Sobre a resistência do fraturamento do concreto e do - LMC

Transcrição

LUIZ EDUARDO TEIXEIRA FERREIRA
SOBRE A RESISTÊNCIA AO FRATURAMENTO DO
CONCRETO E DO CONCRETO REFORÇADO COM FIBRAS
DE AÇO
Tese apresentada à Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo para a
obtenção do Título de Doutor em
Engenharia.
Área de Concentração: Engenharia de
Estruturas.
Orientador: Prof. Dr. Túlio Nogueira
Bittencourt.
São Paulo
2002
II
Dedico este trabalho aos membros da tribo a qual
pertenço, dádivas que ao longo do tempo Deus me
concedeu: ao pequeno sub chefe, grande índio Touro
Sentado, às indiazinhas Nuvem Branca, Fogo na Aldeia
e Brisa Suave (Luiz Felipe, Lídia Maria, Letícia Maria
e Larissa Maria).
Meus filhos, meus encantos.
III
Presto aqui uma homenagem a essa preciosidade que
Deus me permitiu conhecer: Ravindra Gettu.
IV
AGRADECIMENTOS
Nesta oportunidade, agradeço à FAPESP - Fundação de Amparo à Pesquisa
do Estado de São Paulo e ao CNPq - Conselho Nacional de Desenvolvimento
Científico e Tecnológico, que viabilizaram financeiramente a etapa de estudos que
agora encerro.
Ao finalizar a minha carreira acadêmica torno público o meu reconhecimento
e a minha gratidão aos expoentes que de certa forma conheci e que, ao longo do
tempo ouviram as minhas confissões de incompetência, ignorância e de fragilidade,
confissões que renovo nesta oportunidade, entretanto, com maior intensidade:
Ao Engenheiro José Dalmy Magalhães (in memorian);
Aos meus Orientadores (competentes, dedicados e motivados), Professores
Drs. Túlio N. Bittencourt e José Luis Antunes de O. e Sousa;
Aos Professores Drs. Newton de O. P. Jr., Francisco Meneses, e Itamar
Ferreira;
A todos os colegas do Grupo de Modelagem de Materiais da EP-USP, e em
especial, a Antonio Carlos dos Santos, Eduardo P. Prado e a querida Marly
Coimbra (anjo da guarda infalível!);
Aos companheiros do Laboratório de Estruturas e Materiais Estruturais da
EP-USP, do Lab. de Estruturas da FEC-UNICAMP e do Lab.de Materiais da
FEM-UNICAMP, em especial a José Luiz Lisboa (grande sujeito!)
Cada um deles, cada qual à sua maneira, certamente influenciou a
estruturação da minha formação intelectual. Espero, finalmente, não tê-los
decepcionado totalmente.
V
RESUMO
Neste trabalho, o comportamento de materiais cimentícios a solicitações de
fraturamento é investigado através do uso das Curvas de Resistência ao
Fraturamento.
Para tanto, um modelo efetivo com base nos conceitos clássicos da Mecânica
da Fratura Elástica Linear, fundamentado nas relações existentes entre a carga
aplicada,P, e os deslocamentos relevantes, de Abertura da Entrada do Entalhe,
CMOD, e Vertical da Linha de Carga, δLC, assim como na relação que esses
deslocamentos guardam entre si, é analiticamente desenvolvido. Nesta etapa dos
trabalhos, as equações fundamentais da Mecânica da Fratura Elástica Linear
(MFEL) são derivadas para o corpo-de-prova de (15x15x50) cm, com entalhe
central reto passante, solicitado à flexão em 3 pontos.
Computacionalmente implementado, o modelo é utilizado para a análise das
respostas de fraturamento de rochas, dos concretos convencionais, do concreto de
alta resistência (CAR) e do concreto reforçado com fibras de aço (CRFA) com
diversos teores de fibras incorporados à matriz. Para o desenvolvimento das análises,
informações laboratoriais de ensaios realizados por diversos pesquisadores assim
como outras, decorrentes de programas experimentais conduzidos pelo autor, são
utilizadas. Paralelamente, uma nova ferramenta computacional, em fase preliminar
de desenvolvimento e destinada à automação da análise da Tenacidade Flexional, é
apresentada.
Ao longo das análises verifica-se que o modelo concebido é capaz de
capturar, dentre outras coisas, o regime de crescimento subcrítico da fissura, o efeito
da variação da escala estrutural, a elevação dos níveis de Resistência ao
Fraturamento quando do aumento do teor de fibras de aço ao concreto, bem como as
fases de transição entre as respostas dominadas pela matriz e pelas fibras, dos
concretos reforçados com fibras de aço, viabilizando a determinação de parâmetros
VI
de Resistência ao Fraturamento desses materiais para o uso em atividades de projeto.
Paralelamente, as equações fundamentais da MFEL relativas aos CMODs, para as
vigas curtas, são disponibilizadas e os Índices Adimensionais de Tenacidade
Flexional da ASTM, investigados quanto ao efeito de escala.
Na segunda parte do trabalho, um novo corpo-de-prova, com origem no
chevron-bending proposto pela ISRM (International Society for Rock Mechanics)
para ensaios de rochas, adaptado ao cilindro convencional de (15x30) cm para
ensaios de fraturamento dos concretos e argamassas, é proposto. Inicialmente, as
equações relativas à descrição geométrica do corpo-de-prova são proporcionadas
assim como são apresentados novos dispositivos desenvolvidos para o apoio e
transmissão de carga ao corpo-de-prova, com vistas à diminuição da dissipação
energética nos pontos de contato.
Posteriormente a geometria proposta é numericamente modelada em 3
dimensões, com vistas ao estabelecimento das condições de carregamento e a
calibragem do corpo-de-prova, ocasião em que as equações fundamentais da MFEL
são derivadas para o espécime. Com base nessas equações, a construção das Curvas
de Resistência sob o enfoque da MFEL em análises bidimensionais de fraturamento é
apresentada e seus aspectos teóricos relevantes, discutidos.
Finalmente, é levado a efeito um programa experimental comparativo de
determinação da Tenacidade ao Fraturamento do concreto convencional, com vistas à
validação do corpo-de-prova proposto. As análises comparativas dos resultados
apurados com os diferentes corpos-de-prova indicam, embora pequenas, algumas
discrepâncias de valores, demonstrando, entretanto, não somente a uniformidade das
respostas obtidas bem como a factibilidade e reprodutibilidade dos ensaios
procedidos com o novo corpo-de-prova.
VII
ABSTRACT
In this thesis, the behavior of cementitious material under fracture is
investigated through the use of Fracture Resistance Curves.
For this, an effective model based on the classical principles of Linear Elastic
Fracture Mechanics and on the existing relations between the applied load, P, and the
relevant displacements, the Crack Mouth Opening Displacement, CMOD and the
Load Line Displacement, δLC, as well on the relation kept by then, is analytically
developed. At this stage, the Lineal Elastic Fracture Mechanics (LEFM)
fundamental equations are derived for the (15x15x50)cm specimen with a straight
through notch, in three-point bending.
The model is used to analyze the fracture response of rocks, plain concrete,
high strength concrete (HSC) and steel fiber reinforced concrete (SFRA) with several
fiber contents. For the development of the analysis, experimental information of tests
performed by several researchers, together with those resulting from author’s
investigations, have been used. In parallel, a new computational tool for the
automation of Flexural Toughness computation is presented.
Through the analyses process it becomes clear that the model is able to
capture, besides other things, the subcritical crack grow, the effect of structural
scaling, the increasing on fracture resistance due to the increment on fiber content, as
well as the transition between the matriz and fiber dominated regimens of SFRC,
providing the determination of Fracture Resistance parameters of these materials, to
be used for design purposes. In parallel, the fundamental equations from LEFM
related to the CMOD for short beans where provided, and the Dimensionless
Toughness Index from ASTM, investigated regarding the size effect.
The second part of this thesis deals with a new specimen, based on the
chevron-bending proposed by ISRM (International Society for Rock Mechanics) for
VIII
tests with rocks, adapted to the (15x30) cm cylinder for fracture tests of concrete and
mortar. Firstly, the equations related to the geometrical description of the specimen
are provided. In addition, it is shown the new apparatus developed for supporting and
loading the specimen, in order to minimize energy dissipation at the contact points.
After this, the proposed geometry is numerically modeled in three
dimensions, in order to find the load conditions and to calibrate the specimen,
occasion when the fundamental equations of LEFM are derived for the specimen.
Based on these equations, the R-Curve construction under the focus of LEFM in
bidimensional fracture analyses is presented and its relevant aspects, discussed.
Finally, a comparative experimental program for the determination of
Fracture Toughness of plain concrete is performed, in order to validate the specimen
proposed here. Even of small magnitude, the comparative analysis points to some
divergences between the computed values, showing, however not only the uniformity
of the responses obtained, as well as the factibility and reproductibility of tests
performed with the specimen.
IX
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO, RELEVÂNCIA E OBJETIVOS DA PESQUISA
1
2. QUANTIFICAÇÃO DA TENACIDADE
9
2.1 Aspectos relativos aos corpos-de-prova utilizados
nos ensaios de flexão
12
2.1.1 Corpos-de-prova entalhados e não entalhados
12
2.1.2 Corpos-de-prova com entalhes em “V” (chevron notch)
15
2.2 A multiplicidade de critérios de avaliação dos parâmetros
de tenacidade do CRFA
20
2.3 Implementação computacional da avaliação da tenacidade do CRFA
28
2.4 Modelo de referência para o estudo e a avaliação da Tenacidade ao
Fraturamento dos concretos
2.4.1 O Modelo dos Dois Parâmetros
2.5 Sumário do capítulo
39
39
43
3. MODELAGEM DAS CURVAS DE RESISTÊNCIA SOB O
ENFOQUE DA MECÂNICA DA FRATURA ELÁSTICA LINEAR
45
3.1 Curvas de Resistência no Fraturamento unidimensional
45
3.2 Equações da MFEL para vigas entalhadas
55
3.2.1 Relação Elástica Linear entre a Carga Aplicada, os Deslocamentos 67
de Abertura da Entrada do Entalhe, CMOD, e os Deslocamentos
Verticais, δLC,da Linha de Carga.
67
3.2.2 Relação Elástica Linear δ - CMOD.
71
3.4 Curvas de resistência sob o enfoque da MFEL
3.4.1 Curvas de resistência fundamentadas na relação P – CMOD
73
74
X
3.4.2 Curvas de resistência fundamentadas na relação P - δ
3.4.3 Curvas de resistência fundamentadas na relação CMOD - δ
77
78
3.5 Aplicabilidade dos conceitos da MFEL e transgressão do princípio de
Tenacidade ao Fraturamento
79
92
4. O USO DAS CURVAS-R PARA A REPRESENTAÇÃO DA
RESISTÊNCIA AO FRATURAMENTO DE MATERIAIS
CIMENTÍCIOS
93
4.1 Casos preliminares de estudo.
93
4.1.1 Aplicação das Curvas-R para o estudo do fraturamento de rochas,
do concreto de alta resistência e do CRFA
93
4.1.2 Aplicação da Curvas-R ao estudo do Efeito de Escala
103
4.1.3 Resultados e análises preliminares
115
4.2 Programa experimental para o estudo do fraturamento de CRFA
122
4.2.1 Material utilizado na pesquisa
124
4.2.2 Programa de ensaio
125
4.2.3 Resultados dos ensaios
126
4.2.4 Implementação computacional
128
4.2.5 Aplicações aos resultados de ensaio
130
4.2.6 Discussão
134
136
5. ADAPTAÇÃO DO CORPO-DE-PROVA CILÍNDRICO
PARA ENSAIOS DE DETERMINAÇÃO DA TENACIDADE AO
FRATURAMENTO DO CONCRETO
139
5.1 Geometria do corpo-de-prova
150
5.1.1 Equações relativas à geometria e determinação das dimensões
relevantes do corpo-de-prova V-CEV
152
XI
5.2 Dispositivos de apoio e transmissão de carga
154
5.2.1 Dispositivos de apoio
155
5.2.2 Dispositivos de transmissão de carga ao corpo-de-prova
156
5.3 Simulações numéricas tridimensionais
158
5.3.1 Objetivos das simulações numéricas
158
5.3.2 Análise não-linear das condições de transmissão de carga
ao corpo-de-prova
160
5.3.3 Análise não-linear da influência do atrito entre as partes em contato,
no processo de transmissão de carga
169
5.4 Análise tridimensional do processo de fraturamento
do corpo-de-prova V-CEV
175
5.4.1 Fatores de Intensidade de Tensão – Determinação
da constante de calibragem do corpo-de-prova.
186
5.4.2 Deslocamentos de Abertura da Entrada do Entalhe – CMOD
194
5.4.3 Análise do comportamento do corpo-de-prova na fase anterior
a carga máxima - Determinação do Módulo de Elasticidade
199
5.4.4 Deslocamentos Verticais da Linha de Carga – δLC
205
5.5 Relação Elástica Linear δ-CMOD para o corpo-de-prova V-CEV
218
220
6. ESTUDO DAS CURVAS DE RESISTÊNCIA NO
FRATURAMENTO BIDIMENSIONAL, SOB O ENFOQUE DA MFEL
223
6.1 Representação geométrica do processo de fissuração
223
6.2 Curvas de Resistência baseadas na relação Carga-CMOD
226
6.3 Curvas de Resistência baseadas na relação δ-CMOD
229
6.4 Limitações relativas à construção das curvas efetivas de resistência ao
fraturamento, quando da utilização de entalhes em “V”
230
231
7. PROGRAMA EXPERIMENTAL PARA A DETERMINAÇÃO
XII
E ANÁLISE DA TENACIDADE AO FRATURAMENTO DO
CONCRETO, UTILIZANDO A V-CEV
233
7.1 Material utilizado no programa experimental
233
7.2 Corpos-de-prova produzidos
234
7.3 Ensaios de fraturamento
235
7.4 Determinação dos parâmetros de tenacidade e análise dos resultados
253
8. CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA FUTURAS PESQUISAS
255
9. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
261
XIII
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 – Corpo-de-prova cilíndrico com entalhe em “V”.
5
Figura 2.1.1-1 –Corpo-de-prova adotado pela RILEM
14
Figura 2.1.1-2 –Crescimento lateral da fissura (viga com entalhe reto passante).
14
Figura 2.1.2-1 – Corpo-de-prova com entalhe assimétrico em “V”.
15
Figura 2.1.2 -2 – Viga de seção retangular com entalhe em “V”.
15
Figura 2.1.2-3 Corpos-de-prova tridimensionalmente similares, com entalhes em “V”.
17
Figura 2.1.2-4 - Corpo-de-prova do tipo CEV. Geometria e maneiras usuais
de carregamento.
18
Figura 2.1.2-5 – Primeiros corpos-de-prova do tipo CEV moldados no Brasil.
19
Figura 2.2-1 – Critérios do ACI para a determinação de parâmetros de tenacidade.
21
Figura 2.2-2 – Critérios da ASTM para a determinação de parâmetros de tenacidade.
22
Figura 2.2-3 – Critérios da RILEM para avaliação da parcela de tenacidade
23
devidas às fibras.
Figura 2.2.4 – Cargas Máxima de Afastamento para compósitos de diferentes
comportamentos.
25
Figura 2.2-5 – Distribuição de tensões na seção transversal.
26
Figura 2.3-1 – Diagramas Pxδ para concreto com diferentes teores de fibras de aço.
31
Figura 2.3-2 – Tangente à rampa ascendente, calculada pelo programa TENAC.
31
Figura 2.3-3 – Curva côncava e convexa para cima – Diagrama Pxδ.
32
Figura 2.3-4 – Ajustes sucessivos para a determinação da Carga de Primeira Fissura.
34
Figura 2.3-5 - Taxas de mudança dos Coeficientes Angulares das retas dos
ajustes sucessivos.
34
Figura 2.3-6 – Tela gerada pelo programa TENAC, ilustrando a tangente de
primeira fissura.
35
Figura 2.3.7 – Determinação da Carga Máxima de Afastamento (Offset) -RILEM TC 162
37
Figura 2.3-8 Parâmetros de tenacidade flexional adotados pela ASTM.
38
Figura 2.3-9 Parâmetros de tenacidade flexional adotados pela RILEM.
38
Figura 2.4.1-1 – Fases do diagrama P- CMOD de um ensaio de fraturamento.
40
Figura 2.4.1-2 – Diagrama P - CMOD indicando os parâmetros de flexibilidade
do corpo-de-prova
42
Figura 3.1.1 –Curva de Resistência para um material elasto-frágil.
47
Figura 3.1.2 – Curva de Resistência para materiais de ruptura quase-frágil.
48
Figura 3.1.3 – Fissura coesiva.
49
Figura 3.2-1. Geometria do corpo-de-prova e pontos de referência para a
XIV
determinação dos deslocamentos.
57
Figura 3.2-2. Fatores de conversão para CMOD.
62
Figura. 3.2.1-1. Relação Carga x CMOD para um material elástico
linear (KIC=80daN.cm-1. 5).
69
Figura. 3.2.1-2. Relação Carga x δ para um material elástico linear (KIC=80daN.cm-1. 5).
-1. 5
Figura. 3.2.1-3. Relações P x δ e PxCMOD (KIC=80daN.cm
, αo = 0.25 ou ao= 3,75cm).
70
71
Figura. 3.2.2-1. Relações δ x CMOD (KIC=80daN.cm-1. 5 ).
72
Figura. 3.2.2-2. Relações δxCMOD para diferentes valores de KIC (αo =0.25 ou ao=3,75cm).
73
Figura 3.4.1-1 – Fluxograma simplificado para a construção das Curvas de
Resistência baseadas nos CMODs.
75
Figura 3.4.1-2– Fluxograma simplificado para a construção das Curvas de Resistência
76
com a conversão do CMOD.
Figura 3.4.2-1 – Fluxograma simplificado para a construção das Curvas de Resistência
baseadas na relação Pxδ.
77
Figura 3.5-1 –Curvas P-CMOD e KR-CMOD para um material elástico linear.
81
Figura 3.5-2 - Curvas P- CMOD e KR- CMOD para materiais com diferentes
características de deformabilidade
82
Figura 3.5-3 - Curvas P-CMOD e KR- CMOD para materiais com diferentes cargas críticas
83
Figura 3.5.4 – Curvas P- CMOD para um material elástico linear e outros,
com diferentes valores de β.
85
Figura 3.5-5 – Gráfico Pi*/Pi versus CMOD para o modelo hipotético.
86
Figura 3.5-6 – Curvas KR-CMOD para o material elástico linear e outros,
87
Figura 3.5-7 – Curvas KR-α para o material elástico linear e outros,
88
Figura 3.5-8-Curvas P-CMOD para materiais hipoteticamente menos resistentes
após a carga máxima
89
Figura 3.5-9 Curvas KR-α para materiais hipoteticamente menos resistentes após a
carga máxima.
89
Figura 4.1.1-1 – Corpo-de-prova de rocha sedimentar. Orientação do plano
de fraturamento.
94
Figura 4.1.1-2 Ensaio de flexão em 3 pontos sob condições de controle do CMOD.
95
Figura 4.1.1-3 - Curvas experimentais P-CMOD. Ensaios de fraturamento à flexão
em 3 pontos.
96
Figura 4.1.1-4 – Curvas P-CMOD- Ensaios contínuo (CP1) e cíclico (CP4).
96
Figura 4.1.1-5 - Curva de resistência baseada na relação P-CMOD.
97
Figura 4.1.1-6 – Curvas P - CMOD e de resistência – Material: Arenito.
98
Figura 4.1.1-7 – Curvas P-CMOD –Material: Concreto de Alta Resistência.
99
XV
Figura 4.1.1-8 – Curvas de Resistência – Material: concreto de alta resistência.
100
Figura 4.1.1-9 – Curvas P–CMOD, Experimental e reconstituída ( 1kgf ≈ 10N).
100
Figura 4.1.1.10 – Curvas P-CMOD para o concreto simples e CRFAs com diferentes
teores de fibras.
101
Figura 4.1.1-11- Curvas de Resistência para o CRFA (0, 40 e 80kg / m3).
102
3
Figura 4.1.1-12- Curvas de Resistência para o CRFA – Trechos iniciais (0, 40 e 80kg / m ).
102
Figura 4.1.2-1 – Curvas P-CMOD de vigas com similaridades bidimensionais
- Material : CAR.
104
Figura 4.1.2-2 Curvas P-CMOD dos ensaios das vigas com similaridades bidimensionais
–CRFA.
104
Figura 4.1.2-3 – Gráfico da Função Adimensional de Dependência Geométrica e de
Carregamento, f(α), para Fatores de Intensidade de Tensão.
105
Figura 4.1.2-4 – Gráfico da Função Adimensional de Dependência Geométrica e de
Carregamento, g(α), para CMODs.
106
Figura 4.1.2-5 – Valores de Kd para as vigas curtas com S/W=2.5.
107
Figura 4.1.2-6 – Curvas KR-CMOD para o concreto de alta resistência.
108
Figura 4.1.2-7 – Curvas KR-CMOD para o CRFA.
108
Figura 4.1.2-8 – Curvas KR-α para o concreto de alta resistência – CAR.
109
Figura 4.1.2-9 – Curvas KR-α para o CRFA.
109
Figura 4.1.2-10 - Curvas KR-α para o concreto de alta resistência - α<0.5.
111
Figura 4.1.2-11 - Curvas KR-α para o CAR - α<0.5 (Modelo de Weibull).
111
Figura 4.1.2-12 - Curvas KR-α para o CRFA - α<0.5.
112
o
Figura 4.1.2-13 - Curvas KR-α para o CAR - α<0.5 (Polinômios do 5 grau).
112
Figura 4.1.2-14 – Índices Adimensionais da ASTM e valores de MOR para os CRFA
estudados em escala.
114
Figura 4.2.3-1 – Corpos-de-prova prismáticos ensaiados à flexão.
126
Figura 4.2.3-2 – Ensaio de fraturamento à flexão em 3 pontos.
127
3
Figura 4.2.3-3 Curvas Carga-CMOD “médias” – Teores de fibra entre 0 e 100 kg/m .
128
Figura 4.2.5-1 – Curvas de KR-α para o CRFA com diferentes teores de fibras metálicas.
130
Figura 4.2.5-2 – Curvas de T-α para o CRFA com diferentes teores de fibras metálicas.
131
Figura 4.2.5-3 – Curvas de T-α para o CRFA - Estágios iniciais.
131
Figura 4.2.5-4 – Curvas de KR-α para o CRFA - Estágios iniciais.
132
Figura 4.2.5-5 – Relação KR - T para o CRFA com diversos teores de fibras de aço.
133
Figura 4.2.5-6 – Relação KR - T para o CRFA - Estágios iniciais.
133
Figura 5-1 – Função dos Fatores de Intensidade de Tensão para uma viga
com entalhe em “V”.
141
Figura 5-2 – Corpo-de-prova V-CEV (Viga Cilíndrica com entalhe em “V”).
143
Figura 5-3 – Corpo-de-prova SECRBB.
144
XVI
Figura 5-4 – Ciclos sucessivos de carregamento e descarregamento do corpo-de-prova.
146
Figura 5.-5 – Seção transversal central do corpo-de-prova chevron-bending na
carga máxima. Observe-se o fronte curvo da fissura (Ouchterlony, 1987).
148
Figura 5-6 – Distribuição das tensões principais σ1 na seção média do corpo-de-prova
(seção que contém o entalhe em “V”).
149
Figura 5.1-1 – Dimensões relevantes da V-CEV – Dimensões em milímetros.
151
Figura 5.1-2 - Seção Transversal da região entalhada.
152
Figura 5.2.1-1 –Dispositivos de apoio do corpo-de-prova.
156
Figura 5.2.2-1 – Dispositivo de transmissão de carga (dimensões construtivas em mm).
157
Figura 5.2.2-2 – Dispositivo de transmissão de carga ao corpo-de-prova.
157
Figura 5.2.2-3 – Conjunto de aparatos alternativos, para o apoio e solicitação dos
corpos-de-prova.
158
Figura 5.3.2-1 - Modelo geométrico e condições de contorno consideradas no problema.
161
Figura 5.3.2-2 – Malhas inicial e final da região de contato, adotadas para o corpo-de-prova.
Elementos tetraédricos quadráticos.
164
Figura 5.3.2-3 - Malhas inicial e final da região de contato, adotadas para o dispositivo
de transmissão de carga (atuador). Paralelepípedos de 20 nós.
164
Figura 5.3.2-4 – Gráfico: Deslocamento Vertical do Pto ”A” versus Número de Graus de
Liberdade Ativos.
166
Figura 5.3.2-5 – Gráfico: Reação Horizontal de Contato, FH, versus Número de Graus de Liberdade.
166
Figura 5.3.2-6 – Gráfico: Reação Vertical de Contato, FV, versus Número de Graus de Liberdade.
167
Figura 5.3.2-7 Malha final de elementos finitos (seção central entalhada).
168
Figura 5.3.3-1 – Hipóteses para a consideração do atrito entre sólidos em contato.
170
Figura 5.3.3-2 – Espaço de representação das forças de atrito, desenvolvidas nas
superfícies de sólidos em contato.
171
Figura 5.3.3-3 – Deslocamentos verticais do ponto “A”, de controle, e reações de contato
para diferentes valores do coeficiente de atrito.
172
Figura 5.4-1 – Condições de contorno adotadas para os casos de estudo.
179
Figura 5.4-2 – Detalhes da ponta do entalhe, em 3 diferentes estágios da propagação.
184
Figura 5.4-3 – Evolução das malhas de elementos de contorno.
186
Figura 5.4.1-1 – Fatores de Intensidade de Tensão para as linhas de frente estudadas.
Distribuição ao longo da extensão normalizada.
187
Figura 5.4.1-2 – Fatores de Intensidade de Tensão para os frontes estudados.
Distribuição ao longo da extensão normalizada.
188
Figura 5.4.1-3 – Valores dos Fatores de Intensidade de Tensão computados.
190
Figura 5.4.1-4 - Função de Dependência Geométrica e de Carregamento do corpo-de-prova,
para Fatores de Intensidade de Tensão – Caso ”B”.
Figura 5.4.1-5 – Pontos de mínimo das Funções A(α) de Dependência Geométrica e de
191
XVII
Carregamento.
193
Figura 5.4.2-1 – Funções g(α)de Dependência Geométrica e de Carregamento do
corpo-de-prova, para CMODs.
196
Figura 5.4.2-2- Curvas kd x α para diferentes alturas da lâmina de suporte do clip gauge.
-1.5
Figura 5.4.3-1 – Curva P-CMOD para um material elástico linear com KIC=100 daN.cm
Figura 5.4.3-2 – Curva Carga-CMOD para materiais elástico lineares ( KIC variável).
198
.
201
201
Figura 5.4.4-1 – Malha de elementos de contorno com as arestas utilizadas para o estudo
dos deslocamentos verticais, δ.
206
Figura 5.4.4-2 – Deslocamentos computados no plano de fraturamento.
207
Figura 5.4.4-3 – Funções de Dependência Geométrica e de Carregamento,
para deslocamentos verticais, relativas aos casos de estudo.
211
Figura 5.4.4-4 – Gráficos da função polinomial de dependência e das derivadas das
213
funções ajustadas.
Figura 5.4.4-4 – Funções de Dependência Geométrica e de Carregamento, para Fatores de
Intensidade de Tensão, relativas aos casos de estudo.
214
Figura 5.4.4-5 - Funções de Dependência A(α) resultantes da adoção de funções de
diferentes naturezas para a descrição da flexibilidade adimensional CED – Caso dois.
216
Figura 5.5-1 – Relação δ - CMOD para o corpo-de-prova V-CEV.
220
Figura 6.1-1 – Curva αAi x αi para o corpo-de-prova proposto. 225
Figura 6.2-1 – Fluxograma simplificado para a construção da Curva-R sob o
enfoque da MFEL
227
Figura 6.2-2 – Curvas P-CMOD e KR-CMOD para o material elástico linear do
exemplo 4.3-1.
228
Figura 7.2-1 – Corpos-de-prova cilíndricos com entalhe em “V”: seção transversal central.
234
Figura 7.3-1 – Ensaio de flexão em “3 pontos” do corpo-de-prova V-CEV.
236
Figura 7.3-2 – Ensaio de flexão do corpo-de-prova V-CEV –esquema
“aresta superfície” (caso “B”).
237
Figura 7.3-3 – Ensaio de flexão do corpo-de-prova V-CEV –esquema
“aresta superfície” (caso “B”).
237
Figura 7.3-4 Corpos-de-prova ensaiados à flexão em 3 pontos –Caso ”A” de estudos.
238
Figura 7.3-5 – Corpo-de-prova no. 1.
239
239
240
240
241
241
Figura 7.3-11 - Ensaio de fraturamento de viga – Flexão em três pontos.
242
Figura 7.3-12 Curvas Carga-CMOD - Corpos-de-prova 1 e 2.
243
Figura 7.3-13 - Curvas Carga-CMOD - Corpos-de-prova 3 e 4.
243
XVIII
Figura 7.4-1 – Curvas KR-CMOD para as vigas com entalhes retos passantes.
Figura 7.4-2 – Curvas KR-CMOD, valor de referência
KSIC
246
e gráfico da função
exponencial representativa dos ensaios da vigas com entalhes retos passantes.
247
XIX
LISTA DE TABELAS
Tabela 3.2-1 – Coeficientes para a Função Adimensional de Dependência Geométrica, f (α).
60
Tabela 3.2-2 – Coeficientes para a Função Adimensional de Dependência Geométrica, g (α).
61
Tabela 3.2-3 – Coeficientes para as equações de conversão de CMOD
63
Tabela 3.2-4– Coeficientes para a Função Adimensional de Dependência Geométrica, V (α).
65
Tabela 3.2-5 - Desvios percentuais médios, em números absolutos, dos valores
das funções adimensionais de dependência geométrica, f(α), g(α) e V(α).
66
Tabela 3.2-6 – Coeficientes para as funções de dependência geométrica
e de carregamento (0.05≤α≤0.75)
67
Tabela 3.5-1 - Valores de Pi*/Pi para diferentes valores de α e β e W=15 cm.
85
Tabela 4.1.1-1 – Características geométricas dos corpos-de-prova
e cargas máximas dos ensaios.
94
Tabela 4.1.2-1 – Informações geométricas dos corpos-de-prova Estudo do efeito de escala.
103
Tabela 4.1.2-2 – Coeficientes para as equações e estatísticas dos ajustes procedidos.
110
Tabela 4.1.2-3 - Índices adimensionais computados para o CRFA.
113
Tabela 4.1.2-4 - Variações percentuais dos Índices adimensionais e do MOR,
com a variação da escala do corpo-de-prova.
114
Tabela 5.1.1-1 - Informações geométricas de interesse, relativas à
seção transversal entalhada.
154
Tabela 5.3.2 - 1 Propriedades Mecânicas dos Materiais.
161
Tabela 5.3.2-2 – Características das malhas de elementos finitos adotadas.
165
Tabela 5.3.2-3 – Valores das respostas das variáveis de controle.
165
Tabela 5.3.2-4 - Características das malhas finais de elementos finitos e
valores das variáveis de controle.
169
Tabela 5.3.3-1- Valores das respostas das variáveis de controle
(ciclo completo de carregamento).
173
Tabela 5.3.3-2 Respostas das variáveis de controle, para diferentes valores
de Coeficientes de Atrito.
173
Tabela 5.3.3-3 – Trabalhos realizados pelas forças nodais nas
direções dos eixos coordenados.
173
Tabela 5.4-1 – Análise da variação da flexibilidade do corpo-de-prova, entre
refinos sucessivos da malha global de elementos de contorno.
181
Tabela 5.4-2 – Variação dos Fatores de Intensidade de Tensão e de outras
variáveis de controle, com a discretização crescente da linha de frente da fissura.
Tabela 5.4.1-1- Coeficientes da equação de Dependência Geométrica e de
182
XX
Carregamento, para Fatores de Intensidade de Tensão – Casos “A” e “B”
de condições de contorno.
192
Tabela 5.4.1-2 – Constantes significativas do corpo-de-prova para os casos
de estudo A e B.
193
Tabela 5.4.2-1 - Coeficientes da equação de Dependência Geométrica e de
Carregamento, g(α), para Deslocamentos de Abertura da Entrada do Entalhe – CMOD.
195
Tabela 5.4.2-2 – Coeficientes para as equações kd=f(α), de conversão do CMOD.
197
Tabela 5.4.3-1-Valores do fator kE,d para a determinação do Módulo de
Elasticidade -Casos A e B.
203
Tabela 5.4.4-1 – Deslocamentos Verticais computados em posições de interesse.
207
Tabela 5.4.4-2 – Resultados apurados nas análises dos deslocamentos verticais.
214
Tabela 5.4.4-3 – Resultados para a constante Amin de calibragem do corpo-de-prova.
215
Tabela 5.4.4-4 Coeficientes para as equações de dependência, V(α), e de conversão
de deslocamentos, Kv.
218
Tabela 7.4-1 –Resultados do Módulo de Elasticidade (vigas).
245
Tabela 7.4-2 –Resultados da Tenacidade ao Fraturamento (vigas).
246
Tabela 7.4-3 - Resultados do Módulo de Elasticidade (V-CEV) .
248
Tabela 7.4-4 - Resultados da Tenacidade ao Fraturamento (V-CEV).
249
Tabela 7.4-5 ; Valores de referência para o módulo de elasticidade, com
base na resistência à compressão.
250
Tabela 7.4-6 – Correção da constante de calibragem para as V-CEV solicitadas
à flexão em 3 pontos.
251
Tabela 7.4-7 – Valores de Tenacidade aparente determinados com
as V-CEV (flexão em 3 pontos).
251
XXI
LISTA DE ABREVIATURAS, SIGLAS E OUTROS TERMOS
ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnicas
ACI – American Concrete Institute.
ASTM – American Society for Testing and Materials
Carga de Offset – Carga de Afastamento
CEB - Comite Euro-International du Beton
CEV – Cilindro entalhado em “V” ou Cilindro com Entalhe em “V”
chevron-bending – Corpo-de-prova cilíndrico com entalhe em “V”, para ensaios de
fraturamento à flexão
clip gauge – Extensômetro eletrônico
CMOD – (Crack Mouth Opening Displacement) – Deslocamento de Abertura da
Entrada do Entalhe (valor teórico, referido à face do corpo-de-prova).
m
CMOD
- Deslocamento de Abertura da Entrada do Entalhe, usualmente medido
durante o ensaio, a uma distância d da face do corpo-de-prova.
CMODmax - Deslocamento de Abertura da Entrada do Entalhe, na carga máxima.
CMODC - Deslocamento Crítico de Abertura da Entrada do Entalhe
CMODu - Deslocamento Crítico de Abertura da Entrada do Entalhe, na carga de
descarregamento
CMODr - Deslocamento Crítico de Abertura da Entrada do Entalhe, residual
CP – Corpo-de-prova
CTOD – (Crack Tip Opening Displacement) – Deslocamento de Abertura da Ponta
da Fissura.
CTODC - Deslocamento Crítico de Abertura da Ponta da Fissura
First Peak Load- Carga de Primeiro Pico
HFR – Hipótese da Fissura Reta Passante
ISRM – International Society for Rock Mechanics
JCI – Japanese Concrete Institute
JSCE – Japanese Society of Civil Engineers
LVDT –Linear Variable Differential Transducer - (extensômetro de curso reto)
MEC – Método dos Elementos de Contorno.
XXII
MEF – Método dos Elementos Finitos.
MFEL – Mecânica da Fratura Elástica Linear
MOR – Módulo de ruptura
MTS – Material Testing System
Offset - Afastamento pré-definido
pull-out –Arrancamento da fibra metálica
RILEM – Réunion Internationale des Laboratoires d’Essais et de Recherches sur
les Matériaux et les Constructions
RILEM TC 162-TDF – Comitê da RILEM para ensaios do CRFA
SECRBB (single edge crack round bar in bending) –Corpo-de-prova cilíndrico com
entalhe reto passante, para ensaios à flexão.
short rod - Corpo-de-prova cilíndrico para ensaios de fraturamento, por abertura
diametral (à tração, encunhamento ou compressão excêntrica)
SI – Sistema Internacional de Unidades
Split-Cylinder – “Ensaio Brasileiro”, para a determinação indireta da Resistência à
Tração do material
STCA (Straight-Through Crack Assumption) - Hipótese da Fissura Reta Passante
TENAC (Toughness Analyser Code) – Programa para a análise da Tenacidade
Time-to-peak-load - Tempo para a carga máxima, usualmente associado à uma taxa
de deslocamento.
V-CEV – Viga Cilíndrica com Entalhe em “V”.
XXIII
LISTA DE SÍMBOLOS
aC (o mesmo que amax ou acrit )– Extensão crítica da fissura
ai – Extensão da fissura (considerando-se o comprimento do entalhe), no iézimo
estágio da propagação da fissura
ap - Extensão da interface coesiva da fissura.
aT - Extensão total da fissura
a – Extensão efetiva da fissura
a0 – Extensão do entalhe ou da fissura inicial
a1 – Distância desde a face inferior do corpo-de-prova até a base do entalhe
AENT – Área do entalhe em “V”
Ai - Área ou área acumulada da fissura, no iézimo estágio da propagação
ALIG - Área do ligamento
AMIN - Constante adimensional de dependência geométrica e de carregamento do
corpo-de-prova (fator de intensidade de tensão adimensional na carga máxima)
ATOT - Área da seção transversal plena
A(α) – Função adimensional de dependência geométrica e de carregamento do
corpo-de-prova, para fatores de intensidade de tensão
bi – Coeficiente linear da iézima reta (que passa por um valor conhecido de
deslocamento)
boff - Ponto de interceptação da carga (coeficiente linear da reta)
B - Base do corpo-de-prova
B1 - Extensão da base do entalhe
c - Extensão da fissura (não considerada a extensão do entalhe inicial)
ci – Extensão da fissura (não considerada a extensão do entalhe inicial), no iézimo
estágio da propagação
Ci – Flexibilidade do corpo-de-prova, usualmente da fase inicial do ensaio (=δi/Pi ou
CMODi/Pi)
Cu – Flexibilidade do corpo-de-prova, usualmente da fase de descarregamento do
ensaio (=δu/Pu ou CMODu/Pu)
XXIV
d – Altura da lâmina de suporte do clip gauge, relativamente à face do corpo-deprova
D – Diâmetro do corpo-de-prova
DfBZ,2,I – Tenacidade (ou área sob a curva P-δ) relativa à contribuição das fibras de
aço.
E –Módulo de Young (ou Módulo de Deformação dos materiais de comportamento
inelástico)
Ek,d –Idem, determinado através da metodologia da correção dos CMODs
ES –Idem, determinado através da metodologia do Modelo dos Dois Parâmetros
E´ - Módulo de Young para Estado Plano de Deformação
f(α) - Função adimensional de dependência geométrica do corpo-de-prova, para
Fatores de Intensidade de Tensão
feq.2 – Resistência equivalente,avaliada para o nível 2 de deslocamento
feq.3 - Resistência equivalente, avaliada para o nível 3 de deslocamento
F - Trabalho realizado pelas forças externas; Força aplicada
F2 – Força média, avaliada para o nível 2 de deslocamento
F3 – Força, avaliada para o nível 3 de deslocamento
g(α) - Função adimensional de dependência geométrica do corpo-de-prova, para
CMODs
G -Taxa de Liberação (ou dissipação) de Energia de Deformação
Gc - Taxa Crítica de Liberação (ou dissipação) de Energia de Deformação –
Tenacidade ao Fraturamento ou Energia Específica de Fraturamento
Gq - Taxa Crítica de Liberação de Energia para materiais de ruptura quase-frágil
Fator de Intensidade de Tensão na ponta da fissura coesiva
hsup – Distância desde a linha neutra da seção até a fibra mais comprimida do corpode-prova
It – Índice de Tenacidade
In – Índice de Tenacidade (n assume diferentes valores, em função de um
deslocamento ou área, pré-fixados)
JR – Resistência ao Fraturamento, em termos da Integral de Caminho Independente
“J”
XXV
kd - Fator teórico de correção que deve ser aplicado para a conversão dos valores os
CMODm, nominais, para valores de CMOD referidos à face do corpo-de-prova
kE,d – Fator elástico para o cálculo do Módulo de Elasticidade, que incorpora a
influência da altura da lâmina de suporte do extensômetro
KCB - Tenacidade ao Fraturamento, obtida com o corpo-de-prova V-CEV (chevron
bending)
KI – Fator de Intensidade de Tensão para o Modo I de solicitação ao Fraturamento
KIC – Tenacidade ao fraturamento ou fator de intensidade de tensão crítico, para o
fraturamento no Modo I
KIC* - Idem, considerando-se a correção para estado plano de deformação
KI i– Fator de Intensidade de Tensão para o Modo I de solicitação ao Fraturamento,
no iézimo estágio da propagação da fissura
KSIC (o mesmo que KIC(S))– Idem, determinado através do Modelo dos Dois
Parâmetros
KN - Rigidez normal
Kq - Fator de Intensidade de Tensão decorrente do carregamento externo
Kσ, Fator de Intensidade de Tensão (teórico), necessário ao cancelamento das
pressões que se originam na interface coesiva
KR (ou Kr) – Resistência ao Fraturamento (ou Tenacidade ao Fraturamento, em
termos de Fator de Intensidade de Tensão crítico)
KS - Rigidez tangencial
kv – Coeficiente de Conversão de deslocamentos
L ou l – Comprimento do corpo-de-prova
lp – extensão total da fissura coesiva
M2 – Momento fletor no centro do vão, correspondente à força F2
M3 – Momento fletor no centro do vão, correspondente à força F3
p - Fator de correção da não-linearidade (fator de correção não-linear)
P – Carga; método de refino, por modificação das funções de interpolação, utilizado
no método dos elementos finitos
Pi – Valor da carga, no iézimo estágio do carregamento
Plim, E - Carga limite para a avaliação do módulo de elasticidade
PMAX - Carga máxima do ensaio
XXVI
Pu – Carga última; carga de descarregamento do corpo-de-prova
r - Coeficiente de Correlação (ou coeficiente de Pearson) de uma regressão
R – Resistência ao fraturamento, em termos de Taxa de Liberação de Energia
S - Vão-Livre do corpo-de-prova
t - largura adotada para o entalhe: espessura da chapa ou placa
T - Tenacidade Flexional
U - Energia Potencial Elástica ou Energia de Deformação
V(α) – Função adimensional de dependência geométrica e de carregamento do
corpo-de-prova, para deslocamentos verticais
w - Abertura da fissura
W - Energia requerida para a formação da fissura (Energia de Decoesão); altura do
corpo-de-prova; comprimento do corpo-de-prova cilíndrico; trabalho de fraturamento
Y* - Fator de Intensidade de Tensão adimensional
Y*min - Fator de intensidade de tensão adimensional mínimo (constante do corpo-deprova, na carga máxima)
XXVII
LETRAS GREGAS
α - Extensão da fissura, normalizada relativamente à altura ou ao diâmetro do corpode-prova (também, extensão normal ou extensão relativa)
αi - Extensão da fissura, normalizada relativamente à altura ou ao diâmetro do corpode-prova, no iézimo estágio da propagação da fissura
αAi – Área da fissura, normalizada relativamente à outra área, no iézimo estágio da
propagação da fissura
αcrítico - Extensão crítica da fissura, normalizada relativamente à altura ou ao
diâmetro do corpo-de-prova (também, extensão crítica normal ou extensão crítica
relativa)
αC -Idem
αo - Extensão do entalhe, normalizado relativamente a altura ou ao diâmetro do
corpo-de-prova (também, extensão normal ou extensão relativa do entalhe inicial).
δ - Deslocamento vertical
δf – Deslocamento vertical, na carga de primeira fissura
δi - Deslocamento vertical, na força Pi do ensaio
δINF - Deslocamento vertical medido na face inferior do corpo-de-prova
δLC - Deslocamento Vertical da linha de carga
δmax – Deslocamento Vertical Máximo ou deslocamento vertical na força máxima do
ensaio
δs - Deslocamentos relativos de deslizamento, entre os sólidos em contato
δu – Deslocamento vertical último ou aquele medido na carga de descarregamento do
corpo-de-prova
δ2 e δ3 – Níveis de deslocamento fixados pela RILEM, para ensaios de tenacidade
flexional
δ150 – Nível de deslocamento, relativo a L/150
∆a – Acréscimo, avanço ou extensão de pequena monta da fissura
θ - Ângulo relacionado à ponta do entalhe em “V” (chevron notch)
µ - Coeficiente de Atrito
XXVIII
ν - Coeficiente de Poisson do material
π ou Π - Potencial Energético
σ - Tensão
σ(w) - Pressão coesiva de fechamento, atuante na interface coesiva da fissura fictícia
σb - Resistência flexional (JSCE)
σB - Fator de tenacidade flexional (JSCE)
τ – Tensão de cisalhamento; Trabalho
φMAX - Dimensão Característica (diâmetro máximo) do agregado
XXIX
APÊNDICES
Apêndice A – Análise da tenacidade flexional, procedida com o auxílio ao programa
TENAC.
Apêndice B – Curvas de Resistência baseadas na relação P-CMOD para o CRFA.
Apêndice C – Caracterização do material utilizado no primeiro programa
experimental.
Apêndice D – Curvas P-CMOD dos ensaios do CRFA e Índices Adimensionais da
A.S.T.M.
Apêndice E – Curvas KR-α e P-α para o CRFA ensaiado por Saldívar.
Apêndice F – Fator de Correção Inelástica: embasamento teórico.
Apêndice G – Relatórios de determinação da Tenacidade ao Fraturamento do
concreto.
1
1. INTRODUÇÃO, RELEVÂNCIA E OBJETIVOS DA PESQUISA
Definida por Kanninen (1985) como um tópico da engenharia fundamentado
na mecânica aplicada e na ciência dos materiais, a mecânica do fraturamento ganhou
impulso como ramo da engenharia estrutural somente há algumas décadas, em
decorrência de acidentes catastróficos envolvendo obras de engenharia. Quando
preocupado com a integridade estrutural, este ramo da mecânica dedica-se ao estudo
da formação, propagação e arrestamento das fissuras. Quando preocupado com a sua
utilização racional, estuda como formá-las e como propagá-las adequadamente, a
exemplo do fraturamento hidráulico em rochas destinado à estimulação de
produtividade em reservatórios de petróleo.
Como se sabe, os materiais falham. Por mais perfeito que possa parecer um
elemento estrutural, pequenas regiões com irregularidades, descontinuidades externas
ou internas, defeitos de fabricação ou mesmo decorrentes de detalhes mal projetados,
são regiões potencialmente concentradoras de tensões que podem levar uma estrutura
ao colapso por formação e propagação instável de fissuras. Nem sempre estes fatores
responsabilizam-se, isoladamente, pela fissuração e fraturamento de um elemento
estrutural. Fatores como temperatura, adversidade ambiental ou efeitos mecânicos
inerentes à utilização inadequada da estrutura (como por exemplo, solicitações não
previstas à fadiga) podem ser decisivos na formação e propagação de fissuras.
Broek (1986), observa que estruturas construídas com materiais de alta
resistência normalmente apresentam baixa resistência ao fraturamento, podendo
romper em níveis de tensão muito abaixo daqueles para os quais foram projetadas.
Segundo o autor, a ocorrência de fraturamento a baixos níveis de tensão em
estruturas construídas com estes materiais, induziu de fato o desenvolvimento da
mecânica do fraturamento como disciplina da engenharia estrutural. Em fase
acelerada de desenvolvimento, a Mecânica do Fraturamento já faz parte da base de
novos conceitos de projeto estrutural, de forma complementar aos critérios de
resistência utilizados, uma vez que, de uma forma geral interessa à engenharia o
2
conhecimento do processo de formação das fissuras, de forma a preveni-las (ou
produzi-las). Inevitáveis do ponto de vista prático, as estruturas fissuradas devem ser
avaliadas quanto à segurança e à vida útil, especialmente sob os enfoques da
preservação e da conservação que constituem as perspectivas do mundo moderno.
Desta forma, os conceitos da Mecânica do Fraturamento destacam-se nas técnicas
utilizadas para a avaliação da Tolerância de Dano, fazendo-se necessário para tanto,
o conhecimento prévio de parâmetros resistentes associados à fissuração e ao colapso
do material, como a Tenacidade e a Tenacidade ao Fraturamento.
Material de simples preparo, de resistência considerável, propício à
modelagem arquitetônica de baixo custo, o concreto constitui-se, de uma forma
geral, num dos principais materiais utilizados na construção civil nos dias atuais.
Versátil, no que diz respeito à construção de estruturas quer esbeltas, quer
massivas, esse compósito vem sendo estudado relativamente às suas propriedades
mecânicas de resistência, quanto ao seu comportamento químico e desenvolvimento
tecnológico, já há bastante tempo. Do ponto de vista da utilização estrutural,
entretanto, destaca-se como séria desvantagem, o regime de ruptura quase-frágil por
ele apresentado.
De particular interesse é o estudo dos concretos de cimento Portland,
reforçados com fibras de aço, descontínuas, denominados CRFA. A utilização desse
compósito vem ganhando, desde os últimos anos, um grande impulso, com diversas
aplicações em obras hidráulicas, de pavimentos viários rígidos, de túneis ferroviários
e rodoviários e de pisos industriais, uma vez que o material potencialmente pode
conduzir a estruturas mais duráveis, esbeltas, e, em conseqüência, a obras mais
econômicas.
Sob um enfoque diferente daquele dado ao concreto armado convencional, as
fibras de aço descontínuas são adicionadas aos concretos, fundamentalmente com o
objetivo de modificar o regime de ruptura do material, conferindo ao material final,
uma resposta mais dúctil no regime pós-pico do carregamento.
3
Nos concretos não reforçados (concretos simples), a propagação instável da
fissura ocorre logo após a sua nucleação. Já nos CRFA, essas fissuras são
atravessadas (ou “costuradas”) pelas fibras, de tal forma que passam a ser arrestadas.
Portanto, os mecanismos de transferência de tensões entre as faces da fissura
conferem ao compósito a habilidade de suportar carga em níveis de deslocamentos
muito superiores àqueles onde a fissuração da matriz é verificada. Por outro lado, o
fraturamento terá lugar somente após a dissipação de uma parcela substancial de
energia, normalmente envolvida com o processo de arrancamento ou pull-out das
fibras de aço.
Sendo assim, as restrições à abertura e propagação de fissuras promovidas
pelas fibras de aço, tornam o compósito mais tenaz ao aumentar sua capacidade de
absorção e dissipação de energia durante o processo de fraturamento, decorrendo do
anteriormente apontado, a grande versatilidade desse material no que diz respeito a
sua capacidade de absorção de esforços localizados de complexa determinação
analítica.
Por sua vez, a abertura de uma fissura liga-se à profundidade da
descontinuidade geométrica a ela associada, ao comprometimento dos níveis de
recobrimento de armaduras, à diminuição das seções resistentes ou ao aumento da
permeabilidade estrutural. Desta maneira, um determinado nível de deslocamento
estrutural e, por conseqüência, a Tenacidade Flexional do material, passam a ser
vistos sob um outro enfoque, o da limitação da abertura das fissuras até níveis
estruturais, funcionais ou esteticamente aceitáveis, indicando que o entrelaçamento
entre os estudos da Tenacidade Flexional e da Tenacidade ao Fraturamento, parece
inevitável.
Portanto, a necessidade de aprofundamento dos conhecimentos relativos aos
complexos mecanismos envolvidos na fissuração e fraturamento de materiais de
ruptura quase frágil, bem como a necessidade de determinação dos valores de
Tenacidade e Tenacidade ao Fraturamento destes materiais com o intuito de aferir-se
não só diretrizes de projeto assim como níveis mínimos de tenacidade como
4
parâmetro de qualidade para o recebimento e aceitação do material, torna imperativo
o desenvolvimento de um programa continuado de investigações voltadas ao
desenvolvimento de técnicas apropriadas de ensaios, que viabilizem a determinação
destas importantes propriedades mecânicas do material, de forma prática, econômica
e principalmente, factível.
Ao lado dos estudos teóricos da Mecânica do Fraturamento e da perspectiva
de aplicação dos conceitos fundamentais que dela decorrem aos materiais
anteriormente discutidos, o avanço na direção desse aprofundamento é o que se
pretende nesta pesquisa. Com o discernimento de que esta tese deva ser entendida
essencialmente como um trabalho de Mecânica da Fratura, os principais objetivos
passam a ser apresentados:
A) Modelagem analítica e computacional das Curvas de Resistência ao Fraturamento
do concreto simples e do concreto reforçado com fibras de aço, dentro da
abordagem da Mecânica do Fraturamento Elástico Linear, subentendendo:
•
Investigação da fissuração e do fraturamento unidimensionais através da
utilização de respostas de vigas entalhadas, solicitadas à flexão em três pontos.
• Investigação do fraturamento bidimensional, através da utilização de respostas
obtidas em ensaios executados com um novo corpo-de-prova, apresentado no
item seguinte.
B) Adaptação, para ensaios de fraturamento do concreto e outros materiais
assemelhados, do cilindro padrão de 150mm x 300mm preconizado pela ABNT
(Associação Brasileira de Normas Técnicas) para ensaios de determinação das
resistências do concreto à compressão simples e à tração (indireta), ao corpo-deprova denominado chevron-bending, adotado pela ISRM (International Society
for Rock Mechanics) para ensaios de determinação da Tenacidade ao
Fraturamento de rochas, corpo-de-prova que apresenta um entalhe central do tipo
chevron, ilustrado na Fig. 1 e discutido no capítulo 5 deste trabalho.
5
Figura 1 – Corpo-de-prova cilíndrico com entalhe em “V”.
As
investigações
relativas
a
essa
adaptação
subentenderam
o
desenvolvimento das atividades a seguir relacionadas:
•
Desenvolvimento e construção de aparatos destinados ao apoio e transmissão
de carga ao corpo-de-prova proposto.
•
Simulações numéricas tridimensionais do corpo-de-prova utilizando o
método dos elementos finitos, com vistas à otimização das condições de
apoio e carregamento do corpo-de-prova.
•
Simulação numérica do processo de fissuração e fraturamento do corpo-deprova, em três dimensões, utilizando o método dos elementos de contorno,
com vistas à calibragem da geometria proposta e determinação das equações
relevantes da Mecânica da Fratura Elástica Linear para o espécime, relativas
aos Fatores de Intensidade de Tensão e Deslocamentos de Abertura da
Entrada do Entalhe (CMOD).
C) Validação, através de análises comparativas dos resultados de Tenacidade ao
Fraturamento do concreto simples, obtidos com o corpo-de-prova proposto,
6
comparativamente àqueles obtidos através da realização de ensaios de
fraturamento de vigas convencionais, utilizando-se a metodologia preconizada
pela RILEM (1990).
1.1 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO
Abordando dois diferentes temas, o presente trabalho foi organizado em oito
capítulos, suplementados por sete Apêndices. Embora distintos, os capítulos que
constituem o trabalho acabam por interconectar-se ao longo do texto, interligando,
por conseqüência, também os temas principais.
No Capítulo 2 uma análise dos aspectos relativos aos corpos-de-prova
utilizados nos ensaios de determinação da tenacidade dos concretos, uma revisão
relativa à multiplicidade de critérios existentes para a determinação dessa
propriedade mecânica dos materiais cimentícios, assim como uma ferramenta
computacional desenvolvida para esse fim, são apresentadas. Neste capítulo, são
revistos e discutidos os principais modelos e metodologias utilizados para a
determinação da Tenacidade dos concretos e empregues ao longo do trabalho.
No Capítulo 3 é proposta a modelagem das Curvas de Resistência ao
Fraturamento, sob o enfoque da mecânica da Fratura Elástica Linear. Para tanto, as
principais equações da MFEL que relacionam as cargas aos Deslocamentos de
Abertura da Entrada do Entalhe, CMODs, e aos Deslocamentos Verticais da Linha de
Carga, δLC, são desenvolvidas. Da mesma maneira, a relação existente entre esses
deslocamentos significativos é equacionada.
Com base nas equações e relações da MFEL estabelecidas, três diferentes
modelos efetivos são propostos para a construção das curvas de resistência.
Finalmente nesse capítulo, a aplicabilidade dos conceitos da MFEL, dentro do
enfoque efetivo proposta, é analisada.
7
No Capítulo 4, as Curvas-R assim desenvolvidas são implementadas para a
análise da resistência ao fraturamento de diversos materiais cimentícios, como as
rochas, os concretos convencionais, os de alta resistência e os concretos reforçados
com fibras de aço. Neste capítulo são apresentados os resultados de um programa
experimental levado a efeito pelo autor.
O novo corpo-de-prova, com origem no chevron-bending proposto pela
ISRM para ensaios de rochas, adaptado ao cilindro convencional de (15x30) cm para
ensaios de fraturamento dos concretos e argamassas, é apresentado no Capítulo 5.
Inicialmente, as equações relativas à descrição geométrica do corpo-de-prova são
proporcionadas. Posteriormente, são apresentados novos dispositivos desenvolvidos
para a transmissão de carga e apoio do corpo-de-prova.
Em etapa posterior, duas séries de simulações numéricas tridimensionais são
desenvolvidas. A primeira delas, com vistas à determinação das condições de
transmissão de carga ao corpo-de-prova e a segunda, objetivando a simulação do
processo de fissuração e fraturamento do espécime, etapa em que a constante de
calibragem geométrica e de carregamento do corpo-de-prova é estabelecida para dois
diferentes conjuntos de condições de contorno.
Nesta etapa de simulações as equações relevantes da MFEL para o corpo-deprova, assim como as relações elásticas lineares de interesse, relativas aos CMODs e
aos Deslocamentos Verticais, são determinadas.
No Capítulo 6 uma extensão do estudo das Curvas de Resistência
desenvolvido no Capítulo 3 para as vigas convencionalmente entalhadas, é procedida
com vistas à análise bidimensional do processo de fissuração e fraturamento
utilizando o corpo-de-prova V-CEV desenvolvido, cujo desenvolvimento se
apresenta no capítulo 5.
8
No sétimo capítulo, é apresentado um programa experimental comparativo
preliminar, procedido com vistas à determinação da Tenacidade ao Fraturamento do
concreto convencional fazendo uso do novo corpo-de-prova.
O oitavo capítulo reúne as principais conclusões sobre o trabalho e apresenta
as sugestões do autor para pesquisas futuras sobre os temas abordados.
9
2. QUANTIFICAÇÃO DA TENACIDADE
De uma forma simplificada, a Tenacidade (Flexional) de um material pode
ser definida como sendo a sua capacidade de absorção de energia. A Tenacidade ao
Fraturamento, por outro lado, é a propriedade mecânica que o material apresenta de
absorver e dissipar energia durante o processo de fraturamento, indicando a
resistência por ele apresentada, em termos de intensificação de tensões, ao avanço da
fissura.
A quantificação da Tenacidade e da Tenacidade ao Fraturamento podem ser
procedidas em ensaios de diferentes naturezas, como os de Tração Direta,
Compressão Simples e de Flexão de Vigas.
Habitualmente os ensaios de determinação da Tenacidade ao Fraturamento
dos concretos, à tração direta e à compressão simples, são feitos utilizando-se
corpos-de-prova cilíndricos com diâmetros que variam desde 7,5 até 15 cm
(Hsu,1994 ; Stang, 1999). Esses cilindros envolvem pequena quantidade de material,
são de simples manuseio e fartamente disponíveis nos laboratórios e obras, por todo
o mundo.
De uma forma geral, os ensaios de tração direta são vistos com maior
simpatia para a determinação das propriedades mecânicas de interesse ao estudo da
mecânica do fraturamento dos concretos simples, especialmente no Modo I
(abertura). No caso dos concretos reforçados com fibras de aço, para a investigação
dos principais mecanismos de dissipação de energia, associados ao arrancamento
(pull-out) das fibras.
Entretanto, esses ensaios são a baixos custos e do ponto de vista técnico, de
difícil realização, se todas as variáveis relativas à forma de execução do ensaio e
interpretação dos resultados forem adequadamente consideradas.
10
Talvez a principal dificuldade associada ao ensaio de tração direta do
concreto decorra da própria natureza do material. Ainda que as deformações de
tração, na fase de resposta resiliente do material, fossem satisfatoriamente uniformes
na seção transversal do corpo-de-prova, devido à heterogeneidade desses compósitos
torna-se inevitável a ocorrência de gradientes de deformação ao longo da seção
transversal. Assim, a fissuração no regime pós-pico nunca é simétrica e a condução
do ensaio em condições de estabilidade torna-se difícil.
No caso dos concretos reforçados com fibras de aço soma-se ao fato, a
possibilidade de macrofissuração múltipla, decorrente dos complexos mecanismos de
redistribuição de tensões, promovidos pelas fibras.
Muitas tentativas foram feitas no sentido de procurar controlar esses
fenômenos, a exemplo da indução da fissuração em um plano preferencial. Isso pode
ser conseguido através da introdução de um entalhe contínuo, circunferencialmente
serrado ou moldado no corpo-de-prova (Stang, 1999). No caso de entalhes
circunferenciais serrados, o processo aparenta ser extremamente laborioso e muitas
vezes impreciso.
Por sua vez, os entalhes moldados mostraram-se inconvenientes, devido ao
fenômeno de segregação dos materiais que muitas vezes ocorre durante o processo
de adensamento, em especial a que se verifica com as fibras de aço (Barragán et al.,
2000). Soma-se ao anteriormente apontado, a necessidade de aparatos sofisticados
para a transmissão da carga e uma farta instrumentação do corpo-de-prova para a
realização do ensaio (Stang, 1999).
Outros corpos-de-prova, a exemplo do corpo-de-prova “em oito” (corpos-deprova de pequeno volume e com forma semelhante à de um osso), conhecido como
dog-bone usualmente requerem formas especiais e são utilizados em ensaios
específicos de arrancamento ou pull-out de fibras de aço. Já o ensaio indireto de
tração (Split-Cylinder Test ou Ensaio Brasileiro) dado à sua simplicidade de
execução, apresenta-se como uma alternativa aparente para a determinação
11
experimental de parâmetros de tenacidade dos concretos, se realizados sob condições
de controle dos deslocamentos, em ciclo fechado com a aplicação da carga. Os
complexos mecanismos de ruptura de materiais cimentícios verificados nesse tipo de
ensaio, especialmente aqueles relacionados com o regime de pós-pico da ruptura
foram investigados por diversos pesquisadores, dentre eles por Rocco et al. (1998).
Nesse trabalho conclui-se que a ruptura do corpo-de-prova acontece através de dois
diferentes mecanismos.
O mecanismo principal, associado à coalescência das microfissuras (que
constituem a zona de processo inelásticos) e a formação da macrofissura (fissura
principal que se verifica no centro do corpo-de-prova), é governado pela máxima
tensão de tração, normal ao plano de carregamento.
O mecanismo subseqüente, responsável pela formação de macrofissuras
secundárias (paralelas à fissura principal) em ambos os lados do plano de
carregamento, acontece somente após a carga máxima e é responsável por um
segundo pico de carregamento, cujo valor depende das dimensões do espécime e da
largura da faixa de carregamento, podendo, inclusive, governar a carga máxima do
ensaio.
Já os CRFA apresentam, para o mesmo corpo-de-prova, um plano de
fraturamento bem definido, eventualmente justificado pela atuação das fibras na
redistribuição de tensões na fase pós-pico do carregamento. A primeira utilização
desse tipo de ensaio, com vistas a determinação de parâmetros de tenacidade do
CRFA, foi apresentado recentemente por Carmona et al. (1998).
Por outro lado os ensaios de flexão, por serem de execução mais simples que
os ensaios de tração direta, tanto para concretos simples como para os concretos
reforçados com fibras de aço e talvez por simularem mais realisticamente as
condições de solicitação de muitas situações práticas (Barr et al., 1996), ganharam
maior popularidade. Esse assunto passará a ser discutido nos próximos capítulos
deste trabalho.
12
2.1 Aspectos relativos aos corpos-de-prova utilizados nos ensaios de
flexão
Os corpos-de-prova destinados à determinação da Tenacidade do CRFA de
acordo com a maioria das normas e recomendações atuais são habitualmente
prismáticos, não entalhados e predominantemente ensaiados à flexão em 4 pontos,
sob condições de deslocamento controlado. Durante o processo de carregamento, o
terço central do corpo-de-prova encontra-se submetido a um estado de flexão pura
(sem cisalhamento transversal), podendo a localização da deformação ocorrer em
qualquer posição (ou várias) ao longo da extensão onde o momento fletor é
constante.
Já para a determinação da Tenacidade ao Fraturamento dos concretos simples,
são habitualmente utilizados corpos-de-prova prismáticos dotados de entalhes retos
passantes, ensaiados à flexão em 3 pontos, freqüentemente sob condições de controle
do Deslocamento de Abertura da Entrada do Entalhe, CMOD (Karihaloo e
Nalathambi, 1991), conceito que recentemente foi estendido aos ensaios de
determinação da tenacidade dos concretos reforçados com fibras de aço pela RILEM,
a ser discutido no capítulo 2.2.
2.1.1 Corpos-de-prova entalhados e não entalhados
Para o concreto simples, durante a solicitação em 3 pontos de um corpo-deprova entalhado (ao contrário dos corpos-de-prova não entalhados), a deformação é
sempre localizada no plano que contém o entalhe e a dissipação da energia é
predominantemente planar. Abstrai-se deste raciocínio, a característica volumétrica
da zona de processos inelásticos (Hu e Wittmann, 1992) ou seja, a dissipação
energética que ocorre ao longo da largura da banda de microfissuração. Dessa
maneira, o restante do corpo-de-prova não apresenta deformações inelásticas
13
significativas, e como conseqüência, a dissipação energética volumétrica (que ocorre
predominantemente na fase pré-pico de carregamento), é minimizada.
Desconsiderando ainda a parcela de energia que inevitavelmente é dissipada
nos pontos de contato do corpo-de-prova (Karihaloo e Nalathambi, 1991; Guinea, et
al, 1992; Shah et al., 1995), toda a energia absorvida durante o ensaio pode ser
diretamente atribuída ao fraturamento ao longo do “plano” do entalhe e
correlacionada à resposta do material e aos seus parâmetros de fraturamento
(Gopalaratnam e Gettu, 1995). Assim, o corpo-de-prova entalhado possibilita, de
uma maneira mais fundamental, a avaliação de propriedades relacionadas
à
capacidade do compósito de dissipar energia (Gopalaratnam e Gettu, 1995a, b; Barr,
et al., 1996; Saldívar, 1999).
Como mencionado, os corpos-de-prova solicitados à flexão em 4 pontos
exibem um comportamento diferente. Usualmente a fissuração, que ocasionalmente
ocorre no centro do vão, na maioria das vezes tem início numa das arestas da face
inferior do corpo-de-prova. Essa propagação assimétrica da fissura, quase sempre
acompanhada de um estado múltiplo de fissuração (macrofissuras), ocasiona a
descompensação dos deslocamentos verticais relativos das arestas longitudinais
superiores do corpo-de-prova, dificultando um procedimento adequado da medida
dos deslocamentos verticais ou introduzindo erros de valores não desprezíveis nos
resultados dos ensaios (Barr et al., 1996).
Observe-se ainda que esses ensaios requerem carregamentos externos mais
elevados, comparativamente ao ensaio de flexão em 3 pontos. Naturalmente, maiores
valores de carregamento ocasionarão maiores dissipações volumétricas de energia
bem como a dissipação uma parcela maior de energia nos pontos de contato do
corpo-de-prova. Ainda, o aumento do número de pontos de contato faz também
aumentar as imprecisões nas atividades de ensaio.
Não obstante serem evidentes as vantagens apresentadas pelos corpos-deprova entalhados relativamente aos demais, especialmente em situações onde a
14
solicitação de flexão é feita em 3 pontos, somente recentemente esses espécimes
foram prescritos pela RILEM TC 162-TDF, para utilização em ensaios de concretos
reforçados com fibras de aço.
Trata-se de uma viga retangular com 150mm x 150mm x 550mm, 500mm de
vão-livre e um entalhe central reto, passante, com profundidade de 25mm (largura de
3mm). O corpo-de-prova é solicitado à flexão em 3 pontos e o ensaio controlado pela
imposição de uma taxa de deslocamento vertical ou, opcionalmente, pela taxa de
abertura da entrada do entalhe (CMOD), conforme ilustrado na Fig. 2.1.1-1.
Figura 2.1.1-1 –Corpo-de-prova adotado pela RILEM
Mesmo significando um grande avanço para ensaios de tenacidade do CRFA,
os corpos-de-prova dotados de entalhes retos passantes esbarram há tempos, em
diversas dificuldades, dentre as quais se destaca a questão do desconhecimento da
posição de início da fissura. Muitas vezes, em decorrência de pequenas
excentricidades do carregamento ou de condições de apoio não adequadas, verificase o fenômeno de crescimento lateral da fissura.
Figura 2.1.1-2 –Crescimento lateral da fissura (viga com entalhe reto passante).
15
2.1.2 Corpos-de-prova com entalhes em “V” (chevron notch)
Sabe-se que os conceitos envolvidos na utilização de entalhes em “V” em
ensaios de corpos-de-prova submetidos à flexão amadureceram desde os primeiros
experimentos levados a efeito por Nakayama (1965) apud Newman (1984),
objetivando a determinação do trabalho de fraturamento, WF. Na ocasião foram
utilizados espécimes prismáticos de seção retangular com entalhes assimétricos em
“V”, conforme ilustra a Fig. 2.1.2-1.
Figura 2.1.2-1 – Corpo-de-prova com entalhe assimétrico em “V”.
Posteriormente Tattersall e Tappin (1966), apud Newman (1984),
propuseram a primeira geometria com entalhe em “V”, simétrico relativamente ao
plano de carregamento do corpo-de-prova. A Fig. 2.1.2-2 ilustra esse tipo de
espécime, solicitado à flexão em 3 pontos.
Figura 2.1.2 -2 – Viga de seção retangular com entalhe em “V”.
16
Os corpos-de-prova com entalhe em forma de “V” (chevron notch ou Vnotch), apresentam algumas vantagens relativamente àqueles com entalhes retos
passantes. Aparentemente, a principal delas é o maior nível de confiabilidade que se
tem relativamente à trajetória de crescimento da fissura, uma vez que, em princípio, a
mesma inicia-se na ponta do entalhe.
Sob a óptica da mecânica do fraturamento, outros aspectos de relevância se
apresentam. Durante os ensaios de fraturamento, o entalhe em forma de “V”
proporciona uma pré-fissuração natural e estável, uma vez que a geometria do
entalhe proporciona frontes crescentes para a fissura. Ainda, para materiais de
resposta elástica linear, a Tenacidade ao Fraturamento, KIC, do material, obtida
utilizando-se esse tipo de corpo-de-prova, é função exclusiva da carga máxima
obtida no ensaio, Pmax, da geometria e da forma de carregamento do corpo-de-prova.
Munz et al. (1980), utilizaram este tipo de corpo-de-prova para a
determinação da tenacidade ao fraturamento da alumina (Al2O3). Na ocasião
analisaram a Tenacidade ao Fraturamento do material fazendo uso do que se
denomina Hipótese da Fissura Reta Passante (Straight-Through Crack Assumption),
hipótese denominada HFR ao longo deste trabalho.
Essa hipótese admite, como uma primeira aproximação, que a taxa de
variação da flexibilidade do corpo-de-prova com entalhe em “V”, relativamente à
extensão da fissura, ∂CV/∂ α, pode ser considerada idêntica àquela verificada para
um corpo-de-prova com entalhe reto passante. Krause e Fuller (1984), para a
determinação da Tenacidade ao Fraturamento, KIC, de concretos poliméricos em
ensaios de flexão em quatro pontos, também lançaram mão da HFR.
Bluhm (1975), levou a efeito o primeiro procedimento analítico rigoroso do
espécime, tratando a seção transversal do corpo-de-prova contendo o entalhe, como
uma série de “fatias”, estudando os efeitos da flexão e do cisalhamento na
17
flexibilidade de cada uma delas e posteriormente avaliando a flexibilidade total do
corpo-de-prova.
Com efeito, Newman (1984), observa, após detalhada revisão histórica da
utilização de corpos-de-prova dotados de entalhes do tipo chevron notch submetidos
à flexão, que as metodologias de Bluhm e Munz para a determinação da tenacidade
ao fraturamento apresentam ainda, resultados bastante divergentes daqueles obtidos
através de calibragens experimentais.
Na oportunidade, o autor afirma que os resultados obtidos utilizando-se os
modelos anteriormente descritos, não foram comparados a resultados de uma análise
elástica tridimensional rigorosa.
Observa-se ainda que as pesquisas relacionadas à utilização de vigas
retangulares com esse tipo de entalhe como corpos-de-prova destinados à avaliação
da Tenacidade ao Fraturamento dos concretos não evoluíram significativamente
desde a realização dos últimos trabalhos citados.
A Fig. 2.1.2-3 ilustra uma série de vigas tridimensionalmente similares com
entalhe em “V”, ensaiadas pelo autor em 1998 (pesquisa não publicada) para a
investigação do efeito de escala do corpo-de-prova sobre os resultados de Tenacidade
ao Fraturamento do concreto simples.
Figura 2.1.2-3 Corpos-de-prova tridimensionalmente similares, com entalhes em “V”.
18
Alternativamente às vigas com entalhes centrais em “V”, Barker, (1979)
pesquisou a Tenacidade ao Fraturamento de metais em condições de estado plano de
deformação e sugeriu a utilização de corpos-de-prova destinados à determinação da
tenacidade ao fraturamento, na carga máxima. Esse espécime, denominado Cilindro
com Entalhe em “V” ou simplesmente CEV (internacionalmente conhecido como
short rod) teve desde então, grande aceitação nos meios técnicos e científicos. A Fig.
2.1.2-4 ilustra, esquematicamente, o corpo-de-prova e diferentes formas de
carregamento para a realização do ensaio.
Figura 2.1.2-4 - Corpo-de-prova do tipo CEV. Geometria e maneiras usuais de carregamento.
A primeira aplicação prática desse tipo de corpo-de-prova na determinação da
Tenacidade ao Fraturamento do concreto deu-se em 1983, em pesquisas conduzidas
por Catalano (1983) dentro de uma abordagem da Mecânica do Fraturamento
Elástico Linear. Posteriormente, o processo de fraturamento do corpo-de-prova foi
simulado computacionalmente, em três dimensões, por Bittencourt (1994, 1995),
ocasião em que se estabeleceu um avanço ao considerar-se nas simulações numéricas
o comportamento inelástico do compósito.
No Brasil, as primeiras experiências relativas à adaptação e utilização desse
tipo de corpo-de-prova para a determinação da tenacidade ao fraturamento de
concretos e argamassas foram levada a efeito por Santos (1998) ocasião em que a
19
técnica de Abertura Diametral por Tração Direta foi utilizada (Fig. 2.1.2-4a). A Fig.
2.1.2-5 ilustra os primeiros corpos-de-prova produzidos no Brasil utilizando formas
de moldagem e técnicas de transmissão de carga desenvolvidas pelo autor e por
Santos em 1997.
Figura 2.1.2-5 – Primeiros corpos-de-prova do tipo CEV moldados no Brasil.
Nos Estados Unidos, outras experiências ocorreram dentro de um programa
de cooperação internacional conduzidas por Ingraffea (Hanson e Ingraffea, 1997 e
1998) e por Hanson (2000). Nessas oportunidades a técnica de Abertura Diametral
por Compressão Excêntrica Simétrica foi utilizada (Fig.2.1.2-4, b).
Nos anos de 1998 e 1999, Bittencourt e pesquisadores da Escola Politécnica
da Universidade de São Paulo (dentre os quais o autor), também fizeram uso dessa
técnica, implementando ainda os procedimentos de ensaios preconizados por
Tschegg (1990), de Abertura Diametral por Encunhamento, conforme ilustrado na
Fig. 2.1.2-4, c.
Sobre os corpos-de-prova com entalhes em “V”, se falará, de forma mais
detida, no capítulo 5.
20
2.2 A multiplicidade de critérios de avaliação dos parâmetros de
Tenacidade do CRFA
De forma geral, a determinação da tenacidade dos CRFA vem sendo procedida
em ensaios de flexão de vigas, em 3 ou 4 pontos, com a tomada das cargas e
Deslocamentos Verticais, δ,
em ensaios conduzidos sob condições de controle
desses deslocamentos ou do deslocamento de abertura da entrada do entalhe, CMOD.
Entretanto, os critérios de avaliação da tenacidade, segundo as normas e
recomendações existentes, são bastante diferentes, podendo ser enquadrados em 3
grupos principais:
•
Índices Energéticos Adimensionais
•
Capacidade de absorção de Energia
•
Resistências Flexionais Equivalentes
Outros parâmetros como Resistências Residuais e os Índices Adimensionais de
Resistência são também sugeridos.
Índices Energéticos Adimensionais.
Os índices adimensionais relativos à capacidade de absorção de energia são
determinados relacionando-se a área sob o diagrama Carga-Deslocamento Vertical,
delimitada por uma posição de deslocamento previamente estabelecida e a área, sob
o mesmo diagrama, computada na posição onde se verifica o Deslocamento de
Primeira Fissura, δf.
Por definição o Deslocamento de Primeira Fissura é a posição de
deslocamento onde o diagrama do ensaio apresenta o primeiro desvio brusco da
linearidade, em tese, o final da fase resiliente da resposta. Entende-se por resiliência,
a propriedade que o material apresenta de deformar-se em regime elástico. Assim,
21
para o concreto e para o CRFA a noção de Deslocamento de Primeira Fissura
constitui uma aproximação simplificadora, tecnicamente aceita dessa definição.
O estabelecimento do nível de deslocamento que delimita a área a ser
relacionada, ou seja, o deslocamento limite, vem sendo procedido de diferentes
maneiras. O ACI (ACI 544 4R,1998) por exemplo, adota um limite arbitrariamente
fixado em 1.9mm (0.075 in), conforme ilustrado na Fig. 2.2.-1.
Figura 2.2-1 – Critérios do ACI para a determinação de parâmetros de tenacidade
Outro índice recomendado pelo ACI e denominado It, aparentemente mais
efetivo para a avaliação da contribuição das fibras no aumento da capacidade de
absorção de energia do compósito, é definido pela relação entre a energia absorvida
por um corpo-de-prova de CRFM e a capacidade de absorção de energia de um
corpo-de-prova construído com o mesmo concreto, entretanto não reforçado com
fibras, ensaiados até a ruptura total.
A ASTM C1018-94b (1994) fixou níveis de deslocamento, múltiplos do
Deslocamento de Primeira Fissura, 3δf, 5.5δf e 10.5δf. Esses deslocamentos
conduzem aos índices I5, I10 e I20, ou seja, áreas sob o diagrama 5, 10 e 20 vezes
maiores que a área sob o diagrama, no Deslocamento de Primeira Fissura, para um
material de comportamento elasto-plástico perfeito.
22
A norma Espanhola, por outro lado, fixa um deslocamento limite da ordem de
15.5δf que conduz a uma área 30 vezes maior que a do deslocamento de primeira
fissura, talvez por admitir que os índices adimensionais só reflitam a tenacidade do
CRFA, quando avaliados em níveis de deslocamento mais elevados.
Figura 2.2-2 – Critérios da ASTM para a determinação de parâmetros de tenacidade
Relativamente aos índices adimensionais, Gopalaratnam e Gettu (1995)
lembram que, mesmo aparentemente não apresentando comportamento dependente
da escala do corpo-de-prova (em condições de pequenos deslocamentos), em
princípio, esses índices não podem ser vistos como independentes de tamanho, uma
vez que a resistência e a ductilidade de compósitos cimentícios de ruptura quasefrágil são, por natureza, dependentes de escala.
Ainda, os deslocamentos que delimitam as áreas deveriam ser baseados em
limites de utilização, específicos de cada aplicação estrutural do CRFA.
23
Capacidade de Absorção de Energia.
A capacidade de absorção de energia, entendida como a área sob a curva P-δ,
talvez seja o parâmetro de tenacidade mais difundido e dentre outros adotado pela
Alemanha, Bélgica, Holanda e Japão. Habitualmente o deslocamento máximo para a
avaliação da tenacidade é uma fração do vão-livre e em recomendações mais
recentes como as da RILEM TC 162-TDF (baseada nas normas alemãs), a
contribuição das fibras para a tenacidade do compósito é diretamente avaliada
através da subtração da parcela de tenacidade proveniente da resposta da matriz. Esse
conceito está ilustrado na Fig. 2.2-3.
Figura 2.2-3 – Critérios da RILEM para avaliação da parcela de tenacidade devidas às fibras.
De acordo com a RILEM TC 162-TDF (em impressão), as parcelas de
tenacidade são transformadas em Forças Médias para os dois diferentes níveis de
deslocamento, δ2 e δ3, por meio das seguintes equações:
24
F2 =
F3 =
f
DBZ
, 2, I
0.65
DBZf ,3, I
2.65
+
+
f
DBZ
, 2 , II
0.50
(2.2-1)
DBZf ,3, II
2.50
(2.2-2)
Para que as equações anteriores possam ser diretamente utilizadas, observa-se
a necessidade de que os Deslocamentos sejam expressos em milímetros e que a
Tenacidade (área sob a curva) seja computada utilizando-se a mesma unidade.
Assim, as grandezas F2 e F3 representam valores médios (efetivos) das forças
verificadas durante o ensaio, para os níveis de deslocamento pré-estabelecidos.
Observa-se ainda que os divisores 0,50 e 0,65 apresentados na equação 2.2-1
para a determinação de F2, incorporam ao deslocamento limite, δ2, respectivamente,
a parcela de 50% e a totalidade do deslocamento máximo padrão convencionado para
