Teorema de Euler para poliedros - MA13 - Unidade 22

Teorema de Euler para poliedros
MA13 - Unidade 22
Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto:
A. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMAT
Teorema de Euler
Em todo poliedro convexo com F faces, V vértices e A arestas tem-se
A+2=F +V .
Observe o poliedro da figura abaixo.
A = 11
F
= 6
V
= 7
b
b
b
b
b
A + 2 = 11 + 2 = 13
F +V
b
b
= 6 + 7 = 13
Teorema de Euler para poliedros
slide 2/10
Preparando a demonstração do teorema
Seja P um poliedro convexo com F faces, V vértices e A arestas.
As faces são numeradas de 1 até F .
O gênero da k-ésima face é nk .
Lema
A soma dos ângulos internos de todas das faces é
S = 360◦ (A − F ) .
Demonstração
S
= 180◦ (n1 − 2) + 180◦ (n2 − 2) + . . . + 180◦ (nF − 2)
S
= 180◦ [(n1 + n2 + . . . + nF ) + (2 + 2 + . . . + 2)]
S
= 180◦ (2A − 2F ) = 360◦ (A − F )
Teorema de Euler para poliedros
slide 3/10
Demonstração do teorema
Sejam: r = reta não paralela a
nenhuma face de P.
H = plano perpendicular a r que não
intersecta P (será chamado de plano
horizontal).
b
b
b
b
r
b
b
b
b
A projeção de P sobre H possui como
contorno um polı́gono K 0 .
Cada ponto de K 0 é projeção de um
único ponto de P.
O conjunto desses pontos de P é a poligonal K (vermelha no desenho) chamada de contorno aparente de P.
Teorema de Euler para poliedros
K
b
b
b
b
b
b
b
H
b
b
b
b
K’
b
slide 4/10
Continuando
Se uma reta paralela a r intersecta P
em dois pontos então o mais afastado
de H será chamado de ponto superior
e o outro de ponto inferior.
b
b
b
b
r
b
b
b
b
Os pontos de P ficam separados em 3
conjuntos:
K
b
b
b
b
Os pontos superiores (verdes).
Os pontos do contorno aparente
(vermelhos).
b
b
b
H
b
b
b
b
K’
b
Os pontos inferiores (azuis).
Teorema de Euler para poliedros
slide 5/10
Continuando
Sejam:
V0 = número de vértices do
contorno aparente K = número
de vértices de K 0 .
b
V1 = número de vértices
superiores.
V2 = número de vértices
inferiores.
b
K’
b
b
b
b
b
A projeção dos pontos superiores de P
é formada por um polı́gono K 0 com V0
vértices tendo em seu interior V1 pontos que são as projeções dos vértices
superiores.
Teorema de Euler para poliedros
b
b
slide 6/10
Continuando
Atenção: a soma dos ângulos internos
de um polı́gono não se altera com sua
projeção.
A soma dos ângulos internos das faces
superiores é
b
b
K’
b
b
b
b
b
S1 = 360◦ V1 + 180◦ (V0 − 2)
Teorema de Euler para poliedros
b
b
slide 7/10
Continuando
Analogamente, a soma dos ângulos internos das faces inferiores é
S2 = 360◦ V2 + 180◦ (V0 − 2)
Somando os dois temos
S
= 360◦ V1 + 360◦ V2 + 2 · 180◦ (V0 − 2)
= 360◦ (V1 + V2 + V0 − 2)
= 360◦ (V − 2)
Entretanto, pelo Lema temos S = 360◦ (A − F ).
Logo, A − F = V − 2, ou seja,
A+2=F +V
Teorema de Euler para poliedros
slide 8/10
Observação
A relação de Euler foi demonstrada para poliedros convexos.
Entretanto é fácil verificar que existem poliedros não convexos que
também satisfazem a relação de Euler.
F
= 8
V
= 12
A = 18
Que poliedros não satisfazem a relação de Euler?
Teorema de Euler para poliedros
slide 9/10
Um poliedro não-euleriano
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
Identifique os números F, V e A nesse poliedro.
A relação de Euler não vale.
Teorema de Euler para poliedros
slide 10/10