Flavio Daniel Baran Avaliação de uma Floresta - NIMA - PUC-Rio

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PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0312513/CA
Flavio Daniel Baran
Avaliação de uma Floresta de Eucaliptos na
Presença de um Mercado de Certificados para
Reduções de Emissões de Carbono: Uma
Abordagem por Opções Reais
Dissertação de Mestrado
Dissertação apresentada como requisito parcial para
obtenção do grau de Mestre pelo Programa de PósGraduação em Engenharia de Produção do Departamento
de Engenharia Industrial da PUC-Rio.
Orientador: José Paulo Teixeira
Rio de Janeiro
Março de 2005
Flavio Daniel Baran
Avaliação de uma Floresta de Eucaliptos na
Presença de um Mercado de Certificados para
Reduções de Emissões de Carbono: Uma
Abordagem por Opções Reais
Dissertação apresentada como requisito parcial para
obtenção do grau de Mestre pelo Programa de PósGraduação em Engenharia de Produção do Departamento
de Engenharia Industrial da PUC-Rio. Aprovada pela
comissão examinadora abaixo assinada.
Prof. José Paulo Teixeira
Orientador
Departamento de Engenharia Industrial – PUC-Rio
Prof. Carlos Patrício Samanez
Prof. Tara Keshar Nanda Baidya
Prof. José Eugênio Leal
Coordenador Setorial de Pesquisa e Pós-Graduação do
Centro Técnico Científico – PUC-Rio
Rio de Janeiro, 16 de março de 2005
Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou
parcial do trabalho sem autorização do autor, do orientador e da
universidade.
Flavio Daniel Baran
Graduou-se em Engenharia Eletrônica pela Universidade
Federal do Rio de Janeiro em 1999. Trabalhou na Ecole
d’Ingénieurs de Bienne, na Suíça, e, de volta ao Brasil, na
Alcatel Telecomunicações. No mestrado, foi agraciado com
bolsa de desempenho acadêmico da PUC-Rio.
Ficha catalográfica
Baran, Flavio Daniel
Avaliação de uma floresta de eucaliptos na presença de
um mercado de certificados para reduções de emissões de
carbono : uma abordagem por opções reais / Flavio Daniel
Baran ; orientador: José Paulo Teixeira. – Rio de Janeiro :
PUC-Rio, Departamento de Engenharia Industrial, 2005.
112 f. : il. ; 29,7 cm
Dissertação (mestrado)
– Pontifícia Universidade
Católica do Rio de Janeiro, Departamento de Engenharia
Industrial.
Inclui referências bibliográficas
1. Engenharia Industrial - Teses. 2. Opções reais. 3.
Créditos de carbono. 4. Análise de investimentos. 5.
Finanças corporativas. I. Teixeira, José Paulo. II. Pontifícia
Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de
Engenharia Industrial. III. Título.
CDD: 658.5
Para meus avós.
Agradecimentos
A meus pais, por tudo.
Ao Renato, à Cecília e à Deise, pelo apoio, atenção e carinho.
Ao professor José Paulo Teixeira, pela amizade e orientação.
À CAPES e à PUC-Rio, pelos auxílios concedidos, sem os quais este trabalho não
poderia ter sido realizado.
Aos meus colegas do mestrado da PUC-Rio, em especial a Luciana, Fábio, André,
Samir, Rodrigo e Suzana, pelo companheirismo ao longo do curso.
Aos professores do departamento, em especial aos professores Tara Baidya,
Carlos Patrício Samanez e Leonardo Lima.
Ao professor Pierre Lasserre, da Universidade de Quebec em Montreal (UQAM),
que tão prontamente se dispôs a esclarecer alguns pontos de seu artigo.
Aos funcionários do departamento, sempre dispostos a ajudar.
A todos os amigos e familiares que, de uma forma ou de outra, me estimularam ou
me ajudaram.
Resumo
Baran, Flavio Daniel. Avaliação de uma Floresta de Eucaliptos na
Presença de um Mercado de Certificados para Reduções de Emissões de
Carbono: Uma Abordagem por Opções Reais. Rio de Janeiro, 2005.
112p. Dissertação de Mestrado – Departamento de Engenharia Industrial,
Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
A existência de um mercado para reduções de emissões de gases de efeito
estufa cria uma nova variável a ser considerada na avaliação econômica de
empreendimentos florestais: a absorção de CO2. O seqüestro desse gás gera um
fluxo de dividendos que se transforma em uma fonte adicional de receita,
influenciando as decisões gerenciais tomadas pelo administrador florestal. O
presente trabalho estuda como se dá essa influência sobre o melhor momento de
se efetuar o corte das árvores. O empreendimento florestal estudado é uma floresta
de eucaliptos, explorada em função de sua madeira e cuja função de crescimento é
conhecida. O preço pelo qual pode ser vendida a madeira varia estocasticamente,
não podendo ser previsto, enquanto que um certificado correspondendo a uma
tonelada de CO2 removido é negociado em um mercado próprio a um preço que é
considerado como sendo constante e exógeno. Todos os outros parâmetros
envolvidos são constantes e conhecidos. Diante do preço de mercado, incerto, o
administrador pode tomar três decisões: derrubar a floresta, esperar ou abandonar
o negócio. Devido às características desse tipo de empreendimento, a Teoria de
Opções Reais mostrou-se a metodologia mais adequada a ser usada.
