utilizada;
O preenchimento das margens com os 12 Padrões de Dudeney e frequência de ocorrência de
cada um deles no conjunto dos 880 diferentes Quadrados Mágicos que é possível construir a
partir dum Quadrado Mágico Normal de Ordem 4.
5.3 Sobrescrito do Primeiro Dia ENA174/ENB154: John R. Hendricks – Quadrados Mágicos
Interiores
O Sobrescrito do Primeiro Dia mostra um Quadrado Mágico de Ordem 9 com três Quadrados
Mágicos Interiores de Ordem 7, 5 e 3. Note que o Quadrado Mágico Interior de Ordem 3 está rodado
45 graus sendo também mencionado como Diamante Mágico Interior. Os números usados no
Quadrado Mágico Interior de Ordem 9 vão desde 1 a 81 sendo por isso um Quadrado Mágico Puro.
As Somas Mágicas do Quadrado Mágico Interior de Ordem 9 e dos seus Quadrados Mágicos
Interiores de Ordens Inferiores são: S9=369, S7=287, S5=205 e S3=123.
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5.4 Selo S172 (6/1): Sator – Palíndromo
O Quadrado Mágico Sator ou Quadrado Mágico Rotas é um Quadrado Mágico de
Letras/Palavras que é composto por um Palíndromo Latino, formado por cinco palavras – SATOR
AREPO TENET OPERA ROTAS – que pode ser lido para a frente, para trás, para cima e para baixo.
A inscrição mais antiga foi encontrada nas ruínas de Pompeia, destruída em 79 A.D. pela erupção
de lavas e cinzas do vulcão Vesúvio. Outras foram posteriormente encontradas, designadamente em
Corinium (actual Cirencester, em Inglaterra) e em Dura-Europos (actual Síria). Existe também um
Quadrado Sator no museu de Conímbriga (perto de Coimbra, em Portugal).
A tradução correcta e o seu significado são alvo de disputa e especulação até ao presente.
Uma tradução palavra a palavra pode ser a seguinte:
Sator – Semeador, plantador, fundador, progenitor, originador;
Arepo – Sem significado claro, provavelmente um nome próprio - Arepo;
Tenet – Manter, segurar, possuir, aperfeiçoar;
Opera – Trabalho, ajuda, cuidado, esforço, serviço;
Rotas – Roda, rotação.
Considerando a frase, dúzias de traduções têm sido propostas, como por exemplo:
“O semeador Arepo segura o arado com esforço”;
“Arepo, o agricultor sábio, mantém a rotação das suas culturas”;
“O agricultor Arepo mantém o mundo em movimento”;
“O “Criador” (“Salvador”) de todas as coisas, mantém com destreza as suas obras”.
Alguns investigadores têm também especulado que, se as 5 palavras forem convenientemente
rearranjadas, uma Cruz Grega pode ser formada na qual se lê, na horizontal e na vertical, a palavra
PATERNOSTER, com as letras sobejantes (A,A e O,O) distribuídas por cada um dos 4 quadrantes.
Esta configuração traduz-se por PAI NOSSO, PAI NOSSO, com as letras A e O representando o Alfa
e o Ômega – o Principio e o Fim. Nesta perspectiva, e ainda numa continuada óptica especulativa, o
Quadro Mágico Sator pode ter servido como uma forma escondida de os primeiros cristãos se
identificarem entre si, sem se exporem a perseguições.
5.5 Selo S172 (6/2): Franklin – Diagonais Curvas
Benjamin Franklin nasceu em Boston, Massachusetts, em 17 de Janeiro de 1706, tendo sido um
dos mais influentes “Pais Fundadores” dos Estados Unidos, ganhando o título de “Primeiro
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Americano” pela sua luta pela independência. Foi também um homem de muitos interesses e talentos.
Nos primeiros tempos trabalhou como tipógrafo, para se tomar, com o decorrer dos anos, num
polímata, autor, político, cientista, inventor, músico, activista social, director geral de correios,
estadista e diplomata.
Como Director dos Correios foi nomeado, em 1775, o primeiro Correio-Mor dos Estados Unidos,
tendo estabelecido o sistema postal que foi a base dos actuais Correios dos Estados Unidos.
Como Autor iniciou a publicação do Almanaque do Pobre Ricardo que se tornou na altura muito
popular. Alguns dos adágios nele publicados mantêm-se citações usadas, mesmo no presente.
Como Inventor e Cientista, entre muitas das suas invenções, podemos mencionar: as Lentes
Bifocais, o Pára-Raios, o Cateter Urinário Flexível, a Harmónica de Vidro, etc. Também publicou
vários estudos sobre Demografia, as Correntes Oceânicas do Atlântico, Electricidade, Meteorologia,
Conceitos Sobre Arrefecimento, etc.
Sendo um homem com forte personalidade e claros valores éticos, estabeleceu como próprio guia,
ainda em jovem, as 13 virtudes seguintes, que praticou durante a sua vida: Temperança, Silêncio,
Ordem, Resolução, Frugalidade, Engenhosidade, Sinceridade, Justiça, Moderação, Limpeza,
Tranquilidade, Castidade e Humildade.
Em adição a tantos sucessos, Benjamin Franklin também deixou o seu nome associado aos
Quadrados Mágicos. Os “Quadrados Mágicos”de Benjamin Franklin apresentam uma soma constante
para as Filas e Colunas mas não satisfazem as propriedades das Diagonais Principais, i.e., são
Semi-Quadrados Mágicos. Contudo, possuem outras propriedades mágicas como sejam as relativas às
Diagonais Curvas, quer sejam Contínuas, quer sejam Enroladas, as quais somam 260.
No selo, várias Diagonais Curvas – Colunas – Para Cima podem ser vistas, incluindo Diagonais
Curvas Enroladas.
