OBTENÇÃO DE UM MODELO DE ROTOR FLEXÍVEL

Transcrição

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
Programa Francisco Eduardo Mourão Saboya de
Pós-Graduação em Engenharia Mecânica ( PGMEC)
DIOGO YOSHIKAZU UJIHARA
OBTENÇÃO DE UM MODELO DE ROTOR FLEXÍVEL SUSTENTADO
POR MANCAIS MAGNÉTICOS ATIVOS ATRAVÉS DO MÉTODO DOS
ELEMENTOS FINITOS
Niterói, RJ
2011
ELEMENTOS FINITOS
Dissertação apresentada ao Programa de PósGraduação em Engenharia Mecânica da Universidade
Federal Fluminense, como requisito parcial para
obtenção do grau de Mestre em Ciências em Engenharia
Mecânica. Área de Concentração: Automação e
Controle.
Orientador:
Prof. Dr. JOSÉ ANDRÉS SANTISTEBAN LARREA
Niterói
2011
Ficha Catalográfica elaborada pela Biblioteca da Escola de Engenharia e Instituto de Computação da UFF
ELEMENTOS FINITOS
Dissertação apresentada ao Programa de PósGraduação
em
Engenharia
Mecânica
da
Universidade Federal Fluminense, como requisito
parcial para obtenção do grau de Mestre em Ciências
em Engenharia Mecânica. Área de Concentração:
Automação e Controle.
Aprovada em março de 2011.
BANCA EXAMINADORA
_________________________________________________
José Andrés Santisteban Larrea, D.Sc. - Orientador
Universidade Federal Fluminense
_________________________________________________
Roberto Firmento de Noronha, Ph.D
_________________________________________________
Antônio Lopes Gama, D.Sc.
_________________________________________________
Fernando Augusto de Noronha Castro Pinto, Dr.Ing.
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Niterói
2011
DEDICATÓRIA
A Deus, inteligência suprema e causa primária de
todas as coisas, pela minha existência. Aos meus
guias espirituais, por terem me guiado nos
momentos mais decisivos e difíceis de minha vida.
AGRADECIMENTOS
À minha família, pelo incentivo e pelo apoio financeiro ao longo de toda a duração do
mestrado.
A todos os alunos e professores da UFF e da UFRJ que contribuíram para a realização
deste trabalho.
Ao meu orientador, pelo interesse e apoio dedicados a esta dissertação.
RESUMO
Um protótipo de motor elétrico suportado com mancais magnéticos tem sido operado com
relativo sucesso, sendo que o projeto dos seus controladores de posição foi baseado em um
modelo de rotor rígido. Até o momento a velocidade de rotação foi baixa, 6000 rpm, mas
como se pretende aumentar consideravelmente a mesma, uma modelagem mais acurada se faz
necessária. Neste trabalho, será apresentado o procedimento para obter, através do método dos
elementos finitos, um modelo mecânico de rotor flexível. Para validar este novo modelo,
serão apresentadas simulações computacionais confrontadas com medições experimentais.
Palavras-Chave: Dinâmica de Rotores; Método dos Elementos Finitos; Mancais Magnéticos
Ativos.
ABSTRACT
One induction motor whose rotor is supported with active magnetic bearings has been tested
with some success. Until now, the displacement controllers were designed considering that a
rigid body approach was enough to establish a mechanical model of the rotor. As the
maximum speed of operation achieved was 6000 rpm, this was not a drawback. Nevertheless,
intending higher speeds, the principal objective of this work is to show the proceeding in
order to have an improved mechanical model of the rotor, using as a tool the finite elements
method. To validate the improved model, some simulations, related to the vibration modes,
are compared with experimental data.
Key-Words: Rotor Dynamics; Finite Elements Method; Active Magnetic Bearings.
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 1.1 – Peças do protótipo._____________________________________________________________ 15
Figura 1.2 - Protótipo montado em bancada. ___________________________________________________ 15
Figura 2.1 - Coordenadas da posição dos mancais magnéticos. ____________________________________ 19
Figura 2.2 - Deformação de uma viga de Timoshenko no plano yz. __________________________________ 23
Figura 2.3 – Referenciais para elemento de disco _______________________________________________ 25
Figura 2.4 – Coordenadas de um ponto B arbitrário dentro do elemento de eixo._______________________ 28
Figura 2.5 – Modelo do mancal _____________________________________________________________ 33
Figura 2.6 – Exemplo de sistema de coordenadas _______________________________________________ 36
Figura 2.7 – Funções Interpoladoras _________________________________________________________ 38
Figura 2.8 – Elemento de viga ______________________________________________________________ 39
Figura 2.9 – Divisão do rotor em nós _________________________________________________________ 49
Figura 2.10 – Montagem das Matrizes Globais _________________________________________________ 50
Figura 2.11 – Diagrama de Campbell ________________________________________________________ 53
Figura 3.1 – Elementos de um Mancal Magnético Ativo __________________________________________ 56
Figura 3.2 – Fluxo magnético e ângulo . _____________________________________________________ 58
Figura 3.3 – Mancal magnético ativo operando em modo diferencial ________________________________ 59
Figura 3.4 - Sistema de realimentação por malha fechada. ________________________________________ 61
Figura 3.5 – Diagrama de blocos do modelo do rotor considerado rígido ____________________________ 63
Figura 3.6 - Diagrama de blocos do modelo do rotor considerado flexível ____________________________ 68
Figura 4.1 – Modelo de viga equivalente ______________________________________________________ 80
Figura 4.2 – Divisão do rotor completo em elementos ____________________________________________ 81
Figura 4.3 – Geometria da discretização do rotor de aço _________________________________________ 83
Figura 4.4 – Fluxograma do algoritmo para cálculo das frequências naturais. ________________________ 85
Figura 4.5 – Primeiro modo de vibração natural ( 587 Hz ) _______________________________________ 88
Figura 4.6 - Segundo modo de vibração natural ( 1108 Hz ) _______________________________________ 89
Figura 4.7 – Diagrama de Campbell do Rotor ( Flexível ) _________________________________________ 89
Figura 4.8 - Diagrama de Campbell do Rotor ( Rígido ) __________________________________________ 90
Figura 4.9 – Diagrama de Campbell ( modelo flexível, rigidez não nula ) _____________________________ 90
Figura 4.10 – Diagrama de Campbell ( modelo rígido, rigidez não nula ) ____________________________ 91
Figura 4.11 – Variação da Freq. Natural versus Rigidez Equivalente (amortecimento e rotação nulos) _____ 91
Figura 4.12 – Variação da Freq. Natural versus Amortecimento Equivalente (rigidez e rotação nulos) _____ 92
Figura 4.13 – Configuração para determinação da frequência natural de uma barra de aço ______________ 94
Figura 4.14 – Esquemático do experimento ____________________________________________________ 95
Figura 4.15 – Resposta em Frequência ( Excitação aplicada na parte de baixo do rotor ) ________________ 95
Figura 4.16 - Resposta em Frequência (Excitação aplicada na parte do meio do rotor ) _________________ 96
Figura 4.17 - Resposta em Frequência (Excitação aplicada na parte de cima do rotor ) _________________ 96
Figura 4.18 – Montagem do experimento para o rotor de alumínio __________________________________ 97
Figura 4.19 – Resposta em Frequência ( Excitação aplicada na parte esquerda ) ______________________ 98
Figura 4.20 – Resposta em Frequência até 1 kHz ( Excitação aplicada na parte do meio ) _______________ 98
Figura 4.21 - Resposta em Frequência até 2 kHz (Excitação aplicada na parte do meio ) ________________ 99
Figura 4.22 - Resposta em Frequência até 1 kHz (Excitação aplicada na parte direita ) _________________ 99
Figura 4.23 - Resposta em Frequência até 2 kHz (Excitação aplicada na parte direita ) ________________ 100
Figura 4.24 – Discretização do rotor de alumínio ______________________________________________ 101
Figura 4.25 – Posição no sistema antigo a 628 rad/s ____________________________________________ 103
Figura 4.26 – Posição no sistema novo a 628 rad/s _____________________________________________ 103
Figura 4.27 – Força no sistema antigo a 628 rad/s _____________________________________________ 104
Figura 4.28 – Força no sistema novo a 628 rad/s ______________________________________________ 104
Figura 4.29 - Posição no sistema antigo a 10048 rad/s __________________________________________ 105
Figura 4.30 - Posição no sistema novo a 10048 rad/s ___________________________________________ 105
Figura 4.31 – Força no sistema antigo a 10048 rad/s ___________________________________________ 106
Figura 4.32 - Força no sistema novo a 10048 rad/s _____________________________________________ 106
LISTA DE TABELAS
Tabela 2.1 – Convenção para matrizes elementares ______________________________________________ 48
Tabela 4.1 – Parâmetros para modelagem do rotor ______________________________________________ 82
Tabela 4.2 – Parâmetros para a modelagem do rotor de alumínio _________________________________ 102
SUMÁRIO
1 - INTRODUÇÃO _____________________________________________________________ 13
1.1
1.2
1.3
1.4
–APRESENTAÇÃO ____________________________________________________________ 13
–OBJETIVO DO TRABALHO ____________________________________________________ 14
–DESCRIÇÃO DO PROTÓTIPO___________________________________________________ 14
–SUMÁRIO DA DISSERTAÇÃO ___________________________________________________ 16
2 – MODELAGEM DO ROTOR __________________________________________________ 17
2.1 –INTRODUÇÃO ______________________________________________________________ 17
2.2 – MODELAGEM CONSIDERANDO O ROTOR RÍGIDO _________________________________ 17
2.2.1 – EQUAÇÕES _______________________________________________________________ 18
2.3 – MODELAGEM DE ROTORES FLEXÍVEIS APLICANDO O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
(MEF) _________________________________________________________________________ 20
2.3.1 – PROCEDIMENTO PARA OBTENÇÃO DA EQUAÇÃO GLOBAL DO SISTEMA PELO MEF. _______ 21
2.3.2 – CÁLCULO DE ENERGIA DOS ELEMENTOS DO ROTOR. _______________________________ 22
2.3.2.1 – Teoria de viga de Timoshenko. _____________________________________________ 22
2.3.2.2 – Energia potencial do elemento de disco. ______________________________________ 24
2.3.2.3 – Energia cinética do elemento de disco. _______________________________________ 24
2.3.2.4 – Energia potencial do elemento de viga. _______________________________________ 26
2.3.2.5 – Energia cinética do elemento de viga. ________________________________________ 31
2.3.2.6 – Trabalho virtual dos mancais. ______________________________________________ 32
2.3.3 – ESTABELECIMENTO DAS MATRIZES DE ELEMENTOS FINITOS. ________________________ 34
2.3.3.1 – Funções Interpoladoras. ___________________________________________________ 35
2.3.3.2 – Formulação das matrizes elementares para o disco. ______________________________ 38
2.3.3.3 – Formulação das matrizes elementares para o eixo. ______________________________ 39
2.3.3.4 – Formulação das matrizes elementares para os mancais. __________________________ 46
2.3.4 – MONTAGEM DA EQUAÇÃO GLOBAL. ___________________________________________ 47
2.3.5 – SOLUÇÃO HOMOGÊNEA DA EQUAÇÃO GLOBAL DO SISTEMA. ________________________ 51
3 – CONTROLE PARA ROTOR SUPORTADO POR MANCAIS MAGNÉTICOS _______ 54
3.1 – INTRODUÇÃO ______________________________________________________________ 54
3.1.1 – MANCAIS MAGNÉTICOS ____________________________________________________ 54
3.2 – PRINCÍPIO DE FUNCIONAMENTO DOS MANCAIS MAGNÉTICOS ______________________ 56
3.2.1 – FORÇAS NOS MANCAIS MAGNÉTICOS ATIVOS (MMA) ____________________________ 57
3.3 – TEORIA DE CONTROLE PARA MANCAIS MAGNÉTICOS ____________________________ 60
3.3.1 – CONTROLADOR PARA ROTOR RÍGIDO __________________________________________ 62
3.3.2 – CONTROLADOR PARA ROTOR FLEXÍVEL ________________________________________ 65
3.4 – ANÁLISE DA DINÂMICA DO ROTOR SUPORTADO POR MANCAIS MAGNÉTICOS __________ 70
4 – RESULTADOS _____________________________________________________________ 78
4.1 –INTRODUÇÃO ______________________________________________________________ 78
4.2 – PROBLEMÁTICA DA MODELAGEM DO LAMINADO _________________________________ 79
4.3 – DISCRETIZAÇÃO DO ROTOR EM ELEMENTOS FINITOS _____________________________ 80
4.4 – DESCRIÇÃO DOS ALGORITMOS DESENVOLVIDOS _________________________________ 84
4.5 – RESULTADOS OBTIDOS ATRAVÉS DOS ALGORITMOS ______________________________ 87
4.6 – VALIDAÇÃO DOS RESULTADOS ________________________________________________ 92
4.6.1 – EXPERIMENTO COM UMA BARRA DE AÇO _______________________________________ 93
4.6.2 – OBTENÇÃO EXPERIMENTAL DAS FREQUÊNCIAS NATURAIS DE VIBRAÇÃO DO ROTOR ALVO _ 94
4.6.3 – EXPERIMENTO COM UM ROTOR DE ALUMÍNIO ____________________________________ 97
4.7 – COMPARAÇÃO DO DESEMPENHO DO SISTEMA DE CONTROLE COM OS MODELOS
MECÂNICOS RÍGIDO E FLEXÍVEL DO ROTOR __________________________________________ 102
5 - CONSIDERAÇÕES FINAIS _________________________________________________ 107
6 - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS: _________________________________________ 108
7 - APÊNDICES ______________________________________________________________ 111
7.1 – ALGORITMOS DESENVOLVIDOS ______________________________________________ 112
7.1.1 – LISTA DE VARIÁVEIS DE ENTRADA COMUM AOS ALGORITMOS ______________________ 112
7.1.2 – ENTRADA COMUM A TODOS OS ALGORITMOS ___________________________________ 112
7.1.3 – PARTE COMUM DOS ALGORITMOS DESENVOLVIDOS ______________________________ 114
7.1.4 – ALGORITMO PARA O CONTROLADOR __________________________________________ 122
7.1.5 – ALGORITMO PARA PLOTAGEM DO DIAGRAMA DE CAMPBELL_______________________ 124
7.1.6 – ALGORITMO PARA PLOTAGEM DOS MODOS DE VIBRAÇÃO _________________________ 126
7.1.7 – ALGORITMO PARA PLOTAGEM DA VARIAÇÃO DA FREQUÊNCIA NATURAL VERSUS RIGIDEZ
EQUIVALENTE ___________________________________________________________________ 128
7.1.8 – ALGORITMO PARA PLOTAGEM DA VARIAÇÃO DA FREQUÊNCIA NATURAL VERSUS
AMORTECIMENTO EQUIVALENTE ____________________________________________________ 130
7.1.9 – ALGORITMO PARA CÁLCULO DAS FREQUÊNCIAS NATURAIS ________________________ 132
7.2 DESENHO DO ROTOR DE ALUMÍNIO ____________________________________________ 134
1 - Introdução
1.1 –Apresentação
A tecnologia dos mancais magnéticos tem como característica principal a ausência de
atrito e lubrificação, o que permite a obtenção de altíssimas velocidades de rotação. A
capcidade de atuar ativamente e mudar os próprios parâmetros durante operação ( mancal
ativo ) confere capacidades únicas a este tipo de mancal, por exemplo controlar ativamente o
nível de vibração e atuar como sistema capaz de auto diagnóstico ( sistema inteligente ). Isto
faz dele atualmente objeto de pesquisas para aplicações na área militar, biomédica, usinagem
de alta velocidade, entre outros ( RODRIGUES e SANTISTEBAN, 2006 ).
Para rotores suportados por mancais magnéticos que operam com baixas velocidades
de rotação, podem-se ignorar os efeitos da flexibilidade e considerar o rotor rígido. As
estruturas de controle bem como o modelo mecânico para esse caso são de ordem
relativamente pequena. Entretanto, para rotores suportados por mancais magnéticos que
operam com altas velocidades de rotação, devem ser considerados alguns fenômenos tais
como a flexibilidade o rotor, problemas de vibração, de ressonância, de estabilização, entre
outros. O modelo de rotor rígido, neste caso, pode não ser adequado, dependendo da ordem de
grandeza dos fenômenos comentados.
É neste contexto que surge a necessidade de aprimorar o modelo mecânico do rotor,
através de métodos mais complexos como, por exemplo, pelo Método dos Elementos Finitos.
Embora a ordem de grandeza do modelo obtido através desta modelagem seja muito maior,
sua acurácia também é maior e permite prever de forma mais realista a dinâmica o rotor,
especialmente em altas velocidades de rotação, podendo assim melhorar a qualidade do
controle de posição do rotor, entre outros benefícios.
14
Na última década, na UFF tem se trabalhado com um protótipo de rotor suportado por
mancais magnéticos, cujo objetivo básico é alcançar um nível de desenvolvimento mais
próximo “de um produto final”. Para tanto, considerou-se um sistema cujo rotor estivesse
disposto na posição horizontal e que fosse mantido em total levitação, requerendo assim o
controle sobre cinco graus de liberdade. Pretende-se, com este trabalho, aprimorar o modelo
do rotor do protótipo e, com isto, permitir um adequado projeto de sistema de controle de
posição para altas velocidades de rotação.
