No. 18 Amortização de empréstimos

Apontamento No. 18
AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS
Amortizações. Amortizações com prestações constantes. Amortizações com reembolsos
constantes.
Brief overview
Há várias formas de pagar voluntariamente tudo o que se deve em termos de capital e do
juro acordado. O capital e o juro podem ser pagos ambos duma só vez, ou, podem ser
pagos gradualmente ao longo do prazo do empréstimo. Os empréstimos em que o
capital e o juro são pagos duma só vez no vencimento são típicos dos instrumentos de
desconto, como são os bilhetes do tesouro e o papel comercial das empresas. Este
apontamento trata dos empréstimos que são pagos gradualmente. Comparam-se ainda as
virtudes dos dois sistemas de amortização de empréstimos que se caracterizam por
prever prestações constantes num caso, e reembolsos constantes no outro.
AMORTIZAÇÕES
Um empréstimo é um contrato que estabelece a cedência temporária duma certa quantia
em dinheiro por parte duma determinada entidade (banco, sociedade não-financeira,
entidade pública, ou mesmo um indivíduo) a favor de outra entidade sob condição de
reembolso integral do capital emprestado e dos juros acordados. O credor é a entidade
que cede temporariamente o capital. A entidade que faz uso do capital e se obriga ao seu
reembolso e ao pagamento dos juros é o devedor. Num empréstimo bancário, o credor é
por vezes descrito como o mutuário e devedor é o mutuante. Um empréstimo diz-se
interbancário quando as duas partes do empréstimo são dois bancos que passam a ser
contratualmente conhecidos como contrapartes do empréstimo.
A quantia em dinheiro que é desembolsada inicialmente num empréstimo bancário é o
chamado valor nominal ou principal do empréstimo. Também se lhe chama o valor do
par do empréstimo. O período de tempo que medeia entre a data do desembolso dos
fundos emprestados e a data em que o capital deve estar integralmente reembolsado
pelo devedor/mutuante, é o prazo do empréstimo. As dívidas de longo prazo com mais
de um ano são descritas como empréstimos enquanto as dívidas de curto prazo com
menos de um ano são descritas como créditos.
Os empréstimos que são pagos integralmente e duma só vez no vencimento, são
semelhantes a instrumentos de desconto. São empréstimos que dão direito só ao
reembolso do valor nominal do capital emprestado, sem pagamento (explícito) de juros.
Por isso, o pagamento simples devido na data de vencimento é descrito como o valor
nominal ou principal do empréstimo. A quantia sob a forma dos fundos desembolsados
-2inicialmente pelo credor é por tanto e em geral menor que o valor do principal. O juro
implícito é calculado como a diferença entre o valor nominal e o montante do
desembolso inicial dos fundos emprestados.
A amortização dum empréstimo é o processo relativo ao pagamento dos juros e ao
reembolso gradual do capital emprestado. Chama-se a atenção para alguns Autores que
usam o termo amortização no sentido mais restrito de processo relativo ao reembolso
gradual do capital emprestado. No uso que é feito aqui do sentido mais amplo do termo,
os empréstimos amortizáveis são normalmente pagos em prestações periódicas iguais.
Cada prestação ou pagamento parcelar pode então ser decomposto em duas quotas: a
