Notas de Aula 7

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Notas de Aula 7

Nona
Edição
Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática
Prof.: Anastácio Pinto Gonçalves Filho
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Nona
Edição
Centro de Gravidade de um Corpo Bidimensional
• Centro de gravidade de uma placa:
M
M
y
• Centro de gravidade de um fio:
x W   x W
  x dW
x
yW   y W
  y dW
5-2
Nona
Edição
Centroides e Momentos de Primeira Ordem de Superfícies e Curvas
• Centroide de uma superfície:
• Centroide de uma curva:
x W   x dW
x At    x t dA
x A   x dA  Qy
 momento de primeira ordem em relação a y
x W   x dW
x  La    x  a dL
x L   x dL
yL   y dL
yA   y dA  Qx
 momento de primeira ordem em relação a x
5-3
Nona
Edição
Momentos de Primeira Ordem de Superfícies e Curvas
• Uma superfície é simétrica em relação a uma eixo
BB’ se para cada ponto P da superfície há um
ponto P’ tal que a linha PP’ é perpendicular a BB’
e é dividida em duas partes iguais por esse eixo.
• O momento de primeira ordem de uma superfície
em relação a um eixo de simetria é zero.
• Se uma superfície tiver um eixo de simetria, seu
centroide fica localizado sobre esse eixo.
• Se uma superfície tiver dois eixos de simetria, seu
centroide deverá se localizar na interseção dos dois.
• Uma superfície é simétrica em relação a um centro
O se, para cada elemento de superfície dA em (x,y)
existir um elemento dA’ de mesma área em (-x,-y).
• O centroide de uma superfície coincide com o seu
centro de simetria.
5-4
Nona
Edição
Centroides de Superfícies Planas de Formatos Usuais
5-5
Nona
Edição
Centroides de Curvas Planas de Formatos Usuais
5-6
Nona
Edição
Placas e Fios Compostos
• Placas compostas:
X W   x W
Y W   y W
• Superfícies compostas:
X  A   xA
Y  A   yA
5-7
Nona
Edição
Problema Resolvido 5.1
SOLUÇÃO:
Para a superfície plana mostrada,
determine os momentos de primeira
ordem em relação aos eixos x e y e a
localização do centroide.
• Dividimos a área em um triângulo, um
retângulo e um semicírculo com um
orifício circular.
• Calculamos os momentos de primeira
ordem de cada superfície em relação aos
eixos x e y.
• Encontramos a área total e os momentos
de primeira ordem do retângulo, do
triângulo e do semicírculo. Subtraímos a
área e o momento de primeira ordem do
orifício circular.
• Calculamos as coordenadas do centroide
da superfície dividindo os momentos de
primeira ordem pela área total.
5-8
Nona
Edição
• Encontramos a área total e os momentos de
primeira ordem do retângulo, do triângulo e do
semicírculo. Subtraímos a área e o momento de
primeira ordem do orifício circular.
Qx  506,2 103 mm 3
Qy  757,7 103 mm 3
5-9
Nona
Edição
• Calculamos as coordenadas do centroide
da superfície dividindo os momentos de
primeira ordem pela área total.
x A  757,7 10 mm

X

 A 13,828 10 mm
3
3
3
2
X  54,8 mm
y A  506,2 10 mm

Y 

 A 13,828 10 mm
3
3
3
2
Y  36,6 mm
5 - 10
Nona
Edição
Determinação de Centróides por Integração
x A   xdA   x dxdy   xel dA
yA   ydA   y dxdy   yel dA
• A integração dupla para encontrar o momento
de primeira ordem pode ser evitada definindose o elemento de área dA como um retângulo
estreito ou um setor estreito.
x A   xel dA
x A   xel dA
yA   yel dA
ax
 a  x dy 
2
yA   yel dA
  x  ydx 