5.6 Selo S172 (6/3): Dürer – Melancolia I
Albrecht Dürer, filho de um ourives, nasceu em 1471, em Nuremberga, Alemanha, e tornou-se
famoso como pintor, gravador, impressor, matemático e académico. Muito jovem começou a trabalhar
como aprendiz de Michael Wolgemut. Mais tarde esteve em contacto com artistas famosos como os
irmãos Schongauer, os joelheiros Caspar e Paul, o pintor Ludwig e o escultor Nikolaus Gerhaert.
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Nuremberga não fica distante de Veneza e Dürer foi a Itália duas vezes para estudar técnicas mais
avançadas e novas expressões artísticas. Durante todos esses anos pôde transmitir uma forte influência
e adquirir uma sólida reputação que fizeram com que ele fosse olhado como o maior artista da
Renascença do Norte da Europa.
Depois de regressar a Nuremberga pela segunda vez, criou famosos trabalhos artísticos como: as
pinturas de Adão e Eva (1507); O Martírio dos Dez Mil (1508); A Virgem com a Íris (1508), etc; as
xilogravuras como A Primeira Série Apocalipse (1498); A Grande Paixão e A Vida da Virgem
(1511); A Segunda Série Apocalipse e as famosas “Impressões Mestras” (Meisterstiche) com O
Cavalo, A Morte e O Diabo (1513) e São Jerónimo Na Sua Cela e Melancolia I (1514).
Melancolia I é uma gravura que inclui, na parte superior direita, sob a sineta, um Quadrado
Mágico, Normal, Associado, de Ordem Duplamente Par.
As duas Células do meio da Fila Inferior indicam a data da gravura, 1514.
A Soma Mágica é igual a S = 4/2(42+1) = 34. Para além das Filas, Colunas e Diagonais
-
-
-
Principais que a verificam, é também possível obtê-la de diferente maneiras, como nos/nas:
Quatro Quadrantes (2×2), e.g., 16+3+5+10 = 34;
Quadrado Central, e.g., 10+11+6+7 = 34;
Cantos dos 4 Quadrados de dimensão 3×3, e.g., 16+2+9+7 = 34;
Cantos dos Rectângulos Centrais de dimensão 4×2 e 2×4, e.g., 3+2+15+14 = 34 e 5+8+9+12 =
34;
Cantos dos dois Rectângulos Diagonais de dimensão 2×3, e.g., 2+8+15+9 = 34 e 5+3+12+14 =
34;
Dois Quadrados Enviesados, e.g., 8+14+9+3 = 34 e 2+12+15+5 = 34;
Formas da Cruz Latina, e.g., 3+5+15+11 = 34 e 2+10+14+8 = 34;
Formas da Cruz Invertida (Cruz de S. Pedro) 3+9+15+7 = 34 e 2+6+14+12 = 34;
Qualquer Par de Células que sejam Simétricas em relação ao Centro somam 17.
5.7 Selo S172 (6/4): Su Hui – Xuan Ji Tu – Palíndromo
Su Hui (351 A.D. - ?) foi uma poetisa chinesa que viveu no Qin Anterior durante o período dos
Dezasseis Reinos. Casou com Dou Tao, funcionário superior do governo, que mais tarde foi enviado
para defender as fronteiras do norte. Longe do seu marido, Su Hui tomou conhecimento que este vivia
com uma concubina. Para consolar a sua infelicidade e tentar trazê-lo de volta, compôs o Poema
Palíndromo, Xuan Ji Tu, uma matriz de 29 Linhas × 29 Colunas, com 841 caracteres, que pode ser
lido pelos menos de 2.848 maneiras diferentes, designadamente para a frente, para trás,
horizontalmente, verticalmente e em diagonal. Depois de ler o poema, Dou Tao, emocionado e
arrependido deixou a concubina e voltou para Su Hui, sendo então o amor entre eles muito forte e para
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sempre.
Este selo é somente um quadrado de 15 Filas × 15 Colunas, extraído da parte central das 29 Filas
× 29 Colunas, que constituem o poema Xuan Ji Tu completo.
Uma vez que o poema pode ser lido de muitos diferentes modos, para mais fácil compreensão de
como isso pode ser, é necessário identificar alguns conjuntos de caracteres, designadamente:
- A Moldura Vermelha Interna, i.e., o Quadrado Central Vermelho (3×3), sem o carácter 心
(xin). Diz-se que este carácter não existia inicialmente no poema e que foi introduzido mais
tarde por um académico;
- A Moldura Preta, que envolve o Quadrado Central Vermelho;
- Os 4 Quadrados Pretos (4×4), situados nos cantos da Moldura Vermelha Periférica;
- Os 4 Rectângulos Azuis (5×4), situados entre os Quadrados Pretos;
- A Moldura Vermelha Periférica;
- As Diagonais.
Para explicar como se deve ler o poema de diferentes modos, tomou-se como referência Si Ku
Quan Shu (A Colecção Imperial dos Quatro) e Shi Yuan Zhen Pin:Xuan Ji Tu de Li Wei.
1. A Moldura Vermelha Interna, 8 caracteres.
Partindo do carácter central 詩(shi) e lendo no sentido contrário aos ponteiros do relógio,
com 4 caracteres para cada frase, podemos obter duas frases “詩圖璣璇，始平蘇氏。(shi tu ji
xuan，shi ping su shi。)”. Partindo do carácter 蘇(su) e lendo do mesmo modo, obtemos outras
duas frases “蘇氏詩圖，璣璇始平。” (su shi shi tu , ji xuan shi ping).