o caminho de amolecimento do concreto (0,3mm), fato que também ocorre com a
equação 2.2-2.
Posteriormente esses valores de Forças são utilizados para o cálculo de
Momentos e Resistências Flexionais Equivalentes.
Relativamente ao pico de carregamento e seguindo uma tendência européia, a
RILEM descartou o conceito de Força de Primeira Fissura e passou a adotar a Carga
Máxima de Offset ou simplesmente Carga Máxima de Afastamento. Esse nível de
carregamento é definido como sendo a máxima carga verificada dentro do intervalo
limitado por um deslocamento de valor pré-fixado (offset), calculada com o auxílio
de uma reta paralela à tangente inicial, passando pelo ponto que caracteriza o
deslocamento convencional. A Carga Máxima de Afastamento é ilustrada, para
CRFA de diferentes comportamentos, na Fig. 2.2-4.
25
Figura 2.2.4 – Cargas Máxima de Afastamento para compósitos de diferentes comportamentos.
Resistências Flexionais Equivalentes e Momentos Fletores no centro do vão.
Considerada por diversos pesquisadores, a exemplo de Gopalaratnam e Gettu
(1995), como a melhor proposta para a implementação prática do projeto estrutural
baseado na tenacidade, o conceito de resistência flexional equivalente foi
inicialmente adotado pelos japoneses e posteriormente pelos Holandeses, Belgas e
Alemães. Recentemente a RILEM o incorporou em suas recomendações para CRFA.
Nesse caso específico, as resistências equivalentes, avaliadas em dois níveis de
deslocamentos, são dadas por:
f eq.2 =
1.5.F2 .S
2
B.hsup
(2.2-3)
f eq.3 =
1.5.F3 .S
2
B.hsup
(2.2-4)
26
onde:
F= Força média ou equivalente;
S= Vão-livre da viga;
B= Base da viga;
hSUP = Altura do ligamento (altura da viga menos a profundidade do entalhe).
As equações anteriores refletem o tratamento linear dado à distribuição de
tensões na seção transversal da viga, conforme ilustra a Fig. 2.2-5. Observa-se que no
cálculo dessas grandezas, o módulo ou momento resistente da seção, mesmo a
elevados níveis de deslocamentos, é considerado com base na extensão primitiva do
ligamento (ligamento não fissurado), o que naturalmente conduz a resultados de
resistência bastante conservadores.
Figura 2.2-5 – Distribuição de tensões na seção transversal.
As equações 2.2-3 e 2.2-4 da RILEM são equivalentes à equação apresentada
nas recomendações do JCI (1984) e da JSCE (1984), para ensaios de flexão em 4
pontos de vigas não entalhadas. Nesse último caso, o deslocamento limite é fixado
em função do vão-livre. O Fator de tenacidade flexional recomendado pela JSCE é
dado por:
27
σB =
T
δ 150
.
S
B.W 2
(2.2-5)
onde:
‗
σB = Fator de tenacidade flexional;
T
= Área sob o diagrama, delimitada pelo deslocamento de valor S/150;
δ150= S/150;
S
= Vão-livre da viga;
W = Altura da viga.
A resistência flexional, nesse caso será dada por:
σb =
PS
B.W 2
(2.2-5a)
onde P é a carga máxima do ensaio. Essa última equação equivale, de certa forma, às
equações 2.2-3 e 2.2-4 da RILEM.
Relativamente aos momentos Fletores no centro do vão, correspondentes às
forças médias F2 e F3, a RILEM sugere a utilização das expressões que se seguem:
M2 =
F2 .S
4
(2.2-6)
M3 =
F3 .S
4
(2.2-7)
28
2.3 Implementação computacional da avaliação da tenacidade do
CRFA
Como parte integrante das pesquisas em desenvolvimento, relativas ao
Concreto Reforçado com Fibras de Aço encontra-se a normalização de ensaios de
avaliação das respostas mecânicas do material, em especial, a Tenacidade do
compósito.
Entretanto, a análise das informações que decorrem dos ensaios, necessárias à
determinação de parâmetros de tenacidade, tais como as áreas sob as curvas P x δ, os
Índices Adimensionais e em especial as Cargas e Deslocamentos de Primeira Fissura,
transforma-se na maioria das vezes em tarefa tediosa, imprecisa, subjetiva e também
influenciável pela decisão do analista (Chen et al., 1994; Saldívar, 1999;
Gopalaratnam et al. 1995, a; Barr et al., 1996).
Neste capítulo, uma ferramenta computacional denominada TENAC (Ferreira
et al., 2000) com recursos gráficos que possibilitam ao usuário, de forma interativa,
analisar as informações obtidas em ensaios de flexão de vigas é apresentada em seus
aspectos relevantes.
As análises automatizadas são feitas com base nas atuais recomendações da
ASTM, e nos novos critérios da RILEM TC 162-TDF, já discutidas anteriormente.
Concebida com a finalidade específica de auxiliar no desenvolvimento do
desta tese, a primeira versão programa TENAC encontra-se ainda em fase de
desenvolvimento, implementação de novos recursos e especialmente de testes com
vistas a depuração de erros.
O programa foi originalmente escrito com o auxílio da linguagem FORTRAN
90/95 e até que o mesmo atinja um nível mais elevado de desempenho, os displays
de tela apresentarão a desvantagem de não fazerem uso de caixas de diálogo, menus
automáticos ou de outras ferramentas gráficas sofisticadas. Durante a operação do
29
programa, todos os comandos são executados a partir de um menu variável que se
apresenta de forma contínua, na janela principal.
As análises são executadas diretamente a partir dos arquivos de dados dos
ensaios, aos quais são acrescentadas, unicamente, informações relativas à geometria
do corpo-de-prova. As principais implementações destinadas ao processo de análise,
passam a ser descritas.
Linearização da primeira rampa ascendente da curva P–δ
Tanto os concretos comuns como os concretos reforçados com fibras de aço,
usualmente apresentam, durante o ensaio de flexão em três pontos, uma fase onde a
microfissuração é dispersa e a resposta do material, aproximadamente resiliente.
Assim, do ponto de vista prático, eventuais não linearidades podem ser ignoradas
(Shah et al., 1995; Brandt, 1995).
Entretanto, mesmo dentro da fase supostamente resiliente da resposta, os
pares P-δ obtidos nos ensaios não são perfeitamente (ou satisfatoriamente) alinhados.
Para a regularização da rampa inicial de carregamento, objetivando a determinação
de um caminho médio que melhor represente a resposta do material na fase inicial do
ensaio, o programa executa uma regressão linear pelo método dos Mínimos
Quadrados.
A regressão linear é procedida após a definição de um intervalo de
carregamento, representado por dois pares P-δ que constituem os limites, superior e
inferior desse intervalo. O limite inferior de carregamento foi pré-fixado em 15% da
carga máxima.
30
O limite superior, por outro lado, pode ser definido de duas maneiras
distintas: A adoção automática de 50% da carga máxima atingida no ensaio ou um
par P-δ, qualquer, definido pelo usuário através de seleção gráfica.
O primeiro critério implementado, usualmente conduz a bons resultados no
caso de corpos-de-prova de concretos com conteúdos de fibra baixos ou moderados.
Nesse caso verifica-se um único máximo de carregamento durante o ensaio, bem
como a inexistência de “pseudo encruamento” na fase pós-pico (concretos A e B
ilustrados na Fig. 2.3-1).
Por outro lado, para teores elevados de fibras de aço, os corpos-de-prova
usualmente apresentam mais de um máximo local de carregamento ao longo do
ensaio.
Assim, a seleção automática da Carga de Primeiro Pico (First Peak Load)
poderia conduzir a soluções imprecisas ou mesmo erradas. Nesse caso, a seleção do
nível máximo de carga para a definição do extremo superior do intervalo de
regressão deve ser feita pelo usuário, para maior exatidão, manualmente (concreto C,
na Fig. 2.3-1).
As ferramentas gráficas disponibilizadas no programa para a ampliação das
escalas dos eixos ordenados do diagrama resultante do ensaio permitem a
visualização de detalhes do ensaio, viabilizando a escolha arbitrária do ponto
ordenado (Carga e Deslocamento), com o auxílio do mouse.
31
Figura 2.3-1 – Diagramas Pxδ para concreto com diferentes teores de fibras de aço.
A Fig. 2.3-2 ilustra a tangente inicial calculada pelo programa TENAC, com base no
critério da carga máxima do ensaio.
Figura 2.3-2 – Tangente à rampa ascendente, calculada pelo programa TENAC.
32
Correção da Curva Original
Como é sabido, é muito difícil, ou mesmo impossível iniciar um ensaio
laboratorial no nível zero de Carga e/ou deslocamento (Hillerborg,1985; ASTM,
1994).
Da mesma forma, efeitos iniciais devidos à acomodação do corpo-de-prova
devem ser corrigidos (Johnston, 1982). Para prevenir a influência dessas anomalias
no processo global de análise, todos os pares P-δ têm o seu deslocamento corrigido
através da soma ou subtração do valor da raiz da equação da reta de regressão
(indicativa do afastamento da curva relativamente à origem).
Para considerar ainda que a curva experimental pode ser côncava ou convexa
para cima em seu trecho inicial conforme ilustra a Fig. 2.3-3 (ASTM, 1994) e uma
vez que após a correção dos deslocamentos a curva passa a “tender” para a origem,
todos os pares de dados apresentando carga menor que 50% da Carga Máxima de
Primeiro Pico, são, para fins de análise da tenacidade, eliminados da base de dados.
Figura 2.3-3 – Curva côncava e convexa para cima – Diagrama Pxδ.
33
Carga e Deslocamento de Primeira Fissura
A denominada Tangente de Primeira Fissura é a reta que passa pelo ponto
onde supostamente ocorre a localização da deformação. Essa reta tangente é fixada
para a determinação da Carga e do Deslocamento de Primeira Fissura, informações
necessárias aos cálculos da tenacidade utilizando-se a metodologia da ASTM.
Para a determinação do valor dessa carga o programa utiliza uma técnica
baseada na análise das tangentes à curva ascendente, passando por diversos pontos,
até a Carga Máxima de Primeiro Pico. Pequenas mudanças nos coeficientes
angulares das tangentes à curva poderão ser observadas, se sucessivas regressões
lineares utilizando pares de dados superiores a 50% da Carga Máxima de Primeiro
Pico forem procedidas.
O programa TENAC executa esses sucessivos ajustes usando 7 pontos de
dados por vez (um máximo, um mínimo e outros 5 dentro do intervalo), desde 50%
até 97.5% da Carga Máxima de Primeiro Pico, conforme ilustra a Fig. 2.3-4. O
coeficiente angular ai de cada ajuste é armazenado para ser comparado
posteriormente com o coeficiente angular ai+1 da regressão posterior, formando um
conjunto de Taxas de Variação dos Coeficientes Angulares entre ajustes sucessivos.
Observou-se que após uma significativa quantidade de mudança na inclinação
da reta, algo próximo de 70% da inclinação da tangente inicial, as Taxas de Mudança
dos coeficientes angulares sofrem um aumento abrupto, acompanhado de uma
diminuição também significativa do Coeficiente de Correlação Linear, r, do ajuste. O
local onde ocorre a maior Taxa Negativa de Mudança do Coeficiente Angular, que é
da ordem de 50% da inicial, é assumido como o ponto de localização da deformação,
ou seja, a Carga de Primeira Fissura, conforme se observa na Fig. 2.3-5.
34
Figura 2.3-4 – Ajustes sucessivos para a determinação da Carga de Primeira Fissura
Figura 2.3-5 - Taxas de mudança dos Coeficientes Angulares das retas dos ajustes sucessivos.
É importante observar que a técnica de cálculo automático da Força de
Primeira Fissura adotada mostrou-se eficaz para uma série de curvas experimentais
analisadas durante o desenvolvimento do programa, originária dos experimentos
conduzidos por Saldívar (1999). Esses ensaios, realizados na Universitat Politècnica
de Catalunya, foram levados a efeito sob condições severas de controle de
35
deslocamentos, de ajuste do equipamento, de ausência de ruídos no sistema fechado
que controla a Carga em função da Taxa de Deslocamento imposta bem como
utilizando-se um tempo para a carga máxima (time-to-peak-load) bastante favorável,
o que viabilizou a aquisição de um grande volume de informações, antes da Carga
Máxima de Primeiro Pico.
A Fig.2.3-6 traz um display do programa, com a
ilustração da tangente de primeira fissura.
Figura 2.3-6 – Tela gerada pelo programa TENAC, ilustrando a tangente de primeira fissura
Não se sabe, entretanto, como essa técnica responderia sob diferentes
condições de ensaio, dimensões do corpo-de-prova ou da natureza do compósito. É
de se esperar que a mesma apresente desempenho insatisfatório ou mesmo que não
funcione em circunstâncias especiais, ainda não conhecidas. Assim, maiores
informações relativas ao desempenho do programa, transmitidas por seus possíveis
usuários, continuam sendo necessárias para o seu aprimoramento.
36
Carga Máxima de Afastamento (Carga de Offset).
A determinação da Carga Máxima de Primeiro Pico é algumas vezes tarefa
difícil devido a diversas razões, a exemplo do comportamento de “pseudo
encruamento” do material, oscilações das cargas e deslocamentos próximas à região
de instabilidade ou mesmo em decorrência do equipamento utilizado para a aquisição
de dados.
De forma a considerar essas possibilidades, muitas normas e recomendações
técnicas européias (em especial a RILEM TC 162) fazem uso da denominada Carga
Máxima de Offset. Esse nível de carregamento é definido como sendo a máxima
carga verificada dentro de um limite de deslocamento pré-fixado (offset), calculada
com o auxílio de uma reta paralela à tangente inicial (já conhecida), passando pelo
ponto que limita o deslocamento.
A determinação desse nível de carregamento foi implementada, forçando-se a
raiz da equação da reta tangente (inicial) a assumir o valor do deslocamento máximo
prescrito, ou seja, o offset. Como o coeficiente angular da reta já é conhecido das
primeiras manipulações dos dados, torna-se simples a determinação do novo ponto
de interceptação da carga (coeficiente linear da reta), boff, passando pelo
deslocamento limite.
O programa TENAC calcula seqüencialmente, usando o coeficiente da
tangente inicial e a equação da reta, todos os coeficientes lineares, bi , relativos a
todos os pontos de dados (Pi ; δi) e compara esses valores ao valor principal boff, que
passa pelo deslocamento limite. Simultaneamente e por comparação, o código
armazena o maior valor de carregamento. A rotina se encerra quando um dado valor
de bi torna-se igual ou menor que boff. A Fig. 2.3-7 mostra os diversos passos
envolvidos nessa parte da análise.
37
Figura 2.3.7 – Determinação da Carga Máxima de Afastamento (Offset) -RILEM TC 162.
Cálculo dos parâmetros de Tenacidade
Como
mencionado
anteriormente,
o
programa
TENAC
calcula
automaticamente os parâmetros de tenacidade, de conformidade com a formulação
apresentada, relativa aos critérios da ASTM e da RILEM. Os parâmetros de
deslocamentos e de tenacidade assim calculados são automaticamente gravados em
arquivos, juntamente com outras informações de interesse.
Finalmente, as Fig.2.3-8 e 2.3-9 ilustram a determinação dos parâmetros de
tenacidade flexional, para os modelos da ASTM e da RILEM.
O
Apêndice
A
deste trabalho traz uma análise completa procedida com o auxílio do programa,
juntamente com o conjunto de relatórios por ele gerados.
38
Figura 2.3-8 Parâmetros de tenacidade flexional adotados pela ASTM.
Figura 2.3-9 Parâmetros de tenacidade flexional adotados pela RILEM
39
2.4 Modelo de referência para o estudo e a avaliação da Tenacidade
ao Fraturamento dos concretos
Como explicado no início do trabalho, um dos objetivos deste trabalho é
apresentação de metodologias e critérios alternativos para a avaliação da Resistência
ao Fraturamento dos concretos e materiais assemelhados, além do desenvolvimento
de um novo corpo-de-prova cilíndrico destinado à realização de ensaios de
fraturamento. Sob essa perspectiva, tornou-se necessária a escolha de uma
metodologia para a determinação da Tenacidade ao Fraturamento que fosse
suficientemente conhecida e que, ao mesmo tempo, servisse como parâmetro de
comparação para as análises de resultados, ao longo do trabalho.
Para tanto optou-se, dentre as diversas técnicas existentes, por aquela que faz
uso do Modelo dos Dois Parâmetros (Jenq e Shah, 1985, 1985a) que se apresenta a
seguir, cuja fundamentação teórica embasa as recomendações apresentadas pela
RILEM em 1990, para a determinação da tenacidade ao fraturamento dos concretos e
argamassas (RILEM, 1990) e como metodologia de ensaio um ano após (RILEM,
1991).
2.4.1 O Modelo dos Dois Parâmetros
Este modelo trata da determinação do Fator de Intensidade de Tensões
Crítico, KSIC, e do Deslocamento Crítico de Abertura da Ponta da Fissura, CTODC,
em ensaio de fraturamento de vigas solicitadas à flexão em três pontos, sob
condições de CMOD controlado.
Este modelo considera as parcelas (elástica e inelástica) que constituem a
história de deslocamentos obtida de um ensaio de Carga-Deslocamento, ou
equivalentemente, de um ensaio de Carga-CMOD, quando o corpo de prova é
40
descarregado por ocasião da obtenção da carga máxima, sob condições de CMOD
controlado.
No ensaio de flexão de vigas de concreto e de outros materiais cimentícios,
verifica-se que o diagrama Carga x Deslocamento ou, equivalentemente CargaCMOD, apresenta três fases distintas, cada uma delas significativa de uma etapa do
processo global de fraturamento, de acordo com a Fig. 2.4.1-1.
Figura 2.4.1-1 – Fases do diagrama P- CMOD de um ensaio de fraturamento
Na primeira etapa, o desenvolvimento do ramo ascendente do diagrama
P- CMOD dá-se de maneira aproximadamente linear. Assim, a micro-fissuração no
concreto ocorre de maneira dispersa e por questões de simplificação, usualmente é
desprezada. Neste estágio e por conseqüência, admite-se que também o CTOD seja
desprezível.
Num segundo estágio e com o crescimento das tensões, a microfissuração
torna-se mais acentuada, dando origem à formação da zona de processos inelásticos
(ou zona de processamento da fissura), caracterizada por uma resposta não-linear do
corpo de prova. Este processo de crescimento da fissura ocorre de forma lenta e
estável (slow stable crack growth), onde os deslocamentos inelásticos, embora
significativos, não conduziram a um CTOD crítico e, por conseqüência, o fator de
Intensidade de Tensões, KI, não atingiu o seu valor limite.
41
Este estágio é conhecido como subcrítico (ou pré-crítico) e antecede a
formação da fissura principal, que ocorre por coalescência das microfissuras. Como
se sabe, a parcela inelástica do deslocamento total deve-se a uma série de motivos,
dentre outros, a microfissuração, a fluência, o atrito associado à rugosidade das faces
da fissura e ao intertravamento geométrico do agregado.
O crescimento estável verifica-se até que se atinja um ponto crítico, onde o
CTOD assume um valor também crítico, CTODC, e o Fator de Intensidade de
Tensões, KI, atinge o valor KSIC. (s de stable, c de critical). Neste ponto, a carga do
ensaio também é máxima. A terceira e última fase descreve o regime de ruptura final
do corpo-de-prova, tendo início na carga máxima do ensaio e encerramento na
separação das partes, se o corpo-de-prova não for descarregado.
Por conseguinte, o Fator de Intensidade de Tensões Crítico, KSIC, é aquele
calculado na ponta efetiva da fissura crítica, na carga máxima do ensaio. O
Deslocamento Crítico de Abertura da Ponta da Fissura, CTODC, é definido como
sendo o deslocamento de abertura da ponta da fissura, calculado no entalhe inicial do
corpo de prova, utilizando-se a carga máxima atingida no ensaio e a extensão efetiva
da fissura.
Segundo o modelo, os dois parâmetros, KSIC e CTODC, juntamente com o
Módulo de Elasticidade, E, são suficientes à caracterização da resistência ao
fraturamento (tenacidade) e à dissipação de energia nos processos de fraturamento
dos concretos e das argamassas.
A determinação da extensão efetiva da fissura, a qual possibilita o cálculo da
Tenacidade ao Fraturamento, KIC, é procedida em duas etapas. Na primeira delas,
calcula-se o Módulo de Elasticidade, E, do material, a partir do valor da flexibilidade
inicial, Ci, (fase I do diagrama da Fig. 2.4.1-1), da forma que se segue:
42
E=
6.S .α 0
6.Pi Sα 0
g (α 0 ) =
.g (α 0 )
m
Ci .B.W
CMODi .B.W
(2.4.1-1)
Na equação anterior, W é a altura, B a base e S o vão-livre do corpo-deprova, g(α0) a Função Adimensional de Dependência Geométrica e de Carregamento
e α0=a0/W a extensão inicial do entalhe, normalizada relativamente à altura do
corpo-de-prova.
Na segunda etapa (em que a “invariabilidade” do Módulo E é admitida), com
o auxílio da mesma equação, da carga máxima do ensaio, PMAX, e da Flexibilidade
de Descarregamento, Cu, calcula-se iterativamente a extensão (efetiva) da fissura, a
(ou α = a / W), que conduz ao valor do Módulo de Elasticidade. A Fig. 2.4.1-2 ilustra
um diagrama Carga-CMOD utilizado para esses cálculos.
Figura 2.4.1-2 – Diagrama P - CMOD indicando os parâmetros de flexibilidade do corpo-de-prova
Uma vez de posse do valor efetivo da extensão da fissura, a formulação
clássica da Mecânica da Fratura Elástica Linear (discutida em detalhes no próximo
capítulo) pode ser utilizada para o cálculo de KSIC e CTODC, parâmetros que
teoricamente caracterizam o material relativamente a sua resistência ao fraturamento.
43
Esses parâmetros são calculados através das equações que se seguem:
K S IC =
1.5.PMAX .S . π .a
B.W 2
f (α )
(2.4.1-2)
e:
CTODC =
6 PMAX .S .a.g (α )
. f (α , β )
E.W 2 .B
(2.4.1-3)
sendo:
[
]
f (α , β ) = (1 − β 2 ) + (1.081 − 1.149α )(β − β 2 )
(2.4.1-4)
onde α=a /W, e β=a0/a.
A Tenacidade ao Fraturamento do concreto assim obtida é vista por diversos
pesquisadores como independente da escala do corpo-de-prova.
Neste capítulo, os aspectos relevantes relativos aos diferentes tipos de ensaio
de fraturamento e de determinação da tenacidade ao fraturamento e da tenacidade
flexional, foram discutidos. Da mesma forma, a diversidade de corpos-de-prova
destinados a esses ensaios, analisada. As vantagens e desvantagens dos corpos-deprova entalhados, comparativamente às vigas sem entalhe foram expostas e avaliadas
e os corpos-de-prova dotados de entalhes centrais em “V” (chevron notch) foram
revistos e discutidos.
A multiplicidade de parâmetros de tenacidade flexional dos CRFA, como os
Índices Energéticos Adimensionais, as Capacidades de Absorção de Energia e as
Resistências Flexionais Equivalentes, parâmetros adotados por diversas organizações
a exemplo da ACI, ASTM, RILEM e JCI, dentre outras, foram discutidos de forma
44
pormenorizada e uma ferramenta computacional desenvolvida pelo autor para o
cálculo dos parâmetros de tenacidade flexional do CRFA com base nos
procedimentos da ASTM e da RILEM, foi apresentada.
Dentro desse programa e objetivando a automação do processo de análise das
informações de ensaio, critérios para a linearização da rampa ascendente do
diagrama P-δ, para a correção do diagrama de ensaio à origem do sistema de eixos,
para a determinação da Carga de Primeira Fissura e da Carga Máxima de
Afastamento (offset) além da determinação do parâmetros propriamente ditos, foram
propostos e implementados, abrindo, dessa forma, uma nova perspectiva sobre o
assunto, a ser avaliada e aperfeiçoada no futuro.
Finalmente, com vistas ao desenvolvimento dos capítulos deste trabalho que
dizem respeito à avaliação da resistência ao fraturamento dos materiais em estudo, a
metodologia sugerida pela RILEM, fundamentada no Modelo do Dois Parâmetros,
fori apresentada em seus aspectos relevantes.
45
3. MODELAGEM DAS CURVAS DE RESISTÊNCIA SOB O
ENFOQUE DA MECÂNICA DA FRATURA ELÁSTICA LINEAR
Os processos de fissuração e fraturamento dos materiais, considerando-se os
diferentes regimes de ruptura, podem ser analisados por meio das Curvas de
Resistência.
As Curvas de Resistência, na maioria das vezes denominadas simplesmente
Curvas-R, são, em princípio, diagramas utilizados para a descrição da resistência
apresentada pelos materiais à formação e propagação da fissura, em termos de
absorção de energia (Broek, 1986; Wecharatana e Shah, 1982, 1983; Ouyang et al.,
1992).
Esses diagramas são construídos, classicamente, através da representação
gráfica da Taxa de Dissipação de Energia, R, requerida para o crescimento da fissura
e da Taxa de Liberação de Energia de Deformação devida ao crescimento da fissura,
G, em função da quantidade de avanço da fissura, ∆a. De forma análoga, podem ser
representadas em função da extensão normalizada da fissura, α, relativamente à
altura W do corpo-de-prova ou ainda em função do Deslocamento de Abertura da
Entrada do Entalhe, CMOD.
3.1 Curvas de resistência no fraturamento unidimensional
A condição necessária para que uma estrutura encontre-se em equilíbrio
durante a propagação estável de extensão infinitesimal, ∂a, de uma fissura, é que a
primeira derivada do Potencial Energético, ou seja, a derivada da Energia Potencial
Elástica, π, relativamente à extensão a da fissura, seja nula, ou seja:
46
∂
∂π
=
(U − F + W ) = 0
∂a ∂a
(3.1-1)
∂
(F − U ) = ∂W
∂a
∂a
(3.1-2)
assim:
onde:
U= Energia Potencial Elástica ou Energia de Deformação do sistema.
F= Trabalho realizado pelas forças externas.
W= Energia requerida para a formação da fissura (Energia de Decoesão).
O primeiro membro da equação 3.1-2, designado G, representa a Taxa de
Liberação de Energia, necessária à propagação de uma fissura unitária. Para uma
estrutura de espessura B tem-se, em condições críticas:
G = GC =
1 ∂
(F − U )
B ∂a
(3.1.3)
O segundo membro da equação 3.1.2, designado R, reflete a resistência do
material à propagação da fissura. Analogamente, essa grandeza pode ser equacionada
para uma estrutura de largura definida B, da forma que se segue:
R=
1 ∂W
B ∂A
(3.1-4)
resultando de 3.1.2 que:
GC = R
(3.1-5)
47
A equação 3.1.5 é um parâmetro de resistência à propagação da fissura e
dentro dos limites de aplicabilidade dos conceitos da Mecânica da Fratura Linear
Elástica pode ser rescrita em função do Fator de Intensidade de Tensão Crítico, KIC,
ou da Integral de Caminho Independente, nas mesmas condições, JIC, grandezas
matematicamente equivalentes e representativas da Tenacidade ao Fraturamento do
Material, para o Modo I de abertura em condições de Estado Plano de Tensão, da
forma que se segue:
GIC = J IC =
KI C
2
E´
(3.1-6)
ou simplesmente:
R = JR =
KR
E´
2
(3.1-7)
Para o Estado Plano de Deformações E´=E / (1-ν2).
Assim, o material entrará em colapso sempre que a Taxa de Liberação de
Energia de Energia Potencial Elástica, G, atingir um valor Crítico, Gc, ou seja, a
Tenacidade ao Fraturamento do material (Broek, 1986). No caso específico dos
materiais de resposta elástica linear, o valor de R permanece constante para
posteriores avanços da fissura, conforme indica a Fig. 3.1.1.
Figura 3.1.1 –Curva de Resistência para um material elasto-frágil
48
O equacionamento anterior tem como base a Taxa Crítica de Liberação de
Energia, GC. Entretanto, as curvas de resistência são usualmente construídas
utilizando-se os parâmetros KR e JR, não obstante o fato de ser o parâmetro GC
historicamente mais antigo.
Para os materiais de resposta inelástica ao fraturamento, o valor de R não é
uma constante e sim uma função dependente do avanço ∆a da fissura (Gross, 1990).
Nesse caso, a Taxa Crítica de Liberação de Energia, denominada Gq, é influenciada
pelo Efeito de Escala, bem como dependente da geometria estrutural (Bazant e
Pfeiffer, 1987; Bazant e Kazemi, 1990; Bazant et al.,1991; Shah et al., 1995).
Durante o processo de fissuração e fraturamento desses materiais observa-se,
em maior ou menor grau e como conseqüência da formação e desenvolvimento da
zona de processos inelásticos, a ocorrência de propagação estável da fissura, muito
antes que a fissura tenha atingido as dimensões críticas necessárias ao colapso
estrutural. Esse tipo de propagação é também denominado crescimento subcrítico da
fissura e caracteriza a resposta inelástica do material ao fraturamento, conforme
ilustrado na Fig. 3.1.2.
Figura 3.1.2 – Curva de Resistência para materiais de ruptura quase-frágil.
49
A resposta inelástica do material pode ser modelada através da consideração
de uma pressão coesiva de fechamento, σ(w), atuante nas faces da fissura.
Essa pressão de fechamento, função monotonicamente decrescente da
abertura da fissura, w, provêm de diversos e complexos mecanismos que atuam nas
faces da fissura em materiais de ruptura quase-frágil, espelhando não só a capacidade
de transmissão de tensões entre as faces da fissura, bem como a necessidade de
dissipação de uma parcela adicional (muitas vezes predominante) de energia, para
superar a ação inibidora da propagação, provocada por esses mecanismos de
fechamento.
Como exemplos são citados, dentre outros mecanismos de ganho de
tenacidade, o intertravamento ou engrenamento de grãos ou agregados, a fricção
interfacial, os arrestamentos localizados da fissura devidos a vazios, a bifurcação do
caminho de propagação da fissura e a redistribuição de tensões promovida, por
exemplo, pelas fibras de aço incorporadas ao concreto (fiber bridiging).
Um exemplo de uma fissura dessa natureza, denominada Fissura Coesiva ou
Fissura Quase-Frágil, é ilustrado na Fig. 3.1.3.
Figura 3.1.3 – Fissura coesiva
No caso dos materiais de ruptura quase-frágil, a identificação dos diferentes
estados de equilíbrio do corpo fissurado pode ser procedida a partir das derivadas
50
segundas do Potencial Energético, π. Assim, o equilíbrio por ser estudado através da
consideração da taxa de mudança da Taxa de Liberação de Energia potencial do
sistema. Da análise do equacionamento anteriormente apresentado depreende-se que:
∂π
= R−G
∂a
(3.1-8)
e:
∂ 2π
∂
=
( R − G)
2
∂a
∂a
(3.1-9)
Uma análise mais aprofundada da equação 3.1-9 conduz a três situações
distintas, relativas ao equilíbrio do corpo fissurado:
1. Se ∂2π / ∂a2 > 0 (o que requerer que
∂
∂
R − G >0), o crescimento da
∂a
∂a
fissura ocorrerá de forma estável. Assim, para que o crescimento da
fissura se verifique, haverá sempre a necessidade de aumento do trabalho
externo. Em outras palavras, a propagação cessará se a força externa
diminuir.
2. Se ∂2π / ∂a2 = 0 (implicando também que
∂
∂
R − G = 0 ), ocorrerá uma
∂a
∂a
condição limite onde o crescimento da fissura será nulo mas em que a
Taxa de Liberação de Energia será crítica, conforme apontado na equação
3.1.5. Esse caso, também denominado condição de iminência de
instabilidade é dado por:
∂R ∂G
=
∂a ∂a
(3.1-10)
51
3. Se ∂2π / ∂a2 < 0 (o que pressupõe que
∂
∂
R − G <0), a fissura crescerá
∂a
∂a
em regime instável, isto quer dizer, o crescimento da fissura acontecerá
ainda que não haja aumento do carregamento externo (ou mesmo que o
carregamento seja diminuído).
Em resumo, a propagação da fissura ocorrerá em regime instável, isto é, sem
que haja aumento da solicitação externa, se a taxa de variação da Energia de
Fraturamento for maior que a sua contraparte resistente, isto é:
∂
∂
G > R
∂a
∂a
(3.1-11)
As condições limites para que isso ocorra são dadas pelas equações 3.1-5 e
3.1-10.
A Taxa Crítica de Liberação de Energia para materiais de ruptura quase-frágil
é usualmente denominada Gq e deve ser entendida como a composição de duas
parcelas distintas, sendo a primeira, GIC, a Taxa Crítica de Dissipação de Energia no
sentido dado por Griffith e Irwin, ou seja, a energia necessária à formação de duas
novas faces da fissura (Energia Superficial do material) e a segunda, Gσ, a energia
necessária à supressão da pressão coesiva de fechamento da fissura, σ(w),
representativa do trabalho realizado pela interface coesiva. Assim:
Gq = GIC + ∫ σ (w) dw
wt
0
(3.1-12)
Na equação anterior, os mecanismos de dissipação de energia de GriffithIrwin e Dugdale-Barenblatt são simultaneamente considerados.
A ocorrência de propagação estável da fissura na fase pré-pico quando das
solicitações ao fraturamento, por muitos referida como Comportamento-R
52
(Ouchterlony, 1990; Ouyang et al., 1992; Banthia e Sheng, 1996), impede, portanto,
a utilização direta dos conceitos da Mecânica da Fratura Elástica Linear (MFEL) nas
análises dos mecanismos de ruptura dos materiais cimentícios e assemelhados, ao
nível laboratorial.
Dessa maneira, os conceitos clássicos da Mecânica da Fratura Elástica Linear
seriam aplicáveis com certa aproximação a grandes estruturas (dentro de uma visão
de extrapolação a estruturas de dimensões infinitas), onde o tamanho da zona de
processos inelásticos torna-se desprezível relativamente a outros parâmetros
geométricos relevantes da estrutura fissurada ou da própria fissura. Seria o caso, por
exemplo, de fissuras em grandes barragens ou estruturas massivas de concreto.
Objetivando o equacionamento das questões decorrentes das não-linearidades
apresentadas pelos materiais de ruptura quase-frágil, modelos distintos de análise e
determinação de parâmetros de tenacidade ao fraturamento foram propostos ao longo
das últimas décadas e hoje encontram-se agrupados em duas principais categorias, de
acordo com a dos Modelos Coesivos (Hillerborg et al., 1976; Bazant e Oh, 1983) e a
dos Modelos Elásticos Efetivos, ou Elásticos Equivalentes (Jenq e Shah, 1985;
Bazant e Kazemi, 1990; Karihaloo e Nalathambi, 1989, 1990).
Em decorrência, a modelagem das Curvas de Resistência desses materiais é
usualmente procedida com base nos modelos citados e são genericamente
classificadas como:
•
Curvas de Resistência Fictícias ou Coesivas;
•
Curvas de Resistência Elásticas Equivalentes ou Efetivas
As Curvas de Resistência para os materiais de ruptura quase-frágil
usualmente consideram o Fator de Intensidade de Tensão na ponta da fissura coesiva,
Kq, decorrente de uma composição de parcelas. A primeira delas pondera a
intensificação de tensões, necessária à criação das faces da fissura, KIC, e a segunda,
Kσ, representa a intensificação de tensões necessária ao cancelamento das pressões
53
que se originam na interface coesiva, ou, mais genericamente, na zona de processos
inelásticos. Esse valor de Kq deve ser balanceado por KR, parâmetro resistente
apresentado através da equação 3.1-6.
Seguindo a linha de raciocínio dada pela equação 3.1-12, as Curvas de
Resistência podem ser construídas com base nos diferentes mecanismos de
dissipação de energia ali considerados, isto quer dizer, contemplando-se ambos os
mecanismos de dissipação de energia ou desprezando-se um deles.
Assim, a equação 3.1-12 pode ser rescrita em termos de fatores de intensidade
de tensão, da forma a seguir:
K q = K IC + Kσ
(3.1-13)
A parcela coesiva, Kσ, pode ser determinada, por exemplo, integrando-se
uma função h(a,x), representativa do Fator de Intensidade de Tensão na ponta da
fissura decorrente da pressão de fechamento (mas de sinal negativo) que atua ao
longo da extensão da interface coesiva, da forma que se segue:
Kσ =
∫ h(a, x ).σ ( x).dx
a
a0
(3.1-14)
Na expressão anterior, σ(x) é a função que descreve o amolecimento na
interface coesiva e h(a,x) é uma função de Green que representa o Fator de
Intensidade de Tensão na ponta da fissura, devido a uma força concentrada, unitária,
agindo a uma distância x da ponta da fissura (Shah et al.,1995). O valor dessa função
pode ser encontrado nos manuais de Mecânica da Fratura (p. ex., Tada, Paris e Irwin,
1985). Observa-se que o Fator de Intensidade de Tensão total na ponta da fissura
deve ser igual a zero, de forma a assegurar que as tensões nessa região sejam finitas
(Cotterell e Mai, 1987; Hu e Cotterell, 1990; Cotterell e Lam, 1992).
54
Uma vez conhecidos os valores de KR, os deslocamentos da linha de carga, δ,
ou os Deslocamentos de Abertura da Entrada do Entalhe, CMODs (e, por
conseguinte, as extensões a da fissura) podem ser determinados, o que usualmente é
feito através do uso de expressões decorrentes da aplicação do teorema de
Castigliano ao corpo fissurado (Cotterell e Lam, 1992; Shah et al., 1995, Fett et al.,
2000).
Por outro lado, as curvas de resistência baseadas nos Modelos Efetivos tratam
da determinação, para a descrição do processo de fraturamento, de extensões de
fissura elasticamente equivalentes, nos diversos estágios do carregamento. Para a
construção dessas curvas de resistência, o Modelo dos Dois Parâmetros (Jenq e Shah,
1985) é usualmente utilizado para a determinação da Tenacidade ao Fraturamento.
Uma proposta dessa natureza foi feita por Ouyang et al. apud Shah et al. (1995).
Essa proposta parte da solução de uma equação diferencial que governa o problema,
derivada a partir das equações 3.1-5 e 3.1-10.
Outros enfoques que utilizam a equação 3.1-13 e que desprezam, entretanto,
um ou outro mecanismo de dissipação de energia, surgiram na literatura e são
relatados por Shah et al. (1995).
Fisicamente, as curvas de Resistência podem ser interpretadas como
indicadores da Tenacidade ao Fraturamento para o crescimento estável da fissura,
para dadas estruturas e, matematicamente definidas como envoltórias de Taxas
Críticas de Liberação de Energia, GIC, para certas categorias de estruturas (Shah, et
al., 1995).
De uma forma geral, a extensão da fissura é influenciada pela Tenacidade ao
Fraturamento, pela forma de carregamento, pela geometria do corpo fissurado e pela
extensão inicial da fissura, o que torna as curvas de resistência também dependentes
desses parâmetros.
55
Assim, as curvas de resistência podem ser reunidas em três categorias básicas,
de acordo com a extensão inicial da fissura, a0, e com uma dimensão característica da
estrutura, no caso a altura W:
•
Curvas de Resistência para estruturas com o mesmo tamanho, mas
com
fissuras
iniciais
diferentes
(a0=variável;
W=constante),
inicialmente sugeridas por Kraft et al. (1961), apud Shah et al. (1995);
•
Curvas de Resistência para estruturas com tamanhos diferentes e com
fissuras iniciais de mesmo tamanho (a0=constante; W=variável),
desenvolvidas por Ouyang e Shah (1991), apud Shah et al. (1995);
•
Curvas de Resistência para estruturas geometricamente similares,
(onde a0 e W são variáveis, mas a0 /W =constante), propostas por
Bazant e Kazemi (1990).
Por outro lado, as Curvas de Resistência podem ser construídas de forma
analítica, experimental ou através de um procedimento híbrido, semianalítico ou
semiexperimental, em função da preponderância do enfoque adotado.
No presente trabalho, as Curvas de Resistência são modeladas sob o enfoque
da Mecânica do Fraturamento Elástico Linear, através de uma abordagem
semianalítica em que parâmetros experimentais auxiliares, decorrentes de ensaios
flexão de vigas entalhadas submetidas à flexão em três pontos, são utilizados.
3.2 Equações da MFEL para vigas entalhadas
Visando à determinação das equações fundamentais necessárias aos estudos
da Curvas de Resistência, bem como à obtenção de conclusões preliminares relativas
aos procedimentos de ensaios com vigas prismáticas entalhadas, análises baseadas
nos conceitos da Mecânica da Fratura Elástica Linear (MFEL) foram desenvolvidas.
56
Dentro de uma abordagem da Mecânica da Fratura Elástica Linear, as cargas
e deslocamentos associados à propagação das fissuras em corpos-de-prova
entalhados podem ser estudados de maneira relativamente simples (Anderson, 1991;
Karihaloo, 1995; Bazant and Planas, 1997), especialmente no caso de fraturamento
no Modo I (abertura) em corpos-de-prova de geometria simples, como é o caso das
vigas entalhadas analisadas.
Para muitas geometrias, as equações relevantes são apresentadas nos manuais
de mecânica da fratura (Tada, Paris e Irwin, 1985), entretanto as geometrias
estudadas no presente trabalho não se encontram contempladas nos referidos textos
(relação S/W). Por outro lado, expressões generalistas relativas às diferentes relações
geométricas possíveis, muitas vezes não são completas no que diz respeito aos
deslocamentos verticais (Guinea et al., 1998). Como conseqüência, uma análise do
fraturamento elástico foi procedida utilizando-se a técnica dos Elementos Finitos
para a determinação das equações de dependência geométrica que relacionam os
Fatores de Intensidade de Tensão e os Deslocamentos, à carga aplicada, em função
da extensão da fissura.
A primeira geometria estudada (Ferreira et al., 2000) foi aquela adotada nas
novas recomendações da RILEM TC 162-TDF que faz uso de um espécime
prismático com vão S de 500 mm, base B de 150 mm e altura W de 150 mm e um
entalhe serrado na posição central com extensão inicial a0 de 25 mm (Fig. 4.1.1-1).
A segunda análise, que aqui se apresenta e cujos resultados são de grande
importância para a construção das curvas de Resistência previstas no escopo deste
trabalho, foi desenvolvida para corpos-de-prova com vão-livre S igual ao triplo da
altura W (S=3W), como é o caso prisma padrão (150x150x500mm, 450mm de vãolivre) amplamente adotado na América Latina para a determinação das propriedades
mecânicas do concreto simples e do concreto reforçado com fibras de aço, relação
recomendada dentre outros pela ASTM C- 1018 (1994) , CUR RA-35 (1994) e
NBN B 15-238 (1992), entretanto, com um entalhe reto passante na posição central
(Ferreira et al., 2000).
57
Em ambos os casos o corpo-de-prova é solicitado à flexão em três pontos.
Durante o ensaio, o Deslocamento de Abertura da Entrada do Entalhe, CMOD, é
determinado por meio de um transdutor de deslocamentos (clip gauge)
simetricamente posicionado na entrada do entalhe, usualmente a uma pequena
distância d da face inferior da viga, conforme ilustrado a Fig. 3.2–1
Figura 3.2-1. Geometria do corpo-de-prova e pontos de referência para a determinação dos
deslocamentos.
A determinação numérica dos parâmetros das equações da MFEL foi levada a
efeito por meio de análises bidimensionais em Estado Plano de Tensão usando o
programa FRANC2D/L (James e Swenson) desenvolvido nas Universidades Cornell
e Estadual do Kansas, nos Estados Unidos. A viga foi modelada utilizando-se uma
malha com aproximadamente 37000 graus de liberdade, composta de elementos
finitos isoparamétricos quadráticos, quadrilaterais e triangulares.
O entalhe e a fissura em propagação foram representados por uma fissura
matemática e a singularidade de tensões e deformações na ponta da fissura analisada
utilizando-se uma roseta com oito elementos finitos singulares triangulares (quarterpoint) ao redor da ponta da fissura “corrente”. A cada passo da propagação os
Fatores de Intensidade de Tensão, KI, assim como diversos deslocamentos foram
determinados:
58
•
Deslocamento vertical da aresta horizontal inferior da viga, num dos vértices da
entrada do entalhe (ponto 1 da Fig. 3.2-1), relativamente à semi-altura da viga,
localizado acima de um dos apoios (ponto 2 da Fig. Fig. 3.2-1). Esta medida ,δ,
corresponde ao valor do deslocamento vertical verificado entre o vértice inferior
do entalhe e um suporte rígido do tipo yoke fixado sobre o apoio, a semi-altura
da viga.
•
Deslocamento de Abertura da Entrada do Entalhe (CMOD) dado pelo
afastamento entre os dois vértices inferiores da entrada do entalhe. Os
Deslocamentos Nominais de Abertura da Entrada do Entalhe, CMODm, foram
computados em diferentes alturas d da face inferior da viga, como sendo o
aumento da separação horizontal entre as extremidades internas das facas de
suporte do transdutor de deslocamentos. Os valores dos CMODm correspondem
aos deslocamentos medidos por transdutores fixados em facas ou suportes de
diferentes espessuras d. As laterais das facas de suporte foram modeladas
utilizando-se malhas secundárias compostas de pequenos elementos finitos
rígidos, convenientemente acopladas à malha principal.
O comprimento total da fissura (isto é, o comprimento do entalhe + extensão
da fissura) foi designado a e a extensão normalizada da fissura relativamente à altura
W da viga (a/W), designada α. As avaliações numéricas foram desenvolvidas para a
extensão relativa da fissura no intervalo 0.05 ≤ α ≤ 0.90 (correspondendo a um
intervalo total para a extensão da fissura 7.5 mm ≤ a ≤ 135 mm).
Para o prisma de 150x150x500mm (450mm de vão-livre), foram obtidos os
resultados apresentados a seguir.
59
Fatores de Intensidade de Tensão
O Fator de Intensidade de Tensão, KI, para geometrias de vigas solicitadas ao
fraturamento no Modo I, é normalmente dado pela equação 3.2-1 (Broek, 1986):
KI =
1.5.P.S . π .a
B.W 2
f (α )
(3.2-1)
onde P é a Carga aplicada, a é a extensão total da fissura, α a extensão normalizada
ou extensão relativa da fissura e S, B e W o vão livre, a base e a altura da viga,
respectivamente.
A Função Adimensional de Dependência Geométrica, f(α), foi obtida, para
maior precisão numérica quando da construção das Curvas de Resistência, da soma
de um ajuste inicial não-linear feito, utilizando-se uma função racional, e do ajuste
dos resíduos dessa função, relativamente aos valores obtidos na análise por
Elementos Finitos, procedido com um polinômio do quarto grau.
Assim, f (α) é dada por :
f (α ) = f1 (α ) + f 2 (α )
f 1 (α ) =
(3.2-2)
(a + b α )
(3.2-3)
(1 + cα + d α )
2
f 2 (α ) = A + Bα + Cα 2 + Dα 3 + Eα 4
( 0.05 ≤ α ≤ 0.8)
(3.2-4)
60
f 2 (α ) = 0
(0.80 < α ≤ 0.9)
(3.2-5)
Os coeficientes para as equações, decorrentes dos ajustes, são os apresentados
na tabela. 3.2-1:
Tabela 3.2-1 – Coeficientes para a Função Adimensional de Dependência Geométrica, f (α).
a
b
c
d
-
0.68037896
-0.74414798
-2.1551066
1.1610678
-
A
B
C
D
E
0.36600854
-2.0887596
4.6108028
-6.4989059
4.2317536
Deslocamentos de Abertura da Entrada do Entalhe - CMOD
No presente trabalho, também os Deslocamentos de Abertura da Entrada do
Entalhe, CMOD, foram determinados diretamente das informações da análise de
elementos finitos, análise que da mesma forma serviu para a determinação dos
m
valores nominais de CMOD correspondentes a diferentes espessuras d do suporte
do transdutor de deslocamentos.
O CMOD é dado pela seguinte equação que recebeu tratamento análogo à
equação destinada ao cálculo dos Fatores de Intensidade de Tensão (Shah et al.,
1995):
CMOD =
6.P.S .α
.g (α )
E.B.W
=
6.P.S .a
.g (α )
E.B.W 2
(3.2-6)
61
A Função Adimensional de Dependência Geométrica, g(α), obtida de forma
semelhante à função f(α) anteriormente descrita, é dada por:
g (α ) = g1 (α ) + g 2 (α )
(3.2-7)
sendo:
g 1 (α ) =
(a + b α )
(3.2-8)
(1 + cα + d α )
2
g 2 (α ) = A + Bα + Cα 2 + Dα 3 + Eα 4
( 0.05 ≤ α ≤ 0.8)
(3.2-9)
g 2 (α ) = 0
(0.80 < α ≤ 0.9)
(3.2-10)
Os coeficientes para as equações, determinados através dos ajustes, são os
apresentados na tabela. 3.2-3:
Tabela 3.2-3 – Coeficientes para a Função Adimensional de Dependência Geométrica, g (α).
a
b
c
d
-
0.9944702
-0.57381717
-2.0599783
1.0632619
-
A
B
C
D
E
0.34227062
-1.7613261
2.0977433
-1.437406
1.4550015
Como explicado anteriormente, o CMOD é normalmente medido no
laboratório a pequenas distâncias, abaixo da face inferior do corpo-de-prova. O efeito
dessa pequena distância d ( Fig. 3.2-1) é analisado considerando-se a relação entre o
CMOD "real " e o nominal, CMODm, obtidos experimentalmente, da forma a seguir:
CMOD = k d .CMOD m
(3.2-11)
62
onde kd é o fator teórico de correção que deve ser aplicado para a conversão dos
valores nominais para valores de CMOD.
Os fatores de conversão, kd, foram obtidos nas análises numéricas para as
espessuras de suporte do transdutor de deslocamentos, no intervalo 0 < d ≤ 6 mm.
Essa correção varia com a extensão da fissura e diminui, assintoticamente, com o
aumento da extensão da fissura, conforme se observa na Fig. 3.2- 2.
1.00
0.95
0.90
Kd
1mm
2mm
0.85
3mm
4mm
0.80
5mm
6mm
0.75
0.70
0.65
0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90
ALFA
Figura 3.2-2. Fatores de conversão para CMOD
Os valores de kd podem ser computados em função de α e de d, utilizando-se
a função racional obtida das análises numéricas, a seguir apresentadas:
kd (d , α ) =
a + b.α
1 + c.α + d .α 2
(3.2-12)
Os coeficientes decorrentes dos ajustes a serem utilizados com a equação 3.212 são os que constam da tabela. 3.2-3.
63
Tabela 3.2-3 – Coeficientes para as equações de conversão de CMOD.
W/d ou d (mm)
a
B
c
d
150 - 1
0.0049569232
275.07646
275.89796
0.039923684
75 - 2
-0.15080927
162.54076
163.59247
0.011782567
50 - 3
-0.10374864
104.07648
105.08914
0.016267311
37.5 - 4
-0.077651172
76.249418
77.240943
0.013713632
30 - 5
-0.062261685
60.152561
61.132121
0.011703888
25 - 6
-0.052149633
49.666196
50.637948
0.01059483
Nota-se que o para valores de d da ordem de 3mm (espessura usual das
lâminas de suporte do clip gauge), o erro na medida do CMOD é bastante
significativo isto é, entre 4,32% e 18,46% para valores de α compreendidos entre
0,05 e 0,30. Já para valores de d da ordem de 6mm esse erro varia entre 8,29% e
31,16% indicando claramente que a substituição do clip gauge por um LVDT,
dispositivo que naturalmente requer um maior espaço para a instalação, não é
indicada.
O que aqui se apresenta parece ser extremamente relevante para o caso de
ensaios de fraturamento que fazem uso das técnicas de variação de flexibilidade
baseadas na monitoração dos CMODs, objetivando o cálculo do Módulo de
Deformação, E, e posteriormente da extensão (efetiva) da fissura e da Tenacidade ao
Fraturamento, KIC, como é o caso do Modelo dos Dois Parâmetros (Jenq e Shah
1985).
Observa-se ainda que a correção do CMOD é feita em função do valor
corrente de α, também desconhecido na fase de ensaios, o que inviabiliza uma
correção direta dos valores de CMOD lidos durante o ensaio. Como se demonstrará
no decorrer deste trabalho, a correção pode ser feita utilizando-se técnicas de iteração
numérica.
64
Do ponto de vista prático, a indicação de valores de d para utilização em
ensaios correntes bem como a de critérios satisfatórios para a correção do CMOD,
foi apresentada anteriormente pelo autor (Ferreira et al., 2000).
Deslocamentos Verticais
O deslocamento vertical total da linha de carga é uma composição de três
parcelas distintas (Haggag e Underwood, 1984), sendo as duas primeiras relativas às
deformações devidas à flexão e ao cisalhamento (considerando-se a seção transversal
central sem o entalhe) e a última decorrente unicamente da presença da fissura
(Haggag e Underwood, 1984; Guinea et al., 1998).
Entretanto, a medida desse deslocamento está sempre acompanhada de erros
que ocorrem em função das perturbações ocasionadas pela transmissão da carga ao
corpo-de-prova, somando-se ao fato as dificuldades naturalmente encontradas para a
instrumentação do espécime nessa região. Já as novas recomendações da RILEM TC
162-TDF sugerem a tomada dos deslocamentos em uma posição pouco abaixo da
linha de carga e em outras Normas, na face inferior da viga.
Os valores de deslocamentos computados nessas duas diferentes regiões (para
o corpo-de-prova da RILEM) diferem algo em torno de 5%, variação anteriormente
considerada satisfatória (Ferreira et al., 2000).
Para o prisma de 150x150x500mm (450mm de vão-livre), os Deslocamentos
Verticais globais, δ, referentes a face inferior do corpo-de-prova, podem ser
calculados através da seguinte equação:
δ INF =
1.5PS 2
BW 2 E
V (α )
(3.2-13)
65
Analogamente ao tratamento dado aos Fatores de Intensidade de Tensões e ao
CMOD, a Função Adimensional de Dependência Geométrica, V(α), é dada por:
V (α ) = V1 (α ) − V 2 (α )
V1 (α ) =
(3.2-14)
(a + b α )
(1 + c x + d x )
(3.2-15)
2
V 2 (α ) = A + Bx + Cx 2 + Dx 3 + Ex 4
( 0.05 ≤ α ≤ 0.8)
(3.2-16)
V 2 (α ) = 0
(0.80 < α ≤ 0.9)
(3.2-17)
Os coeficientes para as equações são os apresentados na tabela. 3.2-4:
Tabela 3.2-4– Coeficientes para a Função Adimensional de Dependência Geométrica, V (α).
a
b
c
d
-
0.5214121
0.089329995
-2.0130802
1.0138299
-
A
B
C
D
E
-0.070414595
0.34349265
-0.18451653
-0.33684499
0.14066034
Precisão das equações computadas e equações alternativas
A tabela 3.2-5 apresenta os desvios percentuais médios, em números
absolutos, dos valores das funções adimensionais de dependência geométrica, f(α),
66
g(α) e V(α), calculados com as equações (3.2-2), (3.2-7) e (3.2-14), relativamente
aos valores determinados nas análises numéricas pelo método dos elementos finitos.
Tabela 3.2-5 - Desvios percentuais médios, em números absolutos, dos valores das funções
adimensionais de dependência geométrica, f(α), g(α) e V(α).
α
Desvios % abs.
f(α)
Desvios % abs.
g(α)
Desvios % abs.
V(α)
Média
0.065462
0.180067
0.079035
Como visto, as funções de dependência geométrica e de carregamento do
corpo-de-prova aqui apresentadas e destinadas à determinação dos Fatores de
Intensidade de Tensão, KI, e dos deslocamentos CMOD e δ, são expressões
aplicáveis ao longo de quase toda a altura do corpo-de-prova ( 0.05 ≤ α ≤ 0.9). Para
que a abrangência do conjunto de equações fosse a maior possível, tornou-se
necessária a combinação de expressões matemáticas de diferentes naturezas que
ponderassem, simultaneamente, características de simplicidade e de precisão das
respostas, dentro do intervalo estudado.
Em todos os casos apresentados, a expressão polinomial que se soma (ou
subtrai) à expressão principal, a partir de um valor avançado de α, decorre de um
segundo ajuste procedido a partir dos resíduos apresentado pelo ajuste principal.
Em contrapartida à abrangência do intervalo de validade das equações, do
ponto de vista prático estas expressões são de uso complicado, especialmente quando
voltadas à solução de problemas usuais de mecânica da fratura, inconveniente que
pode ser contornado mediante a diminuição do intervalo de validade das equações,
com um ganho significativo de precisão e simplificação de procedimentos.
67
Com esse objetivo, três novas equações são apresentadas objetivando o
aproveitamento da geometria do corpo-de-prova de 150x150x450mm em atividades
cotidianas, equações válidas no intervalo 0.05≤α≤0.75:
Expressão geral:
f (α ), g (α ) ou V (α ) = a.α 5 + b.α 4 + c.α 3 + d .α 2 + e.α + f
(3.2-18)
Os coeficientes para o uso da equação 3.2-18, em função da natureza da grandeza
de interesse, encontram-se reunidos na tabela. 3.2-6. Juntamente, são apresentados os
principais indicadores dos ajustes procedidos.
Tabela 3.2-6 – Coeficientes para as funções de dependência geométrica e de carregamento
(0.05≤α≤0.75)
a
b
c
d
e
f
Desv. Padrão
f(α) 60.398928 -86.787007 47.418483 -8.234774 0.092058 0.998367 0.007733
g(α) 357.624760 -547.594400 321.190000 -77.968710 8.484876 1.049008 0.045024
V(α) 352.294990 -542.694230 321.336060 -80.619223 9.756626 0.292978 0.044038
Coef. Correl.
0.999962
0.999912
0.999909
3.2.1 Relação Elástica Linear entre a Carga Aplicada e os
Deslocamentos de Abertura da Entrada do Entalhe, CMOD, e
Deslocamentos Verticais, δ, da Linha de Carga
Com o auxílio das equações fundamentais da Mecânica do Fraturamento
Elástico Linear é possível determinar-se o valor da Tenacidade ao Fraturamento,
KIC, para um material homogêneo, isotrópico e elástico linear, a partir da carga
68
máxima, Pmax obtida no ensaio e da extensão da fissura, a, nesse nível de
carregamento. Para uma viga entalhada de vão-livre S, base B e altura W submetida
à flexão em 3 pontos (Modo I de solicitação ao fraturamento) essa determinação é
feita com a equação que se segue:
K IC =
1.5 Pmax S π a
BW 2
f (α )
(3.2.1-1a)
ou:
Pmax =
K IC .B.W 2
1.5.S . π a . f (α )
(3.2.1-1b)
Fazendo a substituição de Pmax na 3.2-6 torna-se possível obter o valor do
CMOD na Carga Máxima, CMODmax:
CMODmax =
6 Pmax .S .α
BWE
g (α )
(3.2.1-2)
Para um material de resposta elástica linear, a Tenacidade ao Fraturamento,
KIC, permanece constante após a carga máxima permitindo que a análise da fase pós-
pico do carregamento seja feita em função das diversas extensões relativas, αi, da
fissura, ou seja, para cada valor de α = αi = ai/W obtém-se de 3.2.1-1 o valor da
carga Pi correspondente à posição da ponta da fissura.
Por outro lado, a equação 3.2.1-2 fornecerá o valor de CMODi nesse estágio
de carregamento. O exemplo que se segue ilustra o exposto.
69
Exemplo 3.2-1 - Neste exemplo ilustra-se, através da Fig. 3.2.1-1, a relação
P-CMOD para o prisma de 150x150x500mm (450 mm de vão-livre) com um entalhe
inicial, a0, igual a 0,75 cm. Para tanto foram admitidos, arbitrariamente, os seguintes
parâmetros para o material:
•
Tenacidade ao Fraturamento, KIC = 80,00 daN.cm-1.5 (0,8 MPa. m0.5);
•
Módulo de Elasticidade, E=300.000,00 daN/cm2 (30 GPa).
3000
2500
Carga (daN)
2000
1500
1000
500
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
0.007
0.008
0.009
0.01
0.011
0.012
0.013
CMOD (cm)
Figura. 3.2.1-1. Relação Carga x CMOD para um material elástico linear (KIC=80daN.cm-1. 5)
Deslocamentos Verticais
O tratamento dado para o deslocamento vertical no centro do vão, δ, é
análogo ao anteriormente descrito para o CMOD. Procedendo-se a substituição de
Pmax de 5.2-6 em 5.2-13 torna-se possível obter o valor de δ na Carga Máxima, δmax:
δ max =
1.5.Pmax .S 2
B.W 2 .E
V (α )
(3.2.1-3)
70
Para a fase pós-pico, com α = αi = ai/W obtêm-se de 3.2.1-1 o valor da carga
Pi correspondente à posição da ponta da fissura e de 3.2.1-3, anterior, o valor de δi
para o iézimo estágio de carregamento. A Fig. 3.2.1-2 ilustra a Relação P- δ para a
geometria em estudo e Tenacidade ao Fraturamento, KIC,
anteriormente
considerada.
3000
2500
Carga (daN)
2000
1500
1000
500
0
0.0000
0.0010
0.0020
0.0030
0.0040
0.0050
0.0060
0.0070
0.0080
0.0090
0.0100
0.0110
Deslocamento (cm)
Figura. 3.2.1-2. Relação Carga x δ para um material elástico linear (KIC=80daN.cm-1. 5)
Na Fig. 3.2.1-2 observa-se inicialmente, a instabilidade geométrica do corpode-prova, evidenciada pela retro-ruptura (snap back) na fase pós-pico, onde a rampa
de ruptura apresenta inicialmente um trecho positivo ( ∂P/∂δ > 0 ) fato que decorre
da pequena profundidade adotada para o entalhe inicial (αo= ao/W= 0,05 ou ao=
0,75cm).
Nessas condições geométricas o corpo-de-prova estudado não deve ser
utilizado para ensaios de fraturamento de materiais que apresentem ruptura frágil,
sob condições de controle do deslocamento vertical. Mesmo sendo o processo de
ruptura, instável por natureza, observa-se que é perfeitamente possível a condução
do ensaio (de forma estável), sob condições de controle do CMOD (Carpinteri,
1990).
71
A estabilidade geométrica seria atingida para uma carga máxima verificada
no ponto de inflexão do caminho de ruptura apresentado na Fig. 3.2.1-2, onde a taxa
de variação da Carga relativamente ao deslocamento volta a ser negativa (∂P/∂δ < 0).
Esse ponto corresponde a um valor de αo = 0,25 ou ao= 3,75cm. Esta nova situação,
ilustrada para Deslocamentos e CMODs na Fig. 3.2.1-3, indica ainda uma sensível
redução da capacidade de carga do corpo-de-prova, mas que garante, entretanto, um
caminho de ruptura regular (não catastrófica) a partir do ponto de carga máxima.
1400
1200
Deslocamentos
Carga (daN)
1000
800
600
CMODs
400
200
0
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
Delta ; CMOD (cm)
Figura. 3.2.1-3. Relações P x δ e PxCMOD (KIC=80daN.cm-1. 5 , αo = 0.25 ou ao= 3,75cm).
3.2.2 Relação Elástica Linear δ - CMOD
As equações 3.2.1-2 e 3.2.1-3 podem ser utilizadas para a determinação do
CMODmax e δmax na posição da carga máxima, valores que podem ser plotados um
em função do outro. De fato, a combinação das duas equações, feita equacionando-se
a carga P em uma delas e substituindo-se a expressão resultante na equação
remanescente, conduz à relação δ - CMOD para a geometria estudada, que é dada
pela expressão:
72
δ=
CMOD.S
4W
V (α )
α .g (α )
(3.2.2-1)
A análise dessa expressão revela que a relação δ - CMOD para um material
elástico linear é geométrica por excelência, governada indiretamente pela Tenacidade
ao Fraturamento do material, KIC, que determina os valores das variáveis δ e CMOD
na carga máxima assim como pelo valor da extensão relativa da fissura, α.
A Fig. 3.2.2-1 ilustra essa relação para o mesmo corpo-de-prova com o valor
de Tenacidade ao Fraturamento anteriormente adotado (KIC=80 daN.cm-1. 5).
Observa-se que a curva δ-CMOD apresenta um ponto de mínimo, coincidente
com os limites αo = 0.25 ou ao= 3,75cm anteriormente discutidos, indicando que a
estabilidade geométrica requer que a taxa de variação do deslocamento δ
relativamente ao CMOD seja monotonicamente crescente, ou seja, que apresente
derivada maior que zero (∂δ/∂CMOD > 0).
A Fig. 3.2.2-2 ilustra essa situação para diversos valores de Tenacidade ao
Fraturamento, KIC.
0.01
0.009
0.008
Delta (cm)
0.007
0.006
0.005
0.004
0.003
0.002
0.001
0
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
CMOD (cm)
Figura. 3.2.2-1. Relações δ x CMOD (KIC=80daN.cm-1. 5 )
0.012
73
0.016
0.014
1.6Kic
Delta (cm)
0.012
1.4Kic
0.01
1.2Kic
0.008
Kic
0.006
0.004
0.002
0
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
0.016
0.018
0.02
CMOD (cm)
Figura. 3.2.2-2. Relações δxCMOD para diferentes valores de KIC (αo =0.25 ou ao=3,75cm).
3.4 - Curvas de resistência sob o enfoque da MFEL
De uma forma geral, as relações P-CMOD, P-δ e δ-CMOD dadas pelas
equações 3.2.1-2, 3.2.1-3 e 3.2.2-1 podem ser utilizadas para a construção das Curvas
de Resistência ao Fraturamento, a partir das informações habitualmente obtidas em
ensaios de fraturamento. Naturalmente, o enfoque de Mecânica da Fratura Elástica
Linear só seria aplicável com boa aproximação para materiais que apresentam a zona
de processos inelásticos, à frente da ponta da fissura, de dimensões suficientemente
reduzidas.
Isto quer dizer, por outro lado, que a zona onde K é dominante deve ser
suficientemente grande para que a zona de processos inelásticos possa ser
desconsiderada (Kanninen, 1985, Broek, 1986, Gross, 1990). Uma vez satisfeita essa
condição, o valor da extensão a da fissura passa a ser de determinação imediata, e
pode ser feita utilizando-se qualquer das relações referidas anteriormente, para o caso
de vigas solicitadas à flexão em 3 pontos. O uso das relações P-CMOD e P-δ requer
74
que se conheça, a priori, o valor do Módulo de Elasticidade do material, E, cuja
determinação pode ser procedida com o auxilio da equação (3.2-6), se os CMODs
forem conhecidos, ou da (3.2-13) se os deslocamentos verticais foram medidos
durante o ensaio, da forma que se segue:
E=
6.Pi Sα
g (α )
CMODi .B.W
(3.4-1)
E=
1.5.Pi .S 2
B.W 2 .δ i
(3.4-2)
V (α )
Nas equações anteriores, Pi são valores quaisquer de cargas da fase resiliente
da resposta e CMODi e δi os deslocamentos relativos às cargas consideradas. O valor
de α é determinado utilizando-se a extensão inicial do entalhe.
Observa-se que uma determinação mais rigorosa do valor do módulo,
empregando-se valores de CMODm, requer a conversão dos valores nominais
resultantes do ensaio, para valores de CMOD, em função da altura d das lâminas de
suporte do clip gauge. Isso deve ser feito com o auxílio da equação 3.2-11, aqui
repetida por conveniência:
CMOD = CMOD m .kd
(3.2-11)
3.4.1 Curvas de resistência fundamentadas na relação P- CMOD
Uma vez determinado o valor do módulo de elasticidade (ou adotado um
valor conhecido), a equação 3.2-6 pode ser reescrita de forma a obter-se:
α .g (α ) =
e
CMOD.B.W .E
6.P.S
(3.4.1-1)
75
β = α .g (α )
(3.4.1-2)
A quantidade β pode ser determinada para todos os pares P- CMOD obtidos
no ensaio. Assim, com a utilização das equações 3.2-7 até 3.2-10 torna-se possível,
dentro de um esquema iterativo, a determinação numérica do valor de α que satisfaz
a igualdade dada pela equação3.4.1-1, de acordo com o diagrama de fluxo
simplificado apresentado na Fig. 3.4.1-1.
Figura 3.4.1-1 – Fluxograma simplificado para a construção das Curvas de Resistência baseadas nos
CMODs
O valor de α assim obtido é uma primeira aproximação que não considera a
conversão do CMOD. Para tratar adequadamente essa necessidade, um esquema
posterior de aproximação de α, agora em função do fator de conversão kd é
necessário. Com esse primeiro valor de α, digamos αi, pode-se, por meio das
equações para kd, proceder-se a primeira conversão do CMOD. O valor de CMODm
assim determinado viabiliza o cálculo de um novo valor de α, ou seja, αi+1. Esse
processo é repetido até que a diferença entre valores subseqüentes de kd entre ciclos
sucessivos de iteração (ou eventualmente de β), não seja significativa.
76
A convergência é rápida e função de tolerâncias previamente estabelecidas.
Assim, a melhor aproximação atingida conduz ao valor da extensão a da fissura,
posteriormente ao valor elástico linear de KR e ao do CMOD convertido. O processo
iterativo passa a ser ilustrado no fluxograma simplificado apresentado na Fig. 3.4.12.
Figura 3.4.1-2– Fluxograma simplificado para a construção das Curvas de Resistência com a
conversão do CMOD.
Os valores de Kr podem ser obtidos para todos os pares (P;CMOD) do ensaio
utilizando-se a equação (3.2-1) e a Curva de Resistência finalmente construída em
função do CMOD, da extensão normalizada da fissura, α, relativamente à altura W
da viga, ou ainda em função do avanço real c da fissura (c = a - ao). Usualmente as
curvas de resistência são construídas em função de α. Posteriormente, a curva PCMOD pode ser totalmente reconstruída com os valores convertidos do CMOD e das
cargas do ensaio, através da equação 3.2-6.
77
3.4.2 Curvas de resistência fundamentadas na relação P - δ
As Curvas de Resistência podem ser obtidas também da relação P-δ, fazendo
uso da equação (3.2-13). Nesse caso, o processo iterativo é bem mais simples, mas a
necessidade de conhecer-se o módulo de elasticidade persiste. Reescrevendo a
equação referida tem-se:
v(α ) = β =
δ .B.W 2 .E
(3.4.2-1)
1.5.P.S 2
Assim, para cada par P-δ haverá um valor de α que satisfaz a equação
anterior e o valor de Kr pode ser obtido para cada valor de α com o auxílio das
equações 3.2-14 até 3.2-17 e a seqüência de procedimentos ilustrada no fluxograma
simplificado que se segue:
Figura 3.4.2-1 – Fluxograma simplificado para a construção das Curvas de Resistência baseadas na
relação Pxδ
78
3.4.3 Curvas de resistência fundamentadas na relação CMOD - δ
A relação existente entre os CMODs e os Deslocamentos Verticais,
apresentada no início deste capítulo pode ser utilizada para a construção das curvas
de Resistência. Equacionando-se as expressões 3.2-6 e 3.2-13 em função da carga P
e resolvendo-se para δ, passa-se a ter:
δ =
CMOD.S V (α )
.
4.W
α .g (α )
(3.4.3-1)
β=
V (α )
α .g (α )
(3.4.3-2)
e
Do equacionamento anterior observa-se que a relação δ-CMOD para um
material elástico linear é geométrica por excelência, evidenciando o fato de que a
determinação do Módulo de Elasticidade, E, torna-se desnecessária.
Naturalmente, a afirmação anterior não pode ser generalizada, uma vez que
todo o equacionamento é procedido em função da extensão normalizada da fissura,
α. No caso dos materiais de ruptura quase-frágil, essa grandeza é intrinsecamente
dependente de escala.
Prosseguindo a abordagem da questão sob o enfoque da MFEL, observa-se
que, para cada par δ-CMOD é possível determinar iterativamente e com o auxílio
das equações 3.2-7 a 3.2-10 e 3.2-14 a 3.2-17, o valor de α que satisfaz a igualdade
dada pela equação 3.4.3-2, persistindo, entretanto, a necessidade de converterem-se
os valores de CMOD. Naturalmente, nesse caso, a rotina computacional ganhará
complexidade.
79
3.5 Aplicabilidade dos conceitos da MFEL e transgressão do
princípio de Tenacidade ao Fraturamento
Como exposto no princípio deste trabalho, procura-se entender a Tenacidade
ao Fraturamento como uma propriedade mecânica de resistência inerente aos
materiais. No caso dos materiais elásticos lineares, onde a extensão da zona de
processos inelásticos é desprezível comparativamente a outras dimensões
significativas do corpo fissurado ou da própria fissura, a Tenacidade ao Fraturamento
assim pode ser interpretada.
Nesse caso específico, as equações 3.2-1 e 3.2-6 podem ser utilizadas para a
descrição de todo o processo de fissuração e fraturamento do corpo-de-prova, o que
melhor se visualiza com o auxílio da curva P -CMOD que simula o processo. Como
visto, a construção dessa curva é levada a efeito através de procedimento bastante
simples. Retoma-se aqui o exemplo 3.2-1 onde se admitiu um prisma de
150x150x500mm (450 mm de vão-livre) e a0=0,75cm, com Tenacidade ao
Fraturamento, KIC, da ordem de 80,00 daN.cm-1.5 (0,8 MPa. m0.5) e Módulo de
Elasticidade, E, igual a 300.000,00 daN/cm2 (30GPa) , submetido à flexão em três
pontos.
As etapas de construção da curva P -CMOD podem ser resumidas da forma
que se segue:
1. No intervalo 0 ≤ P ≤ Pmax não há qualquer crescimento da fissura, (ou seja,
α = α0 = a0 / W) e a resposta P -CMOD é linear.
2. No limite de instabilidade os valores críticos Pmax e CMODmax são funções
exclusivas da Tenacidade ao Fraturamento, KIC, do Módulo de Elasticidade,
E, e da extensão inicial do entalhe, a0. Os valores críticos Pmax e CMODmax
são computados com o auxílio equações 3.2-1 e 3.2-6.
80
3. Após a carga crítica, Pmax, inicia-se o processo de fissuração e o valor de
KIC, por hipótese, permanece constante. Como a fissura cresce, cresce
naturalmente o valor de α, ou seja, α= αi. Se KIC é constante, para cada valor
de αi, calcula-se com o auxílio das equações 3.2-1 e 3.2-6 os valores de Pi e
CMODi correspondentes, ficando determinada dessa maneira, toda a curva P
-CMOD.
Observa-se que a curva de resistência ao fraturamento, na primeira etapa do
processo é uma reta vertical, se construída em função de α (pois α = α0 = constante e
KI < KIC), ou uma reta com inclinação constante, se construída em função do CMOD
uma vez que esses deslocamentos são linearmente proporcionais às cargas aplicadas
na fase elástica.
Nessa etapa, a Curva-R indica, unicamente, os Fatores de Intensidade de
Tensão, KI, em cada estágio do carregamento, pois, no intervalo em discussão, Gi <
Ri, fato que se verifica até o último ponto em que Pi < PMAX, CMODi < CMODmax e
KIi < KIC.
Teoricamente, a curva de resistência ao fraturamento, para um material de
resposta elástica linear ao fraturamento, tem início no ponto onde P = PMAX, CMOD
= CMODmax e KI = KIC. (etapa dois). Entretanto, ao longo deste trabalho e por uma
questão de conveniência, os intervalos iniciais, relativos às primeiras etapas do
processo de fissuração, são indicados nos traçados gráficos.
Na última etapa (etapa 3) a Curva–R apresenta-se sob a forma de uma reta
horizontal, em virtude da constância de KIC. Se conhecidos os valores de Pi e
CMODi, os valores (constantes) de KR podem ser computados utilizando-se a
equação 3.2-1.
As curvas P-CMOD e KR-CMOD para exemplo em discussão são
apresentadas na Figura 3.5-1.
81
3000
P (daN) ; KR x 10 (daN.cm^-1,5)
2500
2000
P x CMOD
Kr x CMOD
1500
1000
500
Valores de KI (G<R)
0
0.000
0.010
0.020
0.030
0.040
0.050
0.060
0.070
0.080
0.090
0.100
CMOD (mm)
Figura 3.5-1 –Curvas P-CMOD e KR-CMOD para um material elástico linear
Dentro da simplicidade do problema analisado destaca-se um importante
conceito, que é o da unicidade das soluções de Pi e CMODi após a carga máxima.
Com o objetivo de verificar de forma mais objetiva os limites de
aplicabilidade dos conceitos da MFEL à construção das curvas de resistência ao
fraturamento, a seguir passam a ser analisadas, através de exemplos, diferentes
possibilidades de comportamento dos materiais relativamente às respostas P-CMOD
na carga de instabilidade e nos níveis de carregamento que se seguem a carga crítica,
comparativamente às respostas elásticas lineares P-CMOD e KR-CMOD
anteriormente apresentadas (exemplo 3.2-1).
A determinação dos parâmetros das curvas P-CMOD e KR-CMOD dos
exemplos
a
seguir
apresentados
foi
procedida
utilizando-se
uma
rotina
computacional escrita em FORTRAN 90/95, fundamentada nos conceitos
anteriormente apresentados.
82
Exemplo 3.5-1 - Neste primeiro exemplo analisa-se a influência da deformabilidade
sobre as respostas de fraturamento de dois materiais hipotéticos. O comportamento
desses materiais no regime pós-pico são variações daquele do exemplo 3.2-1, aqui
denominado material de referência. Neste exemplo admite-se que os CMODs, no
regime pós-pico (incluindo o verificado na carga de instabilidade) variem de forma
crescente entre os materiais, relativamente a resposta do material de referência. A
variação constante admitida para os CMODs (para cada nível de carregamento) foi
inicialmente fixada em 20% (material A) e posteriormente em 40% (material B),
relativamente aos valores apresentados pelo material de referência. Supõe-se,
entretanto, que os níveis de carregamento na fase pós-pico do histórico sejam iguais
àqueles determinados no exemplo 3.2-1.
Em face da simplicidade do problema, as curvas pretendidas poderiam ter
sido obtidas diretamente das equações da MFEL, sem a necessidade de utilização dos
procedimentos iterativos computacionalmente implementados e sem quaisquer erros
de aproximação numérica (mesmo que desprezíveis). As curvas obtidas passam a ser
apresentadas na Fig. 3.5-2.
3000
Resposta Linear Elástica de referência
P (daN) ; KR x 10 (daN.cm^-1.5)
2500
2000
Material A : CMODi = 1.2*CMODi referência
1500
Material B : CMODi = 1.4*CMODi referência
CURVAS DE RESISTÊNCIA
1000
500
Valores de KI (G<R)
0
0.000
0.010
0.020
0.030
0.040
0.050
0.060
0.070
0.080
0.090
0.100
0.110
0.120
0.130
0.140
CMOD (mm)
Figura 3.5-2 - Curvas P- CMOD e KR- CMOD para materiais com diferentes características de
deformabilidade
83
Como inicialmente proposto observa-se que as curvas apresentadas são
rigorosamente proporcionais entre si. Entretanto, com a variação dos CMODs a partir
da carga máxima, os regimes anteriores à carga de instabilidade ficam alterados pois
as inclinações das retas decorrem dos valores dos módulos de elasticidade dos
materiais. Por outro lado, as curvas de resistência ao fraturamento resultantes das
análises são rigorosamente horizontais e diferenciam-se umas das outras, unicamente
pelos níveis dos CMODs nos quais os valores de KR foram computados.
Se os valores dos CMODs apresentados pelo material de referência fossem
mantidos fixos e agora uma variação do carregamento fosse procedida de
conformidade com os mesmos critérios adotados anteriormente para os CMODs, as
respostas ao fraturamento desse materiais, assim como as curvas P-CMOD
respectivas seriam as apresentadas na Fig. 3.5-3, que se segue.
4000
P (daN); KR x 10 (daN.cm^-1,5)
3500
3000
Resposta Linear Elástica de referência
2500
Material C : Pi = 1.2*Pi referência
2000
Material D : Pi = 1.4*Pi referência
1500
CURVAS DE RESISTÊNCIA
1000
500
0
0.000
Valores de KI (G<R)
0.010
0.020
0.030
0.040
0.050
0.060
0.070
0.080
0.090
0.100
CMOD (mm)
Figura 3.5-3 - Curvas P-CMOD e KR- CMOD para materiais com diferentes cargas críticas
Nesse caso, as curvas de resistência para os diferentes materiais continuariam
a apresentar-se sob a forma de retas horizontais, uma vez que a proporcionalidade
84
das curvas P-CMOD foi preservada. Entretanto, essas retas estariam situadas em
diferentes níveis de resistência, em virtude das diferentes cargas críticas apresentadas
pelos materiais, cargas governadas pela Tenacidade ao Fraturamento.
O primeiro exemplo desenvolvido indica claramente que materiais com
diferentes características de deformabilidade podem apresentar a mesma resistência
ao fraturamento (no que diz respeito à iniciação da fissuração), unicamente se as
cargas críticas forem idênticas (equação 3.2.1-1b), resistência que poderá permanecer
constante ao longo do processo de fissuração e fraturamento se, complementarmente,
as curvas P-CMOD desses materiais forem proporcionais entre si e relativamente à
resposta elástica linear, após a carga crítica.
Dos resultados obtidos (Fig. 3.5-2), depreende-se ainda que as curvas PCMOD dos materiais A e B apresentam os ramos descendentes sucessivamente mais
elevados que o daquela do material de referência, não significando, entretanto, que
esses materiais tenham que ser, necessariamente (e sucessivamente), mais resistentes
ao fraturamento, quer entre si, que comparativamente ao material de referência.
Esse raciocínio é oposto àquele que de certa forma e intuitivamente se faz, em
termos de tenacidade flexional ou de trabalho de fraturamento.
Exemplo 3.5-2 - Neste segundo exemplo analisa-se o caso em que, após a carga
máxima, Pmax, os valores das cargas, Pi*, sejam, em cada estágio do carregamento,
superiores aos valores Pi determinados de conformidade com as equações da MFEL,
para o material de referencia. Admite-se ainda neste exemplo, que essa variação da
capacidade de carga do material hipotético possa ser expressa através de um modelo
arbitrário do tipo:


