Filtros
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Filtros
Instrumentação e Técnicas de Medidas Filtros Diagrama de Bode T(S) = 1 / (S^2 + w /Q S + w ^2) para Q = 0.5, 0.707, 1, 2, 10 Magnitude (dB) 20 0 -20 -40 Fase (graus); 0 -50 (A) (D) -100 Amin Amin -150 Amáx Amáx ωp -200 10-1 100 ωs (B) Amin Freqüência (rad/seg) Amin Amáx Amáx ωs ωp ω1 ω3 ω3 ω1 101 (C) ω4 ω2 ω2 ω4 Controle de Versões 2010 Versão 1 – Instrumentação e Técnicas de Medidas (ITM) 2012 Versão 2 – Pequenas alterações no texto, links, CIs não obsoletos. Última alteração: 06/11/2013 Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 Índice 25Filtros seletores de frequência..........................................................................................................4 25.1Introdução.................................................................................................................................4 25.2Unidades e nomenclatura..........................................................................................................4 25.3Diagramas de Bode...................................................................................................................5 25.3.1Constante...........................................................................................................................6 25.3.2Fator S...............................................................................................................................6 25.3.3Fator (S + a)......................................................................................................................7 25.3.4Fator (S2 + a⋅S + b)...........................................................................................................8 25.4Funções de 1ª e 2ª ordens........................................................................................................10 25.5Gabaritos.................................................................................................................................11 25.5.1Desnormalização em Frequência....................................................................................13 25.6Aproximações.........................................................................................................................15 25.7Etapas da Síntese....................................................................................................................18 25.7.1Exemplo 1.......................................................................................................................19 25.7.2Exemplo 2.......................................................................................................................19 25.7.3Exemplo 3.......................................................................................................................20 25.8Cálculo dos polinômios de aproximação................................................................................20 25.8.1Para aproximação de Butterworth...................................................................................21 25.8.2Exemplo 1.......................................................................................................................23 25.8.3Exemplo 2.......................................................................................................................24 25.8.4Aproximação de Chebyshev (I).......................................................................................25 25.8.5Exemplo 3.......................................................................................................................27 25.8.6Exemplo 4.......................................................................................................................28 25.8.7Exemplo 5.......................................................................................................................30 25.8.8Soluções tabeladas..........................................................................................................32 25.9Síntese de filtros ativos...........................................................................................................34 25.9.1Realizações......................................................................................................................34 25.10Filtros de primeira ordem RC...............................................................................................37 25.10.1Filtro passa baixas RC de primeira ordem....................................................................37 25.10.2Filtros passa altas RC de primeira ordem.....................................................................38 25.11Filtros de segunda ordem RC................................................................................................39 Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 1 25.11.1Filtros variáveis de estado.............................................................................................39 25.11.2Exemplo 1.....................................................................................................................44 25.11.3Exemplo 2.....................................................................................................................47 25.11.4Configurações de um único amplificador operacional..................................................49 25.11.5Passa baixas Sallen-Key................................................................................................51 25.11.6Passa baixas MFB.........................................................................................................53 25.11.7Passa altas Sallen-Key...................................................................................................54 25.11.8Passa altas MFB............................................................................................................55 25.11.9Passa Faixa Sallen-Key.................................................................................................57 25.11.10Passa faixas MFB........................................................................................................58 25.11.11Rejeita faixa (ou Notch)..............................................................................................59 25.11.12Rejeita faixa Sallen-Key (modificado – com rede duplo T).......................................59 25.11.13Rejeita faixa MFB (modificado).................................................................................60 25.11.14Exemplo 1...................................................................................................................61 25.11.15Exemplo 2...................................................................................................................65 25.11.16Exemplo 3...................................................................................................................65 25.11.17Exemplo 4...................................................................................................................68 25.12Exercícios..............................................................................................................................68 25.13Filtros a capacitor chaveado..................................................................................................69 25.14Efeitos dos componentes reais..............................................................................................72 25.15Sensibilidade.........................................................................................................................73 25.15.1Exemplos.......................................................................................................................74 APÊNDICE........................................................................................................................................77 Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 2 25 Filtros seletores de frequência 25.1 Introdução Os filtros seletores de frequência são circuitos que amplificam de forma diferente sinais de diferentes frequências. Desta maneira, os integradores e os derivadores também podem ser classificados como filtros seletores de frequência. Em eletrônica os filtros seletores de frequência (ou simplesmente filtros) estão presentes em quase todos os circuitos, nem que seja para minimizar o ruído em sua saída (normalmente um filtro que amplifique apenas as baixas frequências). Dentre as principais aplicações estão a minimização de ruído de alta frequência, sintonia de rádios, televisões, canais de comunicação, distinguir entre números teclados em uma chamada telefônica, para eliminar ruído em som ou imagens, equalização de som, separar faixas de frequências para alto falantes, limitar frequências para amostragem de sinais antes de uma conversão A/D (conversão de um sinal analógico em um equivalente digital), analisadores de espectro, conformação de formas de onda... Programas para o projeto de filtros ativos com ordem menor do que 16 são comuns. Alguns deles são o FilterCAD da Linear Technology e o FilterPRO da Texas Instruments. Um bom texto sobre filtros pode ser obtido em Analog Filters, da Analog Devices. 