Prova Substitutiva

QUESTÃO 1
Uma longa barra cilíndrica condutora, de raio R, está centrada ao longo do eixo z. A barra possui
um corte muito fino em z = b. A barra conduz em toda sua extensão e no sentido de z positivo,
uma corrente
onde ! é uma constante positiva e t o tempo. Não há cargas elétricas nas
faces do corte em t = 0.
a) Determine a carga elétrica q(t) na face inferior do corte em z = b;
b) Determine o campo elétrico
no interior do corte
c) Adotando coordenadas cilíndricas, determine
corte).
, para x < R em z = b (no interior do
d) Suponha uniforme a densidade de corrente dentro do cilindro e calcule
qualquer
e r<R
, para
x
r
z=b
a)
y
b) Equivale ao problema do capacitor de placas paralelas. Resolver aplicando uma superfície
gaussiana cilíndrica numa das faces.
c) Usando a lei de Ampère Maxwell:
d) A corrente num cilindro com raio r vale:
a lei de Ampère Maxwell:
fornece
QUESTÃO 2
O campo elétrico em um determinado meio é dado por:
!
E (z,t) = E 0e " #z sen(kz " $t) xˆ
a) (1.0) Determine a relação entre !, k, e " para que este campo satisfaça as equações de
Maxwell.
!
!
b) (1.0) Determine o campo
magnético B . !
c) (0.5) Determine a densidade de corrente J .
!
!
NA3.6
∂E
= J(z,t) → E(z,t) = (J0 /�0 ω) sen(ωt − kz) x̂.
∂t
∂B
b) ∇×E = −
→ B(z,t) = (kJ0 /�0 ω 2 ) sen(ωt − kz) ŷ.
∂t
∂E
c) ∇×B = µ0 �0
→ k 2 /ω 2 = µ0 �0 .
∂t
a) �0
∂B
→ B = (E0 /kx0 )ex/x0 −kt ẑ
∂t
∂E
∇×B = µ0 �0
→ k 2 x20 = 1/µ0 �0 .
∂t
NA3.7 ∇×E = −
NA3.8
a) ∇·B = 0, ∇×B = 0
∂B
1
b) ∇×E = −
→ E(ρ,t) = − kB0 ekt ρ ϕ̂
∂t
2
�
�
∂E
c) ∇×B = µ0 J + �0 ∂t = 0 → J = 12 �0 k 2 B0 ekt ρ ϕ̂
1
NA3.9 0 ≤ ρ ≤ a → E(ρ,ϕ,z,t) = − βρ ϕ̂;
2
ρ > a → E(ρ,ϕ,z,t) = −
1 βa2
ϕ̂
2 ρ
NA3.10
∂By
∂Ex
= E0 e−βz [−β sen(kz − ωt) + k cos(kz − ωt)] = −
∂z
∂t
�
�
k
β
By = E0 e−βz
cos(kz − ωt) + sen(kz − ωt)
ω
ω
� 2
�
2
∂By
2kβ
−βz β − k
(∇×B)x = −
= E0 e
cos(kz − ωt) +
sen(kz − ωt)
∂z
ω
ω
∂Ex
= µ0 Jx + µ0 �0
= µ0 Jx − µ0 �0 ωE0 e−βz cos(kz − ωt)
∂t
(∇×E)y =
a) k 2 − β 2 = µ0 �0 ω 2 .
�
�
k
−βz β
b) By = E0 e
cos(kz − ωt) + sen(kz − ωt) .
ω
ω
2kβ
c) Jx =
E0 e−βz sen(kz − ωt).
µ0 ω
∂Hϕ
1 ∂
k A sen θ
k
(rEθ ) = −µ0
⇒ H(r,θ,ϕ,t) =
cos(ωt − kr) ϕ̂ =
r̂ × E
r ∂r
∂t
µ0 ω
r�
µ0 ω
1 ∂
∂E0
k2
µ0 ω
µ0
(∇×H)θ = −
(rHϕ ) = �0
⇒ 2 = µ0 �0 ⇒
=
= Z0 .
r ∂r
∂t
ω
k
�0
NA3.11 (∇×E)ϕ =
1
d1
d2
1
1
=
+
=
+
2
2
C
�1 �
�2 �
C1 C2
�1 ��1 �2 ��2
(b) E1t = E2t ⇒ C =
+
= C1 + C2
d
d
q
1
NA4.2 E1t = E2t ⇒ E =
r̂
2π(�1 + �2 ) r2
NA4.1 (a) D1n = D2n ⇒
NA4.3
E1t = E0t = −E0 sen α x̂
E1 = E1t + E1n
B1n = B0n = 0
1
= E0t + D0n
�1
D1n = D0n = �0 E0 cos α
E1 = −E0 sen α x̂ +
�0
�1 E0 cos α ẑ
D1 = −�1 E0 sen α x̂ + �0 E0 cos α ẑ
E0
H1t = H0t =
ŷ
µ0 c
2
QUESTÃO 3
As componentes para o campo elétrico de uma onda plana propagando-se no vácuo são dadas, no
sistema internacional de unidades, por:
a) (0.5) Escreva as expressões para as componentes do campo magnético associado, escrevendo
explicitamente o valor de .
(b) (1.0) Calcule o comprimento de onda e a freqüência desta onda.
(c) (1.0) Calcule o vetor de Poynting e a Intensidade.
Questão 3
Z
c o Z kc 106.3.108 3.1014
(a)
k
Devido ao sinal +Zt, onda caminhando no sentido de z negativo
? k z
G
G k uE
E E B
y x x y
c
c
c
G
8.108
sin ª¬106 z 3.1014 t º¼ y T (em Tesla)
B 2.108 sin ª¬106 z 3.1014 t º¼ x 3
2S
(b) O
2S.106 m
k
Z 3.1014 1.5 u 1014
f
4.77 u 1013 Hz
S
2S
2S
E y Bx z
P0
5 2
W
sin ª¬106 z 3.1014 t º¼ z 2
6S
m
5
S
sin 2 ª¬106 z 3.1014 t º¼
6S
G
(c) S
G
S
I
1 G G
EuB
P0
E B
x
y
64 36 sin 2 ª106 z 3.1014 t º z
cP0
¬
5 W
=0.133 W/m2
2
12S m
¼
Questão 4
Uma casca esférica condutora de raio interno a e raio externo b tem carga total nula. Em seu centro se
coloca uma carga puntiforme positiva Q.
�
(0,5): a) Determine o campo elétrico E(r)
em todo espaço.
(1,0): b) Determine o potencial elétrico, V (r) em todo espaço tomando V = 0 no infinito.
(0,5): c) Represente graficamente E(r) e V (r).
(0,5): d) Calcule o trabalho necessário para colocar a carga no centro da casca a partir da configuração
em que ela se encontra infinitamente afastada.
Sugestão: compute a diferença de energia potencial eletrostática entre as duas configurações.
SOLUÇÃO:
a) Dada a simetria esférica, podemos usar a lei de Gauss para determinar o campo elétrico que é
radial:
qr
�
E(r)
= E(r) r̂ =
r̂,
4π�0 r2
onde qr é a carga contida dentro da esfera de raio r. Assim:

Q


, para 0 < r < a

 4π�0 r2
0,
para a < r < b (dentro do condutor)
E(r) =


Q


, para r > b
4π�0 r2
� r
b) V (r) = −
E(r� )dr� . Assim:
∞
� r �
Q
dr
Q
Para r > b: V (r) = −
=
;
�2
4π�0 ∞ r
4π�0 r
� b �
Q
dr
Q
como E(r) = 0 para a < r < b: V (r) = −
=
= V (b);
�2
4π�0 b �
0 ∞ r �
� r 4π�
Q
dr�
Q
1 1 1
Para 0 < r < a: V (r) = V (b) −
=
− +
.
4π�0 a r�2
4π�0 b a r
Ou seja
�
�

Q
1 1 1


− +
, para 0 < r < a



 4π�0 b a r
Q
V (r) =
,
para a < r < b (dentro do condutor)

4π�
b

0


Q


,
para r > b
4π�0 r
4π�0
E(r)
Q
4π�0
V
Q
1
a2
(r)
1
b
1
b2
0
0
a
r
a
r
0
0
b
b
c)
d) A energia eletrostática de uma configuração
pode ser�computada como:
�
�0
�0 ∞
2
U=
E dV =
E(r)2 4πr2 dr.
2
2 0
Quando a carga e a casca condutora se encontram infinitamente afastadas, temos apenas o campo
1
da carga Q, que é E(r) = Q/4π�0 r2 , em todo o espaço. Com a carga no centro do condutor, o
campo tem a mesma forma exceto dentro do condutor onde ele se anula. Assim:
�0
W = U − U0 = −
2
�
a
b
Q
E(r) 4πr dr = −
8π�0
2
2
2
�
1 1
−
a b
�
.