(α i .W )1.5

Pi * = Pi .1 +
1 .5 
β − α .i W − (α .i W ) 

(3.5-1)
85
Para o desenvolvimento do exemplo em pauta, os CMODs do material
elástico linear de referência foram utilizados. Na equação anterior, Pi é o valor
elástico linear da carga no iézimo estágio do carregamento, αi a extensão da fissura
nesse estágio, normalizada relativamente a altura W do corpo-de-prova e β uma
constante também arbitrária. A tabela. 3.5-1 apresenta os valores de Pi*/Pi para
valores de αi variando de 0,75.
Tabela 3.5-1 - Valores de Pi*/Pi para diferentes valores de α e β e W=15 cm
W=15cm
α=
Pi*/Pi
β=80
β=70
0.075 0.150 0.225 0.300 0.375 0.450 0.525 0.600 0.675 0.750 0.825 0.900
1.02
1.05
1.09
1.14
1.22
1.31 1.44 1.61 1.86 2.22 2.81
3.94
1.02
1.05
1.10
1.17
1.26
1.38 1.55 1.79 2.16 2.80 4.09
8.19
A Fig. 3.5-4 abaixo traz, além da curva relativa ao material elástico linear de
referência, duas curvas P-CMOD para valores de β iguais a 70 e 80.
3000
2500
P (daN)
2000
1500
Beta=80
Beta=70
Material de Referência
1000
500
0
0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 0.035 0.040 0.045 0.050 0.055 0.060 0.065 0.070 0.075 0.080 0.085
CMOD (mm)
Figura 3.5.4 – Curvas P- CMOD para um material elástico linear e outros, com diferentes valores de β.
86
Da observação da figura depreende-se, como esperado, o aumento gradual e
aparentemente pequeno de resistência do material, na fase pós-pico, relativamente à
capacidade de carga do material. Na tabela. 3.5-1 entretanto, observa-se que a
evolução (aparentemente pequena) desse aumento de resistência, nas etapas finais da
propagação é da ordem de 4 vezes a capacidade de carga de um material elástico
linear de referência, para β=80 ou de aproximadamente 8 vezes, para o caso de β=70.
A Fig. 3.5-5 ilustra a evolução da relação Pi*/ Pi em função do CMOD, ao longo do
processo de fissuração.
3.80
3.40
3.00
Beta=80
Beta=70
Pi*/ Pi
2.60
2.20
1.80
1.40
1.00
0.000
0.010
0.020
0.030
0.040
0.050
0.060
0.070
0.080
CMOD (mm)
Figura 3.5-5 – Gráfico Pi*/Pi versus CMOD para o modelo hipotético
Portanto, o ganho de resistência ao fraturamento passa a ser mensurável a
partir da diferença entre os níveis de carga teoricamente calculados para um material
elástico linear e aqueles verificados em cada um dos estágios de carregamento que se
seguem à carga máxima. Nesse exemplo, a determinação de cada um dos valores de
resistência ao fraturamento, KRi, também é procedida a partir dos valores dos
CMODi
utilizando-se a relação elástica linear dada pela equação 3.4.1-1,
87
substituindo-se, entretanto, Pi por Pi* . Diferentemente da situação estudada no
exemplo anterior, os valores de αi são agora computados de duas formas distintas,
para fins de comparação:
•
Diretamente, através da utilização das equações 3.2.1-1 e 3.2.1-2 da
MFEL;
•
De maneira efetiva, apurando-se valores de αi que satisfaçam a
relação P-CMOD dada pela equação 3.4.1-1, em cada estágio de
carregamento considerado.
Para o caso hipotético em estudo, as curvas de resistência assim obtidas são
as apresentadas na Fig. 3.5-6.
300
Material de referência (MFEL)
250
Beta=80, efetivo
Beta=80, MFEL
KR (daN.cm^-1.5)
Beta=70, efetivo
200
Beta=70, MFEL
150
100
50
Valores de KI (G<R)
0
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
CMOD(mm)
Figura 3.5-6 – Curvas KR-CMOD para o material elástico linear e outros, com diferentes valores de β
Se construídas em função de α, as Curvas de Resistência apresentam o
aspecto da Fig. 3.5-7.
88
300
KR (daN.cm^-1.5)
250
Material de referência (MFEL)
Beta=80, efetivo
Beta=70, efetivo
Beta=80 MFEL
Beta=70 MFEL
200
150
100
50
Valores de KI (G<R)
0
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
α
Figura 3.5-7 – Curvas KR-α para o material elástico linear e outros, com diferentes valores de β
As figuras anteriores (3.5-6 e 3.5-7) indicam transgressões claras do
princípio de Tenacidade ao Fraturamento, violações que poderiam ser quantificadas
em termos de Taxas Críticas de Liberação de Energia, necessárias aos avanços da
fissura (uma vez que a taxa teórica deixaria de ser constante), a partir dos desvios da
horizontalidade apresentados pelas Curvas–R nos estágios de carregamento
posteriores às cargas de pico.
Como uma última abordagem da construção das curvas efetivas de resistência
ao fraturamento fundamentadas nos conceitos da MFEL, um problema oposto passa
a ser analisado. Neste caso, supõe-se que dois materiais hipotéticos, E e F,
apresentem, após a carga crítica, capacidades de carga reduzidas, relativamente ao
material elástico linear de referência. No primeiro caso (material E) supõe-se que
após a carga crítica os níveis de carregamento, Pi*, sejam da ordem de 90% daqueles
do material de referência. No segundo caso uma minoração mais intensa após a carga
89
máxima é considerada através da relação Pi*=0,85. Pi-1*. As Fig. 3.5-8 e 3.5-9
ilustram as curvas P-CMOD e KR-CMOD para os materiais hipotéticos considerados.
3000
2500
P (daN)
2000
Pi (elast. linear)
P*i=0.9.P (Mat. E)
P*i=0.85.P*i-1 (Mat. F)
1500
1000
500
0
0.000
0.010
0.020
0.030
0.040
0.050
0.060
0.070
0.080
CMOD (mm)
Figura 3.5-8-Curvas P-CMOD para materiais hipoteticamente menos resistentes após a carga máxima
90
80
KR (daN.cm^-1.5)
70
60
50
40
Material E
Material F
Material de referência
30
20
10
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
α
Figura 3.5-9 Curvas KR-α para materiais hipoteticamente menos resistentes após a carga máxima
90
Nestes casos a transgressão do princípio da tenacidade é novamente
observada, agora sob a forma de diminuições dos níveis de tenacidade ao
fraturamento (apresentadas pelos materiais hipotéticos), relativamente ao material de
referência. No primeiro caso (material E) a curva de resistência apresenta-se sob a
forma de uma reta horizontal, entretanto situada em um patamar inferior àquele
determinado por KIC na carga máxima. Essa horizontalidade decorre da proporção
verificada entre as cargas Pi e Pi* (a ligeira falta de uniformidade dessa reta deve-se
a erros de aproximação numérica). No segundo caso, a curva de resistência
simplesmente decresce com o avanço da fissura.
Da análise de situações opostas (Fig. 3.5-7 e 3.5-9) depreende-se ainda que as
extensões efetivas da fissura, ai, computacionalmente determinadas para os diversos
estágios da propagação, podem ser maiores ou menores que aquelas de referência,
decorrentes da MFEL. Isso ocorre em função das discrepâncias verificadas entre as
cargas Pi e Pi*, em cada estágio da propagação, e a necessidade de atender-se a
igualdade dada pela equação 3.4.1-1.
Os exemplos estudados permitem concluir, ao menos em termos preliminares,
que a constância da resistência ao fraturamento, eventualmente representada por uma
Curva-R horizontal, não é arbitrariamente esperada para qualquer material ou mesmo
obtida a partir de qualquer curva P-CMOD, especialmente na escala laboratorial.
Pelo contrário, para que um valor constante possa ser alcançado, uma série de prérequisitos deve ser atendida, dentre eles, eventualmente, os apontados nos exemplos
anteriormente desenvolvidos.
No caso particular dos materiais cimentícios analisados neste trabalho, o
desvio da linearidade, em termos de resistência ao fraturamento, deve-se basicamente
à formação da zona de processos inelásticos, ou zona de processamento da fissura
cuja consideração conduz às seguintes conclusões preliminares, relativamente ao
conjunto de informações obtidas no iézimo estágio da propagação, onde α=αi, e
P=Pi :
91
1. Os valores dos deslocamentos CMODi e δi observados, são, de fato, menores
que aqueles analiticamente calculados através da utilização dos conceitos da
MFEL, para o nível de carregamento Pi. O fato decorre do desenvolvimento
da interface coesiva que confere maior rigidez ao corpo-de-prova fissurado,
ao longo da história de carregamento.
Essa rigidez reflete o trabalho realizado pelas tensões de fechamento, σ(w)
atuantes sobre as faces da fissura coesiva. De forma inversa, se os níveis de
deslocamento CMODi ou δi forem adotados como valores de referência,
decorrerá que o valor do carregamento Pi será superior àquele analiticamente
calculado através da utilização dos conceitos da MFEL.
2. Sendo αi (ou ai) uma variável inter-relacionada às grandezas CMODi ou δi
observadas no ensaio (grandezas que dependem da escala do corpo-deprova), os valores de KR, determinados pura e simplesmente de conformidade
com as relações elásticas lineares serão, via de regra, diferentes dos valores
reais de Tenacidade ao Fraturamento do material.
As ponderações anteriores consideram as implicações decorrentes da
formação da zona de processos inelásticos à frente da ponta da fissura, durante o
processo de fraturamento, sobre os valores das respostas de cargas e deslocamentos
laboratorialmente obtidas.
Se a contribuição resistente da interface puder ser convenientemente
interpretada, de forma que a mesma venha a representar um acréscimo constante de
tenacidade no processo de fissuração e fraturamento, por exemplo, determinando-se
a extensão de uma fissura equivalente que conduza a patamares relativamente
constantes de tenacidade, então os modelos efetivos serão válidos para a
determinação da Tenacidade ao Fraturamento. Caso contrário, servirão à descrição
do processo de fraturamento do material, refletindo, em cada caso, as transgressões
anteriormente apontadas.
92
3.6 Sumário do Capítulo
Neste capítulo, os principais aspectos teóricos relativos à resistência ao
fraturamento dos materiais de resposta linear elástica e inelástica foram apresentados
e analisados. Da mesma maneira, as Curvas de Resistência, que descrevem o
comportamento dos sólidos durante as solicitações de fissuração e fraturamento
foram revistas, em seus principais aspectos teóricos.
As equações fundamentais da mecânica do fraturamento elástico linear para
as vigas entalhadas foram reexaminadas e através delas, as relações existentes entre a
Carga Aplicada, os Deslocamentos de Abertura da Entrada do Entalhe, CMOD, e os
Deslocamentos Verticais, δ, da Linha de Carga, equacionadas.
Do procedimento referido, a relação elástica linear existente entre os
Deslocamentos de Abertura da Entrada do Entalhe, CMOD e os Deslocamentos
Verticais, δ, da Linha de Carga pôde ser estabelecida para o corpo-de-prova, ficando
demonstrado que, para o caso de materiais que atendem os princípios da MFEL, a
relação existente entre esses deslocamentos é puramente geométrica.
Com base nos equacionamentos levados a efeito, três novos critérios para a
construção das Curvas de Resistência, sob o enfoque da Mecânica do Fraturamento
Elástico Linear e com base nas relações P- CMOD, P-δ e δ-CMOD, foram propostos
e os fluxogramas com os procedimentos necessários à construção das curvas,
apresentados.
Finalmente, considerações relevantes, referentes à aplicabilidade do modelo
elástico linear desenvolvido à descrição do processo de fissuração e fraturamento dos
materiais de ruptura quase frágil, foram tecidas. Nessas considerações, as limitações
inerentes ao enfoque adotado, foram apontadas.
93
4. O USO DAS CURVAS-R PARA A REPRESENTAÇÃO DA
RESISTÊNCIA
AO
FRATURAMENTO
DE
MATERIAIS
CIMENTÍCIOS
4.1 Casos preliminares de estudo
O processo descrito nos capítulos anteriores para a construção das Curvas de
Resistência fundamentadas na relação P-CMOD foi inicialmente aplicado a análise
de resultados de ensaios de fraturamento, à flexão em três pontos, levados a efeito
pelo autor e por outros pesquisadores.
Esses ensaios, na grande maioria conduzidos em ciclo fechado, mediante o
controle dos deslocamentos de abertura da entrada do entalhe, CMOD, foram
realizados com corpos-de-prova constituídos de materiais cimentícios de diferentes
naturezas, conforme se passa a expor.
4.1.1 Aplicação das Curvas-R para o estudo do fraturamento de
rochas, do concreto de alta resistência e do CRFA
As Curvas de Resistência fundamentadas na relação P- CMOD foram
inicialmente aplicadas a resultados de ensaios de fraturamento de uma rocha
sedimentar, um arenito rosa originário do estado do Paraná (Ferreira et al., 2002).
Nesses ensaios os corpos-de-prova foram solicitados à flexão em três pontos.
94
A resistência média do material, à tração, obtida indiretamente em ensaios de
compressão diametral, foi avaliada em 42,33 daN/cm2 (4,2MPa).
Tendo em vista as características de isotropia transversal apresentada pela
rocha e decorrente das camadas de sedimentação, os corpos-de-prova, quatro ao
total, foram preparados orientando-se as linhas de frente das fissuras no sentido
divisor (divider), conforme ilustra a Fig. 4.1.1-1. As características geométricas dos
corpos-de-prova são as que se apresentam na tabela. 4.1.1-1.
Figura 4.1.1-1 – Corpo-de-prova de rocha sedimentar. Orientação do plano de fraturamento.
Tabela 4.1.1-1 – Características geométricas dos corpos-de-prova e cargas máximas dos ensaios.
CP
B (cm)
W (cm)
S (cm)
ao (cm)
Pmax (daN)
1
3.9
8.9
26.7
2.7
167.72
2
4.5
8.9
26.7
2.9
145.97
3
4.4
8.9
26.7
2.9
154.72
4
4.2
8.9
26.7
2.7
175.20
95
As vigas foram ensaiadas saturadas após 3 dias de submersão em água, em
um equipamento servo-controlado MTS, utilizando-se uma célula de carga com
capacidade para 100 kN, sob condições de controle do CMOD, conforme ilustra a
Fig. 4.1.1-2.
Figura 4.1.1-2 Ensaio de flexão em 3 pontos sob condições de controle do CMOD.
O primeiro dos corpos-de-prova foi ensaiado até as proximidades do
fraturamento em um único ciclo de carregamento. Os demais, submetidos a diversos
ciclos de carregamento e descarregamento na carga máxima de cada ciclo, conforme
ilustra a Fig. 4.1.1-3.
96
180
160
140
Carga ( daN )
120
100
80
60
40
20
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
CMOD (mm)
Figura 4.1.1-3 - Curvas experimentais P-CMOD. Ensaios de fraturamento à flexão em 3
pontos.
Dos 3 corpos-de-prova ensaiados ciclicamente, um (CP4) foi escolhido para a
elaboração deste estudo juntamente com o corpo-de-prova básico (CP1), levado à
ruptura em carregamento contínuo. Os critérios para a escolha desse corpo-de-prova
foram a proximidade da carga máxima atingida no ensaio e a semelhança da
flexibilidade apresentada pela rampa inicial de carregamento, comparativamente aos
mesmos parâmetros apresentados pelo corpo-de-prova básico. As curvas resultantes
dos ensaios dessas vigas são apresentadas na Fig. 4.1.1-4.
180
160
140
Carga ( daN )
120
100
80
60
40
20
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
CMOD (mm)
Figura 4.1.1-4 – Curvas P-CMOD- Ensaios contínuo (CP1) e cíclico (CP4).
0.4
97
A figura 4.1.1-5, ilustra o resultado da aplicação do processo de construção da
Curva-R ao material referido, baseada na relação P-CMOD. Para a construção dessa
curva adotou-se o Módulo de Deformação do material, E= 96.230,13 daN/cm2 (9,6
GPa) valor obtido da flexibilidade da rampa ascendente do ensaio (CP1), na fase
resiliente da resposta do corpo-de-prova
Através da técnica de variação da flexibilidade entre as fases ascendente e a
de descarregamento do corpo-de-prova auxiliar (CP4), extraídas do diagrama PCMOD do ensaio e utilizando-se a metodologia de cálculo do Modelo dos Dois
Parâmetros (Jenq e Shah, 1985), foi possível determinar também a Tenacidade ao
Fraturamento do material KSIC = 100,482 daN.cm
–1.5
(1,00MPa.m0,5), destacada na
figura que se segue.
110
Kic(s)=100.482 daN.cm^ -1.5
100
90
80
70
P max.
60
Kr (daN.cm^-1.5)
50
40
Crescimento sub-crítico
30
20
10
0
0.25
0.3
0.35
αo=ao / W
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
α
Figura 4.1.1-5 - Curva de resistência baseada na relação P-CMOD.
0.85
0.9
98
A Fig. 4.1.1-6 ilustra duas curvas Carga-CMOD. A primeira delas é a curva
original, decorrente da experimentação. A segunda curva é uma reconstituição da
primeira, mas que faz uso dos CMODs convertidos (equações 3.2-11 e 3.2-6) e dos
valores originais de carregamento.
A curva de resistência anteriormente determinada, agora construída com os
CMODs convertidos, também é ilustrada.
180
160
Experimental
P ( daN ) ; Kr ( daN.cm^-1.5 )
K(r) x CMOD
140
120
Reconstruída
100
80
P max.
60
40
20
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
CMOD (mm)
Figura 4.1.1-6 – Curvas P - CMOD e de resistência – Material: Arenito.
Este mesmo procedimento foi aplicado a uma série de vigas de concreto de
alta resistência, ensaiadas por Saldívar (1999).
Trata-se de um concreto com resistência da ordem de 753 daN/cm2 (75,3
MPa) aos 60 dias, com um consumo de cimento, em massa, de 457 kg/m3 e relação
água/cimento de 0,34.
Em virtude do pequeno consumo de água e com o objetivo de assegurar-se
boa trabalhabilidade à mistura, foram adicionados 17,8 litros de superplastificante
99
por m3 de concreto. A dimensão característica adotada para o agregado graúdo foi de
12mm, com um consumo de microssílica, em massa, da ordem de 46 kg/m3 de
concreto.
Os ensaios conduzidos por Saldívar fizeram uso de vigas de seção transversal
quadrada, com 150mm de lado e 450 mm de vão-livre, solicitadas ao fraturamento à
flexão em 3 pontos com o controle do CMOD.
Esses corpos-de-prova guardam a relação entre o vão-livre S e a altura W,
idêntica àquela adotada para as vigas de arenito aqui apresentadas, o que tornou
possível a adoção das equações da Mecânica do Fraturamento Elástico Linear,
descritas anteriormente, à análise das informações experimentais obtidas por
Saldívar.
Os resultados obtidos para 3 vigas de concreto estudadas passam a ser
apresentados. As Fig. 4.1.1-7 e 4.1.1-8 trazem, respectivamente, os diagramas PCMOD dos ensaios e as Curvas de Resistência fundamentadas na mesma relação.
3500
3000
P (daN)
2500
2000
1500
1000
500
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
CMOD (mm)
Figura 4.1.1-7 – Curvas P-CMOD –Material: Concreto de Alta Resistência.
0.35
100
KR med.= 146.29 daN.cm^-1.5
200
180
160
120
100
80
60
40
20
0
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
1.00
α
Figura 4.1.1-8 – Curvas de Resistência – Material: concreto de alta resistência.
Por mera questão de clareza gráfica, a Fig. 4.1.1-9 apresenta uma única curva
reconstruída com os valores de CMODs convertidos juntamente com a curva
originalmente obtida no ensaio. Observe-se que as cargas são as mesmas, para as
duas curvas.
3500
Experimental
3000
2500
P (daN)
KR (daN.cm^-1.5)
140
2000
Reconstruída
1500
1000
500
0
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
CMOD (mm)
Figura 4.1.1-9 – Curvas P–CMOD, experimental e reconstruída
0.09
0.10
101
À mesma matriz, Saldívar (1999), adicionou diferentes teores de fibras de aço
para o estudo da tenacidade flexional do CRFA. As fibras utilizadas foram do tipo
ZC 30/0.50 da BEKAERT, com 30mm de comprimento e esbeltez, isto é, a relação
entre o comprimento e o diâmetro da fibra, igual a 80.
Para a matriz referida, dois diferentes teores de fibras de aço foram estudados
pelo pesquisador, objetivando, dentre outras coisas o estudo do efeito de escala do
corpo-de-prova, das profundidades dos entalhes retos passantes e da forma de
carregamento, sobre as respostas da Tenacidade Flexional, assim como a avaliação
dos Índices Adimensionais de Tenacidade e Resistências Equivalentes determinadas
com o auxílio do CMOD.
Os diferentes teores de fibras de aço incorporadas foram, em massa, iguais a
40 e 80 kg por m3 de concreto. Para cada um desses materiais, três novas Curvas de
Resistências ao Fraturamento foram construídas utilizando-se a abordagem até aqui
explorada. Os resultados dessas análises podem ser encontrados no Apêndice B
deste trabalho. Das 9 curvas P-CMOD anteriormente analisadas, relativas ao
concreto simples e aos CRFAs com diferentes teores de fibra (40 e 80 kg/m3),
separou-se a curva média de cada material e um novo conjunto foi constituído. A
Fig. 4.1.1.10 ilustra as curvas P-CMOD para a matriz e para os diferentes CRFAs.
6000
5000
80 kg/m3
P ( daN )
4000
40 kg/m3
3000
2000
1000
concreto sem fibras
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
CMOD (mm)
Figura 4.1.1.10 – Curvas P-CMOD para o concreto simples e CRFAs com diferentes teores de fibras
102
As Fig. 4.1.1.11 e 4.1.1.12 trazem o conjunto de Curvas de Resistência ao
fraturamento, relativas às curvas médias desses materiais. A última delas refere-se
aos trechos iniciais dos diagramas, para uma melhor visualização.
2500
2000
Kr ( daN.cm^-1.5 )
80 kg/m3
1500
40 kg/m3
1000
500
Concreto simples
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
α
Figura 4.1.1-11- Curvas de Resistência para o CRFA (0, 40 e 80kg / m3)
700
80 kg/m3
600
Kr (daN.cm^-1.5)
500
400
40 kg/m3
300
200
Concreto simples
100
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
α
Figura 4.1.1-12- Curvas de Resistência para o CRFA – Trechos iniciais (0, 40 e 80kg / m3)
103
4.1.2 Aplicação das Curvas-R ao estudo do Efeito de Escala
Objetivando a avaliação do desempenho das curvas de resistência
fundamentadas na relação P- CMOD propostas neste trabalho, foi procedida uma
aplicação da metodologia desenvolvida à vigas bidimensionalmente similares, com
vistas ao estudo do efeito de escala. As informações analisadas decorreram de
ensaios de flexão em 3 pontos executados por Jamet et al.(1995), disponibilizadas ao
autor para tal fim na Universitat Politècnica de Catalunya.
Tratam-se de “vigas curtas” com entalhes centrais retos passantes alturas W,
variando entre 90 e 320 mm e base B de valor constante. O vão-livre adotado pelo
referido pesquisador manteve a relação S=2,5W, proporções geométricas usualmente
adotadas pelos pesquisadores da área para o estudo do efeito de escala.
No presente estudo foram analisados dois materiais. O primeiro deles, um
concreto de alta resistência (CAR) com fc28 = 730 daN/cm2 (73 MPa), Módulo de
Elasticidade, E=353000 daN/cm2 (35,3 GPa) e relação água/cimento igual a 0,42. A
composição unitária da mistura, em massa, foi 1:1,32:2,2:0,1:0,42 (cimento, areia,
pedra 1, microssílica e água). O segundo material, um CRFA, foi preparado com a
matriz anteriormente descrita e fibras de aço do tipo ZC30/0.5 com um teor da ordem
de 40kg/m3. As informações geométricas relativas aos corpos-de-prova ensaiados
são as reunidas na tabela 4.1.2-1.
Tabela 4.1.2-1 – Informações geométricas dos corpos-de-prova - Estudo do efeito de escala.
W
(mm)
90
180
320
B
(mm)
90
90
90
S
(mm)
225
450
800
a0
α0
S/W
(mm)
25
50
88
0.278
0.278
0.275
2.500
2.500
2.500
104
Informações dos ensaios
As curvas P-CMOD para o CAR e para o CRFA, relativas à 18 corpos-deprova ensaiados, passam a ser apresentadas nas Fig. 4.1.2-1 e 4.1.2-2.
1600
1400
1200
CP1-90
CP2-90
P (daN)
1000
CP3-90
CP1-180
800
CP2-180
CP3-180
CP1-320
600
CP2-320
CP3-320
400
200
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
CMOD (mm)
Figura 4.1.2-1 – Curvas P-CMOD de vigas com similaridades bidimensionais- Material : CAR
2500
2000
CP_90-1
CP_90-2
1500
P (daN)
CP_90-3
CP_180-1
CP_180-2
CP_180-3
CP_320-1
1000
CP_320-2
CP_320-3
500
0
0
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95
1
CMOD (mm)
Figura 4.1.2-2 Curvas P-CMOD dos ensaios das vigas com similaridades bidimensionais –CRFA.
105
Equações da MFEL
As equações relevantes da MFEL utilizadas para a construção das Curvas-R
fizeram uso, no caso da determinação dos Fatores de Intensidade de Tensão, da
Função Adimensional de Dependência Geométrica e de Carregamento, f(α),
determinada por Gettu et al. (1995). Entretanto, não se encontrou na literatura uma
expressão relativa a essa função de dependência para os CMODs. Assim, uma nova
etapa de simulações numéricas foi procedida, com vistas à determinação de uma
nova expressão de g(α) para a geometria utilizada por Jamet.
Os gráficos das funções de dependência computadas, válidas no intervalo
0.05≤α≤ 0.9 (zero, inclusive, para f(α)) passam a ser apresentados nas Fig 4.1.2-3 e
4.1.2-4.
25
20
Gettu et. al. 1995
Novo Ajuste
f(α )
15
10
5
0
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
α
Figura 4.1.2-3 – Gráfico da Função Adimensional de Dependência Geométrica e de Carregamento,
f(α), para Fatores de Intensidade de Tensão.
106
70
60
50
g(α)
40
30
20
10
0
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
0.55
0.60
0.65
0.70
0.75
0.80
0.85
0.90
α
Figura 4.1.2-4 – Gráfico da Função Adimensional de Dependência Geométrica e de Carregamento,
g(α), para CMODs.
As equações determinadas, assim como os coeficientes necessários à
aplicação das mesmas, são as mostrados abaixo:
f (α ) =
(1.847 + a.α + b.α
+ c.α 3 + d .α 4
(1 + 2α )(. 1 − α )1,5
2
)
(4.1.2-1)
com: a = -1,6663576; b = 4,2715779; c = -3,7306657; d = 1,2628721
e:
 e 

g (α ) = a + b.α + c.α 2 + d .α 3 + 
2 
(
)
1
α
−


(4.1.2-2)
com: a =0,66975538; b = -1,6829294; c =2,2891155; d= -1,4375145; e =0,65476364
107
A influência da altura da lâmina de fixação do transdutor de deslocamentos,
sobre os valores de CMOD medidos em laboratório, expressos neste trabalho sob a
forma do fator de conversão kd, é ilustrada na figura abaixo.
1.00
0.95
0.90
d=1
d=2
0.85
kd
d=3
d=4
0.80
d=5
d=6
0.75
0.70
0.65
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
α
Figura 4.1.2-5 – Valores de Kd para as vigas curtas com S/W=2.5
Curvas de Resistência ao Fraturamento
As curvas de resistência ao fraturamento determinadas para os diferentes
materiais analisados foram construídas em função dos CMODs e da extensão
normalizada da fissura, α.
Os gráficos dessas curvas passam a ser apresentados nas Figuras 4.1.2-6 a
4.1.2-9.
108
350
300
250
KR (daN.cm^-1,5)
CP1_90
CP2_90
CP3_90
200
CP1_180
CP2_180
CP3_180
150
CP1_320
CP2_320
CP3_320
100
50
0
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
CMOD (mm)
Figura 4.1.2-6 – Curvas KR-CMOD para o concreto de alta resistência
1300
1200
1100
1000
KR (daN.cm^-1,5)
900
800
CP_90-1
CP_90-2
CP_90-3
CP_180-1
CP_180-2
CP_180-3
CP_320-1
CP_320-2
CP_320-3
700
600
500
400
300
200
100
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
CMOD (mm)
Figura 4.1.2-7 – Curvas KR-CMOD para o CRFA
0.7
109
350
300
KR (daN.cm^-1,5)
250
CP1-90
CP2-90
CP3-90
200
CP1-180
CP2-180
CP3-180
150
CP1-320
CP2-320
CP3-320
100
50
0
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
α
Figura 4.1.2-8 – Curvas KR-α para o concreto de alta resistência - CAR
1400
1300
1200
1100
KR (daN.cm^-1,5)
1000
900
CP_90-1
CP_90-2
CP_90-3
CP_180-1
CP_180-2
CP_180-3
CP_320-1
CP_320-2
CP_320-3
800
700
600
500
400
300
200
100
0
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
α
Figura 4.1.2-9 – Curvas KR-α para o CRFA
0.65
0.7
0.75
110
A partir dos pontos KR-α computados para os corpos-de-prova de diferentes
tamanhos, uma série de ajustes não lineares foi procedida com o objetivo de
conhecer o comportamento dos materiais relativamente às respostas de resistência ao
fraturamento, em termos de tendência, quando da variação da escala do corpo-deprova. Para isso, as informações foram reunidas por tamanho do corpo-de-prova e
por material analisado.
Com o objetivo de uniformizar os ajustes, dois critérios de seleção das
informações foram adotados, o primeiro deles foi o de considerar somente os pontos
computados até o valor limite de α=0,5 e o segundo, o de excluir-se os pontos com
valores de KI inferiores a 50 daN.cm-1.5 (0,5 MPa.m0,5). Os melhores ajustes
conseguidos, a seguir apresentados, foram os polinomiais do quinto grau para o
CRFA e o Modelo de Weibull, para o concreto de alta resistência. As estatísticas
relativas aos ajustes procedidos bem como os coeficientes necessários ao uso das
equações são apresentadas na tabela. 4.1.2-2.
CAR:
d
K R = a − b. e (− c.α )
(4.1.2-3)
K R = aα 5 + bα 4 + cα 3 + dα 2 + eα + f
(4.1.2-3)
CRFA:
Tabela 4.1.2-2 – Coeficientes para as equações e estatísticas dos ajustes procedidos
Material
CAR
CRFA
W
(mm)
90
180
320
90
180
320
a
b
199.82712
231.7096
238.06701
981603.41
4813569.7
6380197.5
4392.6433
1224033.6
244514.72
-1943296
-9603725.3
-12707444
c
d
e
16.27135 1.2083581
19.591496 0.60864713
24.043943 0.91640907
1545370.1 -619222.82 125940.25
7616638.1 -3002776.1 589483.79
10063788 -3960922.5 775476.14
f
-10317.937
-46002.775
-60276.312
Des. Padrão Coef. Corr.
S
r
5.997
10.741
9.806
8.959
13.052
9.897
0.991
0.981
0.986
0.986
0.984
0.993
111
As curvas de resistência ao fraturamento para o intervalo mencionado assim
como os gráficos dos ajustes procedidos passam a ser apresentados nas Figuras 4.1.210 a 4.1.2-13.
350
300
KR (daN.cm^-1,5)
250
CP1-90
CP2-90
CP3-90
200
CP1-180
CP2-180
CP3-180
150
CP1-320
CP2-320
100
CP3-320
50
0
0.250
0.275
0.300
0.325
0.350
0.375
0.400
0.425
0.450
0.475
0.500
α
Figura 4.1.2-10 - Curvas KR-α para o concreto de alta resistência - α<0.5
350
300
KR (daN.cm^-1.5)
250
200
W=90
W=180
W=320
Proj. W= 640
150
100
50
0
0.250
0.275
0.300
0.325
0.350
0.375
0.400
0.425
0.450
0.475
0.500
α
Figura 4.1.2-11 - Curvas KR-α para o CAR - α<0.5 (Modelo de Weibull)
112
450
400
350
KR (daN.cm^-1,5)
300
CP_90-1
CP_90-2
CP_90-3
CP_180-1
CP_180-2
CP_180-3
CP_320-1
CP_320-2
CP_320-3
250
200
150
100
50
0
0.25
0.275
0.3
0.325
0.35
0.375
0.4
0.425
0.45
0.475
0.5
α
Figura 4.1.2-12 - Curvas KR-α para o CRFA - α<0.5
450
400
KR (daN.cm^-1,5)
350
300
W= 90
250
W=180
W=320
Proj. W= 640
200
Proj. W=1280
150
100
50
0
0.25
0.275
0.3
0.325
0.35
0.375
0.4
0.425
0.45
0.475
α
Figura 4.1.2-13 - Curvas KR-α para o CAR - α<0.5 (Polinômios do 5ograu)
0.5
113
O CRFA estudado nesta etapa do trabalho também foi analisado
relativamente à Tenacidade Flexional, o que se fez com o auxílio do programa
TENAC e a formulação da A.S.T.M apresentada no capítulo 2. Com vistas à
comparação de resultados, esse parâmetros foram computados também nos níveis de
deslocamentos referentes a valores de α iguais a 0,5. Os resultados determinados
encontram-se reunidos na tabela 4.1.2-3 e podem ser melhor visualizados na Fig.
4.1.2-14.
Observa-se, entretanto, que as recomendações da RILEM não foram aqui
aplicadas em virtude dos pequenos valores de deslocamentos verificados em ensaios
de corpos-de-prova com a relação S/W=2,5.
Tabela 4.1.2-3 - Índices adimensionais computados para o CRFA
CP
I5
I10
I20
Iα
MOR
90-1
90-2
90-3
4.21
4.68
4.26
4.38
4.88
8.63
8.45
7.96
8.35
3.41
18.73
15.96
15.87
16.85
7.86
1.93
3.05
2.16
2.38
20.22
0.38
0.30
0.36
0.35
9.23
4.45
4.76
4.90
4.70
4.00
8.67
10.03
9.81
9.50
6.28
18.00
21.73
20.61
20.11
7.77
2.73
2.63
2.94
2.77
4.63
0.32
0.33
0.29
0.31
6.20
4.79
4.91
5.33
5.01
4.62
9.51
10.21
11.67
10.46
8.58
19.51
21.18
25.95
22.21
12.28
3.60
3.79
4.48
3.95
9.55
0.26
0.24
0.23
0.25
5.14
Média:
Desv.Pad.%:
180-1
180-2
180-3
Média:
Desv.Pad.%:
320-1
320-2
320-3
Média:
Desv.Pad.%:
114
I5; I10; I20; Iα; MOR x10 (daN/mm^2)
25
20
15
I5
I10
I20
I(alfa)
MOR
10
5
0
90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320
Altura W (mm)
Figura 4.1.2-14 – Índices Adimensionais da ASTM e valores de MOR para os CRFA estudados em
escala.
As variações dos Índices Adimensionais e do Módulo de Ruptura, quando da
variação da escala do corpo-de-prova são apresentadas na tabela 4.1.2-4.
Tabela 4.1.2-4 - Variações percentuais dos Índices adimensionais e do MOR, com a variação da
escala do corpo-de-prova.
CP
I5
I10
I20
Iα
MOR
90 para 180
180 para 320
7.32
6.48
13.83
10.12
19.34
10.44
16.32
42.84
-9.62
-21.20
90 para 320
14.28
25.35
31.80
66.15
-28.78
115
4.1.3 Resultados e análises preliminares
Dos resultados obtidos nas análises procedidas, algumas considerações
podem ser preliminarmente apresentadas, relativamente aos materiais investigados.
Arenito
Um
dos
aspectos
considerados
relevantes,
observados
durante
a
implementação da metodologia, foi a constatação da habilidade do modelo em
capturar o regime de crescimento subcrítico da fissura. Esse fato ficou fortemente
evidenciado nos resultados obtidos para os corpos-de-prova de arenito, material que
apresenta grande regularidade ao longo do processo de fissuração, especialmente
durante o regime de amolecimento.
Para esse material observa-se também alguma constância no nível de
resistência ao fraturamento, quando a curva de resistência é construída em função
dos CMODs (Fig. 4.1.1-6), nível de resistência ao fraturamento superior àquele
obtido com o auxílio de métodos como o do Modelo dos Dois Parâmetros.
Concreto de alta resistência
Assim como verificado para os outros materiais, as curvas de resistência ao
fraturamento do concreto de alta resistência, também são capazes de explicitar o
regime de crescimento da fissura no regime pré-crítico. Uma certa constância dos
níveis de resistência ao fraturamento também foi observada nesse caso, entretanto
para um intervalo relativamente curto de crescimento da fissura (α<0,5),
característica que posteriormente se perde com o comportamento ascendente da
116
curva de resistência, fato especialmente verificado para valores elevados de α (Fig.
4.1.1-8).
Igualmente relevante é a observação de que os patamares de aparente
constância dos níveis de resistência ao fraturamento ocorrem, para esse material,
após a carga máxima. A existência desse patamar é uma indicação clara da maior
fragilidade
do
material
(comparativamente
aos
concretos
convencionais),
característica bastante conhecida do material.
Ainda, após as cargas máximas o material continua a apresentar ganhos de
resistência ao fraturamento, fato evidenciado pelo comportamento ascendente da
Curva-R nos estágios finais, eventualmente indicando o trabalho exercido pelas
pressões de fechamento que se originam na interface coesiva, fato que promove a
discussão quanto à legitimidade do CTODc, obtido na carga máxima, como
parâmetro de tenacidade do material.
Concretos reforçados com fibras de aço - CRFA
As observações anteriores tecidas, relativas à rocha estudada e ao concreto de
alta resistência analisado aplicam-se igualmente aos CRFAs investigados dentro
desta pesquisa, no regime pré-crítico do ensaio.
Do exame da Fig. 4.1.1-12, onde os trechos iniciais das curvas de resistência
ao fraturamento dos diversos concretos são postos em comparação, observa-se que,
mesmo para pequenos crescimentos da fissura (isto é, α<0,2), as resistências ao
fraturamento, KR, dos CRFAs são superiores (de 15 a 30%, em função do teor de
fibra incorporado), comparativamente àquela do concreto sem fibras de aço.
Por outro lado, após a carga máxima de primeiro pico e dentro de uma escala
substancialmente diferente, os CRFAs apresentam um ganho contínuo de resistência
117
ao fraturamento com o crescimento da fissura, atingindo valores dezenas de vezes
maiores que o do concreto.
Assim, quando comparadas às curvas de resistência dos CRFAs, a curva de
resistência ao fraturamento do concreto sem fibras, apresenta uma certa característica
de horizontalidade, constância aparente que se observa unicamente em virtude das
magnitudes relativas das resistências ao fraturamento dos diferentes materiais
envolvidos na comparação.
Da mesma forma como ocorre com o concreto convencional (a ser abordado
no último capítulo deste trabalho), com os concretos de alta resistência ou com a
rocha estudada, os trechos finais (ascendentes) das Curvas-R computadas para os
CRFA explicitam, em menor ou maior grau e de acordo com o volume de fibras
incorporado a cada concreto, o ganho de resistência do material na fase pós-pico do
carregamento.
Nesse caso específico, o fato deve-se de forma muito limitada, à mecanismos
como os de intertravamento e arrancamento dos agregados e, preponderantemente, à
grande quantidade de dissipação de energia envolvida no processo de arrancamento
das fibras de aço.
Efeito de Escala do corpo-de-prova
•
Concreto de Alta Resistência
Da observação das informações decorrentes dos ajustes procedidos, constatase que para esse material as curvas de resistência, em suas fases iniciais (Figuras
4.1.2-10 e 4.1.2-11) apresentam comportamentos assintóticos em diferentes
patamares de valores de resistência. Observa-se ainda que, com o crescimento da
118
altura W do corpo-de-prova, as diferenças verificadas entre esses patamares diminui
rapidamente, especialmente nos trechos finais do intervalo 0,275≤α≤0,5 analisado.
Como informado na tabela 4.1.2-1, a cada uma das curvas corresponde um corpo-deprova cuja altura W é aproximadamente o dobro daquela referente ao corpo-de-prova
da curva anterior.
Utilizando as equações computadas, tornou-se possível a avaliação das
diferenças existentes entre os valores de KR apurados com as vigas de diferentes
alturas, ao longo da extensão normal analisada.
Entre as curvas de resistência, relativas às vigas com altura de 90mm (W90) e
aquelas com 180mm de altura (W180), constatou-se que a diferença média dos
valores de KR é da ordem de 17,95%, com um desvio padrão de 3,04%. No trecho
final do intervalo, ou seja, 0.4≤α≤0.5 esse valores são 15,14% e 0,71%,
respectivamente. Para a segunda mudança da escala, a diferença média encontrada
entre os valores computados para as vigas W180 e aquelas com 320mm de altura
(W320), foi de 8,40% com um desvio padrão da ordem de 3,95% sendo que no
trecho final esses valores caem, respectivamente, para 4,90% e 0,87%.
Da manipulação das informações anteriores, depreende-se que para duas
variações sucessivas da escala, a razão entre as variações de KR computadas (W90W180 e W180-W320) é de 2,14, isto quer dizer, aproximadamente a metade. Aqui
cabe observar que infelizmente, a variação da escala entre W180-W320 adotada por
Jamet não foi exatamente o dobro, como ocorreu com W90-W180.
Com base nas variações dos valores de KR observadas entre as sucessivas
curvas, tornou-se possível a determinação, por projeção, de uma terceira variação da
escala do corpos-de-prova, representativa de vigas com alturas de 640mm (W640),
infelizmente não contempladas nos ensaio de Jamet.
O procedimento de projeção adotado teve por base as taxas de variação dos
valores de KR sucessivamente verificadas entre as curvas, para os valores de α do
119
intervalo considerado, desprezando-se o fato de que vigas com altura de 360mm
teriam sido mais convenientes que as W320 ao estudo do efeito de escala. Se assim o
fosse, a projeção seria para W720 e não W640.
Abstraindo-se a correção não procedida dos valores de KR (necessária a uma
análise rigorosa, em virtude da questão da variação das alturas das vigas), a curva
representativa da projeção para W640 levada a efeito é a que se apresenta,
pontilhada, na figura 4.1.2-11.
Agora, a diferença média encontrada entre os valores computados para as
vigas W320 e aqueles verificados para a projeção W640 passa a ser de 4,03%, com
um desvio padrão da ordem de 2,97% sendo que, no trecho final, esses valores caem
respectivamente para 1,59% e 0,48%. Se computada para todo o intervalo, a razão
entre as duas últimas variações de KR (W180-W320 e W320-W640) passa a ser de
2.09, isto quer dizer, um valor ainda mais próximo da metade.
As análises anteriores permitem concluir que, de uma forma geral, com a
variação da escala do corpo-de-prova a convergência das curvas de resistência a
patamares constantes é muito rápida, para materiais como o concreto estudado.
Ainda, que essa variação ocorre de forma consistente, uma vez que as variações da
respostas de resistência ao fraturamento são progressivamente menores, com a
variação da escala do corpo-de-prova.
Essas análise permitem ainda, o entendimento de que vigas com alturas da
ordem de 90mm são insuficientes ao estudo da Tenacidade ao Fraturamento dos
concretos, mesmo que para tanto sejam utilizados modelos efetivos como o
implementado neste trabalho.
Com efeito, Karihaloo e Nalathambi (1995) sugerem em seu modelo efetivo
fundamentado nos deslocamentos verticais da linha de carga, a adoção da menor
dimensão do corpo-de-prova com tamanho da ordem de 5 vezes a dimensão
característica do agregado (graúdo). No caso de um concreto preparado com pedra
120
britada com ФMAX da ordem de 25mm, a altura do ligamento deveria ser, no mínimo,
de 12,5 cm. Somando um entalhe com 0.3W, a altura W se aproximaria de 18 cm.
Com efeito, observa-se que os valores de Resistência ao Fraturamento obtidos
com as vigas W180 no trecho final do intervalo analisado (0.4≤α≤0.5), distanciam-se
daqueles obtidos através da curva projetada para W640 (altura 3,55 vezes maior),
algo em torno de 6,8%, o que de certa forma avaliza a opinião dos autores citados.
•
Concreto reforçado com fibras de aço
As informações dos ensaios procedidos por Jamet com o CRFA foram
consideradas de forma análoga ao tratamento dado ao CAR. Nesse caso, as
diferenças encontradas quando da comparação dos níveis de KR computados para as
curvas de resistência de cada tamanho de corpo-de-prova apresentaram
comportamento bastante diferente.
As diferenças médias calculadas no intervalo analisado entre as curvas W90W180, W180-W320 e W320-W640 (projetada) foram de 24,82%, 12,33% e 6,03%
(desvios iguais a 2,39%, 3,58% e 3,60%), respectivamente. Para o trecho final do
intervalo ( 0.4≤α≤0.5) esse valores foram 24.44%, 10,78% e 4,62% (desvios de
0,43%, 1,69% e 1,40%).
Tendo em vista esses resultados, uma última curva relativa a vigas com
alturas de 1280mm foi procedida. Essa altura corresponderia a um elemento com
vão-livre de 3,20m. Para esse último caso a diferença média teórica, relativamente à
projeção anterior, seria ainda da ordem de 2,97% com um desvio padrão de 2,86%.
Comparativamente ao concreto sem fibras, conclui-se que a influência das
fibras de aço sobre a resistência ao fraturamento do CRFA, em termos de
variabilidade, só seria desprezível para vigas (ou estruturas) com alturas
121
extremamente elevadas, eventualmente superiores a 2m. Conclui-se igualmente, que
a Resistência ao Fraturamento dos CRFAs, mesmo para pequenas fibras como as
utilizadas no preparo do compósito analisado, é uma função da escala do corpo-deprova, o que impede, do ponto de vista das atividades cotidianas da engenharia
estrutural, imaginá-la como uma propriedade mecânica do material, desvinculada das
dimensões da estrutura.
Da análise dos Índices Adimensionais computados para as vigas de diferentes
alturas, observa-se que esses parâmetros são fortemente influenciados pela escala do
corpo de prova. Uma leitura vertical dos índices apresentados na tabela 4.1.2-3 indica
que esses indicadores crescem, com o crescimento da escala do corpo-de-prova.
A forma como isso ocorre ao longo do processo de variação da escala não
está muito clara para o autor, em virtude dos desvios estatisticamente apurados.
Entretanto, as taxas de crescimento desses Índices parecem apontar para uma
“dependência crônica” dos mesmos, relativamente à escala do corpo-de-prova (tabela
4.1.2-4).
Na tabela referida, uma exceção é feita aos valores dos MORs. Tendo em
vista que os mesmos são calculados na carga máxima do ensaio (isto que dizer, na
carga de colapso estrutural para os concretos não reforçados) e considerando-se que
as fibras exercem uma influência muito pequena sobre as propriedades mecânicas do
CRFA nos níveis de carregamento que antecedem a carga máxima do ensaio, é de se
esperar que com o aumento da altura da estrutura, os valores das tensões máximas
(ou de colapso), decresçam gradualmente, como explicado por Bazant e
colaboradores (Bazant e Pfeiffer, 1987; Bazant e Kazemi, 1990) na formulação da
Lei do Efeito de Escala.
122
4.2 Programa experimental para o estudo do fraturamento do
CRFA
Como discutido anteriormente, a determinação da capacidade do material de
absorver (e dissipar) energia, antes e durante o processo de fissuração e fraturamento,
vem sendo procedida laboratorialmente através da adoção de conceitos fundamentais
da mecânica, a exemplo do monitoramento e da quantificação do trabalho realizado
pela carga aplicada, até determinados níveis de deslocamentos verticais apresentados
pelo corpo-de-prova, observando-se dessa forma, o comportamento global do corpo.
Por sua vez, a fixação desses patamares de deslocamentos ocorre de forma
relativamente arbitrária, isto quer dizer, sem uma motivação suficientemente
fundamentada, quer do ponto de vista físico, quer do ponto de vista técnico.
Um corpo de prova (suponha-se, por exemplo, uma viga não entalhada), será
levado ao colapso; a energia necessária para tanto será computada, se desejado, ao
longo de todo o processo, restando, entretanto, a discussão de até que ponto esse
corpo de prova deve ser solicitado e, a partir de quando, qualquer análise torna-se, de
fato, inútil.
Como um avanço claro na direção de aperfeiçoar os procedimentos de
quantificação da Tenacidade, diversos passos foram dados recentemente. Toma-se
como exemplo, a análise minuciosa dos corpos-de-prova entalhados e de suas
aplicações aos ensaios do CRFA, levadas a efeito por Saldívar (1999).
De igual importância são as propostas desenvolvidas por Gettu,
Gopalaratnam, Carmona e Jamet (em trabalhos já citados ao longo deste texto) de
condução dos ensaios mediante o controle dos CMODs, não somente objetivando a
realização dos ensaios de fraturamento de maneira estável, mas principalmente com
vistas à avaliação da Tenacidade do material, a partir desse parâmetro de
fraturamento.
123
Adequado do ponto de vista laboratorial e consistente do ponto de vista
técnico, este procedimento, fisicamente amparado pela equação 3.2.2-1, é o que
melhor encaminha a questão anteriormente discutida, no entendimento do autor, por
aproximar a Tenacidade Flexional de parâmetros fundamentais de resistência e de
segurança estruturais, que são os parâmetros de resistência ao fraturamento.
A abertura de uma fissura liga-se à profundidade dessa descontinuidade,
comprometendo níveis de recobrimento de armaduras, ocasionando a diminuição das
seções resistentes ou aumentando a permeabilidade estrutural.
Assim, um determinado nível de deslocamento estrutural e, por conseqüência,
a Tenacidade Flexional do material, passam a ser vistos sob um outro enfoque, o da
limitação da abertura das fissuras até níveis estruturais, funcionais ou esteticamente
aceitáveis.
Dessa maneira, o entrelaçamento entre os estudos da Tenacidade Flexional e
da Tenacidade ao Fraturamento, parece inevitável (e desejável), e passa a ser
preliminarmente abordada neste trabalho, mediante o uso das Curvas de Resistência,
concatenando-se, desta maneira, os tópicos abordados nos capítulos anteriores.
Com o objetivo de complementar os estudos anteriormente expostos, relativos
à aplicação das Curvas de Resistência ao entendimento do processo de fissuração e
fraturamento do CRFA, um segundo programa experimental de ensaios de
fraturamento foi conduzido pelo autor.
Esse programa incluiu a moldagem de corpos-de-prova prismáticos para
ensaios de fraturamento à flexão em três pontos, bem como corpos-de-prova
cilíndricos, destinados aos ensaios de determinação de outras propriedades
mecânicas de interesse, como as resistências à compressão simples e à tração, além
de ensaios de caracterização do material em estudo, conforme se passa a expor.
124
4.2.1 Material utilizado na pesquisa
Concreto
O material escolhido para o desenvolvimento do programa experimental da
pesquisa foi um concreto de baixa granulometria. Como agregado graúdo, utilizou-se
o granito britado com Dimensão Característica da ordem de 9,5 mm (porcentagem
máxima retida na peneira com abertura de 9,5 mm igual a 1,33%). A areia utilizada
foi a lavada, proveniente de rio.
A composição unitária desse concreto, em massa, foi 1:1,75:2,75 (cimento,
areia e pedra britada) com uma relação água/cimento igual a 0,55 e resistência à
compressão, aos 63 dias, da ordem de 305 daN/cm2 (30,5MPa).
A escolha dessa faixa granulométrica para o agregado graúdo deveu-se às
dimensões características das fibras de aço utilizadas. Uma caracterização mais
pormenorizada do material é apresentada no Apêndice C, deste trabalho.
Fibras de aço incorporadas ao concreto
As fibras de aço incorporadas ao concreto e disponibilizadas pela empresa
Belgo-Mineira Bekaert Arames S.A., foram do tipo RC 65/35 BN. São fibras de aço
de baixo teor de carbono, coladas umas às outras, com as seguintes características
geométricas:
•
Comprimento (L): 35 mm
•
Diâmetro (d): 0.54 mm
•
Esbeltez ou razão de aspecto (L/d): 65
125
Quatro diferentes teores de fibra de aço foram incorporados ao concreto, em 3
etapas de concretagem, ocorridas em 03/04/2001. Os teores de fibras de aço
utilizados, em massa, foram de 20, 40, 60, 80 e 100 kg de fibras de aço por m3 de
concreto. O processo de adensamento adotado foi o manual, de forma a evitar-se a
segregação e o alinhamento das fibras de aço no fundo das formas (Saldívar, 1999).
4.2.2 Programa de ensaios
Para o estudo da tenacidade do material, submetido à ensaio de flexão em 3
pontos sob condições de controle do deslocamento de abertura da entrada do entalhe,
CMOD, 24 vigas de seção quadrada (10cm de lado por 45 cm de comprimento)
foram preparadas, sendo 4 para cada material (concreto simples e CRFAs).
Os entalhes iniciais foram serrados utilizando-se um disco adiamantado, com
profundidades nominais de 2,5 cm (profundidade normalizada relativamente à altura
a0/W=0.25) e espessuras nominais de corte, da ordem de 0,3 cm.
Para a determinação da resistência à compressão simples e da resistência à
tração, 12 cilindros de 15 x 30 cm foram preparados, sendo 2 para cada material.
Outros 12 cilindros de 10 x 20 cm foram moldados, objetivando a determinação das
massas específicas (seca, submersa e saturada) dos 6 diferentes materiais testados.
126
4.2.3 Resultados dos ensaios
Ensaios de fraturamento
Os ensaios de fraturamento foram conduzidos no Laboratório de Materiais da
Faculdade de Engenharia Mecânica da Universidade Estadual de Campinas, aos 63
dias da data da moldagem dos corpos-de-prova. Para tanto, utilizou-se um
equipamento servo-controlado MTS, modelo TESTSTAR II, empregando uma célula
de carga com capacidade de 100KN.
Os ensaios foram conduzidos sob condição de controle dos deslocamentos de
abertura da entrada do entalhe (CMOD), utilizando-se um extensômetro eletrônico do
tipo clip gauge com comprimento de alcance de 4 mm. As Fig. 4.2.3-1 e 4.2.3-2
ilustram os corpos-de-prova ensaiados e o andamento de um dos ensaios realizados.
Figura 4.2.3-1 – Corpos-de-prova prismáticos ensaiados à flexão
127
Figura 4.2.3-2 – Ensaio de fraturamento à flexão em 3 pontos
O conjunto global de curvas obtidas nos ensaios de flexão em 3 pontos,
relativo aos corpos-de-prova com diferentes teores de fibras de aço encontram-se
reunido no Apêndice D.
A partir dos grupos de curvas obtidas nos ensaios de fraturamento, seis curvas
“médias”, eventualmente representativas dos diversos materiais ensaiados (no que
diz respeito ao teor de fibras de aço), foram selecionadas de forma a obter-se um
conjunto final, “médio” (Fig.4.2.4-1).
A escolha das diversas curvas deu-se a partir da média das forças médias de
ensaio, de cada um dos grupos (0, 20, 40, 60, 80 e 100 kg/m3).
A curva selecionada para cada um dos grupos foi aquela cuja força média
menos se afastou da média geral do grupo. Posteriormente, a curva escolhida de
conformidade com o critério apresentado e referente ao teor de fibras de 80 kg/m3
(desvio de 1.93% relativamente à média do grupo) foi substituída pela curva
subseqüente, em virtude da melhor adaptação dessa última, ao aspecto geral do
conjunto final.
128
O conjunto final com as curvas selecionadas para análises que se seguem, é o
que se apresenta na Fig. 4.2.3-3.
850
800
750
700
650
600
550
P (daN)
500
20 kg/m3
40 kg/m3
450
60 kg/m3
400
80 kg/m3
350
0 kg/m3
100 kg/m3
300
250
200
150
100
50
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
CMOD (mm)
Figura 4.2.3-3 Curvas Carga-CMOD “médias” – Teores de fibra entre 0 e 100 kg/m3
Os resultados dos ensaios dos corpos-de-prova selecionados de acordo com o
critério apresentado, foram posteriormente analisados com o auxílio do programa
TENAC, programa discutido no capítulo 2 deste trabalho.
Os parâmetros relevantes de Tenacidade Flexional para os materiais
ensaiados, preconizados pela ASTM considerando-se, entretanto, a adoção dos
critérios de CMODs sugeridos por Saldívar (1999), encontram-se organizados no
Apêndice D.
129
4.2.4 Implementação computacional
Objetivando a análise simultânea dos parâmetros de Tenacidade Flexional e
de Tenacidade ao Fraturamento dos materiais, partes das rotinas computacionais
escritas para a construção da Curvas de Resistência, assim como daquelas integrantes
do programa TENAC, foram aproveitadas e reunidas em um novo programa.
O procedimento de análise é simples e levado a efeito em duas etapas. Na
primeira delas, para cada ponto P – CMOD do ensaio considerado, determina-se os
valores do CMOD convertido, CMODm, da extensão normalizada da fissura,
relativamente à altura da seção, α, obtendo-se, em decorrência, a extensão da fissura,
c, e a Resistência ao Fraturamento, KR, para o nível de carregamento considerado.
Essas informações deram origem, anteriormente, à Curva de Resistência.
Posteriormente, para cada nível de carregamento, P, obtêm-se, com o auxílio do
programa referido, a Tenacidade Flexional, T, dada pela área sob a curva P –
CMOD para a carga P considerada (se desejado, a equação 3.2.2-1 pode ser usada
para a conversão do trabalho, em termos de deslocamentos verticais da linha de
carga, δ).
Assim, os parâmetros T e α podem ser relacionados, de forma a considerarse a Tenacidade Flexional em função do avanço c da fissura.
Esse avanço, determinado a partir dos conceitos fundamentais da MFEL
permite ter-se uma idéia da profundidade da fissura (uma vez que os mesmos são
valores efetivos), assim como a associação dos níveis de Tenacidade Flexional à
abertura da fissura, propriamente dita, através dos CMODs, para qualquer nível de
carregamento (envolvendo-se, nesse caso, as questões pertinentes ao efeito de escala
do corpo-de-prova).
130
4.2.5 Aplicações aos resultados de ensaio
Os procedimentos anteriormente descritos foram aplicados ao conjunto de
informações relativo aos corpos-de-prova com diferentes teores de fibras
selecionados (Fig. 4.2.4-1).
As Fig. 4.2.5-1 a 4.2.5-6 ilustram, para os corpos-de-prova com diferentes
teores de fibras de aço, as variações da Resistência ao Fraturamento, determinadas ao
longo do processo de fissuração, para os diferentes teores de fibras de aço
consideradas.
Nessa figura, os valores de α foram escalonados de forma a
proporcionar a justaposição das curvas, relativamente ao valor inicial α=0,25.
1400
1200
KR (daN.cm^-1.5)
1000
100kg/m3
80 kg/m3
60 kg/m3
40 kg/m3
20 kg/m3
0 kg/m3
800
600
400
200
0
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
α
Figura 4.2.5-1 – Curvas de KR-α para o CRFA com diferentes teores de fibras de aço.
131
A Fig. 4.2.5-2 ilustra o aspecto das “Curvas de Fraturamento”, baseadas na
Tenacidade Flexional, obtidas para os diversos materiais ensaiados. A Fig. 4.2.5-3 e
4.2.5-4 ilustram os estágios iniciais dessas curvas.
450
400
350
T (daN.mm)
300
F-00
F-20
250
F-40
F-60
200
F-80
F-100
150
100
50
0
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
α
Figura 4.2.5-2 – Curvas de T-α para o CRFA com diferentes teores de fibras de aço
60
50
T (daN.mm)
40
F-00
F-20
F-40
30
F-60
F-80
F-100
20
10
0
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
α
Figura 4.2.5-3 – Curvas de T-α para o CRFA - Estágios iniciais
0.5
132
Figura 4.2.5-4 – Curvas de KR-α para o CRFA - Estágios iniciais
Com o objetivo de avaliar simultaneamente o comportamento da Resistência
ao Fraturamento e da Tenacidade Flexional ao longo do processo de fissuração, essa
duas grandezas foram plotadas, uma versus a outra, para idênticos valores de α .
Isso foi feito a partir do ajuste de uma família de funções racionais aos dados
obtidos computacionalmente. A Fig. 4.2.5-5 ilustra a relação existente entre a
Resistência ao Fraturamento e a Tenacidade Flexional para a geometria utilizada e os
diversos teores de fibras de aço adicionados ao concreto.
A Fig. 4.2.5-6 traz os estágios iniciais das curvas que resultam da relação KRT, para uma melhor elucidação da questão.
133
800
700
KR (daN.cm^-1,5)
600
500
F-00
F-20
F-40
400
F-60
F-80
F-100
300
200
100
0
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
T (daN.mm)
Figura 4.2.5-5 – Relação KR - T para o CRFA com diversos teores de fibras de aço
500
450
400
KR (daN.cm^-1,5)
350
F-00
F-20
F-40
F-60
F-80
F-100
300
250
200
150
100
50
0
0
50
100
T (daN.mm)
Figura 4.2.5-6 – Relação KR - T para o CRFA - Estágios iniciais
150
134
4.2.6 Discussão
A construção das curvas de resistência a partir das informações decorrentes
dos ensaios procedidos nesta fase das pesquisas permitiu a avaliação da evolução da
Resistência ao Fraturamento do CRFA, quando do aumento do teor de fibras de aço
incorporados à matriz.
Da análise das Fig. 4.2.5-1 e 4.2.5-4 observa-se que o
aumento progressivo do teor de fibras de aço conduz a aumentos significativos dessa
resistência, comparativamente à da matriz utilizada, mesmo para valores
intermediários de α (como 0,5, por exemplo, para o material investigado).
Observa-se que a partir dessa posição, o crescimento da Resistência ao
Fraturamento assume proporções quase exponenciais. Analisando-se, por exemplo, a
ponta da fissura efetiva situada a 80% da altura, depreende-se que a Resistência ao
Fraturamento alcança valores aproximadamente 5 vezes superiores àqueles
verificados à meia-altura da seção, se considerado o maior dos teores de fibras
investigado.
Para
teores
intermediários
esse
ganho
chega
a
3
vezes,
aproximadamente.
Em que pese o extraordinário aumento da resistência ao fraturamento
verificado em termos globais nos estágios finais dos ensaios, observa-se que a
evolução desse ganho ocorre, no estágio inicial da fissuração que se segue à carga de
pico (0,27<α< 0,35 ou 0,42, dependendo do teor de fibras), de forma bem mais lenta
e aproximadamente linear (fase 1). Como nesse intervalo a resposta da matriz é
aproximadamente linear, contudo em níveis inferiores de resistência, tudo leva a crer
que nessa fase ocorra o tensionamento das fibras e o início de transmissão de tensões
entre as faces da fissura promovida pelas fibras de aço.
Ainda, após a região onde α situa-se entre 0,4 e 0,5 (fase 2) nota-se que tem
início o processo de crescimento rápido da resistência ao fraturamento, o qual
certamente associa-se ao processo de arrancamento das fibras de aço e que reflete a
efetividade das fibras em termos de acréscimo de resistência ao fraturamento. Esse
135
processo, sabidamente não linear, é responsável pela maior parte da dissipação de
energia envolvida no fraturamento. Observa-se que o crescimento de resistência ao
fraturamento, além de não linear, é um processo regular, isto é, com características
claramente definidas pelo teor de fibras incorporado ao concreto, fato que se constata
através da conformação das curvas de resistência.
Para uma melhor elucidação dessa questão, dois outros casos estudados e
relativos aos ensaios procedidos por Saldívar, são apresentados no Apêndice E.
As observações anteriores conduzem à constatação de outro aspecto
relevante, associado à metodologia aqui desenvolvida de construção das Curvas-R,
que é a habilidade do modelo em capturar o regime inicial de transferência de
tensões entre as faces da fissura (e do conseqüente tensionamento das fibras de aço),
assim como aquele relativo ao processo de arrancamento das fibras de aço, nos
estágios finais do processo de fraturamento.
Por outro lado, o gráfico da Tenacidade Flexional (Fig. 4.2.5-2 e 4.2.5-3)
construído em função de um parâmetro da Mecânica da Fratura (α, no caso) permite
a visualização, ao longo do processo de fissuração, do comportamento do trabalho
realizado pela carga externa, em termos acumulados. Além de não linear, o trabalho
acumulado aumenta vertiginosamente e com regularidade também definida pelo teor
de fibras de aço incorporado à matriz, oferecendo assim, a comprovação ao que se
afirmou anteriormente com relação ao crescimento da Resistência ao Fraturamento,
no que diz respeito ao suprimento da energia dissipada no processo de arrancamento
das fibras de aço (em termos de G e R).
Se essas grandezas, KR e T se associam, delas naturalmente devem emanar
uma relação. Com o intuito de esboçar essa relação, construiu-se um gráfico onde KR
é plotado em função de T (Fig. 4.2.5-4 e 4.2.5-5). Como essas grandezas foram
determinadas para idênticos valores de α, teoricamente as curvas computadas têm a
mesma extensão normal (o número de pontos em cada uma delas é exatamente o
mesmo e referem-se ao mesmo semi-intervalo normal 0,3≤ α ≤0,80).
136
Em virtude do pequeno número de curvas P-CMOD utilizado neste estudo
(apenas a curva “média” de cada um dos grupos representativos dos teores de fibras
de aço), o comportamento dessas curvas KR-T dentro do intervalo delimitado pelas
curvas mais externas (superior e inferior) não ficou suficientemente claro. Entretanto,
tudo indica que a relação KR-T aqui estabelecida seria um importante subsídio às
atividades de projeto.
Neste capítulo, a formulação desenvolvida para a construção da Curvas de
Resistência fundamentadas na relação P-CMOD foi aplicada à análise do processo de
fraturamento de materiais cimentícios de interesse.
Inicialmente, o comportamento de uma rocha sedimentar foi monitorado ao
longo do processo de fissuração, ocasião em que se constatou a habilidade do modelo
em capturar o regime de crescimento subcrítico da fissura, conhecido entre os
pesquisadores da área como Comportamento-R. Ainda, os valores de Resistência ao
Fraturamento, KR, determinados de conformidade com o modelo implementado
mostraram-se comparáveis, até certos limites, àqueles determinados de conformidade
com o Modelo dos Dois Parâmetros, revisto no princípio deste trabalho.
Posteriormente, procedeu-se a retro-análise de informações decorrentes de
ensaios de concretos de alta resistência, material que apresenta regime de ruptura
relativamente frágil. Nesse caso, os valores de KR computados após a carga máxima
deram origem à formação de patamares de relativa constância da Resistência ao
Fraturamento ao longo do processo de fissuração, demonstrando a consistência do
modelo relativamente à aproximação de situações de fragilidade. Constatou-se ainda
que, mesmo nos casos onde um comportamento de relativa fragilidade do material é
esperado, em seus estágios finais a Curva de Resistência apresenta comportamento
ascendente, refletido o “ganho” de resistência do material que eventualmente decorre
137
da manifestação de mecanismos como os de engrenamento e arrancamento dos
agregados.
Nos casos anteriormente referidos constatou-se também que os maiores níveis
de Resistência ao Fraturamento ocorrem bem após a carga máxima, fato
suficientemente comprovado por outros pesquisadores (p. ex. Banthia e Sheng,
1996), através do uso de diferentes técnicas de determinação da Resistência ao
Fraturamento.
Em etapa posterior, o modelo desenvolvido foi preliminarmente aplicado à
descrição do processo de fraturamento do CRFA com teores diversos de fibras de
aço, a partir de informações de ensaio realizados por Saldívar (1999). Nessa ocasião
verificou-se o acréscimo de resistência ao fraturamento promovido pelas fibras de
aço nas fases anterior e posterior à carga máxima de primeiro pico, assim como a
variabilidade dessa resistência em função do teor de fibras de aço incorporadas ao
concreto.
A essa etapa sucedeu-se uma detalhada análise do efeito de escala do corpode-prova sobre as respostas de Resistência ao Fraturamento, levada a efeito através
da aplicação das Curvas-R para a descrição dos processos de fissuração dos
concretos de alta resistência e do CRFA, ensaiados por Jamet et al.(1995) utilizando
vigas com similaridades bidimensionais. Para a viabilização desses estudos foram
determinadas as equações da MFEL para as “vigas curtas”.
Essas análises permitiram concluir que para materiais como o CAR, com a
variação da escala do corpo-de-prova a convergência das curvas de resistência a
patamares constantes é muito rápida. Ainda, que essa variação ocorra de forma
consistente, uma vez que as variações das respostas de resistência ao fraturamento
são progressivamente menores, com a variação da escala do corpo-de-prova. Por
outro lado, esses estudos conduziram ao entendimento de que vigas com alturas da
ordem de 90mm são eventualmente insuficientes ao estudo da Tenacidade ao
138
Fraturamento dos concretos, mesmo que para tanto sejam utilizados modelos efetivos
como o implementado neste trabalho.
Relativamente ao CRFA concluiu-se que a influência das fibras de aço sobre
a resistência ao fraturamento, em termos de variabilidade, só seria desprezível para
vigas (ou estruturas) com alturas extremamente elevadas, eventualmente superiores a
2m, mesmo que em termos efetivos, o que eventualmente a tornaria dificilmente
desvinculável, em termos práticos, da escala da estrutural.
Da análise dos Índices Adimensionais computados para as vigas de diferentes
alturas, observa-se que esses parâmetros são fortemente influenciados pela escala
estrutural, crescendo, com o crescimento da escala estrutural.
Posteriormente, um programa experimental para o estudo do CRFA foi
levado a efeito. Como principal variável, a influência da variação do teor de fibras
incorporado à matriz sobre as respostas de Resistência ao Fraturamento e de
Tenacidade Flexional, foi estuda.
Nesta etapa das investigações identificou-se a habilidade do modelo de
capturar o regime inicial de transferência de tensões entre as faces da fissura (e do
conseqüente tensionamento das fibras de aço), assim como aquele relativo ao
processo de arrancamento das fibras de aço nos estágios finais do processo de
fraturamento, tendo ficado o comportamento do material, relativamente às
solicitações de fraturamento, convenientemente demonstrado através do modelo.
Finalmente, a relação existente entre a Tenacidade Flexional e a Tenacidade
ao fraturamento foi preliminarmente exposta. Entretanto, o primeiro desses
parâmetros, além de altamente suscetível às questões de escala, não apresenta a
consistência da Resistência ao Fraturamento como a verificada na avaliação de
detalhes do processo de fraturamento, evidenciando o fato de que a Resistência ao
Fraturamento, KR, parece tratar-se de um parâmetro, além de mais fundamental,
também mais consistente.
139
5. ADAPTAÇÃO DO CORPO-DE-PROVA CILÍNDRICO PARA
ENSAIOS
DE
DETERMINAÇÃO
DA
TENACIDADE
AO
A consolidação da aplicação dos corpos-de-prova cilíndricos aos ensaios de
determinação de parâmetros de resistência mecânica dos materiais de construção
civil parece um fato irreversível.
A idéia de estender-se a utilização dos corpos-de-prova do tipo CEV às
atividades diretamente relacionadas à determinação da Tenacidade ao Fraturamento
dos concretos (com vistas ao controle de qualidade do material), vem ganhando força
nos últimos anos, em função das vantagens verificadas quando da comparação desses
corpos-de-prova com aqueles convencionais (vigas) propostos, dentre outros, pela
ASTM e pela RILEM. Destacam-se, dentre as vantagens referidas, as que se seguem:
•
Baixo consumo de material utilizado na moldagem dos corpos-de-prova;
•
Facilidade de estocagem dos corpos-de-prova em atividades laboratoriais;
•
Certeza da trajetória de crescimento da fissura, uma vez que, a mesma tem
início, via de regra, no ápice do entalhe;
•
Possibilidade de adaptação do cilíndrico de 15cm x 30 cm, amplamente
difundido entre os engenheiros civis para a determinação das resistências à
compressão e tração (indireta) do concreto;
•
Utilização de corpos-de-prova convencionalmente produzidos, se os entalhes
puderem ser produzidos a posteriori;
•
Geometria básica coincidente com a dos testemunhos extraídos de estruturas
existentes.
Entretanto, do ponto de vista laboratorial esses corpos-de-prova também reúnem
desvantagens, tais como:
140