Adicionando as 4 frases obtemos “詩圖璣璇，始平蘇氏。蘇氏詩圖，璣璇始平。” que
significa que o poema Xuan Ji Tu foi composto por Su Hui que vive no Concelho de Shi Ping
(始平縣), sendo a origem do Poema Palíndromo.
2. A Moldura Preta, 16 caracteres.
Inclui 16 caracteres de cor preta. Partindo do canto inferior direito 怨義(yuan yi) e lendo no
sentido dos ponteiros do relógio, com 4 caracteres para cada frase, obtemos “怨義興理，辭麗
作比。端無終始，詩情明顯。 (yuan yi xing li，ci li zuo bi。duan wu zhong shi，shi qing
ming xian。)”que significa “Utilizei palavras e frases belas tecidas neste brocado para
exprimir as minhas reclamações éticas e as suas justificações. Contudo, o meu amor por ti
continua o qual pode ser compreendido pelas profundos significados emocionais contidos
neste poema”.
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Partindo do canto esquerdo superior 端無(duan wu) e lendo no sentido dos ponteiros do
relógio, com 5 caracteres para cada frase, no qual o quinto carácter da última se repete como
o primeiro carácter da frase seguinte, obtemos “端無終始詩，詩情明顯怨，怨義興理辭，
辭麗作比端。(duan wu zhong shi shi，shi qing ming xian yuan，yuan yi xing li ci，ci li zuo
bi duan。)”que significa “Utilizei este poema para exprimir o meu amor por ti. O poema
contém também o meu óbvio descontentamento. Preciso de apresentar no texto as
justificações das minhas reclamações éticas. É devido ao meu amor por ti que estou a usar
palavras e frases belas para escrever este poema.”
Poemas diferentes podem ser extraídos, partindo de cantos diferentes e lidos em frases com 4
caracteres, 5 caracteres, no sentido ou contrário ao dos ponteiros do relógio, etc. Diz-se que
pelo menos 24 poemas podem ser lidos.
3. Os 4 Quadrados Pretos (4×4).
Cada um contém 16 caracteres. Partindo do canto superior direito 思感(si gan) e lendo em
“zigzag” 4 caracteres para cada frase, obtemos “思感自寧，孜孜傷情。時在君側，夢想勞
形。(si gan zi ning，zi zi shang qing。shi zai jun ce，meng xiang lao xing。”que significa “A
pensar em ti e no tempo em que passámos juntos sinto-me triste e sem descanso. Não posso
dormir porque sinto a tua falta e isso faz-me pálida e a definhar.”
Os caracteres dos Quadrados Amarelos podem ser lidos Fila a Fila, Coluna a Coluna, em
“zigzag”, no sentido ou contrário ao dos ponteiros do relógio. Diz-se que pelo menos 176
poemas de 4 caracteres podem ser lidos.
4. Os 4 Rectângulos Azuis (5×4), entre os Quadrados Pretos.
Cada um contém 20 caracteres. Tomando como exemplo o rectângulo da direita e partindo do
canto superior direito 寒歲(han sui), e lendo em “zigzag”, como 5 caracteres para cada frase,
obtemos “寒歲識凋松，始終知物貞。顏喪改華容，士行別賢仁。(han sui shi diao song，
shi zhong zhi wu zhen。 yan sang gai hua rong，shi xing bie xian ren。)” que significa “Os
pinheiros mantêm-se firmes no Inverno frio. Desde que me deixaste, a minha cara não para
de envelhecer. Contudo o meu amor por ti é eterno como os pinheiros.”
Os caracteres dos Rectângulos Azuis podem ser lidos Fila a Fila, Coluna a Coluna, em
“zigzag”, no sentido ou contrário ao dos ponteiros do relógio. Diz-se que pelo menos 176
poemas de 5 caracteres podem ser lidos.
5. A Moldura Vermelha Periférica, 56 caracteres.
A Moldura Vermelha Periférica é composta por 56 caracteres dos quais os seguintes 8 são
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considerados Caracteres Rítmicos 欽、林、麟、身、㴱、沈、神、殷 (qin、 lin、lin、
shen、shen、chen、shen、yin)” dispondo-se nos cantos e nos centros de cada lado.
Por exemplo, partindo do canto superior direito 欽(qin) e lendo no sentido dos ponteiros do
relógio até ao canto inferior esquerdo 沙(sha), com 7 caracteres para cada frase, obtemos
“欽岑幽巖峻嵯峨，㴱淵重涯經網羅。林陽潛曜翳英華，沈浮異逝頹流沙。(qin cen you yan
jun cuo e，shen yuan chong ya jing wang luo。lin yang qian yao yi ying hua，cheng fu yi shi
tui liu sha。)” que significa “A longa curva da margem do rio, a perigosa cumeeira da alta
montanha, a profunda e escura lagoa, fazem-me medo. Sinto-me deprimida porque a minha
carta para ti se extraviou, como as belas flores quando os quentes raios solares são
bloqueados pelas densas florestas”.
Partindo de diferentes Caracteres Rítmicos e lendo de diferentes formas, diz-se que pelos
menos 96 poemas de 7 caracteres podem ser lidos.
6. As Diagonais, 29 caracteres cada.
Existem 2 Diagonais Principais no brocado. Partindo do carácter 嗟(jie), perto do canto
superior direito, e lendo na direcção do canto inferior esquerdo, com frases de 7 caracteres
cada, obtemos “嗟中君容曜多欽，思傷君夢詩璇心。氏辭懷感戚知麟，神輕粲散哀春親。
(jie zhong jun rong yao duo qin， si shang jun meng shi xuan xin。shi ci huai gan qi zhi lin，
shen qing can san ai chun qin。)”que significa “Pensar em ti faz-me a face pálida, só posso
expressar o meu amor no meu poema e encontrar-te nos meus sonhos. Embora a Primavera
tenha voltado sinto-me ainda desanimada e triste.” Partindo de diferentes cantos e lendo de
diferentes modos, diz-se que pelo menos 96 poemas de 7 caracteres podem ser lidos.
