IYPT- INTERNATIONAL YOUNG PHYSICISTS
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IYPT- INTERNATIONAL YOUNG PHYSICISTS’ TOURNAMENT 2015 JOÃO MARCOS BRANDET PROBLEMA 1 INTRODUÇÃO Qual é a forma mais compacta de empilhar esferas de mesmo raio? Este é um problema que sempre interessou aos produtores de laranjas ou maçãs que querem, com razão, economizar engradados. Em 1611, Johannes Kepler sugeriu que a forma mais eficiente de empilhar objetos esféricos, como laranjas, era em uma formação de pirâmide. Infelizmente, ele não conseguiu provar o que ficou chamado de conjectura de Kepler. Acontece que o problema revelou-se mais difícil do que aparentava inicialmente. Quem conseguiu fazer essa demonstração, já no século 19, foi o grande matemático Karl Gauss. Na verdade, o que Gauss demonstrou foi que o arranjo CFC é o mais denso dos arranjos regulares. Em um arranjo regular, há uma periodicidade na disposição dos planos de esferas. A demonstração de Gauss, portanto, não inclui a possibilidade de haver um arranjo desordenado mais denso que o arranjo CFC.Para visualizar o arranjo "cúbico de face centrada" (CFC) imagine um cubo e coloque uma esfera em cada vértice desse cubo. Depois, coloque uma esfera no centro de cada face do cubo. Todas as esferas devem ter o mesmo raio. Por fim, imagine que cada aresta do cubo vai encolhendo simultaneamente até que cada esfera encoste em outras vizinhas e o encolhimento não possa prosseguir. A figura abaixo mostra, à esquerda, a 1 estrutura CFC antes do colapso das arestas do cubo. A figura à direita mostra a estrutura já compactada. Vemos a disposição das esferas nas imagens a seguir Um bom exercício de geometria espacial, que recomendamos, consiste em mostrar que a densidade dos arranjos CFC ou HCP vale: E para partículas não-esféricas,quais características como o número de coordenação, a orientação ou a fração de empacotamento aleatório( random colose packing) dependem dos parâmetros relevantes ?É o que veremos neste trabalho. EMBASAMENTO TEÓRICO E METODOLOGIA RANDOM CLOSE PACKING Analisando a fração de empacotamento aleatório ( random close packing) 2 Random close packing (RCP) é um parâmetro empírico utilizado para caracterizar a fração de volume máximo de objetos sólidos obtidos quando eles são embalados aleatoriamente. Por exemplo, quando um recipiente sólido está cheio de grãos, agitando-o irá reduzir o volume ocupado por objetos, permitindo assim que mais de grãos sejam colocados no interior do recipiente . Em outras palavras, agitação aumenta a densidade dos objetos embalados. RCP não tem uma definição geométrica precisa. Ela é definida estatisticamente, e os resultados são empíricos. Um recipiente é cheio com objetos de forma aleatória, e, em seguida, o recipiente é agitado ou batido até que os objetos não compactem ainda mais, neste ponto, o estado de empacotamento é RCP. A definição da fração de empacotamento pode ser dada como: "o volume feito pelo número de partículas num determinado espaço do volume". Em outras palavras, fração de empacotamento define a densidade de empacotamento. Demonstrou-se que a fração de enchimento aumenta com o número de toques até que a densidade de saturação seja atingida. Além disso, a densidade de saturação aumenta à medida que diminui a amplitude “tapping”. Assim RCP é a fração de empacotamento dado pelo limite quando a amplitude de toque vai para zero, e o limite como o número de toques vai para infinito. A fração de volume de partículas em RCP depende dos objetos que estão sendo embalados. Se os objetos são polidispersos, em seguida, a fração de volume depende não- trivialmente sobre a distribuição de tamanho e pode ser próximo de 1. Para objetos monodispersos o valor para a RCP depende da forma do objeto; para esferas é 0,64; para balas tipo M & M é de 0,68. 3 Esse tema tem sido muito discutido em debates físicos e matemáticos. Diversos matemáticos têm desenvolvido fórmulas para resolver as questões que envolvam a RCP.Uma dessas fórmulas é o modelo de CarmanKozeny,conforme o que vemos abaixo: Onde K – permeabilidade (m2) – porosidade (dimensões) d – diâmetro esférico (m) k – constante de Kozeny-Carman A equação de Kozeny–Carman Rumpf e Gupte também desenvolveram uma fórmula para entender melhor esse tema: NÚMERO DE COORDENAÇÃO Na ciência dos materiais, o número de coordenação em grandes quantidades de um determinado átomo no interior de uma estrutura de cristal é 4 o número de átomos que tocam na molécula dada. Ferro de engomar a 20 ° C tem um corpo cúbico centrado (BCC) de cristal em que cada átomo de ferro interior ocupa o centro de um cubo formado por oito