Cecília Parra – Didática da Matemática, Reflexões Psicopedagógicas

CEMAF – SME Rio Claro – PEB I
PARRA, Cecília; SAIZ, Irma (org). Didática da Matemática:
Reflexões Psicopedagógicas. Porto Alegre: Editora Artmed, 2001.
Prof. M.Sc. Fabricio Eduardo Ferreira
[email protected]
Prefácio
A obra constitui uma coletânea de artigos relacionados à Didática da Matemática que
“estuda o processo de transmissão e aquisição de diferentes conteúdos desta ciência” (p. 4).
Luis A. Santaló
Espanha, Matemático
1. Matemático para
não-matemáticos
Grecia Galvez
Chile, Psicóloga
2. A didática
da matemática
Roland Charnay
França, Professor de Matemática
3. Aprendendo (com) a
resolução de problemas
Guy Brousseau
França, Doutor em Ciências
4. Os diferentes
papéis do professor
Apresentação da obra
Délia Lerner e Patricia Sadovsky
Irma Saiz
Argentina e Argentina,
Argentina,
Licenciada em Ciências da
Licenciada em Matemática
Educação e Professora de
6. Dividir com dificuldade
Matemática
ou a dificuldade de dividir
5. O sistema de numeração:
um problema didático
Cecília Parra
Grecia Galvez
Argentina, Licenciada em
Chile, Psicóloga
Ciências da Educação
8. A geometria, a
7. Cálculo mental na psicogênese das noções
escola primária
espaciais e o ensino de
geometria na escola
primária
1. Matemático para não-matemáticos. SANTALÓ, Luis A.
A missão dos educadores é preparar as novas gerações para o mundo que terão que viver;
(...) como o mundo atual é rapidamente mutável, também a escola deve estar em
contínuo estado de alerta para adaptar seu ensino, seja em conteúdos como em
metodologia (p. 11);
(...) o problema reside em decidir “como” educar esse homem informático;
(...) a vida tem-se tornado mais difícil, e a escola deve evoluir para preparar indivíduos com
capacidade para atuar neste mundo complexo (p. 13);
(...) [da mesma forma que na época de Platão] hoje pensamos em educar o pensamento e
também fornecer regras para a ação, e opina-se que a matemática que necessita todos os
cidadãos deve ser uma mistura bem equilibrada de matemática pura e aplicada (p. 14).
O quê ensinar da matemática no mundo atual?
“Aos professores de matemática compete selecionar entre toda matemática existente, a clássica
e a moderna, aquela que possa ser útil aos alunos em diferentes níveis na educação”. (p. 15)
“(...) o sentido da matemática deve ser um constante equilíbrio entre a
matemática formativa e a informativa (...) É preciso formar, porém ao mesmo tempo,
informar das coisas úteis”. (p. 15)
SANTALÓ, Luis A. “A escolha da matemática para aqueles que vão ser matemáticos profissionais é relativamente fácil
(...) O problema reside na seleção da matemática para a educação
daqueles que não tem interesse particular por ela”. (p. 15)
Como ensinar da matemática no mundo atual?
“É preciso decidir a respeito dos conteúdos e também sobre a metodologia mais conveniente” (p. 16)
“Como regra geral, pode-se recomendar que sempre é preferível saber pouco e bem, que
muito e mal. É mais recomendável fazer cabeças ‘bem feitas’ do que cabeças ‘bem cheias’”
(p. 16)
SANTALÓ, Luis A.
“No que diz respeito à didática, seja no nível que for, o ensino da Matemática deve estimular a
criatividade, mostrando que a Matemática é como um edifício em construção” (p. 19)
Sugestões de temas para uma nova matemática escolar
Probabilidade
e Estatística
Computação
Cálculo
infinitesimal
Raciocínio lógico
e dedutivo
Teoria dos Grafos
Teoria de
conjuntos
Geometria Fractal
Teoria do Caos
2. A didática da matemática. GÁLVEZ, Grecia
O trabalho inicia-se mostrando o trabalho dos Institutos de Investigação acerca do Ensino
da Matemática (IREM) na França no início dos anos 60 (formação de professores,
produção de material, práticas em sala de aula);
(...) A partir da reflexão das atividades realizadas no IREM, o pesquisador Guy Brousseau
propõe o estudo das condições nas quais são constituídos os conhecimentos;
o controle destas condições permitiria reproduzir e otimizar os processos de aquisição
escolar de conhecimentos (p. 27);
(...) Parte-se do pressuposto de que o conhecimento dos fenômenos relativos ao ensino da
matemática não seja resultado da simples fusão de conhecimentos (...) como a matemática,
psicologia e pedagogia, mas algo que exige pesquisas específicas (p. 27).