Su Hui utilizou bastante Caracteres Rítmicos que são engenhosamente arranjados no poema Xuan
Ji Tu. Devido a esses arranjos, mesmo que partamos de caracteres diferentes e os leiamos em
diferentes modos, continuamos ainda a compor poemas com significado.
5.8 Selo S172 (6/5): Lee Sallows – Panmágico 3×3
Nascido em Inglaterra em 1944, Lee Sallows, ainda em criança, começou a interessar-se por
radiocomunicações em onda curta, interesse que lhe permitiu mais tarde trabalhar como técnico em
várias áreas da indústria electrónica. Em 1970, deslocou-se para Nijmegen, na Holanda, onde foi
contratado pela Universidade de Radboud como engenheiro de electrónica, até à sua aposentação em
2009.
Depois de desenvolver interesse pelas matemáticas recreativas, tornou-se um especialista na teoria
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de Quadrados Mágicos, tópico para o qual contribuiu com várias variantes, mais notavelmente para os
Quadrados Alfamágicos e Geomágicos. Lee Sallows é detentor de número de Erdős 2.
Estranhamente atraído pela fórmula de Édouard Lucas, que caracteriza a estrutura de cada um
dos Quadrados Mágicos de Ordem 3 (entre eles o Luo Shu), Sallows especulou que ela poderia conter
um potencial ainda não revelado.
Esta especulação foi confirmada quando, em 1977, publicou um artigo que correlaciona qualquer
Quadrado Mágico de Ordem 3 com um único paralelogramo no plano complexo. Num movimento
pouco usual, Sallows tentou então substituir as variáveis na fórmula de Lucas por formas geométricas,
uma noção excêntrica que conduziu imediatamente à invenção dos Quadrados Geomágicos.
Uma inesperada consequência desta descoberta foi perceber-se que os Quadrados Mágicos
tradicionais, usando números, se revelaram não mais do que Quadrados Geomágicos
Unidimensionais (1-D). Desde então, outros investigadores tomaram conhecimento desta nova
perspectiva, nomeadamente Peter Cameron que sugeriu ser possível “que uma mais profunda estrutura
possa estar escondida, para além dos Quadrados Geomágicos”.
O selo publicado é um Quadrado Mágico Pandiagonal ou Nasik de Ordem 3 e de Dimensão 2
(2-D) ou seja, um Quadrado Mágico em que para além das Filas e das Colunas, todas as seis
Diagonais são Mágicas, incluindo as 4 designadas por Diagonais Quebradas. Neste caso, o Alvo
Mágico pode também ser obtido pela união de qualquer de 3 Formas/Peças existentes nos 4 cantos de
quadrado. Este Quadrado Geomágico tem significativo interesse porque um equivalente Numérico é
impossível de construir. A possibilidade de encontrar um Quadrado Geométrico Pandiagonal/Nasik de
Ordem 3 era, antes da sua descoberta, tudo menos certa, sendo um acontecimento para celebrar. O
recurso a Formas/Peças disjuntas (todas Pentominós) é uma indicação da dificuldade encontrada em
o encontrar.
5.9 Selo S172 (6/6): Método de Construção La Loubère ou Siamês
Existem várias metodologias para construir Quadrados Mágicos dependendo da classe (Simples,
Associado, Pandiagonal, etc.) e da Ordem. Contudo, estas metodologias gerais nem sempre se
aplicam a todas as Ordens de uma determinada classe, como é o caso para as Ordens inferiores (3 e 4),
por serem casos especiais. Para a construção de Quadrados Mágicos várias metodologias foram
criadas ao longo dos tempos, designadamente, as seguintes:
La Loubère ou Siamesa – Bachet de Méziriac – Philippe de la Hire – John Lee Fults – Ralph
Strachey – Escada – Diagonal – Salto de Cavalo – Lozenge (John Conway) – Dürer, etc.
17/27
A metodologia La Loubère foi criada pelo matemático francês Simon de la Loubère (1693), que a
aprendeu quando foi embaixador do Sião, razão pela qual também é conhecida por Siamesa.
O método La Loubère é um dos mais populares para construir Quadrados Mágicos de Ordem
Ímpar. A principal característica deste método consiste em preencher as Células das Diagonais em
sequência numérica para cima e à direita.
Vamos ver como funciona:
1.
2.
3.
4.
5.
Primeiro, a Célula do meio da Linha superior é preenchida com o número 1;
Sempre que se chega ao lado superior do quadrado, move-se para a Célula inferior da
Coluna da direita e continua-se a preencher a Diagonal, para cima e à direita, com os
números em sequência numérica;
Sempre que se chega ao lado direito do quadrado, move-se para a Célula mais à esquerda da
Fila acima e continua-se a preencher a Diagonal como anteriormente;
Sempre que se chega a uma Célula já preenchida, move-se para baixo uma Célula e
continua-se a preencher a Diagonal como anteriormente;
Sempre que se chega à Célula do canto superior direito, move-se para baixo uma Célula e
procede-se como em 3.
Neste selo, as linhas sobre as Células mostram a sequência numérica para as preencher de acordo
com a metodologia mencionada nos parágrafos 1 a 5.
6.
Emissão Quadrados Mágicos II: Bloco, Folha Miniatura, Sobrescrito do Primeiro Dia e Selos
6.1 Bloco B166 (1/1): Método de Construção Salto de Cavalo
Existem várias metodologias para construir Quadrados Mágicos, dependendo da Classe e da
Ordem. Entre elas, são de referir as de: La Loubère ou Siamese, Bachet de Méziriac, Philippe de la
Hire, John Lee Fults, Ralph Strachey, Salto de Cavalo, Dürer, etc.