25.2 Unidades e nomenclatura O estudo dos filtros está sempre relacionado a função de transferência, de um circuito, ou seja da relação entre saída e entrada, analisadas pelo domínio da frequência. Muitos autores analisam os circuitos do ponto de vista da atenuação e utilizam o dB como unidade de medida. A atenuação deve ser entendida, simplesmente, como o recíproco do ganho Atenuação= 1 Ganho Utilizar os termos ganho ou atenuação para valores acima ou abaixo da unidade é matematicamente correto porém pode soar estranho. A escolha pelo termo atenuação se deve ao fato de que os primeiros filtros apresentavam ganho máximo igual a unidade, portanto era mais sensato Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 3 falar em atenuação. Além disto a maioria dos filtros eram obtidos polinomialmente o que tornava a análise da atenuação mais simples. Também é comum utilizar a unidade dB para informar ganhos ou atenuações. Isto ocorre porque o gráfico de resposta em frequência é um gráfico logarítmico e o dB é uma unidade logarítmica. Quando utilizamos dB para quantificar a amplitude da função de transferência e um eixo logarítmico para o eixo das frequências, o gráfico resultante pode ser esboçado pelo uso de retas, simplificando a análise do problema. A conversão de um ganho T(ω) ou atenuação H(ω), especificados como V/V ou A/A, para dB pode ser realizada pela equação |X(ω)|dB = 20 log |X(ω)| onde |X(ω)| é o módulo da função de transferência em V/V ou A/A. Para fazer a transformação inversa basta usar a equação ∣X ( w)∣=10 ∣X (w )∣dB 20 A tabela abaixo mostra as relações existentes entre ganho e atenuação. Relação Ganho Atenuação vO 1 vI >1 <1 =G =G–1 <1 >1 =G =G–1 vO 1 vI Unidade Relação Ganho Atenuação V/V ou A/A vO 1 vI >0 <0 =G =–G V/V ou A/A vO 1 vI <0 >0 =G =–G Unidade dB dB 25.3 Diagramas de Bode Filtros seletores de frequência podem ser bem representados pelo diagrama de Bode. Supondo uma função de transferência genérica T(S) tal que Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 4 N S T S = = K⋅ D S ∏i S −z i ∏ S − p j j então esta função pode ser analisada do ponto de vista de seu módulo e de sua fase: ∣T j ∣dB=20⋅log 10∣T j ∣ θ(ω)=tan −1 ( ) [ ] [ ℑ T ( j ω) −1 ℑ( j ω− z i) −1 ℑ( j ω− p j ) =∑ tan −tan ℜT ( j ω) ℜ( j ω−z i ) ℜ( j ω− p j ) ] A forma fatorada da equação acima é composta de quatro componentes básicos: Constante; Fator S; Fator (S + a); Fator (S2 + a⋅S + b). A análise de cada um destes fatores separadamente permitirá analisar todas as funções de filtros estudados nesta disciplina. 25.3.1 Constante T ( j ω)=K ° Se ∣K∣>1 então ∣T ( j ω)∣dB>0 e θ( j ω)=0 ° Se ∣K∣<1 então ∣T ( j ω)∣dB<0 e θ( j ω)=180 25.3.2 Fator S T ( j ω)=S ∣T ( j ω)∣dB=20⋅log ( j ω) ; inclinação de 20dB/década θ(ω)=tan −1 ω° =90° 0 ( ) T ( j ω)= 1 S ∣ ∣ 1 ; inclinação de −20dB/década jω θ(ω)=tan −1 ( 0°)−tan −1 ω° =−90° 0 ∣T ( j ω)∣dB=20⋅log ( ) Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 5 Diagrama de Bode T(S) = 1/S Magnitude (dB) 20 0 -20 -40 Fase (graus); -89 -89.5 -90 -90.5 -91 10-1 100 101 102 Freqüência (rad/seg) Figura 1: Resposta em frequência para um polo na origem. No MATLAB: bode([1],[1 0]) 25.3.3 Fator (S + a) T ( j ω)=S +a ∣T ( j ω)∣dB=20⋅log∣ j ω+a∣=20⋅log ( ω +a 2 ∣T ( j ω)∣dB , ω=a 1 2 2 ) ; =+20⋅log( a)+3dB θ(ω)=tan −1 ω ; inclinação de 45° /década a ( ) Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 6 T ( j ω)= 1 S +a ∣T ( j ω)∣dB=−20⋅log∣j ω+a∣=−20⋅log ( ω +a 2 ∣T ( j ω)∣dB , ω=a 1 2 2 ) =−20⋅log(a )−3dB θ(ω)=tan −1 ω ; inclinação de 45o /década a ( ) A constante a corresponde ao ponto de união das assíntotas e é chamado de polo. Como o polo é real este fator é, muitas vezes, escrito como (S + σ). Diagrama de Bode T(S) = 1 / (S + 1) Magnitude (dB) 0 -5 -10 -15 -20 Fase (graus); 0 -20 -40 -60 -80 -100 10-1 100 101 Freqüência (rad/seg) Figura 2: Resposta em frequência para um polo simples. No MATLAB: bode([1],[1 1]) 25.3.4 Fator (S2 + a⋅S + b) Em baixas frequências o fator (S2 + aS + b) apresenta comportamento semelhante ao fator constante (S→0) enquanto que em altas frequências ele apresenta comportamento semelhante a dois fatores S (S→∞). Jé em médias frequências este fator pode apresentar um máximo ou um mínimo. Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 7 Para polos ∣ ∣ d 1 = =0, cuja solução é 2 d ω −ω +a⋅ j ω+b √ a2 a2 ωmáx =√ b⋅ 1− , para <1, e 2⋅b 2⋅b a2 ωmáx =0, para ⩾1 2⋅b Para a frequência do polo ω=b ∣H j ∣dB=20⋅log A constante ∣ ∣ 1 1 1 b =20⋅log =20⋅log 20⋅log b a a⋅ b j b a⋅ j bb 2 b determina a altura do pico e é denominado de fator de mérito Q. Por esta a 2 2 razão o fator (S2 + aS + b) costuma ser reescrito como S ⋅S . Para Q>5 a largura de faixa Q (-3dB) em torno do máximo pode ser bem aproximada por B = s− i= . Q Para uma função de transferência com polos definidos pelo fator (S2 + aS + b) é possível fazer com que o ganho seja de -3dB na frequência ω atuando sobre o fator de mérito Q. Isto ocorre para Q= 1 . Se 0≤Q≤0,5 a função de transferência fica com polos reais (Q=0,5 corresponde a dois 2 polos iguais). A medida que o Q aumenta é possível produzir picos na resposta em frequência. A figura a seguir mostra a influência de Q na resposta em frequência. Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 8 Diagrama de Bode T(S) = 1 / (S^2 + w /Q S + w ^2) para Q = 0.5, 0.707, 1, 2, 10 Magnitude (dB) 20 0 -20 -40 Fase (graus); 0 -50 -100 -150 -200 10-1 100 101 Freqüência (rad/seg) Figura 3: Resposta em frequência para polos complexos. No MATLAB: bode([1],[1 1/Q 1]) 25.4 Funções de 1ª e 2ª ordens A próxima tabela mostra as funções de transferências que podem ser obtidas com os fatores de primeira e segunda ordem apresentados anteriormente. Tipo de filtro Função de transferência Integrador K S Passa baixa 1ª ordem K 0 S 0 Passa alta 1ª ordem K S S 0 Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 Localização dos polos e zeros Zero no infinito Polo na origem. Zero no infinito Polo sobre o eixo σ (-σ0) Zero na origem Polo sobre o eixo σ (-σ0) 9 Função de transferência Tipo de filtro Passa baixa de 2ª ordem Passa alta de 2ª ordem Passa faixa (2ª ordem) Rejeita faixa (2ª ordem) Passa baixa notch (2ª ordem) Passa alta notch (2ª ordem) K K 20 S 2 0 S 20 Q S2 S 2 0 S 20 Q 0 S Q K S 2 0 S 20 Q K S 2 20 S 2 0 S 20 Q Localização dos polos e zeros 2 zeros no infinito 2 polos com raio ω0 no plano S 2 zeros na origem 2 polos com raio ω0 no plano S 1 zero na origem 1 zero no infinito 2 polos com raio ω0 no plano S 2 zeros sobre o eixo jω ( ω0 ) 2 polos com raio ω0 no plano S S 2 20 K S 2 0 S 20 Q 2 zeros sobre o eixo jω ( zeros > ω0 ) 2 2 zeros sobre o eixo jω ( zeros < ω0 ) K 2 S 0 S 2 0 S 20 Q 2 polos com raio ω0 no plano S 2 polos com raio ω0 no plano S Na tabela acima vale a pena observar o nome ou o tipo dos filtros. Observa-se nomes relacionados as frequências que são mais amplificadas e quais as frequências são atenuadas. Os quatro principais tipos são o passa baixas, o passa altas, o passa faixa e o rejeita faixa de frequências. Estes tipos nos levam aos quatro gabaritos utilizados para projeto de filtros. 25.5 Gabaritos Os filtros seletores de frequência apresentam quatro comportamentos principais denominados passa baixas (PB), passa altas (PA), passa faixas (PF) e rejeita faixas (RF) em função da faixa de frequências que apresentam maior ganho. Os gabaritos de atenuação são apresentadas na próxima figura. Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 10 Costuma ser especificados no projeto a atenuação mínima (para região de frequências a atenuar – região de atenuação), atenuação máxima (para região de frequências que não devem ser atenuadas – região de passagem), frequências que delimitam a região de passagem (banda de passagem) e frequências que delimitam a região de atenuação (banda de atenuação). Os requisitos são sempre convertidos nos requisitos de um filtro passa baixas normalizado. Caso o filtro não seja um passa baixa também é necessário uma transformação em frequência. Nesta normalização a frequência limite da banda de passagem é ω p=1 , a frequência limite da banda de rejeição é ω s , a atenuação permitida na banda de passagem é Amáx e a mínima atenuação exigida para a banda de rejeição Amin. Figura 4: Gabaritos dos filtros seletores. (A) passa baixa, (B) passa alta, (C) passa faixa, (D) rejeita faixa Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 11 25.5.1 Desnormalização em Frequência Transformação Passa Baixa–Passa Baixa Normalizado Amin Amáx ωp ωs Para normalizar ω p=1 ω ω s= ω s p Para desnormalizar S Substituir S por ω p Alternativamente: Escrever a equação do filtro em seções de primeira e segunda ordem, fazendo ω 0=ω p ou σ0=ω p . Transformação Passa Alta–Passa Baixa Normalizado Amin Amáx ωs ωp Para normalizar Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 12 ω p=1 ω ω s= ω p s Para desnormalizar Substituir S por ωp S Alternativamente: Escrever a equação do filtro em seções de primeira e segunda ordem, fazendo ω 0=ω p ou σ0=ω p . Transformação Passa Faixa–Passa Baixa Normalizado Amin Amáx ω3 ω1 ω2 ω4 Para normalizar o filtro é necessário fazer com que as atenuações Amín sejam iguais nas duas bandas de rejeição e que as frequências do filtro atendam a seguinte condição 1 2 1 2 ω0= [ ω1⋅ω2 ] = [ ω3⋅ω4 ] , com banda de passagem entre ω1 e ω2. Quando as exigências forem atendidas a normalização é feita fazendo ω p=1 ω −ω ω s=ω 4−ω3 2 1 Para desnormalizar Substituir S por 2 2 ω0 S +ω 0 , onde B=ω 2−ω 1= Q B⋅S Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 13 Transformação Rejeita Faixa–Passa Baixa Normalizado Amin Amáx ω1 ω3 ω4 ω2 Para normalizar o filtro é necessário fazer com que as atenuações Amáx sejam iguais nas duas bandas de passagem e que as frequências do filtro atendam a seguinte condição 1 1 ω 0=[ ω 1⋅ω 2 ]2 =[ ω 3⋅ω 4 ]2 , com banda de passagem entre ω1 e ω2 Quando as exigências forem atendidas a normalização é feita fazendo ω p=1 ω −ω ω s=ω 2−ω1 4 3 Para desnormalizar Substituir S por ω0 B⋅S 2 2 , onde B=ω 2−ω 1= Q S +ω 0 25.6 Aproximações Uma vez que todos os filtros podem ser normalizados e transformados em um passa baixas é necessário encontrar um polinômio que atenda as especificações do projeto. Existem vários tipos de funções de transferência, algumas são polinomiais (com zeros no infinito como os filtros Butterworth, Chebyshev I e Bessel) ou não polinomiais (com zeros finitos sobre o eixo jω como os filtros Cauer e Chebyshev II). Nestas funções os zeros sobre o eixo jω ajudam a obter uma atenuação mais rápida na banda e transição. Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 14 A seguir são apresentados alguns polinômios que podem ser empregados para o projeto de filtros e algumas características de cada um destes polinômios. Bessel – BS • Função monotônica na banda passante; • Quanto maior o grau do filtro mais linear a fase na banda de passagem; • Pior resposta em magnitude dentre os listados aqui; • Não preserva característica de fase quando se fazem desnormalizações em frequência; • Ordem muito alta, característica de fase muita boa. Gauss – GS • Monotônico na banda de passagem; • Melhor resposta temporal (overshoot e atraso ao degrau) dentre os filtros polinomiais, para um dado grau e Amáx; • Semelhante ao filtro de Bessel; • Ordem muito alta característica de fase muito boa. Multiplicidade “n” • Monotônico na banda de passagem; • Polos reais; • Ótimas características temporais (menor tempo de atraso e sem overshoot) e de fase; • Pobre característica de atenuação. Ordem muito alta característica de fase muito boa. Butterworth – BT • Função monotônica mais planas possível; • Ordem alta, característica de fase boa. Halpern – HA • Dentre os polinomiais com características monotônicas na banda passante é o de corte mais abrupto dado um dado grau e Amáx; • Ordem média característica de fase média. Legendre – LG Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 15 • Dentre os polinomiais com características monotônicas na banda passante apresenta a maior inclinação na característica de magnitude em torno da frequência limite da banda de passagem; • Ordem média característica de fase média. Chebyshev (I) – CB • Equiripple na banda passante, função monotônica na atenuação; • Corte mais abrupto entre os polinomiais, para um dado grau e Amáx; • A fase, entretanto, vai piorando a medida que o grau aumenta; • Ordem baixa, característica de fase ruim. Chebyshev (II) Inverso – CI • Monotônica na banda passante, portanto melhor característica de fase; • Equiripple na banda de rejeição; • Não polinomial, apresenta zeros sobre o eixo jω; • Ordem baixa, característica de fase boa. Cauer ou Elíptico – CE • Equiripple na banda de passagem e de atenuação; • Menor ordem – zeros sobre o eixo jω ajudam; • Característica de fase pior que Chebyshev Inverso; • Ordem muito baixa. Transicionais – FT • Melhor conjunto de características temporal, fase, e atenuação. Pelo exposto acima, observa-se que, via de regra, melhores características de fase estão associadas a melhores características temporais. Assim, os principais critérios (os mais comuns) de escolha para estas aproximações são: • Ordem do filtro (Cauer, Chebyshev, Halpern, Legendre...); • Dificuldade de implementação – zeros em jω (mais difíceis Cauer e Chebyshev II); • Sensibilidade – desvio na magnitude e fase; • Regularidade na curva de resposta (Butterworth); Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 16 • Resposta temporal (Gauss, Bessel); • Característica de fase – incluir o equalizador de fase (Bessel e Gauss para PB, composição com equalizador, Multiplicidade n e Transicional...); Uma síntese das principais características para os filtros mais comuns são listadas na tabela abaixo. Polinômios Faixa de Passagem Faixa de Rejeição Fase Grau do Filtro Butterworth Máxima planura Monotônico Boa Médio+ Chebyshev I Ondulado Monotônico Regular Médio– Chebyshev I Monotônico Ondulado Regular Médio– Bessel Plano Monotônico Ótima Grande Elíptico (Cauer) Ondulado Ondulado Ruim Pequeno 25.7 Etapas da Síntese Uma vez colocada as principais etapas para o projeto dos filtros seletores de frequência é possível descrever em detalhes o mecanismo para o projeto de um filtro deste tipo. São necessárias pelo menos 9 etapas descritas na sequência: (1) Examinar o problema físico e determinar os requisitos necessários; (2) Estipular as atenuações máximas e mínimas, determinar as frequências características; (3) Normalizar as frequências do filtro; (4) Escolher aproximação; (5) Determinar a T(S) ou H(S); (6) Escolher a técnica de implementação; (7) Desnormalizar as frequências do filtro; (8) Analisar a rede com valores nominais; Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 17 (9) Testar o filtro. 25.7.1 Exemplo 1 Etapa 1: Minimizar o efeito de uma interferência de 60Hz e tensão eficaz de 1V sobre um sinal com banda passante de 10Hz e amplitude de 0,1V. Admite-se 11% de atenuação máxima do sinal na banda passante. Deseja-se uma relação sinal ruído de 100 vezes. Etapa 2: Filtro passa baixas (a opção mais simples) Ganho Mínimo na Banda Passante: 20 log (100% – 11%) = – 1dB Diferença de amplitude entre Sinal e Ruído: 20 log (0,1 / 1) = – 20dB Relação sinal ruído de 100 vezes: 20 log (100) = 40dB Amáx = 1dB Amin = 40dB + 20dB + 1dB = 61dB Frequência de corte 10Hz, frequência da banda de atenuação 60Hz Etapa 3: … 25.7.2 Exemplo 2 Projetar um filtro capaz de eliminar a frequência de 60Hz, mantendo o ganho aproximadamente unitário para DC e 2kHz. Faça o projeto para uma banda de rejeição de ±10Hz. Filtro rejeita faixa (notch) de segunda ordem. T ( ̄s )= 1 (2⋅π⋅20)2 , desnormalizar com ̄s = 2 ̄s +1 s +(2⋅π⋅60)2 Alternativamente escrevemos a função de segunda ordem com B e ω0 identificados previamente. Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 18 T s= s 2 20 = 2 s 2B⋅s 0 s 22⋅⋅602 s22⋅⋅20⋅s2⋅⋅602 25.7.3 Exemplo 3 Devemos excitar um circuito com sinais na faixa de 300Hz a 3,4kHz. Uma interferência de 60Hz está presente no sistema prejudicando o experimento. Deseja-se projetar um filtro passa faixa tal que esta interferência seja atenuada em 15 vezes. Desenhe o gabarito do filtro desejado e do passa baixas normalizado. Diga a aproximação que devemos escolher se desejarmos o filtro de menor grau. Amin Atenuação Atenuação Amáx ωp ωs ω3 ω1 ω2 ω4 ω1=300Hz, ω2=3,4kHz, ω3=60Hz, ω4= (ω1⋅ω2)/ω3 = 17kHz, ωp=1rad/s, ωs= (ω4 – ω3)/(ω1 – ω2)=5,46rad/s. Amáx = 3dB, Amín = 20⋅log(15) dB O filtro com menor grau é um filtro do tipo Cauer. 25.8 Cálculo dos polinômios de aproximação As aproximações apresentadas anteriormente configuram algumas das possíveis aproximações empregadas para os filtros. Existe um número ilimitado de funções que satisfazem os requisitos de um dado gabarito sendo que algumas são obtidas por métodos de otimização puramente numéricos e outras por funções analíticas consagradas. Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 19 Antes de apresentar a solução para o cálculo de alguns filtros considere que a função de atenuação H(ω) possa ser escrita como 2 2 ∣H (ω)∣ =1+∣K (ω)∣ onde K( ω) é a função característica A(ω)=10⋅log ( 1+∣K (ω)∣2 ) Definindo ε como a máxima distorção (variação de ganho ou atenuação) na banda de passagem (em alguns casos ε é o ripple na banda de passagem) da função característica K(ω), temse K (ω p)=ε A(ω p )= Amáx=10⋅log ( 1+ε2 ) [dB] [ Amáx 10 ε= 10 −1 1 2 ] ,A máx em dB 25.8.1 Para aproximação de Butterworth ω K (ω)=ε ω p ( ) [ n ∣H (ω)∣= 1+ε ⋅ ωωp 2 [ 2⋅n ( ) ] 1 2 ω A(ω)=10⋅log 1+ε2⋅ ω p 2⋅n ( ) ] [dB] A normalização de funções Butterworth pode ser feita para a frequência ωp e, diferente de outras aproximações também para a atenuação ε com auxílio da equação 1 ω=ε n⋅ ω ω 1 ( ) p ou seja ω=ε n⋅ ω ω ( ) p Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 20 assim A(ω)=10⋅log [ 1+ω2⋅n ] [dB ] , solução normalizada para ω=1 e ε=1. A determinação do grau do polinômio pode ser obtida Amin ⩽ A(ω s)=10⋅log [ 1+ε2⋅ω s2⋅n ] log n⩾ [ (100,1⋅Amin −1 ) (100,1⋅Amáx −1 ) ] 2⋅logω s onde Amáx e Amin estão em dB; ω s é calculado de 4 formas diferentes dependendo do tipo de filtro que se esteja calculando. A determinação da função de Butterworth pode ser obtida 2 2 ∣H (ω)∣ =1+∣K (ω)∣ H (S )⋅H (−S )=1+K (S )⋅K (−S ) 2 n S) H ( S )⋅H (−S )=1+(−S ) , solução normalizada para ω=1 e ε=1 ( 2 H ( S )=H 0+H 1⋅S +H 2⋅S +...