métodos de resolução da equação do segundo grau

MÉTODOS DE RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU
PAULA , Caio César Pereira de 1
OLIVEIRA, Davidson Paulo Azevedo 2
INTRODUÇÃO
No cotidiano extraescolar, a matemática é utilizada por pessoas para realizarem diferentes
atividades com fins e propósitos pessoais, familiares, profissionais, científicos, entre outros. Na
particularidade do processo de ensino aprendizagem, a matemática requer dos envolvidos uma reflexão e
sistematização pautadas no saber formal e na produção do conhecimento que dele demanda. Ademais,
também se faz necessária a aquisição de habilidades e competências voltadas às novas tecnologias, e as
diferentes estratégias de ensino.
De acordo com o exposto anteriormente a motivação para o desenvolvimento do presente estudo
surgiu a partir da nossa prática enquanto professor do ensino regular e das discussões em pesquisas,
eventos e encontros de professores. Nessas vivências presenciamos constantemente as dificuldades dos
alunos em trabalhar com álgebra e em entenderem o real significado dos símbolos e fórmulas utilizadas,
especificamente o uso da fórmula para encontrar as raízes de equações do segundo grau.
Outro ponto que merece destaque nos nossos estudos se refere à falta de material disponível aos
professores que se dispõem em trabalhar com a História da Matemática em sala de aula enquanto recurso
metodológico de ensino. Apesar de existir um número considerável de teses, dissertações e livros, sobre o
assunto, escritos em português ou em outros idiomas que poderiam auxiliar o professor a pesquisar e
preparar as suas aulas, esse acesso é difícil aos professores e algumas dessas obras muitas vezes não
são encontradas em bibliotecas e livrarias (SILVA, 2001).
Este trabalho, em desenvolvimento, é fruto de um projeto junto ao Instituto Federal de Minas Gerais
- Campus Ouro Preto, o qual dispõe de uma bolsa do Programa Institucional de Bolsas de Iniciação
Científica Júnior – PIBIC-Jr e visa a auxiliar alunos e professores a perceberem que há muito mais na
matemática do que simples aplicações de fórmulas.
Temos como objetivos: Identificar diferentes métodos históricos de se resolver equações do
segundo grau; Produzir, em conjunto com os estudantes, um material didático que seja relevante para o
estudo de equação quadrática no Ensino Médio; Analisar o material produzido, levantando recomendações
e pontos de reflexão para professores; Disponibilizar para os professores materiais de Histórias da
Matemática, especificamente de História das equações do 2º grau.
1
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Instituto Federal de Minas Gerais – campus Ouro Preto, Bolsista, e-mail: [email protected]
Instituto Federal de Minas Gerais – Campus Ouro Preto, CODAMAT,e-mail: [email protected]
98 Anais da Semana de Ciência e Tecnologia, Ouro Preto, v. 3, p. 1‐352, 2011. Buscaremos na História da Matemática, em especial, na história da resolução de equações
quadráticas métodos diferentes dos utilizados na escola tradicional na qual o professor é o detentor do
conhecimento, e os alunos meros expectadores reproduzindo técnicas mostradas para resolver exercícios
similares aos apresentados. Procuramos na literatura disponível diversas maneiras de se resolver
equações do segundo grau a fim de identificarmos como esse conhecimento se desenvolveu
historicamente, dando ênfase às contribuições de diferentes culturas, e a partir daí pensar uma proposta
pedagógica sobre o assunto que leve o aluno a humanizar a matemática, a desenvolver uma aproximação
multicultural para a construção do conhecimento matemático, a fazer da matemática um conhecimento
menos temido não só para ele mas, também, para a comunidade em geral. Sendo esses um dos
argumentos sobre a utilização da História da matemática elencados por Fauvel (1991) apud Mendes
(2006). Assim sendo, pretendemos utilizar a História da Matemática enquanto recurso metodológico para a
produção de materiais didáticos.
