Capítulo 5: Transformações Lineares

Transcrição

5
Livro:
Introdução à Álgebra Linear
Autores: Abramo Hefez
Cecília de Souza Fernandez
Capítulo 5: Transformações Lineares
Sumário
1
O que são as Transformações Lineares?
2
Núcleo e Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
3
. . . . . . 124
2.1
O Núcleo
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
2.2
A Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
2.3
O Teorema do Núcleo e da Imagem . . . . . . . . . 134
Operações com Transformações Lineares
123
. . . . . 144
124
CAPÍTULO 5.
TRANSFORMAÇÕES LINEARES
As funções naturais no contexto dos espaços vetorais, as chamadas de
transformações lineares, formam uma classe muito especial de funções que
têm muitas aplicações na Física, nas Engenharias e em vários ramos da Matemática.
1
O que são as Transformações Lineares?
As funções nas quais se está interessado na Álgebra Linear são as funções
cujos domínios e contradomínios são espaços vetoriais e que, além disso,
preservam as operações de adição de vetores e de multiplicação de um vetor
por um escalar. Isto é o conteúdo da denição a seguir.
Sejam
V
e
é uma função
(i)
(ii)
W espaços vetoriais. Uma transformação linear de V em W
T : V → W que possui as seguintes propriedades:
T (v1 + v2 ) = T (v1 ) + T (v2 ),
T (av) = aT (v),
para quaisquer
para quaisquer
v
em
V
e
a
v1
e
em
v2
em
V;
R.
As propriedades (i) e (ii) são equivalentes à seguinte propriedade:
T (v1 + av2 ) = T (v1 ) + aT (v2 ),
para quaisquer
v1
e
v2
em
V
e para qualquer
a
em
(1)
R.
É esta caracterização das transformações lineares que utilizaremos, por
ser mais prática, para mostrar que determinada função entre espaços vetoriais
é uma transformação linear.
T: V →W é
uma transformação linear se, e somente se, para todos v1 , . . . , vr ∈ V e todos
a1 , . . . , ar ∈ R, tem-se que
Mostra-se por indução (veja Problema 1.1) que uma função
T (a1 v1 + · · · + ar vr ) = a1 T (v1 ) + · · · + ar T (vr ).
(2)
Vejamos a seguir alguns exemplos.
Exemplo 1.
A função
transformação linear.
T : R2 → R,
dada por
T (x, y) = x + y ,
é uma
1.
125
O QUE SÃO AS TRANSFORMAÇÕES LINEARES?
v1 = (x1 , y1 ) ∈ R2 , v2 = (x2 , y2 ) ∈ R2
De fato, se
e
a ∈ R,
temos que
T (v1 + av2 ) = T (x1 + ax2 , y1 + ay2 )
= x1 + ax2 + y1 + ay2
= (x1 + y1 ) + a(x2 + y2 )
= T (v1 ) + aT (v2 ).
Portanto,
T
é uma transformação linear de
Exemplo 2.
A função
T : R3 → R2 ,
R2
dada por
em
R.
T (x, y, z) = (x − y, y − z),
é
uma transformação linear.
v1 = (x1 , y1 , z1 ) ∈ R3 , v2 = (x2 , y2 , z2 ) ∈ R3
De fato, se
e
a ∈ R,
então
T (v1 + av2 ) = T (x1 + ax2 , y1 + ay2 , z1 + az2 )
= (x1 + ax2 − (y1 + ay2 ), y1 + ay2 − (z1 + az2 ))
= ((x1 − y1 ) + a(x2 − y2 ), (y1 − z1 ) + a(y2 − z2 ))
= (x1 − y1 , y1 − z1 ) + a(x2 − y2 , y2 − z2 )
= T (v1 ) + aT (v2 ),
mostrando que
Exemplo 3.
T
A função
R3
em
R2 .
T : R → R, dada por T (x) = 5x, é uma transformação
linear.
De fato, se
x1 , x2 , a ∈ R,
temos que
T (x1 + ax2 ) = 5(x1 + ax2 ) = 5x1 + a5x2 = T (x1 ) + aT (x2 ).
Portanto,
T
R
Na realidade, toda transformação linear de
x ∈ R,
onde
c
Exemplo 4.
em
R.
R em R é da forma T (x) = c·x,
é uma constante real; e reciprocamente (veja Problema 1.2).
A função
T : R2 → R3 ,
dada por
T (x, y) = (0, 0, 0),
De fato, dados
v1
e
v2
em
R2
e dado
a ∈ R,
tem-se que
T (v1 + av2 ) = (0, 0, 0) = (0, 0, 0) + a(0, 0, 0) = T (v1 ) + aT (v2 ),
é uma
126
CAPÍTULO 5.
mostrando que
T
V e W são espaços vetoriais, a função T : V → W ,
dada por T (v) = 0, v ∈ V , é uma transformação linear, chamada transformação nula . A transformação nula de V em W será também denotada por
0.
Mais geralmente, se
Exemplo 5.
A função
T : R2 → R2
dada por
T (x, y) = (x2 , y) não
é uma
Com efeito, se tomarmos
v1 = (1, 0)
e
v2 = (−1, 0),
então
T (v1 + v2 ) = (0, 0) 6= (2, 0) = T (v1 ) + T (v2 ).
Exemplo 6.
função
f (x) um polinômio arbitrariamente
T : R[x] → R[x], dada por T (p(x)) = p(f (x)), é
Seja
xado em
R[x].
A
uma transformação
linear.
p1 (x), p2 (x) ∈ R[x]
De fato, se
e
a ∈ R,
temos que
T (p1 (x) + ap2 (x)) = p1 (f (x)) + ap2 (f (x)) = T (p1 (x)) + aT (p2 (x)),
mostrando que
Exemplo 7.
T
T : Rn → Rm é uma transformação linear se, e
números reais aij , com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n, tais que
Uma função
somente se, existem
T (x1 , . . . , xn ) = (a11 x1 + · · · + a1n xn , . . . , am1 x1 + · · · + amn xn ),
fazendo jus ao adjetivo linear associado à palavra transformação.
Para a
demonstração deste resultado, veja Problema 1.3.
Como a maioria dos resultados a seguir é evidente para espaços vetoriais nulos, vamos sempre considerar o domínio e o contradomínio de uma
transformação linear como espaços vetoriais não nulos.
Como consequência da propriedade (1), temos que uma transformação
T : V → W transforma o vetor nulo de V
T (0) = 0. De fato,
linear
no vetor nulo de
W,
ou seja,
0 = T (0) − T (0) = T (0) + (−1)T (0) = T (1 · 0 − 1 · 0) = T (0).
1.
127
T ter como domínio e contradomínio espaços
T (0) = 0 não implica que ela seja uma transformação
Porém, o fato de uma função
vetoriais e satisfazer
linear, como mostra o Exemplo 5.
Uma propriedade importante de uma transformação linear é que ela ca
totalmente determinada se conhecermos seus valores nos vetores de uma base
de seu domínio. Mais precisamente, temos o resultado a seguir.
Seja α = {v1 , v2 , . . . , vn } uma base de um espaço vetorial
V . Sejam w1 , w2 , . . . , wn vetores de um espaço vetorial W . Então existe
uma única transformação linear T : V → W tal que T (vj ) = wj para todo
Teorema 5.1.1.
1 ≤ j ≤ n.
Demonstração