Classificação de Brousseau das análises das situações didáticas
Situações de
ação
• Gera uma interação entre os alunos e o meio físico. Os alunos devem tomar as decisões que
faltam para organizar sua atividade de resolução do problema formulado.
Situações de
formulação
• O objetivo é a comunicação de informações entre alunos. Para isto, devem modificar a
linguagem que utilizam habitualmente, precisando-a e adequando-a às informações que
devem comunicar.
Situações de
validação
• Nas quais tenta-se convencer a um ou vários interlocutores da validade das afirmações
que são feitas. Neste caso, os alunos devem elaborar provas para demonstrá-las.
Situações de
institucionalização
• São destinadas a estabelecer convenções sociais. Nestas situações busca-se que o conjunto
de alunos de uma aula assuma o significado socialmente estabelecido de um saber que foi
elaborado por eles mesmos, em situações de ação, de formulação e de validação.
Alguns pontos importantes do artigo
“A análise de uma situação didática passa por sua comparação com outras situações didáticas”. (p. 30)
“A finalidade da didática da matemática é o conhecimento dos fenômenos e processos
relativos ao ensino da matemática para controlá-los e, através deste controle,
otimizar a aprendizagem dos alunos”. (p. 31)
GÁLVEZ, Grecia
“Até agora, tem predominado uma concepção segundo a qual basta decompor um saber,
em sua modalidade cultural, em pequenos pedacinhos isolados, e então organizar sua
ingestão por parte dos alunos, em períodos breves e bem delimitados,
segundo sequências determinadas sobre a base da análise do próprio saber”. (p. 31)
Mais alguns pontos importantes
“Esta maneira de organizar o ensino não atribui importância ao contexto específico em que os
conhecimentos são adquiridos, nem à sua significação e valor funcional, durante sua aquisição” (p. 31)
“Brousseau coloca que é preciso criar situações didáticas que façam funcionar o saber,
a partir de saberes definidos culturalmente nos programas escolares’” (p. 32)
GÁLVEZ, Grecia
“Em síntese, trata-se de colocar os alunos diante de uma situação que evolua de forma tal, que o
conhecimento que se quer que aprendam seja o único meio eficaz para controlar tal situação” (p. 33)
3. Aprendendo (com) a resolução de problemas. CHARNAY, Roland
A matemática têm se construído como resposta a perguntas traduzidas em outros tantos
problemas (p. 36);
(...) a atividade de resolução de problemas tem estado no próprio coração da elaboração da
ciência matemática. “Fazer matemática é resolver problemas!” (p. 37);
(...) Um dos objetivos essenciais (e ao mesmo tempo uma das dificuldades principais)
do ensino da matemática é precisamente que o que se ensine esteja carregado de
significado, tenha sentido para o aluno (p. 37);
(...) A questão essencial do ensino da matemática é então: como fazer para que os conhecimentos ensinados
tenham sentido para o aluno? [grifo do autor] (p. 38).
Construindo o sentido ...
(...) a construção da significação de um conhecimento deve ser considerada em dois níveis:
um nível “externo”
um nível “interno”
• Qual é o campo de
utilização
deste
conhecimento e quais
são os limites deste
campo?
• Como e por que
funciona tal ferramenta?
(por exemplo, como
funciona um algoritmo e
por que conduz ao
resultado procurado?
O aluno deve ser capaz não só de repetir ou refazer, mas também de ressignificar em situações novas,
de adaptar, de transferir seus conhecimentos para resolver novos problemas (p. 38).
