PAR ORDENADO ..........................................................

Transcrição

PAR ORDENADO ........................................................................ 2
PRODUTO CARTESIANO ........................................................... 3
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA .................................................... 4
RELAÇÃO .................................................................................... 8
DOMÍNIO E IMAGEM ................................................................. 12
CONTRA-DOMÍNIO ................................................................... 13
RELAÇÃO INVERSA ................................................................. 17
PROPRIEDADES DA RELAÇÃO INVERSA .............................. 18
FUNÇÕES .................................................................................. 22
IMAGEM DE UMA FUNÇÃO ...................................................... 27
DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO..................................................... 34
DETERMIAÇÃO DO DOMÍNIO .................................................. 34
GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO .................................................... 37
FUNÇÃO CONSTANTE ............................................................. 43
RESPOSTAS ............................................................................. 44
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA ................................................ 51
No final das séries de exercícios podem aparecer
sugestões de atividades complementares. Estas
sugestões referem-se a exercícios do livro “Matemática”
de Manoel Paiva fornecido pelo FNDE e adotado pelo
IFMG – Campus Ouro Preto durante o triênio 2015-2017.
Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem
ao volume 1.
MATEMÁTICA I
1
RELAÇÕES e FUNÇÕES
PAR ORDENADO
que (7, 3) e (3, 7) são
ORDENADOS diferentes.
Chama-se par todo conjunto formado
por dois elementos. Assim, {1; 2}, {7, -3} ou
{a, b} indicam pares. Lembrando o conceito de
igualdade de conjuntos, observamos que
inverter os elementos não gera um par
diferente, assim, temos:
{1, 2} = {2, 1}
dois
PARES
Ex.2: No sistema de equações
x  y  3

x  y  1
𝑥 = 2 e 𝑦 = 1 é a solução ao passo que
𝑥 = 1 e 𝑦 = 2 não é solução.
{7, −3} = {−3. 7}
Se representássemos por um conjunto,
teríamos: { 2, 1} é solução e {1, 2} não seria
solução e aí há uma contradição pois
{2, 1} = {1, 2}. Por causa disso, dizemos que a
solução é o PAR ORDENADO (2, 1) em que
fica subentendido que o primeiro valor se
refere à incógnita x e o segundo é referente à
incógnita y.
{𝑎, 𝑏} = {𝑏, 𝑎}
Em matemática, existem situações em
que há a necessidade de distinguir dois pares
pela ordem de seus elementos.
Admitiremos a noção de PAR
ORDENADO
como
conceito
primitivo.
Podemos formar a idéia de par ordenado,
imaginando-o como um conjunto de dois
elementos considerando-os numa dada
ordem. Para lembrar que a ordem está sendo
considerada, na representação do par
ordenado, utilizamos parênteses e não chaves
como nos conjuntos em geral e para cada
elemento 𝑎 e cada elemento 𝑏, admitiremos a
existência de um terceiro elemento (𝑎, 𝑏) que
denominamos par ordenado, de modo que se
tenha:
Ex.1: Imaginemos que o time de futebol da
escola será formada por 10 atletas (titulares e
reservas) escolhidos entre os alunos do 1º e 2º
anos. Podemos indicar a quantidade de alunos
escolhidos de cada série no seguinte
esquema: anotamos entre parênteses primeiro
o número de alunos selecionados no 1º ano e
depois o do 2º ano.
(𝑎, 𝑏) = (𝑐, 𝑑)  𝑎 = 𝑐 𝑒 𝑏 = 𝑑
Então (3, 7) indicará que foram
escolhidos 3 alunos do 1ºano e 7 do 2º ano e
(7, 3) nos dirá que 7 alunos são do 1º ano e 3
são oriundos do 3º ano. (5, 5) indicaria, por
exemplo, que foram escolhidos 5 alunos de
cada série, etc.
Ou seja, impomos que dois pares
ordenados são iguais se, e somente se,
tiverem os primeiros termos iguais entre si e os
segundos termos também iguais entre si.
Veja, a seguir, alguns exemplos:
Observamos, neste caso, que (3, 7) e
(7, 3) representam dois modos diferentes de
selecionar os alunos para o time de futebol. Em
(7, 3) e (3, 7) temos as mesmas quantidades,
porém em ordens diferentes. Por isso, dizemos
CÁSSIO VIDIGAL
2
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
O conjunto formado pelos pares
ordenados obtidos é denominado PRODUTO
CARTESIANO DE A POR B e o indicamos por
𝐴 𝑥 𝐵 onde lemos “A cartesiano B”. Desta
forma, temos então:
Ex.1: (𝑎, 𝑏) = (3, 7)  𝑎 = 3 𝑒 𝑏 = 7
Ex.2: (𝑎, 𝑏) = (7, 3)  𝑎 = 7 𝑒 𝑏 = 3
Ex.3: (𝑎, 𝑏) = (5, 5)  𝑎 = 5 𝑒 𝑏 = 5
Note que em um
podemos ter termos iguais.
par
A x B = {(1,1); (1, 2); (1 ,3); (1 ,4);(2 ,1); (2 ,2);
(2 ,3); (2 ,4); (3 ,1); (3 ,2); (3 ,3); (3 , 4)}
ordenado,
De forma genérica, o produto cartesiano
de dois conjuntos 𝐴 e 𝐵 é o conjunto 𝐴 𝑥 𝐵
formado pelos pares ordenados que trazem o
primeiro elemento extraído de 𝐴 e o segundo
de 𝐵 ou:
PRODUTO CARTESIANO
Dados os conjuntos 𝐴 = {1, 2, 3} e
𝐵 = {1, 2, 3, 4}, vamos formar os pares
ordenados que têm o primeiro elemento em 𝐴
e o segundo elemento em 𝐵. Observe o
esquema em que cada flecha representa um
par:
𝑨 𝒙 𝑩 = {(𝒙, 𝒚) | 𝒙  𝑨 𝒆 𝒚  𝑩}
(Lemos: A cartesiano B é igual ao conjunto formado por pares
ordenados x, y tal que x pertence a A e y pertence a B)
Observações:
1. Se 𝐴  𝐵 então 𝐴 𝑥 𝐵  𝐵 𝑥 𝐴, ou seja, o
produto cartesiano não é comutativo
2. Se 𝐴 e 𝐵 são conjuntos finitos com 𝑚 e
𝑛 elementos respectivamente, então
𝐴 𝑥 𝐵 é um conjunto finito com 𝑚 ∙ 𝑛
elementos
3. Se 𝐴 ou 𝐵 for infinito e nenhum dos dois
for vazio, então 𝐴 𝑥 𝐵 é um conjunto
infinito.
Veja a mesma formação, agora numa tabela:
Ex.1: Dados
determinar:
a) A X B
c) A2
𝐴 = {𝑎, 𝑒, 𝑖}
e
𝐵 = {𝑝, 𝑞},
b) B X A
d) B2
Solução:
a)
A X B = {(a, p); (a, q); (e, p); (e, q);
(i, p); (i, q)}
MATEMÁTICA I
3
b)
B X A = {(p, a); (p, e); (p, i); (q, a);
(q, e); (q, i)}
c)
A2 = A X A = {(a, a); (a, e); (a, i);
(e, a); (e, e); (e, i); (i, a); (i, e); (i, i)}
d) B2 = B X B = {(p, p); (p, q); (q, p);
(q, q)}.
Ex.2: Se A tem 4 elementos e B tem 9
elementos, quantos elementos tem:
a) A X B
b) B X A
c) A2
d) B2
No plano cartesiano acima, temos:



Solução:
a) 4  9  36 elementos.
b) 9  4  36 elementos.
c) 4  4  16 elementos.
d) 9  9  81 elementos.
________________________


REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
A cada par de números reais fazemos
corresponder um único ponto do plano e a
cada ponto do plano, fazemos corresponder
um único par ordenado de números reais. Essa
correspondência é denominada de Sistema de
Coordenadas Cartesianas Ortogonais (ou
simplesmente
Sistema
Cartesiano
Ortogonal). Ortogonal porque os eixos
formam entre si um ângulo de 90º e Cartesiano
é homenagem à René Descartes, um
matemático considerado o “pai da filosofia
moderna”
Pares ordenados de números reais
podem ser representados por pontos em um
plano chamado de PLANO CARESIANO.
O Plano Cartesiano é determinado por
duas retas orientadas perpendiculares num
ponto chamado de origem. Cada ponto deste
plano será associado à um par ordenado (𝑎, 𝑏)
de números reais da seguinte forma:
1. Sobre a reta horizontal, chamada de eixo
𝑂𝑋, marcamos o ponto referente ao
número 𝑎.
2. Traçamos a reta 𝑦’ paralela à reta 𝑦
passando por 𝑎.
3. Sobre a reta vertical, chamada de eixo
𝑂𝑌, marcamos o ponto referente ao
número 𝑏.
4. Traçamos a reta 𝑥’ paralela à reta 𝑥
passando por 𝑏.
5. O encontro entre 𝑥’ e 𝑦’ será o afixo do
ponto 𝑃 de coordenadas (𝑎, 𝑏).
CÁSSIO VIDIGAL
O número 𝑎 é a abscissa do ponto 𝑃.
O número 𝑏 é a ordenada do ponto 𝑃.
O eixo 𝑂𝑋 é chamado de eixo das
abscissas.
O eixo 𝑂𝑌 é chamado de eixo das
ordenadas.
O ponto 𝑂 é a origem e tem
coordenadas (𝟎, 𝟎).
Ex.: 1
Veja no plano cartesiano a seguir a localização
de cada dos pontos abaixo:
A (2, 4)
B (-2, 3)
C (-3, -3)
D (1, -2)
E (4, 0)
F (0, 5)
G (-2, 0)
H (0, -4)
4
Ex.2: Consideremos os conjuntos A = {1, 2, 3}
e B = {1, 2, 3, 4}. Faça A x B e a seguir
represente os pares ordenados num sistema
cartesiano ortogonal.
1) Represente corretamente no
cartesiano abaixo, cada um dos
ordenados a seguir:
Solução
A x B = {(1,1); (1, 2); (1 ,3); (1 ,4);(2 ,1); (2 ,2);
(2 ,3); (2 ,4); (3 ,1); (3 ,2); (3 ,3);
(3 , 4)}
MATEMÁTICA I
A (1, 1)
B (3, 2)
C (-4, 5)
5
D (-3, -2)
E (1, -4)
F (0, 5)
plano
pares
G (0, -2)
H (3, 0)
J (-4, 0)
2) Determine as coordenadas de cada dos
pontos marcados no sistema abaixo.
A
B
C
D
E
F
G
H
4) Sendo A = {1. 2. 3. 4. 5} e
B = {3, 4, 5, 7}. Represente num
sistema ortogonal o conjunto A x B.
J
3) Assim como na questão 160, localize os seis
pontos abaixo no plano cartesiano.
5
12 

 47
L  3; 
P  ; - 
3
5 

 10
M  0,5; 4 
Q 0; 10
N

3; -


___________________
Também
podemos
representar
graficamente produtos cartesianos formados a
partir de conjuntos determinados por
intervalos.

 9 3
R  ;