Tomemos
v ∈ V.
Como
α
é uma base de
de modo único como uma combinação linear dos vetores de
Dena
T: V →W
A função
T
V , v se escreve
α, digamos
v = a1 v1 + a2 v2 + · · · + an vn .
(3)
T (v) = a1 w1 + a2 w2 + · · · + an wn .
(4)
por
a1 , a2 , . . . , an são uniT é uma transformaSuponhamos que w =
está bem denida, pois os números reais
v.
a em R
camente determinados a partir de
Além disso,
ção linear.
e
De fato, tomemos
b1 v1 + b2 v2 + · · · + bn vn .
w
em
V.
Como
v + aw = (a1 + ab1 )v1 + (a2 + ab2 )v2 + · · · + (an + abn )vn ,
segue que
T (v + aw) = (a1 + ab1 )w1 + (a2 + ab2 )w2 + · · · + (an + abn )wn
= (a1 w1 + a2 w2 + · · · + an wn ) + a(b1 w1 + b2 w2 + · · · + bn wn )
= T (v) + aT (w).
Para mostrar que
T (vj ) = wj ,
xe
j,
onde
1 ≤ j ≤ n.
vj = 0v1 + · · · + 1vj + · · · + 0vn ,
Como
128
CAPÍTULO 5.
segue de (4) que
T (vj ) = 0w1 + · · · + 1wj + · · · + 0wn = wj .
Vejamos agora que
T
é a única função com as propriedades desejadas. Para
isto, suponhamos que
S(vj ) = wj
para todo
linearidade de
S
S : V → W seja uma transformação
j , com 1 ≤ j ≤ n. Tomemos v ∈ V .
linear tal que
Por (3) e pela
(propriedade (2)), temos que
S(v) = a1 S(v1 ) + a2 S(v2 ) + · · · + an S(vn ).
Como
S(vj ) = wj
para todo
1 ≤ j ≤ n,
obtemos
S(v) = a1 w1 + a2 w2 + · · · + an wn = T (v).
Como
v∈V
Exemplo 8.
foi tomado de modo arbitrário, segue que
S = T.
Para determinarmos a transformação linear
T : R2 → R3
tal
T (1, 1) = (0, 2, 1) e T (0, 2) = (1, 0, 1) devemos, pelo Teorema 5.1.1,
2
vericar que α = {(1, 1), (0, 2)} é uma base de R e calcular as coordenadas
2
de um vetor de R na base α. Ora, como α é linearmente independente e
dim R2 = 2, temos que α é uma base de R2 . Além disso, se (x, y) ∈ R2 , então
que
(x, y) = a1 (1, 1) + a2 (0, 2)
se, e somente se,
a1 = x
e
a2 =
y−x
.
2
Portanto,
y−x
T (x, y) = xT (1, 1) +
T (0, 2)
2
y−x
= x(0, 2, 1) +
(1, 0, 1)
2
y−x
x+y
=
, 2x,
.
2
2
Problemas
1.
1.1
129
Sejam
V
e
W
dois espaços vetoriais e
T: V → W
uma função. Prove
que as seguintes armações são equivalentes:
T (u + v) = T (u) + T (v)
qualquer a em R;
(a)
(b)
e
T (av) = aT (v),
T (u + av) = T (u) + aT (v),
para quaisquer
para quaisquer
u
e
v
em
V
u
e
v
em
e qualquer
a
V
e
em
R;
(c)
em
1.2
T (a1 v1 + · · · + ar vr ) = a1 T (v1 ) + · · · + ar T (vr ),
V e quaisquer a1 , . . . , ar em R.
Mostre que
existe
c∈R
tal
T : R → R é uma transformação
que T (x) = cx, para todo x ∈ R.
1.3 Seja T : Rn → Rm
uma função. Mostre que
se, e somente se, existem números reais
aij ,
T
com
para quaisquer
v1 , . . . , vr
linear se, e somente se,
é uma transformação linear
1≤i≤m
e
1 ≤ j ≤ n,
tais
que
T (x1 , . . . , xn ) = (a11 x1 + · · · + a1n xn , . . . , am1 x1 + · · · + amn xn ).
Sugestão
T é da forma desejada, escreva (x1 , . . . , xn ) =
e1 , . . . , en é a base canônica de Rn . Ponha T (ei ) =
Para mostrar que
x1 e1 + · · · + xn en , onde
(a1i , . . . , ami ) e use a igualdade
1.4*
por
(2). A recíproca é uma vericação fácil.
V = M(n, n) e seja B em V . Dena a função T : V → V
T (A) = AB + BA para toda matriz A em V . Mostre que T é uma
Considere
1.5
Mostre que a função
T : M(m, n) → M(n, m),
denida por
T (A) = At ,
1.6
Dada uma transformação linear
calcule em função de
(a)
1.7
T (u + v);
u
e
(b)
T
tal que
T (u) = 2u
T (v) = u + v ,
v:
T (3v);
(c)
T (−3u);
(d)
T (u − 5v).
Quais das funções abaixo são transformações lineares? Justique as res-
postas dadas.
(a)
e
T : R3 → R3 ,
onde
T (x, y, z) = (x + y, x − z, 0).
130
(b)
(c)
CAPÍTULO 5.
T : R2 → R3 ,
T (x, y) = (x2 , x, y).
"
#
2x x − y
T : R2 → M(2, 2), onde T (x, y) =
.
x+y
2y
onde
(d)
T : R2 → R,
(e)
T : R[x]2 → R[x]2 ,
onde
T (ax + b) = ax2 + bx.
(f )
T : R[x]d → R[x]d ,
onde
T (x) = x + a,
onde
T (x, y) = xy .
com
1.8
Determine
(a)
T (1, 2) = (3, 1, 1)
(b)
T (1, 1, 1) = (2, −1, 4), T (1, 1, 0) = (3, 0, 1)
1.9
Sejam
n
e
m
e a transformação linear
e
2
tal que:
e
T (1, 0, 0) = (−1, 5, 1).
V e T : V →W
T (v1 ) = T (v2 ) = · · · = T (vn ) = 0 se,
uma base de um espaço vetorial
uma transformação linear. Mostre que
T
T : Rn → Rm
T (1, 1) = (1, −1, 0);
{v1 , v2 , . . . , vn }
e somente se
a ∈ R.
é a transformação nula.
Núcleo e Imagem
O núcleo e a imagem de uma transformação linear são dois subespaços
de seu domínio e de seu contradomínio, respectivamente, que nos fornecem
informações valiosas sobre a transformação.
Há uma relação importante
entre as dimensões do domínio, do núcleo e da imagem de uma transformação
linear, que apresentaremos nesta seção e que possui muitas aplicações.
2.1
O Núcleo
Seja
T: V →W
Ker T , é o conjunto
W , ou seja,
uma transformação linear. O
de vetores de
V
núcleo de T , denotado por
que são levados por
T
no vetor nulo de
Ker T = {v ∈ V ; T (v) = 0}.
Ker T é um subconjunto não vazio de V , já que T (0) = 0. Mais
Ker T é um subespaço de V . De fato, se v1 , v2 ∈ Ker T e se a ∈ R,
Note que
ainda,
2.
131
NÚCLEO E IMAGEM
então
v1 + av2 ∈ Ker T ,
pois
T (v1 + av2 ) = T (v1 ) + aT (v2 ) = 0 + a · 0 = 0.
O seguinte exemplo ilustra o fato de que a determinação do núcleo de
uma transformação linear, entre espaços vetoriais de dimensão nita, recai
na determinação do conjunto solução de um sistema de equações lineares
homogêneo.
Exemplo 1.
Seja
T : R4 → R3
a transformação linear denida por
T (x, y, s, t) = (x − y + s + t, x + 2s − t, x + y + 3s − 3t).
Para determinarmos
em
R4
Ker T ,
devemos obter o conjunto de vetores
(x, y, s, t)
tais que
T (x, y, s, t) = (x − y + s + t, x + 2s − t, x + y + 3s − 3t) = (0, 0, 0).
Equivalentemente,
Ker T
é o conjunto solução do seguinte sistema linear
homogêneo:




x − y + s + t = 0
x + 2s − t = 0



x + y + 3s − 3t = 0 .
Resolvendo o sistema acima, obtemos
Ker T = {(−2s + t, −s + 2t, s, t) ; s, t ∈ R}.
Note que
Ker T
é um subespaço vetorial de
R4
de dimensão 2.
Inversamente, o conjunto solução de um sistema de equações lineares
homogêneo
AX = 0,
onde
A = [aij ],
pode ser interpretado como o núcleo de
uma transformação linear. Mais precisamente, é o núcleo da transformação
linear
T : Rn → Rm ,
T (x1 , . . . , xn ) = (a11 x1 + · · · + a1n xn , . . . , am1 x1 + · · · + amn xn ).
132
CAPÍTULO 5.
Se uma transformação linear
T
T (v) = 0 só
T (0) = 0, tem-se
é injetiva, então a equação
v = 0. De fato, sendo T injetiva e como
T (v) = 0 = T (0) implica que v = 0. Fato curioso, é que
possui a solução
que
vale também a
recíproca desta propriedade, como mostraremos a seguir.
Seja T : V → W uma transformação linear. Temos que
T é injetiva se, e somente se, Ker T = {0}.
Proposição 5.2.1.
Demonstração
A implicação direta foi provada no comentário acima. Su-
Ker T = {0}. Tomemos u e v vetores em V . Se T (u) =
T (v), então T (u) − T (v) = 0. Equivalentemente, T (u − v) = 0. Assim,
u − v ∈ Ker T . Como Ker T = {0}, segue-se que u − v = 0, logo u = v ,
mostrando a injetividade de T .
ponhamos agora que
Por exemplo, a transformação linear do Exemplo 1 não é injetiva, pois
Ker T 6= {(0, 0, 0, 0)}. Já a transformação linear dada por T (x, y)=(x−y, x+y),
(x, y) ∈ R2 , é injetiva, pois Ker T = {(0, 0)}.
2.2
A
A Imagem
imagem de T
Im T = T (V ).
Como
junto não vazio de
de fato,
T : V → W é o conjunto
0 ∈ Im T , logo ele é um subcon-
de uma transformação linear
T (0) = 0,
W.
temos que
Deixaremos como exercício para o leitor vericar que,
Im T é um subespaço vetorial de W
(veja Problema 2.1). A seguinte
proposição mostra como podemos determinar geradores para a imagem de
uma transformação linear.
Seja T : V →W uma transformação linear. Se {v1 , . . . , vn }
é um conjunto de geradores de V , então {T (v1 ), . . . , T (vn )} é um conjunto
de geradores de Im T . Em particular, dim Im T ≤ dim V .
Proposição 5.2.2.
Demonstração
{v1 , . . . , vn }
gera
Seja
V, v
w ∈ Im T
e tomemos
v∈V
é uma combinação linear de
v = a1 v1 + · · · + an vn .
T (v) = w. Como
v1 , . . . , vn , digamos,
tal que
2.
133
NÚCLEO E IMAGEM
Pela linearidade de
T
(cf. (2) da Seção 1), temos que
w = T (v) = a1 T (v1 ) + · · · + an T (vn ),
w é uma combinação linear de T (v1 ), . . . , T (vn ).
Im T , segue que Im T = G(T (v1 ), . . . , T (vn )).
ou seja,
em
Exemplo 2.
Como
w é arbitrário
Calculemos a imagem da transformação linear apresentada no
Exemplo 1.
Pela Proposição 5.2.2, devemos determinar o espaço gerado pela imagem
de um conjunto de geradores de
R4 .
Vamos calcular, então, o espaço gerado
por
T (1, 0, 0, 0) = (1, 1, 1),
T (0, 0, 1, 0) = (1, 2, 3)
T (0, 1, 0, 0) = (−1, 0, 1),
e
T (0, 0, 0, 1) = (1, −1, −3).
Pelo Teorema 3.4.1, basta reduzir a matriz