+H n⋅S cos para construir o polinômio: H k = [ ( k−1 )⋅π sen para obter as raízes: S =e k ( j π⋅ 2 2⋅k+ n−1 n n 2⋅n ] ( ) k⋅π 2⋅n ) , k = 1, 2, ... raízes sobre um circulo de raio unitário 1 Substituir S por εn S ' (desnormalização para Amáx) S Substituir S ' por ω (desnormalização em frequência) p Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 21 25.8.2 Exemplo 1 Calcule o filtro Butterworth com ωp=10kHz, ωs=15kHz, Amáx=1dB, Amin=25dB [ Amáx 10 ε= 10 log n⩾ [ −1 1 2 ] = 0,5088 (100,1⋅Amin −1 ) (100,1⋅Amáx −1 ) ] ( = 8,76 com ω s= 2⋅logω s ) 15000 . Usar n=9 10000 k=1, S k =−0.1736±0.9848i , S 2+0,3472⋅S+1 k=2, S k =−0.5000±0.8660i , S 2+S +1 k=3, S k =−0.7660±0.6428i , S 2+1,532⋅S +1 k=4, S k =−0.9397±0.3420i , S 2+1,8794⋅S+1 k=5, S k =−1 , S +1 ( ) 1 Substituir S por S⋅ ε n =S⋅1,4764⋅10−5 ou, utilizando as formas padrões ωp T ( S )= onde ω90 x ( S +ω0 )⋅( S 2+1,8794⋅ω0⋅S +ω20 )⋅( S 2+1,5321⋅ω0⋅S+ω20 ) 1 2 2 (S +ω0⋅S+ω0 )⋅( S 2+0,3472⋅ω0⋅S +ω20 ) ω0 = ωp ε 1 n = 6,773 ⋅ 104 rad/s Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 22 Diagrama de Bode Exemplo: w p=10kHz (Amáx=1dB), w s=15kHz (Amin=25dB) 0 Magnitude (dB) -10 -20 -30 -40 -50 Fase (graus); 0 To: Y(1) -200 -400 -600 104 105 Freqüência (rad/seg) Figura 5: Resposta do exemplo. No MATLAB: [b a]=butter(9,2*pi*10000,'low','s'); bode(b,a); 25.8.3 Exemplo 2 Projetar um filtro Butterworth passa altas, com ordem não menor do que três e que atenda as seguintes especificações: ganho máximo da banda de passagem igual a 0dB; ganho mínimo na banda de passagem igual a -3dB; ganho máximo na banda de atenuação igual a -20dB; frequência de passagem de 10kHz; frequência de atenuação de 5kHz. ωp=1rad/s, ωs= (10/5)rad/s. Amáx = 3dB, Amín = 20dB [ ε= 10 Amáx 10 −1 1 2 ] ≅1 Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 23 log n⩾ S k =e [ (100,1⋅Amin −1 ) (100,1⋅Amáx −1 ) ] ≥ 3,31 2⋅logω s ( j π⋅ 2 2⋅k+ n−1 n ) S1,2 = 0,3827 + j0,9239 ( s 2+0,7654⋅s+1 ) S3,4 = 0,9239 + j0,3827 ( s 2+1,8478⋅s+1 ) s2 s2 T s 2 ⋅ , onde ω0=2π10000Hz. s 0,7654⋅ 0⋅s 20 s21,8478⋅ 0⋅s 20 25.8.4 Aproximação de Chebyshev (I) A aproximação de Chebyshev (que pode aparecer com diferentes grafias dependendo da tradução feita) é equiripple na banda passante. Esta aproximação tem o corte mais abrupto dentre as funções polinomiais para um dado grau e Amáx −1 K (ω)=ε⋅C n (ω)=ε⋅cos [n⋅cos (ω)] , para ∣ω∣⩽1 K (ω)=ε⋅C n (ω)=ε⋅cosh [n⋅cosh−1 (ω)] , para ∣ω∣>1 A normalização de funções Chebyshev pode ser feita para a frequência ωp pela equação ω= ωω p ∣H (ω)∣2 =1+ε2⋅C 2n (ω) , onde Cn(1) = 1 A(ω)=10⋅log [ 1+ε2⋅C 2n ( ω) ] Sabendo que Amáx = A( ω p )= A(1) e A(ω S )⩾Amin Amin ⩽10⋅log [ 1+ε2⋅C 2n (ω S ) ] Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 24 Amin ⩽10⋅log [ 1+ε ⋅cosh [ n⋅cosh (ω) ] ] 2 −1 cosh n⩾ [ 2 −1 1 2 ] ( 100,1⋅Amin−1 ) ( 100,1⋅Amáx −1) , cosh−1 (ωs ) onde Amáx e Amin estão em dB; ω s é calculado de 4 formas diferentes. A aproximação de Chebyshev pode ser obtida por 2 2 ∣H (ω)∣ =1+∣K (ω)∣ H S ⋅H −S =1 K S ⋅K −S H ( S )⋅H (−S )=1+ε2⋅C 2n ( ω) onde C n+1 (ω)=2⋅ω⋅C n ( ω)−C n−1 (ω) sendo C 0 (ω)=1 e C n (1)=1 C 2n (ω)=0,5⋅[ 1+C 2n (ω) ] s k =σ k ± j ωk , k =1, 2, ... ]} { [( ) ( )] ]} { [( ) ( )] { [ (2⋅k −1)⋅π 1 1 ⋅ senh ⋅senh−1 ε 2⋅n n { [ (2⋅k −1)⋅π 1 1 ⋅ cosh ⋅senh−1 ε 2⋅n n σ k = ±sen ω k = ±cos } } O ganho (G0) da função de transferência T(S) deve ser ajustado para que que T(0)=0dB quando o grau do filtro for ímpar e T(0)=-Amáx quando o grau do filtro for par (em função do ripple na banda de passagem). G0 =a 0 , para grau ímpar. − Amáx 20 G0 =a 0⋅10 , para grau par. Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 25 Ou, genericamente, G0 = 1 (para grau par ou impar). ⋅2 n−1 S Para desnormalizar substituir S =ω p As raízes estão dispostas sobre uma elipse 25.8.5 Exemplo 3 Calcule o filtro Chebyshev com ωp=10kHz, ωs=15kHz, Amáx=1dB, Amin=25dB [ Amáx 10 ε= 10 −1 cosh n⩾ −1 [ 1 2 ] = 0,5088 ( 100,1⋅Amin−1 ) ( 100,1⋅Amáx −1) 1 2 ] ( = 4,41 com ω s= −1 cosh ωs ) 15000 . Usar n = 5 10000 k=1, Sk =−0,0895±0,9901 i , S20,1790⋅S 0,9883 k=2, Sk =−0,2342±0,6119 i , S20,4684⋅S 0,4293 k=3, Sk =−0,2895 , S 0,2895 fazendo T ( S )= a desnormalização diretamente com as formas padrões, 0,12283⋅ω 5p ( S̄+0,2895⋅ω p)⋅( S 2̄+0,4684⋅ω p⋅S ̄+0,4293⋅ω 2p )⋅( S 2̄+0,1790⋅ω p⋅S̄+0,9883⋅ω 2p) onde p=2⋅⋅104 Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 26 Diagrama de Bode Exemplo: w p=10kHz (Amáx=1dB), w s=15kHz (Amin=25dB) Magnitude (dB) 0 -10 -20 -30 -40 -50 Fase (graus); 0 -200 -400 -600 104 105 Freqüência (rad/seg) Figura 6: Resposta do exemplo. No MATLAB: [b a]=cheby1(5,1,2*pi*10000,'low','s'); bode(b,a); 25.8.6 Exemplo 4 Projete um filtro que atenda as seguintes especificações: Tenha ganho de -3dB nas frequências de 1000 e 5000Hz; Tenha ganho de aproximadamente 3dB na frequência de 2000Hz; Atenue 20dB em 8kHz; Tenha ganho nulo em DC. Encontrar o gabarito do filtro: Amáx = 3dB, nas frequências centrais Amin = 20dB, na frequência externa Filtro passa faixas com f1= 1000Hz, f2= 5000Hz, f4= 8000Hz e f3=??. Este filtro é um passa faixa onde ω3 não foi informado. Então podemos ajustá-lo de forma a deixar o filtro simétrico. f0= (f1⋅f2)0,5 = 2236Hz Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 27 f3 = (f2⋅f1) / f4 = 625Hz. K=3dB Agora temos que resolver o problema do ganho. O ganho pode ser implementado no final pois ele não influencia no formato da curva, porém, devemos ter atenção. Se o ganho deve ser de +3dB na faixa de passagem e de -3dB em f1, há uma variação permitida de 6dB na faixa de passagem! Então, podemos alterar o ganho para 0dB e a Amáx para 6dB. Após o projeto, inserimos um ganho de 3dB para ajustar os valores do projeto. K = 0dB Amáx = 6dB Determinar o passa baixas normalizado equivalente Ωp = 1 rad/s Ωs = (ω4 – ω3) / (ω2 – ω1) = 1,84 rad/s Determinar a aproximação Como não há especificações que impeçam o uso de qualquer aproximação, podemos escolher aquela que produz o filtro com menor grau. Dentre os filtros Butterworth e Chebyshev o último costuma apresentar menor grau. Há um problema que requer atenção especial, com esta escolha do Chebyshev, teremos que testar o ganho em 2kHz após a implementação, para saber se o filtro realmente tem ganho de aproximadamente 3dB nesta frequência. Calcular o grau do filtro ε=√ 100,1⋅Amáx −1 = 1,72 −1 cosh n= 100,1⋅Amin −1 = 2,00! −1 cosh s Encontrar a função de transferência do passa baixas normalizada Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 28 s k = k ± j⋅ k { } { { } { 12k ⋅ 2 n k = ±sen k = cos 12k 2 n ⋅ senh ⋅ cosh } } 1 1 arcsenh n 1 1 arcsenh n SK = -0,1979 ±j0,7343 = –a ± j⋅b H(S) = S2 + 2⋅a⋅S + (a2 + b2) = S2 + 0,3958⋅S + 0,57836 T S = 1 S 0,3958⋅S 0,57836 2 Aplicar a desnormalização adequada na T(S), substituir S por (S2 + ω02)/(ω2 – ω1)⋅S = (S2 + 140492) / (2⋅π⋅4000⋅S) T S = K⋅1 2 2 2 S 14049 S 214049 2 0,3958⋅ 0,57836 2⋅⋅4000⋅S 2⋅⋅4000⋅S Este filtro tem ganho unitário na banda de passagem e atenua 6dB nas frequências de corte. Par obter ganho de 3dB na banda de passagem e atenuação de 3dB nas frequências de corte basta fazer o ganho K=1,41 (+3dB). 25.8.7 Exemplo 5 Um filtro deve atender, aproximadamente, as seguintes especificações: Atenuação de 35dB na frequência de 1000Hz; Atenuação de 3dB na frequência de3500Hz; A oscilação máxima na banda de passagem não deve ultrapassar 3dB; O filtro deve alterar minimamente a fase do sinal na banda de passagem. Escolher entre as aproximações de Butterworth e Chebyshev. Identifique o tipo de filtro, desenhe o seu gabarito e identifique os pontos do gráfico. Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 29 Atenuação 35dB 3dB Ripple 3dB 0dB 1000 f 3500 Amin = 35dB, fs = 3500Hz Amáx = 3dB, fp = 1000Hz É um filtro passa altas. Se o ripple máximo é 3dB e a máxima atenuação na banda de passagem é 3dB então a menor atenuação da banda de passagem é 0dB. Assim, o ganho na banda de passagem é 0dB. Se o filtro deve alterar minimamente a fase do sinal na banda de passagem, e só podemos escolher entre Butterworth e Chebyshev, devemos escolher Butterworth. Projetar o filtro = 100,1⋅Amáx−1=0,9976 (podemos adotar ε = 1, pois Amáx = 3dB). log n≥ 10 0,1⋅Amin −1 2 fs 2⋅log fp sk =cos ≥3,21=4 2kn−1 2kn−1 ⋅ ± j⋅sen ⋅ 2 n 2 n S1,2= –0,382683±j0,0,923879=–a ± j⋅b. Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 30 Polinômio: S2+2⋅a⋅S+(a2+b2) = S2+0,7653⋅S+1 S3,4= –0,923879±0,382683 =–a ± j⋅b. Polinômio: S2+2⋅a⋅S+(a2+b2) = S2+1,8477⋅S+1 T PBNormalizada s= 1 1 ⋅ 2 s 0,7653 s1 s 1,8477 s1 2 Desnormalizar Primeiro: Como o filtro é Butterworth desnormalizar o ε. Para ε=1 não há desnormalização. Segundo: Desnormalizar a frequência. s2 s2 T PB S= 2 ⋅ , onde s 0,7653⋅ 0⋅s 20 s 21,8477⋅ 0⋅s 20 0=2⋅⋅3500 rad/s Se for acrescentado, após o projeto do filtro, um estágio de ganho x5. Quanto será a atenuação na frequência de 3500Hz? Ganho x5 corresponde a ganho de 13,97dB. Então o ganho em 3500Hz será aproximadamente 13,97dB-3dB=10,97dB. Outra forma de calcular é multiplicar o ganho em 3500Hz (0,707) por 5. O resultado é 3,53, ou seja, 10,97dB. Também poderíamos ter calculado substituindo K1⋅K2 por 5 e “s” por j(2⋅π⋅3500) na função TPA(s). O resultado é 3,53 que corresponde a 10,97dB! 25.8.8 Soluções tabeladas Apesar de existirem algoritmos para o cálculo dos filtros é muito comum encontrarmos tabelas com os polinômios normalizados. A seguir são apresentados algumas tabelas com os polinômios mais comuns. Nelas a função de transferência é separada em seções de primeira e Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 31 segunda ordem. Estão indicados os graus dos filtros (N), o valor de ω e Q de cada seção. Para os filtros de grau impar, uma das seções é de primeira ordem e não apresenta Q. Parâmetros para filtros de Butterworth (3dB de ganho na frequência de corte) N ω1 Q1 ω2 Q2 ω3 Q3 2 1,00000 0,707107 3 1,00000 1,00000 1,00000 - 4 1,00000 1,30656 1,00000 0,541196 5 1,00000 1,61803 1,00000 6 1,00000 1,93185 7 1,00000 8 1,00000 ω4 Q4 0,618034 1,00000 - 1,00000 0,707107 1,00000 0,517638 2,24698 