1.2 –Objetivo do trabalho
O objetivo deste trabalho consiste em aprimorar o modelo mecânico considerado até
hoje para o projeto do sistema de controle de um rotor suportado por mancais magnéticos e
assim, possibilitar melhor nível de controle de posição em altas velocidades de rotação.
O aprimoramento do modelo mecânico será feito através do Método dos Elementos
Finitos. Esta abordagem permite considerar os efeitos da flexibilidade do rotor que ocorrem
em altas velocidades de rotação, os quais não são perceptíveis com um modelo onde se
considera o rotor rígido.
Para isto, será criado um algoritmo para o cálculo dos parâmetros do novo modelo
mecânico. Para a validação do novo modelo serão apresentadas simulações realizadas com
auxilio do software Matlab e em seguida serão comparadas com medições experimentais.
Finalmente, será comparado, através de simulações, o comportamento dinâmico do sistema de
controle de posição quando é substituído o modelo de rotor considerado rígido pelo modelo
de rotor construído através do MEF.
1.3 –Descrição do protótipo
O protótipo utilizado neste trabalho ( PEDROSA et al. (2004); CHAPETTA et al
(2002) ) é um motor assíncrono trifásico, de dois pólos e com potência de 2HP, fabricado pela
empresa WEG®. Visando facilitar a transferência de tecnologia para a indústria nacional este
protótipo foi utilizado como referência para aplicações práticas de mancais magnéticos. O
desenvolvimento do projeto foi concebido de tal forma que foram mantidas as características
elétricas e magnéticas do motor, resultando num protótipo simples e robusto. Fotos do
protótipo e de suas peças internas são mostrados na Figura 1.1 e na Figura 1.2.
15
Para implementar o controle da posição do rotor foram desenvolvidos diversos
componentes tais como tampas, bobinas e circuitos eletrônicos. Além disso, foram realizadas
adaptações nas tampas e no rotor para alocar sensores de posição do tipo “eddy currents”.
Vale ressaltar que, além de serem observados os critérios de economia de energia e
confiabilidade, também foi contemplada a disponibilidade, no mercado nacional, de todos os
componentes utilizados.
Para suportar os esforços radiais e axiais aplicados no rotor, foram construídos
mancais magnéticos em cada lado do motor, sendo que os pacotes laminados ( girantes ) em
que os eletromagnetos dos mancais radiais e axial atuam ficaram fisicamente integrados nas
laterais do eixo. Por outro lado, os seus estatores ( eletromagnetos ) são solidários com o
estator do motor e são controlados de forma independente.
Figura 1.1 – Peças do protótipo.
Figura 1.2 - Protótipo montado em bancada.
16
Como já mencionado, até o momento a estrutura de controle de posição do rotor supõe
que o rotor seja rígido. Desta forma, o sistema de controle foi projetado levando-se em
consideração essa hipótese.
1.4 –Sumário da dissertação
Esta dissertação encontra-se dividida em cinco capítulos: Introdução, Modelagem do
rotor, Controle para rotor suportado por mancais magnéticos, Resultados e por último
Considerações finais.
O segundo capítulo, Modelagem do rotor, mostra toda a fundamentação teórica
necessária para a modelagem do rotor: pelo método atual onde o rotor é considerado rígido e
pelo Método dos Elementos Finitos. É mostrada a dedução das equações usadas, a forma de
aplicação e a solução das equações.
No terceiro capítulo, Controle para rotor suportado por mancais magnéticos,
primeiramente é feita uma breve apresentação do mancal magnético: suas vantagens e
limitações. Em seguida é mostrado de forma resumida o princípio de funcionamento do
mancal magnético e suas características operativas. Por fim, parte-se para a teoria de controle
necessária para a substituição do antigo modelo mecânico pelo novo modelo, bem como as
equações necessárias para transformar a equação de movimento do rotor ( MEF ) na forma do
espaço de estados.
O quarto capítulo, Resultados, mostra tudo o que foi desenvolvido e obtido neste
trabalho e, além disso, faz uma breve discussão da problemática da modelagem do conjunto
laminado do rotor. São mostrados o princípio de funcionamento de cada algoritmo de forma
esquemática, a discretização realizada no rotor para aplicação do MEF e os resultados obtidos
através dos algoritmos para análise da dinâmica do rotor. A validação dos resultados e do
modelo mecânico obtido foi realizada através de simulações no software Matlab e de testes
experimentais.
O último capítulo versa sobre perspectivas futuras e faz uma pequena análise do
trabalho como um todo.
2 – Modelagem do Rotor
2.1 –Introdução
Para o controle de mancais magnéticos é muito importante o conhecimento da
dinâmica do sistema rotativo. Existem diversas formas de modelar um rotor, entre elas
métodos analíticos e métodos numéricos como o Método dos Elementos Finitos, que é hoje
uma das técnicas mais poderosas existentes para análise de problemas reais de engenharia.
Rotores flexíveis possuem distribuição de massa e rigidez contínua e variante ao longo do
eixo axial, sendo por isso necessário o uso de sistemas de equações mais complexos para sua
análise.
Neste capítulo serão considerados dois tipos de modelagens: uma considerando o rotor
rígido, e outra considerando o rotor flexível. Para baixas rotações, a primeira modelagem é
suficiente para descrever o movimento do rotor, no entanto, para altas rotações tal modelagem
falha, por desconsiderar os efeitos da flexibilidade.
2.2 – Modelagem considerando o rotor rígido
Para a modelagem do rotor considerando-o rígido, são necessárias algumas hipóteses
simplificadoras:
Rotor com simetria axial e rigidez infinita;
Deslocamentos pequenos quando comparados com as dimensões do rotor;
A posição do rotor é caracterizada por dois sistemas de coordenadas, um fixo no
rotor e outro inercial, com eixos posicionados de forma conveniente;
Velocidade angular constante;
18
2.2.1 – Equações
Nesta parte do trabalho, a modelagem para o rotor segue de acordo com
SCHWEITZER et al. (1994) e será muito brevemente descrita.
As matrizes M e G que caracterizam o rotor, considerado rígido, são respectivamente:
( 2.1 )
( 2.2 )
Nessas matrizes, o valor de m é a massa do rotor, Ix, Iy e Iz representam os momentos
de inércia, transversais e axial, respectivamente, associados ao rotor ( com relação ao centro
de gravidade ), e
a velocidade angular de rotação do eixo.
Para se chegar a uma equação que descreve o movimento do rotor e que facilite o
projeto dos controladores, é necessário o uso de uma matriz TB representando a conversão das
coordenadas do centro de massa para as coordenadas dos mancais radiais. Considera-se a
existência de dois mancais, um em cada extremidade do rotor, sendo que a e b representam as
distâncias desde o centro de massa até cada mancal, conforme ilustra a Figura 2.1. De acordo
com a referência aqui adotada, o valor da distância b é positivo e o da distância a é negativo.
( 2.3 )
19
Figura 2.1 - Coordenadas da posição dos mancais magnéticos.
Fazendo uso da matriz TB em conjunto com as matrizes M e G chega-se finalmente as
matrizes que descrevem comportamento do rotor:
( 2.4 )
( 2.5 )
Assim, a equação de movimento do sistema, sem excitação externa, é descrita a seguir:
( 2.6 )
onde zB e fB representam vetores colunas
zB = Coordenadas x e y da posição em cada extremidade do eixo;
fB = Forças atuantes sobre o eixo nas posições dos mancais, geradas pela atração
eletromagnética dos mesmos.
20
( 2.7 )
( 2.8 )
2.3 – Modelagem de Rotores Flexíveis aplicando o Método dos
Elementos Finitos (MEF)
O Método dos Elementos Finitos (MEF), é um método matemático computacional que
visa simular o comportamento de uma estrutura através de um conjunto de elementos
interconectados, de tal forma que cada elemento obedeça às condições de equilíbrio e as
condições de compatibilidade geométrica estejam asseguradas. O método permite que a peça
em estudo tenha forma geométrica, carregamento e condições de contorno quaisquer.
Para aplicar o método, a estrutura é submetida a um processo de discretização, ou seja,
divisão em pequenos subdomínios, chamados de elementos finitos. Cada elemento possui
extremidades chamadas de nós, que conectam-se ao elemento seguinte. A equação de
movimento para cada elemento é então determinada e resolvida. As soluções das equações
dos elementos são aproximadas por uma combinação linear de polinômios de baixa ordem.
Cada uma das soluções polinomiais individuais são compatibilizadas com a solução
adjacente, chamada condição de continuidade, nos nós comuns a dois elementos. Estas
soluções são, então, reunidas através de um procedimento, resultando em matrizes globais de
massa, rigidez, amortecimento e giroscópica, que descrevem a estrutura como um todo. O
vetor de deslocamentos associados com a solução global do modelo de elementos finitos
descreve o movimento.
Para determinar as equações de movimento do sistema eixo-rotor-mancal, cada
componente é tratado separadamente. Desse modo, os elementos acoplados ao eixo são
considerados como discos rígidos, o eixo como um sistema elástico discretizado pela
aplicação do método dos elementos finitos, e os mancais como elementos de suporte,
linearizados com coeficientes de rigidez e amortecimento direcionais.
A formulação usada neste trabalho é baseada no conhecimento das parcelas de energia
cinética e potencial do sistema, bem como do trabalho virtual e da energia de deformação
(LALANNE e FERRARIS, 1998).
21
2.3.1 – Procedimento para obtenção da equação global do sistema pelo MEF.
Os elementos básicos de um rotor na modelagem por elementos finitos são o eixo, os
discos e os mancais. Os mesmos serão modelados através de elementos de viga, de disco e de
mancal, respectivamente. O desbalanceamento, embora importantíssimo, não será
considerado neste trabalho; no entanto, as matrizes elementares (do elemento de eixo, de
disco e de mancal) mostradas e deduzidas neste trabalho continuam válidas mesmo que exista
desbalanceamento no sistema. Caso fosse considerado o desbalanceamento, o mesmo seria
modelado como uma força externa excitadora síncrona ( rotação ), que modificaria a equação
global do sistema ( sistema formado pelo rotor e pelos mancais ); ou seja, seria adicionado um
vetor de forças. Para a modelagem do rotor é necessário o conhecimento das expressões de
energia cinética, potencial, trabalho virtual e energia de deformação dos elementos do mesmo.
Expressões de energia cinética serão primeiramente calculadas e posteriormente
utilizadas para a formulação das matrizes elementares do elemento de viga e do elemento de
disco.
Uma expressão para a energia de deformação do eixo é necessária para o
estabelecimento da matriz elementar de rigidez do elemento de viga.
Para o elemento de mancal, primeiro será calculado o trabalho vitual a partir das
forças que os mancais geram. Em seguida, serão obtidas as forças atuantes no eixo,
provocadas pelos mancais.
De forma geral, será usado o seguinte procedimento:
serão determinadas a energia cinética T e a energia de deformação U do sistema
rotativo, e o trabalho virtual
das forças externas;
em seguida, um método numérico é aplicado, sendo que neste trabalho o método
empregado é o de elementos finitos;
por fim, as equações de movimento serão determinadas através das Equações de
Lagrange, que estão na seguinte forma (LALANNE e FERRARIS, 1998;
TENENBAUM, 2006; NETO, 2007) :
( 2.9 )
22
Onde:
1 ≤ i ≤ N , sendo N o número de graus de liberdade;
qi = coordenadas generalizadas;
Fqi = forças generalizadas associadas a qi .
Por último, faz-se a discretização do rotor a ser modelado, aplicam-se as matrizes
elementares do MEF para cada elemento e monta-se a equação global do sistema, como será
demonstrado posteriormente.
2.3.2 – Cálculo de energia dos elementos do rotor.
Nesta parte da dissertação serão calculadas expressões para a energia cinética e
potencial dos elementos, bem como a expressão do trabalho dos mancais. Será feito um breve
comentário sobre a Teoria de viga de Timoshenko, a fim de esclarecer sua vantagem em
relação à Teoria de viga de Euler-Bernoulli, também muito utilizada na área de dinâmica de
rotores.
2.3.2.1 – Teoria de viga de Timoshenko.
A teoria de vigas de Timoshenko, a princípio, baseia sua formulação na teoria de
Euller-Bernoulli, porém leva em conta o efeito da deformação por esforço cortante
(TIMOSHENKO e WEAVER, 1937). Desta forma, a hipótese que as seções planas
permanecem planas após as deformações continua válida, entretanto não sendo mais
perpendicular ao eixo deformado, como mostra a Figura 2.2. Na figura,
representa a
deformação cisalhante transversal.
Para o elemento de viga de Timoshenko consideram-se as seguintes hipóteses:
a existência de um eixo neutro (eixo y), onde a viga não sofre tração nem
compressão;
seções planas e perpendiculares ao eixo neutro da viga permanecem planas mas não
necessariamente perpendiculares após a deformação;
deflexões laterais são pequenas em relação a espessura da viga;
material elástico linear e homogêneo;
23
tensões normais ao eixo neutro são negligenciadas, ou seja, a espessura da viga não
varia devido a ação de tensões normais ao eixo neutro.
Figura 2.2 - Deformação de uma viga de Timoshenko no plano yz.
A energia potencial armazenada, segundo a viga de Timoshenko, se deve a duas
parcelas: uma devido a flexão e outra devido ao cisalhamento. Assim, a inclinação da viga
deformada depende destes dois fatores.
Para estruturas esbeltas, o comportamento dinâmico é bem representado utilizando o
modelo de Euler-Bernoulli, mas quando a relação entre dimensões torna-se menor, é
necessário utilizar o modelo de Timoshenko.
No modelo de Timoshenko, a flexão da viga (excluindo-se neste caso o cisalhamento)
causa não somente translação para cada seção transversal, mas também a rotação das mesmas.
O efeito do cisalhamento é fazer a distorção diferente de zero, o que leva a um acréscimo da
curvatura de flexão e é muito significativo quando se trata de vigas curtas, vigas com baixo
módulo de elasticidade transversal ou quando se necessita determinar a linha elástica de forma
mais precisa. Para isso reduz-se a rigidez da viga segundo um pequeno fator, aumentando-se
então os deslocamentos nodais.
Na análise numérica do comportamento dinâmico de rotores são empregados,
usualmente, para a representação do eixo, elementos finitos de viga com funções de
interpolação de continuidade C1 (polinômios de Hermite). Com essas funções modelam-se
vigas de Euler-Bernoulli (vigas e eixos esbeltos). Ainda utilizando funções do tipo C1 pode-se
24
adaptar a formulação do modelo de Euler-Bernoulli para o modelo de Timoshenko, o qual
considera o efeito do cisalhamento transversal, através da introdução de um fator de correção
na matriz de rigidez. Uma das formas de se obter este fator é através de uma formulação
híbrida que satisfaça as equações diferenciais de equilíbrio para vigas (relação entre momento
fletor e esforço cortante). O modelo utilizando a teoria de Timoshenko pode ser aplicado à
vigas e eixos moderadamente espessos, visto que neste caso o efeito do cisalhamento
transversal e da inércia rotacional tornam-se importantes. Em altas rotações (maiores modos
de vibração) esta formulação também prediz com maior acurácia o comportamento real de
rotores.
2.3.2.2 – Energia potencial do elemento de disco.
Considera-se neste trabalho que a contribuição da energia potencial de deformação do
disco é nula, ou seja que o disco possui uma rigidez infinita, sendo não deformável. Assim, o
disco é caracterizado somente por sua energia cinética.
2.3.2.3 – Energia cinética do elemento de disco.
O elemento de disco está montado em um eixo flexível com rotação e a expressão para
sua energia cinética irá fazer uso de dois referenciais, como mostrado na Figura 2.3. A energia
cinética de um elemento de um rotor em flexão pode ser determinada a partir da definição do
campo de deslocamentos e das velocidades angulares instantâneas. Para tal, definem-se: R0 (
XYZ ) é um referencial inercial e R ( xyz ) é um referencial fixo no disco. O sistema de
coordenadas xyz está relacionado ao sistema XYZ através dos ângulos
,
e
. O vetor de
velocidade angular instantânea do referencial xyz é:
( 2.10 )
A representação da rotação de cada elemento do rotor, em relação a um sistema de
coordenadas fixa, utiliza os ângulos de Euler, sendo o vetor total dado pela combinação das
rotações: precessão, nutação e giro (para atingir a orientação do disco são feitas as seguintes
rotações em sequência:
em torno do eixo Z;
em torno do novo eixo x, denominado x1;
25
em torno do eixo y). Uma explicação detalhada sobre os ângulos de Euler pode ser encontrada
em livros clássicos de dinâmica (TENENBAUM, 2006).
Figura 2.3 – Referenciais para elemento de disco
Onde
,
e
são os vetores unitários nas direções dos eixos Z, x1 e y,
respectivamente. A energia cinética do disco em relação ao centro de massa é calculada
usando-se o referencial R. Neste sistema de coordenadas o vetor de velocidade angular tornase:
( 2.11 )
Sejam u e w as coordenadas do centro de massa do disco no referencial R 0, em relação
aos eixos X e Z respectivamente, e a coordenada ao longo do eixo Y constante.