 3 2
Ex.1: Sendo 𝐴 = {𝑥  ℝ | 1 < 𝑥  6 } e
𝐵 = {𝑦  ℝ | 2  𝑦  5 },
representar
graficamente 𝐴 𝑥 𝐵.
CÁSSIO VIDIGAL
6
Ex.2:
Sendo
𝐴 = {𝑥  ℝ | 1  𝑥  4 }
e
𝐵 = {𝑦  ℝ | 𝑦 = 2 },
representar
b) B x A
Ex.3:
Sendo
𝐴 = {𝑥  ℝ | 1  𝑥  4 }
e
𝐵 = {𝑦  ℝ | 2  𝑦  4 },
representar
c) A x A
5) Sendo A = {x   | 1  x  6 } e
B = {x   | -2  x < 3 }, representar
graficamente:
a) A x B.
MATEMÁTICA I
7
RELAÇÃO
Quando começamos a falar de produto
cartesiano, citamos dois conjuntos, 𝐴 e 𝐵 e
formamos 𝐴 𝑥 𝐵.
Dados os conjuntos 𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5} e
𝐵 = {1, 3, 5, 7, 9}, determinar as relações de A
em B:
a) S = {(x, y)  A x B | x + y = 6}
b) M = {(x, y)  A x B | xy  6}
Naquele
exemplo,
tínhamos
𝐴 = {1, 2, 3} e 𝐵 = {1, 2, 3, 4} e o 𝐴 𝑥 𝐵
apresentava 12 elementos.
Solução:
Em a), a relação S é formada pelos pares
ordenados (x, y) onde x  A e y  B, com a
soma dos termos x + y = 6. Estes pares são
(1, 5), (3, 3) e (5, 1), então,
S = {(1, 5), (3, 3), (5, 1)}
Destes 12 elementos, vamos formar
agora o conjunto R dos pares ordenados que
têm o primeiro termo em A e o segundo termo
em B tais que o 1º termo é menor que o 2º.
Veja no diagrama a seguir como ficaria
este conjunto.
Pares com soma igual a 6
Em b), a relação M é formada pelos pares
ordenados (x, y) onde x  A e y  B, com o
produto dos termo menor ou igual a 6. Nesta
condição, os pares são (1, 1), (1, 3), (1, 5), (2,
1), (2, 3), (3, 1), (4, 1) e (5, 1) então,
𝑅 = {(1, 2); (1, 3); (1, 4);
(2, 3); (2, 4); (3, 4)}
M = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 1),
(2, 3), (3, 1), (4, 1), (5, 1)}
Este conjunto R, que é um subconjunto
de 𝐴 𝑥 𝐵, é exemplo de uma relação de 𝐴 em
𝐵.
De modo geral, denominamos relação
de 𝐴 em 𝐵 a todo subconjunto de 𝐴 𝑥 𝐵.
R é relação de A em B  R  A x B
Veja, agora, outros exemplos que
ilustram relações.
Pares com produto menor ou igual a 6
CÁSSIO VIDIGAL
8
d) 𝐵 2
7) Determine 𝐴 𝑥 𝐵 e 𝐵 𝑥 𝐴 em cada caso
abaixo:
a) 𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5} 𝑒 𝐵 = {9}
𝐴𝑥𝐵 =
𝐵𝑥𝐴 =
6) Dados 𝐴 = {1, 2, 3} e 𝐵 = {4, 5}, forme
todos os pares ordenados de:
a) 𝐴 𝑥 𝐵
b) 𝐴 = {5} 𝑒 𝐵 = {7}
𝐴𝑥𝐵 =
b) 𝐵 𝑋 𝐴
𝐵𝑥𝐴 =
c) 𝐴2
MATEMÁTICA I
9
c) 𝐴 = {4, 8, 12} 𝑒 𝐵 = Ø
𝐴𝑥𝐵 =
9)
Dados
𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
e
𝐵 = {2, 4, 6, 8, 10}, forme as seguintes
relações:
a) 𝐾 = {(𝑥, 𝑦)  𝐴 𝑥 𝐵 | 𝑥 + 𝑦 = 12}
𝐵𝑥𝐴 =
b) 𝐿 = {(𝑥, 𝑦)  𝐴 𝑥 𝐵 | 𝑥 + 𝑦  15}
8) Se um conjunto A tem 5 elementos e B tem
10 elementos:
a) quantos elementos tem 𝐴 𝑥 𝐵?
c) 𝑀 = {(𝑥, 𝑦)  𝐴 𝑥 𝐵 | 𝑥 + 𝑦 < 8}
b) quantos elementos tem 𝐵 𝑥 𝐴?
10) Dados 𝐴 = {3, 6, 9, 12} e 𝐵 = {1, 3, 5, 7, 9},
determine
𝑇 = = {(𝑥, 𝑦)  𝐴 𝑥 𝐵 | 𝑥 2 + 𝑦 2 < 50}
c) Os conjuntos 𝐴 𝑥 𝐵 e 𝐵 𝑥 𝐴 são iguais?
Justifique.
CÁSSIO VIDIGAL
10
11) Sabendo que {(1, 2), (4, 2)}  𝐴2 e
𝑛(𝐴2 ) = 9, represente, pelos elementos, o
conjunto 𝐴2 .
13) Considerando
𝐴  𝐵, {(0, 5), (−1, 2), (2, −1)}  𝐴 𝑥 𝐵
e 𝑛(𝐴 𝑥 𝐵) = 12, represente 𝐴 𝑥 𝐵 pelos seus
elementos.
(Veja a resolução desta questão nas respostas)
12) Se {(1, −2), (3, 0)}  𝐴2 e 𝑛(𝐴2 ) = 16,
então represente 𝐴2 pelos seus elementos.
14) Sendo A = {x  ℤ | − 2 < x  4} e B o
conjunto dos múltiplos de 3 compreendidos
entre 7 e 35, quantos elementos tem 𝐴 𝑥 𝐵?
MATEMÁTICA I
11
DOMÍNIO E IMAGEM
15) Dado o conjunto 𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5, 6},
enumere os pares ordenados e construa o
plano cartesiano da relação R de A em A dada
por 𝑅 = { (𝑥, 𝑦)  𝐴2 | 𝑚𝑑𝑐 (𝑥, 𝑦) = 2 }.
Seja R uma relação de A em B que, a
partir de agora representaremos R: A  B.
Chamamos de DOMÍNIO de R o conjunto
formado por todos os primeiros elementos dos
pares ordenados pertencentes à relação R. O
domínio de uma relação será representado por
D, assim,
x  D  y, y  B | x, y  R
(Lemos: x é parte do domínio se, e somente
se existe y pertencente a B tal que o par
ordenado x, y pertence à relação R)
Chamamos de IMAGEM de R o conjunto
de todos os segundos elementos dos pares
ordenados (x, y) pertencentes a R. A imagem
será representada por Im e é sempre um subconjunto de B.
16) Dado o conjunto 𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5, 6},
enumere os pares ordenados e construa o
plano cartesiano da relação R de A em A dada
por 𝑅 = { (𝑥, 𝑦)  𝐴2 | 𝑠ã𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑠𝑖 }.
y  Im  x, x  A | x, y   R
(Lemos: y é parte da imagem se, e somente
se, existe x pertencente a A tal que o par
ordenado (x, y) pertence à relação R)
Em outras palavras, podemos dizer que
o domínio é formado por todos os valores que
x assume e a imagem são os valores admitidos
por y.
Quando representado pelo diagrama de
Venn, o domínio é o conjunto formados
pelos elementos de onde saem as flechas e
a imagem é o conjunto dos elementos que
recebem flecha.
Veja, a seguir, alguns exemplos:
CÁSSIO VIDIGAL
12
CONTRA-DOMÍNIO
Numa relação 𝑅: 𝐴 → 𝐵 dada por
R = {(x, y)|(x, y) ∈ A × B}, o conjunto B é
chamado de contra-domínio. Em outras
palavras, o contra-domínio é o conjunto
formado por todos os valores que y pode
assumir.
Ex. 1: Seja A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} e
B = { -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Consideremos
R: A  B como uma relação que associa cada
elemento de A à sua metade em B.