Palavras-chave
Opções reais; créditos de carbono; mercado de carbono; análise de
investimentos; finanças corporativas.
Abstract
Baran, Flavio Daniel. Valuation of an Eucalyptus Stand Under the
Existence of a Market for Certified Carbon Emission Reductions: A
Real Options Approach. Rio de Janeiro, 2005. 112p. M.Sc. Dissertation –
Departamento de Engenharia Industrial, Pontifícia Universidade Católica do
Rio de Janeiro.
The existence of a market for certified greenhouse gases emission
reductions creates a new variable to take into account in economical valuation of
forest enterprises: the CO2 absorption. The sequestration of this gas generates a
dividend flow which becomes an extra revenue, having influence in the
managerial decisions taken by the forest’ manager. This work studies the effects
caused by this influence over the optimal rotation age of the stand. The forest
studied is an Eucalyptus stand, explored due to its timber and whose growth curve
is known. The stumpage price varies stochastically and cannot be predicted, while
a certificate corresponding to one ton of sequestered CO2 is traded in a specific
market at a price considered constant and exogenous. All the other parameters
involved are constant and know. Facing the uncertain stumpage market price, the
manager can make three possible decisions: to harvest, wait or abandon. Due to
the characteristics of this kind of activity, the Real Options Theory has shown to
be the most suitable to be used in this case.
Keywords
Real options; carbon credits; carbon market; investment analysis; corporate
finance.
Aquele que não aumenta os seus conhecimentos os diminui.
Hillel
Sumário
1 Introdução
16
1.1. Objetivos
16
1.2. Considerações Iniciais
17
1.3. O Protocolo de Quioto
19
1.3.1. Comércio de Emissões
20
1.3.2. Comércio Internacional de Emissões (CIE)
21
1.3.3. Implementação Conjunta (IC)
21
1.3.4. O Mecanismo de Desenvolvimento Limpo (MDL)
22
1.3.5. Atividades de Uso da Terra, Mudança no Uso da Terra
e Florestas
23
1.4. Antecipação de Alguns Resultados
25
1.5. Relevância para o País
26
2 Base Teórica
28
2.1. Processos Estocásticos
28
2.1.1. Propriedade e Processo de Markov
29
2.1.2. Processo de Wiener ou Movimento Aritmético Browniano (MAB) 29
2.1.3. Processo de Wiener Generalizado ou Movimento Browniano com
Drift
30
2.1.4. Movimento Browniano Generalizado ou Processo de Itô
31
2.1.5. Movimento Geométrico Browniano (MGB)
31
2.1.6. Processo de Reversão à Média ou de Ornstein-Uhlenbeck
32
2.1.7. Lema de Itô
33
2.2. Métodos Numéricos de Avaliação de Ativos
34
2.2.1. Modelo Binomial
34
2.2.2. Método das Diferenças Finitas
35
2.2.3. Simulação de Monte Carlo (SMC)
40
2.3. Técnicas de Otimização Dinâmica sob Incerteza
42
2.3.1. Programação Dinâmica
42
2.3.2. Direitos Contingenciais (Contingent Claims Analysis)
44
3 Opções Reais
47
3.1. A Abordagem Tradicional – Método do Valor Presente Líquido
47
3.2. A Abordagem de Opções Reais
49
3.3. Tipos de Opções Reais
51
3.3.1. Opção de Adiar o Investimento
51
3.3.2. Opção de Expandir
52
3.3.3. Opção de Contrair
52
3.3.4. Opção de Suspender Temporariamente
53
3.3.5. Opção de Abandono ou Troca de Uso
53
4 Discussão de Trabalhos Anteriores
54
4.1. Modelos de Determinação da Idade Ótima de Corte e
Valor da Terra
54
4.2. Efeito Estufa e Créditos de Carbono
61
5 Modelo e Resultados
71
5.1. Modelos Florestais
71
5.2. Modelo Teórico
73
5.3. Resolução
78
5.4. Parâmetros
82
5.5. Resultados
84
6 Conclusões e Recomendações
96
6.1. Conclusões
96
6.2. Sugestões para Trabalhos Futuros
98
7 Referências bibliográficas
99
Apêndice A: Condição de Primeira Ordem para a Rotação Ótima no
Modelo de Ariste-Lasserre
106
Apêndice B: Condição de Primeira Ordem para a Rotação Ótima no
Modelo de Faustmann a Partir do Modelo de Ariste-Lasserre
108
Apêndice C: Maximização do Valor Esperado da Terra
110
Apêndice D: Países Anexo I e Países Anexo B
112
Lista de figuras
Figura 1: Concentração de CO2 medida em Mauna Loa
(Havaí) desde 1958
Figura 2: Árvore binomial de três passos
18
34
Figura 3: Representação gráfica do grid do método
das diferenças finitas
Figura 4: Evolução da carteira f para dois possíveis cenários