Estratégias de aprendizagem
Para descrever alguns modelos de aprendizagem o autor apoia-se na ideia de “contrato didático”:
“conjunto de comportamentos (específicos) do professor que são esperados do aluno, e conjunto de comportamentos
do aluno que são esperados pelo professor, que regulam o funcionamento da aula” (BROUSSEAU)
(...) uma situação de ensino pode ser observada através das relações que se movimentam entre
três pólos: professor, aluno, saber. Os três modelos de referência são:
Modelo normativo
(centrado no conteúdo)
Modelo incitativo
(centrado no aluno)
Modelo aproximativo
(centrado na construção do
saber pelo aluno)
P
P
P
P
A
S
A
S
A
S
A
S
As diferenças entre os modelos
Notemos que nenhum professor utiliza exclusivamente um dos modelos (p. 40);
(...) Três elementos da atividade pedagógica mostram-se privilegiados para diferenciar estes três
modelos e refletir acerca de suas colocações em prática:
O comportamento do professor diante dos erros de seus alunos
• Que interpretação faz deles, como intervém, para fazer o quê, o que pedirá então a seus alunos?
As práticas de utilização da avaliação
• Para que serve a avaliação, em que momentos intervém no processo de aprendizagem, sob que formas?
O papel e o lugar que o professor dá à atividade de resolução de problemas
• O que é para ele um problema, quando utiliza problemas, em que momentos da aprendizagem, com que
finalidade?
A resolução de problemas e os modelos apresentados
As posições a respeito da resolução de problemas em relação aos modelos apresentados são:
Modelo
normativo
• O problema como critério de aprendizagem.
• Exemplo: o aluno pergunta-se se já não resolveu um do mesmo tipo.
Modelo
incitativo
• O problema como motor da aprendizagem.
• Exemplo: as situações “naturais” são com frequência demasiado complexas para
permitir ao aluno construir por si mesmo as ferramentas.
Modelo
aproximativo
• O problema como recurso de aprendizagem.
• Exemplo: é principalmente através da resolução de uma série de problemas escolhidos
pelo professor que o aluno constrói seu saber.
Opções a favor de uma seleção
Tais opções baseiam-se na pergunta “como os alunos aprendem?”.
Os conhecimentos não se
empilham, não se acumulam.
As produções do aluno são uma
informação sobre seu estágio de
conhecimento.
A ação exerce um
papel na aprendizagem.
Os conceitos matemáticos
não estão isolados.
Só existe aprendizagem quando
o aluno percebe que existe um
problema para resolver ...
CHARNAY, Roland
A interação social é um
elemento importante da
aprendizagem.
Que problemas e que ação pedagógica escolher?
Inicialmente, uma explicitação: o termo “problema”, que tem sido utilizado, não se reduz à
situação proposta (enunciado-problema). Define-se melhor como uma tríade:
Só há problema se o aluno
percebe uma dificuldade (...) Há então,
a ideia de obstáculo a ser superado.
Situação
O meio é um
elemento do
problema,
particularmente as
condições didáticas
da resolução
(organização da aula,
intercâmbios,
expectativas explícitas
ou implícitas do
professor).
Meio
Aluno
Uma determinada situação,
que “provoca problema”
para um determinado
aluno pode ser resolvida
imediatamente por outro
(e então não será percebida
por este último como
sendo um problema).
4. Os diferentes papéis do professor. BROUSSEAU, Guy
Os principais conceitos da Teoria das Situações Didáticas elaborada por Brousseau são:
a DESDIDATIFICAÇÃO (situações adidáticas) e a INSTITUCIONALIZAÇÃO.
(...) O professor realiza primeiro o trabalho inverso ao do cientista (...) procura situações que
dêem sentido aos conhecimentos que devem ser ensinados (p. 48);
(...) Podem ser vistas aqui as duas partes, bastante contraditórias, do papel do professor:
fazer viver o conhecimento, fazê-lo ser produzido por parte dos alunos como resposta razoável (...)
e, ainda, transformar essa “resposta razoável” em um “fato cognitivo extraordinário” (p. 49);
(...) Considerar a aprendizagem como uma modificação do conhecimento que o aluno deve
produzir por si mesmo e que o professor só deve provocar (p. 49).
Devolução do problema e “desdidatificação”
Conceito de desdidatificação
(...) O trabalho do professor consiste, então, em propor ao aluno uma situação de aprendizagem para
que elabore seus conhecimentos como resposta pessoal a uma pergunta, e os faça funcionar ou os
modifique como resposta às exigências do meio e não a um desejo do professor (p. 49).
Definição de devolução do problema
Denominamos “devolução” a atividade por intermédio da qual
o professor tenta alcançar os objetivos da desdidatificação (p. 49).