Observe a figura:
17) Determine Domínio e Imagem de cada uma
das relações abaixo:
a) 𝐴 = {(1; 1), (1; 3), (2; 4)}
D=
Im =
Os elementos destacados no conjunto A
formam o domínio e os elementos destacados
no conjunto B, formam a imagem.
b) 𝐵 = {(−2; 4), (−1; 1), (3; −7), (2; 1)}
Note que, assim, o domínio é um subconjunto de A e a imagem é um sub-conjunto
de B.
D=
Im =
Ex.2: Seja A = {𝑥 ∈ ℝ| − 3 < 𝑥 ≤ 4} e
𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ | 1 ≤ 𝑥 < 3}, qual o domínio e
imagem da relação
R = {(x, y) ∈ A × B|y = x − 1}
c) 𝐶 = {(2; 1), (1; −3), (5; √2)}
Resolução:
D=
Im =
d) 𝐷 = {(1 + √2; √2;
2 ), (1 − √3; 1)}
D=
Im =
MATEMÁTICA I
13
1
5
b) R = {(x, y) A × B | x 2 = y}
3
e) 𝐸 = {(3; 2), (2 ; −1), (2 ; 0)}
D=
Im =
18) Em cada uma das relações de A em B
abaixo, pede-se:
I) Enumerar os pares ordenados que formam
as relações.
II) Representar por meio de diagrama de Venn
e flechas.
III) Fazer a representação no plano cartesiano.
IV) Estabelecer Imagem.
V) Estabelecer Domínio.
Para tal, considere 𝐴 = {−2, −1, 0, 1, 2} e
𝐵 = {−3, −2, −1, 1, 2, 3, 4}.
D=
a) R = {(x, y)  A × B | x + y = 2}
Im =
c) R = {(x, y)  A × B | x =  y}
D=
D=
Im =
Im =
CÁSSIO VIDIGAL
14
d) R = {(x, y)  A × B | x + y > 2}
19) Dado o conjunto A = {1; 2; 3; 4; 5; 6},
enumere os pares ordenados, construa o
gráfico cartesiano e determine a imagem da
relação R: A  A onde:
a) R = {(x; y) | mdc(x, y) = 2}
D=
Im =
Im =
e) R = {(x, y)  A × B | (x – y)2 = 1}
b) R = {(x; y) | x e y são primos entre si}
Im =
D=
Im =
MATEMÁTICA I
15
20) Se R é a relação binária de A em B tal que
A = { x  ℝ | 1  x  6} e B = { y  ℝ | 1  y  4}
definida por R = {(x; y)  A x B | x = 2y},
pede-se
21) Se R e S são relações binárias de A em B
sendo 𝐴 = {𝑥 ℤ | − 2  𝑥  5} e
B = { xℤ| − 2  x  3} definidas por
R = {(x; y) | 2 divide x – y} e
S = {(x; y) | (x – 1)2 = (y – 2)2 }, pede-se:
a) A representação cartesiana de A X B.
a) As representações cartesianas de R e S.
b) A representação cartesiana de R.
c) Domínio e imagem de R
CÁSSIO VIDIGAL
16
b) Domínio e Imagem de R e S.
Ex.1: Se A = {2; 3; 4; 5} e B = {1; 3; 5; 7}, quais
são os elementos de R e R-1 sabendo que
R = {(x; y)  A x B | x < y}
Solução:
c) R  S.
___________________
RELAÇÃO INVERSA
Dada uma relação binária R de A em B,
consideremos o conjunto
R−1 = {(y, x)  B x A | (x, y)  R}
Como R-1 é um subconjunto de B x A, então
R-1 é uma relação binária de B em A à qual
daremos o nome de relação inversa de R.
Observando
os
diagramas,
podemos
descrever os pares ordenados.
𝑅 = {(2; 3), (2; 5), (2; 7), (3; 5),
(3; 7), (4; 7), (5; 7)}
𝑅 −1 = {(3; 2), (5; 2), (7; 2), (5; 3),
(7; 3), (7; 4), (7; 5)}
(y, x)  R−1  (x, y)  R
Decorre desta definição que R-1 é o
conjunto dos pares ordenados obtidos a partir
dos pares ordenados de R invertendo-se a
ordem dos termos de cada par.
MATEMÁTICA I
17
Ex.2:
𝑆𝑒 𝐴 = { 𝑥  ℝ | 1  𝑥  4}
e
𝐵 = { 𝑦  ℝ | 2  𝑥  8}, representar no plano
cartesiano as relações R e R-1 sendo
R = { (x; y)  A x B | y = 2x}.
22) Enumerar os elementos de R-1, relação
inversa de R, nos seguintes casos:
a) R = {(1; 3), (3; 1), (2; 3)}
b) R = {(1; -1), (2; -1), (3; -1), (-2; 1)}
PROPRIEDADES DA RELAÇÃO
INVERSA
As seguintes propriedades da relação inversa
são evidentes e podemos percebe-las
simplesmente observando os dois exemplos
anteriores.
c) R = {(-3; -2), (1; 3), (-2; -3), (3; 1)}
P1:
A imagem de uma relação é o domínio de sua
inversa.
P2:
O domínio de uma relação é a imagem de sua
inversa.
P3:
(R-1)-1 = R
CÁSSIO VIDIGAL
18
c) R = {(x; y)  A2 | y = (x – 3)2 + 1}
23) Enumerar os elementos e esboçar os
gráficos de R e R-1, relações binárias de
A = { x  ℕ | x  10 }.
(Dica: faça R e R-1 no mesmo plano usando cores distintas)
a) R = {(x; y)  A2 | x + y = 8}
d) R = {(x; y)  A2 | y = 2x }
b) R = {(x; y)  A2 | x + 2y = 10}
MATEMÁTICA I
19
24) A = {x  ℝ | 1  x  6 } e
B = {y  ℝ | 2  y  10 }.
c) R = {(x; y)  A x B | y = x + 2 }
Dados os conjuntos A e B acima e as relações
R a seguir, pede-se o gráfico cartesiano
dessas relações e das respectivas relações
inversas.
a) R = {(x; y)  A x B | x = y }
d) R = {(x; y)  A x B | x + y =7 }
b) R = {(x; y)  A x B | y = 2x }
25) Considere a relação R: ℤ → ℤ
𝑅 = { (𝑥; 𝑦)  ℤ2 | | 𝑥 | + | 𝑦 | = 3}
Escreva:
a) Im (R)
CÁSSIO VIDIGAL
20
b) D (R)
b) D (R)
c) Nesta relação existe algum elemento do
domínio que não possui imagem? E existe
algum elemento que possui mais de uma
imagem?
c) Nesta relação, existe algum elemento do
domínio que não possui imagem? E existe
algum elemento que possui mais de uma
imagem?
d) Faça a representação cartesiana desta
relação.
d) Faça a representação cartesiana desta
relação.
26) Vamos responder as mesmas perguntas
propostas na questão anterior, agora para a
relação
R = { (x; y)  2| y = x2}
Escreva:
a) Im (R)
MATEMÁTICA I
21
FUNÇÕES
Vamos
considerar
os
conjuntos
A = {0, 1, 2, 3} e B = { -1, 0, 1, 2, 3} e as
seguintes relações binárias:
R = {(x; y)  A x B | y = x + 1}
S = {(x; y)  A x B | y2 = x2}
T = {(x; y)  A x B | y = x}
V = {(x; y)  A x B | y = (x -1)2 -1}
W = {(x; y)  A x B | y = s}
Dados dois conjuntos não vazios A e B*,
uma relação f de A em B recebe a
denominação de função de A em B se, e
somente para todo x  A existe um único
(𝑥, 𝑦)  𝑓.
f é uma função de A em B

