uma aplicação da modelagem matemática para o ensino

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FAMAT em Revista - Número 09 - Outubro de 2007
295
Ornamentos: uma aplicação da modelagem matemática para o
ensino
Universidade Federal de Uberlândia
Faculdade de Matemática
Edinei Leandro dos Reis
Érika Cristina de Freitas
[email protected] [email protected]
Rosana S. da M. Jafelice
[email protected]
Introdução
Desde a antiguidade vários povos com culturas das mais diversas, utilizavam figuras
geométricas como elementos decorativos, nas construções arquitetônicas, nas manifestações
artísticas e até mesmo nos seus utensílios domésticos [1].
Com o desenvolvimento das culturas verifica-se que a disposição destas figuras
geométricas torna-se mais trabalhada e complexa. Podemos observar mais tarde que algumas
civilizações desenvolveram um tipo diferente de ornamentos1, utilizando para isso repetições
em um plano de uma mesma figura geométrica, de forma que estas repetições preenchessem
todo o plano. Se tentarmos cobrir totalmente um plano com figuras que não se sobrepõem, o
resultado é um mosaico.
Existem somente três formas de se obter mosaico com polígonos regulares de um
mesmo tipo (triângulos eqüiláteros, quadriláteros e hexágonos regulares), mas se admitirmos
outras condições (a combinação de polígonos, por exemplo), surge novas possibilidades. Ao
longo dos tempos, diferentes culturas têm estudado os mosaicos por motivos do tipo
intelectual (na Grécia), decorativos (em Roma) e religioso-filosóficos (no Islão) [2].
Mosaico artístico (Figura 1) é um embutido de pequenas pedras ou de outras peças
(pequenos pedaços de vidro, mármore ou cerâmica) formando determinado desenho [3]. Neste
trabalho vamos dar ênfase no estudo dos mosaicos com padrões geométricos.
Figura 1 – Calçadão de Copacabana [4].
Figura 2 – Pão de Açúcar (Rio Mosaico 2006, 2 ed.) [5].
Uma referência mundial de utilização dos mosaicos é o palácio de Alhambra. A
Alhambra (Castelo Vermelho) (em Árabe, ‫ )ءارمحلا‬é um antigo palácio e complexo de
1
O ornamento é um elemento acessório, não fundamental, em uma composição artística, em especial na
composição arquitetônica e no design.
296
fortificações dos monarcas islâmicos de Granada, no sul de Espanha, ocupando o alto de uma
colina arborizada, a sudeste da cidade. O nome Alhambra deriva provavelmente da cor dos
tijolos do muro, secos ao sol e feitos de argila e gravilha de que são feitas as muralhas
exteriores. Segundo outros autores, o adjetivo relembra o clarão avermelhado das tochas que
iluminaram os trabalhos de construção que se prolongavam ininterruptamente, noite adentro,
durante anos; outros associam o nome ao fundador, Mahomed Ibn-al-Ahmar; outros, ainda
derivam-no da palavra árabe Dar al Amra, Casa do Senhor. O palácio foi construído
principalmente entre 1248 e 1354, nos reinados de Ibn-al-Ahmar e seus sucessores; os nomes
dos principais artistas e arquitetos são desconhecidos ou de conhecimento duvidoso [6].
Figura 3 – Vista externa do Palácio de Alhambra [7].
Metodologia
Para realizar esta pesquisa sobre “Ornamentos” buscamos informações sobre
mosaicos, rosetas e faixas em diversos sites, artigos e em vídeos educacionais.
Utilizamos também um vídeo educacional do MEC para elaborar uma atividade
pedagógica para utilização em sala de aula.
Objetivos
Mostrar os grupos de simetria no plano (faixa, roseta e mosaico) e algumas
aplicações, analisar estruturas geométricas dos grupos de simetria e desenvolver uma
atividade pedagógica para utilização na sala de aula.
Referencial Teórico
Para analisarmos os ornamentos, necessitamos de algumas definições de movimentos
que podem ser realizados no plano:
 Translações: movimento de certa distância, em uma direção e sentido determinados.
A direção é determinada por um vetor [8]. Ver Figura 4.
297
Figura 4 – Translação de um objeto [8].

Rotações: giros em volta de um determinado ponto e de certa amplitude angular. A
rotação de 180º é conhecido também como simetria central [8]. Ver Figura 5.
Figura 5 – Rotação de um objeto [8].