y
 ydx 
2

  y a  x dy 
x A   xel dA

2r
1

cos   r 2 d 
3
2

yA   yel dA

2r
1

sen  r 2 d 
3
2

5 - 11
Nona
Edição
SOLUÇÃO:
• Determinamos a constante k.
• Calculamos a área total.
Determine por integração direta a
localização do centroide da superfície
sob um arco parabólico.
• Utilizando um elemento diferencial
vertical ou horizontal, encontramos
os momentos de primeira ordem por
integração simples.
• Determinamos as coordenadas do
centroide.
5 - 12
Nona
Edição
SOLUÇÃO:
• Determinamos a constante k.
y  k x2
b
b  k a2  k  2
a
b
a
y  2 x 2 or x  1 2 y1 2
a
b
• Determinamos a área total.
A   dA
3 a

b
b x
  y dx   2 x 2 dx   2 
 a 3  0
0a
ab

3
a
5 - 13
Nona
Edição
• Utilizando um elemento diferencial vertical,
encontramos os momentos de primeira ordem
por integração simples.
a
 b

Q y   xel dA   xydx   x 2 x 2 dx

0 a
a
 b x4 
a 2b
 2
 
4
 a 4  0
2
a
y
1 b

Q x   yel dA   ydx    2 x 2  dx
2

02a
a
 b2 x5 
ab 2
 4  
 2a 5  0 10
5 - 14
Nona
Edição
• Ou, utilizando um elemento horizontal,
encontramos os momentos de primeira ordem
por integração simples.
b 2
ax
a  x2
a  x dy  
Q y   xel dA  
dy
2
2
0
1 b  2 a 2
  a 
2 0 
b
2

a
b
y dy 

4

a


Q x   yel dA   y a  x dy   y a  1 2 y1 2 dy


b
a 3 2
ab 2

   ay  1 2 y dy 
10

b
0
b
5 - 15
Nona
Edição
• Encontramos as coordenadas do
centroide.
xA  Qy
ab a 2b
x

3
4
y A  Qx
2
ab ab
y

3
10
3
x a
4
y
3
b
10
5 - 16
Nona
Edição
Centro de Gravidade de um Corpo Tridimensional: Centroide de um Sólido
• Centro de gravidade G:


 W j    W j 




rG   W j    r   W j 




rGW   j    r W    j 
W   dW


rGW   r dW
• As relações obtidas são independentes da
orientação do corpo,
xW   xdW yW   ydW zW   zdW
• Para corpos homogêneos,
W   V e dW   dV
xV   xdV
yV   ydV
zV   zdV
5 - 17
Nona
Edição
Centroides de Sólidos de Formatos Usuais
5 - 18
Nona
Edição
Corpos Tridimensionais Compostos
• O momento gerado pelo peso total de um corpo
concentrado em seu centro de gravidade G é igual à
soma dos momentos dos pesos das partes que
compõem o corpo,
X W   x W
Y W   yW
Z W   z W
• Para corpos homogêneos,
X V   x V
Y V   yV
Z V   z V
5 - 19
Nona
Edição
SOLUÇÃO:
• O elemento de máquina pode ser obtido
somando-se um paralelepípedo retangular a
um quarto de círculo e então subtraindo-se
dois cilindros de diâmetro igual a 2,5 cm.
Determine o centro de gravidade do
elemento de máquina de aço. O
diâmetro de cada furo é de 2,5 cm.
5 - 20
Nona
Edição
5 - 21
Nona
Edição
X   xV

4
V

1
19,01
cm

 82,57 cm 
3
X  1,44 cm
Y   yV
V  197,15 cm  82,57 cm 
4
3
Y  2,39 cm
Z   zV

4
V

3
34,07
cm

 82,57 cm 
3
Z  4,05 cm
5 - 22
Nona
Edição
Sample Problem 5.11a
Exercício
Determine a localização do centro de gravidade do corpo de
revolução homogêneo mostrado na figura, que foi obtido
adicionando-se um hemisfério e um cilindro e substraindo-se
um cone.
Nona
Edição
Sample Problem 5.11b

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