Inferência Estatística

Transcrição

Profa Alcione Miranda dos Santos
Departamento de Saúde Pública – UFMA
Núcleo de Estatística e Informática – HUUFMA
email: [email protected]
Inferências
a respeito de uma população são feitas,
baseadas em uma amostra.
Inferências
a respeito de uma parâmetro (por ex. a
média populacional) são feitas, examinando
estatísticas amostrais (por ex. , a média amostral) .

Dois princípios Básicos:

Testes de Hipóteses

Estimação
Estimação Pontual
A média amostral é uma estimativa pontual da média
populacional
Estimação por Intervalos
Intervalos de Confiança

Teoria da Estimação

Em estatística, muitas vezes desejamos estimar
a proporção com que determinado evento
ocorre. Por exemplo:
Prevalência
de diabéticos no munícipio de São Luís-
MA
Prevalência de fumo entre os estudantes de Medicina
da UFMA.

Se desejarmos saber tais prevalências, sem
erro aleatório, teremos que estudar toda a
população dos estudantes.

Através da teoria de estimação podemos tomar
uma amostra aleatória da população de
interesse e estimarmos, com uma probabilidade
de erro conhecida, a verdadeira prevalência
nesta população.
Estimação é o processo pelo qual, usando-se
um valor amostral (estatística) inferimos o valor
populacional (parâmetro).

Estimador- é uma estatística destinada a
estimar um parâmetro.

Existem dois tipos de estimação:
Estimação
Pontual
Estimação por Intervalo
Estimativa Pontual

Quando a partir de uma amostra representativa da
população, o pesquisador procura obter um único valor
para o parâmetro.
Exemplo: Prevalência de fumo entre os estudantes de
Medicina da UFMA.
f
pˆ =
n
onde f é a freqüência do evento na amostra e n é o
tamanho da amostra
Estimativa por Intervalo

Neste caso, calculamos a margem de erro aleatório de
uma estimativa e construímos um intervalo.

O intervalo contém o parâmetro com uma probabilidade
pré
- definida.

Um intervalo de confiança está associado a um grau de
confiança que é a uma medida da nossa certeza que o
intervalo contém o parâmetro.

Esta maneira de estimar o parâmetro é mais
interessante, pois fornece elementos para se discutir a
precisão da estimativa.
Estimativa por Intervalo

O grau de confiança é a probabilidade
(1-α)
do intervalo de confiança conter o verdadeiro
valor do parâmetro.

Geralmente, adota-se α = 1%, 5% ou 10%.

α é chamado de nível de significância.
A escolha do nível de confiança depende da
precisão que desejamos estimar o parâmetro.
Intervalo de Confiança para a
Proporção Populacional
O IC para a proporção populacional é dado por
IC[π ; (1 − α )%] = pˆ ± zα / 2
pˆ .(1 − pˆ )
n
Nota: O intervalo só poderá ser construído quando f ≥ 5
en ≥f+5
EXEMPLO: Uma droga foi testada em 25 pacientes e apresentou
efeitos colaterais em 8 casos. Qual a proporção de ocorrência de
efeitos colaterais?

Estimativa pontual: 8/25 = 0,32 ou 32%.

Estimativa por intervalo: Adotando-se um nível
de significância de 5%, tem-se:
(0,32)(0,68)
= [0,15;0,53]
IC[π ;95%] = 0,32 ± 1,96
25
COMANDO STATA
O comando usado para construir IC para proporção é
cii n f
com
n = tamanho da amostra
f = freqüência do evento na amostra
Para o exemplo anterior, temos:
cii 25 8
-- Binomial Exact -Variable |
Obs
Mean
Std. Err.
[95% Conf. Interval]
-------------+--------------------------------------------------------------|
25
.32
.0932952
.1494954
.5350007
p̂
IC
Intervalo de Confiança para a Média
Populacional

Caso 1: Grandes Amostras (n ≥ 30)
IC[ µ ; (1 − α )%] = x ± zα / 2

s
n
Caso 2: Pequenas Amostras (n < 30)
IC[ µ ; (1 − α )%] = x ± t( n −1;α / 2 )
s
n
Distribuição t Student

A distribuição de t student tem um tem um
formato semelhante ao da distribuição normal,
mas a curva é mais larga.