As etapas da devolução de uma situação adidática
1ª Etapa
Abordagem puramente lúdica
3ª Etapa
Devolução de uma responsabilidade e
de uma causalidade
2ª Etapa
Devolução de uma preferência
• Os
alunos
não
compreendem
que
alguns dos resultados da
situação são indesejáveis
• Os
alunos
compreendem bem qual
é o efeito desejado,
porém atribuem os
resultados à fatalidade
ou azar.
4ª Etapa
Devolução da antecipação
• O aluno se encarrega
das antecipações
• Para aceitar a sua
responsabilidade no que
está acontecendo, o
aluno deve considerar o
que faz como uma
escolha entre diversas
possibilidades.
5ª Etapa
Devolução da situação adidática
• As decisões competem
ao aluno
A institucionalização (1)
Conceito de institucionalização
A consideração “oficial” do objeto do ensino por parte do aluno, e da aprendizagem do aluno por parte
do professor, é um fenômeno social muito importante e uma fase essencial do processo didático:
este duplo reconhecimento constitui o objeto da INSTITUCIONALIZAÇÃO [grifo do autor] (p. 56).
a) Os conhecimentos
(...) O papel do professor também consiste em institucionalizar! (p. 56);
(...) Naturalmente, tudo pode ser reduzido à institucionalização. As situações de ensino tradicionais são
situações de institucionalização, porém sem que o professor se ocupe da criação do sentido: se diz o que se
deseja que o aluno saiba, explica-se a ele e verifica-se o que aprendeu (p. 56).
A institucionalização (2)
b) O sentido
(...) O sentido também deve ser um pouco institucionalizado (p. 57);
(...) O mais difícil do papel do professor é dar um sentido aos conhecimentos e, sobretudo, reconhecê-lo
(p. 57).
c) Epistemologia
(...) Outro papel do professor é assumir uma epistemologia; por exemplo, os pedagogos preconizam a
busca de situações que permitam colocar as crianças em contato com problemas reais (p. 59);
(...) Ao mesmo tempo que ensina um saber, o professor recomenda como usá-lo (p. 59).
A institucionalização (3)
d) O lugar do aluno
(...) O lugar do aluno na relação didática tem sido reivindicado – como o lugar da realidade –
através de diferentes abordagens – psicanalítica, psicológica, pedagógica, etc. (p. 64);
(...)
A
didática
ingênua
só
permite
propor
ao
aluno
exercícios
lógicos
(matemáticos)
a respeito de componente escolhido (p. 65);
(...) O raciocínio do aluno é um ponto cego na didática “ingênua” , porque seu tratamento exige uma
modificação do contrato didático (p. 66).
e) A memória e o tempo
(...) O que o aluno tem em sua memória parece ser o objetivo final da atividade de ensino (p. 67);
(...) Transformar as lembranças em conhecimentos mobilizáveis é uma operação didática e cognitiva,
e não somente um ato individual de memorização.
Conclusão
“O professor é uma espécie de ator. Atua segundo um texto escrito
em outro contexto e segundo determinada tradição” (p. 71)
BROUSSEAU, Guy
“Um professor que simplesmente recita, não pode comunicar o essencial,
e se quisermos fazê-lo apresentar uma situação sem margem para recriá-la,
o ensino fracassaria.” (p. 71)
5. O sistema de numeração: um problema didático.
LERNER, Délia e SADOVSKY, Patricia
Questão principal do artigo
Como é que as crianças se apropriam do conhecimento do sistema de numeração? (p. 75)
Principais hipóteses levantadas pelas autoras
• (...) Acreditávamos que as crianças construíam desde cedo critérios para
comparar números;
• pensávamos que (...) alguma relação elas deveriam estabelecer entre a
posição dos algarismos;
• acreditávamos que as crianças detectavam regularidades ao interagir
com a escrita fragmentada da sequência numérica (p. 76).
LERNER,
Délia
SADOVSKY,
Patrícia
Resultados importantes
Este é maior, você não está
vendo que tem mais números?
Alina afirma que 23 é maior que 5 pois
o primeiro têm dois algarismos,
enquanto que o segundo só tem um algarismo
(quantidade de algarismos e magnitude do número).
É maior o número que contém
o algarismo mais alto,
independente do lugar em que
este esteja posicionado.