36
45
Figura 5: Crescimento e corte no modelo determinístico de Faustmann 54
Figura 6: Árvore binomial com 1 passo
74
Figura 7: Relação entre o preço da madeira e a idade de corte
84
Figura 8: Relação entre P e a idade de corte para vários
valores de Z e l=1 (modelo A-L)
86
Figura 9: Relação entre P e a idade de corte para vários
valores de Z e l=0 (modelo A-L)
87
Figura 10: Relação entre l e a idade de corte para vários
valores de Z e P=15
88
valores de Z e P=40
88
valores de Z e P=100
89
valores de P e Z=1
90
valores de P e Z=3
90
valores de P e Z=5
91
Lista de tabelas
Tabela 1: Analogia entre uma opção financeira e
uma opção de investir em um projeto
Tabela 2: Custo de manutenção ao longo da rotação
49
82
Tabela 3: Valor da floresta e idade de corte de acordo com P
para o modelo de Faustmann
91
para l=1 e Z=1 para o modelo A-L
92
para l=0 e Z=1 para o modelo A-L
93
Tabela 6: Valor da floresta e idade de corte com P=$400
para os modelos de Faustmann e Ariste-Lasserre com Z=1
Tabela 7: Preço-limite para diferentes custos de regeneração
94
95
Lista de abreviaturas e siglas
AAU
A-L
BM&F
BVRJ
CBOE
CCX
CDIAC
CER
CFC
CH4
CIE
CIMGC
cm
CO2
COP/MOP
EDP
EUA
FGV
g/cm3
GEE
ha
HFC
IC
ICA
IMA
IPCC
LSM
LULUCF
m3/ha
MAB
MBRE
MDIC
MDL
MGB
N2O
NYBOT
ONU
PFC
PIB
PNUMA
ppmv
REO
RVO
Assigned Amount Unit
Modelo de Ariste-Lasserre
Bolsa de Mercadorias & Futuros
Bolsa de Valores do Rio de Janeiro
Chicago Board Options Exchange
Chicago Climate Exchange
Carbon Dioxide Information Analysis Center
Certificado de Emissões Reduzidas
Clorofluorcarboneto
Metano
Comércio Internacional de Emissões
Comissão Interministerial de Mudança Global no Clima
Centímetro
Dióxido de carbono
Conference of the Parties/Meeting of the Parties
Equação diferencial parcial
Estados Unidos da América
Fundação Getúlio Vargas
Grama por centímetro cúbico
Gases de efeito estufa
Hectare
Hidrofluorcarbono
Implementação conjunta
Incremento corrente anual
Incremento médio anual
Intergovernmental Panel on Climate Change
Least-Square Monte Carlo
Land-Use, Land-Use Change and Forestry
Metro cúbico por hectare
Movimento aritmético browniano
Mercado Brasileiro de Reduções de Emissões
Ministério do Desenvolvimento, Indústria e Comércio
Exterior
Mecanismo de desenvolvimento limpo
Movimento geométrico browniano
Óxido nitroso
New York Board of Trade
Organização das Nações Unidas
Perfluorcarbono
Produto Interno Bruto
Programa das Nações Unidas para o Meio-Ambiente
Partes por milhão por volume
Rotação economicamente ótima
Rotação volumetricamente ótima
SF6
SMC
TIR
ton/m3
TOR
UER
UNFCC
US$
VET
VP
VPL
VPLE
VPLS
WMO
µm
Hexafluoreto de enxôfre
Simulação de Monte Carlo
Taxa interna de retorno
Tonelada por metro cúbico
Teoria das Opções Reais
Unidade de Emissão Reduzida
United Nations Framework Convention on Climate Change
Dólar americano
Valor esperado da terra
Valor presente
Valor presente líquido
Valor presente líquido expandido
Valor presente líquido estático
World Meteorological Organization
Micrometro
Introdução
1
Introdução
1.1.
Objetivos
A criação de um mercado internacional para reduções de emissões de
gases de efeito estufa (GEE) como forma de implementar os objetivos de
mitigação desses gases firmados no Protocolo de Quioto dá origem a um novo
ativo a ser levado em consideração na avaliação econômica de projetos que
envolvam atividades de uso da terra.
No caso de investimentos florestais, esses produzirão, além de madeira,
celulose e outros produtos florestais tradicionais, uma externalidade: a absorção
de CO2 da atmosfera. A presença de um mercado desenvolvido para
comercialização de Certificados de Emissões Reduzidas (CERs) possibilitará a
valoração dessa externalidade, o que dará origem a uma receita adicional para a
entidade administradora da atividade e influenciará no cálculo do valor
econômico do empreendimento.
O objetivo desse trabalho é analisar a influência da existência de um
mercado para CERs na avaliação econômica de uma floresta de eucaliptos e,
assim, contribuir de alguma maneira para a criação de um modelo que,
futuramente, possibilite a correta valoração desses certificados.
Introdução
17
1.2.