Adicionalmente, considere-se a massa do disco MD e seu tensor de inércia, tendo as direções
principais ao longo dos eixos do sistema xyz e origem no centro de massa, como:
26
( 2.12 )
A energia cinética TD do disco pode então ser expressa como:
( 2.13 )
A equação anterior pode ser simplificada uma vez que o disco é simétrico ( IDx = IDz ),
os ângulos
e
são pequenos e a rotação é constante (
). Assim, a equação ( 2.13 )
torna-se:
( 2.14 )
A primeira parcela representa a energia devida ao movimento de translação no plano
do disco, a segunda é a rotação em torno dos eixos x e z, e a terceira é a rotação em torno do
eixo y de simetria incluindo-se o efeito do momento giroscópico resultante do acoplamento de
e
com .
Na expressão anterior, pode-se observar que o termo
representa a energia do disco girando a uma velocidade angular
é uma constante que
. O último termo
representa o efeito giroscópico.
2.3.2.4 – Energia potencial do elemento de viga.
A energia potencial U1 ( energia de deformação, escalar ) pode ser calculada da
seguinte forma:
27
( 2.15 )
Sendo:
= Tensão (vetor na equação acima);
= Deformação (vetor na equação acima);
= Volume.
Na equação acima são escalares. Considerando termos de segunda ordem, a
deformação do ponto genérico B(x, z) da seção transversal do elemento de viga representado
na Figura 2.4 pode ser escrita como segue ( é um escalar daqui em diante):
( 2.16 )
Sendo que C é o centro geométrico do eixo e que suas coordenadas nos eixos x, z são
*
*
u e w . A relação anterior também pode ser expressa por uma combinação de termos lineares
e não lineares:
( 2.17 )
28
Figura 2.4 – Coordenadas de um ponto B arbitrário dentro do elemento de eixo.
Utilizando a proporcionalidade entre a deformação e a tensão, expressa mediante a lei
de Hooke, sendo E o módulo de Young ( é um escalar na equação abaixo):
( 2.18 )
tem-se:
( 2.19 )
Dada a simetria da seção transversal do eixo com respeito aos eixos x, z; verifica-se
que:
( 2.20 )
29
O terceiro termo dentro da integral da equação ( 2.19 ) é de segunda ordem e é
desprezado. Então, a expressão para calcular a energia potencial resulta:
( 2.21 )
Ou seja:
( 2.22 )
Sendo:
S = Área da seção transversal;
L = Comprimento do elemento de viga.
Devido a simetria que possui a seção transversal do eixo, o terceiro termo da
expressão integral anterior é nulo.
Os momentos de inércia de área da seção transversal com respeito aos eixos x e z
são,respectivamente,
( 2.23 )
( 2.24 )
30
Introduzindo as equações ( 2.23 ) e ( 2.24 ) na equação ( 2.22 ) para a energia
potencial, tem-se:
( 2.25 )
Para um eixo sujeito a uma força axial constante F0 existe uma outra contribuição para
a energia de deformação, dada por:
( 2.26 )
Devido a simetria do eixo, a primeira parcela da integral será nula. Assim, usando as
equações ( 2.16 ) e ( 2.17 ), a equação ( 2.26 ) torna-se:
( 2.27 )
A energia total de deformação é a soma das equações ( 2.25 ) e ( 2.27 ):
( 2.28 )
Será visto posteriormente que caso as equações para o elemento de mancal sejam
deduzidas em relação ao referencial R, haverão termos periódicos, função explicitamente do
tempo, em suas matrizes; as mesmas, quando utilizadas para a montagem da equação global
do sistema, levam a dificuldades numéricas na resolução. Uma forma de evitar tais
dificuldades é expressar as equações dos elementos em função dos deslocamentos u e w
31
medidos na referência R0; utilizam-se as seguintes relações, as quais podem ser deduzidas
através da Figura 2.4:
( 2.29 )
( 2.30 )
Desta forma, a equação ( 2.28 ) pode ser escrita como:
(
2.3
1)
Desenvolvendo a integral, e pela simetria do eixo (Ix = Iz = I), a expressão para energia
potencial se reduz a:
( 2.32 )
2.3.2.5 – Energia cinética do elemento de viga.
A seguinte expressão para a energia cinética do elemento de viga é uma extensão da
equação ( 2.14 ) para a energia cinética de um elemento de disco. A energia cinética em cada
elemento de comprimento L de eixo é dada por:
32
( 2.33 )
A primeira parcela representa a expressão clássica da energia cinética de uma viga em
flexão, a segunda parcela representa o efeito secundário da inércia rotacional ( viga de
Timoshenko ); a terceira parcela é uma constante ( esta não terá nenhuma influência nas
matrizes elementares, como será demostrado a seguir ), representa a energia do eixo que gira a
uma velocidade angular
em torno do eixo y de simetria; por fim, a última parcela representa
o efeito giroscópico resultante do acoplamento de
e
com .
2.3.2.6 – Trabalho virtual dos mancais.
Os mancais são considerados, de uma maneira simplificada, como elementos de
suporte, dispostos discretamente ao longo do eixo, e representados por matrizes de rigidez e
de amortecimento associados aos deslocamentos u e w no apoio. O efeito é considerado no
modelo numérico adicionado-se ao sistema de equações as condições de vinculo elástico e
amortecimento entre eixo e apoio rígido. Os mancais são representados por coeficientes kxx,
kzz, kxz, kzx, que são de rigidez e cxx, czz, cxz e czx que correspondem a elementos de
amortecimento.
Os mancais foram modelados conforme o esquema representado na Figura 2.5 Os
valores dos coeficientes de rigidez e amortecimento são previamente calculados de acordo
com o tipo de mancal, o qual é descrito no capitulo seguinte. As direções tomadas como
referência estão indicadas na Figura 2.5, sendo que:
kxx, kzz, cxx e czz são rigidezes e amortecimentos nas direções X e Z do eixo.
kxz, cxz são coeficientes de rigidez e amortecimento que caracterizam a geração de
forças na direção X a partir de deslocamentos e velocidades, respectivamente,
medidos na direção Z.
kzx, czx são coeficientes de rigidez e amortecimento que caracterizam a geração de
forças na direção Z a partir de deslocamentos e velocidades, respectivamente,
medidos na direção X.
33
Os quatro últimos termos são denominados termos de acoplamento, entre as direções
X e Z no plano do mancal.
Figura 2.5 – Modelo do mancal
O trabalho virtual
das forças agindo sobre os mancais é dado por:
(
2.3
4)
Onde
e
são os deslocamentos virtuais nas direções X e Z respectivamente.
Também pode-se escrever desta forma:
( 2.35 )
Sendo Fu e Fw os componentes da força generalizada atuante sobre o eixo. Em formato
matricial, pode-se escrever:
34
( 2.36 )
Utilizando o referencial R e considerando nulos os coeficientes de acoplamento, a
expressão para trabalho virtual é:
(
2.3
7)
Ou de forma equivalente:
(
2.3
8)
Para evitar a complexidade da solução desta equação,
=
, o que acontece
quando se utiliza o referencial inercial R0.
2.3.3 – Estabelecimento das matrizes de elementos finitos.
Tendo as expressões de energia cinética, de energia potencial e de trabaho virtual já
calculadas para todos os elementos, procede-se para a aplicação das equações de Lagrange.
Desta forma, serão obtidas as clássicas matrizes elementares de elementos finitos para cada
elemento do rotor: eixo flexível, disco, mancal e massa desbalanceadora.
A dedução das matrizes elementares dos elementos de viga torna necessário o uso de
funções interpoladoras (funções Hermitianas neste caso), devido à discretização do rotor.
Uma das maneiras de deduzir estas funções é a aplicação do método de separação de variáveis
à uma equação que satisfaça os deslocamentos estáticos (planos) da viga no espaço. No
entanto, tais funções interpoladoras também podem ser deduzidas independentemente para
35
planos ortogonais entre si. No próximo item, será mostrada somente a dedução das funções
interpoladoras para o plano yz. A dedução das funções interpoladoras para o plano xy segue
procedimento análogo.
2.3.3.1 – Funções Interpoladoras.
As coordenadas usadas para a dedução das funções interpoladoras do plano yz,
ilustrado na Figura 2.6 são as duas coordenadas lineares wi(t) e wi+1(t) e duas coordenadas
angulares θi(t) e θi+1(t), necessárias para descrever o movimento de cada nó. Embora cada nó
possua quatro graus de liberdade, nesta dedução serão usados apenas dois por nó,
correspondentes ao plano yz. O deslocamento estático transversal deve satisfazer ( INMAN
(2000); TIMOSHENKO (1937) ) :
( 2.39 )
Para valores constantes de EI, a equação acima torna-se:
( 2.40 )
que, integrando, leva a:
( 2.41 )
onde ci(t) são as constantes de integração. Será suposta uma solução final da forma:
( 2.42 )
36
Figura 2.6 – Exemplo de sistema de coordenadas
A equação acima é usada para interpolar os deslocamentos dentro de um elemento,
onde
são componentes da função cúbica de interpolação, também chamada de função
Hermitiana (descrita por Euller-Bernoulli). A função Hermitiana interpola, simultaneamente,
valores intermediários do deslocamento w(y,t) a partir das quatro coordenadas generalizadas
do vetor de deslocamento nodal , que definem a posição dos pontos de um elemento de eixo.
Os deslocamentos e ângulos wi(t), wi+1(t), θi(t) e θi+1(t), respectivamente, devem
satisfazer as condições de contorno:
( 2.43 )
Estas relações são substituídas na equação ( 2.41 ) e resolvidas para as constantes de
integração ci, levando a:
( 2.44 )
37
Substituindo a equação ( 2.44 ) na equação ( 2.41 ), e rearranjando os termos como
coeficientes de deslocamentos nodais desconhecidos, leva ao resultado exato do deslocamento
w(y,t) para o elemento de viga, expresso por:
(
2.4
5)
Analogamente, seguindo um procedimento semenlhante ao aplicado para a função
w(y,t), obtemos para a função u(y,t):
(
2.4
6)
Os polinômios entre parênteses são as funções interpoladoras que serão usadas para o
cálculo das matrizes elementares de massa, rigidez e giroscópica do elemento de viga. Na
Figura 2.7 foram plotados os valores dos polinômios interpoladores para a função w(y,t),
usando comprimento de elemento L = 1 m. Nesta figura, cada polinômio é identificado na
forma de componente interno da Equação ( 2.57 ), mostrada mais adiante. Pode-se ver
claramente que as funções interpoladoras para u(y,t) e w(y,t) são quase idênticas, diferindo
apenas em sinal para os termos que acompanham ângulos.
38
N2(1,1)
N2(1,3)
N2(1,2)
N2(1,4)
Figura 2.7 – Funções Interpoladoras
2.3.3.2 – Formulação das matrizes elementares para o disco.
Na solução do problema através do método dos elementos finitos, considera-se que
cada nó do rotor possui quatro graus de liberdade: dois deslocamentos u e w nas direções Z e
X, respectivamente e dois giros
e
em torno dos eixos X e Z, respectivamente. Sendo
assim, para um nó “i” o vetor deslocamento nodal
do centro do disco se escreve como:
( 2.47 )
Deste modo, é possível expressar a energia cinética de um disco e, a partir das
equações de Lagrange, montar a equação do movimento do disco.
A aplicação das equações de Lagrange na equação ( 2.14 ) fornece:
( 2.48 )
39
Na equação acima, no primeiro termo à direita, pode ser identificada a clássica matriz
de massa e no segundo termo a matriz Giroscópica.
Dependendo do ponto de fixação do disco e da sua espessura com relação ao diâmetro
do eixo, pode-se considerar que sua influência sobre o sistema ocorre somente em um nó.
Assim a participação do disco na matriz de massa é dada pela equação acima, colocada na
matriz global de forma coerente com o nó onde está o disco.
O disco também contribui com a matriz giroscópica através da expressão acima,
também colocada na matriz global de forma coerente com o nó onde está o disco.
2.3.3.3 – Formulação das matrizes elementares para o eixo.
Na formulação mediante elementos finitos, o eixo se divide em n elementos de
comprimento L. Cada elemento possui uma seção circular constante, não sendo
necessariamente iguais os diâmetros do eixo entre elementos distintos; e, como citado
anteriormente, cada nodo possui quatro graus de liberdade: dois deslocamentos u e w, dos
giros
e
em torno dos eixos X e Z respectivamente, com graus de liberdade de rotação e de
deslocamentos transversais independentes, ou seja, o modelo de viga usado é do tipo
Timoshenko e com discretização Hermitiana, conforme ilustra a Figura 2.8. As matrizes são
de oitava ordem, diferentemente das matrizes para o elemento de disco, que eram de quarta
ordem; isso se dá em razão da flexibilidade do elemento de viga.
Figura 2.8 – Elemento de viga
Se os deslocamentos u e w são pequenos, as relações entre deslocamentos e os giros
são:
40
( 2.49 )
( 2.50 )
Um vetor deslocamento nodal
, sobre o elemento de viga “i”, é definido, de acordo
com a notação utilizada na figura:
( 2.51 )
onde os deslocamentos
e
correspondem aos movimentos nas direções X e Z,
respectivamente,
( 2.52 )
( 2.53 )
As variáveis u e w são representada do seguinte modo:
( 2.54 )
( 2.55 )
41
Onde N1(y) e N2(y) são funções de interpolação:
( 2.56 )
( 2.57 )
Introduzindo as equações ( 2.49 ) e ( 2.50 ) na equação ( 2.33 ) da energia cinética do
eixo e obedecendo as relações ( 2.54 ) e ( 2.55 ), tem-se:
(
2.5
8)
A equação anterior pode ser simplificada. O produto
forma uma matriz de
dimensão 4 x 4, segundo a equação ( 2.56 ), N1 é um vetor com quatro elementos (quatro
funções, uma para cada deslocamento na direção X contidos em
). Logo,
(
2.5
9)
Sendo:
42
( 2.60 )
Aplicando as equações de Lagrange na energia cinética do elemento de viga dada pela
equação ( 2.59 ), obtém-se
( 2.61 )
onde
é o vetor de deslocamento do elemento dado pela equação ( 2.51 ), MC surge
de M1 e M2, MS de M3 e M4 e GC de M5. A seguir são descritas estas três matrizes:
43
( 2.62 )
( 2.63 )
( 2.64 )
MC é a matriz de inércia de translação devido a energia cinética, que é simétrica e
positiva , e MS é a matriz de massa devido à inércia diametral I do elemento de eixo também
chamado de massa de efeito secundário de Rayleigh.
A matriz da equação ( 2.64 ) é associada ao efeito giroscópico do eixo (anti-simétrica)
devido à energia cinética.
Aplicando um procedimento análogo ao anterior, pode-se obter a matriz de rigidez do
elemento. Substituindo na equação da energia potencial do eixo, a definição das funções u e
w, dadas pelas equações ( 2.54 ) e ( 2.55 ), se tem:
44
(
2.6
5)
Escrevendo a equação anterior em forma matricial:
( 2.66 )
A equação acima não leva em consideração o efeito das tensões de cisalhamento. Este
efeito pode ser incluído através da introdução (na equação acima) da seguinte quantidade, que
o caracteriza
( 2.67 )
onde
( 2.68 )
é o módulo de cisalhamento e:
( 2.69 )
é a área reduzida, através do fator de forma kff da seção transversal do elemento
(Cowper ( 1966 ) ).
Para um elemento de viga de seção circular:
45
( 2.70 )
Aplicando a equação de Lagrange na energia potencial, obtém-se a matriz de rigidez
do elemento:
( 2.71 )
( 2.72 )
Onde K é a matriz resultante da soma de duas parcelas, uma devido à flexão KC e outra
devido a força axial KF, mostradas abaixo. Ao introduzir os efeitos das tensões de
cisalhamento na energia potencial do eixo, se obtém a seguinte matriz de rigidez:
( 2.73 )
sendo “a” o fator de influência do efeito de cisalhamento, dado pela equação ( 2.67 ).
46
( 2.74 )
Pode ser demonstrado que a influência do cisalhamento que dá uma matriz Ks, não
mostrada aqui, está incluída na matriz de rigidez KC, através do fator a ( Imbert ( 1979 ) ).
Assim, KC é obtida através de K1, K2 e KS, KF é obtida através de K3 e K4. Fazendo a = 0,
anula-se o efeito da matriz KS na matriz KC. Os termos da matriz K1 são os termos não nulos
na primeira, quarta, quinta e última coluna da matriz KC (sem o fator “a”); os termos de K2
são os termos não nulos das demais colunas de KC (também sem o fator “a”). Já os termos da
matriz K3 são os termos não nulos na primeira, quarta, quinta e última coluna da matriz KF;
por fim, os termos de K4 encontram-se nas demais colunas da matriz KF (que são somente os
termos não nulos).
2.3.3.4 – Formulação das matrizes elementares para os mancais.
