Avalanches - Guia do Professor.indd

Números
e funções
Guia do professor
Experimento
Avalanches
Objetivos da unidade
1. Modelar o fenômeno de avalanches;
2. Construir gráficos;
3. Linearizar gráficos através de logaritmos.
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Secretaria de
Educação a Distância
Ministério da
Ciência e Tecnologia
Ministério
da Educação
Avalanches
Guia do professor
Sinopse
Este experimento propõe modelar matematicamente avalanches provocadas por materiais simples, como milho de pipoca, feijão e um recipiente
qualquer. Inicialmente, os alunos produzirão avalanches, verificando
suas intensidades pela quantidade de grãos que desmoronam. A partir
daí, construirão gráficos com os dados coletados, obtendo uma curva.
Aplicando logaritmo torna-se possível analisar a função que modela o fenômeno e até fazer algumas previsões.
Conteúdos
Logaritmos e suas aplicações.
Objetivos da unidade
1. Modelar o fenômeno de avalanches;
2. Construir gráficos;
3. Linearizar gráficos através de logaritmos.
Duração
Uma aula dupla.
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Este experimento dará noções aos alunos de como ver fenômenos e eventos
de maneira sistemática, anotando algumas informações, em ambiente
controlável, para fazer uma modelagem matemática. Modelos matemáticos
podem ser úteis para descrever, entender ou prever alguns fenômenos da
natureza ou da tecnologia.
Observe também que o experimento vai mostrar a possibilidade de
reproduzir os resultados, dentro de uma margem de erro razoável, que é
um dos princípios básicos da ciência experimental.
Neste experimento, os alunos são convidados a vivenciar um pouco de
como os cientistas desenvolvem seus modelos.
fig. 1 Avalanche de neve no monte Everest. Foto por Ilan Adler.
7lWbWdY^[i Cej_lW‚€e
O experimento com grãos de feijão ou milho vai simular a essência de
uma avalanche. O material é de fácil acesso e pode ser feito sem qualquer
instrumento: basta fazer contagem dos grãos que caem ao colocá-los, um a
um, no amontoado de grãos que se organiza no estado crítico de escorregar
ou não. Usualmente um grão empurra o outro, o qual pode absorver o novo
grão se acomodando localmente ou pode empurrar seu vizinho. Na maioria
das vezes, um grão de algum lugar acaba rolando montanha abaixo. Outras
vezes, dois grãos. E algumas vezes, vários grãos.
Temos vários exemplos de que este comportamento coletivo acontece em amplitudes e frequências diferentes. É interessante observar
que avalanches, desmoronamentos, terremotos, incêndios naturais em
florestas, tempestades solares, microfraturas em estruturas metálicas e
cerâmicas, extinção de espécies biológicas, ganhos e perdas em economia, congestionamento em trânsito etc seguem equações matemáticas,
dentro de algumas simplificações. Isto é, mesmo sendo fenômenos tão
complicados e distintos, uma análise matemática mostra e até prevê seu
comportamento.
Físicos e engenheiros dizem que esses sistemas no limiar de avalanche,
desmoronamento etc estão em limites críticos entre estabilidade e instabilidade, e que os elementos dos sistemas tendem a se auto-organizar.
Professor, o experimento não se trata apenas de modelar queda de
grãos em uma pilha ou um amontoado, e sim estudar o método de caracterizar e depois analisar, usando a função logaritmo, os dados coletados.
fig. 2
=k_WZefhe\[iieh
( % -
E[nf[h_c[dje
Comentários iniciais
A divisão da turma em grupos de 3 é importante para estimular o trabalho
em grupo e para obter vários eventos de desmoronamento no Fechamento.
Os grãos devem ser recolhidos e reaproveitados.
Professor, atente para grãos no solo da sala. Além de ser um desperdício,
pode provocar escorregões. Peça aos alunos para terem cuidado e, se
algum grão cair no chão, recolhê-los para o experimento.
;jWfW' Coleta de dados
Quanto mais dados, melhor, mas os grupos não devem ter pressa.
Consideramos razoável se um grupo chegar a 30 eventos. No entanto,
a maior limitação é o tempo da aula e a paciência dos alunos.
fig. 3
7lWbWdY^[i ;jWfW( Representação gráfica
A primeira constatação a que os alunos devem chegar é que a quantidade
de eventos decresce com a intensidade . Quanto mais eventos, menor
a intensidade e vice-versa, quanto maior a intensidade menos eventos, isto
é, eventos de grande avalanche são mais raros.