Considerações Iniciais
O efeito estufa ocorre naturalmente na atmosfera. A radiação solar que
atinge a Terra situa-se na faixa de comprimento de onda entre 0,2 e 0,4 m,
enquanto a radiação refletida pela Terra situa-se na faixa do infravermelho, com
comprimento de onda entre 4 e 100 m. As nuvens, o vapor d’água, os gases de
efeito estufa (GEE)1 e o ozônio são transparentes para radiações de ondas
curtas porém são mais opacos para ondas longas. Eles permitem que
aproximadamente 50% da radiação solar atinja a superfície terrestre, mas retêm
cerca de 80-90% da radiação que é refletida de volta para o espaço. Esse efeito
de retenção é chamado Efeito Estufa. Sem ele a temperatura média na
superfície terrestre seria de -18oC e não os atuais +15oC (Cline, 1992).
Qualquer fator que altere a quantidade de radiação recebida pela Terra ou
refletida de volta para o espaço pode influenciar o clima do planeta, sendo um
desses fatores o aumento do efeito estufa. A atividade humana vem emitindo
quantidades
extras
de
GEE,
principalmente
CO2,
CH4,
N2O
e
clorofluorcarbonetos (CFC). O aumento da concentração desses gases na
atmosfera acentua o efeito estufa, contribuindo para uma maior retenção da
radiação infravermelha e, portanto, para um aumento na temperatura.
Os GEE emitidos devido à atividade humana, as chamadas emissões
antrópicas, são devidos principalmente à queima de combustíveis fósseis
(carvão, petróleo e gás natural) em usinas termoelétricas, indústrias, veículos em
circulação e sistemas de aquecimento domésticos, além de atividades agropastoris, aterros sanitários e lixões. Essas emissões vêm-se intensificando
desde a Revolução Industrial (meados do séc. XVIII), quando combustíveis
fósseis começaram a ser usados sistematicamente. Nos últimos 100 anos foi
registrado um aumento de 1oC na temperatura média da Terra (Lopes, 2002).
Dentre os GEE emitidos pelo homem, o CO2 é o principal, sendo ele responsável
por mais da metade do aumento do efeito estufa.
1
São considerados GEE segundo o Protocolo de Quioto: dióxido de carbono
(CO2), metano (CH4), óxido nitroso (N2O), hidrofluorcarbonos (HFCs), perfluorcarbonos
(PFCs) e hexafluoreto de enxofre (SF6) (UNFCCC, 1997)
Introdução
18
O mais longo registro da concentração de CO2 na atmosfera vem sendo
feito em Mauna Loa, no Havaí, ininterruptamente desde 1958. A análise dos
dados registrados mostra que desde aquele ano a concentração média anual de
CO2 aumentou em 18,8%, de 315,98 ppmv de ar seco em 1959 para 375,64
ppmv em 2003 (Keeling e Whorf, 2004). Antes da Revolução Industrial essa
concentração era de 280 ppmv.
Figura 1: Concentração de CO2 medida em Mauna Loa (Havaí) desde 1958. Fonte:
adaptado de Carbon Dioxide Information Analysis Center- CDIAC (http://cdiac.ornl.gov,
2004)
Embora sempre tenha havido variações climáticas, a velocidade e a
intensidade observadas no aumento da temperatura nesse período de tempo
são incompatíveis com o tempo necessário para que os ecossistemas se
adaptem naturalmente. Projeções estimam que o aumento na concentração de
GEE a essa taxa leve a um aumento na temperatura média global entre 1,4 e
5,8oC e a um aumento no nível do mar entre 8 e 88 cm até o ano 2100 (IPCC
2001).
Introdução
19
1.3.
O Protocolo de Quioto
Tendo reconhecido a natureza global desse problema, a ONU, através de
seu programa para o meio ambiente (PNUMA), e a Organização Meteorológica
Mundial (WMO) criaram o Painel Intergovernamental para Mudanças do Clima
(IPCC) em 1988, que passou a emitir relatórios periodicamente. O tom
admonitório de seus primeiros relatórios criou um momentum político propício
que culminou com a realização da Conferência Rio 92 (Rio Earth Summit ’92),
durante a qual foi adotada a Convenção-Quadro das Nações Unidas sobre
Mudança do Clima (UNFCCC), cuja ratificação, aceitação, aprovação ou adesão
foi feita por 185 países mais a União Européia e que tem como meta propor
ações a serem tomadas pelos países ditos do Anexo I, basicamente países
industrializados2, de maneira a alcançar a estabilização das concentrações de
GEE na atmosfera em um nível que impeça uma interferência antrópica perigosa
no clima do planeta. Essa convenção entrou em vigor em 1994 e conta
atualmente com 194 países (ditos “Partes”), entre os quais o Brasil (UNFCCC,
2005a).
Embora não defina a maneira de alcançar esse objetivo, a Convenção
estabelece mecanismos que dão continuidade ao processo de negociação em
torno das ferramentas necessárias para que esse objetivo seja atingido. Desde
que entrou em vigor, as Partes vêm-se reunindo periodicamente para discutir o
assunto e buscar soluções para o problema. Até o presente momento já foram
realizados nove encontros, denominados Conferências das Partes (COP/MOP).