Sendo Fu e Fw os componentes da força generalizada atuante sobre o eixo, estas
podem ser obtidas através das equações ( 2.34 ) e ( 2.35 ) :
( 2.75 )
( 2.76 )
Dado que
=
= 0, devido ao fato do mancal não provocar nenhum momento de
flexão sobre o eixo por ser, neste modelo, um elemento pontual, a expressão anterior torna-se:
47
( 2.77 )
A primeira matriz é a matriz de rigidez do mancal e a segunda, a matriz de
amortecimento do mancal.
Ainda que o mancal origine forças que atuam sobre o eixo, as quais foram analisadas
como forças generalizadas, pode-se observar através da expressão anterior que as forças
dependem do deslocamento nodal e da velocidade nodal. Portanto, na resolução do sistema
matricial, as matrizes de rigidez e amortecimento dos mancais devem adicionar seus termos
nas respectivas matrizes globais.
2.3.4 – Montagem da equação global.
A partir das matrizes elementares do eixo, do(s) disco(s), e dos mancais
correspondentes, obtém-se um sistema de equações globais que governa o movimento de um
rotor dinâmico. Considerando o efeito giroscópico e modelando os mancais por matrizes de
rigidez e amortecimento, tem-se a seguinte equação global do movimento:
( 2.78 )
Onde:
F é o vetor das forças excitadoras do sistema;
MG é a matriz de massa global do sistema, obtida a partir das matrizes de massa
elementares do disco e do eixo;
GG é a matriz giroscópica global antisimétrica do rotor obtida a partir das matrizes
giroscópicas elementares do disco e do eixo e somada com as matrizes elementares de
amortecimento dos mancais;
KG é a matriz de rigidez global simétrica obtida a partir da matrizes de rigidez
elementares do eixo e da matrizes de rigidez elementares dos mancais;
48
,
e
são os vetores de aceleração nodal, velocidade nodal e deslocamento nodal
globais, respectivamente. Ao adotar uma discretização de n elementos, estes vetores possuem
uma dimensão 4(n + 1), pois tem-se n + 1 nós e quatro graus de liberdade por nó.
Para chegar a equação ( 2.78 ), primeiramente, divide-se o rotor em nós como na
Figura 2.9 e decide-se quais elementos serão aplicados em todo o rotor. A seguinte convenção
será adotada, dada de acordo com a Tabela 2.1:
Tabela 2.1 – Convenção para matrizes elementares
Tipo de
Elemento
Nó do rotor
Viga
( i ) – ( i +1 )
Disco
j
Mancal
k
Componentes do vetor de
Símbolo do vetor de
deslocamento de cada elemento
deslocamento
,
Nesta convenção, embora
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
e
sejam vetores nodais referentes a diferentes
tipos de elementos, seus componentes internos são parte do vetor nodal global; os símbolos i,
j e k são usados para indicar diferentes nós do rotor, pois elementos de mancal e de disco
estão sempre em número menor em relação aos elementos de viga. Em outras palavras, por
exemplo os componentes internos u3 e w3 são os mesmos para
e
, bem como para o
vetor nodal global de deslocamento; são independentes do tipo de vetor de deslocamento. Os
elementos de viga consideram flexibilidade, por isso tem 8 nós cada; os elementos de disco
são considerados rígidos, por isso tem 4 nós cada; por fim os elementos de mancal só tem 2
nós cada pois os mancais são considerados elementos pontuais, considera-se que os mancais
não aplicam momentos no eixo.
49
Figura 2.9 – Divisão do rotor em nós
Como pode ser visto, será necessário calcular, para cada elemento criado, suas
respectivas matrizes elementares. Em seguida, deve-se agrupar os termos com vetores nodais
em comum, desta forma:
( 2.79 )
Onde:
e
são as matrizes elementares de inércia do elemento de viga i;
é matriz elementar de inércia do elemento de disco j;
é a matriz giroscópica elementar do elemento de viga i ;
é a matriz giroscópica elementar do elemento de disco j;
é matriz de amortecimento elementar do elemento de mancal k;
é matriz de rigidez elementar do elemento de mancal k;
é matriz de rigidez do elemento de viga i devido a flexão e ao cisalhamento
50
As matrizes
,
e
são partes internas das matrizes globais de massa,
giroscópica (amortecimento) e de rigidez, respectivamente, que deverão ser agrupadas,
juntamente com os vetores nodais globais. Os termos com índices diferentes deverão ser
somados apenas quando seus valores forem iguais ( i = j = k ). Por exemplo, se i = 1,2,3,4,5 , j
= 3 e k = 2, 4, os termos com índice i só se somariam aos termos com índice j quando i=3 e
j=3; os de índice k só se somariam com os de índice i se i = 2, 4 e k = 2, 4.
Tendo as matrizes
,
e
calculadas, procede-se para o agrupamento das
mesmas. O vetor nodal global com dimensão 4(n+1) deve ser montado. Na Figura 2.10 é
mostrado um esquema de como se devem agrupar as parcelas das matrizes globais. Cada
quadrado representa a i-ésima parte da matriz global,
por exemplo. As regiões de
intersecção entre os quadrados indicam que termos que acompanham componentes do vetor
nodal global em comum para matrizes de diferentes elementos devem ser somados; por
exemplo uma parte de
que multiplicam
,
deve ser somada com uma parte de
,
e
, já que ambas tem termos
, componentes do vetor nodal global de aceleração. De
forma análoga, faz-se o mesmo procedimento para as matrizes
e
, obtendo assim as
matrizes globais MG, GG e KG.
As regiões com círculos representam zeros. As matrizes globais são matrizes esparsas.
Figura 2.10 – Montagem das Matrizes Globais
51
2.3.5 – Solução homogênea da equação global do sistema.
Para a análise da dinâmica do rotor, é necessário encontrar a solução homogênea da
equação ( 2.78 ), ou seja, a solução da equação ( 2.80 ):
( 2.80 )
A equação acima tem solução com a seguinte forma:
( 2.81 )
Onde
e
são os autovetores e autovalores correspondentes à transformação da
equação ( 2.80 ) para o domínio do espaço de estados, que como será mostrado adiante fica na
forma:
( 2.82 )
Onde
e
. Como se pode deduzir, o número de autovalores e autovetores
será igual a 2n, com n sendo o número de graus de liberdade. Se considerarmos o número de
elementos como sendo ne, então a dimensão dos autovetores e a quantidade de autovalores
equivale a 2*4(ne+1).
Os autovalores e autovetores terão a seguinte forma:
( 2.83 )
52
( 2.84 )
Onde a barra indica complexo conjugado. Introduzindo os autovalores e autovetores
na equação ( 2.81 ) leva a:
( 2.85 )
Que pode ser escrita de forma equivalente como:
( 2.86 )
Na equação acima,
e os ângulos de defasagem
das condições iniciais. O sinal de
autovalor e
podem ser determinados a partir
determina a estabilidade do sistema para o respectivo
é a frequência natural associada.
Tirando o fator
, a equação ( 2.86 ) fornece os modos de vibração:
( 2.87 )
Da equação ( 2.83 )
é chamada de frequência natural em rad/s. Esta depende da
velocidade do rotor. Um diagrama que mostra as frequências naturais em função da
velocidade do rotor é denominado de Diagrama de Campbell. A título de exemplo, na Figura
2.11 mostra-se um diagrama com quatro frequências naturais. A linha tracejada permite
identificar os pontos de coincidência da velocidade do rotor com as frequências naturais.
Estas frequências são denominadas de críticas pois no caso de serem mantidas durante
operação poderão causar o contato do rotor com o estator. (ressonância)
Observa-se que a velocidade de rotação, própria do rotor, afeta o valor das freqüências
naturais do sistema, pois esta aparece na matriz de efeito giroscópico (GG) na equação ( 2.80).
53
A forma anti-simétrica da matriz G implica em 2n freqüências naturais distintas para cada
velocidade de rotação do eixo, uma maior e outra menor do que cada uma das n freqüências
naturais do sistema sem rotação.
Novamente, para o cálculo das velocidades críticas, basta traçar a reta freqüência –
rotação, cujas interseções com as curvas de Campbell, como na Figura 2.11, definirão os
pontos onde a velocidade de rotação coincide com uma freqüência natural (LALANNE e
FERRARIS, 1998). Observe-se que nas velocidades de precessão direta, qualquer
desbalanceamento do rotor provoca uma excitação síncrona com essa freqüência natural,
amplificando ainda mais as amplitudes de oscilação nesse modo de vibração, diz-se então, que
o sistema entrou em ressonância.
Figura 2.11 – Diagrama de Campbell
3 – Controle para Rotor suportado por Mancais Magnéticos
3.1 – Introdução
O objetivo deste capítulo é descrever o procedimento para a substituição do modelo
mecânico atual do sistema rotor mancal, ou seja, o modelo da planta em termos de teoria de
controle. No modelo mecânico atual, supõe-se que o rotor é rígido; pretende-se trocá-lo por
um modelo de corpo flexível. A equação de movimento do rotor foi obtida pelo método dos
elementos finitos no capítulo anterior. Resta agora transformar a equação para a forma do
espaço de estados. No diagrama geral do sistema de controle, somente a planta será
modificada; outros elementos permanecerão inalterados, inclusive o controlador. Antes de
prosseguir, será feita uma breve apresentação do mancal magnético: vantagens e limitações,
princípio de funcionamento e características das forças geradas.
3.1.1 – Mancais Magnéticos
Os mancais magnéticos ativos ( MMA ) são dispositivos eletromagnéticos projetados
para manter um eixo suspenso dentro do mancal sem que haja nenhum contato mecânico entre
ambos. Os mancais magnéticos podem suportar tanto cargas radiais quanto cargas axiais
utilizando-se apenas forças magnéticas para a levitação do eixo, diferenciando-se dos mancais
fluidodinâmicos ou dos mancais de rolamento que são baseados em forças mecânicas para o
suporte.
Uma característica singular da tecnologia dos mancais magnéticos ativos é sua
capacidade de operar como um sistema de controle ativo de vibrações, uma vez que esse
controle tem a capacidade de corrigir, em frações de segundo, o desvio do eixo de sua posição
55
centrada dentro do mancal. Para isso contam com os seguintes componentes básicos: sensores
de posição do eixo, filtros, eletroimãs, controladores ( PD, PID, etc ) e amplificadores de
potência.
Os mancais magnéticos apresentam várias vantagens sobre os mancais convencionais
por uma variedade de aplicações práticas. As vantagens primárias dos mancais magnéticos
são o baixo consumo de potência e a longa vida, tendo em vista que não há contato entre o
rotor e o estator, o que acarreta uma redução significativa do aquecimento do sistema
mecânico. Desta forma podem operar em velocidades mais altas do que os mancais
convencionais, sejam de rolamento ou fluidodinâmicos.
A ausência de contato explica a longa vida dos MMA, pois a redução do atrito nas
suas peças é significativa. Para efeitos de comparação, pode ser lembrado que em mancais
fluidodinâmicos ocorrem elevadas perdas ( energéticas ) por fricção devido ao efeito de
cisalhamento do óleo. As perdas ( energéticas ) dos MMA se reduzem ao efeito de alguma
resistência do ar entre o rotor e o estator, quando não se encontram no vácuo, e às correntes
parasitas (“eddy currents”) e a histerese que acontecem no núcleo ferromagnético. Além do
mais, comparando as perdas ( energéticas ) associadas à bomba de óleo, filtros e tubulações
dos mancais fluidodinâmicos, estas são muito maiores do que as perdas nos amplificadores de
potência dos mancais magnéticos.
Além disso, os MMA podem operar em ambientes onde as condições seriam adversas
a outros tipos de mancais, como em altas ou em baixas temperaturas que poderiam prejudicar
o óleo de lubrificação dos mancais de rolamento ou dos fluidodinâmicos.
Em relação à capacidade de carga de um MMA, esta é determinada em função da
folga entre o rotor e o estator (entreferro ou “airgap”), bem como em função dos efeitos de
correntes parasitas e da escolha do material ferromagnético a ser usado.
Contudo, os mancais convencionais podem suportar, por alguns instantes, um possível
carregamento súbito inesperado (como, por exemplo, na ocorrência da perda de uma pá de
uma turbina). Diferentemente, os MMA têm característica muito linear para a capacidade de
força e não toleram bem cargas excessivas inesperadas (GUIRÁO (2006) ).
Para prevenir cargas inesperadas, os mancais magnéticos devem ser equipados com
mancais passivos de auxílio, que entram em ação caso haja uma perda de potência dos
mancais magnéticos. Estes mancais auxiliares usualmente são mancais convencionais de
rolamento fixados com uma folga entre o eixo e a sua parte interna (diâmetro interno), porém
56
esta folga é ligeiramente menor que a folga entre o eixo e a parte estacionária do mancal
magnético para evitar o contato.
3.2 – Princípio de Funcionamento dos Mancais Magnéticos
Como mencionado, os MMA são dispositivos que suportam um eixo em rotação,
através de forças que tem sua origem em campos magnéticos gerados por eletroímãs cujas
correntes são fornecidas por um sistema de controle de posição em malha fechada. A Figura
3.1 mostra, de forma simplificada, um típico sistema de levitação de uma esfera de aço, que
dispõe de um sensor de deslocamento, um controlador, um amplificador de potência e um
atuador eletromagnético. Nessa figura o peso age na direção oposta à força magnética.
Figura 3.1 – Elementos de um Mancal Magnético Ativo
O conjunto mostrado na Figura 3.1 funciona basicamente da seguinte forma: o rotor
em rotação está sujeito à ação de forças externas que podem tirá-lo de sua posição de
equilíbrio. O sensor de deslocamento irá medir este deslocamento do eixo e enviar um sinal
ao controlador, que por sua vez, determinará a corrente elétrica necessária a ser enviada ao
eletroímã, ou atuador, para que este gere uma força magnética, e com isso recuperar a posição
inicial do eixo. Como a corrente elétrica enviada pelo controlador é de pequena grandeza, é
necessário que ela passe por um amplificador antes de chegar ao atuador. O controlador,
quando é implementado em forma digital, é atualizado periodicamente numa taxa da ordem
de kilohertz. No caso de um MMA, um atuador magnético não é suficiente, sendo necessário
um par para cada direção controlada, visto que os atuadores eletromagnéticos geram somente
forças de atração e não de repulsão. Para isso, em cada direção de controle devem ser
montados dois atuadores diametralmente opostos para garantir o total controle da posição do
eixo.
57
Na maioria dos mancais magnéticos, os atuadores ficam localizados radialmente ao
redor de um material ferromagnético que reveste o eixo. Na prática, pelo menos dois pares de
atuadores, um para o controle horizontal e outro para o vertical são necessários. Porém,
mancais com um número maior de pares de atuadores existem, e assim um número maior de
direções são controladas. Há mancais com até 16 pólos atuadores, ou seja, com 8 pares de
atuadores controlando 8 direções radiais distintas com espaçamento angular eqüidistante entre
elas (SCHWEITZER et al. (2009) ).
3.2.1 – Forças nos Mancais Magnéticos Ativos (MMA)
Em um modelo teórico, para se estudar os mancais magnéticos ativos, é necessário
considerar várias hipóteses, as quais são enumeradas a seguir:
Os níveis de fluxo magnético estão sempre abaixo do nível de saturação do material
ferromagnético;
Os movimentos do eixo são pequenos comparados com o tamanho da folga do
mancal;
A distribuição de fluxo magnético na seção transversal do estator é relativamente
uniforme;
A perda elétrica é pequena.
Desse modelo, se observa que a força magnética mostra uma dependência quadrática
proporcional à corrente do MMA e também uma dependência quadrática inversamente
proporcional ao entreferro , como se mostra na equação ( 3.1 ). Além disso, observa-se que,
para um MMA real, as forças resultantes, ao longo de uma direção, dependem do formato do
núcleo do eletroímã, como se ilustra na Figura 3.2. Neste caso, o ângulo
é incluído na força
magnética da seguinte maneira:
( 3.1 )
Onde:
58
( 3.2 )
Sendo os parâmetros:
- Permeabilidade magnética do ar;
n - Número de espiras da bobina;
- Área efetiva em que ocorre a atração;
i - Intensidade de corrente da bobina;
s - Entreferro (airgap);
- Ângulo formado entre as linhas de fluxo magnético polares e os eixos de
coordenadas.
Figura 3.2 – Fluxo magnético e ângulo .
Como se observa, para um só eletroímã, a força tem uma característica não linear.
Entretanto, para fins de controle, linear, é necessária uma relação linear; isto é conseguido
através de um procedimento de linearização em torno de um ponto de operação do sistema.
É importante ressaltar que o sistema representado pela Figura 3.1, sem o bloco
controlador, não possui um comportamento estável. Desta forma, somente com a utilização de
59
um sistema de controle, em malha fechada, é possível manter constante o valor pré-definido
do entreferro da máquina rotativa.
A Figura 3.3 ilustra, de forma simplificada, a disposição prática dos eletroímãs em um
sistema de posicionamento com MMA radiais. Neste caso se admite que os MMA trabalham
em modo diferencial, conforme mostrado.