A nossa experiência enquanto profissional da Educação Matemática aliado aos estudos no campo
da História da Matemática (MENDES, 2001; FAUVEL e MAANEM, 2000; MOREY e MENDES, 2005; SILVA,
2001) nos leva a pressupor que parte das dificuldades enfrentadas por professores, em inserir a História da
Matemática em suas aulas, pode estar aliada a dois fatores: uma formação inicial deficiente neste campo e
uma abordagem inadequada por parte dos livros didáticos de matemática disponíveis.
Ao lado disso, pode-se refletir sobre uma questão indicada nos Parâmetros Curriculares Nacionais
(BRASIL, 1998) nos quais a História da Matemática é vista como um dos possíveis caminhos para o ensino
de matemática em turmas do ensino fundamental e médio. O conhecimento de diversas possibilidades para
o trabalho em sala de aula auxiliará o docente na construção de sua prática.
A História da Matemática aparece nos Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998) como
uma indicação de recurso didático alternativo à prática pedagógica do professor de Matemática e ressalta
que esta pode contribuir de maneira significativa para o ensino aprendizagem dessa área do conhecimento:
Ao revelar a matemática como uma criação humana, ao mostrar a necessidades e
preocupações de diferentes momentos históricos, ao estabelecer comparações
entre os conceitos e processos matemáticos do passado e do presente, o
professor cria condições para que o aluno desenvolva atitudes e valor mais
favoráveis diante desse conhecimento (BRASIL, 1998, P. 42).
Diante desse contexto acreditamos que o uso da História da Matemática e a apresentação de outras
formas e métodos de resolução poderão fazer com que o aprendizado seja facilitado apresentando um
significado para o educando.
Objetivamos em nossa pesquisa elaborar e avaliar uma sequência de atividades aliando o ensino de
equação do 2º grau ao estudo do desenvolvimento histórico deste mesmo assunto. E ainda fornecer
materiais e conhecimentos históricos ao professor para que possa desenvolver uma prática de ensino
voltada para a compreensão do aluno, e ao aluno para que consiga se familiarizar com outros métodos de
resoluções da equação quadrática e perceber como é construída a matemática desenvolvendo uma
99 Anais da Semana de Ciência e Tecnologia, Ouro Preto, v. 3, p. 1‐352, 2011. aproximação multicultural para a construção do conhecimento matemático (FAUVEL, 1991 apud MENDES,
2006).
Nesse sentido, em nossa investigação pretendemos, além de conhecer outras maneiras de resolver
equações do segundo grau, entender como é possível ensinar aos alunos outras maneiras de resolver esse
tipo de equação e não ficar apenas na aplicação de fórmulas além de possibilitar que saibam a origem de
cada uma e como se deu o seu desenvolvimento. Apresentaremos em nosso estudo exemplos numéricos
de diferentes estratégias de resolver as equações quadráticas.
MATERIAIS E METÓDOS
A pesquisa histórica foi feita de forma bibliográfica com buscas em livros e periódicos nacionais e
internacionais que tratam do tema. A diversidade e variedade de materiais e livros utilizados na pesquisa
bibliográfica são de extrema importância para o desenvolvimento do trabalho. Segundo Nobre (2005) a
opinião e pesquisa em poucas fontes podem comprometer o trabalho de pesquisa e distorcer a verdade
histórica. Conforme pode ser visto nas palavras do autor:
Se simplesmente aceitarmos a opinião de uma única pessoa a respeito de
determinado assunto, muitas vezes esta visão pode distorcer a verdade histórica e
a sua transmissão para gerações futuras pode ser comprometida. (...) nem os
documentos escritos estão isentos de informações distorcidas. (NOBRE, 2005, p.
541).
Portanto, a pesquisa bibliográfica em diversas fontes foi de grande relevância para o nosso estudo,
onde tivemos a possibilidade de selecionar livros, artigos, teses e dissertações que tratam do estudo de
equações do 2º grau.
