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TEMA 2
Ondas mecánicas progresivas
ETSAM
Física y Mecánica de las Construcciones
2.1. Introducción
DEFINICIÓN DE ONDA:
- transferencia de una perturbación: energía y momento
- no hay transferencia de materia
- ONDAS MECÁNICAS: propagación a través de un medio (O. Sonoras)
- ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS: no necesitan de un medio para propagarse
- luz, ondas de radio, rayos X, microondas
- viajan en el vacío a la velocidad de la luz
- generación: electrones libres acelerados, transiciones de los
electrones ligados
2. 1. Introducción
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ONDAS MECÁNICAS:
1) fuente de perturbación
2) medio para ser perturbado
3) mecanismo físico
ONDAS TRANSVERSALES
ONDAS LONGITUDINALES: ONDAS SONORAS
2. 1. Introducción
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2.2. Descripción matemática de la propagación
de una onda plana
ONDA PLANA: FRENTE DE ONDA PLANO
Representación matemática:
y ( x , 0) = f ( x )
2. 2. Descripción matemática de la propagación....
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Transcurrido un tiempo t:
y ( x , 0) = f ( x )
- Velocidad de propagación del pulso: c
- Se mantiene la forma del pulso: no existe dispersión
y ( x, t ) = y ( x − ct ,0)
2. 2. Descripción matemática de la propagación....
y ( x, t ) = f ( x − ct )
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Propagación en una dimensión:
Desplazamiento hacia la derecha:
Desplazamiento hacia la izquierda:
y ( x, t ) = f ( x − ct )
y ( x, t ) = f ( x + ct )
y ( x, t ) : FUNCIÓN DE ONDA
¿QUÉ INFORMACIÓN NOS PROPORCIONA?
- ONDAS PROGRESIVAS
- ONDAS ESTACIONARIAS
2. 2. Descripción matemática de la propagación....
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ECUACIÓN DE ONDAS:
y ( x, t ) = f ( x ± ct )
∂2 y
∂x
2
=
1 ∂2 y
c 2 ∂t 2
Ecuación de ondas unidimensional o
ecuación de D´Alembert
2. 2. Descripción matemática de la propagación....
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Función que describe un problema verifica la ecuación de ondas:
MOVIMIENTO ONDULATORIO
EN UNA DIMENSIÓN:
∂2 y
∂x
2
=
1 ∂2 y
c 2 ∂t 2
EN TRES DIMENSIONES (c. rectangulares):
∂ 2ψ
∂x
2
+
∂ 2ψ
∂y
2
+
∂ 2ψ
∂z
2
=
2. 2. Descripción matemática de la propagación....
1 ∂ 2ψ
c 2 ∂t 2
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2.3. Ondas armónicas
Clase básica de ondas periódicas (seno o coseno) unidimensionales:
⎡ 2π
⎤
y ( x, t ) = Asen ⎢
( x ± ct ) + α ⎥
⎣λ
⎦
A: amplitud
Número de ondas:
α: fase de la onda
k=
λ: longitud de onda
2. 3. Ondas armónicas
2π
λ
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⎡ 2π
⎤
y ( x, t ) = Asen ⎢
( x ± ct ) + α ⎥
⎣λ
⎦
k=
c=
λ
T
2π
⎡
λ
x
ct
⎤
ψ ( x, t ) = y ( x, t ) = Asen ⎢2π ( ± ) + α ⎥
λ λ
⎣
⎦
⇒c =λ⋅ f
y ( x, t ) = Asen[kx − ωt + α ]
ONDAS ARMÓNICAS: doble periodicidad
- ESPACIAL:
y ( x, t ) = Asen[kx + a ]
- TEMPORAL:
y ( x, t ) = Asen[b − ωt ]
2. 3. Ondas armónicas
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ONDAS ARMÓNICAS:
y ( x, t ) = Asen[kx − ωt + α ]
- Longitud infinita
- Monocromática
- Análisis de Fourier
Velocidad y aceleración de partícula del medio:
vy =
ay =
2. 3. Ondas armónicas
∂y
= −ωA cos( kx − ωt + α )
∂t
∂2 y
∂t 2
= −ω 2 Asen( kx − ωt + α )
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2.4. Propagación de la energía
FUENTE DE ENERGÍA
y ( x, t ) = Asen[kx − ωt + α ]
Elemento (dx, dm): movimiento armónico simple
1
dE C = (dm)v 2y
2
dm = µdx
2.4. Propagación de la energía
dE C =
1
(udx)v 2y
2
v y = −ωA cos(kx − ωt + α )
dE C =
1
uω 2 A 2 cos 2 (kx − ωt + α )dx
2
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1
dE C = uω 2 A 2 cos 2 (kx − ωt + α )dx
2
Para t = 0:
dE C =
1
uω 2 A 2 cos 2 (kx + α )dx
2
Energía para longitud igual a una longitud de onda:
λ
λ
1
1
1
⎤
⎡1
EC = uω 2 A 2 cos 2 (kx + α )dx = uω 2 A 2 ⎢ x +
sen(kx + α )⎥
2
2
4k
⎦0
⎣2
∫
0
Energía cinética:
EC =
1
uω 2 A 2 λ
4
Energía potencial:
EP =
1
uω 2 A 2 λ
4
2.4. Propagación de la energía
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Energía total:
1
Eλ = uω 2 A 2 λ
2
Energía por unidad de longitud:
Eλ
1
= uω 2 A 2
λ
2
Ritmo de transferencia de energía:
P=
Eλ 1
λ 1
= uω 2 A 2 = uω 2 A 2 c
T
2
T 2
2.4. Propagación de la energía
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2.5. Propagación de ondas mecánicas en fluidos
Ondas longitudinales: ondas sonoras
ONDAS SONORAS EN EL AIRE:
- movimiento de pequeños elementos de fluido
- Impresionan el sentido del oído: 20 Hz – 20 KHz
- Ruido: sonido no deseado o desagradable
- Acústica: producción, transmisión y recepción del sonido
2.5. Propagación de ondas mecánicas....
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Velocidad del sonido en los fluidos:
c=
B
ρ0
ECUACIÓN DE ESTADO DE LOS GASES IDEALES:
Bajas presiones y altas temperaturas
Mp
m
RT ⇒ ρ 0 =
pV = nRT =
M
RT
2.5. Propagación de ondas mecánicas....
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Velocidad del sonido en los fluidos:
Zonas comprimidas y zonas expandidas: CAMBIOS DE TEMPERATURA
APROXIMACIÓN: PROCESO REVERSIBLE ADIABÁTICO:
Oscilaciones rápidas, aire mal conductor del calor
pV γ = cte ⇒ p = cteV −γ ⇒ B = −V
2.5. Propagación de ondas mecánicas....
∂p
= −V ( −γcteV −γ −1 ) = pγ
∂V
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Velocidad del sonido en los fluidos:
c=
Mp
ρ0 =
RT
B = pγ
B
ρ0
c=
γRT
M
= cte T
γ = 1.4
M = 29kg / mol
c = 20.05 T m / s
- valores experimentales
- sonido: pequeña atenuación en grandes distancias
- bajas presiones y/o altas temperaturas
2.5. Propagación de ondas mecánicas....
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c=
γRT
M
Relaciones empíricas para los líquidos
2.5. Propagación de ondas mecánicas....
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a) Ondas planas longitudinales:
COLUMNA DE GAS: PROBLEMA UNIDIMENSIONAL
B
c=
∂ u
2
c2
P = P0 + p
ρ0
∂x 2
=
∂ u
2
∂t 2
c2
∂2 p
∂x
2
=
∂2 p
∂t 2
∂u
p = −B
∂x
2.5. Propagación de ondas mecánicas....
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a) Ondas planas longitudinales:
ONDA DE DESPLAZAMIENTO: ONDAS ARMÓNICAS:
u ( x, t ) = u 0 sen(kx − ωt )
ONDA DE PRESIÓN:
p ( x, t ) = − B
∂u
= − Bku 0 cos( kx − ωt ) = p 0 cos( kx − ωt )
∂x
p0 = Bku 0 = ρ 0 c 2 ku 0
B = ρ0c 2
2.5. Propagación de ondas mecánicas....
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Onda de presión y desplazamientos: desfasadas 90º
u ( x, t ) = u 0 sen(kx − ωt )
p ( x, t ) = p0 cos( kx − ωt )
2.5. Propagación de ondas mecánicas....
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Energía que transporta la onda sonora:
Eλ =
1
uω 2 A 2 λ ⇒
2
1
E = ρ 0 ω 2 u 02V
2
Densidad de energía media:
ε=
E 1
= ρ 0 ω 2 u 02
V 2
p 0 = ρ 0 cωu 0
p ef =
p0
2
2.5. Propagación de ondas mecánicas....
ε=
p 02
2ρ 0 c
2
=
p ef2
ρ0c 2
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Intensidad acústica: energía por unidad de área y tiempo
E 1
ε = = ρ 0 ω 2 u 02
V 2
I=
εV
TA
=
εTcA
TA
=
p 02
2ρ 0 c
p ef2
=
ρ0c
Dispersión: la intensidad disminuye durante la propagación:
I ( x) = I ( x 0 )e −2α ( x − x0 )
α: constante de atenuación del medio
I(x0): intensidad en un punto de referencia x0
2.5. Propagación de ondas mecánicas....
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b) Ondas esféricas:
Foco o fuente puntual: emisión en todas direcciones
Frentes de onda esféricos
Ondas esféricas
Ondas circulares
2.5. Propagación de ondas mecánicas....
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Ecuación de ondas en coordenadas esféricas:
∂2 p
∂r 2
2 ∂p
1 ∂2 p
+
= 2
r ∂r c ∂t 2
p(r , t ) =
∂ 2φ
∂r
φ (r , t )
2
=
1 ∂ 2φ
c 2 ∂t 2
r
p(r , t ) =
φ0
r
cos(kr ± ωt ) = p 0 (r ) cos(kr ± ωt )
p 0 (r ) =
φ0
r
u (r , t ) = u 0 (r ) sen(kr ± ωt )
2.5. Propagación de ondas mecánicas....
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