Figura 3.3 – Mancal magnético ativo operando em modo diferencial
O mancal magnético radial possui quatro bobinas, sendo um par para cada eixo ( eixos
x e y ). Na Figura 3.3 estão indicadas as correntes para cada bobina; a parte hachurada
representa a parte sólida do eixo e a camada externa vizinha a parte sólida representa o
60
laminado ( por onde passa o fluxo magnético ). As quatro forças magnéticas atuantes se
opõem em pares: f2 para f1 e f4 para f3. Esta configuração gera uma composição de forças
resultantes atuando em duas direções perpendiculares.
A título de exemplo, pode ser demonstrado que a força fx a seguir, representa a força
resultante de um MMA, gerada por dois eletroímãs diametralmente opostos, na direção x.
Essas forças são obtidas pela imposição das correntes ( i0 + ix ) e ( i0 - ix ), onde ix é a corrente
de controle. Nestas condições, os deslocamentos respectivos serão ( s0 – x ) e ( s0 + x ), onde x
é o distanciamento da posição de equilíbrio s0.
( 3.3 )
A linearização de fx em torno de um ponto de operação é obtida com auxilio da série
de Taylor. Considerando as derivadas parciais de fx em relação a ix e a x ( avaliados no próprio
ponto de equilíbrio ), a força do mancal em torno do ponto de operação pode ser então escrita
na forma linearizada:
( 3.4 )
ou de forma compacta:
( 3.5 )
Como observado, a escolha da corrente de bias i0 e de s0, que é o valor do entreferro na
posição de equilíbrio, determinam os parâmetros ki e ks da força magnética resultante.
3.3 – Teoria de Controle para Mancais Magnéticos
61
Conforme mencionado, mancais magnéticos são dispositivos de equilíbrio instável,
requerendo, para o seu funcionamento apropriado, um sistema de controle em malha fechada
ou realimentado, conforme sugerido na Figura 3.4, aplicável ao sistema da Figura 3.1.
Figura 3.4 - Sistema de realimentação por malha fechada.
Nesta figura, C(s) representa o deslocamento (saída), G(s) a dinâmica do rotor
(planta), H(s) a dinâmica do sensor de posição, R(s) o sinal de comando proporcional ao
entreferro desejado (referência), e Gc(s) o controlador ( OGATA (2003) ).
Neste sistema, o sinal de erro atuante, que é a diferença entre o sinal de referência R(s)
e o sinal realimentado, é introduzido no controlador C(s) de modo a reduzir o erro e trazer a
saída do sistema ao valor desejado.
Para plantas modeladas como sistemas que somente possuem uma entrada e uma saída
(SISO), a teoria de controle clássica utiliza exclusivamente o conceito de função de
transferência. Análise e projeto são feitos no domínio da freqüência. Já no caso de plantas
onde existem múltiplas entradas e saídas (MIMO), a teoria de controle moderno cumpre um
papel crucial. Esta é baseada no conceito de espaço de estados e utiliza extensivamente a
análise vetorial-matricial, onde são analisados e projetados controladores no domínio do
tempo.
No caso dos rotores suportados por mancais magnéticos, na prática, a planta é
constituída por pelo menos cinco graus de liberdade com deslocamento linear: quatro radiais e
um axial. Este último, em geral, pode ser considerado desacoplado dos outros, sendo que o
seu controlador é projetado de forma independente. Neste trabalho ele não será abordado.
Desta forma, a escolha natural do controlador deveria estar baseada na realimentação
de estados. Entretanto, para baixas velocidades de rotação, onde o efeito giroscópico é
desprezível e, portanto, também o acoplamento, o controlador para cada grau de liberdade
pode ser projetado em função de modelos SISO [ SCHWEITZER et al. (1994); VELANDIA
62
et a. (2005) ]. Neste trabalho, para o modelo de rotor flexível, serão utilizados conceitos da
teoria de controle moderno.
A seguir, serão mostrados os modelos mecânicos do rotor correspondentes às
abordagens de corpo rígido e corpo flexível. Neste caso são consideradas como entradas
quatro forças e suas respectivas saídas (deslocamentos). Note-se que estes modelos fazem o
papel do bloco G(s) na Figura 3.4, mudando neste caso para uma matriz de transferência.
3.3.1 – Controlador para rotor rígido
Para este tipo de modelagem, a equação que governa o movimento do rotor é dada
pela Equação ( 2.6 ). Definindo:
( 3.6 )
( 3.7 )
Após algumas manipulações, a Equação ( 2.6 ) muda para a Equação ( 3.8 ):
( 3.8 )
O diagrama de blocos para a Equação ( 3.8 ), mostrado na Figura 3.5, pode ser então
montado:
63
Figura 3.5 – Diagrama de blocos do modelo do rotor considerado rígido
A seguir, para obter o modelo no espaço de estados define-se o vetor de estados:
.
( 3.9 )
.
( 3.10 )
E sua derivada:
Que transformam a Equação ( 3.8 ) em:
.
( 3.11 )
Onde:
.
( 3.12 )
64
.
( 3.13 )
Mas o vetor fB pode ser obtido a partir de uma generalização da equação ( 3.5 ), da
seguinte forma ( RODRIGUES e SANTISTEBAN (2006) ):
( 3.14 )
Onde:
( 3.15 )
( 3.16 )
( 3.17 )
Sendo que
é o vetor contendo as correntes nos atuadores magnéticos. Substituindo a
equação ( 3.14 ) na equação ( 3.8 ) e fazendo algumas manipulações algébricas, mostradas
anteriormente, chega-se a seguinte relação:
( 3.18 )
65
Que pode ser apresentada no espaço de estados como:
( 3.19 )
Ou seja, de forma equivalente:
( 3.20 )
Onde o vetor
é o sinal de controle a ser utilizado. Da teoria de controle moderno,
atribui-se a este sinal a forma:
( 3.21 )
Onde
é chamada de matriz de realimentação de estado. Para o seu projeto,
diversas técnicas existem: alocação de pólos, LQR, LQG, etc (OGATA, 2003).
Experiências nesse sentido podem ser encontradas em múltiplas referências, como por
exemplo em VELANDIA et al. (2005), LOPES et. al. (2010) e SANTISTEBAN et. al. (2010).
3.3.2 – Controlador para rotor flexível
Nesta parte do trabalho, considera-se que o rotor opera com dois mancais magnéticos
A e B (um em cada extremidade). Para prosseguir com o estabelecimento completo das
equações de movimento do sistema rotor mancal, serão introduzidas as seguintes relações,
primeiramente as forças nos dois mancais magnéticos:
( 3.22 )
66
E os deslocamentos locais correspondentes:
( 3.23 )
Os componentes internos dos dois vetores acima se relacionam com os componentes
dos vetores das equações ( 2.7 ) e ( 2.8 ) da seguinte forma: uA = xa, wA = ya, uB = xb, wB = yb;
fAu = fax, fAw = fay, fBu = fbx, fBw = fby. Portanto, a única diferença entre os vetores mencionados é
a organização de seus componentes internos. Notar que as forças nas relações acima são
resultantes. Assim, montando-se a equação global do rotor de acordo com o procedimento
mostrado no capítulo anterior, tem-se a forma completa da equação de movimento do sistema
rotor mancal ( PALAZZOLO e LEI (2008); SCHWEITZER et al. (2009) ):
( 3.24 )
Onde
é o vetor global de deslocamentos e fAMB é o vetor global de forças:
( 3.25 )
Sendo
uma matriz auxiliar de transformação. A mesma também é usada para
descrever o vetor de deslocamento local em termos do vetor de deslocamento global :
( 3.26 )
A seguir, a fim de facilitar estratégias de controle, a equação de movimento do sistema
rotor mancal será transformada para a representação de espaço de estados. Para isso define-se
o vetor do espaço de estados:
67
( 3.27 )
E sua derivada:
( 3.28 )
Expressando
na forma:
( 3.29 )
Chega-se então ao formato clássico da equação que modela o sistema mecânico no
espaço de estados:
( 3.30 )
Ou seja:
( 3.31 )
A matriz AS é a matriz de estados do sistema e consiste das matrizes globais de massa,
giroscópica e elástica ( MG, GG e KG ). O vetor de saída y é:
( 3.32 )
68
Que é também uma relação clássica dentro da teoria de controle no domínio do espaço
de estados.
( 3.33 )
O diagrama de blocos para as Equações ( 3.31 ) e ( 3.33 ), mostrado na Figura 3.6,
pode ser então montado:
Figura 3.6 - Diagrama de blocos do modelo do rotor considerado flexível
Neste trabalho, se pretende avaliar o comportamento do rotor, utilizando o modelo de
corpo flexível, quando submetido aos controladores já desenvolvidos considerando um
modelo de rotor rígido.
A equação do sistema que inclui o rotor e as forças geradas pelos mancais magnéticos
pode ser escrita a partir da equação ( 3.24 ) como:
( 3.34 )
Foi deduzida anteriormente a equação ( 3.5 ), que mostrava a força ( linearizada ) para
uma dada direção de controle dentro de um mancal magnético. Tal equação pode ser
generalizada, de maneira análoga a apresentada por SCHWEITZER (2009) e RODRIGUES e
SANTISTEBAN (2006) ):
69
( 3.35 )
Onde:
( 3.36 )
( 3.37 )
( 3.38 )
Sendo que
é o vetor contendo as correntes nos atuadores magnéticos. Substituindo a
equação ( 3.35 ) na equação ( 3.34 ) e fazendo algumas manipulações algébricas, mostradas
anteriormente, chega-se a seguinte relação:
( 3.39 )
Separando os termos:
( 3.40 )
70
A equação acima pode ser apresentada no espaço de estados como:
( 3.41 )
Ou seja, de forma equivalente:
( 3.42 )
Obtendo assim uma expressão clássica dentro da teoria de controle, onde o vetor
éo
sinal de controle a ser utilizado. Da teoria de controle moderno, atribui-se a este sinal a forma:
( 3.43 )
Onde
é chamada de matriz de realimentação de estado. Para o seu projeto, as
mesmas técnicas mencionadas para o caso do modelo com rotor considerado rígido, podem
ser aplicadas.
3.4 – Análise da dinâmica do rotor suportado por mancais magnéticos
Nesta parte do trabalho, pretende-se mostrar a influência dos parâmetros do
controlador na solução da equação do sistema, com o modelo de rotor flexível, como um todo.
Substituindo a equação ( 3.43 ) na equação ( 3.42 ), obtém-se o seguinte resultado:
( 3.44 )
Sendo:
71
( 3.45 )
Para facilitar o entendimento da análise da dinâmica do rotor, alguns conceitos da
teoria de análise modal serão comparados com os utilizados na teoria de controle moderno.
Como é de conhecimento na teoria de análise modal, a fim de determinar a resposta de um
sistema giroscópico a uma excitação há a necessidade de se estabelecer uma base de vetores
ortogonais no espaço modal. Simetria das matrizes que constituem a equação de movimento
do rotor é pré-requisito para o estabelecimento da dita base ( NETO (2007). ).
A solução da equação homogênea ( 3.44 ) adota a seguinte forma:
( 3.46 )
Sendo
uma constante e
um vetor constante com o mesmo número de linhas de
.
Substituindo a equação ( 3.46 ) na equação ( 3.44 ) obtemos o problema de auto valor na
forma padrão:
( 3.47 )
Pode ser demostrado que a equação ( 3.47 ) admite soluções na forma de auto valores
e correspondentes auto vetores
correspondentes auto vetores
, assim como na forma de auto valores
e
, que satisfazem às seguintes equações:
( 3.48 )
( 3.49 )
72
Dentro da teoria de análise modal, os autovetores
vetores à esquerda de
e os autovetores
são conhecidos como auto
são conhecidos como auto vetores à direita de
.
Para que a base de auto vetores
sirva para diagonalizar a matriz
que eles sejam ortogonais entre si e em relação a
. Entretanto, como
não existe esta relação de ortogonalidade. O mesmo pode ser dito para
Definindo
, é necessário
não é simétrica,
.
como a matriz que contém os auto vetores à direita e
como a matriz
que contém os auto vetores à esquerda, dispostos em colunas, pode-se provar a validade das
seguintes relações:
( 3.50 )
( 3.51 )
( 3.52 )
Onde
é a matriz diagonal ( matriz espectral ) contendo os auto valores de
dimensão de
enéa
.
As equações ( 3.50 ) e ( 3.51 ) mostram que os auto vetores à esquerda e os
autovetores à direita de uma matriz real não simétrica de diferentes autovalores são
ortogonais. Diz-se que os dois conjuntos de autovetores são biortogonais. Também pode ser
dito a partir das relações acima que os auto vetores à direita e à esquerda são biortogonais em
relação à matriz
. Desta forma, pode-se diagonalizar a matriz
com a seguinte relação:
73
( 3.53 )
Assim, assumindo que todos os autovalores são distintos, a matriz
pode ser
diagonalizada por meio desta relação de semelhança.
Por outro lado, numa abordagem pela teoria de controle moderno, pode ser feita a
seguinte transformação de coordenadas ( PALAZZOLO e LEI (2008) ):
( 3.54 )
Onde
de
é o vetor das coordenadas modais e V uma matriz contendo os auto vetores
, que cumprem a equação ( 3.48 ). Assim, obtém-se:
( 3.55 )
Note-se que V é a própria matriz
A matriz
.
será diagonalizada pré-multiplicando a equação anterior por
obtendo-se assim a equação do sistema no espaço modal:
( 3.56 )
Sendo que:
( 3.57 )
O que é equivalente à equação ( 3.51 ).
;
74
A solução da equação ( 3.56 ) pode ser escrita como se segue:
( 3.58 )
Sendo
a condição inicial, calculada da seguinte maneira:
( 3.59 )
O resultado de
é:
( 3.60 )
Isolando
na equação ( 3.54 ), igualando o resultado com a equação ( 3.58 ) e
utilizando novamente a equação ( 3.54 ) obtém-se:
( 3.61 )
Esta forma é equivalente à obtida com procedimentos clássicos da teoria de controle
para a solução da equação ( 3.44 ):
( 3.62 )
O vetor
desacoplada:
alternativamente pode ser expresso conforme a seguinte equação
75
( 3.63 )
Que pode ser convenientemente manipulada para mostrar o significado físico da
equação do sistema:
( 3.64 )
Onde Vi são os auto-vetores associados aos auto-valores
.
( 3.65 )
Observando a equação ( 3.65 ), fica evidente que o vetor de estados
é expresso
como uma superposição linear de modos de vibração.
Logo, desta apresentação de conceitos serão determinados a rigidez e o amortecimento
equivalentes do sistema controlado nas diferentes direções de controle. Para isso, na equação
de movimento do rotor, será considerado um vetor generalizado de forças externas FE,como
mostrado na equação ( 3.66 ), e será adotado um procedimento análogo ao utilizado por
GUIRÁO (2006), com a diferença de que nesta dissertação se trata de uma análise
considerando uma matriz de realimentação de estados ao invés de controladores do tipo PID.
( 3.66 )
Utilizando a lei de controle, mostrada na equação ( 3.43 ), esta pode ser escrita de uma
forma conveniente como:
76
( 3.67 )
Assim, através de algumas substituições e manipulações algébricas, chega-se a:
( 3.68 )
Ou seja:
( 3.69 )
Que pode ser escrita como:
( 3.70 )
Que se encontra na forma análoga ao de um clássico sistema massa-mola-amortecedor.
Desta forma, a rigidez Keq e amortecimento Ceq equivalentes resultam como:
( 3.71 )
( 3.72 )
Este é um resultado útil para o projeto de controladores, pois mostra que é possível
atribuir amortecimento e rigidez equivalentes do sistema através da escolha apropriada dos
parâmetros do controlador além dos do próprio mancal magnético. Esta característica explica
77
a capacidade de mudar, em operação, as freqüências críticas do rotor enquanto é acelerado
para atingir sua velocidade final.
4 – Resultados
4.1 –Introdução
Neste capítulo são apresentados os resultados da modelagem do rotor, de forma geral,
utilizando os procedimentos do capítulo 2. Primeiramente é discutida a problemática da
modelagem do laminado do rotor em estudo e a solução adotada. Em seguida, é mostrado o
procedimento da discretização do rotor em elementos. Nessa parte são explicados detalhes da
modelagem aplicada ao rotor em questão do trabalho. Passa-se então para a descrição dos
algoritmos desenvolvidos, implementados no software Matlab ( GILAT (2006) ), para o
cálculo das matrizes de estado e de outros resultados de interesse, tais como valores de
frequências naturais e diagramas de campbell.
A fim de validar o modelo obtido, são adotados alguns procedimentos: cálculo
analítico das vibrações em rotação nula, obtenção experimental das frequências naturais do
rotor e comparações com a modelagem de um rotor feito de alumínio. Este último
procedimento foi feito com o intuito de verificar a validade do algoritmo desenvolvido para o
rotor em estudo uma vez que o rotor de alumínio apresenta uma estrutura simples de ser
modelada.
Por fim é feita uma análise do desempenho do modelo obtido quando inserido dentro
da antiga estrutura de controle, ou seja depois de feita a atualização na simulação do sistema
de controle.