Na terceira COP, realizada em dezembro de 1997 na cidade de Quioto, Japão,
foi estabelecido um acordo que definiu as metas de redução de GEE para os
países do Anexo B, bem como critérios e diretrizes para a utilização dos
mecanismos de mercado para atingir essa meta. Esse acordo, que ficou desde
então conhecido como Protocolo de Quioto, estabelece que as Partes do Anexo I
devem reduzir suas emissões de GEE para um nível 5,2% abaixo dos níveis
observados em 1990 no período entre 2008 e 2012 (inclusive), denominado
primeiro período de compromisso (Rocha, 2003).
A condição para que o Protocolo de Quioto vigorasse era que fosse
ratificado, aprovado ou aceito por pelo menos 55 Partes, entre as quais as
Introdução
20
Partes do Anexo I que fossem responsáveis por 55% das emissões de GEE ao
nível de 1990. Somente com a recente ratificação do Protocolo pela Federação
Russa ultrapassou-se esse percentual, havendo hoje um total de 141 países,
responsáveis conjuntamente por 61,6% das emissões. O Protocolo de Quioto
passou, assim, a vigorar em 16 de fevereiro de 2005 (UNFCCC, 2005b).
1.3.1.
Comércio de Emissões
O Protocolo de Quioto estabelece, como complementação às medidas e
políticas domésticas a serem tomadas pelas Partes do Anexo I, mecanismos de
mercado que permitem que a redução das emissões e/ou o aumento da
remoção de CO2 por elas sejam, em parte, obtidos além de suas fronteiras
nacionais, através da criação e transferência de direitos de emissão entre
países. Esse conceito é comumente chamado de Comércio de Emissões
(Emission Trading).
O Comércio de Emissões é um conceito econômico que já existe há algum
tempo e se provou eficiente em minimizar os custos de redução em vários
regimes de mitigação de poluição, principalmente nos EUA. Sob esse regime, de
maneira a evitar penalizações, uma entidade deve guardar Permissões de
Emissão (Emission Allowances) ou equivalentes iguais a sua emissão total do
poluente regulado para cada período de compromisso. Permissões de Emissão
são criadas tanto pela entidade reguladora (p.ex. o governo) ou por atividades
que reduzam emissões ou ambos. A quantidade total de Permissões de Emissão
em circulação é limitada pela legislação de modo a manter o nível de emissões
em seu valor alvo. Permissões de Emissão criadas pela entidade reguladora são
distribuídas aos emissores por concessão, leilão ou ambos. Uma vez
inicialmente alocadas ou criadas, as Permissões de Emissão tornam-se
commodities: podem ser compradas, vendidas, transacionadas ou poupadas
para uso futuro. Elas podem até ser retiradas de circulação para criar um
benefício ecológico.
O Protocolo de Quioto diferencia três mecanismos de mercado, todos
comumente chamados de comércio de emissões:
2
Os países dos Anexos I e B estão listados no Apêndice D.
Introdução
•
Comércio Internacional de Emissões;
•
Implementação Conjunta; e
•
Mecanismos de Desenvolvimento Limpo.
21
Dentre esses mecanismos somente o MDL permite a participação de
países não-Anexo I como, por exemplo, o Brasil. Convém ressaltar que o MDL
surgiu de uma proposta brasileira (Brasil, 2002).
1.3.2.
Comércio Internacional de Emissões (CIE)
Representa uma transação básica de compra e venda entre países do
Anexo B. Direitos de Emissão poderão ser transferidos entre múltiplas entidades
em fundos comuns (pools) nacionais de Permissões de Emissões (AAU –
Assigned Amount Unit). Os AAUs são divisões transacionáveis das quotas
máxima de emissões de cada país, que cairiam ou subiriam de acordo com cada
transação feita nesse mercado. Somente países Anexo I com limitações de
permissão de emissões e comprometimentos de redução inscritos no Anexo B
do Protocolo podem participar desse tipo de comércio.
1.3.3.
Implementação Conjunta (IC)
Adicionalmente à aquisição de direitos de emissão através do CIE, as
entidades podem criar Unidades de Emissões Reduzidas (UER) desenvolvendo
e financiando projetos de redução de emissões e sumidouros em outros países
Anexo B. A isto o Protocolo de Quioto se refere como Implementação Conjunta.
Funcionalmente, UERs de projetos de IC representam porções ganhas dos pools
nacionais de AAUs. UERs podem ser usadas por uma entidade adquirente para
alcançar suas obrigações ou podem ser transferidas para outra entidade através
do Comércio de Emissões. UERs de projetos de IC não alteram o volume bruto
de emissões permitidas entre Partes, mas representam uma maneira de criar
incentivos para acelerar a implementação de projetos de redução de emissões
Introdução
22
através do Comércio de Emissões. Espera-se que projetos desse tipo sejam
implementados em países da Europa Oriental com economias em transição.
1.3.4.