1,00000 0,801938 1,00000 0,554958 1,00000 - 2,56291 1,00000 0,899977 1,00000 0,601345 1,00000 0,50599 *Ganho unitário Parâmetros para filtros de Bessel (desvio de fase de N / 4 rad na frequência de corte) N ω1 Q1 ω2 Q2 ω3 Q3 2 1,00000 0,577350 3 1,07869 0,691047 0,985560 - 4 1,07890 0,805538 0,962319 0,5521935 5 1,08504 0,916478 0,962003 6 1,09270 1,02331 7 1,10034 8 1,10046 0,563536 0,928640 - 0,969010 0,611195 0,920141 0,510318 1,12626 0,978443 0,660821 0,921478 1,22567 0,982040 0,710853 0,921150 Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 ω4 Q4 0,522356 0,904336 - 0,559609 0,894187 0,505991 32 Parâmetros para filtros de Chebyshev (ripple de 0,5 dB na faixa de passagem) N ω1 Q1 ω2 Q2 ω3 Q3 2 1,23134 0,863721 3 1,06885 1,70619 0,626456 - 4 1,03127 2,94055 0,5977002 0,70511 5 1,01774 4,54496 0,690483 6 1,01145 6,51283 7 1,00802 8 1,00595 ω4 Q4 1,17781 0,362320 - 0,768121 1,81038 0,396229 0,683639 8,84181 0,822729 2,57555 0,503863 1,09155 0,256170 - 11,5308 0,861007 3,46568 0,598874 1,61068 0,296736 0,676575 Parâmetros para filtros de Chebyshev (ripple de 2 dB na faixa de passagem) N ω1 Q1 ω2 Q2 ω3 Q3 2 0,977227 1,12865 3 0,941326 2,55164 0,368911 - 4 0,963678 4,59388 0,470711 0,929449 5 0,975790 7,23228 0,627071 6 0,982828 10,4616 7 0,987226 8 0,999141 ω4 Q4 1,77509 0,218308 - 0,730027 2,84426 0,316111 0,901595 14,2802 0,797114 4,11507 0,460853 1,64642 0,155340 - 18,6873 0,842486 5,58354 0,571925 2,532267 0,237699 0,892354 25.9 Síntese de filtros ativos 25.9.1 Realizações Filtros passivos RLC (particularmente as redes ladder LC) com as seguintes características: Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 33 • Baixa sensibilidade aos componentes; • Difícil de sintonizar e necessita de indutores; • Ainda utilizados em altas frequências – indutores menores; • Podem ser transformadas em filtros ativos Filtros a capacitor chaveado (anos 70) • Compatibilidade com tecnologia CMOS – fácil de integrar (precisão de 0,1%) Corrente chaveada (final dos anos 80) • Semelhante ao capacitor chaveado Filtros MOSFET-C (anos 80) • Resistores ativos obtidos com transistores MOSFET • Resistências podem ser ajustadas por tensão – sintonia automática • Problemas com linearidades dos MOSFET Filtros OTA-C • Permite atuar em altas frequências • Problemas com relação a linearidade dos OTAs Filtros ativos RC • Filtros ativos RC em cascata (biquads – seções de primeira e segunda ordem); • Redes com 1 Amp. Op.; • Redes com vários Amp. Op.; • Redes multirealimentadas; • Redes Ladder RLC com simulação de indutores; • Redes Ladder RLC com escalamento de impedância para uso com FDNR; • Redes Ladder LC simuladas. Comparado aos filtros passivos podemos listar as seguintes vantagens dos filtros ativos: • Usa R e C (capacitores práticos tem comportamento mais próximo ao teórico do que indutores); • Não sofrem influência dos campos eletromagnéticos gerados pelas indutâncias presentes nos filtros passivos; Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 34 • São baratos; • Podem ter ganho e raramente tem perdas como nos filtros passivos; • São fáceis de sintonizar; • Filtros de baixa frequência podem ser obtidos com componentes de valores modestos; • São leves e pequenos; • Tem baixa impedância de saída (isto permite que sejam ligados em série). Comparando com filtros passivos podemos listar as seguintes desvantagens dos filtros ativos: • Necessitam de alimentação; • São limitados pelas características reais dos Amp. Ops. (resposta em frequência, saturação, limitação de fornecer corrente, slew-rate, ganho finito, impedância de entrada finita, resistência de saída diferente de zero, ); • São mais sensíveis a variações nos componentes, o que resulta em maiores variações de ω e Q (esta é uma das razões pela qual se aumentam número de elementos ativos nos filtros); • São mais ruidosos; • Não tem isolação galvânica; • Podem oscilar; Nesta disciplina serão estudados alguns filtros ativos RC ligados em cascata. Nestes projetos devemos preferencialmente: • Dividir o filtro em seções de primeira e segunda ordem; • Interligar as seções em cascata (esta característica que facilita o projeto também é responsável pela maior sensibilidade destes filtros a variações nos componentes); • Evitar capacitores eletrolíticos, e dar preferência a capacitores de polipropileno, mica e cerâmica); • Distribuir o ganho entre todas as seções; • Utilizar um possível passa baixas como primeiro estágio de filtragem para eliminar as altas frequências e diminuir problemas com slew-rate; • Colocar uma eventual seção passa altas como estágio de saída para diminuir problemas com off-set; • Manter a banda de passagem o mais plana possível, sempre; • Manter polos e zeros próximos. Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 35 25.10 Filtros de primeira ordem RC 25.10.1 Filtro passa baixas RC de primeira ordem Um filtro passa baixas de primeira ordem pode ser obtido pela função de transferência T S =K⋅ 0 S 0 onde σο é chamada de frequência de corte do filtro, pois corresponde ao ponto onde o ganho na faixa de passagem diminui 3dB (0,707 vezes menor). Este ponto é conhecido como ponto de meia potência e costuma ser utilizado genericamente como frequência de corte. Os dois principais circuitos que implementam esta função estão apresentados na figura abaixo. Um deles é o próprio integrador com perdas. O segundo, com a mesma função, pode ser utilizada em altas frequências pois sofrem menos influência das características dinâmicas do AO. Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 36 Para o primeiro circuito 1 vO s Rf Rf ⋅C =− ⋅ vi s Ri 1 s+ Rf ⋅C e para o segundo circuito 1 vO s R⋅C = v i s 1 s R⋅C . 25.10.2 Filtros passa altas RC de primeira ordem Filtros passa altas de primeira ordem pode ser obtido pela função de transferência S T S =K⋅ S 0 onde σ0 é a frequência de corte do filtro. Os dois principais circuitos que implementam a função de transferência do passa altas são apresentados na próxima figura. O primeiro deles corresponde ao derivador modificado e o segundo uma implementação passiva com um buffer na saída. Este último pode ser utilizado em frequências mais elevadas com menos influência das limitações dinâmicas do AO. Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 37 Para o primeiro circuito vO s Rf =− ⋅ vi s Ri s s+ 1 Ri⋅C , e para o segundo vO s = v i s s s 1 R⋅C 25.11 Filtros de segunda ordem RC Nesta seção serão apresentadas algumas formas de se obter filtros de segunda ordem com topologias de 1 ou mais amplificadores operacionais. As configurações de 1 amplificador normalmente apresentam características de frequência de corte, ganho e fator de mérito mais sensíveis as variações nos componentes porém são de implementação mais barata. 25.11.1 Filtros variáveis de estado Os filtros variáveis de estado apesar de necessitarem de no mínimo três Aos apresentam muitas vantagens que tornam atrativa a sua integração. Estes filtros podem ser utilizados em funções de transferências com Q elevado (10<Q<500) e frequências de corte mais altas que aquelas possíveis para as topologias de um só amplificador. Além do mais, uma mesma topologia de circuito permite a implementação de filtros passa baixas, passa altas e passa faixa. O ajuste do Q e de ωο são simples e relativamente independentes além de permitirem sintonia (ajuste da frequência de corte) controlada por tensão. Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 38 Por todas estas razões é muito comum encontrarmos esta topologia integrada em circuitos como o LTC1563 e o LTC1568 da Linear Technology e os MAX270 e MAX271, MAX274 e MAX275 da Maxim (estes últimos implementam em um só integrado filtros de até oitava ordem). O desenho básico do filtro de variáveis de estado esta representado no diagrama em blocos abaixo. O mesmo circuito, pode ser um passa altas, um passa baixa, ou um passa faixa, dependendo apenas de onde é retirado o sinal de saída do filtro. Equacionamento da saída passa altas v PA=v i − A⋅0⋅v PA B⋅ 20⋅v PA − s s2 v PA s2 = v i s 2 A⋅ 0 sB⋅20 Equacionamento da saída passa faixa v i⋅0 A⋅ 0⋅v PF B⋅ 20⋅v PF v PF =− − − s s s2 v PF s⋅ω 0 = 2 v i s +A⋅ω 0⋅s +B⋅ω 20 Equacionamento da saída passa baixas 2 2 2 v PB⋅s =v i⋅ 0−B⋅0⋅v PB −A⋅ 0⋅s⋅v PB Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 39 v PB 20 = v i s 2 A⋅ 0⋅sB⋅ 20 Se A= 1 e B=1 as funções de transferência são idênticas as dos gabaritos apresentados Q anteriormente. O circuito que implementa o diagrama de blocos pode ser facilmente obtido com o circuito abaixo. As equações para os parâmetros são ω0= Q= K3 R1⋅R2⋅C1⋅C2 1 K4 K3⋅R1⋅C1 ⋅ 1K3 R2⋅C2 K PB = K4⋅ 1K3 K3⋅ 1K4 K PA= K4⋅ 1K3 1K4 K PF =−K4 Normalmente a escolha dos componentes é feita de forma que R1=R2, C1=C2, e K3=1. Estes filtros permitem algumas modificações interessantes. Uma delas é o controle da frequência de corte usando multiplicadores e controle por tensão. Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 40 KPa=KPb= ω 0= Q= 2⋅K4 1 +K4 Ec 10⋅R⋅C 1 +K4 2 Se as três saídas originais do filtro forem somadas de forma apropriada, para produzir uma saída Vo, pode-se obter, neste ponto, qualquer função de transferência de segundo grau, incluindo aquelas com zeros complexo conjugados. Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 41 α S 2 +βS+θ G( s )= 2 AS +BS+C ( VO = VI [( ) R F⋅K PA 2 ⋅S + RA 1+ ) RF ⋅ω0 R A // RB ] ⋅K PF ⋅S + Q ω S 2+ 0⋅S+ω20 Q R F⋅K PB 2 ⋅ω0 RB O numerador vale ⋅s2⋅s De onde pode se calcular diretamente as parcelas. = 2RF K 4 R A 1 +K 4 2( 1+ β = θ= RF )K R A // R B 4 (1 +K 4 ) RC 2R F K 4 2 R B 1 +K4 R C 2 Para a síntese de filtros elípticos ou rejeita faixas temos: ⋅S 2 +θ Gs = 2 , AS +BS +C β=0 2R K R A= F 4 1 +K 4 RB= 2RF K 4 2 θ 1 +K 4 R C 2 Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 42 25.11.2 Exemplo 1 A Burr Brown fabricava um integrado híbrido (UAF42), cujo diagrama em blocos está desenhado abaixo. De posse deste integrado, de capacitores, AO e resistores, projetar um filtro de 3° ordem de Chebyshev, passa alto, com máxima atenuação na banda de passagem de 1dB e frequência de corte de 2kHz. O filtro deve ter módulo 2 na frequência de passagem. Desenhar o circuito indicando os pinos do circuito integrado. Usar a menor quantidade de componentes. Examinando o integrado nota-se que o é possível implementar com facilidade um filtro do tipo variável de estado. Como o filtro é de 3°ordem o AO adicional pode ser utilizado para implementar a seção de 1° ordem. Da tabela dos polinômios de Chebyshev com atenuação máxima de 1dB e n=3. O filtro passa baixas normalizado é: T S = 0,99420 0,49417 ⋅ S 0,49417⋅S 0,99420 S 0,49417 2 Para desnormalizar o filtro substituir S por 0 2⋅⋅2000 12566 = = S S S Finalmente, precisamos considerar que o módulo do ganho, nas frequências de passagem, deve ser 2. Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 43 T S =2⋅ 0,99420 125662 12566 0,49417⋅ 0, 99420 2 S S ⋅ 0,49417 12566 0,49417 S 0,99420⋅S 2 0,49417⋅S T S =2⋅ ⋅ 2 0,99420⋅S 6210⋅S157904356 0,49417⋅S12566 S2 S T S =2⋅ 2 ⋅ S25428 S 6246⋅S 158825544 O filtro de variáveis de estado já vem praticamente montado no integrado. Faltam interligar os integradores com resistores R1 (da saída passa altas para o integrador do passa faixa) e R 2 (da saída passa faixa para o subtrator da entrada). A entrada do filtro corresponde ao pino IN3. Os parâmetros do filtro são 0= K PA= K3 1K 4 K 3⋅R1⋅C 1 , e Q= ⋅ R1⋅R2⋅C 1⋅C 2 1K 3 R2⋅C 2 K4⋅1K3 . 1K4 onde C1=C2=1000pF, K4=K3=1, 0= 158825544=12602 . Como 0 =6210 , Q Q=2 . Podemos montar um sistema de 2 equações, 2 incógnitas (R1 e R2): Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 44 Q=2= R1 R2 R1 =4⋅R2 20=126022 = 1 4⋅R22⋅ 1000⋅10-12 2 R2 =39676 R1 =158705 Falta projetar o filtro de 1° ordem, com ganho 2. Isto pode ser realizado com o AO que está sobrando no integrado. A função de transferência T S = 2⋅S S 25428 pode ser implementado com T S =− Rf S ⋅ Ri 1 S C⋅Ri onde 1 =25428 . C⋅Ri Se C=1000 pF , Ri =39326 Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 45 Como Rf =2 Ri R f =78652 25.11.3 Exemplo 2 Utilizando um filtro variáveis de estado, projete um equalizador de ganho que possua as características da figura e tabela abaixo. Este equalizador deve ter sua curva de ganho ajustável por tensão externa (vC). O desvio máximo dos parâmetros é de 5%. Use valores comerciais para os componentes. vC ∣T S ∣ +4V +12dB +1V 0dB +0,25 -12dB 0 S 20 Q T S =K 0⋅ 0 S 2 S 20 Q S 2K Como o patamar é 0dB, o ganho K0=1. Nos extremos: K1=4 (12dB), K2=0,25 (-12dB). Projeto do filtro Se fizermos K 3=K 4=1, R3= R4 , C=C 1=C 2, K PB=−K PF =K PA=1 então 1 1 0= ⋅ C R1⋅R 2 Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 46 Q= R1 =2 R2 R1 =4 R2 R1 =4⋅R2 R2 =0, 25⋅R1 Substituindo em ω0 0= 1 1 ⋅ C⋅R 1 0,25 C⋅R1 =3,1831⋅10−4 C=6,8 nF , R1 =47k C⋅R1=3,196⋅10−4 . Assim R2 = R1 =11 ,75 k 4 Comercialmente R2 =12k Conferindo os desvios f 0 =985,5 Hz −1,4 % , Q=1,979−1 % , K 0 =10 % Para obter o filtro controlado por vC é preciso somar T S =v PAv C⋅v PF v PB Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 47 Assim vC=Ki, ou seja, vC=4V para K1=4, vC=1V para K0=1, vC=0,25 para K2=0,25. 25.11.4 Configurações de um único amplificador operacional Filtros com um único AO normalmente não estão disponíveis em integrados mas podem ser facilmente implementados de forma discreta. As duas configurações de filtros mais utilizadas são: Ganho Infinito Realimentação Múltipla (GIRM ou MFB) e Fonte de Tensão Controlada por Tensão (FTCT ou Salen-Key). A topologia dos dois filtros é mostrada na figura a abaixo. Biquad - FTCT (Sallen Key) Biquad – MFB Note que no desenho das topologias MFB e Sallen-Key estão representadas as impedâncias de cada configuração. A medida que as impedâncias são trocadas por resistências ou capacitores a função do filtro muda. Alterações no ganho das funções de transferência podem ser realizados com um divisor de tensão na entrada do filtro (desde que mantenha a impedância de entrada inalterada) ou utilizando um divisor de tensão na saída do operacional e usando este divisor para realimentar o filtro. No primeiro caso se obtém uma redução do ganho, no segundo um aumento. Estas técnicas não alteram os outros parâmetros da função de transferência. Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 48 Sallen Key MFB PB PA PF PB PA PF Z1 R C R R C R Z2 R C C C R - Z3 C R R R C C Z4 C R R R C C Z5 - - C C R R Parâmetros para os filtros Sallen Key ωΟ2 Q PB 1 R1⋅R2⋅C 3⋅C 4 R1⋅R 2⋅C 3⋅C 4 PA 1 C 1⋅C 2⋅R3⋅R 4 PF R 1 R4 R1⋅R3⋅R4⋅C 2⋅C 5 K m 1−m⋅R1⋅C 4 C 3⋅ R1 R2 C 1⋅C 2⋅R 3⋅R4 m 1−m⋅R3⋅C 2 R4⋅C 1C 2 R1R 4⋅R1⋅R3⋅R 4⋅C 2⋅C 5 [ R4R1⋅1−m]⋅R3⋅C 2 R1⋅R4⋅C 2C 5 R ⋅1−m m 1 R ⋅C R R4 1 1 5 1 R3⋅C 2 R3 Parâmetros para os filtros MFB ωΟ2 Q PB 1 R3⋅R4⋅C 2⋅C 5 C 2 /C 5 PA 1 R2⋅R5⋅C 3⋅C 4 PF 1 R1⋅R5⋅C 3⋅C 4 K R 3⋅R4⋅[ 1/ R11/ R31/ R 4 ] R2⋅R5⋅C 3⋅C 4 R2⋅C 1 C 3C 4 R1⋅R5⋅C 3⋅C 4 R1⋅C 3C 4 Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 − − R4 R1 − C1 C4 R5 C3 ⋅ R1 C 3 C 4 49 Os filtros passa baixas são bons para uso com Q<10. A escolha dos componentes fica muito sensível e o projeto torna-se crítico para Q elevados. A configuração MFB apresenta resultados melhores para este tipo de filtro já que os filtros Sallen-Key tem sérias restrições de sintonia e frequência. 25.11.5 Passa baixas Sallen-Key Circuito: Função de transferência: m Vos R1⋅C4⋅C3⋅R2 = Vi s 2 1 1 m−1 1 s +s⋅ − R1⋅C4 R2⋅C4 R2⋅C3 R1⋅R2⋅C3⋅C4 [ ] Função de transferência geral do filtro passa baixas de segunda ordem: Vos = Vi s K⋅ω 20 ω s 2 +s⋅ 0 +ω20 Q Comparando as duas equações podemos verificar como cada componente afeta os valores de K, Q e T0. Uma solução para ajustar os componentes é: Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 50 C3 = C4 = C, e R1 = R2 = Rx Rx= 1 ω 0⋅C Q ≥ 0,5 m= 3− 1 Q m=∣K∣ Uma das soluções de mínima sensibilidade para a maioria dos componentes é: m=K=1 R1=R2=1 2Q C4= 0 C3= 1 2 0 Q Para esta solução, entretanto, a diferença entre os capacitores é proporcional a Q2: Outra solução muito conhecida e com um bom comprometimento entre sensibilidade e facilidade no ajuste dos componentes é a solução de Saraga: C3=1 C4= 3Q R2= 1 3 0 R1= 1 Q 0 Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 51 4 m=K= 3 OBS.: Para qualquer uma das soluções podem ser realizados escalamentos de impedância. Para isto basta multiplicar os resistores e dividir os capacitores simultaneamente por um fator “b”. 25.11.6 Passa baixas MFB Circuito: Função de transferência: 1 Vos R1⋅R3⋅C2⋅C5 =− Vi s 1 1 1 1 s2 +s⋅ R1⋅C2 R3⋅C2 R4⋅C2 R3⋅R4⋅C2⋅C5 [ ] Função de transferência geral do filtro passa baixas de segunda ordem: Vos = Vi s 2 K⋅ω 0 ω s 2 +s⋅ 0 +ω20 Q Comparando as duas equações podemos verificar como cada componente afeta os valores de K, Q e T0. Uma solução para ajustar os componentes é: Fazer Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 52 C2 = C C5 = X @C2 R4= [ 1 4⋅Q2⋅∣K∣1 ⋅ 1± 1− X 2⋅Q⋅ 0⋅C ] R R1 = 4 ∣K∣ R3= 1 ω 20⋅R4⋅C2⋅C5 Bom para KQ>100 e ganho de malha aberta dos amp. op. > 80dB 25.11.7 Passa altas Sallen-Key Circuito: Função de transferência: Vos = Vi s s 2⋅m 1 1 m−1 1 s 2 +s⋅ − R3⋅C2 R3⋅C1 R4⋅C1 R4⋅R3⋅C1⋅C2 [ ] Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 53 Função de transferência geral do filtro passa altas de segunda ordem: Vos = Vi s K⋅s 2 ω s 2 +s⋅ 0 +ω20 Q Comparando as duas equações podemos verificar como cada componente afeta os valores de K, Q e T0. Uma solução para ajustar os componentes é: Fazer C1 = C2 = C, e R3 = R4 = Rx Rx= 1 ω 0⋅C m= 3− 1 Q , para Q ≥ 0,5 m=∣K∣ As soluções alternativas, propostas para o filtro passa baixas Sallen-Key, podem ser utilizadas e o filtro pode ser desnormalizado diretamente nos componentes. Substituir Resistores por Capacitores de valor 1/R 0 Substituir Capacitores por Resistores de valor 1/C 0 25.11.8 Passa altas MFB Circuito: Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 54 Função de transferência: C1 s 2⋅ Vos C4 =− Vi s C1 1 1 1 2 s +s⋅ C4⋅R5 C3⋅R5 C3⋅C4⋅R5 C3⋅C4⋅R2⋅R5 [ ] Função de transferência geral do filtro passa altas de segunda ordem: Vos = Vi s K⋅s 2 ω s 2 +s⋅ 0 +ω20 Q Comparando as duas equações podemos verificar como cada componente afeta os valores de K, Q e T0. Uma solução para ajustar os componentes é: Fazer C1 = C3 = C C C 4= 1 ∣K∣ R 5= Q ⋅2⋅∣K∣1 ω 0⋅C R 2= 1 0⋅Q⋅C⋅2⋅∣K∣1 Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 55 Bom para KQ>100 e ganho de malha aberta dos amp. op. > 80dB 25.11.9 Passa Faixa Sallen-Key Circuito: Função de transferência: m s⋅ Vos R1⋅C5 = Vi s 2 1 1 1 m−1 R1+R4 s +s⋅ − R1⋅C5 R3⋅C2 R3⋅C5 R4⋅C5 R1⋅R3⋅R4⋅C2⋅C5 [ ] Função de transferência geral do filtro passa faixa de segunda ordem: ω K⋅s⋅ 0 Vos Q = Vi s 2 ω 0 s +s⋅ +ω20 Q Comparando as duas equações podemos verificar como cada componente afeta os valores de K, Q e T0. Uma solução para ajustar os componentes é: Fazer C2 = C5 = C Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 56 R1 = R3 = R4 = Rx Rx= 2 ω 0⋅C m= 4− Q≥ K= 2 Q 2 3 m 1 = 0⋅ 2⋅2− R1⋅C5 Q 25.11.10 Passa faixas MFB Circuito: Função de transferência: 1 s⋅ Vos R1⋅C4 =− Vi s 1 1 1 s2 +s⋅ C4⋅R5 C3⋅R5 C3⋅C4⋅R1⋅R5 [ ] Função de transferência geral do filtro passa faixa de segunda ordem: Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 57 ω K⋅s⋅ 0 Vos Q = Vi s 2 ω 0 s +s⋅ +ω20 Q Comparando as duas equações podemos verificar como cada componente afeta os valores de K, Q e T0. Uma solução para ajustar os componentes é: Fazer C3 = C4 = C R1= Q ∣K∣⋅ 0⋅C R5= 2⋅Q ω 0⋅C K=−2⋅Q⋅ 0 25.11.11 Rejeita faixa (ou Notch) O filtro rejeita faixa também é chamado de “notch” pois muitas vezes é utilizado para eliminar uma determinada frequência ou uma faixa de frequências muito estreita. Isto é muito utilizado para reduzir a interferência de sinais de 60 Hz em instrumentos de precisão. 