xxmx

III – Variáveis Estatísticas
Unidimensionais
1. Medidas de Localização
Tratamento de Dados
2º Semestre 2005/2006
Qualidades das medidas descritivas
a) objectividade
b) dependência de todas as observações
c) ter significado concreto, de interpretação
simples e imediata
d) serem fáceis de calcular
e) serem pouco sensíveis aos valores extremos
f) prestarem-se facilmente ao cálculo numérico
Tratamento de Dados
2º Semestre 2005/2006
Tipo de Medidas Descritivas
a) localização ou tendência central
b) dispersão
c) concentração
d) forma
- assimetria
- achatamento
Tratamento de Dados
2º Semestre 2005/2006
Medidas de localização
Média Aritmética
a) Dados não-classificados
N
∑x
x1 + x2 +......+ xN i=1 i
=
x=
N
N
b) Dados classificados
m
m
x=
'
n
x
∑ j j
j =1
N
m
= ∑ f jx
j =1
'
j
ou
x’j : pontos médios de cada classe m
wj : pesos das classes
Tratamento de Dados
2º Semestre 2005/2006
x=
'
w
x
∑ j j
j =1
m
∑w
j =1
j
Propriedades da média aritmética
A média aritmética é uma função das observações
Pode escrever-se como
x = m( x1 , x2 ,......xN )
a média aritmética goza das seguintes propriedades
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2º Semestre 2005/2006
1ª Propriedade
m( x1 + k, x2 + k,..., xN + k ) = m( x1 , x2 ,..., xN ) + k
Dem.
x = m( x1 + k , x2 + k ,..., xN + k ) =
x1 + k + x2 + k + ...... + xN + k
=
=
N
x1 + x2 + ...... + xN Nk
=
+
=
N
N
= m( x1 , x2 ,...., xN ) + k
c.q.d.
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2º Semestre 2005/2006
2ª Propriedade
m ( kx 1 , kx 2 ,..., kx N ) = km ( x 1 , x 2 ,..., x N )
Dem.
kx1 + kx 2 + .... + kx N
m ( kx1 , kx 2 ,...., kx N ) =
=
N
x 1 + x 2 + .... + x N
= k
=
N
= km ( x 1 , x 2 ,..., x N )
c.q.d.
Tratamento de Dados
2º Semestre 2005/2006
3ª Propriedade
m ( x1 + y1 + ..., x 2 + y 2 + ..., x N + y N + ...) =
= m ( x1 , x 2 ,... x N ) + m ( y1 , y 2 ,..., y N ) + ...
Dem.
m(x1 + y1 + ..., x2 + y2 + ..., xN + yN + ...) =
x1 + y1 + x2 + y2 + ...+ xN + yN + ...
=
=
N
Tratamento de Dados
2º Semestre 2005/2006
3ª Propriedade (cont.)
x1 + x2 +...+ xN y1 + y2 +...+ yN
=
+
+...=
N
N
= m ( x 1 + ... + x 2 + ... + x N ) +
+ m ( y 1 + y 2 + ... + y
N
) + ...
c.q.d.
Tratamento de Dados
2º Semestre 2005/2006
4ª Propriedade
Se uma amostra com N elementos estiver
dividida em k sub-amostras com N1, N2 ,.., Nk
elementos, então
N1x1 + N2 x2 + ... + Nk xk
x=
N
Dem.
Admitam-se as k sub-amostras N1 , N2 ,..., Nk
com
k
∑N
j =1
Tratamento de Dados
j
=N
2º Semestre 2005/2006
4ª Propriedade (cont. 1)
x=
+
x11 + x12 + ... + x1N1
N
xk1 + xk 2 + ... + xkNk
= N1
...+ Nk
+ N2
xk1 + xk 2 + ...+ xkNk
Tratamento de Dados
Nk N
N
+ ... +
=
N
x11 + x12 + ...+ x1N1
N1N
+
x21 + x22 + ... + x2 N2
x21 + x22 + ...+ x2 N2
=
2º Semestre 2005/2006
N2 N
+ ...
4ª Propriedade (cont. 2)
xk
x1
x2
= N1 + N 2
+ ... + N k
=
N
N
N
N 1 x1 + N 2 x 2 + ... + N k x k
=
N
c.q.d.
Tratamento de Dados
2º Semestre 2005/2006
5ª Propriedade
m( x1 − x , x2 − x ,..., x N − x ) = 0
Dem.
Basta aplicar a 1ª propriedade, com k = − x
m ( x1 + k , x 2 + k ,..., x N + k ) =
= m ( x1 , x 2 ,..., x N ) + k =
= x +k = x − x = 0
Tratamento de Dados
2º Semestre 2005/2006
c.q.d.
6ª Propriedade
x = V + m( x1 − V , x2 − V ,..., x N − V ) =
N
=V +
∑ (x
i =1
i
−V )
N
Dem.
