A01 - Principios gerais de projeto estrutural

ESTÁTICA
DEC - COD 3764
I - 2007
Resumo das notas de aula do professor.
Adaptação do material de vários professores, e do livro “Mecânica vetorial para engenheiros”,
Ferdinand P. Beer e E. Russell Johnston, Jr.; McGraw-Hill, 1976.
JDNC - 2007
ESTÁTICA – DEC 3674
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1 Morfologia das estruturas
1.1 Definição de estrutura
Estruturas são sistemas compostos de uma ou mais peças, ligadas entre si e ao meio exterior
de modo a formar um conjunto estável, isto é, um conjunto capaz de receber solicitações
externas, absorvê-las internamente e transmiti-las até seus apoios, onde estas solicitações
externas encontrarão seu sistema estático equilibrante.
P
P
P
P
Viga
Pilar
Fundação
Fundação
Pilar
Fundação
1.2 Classificação das estruturas
Definição de componentes de uma estrutura
Os componentes de uma estrutura são chamados de elementos, barras ou membros estruturais,
que devem ser capazes de receber e transmitir esforços. Podem ser:
•
Unidimensionais: Vigas, pilares, barras, travessas, colunas etc.
•
Bidimensionais: Folhas: as lajes e as paredes.
•
Tridimensionais: Sólidos, blocos etc.
1.2.1 Classificação quanto aos elementos estruturais
•
Estruturas reticuladas (compostas de barras): Vigas, pórticos planos e espaciais, treliças
planas e espaciais, grelhas, etc.
As barras são os elementos em que uma das dimensões é bastante maior que as outras
duas, as dimensões da seção são nitidamente menores que a extensão da sua linha
central. Barras de forma prismática são retas e de seção constante.
•
Estruturas de superfícies (folhas): placas (lajes) e Chapas (paredes, vigas paredes).
As folhas são os elementos em que uma das dimensões é bastante menor que as outras
duas, a espessura é nitidamente menor que as dimensões da seção. As placas recebem
cargas normais ao seu plano e as chapas na direção de seu plano.
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•
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Estruturas de volume: Blocos de fundação, barragens de gravidade etc.
São os elementos tridimensionais em que as dimensões são de mesma ordem de
grandeza.
Para caracterizar os elementos veja alguns exemplos de dimensões usuais (em centímetros):
•
Reticuladas
Pilar de concreto: 15x15x300, viga de concreto: 12x40x400, Treliça: 2x4x120
•
Superfícies
Laje: 300x400x10, Parede: 300x260x12
•
Volumétricas
Bloco de fundação: 50x120x50
Vigas
Pórticos
Treliças
Grelhas
Vigas
Laje
Lajes
Parede, viga parede
Pilar
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1.2.2 Vinculações dos sistemas planos.
Sistema plano: todos os elementos são rigidamente vinculados a um plano, isto é, podem se
movimentar apenas nas direções contidas neste plano, e todas as forças, ativas e reativas são
aplicadas neste plano (isto é uma idealização, não existe na realidade).
Vamos esclarecer um pouco melhor os elementos estruturais para podermos relacioná-los:
•
Barra: tem a função estática de transmitir força e a função geométrica de determinar as
distâncias de seus pontos extremos.
•
Chapa: tem a função estática de transmitir qualquer esforço e a função geométrica de
determinar a posição relativa de vários de seus pontos.
•
Nó: é uma articulação em que são juntadas várias barras pelas suas extremidades;
•
Vínculos: são apoios e articulações pelos quais são unidas as chapas entre si ou, no caso
dos apoios, à “chapa terra”.
No sistema plano uma chapa tem 3 graus de liberdade, ou seja, pode se movimentar, se
deslocar de três formas: 2 translações (eixos x e y) e uma rotação. Os vínculos têm a função
de impedir os deslocamentos em uma determinada direção.