O Mecanismo de Desenvolvimento Limpo (MDL)
A única maneira pela qual os limiares das obrigações de cada país do
Anexo B podem ser aumentados é através do uso de Mecanismos de
Desenvolvimento Limpo. Através deles, as entidades podem criar Certificados de
Emissões Reduzidas (CER) desenvolvendo e financiando projetos que reduzam
as emissões em países não-Anexo B. Esses países, por sua vez, usariam o MDL
para promover seu desenvolvimento sustentável.
O objetivo final de mitigação de GEE seria alcançado através da
implementação de atividades de projeto (project activities) em países em
desenvolvimento que resultassem na redução da emissão de GEE ou no
aumento da remoção de CO2 (seqüestro de carbono). Os projetos de MDL
seriam divididos nas seguintes modalidades:
•
Substituição de fontes de energia fósseis por fontes renováveis;
•
Racionalização do uso da energia; e,
•
Florestação3 e reflorestamento4.
A maioria dos projetos de seqüestro de carbono (carbon sequestration)
encontra-se nessa última modalidade.
3
Em inglês: afforestation. Conversão em floresta, direta e induzida pela ação
humana, de terra que não tenha sido ocupada por floresta há pelo menos 50 anos,
através de plantio, semeadura e/ou promoção induzida de fontes de semeadura naturais
(UNFCCC, 2002).
4
Em inglês: reforestation. Conversão em floresta, direta e induzida pela ação
humana, através de plantio, semeadura e/ou promoção induzida de fontes de semeadura
naturais, de terra que foi florestada, mas que foi convertida em terra não-florestada
(UNFCCC, 2002).
Introdução
23
1.3.5.
Atividades de Uso da Terra, Mudança no Uso da Terra e Florestas
As Atividades de Uso da Terra, Mudança de Uso da Terra e Florestas
(LULUCF – Land-Use, Land-Use Change and Forestry), também chamadas de
sumidouros de carbono (carbon sinks) ou de atividades de seqüestro de
carbono, são atividades que podem fornecer uma forma relativamente simples e
de baixo custo para combater o aquecimento global, seja por meio de acréscimo
nas remoções de CO2 pelos sumidouros (p.ex., pela plantação e gerenciamento
de florestas) ou pela redução das emissões (p.ex. freando o desmatamento e
combatendo as queimadas).
Numa escala global, as principais práticas de LULUCF e de gerenciamento
florestal que resultam em emissão e absorção de CO2 são (Houghton, 1996):
•
Mudanças em florestas e outros estoques de biomassa florestal;
•
Conversão de florestas e pastagens; e
•
Abandono de terras férteis, pastagens e outros tipos de terra cultivada.
A 9a COP (Milão, 2003) reconheceu projetos de florestação e de
reflorestamento como atividades de LULUCF como estando dentro do contexto
do MDL e definiu procedimentos para guiar essas atividades. Dentro desse
conjunto de atividades encontra-se o plantio e cultivo de florestas para extração
de subprodutos florestais, como por exemplo madeira e celulose, funcionando
como um sumidouro de carbono.
A criação de um mercado internacional para CERs como forma de
implementar os objetivos de mitigação de emissões de GEE firmados no
Protocolo de Quioto e a inserção de projetos de LULUCF na categoria dos MDL
dá origem a um novo fator a ser levado em consideração na avaliação
econômica de projetos dessa natureza.
No caso do cultivo de eucaliptos para a extração de madeira, objeto de
estudo dessa dissertação, a entidade administradora da floresta receberia, em
adição à receita obtida com a venda da madeira ao final do ciclo de cultivo, um
fluxo de CERs ao longo do período de crescimento da floresta como recompensa
pelo
CO2
absorvido.
Esses
certificados
seriam
transacionáveis
e
Introdução
24
corresponderiam a uma receita adicional que alteraria o valor econômico da
floresta e influenciaria o momento ótimo de desbaste das árvores.
É de se esperar que, tudo o mais constante, uma receita adicional
aumente o valor econômico da atividade florestal. Porém, havendo incerteza
quanto ao preço futuro do produto florestal em questão, a influência exata desse
fluxo de receitas na determinação do valor do empreendimento e da idade ótima
de corte das árvores não é tão óbvia. Dependendo da cotação da madeira no
mercado, pode ser economicamente mais vantajoso aguardar e receber os
CERs, caso o preço esteja muito baixo, ou iniciar o desbaste imediatamente,
caso esteja num patamar mais favorável ou acima dele. Havendo esse tipo de
incerteza, os métodos tradicionais de avaliação econômica de projetos por fluxo
de caixa descontado (VPL e TIR) mostram-se inadequados pois não conseguem
avaliar corretamente todas as fontes de valor do projeto. Segundo Morck,
Schwartz e Stangeland (1989), essas técnicas tradicionais de avaliação
baseiam-se no pressuposto de que os fluxos de caixa futuros seguem um padrão
rígido e por isso podem ser previstos até um futuro distante. Com base nessas
previsões de fluxos de caixa o projeto é então aceito ou rejeitado. A incerteza e
as reações gerenciais às mudanças de cenário são consideradas muito
superficialmente através da escolha de taxas de desconto ajustadas ao risco e
criando-se alguns cenários determinísticos.