Os textos lidos foram discutidos e além dos livros e artigos encontrados um método de resolução de
equações do segundo grau foi apresentado e discutido na dissertação de Mestrado de Charles Georges
Joseph Louis Varhidy o qual apresenta uma solução euclidiana para o problema.
RESULTADOS
Como o nosso trabalho ainda está em andamento, apresentaremos resultados parciais de nossa
pesquisa referentes à busca bibliográfica realizada. O leitor poderá ver neste trabalho um exemplo de
resolução de equações quadráticas de cada método pesquisado até o momento. Outros exemplos, a forma
genérica bem como a justificativa de cada método estará disponível no material que estamos
desenvolvendo. Temos então, a solução retórica dos babilônios, a resolução de Al-Khowarizmi, o processo
euclidiano e, por fim, o método de Viétè.
Iniciamos discutindo o método retórico utilizado pelos babilônios para encontrar a solução das
equações quadráticas apesar do avanço dessa civilização nas ciências e matemática a álgebra era retórica
e, muitas vezes, elementar. Lembramos que eles utilizavam cunhas para escrever os problemas
100 Anais da Semana de Ciência e Tecnologia, Ouro Preto, v. 3, p. 1‐352, 2011. matemáticos em tábuas de argila cozida, daí o tipo de escrita ser conhecido como cuneiforme. O
desenvolvimento e a evolução das idéias algébricas babilônias permitiram que eles resolvessem equações
quadráticas de forma equivalente a atual, porém trabalhando somente com números positivos e sem a
utilização de símbolos. A seguir apresentaremos um exemplo de problema encontrado em uma das tábuas
babilônicas e o método utilizado por eles para resolvê-lo.
Problema: Eu somei a área e o lado de um quadrado e o resultado é três quartos.
A forma retórica de resolução é:

Tome o coeficiente igual a 1.

Divida o coeficiente pela metade e teremos como resultado ½.

Multiplique ½ por ½ que será igual a ¼.

Ao resultado anterior acrescente ¾ , o resultado é 1.

Calcule a raiz quadrada de 1 que é 1.

O ½ que foi multiplicado deve ser subtraído de 1, o resultado será ½.

Esse resultado é o valor do lado do quadrado, portanto o quadrado procurado tem lado ½.
Continuando nossa busca por métodos de resolução de equações quadráticas nos deparamos no
mundo Árabe com Al-Khowarizmi que, da mesma forma que os babilônios, não manuseavam números
negativos e não utilizava símbolos, o fazia de forma geométrica. Ele classificou as equações, lineares e
quadráticas, em seis tipos: quadrados iguais a raízes; quadrados iguais a números; raízes iguais a números;
quadrados mais raízes iguais a números; quadrados mais números iguais a raízes e, raízes mais números
iguais a quadrados.
A seguir a solução que Al-Khowarizmi dava ao problema: Um quadrado mais dez raízes do mesmo
é igual a trinta e nove. Qual é o quadrado?
A solução é apresentada por Refatti e Bisognin (2005):
Tome a metade do número de raízes, que é igual a cinco, esse número é
multiplicado por ele mesmo, obtendo-se vinte e cinco. Some a este produto mais
trinta e nove, encontra-se sessenta e quatro, do qual, ao extrair a raiz quadrada,
tem-se oito como resposta, então, retira-se disso a metado do número de raízes.
O resultado obtido será três. (REFATTI e BISOGNIN, 2005, p.88)
Já no processo euclidiano resolvemos equações do 2º grau por meio de idéias utilizadas no
desenho geométrico, porém utilizaremos régua graduada. Além de ser outra maneira de resolução das
equações o uso de outros materiais é um aspecto de destaque deste método, visto que, segundo Silva
(2009, p.4) “a introdução de instrumentos mecânicos na sala de aula interconecta dois problemas da
educação matemática: a consciência do desenvolvimento sócio-cultural da matemática e a construção de
uma base empírica para as provas matemáticas”. As ideias foram baseadas no trabalho de Varhidy (2010) e
consiste em escrever a equação na forma
x²  mx  n²  0 e desenhar a média geométrica de dois
números.