Adicionalmente, foram realizados experimentos para a obtenção das primeiras
frequências naturais e os correspondentes modos de vibração na condição livre de apoios,
tanto para o rotor em estudo e o rotor de alumínio. Os modelos são então avaliados,
comparando-se os valores das frequências naturais obtidas experimentalmente com aquelas
calculadas pelo método dos elementos finitos.
79
4.2 – Problemática da modelagem do laminado
Quase todos os rotores de máquinas elétricas girantes são constituídos por um cilindro
metálico montado com interferência sobre um eixo. No caso do motor de indução, este
cilindro é formado por um conjunto de lâminas de aço de pequena espessura, que são
empilhadas e compactadas formando um bloco único chamado de núcleo laminado ou pacote
laminado. Esta arquitetura é necessária para diminuir as perdas por correntes parasitas
induzidas no material magnético e, com isso, melhorar a eficiência da máquina.
O núcleo laminado adiciona uma parcela de rigidez adicional ao sistema mecânico (no
caso, à região do eixo que contém o laminado ) e dependendo da forma como o rotor foi
construído, bem como de suas características geométricas, este efeito de enrijecimento pode
ser maior ou menor. Uma caracterização inadequada deste elemento pode ocasionar grandes
erros na previsão do comportamento dinâmico do rotor ( SANTOS (2008) ).
Modelar adequadamente o laminado do rotor passa por vários problemas. Um deles é
que a interferência entre laminado e eixo (proveniente do processo de fabricação ) influencia
o fenômeno de enrijecimento do eixo ( na região do laminado ), e esta interferência não é
simples de ser quantificada. Um segundo problema é sobre o módulo de elasticidade a ser
usado para modelar o laminado e como determiná-lo; um modelo completo exigiria a
capacidade de contemplar a anisotropia do módulo de elasticidade do mesmo.
Por fim, existe também a influência da relação geométrica entre o eixo e o laminado,
bem como do modo de vibração em análise. Quanto menor o comprimento do laminado em
relação ao eixo e maior seu diâmetro ( ou seja quanto mais próximo a um disco ), tanto menor
será a influência da rigidez adicional. Além disso, modos de vibração distintos podem afetar a
precisão de um modelo de formas diferentes.
Neste trabalho, para lidar com a problemática do laminado, será usado o artifício
técnico do modelo de viga equivalente. Nesse modelo uma parcela do núcleo laminado é
considerada parte do eixo, agregando além de massa e inércia, uma contribuição na rigidez
total do rotor. Um acréscimo no valor do diâmetro, no eixo, simula o efeito de enrijecimento
do pacote laminado, procedimento semelhante ao que foi apresentado por Lalanne e Ferraris
(1990) para considerar discos montados com interferência no eixo.
O acréscimo no diâmetro do eixo é aplicado somente na região na qual se situa o
laminado, e não no eixo como um todo. Em outras palavras, o elemento de disco na região
considerada terá seu diâmetro interno aumentado.
80
4.3 – Discretização do rotor em elementos finitos
Nesta seção será discutida a utilização do modelo de viga equivalente e a modelagem
do rotor de interesse deste trabalho. A Figura 4.1 mostra um exemplo de aplicação. Trata-se
de uma estrutura simples: um eixo de diâmetro uniforme ao longo de toda a extensão do rotor,
com um conjunto laminado montado sobre o mesmo. O procedimento para modelar este rotor
pode ser resumido nas seguintes etapas:
Divisão do rotor em seções ( elementos ). As linhas verticais tracejadas indicam os
locais de divisão entre elementos. Neste caso seriam 9 nós, 8 elementos de eixo e 4
elementos de disco. As posições dos nós estão representadas por círculos;
Escolha do aumento do diâmetro do eixo na região do laminado, para simular o
efeito de enrijecimento provocado pelo conjunto laminado. Notar que os elementos
de disco tem seu diâmetro interno aumentado proporcionalmente;
Escolha das posições onde serão concentrados os elementos de disco e de mancal.
Por exemplo, os elementos de disco poderiam ser concentrados nos nós 3, 4, 5, 6
ou 7.
1
2
3
4
5
6
7
Figura 4.1 – Modelo de viga equivalente
8
9
81
Desta forma, finalmente o rotor do exemplo é convertido em um sistema de viga
equivalente com os parâmetros dos elementos de disco e mancal concentrados.
A discretização do rotor de interesse deste trabalho seguirá os procedimentos já
descritos. Na Figura 4.2 é mostrada a divisão do rotor completo em elementos e são indicados
os números dos nós. No conjunto laminado do rotor do motor são considerados dois anéis.
Esta divisão foi escolhida depois de várias tentativas e verificar que as duas frequências
naturais mais baixas ficaram sendo mais próximas daquelas que foram medidas
experimentalmente. Foram feitas simplificações na geometria do rotor completo,
desconsiderando alguns detalhes tais como os chanfros e considerando propriedades médias
em cada seção.
Rotor do MMA
1
Rotor do Motor
5
8
Rotor do MMA
11
15
Figura 4.2 – Divisão do rotor completo em elementos
A tabela seguinte mostra a discretização usada para modelar o rotor, onde: Nv é o
número do elemento de viga, Nesq é o nó à esquerda do elemento de viga, Ndir é o nó à
direita do elemento de viga, L e D ( i – interno; e – externo ) são o comprimento e o diâmetro
(mm) do elemento em questão, ρ é peso específico ( kg/m3 ), E é o módulo de elasticidade
(Gpa), Nd é o número de elementos de disco e Nod o nó de aplicação de cada disco. Detalhes
sobre a geometria após a discretização podem ser vistos na Figura 4.3. Os diâmetros
equivalentes estão indicados com linhas pontilhadas. Nos nós 3 e 13 são considerados os
pontos de aplicação das forças magnéticas (meio do rotor de cada MMA).
82
Tabela 4.1 – Parâmetros para modelagem do rotor
Nv
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Elementos de Viga
Nesq Ndir L
D
ρ
1
2 32.6 17.0 7850
2
3 30.4 39.35 7850
3
4
8.8 39.35 7850
4
5
8.8 27.56 7850
5
6 28.9 21.45 7850
6
7
7.0 21.45 7850
7
8 37.75 39.35 7850
8
9 37.75 39.35 7850
9
10 9.9 21.45 7850
10 11 22.05 21.45 7850
11 12 8.8 27.56 7850
12 13 8.8 39.35 7850
13 14 30.4 39.35 7850
14 15 71.95 17.0 7850
E
210
210
210
210
210
210
210
210
210
210
210
210
210
210
ν
0.3
0.3
0.3
0.3
0.3
0.3
0.3
0.3
0.3
0.3
0.3
0.3
0.3
0.3
Elementos de Disco
Nd Nod L
Di
De
1 2 30.4 39.35 74.25
2 3 8.8 39.35 74.25
3 4 8.8 27.56 52.0
4 6 7.0 55.0 70.0
5 7 37.75 39.35 74.25
6 9 37.75 39.35 74.25
7 10 9.9 55.0 70.0
8 12 8.8 27.56 52.0
9 13 8.8 39.35 74.25
10 14 30.4 39.35 74.25
ρ
6770
6770
6770
6770
6770
6770
6770
6770
6770
6770
Infelizmente, embora o rotor tenha sido construído na própria UFF, alguns dos seus
parâmetros são desconhecidos, especialmente os que se referem ao laminado do rotor do
motor de indução. Desta forma, algumas das propriedades dadas na tabela anterior tiveram
que ser aproximadas.
83
Figura 4.3 – Geometria da discretização do rotor de aço
84
4.4 – Descrição dos algoritmos desenvolvidos
Foram desenvolvidos algoritmos ( no Matlab ) para o cálculo de frequências naturais,
plotagem dos modos de vibração, plotagem de diagramas de Campbell, plotagem de
diagramas de frequência natural versus rigidez equivalente e amortecimento equivalente nos
mancais (No apêndice 7.1 encontram-se os algoritmos correspondentes). Além destes, o mais
importante, do ponto de vista de controle, foi o algoritmo desenvolvido para o cálculo dos
parâmetros da equação de movimento do sistema mecânico, do rotor suportado por mancais
magnéticos, na formulação de espaço de estados, que leva em conta a flexibilidade do rotor.
Embora a integração dos diversos algoritmos desenvolvidos seja possível, optou-se
pela criação de vários algoritmos independentes, mesmo tendo estruturas internas muito
parecidas. O motivo foi a facilidade de correção e modificação de acordo com as
necessidades, juntamente com a vantagem óbvia de se trabalhar com algoritmos com funções
distintas um de cada vez, ao invés de trabalhar com um único algoritmo que fornecesse todos
os dados ao mesmo tempo.
Na Figura 4.4 é mostrado um fluxograma com os procedimentos correspondentes ao
algoritmo que calcula as frequências naturais. Entretanto, este fluxograma sofre algumas
modificações quando se trata dos outros algoritmos, como será explicado mais adiante.
A seguir será feita uma descrição de cada um destes procedimentos.
85
Figura 4.4 – Fluxograma do algoritmo para cálculo das frequências naturais.
Inicialização dos vetores contendo parâmetros do rotor: nesta etapa são inseridos os
dados de entrada, tais como parâmetros geométricos e propriedades do rotor,
velocidade de rotação, número e tipo de elementos no rotor, propriedades dos
mancais e posição de concentração dos parâmetros dos mancais e dos elementos de
disco. Os dados de entrada são apresentados como vetores linha ou como escalares,
excetuando a matriz de entrada para os diâmetros do elemento de disco, que possui
na primeira linha diâmetros internos e na segunda linha diâmetros externos, e as
matrizes de rigidez e amortecimento do elemento mancal. Com essa informação
são realizados cálculos de áreas e inércias dos elementos, entre outros.
Loop para cálculo das matrizes elementares de cada elemento do rotor: após a
discretização do rotor, feita fora do algoritmo, são realizados cálculos das matrizes
elementares para os elementos de disco e de eixo, com a diferença de que o
elemento de disco necessita de um vetor contendo as posições de concentração das
inércias ( parâmetros concentrados ). Há um loop para cada tipo de elemento ( eixo
86
e disco no caso ) uma vez que o número de elementos de cada tipo é diferente. No
caso do elemento de eixo, por exemplo, em um laço do loop são calculadas as
matrizes de massa, giroscópica e de elasticidade para uma dada seção;
Loop para montagem das matrizes globais: neste loop, são montadas as matrizes
globais de massa, giroscópica e de elasticidade. Neste momento são levadas em
consideração apenas as matrizes elementares do elemento de eixo;
Loop para adição das matrizes elementares dos elementos de disco e mancal: como a
localização da concentração dos parâmetros dos elementos de disco e mancal são
diferentes, bem como o número de elementos de cada tipo, os parâmetros são
somados diretamente nas matrizes globais;
Transformação da equação de movimento do sistema rotor mancal para o espaço de
estados. É calculada a matriz
dada pela equação ( 3.31 ).
Há um pequeno trecho de instruções com entradas e comandos específicos para o
cálculo das frequências naturais desejadas.
A seguir são listadas as diferenças entre o algoritmo anteriormente descrito com os
outros algoritmos desenvolvidos. Nenhum dos outros possui a última etapa ( Cálculo das
frequências naturais desejadas ).
Algoritmo para o controlador:
São calculados vários parâmetros do controlador. São calculadas também as matrizes
de entrada e saída que completam o modelo de planta no espaço de estados, pois
tanto as entradas quanto as saídas são vetores coluna de 4 linhas.
Algoritmo para a plotagem dos modos de vibração:
O resultado da Equação ( 2.87 ) é plotado. Primeiramente são calculadas as matrizes
contendo os autovalores e autovetores. Em seguida são correlacionados os modos
de vibração desejados com as posições ( linhas e colunas ) dentro das matrizes de
autovalores e de autovetores. Os modos de vibração plotados são qualitativos e
planos, pois ignoram o ângulo de defasagem
dado pela equação ( 2.87 ). Neste
trabalho, os modos de vibração do rotor em análise são essencialmente planos,
havendo pouca influência da distorção.
87
Algoritmo para plotagem do diagrama de campbell:
Neste algoritmo, os três loops descritos na Figura 4.4 ficam dentro de outro loop que
varia a velocidade de rotação em cada laço. É necessário estabelecer os limites
superior e inferior da rotação para limitar a faixa de rotações a ser varrida. Em cada
loop é calculada a matriz contendo os autovalores ( matriz diagonal com
autovalores repetidos ). Os autovalores ( frequências naturais ) que interessam são
armazenados em um vetor. Ao final de tudo é plotada cada linha ( em cada linha a
evolução de uma frequência ) do vetor anterior versus vetor de velocidade de
rotação, num único diagrama.
Algoritmos para plotagem dos diagramas de frequência natural versus rigidez
equivalente e amortecimento equivalente nos mancais:
Estes dois algoritmos seguem uma lógica similar ao do algoritmo para diagrama de
campbell, exceto que o parâmetro a ser mudado em cada loop é, respectivamente,
rigidez equivalente e amortecimento equivalente.
4.5 – Resultados obtidos através dos algoritmos
Para a determinação do modelo mecânico do rotor que substitua o antigo modelo,
baseado na hipótese de corpo rígido, as matrizes elementares dos elementos dos mancais são
consideradas nulas.
A rigidez e o amortecimento dos mancais magnéticos são estabelecidos pelos
parâmetros do sistema de controle de posição, em malha fechada, e das condições operativas.
No entanto, tais matrizes não são nulas para os demais algoritmos, pois estes últimos
funcionam desconectados da estrutura de controle.
Na Figura 4.5 e na Figura 4.6 são mostrados o primeiro e segundo modos de vibração
do rotor em condição de corpo livre no espaço e rotação nula. Neste caso, o algoritmo
utilizado não usa elemento de mancal.
Na Figura 4.7 se mostra o diagrama de campbell para o mesmo rotor na condição de
corpo livre e, na Figura 4.8, se mostra o diagrama de campbell para o mesmo rotor
considerado como rígido.
88
Frequências naturais superiores foram ignoradas devido a que os valores encontrados
seriam superiores a 100.000 rpm, limite máximo de operação previsto num primeiro
momento.
A diferença, como poderá ser observada, é grande e deve-se ao fato do segundo
diagrama só mostrar frequências referentes a modos de vibração de corpo rigido.
A Figura 4.9 e a Figura 4.10 mostram os diagramas de Campbell considerando uma
rigidez equivalente de 0.22x107 N/m. Como pode ser observado, na região abaixo de 100 Hz
de velocidade de rotação, as frequências de vibração são similares, próximas a 140 Hz, o que
confirma a confiabilidade do modelo de rotor rígido para rotações abaixo de 6000 rpm.
A Figura 4.11 e a Figura 4.12 foram obtidas variando os parâmetros dos mancais
(rigidez e amortecimento equivalentes).
Na Figura 4.11 se considera o amortecimento equivalente nulo e a rotação nula. Já na
Figura 4.12, a rigidez e a rotação são nulas. Pode-se observar que, para as faixas de variação
consideradas, possíveis de serem implementadas, a rigidez tem mais influência na mudança
das frequências críticas do que o amortecimento.
Dir
eçã
o
Ra
dial
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
Posição axial ao longo do eixo (m)
Figura 4.5 – Primeiro modo de vibração natural ( 587 Hz )
0.35
89
Dir
eçã
o
Ra
dial
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
Posição axial ao longo do eixo (m)
Figura 4.6 - Segundo modo de vibração natural ( 1108 Hz )
Figura 4.7 – Diagrama de Campbell do Rotor ( Flexível )
0.35
90
Figura 4.8 - Diagrama de Campbell do Rotor ( Rígido )
Figura 4.9 – Diagrama de Campbell ( modelo flexível, rigidez não nula )
91
Figura 4.10 – Diagrama de Campbell ( modelo rígido, rigidez não nula )
Figura 4.11 – Variação da Freq. Natural versus Rigidez Equivalente (amortecimento e rotação
nulos)
92
Figura 4.12 – Variação da Freq. Natural versus Amortecimento Equivalente (rigidez e rotação
nulos)
4.6 – Validação dos resultados
Esta parte do trabalho trata da validação do modelo de planta obtido através do MEF e
de sua adequabilidade para modelar o rotor real. Para alcançar este objetivo, foram feitos três
experimentos:
Cálculo analítico, simulação ( no Matlab ) e obtenção experimetal da primeira
frequência natural de uma barra de aço uniforme e homogênea;
Obtenção experimental das frequências naturais do rotor de interesse deste trabalho
(aço);
Simulação ( no Matlab ) e obtenção experimental das duas primeiras frequências
naturais de um rotor de alumínio homogêneo e totalmente sólido, feito com as
mesmas dimensões geométricas do rotor de interesse deste trabalho. A geometria
foi simplicada e parâmetros de montagem desconhecidos que existem no rotor alvo
simplesmente não existem aqui.
93
4.6.1 – Experimento com uma barra de aço
Esta foi uma verificação preliminar da adequabilidade do modelo feito pelo MEF. Esta
verificação consistiu em três etapas, descritas a seguir.