1
1
1
−1
0
1




 1
2
3
1 −1 −3

à forma escalonada. Ora,





1
1
1
1
1
1
1
−→
−→
−1




0
1  L2 → L2 + L1 0
1
2

0



 L3 → L3 − L2 
 1
2
3  L3 → L3 − L1 0
1
2  L → L + 2L 0
4
4
2
L4 → L4 − L1
1 −1 −3
0 −2 −4
0
Assim,
{(1, 1, 1), (0, 1, 2)}
é uma base de
Im T ,
ou seja,
Im T = {(x, x + y, x + 2y) ; x, y ∈ R}.
1
1
0
0

1
2

.
0
0
134
CAPÍTULO 5.
2.3
O Teorema do Núcleo e da Imagem
O seguinte resultado é um teorema importante que relaciona a dimensão
do núcleo à dimensão da imagem de uma transformação linear
quando
V
T : V → W,
tem dimensão nita.
Seja T : V → W
uma transformação linear, onde V tem dimensão nita. Então
Teorema 5.2.3. (Teorema do Núcleo e da Imagem)
dim Ker T + dim Im T = dim V.
Demonstração
uma base de
vetores em
V
Suponhamos que
Ker T .
dim V = n.
Seja
(1)
α = {u1 , u2 , . . . , um }
Como qualquer conjunto linearmente independente de
tem no máximo
n
vetores (Teorema 3.3.3), segue que
m ≤ n.
Vamos considerar dois casos:
m = n.
Neste caso, dim Ker T = dim V e, consequentemente, pelo Teorema 3.3.6,
Ker T = V . Isto implica que Im T = {0}, portanto, dim Im T = 0, mostrando
Caso 1.
que a fórmula (1) é válida.
Caso 2.
m < n.
α de modo a obtermos uma base
β de V , digamos β = {u1 , u2 , . . . , um , vm+1 , . . . , vn }. Note que a fórmula (1) é
vericada se provarmos que {T (vm+1 ), . . . , T (vn )} é uma base de Im T . Pela
Proposição 5.2.2, temos que Im T = G(T (vm+1 ), . . . , T (vn )). Para provarmos
Pelo Teorema 3.3.5, podemos completar
que esses vetores são linearmente independentes, consideremos a equação
bm+1 T (vm+1 ) + · · · + bn T (vn ) = 0,
que equivale a termos
bm+1 vm+1 + · · · + bn vn ∈ Ker T.
Como
α
é uma base de
Ker T ,
existem
b1 , b2 , . . . , bm
em
R
tais que
bm+1 vm+1 + · · · + bn vn = b1 u1 + b2 u2 + · · · + bm um ,
2.
135
NÚCLEO E IMAGEM
ou seja,
b1 u1 + b2 u2 + · · · + bm um − bm+1 vm+1 − · · · − bn vn = 0.
Sendo
β
uma base de
V,
a equação anterior se verica somente se todos os
coecientes da combinação linear são iguais a zero. Em particular,
· · · = bn = 0.
bm+1 =
Em geral, para mostrarmos que uma função é bijetiva, devemos mostrar
que ela é injetiva e sobrejetiva. No entanto, se a função é uma transformação
linear entre espaços vetoriais de
mesma
dimensão nita, então, exatamente
como no caso de funções entre conjuntos nitos de mesma cardinalidade,
basta vericar que ela ou é injetiva ou é sobrejetiva; a outra condição é
automaticamente satisfeita. Provaremos este fato a seguir com o auxílio do
teorema do núcleo e da imagem. Note que esse resultado não é consequência
do resultado para funções entre conjuntos nitos, pois um espaço vetorial
sobre
R,
quando não nulo, é um conjunto innito.
Seja T : V → W uma transformação linear entre espaços vetoriais de dimensão nita. Se dim V = dim W , então as seguintes
armações são equivalentes:
Proposição 5.2.4.
(i)
T é injetiva;
(ii) T é sobrejetiva.
Demonstração
Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem,
dim Ker T + dim Im T = dim V.
Sendo
dim V = dim W ,
podemos escrever a igualdade acima como
dim Ker T + dim Im T = dim W.
Suponhamos que
T
consequentemente,
seja injetiva.
dim Ker T = 0.
Pela Proposição 5.2.1,
Segue então, de (2),
(2)
Ker T = {0} e,
que dim Im T =
136
CAPÍTULO 5.
dim W ,
W.
mostrando que
T
é sobrejetiva, já que, pelo Teorema 3.3.6,
Im T = W . Esses dois
espaços têm mesma dimensão, portanto, de (2) temos que dim Ker T = 0, o
que garante que Ker T = {0}. Pela Proposição 5.2.1, segue que T é injetiva.
Suponhamos agora que
T
Im T =
seja sobrejetiva, ou seja,
Exemplo 3.
Veriquemos que a transformação linear
T : M(2, 2) → R4 ,
dada por
"
T
#!
a b
c d
= (a + b, b + c, c, a + b + d)
é uma função bijetiva.
dim M(2, 2) = dim R4 , segue,