O primeiro algarismo
é quem manda!
Lucila afirma que 21 é maior que 12 pois
o primeiro começa com dois,
enquanto que o segundo começa com um
(posição dos algarismos como critério de comparação).
Yael afirma que 25 é maior que 31 pois o
primeiro tem 2 e 5 que são maiores que 3 e 1.
Alguns números importantes: o papel dos “nós”
“A apropriação da escrita convencional dos números não segue a ordem da série numérica:
as crianças manipulam em primeiro lugar a escrita dos “nós”
– quer dizer, das dezenas, das centenas, unidades de mil ..., exatas –
e só depois elaboram a escrita dos números que se posicionam nos intervalos entre estes nós (p. 87)”.
O papel da numeração falada
“As crianças elaboram conceitualizações a respeito da escrita dos números, baseando-se nas informações
que extraem da numeração falada e em seu conhecimento da escrita convencional dos “nós” (p. 92)”.
700
Setecentos
25
Vinte e Cinco
Por favor, escreva no seu caderno
(utilizando algarismos) o número
setecentos e vinte e cinco.
A justificativa verificada pelas autoras
A hipótese segundo a qual a escrita numérica é o resultado de uma correspondência com a numeração falada,
conduz as crianças a resolver notações não-convencionais. Por que isto ocorre?
Porque a diferença da numeração escrita da numeração falada está em que esta última NÃO É POSICIONAL.
Assim, se a organização da numeração falada fosse posicional, a denominação oral correspondente a 4705,
por exemplo, seria “quatro, sete, zero, cinco”, no entanto, a denominação realmente utilizada para este
número explicita, além dos quatro algarismos quatro, sete e cinco, as potências de dez correspondentes a tais
algarismos (quatro mil setecentos e cinco) (p. 94).
Do conflito à notação convencional
As escritas produzidas pelas crianças para os números que se posicionam entre dois “nós” determinados
terão mais algarismos que os números que representam os mesmos “nós”:
elas escreveram convencionalmente, por exemplo, 2000 e 3000, porém dois mil setecentos e oitenta e dois
será representado como 200070082 (ou eventualmente 2000782) (p. 98).
Relações entre o que as crianças sabem e a organização posicional do sistema de numeração
Segundo afirmam as crianças, um número é maior que que outro “porque tem mais algarismos” ou
“porque o primeiro é quem manda” (...) Então, o que tem o sistema posicional que os outros não têm?
Justamente, a posicionalidade. Ela é a responsável pela relação quantidade de algarismos – valor do
número; dela depende também a validade do “o primeiro é quem manda” (p. 109).
Questionamento do enfoque usualmente adotado para ensinar o sistema de numeração
Sistema de Numeração
A modalidade que o ensino da notação numérica em geral assume pode caracterizar-se assim:
Estabelecem-se metas definidas por série: na 1ª série trabalha-se com números menores que 100,
na 2ª série com números menores que 1000 e assim sucessivamente.
Uma vez ensinados os dígitos, se introduz a dezena como conjunto resultante do agrupamento de dez
unidades, e só depois apresenta-se formalmente para as crianças a escrita do número 10.
A explicação do valor posicional de cada algarismo em termos de “unidades”, “dezenas”, etc.,
para os números de determinado intervalo da série considera-se requisito prévio para as operações.
Tenta-se “concretizar” a numeração escrita materializando o agrupamento em dezenas ou centenas.
Mostrando a vida numérica da aula
As ideias que desde o princípio orientaram o trabalho didático das autoras são:
• Trabalhar com a numeração escrita e só com ela;
• Abordá-la em toda sua complexidade;
• Assumir que o sistema de numeração – enquanto objeto de ensino – passará por sucessivas definições e
redefinições antes de chegar a sua última versão (p. 116).
São quatro atividades básicas que constituem eixos ao redor dos quais organizam-se as situações
didáticas que as autoras propõe: operar, ordenar, produzir e interpretar (p. 118).
As autoras propõe por construir duas grandes categorias: a primeira abrange todas as situações didáticas
que de alguma maneira se vinculam à relação de ordem e a segunda abrange aquelas situações que estão
centradas nas operações aritméticas (p. 118/119).
