AULA 10 – REGRA DE TRÊS 1. Sabendo

 AULA 10 – REGRA DE TRÊS 1. Sabendo-se que x + y + z = 18 e que x/2 = y/3 = z/4, calcule x.
Se x/2 = y/3 = z/4, temos:
x y z
= = , como desejamos saber o valor de x, vamos isolar:
2 3 4
y em função de x:
x y
y x
3x
= ⇒ = ⇒y=
2 3
3 2
2
z em função de x:
x z
z x
4x
= ⇒ = ⇒z=
⇒ z = 2x
2 4
4 2
2
Agora que conhecemos y e z em função de x, vamos substituí-los em:
x + y + z = 18 ⇒ x +
3x
2x 3 x 4 x 36
+ 2x = 18 ⇒
+
+
=
⇒
2
2
2
2
2
2x + 3x + 4x = 36 ⇒ 9x = 36 ⇒ x = 4
FIM!!!
2. Três números são proporcionais a 1, 3 e 5. Calcule sua soma, sabendo-se
que o seu produto é igual a 960.
Vamos por partes...
PRIMEIRA ETAPA:
Três números são proporcionais a 1, 3 e 5. Sendo assim, vamos chamar de x,
x y
y
z
z
e , ou seja, x,
e . Como são
y e z e montar as proporções: ,
1 3
3
5
5
y z
proporcionais, temos: x = =
3 5
Observação: perceba que esse exercício começa a ser parecido com o
exercício 1.
SEGUNDA ETAPA:
Calcule sua soma. Por enquanto, essa parte não é possível resolver. Vamos
deixar para depois.
TERCEIRA ETAPA:
Como o exercício anterior, temos nesse exercício:
x=
y z
= , como desejamos saber o valor de x, vamos isolar:
3 5
y em função de x: x =
y
⇒ y = 3x
3
z em função de x: x =
z
⇒ z = 5x
5
QUARTA ETAPA:
Do enunciado: “Sabendo-se que o seu produto é igual a 960”.
Agora que conhecemos y e z em função de x, vamos substituí-los em:
x.y.z = 960 ⇒ x.3 x.5 x = 960 ⇒ 15 x 3 = 960 ⇒ x 3 =
960
⇒ x 3 = 64 ⇒ x = 3 64 ⇒
15
x = 3 4 . 4 .4 ⇒ x = 3 4 3 ⇒ x = 4
QUINTA ETAPA:
Uma vez determinado x, vamos encontrar y e z. Sabemos que:
y = 3x, assim com x = 4, temos: y = 3.4 ⇒ y = 12
z = 5x, assim com x = 4, temos: z = 5.4 ⇒ z = 20
SEXTA ETAPA:
Voltando a segunda etapa: Calcule sua soma.
Vamos somar x, y e z. Assim:
x + y + z = 4 + 12 + 20 = 36
FIM!!!
3. Humberto, Aline e Junior possuem uma livraria cujo investimento foi de 9 mil
reais. Humberto entrou com 2 mil reais, Aline com 3 mil reais e Nilson com 4
mil reais. O lucro da livraria é dividido em partes proporcionais ao investimento
de cada um deles. O lucro do mês de maio foi de 1.800 reais. Calcule quanto
cada um vai receber nesse mês.
Novamente outro exercício semelhante ao exercício 1, porém que exige
interpretação e transcodificação para linguagem matemática. Assim, temos
que:
Humberto = x
Aline = y
Humberto R$ 2.000,00
Aline R$ 3.000,00
Junior = z
Nilson R$ 4.000,00
Vamos resolver diferente, onde essa maneira pode ser resolvida no exercício
anterior.
Vamos somar o total que todos aplicaram:
x + y + z = 2000 + 3000 + 4000 = 9000
Agora vamos ver a proporção do lucro de 1800 sobre 9000 ⇒
1800 1
=
9000 5
Assim, temos a proporção de um quinto para cada pessoa (chamado de
consciente de proporção), na qual:
Humberto = x = 2000.
Aline = y = 3000.
1 2000
=
= 400 reais
5
5
1 3000
=
= 600 reais
5
5
Júnior = z = 4000.
1 4000
=
= 800 reais
5
5
FIM!!! PROVA REAL (Não precisa fazer)
Se o lucro foi de R$ 1.800,00, Humberto entrou R$ 400,00, Aline entrou com
R$ 600,00 e Júnior com R$ 800,00 temos que:
400 + 600 + 800 = 1800 Acertamos!!!