quota juro, ou pagamento dos juros acordados sobre o capital em dívida, e a quota de
capital, ou reembolso parcial do capital em dívida. O calendário das amortizações dum
empréstimo é usualmente chamado plano de amortização.
Os sistemas de escalonamento temporal das prestações relativas a um processo de
amortização são representações formais de contratos de rendas. O sistema de
amortização típico das obrigações soberanas emitidas pelos países com economias
avançadas exemplifica a combinação duma renda temporária e constante, associada ao
pagamento dos juros, com um pagamento simples relativo ao reembolso integral do
capital emprestado. Este sistema dito convencional ou clássico de amortização é
também conhecido como sistema Americano de amortização de empréstimos.
Os empréstimos pessoais para compra de habitação ou para aquisição de viaturas são
exemplos comuns de empréstimos amortizáveis. Os dois sistemas mais usados na
amortização de empréstimos pessoais prevêem o pagamento de prestações constantes
num caso, e o pagamento de reembolsos constantes no outro sistema. São dois sistemas
de amortização com várias aplicações na finança das famílias.
AMORTIZAÇÕES COM PRESTAÇÕES CONSTANTES
O sistema de amortização de empréstimos que prevê o pagamentos dos juros e o
reembolso do capital em prestações periódicas constantes é também conhecido como
sistema Francês. Esta sequência de prestações periódicas constantes é uma renda
temporária e constante. Cada prestação é formada por duas parcelas, a quota juro e a
quota de capital. A quota juro é calculada como a proporção do capital em dívida no
início de cada período de pagamento dos juros que corresponde à taxa de juro acordada.
Suponha um empréstimo a dois anos com duas prestações constantes X(1) e X(2) que
são devidas no final do Ano 1 e do Ano 2, respectivamente.
X (1)  X (2)  A .
-3A é o valor constante de cada prestação anual. O valor X(0) do principal é o montante
dos fundos desembolsados inicialmente pelo credor. O juro devido no final do Ano 1
pode ser representado como uma proporção do valor do principal X(0).
J (0, 1)  r  X (0) .
J(0, 1) é o montante do juro devido no final do período de pagamento dos juros (0, 1). A
medida da taxa anual r é a taxa de juro acordada. O montante da primeira prestação
anual é igual à soma da quota juro mais a quota de capital. A quota de capital é uma
fracção θ do valor do principal.
X (1)  r  X (0)    X (0) , onde 0    1 .
O capital em dívida numa determinada data é o valor do principal depois de deduzidas
todas as quotas de capital entretanto pagas. O juro devido no final do Ano 2 é o
montante do juro calculado sobre o capital em dívida no final do Ano 1.
J (1, 2)  r  (1   )  X (0) .
J(1, 2) é o montante do juro devido no final do período de pagamento dos juros (0, 2): é
o juro formado no segundo período de pagamento dos juros. O montante da segunda
prestação é igual à soma do juro devido sobre o capital em dívida no final do Ano 1
mais o reembolso integral deste capital em dívida.
X (2)  r  (1   )  X (0)  (1   )  X (0)  (1  r )  (1   )  X (0) .
O sistemas de prestações constantes implica por definição prestações iguais em valor.
A  (r   )  X (0)  (1  r )  (1   )  X (0) .
Portanto: a única grandeza desconhecida neste momento é o valor da fracção θ do
principal que é devida no final do Ano 1.