Veja a figura (a) abaixo, onde uma viga AB é solicitada por uma carga inclinada P no ponto
C. A carga P pode ser decomposta em suas componentes horizontais (Ph) e verticais (Pv)
aplicadas no ponto C. Na forma em que se apresenta, esta chapa é solicitada verticalmente, de
cima para baixo e, horizontalmente, da direita para a esquerda. Para que a chapa esteja em
equilíbrio são necessárias reações verticais e horizontais. Observe que o esquema proposto na
figura (b) equilibra apenas as forças horizontais e verticais e a chapa ainda pode girar no
sentido horário. As figuras (c) e (d) mostram a chapa em equilíbrio, sendo que em (c) o
equilíbrio é mostrado pelas “reações de apoio” e em (d) pelos símbolos que representam estas
reações de apoio.
Ph
P
A
C
Ph
RAh
Pv
P
C
B
RAv
a)
Ph
Pv
RAh
B
P
P
Pv
C
RAv
b)
Ph
RBv
c)
A
C
d)
Pv
B
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Para representar a vinculação de uma “chapa” à outra chapa, ou à “chapa terra” são usados
símbolos para representar as vinculações ou apoios. Na tabela abaixo os traços fortes ou as
zonas hachuradas e os traços finos as barras vinculares.
Nome do vínculo
Símbolo
Representação por
barras vinculares
Nº graus de mobilidade
retirados pelo vínculo
Apoio móvel
1
de 1º gênero
Apoio fixo
2
Articulação entre
2 chapas
(de 2º gênero)
Engastamento
fixo
3
Engastamento
móvel
2
Articulação
4
Entre
3 chapas
Articulação
Entre
n
1
_____
2 (n-1)
2
n chapas
O apoio móvel (1º gênero) impede apenas um deslocamento, no caso, o deslocamento
vertical e permite o deslocamento horizontal e rotação (giro) em torno do apoio.
O apoio fixo (2º gênero) impede dois deslocamentos, o vertical e o horizontal e permite a
rotação (giro) em torno do apoio
O engastamento (3º gênero - considera-se o fixo quando não for especificado) impede os
deslocamentos verticais e horizontais e a rotação (giro) em torno do apoio.
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1.2.3 Classificação das estruturas quanto ao equilíbrio estático.
a) Estruturas ISOSTÁTICAS
Todos os esforços internos e externos podem ser determinados com a aplicação das equações
de equilíbrio estático: Σ Fx = 0, Σ Fy = 0 e Σ M(i) = 0.
b) Estruturas HIPERESTÁTICAS
Quando não é possível a determinação de todos os esforços externos e internos apenas com a
aplicação das equações das equações de equilíbrio da Mecânica Geral recorre-se a equações
de compatibilidade das deformações.
Incógnitas hiperestáticas (ou redundantes): são os esforços externos ou internos que existem a
mais do que aqueles que podem ser determinados com as equações de equilíbrio.
Hiperestaticidade externa: é o número de reações de apoio superior a três.
Hiperestaticidade interna: é o número de incógnitas hiperestáticas supondo conhecidas
todas as reações. Ocorre em geral quando um conjunto de barras não todas articuladas entre
si, formam uma poligonal fechada.
Hiperestaticidade total: é a soma da externa mais a interna.
c) Estruturas HIPOSTÁTICAS
Quando o número de vínculos é insuficiente.
1.2.3.1 Graus de Estaticidade - Treliças
Uma estrutura composta de barras e nós (os vínculos podem ser representados por barras) é
uma treliça. Chamando de b o número de barras e n o número de nós (apoio móvel substituído
por uma barra e o fixo por duas) tem-se:
b < 2n
treliça indeterminada ou móvel
b = 2n
treliça isostática
b > 2n
treliça hiperestática
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A expressão b = 2n é necessária, mas não suficiente para a determinação geométrica de uma
treliça Existem “casos excepcionais” em que as treliças apresentam mobilidade apesar de
verificada a expressão b = 2n. Os casos mais simples de excepcionalidade podem ser
reconhecidos intuitivamente e os mais complexos, através do determinante dos coeficientes
do sistema de equações de equilíbrio ∆ = 0 (bastante trabalhoso).
a)
b)
c)
d)
Observe que são necessárias 3 vinculações de apoio, portanto, internamente → bint = 2n - 3
Barras de apoio - bap
Barras internas - bint
Número de nós - n
b-2n=
bap – 3 =
a)
3
7
5
10-2x5 = 0
(2+1) – 3 = 0
Isostática
b)
3
11
7
14-2x7 = 0
(2+1) – 3 = 0
Isostática
c)
4
19
10
23-2x10 = 3
(2+2) – 3 = 1
Hiper. ext. e int
d)
3
16
9
19-2x9 = 1
(2+1) – 3 = 1
Hiper. Int. 1 x
Observe que a treliça (d) é uma vez hiperestática internamente, ou seja, tem uma barra a mais.
