Medidas de Tendência Central

Medidas de Tendência Central
Introdução
A maioria dos dados apresenta uma tendência de se concentrarem em torno de
um ponto central.
As medidas de tendência central são valores que, de certa forma, e de maneira
condensada, trazem consigo informações contidas nos dados estatísticos.
Elas funcionam como uma espécie de “medidas-resumo”, pois nos passam a
ideia do comportamento geral das observações estudadas. Podemos dizer
ainda que elas são como valores de referência, em torno dos quais, os outros
se distribuem.
Nesse contexto, salienta-se a necessidade de abordar a diferença entre dois
termos bastante utilizados no estudo de medidas de tendência central, os
parâmetros e as estatísticas.
Parâmetros: Os dados recebem este esta nomenclatura quando estão
associados aos dados populacionais.
Estatísticas: Estes dados recebem essa nomenclatura Quando são calculados
a partir de amostras.
Dados obtidos através de uma
pesquisa realizada em todo o mundo
se tratam de parâmetros. Entretanto,
se realizarmos a pesquisa apenas no
Brasil, tem-se dados estatísticos,
pois, o Brasil representa uma
amostra de todo o mundo.
Tipos de Medidas de tendência Central
Existem vários tipos de medidas utilizadas como medidas de tendência central.
Todavia, abordaremos as mais utilizadas:
71
•
Média;
•
Moda e;
•
Mediana.
MÉDIA
Média Aritmética, ou simplesmente média, é uma medida que funciona como o
ponto de “equilíbrio” de um conjunto de dados, é representada pela letra grega
, quando seu cálculo é feito a partir de todos os valores de uma população.
Se usarmos dados amostrais para obtê-la, a mesma é referida como ̅ (ler-se
“Xis barra”).
1º Caso: Para dados isolados ou não tabelados
A média é a soma de todos os valores analisados, dividida pela quantidade de
valores analisados.
̅
Ex: Suponha que suas notas em uma seleção para um curso de
aperfeiçoamento foram 5,6; 4,8; 8,0; 8,6; 6,8; 9,4. Então, se todas têm o
mesmo peso, sua média será:
̅
Observe que para calcular a média nós somamos todos os valores e dividimos
pela quantidade desses valores.
2º Caso: Para dados organizados em uma tabela de frequências.
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Pontuação( )
Frequência( )
4
6
24
6
8
48
8
5
40
9
5
45
10
3
30
Total
27
187
Neste caso, a média é dada da seguinte forma:
̅
Observe que para calcular a média, nós multiplicamos a pontuação pela sua
respectiva frequência. Para o Cálculo da média, somam-se essas
multiplicações e divide pelo somatório das frequências.
3º Caso: Para dados agrupados em intervalos de classe.
Na tabela abaixo, pode-se observar três intervalos de classe. Cada intervalo
possui uma frequência e um ponto médio.
O ponto médio é obtido através da soma do limite superior com o limite inferior,
dividida por dois. Para classe 1 tem-se:
Onde 4 e 6 correspondem, respectivamente, ao limite inferior e superior da
primeira classe.
Pontuação
(Médias)
Frequência( )
Ponto Médio( )
4 Ⱶ 6
6
5
30
6 Ⱶ 8
8
7
56
8 Ⱶ 10
13
9
117
Somatórios
27
----
203
Nesta situação, a média é dada como:
̅
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Observação:
A média é afetada por valores extremos.
O que isso quer dizer?
Para calcular a média, é necessário somarmos todos os dados da série, ou
seja, essa medida leva em conta todas as observações. Por isso, quando
temos uma situação em que aparecem alguns valores, ou muito baixo, ou
muito alto, se comparados com os demais elementos da série, a média é
influenciada por eles.
MEDIANA
Mediana ( ) é definida como o valor que ocupa a posição central em um
conjunto de dados ordenados.
A mediana não é influenciada por valores extremos, visto que ela é uma
medida essencialmente vinculada à posição que ocupa no conjunto ordenado.
Para encontrar a mediana em um conjunto qualquer de dados estatísticos,
precisamos conhecer a posição que ela ocupa em relação aos
elementos
ordenados desse conjunto.
Para tal, devemos considerar duas situações para as quais adotaremos
distintos procedimentos.
1ª Situação: Dados agrupados ou tabelados
Inicialmente, precisamos construir o rol, ou seja, os valores do conjunto de
forma ordenada. Esta ordenação pode ser em ordem crescente ou
decrescente. Em seguida, devemos calcular o elemento mediano (
).
O
é a posição que a mediana ocupa no conjunto ordenado.
Para obtermos a mediana, precisamos primeiramente analisar o número de
elementos do conjunto ( ), identificando se este número é par ou ímpar.
A seguir veremos como proceder em cada situação.

