Notas de Aula 14/09/2016

Lema de Yoneda (e exemplos).
Se F, G : C → D são funtores covariantes (ou contravariantes) escrevemos F ∼
= G para falar que existe um isomorfismo natural h : F → G. Uma
outra forma de falar a mesma coisa é que F (X) ∼
= G(X) funtorialmente em
X ∈ Ob(C ).
O resultado seguinte diz que se dois objetos verificam a mesma propriedade universal então eles são isomorfos.
Sejam X e Y dois objetos de uma categoria C e sejam F : C → Set,
G : C → Set definidos assim: F (A) = HomC (X, A), G(A) = HomC (Y, A) e
se ϕ : A → B é um morfismo em C pomos F (ϕ)(f ) = ϕ◦f e G(ϕ)(f ) = ϕ◦f .
Se trata de funtores covariantes.
Teorema (Lema de Yoneda). Se F ∼
= G então X ∼
=Y.
Demonstração. Mostramos que F é um funtor (a demonstração para
G é analoga). Mostramos que se A ∈ Ob(C ) então F (1A ) = 1F (A) . Temos
F (1A )(f ) = 1A ◦ f = f = 1F (A) (f ). Mostramos que se ϕ : A → B e
ψ : B → C então F (ψ ◦ ϕ) = F (ψ) ◦ F (ϕ). Temos F (ψ ◦ ϕ)(f ) = ψ ◦ ϕ ◦ f e
(F (ψ) ◦ F (ϕ))(f ) = F (ψ)(F (ϕ)(f )) = F (ψ)(ϕ ◦ f ) = ψ ◦ ϕ ◦ f .
Seja h : F → G isomorfismo natural. Queremos mostrar que X ∼
= Y,
isto é, queremos encontrar dois morfismos g : X → Y e f : Y → X tais que
g ◦ f = 1Y e f ◦ g = 1X . Observe que hX : HomC (X, X) → HomC (Y, X)
e hY : HomC (X, Y ) → HomC (Y, Y ), assim faz sentido definir f = hX (1X ) :
Y → X e g = h−1
Y (1Y ) : X → Y (lembrando que hY é isomorfismo de
conjuntos, isto é, bijeção). Aplicando a naturalidade a g : X → Y obtemos
o diagrama comutativo
HomC (X, X)
hX
/ HomC (Y, X)
F (g)
HomC (X, Y )
hY
G(g)
/ HomC (Y, Y )
assim G(g) ◦ hX = hY ◦ F (g). Aplicando isso a 1X obtemos G(g)(hX (1X )) =
hY (F (g)(1X )), isto é, lembrando que hX (1X ) = f , temos g◦f = hY (g) = 1Y .
Aplicando a naturalidade a f : Y → X obtemos o diagrama comutativo
HomC (X, Y )
hY
F (f )
HomC (X, X)
hX
/ HomC (Y, Y )
G(f )
/ HomC (Y, X)
assim G(f ) ◦ hY = hX ◦ F (f ). Aplicando isso a g obtemos G(f )(hY (g)) =
hX (F (f )(g)), isto é, lembrando que hY (g) = 1Y , f ◦ 1Y = hX (f ◦ g), assim
−1
f ◦ g = h−1
X (f ◦ 1Y ) = hX (f ) = 1X .
1
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PRODUTO E COPRODUTO.
Já definimos o produto cartesiano de uma famı́lia de conjuntos e falamos
da propriedade universal. Agora seja I uma famı́lia de indices e seja Xi um
conjunto para todo i ∈ I. O coproduto dos Xi é
a
[
Xi := {(x, j) : x ∈
Xi , j ∈ I, x ∈ Xj }.
i∈I
i∈I
Pode pensar no coproduto de conjuntos como “união disjunta”, no sentido
que você está fazendo a união dos Xi tratando elementos de Xi diferentes
como
` sendo diferentes. Por exemplo se X1 = {1, 2} e X2 = {1, 3} então
X1 X2 tem 4 elementos: (1, 1), (2, 1), (1, 2), (3, 2). Por outro lado X1 ∪
X2 = {1, 2, 3} tem
Observe que se os Xi são dois a dois
` só 3 elementos.
S
disjuntos então i∈I Xi ∼
X
.
= i∈I
` i O coproduto tem uma propriedade
universal: dar uma função f : i∈I Xi → X é a mesma coisa que dar uma
famı́lia de funções fi : Xi → X, de fato dada f temos fi (x) := f (x, i) e dada
a famı́lia (fi )i temos f (x, i) = fi (x). Essas correspondências definem então
um isomorfismo
a
Y
HomSet ( Xi , X) ∼
HomSet (Xi , X).
=
i∈I
i∈I
Como você imagina, se trata de um isomorfismo funtorial em X (pode mostrar isso como exercı́cio: eu fiz isso no caso do produto na aula passada).
Observe que o coproduto é uma construção covariante (os funtores definidos
acima são covariantes).