No Bloco desta emissão o Método de Construção Salto de Cavalo é utilizado para construir um
Quadrado Mágico de Ordem 16, sendo o Circuito, um Circuito Fechado ou Reentrante.
Este método consiste, partindo de uma Célula Inicial, à qual se atribui o número 1, em preencher
numérica e sequencialmente as Células 1 a n2 de um Quadrado de Ordem n, usando os movimentos
característicos do Salto de Cavalo, no jogo de Xadrez.
Uma vez estabelecido o Circuito, entre a Célula Inicial de Partida e a Célula Final de Chegada,
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e se fôr possível prossegui-lo, isto é “Saltar”da Célula Final de Chegada para a Célula Inicial de
Partida, com um movimento legal de Salto de Cavalo, diz-se que o Circuito é Fechado ou
Reentrante e, neste caso, a Célula Inicial de Partida pode ser qualquer. Caso contrário o Circuito
diz-se Aberto ou Não Reentrante.
Quando os Saltos de Cavalo estabelecem um Circuito que gera um verdadeiro Quadrado Mágico,
isto é, em que as Filas, Colunas e Diagonais Principais apresentam a mesma Soma Mágica diz-se
que o Circuito é um Circuito de Cavalo Mágico (CCM).
Quando a Soma das Diagonais Principais é diferente da Soma das Filas e das Colunas o Circuito
designa-se por Circuito de Cavalo Semi-Mágico (CCSM).
A história de tentar pelo Método do Salto de Cavalo cobrir todas as Células de um Tabuleiro de
Xadrez, 8 × 8, ou de Tabuleiros de outras Dimensões n × n ou m × n, utilizando um único Circuito
remonta à Antiguidade, enquanto a tentativa de criar Quadrados Mágicos é muito mais recente muito
embora se possam relatar várias tentativas, entre elas, de matemáticos famosos como de Abraham De
Moivre (1667-1754), Leonhard Euler (1707-1783) e Adrien-Marie Legendre (1752-1833).
A De Moivre é atribuída a proeza de ter sido o primeiro a estabelecer um Circuito, em 1722,
embora Aberto, capaz de cobrir todas as Células de um Tabuleiro de Xadrez, 8 × 8. Por seu lado, anos
mais tarde, o mesmo feito, mas de forma mais complexa, uma vez que o Circuito que criaram é
Fechado, foi alcançado por Euler e Legendre, sem contudo ser Mágico. Euler está entre os primeiros a
estudar Circuitos de Cavalo sistematicamente e de forma cientifica, por volta de 1759. Também foi ele
que criou um dos primeiros métodos para os encontrar. Contudo, o procedimento mais conhecido
historicamente (Regra de Warnsdorff) foi criado por H.C. Warnsdorff, matemático Alemão, em 1823.
No que respeita a Semi Quadrados Mágicos criados por Saltos de Cavalo, outros, como: William
Beverly que, foi o primeiro a publicar, em 1847, um Semi-Quadrado Mágico de Ordem 8,com um
Circuito Aberto; Carl Wenzelides, que em 1849 publicou um Semi-Quadrado Mágico de Ordem 8,
com um Circuito Fechado; Krishnaraj Wadiar, que em 1852 publicou um Semi-Quadrado Mágico
de Ordem 8 com um Circuito Fechado; Carl F. Jaenisch, que em 1859 publicou um Semi-Quadrado
Mágico de Ordem 8, com um Circuito Fechado; M. A. Feisthamel, que em 1884 publicou um
Quadrado Mágico de Ordem 8, com um Circuito Aberto; distinguem-se na tentativa de criarem para a
Ordem 8 ou, o mesmo é dizer, para o Tabuleiro de Xadrez, um Quadrado Mágico com um Circuito de
Cavalo Mágico em Circuito Fechado. Este objectivo veio a provar-se ser impossível de concretizar,
em Agosto de 2003, (Guentar Stertenbrink 2003) através de uma enumeração computacional
completa de todas as possibilidades. Contudo, durante o processo, foram descobertos 140 diferentes
Circuitos de Cavalo Semi Mágico.
19/27
O interesse que despertou a criação de Quadrados Mágicos pelo Método do Salto de Cavalo, bem
como os Circuitos de Cavalo em Tabuleiros conduziram a estudos que concluíram não ser possível a
existência de Circuito de Cavalo Mágico em Tabuleiro n × n com n Impar, muito embora sejam
possíveis para todas os Tabuleiros de Ordem 4k × 4k para k>2.
De entre estes são de referir os primeiros 4 Quadrados Mágicos de Ordem 12, embora com um
Circuito Aberto criados por Awani Kumar em 2003 e publicados na Edição 26 do Jornal Jogos e
Quebra Cabeças. Sem resposta ainda ficou a pergunta da existência ou não de Quadrados Mágicos de
Ordem 12 com um Circuito Fechado.
Finalmente, é introduzido o Quadrado Mágico de Ordem 16, com um Circuito Fechado, o
Cavalo pode saltar da Célula 256 para a 1, que constitui o desenho do Bloco desta emissão, publicado
pelo autor Joseph S. Madachy, em 1979, no livro Madachy’s Mathematical Recreations.
Como se pode verificar no Bloco a atribuição dos números 1 a 256 às Células é feita
sequencialmente respeitando a regra do Salto de Cavalo no jogo de Xadrez. A Soma Mágica é igual a
2056.
6.2 Folha Miniatura
Nesta emissão, à semelhança do verificado na emissão Quadrados Mágicos I, a Folha Miniatura
também foi concebida para apresentar uma disposição dos valores faciais dos selos (1 a 9 patacas) igual
à disposição dos números 1 a 9 do Quadrado Mágico Luo Shu.