1
.
1  (1  r )
Suponha um empréstimo de um milhão de euros a dois anos a ser amortizado em duas
prestações anuais iguais com base na taxa acordada de 4 por cento por ano. O valor da
fracção θ do principal usada para calcular a quota de capital da primeira prestação anual
é igual a 49,0196078 por cento. Vamos usar a expressão do valor da primeira prestação
para calcular o montante constante das prestações anuais.
-4A  (r   )  X (0)  (0,040  0,490196078) 1.000.000,00  530.196,0784 euros.
Um empréstimo de um milhão de euros a dois anos com base na taxa anual de 4 por
cento pode ser amortizado em duas prestações anuais iguais a 530.196,08 euros.
A expressão do valor da prestação constante pode ser re-escrita de forma a obter-se uma
versão mais útil do ponto de vista prático.


1
A  r     X (0)  r 
  X (0) 
 1  (1  r ) 
r
 1 
1 

1 r 
2
 X (0) .
Esta nova expressão do valor da prestação constante sugere uma generalização para o
caso dum empréstimo a T anos com prestações anuais constantes que define uma taxa
anual r.
A r
 1 
1 

1 r 
r  1  r 
T
1
T
 X (0) 
1  r T
1
 X (0) .
T é o número de anos do prazo do empréstimo. O montante da prestação constante A é
função do valor do principal X(0), do nível r da taxa de juro acordada, e do número T de
anos do prazo. A sequência de pagamentos do empréstimo com prestações constantes
pode ser representada da forma seguinte:
{ – X(0), A, A,… , A }.
A aplicação mais comum do sistema Francês de amortização de empréstimos é o
contrato típico de hipoteca residencial nos EUA que qualifica para a garantia federal
definida pela Federal Housing Administration (FHA). O credor duma hipoteca
residencial típica nos EUA tem em caso de incumprimento do devedor, o direito a pôr
termo ao contrato de financiamento e o direito a tomar posse do imóvel para assegurar o
reembolso do capital. A hipoteca residencial típica nos EUA é um empréstimo a 30 anos
que é amortizado através de prestações constantes mensais que incluem uma quota juro
e a correspondente quota de capital. Suponha que queríamos calcular o valor da
prestação mensal com base numa taxa anual de 8 por cento. K é o valor do principal.
30  12
8
1

 
1 
8
1
100 12 
A
  
 K  0,007337646  K .
30  12
100 12 
8
1
 
1
1 
 100 12 
-5Quando a taxa acordada é de 8 por cento por ano, o montante da prestação constante é
igual a 733,76 euros por cada 100.000,00 euros do valor do principal. Podemos
comparar o valor da prestação mensal por cada 100.000,00 euros do valor do principal,
para diferentes valores da taxa de juro acordada.
Taxa de juro anual: 4,0 %
Prestação mensal = 477,42 euros.
Taxa de juro anual: 8,0 %
Prestação mensal = 733,76 euros.
Taxa de juro anual: 12,0 %
Prestação mensal = 1.028,61 euros
A relação entre o montante da prestação constante e o nível da taxa de juro não é linear.
Uma taxa de juro anual três vezes maior não está associada a um montante da prestação
mensal três vezes maior. A Figura 18.1 ilustra a decomposição do montante de cada
prestação mensal constante em termos da quota juro e da quota de capital. As primeiras
prestações têm uma maior contribuição da quota juro enquanto as últimas prestações
têm uma maior contribuição da quota de capital. Por definição, a soma da quota juro e
da quota de capital é sempre a mesma em cada prestação mensal.
S.F.F. inserir aqui: Figura 18-1:
Empréstimo com prestações constantes.
O montante do capital em dívida num qualquer instante pode ser interpretado como o
valor da propriedade que o devedor ainda não possui. O valor inicial da propriedade
depois de deduzido o montante do capital em dívida é a situação patrimonial do
proprietário. À medida que o montante do capital em dívida diminui ao longo do prazo
do empréstimo, a situação patrimonial cresce. O valor da situação patrimonial também
cresce quando há uma revalorização da propriedade, quando há melhorias na estrutura
física, ou quando há inflação do nível geral geral dos preços. Do mesmo modo, quando
há uma desvalorização importante da propriedade, o valor da situação patrimonial pode
cair. Quando o valor da situação patrimonial cai abaixo do montante do capital em
dívida, diz-se que a situação patrimonial líquida é negativa.
Exemplo 1
Suponha que o Conselho de Administração da Companhia X acaba de concluir que o
custo anual de 20 milhões de euros do programa de pensões dos seus altos quadros está
a ser financiado com base na actividade corrente da Companhia. O Conselho decidiu
por isso constituir um fundo especial de 400 milhões de euros para assegurar o
financiamento pleno do programa de pensões ao fim de quinze anos. Foi pedido ao
administrador financeiro da Companhia para propôr um montante para a contribuição
anual.
-6Solução. Suponha que o administrador financeiro da Companhia vai usar a taxa
interbancária do dinheiro a 15 anos que é de 2¼ por cento como referência para o custo
anual do dinheiro para este fundo especial. Calcula-se de imediato o monante da
prestação constante.
2,250
r
100
A  X (T ) 
 400.000.000,00 
 22.715.410,00 .
T
15
1  r   1
 2,250 
1 
 1
100 