Definição (Produto e coproduto). Seja C uma categoria e seja (Xi )i∈I
uma
Q famı́lia de objetos de C . O produto dos Xi (se existir) é um objeto
i∈I Xi tal que
Y
Y
HomC (X,
Xi ) ∼
HomC (X, Xi ).
=
i∈I
i∈I
funtorialmente
em X ∈ Ob(C ). O coproduto dos Xi (se existir) é um objeto
`
i∈I Xi tal que
a
Y
HomC ( Xi , X) ∼
HomC (Xi , X).
=
i∈I
i∈I
funtorialmente em X ∈ Ob(C ).
Observe que se o produto dos Xi existir então ele é único a menos de
isomorfismo. De fato, sejam A e B dois produtos dos Xi . Então temos
isomorfismos funtoriais em X
Y
∼
HomC (X, A) =
HomC (X, Xi ) ∼
= HomC (X, B).
i∈I
Logo por composição temos que HomC (X, A) ∼
= HomC (X, B) funtorialmente em X, assim A ∼
= B pelo lema de Yoneda.
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Analogamente, se o coproduto dos Xi existir então ele é único a menos
de isomorfismo (mesmo argumento).
Exemplo. Considere um conjunto C e a categoria C cujos objetos são
os subconjuntos de C e HomC (A, B) = {∗} se A ⊆ B, HomC (A, B) = ∅
se A 6⊆ B. Seja (Xi )i∈I uma
Q famı́lia de objetos de C . A propriedade
universal do produto fala que i∈I Xi tem a propriedade que uma inclusão
de um objeto
a uma inclusão de X em cada Xi . Isso
Q X nele corresponde
T
mostra que i∈I Xi `
= i∈I Xi . Analogamente, a propriedade universal do
coproduto fala que i∈I Xi tem a propriedade que uma inclusão dele em
um objeto
X corresponde
a uma inclusão de cada Xi em X. Isso mostra
`
S
que i∈I Xi = i∈I Xi .
Exemplo. Considere a categoria C dos aneis comutativos. Se A é um
objeto de C então A[t] também é um objeto. Se trata do anel dos polinômios
a coeficientes em A. Ele tem uma propriedade universal: se B é um outro
anel comutativo, um homomorfismo de aneis ϕ : A[t] → B corresponde a um
homomorfismo A → B (a restrição)
P e à escolha
P de ϕ(t). De fato conhecendo
ϕ|A e ϕ(t) podemos calcular ϕ( i ai ti ) = i ϕ(ai )ϕ(t)i . Isso significa que
HomC (A[t], B) ∼
= HomC (A, B) × HomSet ({t}, B). Por outro lado, como Z é
um objeto inicial em C , HomC (Z[t], B) ∼
= HomC (Z, B) × HomSet ({t}, B) ∼
=
HomSet ({t}, B) assim temos que
∼ HomC (A, B) × HomC (Z[t], B).
HomC (A[t], B) =
Como você imagina, se trata de um isomorfismo funtorial em B, logo lembrando da propriedade universal do coproduto, o lema de Yoneda implica
que
a
A[t] ∼
Z[t].
=A
∼
Observe que temos também A[t] = A ⊗Z Z[t]. De fato, na categoria C o
coproduto de uma famı́lia finita de objetos é exatamente o produto tensorial
sobre os inteiros. Na categoria das A-álgebras comutativas o coproduto de
uma famı́lia finita de objetos é ⊗A . Na próxima aula vou justificar isso
melhor.
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Exercı́cios.
(1) Mostre que nas categorias Gp (grupos), GpAb (grupos abelianos),
AnComm (aneis comutativos), A-mod (A-modulos, onde A é um
anel comutativo) o produto existe e é igual (isomorfo) ao produto
direto (produto cartesiano com as operações definidas por componentes).
Q
(2) Mostre
que na categoria dos grupos A B é o produto direto e
`
A B é o produto livre.
(3) Seja C uma categoria em que os objetos são conjuntos com estrutura (por exemplo grupos, aneis, etc.). Seja S um conjunto.
Um objeto L de C é dito livre sobre S se existe um isomorfismo
HomSet (S, X) ∼
= HomC (L, X) funtorial em X (os funtores são C →
Set). [Observe que o morfismo estrutural S → L tipico dos objetos
livres corresponde à identidade L → L]. Use o lema de Yoneda para
mostrar que um objeto livre, se existir, é único a menos de isomorfismo e calcule o objeto livre sobre S = {1, . . . , n} na categoria dos
grupos abelianos.
(4) Mostre que o isomorfismo que define a propriedade universal do
coproduto de conjuntos é funtorial.
(5) Seja C a categoria cujos objetos são os inteiros positivos e existe
um
Q (único)
` morfismo entre a e b se e somente se a divide b. Calcule
a b, a b e estude a existência de produto e coproduto de uma
famı́lia infinita de objetos.