que T é uma função injetiva.
Ora, como
vericarmos
da Proposição 5.2.4, que basta
Como a igualdade
"
T
só ocorre quando
Proposição 5.2.1,
#!
a b
= (0, 0, 0, 0)
c d
a = b = c = d = 0,
T é injetiva.
Observamos que a condição
cessária.
temos que
dim V = dim W ,
Ker T = {0}.
Pela
na Proposição 5.2.4, é ne-
De fato, consideremos a transformação linear
T : R3 → R2
dada
T (x, y, z) = (x, y). Temos que T é sobrejetiva, mas não é injetiva. Já a
2
3
transformação linear T : R → R dada por T (x, y) = (x, y, 0) é injetiva, mas
por
não
é sobrejetiva.
T : V → W uma transformação linear bijetiva. Logo, existe a função
−1
inversa T
: W → V de T . A função T −1 é também uma transformação
linear . Com efeito, consideremos w1 e w2 em W e a em R. Como T é bijetiva,
existem únicos vetores v1 e v2 em V tais que T (v1 ) = w1 e T (v2 ) = w2 .
Seja
2.
137
NÚCLEO E IMAGEM
Portanto,
T −1 (w1 + aw2 ) = T −1 (T (v1 ) + aT (v2 ))
= T −1 (T (v1 + av2 ))
= v1 + av2
= T −1 (w1 ) + aT −1 (w2 ).
isomorsmo . Dois espaços
vetoriais que possuem um isomorsmo entre eles serão ditos isomorfos, o que,
Uma transformação linear bijetiva é chamada
em grego, signica que possuem mesma forma.
Os isomorsmos desempe-
nham um papel importante na Álgebra Linear.
R4 e M(2, 2)
T : R4 → M(2, 2) dada por
Por exemplo,
são espaços vetoriais isomorfos, pois a função
"
x y
T (x, y, z, t) =
z t
#
é um isomorsmo.
Pelo Teorema 5.2.3, segue que se dois espaços vetoriais de dimensão nita
são isomorfos, então eles têm a mesma dimensão. O próximo resultado mostra que a recíproca desta armação é também verdadeira, ou seja, espaços
vetoriais de mesma dimensão nita são isomorfos.
Se V e W são espaços vetoriais de dimensão n, então V e
Teorema 5.2.5.
W são isomorfos .
Demonstração
Para provarmos que
V
e
W
são isomorfos, devemos mostrar
que existe uma transformação linear bijetiva de
V
α = {v1 , . . . , vn } e β = {w1 , . . . , wn } bases de V
v ∈ V , podemos escrever de modo único
e
v = a1 v1 + · · · + an vn ,
com
a1 , . . . , a n ∈ R .
em
W.
Para isto, tomemos
W , respectivamente.
Dado
138
CAPÍTULO 5.
Dena, então,
T: V → W
monstração do Teorema 5.1.1,
por
T
T (v) = a1 w1 + · · · + an wn .
Pela de-
está bem denida e, além disso,
T
é uma
T é bijetiva basta provarmos,
se v = a1 v1 + · · · + an vn e
Para provarmos que
que
T
é injetiva. Ora,
pela Proposição 5.2.4,
0 = T (v) = a1 w1 + · · · + an wn ,
a1 = · · · = an = 0, pois {w1 , . . . , wn }
v = 0, mostrando que Ker T = {0}.
segue-se que
V
Dois espaços vetoriais
W
e
é uma base de
W.
Logo,
isomorfos são essencialmente o mesmo
espaço vetorial, exceto que seus elementos e suas operações de adição e
de multiplicação por escalar são escritas diferentemente.
propriedade de
V
que dependa apenas de sua estrutura de espaço vetorial
W,
isomorsmo de V em W ,
somente se, {v1 , . . . , vn } é
permanece válida em
Exemplo 4.
Seja
W
e vice-versa.
T : V → W é um
uma base de W se, e
Por exemplo, se
{T (v1 ), . . . , T (vn )} é
base de V (veja Problema
então
uma
o subespaço de
"
#
"
1 −5
1
M1 =
, M2 =
−4
2
−1
M(2, 2)
"
e
#
1 −7
M4 =
.
−5
1
W.
Para encontrarmos uma base e a dimensão de
de espaço gerado.
2.4).
gerado por
#
"
#
1
2 −4
, M3 =
5
−5
7
Vamos encontrar uma base e a dimensão de
W
não usaremos a denição
Em vez disso, usaremos a noção de espaço linha, que
nos auxilia a exibir uma base de subespaços de
espaços vetoriais
Assim, qualquer
isomorfos
a subespaços de
"
#
n
R
Rn
e, consequentemente, de
.
x y
4
é um isomorsmo de R em M(2, 2),
t z
temos que W é isomorfo ao espaço G(v1 , v2 , v3 , v4 ), onde v1 = (1, −5, −4, 2),
v2 = (1, 1, −1, 5), v3 = (2, −4, −5, 7) e v4 = (1, −7, −5, 1). Temos que a
Ora, como
T (x, y, t, z) =
2.
139
NÚCLEO E IMAGEM
matriz