A sugestão das autoras
Situações didáticas
vinculadas à relação
de ordem
Situações centradas
nas operações
matemáticas
Comparar números
Reflexão acerca das
operações para
descobrir “leis” do
sistema de numeração
Produzir ou interpretar
números (a ordem
como recurso)
Resolvendo operações e
confrontando
procedimentos
Buscar regularidades
6. Dividir com dificuldade ou a dificuldade de dividir. SAIZ, Irma
Neste artigo a autora tenta mostrar algumas das dificuldades que enfrentam (e não
resolvem) muitas crianças de escolas primárias em relação ao assunto da divisão (p. 157);
(...) os resultados dos cálculos com as três primeiras operações (adição, subtração e
multiplicação) geralmente coincidem, não acontecendo o mesmo nos resultados
correspondentes à divisão (p. 157).
O capítulo apresenta três considerações muito significativas:
A respeito do
significado da divisão
Análise da
resolução de problemas
Uma análise
dos algoritmos utilizados
A respeito do significado da divisão
Algumas das perguntas que podem ser formuladas são, por exemplo:
• Qual é o sentido da divisão, ou seja, que significado atribuem os alunos a este conhecimento?
• Como reconhecem que um problema é de divisão, ou melhor, como concluem que formulando e resolvendo uma
divisão se resolve o problema, ainda que se trata de problemas em princípio tão diferentes?
• O que têm em comum estes problemas? Como funciona a divisão? Como se relaciona com as demais operações?
• Que outras propriedades a caracterizam e às vezes a distinguem das outras operações? (p. 161)
“Em geral, o ensino das operações matemáticas está baseado na comunicação de um
procedimento de cálculo associado posteriormente a um pequeno universo de problemas
que, supõe-se, “darão conta” do significado do conceito (p. 162)”.
“Porém, isolados de seu contexto, os algoritmos se convertem em respostas adquiridas para
perguntas futuras a respeito das quais não se sabe muito. Os algoritmos são aprendidos
sabendo-se que vão servir para resolver problemas, porém se desconhece de que problemas se
trata (p. 162)”.
SAIZ, Irma
Análise dos problemas
A análise das respostas aos problemas propostos levam a autora a fazer as seguintes afirmações:
Os alunos não atribuem
significado ao algoritmos
que aplicam, portanto não
podem interpretar o que
obtiveram nas diferentes
etapas do cálculo.
O algoritmo ensinado
aparece como um puro
trabalho sobre os números,
independente dos dados da
situação enunciada.
Eles mostram uma relação
superficial com o
conhecimento.
Colocam distância entre si e a
situação formulada.
As crianças carecem de
recursos para reconhecer se
sua solução é errada ou não.
Tudo isso é provocado por
um ensino de resolução de
problemas reduzido a
“adivinhar” qual é a
operação adequada e aplicar
o algoritmo correspondente.
A resolução dos problemas
(...) depende do significado
que o aluno atribui à situação
que lhe é proposta.
Em relação ao algoritmo
Neste item se fará referência às dificuldades na execução do algoritmo, encontradas nos problemas ou
nas “contas” apresentadas. As principais dificuldades encontradas foram:
Redução a um
algarismo
Frequentemente,
uma divisão de dois
ou três algarismos é
resolvida
erroneamente,
utilizando um
algoritmo
“inventado” que a
reduz a uma
divisão de um
algarismo
Análise do resto
(...) a exigência de
que os restos
sucessivos sejam
menores que o
divisor não parece
estar presente.
Dificuldades
com o zero
Um exemplo onde
as crianças
“riscam” o 0 de
104 e dividem por
14.
O algoritmo nos
livros escolares
O algoritmo
tradicional da
divisão passou a
constituir-se na
atualidade em um
exemplo de
transmissão oral.
É muito difícil
encontrar nos livros
os diferentes passos
do algoritmo.
Conclusão
“A atribuição de um significado a cada uma das
etapas do cálculo, em termos da situação de
referência, lhes permitirá resolver os problemas com
controle suficiente para determinar sua validade
(p. 183)”.
“As dificuldades dos alunos com os algoritmos,
frequentemente constatadas, deveriam obrigar os
professores a “enfrentá-las” na aula, analisá-las e
corrigí-las (p. 183)”.
“Não se pode deixar de lado com um
simples ‘Você deve exercitar mais as
divisões’ ou ‘prestar mais atenção’ ...
(p. 183)”.
