Função do 1° Grau
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Função do 1° Grau
CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2015.2 Função do 1° Grau Danielly Guabiraba - Engenharia Civil Funções • Na linguagem do dia a dia é comum ouvirmos frases como: “Uma coisa depende da outra” ou “Uma está em função da outra”. • A ideia de um fator variar em função do outro e de se representar essa variação por meio de gráficos, de certa forma, já se tornou familiar em nossos dias. 2/35 Funções o A máquina de dobrar Entrada 1 2 3 3,5 5 x o Dobrar Saída 2 4 6 7 10 2x Nesse caso, temos: O número de saída n é igual a duas vezes o número de entrada x. A lei da função é n = 2x. 3/35 Domínio de uma função Dada uma função f de A em B, o conjunto A chamase domínio da função, pois representa as entradas para a função f. Ou seja, os valores que podem ser usados na função. O domínio da função indicaremos por D(f). A B 0. .0 .1 1. .2 .3 2. .4 .5 3. .6 4/35 Imagem de uma função Dada uma função f de A em B, o conjunto de todos os valores de y obtidos através de x é chamado de conjunto imagem da função f. Ou seja, ele é o resultado de f(x), que representa os valores reais obtidos quando aplicamos um x do domínio na função e é indicado por Im(f). D(f) 0. Im(f) .0 .1 1. .2 .3 2. .4 .5 3. .6 5/35 Para que serve mesmo o domínio de uma função? Como vimos o domínio de uma função representa as entradas para a função, ou seja, os valores que podem ser usados na função. Façamos um paralelo entre essa definição e nossas experiências cotidianas. Por exemplo: Se imaginarmos f como sendo um liquidificador, e usarmos x como sendo frutas, esse liquidificador poderá nos retornar um resultado f(x), então essas frutas (x) fazem parte do domínio da função (liquidificador). 6/35 Para que serve mesmo o domínio de uma função? Entretanto, se usarmos uma pedra (x) a função liquidificador não poderá processar esse x (pedra), NÃO sendo possível obter f(x). Sendo assim, o x (pedra) não faz parte do domínio da função (liquidificador). 7/35 Função do 1° grau Como uma função é uma forma de relacionar duas, ou mais grandezas, observamos uma função entre cada período e o número de filhos por mulher. Em nosso cotidiano, podemos observar inúmeros exemplos de funções: • Velocidade de um carro em função do tempo; • Lucro de uma empresa em função de sua produtividade; • Consumo de combustível de um avião em função da velocidade. 8/35 Função do 1° grau Se (A,B) pertence a uma função 𝑓, o elemento B é chamado imagem de A pela aplicação de 𝑓 ou valor de 𝑓 no elemento A. f ( A) B f: 𝐴 → 𝐵 𝑦 = 𝑓(𝑥) Lê-se: f é função de A em B. Lê-se: 𝑦 é função de 𝑥, com x ∈ 𝐴 e 𝑦 ∈ 𝐵. 9/35 Função do 1° grau A remuneração de um vendedor de uma loja é feita em duas parcelas: uma fixa, no valor de R$ 500,00 e a outra variável, correspondente a uma comissão de 12% do total de vendas realizadas na semana. 𝑅(𝑥) = 500 + 0,12. 𝑥 Função polinomial do 1º Grau f:ℝ → ℝ, sendo f(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 com a, b ∈ ℝ e a≠0. 10/35 Função do 1° grau Seja f a função de R em R definida por f ( x) 3x 2. Calcule : a) f(2) b) f(-3) c) f( 3 ) 3 d) f 2 11/35 Função Crescente A função f : V W definida por y f(x) é crescente no conjunto V1 V se, para dois valores quaisquer X 1 e X 2 pertencentes a V1 , com X 1 X 2 , tivermos f ( X 1 ) f ( X 2 ). 12/35 Função Crescente Em símbolos : f é crescente quando X 1 , X 2 V1 ( X 1 X 2 ) f ( X 1 ) f ( X 2 ) e isto também pode ser postoassim : f ( X 2 ) f ( X1) (X 1 , X 2 V1 )( X 1 X 2 ) 0) X 2 X1 13/35 Função Decrescente A função f : V W definida por y f(x) é decrescent e no conjunto V1 V se, para dois valores quaisquer X 1 e X 2 pertencentes a V1 , com X 1 X 2 , tivermos f ( X 1 ) f ( X 2 ). 