Maior fragilidade do corpo-de-prova (do ponto de vista geométrico), no que
diz respeito ao manuseio inevitável do mesmo, ao longo da sua vida útil
(produção, transporte e procedimentos de ensaio).

Produção do entalhe em “V”:
o Quando serrados, esses entalhes significam um maior dispêndio de
trabalho técnico especializado e incertezas relativas à qualidade
geométrica final do corpo-de-prova.
o Quando moldados, via de regra requererem formas e outros
dispositivos especiais, como placas de inserção e aparatos de fixação
(se alguma precisão geométrica for desejada). Nesse caso específico,
reúnem ainda outros inconvenientes, tais como:

Risco de segregação do material junto às placas de inserção;

Fechamento do entalhe, por aproximação dos braços, se as
placas forem removidas prematuramente;

Aprisionamento das placas de inserção, se a tentativa de
remoção for tardia (após o endurecimento do concreto).
Tecnicamente, os corpos-de-prova com entalhe em “V” parecem preferíveis
às vigas convencionais.
De uma forma geral, para corpos-de-prova com entalhes em “V” de diferentes
tamanhos, mas geometricamente similares (com mesmas proporções geométricas), os
Fatores de Intensidade de Tensões durante o processo de fraturamento podem ser
escritos da forma que se segue (Barker, 1979, Munz et al., 1980):
KI =
P
.Y *
B. W
(5-1)
onde P é carga vertical aplicada, B é o diâmetro do corpo-de-prova cilíndrico ou a
base da viga de seção retangular e W o comprimento do cilindro ou a altura da seção
transversal, no caso das vigas. Y* é o Fator de Intensidade de Tensão Adimensional
de dependência geométrica e da forma de carregamento do corpo-de-prova,
141
usualmente escrito em função da extensão a da fissura e da profundidade inicial do
entalhe, ao (normalizadas relativamente à altura do corpo-de-prova, ou seja, α=a/W
e αo= ao/W).
Ainda, durante um ensaio de fraturamento e mesmo sob condições de
controle da carga, o entalhe em forma de “V” produz a sua própria pré-fissuração de
forma estável, uma vez que a geometria do entalhe proporciona frontes crescentes
para a fissura. Nesse caso, durante os primeiros estágios de propagação da fissura, a
função dos Fatores de Intensidade de Tensão, Y*, decresce, conforme ilustrado na
Fig. 5-1.
Figura 5-1 – Função dos Fatores de Intensidade de Tensão para uma viga com entalhe em “V”.
Ao se assumir que a Curva de Resistência do material seja ascendente até a
carga máxima do ensaio e que posteriormente mantenha-se horizontal (constante),
decorrerá que em estágios de solicitação inferiores ao da carga de pico, via de regra
haverá a necessidade de aumentar a carga externa para que a fissura apresente algum
crescimento. Abstrai-se desse raciocínio outros fenômenos de crescimento da fissura,
como o subcrítico (em materiais de comportamento inelástico) e o crescimento
metaestável.
142
A calibragem da geometria e das condições de carregamento a que está
submetido o corpo-de-prova é usualmente feita utilizando-se métodos numéricos,
(como o dos elementos finitos e dos elementos de contorno, dentro de análises
elásticas tridimensionais do corpo-de-prova), analiticamente, assumindo-se hipóteses
simplificadoras ou ainda, com menor precisão, através da calibragem experimental
que faz uso de técnicas de análise da variação de flexibilidade.
Durante o processo de fissuração e fraturamento desse tipo de corpo-deprova, observa-se que, por ocasião da carga de pico a função dos Fatores de
Intensidade de Tensão passa por um valor mínimo e a extensão da fissura nesse
estágio atinge um valor crítico aC, onde α= αcrítico. Após a carga máxima, a referida
função volta a crescer (isto é, ∂KI/∂α > 0) e o regime de propagação da fissura passa
a ser instável, isto é, o crescimento da fissura ocorre sem que haja aumento do
carregamento externo.
Dessa maneira, o cálculo da Tenacidade ao Fraturamento para materiais de
comportamento elástico linear, no Modo I (abertura), pode ser procedido a partir da
carga máxima do ensaio, e é representada pelo valor do Fator de Intensidade de
Tensão Crítico, KIC, verificado na extensão crítica da fissura, aC. Assim, a equação
5-1 pode ser reescrita em função dos parâmetros críticos referidos, da forma que se
segue:
K IC =
Pmax
.Y *min
B. W
(5-2)
Para materiais de resposta elástica linear, em que a extensão da zona de
processos inelásticos pode ser considerada desprezível relativamente a outras
dimensões significativas do corpo-de-prova fissurado ou da própria fissura, os
valores de Tenacidade ao Fraturamento, KIC, assim obtidos, aparentemente não são
afetados pelo efeito de escala (no sentido estrito dado ao termo, embora persistam as
limitações relativas às dimensões mínimas do corpo-de-prova), sendo função
exclusiva da carga máxima obtida no ensaio, Pmax, e do Fator de Intensidade de
143
Tensões Adimensional Mínimo, Y*min, cuja solução decorre da calibragem do corpode-prova.
Observa-se finalmente que, tanto Y*min quanto a extensão crítica da
fissura, aC, “praticamente” independem das propriedades do material (elástico
linear), relacionando-se exclusivamente com a geometria e com a forma de
carregamento do corpo-de-prova.
A calibragem da geometria (e das condições de carregamento a que está
submetido o corpo-de-prova) é usualmente feita utilizando-se métodos numéricos,
como o dos elementos finitos e dos elementos de contorno, dentro de análises
elásticas tridimensionais do corpo-de-prova ou analiticamente, assumindo-se
hipóteses simplificadoras. Com menor precisão, também pode ser procedida
experimentalmente, através da utilização de técnicas de análise da variação de
flexibilidade, para sucessivos avanços da fissura.
A utilização de entalhes em “V” vem sendo praticada já há algum tempo pela
International Society for Rock Mechanics (ISRM, 1988), para a determinação da
tenacidade ao fraturamento de rochas, em corpos-de-prova cilíndricos construídos de
testemunhos de sondagens, quer em ensaios de abertura diametral, utilizando-se o
CEV (short rod), quer em ensaios de flexão de vigas aqui denominadas V-CEV
(Viga Cilíndrica com entalhe em “V”), internacionalmente conhecidas como
chevron-bending (Ouchterlony, 1980, 1987, 1990). Esse corpo-de-prova é ilustrado
na Fig. 5-2.
Figura 5-2 – Corpo-de-prova V-CEV (Viga Cilíndrica com entalhe em “V”)
144
Esse corpo-de-prova, originário do SECRBB (single edge crack round bar in
bending) introduzido por Bush (1976), apud Ouchterlony (1980) parece o mais
adequado para ensaios de rochas, uma vez que as amostras desse tipo de material,
usualmente estão disponíveis sob a forma de testemunhos cilíndricos. Uma ilustração
do SECRBB é feita na Fig. 5-3.
Figura 5-3 – Corpo-de-prova SECRBB
Dentre as vantagens apresentadas pelo V-CEV, cita-se a simplicidade como
são conduzidos os ensaios, isto é, à flexão em 3 pontos, comparativamente aos
procedimentos de ensaio do CEV (short rod), preconizados pela ISRM (abertura
diametral por tração direta). Cita-se ainda, a possibilidade de construção desses
últimos, utilizando o mesmo material, a partir das partes remanescentes do ensaio da
V-CEV.
Esse fato parece bastante significativo no caso de ensaios de determinação da
resistência ao fraturamento, em direções ortogonais. Assim, pode-se afirmar que os
corpos-de-prova anteriormente mencionados se complementam.
A equação 5-1 pode ser particularizada para os corpos-de-prova cilíndricos,
que apresentam o diâmetro como principal dimensão característica, da forma que se
segue:
145
KI =
P
.A
D1.5
(5-3)
Na expressão anterior, KI é o Fator de Intensidade de Tensão verificado no
nível P de carregamento e A, o fator de dependência geométrica e de carregamento
do estágio considerado, análogo à Y. De acordo com Ouchterlony (1990), a
Tenacidade ao Fraturamento determinada com a V-CEV para um material de
resposta elástica linear, obtida em condições críticas, é dada por:
K CB =
Pmax
.Amin
D1.5
(5-4)
onde:
KCB= Tenacidade ao Fraturamento, obtida com o corpo-de-prova V-CEV;
PMAX= Carga máxima do ensaio;
AMIN= Constante geométrica do corpo-de-prova.
e:
a
a  S

AMIN = 1.835 + 7.15. o + 9.85.( o ) 2 .
D
D  D

(5-5)
com:
S=3.33D ± 0.02D; a0=0.15D ± 0.10D; 2θ=900 ± 10 (ângulo da ponta do chevron);
t ≤ 0.03D ou 1mm (maior valor, para a abertura do entalhe).
A determinação da Constante de Dependência Geométrica ou Fator de
Intensidade de Tensão Adimensional, AMIN, para a geometria da V-CEV adotada
pela ISRM, foi procedida inicialmente por Ouchterlony (1980), ocasião em que
diversas relações a0 / D para o corpo-de-prova foram estudadas.
Posteriormente, Gerstle (1985) apud Ouchterlony (1987) levou a efeito a
primeira análise numérica tridimensional da geometria do espécime usando o método
146
dos elementos de contorno. Em 1987, Takahashi et. al. desenvolveram a calibragem
experimental do corpo-de-prova usando técnicas de análise de variação de
flexibilidade. Aparentemente, a última verificação dessa constante foi procedida
computacionalmente, em 3 dimensões e através do método dos elementos finitos, por
Ouchterlony (1987).
Como exposto anteriormente, para o concreto, algumas rochas e materiais
cimentícios de ruptura quase-frágil, a Tenacidade ao Fraturamento deve ainda ser
corrigida relativamente ao comportamento inelástico do material, o que é feito
através da utilização de um Fator de Correção da Não-Linearidade, p, cujo
embasamento teórico se apresenta no Apêndice F. Esse fator de correção é obtido de
diversos ciclos de carregamento e descarregamento do corpo-de-prova conforme
ilustra a Fig. 5-4. Assim, a Tenacidade ao Fraturamento passa a ser obtida da forma
que se segue:
K
C
CB
1+ p 

= 
1− p 
0.5
Pmax
. Amin
D1.5
(5-6)
Figura 5-4 – Ciclos sucessivos de carregamento e descarregamento do corpo-de-prova.
147
A
respeito
dos
corpos-de-prova
dessa
natureza,
considerações
complementares devem ser feitas. Dos conceitos fundamentais da Mecânica do
Fraturamento Elástico Linear sabe-se que a Taxa de Dissipação de Energia relacionase com o Fator de Intensidade de Tensão, para o Modo I de fraturamento em estado
plano de deformação, através da equação:
K I2
G I = (1 − ν ).
E
2
(5-7)
Por sua vez, o cálculo de KI pode ser procedido através da análise da variação
de flexibilidade do corpo-de-prova, através do cálculo da Taxa de Dissipação de
Energia Potencial Elástica para a extensão elementar ∂a de uma fissura reta passante,
utilizando-se a equação:
GI =
P 2 ∂C
.
2 B ∂a
(5-8)
onde:
P= Carregamento externo;
B= Base ou espessura do corpo-de-prova;
C= δ / P = Flexibilidade do corpo de prova;
δ= Deslocamento vertical da linha de carga;
E= Módulo de Elasticidade do Material;
ν= Coeficiente de Poisson do material.
Sabe-se já há algum tempo que a magnitude dos Fatores de Intensidade de
Tensão, KI, não é constante ao longo da linha de frente da fissura. Por exemplo, em
corpos-de-prova de materiais metálicos com entalhes retos passantes e submetidos à
flexão em três pontos, verifica-se que durante o processo de fraturamento a fissura
progride mais rapidamente na região central da linha de frente, eventualmente em
148
função do estado de confinamento de tensões que se verifica nessa região,
comparativamente às regiões próximas às faces laterais da viga.
Curiosamente, para materiais cimentícios constata-se que o crescimento
ocorre mais rapidamente nos flancos da fissura, fato suficientemente comprovado
experimentalmente através da utilização de diferentes técnicas, como as de
penetração de fluidos de baixa viscosidade e de emissão acústica (Swartz e Go, 1984;
Bascoul et al., 1985 apud Shah et al., 1995).
Para corpos-de-prova com entalhe em “V” (chevron notch) carregados da
forma usual (Modo I, de abertura), os valores de KI são mais elevados nas
extremidades da linha de frente da fissura, se comparados àqueles computados em
outras posições. Esse fato, naturalmente, ocasiona a antecipação do avanço da fissura
nos flancos da fissura e que confere à linha de frente da fissura uma curvatura
acentuada (Ingraffea et al., 1984; Gerstle, 1985; Ouchterlony, 1987; Bittencourt,
1990), conforme ilustrado na Fig. 5-5.
Figura 5.-5 – Seção transversal central do corpo-de-prova chevron-bending na carga máxima.
Observe-se o fronte curvo da fissura (Ouchterlony, 1987).
149
O raio de curvatura da linha de frente da fissura, por sua vez, é uma variável
que depende não só da Tenacidade ao Fraturamento do material (pelas razões
anteriormente expostas), mas também da geometria do entalhe, a ser abordado no
próximo capítulo desta tese. Com efeito, a distribuição de tensões na região da ponta
do entalhe em “V”, numericamente obtida com o auxílio do Método dos Elementos
Finitos, sugere a natureza naturalmente curva da linha de frente da fissura, conforme
se visualiza na Fig. 5-6.
Figura 5-6 – Distribuição das tensões principais σ1 na seção média do corpo-de-prova (seção que
contém o entalhe em “V”)
Dessa forma, a análise do processo de fissuração e fraturamento a partir da
conjugação das equações 5-7 e 5-8, deve ser realizada mediante o entendimento
prévio de que as Taxas de Liberação de Energia Potencial Elástica, envolvidas nos
sucessivos avanços elementares da fissura e calculadas através das conseqüentes
variações de flexibilidade do corpo-de-prova quando desses avanços, retratam
respostas globais (médias, por assim dizer) do corpo-de-prova, implicando (implícita
ou explicitamente) a consideração de uma linha de frente reta, média, para a fissura
em questão, configuração fictícia que raramente se verificaria em situações reais.
Conseqüentemente, valores de KI obtidos através de técnicas de análise de
variação da flexibilidade, usualmente utilizados para a calibragem experimental dos
corpos-de-prova destinados a ensaios de fraturamento, podem ser comparados com
150
aqueles decorrentes de análises do campo local de tensões no fronte da fissura (por
exemplo, os numericamente computados utilizando-se o Método dos Elementos
Finitos ou o Método dos Elementos de Contorno), apenas de forma aproximada.
A adoção de valores médios para os Fatores de Intensidade de Tensão, isto
quer dizer, a desconsideração dos Fatores de Intensidade de Tensões computados nas
regiões próximas às extremidades da linha de frente da fissura, onde valores de KI
são mais elevados, vem sendo procedida pela maioria dos pesquisadores, conduta
que também se adota ao longo deste trabalho.
5.1 – Geometria do corpo-de-prova
Como explicado, um dos objetivos deste trabalho é a adaptação do cilindro de
150mm x 300mm ao corpo-de-prova V-CEV (chevron-bending) para a realização de
ensaios de fraturamento dos concretos. As razões para a utilização desse cilindro
também já foram apontadas e pormenorizadas.
A geometria adotada neste trabalho faz uso de um entalhe central em “V”,
serrado, com largura de 3mm. A largura desse corte decorre da espessura das fitas de
aço, adiamantadas, usualmente encontradas nos equipamentos (serras) refrigerados à
água existentes no mercado, bem como dos discos rotativos usados para a confecção
de corpos-de-prova de concreto e rocha (abertura de entalhes ou desdobramento de
testemunhos). Observa-se que a largura t adotada para o entalhe atende às
recomendações da ISRM (1988), isto é, t ≤ 0.03D, no caso 4,5 mm.
Outras razões justificam o entalhe serrado em
detrimento ao entalhe
moldado, a exemplo da fragilização do corpo-de-prova em idades recentes do
concreto e da necessidade de formas e aparatos especiais para a moldagem do corpode-prova.
151
A entrada do entalhe foi posicionada a uma distância de 25mm da
extremidade do ligamento (dimensão característica usual do agregado graúdo). O
ângulo do ápice do entalhe em “V” foi fixado, por razões de ordem prática, em 900.
A adoção do ângulo reto viabiliza a execução de cortes mutuamente
perpendiculares, o que implica na simplificação dos procedimentos com conseqüente
redução do tempo gasto com o preparo do corpo-de-prova e diminuição das
imprecisões naturalmente existentes no processo.
A Fig. 5.1-2 ilustra a geometria adotada para a V-CEV, para ensaios à flexão
em 3 pontos, com um vão livre de 260mm.
Figura 5.1-2 – Dimensões relevantes da V-CEV – Dimensões em milímetros.
152
5.1.1 Equações relativas à geometria e determinação das dimensões
relevantes do corpo-de-prova V-CEV
A seção transversal do corpo-de-prova que contém o entalhe em “V” com
ângulo central 2θ=90o, ilustrada na Fig. 5.1-2, apresenta parâmetros geométricos
relevantes que podem ser avaliados através das equações que se seguem.
Figura 5.1-2 - Seção Transversal da região entalhada
•
Profundidade relativa do entalhe inicial ou profundidade normalizada do
entalhe inicial, relativamente ao diâmetro do corpo-de-prova:
αo =
•
ao
D
(5.1.1-1)
Profundidade relativa da base do entalhe em “V” ou profundidade
normalizada da base do entalhe em “V”, relativamente ao diâmetro do
corpo-de-prova:
153
α1 =
a1
D
α1 =
1
1 + 2α o + 1 + 4α o − 4α o2
4
(5.1.1-2)
onde:
•
[
(
0.5
]
(5.1.1-3)
Extensão B1 da base do entalhe, dada por:
(
B1 = 2 D α1 − α 12
•
)
)
0.5
(5.1.1-4)
Área total do ligamento, ALIG de acordo com a equação:
ALIG =
[
]
1 2
D .(π − 2.β ) + 2.B1.D.(1 − 2.α o )
8
(5.1.1-5)
com:
β=
π
180
. arcsen(2α1 − 1)
(5.1.1-6)
Se desmembrada em duas parcelas, representativas respectivamente das áreas
superior e inferior do ligamento, ALIG pode ser escrita da forma que se segue:
 D2  π β
D   B