Reflexões: caracteriza-se por ter um eixo que atua como se fosse um espelho, onde a
parte considerada é refletida, mantendo-se a mesma distância em relação ao eixo [8].
Ver Figura 6.
Figura 6 – Reflexão de um objeto [8].

Translações refletidas ou glissoreflexões: resulta da composição de uma reflexão e
uma translação na direção da reflexão [8]. Ver Figura 7.
Figura 7 – Translação refletida de um objeto [8].
298
Quando o mosaico é gerado por rotações e translações refletidas, podemos dizer que
ele foi gerado por uma isometria inversa.
Para obtermos um motivo ou ornamento, aplicamos uma ou mais propriedades de
isometria em uma figura ou elemento gerador (menor parte de uma forma). Na Matemática
consideramos três tipos de ornamentos: faixa, roseta e mosaico [9].
A faixa é um ornamento ilimitado, composto entre duas retas paralelas. A simetria
fundamental para sua composição é a translação. A combinação com as demais simetrias
permite criar sete tipos de faixas [9]. Segue a listagem dos tipos de faixas:
G1: translações;
G2: rotações de 180°;
G3: reflexões horizontais;
G4: reflexões verticais;
G5: rotações de 180° e reflexões
horizontais;
G6: rotações de 180° e translações
refletidas horizontais; e
G7: translações refletidas horizontais.
Figura 8 – Os sete tipos de faixas [10].
No Anexo I apresentamos o “Fluxograma de Washburn e Crowe para a classificação
das faixas monocromáticos” [10].
A roseta é um ornamento limitado, composto em um círculo. A simetria
fundamental para sua composição é a rotação. Entretanto, é possível fazer um outro tipo de
roseta combinando a rotação e a reflexão [9]. A seguir temos um exemplo de roseta:
Figura 9 – Exemplo de roseta [11].
Em relação aos grupos de simetria para gerar mosaico, temos 17 possibilidades.
Estes 17 grupos de simetria no plano podem ser classificados a partir do número de rotações
que são realizadas para gerar o mosaico (Ordem 1, 2, 3, 4 ou 6). A seguir separamos os
grupos de simetria em relação à sua ordem e mostramos como são gerados os 17 tipos de
mosaicos no plano.





299
Ordem 1: não são gerados por rotações (p1, cm, pm, pg)
Ordem 2: rotações de 180º (p2, cmm, pmm, pgg, pmg).
Ordem 3: rotações de 120º (p3m1, p31m, p3).
Ordem 4: rotações de 90º (p4, p4m, p4g)
Ordem 6: rotações de 60º (p6, p6m) [12].
A Notação Cristalográfica para os grupos de simetria utilizam símbolos para fazer a
distinção entre grupos de mosaicos. As letras p ou c significam a célula primitiva ou central.
O número depois de p é a maior ordem de rotação, por exemplo, se for 6, então é uma rotação
que representa 1/6 de uma volta. A letra m é a reflexão perpendicular (espelho) do eixo x. A
letra g é uma glissoreflexão. O eixo x é na verdade a borda vertical esquerda de uma célula. O
número 1 não representa simetria perpendicular em relação ao eixo x, mas em relação a
determinado ângulo [13]. No Anexo II apresentamos o “Fluxograma para classificação dos
padrões planos monocromáticos” [14].
P1: é o grupo mais simples. Ele é gerado apenas a partir de translações, não tendo isometrias
inversas. A base geradora desse mosaico é um paralelogramo. Ver Figuras 10 e 11.
Figura 10 – Base geradora do mosaico tipo p1 [8].
Figura 11 – Exemplo de mosaico do tipo p1 [15].
Cm: é gerado a partir de isometrias inversas. É um dos dois grupos com base geradora sendo
um losango. Ver Figuras 12 e 13.
Figura 12 - Base geradora do mosaico tipo cm [8].
Figura 13 – Exemplo de mosaico do tipo cm [15].
Pm: é gerado por translações e reflexões. Sua base geradora é o retângulo. Ver Figuras 14 e
15.
Figura 14 – Base geradora do mosaico tipo pm [8].
Figura 15 – Exemplo de mosaico do tipo pm [15].
300
Pg: é gerado a partir de translações e translações refletidas. Não possui reflexão e sua base
geradora é um retângulo. Ver Figuras 16 e 17.
Figura 16 – Base geradora do mosaico tipo pg [8].
Figura 17 – Exemplo de mosaico do tipo pg [15].