O quadro a seguir apresenta a resolução da equação
x ²  3x  2  0 .
101 Anais da Semana de Ciência e Tecnologia, Ouro Preto, v. 3, p. 1‐352, 2011. Desenhe um segmento de medida
Trace
a
3, que é a soma das raízes.
segmento.
mediatriz
desse
Trace
uma
semicircunferência
cujo diâmetro é o segmento inicial.
A paralela divide o segmento
Na
mediatriz
meça
1,4
inicial de 3 centímetros em dois
centímetros, que representa o
segmentos medindo 1,07 e 1,93
produto das raízes.
centímetros.
aproximações
Que
das
raízes
são
da
equação. Portanto as raízes são
x  1,07 e x  1,93 .
Trace uma paralela à mediatriz de
modo
que
a
intersecção
da
paralela e a semicircunferência
estejam a 1,4 centímetros de
altura.
Quadro 1: Resolução geométrica da equação x²  3x  2  0 .
102 Anais da Semana de Ciência e Tecnologia, Ouro Preto, v. 3, p. 1‐352, 2011. Por fim tratamos de um estudioso advogado francês nascido na França no século XVI, François
Viéte. Pode-se dizer que a partir de Viétè que surgiu a álgebra simbólica. Ele elaborou uma maneira
engenhosa de resolver equações do segundo grau completa que consiste em substituir a incógnita x por
outras duas incógnitas, u e v, assim x  u  v . A título de exemplificação resolveremos a equação
x ²  3x  2  0 pelo método de Viétè.
Substituindo x  u  v na equação anterior teremos (u  v )²  3(u  v )  2  0 . É fácil ver que,
após algumas manipulações algébricas, que v ²  v ( 2u  3)  u ²  3u  2  0 . Para que tenhamos somente
uma incógnita podemos fazer 2u  3  0 , logo u  3 / 2 . Substituindo esse valor de u na equação anterior
teremos
4v ²  1  0 e concluímos que v  1 / 2 . Portanto, como fizemos anteriormente que x  u  v
encontramos as raízes da equação ao adicionarmos os valores de u e v. Logo, as raízes são
x  1 ou
x  2 .
DISCUSSÃO
Em nossa experiência docente percebemos que a forma usualmente ensinada nas escolas para se
resolver equações do segundo grau, que são do tipo
ax²  bx  c  0 , é pela utilização e aplicação direta
da Fórmula de Bháskara. Sendo vista nas escolas de uma maneira natural pelos alunos e professores,
porém em sua grande maioria de forma mecânica. Nessa mesma perspectiva Carvalho et al (2001)
consideram inapropriado atribuir a fórmula que utilizamos a Bháskara e lembram que na época dele a
matemática não possuía uma linguagem simbólica que o permitisse utilizar uma fórmula.
Segundo Nobre (2006) a denominação que essa fórmula recebe é utilizada somente no Brasil, não
recebendo esse nome em outros países. Carvalho et al (2001) afirmam que a primeira aparição do nome
dado à fórmula pode ter sido a apresentada no livro Elementos de Álgebra de André Perez Y Marin escrito
em 1928, porém o hábito de nomeá-la como tal ganhou força a partir da segunda metade da década de 70
sendo que um dos incentivadores pode ter sido Benedito Castrucci e Geraldo dos Santos Lima no livro
Curso de Matemática de 1960.
Assim sendo,
“é injustiça para com todos aqueles que trabalharam no assunto e chegaram a
resultados importantes se for atribuída a Bháskara a responsabilidade pela descoberta por esta
fórmula”(NOBRE, 2006, p.429).