4. Divida 45 em partes inversamente proporcionais a 3, 4 e 6.
Dica: faça esse exercício comparando com o terceiro exercício!
Vamos lá...
Inversamente proporcional de 3, 4 e 6 é o mesmo que:
Vamos somar
1 1
1
,
e
3 4
6
1 1
1
,
e , assim temos:
3 4
6
3
2
9
1 1 1 4
+ + =
+
+
=
3 4 6 12 12 12 12
Não se assuste! Como o exercício 3, nós somamos, porém aqui está em
9
fração. Temos como consciente de proporção o
12
Agora vamos ver a proporção de 45 sobre
9
12 540
45
⇒
= 45.
=
= 60
9
12
9
9
12
Assim, temos como consciente de proporção o 60.
1
1 1
e
,
e o consciente de proporção 60,
6
3 4
podemos determinar para cada número a sua divisão proporcional. Assim:
Como temos as proporções
60
1
.60 =
= 20
3
3
60
1
.60 =
= 15
4
4
60
1
.60 =
= 10
6
6
FIM!!!
5. Uma lavoura de grãos com 100 km2 de área plantada fornece uma produção
de 5 toneladas por hectare. Sabe-se que as máquinas usadas colheram 2.000
toneladas por dia. Qual o tempo gasto para se fazer a colheita dessa lavoura?
Nesse exercício será necessário converter quilômetro quadrado em hectare.
Não vamos entrar no detalhe da conversão, pois geralmente esse tipo de valor
é dado em exercício ou adquirido em diversas calculadoras na internet que
realizam conversões de uniddades. Por exemplo, visite:
http://www.calculoexato.com.br/parprima.aspx?codMenu=ConvArea
Assim sendo, dado que 1 km2 = 100 hectares, vamos resolver esse exercício.
Se 1 km2 está para 100 hectares, então
100 km2 estará para x. Assim, pela regra de três simples, temos que:
x = 100 . 100 ⇒ x = 10 000 hectares
Como cada hectare proporciona 5 toneladas, então 10 000 hectares
proporcionará 50 000 toneladas por hectare, pois 5 toneladas x 10 000
hectares é igual a 50 000 toneladas.
Como as máquinas colhem 20 000 toneladas por dia, e temos a quantidade
total de toneladas por hectare, sendo 50 000, temos que:
Tempo =
50000 toneladas
50000 toneladas
⇒ Tempo =
⇒
toneladas
2000 toneladas
2000
dia
dia
Tempo =
50000
dia
50
⇒ Tempo =
toneladas.
dia ⇒ Tempo = 25 dias
2000
toneladas
2
FIM!!! 6. Um trem, com velocidade de 48 km/h, gasta 1 hora e 20 minutos para
percorrer certa distância. Para fazer o mesmo percurso a 60 km/h, quanto
tempo o trem gastaria?
Perceba que temos a unidade km/h e 1h 20min. Temos que transformar 20min
em horas para que todas as unidades sejam idênticas.
Pela regra três:
se 1 hora vale 60 minutos, então
Quantas horas (x) valerá 20 minutos
1
20
⇒ x = hora.
3
60
De fato, 20 minutos equivale a um terço da hora.
20min + 20min +20min = 60min = 1h
Assim: 60x = 1 . 20 ⇒ 60x = 20 ⇒ x =
Obs.: Daqui por diante, se desejar, pode utilizar decimal, onde x = 0,333...
Assim, 1 hora mais
1
1 3 1 4
de hora = 1 + = + = , ou 1,333...
3
3 3 3 3
Voltando ao exercício, utilizando a fração...
Um trem, com velocidade de 48 km/h, gasta 1 hora e 20 minutos para percorrer
certa distância. Para fazer o mesmo percurso a 60 km/h, quanto tempo o trem
gastaria?
Pela regra de três simples e inversamente proporcional, pois:
quanto maior minha velocidade, menor será meu tempo, temos:
Velocidade (km/h)
48
60
Tempo (horas)
4
3
t
Invertendo uma das duas grandezas, pois é inversamente proporcional:
Velocidade (km/h)
60
48
Tempo (horas)
4
3
t
Assim: 60t = 48 .
4
64
192
⇒ 60t = 64 ⇒ t =
⇒ t = 1,0666...
⇒ 60t =
3
60
3
t = 1,0666... não significa 1h6min!!!