SAIZ, Irma
7. Cálculo mental na escola primária. PARRA, Cecília
“Cálculo mental” é uma expressão que pode ter muitos significados, dividindo opiniões,
provocando dúvidas ou expectativas (p. 186);
• Com frequência, fazemos a oposição cálculo escrito e cálculo mental. Neste sentido, queremos
esclarecer que a concepção de cálculo mental que vamos desenvolver não exclui a utilização de
lápis e papel (p. 188);
• O primeiro costuma ser chamado de cálculo automático ou mecânico, e se refere à utilização de um
algoritmo ou de um material (ábaco, régua de cálculo, calculadora, etc.);
• O segundo é chamado cálculo pensado ou refletido. É em relação a este significado que vamos
considerar o cálculo mental;
• Para muitas pessoas, cálculo mental está associado a cálculo rápido (p. 189).
Por que ensinar cálculo mental na escola primária?
As principais hipóteses didáticas levantadas pela autora são:
1) As aprendizagens no terreno do cálculo mental influem na capacidade de resolver problemas
(não se pretende supervalorizar o cálculo mental);
2) O cálculo mental aumenta o conhecimento no campo numérico
(os alunos devem raciocinar sobre o cálculo efetuado);
3) O trabalho de cálculo mental habilita para uma maneira de construção do conhecimento que,
a nosso entender, favorece uma melhor relação do aluno com a matemática
(os alunos devem articular aquilo que sabem com o que devem aprender);
4) O trabalho de cálculo pensado deve ser acompanhado de um aumento progressivo do cálculo
automático (o cálculo mental deve propiciar a compreensão de algoritmos avançados).
Os procedimentos mentais de resolução
As metas que a autora deseja que os alunos vislumbrem durante o processo são:
a) Memorização de cálculos simples;
b) Resolução de cálculos utilizando outros mais simples.
Um exemplo de atividades de reflexão sobre os cálculos: fáceis e difíceis
Um dos primeiros requisitos é que os alunos comecem a tomar consciência dos
procedimentos que utilizam:




Que critérios usaram os alunos para classificar os cálculos (em fáceis e difíceis)?;
O que é fácil para alguns é difícil para outros;
As descobertas não são generalizadas de imediato;
A categoria dos fáceis mostra que os alunos reconhecem os pontos de apoio.
8. A geometria, a psicogênese das noções espaciais e
o ensino da geometria na escola primária. GÁLVEZ, Grecia
A autora inicia o capítulo fazendo um breve histórico das origens da geometria, fazendo um
retrospecto desde a Geometria Euclidiana (axiomática) e a evolução que a mesma sofreu.
Em seguida a autora fundamenta-se nos trabalhos de Piaget para explicar como a criança
constrói as noções de espaço e forma.
“Nos alunos jovens a ação sobre os objetos torna-se totalmente indispensável para a
compreensão, não só das relações aritméticas, mas também das geométricas” (p. 244)
GÁLVEZ, Grecia
O ensino da geometria na escola primária
A reflexão sobre o ensino da geometria na escola primária levou-nos a delimitar uma série de
problemas, que nos limitaremos a enunciar:
1. Promover a passagem da geometria de observação para a geometria dedutiva;
2. Compatibilizar o caráter variável, aproximado, dos resultados
empíricos,
com o caráter único, exato, dos resultados conseguidos através do cálculo;
3. Garantir a compreensão dos procedimentos algoritimizados que os alunos devem aprender;
4. Coordenar a conceitualização dinâmica dos objetos geométricos com sua conceitualização
estática;
5. Organizar a passagem da linguagem natural, para referir-se às relações espaciais, até a
linguagem matemática sem rupturas;
6. Relacionar as aquisições no âmbito das relações espaciais com as relações numéricas.
Conclusão
Fundamentada em Brousseau, a autora afirma que:
“O ensino da geometria, em nossas
escolas primárias, se reduz a fazer com
que nossos estudantes memorizem os
nomes das figuras, os mapas
“Brousseau afirma que esta
aprendizagem da geometria puramente
cultural, baseada na obtenção dos nomes
e propriedades geométricos, constitui
um verdadeiro escândalo (...)” (p. 250)
geométricos e as fórmulas que servem
para calcular áreas e volumes” (p. 250)
GÁLVEZ, Grecia