a1,t〉 = e - Webmail (fmail.if.usp.br)

Questão 1(b): De fato o vetor de estado no instante t é dado por
i
|a1 , ti = e− ~ Ĥt |a1 i.
Para você calcular explicitamente a ação do operador de evolução sobre o vetor de estado |a1 i
você deve expandir esse vetor na base formada pelos autoestador da energia, ou seja,
|a1 i = |δihδ|a1 i + | − δih−δ|a1 i.
Uma vez que
Ĥ|δi = δ|δi e Ĥ| − δi = −δ| − δi,
fica fácil calcular explicitamente o vetor |a1 , ti:
i
i
|a1 , ti = |δie− ~ δt hδ|a1 i + | − δie ~ δt h−δ|a1 i.
Não se esqueça de calcular os coeficientes hδ|a1 i e h−δ|a1 i!
Questão 2: Uma vez que a gaussiana é a função de onda do estado fundamental de um
oscilador harmônico podemos utilizar a álgebra dos operadores de criação e aniquilação para
calcular as dispersões das medidas de posição de momento. Assim podemos fazer a seguinte
correspondência:
|αi ↔ |0i,
onde |0i é o autovetor com “0”quanta de oscilador. Assim você pode escrever os operadores
posição e momento em termos dos operadores de criação e aniquilação e calcular as dispersões.
Agora seus resultados não estão batendo. O produto das dispersões deve dar:
~2 2
~2
2
2
1 + 2 4t .
σx (t)σp (t) =
4
m a0
Reveja os seus cálculos para as dispersões de x̂ e p̂!!
Questão 3(b): Sim, a velocidade de precessão é ω.
Questão 4(d): Cuidado!! Lembre-se do princı́pio da redução do pacote de onda! Por esse
princı́pio, no instante t = t1 da medida o estado do sistema colapsa para o autoestado |x, +i.
Logo, para instantes posteriores a t1 , o sistema passa a evoluir no tempo tomando agora como
estado inicial (lógico em t = t1 ) o autoestado |x, +i, ou seja,
i
|t > t1 i = e− ~ Ĥ(t−t1 ) |x, +i.
Claro, calcule explicitamente!!
Questão 5(b): A probabilidade deve dar uma função dependente do tempo!! Você deve
obter:
~
|e|B0
2
P Sx = − , t = sin
sin ωt .
2
2mωc
1
Na letra (c) queremos saber o valor do campo tal que em algum instante de tempo ocorra uma
inversão completa, ou seja, para que em algum instante t a probabilidade de obter Sy = −~/2
seja igual a 1. Observe que a probabilidade é uma função limitada, ou seja,
|e|B0
~
2
0 ≤ P Sx = − , t ≤ sin
.
2
2mωc
Mas para que o máximo da probabilidade seja igual a 1 que valor o campo deve assumir? Em
quais instantes isso acontecerá? Pense!! :)
Questão 6(e): A resposta está estranha! Reveja seus cálculos, você deve obter algo do
tipo:
iωt
|z0 , ti = e− 2 |z0 e−iωt i.
O módulo de um número complexo é um número real. Note que, se z = x + iy então sabemos
que:
|z|2 = x2 + y 2 ,
ou seja, o módulo de um número complexo é análogo a norma de um vetor (x, y) só que no
plano complexo.
2