Uma característica importante da distribuição t
student é o número de graus de liberdade.
Tabela t Student
Se uma distribuição t student
tem 11 graus de liberdade,
encontre o valor de t que faz
o a área sombreada ser de
0,025
EXEMPLO: Com o intuito de estudar o conteúdo de ácido láctico no
sangue de indivíduos com demência precoce, uma amostra de
pacientes foi tomada e os resultados foram os seguintes: média =
mg/100 ml e desvio padrão = 4,6 mg/100 ml. Estime através
intervalo de confiança a média do teor de ácido láctico no sangue
indivíduos com demência precoce.
4,6
IC[ µ ;95%] = 13 ± t(15;0,025)
16
IC[ µ ;95%] = 13 ± 2,1315.1,15 = [10,55;15,45]
16
13
de
de
COMANDO STATA
O comando usado para construir IC para média populacional é
cii n me sd
com
n = tamanho da amostra
me = média amostral
sd = desvio padrão
Para o exemplo anterior temos:
. cii 16 13 4.6
Variable |
Obs
Mean
Std. Err.
-------------+--------------------------------------------------------------|
16
13
1.15
10.54883
15.45117
x
S
n
IC
Profa Alcione Miranda dos Santos
Departamento de Saúde Pública – UFMA
Núcleo de Estatística e Informática – HUUFMA
email: [email protected]

Algumas vezes existe um particular interesse
em decidir sobre a verdade ou não de uma
hipótese específica.
Por exemplo: Se dois grupos têm a mesma média ou
se o parâmetro
populacional tem um valor em
particular.

Teste de hipóteses fornece-nos a estrutura para
que façamos isto.

Quando falamos em hipóteses estamos nos referindo à
perguntas sobre a relação entre variáveis, por exemplo:
A variável "doença" está associada à variável "fator de risco"?

Repare que as hipóteses são apenas fundamentais em
estudos analíticos ou experimentais.

Estudos descritivos não necessitam de hipóteses, basta
descrever as características da amostra em estudo.

Hipótese científica: existe um efeito E.
Hipóteses estatísticas: diferenças, associação,
estimação pontual
Hipótese nula (H0): ausência de diferença
Hipótese alternativa (HA): contrária à H0
Testes de hipóteses: fornecem subsídios para
se rejeitar ou não uma hipótese estatística.
Tipos de Erros

Ao tomar uma decisão a favor ou contra uma
hipótese, existem dois tipos de erros que
podemos cometer: Erro Tipo I e Erro Tipo II

Erro Tipo I: Rejeitar a hipótese nula quando de
fato ela é verdadeira.
Erro Tipo II: Aceitar a hipótese nula quando de
fato ela é falsa.

Tipos de Erros
Decisão
Hoverdadeira
Ho falsa
Aceitar a
hipótese
Decisão correta
(1- α)
Erro de tipo II
β
Rejeitar a
hipótese
Erro de tipo I
α
Decisão correta
(1-β)
nível de significância
Poder do teste
Testes Bilaterais e Unilaterais

Teste bilateral: há interesse em identificar diferença
para qualquer direção.
Exemplo: droga altera a PAS

Teste unilateral: apenas tem sentido diferença em
uma direção.
Exemplo: dieta para redução do nível sérico de
colesterol.

Todos os
suposições;
testes
de
hipóteses
têm
As suposições devem ser verificadas;
Se alguma suposição é violada, então os
testes estatísticos podem ser inválidos.

Paramétricos:

Não-paramétricos: não fazem suposições
são
baseados
nas
características das distribuições teóricas que a
distribuição dos dados segue.
sobre a distribuição dos dados. Têm menos
poder.
Passos para realizar um Teste de Hipóteses

Passo 1 : Definição da Hipótese
O primeiro passo é o estabelecimento das hipóteses:
Hipótese Nula (H0): É um valor suposto para um
parâmetro.Se os resultados da amostra não forem muito
diferentes de H0, ela não poderá ser rejeitada.

Hipótese Alternativa (HA): É uma hipótese que contraria
a hipótese nula, complementar de Ho, Essa hipótese
somente será aceita se os resultados forem muito
diferentes de Ho.