P2: é gerado a partir de translações e rotações de 180º. A base geradora é um paralelogramo.
Ver Figuras 18 e 19.
Cmm: é gerado a partir de isometrias inversas e rotações de 180º. É o outro grupo com base
geradora sendo um losango. Ver Figuras 20 e 21.
Figura 20 – Base geradora do mosaico tipo cmm [8].
Figura 21 – Exemplo de mosaico do tipo cmm [15].
Pmm: é gerado a partir de reflexões e rotações de 180º. Sua base geradora é um retângulo Ver
Figuras 22 e 23.
Figura 22 – Base geradora do mosaico tipo pmm [8].
Figura 23 – Exemplo de mosaico do tipo pmm [15].
Pmg: é gerado a partir de isometrias inversas e rotações de 180º. Sua base geradora é um
retângulo. Ver Figuras 24 e 25.
Figura 24 – Base geradora do mosaico tipo pmg [8].
Figura 25 – Exemplo de mosaico do tipo pmg [15].
301
Pgg: é gerado a partir de translações refletidas e rotações de 180º. Sua base é um retângulo.
Ver Figuras 26 e 27.
Figura 26 – Base geradora do mosaico tipo pgg [8].
Figura 27 – Exemplo de mosaico do tipo pgg [15].
P3: é o grupo gerado com rotações de 120º. A base geradora é um paralelogramo. Ver Figuras
28 e 29.
P3m1: é gerado por isometrias inversas e rotações de 120º. Possui simetrias em relação aos
eixos que formam 60º passando pelos centros de rotação. Sua base geradora é um
paralelogramo. Ver Figuras 30 e 31.
Figura 30 – Base geradora do mosaico tipo p3m1 [8].
Figura 31 – Exemplo de mosaico do tipo p3m1 [15].
P31m: é gerado por isometrias inversas e rotações de 120º. Possui simetrias em relação aos
eixos que formam 60º, uns passam pelos centros de rotação e outros não. Sua base geradora é
um paralelogramo. Ver Figuras 32 e 33.
302
Figura 32 – Base geradora do mosaico tipo p31m [8].
Figura 33 – Exemplo de mosaico do tipo p31m [15].
P4: é gerado por translações e rotações de 90º. A base geradora é um quadrado. Ver Figuras
34 e 35.
P4m: é gerado por isometrias inversas e rotações de 90º. Os eixos de simetria formam ângulos
de 45º entre si e cortam o centro da rotação de 90º. A base geradora é um quadrado. Ver
Figuras 36 e 37.
P4g: é gerado por isometrias inversas rotações de 90º. Seus eixos de simetria são
perpendiculares e não passam pelos centros de rotação. A base geradora é um quadrado. Ver
Figuras 38 e 39.
Figura 38 – Base geradora do mosaico tipo p4g [8].
Figura 39 – Exemplo de mosaico do tipo p4g [15].
303
P6: é gerado por translações e rotações de 60º. Sua base geradora é um paralelogramo. Ver
Figuras 40 e 41.
P6m: é gerado por isometrias inversas e rotações de 60º. Os centros das rotações de 60º são
cortados por 6 eixos de simetria, formando ângulos de 30º. Ver Figuras 42 e 43.
Curiosidades
Escher, arquiteto de outros mundos
Mauritus Cornelis Escher, nasceu em Leeuwarden na Holanda em 1898, faleceu em
1970 e dedicou toda a sua vida às artes gráficas. Na sua juventude não foi um aluno brilhante,
nem sequer manifestava grande interesse pelos estudos, mas os seus pais conseguiram
convencê-lo a ingressar na Escola de Belas Artes de Haarlem para estudar arquitetura. Foi lá
que conheceu o seu mestre, um professor de Artes Gráficas judeu de origem portuguesa,
chamado Jesserum de Mesquita.
Com o professor Mesquita, Escher aprendeu muito, conheceu as técnicas de desenho
e deixou-se fascinar pela arte da gravura. Este fascínio foi tão forte que levou Mauritus a
abandonar a Arquitetura e a seguir as Artes Gráficas. Quando terminou os seus estudos,
Escher decide viajar, conhecer o mundo! Passou por Espanha, Itália e fixou-se em Roma,
onde se dedicou ao trabalho Gráfico. Mais tarde, por razões políticas muda-se para a Suíça,
posteriormente para a Bélgica e em 1941 regressa ao seu país natal.