A valorização e a participação de diversas culturas na construção do conhecimento matemático são
apontados por Radford (1997), segundo ele:
Uma simples inspeção das diferentes culturas através da história nos mostra que
cada cultura teve seu próprio interesse científico. Além disso, cada cultura teve
seu próprio meio de definir e delimitar a forma do conteúdo dos objetos de
inquirição (RADFORD, 1997, p.30, tradução nossa).
103 Anais da Semana de Ciência e Tecnologia, Ouro Preto, v. 3, p. 1‐352, 2011. Sobretudo a resolução de equações quadráticas ao longo da história é ressaltada na pesquisa
realizada por Refatti e Bisognin (2005, p.93) que considera esse estudo valioso como instrumento didático.
Segundo esses autores:
Quando se estuda equação polinomial do segundo grau, geralmente, utiliza-se a
representação européia e a forma de resolução dada pelos hindus. Nesse estudo
sobre a origem da equação quadrática, observou-se a preocupação que os
matemáticos de diferentes épocas tiveram ao tentar solucionar esse problema.
Assim, esta história pode ser considerada um valioso instrumento para o
ensino/aprendizado da própria Matemática.
Os povos e culturas da antiguidade possuíam métodos de resolver equações do segundo grau
diferente do que atualmente resolvemos. Utilizavam outras notações até mesmo para representar
quantidades, como por exemplo, os algarismos romanos que são estudados no ensino primário.
Nesse sentido, entendemos que uma das possibilidades de facilitar a aprendizagem é o professor
apresentar problemas enfrentados pelos povos ao longo dos tempos e possibilitar ao aluno discutir sobre as
diferentes estratégias utilizadas por esses povos na resolução desses
problemas. Em nosso estudo
apresentaremos problemas envolvendo resoluções de equações quadráticas, para que o nosso educando
possam perceber que a matemática é uma ciência construída ao longo do tempo e não um conhecimento
pronto e acabado. E ainda, compreender resoluções propostas de forma algébrica e geométrica como o
método de completar quadrados aliando dessa forma a álgebra e a geometria, ou mesmo o processo
euclidiano que faz uso de instrumentos como a régua e o compasso.
O material produzido ao final da pesquisa será apresentado a professores e a alunos de diversos
níveis para que possa ser avaliado por eles. Os resultados dessa avaliação e sugestões serão organizados
também como resultados dessa pesquisa, pois serão analisadas as recomendações e pontos de reflexão
dos professores.
CONCLUSÃO
Até o presente momento pudemos notar a importância da História da Matemática na vida e no
aprendizado dos bolsistas e, possivelmente na dos estudantes regulares. Consideramos, também,
importante o estudo desenvolvido, pois muitos dos livros didáticos não adotam o ensino da história, apesar
dos documentos oficias: PCN e Orientações Curriculares para o ensino médio, considerarem relevante o
uso da história da matemática, enquanto recurso metodológico. Consideramos que é necessário o ensino
desta para a melhor compreensão da matemática. Como pode ser visto, a resolução de equações do
segundo grau não se restringe a fórmulas algébricas e já eram conhecidas cerca de 20 séculos antes da era
Cristã, pelos babilônios que tinham uma fórmula retórica de para resolver equações.
104 Anais da Semana de Ciência e Tecnologia, Ouro Preto, v. 3, p. 1‐352, 2011. A cada novo método que aprendemos notamos cada vez mais sua importância para o aprendizado
de novas maneiras de se resolver uma equação do segundo grau bem como as influências de diversos
povos no desenvolvimento e construção da matemática. E o grande esforço para desenvolvermos a
matemática. Assim, consideramos que as soluções diversas que ora apresentamos representam um
caminho para promover no educando a capacidade de raciocinar sobre o conteúdo estudado e perceber
através desse estudo a trajetória histórica do conteúdo estudado.
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