Para que a treliça seja internamente determinada (isostática), vamos considerar uma treliça
base, sem os vínculos de apoio, composta por 3 barras e 3 nós. A este triângulo podemos
acrescentar outros nós, porém, sempre vinculados a duas barras. As treliças que formarmos
através deste processo serão internamente isostáticas. Veja a construção da treliça (d) abaixo.
F
8 9
1
A
3
4
B
2
D
5
C
12
6
7
E
11
10
Um nó com duas barras.
Como está é isostática.
H
13
15
14
Coloque a barra que falta e
I será 1 vez hiperestática
G
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1.2.3.2 Graus de Estaticidade - Chapas
Vigas e pórticos:
g e = NVA − 3
(NVA = Número de vínculos de apoio)
g e = NVA − 3 − ( NCLR − 1)
Quando houver rótulas internas
NCLR = Nº de chapas ligadas à rótula
NVA = 3, ge = 0
NVA = 4, ge = 1
NVA = 3, NCLR = 2 , ge = -1
Isostática
Hiperestática
Hipostática
NR = 3, ge = 0
NR = 3, ge = 0
NR = 4, ge = 1
Isostática
Isostática
Hiperestática
NVA = , NCLR =
_____stática
, ge =
NVA = , NCLR =
_____stática
, ge =
NVA = , NCLR =
_____stática
, ge =
NVA = , NCLR =
_____stática
, ge =
NVA = , NCLR =
_____stática
, ge =
Uma viga sobre duas colunas
Quais são as vinculações?
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Estruturas espaciais: Sistema tridimensional de eixos ortogonais
No sistema plano as entidades (forças, deslocamentos etc.) estão contidas neste plano. No
sistema espacial, dado por um sistema ortogonal x, y e z, as entidades podem atuar nas três
direções.
y
z
x
y
Sistema plano
x
Sistema espacial
No sistema tridimensional um ponto pode ter seis deslocamentos (seis graus de liberdade):
três translações (nas direções x, y e z) e três rotações (em torno os eixos x, y e z).
Na figura abaixo o pórtico espacial tem, entre outros, os seguintes tipos de apoios:
Articulação espacial (apoio fixo)
z
Apoio simples/fixo
x
Apoio simples espacial
Engaste espacial
y
Articulação espacial: impede as 3 translações e permite as 3 rotações:
GL = 3.
Apoio simples espacial: impede 1 translação e permite as 3 rotações:
GL = 4.
Apoio simples/fixo espacial: impede 2 translações e permite as 3 rotações:
GL = 5.
Engaste espacial: impede as 3 translações e as 3 rotações:
GL = 0.
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3.2 – Estruturas aporticadas
A maneira mais simples de se determinar o grau de hiperestaticidade de estruturas aporticadas
é a técnica da árvore. A árvore é uma estrutura em balanço, ou seja, engastada na terra
(engastamento dado através das raízes = três vínculos) e com galhos (barras) ligadas por nós
rígidos sem formar “anel”, isto é, sem fechar. Como a árvore é isostática, deve-se procurar
através de trocas e retiradas de vínculos transformar a estrutura em uma ou várias árvores
separadas.
Quando estiver formando um “anel”, há necessidade de abrir o anel através de um corte. Uma
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chapa ao ser cortada perde três barras vinculares, que transmitiam N, Q e M. Uma barra
interna articulada nas extremidades ou um tirante ao ser cortado perde apenas uma barra
vincular. Cada articulação para se transformar em nó rígido precisa receber mais uma barra
vincular.
Após transformar a estrutura em uma ou várias árvores, o número de barras vinculares
retiradas que não foram repostas para transformar as eventuais articulações em nós rígidos, é
o grau de hiperestaticidade. Externamente o grau de hiperestaticidade é o número de barras
vinculares que supera três.