Estas passagens por diferentes países, por diferentes culturas, inspiraram a mente de
Escher, nomeadamente a passagem por Alhambra, em Granada, onde conheceu os azulejos
mouros. Este contato com a arte árabe está na base do interesse e da paixão de Escher pela
divisão regular do plano em figuras geométricas que se transfiguram, se repetem e refletem,
pelas pavimentações. Porém, no preenchimento de superfícies, Escher substituía as figuras
abstrato-geométricas, usadas pelos árabes, por figuras concretas, perceptíveis e existentes na
304
natureza, como pássaros, peixes, pessoas, répteis, etc. Podemos observar isso nas Figuras 44 e
45.
Figura 44 – Ornamentos de Escher [16].
Figura 45 – Ornamentos de Escher [16].
Escher, sem conhecimento matemático prévio, mas através do estudo sistemático e
da experimentação, descobre todos os diferentes grupos de combinações isométricas que
deixam um determinado ornamento invariante. A reflexão é brilhantemente utilizada na
xilografia "Day and Night", uma das gravuras mais emblemáticas da carreira de Escher
(Figura 46).
Figura 46 - “Day and Night” - Xilogravura de 1938 [16].
Se nos fixarmos no losango branco central a baixo, automaticamente somos levados
até ao céu, e o que de início era uma simples figura geométrica rapidamente se transforma
num pássaro. Os pássaros brancos voam para a direita em direção à noite que recobre uma
pequena aldeia holandesa à beira de um rio. Os pássaros negros, por sua vez, sobrevoam uma
imagem iluminada pelo sol, que é exatamente a imagem refletida da paisagem noturna.
Aos poucos, Escher, vai sendo cada vez mais ousado e além da “dança” com a
geometria, vai também ao encontro do infinito. A divisão regular da superfície aparece
misturada a formas tridimensionais, geralmente num ciclo sem fim, onde uma fase se dilui na
outra. A litografia "Reptiles" é um bom exemplo disso (Figura 47).
305
Figura 47 - "Reptiles" - Litografia de 1943 [16].
Entre toda a espécie de objetos está o seu próprio caderno de esboços colocado sobre
uma mesa, no qual se vê um desenho: um mosaico de figuras em forma de répteis num
contraste de três cores. Subitamente um dos répteis ali desenhados, sai do papel e dá vida a
um ciclo tridimensional retornando depois à bidimensionalidade do caderno de esboços.
Fascinado pelos paradoxos visuais, Escher chegou à criação de mundos impossíveis.
Nesses trabalhos, o artista joga com as leis da perspectiva para produzir surpreendentes
efeitos de ilusão de óptica. Nos seus desenhos somos levados a novos universos, a lugares
verdadeiramente misteriosos! Para Escher a realidade pouco interessa, antes pelo contrário,
prefere criar mundos impossíveis que apenas pareçam reais. Pó isso se tornou uma espécie de
mágico das artes gráficas.
Escher suscitou a atenção por parte de muitos matemáticos, cientistas e
cristalógrafos. O mais curioso é que Escher não tinha uma formação específica nestas áreas,
mas elas aparecem nas suas criações! Cada vez mais assediado pelos matemáticos, Escher
acabou muitas vezes por se inspirar em suas novas descobertas. Por exemplo, "Waterfall" foi
baseada na figura do tribar, uma construção geometricamente impossível, criada pelo
matemático Penrose.
O rapaz que está sentado no banco tem em
suas mãos um objeto com a forma de cubo
que, visto de cima, representa uma realidade
diferente da de quando visto por baixo. Ele
observa pensativamente o objeto impossível
e não parece aperceber-se de que o
belvedere (Figura 48), atrás das suas costas,
é construído desta forma. No piso inferior, no
interior da casa, está encostada uma escada
pela qual sobem duas pessoas. Mas chegadas
a um piso acima, estão de novo ao ar livre e
têm de voltar a entrar no edifício [16].
Figura 48 - "Belvedere" - Litografia de 1958 [16].
306
São todos estes “condimentos” matemáticos aliados à mente artística de Escher que
resultam num trabalho tão original e extraordinário. Escher foi reconhecido pelo mundo, pelos
seus desenhos de ilusões espaciais, de construções impossíveis, onde a geometria se
transforma em arte ou a arte em geometria [16].
"Apesar de não possuir qualquer conhecimento ou treino nas ciências
exatas, sinto muitas vezes que tenho mais em comum com os matemáticos do que
com os meus colegas artistas".
