resolução do Problema 5 - FCT

Universidade do Algarve
Campeonato de Matemática SUB12
2006/2007
Problema 5: Uma fila de gatos
Cinco gatos estão sentados em fila sobre
um muro.
Entre o Fofinho e o Bichano está um
gato. Entre o Bichano e o Malhado estão
dois gatos. Entre o Tareco e o Malhado
está um gato. Entre o Fofinho e o Reguila
estão dois gatos.
Como estão os gatos dispostos na fila?
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Resolução:
De acordo com os dados do problema, sabemos que cinco gatos – o Fofinho, o Bichano, o
Malhado, o Tareco e o Reguila, estão sentados em fila. Sabemos ainda que:
•
Entre o Fofinho e o Bichano está um gato;
•
Entre o Bichano e o Malhado estão dois gatos;
•
Entre o Tareco e o Malhado está um gato;
•
Entre o Fofinho e o Reguila estão dois gatos.
Pretendemos saber como estão os gatos dispostos na fila. Para isso, vamos ordenar os gatos
através das informações que nos são dadas.
O Filipe Magalhães, da E.B. 2,3 de Mora, apresentou uma resolução bastante simples deste
problema, que consiste essencialmente no seguinte: vamos assumir que o Bichano (que
representamos pela letra B) está à direita do Fofinho (que representamos pela letra F). Entre
eles está um gato do qual não sabemos o nome. Esquematicamente, será:
F __ B
A informação seguinte sobre a posição dos gatos, diz-nos que entre o Bichano e o Malhado
estão dois gatos. Assim, se considerarmos que o Malhado (M) está à direita do Bichano (B),
teremos:
F __ B __ __ M
o que não pode acontecer, pois neste caso seriam seis gatos e não cinco. Logo,
necessariamente, o Malhado tem que estar à esquerda do Bichano, como ilustra o próximo
esquema:
M F __ B
Então, sabendo que entre o Tareco e o Malhado está um gato, o Tareco (T) apenas pode estar
numa posição: entre o Fofinho e o Bichano.
M F T B
Reparemos que não poderíamos ter a sequência T __ M F __ B , ou seja, ter o Tareco à
esquerda do Malhado, pois assim a fila seria composta por seis gatos.
Por fim, entre o Fofinho (F) e o Reguila (R) estão dois gatos, pelo que terá que ser
M F T B R
ou seja, os gatos estão ordenados da seguinte forma:
Malhado – Fofinho – Tareco – Bichano – Reguila.
Mas esta não é a única ordenação possível, tal como repararam vários “atletas”, entre eles, o
Alexandre Faustino da E.B. 2,3 de Montenegro, a Patrícia Ferro ou a Brígida Laranjo da
E.B. 2,3 Dr. José de Jesus Neves Júnior, em Faro.
De facto, vamos considerar que o Bichano está à esquerda do Fofinho e seguir o mesmo
raciocínio que aplicámos na primeira solução obtida.
Entre o Bichano (B) e o Fofinho (F) está apenas um gato. Recorrendo a um esquema
semelhante aos anteriores, temos:
B __ F
Sabemos também que entre o Bichano (B) e o Malhado (M) estão dois gatos. Se
considerarmos o Malhado à esquerda do Bichano, obtemos uma fila com seis gatos, como
ilustra o próximo esquema:
M __ __ B __ F
o que não é possível. Assim sendo, o Malhado tem que estar à direita do Bichano e entre eles
dois gatos, um dos quais é o Fofinho. Fica:
B __ F M
Dado que entre o Tareco (T) e o Malhado (M) está um gato, o Tareco tem que estar entre o
Bichano e o Fofinho.
B T F M
A última condição diz-nos que entre o Fofinho (F) e o Reguila (R) estão dois gatos, o que, pelo
que vimos até agora, exclui a hipótese de o Reguila estar à direita do Malhado, pois neste caso
teríamos seis gatos. Obtemos:
R B T F M
Portanto, outra solução possível para este problema é:
Reguila – Bichano – Tareco – Fofinho – Malhado.
Existem, ainda, outras maneiras de resolver este problema. O Pedro Medeiros, do Colégio
Internacional de Vilamoura, começou por colocar o Fofinho no primeiro lugar da fila, a contar
da esquerda, já que o Fofinho é o primeiro nome que surge no enunciado do problema.
Como entre o Fofinho e o Bichano está um gato, iremos seguir o esquema apresentado pelo
Pedro Medeiros:
Lugar 1 – Fofinho
Lugar 2 –
Lugar 3 – Bichano
Lugar 4 –
Lugar 5 –
A seguir, sabemos que entre o Bichano e o Malhado estão dois gatos, o que mostra que o
Fofinho não pode estar no lugar 1, pois neste caso o Bichano está no lugar 3 e o Malhado teria
que ocupar um sexto lugar, o que não é possível porque só existem cinco gatos na fila.
Assim sendo, vamos considerar o Fofinho no lugar 2. Obtemos:
Lugar 1 –
Lugar 2 – Fofinho
Lugar 3 –
Lugar 4 – Bichano
Lugar 5 –
Agora sim, podemos colocar o Malhado no lugar 1, ficando dois gatos entre este e o Bichano,
tal como exige o problema.
Lugar 1 – Malhado
Lugar 2 – Fofinho
Lugar 3 –
Lugar 4 – Bichano
Lugar 5 –
Sabemos também que entre o Tareco e o Malhado está um gato, por isso, de acordo com o
esquema anterior, o Tareco tem que ocupar o lugar 3.
Lugar 1 – Malhado
Lugar 2 – Fofinho
Lugar 3 – Tareco
Lugar 4 – Bichano
Lugar 5 –
Finalmente, entre o Fofinho e o Reguila estão dois gatos, pelo que o Reguila ocupa o lugar 5.
Lugar 1 – Malhado
Lugar 2 – Fofinho
Lugar 3 – Tareco
Lugar 4 – Bichano
Lugar 5 – Reguila
Encontrámos assim uma solução para este problema.
Se começarmos por colocar o Bichano no lugar 1 e seguirmos este mesmo raciocínio, iremos
encontrar a outra solução possível, que como já vimos é:
Lugar 1 – Reguila
Lugar 2 – Bichano
Lugar 3 – Tareco
Lugar 4 – Fofinho
Lugar 5 – Malhado
Evidentemente, poderíamos ter começado esta ordenação por um gato qualquer. Foi o que fez
o Ricardo Tavares da E.B. 2,3 Dr. Joaquim Magalhães, em Faro. Através de tentativas
organizadas numa tabela, como a que nos enviou, chega-se à conclusão de que as únicas
possibilidades de ordenação dos gatos são as que já apresentámos.