A Teoria de Opções Reais (TOR) surge como uma metodologia de
avaliação de projetos que permite calcular esse valor de forma mais realista e
rigorosa, permitindo a quantificação do valor adicionado pela flexibilidade
gerencial num ambiente de incertezas. Segundo Dixit e Pindyck (1994), um
projeto de investimento irreversível se assemelha a uma opção de compra, na
qual o detentor da opção tem o direito de, numa (ou até uma) determinada data,
exercer a opção e receber em troca um determinado ativo. Analogamente, uma
empresa que detenha uma oportunidade de investimento possui a opção de
investir agora ou futuramente, recebendo em troca um ativo com determinado
valor, que são os fluxos de caixa futuros gerados pelo projeto.
Introdução
25
1.4.
Antecipação de Alguns Resultados
É de se esperar que a produção por parte da floresta de um ativo ou
commodity adicional venha a incrementar seu valor econômico. Aumentando seu
valor econômico, o abandono da atividade florestal frente a baixas sucessivas no
preço da commodity principal (madeira) deve tornar-se menos freqüente, haja
vista que a commodity secundária (CERs) permaneceria sendo produzida e
gerando receita.
A influência sobre a idade ótima de corte das árvores deve ser no sentido
de aumentá-la, ou seja, postergar o momento ótimo para derrubá-las. Se
relaxarmos as exigências técnicas quanto à idade ótima de corte do eucalipto
para a produção de celulose ou de madeira para construção, que fixam essa
idade em torno de 7 ou 14 anos para as espécies cultivadas no Brasil, permitindo
um adiamento ou adiantamento dessa, a tendência deve ser a de o explorador
da atividade florestal aguardar durante uma conjuntura de preços desfavorável
para a produção de madeira, espera essa que seria remunerada pela receita
gerada pelos CERs.
Menos intuitiva talvez seja a influência sobre a idade ótima do uso feito da
madeira. Dependendo do destino a ser dado a esse produto (construção,
movelaria, celulose, carvão) o carbono presente em sua composição pode ficar
armazenado (seqüestrado) indefinidamente ou pode retornar à atmosfera,
totalmente ou em parte. Esse retorno pode-se dar a partir da decomposição ou
da queima do produto. Podemos imaginar que, sendo a decomposição um
processo lento e que pode levar vários anos, o retorno à atmosfera através
desse processo (sob a forma de CO2 e CH4) seria lento. A queima da madeira,
por outro lado, causaria liberação imediata de todo o carbono armazenado.
Ainda, se imaginarmos uma situação em que a madeira é utilizada para a
produção de móveis, que serão mantidos por décadas, não ocorreria essa
emissão de CO2 e o carbono permaneceria permanentemente armazenado.
Introdução
26
1.5.
Relevância para o País
Por não pertencer ao grupo de países do Anexo B, o Brasil encontra-se
dispensado de reduzir suas emissões de GEE. Ao mesmo tempo, o país reúne
condições extremamente favoráveis para a implementação de projetos de MDL,
como por exemplo:
•
O uso de biocombustíveis como o etanol e o biodiesel;
•
O aproveitamento do bagaço de cana como combustível para as
caldeiras no refino do açúcar, substituindo o diesel, e do vinhoto, rejeito
da produção do álcool que outrora poluía rios, como fertilizante em
substituição aos fertilizantes químicos;
•
Potencial ainda não totalmente explorado de uso das energias solar e
eólica;
•
O Brasil possui 40% de sua energia proveniente de fontes renováveis,
frente a uma média mundial de 14% e, entre os países industrializados,
de 6%;
•
A ainda enorme cobertura vegetal de floresta nativa e as maiores
produtividades florestais do mundo.
Salienta-se que das 16 metodologias já aprovadas em projetos propostos
por países em desenvolvimento para participar do comércio de CERs, 5 foram
apresentadas por empresas do Brasil, que é considerado o país de maior
potencial na América Latina. Além disso, o primeiro e, até o momento, único
projeto aprovado no mundo para registro nesse mercado é brasileiro: trata-se da
Nova Gerar, joint-venture da S.A. Paulista com a EcoSecurities, que usa gás
produzido por aterro sanitário para gerar energia.
Dentre os tipos de projetos de MDL listados acima, no último deles se
enquadra o cultivo de eucaliptos para a produção de celulose. O Brasil detém a
liderança mundial nesse setor, possuindo a maior área plantada de eucaliptos no
mundo (mais de 3 milhões de hectares) além de ser o maior produtor mundial de
celulose de eucalipto (cerca de 6,3 milhões de toneladas por ano) e de ter a
maior produtividade média (40m3/ha por ano). As indústrias brasileiras que usam
o eucalipto como matéria-prima para a produção de papel, celulose e demais
Introdução
27
derivados da madeira representam 4% de nosso PIB, 8% das exportações e
geram 150 mil empregos (MCT, 2003).