1 −5 −4 2
1
1 −1 5




2 −4 −5 7
1 −7 −5 1
se reduz, pelas transformações elementares, à matriz

1
0


0
0
3
2
0
0
0
1
0
0

6
1

.
0
0
α = {(1, 3, 0,("
6), (0, 2,
uma base de G(v1 , v2 , v3 , v4 ) e, conse# 1,"1)} é#)
1 3
0 2
0
quentemente, α =
,
é uma base de W , mostrando que
0 6
1 1
dim W = 2.
Assim,
Note que, como consequência do Teorema 5.2.5, temos que
vetorial não nulo de dimensão nita n é isomorfo ao R
n
.
todo espaço
Dessa forma, o
estudo de espaços vetoriais de dimensão nita pode se reduzir ao estudo
dos espaços
Rn ,
mediante a escolha de algum isomorsmo.
um problema em um espaço vetorial de dimensão nita
problema para
n
R
n,
Assim, dado
reescrevemos o
, usando um isomorsmo, e o resolvemos neste contexto.
Com o isomorsmo utilizado, voltamos ao contexto original. Essa técnica foi
ilustrada no Exemplo 4. Um outro exemplo pode ser visto no Problema 2.6,
bem como no exemplo a seguir, em que são aplicados os conceitos de espaço
vetorial, base e dimensão, de modo a obter resultados não triviais.
Exemplo 5.
Consideremos a recorrência
R(1, 1),
un+1 = un + un−1 ,
denida por
n ≥ 2.
Vimos no Exemplo 2 da Seção 1, do Capítulo 1 e no Exemplo 5 da Seção
1, do Capítulo 3, que as sequências reais que satisfazem a esta recorrência
formam um espaço vetorial.
140
CAPÍTULO 5.
(un ) de R(1, 1) ca totalmente determinado
u1 e u2 . Por exemplo, se u1 = u2 = 1, temos que
Observe que todo elemento
se soubermos os valores de
(un )
é a sequência de Fibonacci.
Denamos a seguinte função:
T : R(1, 1) →
R2
(un ) 7→ (u1 , u2 ) .
Note que
T
é uma transformação linear, pois se
(un ), (vn ) ∈ R(1, 1)
e
c ∈ R,
então
T ((un ) + c(vn )) =
=
=
=
Por outro lado,
os valores de
Logo,
2.
T
u1
e
T
u2
T ((un + cvn ))
(u1 + cv1 , u2 + cv2 )
(u1 , u2 ) + c(v1 , v2 )
T ((un )) + cT ((vn )).
é obviamente sobrejetora.
T
é também injetora, pois
determinam univocamente a sequência
(un )
é um isomorsmo de espaços vetoriais e, portanto,
Vamos determinar uma base de
R(1, 1).
dim R(1, 1) =
R(1, 1).
Procuremos dentre as progressões geométricas
que satisfazem à recorrência
de
R(1, 1).
(q n ),
com
q 6= 0,
aquelas
Essas devem satisfazer à condição
q n+1 = q n + q n−1 .
Daí deduz-se que
q
deve satisfazer a equação
q 2 − q − 1 = 0,
cujas raízes são
√
1+ 5
q1 =
,
2
Portanto, sendo
as imagens por
R(1, 1).
T
√
1− 5
q2 =
.
2
(q1n ) e (q2n ) linearmente independentes (basta vericar que
são linearmente independentes), eles formam uma base de
2.
141
NÚCLEO E IMAGEM
(un ) de R(1, 1) é tal que
√ !n
√ !n
1+ 5
1− 5
+ t2
,
2
2
Assim, todo elemento
un = t1
Portanto, dados
u1
e
u2 , podemos determinar t1
t1 , t2 ∈ R.
(3)
e t2 resolvendo o sistema
de equações:
(
Em virtude das igualdades
ao sistema
(
t1 q1 + t2 q2 = u1
t1 q12 + t2 q22 = u2 .
q12 = q1 +1 e q22 = q2 +1, este sistema é equivalente
t1 q1 + t2 q2 = u1
t1 (q1 + 1) + t2 (q2 + 1) = u2 ,
u = u2 = 1, resolvendo
√ 1
t2 = −1/ 5, que substituídos em (3)
Por exemplo, para a sequência de Fibonacci, onde
o sistema acima, obtemos
√
t1 = 1/ 5
e
nos dão a seguinte fórmula para o termo geral da sequência de Fibonacci:
un =
√ n
1+ 5
2
√ n
− 1−2 5
√
.
5
Finalizaremos esta seção com mais uma aplicação do Teorema do Núcleo
e da Imagem.
Exemplo 6.
Determinaremos uma fórmula para a dimensão da soma de
dois subespaços de um espaco vetorial.
Sejam
torial
V.
U
e
W
subespaços vetoriais de dimensão nita de um espaço ve-
Considere a transformação linear
T: U ×W →
V
(u, w) 7→ u + w
É fácil vericar que a imagem de
isomorfo a
U ∩W
T
é o subespaço
U +W
e que
Ker T
é
(veja Problema 2.5). Logo, pelo Teorema do Núcleo e da
Imagem e pelo Problema 3.15, do Capítulo 3, temos que
dim U + dim W = dim U × W = dim Ker T + dim Im T
= dim(U ∩ W ) + dim(U + W ).
142
CAPÍTULO 5.
Assim, temos que
dim(U + W ) = dim U + dim W − dim(U ∩ W ).
Problemas
2.1*
Prove que a imagem de uma transformação linear
subespaço vetorial de
é um
W.
2.2*
Dada a transformação linear
em
3
R
T: V → W
T (x, y, z) = (x + 2y − z, y + 2z, x + 3y + z)
:
(a) Verique que
Ker T
é uma reta que passa pela origem;
(b) Determine as equações paramétricas da reta obtida em (a);
(c) Verique que
Im T
é um plano que passa pela origem;
(d) Determine as equações paramétricas do plano obtido em (c).
2.3
Explique por que não existe nenhuma transformação linear sobrejetiva
T : V → W,
2.4*
de
V
2.5
Seja
quando
dim V < dim W .
T: V → W
se, e somente se,
{v1 , . . . , vn }
base de W .
um isomorsmo. Prove que
{T (v1 ), . . . , T (vn )}
for uma
é uma base
U e W subespaços de um espaço vetorial V . Considere
T : U × W → V , denida por T (u, w) = u + w. Mostre que:
(a)
Sejam
T
é uma transformação linear;
(b) A imagem de
(c)
T
é o subespaço
U + W;
Ker T = {(u, −u); u ∈ U ∩ W }
2.6*
a função
é isomorfo a
Determine a dimensão do subespaço de
U ∩ W.
R[x]3 ,
denido por
{p(x) = ax3 + bx2 + cx + d ; p(−1) = 0}.
2.7