Se
Quando
for ímpar:
é ímpar haverá apenas um valor central no conjunto ordenado, cuja
posição é calculada pela fórmula:
74
A mediana que representamos por
será exatamente o valor que está nessa
posição, considerando-se os valores ordenados.
Ex: Para o seguinte conjunto de dados 4; 5;7;1;5, encontrar a mediana.
Primeiramente precisamos construir o rol, ou seja, ordenar os valores. Desse
modo, tem-se:
1; 4; 5; 5;7
Como vimos, para encontrarmos o elemento mediano utiliza-se a seguinte
fórmula:
. Para este conjunto, o valor de n é igual a cinco, logo,
utilizando a fórmula, obtém-se:
. Com isso nós encontramos que
a mediana ocupa a terceira posição desse conjunto, logo, a media é igual a 5.
1; 4; 5; 5;7
Fique ATENTO !!!
O elemento mediano (
) nos informa apenas a posição da mediana na série
ordenada. Ele não é o valor dessa medida. Assim, somente após calculá-lo,
podemos localizar tal posição no conjunto de dados ordenados.

Se
for par:
Nesse caso, haverá dois valores centrais, os quais se encontram nas posições:
A mediana em tais situações é definida como a média aritmética desses dois
valores centrais.
Ex: Para o conjunto dado, encontrar a mediana.
9; 1; 4; 6; 12; 2
Primeiramente constrói-se o rol:
1; 2; 4; 6; 9; 12
Neste caso,
. Logo, usaremos as duas fórmulas (
) para encontrar
o elemento mediano.
, no conjunto, tem-se os seguintes elementos :
1; 2; 4; 6; 9; 12
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A média desses valores nos dará a mediana. Desse modo tem-se:
Logo, a mediana desse conjunto é igual a 5.
MODA
Por definição, a moda de um conjunto de dados é o valor que aparece mais
vezes, ou seja, é aquele que apresenta a maior frequência.
Pode ocorrer de dois ou mais valores apresentarem a mesma frequência,
nestes casos, teremos distribuições bimodais (duas modas), trimodais ou
multimodais.
Também é possível acontecer que todos os elementos tenham apresentado
exatamente o mesmo número de ocorrências. Isso significa que não há moda,
pois nenhum dado se destacou. Dessa forma, o conjunto é, então, chamado
amodal.
Dentre as três medidas de tendência central, a moda é a única que pode ser
usada quando as variáveis são qualitativas nominais.
Ex.: Se distribuíssemos os alunos de engenharia por sexo e obtivéssemos que
70% são meninos, poderíamos dizer que a moda é o sexo masculino, pois essa
categoria apresentou a maior frequência.
Para obtermos a moda (
repetições dos valores.
) faremos uma simples inspeção em relação às
No caso das tabelas, observaremos as frequências absolutas simples ( ).
Procuramos, então, qual(is) o(s) valor(es) que apresenta(m) o maior número de
ocorrências (repetições). Este(s) valor(es) é (são) denominado(s) moda.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
SALSA, I. da S.; Moreira, J. A.; Pereira, M.G.. Matemática e Realidade.
Medidas de tendência central: média, mediana e moda. Natal, RN: EDUFRN
Editora
da
UFRN,
2005.
Disponível
em:
<http://xa.yimg.com/kq/groups/22932771/2143145043/name/4426477Matematica-e-Realidade-Aula-08-551.pdf>. Acesso em: 28 de abr. de 2012.
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52KB.
Formato
JPEG.
Disponível
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<http://apenasmais1.blogspot.com.br/2011/07/os-12-paises-recordistas.html> Acesso em: 30 abr.
2012.
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bits:32. 53KB. Formato PNG. Disponível em: <http://3.bp.blogspot.com>
Acesso em: 30 abr. 2012.
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