Passo
2: Calcular a estatística do Teste
É o valor calculado a partir da amostra, que será usado na tomada
de decisão. Uma maneira de tomar-se uma decisão é comparar o
valor tabelado com a estatística do teste.

Para o caso de testes de médias, a estatística do teste é a variável
padronizada Z:

Zcal =
Estatística
do teste
(X −µ)
(σ
n)
Variabilidade
das médias
Passo 3: Região Crítica

A região crítica é a região onde Ho é rejeitada. A área
da região crítica é igual ao nível de significância (α), que
estabelece a probabilidade de rejeitar Ho quando ela é
verdadeira.

Por exemplo, se utilizarmos o nível de significância de
5%, a probabilidade de rejeitar Ho quando ela é
verdadeira é igual a 5%. Na prática, os valores usuais
são: α = 0,01 ou 0,05 ou 0,10.

Unilateral à esquerda:
Ho: µ = 50
HA: µ > 50

Unilateral à direita:
Ho: µ = 50
HA: µ <50

Bilateral:
Ho: µ = 50
HA: µ ≠ 50
Passo 4. Regra de Decisão:

Se o valor da estatística do teste cair na região crítica, rejeita-se Ho.
Ao rejeitar a hipótese nula existe uma forte evidência de sua falsidade.
Ao contrário, quando aceitamos, dizemos que não houve evidência
amostral significativa no sentido de permitir a rejeição de Ho.
p-valor

Definição: probabilidade de obter o resultado que
obtivemos ou mais estremo, sendo a hipótese nula é
verdadeira.

O p
- valor é comparado ao nível de significância α prédeterminado.

Se o p
- valor for menor ou igual ao nível de significância,
rejeitamos H0.

Note as seguintes interpretações de p-valores:

p > 0,10
p < 0,10
p < 0,05
p < 0,01
Não existe evidência contra H0
Fraca evidência contra H0
Evidência significativa contra H0
Evidência altamente significativa contra H0

Estudaremos
considerando:
testes
de
hipóteses
(a) Uma única amostra
(b) Comparação de duas ou mais amostras

Primeiramente, vamos estudar
hipótese para uma amostra.
teste
de
Uma amostra - Variável quantitativa
Com uma amostra de indivíduos
queremos saber se a média da
respectiva
população
é
um
determinado valor.
Teste de Hipótese para Média Populacional

PASSO 1: H0: µM=128

PASSO 2: Nível de significância: 5%

PASSO 3: Estatística do teste:
Z cal =
x − µ0
σ
n
versus
HA: µM≠128
135 − 128
7
=
=
= 2 ,28 .
24
3,1
60
PASSO
4: Construir a Região de Rejeição (RR)
TESTE BILATERAL
RA
RR
RR

Portanto, a amostra aleatória
medicamento M aumenta a PAS.

Agora, vamos calcular o p
- valor para o teste de
hipótese em questão:

Temos que calcular a probabilidade de observarmos
um valor igual ou superior a 2,28, isto é,
p-valor:
sugere
que
P(Z>2,28) =0,013 (distribuição normal)
Como o teste é bilateral, temos que multiplicar por dois
esta probabilidade. Assim, 0,013 x 2 = 0,026

Desde que o p
- valor é menor que o nível de
significância do teste (α = 5%), rejeita
- se a hipótese
nula.

Quando o
desvio padrão populacional é
desconhecido, porém
n≥30, podemos usar a
distribuição Normal, mas você deve substituir o desvio
padrão populacional pelo desvio padrão amostral.