Na presente emissão são emitidos os últimos três selos, com as taxas de 8, 1 e 6 patacas,
correspondentes à Fila Inferior, conforme é referido na Nota Introdutória.
Nas Margens Laterais apresentam-se dois Esquemas de Ladrilhagem de Quadrados Mágicos,
propostos por David Harper, baseados na correspondência entre as bases numéricas decimal e
binária.
Tratando-se de uma Configuração com 16 motivos (1 a 16), é adequada para Ladrilhar Quadrados
Mágicos de Ordem 4 e suas repetições contínuas.
Na Margem Direita da Folha, o Esquema toma como base um Triângulo Rectângulo, e na
Margem Esquerda um Quadrado, ambos com uma área igual a 1/4 da Célula.
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Quando, num Quadrado Mágico de Ordem 4 e suas extensões, se substituem os números 1 a 16
pelos Ladrilhos equivalentes, Padrões de grande beleza visual podem ser obtidos.
6.3 Sobrescrito do Primeiro Dia ENA195/ENB168: Círculos Mágicos De Yang Hui
Muito pouco é conhecido sobre os Matemáticos Chineses da antiguidade, devido ao facto do
Imperador Qin Shi Huang (秦始皇) (259-210 B.C.) ter dado instruções, não só para que alguns livros
fossem queimados, como ainda para que os académicos fossem mortos (213 B.C.).
Entre os trabalhos Clássicos de Matemática, Jiu Zhang Suan Shu (九章算術), Nove Capítulos
das Artes da Matemática, (10 B.C. – 2), é provavelmente o mais importante. É composto, como o
título sugere, por 9 Capítulos com 246 problemas cobrindo aspectos práticos da vida diária como:
Pesos, Medidas, Agrimensura, Recolha de Impostos, etc. e Equações Lineares.
Foi somente durante a Dinastia Tang (618 – 907) que os trabalhos matemáticos mais importantes e
até então conhecidos foram compilados, sendo designados mais tarde por Suan Jing Shi Shu (算經十
書), os Dez Cânones Computacionais.
O Século XIII foi provavelmente um dos períodos mais relevantes na História da Matemática
Chinesa, com a publicação de Shu Shu Jiu Zhang (數書九章), 1247, de Qin Jiu Shao (秦九韶)
e Ce Yuan Hai Jing (測圓海鏡) de Li Ye (李冶) seguidas, quinze anos mais tarde, pelos trabalhos
de Yang Hui (楊輝).
Yang Hui ( 楊輝 ), (1238-1298), nasceu em Qiantang (錢塘) (actual Hangzhou (杭州)), na
Província de Zhejiing, durante o último período da Dinastia Song (宋朝) (960-1279), tendo
aprendido matemática a partir dos trabalhos de Liu Yi, nascido em Zhongshan na Província de Hebei
(河北中山府).
Entre os seus trabalhos, é relevante mencionar os seguintes:
1261–Xiangjie Jiu Zhang Suanfa ( 詳 解 九 章 算 法 ) – Análise Detalhada das Regras
Matemáticas nos Nove Capítulos e suas Reclassificações;
1262–Riyong Suanfa (日用算法) – Métodos Matemáticos para Uso Geral no Dia a Dia;
1274–Chengchu Tong Bian Suanbao ( 乘 除 通 變 算 寶 ) – Variações Alfa e Ómega na
Multiplicação e Divisão, que consiste nos 3 volumes seguintes: Suanfa Tongbian Benmo Juan
Shang (算法通變本末卷上), Vol. I, Mudanças Fundamentais no Cálculo; Chengchu Tongbian
Suanbao Juan Zhong (乘除通變算寶卷中), Vol. II, Tesouro Computacional para Variações na
Multiplicação e Divisão; e Fasuan Quyong Benmo Juan Xia (法算取用本末卷下), Vol. III,
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Princípios das Aplicações da Matemática.
1275–Tianmu Bilei Chengchu Jiefa (田畝比類乘除捷法) – Regras Práticas de Matemática
para Agrimensura, Vol. I e Vol. II.
1275–Xugu Zhaiqi Suanfa (續古摘奇算法) – Continuação da Utilização de Métodos Antigos
para Elucidar Propriedades Estranhas dos Números, Vol. I e Vol. II.
Subsequentemente, os últimos três trabalhos acima mencionados de Yang Hui, consistindo em 7
volumes, foram compilados e publicados em 1378, no que hoje se conhece por Yang Hui Suanfa (楊
輝算法) , Métodos Computacionais de Yang Hui.
Os tópicos abordados por Yang Hui incluem a: Multiplicação, Divisão, Extracção de Raízes,
Equações Quadráticas e Sistemas de Equações, Séries, Calculo de Áreas de Polígonos e ainda
Quadrados e Círculos Mágicos, o Teorema Binomial, e o trabalho mais conhecido, a sua contribuição
para o Triângulo de Yang Hui (descoberto pelo seu predecessor Jia Xian (賈憲)) e que, quatro
séculos depois, viria a ser redescoberto pelo Matemático Francês Blaise Pascal (1653).
No Canto Inferior Esquerdo, do Sobrescrito do Primeiro Dia, apresentam-se os Círculos Mágico
de Yang Hui .