Portanto: com base no custo de fundos de 2¼ por cento ao ano, a contribuição constante
deve rondar os 23 milhões por ano. Isto quer dizer também que nos próximos 15 anos, a
Companhia vai gastar cerca de 43 milhões por ano em pensões de altos quadros. 
EMPRÉSTIMO COM REEMBOLSOS CONSTANTES
Considere agora um sistema de amortização de empréstimos que define uma sequência
de reembolsos constantes do valor do principal. Este sistema de amortização é referido
comummente como o sistema Germânico de amortização. O sistema Germânico é uma
renda temporária. Cada prestação inclui a quota juro calculada sobre o montante do
capital em dívida e uma quota de capital constante. O juro devido no final do primeiro
ano é representado aqui como uma proporção do montante X(0) do principal.
J (0, 1)  r  X (0) .
O valor da primeira prestação inclui ainda o montante constante da quota de capital.
X (1)  r  X (0) 
X (0)
.
2
O valor da segunda prestação o juro sobre o capital em dívida no final do primeiro ano
mais o montante constante da quota de capital.
X (2)  r 
X (0) X (0)

.
2
2
Vamos considerar novamente um empréstimo de um milhão de euros a dois anos a ser
amortizado em duas prestações com reembolsos constantes com base numa taxa anual
de 4 por cento, agora com base no sistema Germânico de amortização.
X (1) 
4
1.000.000,00
1.000.000,00 
 540.000,00 euros, e
100
2
-7X (2) 
4
1.000.000,00
 500.000,00 
 520.000,00 euros.
100
2
Comparamos agora os montantes das prestações calculadas com base nos dois sistemas
de amortização. O sistema Francês prevê duas prestações que são constantes e iguais a
X(1) = X(2) = 530.196,08 euros. O sistema Germânico prevê duas prestações diferentes
X(1) = 540.000,00 euros e X(2) = 520.000,00 euros.
Vamos agora generalizar este resultado. A quota de capital do sistema Germânico é
equivalente a uma renda constante cujo termo é igual a X(0)/T. O montante do juro
devido final do ano t (t = 1, 2,… , T) é uma sequência aritmética cujo primeiro termo é
igual a r · X(0) e cuja razão comum é igual a r · X(0)/T.
J (t  1, t )  r 
X (0)
 (T  t  1) .
T
A prestação X(t) devida na data t inclui a quota juro e a quota constante de capital.
X (t )  J (t  1, t ) 
X (0)
.
T
O sistema Germânico de amortização de empréstimos é uma forma popular de
endividamento garantido cujas origens remontam aos dias que seguiram à Guerra dos
Sete Anos na Prússia, e também à reconstrução que sucedeu na Dinamarca ao Grande
Fogo de Copenhague em 1795. Este tipo de endividamento garantido é muito parecido
com a hipoteca tradicional nos EUA mas é distinto quanto ao direito de execução da
propriedade em caso de incumprimento. O contrato de hipoteca do tipo Pfandbriefe
define o devedor como o dono da propriedade que pode em certas condições incluindo o
incumprimento ser obrigado a vender a propriedade para reembolsar o capital em
dívida. Isto quer dizer que as prestações entretanto pagas são devidamente consideradas
no processo de liquidação dum contrato do tipo Pfandbriefe, e que o credor não tem
direito à eventual mais-valia obtida com a venda após a execução da dívida.
S.F.F. inserir aqui: Figura 18-2.
Empréstimo com reembolsos constantes.
Considere um contrato do tipo Pfandbriefe a 30 anos com uma taxa acordada de 8 por
cento ao ano. O empréstimo de um milhão implica um reembolso anual do principal de
33.333,33 euros. A Figura 18-2 ilustra a decomposição de cada prestação em quota juro
e na quota constante de capital. O sistema Germânico de amortização de empréstimos
caracteriza-se assim por uma sequência decrescente das quotas juro.
-8Sumário