Determine o núcleo e a imagem das seguintes transformações lineares:
(a)
T : R3 → R2 ,
onde
T (x, y, z) = (x − y, x − z);
143
2.
NÚCLEO E IMAGEM
(b)
T : R4 →R3 , onde T (x, y, z, w)=(2x + y − z + w, x + 2y − w, 6x + 2z − 3w);
(c)
T : R[x] → R[x],
T (p(x)) = x · p(x);
onde
"
(d)
T : M(2, 2) → M(2, 2),
(e)
T : R[x]2 → R4 ,
2.8
onde
onde
T (A) = M · A,
sendo
#
1 −1
M=
;
−4
4
T (ax2 + bx + c) = (a + b, 2b + c, a + 2b − c, c).
Determine quais das transformações lineares do exercício anterior são
injetivas e quais são sobrejetivas.
2.9
Dada uma transformação linear
(a)
se é sobrejetiva, então
(b)
se é injetiva, então
T : V → W,
mostre que:
dim W ≤ dim V ;
dim V ≤ dim W .
2.10 Encontre uma transformação linear T : R3 → R3
por
(1, 2, −1)
e
(−1, 1, 0).
2.11 Encontre uma transformação linear T : R4 → R3
por
(1, 2, 3, 4)
2.12
(1, 2, 3)
e
(1, 3, −1, 2)
2.14 Seja T : R3 → V
V
T : R3 → R3
cuja imagem seja
T : R3 → R4
cuja imagem seja
(0, 1, −1).
Encontre uma transformação linear
gerada por
cujo núcleo seja gerado
(0, 1, 1, 1).
Encontre uma transformação linear
gerada por
2.13
e
cujo núcleo seja gerado
e
(1, 0, 1, −1).
R3 em um espaço vetorial
R3 , um plano pela origem,
uma transformação linear de
qualquer. Mostre que o núcleo de
T
é todo o
uma reta pela origem, ou só a origem.
2.15
Seja
2.16
Dê, quando possível, exemplos de transformações lineares
T : V → R3 uma transformação linear de um espaço vetorial V
3
qualquer em R . Mostre que a imagem de T é só a origem, uma reta pela
3
origem, um plano pela origem, ou todo o R .
zendo:
(a)
T : R3 → R2
sobrejetiva;
(b)
T : R4 → R2
com
Ker T = {(0, 0, 0, 0)};
T
satisfa-
144
CAPÍTULO 5.
(c)
T : R3 → R3
com
Im T = {(0, 0, 0)};
(d)
T : R3 → R4
com
Ker T = {(x, y, −x) ; x ∈ R}.
2.17
Seja
2.18
Sejam
2.19
T : V → R uma transformação linear não nula. Prove que existe
um vetor v ∈ V tal que T (v) = 1. Seja W o subespaço de V gerado pelo
vetor v . Prove que V = W ⊕ Ker T .
W1 e W2 subespaços de um espaço vetorial V tais que dim W1 +
dim W2 = dim V . Mostre que existe uma transformação linear T : V → V
tal que Ker T = V1 e Im T = W2 .
T : R3 → R3
dada por
T (x, y, z) = (3x + y, −2x − 4y + 3z, 5x + 4y − 2z).
Determine se
2.20
Seja
T
é invertível. Em caso armativo, encontre
T : Rn → Rn
T −1 .
a transformação linear dada por
T (x1 , x2 , . . . , xn ) = (a1 x1 , a2 x2 , . . . , an xn ).
(a) Sob quais condições sobre
a1 , a2 , . . . , an ,
a função
T
é invertível?
(b) Supondo satisfeitas as condições determinadas em (a), encontre
2.21
Seja
T : R2 → R2
T −1 .
a transformação linear dada por
T (x, y) = (x + ky, −y).
Prove que
2.22
é injetiva e que
T −1 = T ,
para cada valor real de
Ache um isomorsmo entre o espaço vetorial
n×n
3
T
e o espaço vetorial
W
V
k.
das matrizes simétricas
das matrizes triangulares inferiores
n × n.
Operações com Transformações Lineares
Nesta seção, apresentaremos as operações usuais com as transformações
lineares, obtendo novas transformações lineares a partir de transformações
lineares dadas.
3.
145
OPERAÇÕES COM TRANSFORMAÇÕES LINEARES
T : V → W e S : V → W transformações lineares. Denimos a
T e S , denotada por T + S , como a função T + S : V → W dada
Sejam
soma
de
por
(T + S)(v) = T (v) + S(v),
para todo
kT ,
v ∈ V.
como a função
k ∈ R, denimos o produto
kT : V → W dada por
Se
(1)
de
k
por
T,
denotando-o
(kT )(v) = kT (v),
para todo
v ∈V.
As funções
pois para qualquer
a
em
R
T +S e kT
(2)
são, de fato, transformações lineares,
e para quaisquer
v1
e
v2
em
V
temos que
(T + S)(v1 + av2 ) = T (v1 + av2 ) + S(v1 + av2 )
= T (v1 ) + aT (v2 ) + S(v1 ) + aS(v2 )
= [T (v1 ) + S(v1 )] + a[T (v2 + S(v2 )]
= (T + S)(v1 ) + a(T + S)(v2 )
e
(kT )(v1 + av2 ) = kT (v1 + av2 ) = k[T (v1 ) + aT (v2 )]
= kT (v1 ) + akT (v2 )
= (kT )(v1 ) + a(kT )(v2 ).
Denotemos por
V
em
W.
(V, W )
o conjunto de todas as transformações lineares de
As operações descritas em (1) e (2) denem uma adição e uma
multiplicação por escalar em
Problema 3.4). Se
W = R,
seus elementos chamados de
(V, W ),
o espaço
tornando-o um espaço vetorial (veja
(V, R)
é chamado
funcionais lineares
em
A composição de duas transformações lineares
de
V
e
V.
T: V →W
é a composição usual de funções:
(S ◦ T )(v) = S(T (v)),
espaço dual
v ∈ V.
e
S: W → U
146
CAPÍTULO 5.
S ◦T é também uma transformação linear.
a ∈ R, então
A função
e se
Com efeito, se
v1 , v2 ∈ V
(S ◦ T )(v1 + av2 ) = S(T (v1 + av2 )) = S(T (v1 ) + aT (v2 ))
= S(T (v1 )) + aS(T (V2 )) = (S ◦ T )(v1 ) + a(S ◦ T )(v2 ).
Exemplo 1.
Sejam
T : R3 → R3
e
S : R3 → R3
transformações lineares
dadas por
T (x, y, z) = (2x, x − y, y + z)
Determinaremos
T + S , 2S
e
e
S(x, y, z) = (x + 2z, y, −z).
T ◦ S.
Temos
(T + S)(x, y, z) = T (x, y, z) + S((x, y, z))
= (2x, x − y, y + z) + (x + 2z, y, −z)
= (3x + 2z, x, y),
(2S)(x, y, z) = 2S(x, y, z) = 2(x + 2z, y, −z) = (2x + 4z, 2y, −2z)
e
(T ◦S)(x, y, z) = T (S(x, y, z)) = T (x+2z, y, −z) = (2x+4z, x−y +2z, y −z).