( x  A,  y  B | (x; y)  f)
Começaremos pela relação R:
É importante notar que:
 Todo elemento de A deve ser associado a
um elemento de B;
 Para um dado elemento de A associamos um
único elemento de B.
Usando o conceito de domínio e
imagem que já estudamos em relações,
podemos dizer também, que:
Desta forma temos:
R = { (0; 1), (1; 2), (2; 3) }
f : A B é uma função se todo
elemento do domínio possui somente
uma imagem.
Para cada elemento x  A com exceção
do
3,
existe
um
só
elemento
y  B tal que (x; y)  R.
Para o elemento 3  A, não existe y  B
tal que (3; y)  R.
Veja, a seguir, alguns exemplos que
ilustram relações de A em B. Note que algumas
delas expressam função e outras não.
Neste caso, como existe elemento de A
que não possui imagem, R NÃO é uma função
de A em B.
Em todo nosso estudo de funções, fica estabelecido
que A e B são conjuntos formados por números reais, ou
seja, A e B estão contidos em ℝ.
*
CÁSSIO VIDIGAL
22
Vejamos agora a relação S que associa
x e y em pares de números que possuem o
mesmo quadrado.
Veja a relação V agora:
V = { (0; 0), (1; -1), (2; 0), (3; 3) }
S = { (0; 0), (1; -1), (1; 1), (2; 2), (3; 3)}
Para todo elemento x  A sem exceção,
existe um só elemento y  B tal que (x; y)  V.
Para cada elemento x  A, com exceção
do 1, existe um só elemento y  B tal que
(x; y)  S.
Então S É UMA FUNÇÃO de A em B.
Vamos encerrar esta série com a
relação W.:
Para o elemento 1, existem dois
elementos de B, o 1 e o -1, tais que (1, -1)  S
e (1, 1)  S.
Assim, S NÃO é uma função pois existe
elemento do domínio que possui mais de uma
imagem.
Agora, a relação T:
W = { (0; 2), (1; 2), (2; 2), (3; 2) }
existe um só elemento y  B tal que (x; y)  W.
Então W É UMA FUNÇÃO de A em B.
T = { (0; 0), (1; 1), (2; 2), )3; 3) }
Estas três últimas relações: T, V e W
que apresentam a particularidade: “Para todo
elemento x  A sem exceção, existe um só
elemento y  B tal que (x; y) pertence à
relação”, logo são funções de A em B.
existe um só elemento y  B tal que (x; y)  T.
Então T É UMA FUNÇÃO de A em B.
MATEMÁTICA I
23
Quando analisamos uma relação a partir
da representação por diagrama de flechas em
dois conjuntos A e B, devemos observar duas
condições para que a relação de A em B seja
uma função de A em B:
c)
Função?
1. Deve sair flecha de TODOS os
elementos de A.
Justifique:
2. Deve sair apenas uma flecha de
cada elemento de A.
Estas duas condições apenas afirmam o
que foi dito no início da página 22 desta
apostila. Lá está afirmando que f: A  B é uma
função se todo elemento de A possui uma
(condição 1) e somente uma (condição 2)
imagem.
d)
Função?
Justifique:
Vamos identificar, nos diagramas a
seguir, onde está e onde não está
representada uma função de A em B
justificando, quando for o caso.
e)
Função?
a)
Função?
Justifique:
Justifique:
f)
Função?
b)
Função?
Justifique:
Justifique:
CÁSSIO VIDIGAL
24
b) A = [-2; 2] e B = 
Função?
Justifique:
c) A = [0; 4] e B = 
Função?
Justifique:
Podemos verificar também se uma
relação é ou não função a partir de sua
representação gráfica.
Para tal, basta verificarmos se todas as
retas paralelas ao eixo das ordenadas que
podemos traçar dentro do domínio da relação
toca o gráfico em um e somente um ponto, veja
nos exemplos que seguem.
______________________
EXEMPLOS COMPLEMENTARES
Ver R.6 e R7 das Páginas 123 e 124
______________________
Vamos identificar, nos gráficos a seguir,
onde está e onde não está representada uma
função de A em B ficando atentos para o
domínio determinado e justificando, quando for
o caso.
Função?
a) A = [-1; 2] e B = 
27) Assim como foi feito no exemplo da página
24, identifique cada uma das relações de A em
B abaixo, apresentadas sob forma de
diagrama, como função ou não e a seguir,
justifique.
a)
Justifique:
MATEMÁTICA I
25
b)
f)
c)
28) Dentre os gráficos abaixo, identifique
aqueles que apresentam ou não apresentam
função justificando sua resposta ficando
sempre atento ao domínio dado.
a)D = [1; 4]
d)
b) D = [-4; 3]
e)
c) D = [-7; 7]
CÁSSIO VIDIGAL
26
d) D = [-4; 4]
h) D =
e) D =
IMAGEM DE UMA FUNÇÃO
Dada uma função f: A  B sendo
f = {(x, y)  A x B}, assim como vimos nas
relações, os valores que a ordenada y admite,
formam o conjunto chamado IMAGEM.
Veja, nos dois exemplos a seguir, a
determinação da imagem de uma função.
f) D =
Ex.: Dado A = {1, 2, 3, 4}, consideremos a
função f: A  definida por f(x) = 2x, temos:
Para x = 1,
Para x = 2,
Para x = 3,
Para x = 4,
f 1  2  1  2
f 2  2  2  4
f 3  2  3  6
f 4  2  4  8
g) D =
A imagem desta função é
Im(f) = {2; 4; 6; 8}
MATEMÁTICA I
27
Ex.: Determinar a imagem da função f: D  ℝ
definida por f(x) = x3 – x + 10, sendo
D = { -2; -1; 0; 1; 2}.
29) Determine o conjunto imagem em cada
uma das funções a seguir apresentadas sob
forma de diagrama de flechas.
a)
Para x = -2
3
f  2   2   2  10  8  2  10  4
Para x = -1
3
f  1   1   1  10  1 1 10  10
Para x = 0
3
f 0  0  0  10  0  0  10  10
Para x = 1
3
f 1  1  1  10  1 1 10  10
Para x = 2
3
f 2  2  2  10  8  2  10  16
b)
Logo, Im(f) = {4; 10; 16}
Observe que três elementos do domínio
(-1, 0 e 1) possuem a mesma imagem (10). Isto
é permitido no conceito de função, pois ele
exige que cada elemento do domínio tenha
somente uma imagem. Nada impede que um
mesmo elemento do contra-domínio tenha
mais de uma contra-imagem.
c)
Lembre-se que, para que f: A  B seja
uma função o que não pode ocorrer é um dado
elemento de A não ter imagem ou ter mais de
uma imagem.
CÁSSIO VIDIGAL
28
30) Sendo f: A  , uma função definida por
f(x) = 3x2 + 1, determine a imagem de f
sabendo que
2