Na primeira etapa foi feito um experimento ( rap test ) no laboratório de Vibrações e
Automação da UFF, que consistiu em pendurar uma barra de aço em suas extremidades, de
modo que permanecesse na posição horizontal, como ilustrado na figura abaixo, onde os
pontos azuis representam as regiões em que foram posicionados os sensores ou aplicadas as
excitações. Foi usado um fio de nylon bem fino para este propósito e um acelerômetro com
acoplamento à base de cera. Desta forma, o rotor permaneceu fixado na direção vertical, mas
livre na direção horizontal, esta última direção sendo a escolhida para aplicar excitações (com
um martelo calibrado). Para a primeira frequência natural, foi encontrado um valor de 433 Hz,
após variar as posições do sensor e da excitação algumas vezes.
A seguir, na segunda etapa, com o uso dos algoritmos descritos anteriormente, a
primeira frequência natural foi calculada no Matlab. Foram aplicados somente elementos de
viga nesta modelagem, de igual comprimento ao longo de toda a barra. Os dados de entrada
para a barra foram os seguintes:
Diâmetro = 25,3 mm ;
Comprimento Total = 512 mm ;
Módulo de Elasticidade = 200 Gpa ;
Módulo de Poisson = 0,3 ;
Peso Específico = 7850 kg/m3 ;
Número de Elementos ( viga ) = 10 ;
Com o uso destes dados, o resultado encontrado foi de 442 Hz. Por fim, na terceira
etapa foi feito um cálculo analítico. A seguinte fórmula foi utilizada, encontrada em YOUNG
(1989), para uma barra uniforme, homogênea e livre no espaço, sendo fn a e-nésima
frequência ( Hz ):
94
( 4.1 )
Onde Kn é um fator que depende somente do modo de vibração e vale 22,4 para o
primeiro modo. E é o módulo de elasticidade, I o momento de inércia de área, g a gravidade (
9,81 m/s2 ), l o comprimento e w o peso por unidade de comprimento ( N/m ). A frequência
encontrada foi de 435,5 Hz.
Figura 4.13 – Configuração para determinação da frequência natural de uma barra de aço
4.6.2 – Obtenção experimental das frequências naturais de vibração do rotor alvo
Na Figura 4.14 é mostrado um esquema do experimento ( rap test ) realizado no
laboratório de Acústica e Vibração da UFRJ, para obter as frequências naturais do rotor. As
setas maiores indicam os locais das excitações ( com martelo calibrado ). O acelerômetro (
base magnética ) foi fixado no laminado do mancal superior e sua posição não foi modificada
durante o experimento. As excitações foram aplicadas sempre na mesma direção da medição
do acelerômetro. O rotor permaneceu pendurado através de um fio de nylon fino.
Através de um equipamento de aquisição de dados, foram obtidas as respostas em
frequência para as três marteladas. Os resultados encontram-se indicados na Figura 4.15,
Figura 4.16 e na Figura 4.17. Nestes gráficos, os dados mais importantes são os locais de pico
no eixo X, que indicam as frequências naturais. Como pode ser observado, o local da
excitação aplicada pode influenciar na amplitude da vibração e excitar mais um modo de
vibração do que outro, porém os locais de pico permanecem quase inalterados. Desta forma,
95
as freqüências de interesse ficaram em torno de 536,8Hz e 1150Hz, próximas dos valores
encontrados através de método dos elementos finitos: 587.6Hz e 1108Hz (Figura 4.5).
Figura 4.14 – Esquemático do experimento
Figura 4.15 – Resposta em Frequência ( Excitação aplicada na parte de baixo do rotor )
96
Figura 4.16 - Resposta em Frequência (Excitação aplicada na parte do meio do rotor )
Figura 4.17 - Resposta em Frequência (Excitação aplicada na parte de cima do rotor )
97
4.6.3 – Experimento com um rotor de alumínio
A fim de contar com mais um experimento que permitisse validar o método (MEF)
utilizado neste trabalho para modelar o rotor de aço, foi construído um rotor sólido feito de
aluminio, com dimensões aproximadas ao do rotor em estudo. Com este foi realizado um
experimento semelhante mas desta vez foram acoplados dois acelerômetros, indicados na
Figura 4.18 através de círculos. Os acelerômetros usados, bem como os outros equipamentos
necessários, foram os mesmos usados no experimento da barra de aço. Neste item, será feita
uma comparação entre simulações e os dados experimentais obtidos.
As excitações foram aplicadas nas partes equivalentes aos “laminados” do rotor em
estudo, já que o rotor de alumínio é uma única peça sólida, sem montagens. As excitações
foram aplicadas sempre no plano horizontal. A primeira foi aplicada na parte esquerda, a
segunda foi aplicada na parte do meio e por fim a terceira foi aplicada na parte direita.
Figura 4.18 – Montagem do experimento para o rotor de alumínio
Da Figura 4.19 até a Figura 4.23, são mostradas as respostas em frequência obtidas. A
taxa de amostragem foi de 4800 hz. Os acelerômetros são do fabricante PCB modelo 333B50;
o condicionador de sinais dos acelerômetros também é do fabricante PCB modelo 481; por
fim o módulo de aquisição de dados é do fabricante HBM, modelo Spider 8. O software
utilizado pelo conjunto é o Cattman®. A resposta do acelerômetro fixado no meio do rotor
aparece em vermelho e do fixado à direita aparece em azul.
98
Figura 4.19 – Resposta em Frequência ( Excitação aplicada na parte esquerda )
Figura 4.20 – Resposta em Frequência até 1 kHz ( Excitação aplicada na parte do meio )
99
Figura 4.21 - Resposta em Frequência até 2 kHz (Excitação aplicada na parte do meio )
Como se verifica nos três gráficos, foi detectada uma freqüência crítica em 742,4Hz.
Adicionalmente, na região compreendida entre 1000Hz e 2000Hz, foi detectada outra
freqüência crítica em 1374Hz, como mostrado na Figura 4.22 e na Figura 4.23.
Figura 4.22 - Resposta em Frequência até 1 kHz (Excitação aplicada na parte direita )
100
Figura 4.23 - Resposta em Frequência até 2 kHz (Excitação aplicada na parte direita )
Na Figura 4.24, são mostradas a geometria do rotor de alumínio, assim como a
discretização do mesmo em elementos. A simulação realizada foi feita utilizando os
parâmetros que se encontram na Tabela 4.2.
Nesta simulação, foram utilizados 26 elementos de viga e nenhum elemento de disco.
As duas primeiras frequências encontradas foram 873 Hz e 1590 Hz, que representam
diferenças de 17,6% e 15,7%, respectivamente, em relação aos valores experimentais.
A partir destes resultados, pode-se concluir que o rotor de alumínio, mesmo tendo sido
usinado como peça única, não pode ser discretizado somente com elementos de viga. Desta
forma, algumas alternativas podem ser consideradas para melhorar o modelo, por exemplo,
considerar algumas partes do rotor com comportamento próximo ao de um elemento de disco
ou utilizar a técnica do diâmetro equivalente, para chegar a resultados mais coerentes.
101
Figura 4.24 – Discretização do rotor de alumínio
102
Tabela 4.2 – Parâmetros para a modelagem do rotor de alumínio
Dados de entrada
Viga
Módulo de Elasticidade ( GPa )
70
Coeficiente de Poisson
0.35
Peso Específico ( kg /m3 )
2700
Número de Elementos
26
4.7 – Comparação do desempenho do sistema de controle com os
modelos mecânicos rígido e flexível do rotor
Este item visa fazer uma comparação entre o modelo antigo (modelo de corpo rígido)
e o novo modelo (MEF) no contexto do controlador. A estrutura do controlador permanece a
mesma, embora a planta do sistema tenha sido atualizada. Assim, o controlador utilizado para
ambos os casos supõe que o rotor seja rígido (RODRIGUES e SANTISTEBAN (2006)).
Em todas as simulações, foram utilizados um tempo comum de simulação de 0,02 s e
duas referências de posição constantes de 0,5 mm e -0,5 mm para as posições xa e xb do rotor
dentro dos mancais, respectivamente. Da Figura 4.25 até a Figura 4.32 são mostrados os
resultados obtidos. Foram consideradas duas velocidades de rotação: 628 rad/s e 10048 rad/s (
6000 rpm e 96000 rpm respectivamente ).
Como pode ser observado das figuras, as respostas das posições e das forças, quando é
empregado o modelo do rotor obtido pelo MEF, vêm acompanhadas de muitas ondulações
superpostas na velocidade de 6000 rpm, no entanto para 96000 rpm essas ondulações
diminuem significativamente e também as forças resultantes nas posições ya e yb, cujas
referencias de posição são zero. Adicionalmente, pode se observar que as respostas das
posições somente diferem quando o rotor opera em altas rotações. Portanto, para baixas
rotações se pode afirmar que o modelo antigo é preciso o suficiente, como esperado.
103
Figura 4.25 – Posição no sistema antigo a 628 rad/s
Figura 4.26 – Posição no sistema novo a 628 rad/s
104
Figura 4.27 – Força no sistema antigo a 628 rad/s
Figura 4.28 – Força no sistema novo a 628 rad/s
105
Figura 4.29 - Posição no sistema antigo a 10048 rad/s
Figura 4.30 - Posição no sistema novo a 10048 rad/s
106
Figura 4.31 – Força no sistema antigo a 10048 rad/s
Figura 4.32 - Força no sistema novo a 10048 rad/s
5 - Considerações Finais
Neste trabalho, foi apresentado o desenvolvimento, através do Método dos Elementos
Finitos, de um modelo mecânico para um rotor suportado por mancais magnéticos.
O levantamento experimental de algumas freqüências críticas confirmou a validade
dos modelos deduzidos para dois rotores simples e do rotor em estudo.
A partir deste procedimento conseguiu-se abrir uma nova frente de pesquisa na área de
projeto de controladores de posição operando em condições de alta rotação, onde ficam em
evidência os efeitos da flexibilidade do rotor.
Outra linha alternativa de pesquisa, derivada deste trabalho, se refere ao
aprimoramento do modelo mecânico do rotor em estudo, no que se refere a alguns parâmetros
de montagem desconhecidos do rotor do motor de indução, uma vez que este foi adquirido
diretamente no mercado local. Como pode ser conferido, tais parâmetros afetam, por
exemplo, a rigidez do rotor de forma diferente em direções distintas.
Por fim, a inclusão dos efeitos perturbadores das forças magnéticas geradas pelas
correntes do motor de indução é outro item importante a ser analisado futuramente pois,
dependendo da sua magnitude, podem influenciar na dinâmica do rotor.
6 - Referências Bibliográficas:
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Metodologia de Projeto. In: Congresso Nacional de Engenharia Elétrica - CONEM 2002, João
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Faculdade de Engenharia – Campus de Ilha Solteira, Universidade Estadual Paulista, Ilha
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Engenharia Mecânica. CONEM 2004, 2004, Belém, Pará.
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VELANDIA, Elkin Ferney Rodriguez; SANTISTEBAN, José Andrés Larrea; NORONHA,
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Mechanical Engineering, Ouro Preto, Minas Gerais, Brazil, November 6-11, 2005.8p
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Congresso Brasileiro de Automática, 2010, Bonito, MS.
SANTOS, Hideraldo L. V. dos; Avaliação de modelos numéricos para representar o núcleo
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New York: D. van Nostrand, 1937.
YOUNG, Warren C.; Roark's Formulas for Stress and Strain. 6th ed. New York: McGrawHill; 1989.
7 - Apêndices
112
7.1 – Algoritmos desenvolvidos
A seguir são descritos os algoritmos desenvolvidos neste trabalho. As partes comuns a
todos os algoritmos são apresentadas primeiro e separadamente, a fim de evitar repetições
desnecessárias. As listas de variáveis de entrada que não são comuns a todos os algoritmos
são explicadas em cada algoritmo na forma de comentários.
7.1.1 – Lista de variáveis de entrada comum aos algoritmos
NE = Número de elementos de viga;
NoM = Vetor contendo os nós de aplicação dos parâmetros dos mancais;
Pois = Vetor contendo o módulo de Poisson de cada elemento de viga;
L = Vetor contendo o comprimento de cada elemento de viga;
E = Vetor contendo o módulo de elasticidade de cada elemento de viga;
Dens = Vetor contendo o peso específico de cada elemento de viga;
D = Vetor contendo o diâmetro de cada elemento de viga;
Nd = Número de elementos de disco;
D_d = Matriz cujas linhas são vetores contendo os diâmetros de cada elemento de
disco. A primeira linha contém os diâmetros internos, a segunda contém diâmetros
externos;
L_d = Vetor contendo o comprimento de cada elemento de disco;
Dens_d = Vetor contendo o peso específico de cada elemento de disco;
Nod = Vetor contendo os nós de aplicação dos parâmetros dos discos.