Quando o n<30 e o desvio padrão populacional é
desconhecido, temos que aplicar o teste t de Student
com a fórmula abaixo:
x − µ0
tcal =
~ t( n−1)
s n
Suposição do teste: A variável quantitativa é normalmente distribuída
na população.
Exemplo: Teste t
A altura média dos estudantes da UFMA é de 1,70 m. Em
uma amostra casual de tamanho 25 foi estimada a média
de 1,72 m e desvio padrão da amostra de 0,08 m. Pode
se considerar que a média amostral não difere da média
da população?
Solução:
a ) H 0 : µ = 1,70m
H A : µ ≠ 1,70m
b ) α = 0,05; t crit ; 0 , 025 ; 24 g .l . = 2,064
x − µ 1, 72 − 1, 70
c) t =
= 1, 25
=
s
0 , 08
n
25
d) Decisão: Não há evidência para rejeitar H0.
Solução no STATA:
contém 1,70m
ttesti 25 1.72 0.08 1.70
One-sample t test
-----------------------------------------------------------------------------|
Obs
Mean
Std. Err.
Std. Dev.
---------+-------------------------------------------------------------------x |
25
1.72
.016
.08
1.686978
1.753022
-----------------------------------------------------------------------------mean = mean(x)
t =
1.2500
Ho: mean = 1.70
degrees of freedom =
24
Ha: mean < 1.70
Pr(T < t) = 0.8883
Ha: mean != 1.70
Pr(|T| > |t|) = 0.2234
H 0 : µ 0 = 1,70m
Ha: mean > 1.70
Pr(T > t) = 0.1117
tcal = 1,25
p valor> 0,05
Teste de Hipótese para Proporção Populacional

Vejamos agora teste de hipótese para variáveis
qualitativas.
Por exemplo: prevalência de uma doença.

Para construção de um teste de hipóteses, para esta
situação, devemos seguir o mesmo raciocínio
anteriormente aplicado para variáveis quantitativas.

Estabeleça a hipótese nula e a hipótese alternativa
Exemplo: H0: π = π 0 versus HA: π ≠ π 0

Calcule a proporção amostral

Calcule a estatística do teste
zcal =
pˆ − π 0
π 0 (1 − π 0 )
n

Utilizar a tabela da Distribuição Normal para
determinar o p-valor.

Comparar o p-valor do teste com o nível de
significância do teste.

Nota: Uma regra geral é que o teste anterior é
válido quando temos ambos npˆ e n(1 − pˆ )
maiores do que 10.
Exemplo: Teste de Hipótese para Proporção
Populacional
Em um região afetada por um surto epidêmico,
observou
- se uma amostra de 2500 indivíduos, tendo
se encontrado 625 contaminados. Teste, ao nível de
significância 5%, se a proporção de indivíduos
contaminados é significativamente superior a 20%.
Solução:
a) H 0 : π = 0,20
H A :π > 0,20
b ) α = 0,05; z 0 , 05 = 1,65
c ) Z cal =
π
pˆ − π
0
0
(1 − π 0 )
n
=
0 , 25 − 0 , 2
= 6 , 25
0 , 25 (1 − 0 , 75 )
2500
d) Região crítica:
d) Decisão: Há evidência para rejeitar H0.
Solução no STATA:
Não contém 0,2
prtesti 2500 0.25 0.2v
One-sample test of proportion
x: Number of obs =
2500
-----------------------------------------------------------------------------Variable |
Mean
Std. Err.
-------------+---------------------------------------------------------------x |
.25
.0086603
.2330262
.2669738
-----------------------------------------------------------------------------p = proportion(x)
z =
6.2500
Ho: p = 0.2
Ha: p < 0.2
Pr(Z < z) = 1.0000
Ha: p != 0.2
Pr(|Z| > |z|) = 0.0000
Ha: p > 0.2
Pr(Z > z) = 0.0000
zcal = 6,25
H 0:π = 0 ,2
p-valor <0,05
Comparação de Dois grupos

Na pesquisa médica, é muito freqüente
necessitarmos comparar médias ou proporções
de amostras diferentes (por ex. caso x
controle).

Se estamos estudando duas amostras, então
amostras pareadas ou independentes?
Amostras Independentes

Neste tipo de estudo, temos duas amostras, mas cada
indivíduo participa apenas de uma das amostras.
Amostras Pareadas

Num estudo pareado, novamente se tem duas
amostras, mas cada observação da primeira amostra é
pareada com uma observação da segunda amostra.
Dois grupos independentes (uma observação em cada
unidade amostral).
Exemplos
1. Dois produtos
2. Duas drogas terapêuticas
3. Duas marcas comerciais
4. Dois procedimentos cirúrgicos
5. Dois gêneros
Dois grupos pareados (duas observações em cada unidade
amostral).
Exemplos
1. Antes e depois de uma intervenção cirúrgica
2. Lados direito e esquerdo
3. Dois períodos diferentes
Teste t para duas amostras independentes

A variável de interesse é uma variável
quantitativa e normalmente distribuída.