Basta aplicar a 1ª propriedade, com
xi = xi − V
Tratamento de Dados
e
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k = V
6ª Propriedade (cont.)
x = m( x1 − V + V , x2 − V + V ,..., x N − V + V ) =
= m ( x 1 − V , x 2 − V ,..., x N − V ) + V =
N
= V +
∑
Tratamento de Dados
i =1
(xi − V )
N
c.q.d.
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7ª Propriedade
N
∑ (x
i =1
Dem.
i
mínimo
⇔
V =⎯x
2
N
N
⎡
⎤
∂
⎢∑ ( xi − V ) ⎥ = −2∑ ( xi − V ) = 0
∂V ⎢⎣ i =1
i =1
⎥⎦
Donde
N
∑x
i =1
N
∑
e
−V )
2
i =1
xi
N
Tratamento de Dados
−V = 0
i
− NV = 0
→ x −V = 0 → x = V
c.q.d.
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Média geométrica
C1= C0 (1+i1 )
C2= C1 (1+i2 )= C0 (1+i1 )(1+i2 )
............
CN = C0 (1+i)N
(1+i)N = (1+i1 )(1+i2 )...(1+iN )
1 + i = N (1 + i1 )(1 + i2 )...(1 + i N )
Tratamento de Dados
2º Semestre 2005/2006
Média geométrica (cont.)
Dados não-classificados
mg =
⎛
⎞
xi = ⎜⎜ ∏ xi ⎟⎟
∏
i =1
⎝ i =1 ⎠
N
N
N
1
N
Dados classificados
m
mg = N ∏
j =1
Tratamento de Dados
m
⎛
nj
nj ⎞
x j = ⎜⎜ ∏ x j ⎟⎟
⎝ j =1 ⎠
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1
N
Cálculo da média geométrica
ln m g
N
1
=
N
1
ln m g =
N
∑ ln x
i =1
i
com xi ; xj > 0
m
∑n
j =1
j
( ln x j )
O logaritmo da média geométrica é igual a média
aritmética dos logaritmos dos valores
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Média harmónica
Rendimento anual =2000 €
p1=25 € ; p2=40 € ; p3=50 €
25 + 40 + 50
p=
= 38 .33
3
1º ano 2000/25= 80 unidades
2º ano 2000/40= 50 unidades
3º ano 2000/50= 40 unidades
Tratamento de Dados
2º Semestre 2005/2006
Média harmónica (cont. 1)
80× 25 + 50× 40 + 40× 50 6000
p=
=
= 35.29
80 + 50 + 40
170
3
3
=
=
= 35.29
mh =
N
1 1 1 0.085
1
1
+ +
∑
N i =1 xi 25 40 50
1
Tratamento de Dados
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Média harmónica (cont. 2)
Dados não-classificados
N
mh =
N
∑
i =1
1
xi
Dados classificados
m
mh =
∑n
j =1
m
∑
j =1
j
nj
xj
=
1
m
fj
j =1
xj
∑
Média harmónica: inverso da média aritmética dos inversos
Tratamento de Dados
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Média quadrática
Dados não-classificados
N
mq =
∑
x i2
i =1
N
Dados classificados
m
mq =
∑
j =1
n jx
m
∑
j =1
Tratamento de Dados
n
j
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2
j
Formula geral das médias
⎛ 1
m (r ) = ⎜
⎝N
N
∑
i =1
r ⎞
xi ⎟
⎠
1
r
⎛ m
ou m ( r ) = ⎜⎜ ∑ f j x rj
⎝ j =1
r = 2 ⇒ m( r ) = m q
r = 1 ⇒ m( r ) = x
r = 0 ⇒ m( r ) = m g
r = −1 ⇒ m(r ) = mh
Tratamento de Dados
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⎞
⎟
⎟
⎠
1
r
Mediana
x1 ≤ x2 ≤ ...... ≤ x N
a) Variáveis discretas
M = x k +1
se N=2k+1
xk + xk+1
M=
2
se N=2k
b) Variáveis contínuas
F * (M)= 0.5
i
Tratamento de Dados
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(impar)
(par)
Moda
a) Variáveis discretas
Quadro de frequências ou Diagrama de barras
(Quadro II.1 ou Gráficos II.1 e II.2)
b) Variáveis contínuas
Quadro de frequências ou Histograma
(Quadro II.5 ou Gráficos II.5 e II.6)
Classe modal
Tratamento de Dados
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Moda (cont.)
Fórmula de King
f 0 +1
mod = l 0 + h0
f
+
f
0
−
1
0 +1
onde
l0 = limite inferior da classe modal
h0 = amplitude da classe modal
f0+1 = frequência da classe a seguir à classe modal
f0-1 = frequência da classe anterior à classe modal
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