Sejam
a
T: V → V
n-ésima potência
de
n ∈ N \ {0}. Denimos
n
como a função T : V → V
uma transformação linear e
T,
denotando-a por
T
n
,
dada por
T n = |T ◦ ·{z
· · ◦ T} .
n vezes
Pelo que vimos anteriormente,
como a função identidade em
T
n
V,
é uma transformação linear. Denimos
T0
ou seja,
T 0 = IV .
Se
T: V → V
é um isomorsmo, a transformação linear
denida por
−1
T −n = T
· · ◦ T −1} .
| ◦ ·{z
n vezes
T −n : V → V
é
3.
147
O próximo resultado, cuja demonstração é deixada como exercício (veja
Problema 3.9), relaciona a composição com a adição e a multiplicação por
escalar de transformações lineares.
Sejam T e T 0 transformações lineares de V em W e
sejam S e S 0 transformações lineares de W em U . Então:
Proposição 5.3.1.
(a)
(b)
(c)
S ◦ (T + T 0 ) = S ◦ T + S ◦ T 0 ;
(S + S 0 ) ◦ T = S ◦ T + S 0 ◦ T ;
k(S ◦ T ) = (kS) ◦ T = S ◦ (kT ), onde k ∈ R.
Problemas
3.1*
T : R3 → R4 dada por T (x, y, z) =
(T ◦ S)(x, y), onde S : R2 → R3 é dada por
(x + y, z, x − y, y + z). Calcule
S(x, y) = (2x + y, x − y, x − 3y).
3.2
Sejam
3.3
Sejam
(a)
T + S;
(b)
5T − 4S ;
(c)
S ◦ T;
(d)
T ◦ S;
(e)
T 3;
(f )
S −3 .
3.4
Prove que
T: V → W
S : V → W transformações lineares entre espaços
−1
vetoriais de mesma dimensão. Se S ◦T = IV , prove que T ◦S = IW e S = T
.
e
T : R2 → R2 e S : R2 → R2 transformações lineares dadas por
T (x, y) = (x + y, 0) e S(x, y) = (−y, x). Encontre expressões para denir:
(V, W ),
com as operações dadas em (1) e (2), é um espaço
vetorial.
3.5
Mostre que as seguintes transformações lineares
T, S
e
Q são linearmente
independentes:
T, S, Q ∈ (R3 , R2 ), denidas por T (x, y, z) = (x+y +z, x+y), S(x, y, z) =
(2x + z, x + y) e Q(x, y, z) = (2y, x);
(a)
T, S, Q ∈ (R3 , R),
Q(x, y, z) = x − z .
(b)
e
denidas por
T (x, y, z) = x + y + z , S(x, y, z) = y + z
148
3.6
CAPÍTULO 5.
Seja
somente
3.7
T : V → V uma
se, Im T ⊂ Ker T .
T2 = 0
Prove que
T : V → V e S : V → V são transformações
T ◦ S = 0, então T não é injetiva.
mostre que
3.9
Prove que se
nulas tais que
3.8
T (x, y, z) = (ay + bz, cz, 0)
se, e
lineares não
de
R3
em
R3 ,
de
R2
em
R2 ,
T 3 = 0.
Prove a Proposição 5.3.1.
3.10
T (x, y) = (ac + by, cx + dy)
mostre que:
(a)
T 2 − (a + d)T = (bc − ad) IR2 ;
ad − bc 6= 0, então existe uma transformação linear S
S ◦ T = T ◦ S = IR2 .
(b) Se
que
de
R2
em
R2
tal
3.11
Seja
T : W → U uma transformação linear injetiva. Prove que
S1 , S2 ∈ (V, W ) satisfazem a igualdade T ◦ S1 = T ◦ S2 , então S1 = S2 .
se
3.12
Seja
se
3.13
Prove que se
T : V → W uma transformação linear sobrejetiva. Prove que
S1 , S2 ∈ (W, U ) satisfazem a igualdade S1 ◦ T = S2 ◦ T , então S1 = S2 .
então a
3.14
T : V → V é uma transformação
transformação IV −T é invertível.
Seja
V
wi + · · · + ws ,
(a)
T
com
é uma transformação linear;
A transformação
T
T 2 = 0,
V = W1 ⊕ · · · ⊕ Ws .
T : V → V denida por T (v) = wi , onde v = w1 + · · · +
wi ∈ Wi , para cada 1 ≤ i ≤ s. Mostre que:
um espaço vetorial.
Considere a função
linear tal que
é chamada de
Suponhamos que
(b)
T2 = T.
projeção de V em seu subespaço vetorial
Wi .
3.15
Seja
T : V →V
(a)
T (v) = v
(b)
V = Ker T ⊕
(c)
T
uma transformação linear tal que
para todo
Im
é a projeção de
v∈
Im
T;
T;
V
em sua imagem.
T 2 =T .
Mostre que:
3.
149
3.16
Seja
T: V →V
ção se, e somente se,
3.17
Sejam
T
e
dimensão nita
S
V
uma transformação linear. Mostre que
Se
(b)
Se
T ◦ T2 .
é uma proje-
T2 = T.
duas transformações lineares entre os espaços vetoriais de
e
W.
Ker T = Ker S ,
S = T1 ◦ T ;
(a)
T
Im T = Im S ,
Mostre que:
então existe um isomorsmo
então existe um isomorsmo
T1 : W → W
T2 : V → V
tal que
tal que
S=
Bibliograa
[1] H. P. Bueno,
Álgebra Linear, um segundo curso ,
Coleção Textos Univer-
sitários, SBM, 2006.
[2] P. Halmos,
Teoria Ingênua dos Conjuntos ,
Editora Ciência Moderna,
2001.
[3] A. Hefez e M. L. T. Villela,
Códigos Corretores de Erros ,
Coleção Mate-
mática e Aplicações, IMPA, 2008.
[4] A. Hefez e M. L. T. Villela,
Números Complexos e Polinômios ,
Coleção
PROFMAT, SBM, 2012.
[5] V. J. Katz,
A History of Mathematics - an Introduction ,
HarperCollins
College Publishers, 1993.
[6] S. Lang,
Introduction to Linear Algebra , 2nd edition, Undergraduate Texts
in Mathematics, Springer, 1986.
[7] E.L. Lima,
Álgebra Linear , 3a
edição, Coleção Matemática Universitária,
IMPA, 1998.
[8] E.L. Lima,
Geometria Analítica e Álgebra Linear ,
Matemática Universitária, IMPA, 2010.
300
2
a
edição, Coleção

Capítulo 5: Transformações Lineares

Transcrição

Documentos relacionados

Baixar Ficha Técnica em PDF

pdf - Marisa Monte

Lista 5

Finale 2009 - [amarguras.mus]

FICHA TÉCNICA 1BPN100010 - BARRAMENTO DE PONTEIRA

Catálogo de Prémios Prinkard Club 2013

Amplificador Logarítmico

Novidade: dim out e aparência de seda multicolor

Viburnum odoratissimum Ker.

PAINEIS SOLARES FLEXIVEIS / DESDOBRÁVEIS Painéis