ALIG = ASUP + AINF =  . − − B1  a1 −   + 1 .(a1 − ao )
2   2

 2 4 2
(5.1.1-7)
154
Para o corpo-de-prova cilíndrico em estudo (15cmx30cm) obtem-se, com o
auxílio das equações 5.1.1-1 até 5.1.1-7, as dimensões relevantes da seção transversal
a seguir apresentadas na tabela. 5.1.1-1:
Tabela 5.1.1-1 - Informações geométricas de interesse, relativas à seção transversal entalhada.
ao
d
(cm)
(cm)
2.5
15
αo
0.1667
α1
0.6451
a1
b1
ASUP
AINF
2
2
ALIG
(cm)
(cm)
(cm )
(cm )
(cm2)
9.6771
14.3541
56.1658
51.5104
107.6762
Nesse caso, a proporção entre as áreas da seção transversal plena, ATOT, e a
área do ligamento, ALIG, é da ordem de 0,6093, ou seja, aproximadamente 61%.
5.2 – Dispositivos de apoio e transmissão de carga
Aparentemente, um dos problemas apresentados pela metodologia da ISRM
(1988) reside na maneira como o corpo-de-prova é apoiado e solicitado. Por
simplicidade, cilindros metálicos são utilizados pra esse fim. Em ensaios de
mecânica da fratura, a energia, o tanto quanto possível, deve ser dissipada com o
crescimento da fissura, ou seja, a dissipação energética nos pontos de contato do
corpo-de-prova deve ser minimizada para que a Tenacidade ao Fraturamento possa
ser avaliada corretamente (Karihaloo e Nalathambi, 1991; Guinea et al., 1992; Shah
et al., 1995).
No caso de corpos-de-prova cilíndricos submetidos à flexão, a questão ganha
maior importância, em virtude da forma geométrica apresentada pelas partes em
contato. A concentração de tensões nessas regiões conduz a uma dissipação de
energia acentuada, usualmente envolvida com o esmagamento do material.
155
Nota-se, entretanto, que essa questão central não foi suficientemente tratada
até a presente data, em função, não só das naturais dificuldades inerentes ao
desenvolvimento e construção de aparatos especiais de apoio e transmissão de carga
ao corpo-de-prova, bem como em função do nível de dificuldades associadas à
modelagem numérica do corpo-de-prova, no que diz respeito à indisponibilidade de
ferramentas computacionais eficientes (software e hardware) à ocasião em que
pesquisas relevantes sobre o assunto foram levadas a efeito.
Com o objetivo de minorar o problema da dissipação energética nos pontos
de contato, novos aparatos foram investigados neste trabalho. Dentre as diversas
possibilidades estudadas pelo autor, optou-se por aquela que faz uso de cilindros
torneados (ou parte deles), de forma a acomodar geometricamente o corpo-de-prova
nas regiões de apoio e aplicação da carga, substituindo os pontos de contato por
linhas e superfícies.
Algumas combinações de diferentes dispositivos de apoio e transmissão de
carga ao corpo-de-prova, incluindo o uso de cilindros convencionais são abordadas
nas fases experimentais e de simulações numéricas deste trabalho.
5.2.1 - Dispositivos de apoio
Para a confecção dos dispositivos alternativos de apoio dos corpos-de-prova,
foram utilizados cilindros maciços de aço com 50mm de diâmetro e 125mm de
comprimento, torneados na região central de forma a poderem acomodar cada
extremidade do CP, sobre extensões, em projeção horizontal, da ordem de 60 mm. A
profundidade máxima de corte adotada foi de 6,26 mm, na seção central, decorrente
de um raio de curvatura de 75mm.
156
Após a usinagem, os cilindros receberam polimento superficial e foram
fixados com o vão-livre previsto de 26 cm e o conjunto posteriormente adaptado ao
equipamento de ensaio. A Fig. 5.2.1-1 ilustra o dispositivo construído.
Figura 5.2.1-1 –Dispositivos de apoio do corpo-de-prova
5.2.2 - Dispositivos de transmissão de carga ao corpo-de-prova
Alternativamente ao cilindro de raio usualmente adotado para a transmissão
da carga e com o objetivo de minorar ao máximo a dissipação de energia na região
de transmissão de carga ao corpo-de-prova, diversos aparatos que substituíssem o
contato ponto-a-ponto por um contato superficial foram estudados.
Para
tanto,
diferentes
dispositivos
foram
concebidos,
simulados
computacionalmente pelo método dos elementos finitos e finalmente construídos. As
dimensões do dispositivo de transmissão de carga finalmente utilizado para a
realização dos ensaios passam a ser ilustradas na Fig.5.2.2-1.
157
Figura 5.2.2-1 – Dispositivo de transmissão de carga (dimensões construtivas em mm).
Esse dispositivo, capaz de proporcionar ajuste na direção transversal do
corpo-de-prova, por translação, foi fixado a um prisma de aço de grande rigidez
(100mmx100mmx400mm), e conectado à célula de carga do equipamento de ensaio,
conforme mostra a Fig. 5.2.2-2.
Figura 5.2.2-2 – Dispositivo de transmissão de carga ao corpo-de-prova.
158
O conjunto de aparatos alternativos, para apoio e solicitação do corpo-deprova, é o que se apresenta na Fig. 5.2.2-3.
Figura 5.2.2-3 – Conjunto de aparatos alternativos, para o apoio e solicitação dos corpos-de-prova
5.3 – Simulações numéricas tridimensionais
5.3.1 – Objetivos das simulações numéricas
As simulações numéricas foram subdivididas em duas etapas distintas. A
primeira delas, desenvolvidas com o auxílio de programas baseados no Método dos
Elementos Finitos (MEF), objetivou a avaliação dos aparatos de apoio e transmissão
de carga ao corpo-de-prova. O processo de fissuração e fraturamento do corpo-deprova foi estudado através do Método dos Elementos de Contorno (MEC). As
159
simulações foram conduzidas utilizando-se, em ambos os casos, modelos
tridimensionais.
A primeira série de análises foi procedida utilizando-se o programa ANSYS
(1996), código de análise baseado nas técnicas do MEF, e pode ser resumida, de
conformidade com os objetivos básicos, da forma que se segue:
•
Análise não-linear da transmissão de carga ao corpo-de-prova pelos
dispositivos de apoio e carregamento concebidos, considerando-se as
condições de contato entre os diferentes sólidos. Nesse estágio das
análises foram avaliadas as concentrações de tensões e a uniformidade
da transmissão de carga ao longo da história de carregamento.
•
Análise não-linear da influência do atrito entre as partes em contato no
processo de transmissão de carga.
•
Avaliação comparativa dos níveis de dissipação de energia nos pontos
de contato do corpo-de-prova quando da utilização dos aparatos
concebidos, relativamente à solicitação em 3 pontos com cilindros
metálicos simples.
•
Determinação dos níveis de carregamento do corpo-de-prova, em
função da geometria proposta para os dispositivos de transmissão de
carga, objetivando a fixação dos dados de contorno, posteriormente
utilizados nas análises dos processos de fissuração e fraturamento do
corpo-de-prova, pelo método dos elementos de contorno.
160
5.3.2 – Análise não-linear das condições de transmissão de carga ao
corpo-de-prova
Modelo geométrico e condições de contorno
Para a análise das condições de transmissão de carga ao corpo-de-prova
construiu-se, explorando a dupla simetria apresentada pelo problema, um modelo
tridimensional representativo da geometria das partes de interesse, isto é, a do
aparato de transmissão de carga (ou simplesmente “atuador”) e a do corpo-de-prova
propriamente dito.
Assim, apenas 1/4 do conjunto corpo-de-prova/atuador foi geometricamente
representado para a análise das questões relativas à transmissão de carga ao corpode-prova. Tendo em vista os objetivos preliminares dessa primeira análise, a
existência do entalhe em “V” foi desprezada na modelagem geométrica.
Além das condições de contorno, necessárias à exploração da dupla simetria
apresentada pelo conjunto de sólidos (corpo-de-prova e atuador), um conjunto de
nós, representativo da linha de apoio do corpo-de-prova, foi vinculado através da
prescrição de deslocamentos nulos nas direções vertical e transversal (uX = uY = 0).
O carregamento do modelo foi procedido através da prescrição de um
deslocamento vertical δ de valor arbitrário, no caso 0,003 cm, a um dos nós da
superfície horizontal do atuador. Os demais nós dessa superfície tiveram seus
deslocamentos verticais acoplados ao deslocamento vertical do nó submetido ao
deslocamento imposto (constrain equation), situação que simula a hipótese de
deslocamento rígido dessa superfície do dispositivo de transmissão de carga, na
direção vertical.
161
A Fig. 5.3.2-1 ilustra o modelo geométrico adotado, bem como as condições
de contorno consideradas no problema.
Figura 5.3.2-1 - Modelo geométrico e condições de contorno consideradas no problema.
Propriedades Mecânicas dos Materiais
A análise numérica foi procedida em regime elástico linear, considerando-se
valores usuais para as propriedades mecânicas do concreto (corpo-de-prova) e do aço
(atuador), de acordo com as informações que constam da tabela 5.3.2-1.
Tabela 5.3.2 – 1 Propriedades Mecânicas dos Materiais.
Material
Módulo de Elasticidade
Coef. de Poisson (ν)
Concreto
300.000 daN/cm2
0.175
Aço
2.100.000 daN/cm2
0.300
162
Malha de Elementos Finitos
A parcela do modelo representativa do corpo-de-prova foi discretizada
tridimensionalmente utilizando-se elementos finitos tetraédricos quadráticos que, por
natureza, descrevem com maior simplicidade e precisão a geometria do contorno de
sólidos que apresentam faces curvas.
A parcela do modelo representativa do dispositivo de transmissão de carga foi
discretizada com o auxílio de elementos finitos paralelepídicos quadráticos.
Para a simulação do contato entre os sólidos foram utilizados elementos de
contato tridimensionais, do tipo “ponto-superfície”, capazes de modelar situações de
estabelecimento ou perda de contato entre sólidos de diferente natureza, com a
consideração, se desejada, do atrito, rígido ou elástico, entre as partes em contato.
Otimização da Malha de Elementos Finitos
Como o principal objetivo dessa etapa de análises foi a determinação dos
dados de contorno necessários à análise numérica do processo de fissuração e
fraturamento do corpo-de-prova pelo Método dos Elementos de Contorno, todas as
decisões relativas à otimização da malha de elementos finitos deram-se em estrita
observância às restrições decorrentes da utilização dos elementos de contato
disponíveis no programa ANSYS, conforme se expõe a seguir.
Infelizmente, o programa ANSYS não admite a análise de modelos que fazem
uso desses elementos de contato pelo método de refino “P”. Dentro da técnica de
refino “P”, a ordem dos polinômios utilizados para as interpolações é sucessivamente
aumentada, em função da tolerância imposta para a norma do erro (Zienkiewics e
Taylor, 1994).
163
O uso da técnica de refino “H” automático da malha, onde a densidade da
malha de elementos finitos é progressivamente aumentada em regiões que
experimentam rápidas variações das respostas de tensão (e conseqüente aumento da
norma do erro energético) não foi possível, em virtude da destruição automática das
condições de contorno aplicadas diretamente aos nós, bem como dos elementos de
contato propriamente ditos, por ocasião de cada processo de otimização da malha
(esses elementos são definidos pelos nós dos elementos finitos pré-existentes).
De qualquer forma, o procedimento de refino “H” não seria o mais
recomendável no presente caso, em virtude não só da utilização de elementos finitos
com rigidez diferentes (paralelepípedos e tetraedros quadráticos), bem como em
função da presença, no modelo global, de materiais com diferentes características
elásticas ( Zienkiewicz e Taylor, 1994).
Tendo em vista as limitações apontadas, optou-se pela análise direta dos
efeitos do aumento progressivo do nível de discretização do modelo (refino da
malha) na região de contato, sobre os valores das respostas de variáveis pré-fixadas.
O refino da malha foi procedido (observando-se ainda a limitação de memória física
do computador utilizado) até níveis em que as taxas de mudança dos valores dessas
respostas, entre refinos sucessivos da malha, deixaram de ser significativas.Para o
desenvolvimento da análise, as seguintes variáveis de controle foram adotadas:
•
O deslocamento vertical δA de um ponto A na face oposta à região de
carregamento do corpo-de-prova.
•
As forças nodais transversais, vertical, FV, e horizontal, FH, totais, verificadas
na superfície de contato entre o corpo-de-prova e o aparato de transmissão de
carga, avaliadas no corpo-de-prova. Essas forças nodais representam reações
de contato do corpo-de-prova, decorrentes da ação do dispositivo de
transmissão de carga sobre o corpo-de-prova, em virtude do deslocamento
vertical arbitrário δ, imposto à esse dispositivo.
•
A relação entre as forças nodais transversais, vertical FV e horizontal, FH.
164
As Fig. 5.3.2-2 e 5.3.2-3 ilustram as malhas inicial e final, adotadas para a
discretização do corpo-de-prova e do dispositivo de transmissão de carga
(atuador), com destaque da região de contato entre os sólidos.
Figura 5.3.2-2 – Malhas inicial e final da região de contato, adotadas para o corpo-de-prova.
Elementos tetraédricos quadráticos.
Figura 5.3.2-3 - Malhas inicial e final da região de contato, adotadas para o dispositivo de transmissão
de carga (atuador). Paralelepípedos de 20 nós.
As análises numéricas nessa etapa de otimização da malha foram levadas a
efeito desprezando-se o atrito existente entre as partes (µ=0), de forma a assegurar
uma maior velocidade de processamento. As principais características das malhas de
elementos finitos, utilizadas no processo de discretização, passam a ser apresentadas
na tabela. 5.3.2-2.
165
Tabela 5.3.2-2 – Características das malhas de elementos finitos adotadas
Malha
No. de Nós
1
2
3
4
5
6
7
Graus de Liberdade
36848
43836
47948
53297
57573
62673
68582
109655
125752
137623
153145
165444
180185
197112
Elementos de Contato
Elem. Finitos-Atuador
Elem. Finitos - Corpo-de-Prova
( / 10)
(paralelepípedos quadráticos)
(Tetraedros quadráticos)
1864.3
3990.0
7020.0
11030.8
15786.3
21391.8
27640.0
3150
4025
4900
5775
6650
7525
8640
14201
16204
16269
17207
17370
18125
18611
Como anteriormente referido, o refino progressivo da malha foi procedido até
níveis em que as taxas de mudança dos valores das respostas das variáveis de
controle, entre refinos subseqüentes da malha, deixaram de ser significativos.
Os resultados do refino progressivo da malha de elementos finitos e as taxas
de mudanças dos valores das variáveis de controle entre as diversas etapas da análise
numérica procedida passam a ser apresentados na tabela. 5.3.2-3 e podem ser melhor
visualizados através das Fig. 5.3.2-4, 5.3.2-5 e 5.3.2-6.
Tabela 5.3.2-3 – Valores das respostas das variáveis de controle.
Número de
Força Horiz.
Força Vert.
Deslocamento Pto A
Taxa Variação de FH
Taxa Variação de FV
Taxa Variação do Desloc. Pto A
Gr. de Liberdade
(Kgf)
(Kgf)
(cm)
%
%
%
109655
125752
137623
153145
165444
180185
197112
44.927
48.025
49.914
51.142
52.097
52.417
52.699
238.45
242.62
245.11
246.6
248.04
248.61
248.53
0.00151103
0.00153732
0.00155309
0.00156247
0.0015716
0.0015752
0.00158279
6.45
3.78
2.40
1.83
0.61
0.54
1.72
1.02
0.60
0.58
0.23
-0.03
1.71
1.02
0.60
0.58
0.23
0.48
166
0.001600
0.001560
0.001540
0.001520
0.001500
105000
115000
125000
135000
145000
155000
165000
175000
185000
195000
205000
Graus de Liberdade
Figura 5.3.2-4 – Gráfico: Deslocamento Vertical do Pto ”A” versus Número de Graus de Liberdade Ativos
54
52
50
Força Horizontal (kgf)
Desloc. Vertical Pto A (cm)
0.001580
48
46
44
42
105000
115000
125000
135000
145000
155000
165000
175000
185000
195000
Graus de Liberdade
Figura 5.3.2-5 – Gráfico: Reação Horizontal de Contato, FH, versus Número de Graus de Liberdade
205000
167
250
248
Força Vertical (Kgf)
246
244
242
240
238
236
105000
115000
125000
135000
145000
155000
165000
175000
185000
195000
205000
Graus de Liberdade
Figura 5.3.2-6 – Gráfico: Reação Vertical de Contato, FV, versus Número de Graus de Liberdade
Tendo em vista o nível de precisão atingido, dentro do enfoque adotado para
a aproximação da solução, técnicas mais sofisticadas (em que pese serem mais
trabalhosas) como as de sub-modelagem ou sub-estruturação por condensação, que
naturalmente conduziriam a resultados mais precisos em função da possibilidade de
utilização de um maior número de elementos finitos nas regiões de interesse, foram
entendidas como desnecessárias.
Consideração do entalhe em “V”
Uma vez determinada a malha preliminar de elementos finitos, procedeu-se à
modificação do modelo geométrico primitivo com o objetivo de considerar a
existência do entalhe central em “V” que, por reduzir a rigidez flexional do corpo-
168
de-prova, acaba por introduzir modificações significativas nas condições de
transmissão de carga entre os sólidos.
Dessa maneira, parte da malha utilizada para representar a seção transversal
central do corpo-de-prova (região do corte em “V”), foi suprimida, e elementos
finitos, em número crescente, dispostos na região do entalhe (especialmente da ponta
do “V”), região que experimenta grandes variações e concentração de tensões, dentro
de um procedimento de discretização análogo ao anteriormente adotado. Observa-se
que, nessa fase das análises, as características de densidade das malhas de elementos
finitos, representativas das regiões de transmissão de carga e de controle dos
deslocamentos verticais, permaneceram inalteradas.
Duas etapas de refino efetuadas foram consideradas suficientes, pelo autor.
As principais informações relativas às últimas malhas de elementos finitos analisadas
encontram-se reunidas na tabela. 5.3.2-4. A Fig. 5.3.2-7 ilustra a malha final de
elementos finitos utilizada.
Figura 5.3.2-7 Malha final de elementos finitos (seção central entalhada)
169
Tabela 5.3.2-4 - Características das malhas finais de elementos finitos e valores das variáveis de
controle.
N. Nós
69495
71282
G. Lib.
Elem.
(ativos)
Contato
198962
204054
276400
276400
El. Paralelep. El. Tetraédricos
(atuador) (corpo-de-prova)
8640
8640
18851
19999
Fx
Fy
δ Pto "A"
Kgf
Kgf
(cm)
45.96 214.99 0.00200260
45.70 214.43 0.00199789
Tx. Var. Fx Tx. Var. Fy
δ Pto "A"
%
%
%
0.583
0.260
0.235
As respostas nodais de deslocamentos obtidas para o conjunto de 246 nós da
superfície do corpo-de-prova em contato com o dispositivo de transmissão de carga
(ou seja, um total de 891 nós, se considerada a expansão da dupla simetria explorada
nas simulações), foram adotadas como parte das condições de contorno necessárias à
análise de fraturamento do corpo-de-prova pelo Método dos Elementos de Contorno
5.3.3 - Análise não-linear da influência do atrito entre as partes em
contato no processo de transmissão de carga
Como mencionado, para a análise da influência do atrito na transmissão de
carga ao corpo-de-prova, foram utilizados elementos tridimensionais de contato que
podem considerar, se desejado, os efeitos do atrito existente entre as partes em
contato.
Dois são os modelos de atrito de Coulomb, disponíveis no programa ANSYS.
O primeiro deles parte do pressuposto de que os deslocamentos relativos de
deslizamento entre os sólidos em contato, δs, ocorram elasticamente, até que a razão
entre as forças nodais, normal e tangencial, supere o valor crítico do Coeficiente de
Atrito µ. Após esse estágio do carregamento, os deslocamentos passam a ocorrer de
forma constante. Assim, a rigidez, tangencial, KS, e rigidez normal, KN, devem ser
consideradas.
170
O segundo modelo admite que os deslocamentos relativos mencionados
ocorram, inelasticamente, somente após a razão entre as forças nodais, tangencial e
normal, ter superado o valor crítico do Coeficiente de Atrito µ (atrito rígido). Dessa
forma, a rigidez tangencial, KS, é ignorada. A Fig. 5.3.3-1 ilustra, de forma
simplificada, a consideração do atrito em situações planas.
Figura 5.3.3-1 – Hipóteses para a consideração do atrito entre sólidos em contato.
Em procedimento análogo ao anteriormente adotado, as reações de contato,
verticais e horizontais bem como o deslocamento vertical do ponto “A”, de controle,
foram monitorados em cada etapa das simulações. Tendo em vista a condição não
ideal de transmissão dos esforços assumida, essas reações globais de contato, fY e fX,
assumem diferentes valores, em função do Coeficiente de Atrito, µ, considerado .
Em situações tridimensionais como é a que se analisa no presente trabalho, as
componentes locais fX e fY das forças nodais oriundas da situação de atrito decorrem
do deslocamento nodal tangencial, δs, considerado em duas direções sobre a
superfície do elemento receptor do contato. O espaço de representação dessas forças
é o que se ilustra na Fig. 5.3.3-2.
171
Figura 5.3.3-2 – Espaço de representação das forças de atrito, desenvolvidas nas
superfícies de sólidos em contato
A hipótese de atrito inelástico é a que se adota nas fases subseqüentes de
análises numéricas procedidas para o desenvolvimento desta tese, tendo em vista as
características apresentadas pelos corpos-de-prova de concreto e argamassa em idade
e condições habituais de ensaio.
Para o estudo dos efeitos do atrito entre as parte em contato, adotou-se uma
malha de elementos finitos intermediária, com 47.948 nós (137.623 graus de
liberdade ativos) e 91.369 elementos finitos, sendo 70.200 deles, elementos de
contato. A solicitação do modelo foi procedida como anteriormente, isto é, através
da imposição de um deslocamento uniforme à superfície do atuador.
O deslocamento total, δ=0.003 cm, arbitrariamente prescrito ao modelo, foi
aplicado em três estágios de carregamento de igual valor, isto é δ/3, objetivando a
avaliação do processo de carregamento. Três diferentes valores de Coeficientes de
Atrito, iguais a 0,0, 0,15 e 0,30 foram utilizados nesta etapa de análises.
Os valores das respostas das variáveis de controle (deslocamentos verticais do
ponto “A” e reações de contato fX, fY e fZ), obtidos para os três estágios de
172
carregamento, isto é, δ/3, 2δ/3 e δ, relativos à consideração, por uma questão de
simplificação, de dois dos valores de coeficientes de atrito adotados, são
apresentados na tabela. 5.3.3-1. A Fig. 5.3.3-3 ilustra as relações entre as respostas
das forças nodais de contato e o deslocamento vertical do ponto “A”, ao longo do
ciclo de carregamento.
250.000
Fy (mi=0)
Fy (mi=0.15)
Forças Nodais de contato (kgf)
200.000
150.000
100.000
Fz (mi=0.15)
50.000
Fx (mi=0)
Fx (mi=0.15)
Fz (mi=0)
0.000
0.000000
0.000200
0.000400
0.000600
0.000800
0.001000
0.001200
0.001400
0.001600
Desloc. Vertical Pto "A" (cm)
Figura 5.3.3-3 – Deslocamentos verticais do ponto “A”, de controle, e reações de contato para
diferentes valores do coeficiente de atrito.
É interessante observar que em uma experiência levada a efeito, onde o
deslocamento total prescrito ao modelo foi aplicado em dez passos consecutivos, as
respostas de interesse apresentaram valores idênticos àqueles obtidos quando da
solicitação do modelo em um único passo, o que demonstra que essa subdivisão do
carregamento em pequenos passos não essencial, quando as partes já se encontram
em contato.
Os valores dessas variáveis de controle, apurados no estágio final de
carregamento (δ=0.003cm), para os diferentes coeficientes de atrito considerados,
passam a ser apresentados na tabela. 5.3.3-2.
173
Tabela 5.3.3-1- Valores das respostas das variáveis de controle (ciclo completo de carregamento)
mi=0.0
passo
1
2
3
Desloc.
(cm)
Fx
(kgf)
Fy
(kgf)
Fz
(kgf)
0.000518
0.001035
0.001553
16.640
33.278
49.914
81.696
163.400
245.110
11.418
22.860
34.323
mi=0.15
passo
1
2
3
Desloc.
(cm)
Fx
(kgf)
Fy
(kgf)
Fz
(kgf)
0.000526
0.001054
0.001582
9.082
15.541
23.641
82.934
166.340
249.500
15.114
32.094
48.098
Tabela 5.3.3-2 Respostas das variáveis de controle, para diferentes valores de Coeficientes de Atrito
Coef. Atrito Desloc. Verical
(cm)
0.00
0.15
0.30
0.001553
0.001582
0.001602
Fx
(kgf)
Fy
(kgf)
Fz
(kgf)
49.914
23.641
17.517
245.110
249.500
252.720
34.323
48.098
66.653
De forma a analisar mais detidamente as respostas globais das reações de
contato, avaliou-se para o conjunto dos 246 nós contatores, o trabalho global
realizado pelas forças nodais, a partir do trabalho realizado por cada uma das forças
reativas (fX, fY e fZ) atuantes em cada um dos nós na superfície de contato, através da
equação de Clapeyron. Nessa equação, o trabalho τi total realizado pelas forças
nodais atuantes nos n nós considerados, na direção i, são calculados considerando-se
as forças e os deslocamentos nodais, fi e δi, respectivamente, na mesma direção. Os
resultados apurados passam a ser apresentados na tabela. 5.3.3-3.
Tabela 5.3.3-3 – Trabalhos realizados pelas forças nodais nas direções dos eixos coordenados.
µ
0.000
0.150
0.300
τx
τy
τz
τ(µ)=Στi
(Kgf.cm)
(Kgf.cm)
(Kgf.cm)
(Kgf.cm)
0.008679
0.002881
0.001235
0.335697
0.346163
0.353067
0.000012
0.000798
0.000869
0.344389
0.349842
0.355170
τ(µ)/τ(µ=0)
1.0000
1.0158
1.0313
174
A partir dos resultados apresentados é possível observar que, com o aumento
do valor do coeficiente de atrito, µ, ocorre, para o dispositivo de transmissão de
carga em estudo e em termos globais, uma diminuição gradual das forças nodais
horizontais, fX, acompanhada do aumento das forças nodais verticais, fY.
Observa-se ainda que o deslocamento vertical do ponto “A” cresce, como
esperado, com o crescimento dessas forças verticais, evidenciando que, para níveis
iguais de deslocamento imposto, δ, a força externamente aplicada é capaz de realizar
uma maior quantidade de trabalho, ao aumentar-se o valor do coeficiente de atrito
entre as partes.
Em contrapartida ao aumento de eficiência dos ensaios, no que tange aos
menores níveis de carregamento necessários ao fraturamento do corpo-de-prova,
duas novas questões emergem do fato:
•
a primeira delas diz respeito à necessidade de determinação (ou
eventualmente, da consideração aproximada) do valor do coeficiente de
atrito, µ, significando a introdução de novos erros ou incertezas, mesmo que
de pequena monta, na avaliação da Tenacidade ao Fraturamento do material.
•
A segunda é relativa à necessidade de “reduzir-se” a força máxima
determinada no ensaio, PMAX, a uma situação ideal, ou seja, determinar uma
força de pico, equivalente ou efetiva, relativa à situação em que se
desconsidera o atrito existente entre as partes em contato.
Para todos os efeitos, a diferença máxima verificada nos resultados, se levado
em consideração o atrito existente entre as partes em contato, é da ordem de 3 por
cento, comparativamente a uma situação ideal.
175
5.4 Análise tridimensional do processo de fraturamento do corpo-deprova V-CEV
Uma vez determinada a maneira como os sólidos em estudo (corpo-de-prova
e atuador) estabelecem contato durante o processo de carregamento, assim como a
distribuição e a magnitude dos esforços transmitidos entre eles através da superfície
de contato, no presente capítulo passa-se a apresentar os estudos do processo de
fissuração e fraturamento do corpo-de-prova, desenvolvidos com o objetivo de
calibrar a geometria proposta para o corpo-de-prova.
As simulações numéricas foram levadas a efeito utilizando o programa
FRANC3D (FRacture ANalysis Code), sistema que explora recursos gráficos e de
processamento de estações de trabalho de alto desempenho para a modelagem e
visualização tridimensionais de sólidos, contendo fissuras arbitrárias, atualmente
adaptados (com todos os recursos existentes nas versões destinadas à computadores
de maior porte) aos microcomputadores de uso pessoal. O programa FRANC3D
(Wawrzynek, 88; Martha, 89), em contínuo desenvolvimento pelos membros do
Cornell Fracture Group, da Cornell University, segundo Moretti e Bittencourt
(1998), é um programa que incorpora:
•
Ferramentas de modelagem de sólidos;
•
Uma estrutura de dados topológicos que permite que a topologia seja
separada da geometria;
•
A associação de atributos do modelo com as primitivas topológicas;
•
Uma hierarquia de modelos topológicos para organizar e guiar o
processo de discretização;
•
Uso de computação gráfica interativa em estações de trabalho de alto
desempenho;
•
Uma interface amigável com o usuário.
176
Esse programa (um pré e pós-processador), trabalha em conjunção com dois
outros códigos: o OSM (Object Solid Modeler), um modelador sólido destinado à
criação de modelos topológicos e geométricos e o BES, ou Boundary Element System
(Martha, 1989; Lutz, 1991), programa destinado à análise de problemas elásticos
pelo Método dos Elementos de Contorno (solver).
A segunda série de análises numéricas levada a efeito, pode ser resumida, de
conformidade com os objetivos básicos, da forma que se segue:
•
Determinação das equações fundamentais da Mecânica do Fraturamento
Elástico Linear para o corpo-de-prova V-CEV, relativas aos Fatores de
Intensidade de Tensão, aos Deslocamentos de Abertura da Entrada do
Entalhe, CMOD, e aos Deslocamentos Verticais da Linha de carga, δLC, em
função das diferentes condições de contorno adotadas e da geometria
proposta;
•
Determinação da relação elástica linear existente entre a Carga Aplicada e o
Deslocamento de abertura da Entrada do Entalhe, CMOD;
•
Determinação da relação elástica linear existente entre os Deslocamentos de
Abertura da Entrada do Entalhe (CMOD) e os Deslocamentos Verticais.
As análises procedidas passam a ser apresentadas, da forma que se segue:
Modelagem Sólida
De forma análoga aos procedimentos adotados na etapa de análises do corpode-prova pelo Método dos Elementos Finitos (MEF), apenas 1/4 do corpo-de-prova
foi geometricamente representado para a análise das questões relativas à
determinação das equações de dependência geométrica do corpo-de-prova.
177
Condições de Contorno
Como abordado, diferentes aparatos de ensaio foram concebidos e utilizados
ao longo do desenvolvimento desta tese. Dentre os aparatos convencionais, o autor
fez uso de cilindros de aço para o apoio e carregamento dos corpos-de-prova, com o
objetivo de prover as equações fundamentais da MFEL para a eventual utilização do
corpo-de-prova proposto, também em condições de maior simplicidade.
Além das condições de contorno necessárias à representação da simetria
estrutural passível de exploração, a presente etapa de análises considera as diferentes
condições de contorno geradas pelos dispositivos utilizados, de acordo com as
combinações que seguem:
Caso “A” – Apoio do corpo-de-prova e transmissão da carga através do uso de
cilindros comuns (flexão em “3 pontos”):
Para a simulação dessas condições de contorno, o modelo representativo do
corpo-de-prova foi carregado, considerando-se o princípio de Saint Venant, através
da solicitação de uma pequena área de valor arbitrariamente fixado em 0,044 cm2,
por uma pressão uniformemente distribuída, de valor também arbitrário, da ordem de
6000,00 daN/cm2.
A força correspondente e necessária à calibragem do modelo foi obtida da
consideração de um valor quatro vezes maior que aquele decorrente da relação entre
o valor da pressão prescrita e o valor da área solicitada. Um tratamento mais
adequado da simetria explorada na modelagem estrutural deveria considerar os
valores das pequenas forças atuantes sobre as arestas da área solicitada, contidas nos
planos de simetria, assim como a força nodal verificada no vértice onde cruzam essas
arestas.Tendo em vista a fina discretização procedida na região de aplicação da
carga, essa correção, de pequeníssima monta, foi ignorada.
178
A vinculação do modelo, para esse caso de estudos, foi procedida através da
prescrição de deslocamentos verticais (uy) nulos aos nós de uma pequena aresta com
extensão da ordem de 1mm, representativa da posição de apoio do corpo de prova.
No entendimento do autor, a abordagem global adotada nesse caso, aproxima
satisfatoriamente a representação das condições de carregamento, relativamente
àquelas que de fato ocorrem durante os ensaios.
•
Caso “B” – Apoio do corpo-de-prova sobre cilindros modificados e
transmissão de carga através do aparato de carregamento (flexão “arestasuperfície”);
A vinculação do modelo foi procedida através da prescrição de
deslocamentos nulos nas direções vertical (uy=0) e transversal (ux=0), aos nós de
uma aresta com extensão igual àquela de apoio do corpo-de-prova sobre o cilindro
modificado, isto é, 30mm em projeção horizontal, considerando-se a simetria
explorada.
O procedimento mais adequado para a aplicação das condições de contorno
de carregamento do modelo, seria através da transformação das tensões nodais
verificadas nos nós representativos da região de contato, diretamente em forças
trativas, através da relação tensão-força trativa de Cauchy:
t i = σ ij . n j
~
(5.4-1)
~
onde t i é a componente do vetor tensão na direção i, σij o tensor das tensões no ponto
~
considerado e n j a componente do vetor normal, a direção j. Isso é feito dentro do
~
programa FRANC3D utilizando-se um arquivo de dados denominado MRP (Mesh
RePresentation), através do qual transfere-se ao programa a representação
geométrica da região de interesse, bem como a natureza e os valores das variáveis de
campo associadas à região, no caso, os valores das tensões nodais. Da forma como
está implementado na atual fase de desenvolvimento do programa, esse
179
procedimento é extremamente trabalhoso e, ainda, altamente suscetível a erros
grosseiros.
Tendo em vista a complexidade dos procedimentos necessários à adoção
dessa metodologia, para o carregamento do modelo optou-se pela consideração das
tensões decorrentes das forças nodais verificadas na região de contato entre o corpode-prova e o atuador, que, por simplificação, foi subdividida em 24 partes ou blocos
de tensão (96 blocos, no total, se considerada a expansão da dupla simetria
apresentada pelo no problema).
A força vertical adotada, necessária à calibragem do modelo e correspondente
às tensões consideradas, foi obtida da multiplicação das forças nodais aplicadas às
áreas (somas individuais dos blocos) pelos valores das áreas respectivas. Também
neste caso, tanto o acréscimo das forças atuantes sobre as arestas das pequenas áreas
contidas nos planos de simetria como a força nodal verificada no vértice onde
cruzam essas arestas, foram desconsiderados. A Fig. 5.4-1 ilustra o modelo
geométrico adotado, bem como as condições de contorno consideradas nos diferentes
casos.
Figura 5.4-1 – Condições de contorno adotadas para os casos de estudo
180
Tendo em vista os diferentes casos estudados, apenas um deles, o caso “B”
será descrito ou ilustrado, reservando-se ao primeiro, a apresentação dos resultados
apurados.
Malha de Elementos de Contorno
O modelo foi discretizado com o auxílio de elementos de contorno
tridimensionais, quadrilaterais e triangulares. A tecnologia de elementos de contorno
disponível na versão atual do programa FRANC3D (para o elevado número de
elementos de contorno necessários ao estudo do processo de fraturamento), faz uso
de funções de forma lineares.
Por natureza, os elementos lineares são menos eficientes no que diz respeito à
capacidade de descrição geométrica e de interpolação das variáveis de interesse,
comparativamente aos elementos quadráticos (ou outros de ordem superior), o que,
de certa forma, diminui as expectativas relativas à precisão alcançada nas análises
numéricas (Brebbia et al. 1984; Brebbia e Domingues, 1992; Kane, 1995).
Ao longo da linha de frente da fissura, por outro lado, foram dispostos
elementos de contorno quadráticos singulares, capazes de capturar com precisão o
comportamento dos deslocamentos e das tensões nessa região (Becker, 1992),
compensando, até certos limites, as desvantagens anteriormente apontadas, em
virtude do caráter local que predominantemente caracteriza as análises de
determinação dos Fatores de Intensidade de Tensão, ao longo dos processos de
fissuração, especialmente através do MEC, como se expõe mais à frente.
Em virtude das altas concentrações de tensões presentes nos problemas de
fraturamento, os critérios usuais de apuração da qualidade da malha de elementos de
contorno (a exemplo da avaliação da norma do erro energético ou da norma do erro
das forças trativas) usualmente não se aplicam com a eficiência esperada, emergindo
181
ainda a questão da qualidade do conjunto de malhas utilizadas nas análises
numéricas.
Uma vez que não há soluções analíticas fechadas para tensões ou
deslocamentos, relativas à geometria em estudo e que pudessem ser utilizadas para
fins de comparação, a definição da malha básica utilizada para a discretização do
modelo não fissurado deu-se a partir de um processo de verificação de consistência,
em 5 etapas sucessivas de refino, analisando-se, em cada uma delas, a variação de
flexibilidade do corpo-de-prova em função do nível de discretização global adotado.
Dentro desse processo, a região do vértice do entalhe, região altamente
concentradora de tensões, foi discretizada até um nível tido como “satisfatório” e
mantida inalterada entre as etapas sucessivas de refino, uma vez que o principal
objetivo dessa etapa de análises foi a determinação da influência da dicretização
global sobre os valores de uma variável de controle. De qualquer forma, a malha
representativa dessa região, após a nucleação e durante a propagação da fissura, seria
desfeita e passaria concentrar a maioria dos elementos de contorno.
A variável adotada para a verificação da eficiência do refino da malha foi o
deslocamento horizontal do ponto “A” (Fig. 5.4-1), representativo da metade do
CMOD, para um determinado nível de carregamento. Tendo em vista o enfoque
adotado, também a malha das vizinhanças desse ponto foi mantida inalterada, entre
os refinos sucessivamente procedidos. Os resultados dessa etapa de estudos
encontram-se reunidos na tabela. 5.4-1.
Tabela 5.4-1 – Análise da variação da flexibilidade do corpo-de-prova, entre refinos sucessivos da
malha global de elementos de contorno.
Malha
Graus de Liberdade
No. Elementos
CMOD
(cm)
1
2
3
4
5
3996
4374
4548
5436
6207
2197
2379
2505
2848
3177
0.001311
0.001318
0.001319
0.001321
0.001320
182
Das informações anteriormente apresentadas depreende-se que o aumento
global do número de graus de liberdade procedido, da ordem de 55%, pouco
influenciou a variável de controle arbitrada (deslocamento horizontal do ponto “A”).
Entretanto, a malha de número 5 foi escolhida para os estudos subseqüentes.
Discretização da linha de frente da fissura
À etapa de definição da malha básica de elementos de contorno seguiu-se um
novo estudo com vistas à avaliação da influência do nível de discretização da linha
de frente da fissura, sobre os valores dos Fatores de Intensidade de Tensão, bem
como a determinação de uma “densidade” de elementos de contorno a ser observada
ao longo de todo o processo de análise da fissuração do corpo-de-prova.
Para esse estudo, a linha de frente da fissura foi posicionada a uma distância
de 8 mm da ponta do entalhe, profundidade arbitrariamente escolhida. Os valores dos
Fatores de Intensidade de Tensão computados nos diferentes níveis de discretização
passam a ser apresentados na tabela. 5.4-2.
Tabela 5.4-2 – Variação dos Fatores de Intensidade de Tensão e de outras variáveis de controle, com a
discretização crescente da linha de frente da fissura
Malha
1a
2a
3a
4a
5a
Gr. Liberdade
9210
9390
9840
10134
10434
No. Elementos
5179
5299
5599
5795
5995
No. Elementos
CMOD
δ (Pto A)
KI
(Linha de Frente)
(cm)
(cm)
(daN.cm^-1.5)
40
60
80
100
120
0.001421664
0.001421662
0.001421670
0.001421670
0.001421670
0.00187694
0.00187694
0.00187695
0.00187695
0.00187695
72.008
71.991
72.031
72.040
72.034
Do exame das informações anteriores (tabelas 5.4-1 e 5.4-2), depreende-se
que a utilização de qualquer uma das malhas estudadas conduziria a resultados
extremamente próximos (para qualquer uma das variáveis de controle analisadas).
183
Isso decorre do fato de que, no caso específico das análises numéricas pelo
MEC (o que não ocorre com o MEF), as equações que governam o problema são
satisfeitas de maneira exata no interior do domínio da solução (as aproximações no
problema são a geometria, as condições de contorno e a variação dos deslocamentos
superficiais). Assim, se a geometria e as condições de contorno, distantes da linha de
frente da fissura, puderem ser satisfatoriamente modeladas por um número pequeno
de elementos (mesmo que lineares), então os Fatores de Intensidade de Tensão serão
relativamente insensitivos à malha de posições remotas (Bruce, 2001; Wawrzynek,
2002).
A malha 3a (tabela 5.4-2), entretanto, foi a que subsidiou a escolha da
densidade de 10 elementos de contorno por milímetro de linha de frente, em virtude
das respostas apresentadas.
Representação do processo de propagação da fissura
A representação da evolução do processo de fissuração deu-se com o
deslocamento progressivo da linha de frente para posições igualmente afastadas entre
si por uma distância de 2mm, ao longo do plano preferencial de fraturamento,
procedimento que implica a aceitação da hipótese de que a flexibilidade de um corpo
assim fissurado seja aproximadamente equivalente àquela que se verifica quando da
consideração de uma linha de frente com conformação curva, que de fato se
desenvolve nesse tipo de corpo-de-prova.
Em que pese a artificialidade do enfoque, essa conduta vem sendo utilizada
por diversos pesquisadores da área já há algum tempo (p.ex. Ingraffea et al., 1984;
Gerstle, 1985 apud Ouchterlony, 1987; Ouchterlony, 1987; Sarrafi-Nour et al., 1998;
Hanson, 2000) e foi adotada neste trabalho.
184
Outras abordagens mais “naturais”, como a que considera curva a linha de
frente da fissura, também foram procedidas no passado (p.ex. Ouchterlony, 1987).
Com o objetivo de manter equilibrado o nível de discretização da linha de
frente ao longo do processo de análise, a proporção de 10 elementos de contorno por
milímetro, indicada no estudo de discretização da linha de frente foi preservada. O
posicionamento da linha de frente da fissura, em três diferentes estágios da
propagação, é ilustrado na Fig. 5.4-2.
Figura 5.4-2 – Detalhes da ponta do entalhe, em 3 diferentes estágios da propagação
Tendo em vista o aspecto semiartesanal do processo de discretização do
modelo, especialmente o de discretização das faces e da linha de frente da fissura,
dificilmente consegue-se, entre as etapas de propagação da fissura, uniformidade
absoluta das malhas de elementos de contorno e, conseqüentemente, das respostas de
deslocamentos, de tensões e de Fatores de Intensidade de Tensão apurados nas
análises numéricas.
Soma-se negativamente ao fato, a natureza linear dos elementos de contorno
empregados, especialmente para a discretização das faces da fissura, onde a
determinação da curvatura mostrou-se, ao longo das análises procedidas, ser de
185
extrema relevância. Assim, para obter-se maior precisão nos resultados numéricos,
um número substancialmente maior de elementos de contorno deve ser utilizado
nessa região, comparativamente a uma situação onde elementos quadráticos estão
presentes.
Por outro lado, com o crescimento da fissura, naturalmente cresce a malha de
elementos de contorno, cresce também a necessidade de memória física para a
solução do sistema de equações, se a mesma for direta (p. ex. eliminação de Gauss),
ou a disponibilidade de tempo, para um número maior de elementos, utilizando-se
soluções iterativas que, via de regra, são processadas computacionalmente com o
auxílio de um meio de armazenamento intermediário.
Mesmo neste último caso, a versão atual do programa BES (solver) está
limitada a 6000 elementos de contorno, fronteira bastante ampla para a solução da
maioria dos problemas cotidianos, entretanto, rapidamente atingida ao longo deste
trabalho.
Considerando a conjugação das questões apontadas, nos estágios finais da
propagação procedida o número máximo de elementos de contorno aproximou-se e
manteve-se vizinho do patamar máximo de 6000 elementos, fato evidenciado na Fig.
5.4-3.
Em virtude das limitações computacionais enfrentadas, o fronte reto da
fissura pôde ser deslocado e analisado, sem prejuízos relativos à precisão esperada,
em 19 diferentes posições, no intervalo 0,18 ≤ α ≤ 0,467. Posições suplementares,
certamente requereriam a utilização de um maior número de elementos de contorno
ou seriam representadas por um número insuficiente de elementos. Da mesma forma,
teriam sido desnecessárias à calibragem do corpo-de-prova, como se demonstrará a
seguir.
A Fig. 5.4-3 ilustra o crescimento da malha de elementos de contorno, ao
longo do processo de análises. Nessa figura, o número de elementos de contorno e o
número de graus de liberdade utilizados são mostrados nos diversos estágios da
propagação.
186
11000
No. de Elementos; Gr. de Liberdade
10000
9000
8000
No. Elementos
7000
Graus de Liberdade
6000
5000
4000
3000
0.2 0.4 0.6 0.8
1
1.2 1.4 1.6 1.8
2
2.2 2.4 2.6 2.8
3
3.2 3.4 3.6 3.8
4
4.2 4.4 4.6
Extensão da Fissura (cm)
Figura 5.4-3 – Evolução das malhas de elementos de contorno
5.4.1 Fatores de Intensidade de Tensão e determinação da constante
Amin de calibragem do corpo-de-prova
Como já abordado, ao longo do processo de fissuração, a função A dos
Fatores de Intensidade de Tensão passa por um valor mínimo, Amin. Isso ocorre em
uma posição onde teoricamente se verifica a magnitude da Tenacidade ao
Fraturamento, KIC, do material (equação 5-2).
Como discutido, optou-se neste trabalho pelo posicionamento da linha de
frente da fissura (reto e passante) em posições convenientemente espaçadas ao longo
do plano preferencial de fraturamento e pela avaliação, em cada uma delas, dos
Fatores de Intensidade de Tensão em uma seqüência de pontos pré-definidos sobre a
extensão normalizada da linha de frente da fissura.
Por sua vez, a determinação computacional dos Fatores de Intensidade de
Tensão, KI, pode ser procedida utilizando-se diferentes técnicas, a exemplo da
187
Técnica de Correlação de Deslocamentos, do Método Híbrido Direto, das Integrais J
de Contorno Fechado, das Integrais de Fechamento ou do Método da Liberação
Global de Energia, (Kanninen, 1985; Becker, 1992).
As duas primeiras metodologias são baseadas na análise do campo elástico
das vizinhanças da ponta ou da linha de frente da fissura (em análises bi e
tridimensionais, respectivamente), enquanto os demais métodos fundamentam-se na
análise energética do corpo fissurado (Bittencourt, 1992). O programa FRANC3D,
calcula os Fatores de Intensidade de Tensão através da Técnica de Correlação de
Deslocamentos, utilizando elementos singulares na linha de frente da fissura.
A Fig. 5.4.1-1 ilustra as distribuições, ao longo das extensões normais, dos
Fatores de Intensidade de Tensão obtidos para as linhas de frente estudadas
(representadas pelas diferentes cores), observando-se a simetria do problema. Uma
visão dessa distribuição, ao longo do processo de fissuração é a que se observa na
Fig. 5.4.1-2.
100
0.180
80
0.193
0.207
0.220
0.233
KI (daN.cm^-1,5)
60
0.247
0.260
0.273
0.287
40
0.300
0.313
0.327
0.340
0.353
20
0.367
0.380
0.413
0.433
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0.467
-20
Posição Normal (metade do front)
Figura 5.4.1-1 – Fatores de Intensidade de Tensão para as linhas de frente estudadas. Distribuição ao
longo da extensão normalizada.
188
Figura 5.4.1-2 – Fatores de Intensidade de Tensão para os frontes estudados. Distribuição ao
longo da extensão normalizada.
A posição zero da frente normalizada (esquerda da Fig. 5.4.1-1 e direita da
Fig. 5.4.1-2) refere-se à posição onde a linha de frente da fissura intersecta a face
livre do entalhe, posição usualmente denominada flanco da fissura. A posição 1 da
Fig. 5.4.1-1, ou seja, o ponto final da extensão normalizada, refere-se ao centro da
seção transversal.
Observa-se que nessas regiões, as variações dos Fatores de Intensidade de
Tensão são pronunciadas. Na região central do corpo-de-prova (direita da Fig. 5.4.11), a qualidade numérica Fatores de Intensidade de Tensão diminui. Nessa região
existe uma face de simetria. Variações de outra natureza podem ser observadas, na
mesma figura, à esquerda. Este fato, bastante conhecido dos pesquisadores da área
(p. ex. Ingraffea et al., 1984; Raju e Newmam, 1984; Sarrafi-Nour et al., 1998), se
originam, por um lado, do processo de discretização da linha de frente da fissura e de
outro, da eventual inabilidade dos métodos numéricos em capturar, adequadamente,
189
os Fatores de Intensidade de Tensão em posições onde o flanco da fissura intersecta
um outro contorno (Raju e Newmam, 1984; Sarrafi-Nour, Coyle e Fett, 1998).
Ainda, da Fig. 5.4.1-1 depreende-se que, ao longo do processo de
fraturamento, as regiões próximas ao flanco da fissura passam a apresentar,
progressivamente, Fatores de Intensidade de Tensão mais elevados, partindo de
valores próximos a zero, que decorrem da natureza do estado de tensão nessa região
(para a geometria em análise) e invertendo o comportamento global sobre a linha de
frente, no decorrer do processo. Esse fato justifica o fenômeno já discutido
anteriormente, relativo a reversão da concavidade da linha de frente da fissura.
Como esperado para a geometria em estudo e para um front reto adotado, os
Fatores de Intensidade de Tensão, KI, não apresentam magnitude constante ao longo
da extensão da linha de frente. Ainda, além de não uniforme, a distribuição dos
Fatores de Intensidade de Tensão não apresenta a mesma conformação entre passos
consecutivos da propagação, fatos que certamente dificultam a escolha de um valor
representativo de KI para um determinado estágio da propagação.
Não há na literatura, entretanto, sugestões de critérios claros e
suficientemente fundamentados para a definição desse valor. Usualmente, o valor
representativo fixado é extraído de uma média que exclui as regiões onde as citadas
“perturbações” ocorrem. Com o objetivo de melhor avaliar a questão, três diferentes
critérios para o cálculo de um valor representativo de KI, foram investigados:
1. A média dos Fatores de Intensidade de Tensão calculados em 100 diferentes
posições ao longo da linha de frente da fissura, excluindo-se aqueles
computados nas extremidades da linha de frente da fissura (10% da
semiextensão normalizada da linha de frente, em cada extremidade);
posições ao longo da linha de frente da fissura, excluindo-se aqueles
computados nos primeiros 2/3 da linha de frente, contados a partir do flanco
190
da fissura, assim como aqueles computados nas proximidades da extremidade
oposta da linha de frente (10% da semiextensão, junto ao plano de simetria)
com um aproveitamento de 30% do total de valores computados;
posições ao longo da linha de frente da fissura, excluindo-se os valores
negativos.
Assim, para cada deslocamento da linha de frente da fissura e do conjunto de
informações de Fatores de Intensidade de Tensão obtidos ao longo da mesma (de
conformidade com os critérios apresentados), um valor representativo do estado de
intensificação de tensão foi então fixado e, com o auxílio da equação 5-3, um valor
de A, obtido. A Fig. 5.4.1-3 ilustra as curvas dos Fatores de Intensidade de Tensão
determinadas de conformidade com os critérios adotados.
90
88
86
84
KI (daN.cm^-1,5)
82
80
78
76
74
72
Critério 3
70
Critério 1
68
66
64
Critério 2
62
0.18
0.23
0.28
0.33
0.38
0.43
α
Figura 5.4.1-3 – Valores dos Fatores de Intensidade de Tensão computados
0.48
191
Da observação das curvas apresentadas na figura anterior depreende-se que a
curva obtida através da utilização do segundo critério é a que melhor espelha os
Fatores de Intensidade de Tensão, esperados nas etapas iniciais do processo de
fissuração (valores mais elevados). Da mesma forma, é a que melhor indica os
Fatores de Intensidade de Tensão mínimos (em termos de comportamento ao longo
da extensão normal da fissura), computados para as diversas posições da linha de
frente da fissura. Pelas razões expostas, esse critério foi o adotado nas etapas
posteriores de análise.
Aos pares A-α representativos das posições analisadas da linha de frente da
fissura e para o caso “B” de estudos, ajustou-se inicialmente, com o auxílio da
equação 5-3 para o intervalo 0,18≤α≤0,38, um polinômio do 5o grau que representa a
Função de Dependência Geométrica e de Carregamento, A(α), do corpo-de-prova,
para os Fatores de Intensidade de Tensão. Posteriormente, um novo ajuste cobrindo a
totalidade do intervalo analisado (0.18≤α≤0.47), foi procedido. Essa estratégia de
subdivisão do intervalo global foi levada a efeito com o objetivo garantir uma maior
precisão numérica por ocasião da determinação da constante de calibragem do corpode-prova, Amin. A primeira das funções dependência determinadas é a que se
apresenta na Fig. 5.4.1-4.
6.2
6
5.8
5.6
A(α)
5.4
5.2
5
4.8
4.6
4.4
4.2
0.18
0.2
0.22
0.24
0.26
0.28
0.3
0.32
0.34
0.36
0.38
0.4
0.42
0.44
0.46
0.48
α
Figura 5.4.1-4 - Função de Dependência Geométrica e de Carregamento do corpo-de-prova, para
Fatores de Intensidade de Tensão – Caso ”B”.
192
De forma análoga, uma expressão polinomial do 5o grau foi computada para o
Caso “A” de condições de contorno, entretanto para o intervalo 0,18≤α≤0,43. Os
coeficientes das equações polinomiais, assim como as estatísticas relevantes
referentes aos ajustes procedidos encontram-se reunidos na tabela. 5.4.1-1.
A(α ) = a.α 5 + b.α 4 + c.α 3 + d .α 2 + e.α + f
(5.4.1-2)
Tabela 5.4.1-1- Coeficientes da equação de Dependência Geométrica e de Carregamento, para Fatores
de Intensidade de Tensão – Casos “A” e “B” de condições de contorno.
Agora, a equação 5-4 pode se reescrita para descrever o processo de
fissuração do corpo-de-prova, dentro dos intervalos considerados, da forma que se
segue:
KI =
P
. A(α )
D1.5
(5.4.1-3)
A minimização da função de Dependência Geométrica e de Carregamento
conduz à posição αC da linha de frente, sobre o plano de fraturamento, onde a
extensão da fissura (incluindo o comprimento do entalhe inicial), é crítica, ou seja,
a=ac. O valor mínimo de A, isto é, Amin, é obtido substituindo-se αC na equação
5.4.1-2.
Nota-se que a partir dessa posição sobre o plano de fraturamento, ∂A/∂α > 0
(o mesmo ocorrendo com ∂KI/∂α) e a propagação da fissura ocorrerá de forma
instável. Entende-se por propagação instável, a propagação que se verifica sem que
haja acréscimos ao valor da força. Portanto, também nesse ponto, a força P terá valor
193
crítico, ou seja, P = Pmax. Para a V-CEV proposta e condições de contorno em estudo,
as constantes significativas do corpo-de-prova são as que se apresentam na tabela.
5.4.1-2.
Tabela 5.4.1-2 – Constantes significativas do corpo-de-prova para os casos de estudo A e B
Caso
αc
Amin
4.293
4.326
A
B
0.297
0.316
ac
c
(cm)
(cm)
4.460
4.746
1.960
2.246
Observa-se que as diferentes condições de apoio consideradas nos casos “A”
e “B” conduzem a constantes de calibragem, Amin, que diferem entre si algo em torno
de 1%, fato que, do ponto de vista prático, pode ser negligenciado. Relativamente à
extensão crítica da fissura, essa diferença salta para 6%, indicando que a avaliação da
tenacidade ao fraturamento ocorre com um melhor aproveitamento do material, no
caso “B” de condições de contorno.Os pontos estacionários das Funções de
Dependência Geométrica e de Carregamento, para ambos os casos analisados, são
apresentadas na Fig. 5.4.1-5.
6.2
6
5.8
5.6
A(α)
5.4
5.2
5
4.8
CASO B
4.6
4.4
CASO A
4.2
0.18
0.2
0.22
0.24
0.26
0.28
0.3
0.32
0.34
0.36
0.38
α
Figura 5.4.1-5 – Pontos de mínimo das Funções A(α) de Dependência Geométrica e de Carregamento.
194
As pequenas diferenças observadas não querem dizer, que os aparatos de
apoio e de carregamento possam ser utilizados indistintamente. Naturalmente, as
análises elásticas procedidas, são incapazes de detectar as diferentes formas de
dissipação energética envolvidas com os diferentes dispositivos considerados.
5.4.2 Deslocamentos de Abertura da Entrada do Entalhe – CMOD
Tanto quanto conhece o autor, não há soluções analíticas completas para os
deslocamentos de abertura da entrada do entalhe em corpos de prova cilíndricos com
entalhe em “V”.
No presente trabalho e ainda para o Caso “B” de estudo, os deslocamentos de
abertura da entrada do entalhe, CMOD, foram monitorados ao longo do processo de
fissuração. Assim, uma nova equação foi elaborada, com base equação da MFEL
(Shah et al., 1995):
CMOD =
4σ .a
.g (α )
E
(5.4.2-1)
Para uma viga de seção circular solicitada à flexão em 3 pontos, as tensões
nas fibras extremas são dadas, na seção central, pela equação:
σ=
8.P.S
π .D 3
(5.4.2-2)
Dessa maneira, o CMOD pode ser calculado para a geometria em estudo, da
forma que se segue:
195
CMOD =
32.P.S
.α . g (α )
π .D 2 E .
(5.4.2-3)
e:
g (α ) =
π .D 2 .E.CMOD
32.P.S .α
(5.4.2-4)
Com o auxílio da equação 5.4.2-4, foram computados os valores para uma
nova expressão de Dependência Geométrica e de Carregamento, g(α), para cada caso
de condições de contorno, relativos aos deslocamentos de abertura da entrada do
entalhe.
Os valores iniciais de g(α) foram obtidos através da inversão da equação
5.4.2-3 computada com as informações numéricas referentes aos modelos não
fissurados, e α=1/6. A equação resultante, escrita em função da extensão normal da
fissura, α, para os intervalos estudados em cada caso de condições de contorno, passa
a ser apresentada:
g (α ) = a.α 5 + b.α 4 + c.α 3 + d .α 2 + e.α + f
(5.4.2-5)
Os coeficientes a serem utilizados com a equação 5.4.2-5, para os casos de
estudo “A” e “B”, encontram-se reunidos na tabela. 5.4.2-1. As curvas
representativas dessas funções são mostradas na Fig. 5.4.2-1.
Tabela 5.4.2-1 - Coeficientes da equação de Dependência Geométrica e de Carregamento, g(α), para
Deslocamentos de Abertura da Entrada do Entalhe - CMOD
196
2.4
2.3
2.2
g(α)
2.1
2
CASO B
1.9
1.8
CASO A
1.7
0.167
0.217
0.267
0.317
0.367
0.417
0.467
α
Figura 5.4.2-1 – Funções g(α)de Dependência Geométrica e de Carregamento do corpo-de-prova, para
CMODs
Influência da altura da lâmina de fixação do transdutor de deslocamentos
Como explicado no capítulo 6 deste trabalho, o CMOD é normalmente
medido no laboratório a pequenas distâncias, abaixo da face inferior do corpo-deprova. O efeito dessa pequena distância d (Fig. 3.2-1) é novamente abordado para o
corpo-de-prova em análise, considerando-se a relação existente entre o CMOD