A  5;  5; ; 3 ; 3  1
3


c) f
 2

d) f 1  2

31) Seja f:

a função definida por
2
f x   2
. Calcule:
x 1
a) f  1
1
1

, qual é o valor de
x x 1
f(1) + f(2) + f(3)?
32) Se f x  
 1
b) f  
2
MATEMÁTICA I
29
34) Na função f:

definida por
f(x) = 7x – 3, para que valor de x tem-se
f(x) = 18?
33) Determine a imagem de cada função:
1
a) f: A  dada por f x   x  e
x
1
1


A   ; ; 1; 2; 3
3 2

35) Na função f:

definida por
f(x) = x2 – 2x, para que valor de x tem-se
f(x) = 3? E f(x) = 0?
b) f: D 
dada por f x   x  1  1 e
D   2;  1; 0; 1; 2
CÁSSIO VIDIGAL
30
37) Dada f x  x  1 , calcule o valor de x
para o qual se tem f(x) = 2.
x 1
tem
2x  1
imagem Im(f) = {-3; -1; 1; 3; 5}. Qual o domínio
de x?
36) Uma função definida por f x  
______________________
ATIVIDADES COMPLEMENTARES
Pág. 123 – Exercícios 17 a 22
______________________
Imagem a partir de um Gráfico
Para determinar a imagem de uma
função a partir do seu gráfico, devemos
observar quais são os valores do eixo vertical
que possuem uma contra-imagem no eixo OX.
De forma prática, entretanto, basta
traçar-mos retas horizontais. Todas aquelas
que tocarem o gráfico em pelo menos um
ponto determinam, no eixo OY a imagem.
Veja nos exemplos a seguir.
Vamos determinar a imagem de cada uma das
funções abaixo apresentadas pelos seus
gráficos.
a)
Im = [a; b]
MATEMÁTICA I
31
b)
38) Seguem 12 gráficos montados em uma
malha quadriculada. Sabendo que cada
quadrinho representa uma unidade, determine
a imagem da função em cada caso.
a)
Im = [a; b]
c)
b)
Im = [a; b[ - {0}
d)
Im = [-2; 0[  ]1; 3[
c)
e)
Im = {1; 3}
CÁSSIO VIDIGAL
32
d)
g)
e)
h)
f)
i)
MATEMÁTICA I
33
j)
DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO
Considerando que toda função de A em
B é uma relação binária então f tem uma
imagem, como já vimos, e também um
domínio.
Chamamos de domínio o conjunto D dos
elementos x  A para os quais existe y  B tal
que (x; y)  f. Como pela definição de função,
todo elemento de A tem essa propriedades,
temos, nas funções:
Domínio = conjunto de partida
É importante ressaltar que os elementos
que formam o domínio são aqueles assumidos
pela abscissa, desta forma, no plano
cartesiano, o domínio são os valores neste eixo
(eixo horizontal).
k)
DETERMIAÇÃO DO DOMÍNIO
Tomemos
algumas
determinemos o seu domínio:
funções
e
Ex.1: 𝑓(𝑥) = 2𝑥
Notemos que 2𝑥  ℝ para todo 𝑥  ℝ, temos,
então D = ℝ
l)
Ex.2: 𝑓(𝑥) = 𝑥 2
Notemos que x2  ℝ para todo x  ℝ, temos,
então D = ℝ
Ex.3: f x  
1
x
1
 ℝ se, e somente se, x é real
x
diferente de zero, temos, então, D = ℝ∗ .
Notemos que
CÁSSIO VIDIGAL
34
d) f x   x  1
Ex.4: f x   x
Notemos que x  ℝ se, e somente se, x é
real e não negativo, então D = ℝ+
Ex.: 5 f x   3 x
Notando que
então, D = ℝ
3
x  ℝ para todo x  ℝ, temos,
e) f x  
1
x 1
39) Determine o domínio de cada uma das
funções reais a seguir:
a) f x   3x  2
b) f x  
c) f x  
1
x2
f) f x  
x2
x2
x 1
x2  4
g) f x   3 2x  1
MATEMÁTICA I
35
h) f x  
3
1
2x  3
Ex.1:
D = [a; b]
Ex.: 2
i) f x  
3
x2
x3
D = [a; b]
Ex.: 3
Domínio a partir de um Gráfico
Para determinar o domínio de uma
função a partir do seu gráfico, devemos
observar quais são os valores do eixo
horizontal que possuem uma imagem no eixo
OY.
D=
Ex.: 4
De forma prática, entretanto, basta
traçar-mos retas verticais. Todas aquelas que
tocarem o gráfico determinam, no eixo OX, o
domínio. Lembre-se que nenhuma destas retas
verticais podem tocar o gráfico em mais de um
ponto. Caso isto ocorra, o gráfico não
representa uma função.
D=
*
Veja nos exemplos a seguir.
CÁSSIO VIDIGAL
36
d)
40) Todos os gráficos a seguir representam
funções. Determine o domínio de cada uma
delas.
a)
______________________
ATIVIDADES COMPLEMENTARES
Pág. 127 – Exercícios 24, 25 e 26
______________________
b)
GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO
Quando o domínio e o contradomínio de
uma função f são subconjuntos de ℝ, dizemos
que f é uma função real de variável real.
Neste
caso,
podemos
fazer
uma
representação
geométrica
da
função
assinalando num sistema de coordenadas
cartesianas os pontos (x; y) com x  D e
y = f(x). Estes pontos formam o que chamamos
de gráfico de f.
Ex.1: Fazer o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 2𝑥 – 3
definida no domínio 𝐷(𝑓) = {0; 1; 2; 3; 4; 5}.
Resolução:
Para cada x  D(f), calculamos
y = f(x) e obtemos um ponto (x; y) do gráfico.
Temos:
Para x = 0 → y  f 0  2  0  3  3
Para x = 1 → y  f 1  2  1 3  1
Para x = 2 → y  f 2  2  2  3  1
Para x = 3 → y  f 3  2  3  3  3
Para x = 4 → y  f 4  2  4  3  5
Para x = 5 → y  f 5  2  5  3  7
c)
MATEMÁTICA I
37
O gráfico de f é formado pelos pontos
A(0; -3), B(-1; 1), C(2; 1), D(3; 3), E(4; 5)
e F(5; 7).
definida no domínio D(f) = ℝ
Resolução: Temos, mais uma vez, a mesma lei
dos exemplos anteriores, 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 2𝑥 – 3,
mas o domínio é formado por todos os
números reais. Assim, além do segmento AF ,
devemos considerar pontos À direita, com
abscissa x > 5 e pontos à esquerda com x < 0.
Veja, por exemplo:
Para x = 6 → y  f 6  2  6  3  9
Para x = -1 → y  f  1  2   1  3  5
O gráfico é, neste caso, a reta AF que
não tem fim de um lado nem de outro.
definida no domínio D(f) = {x  ℝ | 0  x  5}.
Resolução: Neste caso temos a mesma lei do
exemplo anterior, y = f(x) = 2x – 3, porém o
intervalo do domínio é [0; 5]. Assim, além dos
pontos A,B C, D, E e F, devemos, também,
considerar os pontos situados “entre eles”, no
segmento de reta AF . Veja, por exemplo:
Para x = 0,5 → y  f 0,5  2  0,5  3  2
Para x = 2,25 → y  f 2,25   2  2,25  3  1,5
CÁSSIO VIDIGAL
38
42) Faça o gráfico da função f x  
41) Faça o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 6 – 𝑥 nos
casos:
a) sendo o domínio D = {1; 2; 3; 4; 5}
casos.
a) sendo o domínio D = {-2; -1; 0; 1; 2}
b) sendo D = {x 
b) sendo D = {x 
x
nos
2
| -2  x  2}
| 1  x  5}
c) sendo D =
c) sendo D =
MATEMÁTICA I
39
43) Faça o gráfico da função f x   x 2 nos
casos.
a) sendo o domínio D = {-2; -1; 0; 1; 2}
c) sendo D =
Para x = -2, y = _______
Para x = -1, y = _______
Para x = 0, y = _______
Para x = 1, y = _______
Para x = 2, y = _______
44) Faça o gráfico da função f x   x nos
casos.
a) sendo o domínio D = {0; 1; 2; 3; 4}
b) sendo D = {x 
| -2  x  2}
b) sendo D =
CÁSSIO VIDIGAL
40
+.
x 1
com
2
domínio D = ℝ. (Obtenha pontos do gráfico
escolhendo valores para x e calculando
y = f(x))
46) Faça o gráfico de f(x) = 2x + 1 com domínio
D = [0; 3[
45) Faça o gráfico da função f x  
MATEMÁTICA I
41
47) Faça o gráfico de f: [-1; 5] 
5x
por f x  
.
2
CÁSSIO VIDIGAL
48) Faça o gráfico de f: [-2; 2] 
x2
por f x  
.
2
, definida
42
, definida
FUNÇÃO CONSTANTE
Dado um número real k, podemos
considerar uma função que a todo número real
x faz corresponder o número k:
f:

Ex.2: Construir o gráfico
f: +  dado por f(x) = 2.
da
função
Resolução
Para qualquer x, temos y = 2, então o gráfico
será formado por todos os pontos do tipo (x; 2),
mas agora há uma restrição no domínio. Veja:
, com f(x) = k ( x  )
Esta função é denominada função
constante. O gráfico é uma reta paralela ao
eixo das abscissas passado por todos os
pontos de ordenada y = k.
Observe que o domínio é D(f) =
imagem é Im(f) = { k }.
ea
49)
Faça
o
gráfico
f:  dado por f(x) = - 1.
Ex.1: Construir o gráfico
f:  dado por f(x) = 2.
da
função
função
Resolução
Para qualquer x, temos y = 2, então o gráfico
será formado por todos os pontos do tipo (x; 2),
veja:
MATEMÁTICA I
da
50)
f:
43
Faça

o
gráfico
da
função
 1, se x  0
dado por f x   
.
- 1 se x  0
b)
RESPOSTAS
1)
c)
2)
A(-3, 5)
D(3, 1)
G(-3, -2)
B(1, 3)
E(-2, 0)
H(-2, -2)
C(0, 2)
F(4, -1)
J(-2, 0)
6)
3)
a)
b)
c)
d)
7)
a)
4)
b)
c)
8)
5) a)
9)
10)
CÁSSIO VIDIGAL
44
A x B = {(1, 4), (1, 5), (2, 4),
(2, 5), (3, 4), (3, 5)}
B X A = {(4, 1), (4, 2), (4, 3),
(5, 1), (5, 2), (5, 3)}
A2 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2,
2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)}
B2 = {(4, 4), (4, 5), (5, 4), (5, 5)}
A x B = {(1, 9), (2, 9), (3, 9), (4, 9),
(5, 9)}
B x A = {(9, 1), (9, 2), (9, 3), (9, 4),
(9, 5),}
A x B = {(5, 7)}
B x A = {(7, 5)}
AxB=Ø
BxA=Ø
a)
c)
50
b)
50
Não pois o produto cartesiano não
admite a propriedade comutativa.
A x B = B x A se, e somente se A
= B ou se um dos conjuntos for
vazio.
a) K = {(2, 10), (4, 8), (6, 6),
(8, 4)}
b) L = {(5, 10), (6, 10), (7, 8),
(7, 10), (8, 8), (8, 10)}
c) M = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 2), (2,
4), (3, 2), (3, 4), (4, 2), (5, 2)}
T = {(3, 1), (3, 3), (3, 5), (6, 1), (6, 3)}
11)
12)
13)
14)
15)
(Resolução)
O número de elementos de A2 é igual
ao quadrado de elementos de A,
portanto
n(A2) = [n(A)]2  [n(A)]2 = 9  n(A) = 3
Se A é um conjunto de 3 elementos,
(1, 2)  A2 e (4, 2)  A2, concluímos que
A = {1, 2, 4}
Assim sendo,
A2 = A x A = {(1; 1), (1; 2), (1; 4), (2; 1),
(2; 2), (2; 4), (4; 1), (4; 2), (4; 4)}
A2 = {(-2; -2), (-2; 0), (-2; 1), (-2; 3), (0;
-2), (0; 0), (0; 1), (0; 3), (1; -2), (1; 0), (1;
1), (1; 3), (3; -2), (3; 0), (3; 1), (3; 3)}
A x B = {(-1; -1), (-1; 0), (-1; 2), (-1; 5),
(0; -1), (0; 0), (0; 2), (0; 5), (2; -1), (2; 0),
(2; 2), (2; 5)}
54
R = {(2; 2), (2;
4), (2; 6), (4; 2),
(4; 6), (6; 2), (6;
4)}
16)
R = {(1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5),
(1; 6), (2; 1), (2; 3), (2; 5), (3; 1), (3; 2),
(3, 4), (3; 5), (4; 1), (4; 3), (4; 5), (5; 1),
(5, 2), (5; 3), (5; 4), (5; 6), (6; 1), (6; 5)}
17)
a)
b)
c)
d)
e)
18)
a)
R = {(-2; 4), (-1; 3), (0; 2), (1; 1)
b)
D = {-2; -1; 0; 1}
Im = {1; 2; 3; 4}
R = {(-2; 4), (2; 4), (-1; 1), (1; 1)}
D = {-2; -1; 1; 2}
Im = {1; 4}
D = {1, 2}
Im = {1, 3, 4}
D = {-2, -1, 2, 3}
Im = {-7, 1, 4}
MATEMÁTICA I
D = {1, 2, 5}
Im = {-3, 1, 2 }
D = { 1 3 , 1 2 }
Im = {1, 2 }
5 3
D = {3, , }
2 2
1
Im = { , -1, 0}
2
45
c)
R = {(-2; -2), (-2; 2), (-1; -1),
(-1; 1), (1; -1), (1; 1), (2; -2),
(2; 2)}
D=A
Im = {-3; -2; -1; 1; 2; 3}
19)
a) R = {(2; 2), (2; 4), (2; 6), (4; 2),
(4; 6), (6; 2), (6; 4)}
D = {-2; -1; 1; 2}
Im = {-2; -1; 1; 2}
d)
R = {(-1; 4), (0; 3), (0; 4), (1; 2),
(1; 3), (1; 4), (2; 1), (2; 2), (2; 3),
(2; 4)}
Im = {2; 4; 6}
b) R = {(1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4),
(1; 5), (1; 6), (2; 1), (2; 3), (2; 5),
(3; 1), (3; 2), (3; 4), (3; 5), (4; 1),
(4; 3), (4; 5), (5; 1), (5; 2), (5; 3),
(5; 4), (5; 6), (6; 1), (6; 5)}
D = {-1; 0; 1; 2}
Im = {1; 2; 3. 4}
e)
Im = A
20)
R = {(-2; -3), (-2; -1), (-1; -2),
(0; -1), (0; 1), (1; 2), (2; 1), (2;
3)}
CÁSSIO VIDIGAL
46
a)
b)
c)
21)
b) R= {(0; 5), (2; 4), (4; 3), (6; 2),
(8; 1), (10; 0) }