25.11.12 Rejeita faixa Sallen-Key (modificado – com rede duplo T) Circuito: Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 58 A escolha dos componentes pode ser feita da seguinte maneira: C1=C2=C, R1=R2=R C4=2C, R5=R/2 0= Q= 1 R⋅C 1 , Q>=0,25 4−2⋅m K=m , m<2 25.11.13 Rejeita faixa MFB (modificado) Circuito: Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 59 Observe que o circuito rejeita faixa MFB funciona como se fosse “1 - PF” MFB. O projeto pode ser feito com as seguintes relações: ˙ C3=C4 , Rb=R5 , Ra=2 R1 K= R5 R52⋅R1 0= Q= 1 C⋅ R1⋅R5 1 R5 2 R1 25.11.14 Exemplo 1 Projetar um filtro PA do tipo MFB com as seguintes características: fo=1,5kHz, Q=0,7, K=20dB. As características do filtro não podem sofrer desvio maior que 5%. Usar valores comerciais para os componentes. Garantir que o filtro funcione até uma frequência de 100kHz. Calcular o produto ganho-faixa do AO necessário para que esta especificação seja atendida. Justificar o procedimento de cálculo. Solução: Escolhendo C 3=C 4=C ,C 1= A⋅C , R5 =R , R2 =B⋅R Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 60 K =−A=−10 Q= B 2A B Q=0,7= 2 A B=70,56 com valores de resistores com precisão de 10% uma boa escolha para os resistores é R=R 2=4,7 k , R5=330k . A frequência de corte é 0= C= 1 =2⋅⋅ f 0 R⋅C⋅ B 1 =2,694 nF 2⋅⋅ f 0⋅R⋅ B Comercialmente C=2,7 nF ,C 3=C 4=2,7 nF ,C 1=27nF Variação nos parâmetros do filtro: f 0 =1, 497 kHz , f 0=−2,2 % Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 61 Q=0,6983 , Q=−2,5 % K 0 =−10, K =0 % A determinação do produto ganho faixa pode ser realizada se for encontrado o ganho da malha de realimentação. O limite de funcionamento deste filtro ocorre quando o ganho diferencial do AO se torna igual ao ganho de rede de realimentação O ganho da rede é ∣ ∣ v 0 S =∣A S ∣ v – S onde A S = Ad⋅p Ad⋅p ≈ S p S GBW =A S ⋅S≈ Ad⋅p Para o PA MFB a rede de realimentação é 2 v0 S v – S = 1 C1 C4 ⋅ S [ [ ] C 1C 4 C 3 C 3 1 1 ⋅ ⋅S C 3⋅C 1 C 4 R5 R2 C 3⋅C 1 C 4 ⋅R5⋅R 2 S 2 ] C1 1 1 1 1 ⋅S R 5 C 2⋅C 4 C 3 C 4 C 4⋅C 3 R5 R2 Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 62 para frequências muito maiores que f0 v0 S C1 ≈ 1 v – S C4 Este resultado também poderia ser obtido considerando que em altas frequências apenas os capacitores são importantes. Nesta situação os resistores poderiam ser retirados do circuito e o ganho do filtro seria 1 1 v 0 C 1⋅S C 4⋅S C ≈ =1 1 v– 1 C4 C 1⋅S assim 1 C1 2⋅⋅GBW = C4 2⋅⋅ f 0 GBW= f 0⋅ 1 C1 C4 =1,1 MHz Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 63 25.11.15 Exemplo 2 Para o circuito da figura abaixo mostre como: 1) Reduzir a metade o ganho da configuração; 2) Dobrar o ganho da configuração. Utilize apenas componentes passivos. Não altere os parâmetros ω0 e Q. Mostre as equações que você utilizaria para estas alterações. Para diminuir o ganho da configuração é possivel substituir o capacitor C1 por um divisor de tensão (um C1' na mesma posição que C1 e um C1'' em paralelo com R2). A capacitância equivalente deve ser igual a C1. Para aumentar o ganho é possível ligar a saída do amplificador operacional em um divisor resistivo. Do centro deste divisor resistivo faz-se a conexão para C4 e R5. A saída do operacional torna-se a saída do filtro. Se os resistores dividem a tensão por dois, então a tensão na saída do operacional será duas vezes maior para manter a realimentação no mesmo nível. 25.11.16 Exemplo 3 Com T s= o circuito passa baixas abaixo, implemente a função de transferência 7439,494 s 25693,96 s7439,492 s 213745,95 s7439,49 2 Use componentes com valores práticos (não precisam apresentar valores comerciais) Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 64 C3=1, C4= 3⋅Q , 1 R2= , 3 0 1 R1= , Q 0 4 m=K= 3 , A forma geral da função de transferência de um passa baixas de segunda ordem é: 20 T s= s 2 0 s 20 Q Então a função de transferência pode ser decomposta em: T s= 7439,49 2 7439,492 ⋅ 2 2 2 2 s 5693,96 s7439,49 s 13745,95 s7439,49 Podemos implementar este filtro com dois circuitos passa baixas de segunda ordem ligados em cascata. Na primeira seção K=1, ω0=7439,49 e Q=1,3065 Então, aplicando as fórmulas para os cálculos dos componentes temos C3=1, C4=2,263, R2=7,76⋅10-5, R1=1,0288⋅10-4, m=K=1,3333 Para obter componentes com valores práticos podemos desnormalizar este Sallen Key dividindo todos os capacitores por um fator α e multiplicando todos os resistores pelo mesmo fator. Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 65 Os resistores da realimentação (“R” e “R(m-1)”) não precisam ser escalonados pois não influenciam em ω0 nem em Q. Devemos respeitar, apenas, a relação entre eles, que determina o ganho da configuração. Fazendo α=108 C3=10nF, C4=22nF, R2=7,7kΩ, R1=10,2kΩ, K=1,33333, R=10kΩ, R(m-1)=3,3kΩ Para obter um ganho unitário podemos usar um divisor resistivo no lugar de R1. R11//R12 = R1 R12/(R11+R12) = m-1 Então R11= m⋅R1 = 13,6kΩ R12=(R1⋅R11) / (R11-R1)=40,8kΩ Na segunda parcela temos K=1, ω0=7439,49 e Q=0,541 Então, aplicando as fórmulas para os cálculos dos componentes temos C3=1, C4=0,937, R2=7,76⋅10-5, R1=2,4846⋅10-4, m=K=1,333333 Fazendo α=108 Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 66 C3=10nF, C4=9nF, R2=7,7kΩ, R1=24kΩ, R=10kΩ, R(m-1)=3,3kΩ Para obter ganho unitário, podemos usar um novo divisor resistivo. Então, R11= m@R1 = 32kΩ R12=(R1⋅R11) / (R11-R1)=96kΩ 25.11.17 Exemplo 4 Projetar um filtro rejeita faixa de 2° ordem com Q=5 e f0=120Hz. É aceitável um erro máximo de 10%. Utilizar apenas um filtro PF ativo e algum outro circuito ativo que não seja filtro mas que empregue apenas 1 AO. Um filtro RF subtrai do sinal de entrada, uma determinada faixa de frequências. Assim, podemos implementá-lo subtraindo o resultado de um PF, do sinal de entrada. T S = K 1 −K 2⋅ S =K 1⋅ 2 S a⋅S b S 2 1− K2 a⋅Sb K1 S 2 a⋅Sb Se fizermos K2=K1 S 2b T S = K 1⋅ 2 S a⋅S b que é a função de transferência de um RF. Com filtro Sallen-Key, cujo ganho é positivo, o sinal original deve ser subtraído do sinal na saída do filtro. Com filtro MFB, cujo ganho é negativo, o sinal original deve ser somado ao sinal na saída do filtro. 25.12 Exercícios 1) Projetar um filtro Butterworth de acordo com as especificações abaixo. Como você implementaria este filtro na prática? Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 67 Atenuação 15dB 3dB 1 2 3 ω(x10 ) 2) No circuito abaixo, calcule v 0 = f v i e esboce a forma de onda de v i e v 0 no tempo, uma sobre da outra, indicando valores típicos. Supor v i =2⋅sen 2⋅10 3⋅t 3) Projete um filtro variáveis de estado tipo PA cujo parâmetro ωο/Q seja controlado por tensão (o parâmetro ωο/Q deve ser diretamente proporcional a uma tensão de controle vc. Usar um conversor tipo x⋅y /Z⋅10 para obter o controle desejado. Utilizar valores comerciais para os componentes e garantir que o desvio máximo de qualquer parâmetro do filtro seja de ± 10% da especificação abaixo: K0=0dB, f0=1kHz ωο/Q 100Hz 1KHz vc +1V +10V Utilizar apenas três AOs. Considerar R1=R2=R. 25.13 Filtros a capacitor chaveado Uma outra abordagem, bastante comum para a integração de filtros é a utilização da técnica de capacitor chaveado. Diversos fabricantes produzem integrados com filtros a capacitor chaveado Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 68 como os MF100 da National, o MAX7491 da Maxim e o LTC1062 da Linear Technology além de blocos de capacitor chaveado para uso genérico como o LTC1043 da Linear Technology. Os filtros variáveis de estado podem ser facilmente modificados para incorporar a tecnologia de capacitor chaveado. Um bom texto sobre este assunto pode ser encontrado em Take the Mystery Out of the Switched Capacitor Filter da Linear Technology. A Cypress apresenta um texto sobre filtros de segunda ordem a capacitor chaveado em PSoC1. Algumas páginas dizem respeito exclusivamente ao PSoC mas há muita informação sobre estes filtros em Understanding Switched Capacitor Filters. Neste abordagem um capacitor é chaveado com altas frequências de forma que a corrente média que circula no capacitor pode ser modelada como a corrente de um resistor. A figura abaixo mostra como o resistor de um integrador é substituído por um capacitor chaveado. As chaves W1 e W2 são acionadas em instantes de tempo diferentes de forma que o integrador pode ser analisado em dois momentos distintos. O primeiro quando W1 está fechada e W2 está aberta. Nesta situação o capacitor recebe cargas da fonte vi, e a tensão acumulada no capacitor C2 corresponde a tensão de saída do operacional conforme indicado na figura abaixo. Em um segundo instante a chave W1 está aberta e a chave W2 está fechada. Nesta condição o capacitor C se conecta ao circuito com o AO fazendo circular corrente entre ele e o capacitor C2. Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 69 Se a frequência de chaveamento for muito elevada a corrente média que circula pelo capacitor C pode ser modelada como iC = C⋅v i TC por associação i= vi Req então Req= iC = TC e C vi . Req Esta relação é válida inclusive para o cálculo de constantes de tempo que, tanto no integrador original quanto no integrador com capacitor chaveado é =Req⋅C2 . Esta relação é muito interessante para a integração pois a constante de tempo torna-se independente do valor dos capacitores do circuito. Na verdade a constante de tempo depende apenas das relações entre os valores de capacitância o que pode ser bem controlado em processos de integração. Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 70 C =T C⋅ 2 C Uma estrutura mais complexa de chaveamento, conforme indicado na figura abaixo, permite que o integrador seja implementado em uma configuração inversora ou não inversora. Se as chaves W1 e W4 estão acionadas enquanto as chaves W2 e W3 não estão, e vice-versa, o integrador apresenta característica não inversora. Se as chaves W1 e W2 estão acionadas enquanto as chaves W3 e W4 não estão e vice-versa, o integrador apresenta característica inversora. 25.14 Efeitos dos componentes reais Os AOs reais apresentam polos de alta frequência de forma que a função de transferência de um AO pode ser modelada por A d s = Ad S / p1 ou Ad s = Ad S / z 1 . S / p11 S / p21 O AO real introduz mais polos na função de transferência global e, por causa da realimentação negativa, todos os polos se deslocam de suas posições originais. De um modo geral os polos do filtro deslocam-se para a direita e para cima. Como resultado a frequência de corte do filtro é menor do que a frequência calculada, e o fator de mérito real é maior que o desejado. Para baixas frequências de operação, a resposta do filtro é menos influenciada pelas singularidades do AO, porém, próximo do produto ganho faixa os erros aumentam consideravelmente. Nas Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 71 frequências intermediarias o erro na frequência ωο pode chegar a 1% e o ganho da faixa de passagem pode ser 1dB menor do que o planejado. Além da influência dos polos, a impedância de saída do AO pode acrescentar um zero de alta frequência alterando o comportamento da função de transferência original. Já a impedância de entrada, costuma não ter importância significativa, ainda mais se o AO possuir entrada FET. Por estas razões alguns projetistas preferem utilizar estruturas passivas para filtros passa baixas e passa altas de primeira ordem e utilizar buffers para isolação do circuito. Mesmo assim, a escolha dos capacitores também é importante no desempenho dos filtros. Normalmente são recomendados capacitores de poliester do tipo SCHIKO para frequências até algumas centenas de kHz, capacitores cerâmicos PLATE, mica e polipropileno para frequências de alguns MHz. Capacitores eletrolíticos não são recomendados para uso em frequências médias e elevadas por apresentarem muitas não linearidades, alta tolerância de valores, elevada corrente de fuga, comportamento indutivo além de serem polarizados. Para o projeto e determinação dos valores dos componentes escolhe-se a maior quantidade possível de capacitores com valores comerciais e o uso de resistores de precisão (com 1% de tolerância). 25.15 Sensibilidade Funções de transferência implementadas com filtros ativos apresentam, normalmente, um número de componentes maior que o número de parâmetros da equação, tornando a escolha do componentes bastante difícil para o projetista. Ao invés de arbitrar aleatoriamente valor para alguns componentes e depois calcular os restantes, que nem sempre podem ser obtidos com valores comerciais, é possível obter outras equações para ajudar na determinação dos componentes. A forma usual de se obter estas equações consiste na análise das sensibilidades de ω e Q com relação aos componentes do circuito. Com este enfoque, o objetivo do projetista também passa a ser a minimização da sensibilidade. De uma forma geral, a sensibilidade indica o grau de variação de um parâmetro em torno do seu valor nominal, com relação a variações dos elementos que formam o circuito, com relação ao Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 72 valor nominal de cada elemento. Matematicamente a variação de um parâmetro V com relação a um elemento R é obtido como S VP =lim ΔP 0 ΔV V P ∂V = ⋅ ΔP V ∂P P como ∂Y =∂ln Y Y a sensibilidade pode ser reescrita como S VP = ∂ ln V . ∂ln P Para simplificar os cálculos valem algumas observações: 1) se V é independente de P então S VP =0 k⋅P 2) se V = k·P (k é uma constante) então S P = ∂ln k⋅P ∂ln k ∂ln P = =01=1 ∂ln P ∂ln P ∂ln P 3) pelas relações de logaritmo S VP =−S 1/P V e S VP =−S V1/ P 4) outras relações úteis são V2 V1 /V2 V2 S V1⋅V2 =S V1 =S V1 P P S P , S P P −S P 1 S VP = ⋅S VP , S VP =n⋅S VP n n n S V1V2 P V2 V1⋅S V1 P V2⋅S P = V1V2 25.15.1 Exemplos 1) Calcular a sensibilidade para K, ωp e Qp para a função de transferência Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 73 1 T ( S )= ⋅ R S 2 S + S 1 + R⋅C L⋅C Identificando os elementos: Filtro passa faixa com K= 1 1 C , p= , Qp=R⋅ C L L⋅C K 1/ C C S C =S C =−S C =−1 S L =S 1L/ L⋅C =−S p p S C =−S CC / L=− L⋅C L 1 L⋅C 1 =− ⋅S L =− 2 2 1 2 C/L S R =S R⋅ =1 R Qp 1 R ⋅C / L 1 S Qp = C = ⋅S C 2 2 2 1 R ⋅C / L 1 L / R ⋅C 1 Qp S L = ⋅S L =− ⋅S L =− 2 2 2 2 2 As demais sensibilidades são nulas. 2) Calcular a sensibilidade para o filtro variável de estado cujos parâmetros são ω 0= √ R '3 / R 3 1 R' 4 / R4 e Q= R1⋅C 1⋅R2⋅C 2 1R '3 / R3 R'3 / R3 R1⋅C 1⋅R2⋅C 2 onde R '3=K 3⋅R3 e R '4=K 4⋅R4 Como os parâmetros já estão especificados as sensibilidades podem ser calculadas S R0' = 3 R '3 ∂ 0 ⋅ = 0 ∂ R '3 R '3 R'3 / R3 R1⋅C 1⋅R2⋅C 2 ⋅ 1/ R3 1 1 1 ⋅ ⋅ = R1⋅C 1⋅R2⋅C 2 2 R'3 2 Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 74 1 S R0 =− =S R 01 =S R 02 =S C 01 =S C 02 3 2 S QR ' = 4 1 =−S QR 4 1R4 / R '4 1 Q SR = − 4 2 K3 R1⋅C 1 0 ⋅ 1K 4 Q Q =−S R ' 3 Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 75 APÊNDICE Redes Multirealimentadas Utilizam como base as redes Ladder passivas. Substituem os componentes da rede original por circuitos ativos. Aproveitam as características de baixa sensibilidade das redes Ladder. Rede com simulação de indutores – uso de gyrator (“girador” de fase) Conversor generalizado de impedância, GIC, ou gyrator Um capacitor, conectado ao gyrator produz uma impedância similar à de um indutor. Zins= C4⋅R1⋅R3⋅R5 ⋅s R2 Para um projeto otimizado, com relação ao Q do indutor, Usar R2=R3 e c⋅R5⋅C4=1 Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 76 O gyrator apresentam a impedância de um indutor com um dos terminais ligados ao terra. Para simular um indutor sem terminais ligados ao terra (“flutuante”) é necessário espelhar o circuito acima. Esta característica faz com que este “componente” seja utilizado na substituição de indutores de redes ladder LC passa altas, o que não impede seu uso em qualquer outra topologia. Existem outros circuitos com um e dois Amp. Ops. e alguns outros com transistores. Normalmente o desempenho destes circuitos é pior. Uma destas alternativas é o gyrator de Riordan, apresentado na figura abaixo. Zins= C1⋅R1⋅R2⋅R4 ⋅s R3 FDNR – Frequency Dependent Negative Resistance O mesmo circuito do gyrator de Antoniou pode ser utilizado para produzir uma resistência negativa, chamada de FDNR. Este método é chamado de transformação de Bruton. Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 77 Zin= R3 1 1 ⋅ 2= C1⋅C5⋅R2⋅R4 s D⋅s 2 *Se s= j então s2=− 2 , o que confere ao circuito o comportamento de uma resistência negativa. Para um projeto otimizado, com relação ao Q do FNDR, Usar R2=R3 e c⋅R4⋅C5=1 Para o uso deste componente em redes Ladder basta fazer um escalonamento de impedância de 1/s Indutores sL L Resistores RR/s Capacitores 1/sC1 /s 2 D Este escalonamento transforma os indutores em resistores, os resistores em capacitores e os capacitores em FNDR. Está transformação é particularmente interessante para transformar redes Ladder passa baixas. Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 78 A transformação de R1 (da rede Ladder) pode levar a um capacitor em série com a rede. Na teoria o zero na origem, criado por este capacitor, seria cancelado pelo restante do circuito. Como os componentes não são ideais, pode haver um erro em frequências muito baixas. Redes Ladder LC simuladas (redes Ladder Ativas) Utiliza-se uma técnica chamada leap-frog Fundamentalmente utiliza-se integradores, somadores e circuitos de segunda ordem Escrever equações de malhas e nós utilizando sempre variáveis de estado Vc= Il= 1 C⋅S 1 L⋅S Exemplo: V1= [ 1 R ⋅ ⋅Vin – V1– R⋅I L1 S⋅R⋅C1 R1 ] repare que as correntes estão multiplicadas por R e toda a expressão está dividida por R. R⋅I L1=V2 '= Vo= R ⋅V1 – Vo S⋅L [ 1 R ⋅ R⋅I L1 – ⋅Vo S⋅R⋅C2 R2 ] Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 79 V1= V1= Vin V2 V1 – – S⋅Rin⋅C1 S⋅R2⋅C1 S⋅R1⋅C1 [ ] 1 R Vin V2' V1 ⋅ ⋅Vin – V1– R⋅I L1 = – − S⋅R⋅C1 R1 S⋅R1⋅C1 S⋅R⋅C1 S⋅R1⋅C1 Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2 80