"real", ou seja, aquele referente à entrada do entalhe, e o nominal, CMODm,
determinado experimentalmente. Essa relação é dada pela equação 3.2-11, aqui
repetida por conveniência:
CMOD = kd .CMOD m
(3.2-11)
Na expressão, kd é o fator teórico de correção que deve ser aplicado para a
conversão dos valores nominais de CMODm. Os fatores de conversão, kd, foram
computados nas análises numéricas para as espessuras de suporte do transdutor de
197
deslocamentos, no intervalo 0 < d ≤ 6 mm, através de considerações puramente
geométricas aplicadas aos deslocamentos de dois pontos situados na região inferior
do modelo (em posições teoricamente representativas da região de fixação das
lâminas de suporte do transdutor de deslocamentos), e à uma seqüência de pontos
posicionados sobre uma reta imaginária, perpendicular à face inferior da viga.
Aos valores computados foram ajustadas curvas, cujas equações expressam
os valores de kd em função da extensão normal da fissura,α, para diferentes valores
de d. As curvas ajustadas são polinômios do 4o grau da forma:
k d = a.α 4 + b.α 3 + c.α 2 + d .α + e
(5.4.2-6)
Os coeficientes a serem utilizados com a equação anterior, em função da
altura d da lâmina de suporte do clip gauge, para o caso “B”, são apresentados na
tabela. 5.4.2-2.
Tendo em vista a natureza essencialmente geométrica do fator de conversão
kd, esses valores podem ser utilizados também para os casos “A”. As curvas relativas
ao caso “B” encontram-se ilustradas na Fig.5.4.2-2.
Tabela 5.4.2-2 – Coeficientes para as equações kd=f(α), de conversão do CMOD
d (mm)
a
b
c
d
e
1
2
3
4
5
6
1.1573
2.2406
3.2550
4.2051
5.0954
5.9298
-1.5892
-3.0787
-4.4754
-5.7855
-7.0147
-8.1683
0.7717
1.4966
2.1777
2.8179
3.4198
3.9858
-0.1358
-0.2636
-0.3840
-0.4974
-0.6043
-0.7050
0.9910
0.9822
0.9734
0.9648
0.9563
0.9479
198
1
0.99
0.98
0.97
1mm
0.96
kd
2mm
3mm
0.95
4mm
5mm
0.94
6mm
0.93
0.92
0.91
0.9
0.167
0.217
0.267
0.317
0.367
0.417
0.467
α
Figura 5.4.2-2- Curvas kd x α para diferentes alturas da lâmina de suporte do clip gauge
Observando a figura anterior depreende-se que, mesmo para pequenas alturas
d da lâmina de suporte do clip gauge (3 mm, p.ex.), a variação entre os CMOD
medido e aquele reduzido à entrada do entalhe, é da ordem de 5%, para valores
iniciais de α.
Com efeito, o monitoramento do CMOD vem sendo utilizado para corpos-deprova do gênero, com diversos objetivos. Dentre eles, podem ser citados o controle
dos ensaios, do ponto de vista da instabilidade pós-pico apresentada pelo material e a
realização de operações de descarregamento e recarregamento do corpo-de-prova,
objetivando a determinação do fator de correção do comportamento inelástico, p,
apresentado por certos materiais, durante o processo de fissuração (equação 5-6,
p.ex.).
Considerando-se que nenhuma correção do CMOD (experimentalmente
obtidos) vem sendo procedida, é de se esperar que uma parcela de erros com origem
nesse fato, esteja sendo atualmente introduzida nos cálculos da Tenacidade ao
Fraturamento.
199
5.4.3 Análise do comportamento do corpo-de-prova na fase anterior
à carga máxima - Determinação do Módulo de Elasticidade
De forma geral, é esperado que os ensaios de fraturamento possam oferecer as
informações necessárias à determinação do valor do Módulo de Elasticidade, E, do
material ensaiado.
Como exposto no capítulo 6 deste trabalho, isso pode ser feito a partir do
diagrama do ensaio (Carga-CMOD ou Carga-δ), na fase do ensaio onde a resposta do
material é predominantemente resiliente, fato que parece ocorrer em patamares
compreendidos entre 30 e 50% da carga máxima do ensaio.
Para corpos-de-prova retangulares com entalhes retos passantes, admite-se
ainda que o entalhe inicial seja bastante representativo de uma fissura de extensão ao.
Nesse estágio, em que, supostamente predomina a resposta elástica do material, a
evolução da fissura, à qualquer título, é desconsiderada. Assim, conceitos da MFEL
(equação6.3-1, p. ex.) são diretamente aplicados para a determinação do Módulo de
Elasticidade.
No caso dos corpos-de-prova entalhados em “V”, a situação é oposta. Com a
evolução do carregamento, uma pré-fissura é naturalmente produzida antes da carga
máxima. Durante essa propagação subcrítica (a não ser confundida com aquela
decorrente do comportamento inelástico de certos materiais), a intensificação das
tensões diminui (com o crescimento da linha de frente da fissura), até que, numa
posição de mínimo da Função de Dependência Geométrica e de Carregamento do
corpo-de-prova, A(α), o Fator de Intensidade de Tensão, KI, atinge o valor da
Tenacidade ao Fraturamento, KIC.
Portanto, uma abordagem adequada do assunto deve considerar o crescimento
da fissura na fase pré-pico do carregamento, implicando o conhecimento da história
dos Fatores de Intensidade de Tensão, o conhecimento da evolução do carregamento
200
aplicado, os conseqüentes CMODs produzidos e a relação existente entre essas
grandezas. A seguir um exemplo da construção de uma curva P-CMOD é ilustrado.
EXEMPLO 4.3 – Neste exemplo, um material de comportamento elástico linear
com tenacidade ao fraturamento, KIC, arbitrariamente fixada em 100 daN.cm-1.5
(1MPa.m0,5) é analisado. Considera-se também que o corpo-de-prova encontre-se
submetido a um carregamento monotonicamente crescente com as condições de
contorno do caso “B”. Para o Módulo de Elasticidade do material hipotético, assumese o valor E= 300.000,00 da N/cm2 (30 GPa).
No estágio crítico, obtêm-se da equação 5-4, com Amin = 4,326, o valor da
carga máxima, Pmax= 1342,921 daN. Ainda, αC = 0,316 e aC=4,746 cm. As cargas
aplicadas, relativas aos diversos estágios do processo de fissuração podem ser
determinadas através da inversão da equação 5.4.1-3. Admitindo-se então, KI=KIC
em 5.4.1-3, para o iézimo estágio da fissuração, onde α = αi, decorre que:
Pi =
K IC .D 1.5
A(α i )
(5.4.3-1)
Por sua vez, os CMODs respectivos podem ser diretamente obtidos com o auxílio da
equação 5.4.2-3. Observa-se que a aplicação das equações referidas deve ocorrer no
intervalo de validade das 5.4.1-2 e 5.4.2-5. Assim, para 0,18 ≤ αi ≤ 0,43, o histórico
Carga-CMOD
pode
ser
integralmente
determinado.
Ainda,
com
alguma
aproximação, os níveis de carregamento em posições anteriores a α = 0,18, (0,1667<
αi <0,18), podem ser obtidos por extrapolação utilizando-se as equações 5.4.2-5 e
5.4.3-1 (a posição α=1/6 corresponde à extremidade do entalhe não fissurado).
Ainda, utilizando-se o modelo inicial não fissurado, valores de CMOD podem
ser diretamente computados para níveis de carregamento arbitrários, inferiores
àquele que caracteriza o início da fissuração. A reunião dessas informações dá
origem ao diagrama das fases pré e pós-crítica do processo de fraturamento,
conforme ilustra a Fig. 5.4.3-1.
201
1600
KIC=100 daN.cm^-1.5
1400
Primeiro estágio da fissura α=0.18
1200
800
Entalhe não fissurado - Extrapolação para α=0.1667
600
400
Resposta elástica linear - corpo-de-prova não fissurado
200
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
CMOD (cm)
Figura 5.4.3-1 – Curva P-CMOD para um material elástico linear com KIC=100 daN.cm-1.5
O mesmo raciocínio pode ser aplicado, para a geometria em estudo e
diferentes valores de KIC, de forma a obter-se o conjunto de curvas apresentado na
Fig. 5.4.3-2.
2000
1800
KIC=140 daN.cm^-1.5
1600
Início da fissuração
1400
KIC=120 daN.cm^-1.5
1200
P (daN)
P (daN)
1000
KIC=100 daN.cm^-1.5
1000
800
600
400
200
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
CMOD (cm)
Figura 5.4.3-2 – Curva Carga-CMOD para materiais elástico lineares ( KIC variável)
0.007
202
Da observação da figura anterior, depreende-se que as curvas geradas para
diferentes valores de KIC são rigorosamente proporcionais à Tenacidade ao
Fraturamento do material. Também, as “fases elásticas” dessas curvas diferem entre
si, unicamente no que diz respeito à carga crítica Plim, E, que caracteriza o início da
fissuração pré-pico de cada uma delas.
Analisando de forma mais detida as informações numericamente obtidas,
observa-se que, teoricamente, o nível de carregamento onde tem início a fissuração
relaciona-se com a carga máxima para cada material, de forma constante e
intrinsecamente dependente da Tenacidade ao Fraturamento. Para os casos de estudo
tem-se:
(5.4.3-2)
Plim, E = 0,625236.Pmax
Assim, em se tratando de um material elástico linear e abaixo desse limite de
carregamento, qualquer par ou o conjunto de pares P-CMOD pode ser utilizado para
a obtenção do valor do módulo de elasticidade, E. Com esse objetivo, a equação
5.4.2-3 pode ser manipulada de forma a incorporar um fator que conduz ao valor do
Módulo de Elasticidade. Esse fator considera, além do regime elástico do material, a
influência da altura d da lâmina de suporte do transdutor, para que o Módulo de
Elasticidade seja computado com precisão aceitável, da forma que se segue:
E = kE,d .
32.Pi .S
CMOD.π .D 2
ou
E = k E ,d .
32.S
π .D 2 .C
(5.4.3-3)
O fator kE,d, computado a partir das informações resultantes das análises
numéricas do corpo-de-prova não fissurado, assume os valores apresentados na
tabela. 5.4.3.-1, para as condições de contorno adotadas.
203
Tabela 5.4.3-1-Valores do fator kE,d para a determinação do Módulo de Elasticidade -Casos A e B
d (mm)
0
1
2
3
4
5
6
KE,d
0.3922
0.3988
0.4054
0.4120
0.4186
0.4252
0.4319
Da comparação das equações 5.4.2-3 e 5.4.3-3 observa-se que o fator kE,d
reflete ainda o produto α.g(α), considerado para as diversas alturas da lâmina do
transdutor de deslocamentos.
Para materiais de ruptura quase frágil, como é o caso dos concretos e de
outros
materiais
assemelhados,
simultaneamente
à
propagação
pré-pico,
anteriormente analisada e em função da natureza crescente do carregamento, ocorre o
fenômeno de propagação subcrítica da fissura, em virtude da formação da zona de
processos inelásticos.
A posição exata no diagrama P-CMOD (ou P-δ), onde a microfissuração
dispersa deixa de ser desprezível e o processo de danificação passa a ser
predominante, ainda não é bem conhecida. Diversos autores (p.ex. Karihaloo e
Nalathambi, 1991; Shah et al., 1995), sugerem patamares compreendidos entre 30 e
50% da carga máxima. Considerando-se o limite de 50%, tem-se, para materiais
dessa natureza, a partir da equação 5.4.3-2:
Plim,E ≈ 0.31.Pmax
(5.4.3-5)
Portanto, valores máximos de P da ordem de 30% da carga máxima do
ensaio parecem satisfatórios à determinação do Módulo de Elasticidade de materiais
cimentícios (para a geometria em estudo) utilizando-se a equação 5.4.3-3.
Assim, a determinação do Módulo de Elasticidade do material pode ser
procedida a partir de informações obtidas diretamente do ensaio de fraturamento,
descartando-se a necessidade de realização de ensaios complementares como os de
compressão de cilindros instrumentados ou de ensaios preliminares como os de
204
“flexão em baixos ciclos”, preconizados pela ISRM (1988), ao menos para a
geometria em estudo.
De acordo com o conhecimento o autor, a única expressão existente para a
determinação do Módulo de Elasticidade através da utilização de corpos-de-prova do
gênero é a expressão sugerida pela ISRM, que tem como base a análise da
flexibilidade do corpo-de-prova não fissurado, em baixos níveis de carregamento.
No entendimento do autor, pesam sobre a expressão da ISRM uma série de
dúvidas, a exemplo da forma de apoio e carregamento (flexão em 3 pontos). Mesmo
sendo o ensaio executado em baixos ciclos de carregamento, o esmagamento do
material nas regiões de apoio e carregamento do CP parece inevitável, o que faz
afetar a relação entre os valores de carregamento e de deslocamento.
Ainda, a expressão sugerida pela ISRM decorre de um procedimento de
calibragem experimental, onde, às questões inerentes ao ensaio propriamente dito
(apontadas anteriormente), somam-se as imprecisões geométricas do corpo-de-prova,
as dúvidas quanto a natureza do material utilizado, bem como os erros na
determinação experimental das constantes elásticas de referência do material
ensaiado (E, ν). Embora aplicável somente à corpos-de-prova com a relação
S/D=3,33, a expressão sugerida é a que se apresenta:
E=
g 0 .S F 0
S
2
= (20.8 + 19.4α 0 + 142.3α 0 ). F 0
D
D
(5.4.3-6 )
onde g0 é a flexibilidade adimensional do corpo-de-prova não fissurado, SF0 a rigidez
do corpo-de-prova no nível de carregamento F0 considerado, D o diâmetro do corpode-prova e α0 a extensão inicial do entalhe, normalizada relativamente ao diâmetro
do corpo-de-prova.
205
5.4.4 Deslocamentos Verticais da Linha de Carga – δLC
Como discutido no Capítulo 3 deste trabalho, a determinação experimental
dos Deslocamentos Verticais da Linha de Carga, δ, ocorre, via de regra,
acompanhada de erros geralmente ocasionados pelas perturbações decorrentes do
processo de transmissão da carga ao corpo-de-prova.
Muitas vezes a esse erro somam-se outros, como os que procedem das
dificuldades naturalmente encontradas para a instrumentação do corpo-de-prova
nessa região, ou os que têm origem nos equipamentos utilizados para esse fim.
Do ponto de vista numérico, o primeiro deles, por associar-se à característica
quase-singular do campo de deslocamentos da região carregada do corpo-de-prova, é
o que passa a oferecer dificuldades para as análises necessárias ao equacionamento
das grandezas de interesse da mecânica da fratura.
Assim, a escolha de um ponto na seção transversal fissurada, com o objetivo
de monitorar-se os deslocamentos verticais ao longo do processo de fissuração é, via
de regra, uma tarefa duvidosa associada a uma decisão individual do analista.
Com vistas à escolha da “melhor” posição de monitoramento dos
deslocamentos verticais e avaliação dos desvios decorrentes desse arbitramento,
relativamente a outras possibilidades, uma avaliação dessa grandeza, em diferentes
posições da seção entalhada, foi levada a efeito e passa a ser apresentada.
206
Deslocamentos Verticais na seção entalhada
Para o início desta etapa de estudos adotou-se o modelo com a linha de frente
posicionada a 140mm da ponta do entalhe, escolha arbitrariamente procedida. Sobre
o plano de fraturamento, duas arestas de interesse foram eleitas para as análises
subseqüentes, a que representa o traço dos planos de simetria (portanto, na vertical
sob a linha de carga) e a relativa a linha de frente da fissura. O posicionamento
dessas arestas é mostrado na Fig. 5.4.4-1
Figura 5.4.4-1 – Malha de elementos de contorno com as arestas utilizadas para o estudo dos
deslocamentos verticais, δ.
O comportamento dos deslocamentos verticais avaliados em diversas
posições ao longo das arestas AB e CD assim como nos pontos E e F, indicados na
figura anterior, passam a ser ilustrados na Fig. 5.4.4-2.
207
1
Flanco da fissura - Pto D
0.9
Região de transmissão da carga - Pto A
0.8
Posição Normal
0.7
0.6
Aresta vertical
Linha de frente
0.5
0.4
Centro da linha de frente - Pto C
0.3
0.2
Ápice do entalhe - Pto B
0.1
0
0.0018
0.0019
0.0020
0.0021
0.0022
0.0023
0.0024
0.0025
0.0026
0.0027
0.0028
0.0029
δ (cm)
Figura 5.4.4-2 – Deslocamentos computados no plano de fraturamento
Alguns valores de interesse, preliminarmente computados em regiões
consideradas candidatas, foram reunidos na tabela. 5.4.4-1, dentre eles o valor médio
computado para a linha de frente da fissura. Essa média exclui os valores
determinados nas proximidades do flanco.
Tabela 5.4.4-1 – Deslocamentos Verticais computados em posições de interesse.
Linha de frente
(média)
0.00202460
Ponto E
Ponto F
0.05* W
0.10* W
0.15* W
0.20* W
(sobre a aresta AB, abaixo da superfície de carregamento)
0.00195057 0.00185135
0.00222285
0.00202765
0.00193485
0.00188355
Das informações preliminarmente apresentadas depreende-se que a variação
dos deslocamentos verticais computados nas diversas posições é significativa.
Observa-se ainda que o deslocamento computado na posição 0.10W, abaixo da
região de transmissão de carga, diferencia-se do valor médio computado para a linha
208
de frente, algo em torno de 0.15% para o estágio de fissuração considerado. Outros
pesquisadores, a exemplo de Gerstle e Ouchterlony (já citados neste capítulo)
utilizaram esses deslocamentos em suas pesquisas.
Neste trabalho, ao longo do processo de fissuração os deslocamentos verticais
do corpo-de-prova foram avaliados, em cada um dos estágios, mediante a
consideração da diferença entre o valor do deslocamento do ponto analisado e
daquele verificado em um outro ponto situado na metade da altura do corpo-deprova, diretamente sobre o aparato de apoio (ponto G da Fig. 5.4-1).
Função de Dependência Geométrica e de Carregamento, V(α), para deslocamentos
verticais.
Como discutido anteriormente, os deslocamentos computados em certas
regiões do corpo-de-prova são utilizados para a representação da flexibilidade do
corpo-de-prova e, em termos aproximados, traduzir o Deslocamento Vertical da
Linha de Carga, δLC. Ponderou-se também que a escolha dessa região representativa
é usualmente uma tarefa duvidosa que se associa a uma decisão individual do
analista.
Com o objetivo de minorar a aleatoriedade dessa escolha, um procedimento
inverso de determinação da constante de calibragem do corpo-de-prova, para fins de
comparação com os resultados obtidos da análise do campo local de tensão foi
levado a efeito. O procedimento adotado foi o de análise da flexibilidade do corpode-prova, a partir dos procedimentos de Irwin e Kies, a seguir expostos.
Para estado plano de deformação, a Taxa de Liberação de Energia, para o
Modo I de fraturamento é dada por:
209
K I2
GI =
. 1 −ν 2
E
(
)
(5.4.4-1a)
ou:
KI =
E.G I
(1 − ν 2 )
(5.4.4-1b)
onde KI é o Fator de Intensidade de Tensão, E o Módulo de Elasticidade e ν, o
Coeficiente de Poisson. Em termos de variação de flexibilidade do corpo fissurado,
escreve-se que:
GI =
P 2 ∂C
.
2.B ∂a
(5.4.4-2)
Para o corpo-de-prova em análise, B é a extensão da linha de frente da
fissura, a, a profundidade da fissura e C=δ/P, a flexibilidade do corpo-de-prova. O
deslocamento δ é o relativo à linha de carga. Substituindo-se agora a equação 5.4.42 na 5.4.4-1b decorre:
K I = P.
∂C
E
.
2
2.B(1 − ν ) ∂a
(5.4.4-3)
Por sua vez, a variação de flexibilidade pode ser normalizada relativamente
ao diâmetro do corpo-de-prova e tornada adimensional, da forma que se segue:
∂C
1 ∂ (CED )
= 2 .
∂a D .E  a 
∂ 
D
(5.4.4-4)
o que permite reescrever a equação 5.4.4-3 da forma que se segue:
K I = P.
1
∂ (CED )
.
2
a
2.B.D (1 − ν )
∂( )
D
2
(5.4.4-5)
210
Ainda, o radicando da equação anterior pode ainda ser manipulado
(multiplicado e dividido por D) de forma a tornar-se adimensional, resultando
finalmente que:
KI =
P
D
∂ (CED)
.
.
1, 5
2
D
2.B(1 − ν ) ∂ (α )
(5.4.4-6)
Observa-se que o radical da equação 5.4.4-6 trata-se da função A(α) dada
pela equação 5.4.1-3, escrita, entretanto, em termos de variação de flexibilidade do
corpo-de-prova.
Assim, com o auxílio da equação 5.4.4-6 os deslocamentos verificados em
diversas posições eleitas puderam ser analisados ao longo do processo de
fraturamento e as grandezas significativas resultantes dos procedimentos,
comparadas com aquelas decorrentes da análise do campo local de tensão sobre a
linha de frente da fissura, reunidas na tabela. 5.4.1-2. As cinco posições analisadas e
os critérios adotados passam a ser elencados:
1. No centro do modelo e diretamente sobre a superfície de transmissão da carga
(ponto A), corrigindo-se o deslocamento através da consideração do
deslocamento do ponto G;
2. Idem, desconsiderando-se o deslocamento do ponto G;
3. Ainda sobre a aresta AB, a uma distância igual a 0.05.W abaixo do ponto A,
corrigindo-se o deslocamento através da consideração do deslocamento do
ponto G;
4. Sobre a linha de frente da fissura, corrigindo-se o deslocamento médio
através da consideração do deslocamento do ponto G;
5. No ponto E, junto a face inferior do modelo, corrigindo-se o deslocamento
através da consideração do deslocamento do ponto G.
Para a geometria em estudo, o cálculo dos deslocamentos verticais pode ser
procedido com o auxílio da equação que se apresenta:
211
8.P.S 2
. V (α )
δ =
π .D 3 .E
(5.4.4-7)
onde V(α) é a função adimensional de Dependência Geométrica e de Carregamento,
para os deslocamentos verticais. Reescrevendo a equação anterior tem-se que:
V (α ) =
π .D 3 .δ .E
(5.4.4-8)
8.P.S 2
A aplicação da equação apresentada aos deslocamentos computados nas cinco
posições de estudo possibilitou a determinação das expressões polinomiais de
dependência para cada um dos casos. O gráfico das funções de dependência é
mostrado na Fig.5.4.4-3.
2.8
2.6
2.4
Ponto A
sem correção
2.2
Ponto A
corrigido
V(α)
2
1.8
1.6
0.05*W (abaixo da LC)
corrigido
1.4
1.2
Linha de Frente da fissura
corrigido
1
Ponto E - corrigido
0.8
0.18
0.2
0.22
0.24
0.26
0.28
0.3
0.32
0.34
0.36
0.38
0.4
0.42
0.44
0.46
0.48
α
Figura 5.4.4-3 – Funções de Dependência Geométrica e de Carregamento, para deslocamentos
verticais, relativas aos casos de estudo
As equações de dependência foram utilizadas para a determinação das
flexibilidades adimensionais C.E.D (equação 5.4.4.6), relativas aos sucessivos
valores de α considerados.
212
Posteriormente, os valores de C.E.D, também considerados em função de α,
viabilizaram novos ajustes de expressões analíticas que, uma vez diferenciadas,
permitiram a complementação do radical da equação 5.4.4-6. Como dito, esse radical
traduz a função adimensional para fatores de intensidade de tensão, A(α), em cada
caso de estudo.
Para um exame mais aprofundado das equações de dependência, um estudo
relativo aos ajustes de funções aos pontos CEDi - αi foi levado a efeito. Para tanto,
foram utilizadas expressões de diferente natureza, em quatro procedimentos.
As funções utilizadas foram as seguintes:
•
Função polinomial do quarto grau
CED = a.α 4 + b.α 3 + c.α 2 + d .α + e
•
Função racional
CED =
•
Função recíproca quadrática
CED =
•
a + b.α
1 + c.α + d .α 2
1
a + b.α + c.α 2
Modelo de Harris
CED =
1
a + b.α c
Dos estudos efetuados, observou-se que todos os ajustes foram procedidos
com excelentes estatísticas, isto é, com desvios praticamente nulos e coeficientes de
correlação de Pearson superiores a 0,999.
213
A Fig. 5.4.4-4 ilustra por simplicidade, a função polinomial do 4o grau
ajustada (uma vez que as outras iriam se sobrepor a esta), assim como as derivadas
das diversas equações encontradas.
42
37
CED; d(CED)/d(α)
32
CED - Função Polinomial
(CED)'-Função Polinomial
(CED)'-Função Racional
(CED)'-Função Quad. Recíproca
(CED)'-Modelo de Harris
27
22
17
12
7
2
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
α
Figura 5.4.4-4 – Gráficos da função polinomial de dependência e das derivadas das funções ajustadas
Da figura anterior depreende-se que as derivadas das diversas funções
adotadas apresentam comportamentos distintos no intervalo pesquisado, em que pese
as considerações tecidas relativamente aos ajustes procedidos. Esse fato, bem como
as implicações que dele decorrem, serão comentados a seguir. Para o prosseguimento
do trabalho, optou-se, entretanto, pela expressão polinomial do 4o grau.
Uma vez de posse das equações de Flexibilidade Adimensional
e das
derivadas dessas equações, relativas às diversas posições de estudos, utilizando a
equação 5.4.4-6 tornou-se possível a determinação, ao longo da extensão normal do
ligamento, dos valores da função adimensional de dependência geométrica e de
carregamento, A(α).
214
Observa-se ainda que os pontos de mínimo dessas funções representariam a
constante de calibragem da geometria, Amin. O gráfico das funções A(α)
determinadas é o que se apresenta na Fig. 5.4.4-5.
8.00
7.50
7.00
A(α)
Ponto A - sem corr.
Ponto A - corr.
6.50
Aresta AB-0.05W
corr.
6.00
Linha de Frente corr.
Ponto E - Face Inf.
corr.
5.50
5.00
0.19
0.21
0.23
0.25
0.27
0.29
0.31
0.33
0.35
0.37
α
Figura 5.4.4-4 – Funções de Dependência Geométrica e de Carregamento, para Fatores de Intensidade
de Tensão, relativas aos casos de estudo
Os resultados significativos dessa etapa de análises foram reunidos na tabela.
5.4.4-2, que a seguir se apresenta.
Tabela 5.4.4-2 – Resultados apurados nas análises dos deslocamentos verticais
CASO
α
V(α)
δ
C.E.D
d(CED)/dα
(cm)
1
2
3
4
5
B
A
(cm)
KI
(daN.cm^-1.5)
0.3000
1.9967
0.002912
15.2764
12.6334
4.00
4.94
0.3000
1.5743
0.002296
12.0448
12.4882
4.00
4.91
73.00
72.58
0.3000
1.2872
0.001878
9.8484
12.6060
4.00
4.94
72.92
0.2733
0.9835
0.001435
7.5245
11.3727
3.20
5.24
77.44
0.3133
1.0122
0.001476
7.7437
16.9029
4.40
5.45
80.51
Os valores de A(α) apresentados na tabela anterior tratam-se de mínimos
aproximados, para cada um dos casos. As demais grandezas são aquelas que se
verificam nessas posições (aproximadas).
215
Relativamente à função A(α), constata-se que a posição de tomada dos
deslocamentos referente ao caso 2, é a que conduz a uma constante Amin mais
realista. Portanto, as funções relativas a essa posição foram escolhidas para fins de
comparação. Os resultados obtidos passam a ser apresentados na tabela. 5.4.4-3.
Tabela 5.4.4-3 – Resultados para a constante Amin de calibragem do corpo-de-prova
Valores de Referência
Caso 2
Dif. Percentual
αc
B (cm)
Amin
0.3164
0.2963
6.35
4.49
3.89
13.41
4.33
4.91
13.61
Neste ponto parece interessante observar que a constante de calibragem do
corpo-de-prova, calculada através da expressão oferecida pela ISRM (Ouchterlony,
1990), entretanto para condições de contorno equivalentes à flexão em 3 pontos, é da
ordem de 5,72, valor que se aproxima mais adequadamente daquele determinado
nesta etapa de estudos para o caso 5 (deslocamentos de um ponto junto à face inferior
do modelo), ou seja, aproximadamente 5,45.
A expressão adotada pela ISRM é a que se reapresenta abaixo.
[
] DS
AMIN = 1,835 + 7,15α 0 + 9,85α 0 .
2
(5.5)
Com relação à escolha do tipo de função para a descrição da variação da
flexibilidade adimensional CED, da natureza das derivadas dessas funções no
intervalo de análise e às implicações dessa escolha sobre os valores da função A(α),
novos ajustes aos pontos A(α)–α foram procedidos para as quatro hipóteses de
verificação (Fig. 5.4.4-4), referentes ao caso de estudo número 2. As funções A(α)
determinadas passam a ser apresentadas na Fig. 5.4.4-5.
216
10.0
9.5
9.0
Função Polinomial
Função Racional
8.5
Função Quadr. Recíproca
Modelo de Harris
A(α)
8.0
7.5
7.0
6.5
6.0
5.5
5.0
0.18
0.20
0.22
0.24
0.26
0.28
0.30
0.32
0.34
0.36
0.38
0.40
0.42
0.44
0.46
α
Figura 5.4.4-5 - Funções de Dependência A(α) resultantes da adoção de funções de diferentes
naturezas para a descrição da flexibilidade adimensional CED – Caso dois.
Observando a figura anterior depreende-se que qualquer uma das funções
poderia ser utilizada para a determinação da constante Amin. Entretanto a escolha de
uma delas para a descrição da variação dos Fatores de Intensidade de Tensão ao
longo do processo de fissuração e fraturamento estaria acompanhada de certa
aleatoriedade. Tanto quanto sabe o autor, não há na literatura especializada qualquer
referência ao assunto, restando, portanto, a necessidade de uma pesquisa teórica mais
detalhada obre a questão.
Das informações reunidas, relativas aos deslocamentos verticais tomados em
diferentes posições do corpo-de-prova conclui-se, portanto, que nenhum dos critérios
investigados conduz, de forma absolutamente satisfatória, ao valor da constante Amin
do corpo-de-prova computada através da análise do campo de tensão ao longo da
linha de frente da fissura.
Embora conceitualmente corretos (abstraindo-se da discussão a questão do
local adequado para a tomada dos deslocamentos), os resultados obtidos nesta etapa
do trabalho refletem unicamente, a resposta global do sólido fissurado.
217
Em que pese a ponderação tecida, os resultados evidenciam os locais onde os
deslocamentos não devem ser tomados, ou ainda, onde poderiam ser tomados com
um menor grau de inexatidão.
Analisando as tabelas anteriores conclui-se que a eleição do ponto A, sob a
região de aplicação da carga parece a melhor, na situação em que os deslocamentos
desse ponto são corrigidos relativamente ao ponto G, o que por sua vez sugere que a
distribuição da carga, da forma como foi procedida, contribui de maneira satisfatória
à minoração do comportamento quase-singular dos deslocamentos (e tensões),
usualmente verificados, ao menos do ponto de vista teórico, em situações onde as
cargas são aplicadas de forma concentrada.
Ainda, a validade absoluta da formulação apresentada para a solução do
problema é passível de questionamentos, em virtude da natureza distribuída, mesmo
que em pequena escala, do carregamento aplicado. Portanto, uma discussão mais
aprofundada da questão requereria uma revisão prévia da formulação teórica, o que
de fato foge ao escopo deste trabalho.
Assim, os deslocamentos do ponto A foram os escolhidos para o
desenvolvimento das atividades posteriores e entendidos, para os fins a que se
destinam, como suficientes à representação teórica dos deslocamentos da linha de
carga.
Entretanto, o relacionamento desses deslocamentos com outros, verificados
em diferentes regiões do corpo-de-prova onde se pode proceder convenientemente a
instrumentação do corpo-de-prova, é necessário. Assim, os deslocamentos do ponto
E, sob o corpo-de-prova (Fig. 5.4-1), foram escolhidos para tal fim.
Portanto, o inter-relacionamento procurado entre os deslocamentos dos
pontos A e E é procedido neste trabalho com vistas às atividades práticas. Para as
atividades estritamente teóricas, ele não é necessário, bastando a determinação da
Função Adimensional de Dependência, V(α), para o ponto A (entretanto corrigida
218
relativamente aos deslocamentos do ponto G). A função de Dependência Geométrica
e de Carregamento para Deslocamentos Verticais, V(α), determinada de
conformidade com as considerações anteriores é a que se apresenta a seguir:
V (α ) = a.α 4 + b.α 3 + c.α 2 + d .α + e
(5.4.4-9)
Por outro lado, os deslocamentos verticais tomados junto à face inferior do
corpo-de-prova, δINF, em atividades laboratoriais, podem ser convertidos para
valores teóricos, δLC, da forma que se segue:
δ LC = K V .δ INF
(5.4.4-10)
K V (α ) = a.α 4 + b.α 3 + c.α 2 + d .α + e
(5.4.4-11)
e:
Os coeficientes necessários à utilização das equações 5.4.4-10 e 5.4.4-11,
anteriores, são apresentados na tabela. 5.4.4-4.
Tabela 5.4.4-4 Coeficientes para as equações de dependência, V(α), e de conversão de deslocamentos,
Kv.
a
V(α)
Kv
28.479805
64.296216
b
c
d
e
-23.29076 11.866974 -2.27526 1.5870806
-52.466561 26.919278 -5.23179 4.7706428
Desv. Pad.
Coef. Corr.
0.001
0.003
1.000
1.000
5.5 Relação Elástica Linear δ-CMOD para o corpo-de-prova V-CEV
Assim como procedido no capítulo 3 deste trabalho, quando do estudo das
vigas de seção retangular com entalhes retos passantes, nesta etapa a relação elástica
219
linear entre esses dois tipos de deslocamentos é equacionada, revelando novamente,
que no caso dos materiais elásticos lineares, essa relação é geométrica por
excelência.
Como anteriormente justificado, para o caso dos materiais de ruptura quasefrágil, a relação δ-CMOD passa a ser dependente de escala, uma vez que todo o
equacionamento se dá em função da extensão normalizada da fissura, α, grandeza
por sua vez associada à extensão da zona de processos inelásticos da fissura.
Aqui, o equacionamento é feito a partir das equações 5.4.2-3 e 5.4.4-7, por
conveniência repetidas a seguir:
CMOD =
δ =
32.P.S
.α . g (α )
π .D 2 E .
8.P.S 2
. V (α )
π .D 3 .E
(5.4.2-3)
(5.4.4-7)
Equacionado-se uma delas em função de P e substituindo o resultado na
equação remanescente, pode-se escrever que:
δ =
CMOD..S V (α )
.
4.D
α .g (α )
(5.5-1)
A relação dada pela equação 5.5-1 foi aplicada ao caso hipotético descrito no
capítulo 5.4.3 (Fig.5.4.3-1) e a curva obtida é a que se apresenta na Fig. 5.5-1.
220
0.004
0.0035
KIC=100 daN.cm^-1.5
Início da fissuração
0.003
δ (cm)
0.0025
0.002
Entalhe não fissurado - Extrapolação para α =0.1667
0.0015
0.001
Resposta elástica linear - corpo-de-prova não fissurado
0.0005
0
0.0000
0.0005
0.0010
0.0015
0.0020
0.0025
0.0030
0.0035
0.0040
0.0045
CMOD (cm)
Figura 5.5-1 – Relação δ - CMOD para o corpo-de-prova V-CEV
Neste capítulo, as principais características dos corpos-de-prova com entalhes
em “V”, destinados aos ensaios de fraturamento foram apresentadas e analisadas. As
vantagens e desvantagens desse tipo de entalhe comparativamente aos entalhes retos
passantes, foram também pormenorizadas.
A formulação básica da Mecânica do Fraturamento Elástico Linear,
necessária à utilização dos corpos-de-prova entalhados em “V”, assim como as
respostas mecânicas dos materiais ao fraturamento, durante os ensaios, foram
apresentadas e discutidas.
221
Com o objetivo de explorar os aspectos positivos desse tipo de entalhe, um
novo corpo-de-prova, com origem no cilindro-padrão de (15x30) cm e raízes no
corpo-de-prova denominado chevron-bending, sugerido pela ISRM para ensaios em
rochas, foi apresentado.
Os aspectos relevantes, relativos à geometria do corpo-de-prova proposto
foram analisados e as equações que descrevem a sua geometria, antes e durante o
processo de fissuração, apresentadas.
De forma a atenuar a dissipação energética durante os ensaios, novos aparatos
de apoio e transmissão de carga ao corpo-de-prova foram desenvolvidos e
construídos. Simulações numéricas das condições de contorno decorrentes da
utilização desses novos dispositivos, aproximando as situações reais de ensaio, foram
conduzidas.
Entretanto, uma avaliação numérica comparativa, relativa à quantificação da
energia dissipada quando da utilização ou não dos aparatos desenvolvidos,
expediente de implementação relativamente simples, fica ainda por ser procedida no
futuro.
Com vistas à calibragem da geometria proposta e das condições de
carregamento idealizadas, o processo de fissuração e fraturamento do corpo-de-prova
foi tridimensionalmente analisado para diferentes combinações de aparatos de ensaio
e as equações fundamentais da mecânica do fraturamento elástico linear para as
diferentes hipóteses deduzidas. Assim, as particularidades de desempenho do corpode-prova, relativamente às diversas combinações de condições de contorno
estudadas, puderam ser detalhadas e avaliadas.
A partir das equações deduzidas, o processo de fissuração do corpo-de-prova
pôde ser descrito, antes e depois da carga máxima do ensaio, revelando de forma
fundamentada, a não-linearidade do processo de fissuração dos corpos-de-prova com
entalhes em “V”, antes mesmo da carga última.
222
Com base na análise do processo de fissuração do corpo-de-prova, novos
critérios e uma expressão aproximada para o cálculo do Módulo de Elasticidade do
material, foram propostos, solucionando, aparentemente, uma dificuldade inerente à
utilização desse tipo de entalhe.
Especial atenção foi dada ao estudo dos deslocamentos verticais da linha de
carga, onde, através de uma detalhada abordagem do assunto demonstrou-se a
necessidade de conversão dos deslocamentos determinados laboratorialmente para a
obtenção de valores teoricamente representativos. Nesta etapa do trabalho, as
principais equações da MFEL, relativas aos deslocamentos verticais, assim como
aquelas necessárias às conversões dos deslocamentos medidos em laboratório, foram
apresentadas.
Finalmente, a relação elástica linear existente entre os Deslocamentos
Verticais da Linha de Carga, δLC, e os CMODs foi equacionada para o corpo-deprova em estudo.
223
6.
ESTUDO
DAS
CURVAS
DE
RESISTÊNCIA
NO
FRATURAMENTO BIDIMENSIONAL, SOB O ENFOQUE DA
MFEL
6.1 Representação geométrica do processo de fissuração
Naturalmente,
todo
processo
de
fissuração
é
tridimensional.
Por
simplificação, em situações onde as geometrias da fissura e do corpo fissurado
podem ser representados no plano, do ponto de vista da mecânica do fraturamento a
dimensionalidade do problema fica reduzida em uma dimensão.
Assim, as faces da fissura são representadas por arestas e a linha de frente da
fissura, por um ponto. Esse ponto confunde-se com os flancos da fissura, uma vez
que a espessura do corpo é admitida constante. Os pesquisadores da área utilizam
esse tipo de representação fazendo referência à “problemas unidimensionais”
(Sarrafi-Nour et al., 1998, p.ex.).
Nesse caso, a extensão ai da fissura é freqüentemente normalizada
relativamente a uma dimensão característica do corpo fissurado. Para o caso das
vigas retangulares, essa dimensão é a altura. Em corpos-de-prova cilíndricos, utilizase o diâmetro ou ainda, o comprimento.
Por outro lado, quando o corpo fissurado é representado tridimensionalmente,
a dimensionalidade das entidades geométricas da fissura mantém-se inalterada.
Nesse caso, é freqüente o uso do termo “fissuração bidimensional”, dado ao fato de
que a geometria da fissura deve ser descrita em duas dimensões.
Dessa maneira, no estudo tridimensional da fissuração, o avanço da fissura é
quantificado por uma área, denominada Área de Varredura da Fissura (Bittencourt,
224
1994). De forma análoga ao caso unidimensional, essa área pode ser normalizada
relativamente à outra área significativa da seção transversal, eventualmente a área
total do ligamento do corpo-de-prova, ALIG.
Sendo assim, para o corpo-de-prova em estudo, os valores normais resultantes
do procedimento seriam extremamente pequenos, para os níveis de carregamento que
antecedem a carga máxima do ensaio.
Tendo em vista o exposto, optou-se neste trabalho pela normalização da área
de varredura, relativamente à área do entalhe em “V”.
Portanto, a posição da linha de frente da fissura sobre o plano de
fraturamento, no iézimo estágio da propagação, passa a ser obtida a partir da relação
entre a área da fissura, Ai, e a área do entalhe em “V”, AENT, do corpo-de-prova, da
forma que se segue:
αA =
I
Ai
AENT
(6.1-1)
Para a geometria em estudo e admitindo-se uma fissura com a linha de frente
reta e perpendicular à direção da propagação, no iézimo estágio da progressão da
fissuração, a área acumulada da fissura, Ai, relaciona-se com a profundidade, ci, da
forma que se segue:
Ai = ci
2
(6.1-2)
A extensão total da fissura, ai, no estágio considerado, é obtida somando-se a
extensão inicial do entalhe, a0, à profundidade ci da fissura. Observando-se ainda que
essa extensão, ai, pode ser normalizada relativamente ao diâmetro D, a equação 6.1-1
pode ser rescrita da forma a obter-se:
225
αA =
(α i .D − a0 )2
I
(6.1-3)
AENT
Naturalmente, as equações 6.1-2 e 6.1-3 são aplicáveis à extensões αi contidas
na parte inferior do ligamento, isto quer dizer, dentro do entalhe em “V”.
Para o corpo-de-prova em estudo, AENT é da ordem de 51.51cm2 e a
profundidade inicial do entalhe, a0, igual a 2,50 cm (tabela. 5.1.1-1). A Fig. 6.1-1
ilustra a relação existente entre αAi e αi, quando da substituição desses valores na
equação 6.1-3.
1.000
0.900
0.800
0.700
0.600
αAi 0.500
0.400
0.300
0.200
0.100
0.000
0.000
0.050
0.100
0.150
0.200
α0 = 0.1667
0.250
0.300
0.350
0.400
0.450
0.500
αi
Figura 6.1-1 – Curva αAi x αi para o corpo-de-prova proposto.
0.550
0.600
0.650
226
6.2 Curvas de Resistência baseadas na relação Carga-CMOD
Como exposto anteriormente, o processo de fissuração da V-CEV pode ser
descrito, do ponto de vista da MFEL, através das equações 5.4.1-3, para os Fatores
de Intensidade de Tensão, KI, e 5.4.2-3 para os Deslocamentos de Abertura da
Entrada do Entalhe, CMOD. Por conveniência, essas equações são aqui repetidas:
KI =
P
. A(α )
D1.5
CMOD =
32.P.S
.α . g (α )
π .D 2 E .
(5.4.1-3)
(5.4.2-3)
A equação 5.4.1-3 pode ser reescrita de forma a obter-se:
α .g (α ) =
CMOD.π .D 2 .E
32.P.S
(6.2-1)
e
β = α .g (α )
(6.2-2)
Para a determinação da Curva de Resistência, a quantidade adimensional β é
determinada para o par (Pi;CMODi) considerado, utilizando-se a equação 6.2-1. Para
tanto, a função de dependência geométrica e de carregamento do corpo-de-prova,
g(α), é calculada através das equações 5.4.2-4. O valor do módulo de Elasticidade, E,
se não conhecido, pode ser aproximado através da aplicação da equação 5.4.3-3 a
227
uma série de ponto P- CMOD de forma a obter-se um valor médio representativo.
Alternativamente, um valor conhecido dessa grandeza, poderia ser utilizado.
Posteriormente e através de um esquema iterativo análogo ao sugerido no
capítulo 3, determina-se numericamente o valor de αi que satisfaz a igualdade dada
pela equação 6.2-2. Finalmente, de posse desse valor, as quantidades KR, αAi e
CMOD(αi) podem ser computadas utilizando-se as equações 5.4.1-2, 5.4.1-3, 6.1-3 e
5.4.2-3 e a Curva-R então construída, em função da área normalizada, αAi, ou dos
CMODs. Eventualmente, um esquema de conversão do CMOD poderia ser
considerado.
O fluxograma apresentado na Fig. 6.2-1 ilustra, de forma simplificada, os
procedimentos necessários à determinação da Curva-R, utilizando-se o corpo-deprova V-CEV sob o enfoque da MFEL. Ainda, a conversão do CMOD se
considerada, é feita, por exemplo, através do critério aproximado, anteriormente
sugerido (equações 3.2-11 e 5.4.2-6).
Figura 6.2-1 – Fluxograma simplificado para a construção da Curva-R sob o enfoque da MFEL
228
A Fig. 6.2-2 ilustra a Curva de Resistência construída de conformidade com
os procedimentos anteriormente expostos relativa à fissuração do material hipotético
explorado no exemplo 4.3-1. Ilustra-se também na figura, a curva P-CMOD
anteriormente determinada.
1600
P x CMOD
P (daN) ; KR x 10 (daN.cm^-1,5)
1400
1200
Pmax
Valores de KI (G<R)
1000
Curva de Fraturamento
(G > R)
800
Curva de Resistência
600
400
200
0
0.000
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025
0.030
0.035
0.040
0.045
CMOD (mm)
Figura 6.2-2 – Curvas P-CMOD e KR-CMOD para o material elástico linear do exemplo 4.3-1.
Como se observa, as Curvas de Resistência para os corpos-de-prova com
entalhes em “V” apresentam fases distintas daquelas estudadas para as vigas com
entalhes retos passantes. No presente caso, o inicio da fissuração pré-pico ocorre sob
condições onde os fatores de intensidade de tensão teóricos são extremamente
elevados (ou hipoteticamente infinitos), fissuração que apresenta crescimento estável
até a carga máxima. Neste trecho, a “Curva-R” é teoricamente substituída por uma
curva de fraturamento propriamente dita.
Na carga máxima do ensaio, Pmax, os parâmetros críticos Amin e αC são
atingidos. Após a carga de instabilidade, para os materiais de resposta linear elástica
ideal a Curva-R apresenta-se sob a forma de uma reta horizontal.
229
6.3 Curvas de Resistência baseadas na relação δ-CMOD
De natureza bastante simples, a curva de resistência fundamentada na relação
δ-CMOD pode ser construída a partir das equações 5.5-1, 5.4.2-3 ou 5.4.4-7 e 5.4.2-
3. A primeira delas é a que se segue:
δ =
CMOD..S V (α )
.
4.D
α .g (α )
(5.5-1)
Manipulando-se a equação anterior, é possível escrever:
4.δ .D
V (α )
=
α .g (α ) CMOD.S
(6.3-1)
e
β=
V (α )
α .g (α )
A Curva-R
(6.3-2)
é
construída calculando-se inicialmente, a quantidade
adimensional β para o par (δ;CMODi) considerado utilizando-se a equação 6.3-1. As
funções de dependência geométrica e de carregamento do corpo-de-prova g(α) e
V(α) são calculadas através das equações 5.4.2-4 e 5.4.4-9. Eventualmente, um
esquema de conversão do CMOD poderia ser simultaneamente considerado.
Observa-se que o valor do módulo de Elasticidade, E, não é necessário.
Posteriormente, através de um esquema iterativo, análogo ao sugerido no
capítulo 3, determina-se numericamente o valor de αi que satisfaz a igualdade dada
pela equação 6.3-2. Finalmente, de posse desse valor, as quantidades KR e αAi podem
ser computadas utilizando-se as equações 5.4.1-2, 5.4.1-3, 6.1-3 e a Curva-R então
construída, em função da área normalizada, αAi, ou dos CMODs.
230
6.4 Limitações relativas à construção das curvas efetivas de
resistência ao fraturamento, quando da utilização de entalhes em
“V”
Ao longo deste trabalho a construção da curvas de resistência ao fraturamento
sob o enfoque da MFEL, tratou da determinação de extensões efetivas da fissura, a,
para pares P-CMOD de um determinado ensaio. Assim, a partir dessas extensões
efetivas os valores de KR puderam ser determinados para cada etapa do
carregamento.
Do ponto de vista elástico linear, os conceitos anteriormente expostos podem
ser aplicados de forma generalizada, em virtude do pressuposto de que, nesse caso, a
extensão da zona de processos inelásticos à frente da ponta da fissura é desprezível
comparativamente a outras dimensões significativas da fissura ou do corpo fissurado
(por conseqüência, as extensões efetivas e aparentes serão praticamente idênticas).
Entretanto, no caso dos materiais cimentícios o avanço dessa zona (ou a sua
formação, na fase subcrítica) impedem o cálculo da tenacidade a partir da extensão
aparente da fissura (ou mesmo da extensão inicial do entalhe). Para os materiais
cimentícios, via de regra essa extensão efetiva da fissura é maior que a extensão
aparente no estágio de carregamento considerado, o que faz resultar (no caso das
vigas regulares com entalhes retos passantes, por exemplo), Fatores de Intensidade
de Tensão maiores que aqueles que seriam verificados se a extensão aparente fosse
utilizada para tal fim. Na carga máxima, por exemplo, esse fator de intensidade de
tensão (crítico) representará a Tenacidade ao Fraturamento do material.
Assim, a “efetividade” do modelo trata-se, na realidade, de uma forma
adequada de considerar-se o comportamento não linear desses materiais,
relativamente ao ganho de resistência ao fraturamento.
231
Portanto, para que o princípio da efetividade possa ser aplicado, há a
necessidade de que a derivada da Função dos Fatores de Intensidade de Tensão seja
monotonicamente crescente, relativamente à extensão da fissura.
Como também exposto, para os corpos com entalhes em “V” essa função é
decrescente até a carga máxima. Mesmo que a extensão efetiva viesse a ser
corretamente determinada a partir das relações anteriormente desenvolvidas, os
Fatores de Intensidade de Tensão seriam calculados inconsistentemente, em virtude
do fato de que esse valor efetivo (determinado para a fissura num dado estágio
anterior à carga crítica) conduziria, incorretamente, a valores de KI menores,
(inclusive que aquele calculado com a extensão aparente da fissura).
Portanto, esse fato limita a construção das curvas efetivas de resistência ao
fraturamento, aos estágios posteriores à carga de pico.
Como exposto no caso das vigas ordinárias, nos estágios que antecedem a
carga crítica por mera conveniência gráfica, os Fatores de Intensidade de Tensão são
indicados nas curvas de resistência. Esse traçado “auxiliar” ajuda a descrever, dentre
outras coisas, as intensificações de tensão e o crescimento subcrítico da fissura.
Entretanto, a apresentação desses valores num traçado pertinente a um corpo de
prova com entalhe em “V” significaria, em última análise, um equívoco conceitual.
Neste capítulo, foram apresentados os principais conceitos, relativos à
representação do processo de fissuração em análises tridimensionais e a formulação
necessária à representação geométrica desse processo.
232
Posteriormente, a formulação referente à construção das curvas de resistência
fundamentadas nos conceitos da MFEL foi estendida ao caso da análise
tridimensional.
Nessa
ocasião,
também
foram
apresentadas
as
Curvas-R
efetivas
fundamentadas tanto nas relações elásticas lineares existentes entre a carga P e o
Deslocamento de Abertura da Entrada do Entalhe, CMOD, quanto naquelas
verificadas entre o Deslocamento Vertical da Linha de Carga, δLC e o CMOD nos
diversos estágios do carregamento. Com base nesta formulação foi desenvolvida,
uma análise de uma situação hipotética de fissuração, utilizando o corpo-de-prova VCEV.
Finalmente, as limitações conceitualmente impostas à construção da CurvasR efetivas, quando da aplicação da técnica desenvolvidas ao estudo dos materiais de
ruptura quase frágil, foi apresentada e discutida em seus principais aspectos teóricos.
233
7. PROGRAMA EXPERIMENTAL PARA A DETERMINAÇÃO
DA TENACIDADE AO FRATURAMENTO DO CONCRETO,
UTILIZANDO A V-CEV
Com o objetivo de avaliar o desempenho do corpo-de-prova proposto, mesmo
que de forma limitada, um segundo programa experimental de determinação da
Tenacidade ao Fraturamento do concreto foi levado a efeito.
Naturalmente, um programa mais amplo de ensaios seria necessário para uma
avaliação mais rigorosa da geometria e dos aparatos de ensaio propostos nesta
pesquisa, programa que envolveria ainda, verificações de outras naturezas, a
exemplo, da consideração da variação da escala do corpo-de-prova, da diversificação
da natureza dos materiais ensaiados e da utilização de um número substancialmente
maior de corpos-de-prova. Portanto, o autor gostaria de ressaltar que os ensaios
realizados nessa última etapa de estudos espelham, em última análise, uma fase
preliminar e despretensiosa de verificações práticas do corpo-de-prova.
Dada à extensão da investigação necessária à perfeita validação do corpo-deprova e a impossibilidade prática de implementação de um programa experimental de
envergadura, o programa experimental levado a efeito limitou-se ao ensaio de um
numero restrito (entretanto significativo) de V-CEV, assim como de vigas
convencionais com entalhes retos passantes, analisadas através do uso de uma
metodologia suficientemente estabelecida, para efeitos de comparação de resultados.
7.1 Material utilizado no programa experimental
Para a realização dessa segunda etapa de ensaios, um concreto de resistência
intermediária foi escolhido. A mistura, de composição unitária, em massa, igual a
1:1,75:2,75 (cimento, pedra e areia), foi preparada com uma relação água/cimento
234
da ordem de 0,55. O cimento utilizado foi o da marca Votoran, CP II-E-32 e a
dimensão característica do agregado graúdo de 19 mm. Os corpos-de-prova foram
desmoldados aos três dias e curados em câmara úmida até o dia dos ensaios.
Esse material apresentou resistência à compressão da ordem de 320 daN/cm2
aos 56 dias.
7.2 Corpos-de-prova produzidos
Para a execução dos ensaios, 16 cilindros de (15x30cm) foram moldados.
Desses corpos-de-prova, 10 foram aleatoriamente escolhidos para os ensaios de
fraturamento. Os entalhes foram preparados utilizando-se uma serra de disco,
refrigerada a água que proporcionou espessuras finais de corte da ordem de 4 mm. A
Fig. 7.2-1 mostra os entalhes produzidos em três corpos-de-prova cilíndricos.
Figura 7.2-1 – Corpos-de-prova cilíndricos com entalhe em “V”: seção transversal central
235
Os cilindros restantes foram utilizados, em parte, para a determinação da
resistência à compressão do material e em parte para a caracterização física do
material (ensaios de massas).
A determinação indireta da resistência à tração, por compressão diametral, foi
procedida utilizando-se 10 das 20 partes remanescentes das V-CEV ensaiadas ao
fraturamento, após o desbaste dos restos dos entalhes centrais.
Do mesmo concreto, foram preparadas 4 vigas de seção retangular, com 6,0
cm de base, 12 cm de altura e 54 cm de comprimento, ensaiadas com um vão-livre de
48 cm. Os entalhes centrais, retos e passantes, foram moldados utilizando-se placas
de inserção metálicas.
7.3 Ensaios de fraturamento
Como no primeiro programa experimental, os ensaios de fraturamento foram
realizados no Laboratório de Materiais da Faculdade de Engenharia Mecânica da
UNICAMP, 53 dias após a moldagem dos corpos-de-prova, utilizando-se o
equipamento servo-controlado MTS, modelo TESTSTAR II descrito anteriormente
neste trabalho.
Os ensaios foram executados em ciclo fechado, sob condições de controle dos
CMODs. Objetivando a eliminação de variáveis, todos os corpos-de-prova foram
ensaiados saturados.
236
Ensaios das V-CEV
As V-CEV foram ensaiadas utilizando-se as combinações de condições de
contorno estudadas neste trabalho. A primeira série, composta de 4 corpos-de-prova,
foi ensaiada à flexão em “3 pontos” , hipótese de apoio e carregamento que constitui
o caso “A”.
A segunda série, formada pelos outros 6 corpos-de-prova, foi ensaiada à
flexão utilizando-se os aparatos especiais de apoio e carregamento desenvolvidos ao
longo deste trabalho (caso “B”). As Fig. 7.3-1, 7.3-2 e 7.3-3 ilustram o andamento
dos ensaios, sob as diferentes condições de apoio e carregamento.
Figura 7.3-1 – Ensaio de flexão em “3 pontos” do corpo-de-prova V-CEV.
237
Figura 7.3-2 – Ensaio de flexão do corpo-de-prova V-CEV –esquema “aresta superfície” (caso “B”)
Figura 7.3-3 – Ensaio de flexão do corpo-de-prova V-CEV –esquema “aresta superfície” (caso “B”)
238
Resultados dos ensaios V-CEV
A seguir são apresentados os gráficos Carga-CMOD referentes aos ensaios de
fraturamento procedidos.
Os gráficos relativos às condições de contorno do caso “A”, isto é, a de
flexão em “três pontos” são ilustrados, em conjunto, na Fig. 7.3-4.
Para maior nitidez, as curvas obtidas nos ensaios e relativas ao caso “B” são
apresentados em separado nas Fig. 7.3-5 a 7.3-10.
1200
1100
1000
900
P ( daN )
800
700
600
500
400
300
200
100
0
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
0.11
0.12
0.13
CMOD ( mm )
Figura 7.3-4 Corpos-de-prova ensaiados à flexão em 3 pontos –Caso ”A” de estudos.
0.14
239
V-CEV 1
1200
1100
1000
900
P (daN)
800
700
600
500
400
300
200
100
0
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
0.11
0.12
0.13
0.14
COMD (mm)
Figura 7.3-5 – Corpo-de-prova no. 1
V-CEV 2
1200
1100
1000
900
P (daN)
800
700
600
500
400
300
200
100
0
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
CMOD (mm)
0.1
0.11
0.12
0.13
0.14
240
V-CEV 3
1200
1100
1000
900
P (daN)
800
700
600
500
400
300
200
100
0
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
0.11
0.12
0.13
0.14
CMOD (mm)
V-CEV 4
1200
1100
1000
900
P (daN)
800
700
600
500
400
300
200
100
0
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
CMOD (mm)
0.1
0.11
0.12
0.13
0.14
241
V-CEV 5
1200
1100
1000
900
P (daN)
800
700
600
500
400
300
200
100
0
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
0.11
0.12
0.13
0.14
0.1
0.11
0.12
0.13
0.14
CMOD (mm)
V-CEV 6
1200
1100
1000
900
P (daN)
800
700
600
500
400
300
200
100
0
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
CMOD (mm)
242
Ensaios das vigas convencionais
As vigas convencionais moldadas com o mesmo material foram ensaiadas à
flexão em três pontos utilizando-se a metodologia do Modelo dos Dois Parâmetros,
recomendada pela RILEM.
Os procedimentos de ensaio foram análogos aos descritos no capítulo 4,
adotados anteriormente para ensaios de outros materiais.
A Fig. 7.3-11 ilustra o andamento um dos ensaios e as Fig. 7.3-12 e 7.3-13
trazem os gráficos Carga-CMOD dos 4 ensaios realizados.
Figura 7.3-11 - Ensaio de fraturamento de viga – Flexão em três pontos.
243
Figura 7.3-12 Curvas Carga-CMOD - Corpos-de-prova 1 e 2
Figura 7.3-13 - Curvas Carga-CMOD - Corpos-de-prova 3 e 4
244
7.4 Determinação dos parâmetros de tenacidade e análise dos
resultados
Vigas ensaiadas à flexão em três pontos
A partir das informações de ensaio, os valores do Módulo de Elasticidade, E,
e da Tenacidade ao Fraturamento,KIC, do material foram computados para as vigas
entalhadas e para os corpos-de-prova V-CEV, com o auxílio de uma rotina escrita em
FORTRAN 90/95 e passam a ser apresentados. Pormenores relativos aos resultados
obtidos computacionalmente encontram-se reunidos no Apêndice G deste trabalho.
•
Para o cálculo do Módulo de Elasticidade, duas metodologias foram
empregadas. Inicialmente, os valores do Módulo de Elasticidade do material foram
computados através da metodologia do Modelo dos Dois Parâmetros, apresentada no
capítulo 2, para cada um dos corpos-de-prova ensaiados. Os valores assim obtidos
passam a ser designados Es.
Na segunda etapa de cálculos, a influência da altura da lâmina de suporte do
extensômetro, através da constante de conversão kd, foi considerada.
Nesse caso, o valor final, para cada corpo-de-prova, foi obtido da média dos
valores computados em cada ponto P-CMOD da fase resiliente da resposta. Para o
cálculo do Módulo adotou-se kd=f(α0), uma vez que no estágio onde se avalia o
Módulo, a resposta do corpo-de-prova é considerada elástica. Esses valores passam a
receber a designação Ek,d. Os valores apurados, segundo os dois critérios adotados,
são apresentados na tabela. 7.4-1.
245
Tabela 7.4-1 –Resultados do Módulo de Elasticidade (vigas)
Corpo-de-prova
1
2
3
4
Valores Médios:
Desv. Padrão:
Desv. Padrão %:
•
E (s)
E (kd)
(daN/cm2)
(daN/cm2)
260452.870
252630.045
276208.430
253840.167
260782.878
249738.439
241966.319
261585.171
253840.167
251782.524
9390.507
7086.289
3.601
2.814
A Tenacidade ao Fraturamento foi determinada, para cada um dos corpos-deprova, através da metodologia dos Dois Parâmetros sugerida pela RILEM. De forma
análoga à grandeza anteriormente analisada, os cálculos de KSIC foram procedidos
em duas etapas, fazendo uso dos Módulos de Elasticidade computados pelos
diferentes critérios.
Posteriormente, os valores de KSIC foram minorados de forma a refletirem a
variação da magnitude da Tenacidade ao Fraturamento, decorrente da consideração
do Coeficiente de Poisson, ν, usualmente negligenciado na formulação desenvolvida
para as vigas em flexão. Mesmo que significando uma correção de pequena monta,
este procedimento foi adotado para que os valores de tenacidade obtidos nos ensaios
de vigas, valores que se aproximam daqueles obtidos em condições de estado plano
de tensão, pudessem ser comparados com os obtidos utilizando-se entalhes em “V”,
que, por sua vez, aproximam-se da Tenacidade ao Fraturamento sob condições de
estado plano de deformação. Nas simulações numéricas adotou-se ν = 0,175.
Os valores convertidos, designados KSIC* (ou KIC*(S) ), foram determinados da
forma que se segue:
S
K S IC * = K IC
. 1−υ 2
(7.4-1)
246
O mesmo procedimento foi adotado para a conversão dos valores de
Tenacidade ao Fraturamento obtidos com o Módulo Ek,d. Os valores calculados
encontram-se reunidos na tabela. 7.4-2.
Tabela 7.4-2 –Resultados da Tenacidade ao Fraturamento (vigas)
Corpo-de-prova
KIC(s)
KIC (Mod.kd)
KIC*(s)