Vamos converter 0,0666... em minutos, pois temos 1hora + 0,0666... hora
Se 1 hora vale 60 minutos, então
0,0666... hora vale z minutos. Assim, temos:
1z = 0,0666. 60 ⇒ z = 3,999... ou seja, z = 4 minutos
Resposta: Tempo de 1 hora e 04 minutos
FIM!!!
7. Numa fábrica, 12 operários trabalhando 8 horas por dia conseguem fazer
864 caixas de papelão. Quantas caixas serão feitas por 15 operários que
trabalham 10 horas por dia?
As grandezas são: operários, horas e caixas.
Assim, temos uma regra de três composta, sendo estruturada da seguinte
forma:
Operários
Horas
Caixa
12
8
864
15
10
x
Fixando a grandeza que possui a incógnita, vamos realizar as perguntas para
saber se temos diretamente ou inversamente proporcional.
Quanto mais horas trabalhar, mais caixas serão produzidas.
Diretamente proporcional. Assim:
Operários
Horas
Caixa
12
8
864
15
10
x
Agora a relação entre caixa e operários:
Quanto mais operários, mais caixas serão produzidas.
Diretamente proporcional. Assim:
Operários
Horas
Caixa
12
8
864
15
10
x
Dessa forma, não será necessário inverter as proporções, podendo ser
colocado na estrutura operatória, na qual a proporção com a incógnita será
posta antes do sinal de igual e as demais proporções serão multiplicadas, após
o sinal de igual. Veja:
864 12 8
864
96
=
.
⇒
=
⇒ 96 x = 864.150 ⇒
x
15 10
x
150
96 x = 129600 ⇒ x =
129600
⇒ x = 1350
96
Assim, serão feitas 1350 caixas.
8. Vinte máquinas, trabalhando 16 horas por dia, levam 6 dias para fazer um
trabalho. Quantas máquinas serão necessárias para executar o mesmo serviço
se trabalharem 20 horas por dia, durante 12 dias?
Grandezas: máquinas, horas por dia e dias
Máquinas
Horas por dia
Dias
20
16
6
x
20
12
Quanto mais máquinas, menos horas por dia serão necessários.
Inversamente proporcional. Assim:
Máquinas
Horas por dia
Dias
20
16
6
x
20
12
Agora a relação entre máquinas e dias:
Quanto mais máquinas, menos dias serão necessários.
Inversamente proporcional. Assim:
Máquinas
Horas por dia
Dias
20
16
6
x
20
12
Vamos converter as proporções inversas para diretas, invertendo as
proporções horas por dia e dias e mantendo máquinas. Poderia ser a inversão
de máquina, desde que não invertesse horas por dia e dias.
Máquinas
Horas por dia
Dias
20
20
12
x
16
6
Estruturando:
20 20 12
20 240
.
=
⇒
=
⇒ 240 x = 20.96 ⇒
x
16 6
x
96
240 x = 1920 ⇒ x =
1920
⇒x=8
240
Assim, serão necessárias 8 máquinas.
FIM!!!
9. Numa indústria têxtil, 8 alfaiates fazem 360 camisas em 3 dias. Quantos
alfaiates serão necessários para que sejam feitas 1.080 camisas em 12 dias?
Grandezas: alfaiates, camisas e dias
Alfaiates
Camisas
Dias
8
360
3
x
1080
12
Quanto mais alfaiates, mais camisas serão produzidas.
Diretamente proporcional. Assim:
Alfaiates
Camisas
Dias
8
360
3
x
1080
12
Agora a relação entre alfaiates e dias:
Quanto mais alfaiates, menos dias serão necessários.
Inversamente proporcional. Assim:
Alfaiates
Camisas
Dias
8
360
3
x
1080
12
Vamos converter as proporções inversas para diretas.
Alfaiates
Camisas
Dias
8
360
12
x
1080
3
Estruturando:
8 360 12
8 4320
=
.
⇒ =
⇒ 4320 x = 8.3240 ⇒
x 1080 3
x 3240
4320 x = 25920 ⇒ x =
25920
⇒x=6
4320
Assim, serão necessários 6 alfaiates.
FIM!!!
10. Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160 m3 de areia. Em 5 horas,
quantos caminhões serão necessários para descarregar 125 m3?
Ver a resolução na própria folha de questão.
11. Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias.
Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias?
Ver a resolução na própria folha de questão.