átomos vizinhos de ferro. O número de coordenação em massa para essa estrutura é, portanto, 8. O número de coordenação em massa mais alta é 12, encontrado no HCP ( hexagonal close-packed) e no CCP (cubic close-packed). Este valor de 12 corresponde ao limite teórico do número do problema quando todas as esferas são idênticas. As duas formas alotrópicas mais comuns de carbono têm diferentes números de coordenação. No diamante, cada átomo de carbono está no centro de um tetraedro formado por outros quatro átomos de carbono, de modo que o número de coordenação é quatro, como para o metano. A grafite é feito de camadas bidimensionais, no qual cada carbono está ligado de forma covalente a outros três átomos de carbono. Os átomos em outras camadas são muito mais distantes e não são vizinhos mais próximos, de modo que o número de coordenação de um átomo de carbono na grafite é 3 como em etileno. Estruturas iónicos simples são descritas por número de coordenação dois, um para cada tipo de ion. Fluoreto de cálcio é uma (8, 4) estrutura, o que significa que cada cátion Ca² + é cercado por oito F- vizinhos ânions e cada ânion F- por quatro Ca² +. Para o cloreto de sódio (NaCl), o número de cations e anions são iguais, e ambos são números de coordenação de seis, de modo que a estrutura é (6, 6). Para um átomo de cada superfície de um cristal, o número de coordenação de superfície é sempre menor do que o número de coordenação grandes quantidades. O número de coordenação de superfície é dependente 5 dos índices de Miller da superfície. Em um BCC o número de coordenação maior é 8, que, para o de superfície (100), o número de coordenação superfície é 4. Diferentes índices de Miller 6 BBC- Ferro Onde Então . Logo, Dependendo do tipo e da posição com que se encontram os grãos de arroz,por exemplo, poderão haver variações no interior de uma caixa,ou seja, poderá caber ou não mais grãos na caixa. 7 Para entendermos melhor esse problema da IYPT, foram realizados experimentos. Conforme o que mostra nas imagens em anexo, foram pegos 200 grãos de arroz da marca Prato Fino tipo parboilizado e colocados numa caixa de chá. Essa quantidade de grãos encheu a caixa. Depois que foram colocados na caixa,a caixa foi agitada e percebeu-se que cabiam mais grãos.Foram adicionados 50 grãos de arroz.A caixa foi agitada novamente e percebeu-se que cabiam ainda mais grãos. Com o experimento anterior, conclui-se que quanto mais agitada é a caixa, mais grãos poderemos adicionar no recipiente. Quando agitamos a caixa, a posição dos grãos de arroz muda. Mudando a posição, cabem mais grãos. O mesmo procedimento do experimento anterior foi feito para grãos de feijão e soja. Foram colocados 152 grãos de soja e posteriormente a caixa foi agitada.Percebeu-se que cabiam mais grãos.Foram adicionados 24 grãos de soja, a caixa foi agitada e percebeu-se o mesmo resultado do experimento com arroz. Se observarmos um sólido ou analisarmos o centro de massa, temos que: 8 A posição de uma partícula não- esférica em relação à caixa pode ter um ângulo,expresso por: Pois, 9 Onde, Analisando a posição do objeto, temos que: 10 CONCLUSÃO A necessidade de estudar de que maneira características como o número de coordenação, a orientação ou a fração de empacotamento aleatório (random close packing) dependem dos parâmetros relevantes é de extrema importância.Através desse estudo pode-se saber mais sobre como aproveitar mais o espaço de pacotes e embalagens. Conhecendo e analisando as variáveis apresentadas por esse trabalho pode-se economizar embalagens e aumentar a quantidade de grãos por pacote. Dependendo do tipo de grão de arroz,palitos de fósforo ou balas tipo M&M’s, podem haver variáveis que facilitam o entendimento e a compreensão de espaço ocupado pelos objetos no interior de uma caixa. A temperatura no interior da caixa, a quantidade de espaços vazios dentro da caixa e o ângulo formado entre, por exemplo, um grão de arroz e a parede da caixa são fatores que podem depender dos parâmetros relevantes apresentados nesse projeto. Random Close Packing é um assunto muito discutido e que poderá ajudar na economia de embalagens e no aumento do armazenamento de objetos no interior de recipientes. 11 REFERÊNCIAS Wikipedia: Kepler conjecture, https://en.wikipedia.org/wiki/Kepler_conjecture Wikipedia: Random close pack, https://en.wikipedia.org/wiki/Random_close_pack Wikipedia: Coordination number, https://en.wikipedia.org/wiki/Coordination_number W. Man, A. Donev, F. H. Stillinger, M. T. Sullivan, W. B. Russel, D. Heeger, S. Inati, S. Torquato, and P. M. Chaikin. 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