M. C. Escher [16].
Aplicações em sala de aula
Se observarmos os caminhos que nos levam aos mais variados lugares, perceberemos
a presença de ornamentos em diversos objetos. Portões, muros, calçadas, casas entre outros. A
partir dessa observação, podemos introduzir o tema “Ornamentos” nas aulas de Geometria
para alunos de diferentes níveis de instrução.
Comecemos pelo nível Fundamental de Ensino. Para alunos do Ensino Fundamental,
podemos utilizar os mosaicos para ensinar vários conceitos sobre Geometria. Podemos
começar mostrando os conceitos mais simples, que podem formar malhas. As figuras
geométricas (triângulos, quadriláteros, hexágonos) e suas propriedades (arestas, vértices,
pontos médios, diagonais, alturas, medianas, mediatrizes, ângulos, entre outras), as isometrias
diretas e inversas (translação, reflexão, rotação e glissoreflexão) são conceitos geométricos
importantes que podem ser trabalhados com alunos nesse nível de ensino.
Para auxiliar o professor, sugerimos o vídeo educacional produzido pelo Ministério
da Educação e Cultura (MEC), chamado “Nas malhas da geometria” [17], da série “Mão na
Forma”. Nesse vídeo, podemos ver um exemplo da utilização das malhas na sala de aula em
uma turma do Ensino Fundamental. Além disso, o professor pode aprofundar mais seus
conhecimentos buscando os outros vídeos da série no site http://www.dominiopublico.gov.br,
obtendo vídeos, textos, sons e figuras que vão auxiliar em sua prática docente.
O professor de Matemática pode propor também um trabalho multidisciplinar na sua
escola, com os professores de Artes e História, fazendo um projeto mais aprofundado sobre o
estudo de Ornamentos. Cada área pode utilizar os mosaicos como ponto de partida para
exploração de importantes conceitos desenvolvidos ao longo da história.
No Ensino Médio, sugerimos ao professor o estudo mais aprofundado dos conceitos
geométricos dos ornamentos. Utilizando este trabalho e as referências aqui citadas, o
professor pode elaborar uma aula onde seus alunos irão explorar as formações de faixas,
rosetas e mosaicos. Uma tarefa interessante é buscar construir juntamente com os alunos os
fluxogramas de notação dos padrões de faixas e mosaicos apresentados como anexos neste
trabalho.
Para alunos a nível de Ensino Superior, especificamente alunos do curso de
Matemática, é interessante utilizar os Ornamentos com padrões para introduzir conceitos das
estruturas algébricas das isometrias realizadas para gerar cada “motivo”. O professor pode
mostrar a relação da simetria com a teoria dos grupos (simetrias do retângulo, do quadrado, do
triângulo eqüilátero, entre outras).
Conclusão
Através dos conceitos apresentados neste trabalho podemos perceber o quanto a
Geometria está presente em nossas vidas. Precisamos resgatar o ensino de Geometria nas
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escolas, melhorando o nível das disciplinas de Geometria dos cursos de Licenciatura em
Matemática. Através da utilização de mosaicos podemos trabalhar diversos conceitos de
Geometria em todos os níveis de ensino.
Ressaltamos a importância do desenvolvimento de material pedagógico que auxilie o
professor em suas aulas, como os vídeos e outros materiais que discorremos no texto deste
trabalho. Além disso é necessário que existam cursos de aperfeiçoamento de professores para
que estes se mantenham atualizados em relação ao que ocorre com a Educação e mais
especificamente com a Matemática e a Geometria.
Esperamos que este trabalho sirva como base para que professores possam planejar
atividades interessantes para suas aulas de Geometria, além de servir como material
pedagógico para aprofundamento no tema “Ornamentos”.
Bibliografia
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Programa da Televisión Educativa de TVE-2 "La Aventura del Saber". Madrid: 1996. 1 vídeo
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[17] MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO - MEC. Nas malhas da geometria. Série Mão na
Forma: 2000. 1 vídeo (12’45” min.), color, português. Disponível em
<http://www.dominiopublico.gov.br/pesquisa/DetalheObraForm.do?select_action=&co_obra=20839>.
309
Anexo I
Fluxograma de Washburn e Crowe para a classificação das faixas monocromáticos
310
Anexo II
Fluxograma para classificação dos padrões planos monocromáticos
(Washburn e Crowe)

uma aplicação da modelagem matemática para o ensino

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