KIC*(Mod.kd)
(daN.cm^ -1.5)
(daN.cm^ -1.5)
(daN.cm^ -1.5)
(daN.cm^ -1.5)
105.810
117.584
117.060
102.077
110.633
101.824
112.846
111.419
98.195
106.071
104.178
115.769
115.253
100.502
108.926
100.253
111.104
109.700
96.680
104.434
Desv. Padrão:
6.82
6.22
6.72
6.12
Desv. Padrão %:
6.16
5.86
6.16
5.86
1
2
3
4
Valores Médios:
Os procedimentos de construção de curvas de Resistência descritos ao longo
deste trabalho foram aplicados às informações P-CMOD obtidas nos ensaios das
quatro vigas. O conjunto de curvas é o que se ilustra na Fig. 7.4-1.
250
225
200
KR (daN.cm^-1,5)
175
150
125
CP 1
100
CP 2
CP 3
CP 4
75
50
25
0
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
CMOD (mm)
Figura 7.4-1 – Curvas KR-CMOD para as vigas com entalhes retos passantes.
247
Observa-se na figura anterior que as curvas de resistência determinadas
incluem os ciclos de descarregamento e recarregamento dos corpos-de-prova.
Mesmo que representando unicamente fatores de intensidade de tensão, os valores de
KI desses ciclos foram calculados de forma a poder ficar demonstrada a continuidade
(em termos de tendência) das Curvas-R.
Posteriormente, os valores de KI desses ciclos foram desconsiderados e ao
conjunto de pontos KR-CMOD ajustou-se uma curva de comportamento exponencial,
representativa dos ensaios procedidos. O gráfico dessa função assim como o valor de
referência, KSIC, passam a ser apresentados na Fig. 7.4-2. A equação determinada
(com S=6,6 e r=0,988) é a que se segue:
(
K R = 175.1597 1 - e (-21.5761.CMOD )
)
(7.4-1)
250
225
200
KR (daN.cm^-1,5)
175
150
125
CP 1
100
CP 2
CP 3
CP 4
75
Kic (s)
Ajuste Exponencial
50
25
0
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
CMOD (mm)
S
Figura 7.4-2 – Curvas KR-CMOD, valor de referência K IC e gráfico da função exponencial
representativa dos ensaios da vigas com entalhes retos passantes.
248
Corpos-de-prova V-CEV
•
De forma análoga ao caso das vigas, o Módulo de Elasticidade foi calculado
para cada um dos corpos-de-prova. A equação 5.4.2-3 foi utilizada com a
consideração da influência da altura d da lâmina de suporte do extensômetro através
do uso da constante kd,com α=α0.
Nesta etapa, somente os corpos-de-prova integrantes do caso “B”, quatro de
um total de seis CPs moldados, foram analisados. Os resultados dos dois corpos-deprova remanescentes não foram considerados uma vez que as profundidades finais
dos entalhes ficaram em desconformidade com a geometria calibrada. Os resultados
determinados nas análises são apresentados na tabela. 7.4-3.
Tabela 7.4-3 - Resultados do Módulo de Elasticidade (V-CEV)
Corpo-de-prova
E
(daN/cm2)
1
2
337494.684
294506.257
3
4
295545.903
318213.077
311439.980
17777.057
5.708
Média:
Desv. Padrão:
Desv. Pad. %:
•
A determinação da Tenacidade ao Fraturamento foi procedida em duas etapas
distintas, utilizando a formulação apresentada neste trabalho e a metodologia de
249
costume aplicada aos corpos-de-prova assemelhados. Inicialmente, a Tenacidade
Aparente, KIQ, foi calculada de conformidade com os conceitos da MFEL, utilizando
a constante de calibragem do corpo-de-prova determinada no capítulo 5 (tabela.
5.4.1-2) assim como as cargas máximas dos ensaios. Posteriormente, esse valores
aparentes foram corrigidos através da consideração dos fatores de correção inelástica,
determinados com o auxílio da relação δ-CMOD para o corpo-de-prova (equação
5.5-1). Os resultados apurados passam a ser apresentados na tabela. 7.4-4.
Tabela 7.4-4 - Resultados da Tenacidade ao Fraturamento (V-CEV)
Corpo-de-prova
1
2
3
4
Média:
Desv. Padrão:
Desv. Pad. %:
•
Pmax
KIQ
(daN)
(daN.cm^-1.5)
943.944
817.323
890.541
856.462
877.068
46.497
5.301
69.589
60.858
65.652
64.415
65.129
3.119
4.789
p
[(1+p)/(1-p)]^0.5
KIC
(daN.cm^-1.5)
0.327
0.333
0.371
0.356
0.347
0.018
5.101
1.404
1.414
1.476
1.451
1.436
0.029
2.017
97.689
86.041
96.905
93.467
93.525
4.604
4.922
Outros Valores de referência para o Módulo de Elasticidade
Uma vez que o Módulo do material não foi determinado por outras vias,
como por exemplo, através de ensaios de cilindros instrumentados, alguns valores de
referência foram calculados com o auxílio de relações empíricas baseadas na
resistência à compressão do material, com o objetivo de estabelecer uma
comparação.
A resistência média à compressão do material, avaliada em 323.4 daN/cm2
(32.34 MPa) aos 53 dias, foi considerada. As relações utilizadas foram as sugeridas
pelo CEB, pela RILEM, e por Carrasquillo, apud Shah (1995), Karihaloo (1995) e
Saldívar (1999), respectivamente, e pela A.B.N.T apud Petrucci (1995). Os valores
computados são os apresentados na tabela. 7.4-5.
250
Tabela 7.4-5 ; Valores de referência para o módulo de elasticidade, com base na resistência à
compressão
Referência
E
(daN/cm^2)
CEB (EUROCODE-90)
RILEM
CARRASQUILLO:
A.B.N.T. (M. Tangente)
•
318601.595
272115.863
257803.483
377651.499
V-CEVs ensaiadas à flexão em 3 pontos
De forma inversa à ocorrida com os corpos-de-prova solicitados com os
aparatos especiais, os 3 espécimes preparados para os ensaios à flexão em três
pontos, talvez por terem sido os primeiros entalhes produzidos, apresentaram, todos,
entalhes com profundidades fora do padrão esperado. Assim, a formulação de
calibragem desenvolvida dentro deste trabalho não pode ser diretamente aplicada aos
resultados desses 3 ensaios.
Objetivando contornar o problema, mesmo que parcialmente, a expressão
geral da ISRM foi utilizada para a correção da constante AMIN, em função das
profundidades relativas dos entalhes. Para tanto, um fator relacionando a constante
determinada neste trabalho (para esse tipo de condições de contorno) e aquela
decorrente da aplicação da equação 5.5 às dimensões do corpo-de-prova e dos
entalhes produzidos, foi determinado. Esse fator foi posteriormente aplicado aos
valores de AMIN determinados com a equação 5.5, para cada um dos corpos-deprova.
Esse procedimento viabilizou a aproximação dos valores da Tenacidade
Aparente, KIQ, para os corpos-de-prova ensaiados.
251
Os valores das constantes corrigidas, assim como os valores de KIQ
calculados, são apresentados nas tabelas 7.4-6 e 7.4-7.
Tabela 7.4-6 – Correção da constante de calibragem para as V-CEV solicitadas à flexão em 3 pontos
Corpo-de-prova
ao
(cm)
(cm)
CEV-C2
CEV-C3
CEV-C4
Teórico
2.30
2.00
1.70
2.50
14.80
14.80
14.90
15.00
D
α0
A min (ISRM)
A min (corr.)
0.1554
0.1351
0.1141
0.1667
5.5936
5.2371
4.8493
5.7205
4.1976
3.9300
3.6390
4.2928
Tabela 7.4-7 – Valores de Tenacidade aparente determinados com as V-CEV (flexão em 3 pontos)
Corpo-de-prova
CEV-C2
CEV-C3
CEV-C4
Médias:
Desv. Padrão:
Desv. Padrão %:
D
(cm)
14.80
14.80
14.90
α0
0.1554
0.1351
0.1141
A min (corr.)
4.1976
3.9300
3.6390
Pmax
KIQ
(daN)
(daN.cm^-1.5)
822.383
794.065
1003.812
873.420
92.923
10.64
60.629
54.810
63.512
59.650
3.619
6.07
Para que os valores recém apresentados não sejam confundidos com os
resultados anteriores, na discussão que se segue quaisquer referências aos mesmos
serão feitas de forma explícita, reservando-se os principais comentários aos
resultados preliminarmente apresentados para as V-CEV solicitadas e apoiadas com
os aparatos especiais do caso B de condições de contorno.
Discussão
Da análise dos resultados apresentados, relativos ao Módulo de Elasticidade
do material e determinados nos ensaios de flexão de vigas, observa-se que os desvios
percentuais, em torno dos valores médios computados através de cada um dos
252
critérios de análise, são relativamente baixos. Entre critérios, a diferença é da ordem
de 5%, valor considerado satisfatório.
Com relação aos valores determinados através da utilização das V-CEV,
observa-se que o desvio padrão em torno da média também é baixo. Entretanto, os
valores médios apurados com os diferentes corpos-de-prova diferem entre si em
aproximadamente 19%, diferença considerada significativa.
Comparativamente aos valores de referência alternativos, depreende-se que o
resultado médio apurado com as vigas convencionais aproxima-se do obtido a partir
da relação apresentada pela RILEM, com uma diferença da ordem de 7,5%.
Comparativamente à relação proposta por Carrasquillo, essa diferença é menor, algo
em torno de 2,3%.
Por outro lado, o valor médio decorrente dos ensaios das V-CEV aproxima-se
mais adequadamente daquele obtido com a fórmula do CEB, sugerida por Shah
(1995). A diferença, nesse caso, é da ordem de 2,3%.
Verifica-se, finalmente, que os valores do Módulo de Elasticidade
determinados segundo as diferentes metodologias guardam uma certa uniformidade,
confirmando, dentro dos limites esperados, a reprodutibilidade dos ensaios, não
obstante a diferença verificada entre os valores apurados com os diferentes corposde-prova. As causas que originaram esta diferença, entretanto, ainda não estão claras
para o autor.
Relativamente aos valores de Tenacidade ao Fraturamento, observa-se que os
valores apurados com as vigas convencionais através de critérios diversos, diferem
algo em torno de 4,3%. Entre os diferentes corpos-de-prova, as variações
encontradas foram de 11,7 e 16,5%, se considerados os diferentes critérios.
Por sua vez, as Tenacidades Aparentes, KIQ, determinadas com as V-CEV
ensaiadas de acordo com as diferentes condições de contorno diferem entre si algo da
253
ordem de 8,41%, valor considerado satisfatório, em que pesem as dúvidas
eventualmente decorrentes dos critérios adotados para a correção da constante de
calibragem do corpo-de-prova.
De uma forma geral, os resultados de ensaios de determinação das
propriedades mecânicas de resistência de materiais como os concretos e argamassas,
usualmente apresentam variações de até 15 %, diferenças tecnicamente entendidas
como “naturais” por estarem associadas à natureza desses compósitos.
Aqui, entretanto, esse raciocínio talvez não se aplique.
Da análise dos
resultados individuais (de cada corpo-de-prova) depreende-se, sobretudo, a
uniformidade das respostas obtidas, relativamente aos resultados médios dos grupos,
fato refletido pelo baixo desvio padrão de cada um desses grupos.
A discrepância verificada talvez se associe à estratégia adotada de
determinação indireta do Fator de Correção Inelástica. Tendo em vista a natureza das
equações utilizadas, acredita-se que a correção aplicada tenha apenas aproximado o
valor real esperado, fato que ainda requer uma análise mais aprofundada.
Neste capítulo, um programa experimental preliminar que objetivou a
primeira utilização do corpo-de-prova, desenvolvido ao longo deste trabalho, foi
implementado. Utilizando aparatos de apoio e transmissão de carga ao corpo-deprova, especialmente desenvolvidos para este fim, uma série de ensaios de
fraturamento, foi procedida.
Para uma caracterização adequada do material investigado relativamente ao
às propriedades de fraturamento, diferentes ensaios como os de determinação das
resistência à compressão e à tração, ensaios granulométricos dos agregados e aqueles
254
de determinação das massas secas, submersas e saturadas e por conseqüência, dos
indicadores de porosidade, foram procedidos.
Parâmetros relevantes de resistência como a Tenacidade ao Fraturamento
além do Módulo de Elasticidade do material foram então computados através de
diferentes metodologias consideradas ao longo do trabalho. Posteriormente, esses
resultados foram comparados àqueles obtidos em uma outra série de ensaios
simultaneamente levados a efeito pelo autor de flexão de vigas convencionalmente
entalhadas, recomendados pela RILEM. De forma suplementar, outros valores de
referência dessas grandezas de interesse foram tomados na literatura técnica e
utilizados, com vistas a extensão das comparações.
Uma discussão relativa à significância dos resultados apurados foi então
tecida e as diferenças resultantes da comparação levada a efeito, embora decorrentes
de uma série restrita de ensaios, foram apreciadas em seus aspectos significativos.
Embora de pequena monta, a origem de pequenas divergências encontradas, fica por
ser investigada.
De forma geral, os resultados obtidos com esse tipo de corpo-de-prova
demonstraram, por sua uniformidade, excelente reprodutibilidade, indicando que o
espécime proposto pode ser convenientemente utilizado nas atividades laboratoriais
cotidianas, restando entretanto, a necessidade de uma investigação experimental mais
aprofundada, que levasse em consideração, para efeitos de comparação, corpos-deprova de outra natureza e materiais alternativos.
255
8. CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA FUTURAS PESQUISAS
Dois foram os objetivos desta tese. Primeiro, a modelagem analítica e
computacional das Curvas de Resistência ao Fraturamento sob o enfoque da
Mecânica da Fratura Elástica Linear através do desenvolvimento de um modelo que
pudesse ser aplicado à análise do processo de fissuração e fraturamento de materiais
cimentícios em geral e, em particular, dos concretos comuns e dos concretos
reforçados com fibras de aço.
Nessa direção, inicialmente foram abordados os aspectos relevantes relativos
aos diferentes tipos de corpos-de-prova utilizados para os ensaios de determinação
das Tenacidades, Flexional e ao Fraturamento, assim como as metodologias
existentes para a quantificação dessas grandezas.
Complementarmente, a multiplicidade de parâmetros adotados pelas
principais organizações, a exemplo da RILEM e da ASTM, foi discutida e uma
ferramenta computacional desenvolvida pelo autor, objetivando a automação da
análise da tenacidade flexional, apresentada. Esse programa computacional, embora
em fase preliminar de desenvolvimento, mostrou-se eficiente para a determinação
dos parâmetros básicos de tenacidade flexional, abrindo assim uma nova perspectiva
sobre o assunto, requerendo, entretanto, um maior aprofundamento e uma maior
maturação.
A essa etapa de trabalhos, seguiu-se a análise dos principais aspectos teóricos
referentes à Resistência ao Fraturamento, dos pontos de vista da MFEL e da MFNL,
revisão que incluiu a abordagem dos principais conceitos relacionados à construção
das Curvas de Resistência para a descrição do processo de fraturamento. Neste
sentido, as equações fundamentais da Mecânica da Fratura Elástica Linear foram
cuidadosamente reexaminadas e as relações existentes entre a carga aplicada e os
deslocamentos, de abertura da entrada do entalhe (CMOD) e verticais da linha de
256
carga (δLC), puderam ser estabelecidas. Foi explicitada em especial, a relação
existente entre esses deslocamentos (CMOD e δLC), e demonstrada a hipótese de que
essa relação, para materiais obedecendo os princípios da MFEL, é puramente
geométrica.
Nessa ocasião, as equações fundamentais da MFEL, até então indisponíveis
para a viga de 150x150x500mm com vão-livre de 450mm e solicitada à flexão em 3
pontos, corpo-de-prova extensamente utilizado pelos pesquisadores da área, foram
determinadas. Ao longo dessa etapa do trabalho, especial atenção foi dada à
influência da altura da lâmina de fixação do clip-gauge sobre os valores dos CMODs
determinados experimentalmente e novas equações que viabilizam a consideração
dessa influência, foram então deduzidas. Embora até agora negligenciada, a correção
dessa influência revelou-se importante, uma vez que as quantidades associadas à
mecânica da fratura usualmente apresentam magnitudes extremamente pequenas.
Partindo das relações entre a carga aplicada e os deslocamentos, assim como
daquelas que esses deslocamentos guardam entre si, 3 novas metodologias para a
construção de Curvas Efetivas de Resistência ao Fraturamento foram propostas e os
procedimentos necessários à implementação desses modelos, oferecidos. Ainda,
tendo como marco central os conceitos da MFEL, a efetividade do principal modelo
proposto, ou seja, daquele fundamentado na relação P-CMOD, foi fartamente
discutida.
Seguiu-se então a implementação do modelo através da aplicação das Curvas
de Resistência ao Fraturamento, à análise do processo de fissuração de materiais
cimentícios como rochas, concretos de alta resistência (CAR) e concretos reforçados
com fibras de aço (CRFA). Nessa oportunidade, importantes habilidades do modelo
implementado vieram à tona, dentre elas aquela de capturar o regime de crescimento
subcrítico da fissura.
Ainda, a constatação de que os maiores níveis de Resistência ao Fraturamento
são atingidos após a carga máxima do ensaio, inclusive para materiais de
257
comportamento sabidamente frágeis, a exemplo do CAR, ficou claramente
evidenciada, possibilitando a reabertura da discussão sobre a abrangência dos
parâmetros de tenacidade computados na carga crítica.
Nos estudos levados a efeito, especial atenção foi dada aos concretos
reforçados com fibras de aço. Para tanto, dados de ensaios conduzidos por
pesquisadores como Saldívar e Jamet et al. foram analisados, através da utilização da
metodologia desenvolvida.
Nesse caso, constatou-se que o modelo implementado aplica-se à descrição
do regime de ruptura desses materiais não somente do ponto de vista da resposta
global do corpo fissurado, bem como à elucidação dos mecanismos de mudança de
comportamento do compósito ao nível da sua microestrutura, ao longo do processo
de fissuração. Da forma análoga, o modelo mostrou-se extremamente eficaz no que
diz respeito à capacidade de capturar o aumento da Resistência ao Fraturamento do
compósito, com a evolução do teor de fibras de aço a ele incorporado.
Nesse sentido, um programa experimental onde o teor de fibras de aço foi
feito variar, evidenciou, não somente o ganho de resistência com a incorporação de
diferentes teores de fibras de aço, bem como a associação entre esses diferentes
teores e as profundidades efetivas da fissura, em cada caso estudado.
Nessa oportunidade, a relação entre a Tenacidade ao Fraturamento e a
Tenacidade Flexional foi também esboçada. Igualmente relevante foi a constatação
da aplicabilidade do modelo desenvolvido, através do estudo da variação da escala
estrutural, levado a efeito neste trabalho. Para que esses estudos pudessem ser
procedidos, novas expressões da MFEL para “vigas curtas”, tiveram que ser
computadas pelo autor, complementando assim as ferramentas analíticas necessárias
a análises estruturais de importância que habitualmente fazem uso desse tipo de
corpo-de-prova.
258
Nos estudos que se sucederam foi demonstrada a rápida convergência das
respostas de Resistência ao Fraturamento de materiais como o CAR a patamares de
relativa constância em virtude da mudança da escala estrutural. Nessa mesma
oportunidade o comportamento oposto dos Índices Adimensionais da ASTM,
determinados com o auxílio do programa TENAC, parece ter sido detectado, ao
menos em termos das magnitudes das taxas de convergência desses índices à
patamares de relativa constância.
Da aplicação do modelo desenvolvido à análise do efeito de escala,
constatou-se que corpos-de-prova com alturas avantajadas seriam necessários à
“dissipação” desse efeito, em termos de determinação de valores de Resistência ao
Fraturamento relativamente insensíveis à escala estrutural, mesmo para pequenas
fibras de aço, fato que sugere a utilização de “curvas de escala” para a definição
dessa propriedade resistente, o que possibilitaria a sua utilização racional da
Resistência ao Fraturamento nas atividades de projeto.
Dessa maneira, acredita-se que o modelo apresentado tenha sido fortemente
verificado ao longo desta tese e que, ao menos como uma primeira aproximação, seja
de fato eficaz, não somente para a descrição do processo de fissuração e fraturamento
estrutural, mas também para a determinação da Resistência ao Fraturamento dos
materiais cimentícios investigados. Entretanto, por questões inerentes à lógica
científica, entende-se que se torna necessária uma pesquisa ainda mais exaustiva e
aprofundada, no sentido de buscar-se o aprimoramento do modelo e a identificação
rigorosa das situações de limitação do que aqui se propôs.
Assim, um programa mais abrangente da aplicação do modelo efetivo
desenvolvido nesta tese ao estudo do efeito de escala, tanto para o concreto de alta
resistência, como para o CRFA é uma sugestão que finalmente se apresenta neste
trabalho.
Pela consistência apresentada e principalmente pelo enfoque adotado na sua
concepção, acredita-se igualmente que o modelo possa ser naturalmente estendido
259
para utilização com corpos-de-prova de diferentes naturezas e mesmo aos outros
modos de fraturamento (II e III), o que requereria, entretanto, a determinação das
equações fundamentais da MFEL para o corpo-de-prova a ser utilizado nessas novas
situações de solicitação ao fraturamento.
Na segunda etapa desta tese, apresentou-se um novo corpo-de-prova
originário do cilindro padrão de (15x30)cm, adaptado para os ensaios de
determinação da Tenacidade ao Fraturamento do concreto em ensaios de flexão,
explorando entretanto os aspectos positivos apresentados pelos entalhes em “V. Para
o apoio e o carregamento do corpo-de-prova, novos aparatos de ensaio foram
concebidos e desenvolvidos.
Diferentes etapas de análises numéricas foram então levadas a efeito,
objetivando a determinação das novas condições de carregamento e a calibragem da
geometria proposta. Nessa etapa, as equações relevantes da MFEL, relativas aos
CMODs, aos Deslocamentos Verticais, δLC, e aos Fatores de Intensidade de Tensões,
foram determinadas para o corpo-de-prova, sob diferentes de condições de contorno.
Dessa maneira, o processo de fissuração do corpo-de-prova pôde ser descrito
nos regimes pré e pós-pico do ensaio, o que possibilitou o entendimento das não
linearidades inerentes ao processo de colapso de corpos-de-prova com entalhes em
“V”, assim como a determinação de uma expressão aproximada para a determinação
do Módulo de Elasticidade do material, a partir das informações habitualmente
decorrentes dos ensaios de fraturamento, aparentemente preenchendo uma lacuna até
então existente.
De forma complementar, as equações necessárias às correções dos CMODs,
em virtude da altura da lâmina de suporte do clip-gauge, assim como as relações
elásticas lineares existentes entre os deslocamentos significativos, também foram
computadas para o corpo-de-prova proposto. Nessa oportunidade, os principais
conceitos relativos à representação do processo de fissuração e fraturamento em
260
análises tridimensionais foram desenvolvidos e a formulação a ela necessária,
apresentada em seus principais aspectos.
Com o objetivo de validar a geometria proposta, uma série de
experimentações foi levada a efeito e uma análise comparativa dos resultados
obtidos, então estabelecida. Embora de pequena monta, os resultados das grandezas
de interesse, determinados com o corpo-de-prova desenvolvido mostraram
divergências relativamente uniformes, comparativamente aos valores de referência
adotados.
As origens dessas diferenças ainda não estão suficientemente claras,
sugerindo que a exploração do espécime proposto seja aprofundada em novas
pesquisas. Essas investigações deveriam considerar, para efeitos de comparação de
resultados, além de vigas convencionalmente entalhadas, corpos-de-prova de
diferentes naturezas, a exemplo dos short-rods (CEV) submetidos a ensaios de
abertura diametral por tração direta ou por compressão excêntrica.
Da mesma maneira e tendo em vista o caráter inicial das investigações do
corpo-de-prova desenvolvido, ensaio de fraturamento de outros materiais de
comportamentos extremos (no que diz respeito ao regime de ruptura), entretanto
mais “regulares” que o concreto convencional, a exemplo das argamassas e do
concreto de alta resistência, deveriam ser conduzidos objetivando a solução das
dúvidas remanescentes quanto às diferenças verificadas nos resultados.
De forma análoga, a eficiência dos novos aparatos de apoio e carregamento,
embora evidente, necessita ser mensurada. Assim, uma avaliação numérica
comparativa, relativa à quantificação da energia dissipada quando da utilização dos
novos aparatos e daqueles regularmente adotados pela ISRM, fica ainda por ser
procedida no futuro, o que poderia ser levado a efeito em paralelo a uma série de
ensaios extensométricos, especificamente planejados para esse fim.
261
9. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Anderson, T.L. (1991) Fracture Mechanics: Fundamentals and applications, CRC Press, Boca Raton,
Florida, USA.
ANSYS (1996) - ANSYS Computer Program, Release 5.3, Swanson Analysis Systems Inc., Houston,
PA, USA.
ASTM (1994) – “ASTM C1018-94b - Standard Test Method for Flexural Toughness and First-Crack
Strength of Fiber-Reinforced Concrete (Using Beam with Third-Poin Loading)” –American Society
for Testing and Material.
Banthia, N., Sheng, J. (1996) – “Fracture Toughness of Micro-Fiber Reinforced Cements”, Special
Insue, Int. Journal of Cement and Concr.Composites, 18, pp. 251-269.
Barker, L. M. (1979)- “Theory for determining KIC from small, non-LEFM specimens, supported by
experiments on aluminum”- International Journal of Fracture, 15, 6, pp. 515-536.
Barragán, B. E., Gardner, D., Gettu, R., Ferreira, L. E. T. (2000) - “Estudo da distribuição e
orientação das fibras metálicas em corpos-de-prova cilíndricos de concreto”, 42o Congresso
Brasileiro do Concreto – IBRACON, Fortaleza.
Barr, B., Gettu, Al-Oraimi, S. K.A., Bryars, L. S. (1996) “Toughness Measurement – The need to
think again” - Cement and Concrete Composites, 18, pp. 281-297.
Bazant, Z. P., Pfeiffer, P. A. (1987) –“Determination of Fracture Energy from Size Effect and
Brittleness Number” - ACI Materials Journal, V. 84, pp.463-479.
Bazant, Z. P., Kazemi, M. T. (1990) - “Determination of fracture energy, process zone length and
brittleness number from size effect, with application to rock and concrete” - International Journal of
Fracture- V. 44- pp. 111-131.
Bazant, Z., Gettu, R., Kazemi, M. T. (1991) – “Identification of nonlinear fracture properties from size
effect tests and structural analysis based on geometry-dependent R-Curve”, International Journal of
Rock Mechanics, Mining Science & Geometry Abstract, 28, pp. 43-51.
Bazant, Z.P., Planas, J. (1997)- Fracture and Size Effect in Concrete and Other Quasi brittle
Materials, CRC Press, Boca Raton, Florida, USA.
Becker, A. A. (1992) – The Boundary Element Method in Engineering – A complete course.
Mc Graw-Hill Book Company, University Press, Cambridge, UK.
Bittencourt, T. N., Barry, A., Ingraffea, A. R. (1992) –“Comparison of Mixed-Mode Stress-Intensity
Factors Obtained Through Displacement Correlation, J-Integral Formulation, and Modified CrackClosure Integral” - Fracture Mechanics: Twenty Second Symposium, V. II, ASTM STP 1131,
American Society for Testing and Materials, pp. 69-82.
Bittencourt, T. N. (1993) –“Computer Simulation of Linear and Nonlinear Crack Propagation in
Cementitious Materials”, PhD Thesis, School of Civil and Environmental Engineering, Cornell
University, USA.
Bittencourt, T. N., Ingraffea, A. R. (1994) –“Three dimensional cohesive crack analysis of the short
rod fracture toughness test specimen”, PROC. EURO-C-Computational Modeling of Concrete
Structures- Ed. H. Mang, N. Bicanic, R. de Borst. Innsbruck, Áustria.
262
Bittencourt, T. N., Wawrzynek, P. A., Ingraffea, A. R., Sousa, J. L. (1996) –“Quasi-Automatic
simulation of crack propagation for 2D LEFM problems”, Engineering Fracture Mechanics, V. 55, n.
2, pp.321-334.
Bluhm, J. I. (1975) - Engineering Fracture Mechanics, v. 7, pp. 593-604.
Brandt, A. M. (1995) – Cement-Based Composites. Materials, Mechanical Properties and
Performance - E & FN Spon, London.
Brebbia, C. A., Telles, L. C., Wrobel, L. C. (1984) – Boundary Element Techniques, Springer-Verlag,
Berlin, Germany.
Brebbia, C. A., Domingues, J. (1992) – Boundary Elements, an Introductory Course, McGraw-Hill
Book Company, , New York, USA.
Broek, D. (1986) - Elementary Engineering Fracture Mechanics, Martinus Nijhoff Publishers,
Dordrecht, The Netherlads.
Bruce, C. (2000) - Cornell Fracture Group, Cornell University, USA – Comunicações privadas.
Carmona, S., Gettu, R., Aguado, A. (1998) – “Study of the post-peak behavior of concrete in the
splitting-tension test” – Fracture Mechanics of Concrete Structures – PROC. FRAMCOS3,
AEDIFICATIO Publishers, pp. 111-120.
Carpinteri A. (1990)- “Non-Linear Phenomena Associated whith Fracture in Strain-Softening
Materials” - Nonlinear Fracture Mechanics- CISM Courses and Lectures n. 314-International Center
of Mechanical Sciences- Ed. M.P. Wnuk, pp. 61-121.
Catalano, D. M. (1983)- “Concrete Fracture: a Linear Elastic Fracture Mechanics Aproach” - Tese de
Mestrado - Cornell University , USA.
Chen, L., Mindess, S., Morgan, D. R. (1994) – “Specimen Geometry and Toughness of Steel Fiber
Reinforced Concretes”, ASCE Journal of Materials in Civil Engineering, V. 6, n. 4, pp. 529-541.
Cotterell, B., Mai, Y.W. (1987) – “Crack growth resistance curves and size effect in fracture of
cement paste”. Journal of Materials Science, 22, pp. 2734-2738.
CUR (1994) – “Determination of the Flexural Strength, the Toughness and the Equivalent Flexural
Strength of Steel Fiber Concrete” – Civieltechnisch Centrum Uitvoering Research, Holanda.
Elices, M. ,Planas, J. (1992) – “Size Effect in Concrete Structures: na R-Curve Approach”,
Applications of Fracture Mechanics to Reinforced Concrete, Ed. Alberto Carpinteri, Elservier Applied
Science, pp. 169-200.
Ferreira, L. E. T. (1997) – “Análise de parâmetros de tenacidade ao fraturamento dos concretos,
obtidos em ensaios de flexão de vigas”, Dissertação de Mestrado, Faculdade de Engenharia Civil,
Universidade Estadual de Campinas, SP.
Ferreira, L. E., Bittencourt, T. N., Gettu, R. (2000) - “Determinação computacional das equações da
mecânica do fraturamento elástico linear para o corpo-de-prova de (150x150x500) mm e análise das
implicações decorrentes da determinação experimental do CMOD sobre os parâmetros de
fraturamento” - IV Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto, São Paulo.
Ferreira, L. E. T, Gettu, R., Bittencourt, T. N. (2000) – “Study of crack propagation in the specimen
recommended by RILEM TC162 based on Linear Elastic Fracture Mechanics”, Internal Report
RG/LEF/1-00, Struc. Tech. Lab., Universitat Politècnica de Catalunya, Espanha.
263
Ferreira, L. E. T, Gettu, R., Bittencourt, T. N. (2000a) - “TENAC – An automatic tool for the analysis
of the Toughness of Steel Fiber Reinforced Concrete”, Universidade de São Paulo, Brazil, Universitat
Politècnica de Catalunya, Spain.
Ferreira, L. E. T., Bittencourt, T. N., Souza, J. L. A. O., Gettu, R. (2002) – “R-curve behavior
in notched beam tests of rocks", Engineering Fracture Mechanics, Special Issue - Recent Dev. in
Geomechanics, em impressão.
Gerstle, W. H. (1985)- “Finite and Boundary Element Modeling of Crack Propagation in Two and
Three Dimensions Using Interactive Computer Graphics”, Ph.D Thesis, Dept Structural Engng,
Cornell University, NY, USA.
Gettu, R., Garcia, V., Carmona, S. (1995) – “New Dimensionless Function for Stress Intensity Factor
for s Short Three-Point Bend Specimen”, Internal Report, E.T.S.E.C.C.P. de Barcelona, Universitat
Politècnica de Catalunya, Barcelona, Spain.
Gopalaratnan, V. S., Gettu, R., Carmona, S., Jamet, D. (1995,a) - “Characterization of the toughness
of fiber reinforced concretes using the Load-CMOD response” – Fracture Mechanics of Concrete
Structures, Proc. of FRANCOS2, Ed. F.H.Wittmann, pp. 769-782.
Gopalaratnan, V. S., Gettu, R. (1995,b) - “On the characterization of flexural toughness in fiber
reinforced concretes”, Cement and Concrete Composites, 17, pp. 239-254.
Gross, D. (1990) - “Path Independent Integrals and crack growth parameters in nonlinear fracture
mechanics” – Nonlinear Fracture Mechanics, Int. Centre for Mech. Sciences, Courses and Lectures,
no. 314, Ed. M. P. Wnuk, Springer-Verlag, N.Y., pp 123-141.
Guinea, G. V., Pastor, J. Y., Planas, J., Elices, M. (1998) – “ Stress intensity factor, compliance and
CMOD for a general three-point-bend beam”, International Journal of Fracture, 89, pp. 103-116.
Guinea, G. V., Planas, J., Elices, M. (1992a) - “Measurement of the energy using three-point bend
test: Part1 - Influence of experimental procedures. Materials and Structures, 25, pp. 212-218.
Haggag, F. M., Underwood, J. H. (1984) –“Compliance of a three-point bend specimem at load line”,
International Journal of Fracture, 26, R63-R65.
Hanson, J. H., Ingraffea, A. R. (1997) - "Fracture Toughness Testing of Concrete: Are the Short Rod
Geometry and Test Methods Valid?", Presentation at ACI Spring Convention, Seattle, WA, USA.
Hanson, J. H., Ingraffea, A. R. (1998) – “Behavior of concrete round double beam fracture toughness
test specimens”, Fracture Mechanics of Concrete Structures, PROC. FRAMCOS3, AEDIFICATIO,
pp. 441-452.
Hanson, J. H. (2000) – “An experimental-computational evaluation of the accuracy of fracture
toughness tests on concrete”, PhD Dissertation, School of Civil and Environmental Engineering,
Cornell University, USA.
Hillerborg A ., Modéer M., Peterson P. E (1976) -“Analysis of crack formation and crack growth in
concrete by means of fracture mechanics and finite elements”- Cement and Concrete Research, vol. 6,
pp. 773-782.
Hillerborg A. (1985) – “The theoretical basis of a method to determine the fracture energy Gf of
concrete”- Materials and Structures, 18, pp. 291-296.
Hsu, L. S, Hsu, C. T, (1994) – “Stress-Strain Behavior of Steel-Fiber High-Strength Concrete under
Compression” – ACI Structural Journal, V. 91, N. 4, July-August.
264
Hu, X. Z, Wittmann, F.H. ( 1992) – “Fracture energy and fracture process zone”- Materials and
Structures, 25, pp. 319-326.
Hu, X. Z., Mai, Y. W., Cotterell, B. (1990) –“Crack Growth Modelling in Plain and Fiber-Reinforced
Cementitious Materials”, ECF 8 Fracture Behaviour and Design of Materials and Structures, Ed. D.
Firrao, Eng. Mat. Advisory Service, Ltda, U.K, pp. 746-754.
Ingraffea, A. R., Perucchio, R., Han, T., Gerstle, W. H., Huang, Y. (1984) – “Three-dimensional
Finite and Boundary Element Calibration of the Short-Rod Specimen”, Chevron - Notched Specimens:
Testing and Stress Analysis, ASTM STP 855,pp. 49-68.
ISRM (1988) –“Suggested methods for determining the fracture toughness of rock” - Int. J. Min.
Sciences, v.25, pp. 71-96.
James, M., and Swenson, D. FRANC2D/L: A Crack Propagation Simulator for Plane Layered
Structures, available from http://www.mne.ksu.edu/~franc2d/.
Jamet, D., Gettu, R., Gopalaratnam, V. S., Aguado, A. (1985)- “ Toughness of Fiber-Reinforced HighStrength Concrete from Notched Beam Tests” Testing of Fiber Reinforced Concrete, ACI SP-155,
American Concrete Institute, Detroit, USA, pp 23-39.
Jenq, Y., Shah, S. P. (1985) – “Two Parameter Fracture Model for Concrete”- ASCE Journal of
Engineering Mechanics Division, v 111, n. 10, pp.1227-1241.
Jenq, Y., Shah, S. P. (1985a) – “A Fracture Toughness Criterion for Concrete - Engineering Fracture
Mechanics, v. 21, n. 5, pp. 1055-1069.
Johnston, C. D. (1982) – “ Definition and Measurement of Flexural Toughness Parameters for Fiber
Reinforced Concrete” - Cement, Concrete and Aggregates, CCAGDP, V. 4, N. 2, pp..53-60.
Kane, J. H. (1994) Boundary Element Analysis in Engineering Continuum Mechanics,Prentice Hall,
Inc. Englewood Cliffs, N. J., USA.
Kanninen, M.F., Popelar, C. H. (1985) -Advanced Fracture Mechanics. Oxford University Press.
Karihaloo, B.L. (1995)-Fracture Mechanics and Structural Concrete, Longman Scientific &
Technical, Burnt Mill, Harlow, UK.
Karihaloo, B. L., Nalathambi, P. (1989)- “An Improved Effective Crack Model for the Determination
of Fracture Toughness of Concrete”, Cement and Concrete Research, v. 19, pp. 603-610.
Karihaloo, B. L., Nalathambi, P. (1990) – “Effective Crack Model for the Determination of Fracture
Toughness ( KEIC ) of Concrete”, Engineering Fracture Mechanics, v. 35, n. 4/5, pp. 637-645.
Karihaloo, B. L., Nalathambi, P. (1991) - “Notched Beam Test : Mode I Fracture Toughness”, RILEM
Report 5, Fracture Mechanics Test Methods for Concrete, Chapmam & Hall.
Krause, R. F. , Fuller, E. R. Jr. (1984) - “Fracture Toughness of Polymer Concrete Materials using
Various Chevron - Notched Configurations.” - Chevron - Notched Specimens: Testing and Stress
Analysis, ASTM STP 855, p. 309-323.
Lutz, E. D. (1991) - “Numerical methods for hypersingular and near singular boundary integrals in
fracture mechanics”, PhD Thesis, Cornell University, Ithaca, N.Y, USA.
Martha, L. F., (1989) – “Topological and Geometrical Modeling Approach to Numerical
Discretization and Arbitrary Fracture Simulation in Three Dimensions”, PhD Thesis, Cornell
University, Ithaca, N. Y., USA.
265
Moretti, C. O., Bittencout, T. N. (1998) – “FRANC3D: Idéias Básicas, Conceitos Fundamentais e
Utilização” – Boletim Técnico da Escola Politécnica da USP, BT/PEF/9804.
Munz, D., Bubsey, R. T., Shannon, J. L. (1980) - “Fracture Toughness Determination of Al2O3 using
Four-Point-Bend Specimens with Straight-Trough and Chevron Notches” - Journal of the American
Ceramics Society, Vol. 63, n.5-6.
Nakayama, J. (1965) - Journal of the American Ceramic Society, v.43, n. 11, pp. 583-587.
NBN (1992)-“NBN 15-238-Test on fiber reinforced Concrete- Bending Test on Prismatic Specimens”
– Institute Belge de Normalisation, Bélgica.
Newman, J. C.(1984) - “A Review of Chevron - Notched Fracture Specimens”- Chevron - Notched
Specimens: Testing and Stress Analysis, ASTM STP 855,p 5-31.
Ouchterlony, F. (1980) – “A New Core Specimen for Fracture Toughness Testing of Rock”, Report
DS 1980:17 SveDeFo - Swedish Detonic Research Foundation.
Ouchterlony, F. (1987) – “A FEM Calibration of a Core Bend Specimen with Chevron Edge Notch for
Fracture Toughness Measurements”, Report DS 1987:11 SveDeFo - Swedish Detonic Research
Foundation.
Ouchterlony, F. (1990) – “Fracture toughness testing of rock with core based specimens”, Engineering
Fracture Mechanics, Vol. 35, n 1/2/3, pp. 351-366.
Ouchterlony (1999)- comunicações privadas.
Ouyang, C., Mobasher, B., Shah, S. P. (1990) – “An R-Curve Approach for Fracture of Quasi-Brittle
Materials”, Engineering Fracture Mechanics, Vol. 37, n. 4, pp. 901-916.
RILEM (1990) - Technical Committee- 89 -FMT-“Determination of the fracture parameters
(KICs
and CTODC ) of plain concrete using three-point bend tests” -Draft recommendation- Materials and
Structures,23, pp. 457,460.
RILEM (1990a) - Technical Committee- 89 -FMT-“Size-effect method for determining fracture
energy and process zone size of concrete” -Draft recommendation- Materials and Structures,23, pp.
461,465.
RILEM TC 162-TDF (em impressão)- “Test and Design Methods for Steel Fibre Reinforced
Concrete, Draft Recommendation for the Bending Test”, Materials and Structures.
Rocco, C., Guinea, G. V., Planas, J., Elices, M. (1988) – “Experimental analysis of rupture
mechanisms in the brazilian test” – Fracture Mechanics of Concrete Structures – PROC.
FRAMCOS3, AEDIFICATIO Publishers, pp. 121-130.
Saldívar, H. M. (1999) - “Flexural Toughness Characterization of Steel Fiber Reinforced Concrete”
Doctoral thesis, School of Civil Engineering (ETSECCPB), Universitat Politècnica de Catalunya,
Barcelona, Espanha.
Santos, A. C. (1998)- “Determinação Experimental no nível II da Tenacidade ao Fraturamento do
Concreto, com Corpos de Prova Cilíndricos tipo Short Rod”, Dissertação de Mestrado, Universidade
Estadual de Campinas.
Sarrafi-Nour, G.R., Coyle, T. W., Fett, T. (1998) -”A weigth function for the crack surface tractions in
chevron-notched specimens” , Engineering Fracture Mechanics, V. 59, n. 4, pp.439-445.
266
Shah, S. P., Swartz, S. E., Ouyang, C. (1995) – Fracture Mechanics of Concrete – Applications of
Fracture Mechanics to Concrete, Rock and Other Quasi-Brittle Materials, John Wiley & Sons, Inc.,
U.S.A.
Stang, H. (1999) – “Uni-axial Tension Testing of Fiber Reinforced Concrete” –Test and Design
Methods for Steel Fiber Reinforced Concrete- EU Contract – BRPR-CT98-813 – Technical University
of Denmark.
Stang, H., Olesen, J. F. - “On the interpretation of bending tests on FRC-materials”, Fracture
Mechanics of Concrete Structures, PROC. FRAMCOS3, AEDIFICATIO, pp. 511-520.
Tada, H., Paris, P. C., Irwin, G.R. (1985) – The Stress Analysis of Crack Handbook, Paris Productions
Incorporated, St. Louis, Missouri, USA.
Tschegg, E. K. (1991) – “New Equipment for Fracture Tests on Concrete” - Material Testing, V. 33,
pp. 338-343.
Tattersall, H. G., Tappin, G. (1966) - Journal of Material Science, v. 1, pp. 296-301.
Wawrzynek, P. A., Martha, L. F., Ingraffea, A. R. (1988) – “A Computational Environment for the
Simulation of Fracture Process in Three Dimensions” – The Joint ASME/SES Applie Mechanics and
Engineering Sciences Conference, Vol. 91, pp. 321-327.
Wawrzynek, P. A (2002) – Cornell Fracture Group, Cornell University – Comunicações privadas.
Wecharatana, M., Shah, S. P. (1982) – “ Slow Crack Growth in Cement Composites”, ASCE, Journal
of the Structural Division, Vol. 108, ST6, pp. 1400-1413.
Zienkiewicz, O. C., Taylor, R. L. (1994) – The Finite Element Method, 4th ed., Vol. 1, McGraw-Hill
Book Company Europe.
1
APÊNDICE A – ANÁLISE DA TENACIDADE FLEXIONAL,
PROCEDIDA COM O AUXÍLIO DO PROGRAMA TENAC.
Material ensaiado: Concreto de Alta Resistência reforçado com fibras de aço.
Teor de fibras: 40kg/m3
Corpo-de-prova: Viga prismática (15x15x50)cm – Vão-livre:45 cm ; entalhe:1,2cm
Ensaio: Flexão em 3 pontos
Variável de controle do ensaio: CMOD
GRÁFICO DO ENSAIO
4500
4000
3500
P (daN)
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10 1.20 1.30 1.40 1.50 1.60
δ (mm)
Figura A1 – Curva P-δ - Concreto reforçado com fibras de aço ; Flexão em 3 pontos.
2
********** TENAC ANALYSIS REPORT **********
Version 1.1-06/00 - Beta
PROCESSED FILE
:
f_70_40.dat
GEOMETRY OF THE SPECIMEN TESTED:
WIDTH:
DEPTH:
SPAN :
INITIAL NOTCH :
151.0000000
150.0000000
450.0000000
12.0000000
AREA COMPUTED UNDER THE CURVE
NUMBER OF DATA POINTS USED
A :
N :
4766.538001500
628
EXTREMS OF INTEREST
MAXIMUM LOAD
DISPLACEMENT
INITIAL LOAD
DISPLACEMENT
FINAL LOAD
DISPLACEMENT
MEAN LOAD OF INTERVAL
Fmax:
:
Fmin:
:
Fend:
:
Fmed:
4092.800000000
0.050360000
0.000000000
0.000000000
2750.900000000
1.527320000
2723.368471338
---- LINEAR LEAST-SQUARE FIT UP TO 50 % OF PEAK LOAD ---PEAK LOAD ACCEPTED AS 50% OF MAX. LOAD
NUMBER OF POINTS USED
:
MINIMUM LOAD OF INTERVAL
DISPLACEMENT
MAXIMUM LOAD OF INTERVAL
DISPLACEMENT
MAXIMUM LOAD ADOPTED
:
:
:
:
:
SLOPE
:
LOAD INTERCEPT
:
PEARSON´S COEF. OF CORREL. (R):
CORRECTION FOR DISPLACEMENTS
:
12
681.800000000 [ 16.659 % ]
0.007700000
2059.100000000 [ 50.310 % ]
0.024170000
4092.800000000 [100.000 % ]
82315.367012115
23.409932477
0.993921552
0.000284393
3
----------------TOUGHNESS
ANALYSIS----------------
***** RILEM TC 162
- TDF
*****
FIRST PEACK LOAD WITHIN OFF SET
DISPLACEMENT
DISPLACEMENT DELTA(2)
DISPLACEMENT DELTA(3)
:
:
:
:
4092.800000000
0.050644393
0.700644393
2.700644393
AREA
AREA
AREA
AREA
AREA
:
:
:
:
:
720.613045042
0.000000000
1428.840987369
0.000000000
0.000000000
Db,BZ (PLAIN CONCRETE)
Df,BZ,2I (FIBER)
Df,BZ,2II(FIBER)
Df,BZ,3I (FIBER)
Df,BZ,3II(FIBER)
DISPLACEMENT DELTA(3)NOT REACHED IN THE TEST
VALUES COMPUTED FOR THE LAST POINT OF THE CURVE:
AREA Df,BZ,ULT,I (FIBER)
AREA Df,BZ,ULT,II(FIBER)
:
:
0.000000000
4046.533377500
MEAN FORCE F2,I
MEAN FORCE F2,II
MEAN FORCE F2
:
:
:
0.000000000
2857.681974737
2857.681974737
MEAN FORCE F3,I
MEAN FORCE F3,II
MEAN FORCE F3
:
:
:
0.000000000
0.000000000
0.000000000
MEAN FORCE F ult,I
MEAN FORCE F ult,II
MEAN FORCE F ult
:
:
:
0.000000000
1618.613351000
1618.613351000
:
:
:
:
:
460440.000000000
321489.222157938
0.000000000
0.960703063
182094.001987500
MOMENT AT MID SPAN,
MOMENT AT MID SPAN,
MOMENT AT MID SPAN,
LIMIT OF PROPORC. ,
MOMENT AT MID SPAN,
Mu
M2
M3
f(fct),fl
M ult
FLEXURAL TENSILE STRENGTH, feq,2:
FLEXURAL TENSILE STRENGTH, feq,3:
FLEXURAL TENSILE STRENGTH, feq,ult:
0.670783773
0.000000000
0.379937159
4
----------------TOUGHNESS
ANALYSIS----------------
***** A.S.T.M - C 1018 - 94b *****
WARNING
:
SPECIMEN TESTED PRESENTS A
FIRST CRACK LOAD
DISPLACEMENT
AREA (F.CRACK LOAD)
NOTCH.
:
:
:
3627.600000000
0.044034393
81.070981042
DISPLACEMENT 3-DELTA
LOAD
ÁREA
TOUGHNESS INDEX
:
:
:
I5 :
0.132103180
2546.515698003
299.410100542
3.693184623
DISPLACEMENT 5.5-DELTA
LOAD
ÁREA
TOUGHNESS INDEX
:
:
:
I10:
0.242189163
2923.298156006
604.839813224
7.460620378
DISPLACEMENT 10.5-DELTA
LOAD
ÁREA
TOUGHNESS INDEX
:
:
:
I20:
0.462361129
3427.763364732
1306.417647446
16.114491655
FIRST CRACK STRENGTH
MOR:
0.567671103
***
RESIDUAL STRENGHT FACTORS
***
FACTOR R5,10
:
75.348715103
FACTOR R10,20
:
86.538712768
5
APÊNDICE B – CURVAS DE RESISTÊNCIA BASEADAS NA
RELAÇÃO P-CMOD PARA O CRFA
2500
KR (daN.cm^-1.5)
2000
1500
CP1
CP2
CP3
1000
500
0
0
20
40
60
80
100
120
c (mm)
Figura B1 – Curvas de Resistência ao Fraturamento KR - Extensão da Fissura - CRFA-40kg/m3
2500
KR (daN.cm^-1.5)
2000
1500
CP1
CP2
CP3
1000
500
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
α
Figura B2 – Curvas de Resistência ao Fraturamento KR - α- CRFA-40kg/m3
0.9
6
3000
2500
Kr (Kgf. cm^-1.5)
2000
CP1
1500
CP2
CP3
1000
500
0
0.00
20.00
40.00
60.00
80.00
100.00
120.00
c(mm)
Figura B3 – Curvas de Resistência ao Fraturamento KR - Extensão da Fissura - CRFA-80kg/m3
3000
KR (Kgf. cm^-1.5)
2500
2000
CP1
1500
CP2
CP3
1000
500
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
α
Figura B4 – Curvas de Resistência ao Fraturamento KR - α- CRFA-80kg/m3
0.9
7
APÊNDICE C – CARACTERIZAÇÃO DO MATERIAL UTILIZADO
NO PRIMEIRO PROGRAMA EXPERIMENTAL
O material escolhido para o desenvolvimento do programa experimental da
pesquisa foi um concreto de baixa granulometria, com Dimensão Máxima Característica
(diâmetro máximo do agregado,φMAX) da ordem de 9,5 mm (porcentagem máxima retida
na peneira com abertura de 9,5 mm igual a 1,33%). A escolha dessa faixa granulométrica
para o agregado graúdo foi procedida considerando-se as dimensões características das
fibras de aço disponibilizadas pela BELGO-BEKAERT e utilizadas na pesquisa, assunto a
ser apresentado neste capítulo.
Granulometria dos agregados
A distribuição granulométrica dos agregados graúdos, obtida com o conjunto de
peneiras da série normal prevista na NBR 7211 (ABNT, 1983), bem como a faixa de
variação (limites máximos e mínimos) previstos na NBR citada é a que se ilustra na
Fig.7.2.1-1. A areia utilizada foi proveniente de rio, lavada, com granulometria variando de
fina a muito fina, com Módulo da Finura da ordem de 2,24, seguindo a distribuição
granulométrica apresentada na Fig. C-1.
8
100
% RETIDAS ACUMULADAS
80
60
Utilizado
Limite Inf.
Limite Sup.
40
20
0
2.4
2.7
3
3.3
3.6
3.9
4.2
4.5
4.8
5.1
5.4
5.7
6
6.3
6.6
6.9
7.2
7.5
7.8
8.1
8.4
8.7
9
9.3
9.6
ABERTURA DA PENEIRA (mm)
Figura C-1 – Curva de distribuição granulométrica dos Agregados Graúdos
A Tab. C-1 traz as distribuições granulométricas dos agregados, de conformidade
com a ordem das peneiras da série normal da ABNT.
Tabela C-1 – Distribuição granulométrica dos agregados
Abertura das
Peneiras (mm)
9.5
4.8
2.4
1.2
0.6
0.3
0.15
Fundo
Porcentagens Retidas Acumuladas
Agr. Graúdos
Agr. Miúdos
1.33
85.66
0.75
97.55
2.40
98.24
6.35
98.62
44.97
98.75
73.20
98.96
95.94
100.00
100.00
9
100
95
90
85
80
Porcentagem Retida Acumulada (%)
75
70
65
60
55
Utilizado
50
Zona 1-Inf.
Zona 1-Sup.
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0
0.3
0.6
0.9
1.2
1.5
1.8
2.1
2.4
2.7
3
3.3
3.6
3.9
4.2
4.5
4.8
Abertura das Peneiras (mm)
Figura C-2 – Curvas de Distribuição granulométrica do agregado miúdo e da faixa
1 prevista pela ABNT.
Relação Água-Cimento
Para atingir-se a resistência fixada e tendo em vista o tipo de cimento utilizado, a
relação água-cimento, x, adotada foi 0,55. Esse valor considerou a influência da adição dos
diversos teores de fibra sobre a trabalhabilidade do compósito bem como a decisão de não
se utilizar aditivos.
Teor de Argamassa Seca
O valor arbitrado para o teor de argamassa, α, foi de 0,50, de forma a garantir-se
boa trabalhabilidade. Desse valor, bem como da relação cimento/agregados de 1:4,5 (em
massa) inicialmente fixado procedeu-se ao desdobramento dos agregados graúdos (p) e
miúdos (a), da forma que se segue:
10
Agregado miúdo – areia:
α=
1+ a
1+ a
⇒ a = α (1 + 4,5) − 1 = 1,75
=
1+ a + p 1+ m
Agregado Graúdo - pedrisco:
p = m − a = 4,5 − 1,75 = 2,75
Relação Água/Materiais Secos (trabalhabilidade)
H% =
x
0,55
.100 =
.100 = 10%
1+ a + p
5,5
Consumo de Cimento
O consumo de cimento foi estimado em 389,85 kg/m3 a partir da expressão:
C=
1
γc
1000
a
p
+ +
+x
γa
γp
Para a massa específica absoluta do cimento adotou-se o valor γC= 3,15 kg/m3 e
para os agregados γa= γp= 2,65 kg/m3.
Fibras de aço incorporadas ao concreto
As fibras de aço incorporadas ao concreto e disponibilizadas pela empresa BelgoMineira Bekaert Arames S.A., foram do tipo RC 65/35 BN. São fibras de aço de baixo teor
de carbono, coladas umas às outras, com seguintes características geométricas:
11
•
Comprimento (L): 35 mm
•
Diâmetro (d): 0.54 mm
•
Esbeltez ou razão de aspecto (L/d): 65
Cinco diferentes teores de fibra de aço foram incorporados ao concreto, em 3 etapas
de concretagem, ocorridas em 03/04/2001. Os teores de fibras de aço foram 20, 40, 60, 80
e 100 kg de fibras de aço por m3 de concreto.
Ensaios de resistência à compressão simples e à tração
Os ensaios complementares, de determinação das resistências à compressão simples e à
tração (determinada indiretamente, em ensaios de compressão diametral) foram conduzidos
na Escola Politécnica, de acordo com as recomendações brasileiras, na mesma ocasião. A
Fig. C-3 ilustra a variação dessas resistências em função da evolução do teor de fibras
incorporado ao concreto. As informações numéricas de interesse encontram-se reunidas na
Tab. C-2
350
325
300
275
Resistência ( Kgf/cm2)
250
225
200
Res. à Tração
175
Res. à Compressão
150
125
100
75
50
25
0
0
20
40
60
80
100
Teor de fibras (Kgf/m3)
Figura C-3 Variação das resistências com a evolução do teor de fibras de aço
12
Tabela C-2-Resultados dos ensaios de Resistência à Tração e à compressão.
Teor
de
Fibra
0
40
60
80
100
120
Carga de Ruptura
CP1
CP2
(Kgf)
(Kgf)
15300.00
21100.00
22600.00
23200.00
21900.00
23700.00
18500.00
19800.00
25200.00
23700.00
21500.00
21500.00
Média
(Kgf)
Resistência à
Tração
(Kgf/cm2)
16900.00
20450.00
23900.00
23450.00
21700.00
22600.00
23.91
28.93
33.81
33.17
30.70
31.97
Carga de Ruptura
CP1
CP2
(Kgf)
(Kgf)
52400.00
49400.00
47800.00
58100.00
54300.00
54600.00
55400.00
51400.00
58500.00
58700.00
53600.00
50200.00
Média
(Kgf)
Resistência à
Compressão
(Kgf/cm2)
53900.00
50400.00
53150.00
58400.00
53950.00
52400.00
305.01
285.21
300.77
330.48
305.29
296.52
Ensaios de determinação das massas específicas, volume de vazios permeáveis e
porosidade dos concretos.
Massa Específica (kg/m3)
Os resultados desses ensaios passam a ser ilustrados nas Fig. C-4 e C-5.
2400
2350
2300
2250
2200
2150
2100
2050
2000
1950
1900
1850
1800
1750
1700
1650
1600
1550
1500
1450
1400
1350
1300
Massa Esp. Imersa
Massa Esp. Saturada
Massa Esp. Seca
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Teor de fibras (kgf/m3)
Figura C-4 Variações das massas seca, submersa e saturada com a evolução do teor de fibras.
13
17.00
16.50
16.00
15.50
15.00
14.50
14.00
13.50
13.00
Arsorçao
12.50
Volume de vazios
12.00
11.50
11.00
10.50
10.00
9.50
9.00
8.50
8.00
7.50
7.00
0.00
20.00
40.00
60.00
80.00
100.00
Figura C-5 Variações do Índice de absorção (%) e do volume de vazios permeáveis(%), com a
evolução do teor de fibras.
14
APÊNDICE D – CURVAS P-CMOD DOS ENSAIOS DO CRFA E
ÍNDICES ADIMENSIONAIS DA A.S.T.M.
700
600
P (daN)
500
400
CP1
CP2
CP3
300
200
100
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
CMOD (mm)
Figura D1 – Curvas P-CMOD – Concreto sem fibras
700
600
P (daN)
500
400
CP1
CP2
CP3
CP4
300
200
100
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
CMOD (mm)
Figura D2 – Curvas P-CMOD – CRFA – 20kg/m3
1.2
1.4
15
700
600
P (daN)
500
400
CP1
CP2
CP3
CP4
300
200
100
0
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
CMOD (mm)
1000
900
800
700
P (daN)
600
CP1
CP2
500
CP3
CP4
400
300
200
100
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
CMOD (mm)
1.2
1.4
16
1000
900
800
700
CP1
CP2
500
CP3
CP4
400
300
200
100
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
CMOD (mm)
1200
1000
800
P (daN)
P (daN)
600
CP1
CP2
600
CP3
CP4
400
200
0
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
CMOD (mm)
1.20
1.40
17
850
800
750
700
650
600
550
P (daN)
500
20 kg/m3
40 kg/m3
450
60 kg/m3
400
80 kg/m3
350
0 kg/m3
100 kg/m3
300
250
200
150
100
50
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
CMOD (mm)
Figura D7 – Curvas P-CMOD – CRFA com diversos teores de fibras de aço –resultados médios
18
20
18
16
I5; I10; I20
14
12
I5
10
I10
I20
8
6
4
2
0
0
20
40
60
80
100
Teor de Fibras (kg/m3)
Figura D8 – Índices Adimensionais ASTM.
CRFA com diversos teores de fibras de aço –resultados médios
Tabela D1 – Índices Adimensionais ASTM ( baseados no CMOD) para o
CRFA com diversos teores de fibras de aço
Índice ASTM Corpo-de-prova
(CMOD)
I5
CP1
CP2
CP3
Média:
Desv. Pad.:
Teor de Fibras
(kg/m3)
40
60
0
20
3.996
4.353
4.510
4.476
3.892
4.170
4.372
4.334
4.137
4.137
4.215
4.227
0.223
4.286
0.215
80
100
4.111
3.896
4.274
4.074
3.940
4.340
4.634
4.367
4.220
4.504
3.866
4.269
4.206
0.081
4.089
0.134
4.320
0.248
4.215
0.228
9.561
7.062
8.373
8.294
8.371
8.181
7.774
8.028
7.972
7.694
8.714
7.887
7.603
8.937
8.981
8.961
8.909
9.806
7.807
9.007
8.323
0.884
8.088
0.218
8.067
0.387
8.621
0.588
8.882
0.711
16.302
11.384
13.860
13.544
14.432
14.470
12.797
13.914
14.666
14.816
17.136
14.708
14.477
17.476
16.694
17.456
17.580
20.595
15.389
17.066
13.772
1.744
13.903
0.675
15.331
1.043
16.526
1.224
17.657
1.879
I10
CP1
CP2
CP3
Média:
Desv. Pad.:
6.680
7.997
8.405
7.694
0.736
I20
CP1
CP2
CP3
Média:
Desv. Pad.:
9.257
12.542
13.212
11.670
1.728
19
0.325
0.300
0.275
0.250
CMOD (mm)
0.225
0.200
0.175
I5
I10
I20
0.150
0.125
0.100
0.075
0.050
0.025
0.000
20
40
60
80
100
Teor de Fibras (kg/m3)
Figura D9 –Gráfico CMOD versus Teor de Fibras de aço nas posições de apuração dos Índices
Adimensionais ASTM.
Figura D10 – Gráfico α-CMOD e faixas de abrangência dos Índices da ASTM para o CRFA com diversos
teores de fibra de aço
20
Apêndice E – Curvas KR-α e P-α para o CRFA ensaiado por Saldívar.
Figura E-1 - Curvas KR-α e P-α para o CRFA- 40kg/m3
21
Figura E-2 - Curvas KR-α e P-α para o CRFA- 80kg/m3
22
APÊNDICE F – FATOR DE CORREÇÃO INELÁSTICAEMBASAMENTO TEÓRICO
Considere-se o diagrama de Carga x CMOD, da Fig. E-1.
Figura E-1 Avanço ∆a da Fissura - Enfoque da MFEL.
O cálculo da Tenacidade ao Fraturamento K
IQ,
ou K I “candidato” ou ainda, KIC
“aparente”, é procedido a partir do cálculo da energia dissipada para um avanço ∆a da
fissura. Isto é feito habitualmente, enfocando-se o problema dentro da Mecânica do
Fraturamento Elástico Linear. Neste caso, a dissipação de energia necessária a este
pequeno avanço, conforme indicado na Fig. E-1, é dada por:
23
∆W = G IC .b∆a + U e = G IC .∆A + ∆U e
( E-1 )
onde:
b= largura média do front da fissura, entre a e ∆a.
∆Ue = mudança de energia elástica residual, armazenada no corpo quando F=0.
B.∆a= área de varredura por avanço da fissura
GIC= Taxa Crítica de Liberação de Energia.
Assim, o trabalho irrecuperável para ir-se de A até B, no diagrama carga-abertura, é
dado pela seguinte expressão:
∆W =
1
F .∆x
2
(E- 2)
e:
F= Força média entre A e B
∆X= Distância entre A e B no caminho da relaxação de F
A mudança de flexibilidade, ∆C entre A e B, vem dada por:
∆C =
∆x
F
( E-3 )
Fazendo-se a substituição de E.2 em E. 1 decorre:
∆W =
1 2
.F .∆C
2
Substituindo-se agora a expressão anterior em E.1, obtêm-se:
( E-4 )
24
1 2
F ∆C = G IC .b.∆a + ∆U e
2
(E-5)
Equacionando-se em função de G IC e desprezando-se a parcela ∆U e, tem-se que:
G IC =
F 2 ∆C
.
2b ∆a
(E-6)
Entretanto, quando ∆a → 0, a taxa de dissipação de energia resulta:
G IC =
F 2 ∂C
2b ∂a
(E-7)
Da relação existente entre K IC e G IC :
(
G IC = 1 − ν 2
2
IC
) KE
(E.P.D)
(E-8)
ou:
1
K IC
 G .E  2
= I 2 
 1 −ν 
(
(E-9)
)
Para corpos de prova do tipo chevron bending a expressão da Tenacidade ao
Fraturamento apresentada (E-9), pode ser rescrita da forma que se segue:
K IC =
F
a
.f  
2
D . 1 −ν
D
1, 5
(
)
(E-10)
25
Na expressão anterior, D é o diâmetro do corpo-de-prova. Neste caso, na força
máxima, f ( a / B ) é uma função de configuração do corpo de prova que desconsidera o
valor de (1 - ν 2 ) ou seja, f (a / B )=A e:
K IC =
Fc
.A
D1.5
(E-11)
A constante A, recebe o nome de Fator Adimensional de Intensidade de Tensão,
que é calibrada para o tipo de carregamento e geometria do corpo de prova.
Entretanto, no caso dos concretos, argamassas e materiais assemelhados considerase a rigor, o comportamento inelástico do material, que a seguir passa-se a discutir.
COMPORTAMENTO INELÁSTICO.
Tendo em vista o comportamento inelástico do concreto, num ciclo de
carregamento e descarregamento, existirão deformações residuais, para F=0. Neste caso,
os caminhos de descarregamento AC e BD resultam agora, em diferentes aberturas
residuais, e o trabalho não recuperável para ir-se de A a B, é dado pela área CABD, da Fig.
E-2:
26
Figura E-2 Deformações residuais decorrentes do avanço da fissura.
Neste caso, o ensaio para a determinação da Tenacidade ao Fraturamento, consiste
basicamente na aplicação de uma força F ao corpo-de-prova, sob condições de deformação
controlada. Esta força é crescente até o valor F = Fmax, onde tem início a propagação
instável da fissura, ocasião em que o modelo é descarregado. O procedimento é cíclico
(carregamento e descarregamento) e segue até a ruptura do corpo-de-prova.
Como observado, o trabalho não recuperável para ir-se de A a B, é dado pela área
CABD, ou seja:
∆W =
onde:
1
1
F .(∆x + ∆x0 ) = (1 + p ).F .∆x
2
2
(E-12)
27
p=
∆x0
∆x
(E-13)
Agora, a mudança de flexibilidade vem dada por :
∆C = (1 − p )
∆x
F
(E-14)
ou:
∆x =
∆C.F
(1 − p )
(E-14a)
Substituindo a equação E-14 na E-12 decorre:
∆W =
1  (1 + p )  2