Convém lembrar o gráfico da função inversa. Para melhor tentar ajustar
os dados iniciais, veja o gráfico da função para . Note que
para valores maiores de , o gráfico já não é fiel aos dados.
I
Q
1
54
2
26
3
18
4
4
5
1
6
1
7
2
8
3
9
1
Tabela 1
=k_WZefhe\[iieh
) % -
30
25
20
15
10
5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
fig. 4
;jWfW) Uma nova representação
A modelagem matemática consiste em ajustar um gráfico aos dados
coletados. A função proposta é a seguinte:
que tem as principais características dos dados, isto é, para constantes
positivas e , quanto maior a intensidade , menor a quantidade .
Para encontrar as constantes, aplicamos a função logaritmo e usamos
suas propriedades:
Podemos usar qualquer base. No entanto, para não precisarmos de
calculadora científica ou computador, usamos a base 2 e listamos alguns
valores de logaritmo na base 2 no anexo do experimento.
7lWbWdY^[i No exemplo dado no texto do experimento, obtemos, com alguma
margem de erro, e . Assim, temos uma relação
explícita:
,
Veja o gráfico superposto ao gráfico anterior para enfatizar as
diferenças:
40
30
20
10
0
0
10
20
30
40
fig. 5
A partir dos valores de , podemos obter os valores relativos ao total
de eventos de desmoronamentos durante o experimento.
No experimento que fizemos temos o total de 110. Vamos então definir
e teremos a seguinte expressão:
,
No experimento aconteceu um evento, dentre o total de 110, no
qual 9 grãos se desmoronaram, sendo também, o evento de maior
intensidade. Com a expressão acima podemos fazer a seguinte previsão
probabilística:
=k_WZefhe\[iieh
* % -
Avalanches com intensidade de 10 grãos poderão ocorrer com
probabilidade maior que 0,7 %, ou melhor dizendo, pode haver mais de
7 eventos em mil nos quais a intensidade da avalanche seja de 10 grãos.
Isto porque para , .
Para fazer contas fáceis, podemos analisar a seguinte função
parecida:
,
assim, podemos dizer:
Se Se Se Se Se , , , , , E assim por diante.
Com este tipo de expressão relativa, , podemos fazer pequenas
extrapolações que podem ser úteis para fazer previsões de eventos mais
raros.
7lWbWdY^[i <[Y^Wc[dje
Compare os dados obtidos entre os dois grãos. O valor relevante para
fazer previsões relativas é o coeficiente . O exemplo dado no experimento
.
Em experimentos com areia, obtém-se menor que 2. E avalanches de
neve, é próximo de 1. Em algumas flutuações magnéticas da Terra e do
Sol é próximo de 1 e em outras, = 2,3. Para microfraturas, = 1,7 Cada
resultado obtido pode produzir novos modelos matemáticos e melhores
previsões.
=k_WZefhe\[iieh
+ % -
LWh_W‚[i
Este experimento pode ser feito com areia, porém, o controle na colocação
e a medida da intensidade de areia exige mais cuidados. Pode-se usar
pequenos copos para colocar mais e mais areia. Quando surgir um desmoronamento de areia, recolher a areia e medir em unidades do copo usado.
O restante do experimento é similar ao feito com feijão ou pipoca.
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Bak, P. How Nature Works: The Science of Self-Organized Criticality. New
York: Copernicus. ISBN 0-387-94791-4, 1996.
Laurson, L; Mikko, A.; Zapperi, S. Power spectra of self-organized critical
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2005.
Andrade, R. Exact Solution for the Self-Organized Critical Rainfall Model.
Brazilian Journal of Physics, vol. 33, no. 3, September, 2003.
=k_WZefhe\[iieh
, % -
Ficha técnica
Autor
Samuel Rocha de Oliveira
Revisores
Matemática
Antônio Carlos Patrocínio
Língua Portuguesa
Carolina Bonturi
Pedagogia
Ângela Soligo
Projeto gráfico
e ilustrações técnicas
Preface Design
Universidade Estadual
de Campinas
Reitor
José Tadeu Jorge
Vice-Reitor
Fernando Ferreira da Costa
Grupo Gestor
de Projetos Educacionais
(ggpe – unicamp)
Coordenador
Fernando Arantes
Gerente Executiva
Miriam C. C. de Oliveira
Matemática Multimídia
Coordenador Geral
Samuel Rocha de Oliveira
Coordenador de Experimentos
Leonardo Barichello
Instituto de Matemática,
Estatística e Computação
Científica (imecc – unicamp)
Diretor
Jayme Vaz Jr.
Vice-Diretor
Edmundo Capelas de Oliveira
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