Exemplo: Comparar produtos alimentícios
(um novo, outro tradicional) no ganho de peso
de ratos de laboratório.

Você que saber se na população:
¾
¾
As médias são diferentes?
A média do novo produto é maior?
Você também precisa saber se, na população:

¾ A variabilidade é a mesma nos dois grupos?
¾ A variabilidade é diferente?

Para verificar se a variabilidade é a mesma
nos dois grupos, utiliza-se o Teste F.
H 0 :σ 1 = σ 2
2
2
versus
H A :σ 1 ≠ σ 2
2
2

1o Caso: Considere a situação em que as duas variâncias
populacionais são desconhecidas, mas é razoável assumir
que elas sejam iguais.

Neste caso, utiliza
- se o teste -t S
tudent para amostras
independentes.
Estatística do teste:
tcal =
s
p
x1 − x2
~ t( n1 + n2 − 2 )
1
1
+
n n
1
com
2
2
n
s
n
s
(
−
1
)
+
(
−
1
)
1
2
2
s 2p = 1
n1 + n2 − 2
2
Exemplo: Duas amostras independentes
com variâncias iguais

Um pesquisador gostaria de testar a hipótese que os
homens são mais pesados que as mulheres à idade
adulta. Tomou ao acaso uma amostra de 35 alunos,
sendo 17 do sexo feminino e 18 do masculino.
Masculino
Feminino
Média
76,8
72,9
n
18
17
Variância
334,18
303,11
Solução:
a) H0 : µM = µF
b) H 1 : µ M > µ F
c ) α = 0 , 05 ; t 0 , 05 ; 33 g . l = 1, 69
d ) t cal =
s
p
x1 − x 2
3,9
3,9
76 ,8 − 72 ,9
=
=
=
= 0,645
1
1
17 ,86 0,338 6,04
1
1
+
+
17 ,86
18 17
n1 n 2
e) Decisão: Não há evidência para rejeitar H0.
Solução no STATA:
Teste F
Comando: stesti n1 . sd1. n2. sd2
Para o exemplo anterior, temos:
sdtesti 18 . 18.28 17 . 17.41
Variance ratio test
-----------------------------------------------------------------------------|
Obs
Mean
Std. Err.
Std. Dev.
---------+-------------------------------------------------------------------x |
18
.
4.308637
18.28
.
.
y |
17
.
4.222545
17.41
.
.
---------+-------------------------------------------------------------------combined |
35
.
.
.
.
.
-----------------------------------------------------------------------------ratio = sd(x) / sd(y)
f =
1.1024
Ho: ratio = 1
17, 16
Ha: ratio < 1
Pr(F < f) = 0.5753
Ha: ratio != 1
2*Pr(F > f) = 0.8494
Ha: ratio > 1
Pr(F > f) = 0.4247
Podemos concluir que as variâncias populacionais são iguais (p-valor=0,8494)
Solução no STATA:
Teste t-student para variâncias iguais
Comando: ttesti n1 me1 sd1 n2 me2 sd2
ttesti 18 76.8 18.28 17 72.9 17.41
Two-sample t test with equal variances
-----------------------------------------------------------------------------|
Obs
Mean
Std. Err.
Std. Dev.
---------+-------------------------------------------------------------------x |
18
76.8
4.308637
18.28
67.70957
85.89043
y |
17
72.9
4.222545
17.41
63.9486
81.8514
---------+-------------------------------------------------------------------combined |
35
74.90571
2.993466
17.70959
68.82226
80.98917
---------+-------------------------------------------------------------------diff |
3.9
6.041423
-8.391367
16.19137
-----------------------------------------------------------------------------diff = mean(x) - mean(y)
t =
0.6455
Ho: diff = 0
33
Ha: diff < 0
Pr(T < t) = 0.7385
Ha: diff != 0
Pr(|T| > |t|) = 0.5230
Ha: diff > 0
Pr(T > t) = 0.2615
Podemos concluir que as médias populacionais são iguais (p-valor=0,5230)

2o Caso: Agora, considere a situação em que as duas
variâncias
desiguais.
populacionais
são
desconhecidas
e

Neste caso, deve
- se utilizar o teste t student com
variâncias desiguais.