Os empréstimos que têm a configuração dum instrumento de desconto expõem o credor
a um risco substancial porque o montante do juro e o reembolso total são pagos duma só
vez no vencimento. Para mitigar o risco de incumprimento do devedor neste tipo de
empréstimos, é usual aplicar-se só aos melhores devedores e só para os prazos mais
curtos abaixo de um ano. Os bilhetes do tesouro, e o papel comercial das grandes
empresas, são exemplos disso. Os empréstimos com prazos mais longos de vários anos
tendem a diluir o risco de incumprimento do devedor ao longo do tempo sob a forma de
pagamentos em prestações e através de convénios (“covenants”) que limitam a tomada
de novos fundos. Os empréstimos amortizáveis incluem por isso em cada prestação uma
quota juro e uma quota de capital. O sistema de amortização mais arriscado é o sistema
Americano em que as prestações representam só a quota juro porque o capital é
reembolsado integralmente e duma só vez aquando da última prestação. Em resultado
disso, este sistema de amortização só é comummente aplicado aos melhores devedores:
os Estados soberanos. Mas atenção: Nem sempre os melhores soberanos pagam o que
devem. E os que acabam por não cumprir o que prometeram nem sempre ficam
afastados dos mercados do dinheiro pelo tempo que na ordem normal das coisas
deveriam.
Conceitos chave
empréstimo, loan, empréstito, Darlehen, emprunt, prestito
devedor, debtor, deudor, Schuldner, débiteur, debitore
credor, creditor, acreedor, Gläubiger, créancier, creditore
amortização, amortization, amortización, Amortisation, amortissement, ammortamento
prestação, installment, plazo, Rate, échéance, rata
programa de reembolso, amortization schedule, tabla de amortización, Ratenzahlung,
plan d’amortissement, plano d’ammortamento
Questões
1. Explique a diferença entre um instrumento de desconto e um empréstimo
amortizável.
2. O que é um empréstimo com prestações constantes? Dê um exemplo.
3. O que é um empréstimo com reembolsos constantes? Dê um exemplo.
4. O que é um empréstimo convencional (ou clássico)? Dê um exemplo.
-9Exercícios
1. Suponha que eu acabo de contrair um crédito à habitação no valor de 100.000,00
euros com uma taxa de 9 por cento ao ano a ser amortizado em dez prestações
mensais constantes e devidas no fim de cada mês. Qual é o meu pagamento
mensal? Qual é o valor da quota juro que é parte da primeira prestação?
2. Suponha que eu desejo calendarizar o meu crédito ao consumo no valor total de
14.000,00 euros com o fim de estabelecer um pagamento anual de 2.450,00
euros devido no final de cada ano. Quanto tempo vai demorar a pagar este
empréstimo com base numa taxa anual de 6 por cento? E com base numa taxa
anual de 9 por cento? E com base numa taxa anual de 12 por cento? Há alguma
relação entre o nível da taxa e o consequente prazo residual do empréstimo?
3. Suponha que eu quero comprar um carro usado com o preço marcado em
8.500,00 euros. O agente de vendas disse-me que podia conseguir financiamento
desde que houvesse uma entrada inicial minha de 500,00 euros. Qual seria o
montante da prestação mensal devida no final de cada mês se o preço não-pago
fôsse financiado à taxa anual de 6 por cento durante 2 anos ou 24 meses?
N.B. São desde já agradecidas as correcções e as sugestões ou comentários a esta versão
ainda preliminar do texto. Muito obrigado.
Versão inicial: 11 de Outubro. 2011. Última revisão: 11 de Outubro. 2011.
Copyright (c) 2014. Francisco J. Comprido.
- 10 -
Figura 18-1: Empréstimo com prestações constantes.
1
30
Figura 18-2: Empréstimo com reembolsos constantes.
1
30