Estes Nove Círculos são compostos por 72 Números, de 1 a 72, sendo cada Círculo constituído
por 8 Números. Os Números vizinhos formam Quatro Círculos Adicionais, também com 8 Números,
o que perfaz 13 Círculos no Quadrado, [NW, N, NE, (NW, N, C, W), (N, NE, E, C), W, C, E, (W, C, S,
SW), (C, E, SE, S), SW, S, SE] com 8 Números cada, com as propriedades seguintes:
•
•
•
•
Soma Total dos 72 Números = 2628;
Soma dos 8 Números de cada Circulo = 292;
Soma dos 3 Círculos ao longo das Linhas Horizontais = 876;
Soma dos 3 Círculos ao longo das Colunas Verticais = 876;
•
Soma dos 3 Círculos ao longo das Diagonais Principais = 876.
6.4 Selo S193 (3/1): McClintock / Ollerenshaw – Mais-Perfeito
Não é possível estabelecer a história dos Quadrados Mágicos Mais-Perfeitos sem mencionar
Kathleen Timpson Ollerenshaw. Independentemente de ser quase completamente cega desde jovem
pôde obter um Doutoramento em Matemática pela Universidade de Oxford. Embora a maior parte a
sua vida adulta fosse devotada a trabalho voluntário em serviços sociais, educação pública e política –
foi condecorada com o Grau de Comendador da Ordem do Império Britânico (DBE) – pôde ainda
reservar algum tempo para trabalhar na área das Matemáticas.
22/27
Não só publicou um artigo, em 1980, aonde explicou um dos primeiros métodos gerais para
resolver o Cubo de Rubic, mas ainda, em 1982, com Hermann Bondi desenvolveu uma construção
matemática analítica em que pôde verificar o número 880, para os essencialmente diferentes
Quadrados Mágicos de Ordem 4, proposto por Bernard Frénicle de Bessey, no Século XVII.
Depois deste sucesso começou a estudar Quadrados Mágicos Pandiagonais tendo como base
trabalhos publicados por Emory McClintock, em 1897. Após vários anos, em 1986, Kathleen
Ollerenshaw publicou em artigo, fazendo uso de Simetrias, onde provou que existem 368340
essencialmente diferentes Quadrados Mágicos Mais-Perfeitos de Ordem 8.
Passo a passo, pôde descobrir como construir e como contar o número total de Quadrados
Mágicos de Ordem Potência de Base 2, depois para Quadrados Mágicos de Ordem Múltipla de
Potência de Base 2 e, finalmente, para todas as Ordens Múltiplas de 4.
Conjuntamente com David Brée, que a ajudou a organizar os seus apontamentos de investigação e
a corrigi-los, finalmente, publicaram, em 1998, o livro “Most-Perfect Pandiagonal Magic Squares:
Their Construction and Enumeration”. O livro recebeu reconhecimento internacional constituindo
um notável sucesso para uma mulher de 85 anos.
Mais tarde diria: “Tenho esperança de ter encorajado outros. O prazer da descoberta não é um
privilégio reservado somente aos jovens.”
Como anteriormente se definiu, um Quadrado Mágico Mais-Perfeito é um Quadrado Mágico
Pandiagonal de Ordem Duplamente Par com as duas seguintes propriedades adicionais:
•
As Células de qualquer quadrado de Ordem 2, (2×2 Células) extraído dele, mesmo quando
obtido pelo processo de Enrolar, somam o mesmo valor, 2(1 + n2);
•
Ao longo das Diagonais Principais e Quebradas quaisquer dois números separados por n/2
Células, formam um Par Complementar, i.e. somam 1 + n2.
No caso do Quadrado Mágico Mais-Perfeito de Ordem 8 reproduzido no Selo as propriedades
referidas apresentam os seguintes resultados:
• 2(1 + n2) = 2(1 + 82) = 130
Enrolar, exemplos: (59 + 38 + 7 + 26) = (48 + 33 + 18 + 31) = (41 + 4 + 32 + 53) = 130
• (1 + n2) = (1 + 82) = 65
Diagonal Quebrada, exemplos: (1 + 64) = (34 + 31) = (25 + 40) = (35 + 30) = 65
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6.5 Selo S193 (3/2): David Collison – Quadrado Mágico Manta de Retalhos
David M. Collison (1937-1991) nasceu no Reino Unido e viveu em Anaheim, Califórnia. Foi um
profícuo criador de Quadrados e Cubos Mágicos a quem, não só é atribuída a criação de Quadrados
Mágicos Colcha de Retalhos apresentados neste selo, mas ainda a criação de um Cubo Bimágico de
Ordem 25, publicado mais tarde por John R. Hendricks. Especializou-se em Formas Gerais a partir
das quais criou Quadrados Mágicos Colcha de Retalhos.
Um Quadrado Mágico Colcha de Retalhos é um Quadrado Mágico Interior – um Quadrado
Mágico que contém dentro dele outros Quadrados Mágicos, muitas vezes colocados nos
Quadrantes – que contém Quadrados Mágicos ou Formas Mágicas Estranhas dentro dele.
A Forma mais comum é a de Rectângulo Mágico, mas Formas de Diamantes, Cruzes, Cotovelos
e em L também podem se encontradas.
Estas Formas são Mágicas se a Soma em cada Direcção foi proporcional ao número de Células.
Por exemplo, se um Rectângulo 6 × 8, na Direcção mais Curta soma 120, então, na Direcção mais
Longa deve somar 160. A Soma das Diagonais Principais não necessita de ser igual à Soma Mágica a
menos que pertençam a Quadrados.
O Quadrado Mágico Colcha de Retalhos de Ordem 14, reproduzido neste selo, tem as seguintes
propriedades:
Contém: Quatro Quadrados Mágicos de Ordem 4, 4 × 4, nos Quadrantes; uma Cruz Mágica
no Centro, 6 × 6; quatro Tês Mágicos, 6 × 4, nos Centros dos Lados; e quatro Cotovelos
Mágicos, 4 × 4, nos Cantos.