R-1 = {(5; 0), (4; 2), (3; 4), (2; 6),
(1; 8), (0; 10) }
d = [2; 6] e Im = [1; 3]
a)
c)
R= {(0; 10), (1; 5), (2; 2), (3; 1),
(4; 2), (5; 5), (6; 10)}
R-1 = {(10; 0), (5; 1), (2; 2),
(1; 3), (2; 4), (5; 5), (10; 6)}
b) D = A e Im = B
c) R  S = Ø
22)
23)
a) R-1 = {(2; 1), (1; 3), (3; 2)}
b) R-1 = {(-1; 1), (-1; 2), (-1; 3),
(1; -2)}
c) R-1 = {(-2; -3), (3; 1), (-3; -2),
(1; 3)}
23)
(Cont.)
d) R= {(0; 1), (1; 2), (2; 4), (3; 8)}
R-1 = {(1; 0), (2; 1), (4; 2), (8; 3)}
a) R = {(0; 8), (1; 7), (2; 6), (3; 5),
(4; 4), (5; 3), (6; 2), (1; 7), (8; 0)}
R-1 = {(0; 8), (1; 7), (2; 6), (3; 5),
(4; 4), (5; 3), (6; 2), (1; 7), (8; 0)}
23)
24)
(Cont.)
MATEMÁTICA I
47
a)
b)
pois todo número possui apenas
um quadrado
d)
c)
d)
27)
25)
a)
b)
c)
a) Não é função pois existe elemento
no domínio que não possui imagem.
b) É função pois todos os elementos
do domínio possuem uma e somente
uma imagem.
Im (R) = {-3, -2, -1, 0,1, 2, 3}
D (R) = {-3, -2, -1, 0,1, 2, 3}
O 4, por exemplo, não possui
imagem e o 2 possui duas
imagens que são -1 e 1.
c) Não é função pois existe elemento
no domínio que não possui imagem.
d)
d) Não é função pois existe elemento
no domínio que não possui imagem
além de elemento que possui mais de
uma imagem.
e) É função pois todos os elementos
do domínio possuem uma e somente
uma imagem.
26)
a)
b)
c)
CÁSSIO VIDIGAL
f) Não é função pois existe elemento
no domínio que não possui imagem
além de elemento que possui mais de
uma imagem.
Im (R) = {0, 1, 4, 9, 16, 25,
36, ... }
D (R) = {..., -3, -2, -1, 0,1, 2,
3, ...}
Não pois qualquer número pode
ser elevado ao quadrado. Não
28)
48
a) Não é função, pois existe
elemento do domínio com mais de
uma imagem.
b) Função
c) Função
d) Não é função, pois existe
elemento do domínio com mais de
uma imagem.
e) Função
f) Função
g) Não é função pois existem
elementos do domínio que não
possuem imagem.
h) Não é função, pois existe elemento
do domínio com mais de uma
imagem.
29)
a) Im = {-1; 0; 1}
c) Im = {-1, 2}
b)
7

Imf    ; 10; 13  6 3 ; 76 
3

31)
a) 1
32)
33)
34)
39)
Im = {-1}
30)
2
c)
3
c) Im = [-2; 2]
d) Im = {y  | -4  x  -2 ou -1 < x
 4}
e) Im = {y  | x  -1}
f) Im = {y  | x > 2 ou x = 1}
g) Im = {-2; -1; 0; 2; 3; 4}
h) Im = [1; 4[
i) Im = [-4; 3[
j) Im = {-4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3}
k) Im = [-2; 3]
8
5
2 2
d)
2
b)
x2  4
x  2
D  x   | x  2 e x  2
d) D  x   | x  1
e) D  x   | x  1
f) D  x   | x  2 e x  2
g) D  
 3
h) D     
 2
i) D     3
3
4
10 5 
a) Imf    ; ; 2
3 2 
b) Imf   1; 2; 3; 4
Resolução:
f x   7 x  3 e f x   18
7 x  3  18
40)
a) [-3; 4[
b) [-3; 3] - {-1; 1}
c) *
d) *
41)
a)
7 x  21
x3
35)
f(x) = 3 para x = 3 ou x = -1
f(x) = 0 para x = 0 ou x = 2
36)
4
2
 2
Df    ; 0;  2;  ;  
5
3
 7
37)
x=3
38)
a) Im = {-2, 0, 2}
b) Im =
MATEMÁTICA I
a) D  
b)
D     2 ou D  x   | x  2
c) Resolução
x 1
f x   2
x 4
2
x 40
49
b)
43)
a)
b)
c)
c)
42)
a)
44)
b)
b)
c)
CÁSSIO VIDIGAL
a)
45)
50
46)
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA
DANTE, Luiz Roberto; Matemática.
São Paulo, Ática, 2004
MACHADO,
Antônio
dos
Santos;
Matemática, Temas e Metas. São Paulo, Atual,
1988
IEZZI, Gelson e outros; Matemática,
Volume único. São Paulo, Atual, 2002
47)
VÍDEOS SUGERIDOS NESTA
APOSTILA
Pág. 05
http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/relacoesentre-conjuntos-1/
48)
Pág. 09
http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/relacoesentre-conjuntos-2/
Pág. 25
http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/conceitode-funcao
49)
Pág. 38
http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/conceitode-funcao-2
50)
MATEMÁTICA I
51

PAR ORDENADO ..........................................................

Transcrição

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