14/35 Função Decrescente Em símbolos : f é decrescent e quando X 1 , X 2 V1 X 1 X 2 ) f ( X 1 ) f ( X 2 ) e isto também pode ser postoassim : f ( X 2 ) f ( X1) (X 1 , X 2 V1 )( X 1 X 2 ) 0) X 2 X1 15/35 Funções do 1° Grau • Características importantes da função do 1º grau: • Coeficiente angular: o coeficiente a é denominado coeficiente angular. • Coeficiente linear: o coeficiente b é denominado coeficiente linear. A função do primeiro grau é crescente em ℝ quando 𝑎 > 0 e decrescente em ℝ quando 𝑎 < 0. 16/35 Funções do 1° Grau • Para função 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 4. • O coeficiente angular 𝑎 é o número 2; • O coeficiente linear 𝑏 é o número 4. • Como a>0, a função é crescente em ℝ. • Para função 𝑓 𝑥 = 2 − 𝑥 3 1 + . 2 2 • O coeficiente angular 𝑎 é o número − ; 1 2 3 • O coeficiente linear 𝑏 é o número . • Como a<0, a função é decrescente em ℝ. 17/35 Casos Particulares Função Linear: a função polinomial do 1º grau em que o termo 𝑏 é nulo (𝑏 = 0) passa a ser chamada de função linear e tem forma: 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥. Exemplo: 𝑦 = 3𝑥 2 𝑦=− 𝑥 3 𝑦 = 2𝑥 A função linear sempre é representada por uma reta! 18/35 Casos Particulares Função Identidade: a função polinomial do 1º grau em que o termo 𝑏 é nulo (𝑏 = 0) e 𝑎 = 1 passa a ser chamada de função identidade e tem a forma 𝑓(𝑥) = 𝑥. 19/35 Casos Particulares Função Constante: Caso o termo 𝑎 seja nulo (𝑎 = 0) na expressão 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 e 𝑏 ∈ ℝ, a função 𝑓 não é uma função do primeiro grau e tem a forma 𝑓(𝑥) = 𝑏. Exemplo: 𝑓 𝑥 =3 𝑦=0 𝑦= 7 1 𝑓 𝑥 =− 4 20/35 Função Afim, Definição: Uma aplicação f de R em R recebe o nome de ' função afim ' quando a cada elemento x pertencente a R estiver associado o elemento (ax b) pertencente a R com a 0. 21/35 Função Afim, Definição: f :R R x ax b, a 0 𝑎 é o coeficiente angular da reta. 22/35 Praticando! 1) Obtenha a equação da reta que passa pelo ponto (1,3) e tem coeficiente angular igual a 2. 2) Obtenha a equação da reta que passa pelo ponto (-2,1) e tem coeficiente linear igual a 4. 23/35 Praticando! 1) Obtenha a equação da reta com coeficiente angular igual a -1/2 e passando pelo ponto (-3,1). 2) Obtenha a equação da reta com coeficiente linear igual a -3 e passando pelo ponto (-3,-2). 24/35 Raiz ou Zero da função Raiz ou zero da função é um valor do seu domínio cuja imagem é zero. Em resumo, é o valor de 𝑥 para que 𝑦 seja nulo (𝑦 = 0). Sendo 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, com 𝑎 ≠ 0, tem-se: 𝑥 é zero ou raiz de 𝑓 ↔ 𝑓 𝑥 = 0 Assim, 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0, que apresenta uma única solução, nos 𝑏 leva a 𝑥 = − para 𝑎 ≠ 0. 𝑎 25/35 Raiz ou Zero da função Exemplo: Seja a função 𝑦 = 2𝑥 − 4. Para obtermos sua raiz ou zero, faremos 𝑦 = 0. 2𝑥 − 4 = 0 → 2𝑥 = 4 → 𝑥 = 2 26/35 Taxa de variação média ou inclinação • Considerando uma função numérica 𝑓, sendo 𝑥1 e 𝑥2 dois elementos de seu domínio e 𝑥2 > 𝑥1 . • A taxa de variação média entre 𝑥1 e 𝑥2 da função 𝑓 em relação a 𝑥 pode ser expressa 𝐴 𝑦2 −𝑦1 pelo quociente: = . 𝐵 x2 −x1 27/35 Taxa de variação média ou inclinação Assim, uma função do 1º grau tem como taxa de variação: 𝐴 𝑦2 − 𝑦1 = 𝐵 𝑥2 − 𝑥1 O coeficiente 𝑎 é denominado taxa de variação ou coeficiente angular. 28/35 Taxa de variação média ou inclinação O estudo dos sinais da função do 1º grau, 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 (𝑎 ≠ 0), consiste em saber para que valores de 𝑥: • 𝑦 > 0; • 𝑦 = 0; • 𝑦 < 0. 29/35 Estudo do sinal Função Crescente: 𝑦 = 2𝑥 − 4 Para 𝑥 = 0; 𝑦 = −4. Para 𝑦 = 0; 𝑥 = 2. Para 𝑥 > 2, temos 𝑦 > 0; Para 𝑥 = 2, temos 𝑦 = 0; Para 𝑥 < 2, temos 𝑦 < 0. 30/35 Estudo do sinal • A Função Crescente assume: • Valores positivos para todo 𝑥 > • Valor zero para 𝑥 = 𝑏 − ; 𝑎 •Para Valores 𝑥 > 2,negativos temos 𝑦 >para 0; todo 𝑥 < Para 𝑥 = 2, temos 𝑦 = 0; Para 𝑥 < 2, temos 𝑦 < 0. 𝑏 − ; 𝑎 𝑏 − 𝑎 31/35 Estudo do sinal Função Decrescente: 𝑦 = −3𝑥 + 9 Para 𝑥 = 0; 𝑦 = 9. Para 𝑦 = 0; 𝑥 = 3. Para Para𝑥𝑥<>3,2,temos temos𝑦 𝑦>>0;0; Para Para𝑥𝑥==3,2,temos temos𝑦 𝑦==0;0; Para Para𝑥𝑥><2,2,temos temos𝑦 𝑦<<0.0. 32/35 Exercícios Exercícios 33/35 Obrigada pela atenção! www.ufal.edu.br www.facebook.com/PETEngenharias 34/35