A estatística do teste é dada por
tcal =
2
x1 − x2
s
s
+
n1 n2
2
1
2
2
~ tv
com
⎡ S12 S 22 ⎤
⎢n + n ⎥
ν = ⎣ 12 2 ⎦ 2 − 2
⎛ S12 ⎞ ⎛ S 22 ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ n1 ⎠ + ⎝ n2 ⎠
n1 + 1
n2 + 1
Comando no STATA: ttesti n1 me1 sd1 n2 me2 sd2, unequal
Teste de Hipóteses para Duas Médias Populacionais

Agora, vamos considerar amostras pareadas.

A variável de interesse é quantitativa e normalmente
distribuída.

Novamente, o interesse é testar a hipótese nula de que
as duas médias das populações são iguais.

As hipóteses a serem testadas são
H0: µ1 = µ2 versus HA: µ1 ≠ µ2

Em vez de considerarmos os dois conjuntos de
observações como amostras distintas, focalizamos a
diferença de medições dentro de cada par.
Amostra 1
x11
x21
x31
x41
Amostra 2
x12
x22
x32
x42
.
.
xn1
xn2

Usamos esses dados para criar novo conjunto de
observações que representam as diferenças dentro de
cada par:
d1=x11-x12
d2=x21-x22
d3=x31-x32
dn=xn1-xn2

A partir dessas diferenças calculamos a média
n
d=
i =1
i
n
n
e o desvio padrão
sd =

∑d
Estatística do teste:
∑ (d
i =1
i
− d)
n −1
tcal
d
=
~ t( n −1)
sd
n
Teste de Hipóteses para Duas Proporções
Populacionais

Primeiramente, vamos considerar amostras independentes.

O interesse é comparar dois grupos através do resultado
observado em uma variável dicotômica.

O problema de comparação das proporções populacionais
nos dois grupos é formulado através das hipóteses:
H0: π1 = π 2 versus HA: π1 ≠ π 2
Teste Qui Quadrado

É um teste muito usado na área médica que se
destina a comparar proporções.

Utiliza-se o teste qui-quadrado quando deseja-se
verificar se a freqüência com que um determinado
acontecimento observado em uma amostra se
desvia significativamente ou não da freqüência
com que ele é esperado.
Teste Qui Quadrado
Grupo
Ocorrência do Evento
SIM
NÃO
Total
I
a
b
a + b = n1
II
c
d
c + d = n2
Total
a + c = m1
b + d = m2 n1+ n2 = n
Exemplo

Os dados a seguir são referentes ao sexo e condição
de sobrevivência de uma amostra de recém
- nascidos
com síndrome de desconforto idiopático grave.
Sexo
Feminino
Masculino
Total
sobrevivente
Não
sobrevivente
10
17
27
7
16
23
Total
17
33
50
Você diria que meninos sobrevivem mais do que meninas?
Exemplo
Cálculos necessários para a construção do teste qui-quadrado:
i
Oi
Ei
Oi- Ei
(Oi- Ei)2
(Oi- Ei)2
Ei
1
2
3
4
Total
10
17
7
16
50
9,18
17,82
7,82
15,18
50
0,82
-0,82
-0,82
0,82
0
0,6724
0,6724
0,6724
0,6724
2,6896
0,07
0,04
0,08
0,04
0,23
O valor da estatística do teste é 0,23. Como este valor é maior do que 3,84,
valor obtido da distribuição qui-quadrado, para um nível de de significância
de 5%, não rejeitamos a hipótese nula, ou seja, os meninos não sobrevivem
mais do que as meninas.
Restrições ao Uso do Teste Qui-Quadrado

Quando 20 ≤ n ≤ 40, utilizar o teste qui-quadrado se nenhuma
freqüência esperada seja inferior a 5. Em caso contrário, utilizar
o Teste Exato de Fisher.

Quando n < 20, utilizar o Teste Exato de Fisher.

Quando n > 40, utilizar o teste qui-quadrado.

Quando o número de categorias for maior do que 2, não mais
que 20% das categorias devem ter freqüências menores que 5
e nenhuma categoria deve ter freqüência menor que 1.