.F .∆C
2  1− p 
(E-15)
Substituindo-se esta expressão em E-1 :
G IC =
(1 + p ) F 2
∂C ∂U e
.
(1 − p ) 2b ∂a ∂a
Tomando-se o limite quando ∆a → 0 e equacionando-se agora em função de KIC:
K IC =
∂U e
1+ p 2
.K IQ − E
∂a
1− p
(E-17)
28
Finalmente, desprezando-se a parcela E. (∂U e/∂A) tem-se que:
K IC =
1+ p
.K IQ
1− p
(E-18)
Desta forma, fica considerado o comportamento inelástico do material no cálculo
do valor da tenacidade. KIQ é a tenacidade aparente ao fraturamento, calculada de
conformidade com os conceitos da Mecânica da Fratura Elástica Linear.
29
APÊNDICE G –DETERMINAÇÃO DA TENACIDADE AO
TENACIDADE AO FRATURAMENTO - MODELO DOS DOIS PARÂMETROS
ARQUIVO: viga_1a.dat
INFORMAÇÕES SOBRE A GEOMETRIA DO CORPO-DE-PROVA
BASE
(cm)=
ALTURA
(cm)=
VÃO-LIVRE
(cm)=
ENTALHE
(cm)=
ALTURA DO CLIP(cm)=
6.000
11.800
48.000
3.200
0.250
PARÂMETROS DE CARREGAMENTO E DE FLEXIBILIDADE
CARGA MÁXIMA
CARGA NO DESCARREGAMENTO
CMOD NO DESCARREGAMENTO
CMOD FINAL DO DESCARREGAMENTO
CARGA FINAL DO DESCARREGAMENTO
(Kgf)=
(kgf)=
(cm) =
(cm) =
(kgf)=
227.011
212.817
0.004979
0.001409
22.394
******* CÁLCULO DO MODULO DE DEFORMAÇÃO *******
NUMERO DE PONTOS UTILIZADOS
:
13
CARGA MÍNIMA DO INTERVALO
:
26.399338000 [ 11.629 % ]
DESLOCAMENTO
:
0.000078511
CARGA MÁXIMA DO INTERVALO
:
66.029854000 [ 29.087 % ]
DESLOCAMENTO
:
0.000374879
CARGA MÁXIMA DO ENSAIO
:
227.011250000 [ 00.000 % ]
COEFICIENTE ANGULAR
: 133726.545625263
COEFICIENTE LINEAR
:
17.318272344
COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO (R) :
0.994232284
ALFA[ENTALHE+clip]
= 0.28630705
G_ALFA
= 1.67232331
FLEX.INICIAL (Ci)
= 0.0000074779
FLEXIB.DESCARREG.(Cu)= 0.0000187488
MÓDULO (2P)
=
260452.869654
CÁLCULO DA TENACIDADE AO FRATURAMENTO
MÓDULO RECALCULADO
=
ALFAc (ac/W ; cm)
=
Extensão Crítica, ac (cm)=
KIc,s
(kgf.cm^-1.5)=
260452.77595
0.46105084
5.44039996
105.81044516
****** CRITÉRIO DA CORREÇÃO DO CMOD ******
ALFA
= 0.27118644
G_ALFA
= 1.62815972
Kd
= 0.96078054
MÓDULO MÉDIO (POR PONTO) :
ALFAc (ac/W ; cm)
=
KIc,s
(kgf.cm^-1.5)=
249738.438844
0.44808831
5.28744206
101.82387860
30
BASE
(cm)=
ALTURA
(cm)=
VÃO-LIVRE
(cm)=
ENTALHE
(cm)=
ALTURA DO CLIP(cm)=
6.000
11.900
48.000
2.900
0.250
CARGA MÁXIMA
(Kgf)=
(kgf)=
(cm) =
(cm) =
(kgf)=
252.167
218.720
0.005758
0.001781
16.070
:
DESLOCAMENTO
DESLOCAMENTO
:
:
:
:
:
COEFICIENTE ANGULAR
COEFICIENTE LINEAR
COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO (R)
:
:
:
8
29.420813000 [ 11.667 % ]
0.000064726
73.899742000 [ 29.306 % ]
0.000361095
252.166780000 [100.000 % ]
151334.667776788
20.055758987
0.997389817
ALFA[ENTALHE+clip]
= 0.25925926
G_ALFA
= 1.59631289
FLEX.INICIAL (Ci)
= 0.0000066079
MÓDULO (2P)
=
252630.044847
MÓDULO RECALCULADO
=
ALFAc (ac/W ; cm)
=
KIc,s
(kgf.cm^-1.5)=
252629.94861
0.46540891
5.53836602
117.58396898
ALFA
= 0.24369748
G_ALFA
= 1.55853780
Kd
= 0.95738240
241966.318891
ALFAc (ac/W ; cm)
=
0.45160299
5.37407557
KIc,s
(kgf.cm^-1.5)= 112.84579632
31
BASE
(cm)=
ALTURA
(cm)=
VÃO-LIVRE
(cm)=
ENTALHE
(cm)=
ALTURA DO CLIP(cm)=
6.100
11.700
48.000
2.100
0.250
CARGA MÁXIMA
(Kgf)=
(kgf)=
(cm) =
(cm) =
(kgf)=
295.732
252.026
0.004345
0.001285
17.757
:
DESLOCAMENTO
DESLOCAMENTO
:
:
:
:
:
COEFICIENTE ANGULAR
COEFICIENTE LINEAR
:
:
:
6
30.264015000 [ 10.234 % ]
0.000050942
82.191231000 [ 27.792 % ]
0.000264603
295.732240000 [100.000 % ]
237028.180215637
20.119427186
0.996370481
ALFA[ENTALHE+clip]
= 0.19665272
G_ALFA
= 1.46845350
FLEX.INICIAL (Ci)
= 0.0000042189
MÓDULO (2P)
=
276208.429797
MÓDULO RECALCULADO
=
ALFAc (ac/W ; cm)
=
KIc,s
(kgf.cm^-1.5)=
276208.33166
0.40565184
4.74612652
117.05960198
ALFA
= 0.17948718
G_ALFA
= 1.44397993
Kd
= 0.94556138
261585.171281
ALFAc (ac/W ; cm)
=
0.38773673
4.53651973
KIc,s
(kgf.cm^-1.5)= 111.41916702
32
BASE
(cm)=
ALTURA
(cm)=
VÃO-LIVRE
(cm)=
ENTALHE
(cm)=
ALTURA DO CLIP(cm)=
6.000
11.900
48.000
2.900
0.250
CARGA MÁXIMA
(Kgf)=
(kgf)=
(cm) =
(cm) =
(kgf)=
228.065
199.818
0.004703
0.001264
10.168
:
DESLOCAMENTO
DESLOCAMENTO
:
:
:
:
:
COEFICIENTE ANGULAR
COEFICIENTE LINEAR
:
:
:
7
22.956261000 [ 10.066 % ]
-0.000045551
63.148914000 [ 27.689 % ]
0.000230141
228.065250000 [100.000 % ]
152059.575101120
28.911195415
0.995939935
ALFA[ENTALHE+clip]
= 0.25925926
G_ALFA
= 1.59631289
FLEX.INICIAL (Ci)
= 0.0000065764
MÓDULO (2P)
=
253840.166576
MÓDULO RECALCULADO
=
ALFAc (ac/W ; cm)
=
KIc,s
(kgf.cm^-1.5)=
253840.07615
0.45165966
5.37474994
102.07731727
ALFA
= 0.24369748
G_ALFA
= 1.55853780
Kd
= 0.95738240
243557.929877
ALFAc (ac/W ; cm)
=
0.43839915
5.21694987
KIc,s
(kgf.cm^-1.5)=
98.19482280