Todas as Formas somam uma Constante directamente proporcional ao número de Células na
Fila, Coluna ou Diagonal Principal: S2=197; S4=394; S6=591; S14=1379. A Média para cada
Célula é igual a 98,5.
Harvey Heinz transformou os Quatro Quadrados Mágicos de Ordem 4, acima referidos, de
Associados em Pandiagonais, movendo as duas Filas Inferiores para Superiores e, depois, duas
Colunas à Esquerda para duas Colunas à Direita.
6.6 Selo S193 (3/3): Inder Taneja – IXOHOXI 88
Inder Taneja foi professor, durante 34 anos (1978 – 2012), no departamento de Matemática de
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Universidade de Santa Catarina, Brazil. Obteve o Mestrado (1972) e o Doutoramente (1975) em
Matemática pela Universidade de Nova Deli, Índia.
Realizou investigação Post-Doutoral em Itália (1983) e Espanha (1989). A sua investigação tem
como área de interesse a Teoria da Informação especialmente nas Medidas de Informação,
Probabilidade de Erros, Codificação Sem-ruído, Teoria de Conjuntos Difusos, Desigualdades, etc.
Quadrados Mágicos, Aplicações relativas a Medidas de Informação ligadas ao Código Genético
DNA, etc. são dos seus mais recentes interesses. Publicou mais de 100 artigos de investigação em
jornais de reputação internacional. Cinco capítulos sobre medidas de informação numa série de livros.
Um livro sobre Medidas de Informação, em tempo real, na internet.
Os Quadrados Mágicos IXOHOXI são uma série especial que podem, não somente apresentar as
propriedades comuns de outras classes de Quadrados Mágicos e incluir propriedades alternativas
como Simetrias, Rotações e Reflexões.
A palavra IXOHOXI é ela própria um Palindromo e Simétrica (Reflexão), em relação ao seu
centro “H”.
Como pode ser visto no selo, as Propriedades Simétricas não só se aplicam ao Quadrado em si
mas também aos números, formados pelo Mostrador LED de 7 Segmentos, que foram
intencionalmente escolhidos para preencher as Células.
Dos 10 dígitos (0 a 9) criados pelo Mostrador LED de 7 Segmentos, somente cinco (0, 1, 2, 5 e 8),
no formato digital, conservam o mesmo número, após uma Rotação de 180 Graus (o 6 torna-se 9 e o
9 torna-se 6). Quando vistos ao espelho, também conservam os mesmos números (o 2 transforma-se
em 5 e vice-versa).
É de referir, ainda, que os 4 dígitos (0, 1, 2 e 5) utilizados na Construção do Quadrado Mágico de
Ordem 4, são precisamente os mesmos dígitos que constituem o ano 2015, ano da sua publicação em
selo.
Levando em consideração estes 5 dígitos e as suas Propriedades Simétricas, Inder Taneja criou o
Quadrado Mágico de Ordem 4 IXOHOXI Universal 88, reproduzido no selo e que apresenta as
seguintes propriedades:
1 - O Quadrado Mágico ainda se mantém um Quadrado Mágico:
Após uma Rotação de 180 graus;
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Se visto ao espelho, reflectido na água ou visto pelo verso da folha;
A Soma Mágica S do Quadrado Mágico de Ordem 4 é igual a 88, número este que também
goza de propriedades Simétricas e de Rotação.
2 - Adicionalmente, quando consideramos o Quadrado Mágico de Ordem 5, IXOHOXI (88+88), a
Soma Mágica é 176 e neste caso goza da propriedade adicional, ser Pandiagonal.
7.
Bibliografia
Andrews, W.S. – Magic Squares & Cubes, Dover Publ., 1960
Block, Seymour S. & Tavares, Santiago A. – Before Sudoku, Oxford Press, 2009
Benson, W. & Jacoby, O. – New Recreations with Magic Squares, Dover Publ., 1976
Fults, John Lee – Magic Squares, Open Court Publ., 1974
Heinz, Harvey D. & Hendricks, John R. – Magic Square Lexicon, HDH, 2000
Hendricks, John R. – The Magic Square Course, Unpublished, 1991
Moran, Jim – The Wonders of Magic Squares, Vantage Books, 1982
Olivastro, Dominic – Ancient Puzzles, Bentam Books, 1993
Ollerenshaw, K & Brée, D. –Most-Perfect Pandiagonal Magic Squares, Cambridge Univ. Press, 1998
Pickover, Clifford A. – The Zen of Magic Squares, Circles, and Stars, Princeton Univ. Press, 2002
Sallows, Lee C.F. – Geometric Magic Squares, Dover Publ., 2013
Swetz, Frank J. – Legacy of the Luo Shu, Open Court Publ., 2002
[Quadrados Mágicos]
http://www.magic-squares.net
[Método De Construção Salto De Cavalo]
http://www.mayhematics.com/t/t.htm
[Chinese mathematics history, development of polynomial equation]
http://goo.gl/OTeisL
[Yang Hui]
http://www.encyclopedia.com/doc/1G2-2830904744.html
[Yang Hui’s methods of computation]
https://archive.org/details/02094039.cn/
[Inder Taneja]
http://mtm.ufsc.br/~taneja/
[IOXHOXI 88]
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http://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1005/1005.1384.pdf
[Quadrados Mágicos Mais-Perfeito - David S. Brée and Kathleen Ollerenshaw]
http://goo.gl/3fkR0a
Autor do texto e concepção da emissão:
Carlos Alberto Roldão Lopes
Colaboradores:
Lee Sallows – Selo S172 (6/5): Lee Sallows – Panmágico 3×3
Inder Taneja – Selo S193 (3/3): Inder Taneja – IXOHOXI 88
Recolha de informação:
Lao Lan Wa, Ieong Chon Weng e Sio Sio Ha
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