7.1.2 – Entrada comum a todos os algoritmos
% entrada de dados do rotor
NE=14;
NoM=[ 3 13 ];
Pois=0.3*(ones(1,NE));
113
L=[ 0.0326 0.0304 0.0088 0.0088 0.0289 0.007 0.03775 0.03775 0.0099 0.02205
0.0088 0.0088 0.0304 0.07195 ];
E=(210e9)*(ones(1,NE));
dens=7850*(ones(1,NE));
D=[
0.017 0.03935 0.03935 0.02756 0.02145 0.02145 0.03935 0.03935 0.02145
0.02145 0.02756 0.03935 0.03935 0.017 ];
Nd=10;
D_d=[ 0.03935 0.03935 0.02756 0.055 0.03935 0.03935 0.055 0.02756 0.03935
0.03935
;
0.07425 0.07425 0.052 0.070 0.07425 0.07425 0.070 0.052 0.07425 0.07425 ];
L_d=[ 0.0304 0.0088 0.0088 0.007 0.03775 0.03775 0.0099 0.0088 0.0088 0.0304 ];
dens_d = 6770*(ones(1,Nd)) ;
N_elem_d=1;
Nod=[ 2 3 4 6 7 9 10 12 13 14 ];
% cálculo de áreas, momentos de inércia e fatores de forma dos elementos de viga
S=zeros(1,NE);
I=zeros(1,NE);
Co=zeros(1,NE);
for k=1:NE
S(k)=pi*((D(k)/2)^2);
I(k)=pi*(D(k)^4)/64;
Co(k)=6*(1+Pois(k))/(7+6*Pois(k));
end
% cálculo dos parâmetros das matrizes de massa dos elementos de disco
Mdi_aux=zeros(N_elem_d,Nd);
Idx_aux=zeros(N_elem_d,Nd);
Idy_aux=zeros(N_elem_d,Nd);
for k=1:Nd
114
for j=1:N_elem_d
z=j+1;
Mdi_aux(j,k)=pi*(((D_d(z,k)/2)^2)-((D_d(j,k)/2)^2))*L_d(k)*dens_d(j,k);
Idx_aux(j,k)=(Mdi_aux(j,k)/12)*(3*((D_d(z,k)/2)^2)+3*((D_d(j,k)/2)^2)+(L_d(k)^2));
Idy_aux(j,k)=(Mdi_aux(j,k)/2)*( ( (D_d(z,k)/2)^2 + (D_d(j,k)/2)^2 ));
end
end
Mdi=zeros(1,Nd);
Idx=zeros(1,Nd);
Idy=zeros(1,Nd);
for k=1:Nd
for j=1:N_elem_d
Mdi(k) = Mdi(k) + Mdi_aux(j,k);
Idx(k) = Idx(k) + Idx_aux(j,k);
Idx(k) = Idx(k) + Idy_aux(j,k);
end
end
% montagem das matrizes de massa do elemento de disco
Md=zeros(4,4,Nd);
for k=1:Nd
Md(1,1,k) = Mdi(k);
Md(2,2,k) = Mdi(k);
Md(3,3,k) = Idx(k);
Md(4,4,k) = Idx(k);
end
7.1.3 – Parte comum dos algoritmos desenvolvidos
115
% cálculo dos coeficientes das matrizes dos elementos de viga
Mc=zeros(8,8,NE);
Ms=zeros(8,8,NE);
Gc=zeros(8,8,NE);
Kc=zeros(8,8,NE);
a=zeros(1,NE);
CoefMc=zeros(1,NE);
CoefMs=zeros(1,NE);
CoefGc=zeros(1,NE);
CoefKc=zeros(1,NE);
for k=1:NE
a(k)=24*(1+Pois(k))*I(k)/(Co(k)*S(k)*(L(k)^2));
CoefMc(k)=dens(k)*S(k)*L(k)/420;
CoefMs(k)=dens(k)*I(k)/(30*L(k));
CoefGc(k)=dens(k)*I(k)*Rot/(15*L(k));
CoefKc(k)=E(k)*I(k)/((1+a(k))*(L(k)^3));
end
% Loop para cálculo das matrizes elementares dos elementos de viga, com
% coeficientes a multiplicar
for k=1:NE
Mc(1,1,k)=156;
Mc(4,1,k)=-22*L(k);
Mc(5,1,k)=54;
Mc(8,1,k)=13*L(k);
Mc(2,2,k)=156;
Mc(3,2,k)=22*L(k);
Mc(6,2,k)=54;
Mc(7,2,k)=-13*L(k);
116
Mc(2,3,k)=22*L(k);
Mc(3,3,k)=4*(L(k)^2);
Mc(6,3,k)=13*L(k);
Mc(7,3,k)=-3*(L(k)^2);
Mc(1,4,k)=-22*L(k);
Mc(4,4,k)=4*(L(k)^2);
Mc(5,4,k)=-13*L(k);
Mc(8,4,k)=-3*(L(k)^2);
Mc(1,5,k)=54;
Mc(4,5,k)=-13*L(k);
Mc(5,5,k)=156;
Mc(8,5,k)=22*L(k);
Mc(2,6,k)=54;
Mc(3,6,k)=13*L(k);
Mc(6,6,k)=156;
Mc(7,6,k)=-22*L(k);
Mc(2,7,k)=-13*L(k);
Mc(3,7,k)=-3*(L(k)^2);
Mc(6,7,k)=-22*L(k);
Mc(7,7,k)=4*(L(k)^2);
Mc(1,8,k)=13*L(k);
Mc(4,8,k)=-3*(L(k)^2);
Mc(5,8,k)=22*L(k);
Mc(8,8,k)=4*(L(k)^2);
Ms(1,1,k)=36;
Ms(4,1,k)=-3*L(k);
117
Ms(5,1,k)=-36;
Ms(8,1,k)=-3*L(k);
Ms(2,2,k)=36;
Ms(3,2,k)=3*L(k);
Ms(6,2,k)=-36;
Ms(7,2,k)=3*L(k);
Ms(2,3,k)=3*L(k);
Ms(3,3,k)=4*(L(k)^2);
Ms(6,3,k)=-3*L(k);
Ms(7,3,k)=-(L(k)^2);
Ms(1,4,k)=-3*L(k);
Ms(4,4,k)=4*(L(k)^2);
Ms(5,4,k)=3*L(k);
Ms(8,4,k)=-(L(k)^2);
Ms(1,5,k)=-36;
Ms(4,5,k)=3*L(k);
Ms(5,5,k)=36;
Ms(8,5,k)=3*L(k);
Ms(2,6,k)=-36;
Ms(3,6,k)=-3*L(k);
Ms(6,6,k)=36;
Ms(7,6,k)=-3*L(k);
Ms(2,7,k)=3*L(k);
Ms(3,7,k)=-(L(k)^2);
Ms(6,7,k)=-3*L(k);
Ms(7,7,k)=4*(L(k)^2);
Ms(1,8,k)=-3*L(k);
118
Ms(4,8,k)=-(L(k)^2);
Ms(5,8,k)=3*L(k);
Ms(8,8,k)=4*(L(k)^2);
Gc(2,1,k)=36;
Gc(3,1,k)=3*L(k);
Gc(6,1,k)=-36;
Gc(7,1,k)=3*L(k);
Gc(1,2,k)=-36;
Gc(4,2,k)=3*L(k);
Gc(5,2,k)=36;
Gc(8,2,k)=3*L(k);
Gc(1,3,k)=-3*L(k);
Gc(4,3,k)=4*(L(k)^2);
Gc(5,3,k)=3*L(k);
Gc(8,3,k)=-(L(k)^2);
Gc(2,4,k)=-3*L(k);
Gc(3,4,k)=-4*(L(k)^2);
Gc(6,4,k)=3*L(k);
Gc(7,4,k)=(L(k)^2);
Gc(2,5,k)=-36;
Gc(3,5,k)=-3*L(k);
Gc(6,5,k)=36;
Gc(7,5,k)=-3*L(k);
Gc(1,6,k)=36;
Gc(4,6,k)=-3*L(k);
Gc(5,6,k)=-36;
Gc(8,6,k)=-3*L(k);
119
Gc(1,7,k)=-3*L(k);
Gc(4,7,k)=-(L(k)^2);
Gc(5,7,k)=3*L(k);
Gc(8,7,k)=4*(L(k)^2);
Gc(2,8,k)=-3*L(k);
Gc(3,8,k)=(L(k)^2);
Gc(6,8,k)=3*L(k);
Gc(7,8,k)=-4*(L(k)^2);
Kc(1,1,k)=12;
Kc(4,1,k)=-6*L(k);
Kc(5,1,k)=-12;
Kc(8,1,k)=-6*L(k);
Kc(2,2,k)=12;
Kc(3,2,k)=6*L(k);
Kc(6,2,k)=-12;
Kc(7,2,k)=6*L(k);
Kc(2,3,k)=6*L(k);
Kc(3,3,k)=(4+a(k))*(L(k)^2);
Kc(6,3,k)=-6*L(k);
Kc(7,3,k)=(2-a(k))*(L(k)^2);
Kc(1,4,k)=-6*L(k);
Kc(4,4,k)=(4+a(k))*(L(k)^2);
Kc(5,4,k)=6*L(k);
Kc(8,4,k)=(2-a(k))*(L(k)^2);
Kc(1,5,k)=-12;
Kc(4,5,k)=6*L(k);
120
Kc(5,5,k)=12;
Kc(8,5,k)=6*L(k);
Kc(2,6,k)=-12;
Kc(3,6,k)=-6*L(k);
Kc(6,6,k)=12;
Kc(7,6,k)=-6*L(k);
Kc(2,7,k)=6*L(k);
Kc(3,7,k)=(2-a(k))*(L(k)^2);
Kc(6,7,k)=-6*L(k);
Kc(7,7,k)=(4+a(k))*(L(k)^2);
Kc(1,8,k)=-6*L(k);
Kc(4,8,k)=(2-a(k))*(L(k)^2);
Kc(5,8,k)=6*L(k);
Kc(8,8,k)=(4+a(k))*(L(k)^2);
end
% Loop para multiplicação dos coeficientes das matrizes elementares do elemento de
% viga
for k=1:NE
for i=1:8
for j=1:8
Mc(i,j,k)=Mc(i,j,k)*CoefMc(k);
Ms(i,j,k)=Ms(i,j,k)*CoefMs(k);
Gc(i,j,k)=Gc(i,j,k)*CoefGc(k);
Kc(i,j,k)=Kc(i,j,k)*CoefKc(k);
end
end
end
121
% Loops para montagem das matrizes globais de massa, de elasticidade e giroscópica
Dim=4*(NE+1);
Mg=zeros(Dim,Dim);
Gg=zeros(Dim,Dim);
Kg=zeros(Dim,Dim);
for k=1:NE
for i=1:8
for j=1:8
z1=i+(k-1)*4;
z2=j+(k-1)*4;
Mg(z1,z2)=Mc(i,j,k)+Ms(i,j,k)+Mg(z1,z2);
Gg(z1,z2)=Gc(i,j,k)+Gg(z1,z2);
Kg(z1,z2)=Kc(i,j,k)+Kg(z1,z2);
end
end
end
for k= 1:Nd
for i=1:4
for j=1:4
z1=i+4*(Nod(1,k)-1);
z2=j+4*(Nod(1,k)-1);
Mg(z1,z2)=Mg(z1,z2)+Md(i,j,k);
Gg(z1,z2)=Gg(z1,z2)+Gd(i,j,k);
end
end
end
for k= 1:2
for i=1:4
for j=1:4
z1=i+4*(NoM(1,k)-1);
z2=j+4*(NoM(1,k)-1);
122
Kg(z1,z2)=Kg(z1,z2)+Km(i,j,k);
Gg(z1,z2)=Gg(z1,z2)+Cm(i,j,k);
end
end
end
% Loop para cálculo da matriz de estados
A1=-1*(inv(Mg))*Gg;
A2=-1*(inv(Mg))*Kg;
A3=eye(Dim,Dim);
A4=zeros(Dim,Dim);
As=[ A1 A2 ; A3 A4 ];
7.1.4 – Algoritmo para o controlador
% Parâmetros para controlador
u0=1.2566e-6;
n=564;
Aa=136e-6;
alfa=pi/8;
I0=0.6;
S0=0.45e-3;
K=u0*n^2*Aa/4;
Ki=((4*K*I0)/(S0^2))*cos(pi/8);
Ks=((4*K*I0^2)/(S0^3))*cos(pi/8);
% Rot = velocidade de rotação em rad/s
Rot=0;
123
%
AQUI COMEÇA A ENTRADA COMUM A TODOS OS ALGORITMOS
% cálculo da matriz giroscópica dos elementos de disco
Gd=zeros(4,4,Nd);
for k=1:Nd
Gd(3,4,k) = -1*Idy(k)*Rot;
Gd(4,3,k) = Idy(k)*Rot;
end
% Entradas para elementos de mancal. Neste algoritmo valem zero.
Km=zeros(4,4,2);
Km(:,:,1) = [ 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ];
Km(:,:,2) = [ 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ];
Cm=zeros(4,4,2);
Cm(:,:,1) = [ 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ];
Cm(:,:,2) = [ 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ];
%
AQUI ENTRA A PARTE COMUM A TODOS OS ALGORITMOS
% Cálculo das matrizes que completam o modelo de planta no espaço de estados
Naux=zeros(1,4);
Naux(1)=4*(NoM(1)-1)+1;
Naux(2)=4*(NoM(1)-1)+2;
Naux(3)=4*(NoM(2)-1)+1;
Naux(4)=4*(NoM(2)-1)+2;
Ta=zeros(4,Dim);
Ta(1,Naux(1))=1;
Ta(2,Naux(2))=1;
Ta(3,Naux(3))=1;
124
Ta(4,Naux(4))=1;
B1=(inv(Mg))*(Ta');
B2=zeros(Dim,4);
B=[ B1 ; B2 ];
C1=zeros(4,Dim);
C=[ C1 Ta ];
7.1.5 – Algoritmo para plotagem do diagrama de Campbell
%
NoM=[ 3 13 ];
Km=zeros(4,4,2);
Km(:,:,1) = [ 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ];
Km(:,:,2) = [ 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ];
Cm=zeros(4,4,2);
Cm(:,:,1) = [ 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ];
Cm(:,:,2) = [ 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ];
% passo, limite superior e parâmetros auxiliares para loop de rotação
Rot_P_aux1=50*2*pi;
Rot_P_aux2=1600*2*pi;
Rot_P=[ 0:Rot_P_aux1:Rot_P_aux2 ];
LW_P=[ 5 6 7 8 ];
125
Lim4_aux=size(Rot_P);
Lim4=Lim4_aux(2);
Lim5_aux=size(LW_P);
Lim5=Lim5_aux(2);
Whirl1=zeros(1,Lim4,Lim5);
Whirl2=zeros(1,Lim4,Lim5);
% Aqui começa o loop para variar rotação
for k3=1:Lim4
Rot=Rot_P(1,k3);
Gd=zeros(4,4,Nd);
for k=1:Nd
Gd(3,4,k) = -1*Idy(k)*Rot;
end
%
[eigve_As,eigva_As]=eig(As);
for z3=1:Lim5
z4=2*Dim-2*(LW_P(z3))+1;
Whirl(1,k3,z3)=( imag(eigva_As(z4,z4)) )/(2*pi) ;
end
end
% aqui termina o loop para variar rotação
% loop para plotagem do diagrama de campbell
for k3=1:Lim4
Rot_P(1,k3)=( Rot_P(1,k3) )/(2*pi);
126
end
for z=1:Lim5
plot(Rot_P,Whirl(:,:,z),'.');
hold on
end
hold off
grid on
7.1.6 – Algoritmo para plotagem dos modos de vibração
Rot=0;
%
Gd=zeros(4,4,Nd);
for k=1:Nd
Gd(3,4,k) = -1*Idy(k)*Rot;
end
NoM=[ 3 13 ];
Km=zeros(4,4,2);
Km(:,:,1) = [ 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ];
Km(:,:,2) = [ 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ];
Cm=zeros(4,4,2);
Cm(:,:,1) = [ 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ];
Cm(:,:,2) = [ 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ];
127
%
% Mo_N = Número do modo de vibração a ser plotado
Mo_N=3;
N_LW=5;
No_Pl=[ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ];
Lim2_aux=size(No_Pl);
Lim2=Lim2_aux(2);
k3=2*Dim-4*Mo_N+1;
t2=2*pi/( imag (eigva_As(k3,k3)) ) ;
Tempo=t2*1.0;
L_aux1=[ 0 L ];
Lx=zeros(1,Lim2);
for k=1:Lim2
L_aux2=zeros( 1,No_Pl(k) ) ;
L_aux2= L_aux1(1,1:(No_Pl(k)));
Lx(1,k)=sum(L_aux2);
end
X=zeros(1,Lim2,N_LW);
Z=zeros(1,Lim2,N_LW);
for z=1:N_LW
z1=2*Dim-4*z+1;
for k=1:Lim2
k1=Dim+(No_Pl(k)-1)*4+1;
128
k2=Dim+(No_Pl(k)-1)*4+2;
X(1,k,z)=( real (eigve_As(k1,z1)) )*( sin ( (imag (eigva_As(z1,z1)))*Tempo ) ) + (
imag (eigve_As(k1,z1)) )*( cos ( (imag (eigva_As(z1,z1)))*Tempo ) ) ;
Z(1,k,z)=( real (eigve_As(k2,z1)) )*( sin ( (imag (eigva_As(z1,z1)))*Tempo ) ) + (
imag (eigve_As(k2,z1)) )*( cos ( (imag (eigva_As(z1,z1)))*Tempo ) ) ;
end
end
X_aux=zeros(1,Lim2);
Z_aux=zeros(1,Lim2);
Y_aux=zeros(1,Lim2);
Quad=0;
for z=1:Lim2
if (
( (X(1,z,Mo_N))<0 ) & ( (Z(1,z,Mo_N))<0 )
)
Quad=-1;
else
Quad=1;
end
Z_aux(1,z)= (Quad)*( (X(1,z,Mo_N))^2 + (Z(1,z,Mo_N))^2 )^(1/2) ;
Y_aux(1,z)=Lx(1,z);
end
plot(Y_aux,Z_aux,'b^-')
grid on
7.1.7 – Algoritmo para plotagem da variação da frequência natural versus rigidez
equivalente
Rot=0;
129
%
Gd=zeros(4,4,Nd);
for k=1:Nd
Gd(3,4,k) = -1*Idy(k)*Rot;
end
NoM=[ 3 13 ];
Km=zeros(4,4,2);
Cm=zeros(4,4,2);
Cm(:,:,1) = [ 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ];
Cm(:,:,2) = [ 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ];
Km_P_aux1=5*(1e4);
Km_P_aux2=(1e8);
Km_P_aux3=(1e2);
Km_P=[ Km_P_aux3:Km_P_aux1:Km_P_aux2 ];
LW_P=[ 1 2 3 4 5 6 7 8 ];
Lim4_aux=size(Km_P);
Lim4=Lim4_aux(2);
Lim5=Lim5_aux(2);
Whirl=zeros(1,Lim4,Lim5);
for k3=1:Lim4
Km_P_aux4=Km_P(1,k3);
Km(:,:,1) = [ Km_P_aux4 0 0 0 ; 0 Km_P_aux4 0 0 ; 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ];
130
Km(:,:,2) = [ Km_P_aux4 0 0 0 ; 0 Km_P_aux4 0 0 ; 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ];
%
for z3=1:Lim5
z4=2*Dim-2*(LW_P(z3))+1;
end
end
for z=1:Lim5
plot(Km_P,Whirl(:,:,z),'.');
hold on
end
hold off
grid on
7.1.8 – Algoritmo para plotagem da variação da frequência natural versus amortecimento
equivalente
Rot=0;
%
Gd=zeros(4,4,Nd);
for k=1:Nd
Gd(3,4,k) = -1*Idy(k)*Rot;
131
end
NoM=[ 3 13 ];
Km=zeros(4,4,2);
Km(:,:,1) = [ 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ];
Km(:,:,2) = [ 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ];
Cm=zeros(4,4,2);
Cm_P_aux1=1*(5);
Cm_P_aux2=1*(1000);
Cm_P_aux3=0;
Cm_P=[ Cm_P_aux3:Cm_P_aux1:Cm_P_aux2 ];
LW_P=[ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ];
Lim4_aux=size(Cm_P);
Lim4=Lim4_aux(2);
Lim5=Lim5_aux(2);
Whirl=zeros(1,Lim4,Lim5);
for k3=1:Lim4
Cm_P_aux4=Cm_P(1,k3);
Cm(:,:,1) = [ Cm_P_aux4 0 0 0 ; 0 Cm_P_aux4 0 0 ; 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ];
Cm(:,:,2) = [ Cm_P_aux4 0 0 0 ; 0 Cm_P_aux4 0 0 ; 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ];
%
132
for z3=1:Lim5
z4=2*Dim-2*(LW_P(z3))+1;
end
end
for z=1:Lim5
plot(Cm_P,Whirl(:,:,z),'.');
hold on
end
hold off
grid on
7.1.9 – Algoritmo para cálculo das frequências naturais
%
Gd=zeros(4,4,2);
for k=1:Nd
Gd(3,4,k) = -1*Idy(k)*Rot;
end
133
NoM=[ 1 11 ];
Km=zeros(4,4,2);
Km(:,:,1) = [ 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ];
Km(:,:,2) = [ 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ];
Cm=zeros(4,4,2);
Cm(:,:,1) = [ 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ];
Cm(:,:,2) = [ 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ];
%
134
7.2 Desenho do rotor de alumínio

OBTENÇÃO DE UM MODELO DE ROTOR FLEXÍVEL

Transcrição

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