Com a recente ratificação do Protocolo de Quioto pela Federação Russa,
em novembro de 2004, atingiu-se o patamar necessário para que o Protocolo
entrasse em vigor, o que se deu em 16 de fevereiro desse ano. Vendo que a
perspectiva de um mercado mundial de créditos de carbono vem-se tornando
cada vez mais real, a BM&F, em convênio com o Ministério do Desenvolvimento,
Indústria e Comércio Exterior (MDIC), lançou o Mercado Brasileiro de Reduções
de Emissões (MBRE), com previsão para entrada em operação ainda esse ano.
O MBRE está sendo desenvolvido em parceria com a FGV, que já possui uma
proposta de especificação para esse mercado.
Atualmente, as transações com créditos de carbono nos mercados já
existentes se aproximam de US$ 1 bilhão por ano e estima-se que em 2007 o
valor do mercado global desses créditos totalize US$ 13 bilhões. A expectativa
do MDIC é que, em prazo relativamente curto, esse mercado no Brasil chegue a
US$ 2 ou 3 bilhões (BM&F, 2004a). Existem atualmente diversas iniciativas
regionais para consolidar o mercado de reduções de emissão de CO2
equivalente5 e, haja vista as suas diversas vantagens competitivas, o Brasil tem
todas as condições necessárias para crescer dentro desse novo mercado e com
isso promover seu desenvolvimento econômico de maneira sustentável. Aliado a
isso, a escolha da Bolsa de Valores do Rio de Janeiro (BVRJ) como sede desse
mercado eletrônico contribuirá para a revitalização dessa instituição e,
conseqüentemente, para o desenvolvimento da economia do Estado do Rio de
Janeiro.
5
Rocha (2003) descreve as principais bolsas de negociação de CERs no mundo.
Base Teórica
2
Base Teórica
Esse capítulo fornece o embasamento teórico aos capítulos que se
seguem.
2.1.
Processos Estocásticos
Uma variável segue um processo estocástico quando ela se desenvolve ao
longo do tempo de maneira parcialmente ou totalmente aleatória, mas de acordo
com regras de probabilidade bem definidas, de maneira que previsões futuras
podem ser expressas somente em termos de distribuições de probabilidades.
Mais formalmente, um processo estocástico é definido por uma lei de
~
probabilidade para a evolução da variável X no tempo. Então, para os instantes
t1 < t2 < t3 dados, podemos calcular a probabilidade de os valores
~ ~
~
correspondentes X 1, X 2 e X 3 estarem em um intervalo específico, por exemplo
~
~
prob( a1 < X 1 b1, a2 < X 2
b2, ... ). Quando chegar o instante t e observamos o
~
real valor de X 1 , poderemos condicionar a probabilidade de futuros eventos a
esta informação.
Os processos estocásticos são classificados como:
•
Estacionários ou não-estacionários, conforme suas propriedades
estatísticas (média e variância) forem constantes ou não no tempo;
•
Em tempo discreto ou contínuo, conforme as mudanças de valor da
variável se derem em determinados momentos ou a todo instante;
•
De estado discreto ou contínuo, conforme os valores assumidos pela
variável pertencerem a um conjunto discreto ou contínuo.
Base Teórica
29
2.1.1.
Propriedade e Processo de Markov
~
Uma variável estocástica X t possui a Propriedade de Markov quando a
~
~
distribuição de probabilidades de X t +1 depende somente de X t (isto é,
independe do que ocorreu antes do instante t). Isso quer dizer que somente a
informação atual que temos sobre a variável será útil para prevermos o valor que
ela terá no futuro. Em outras palavras, o caminho seguido pela variável até
~
chegar ao estado X t não é relevante. Em termos matemáticos:
)
(
(
~ ~
~
~
~
~ ~
prob X t +1 X 0 = x 0 , X 1 = x1, X 2 = x 2 ,..., X t = x t = prob X t +1 X t = x t
)
(1)
Um processo que satisfaz à propriedade de Markov é chamado de
Processo de Markov.
2.1.2.
Processo de Wiener ou Movimento Aritmético Browniano (MAB)
O movimento browniano recebe esse nome de seu descobridor, o botânico
escocês Robert Brown, que em 1827 observou e descreveu esse tipo de
movimento irregular ao observar grãos de pólen suspensos em água. Essa
descoberta, aparentemente trivial, revelou-se de extrema importância na física e
culminou com sua explicação completa e rigorosa por Albert Einstein em 1905.
Alguns anos após o trabalho de Einstein, o matemático americano Norbert
Wiener provou que a trajetória browniana entre dois pontos quaisquer possuía
comprimento infinito. Diz-se que essa trajetória é “patológica”, ou seja, é uma
curva contínua mas que não possui derivada contínua em nenhum de seus
pontos.
Seja z~(t ) um processo de Wiener. Então, qualquer mudança em z~ , isto é,
dz~ , correspondente ao intervalo de tempo dt, possuirá as seguintes
propriedades:
Base Teórica
i.
30
A mudança na variável z~ em um pequeno intervalo de tempo dt é
dada por dz~ = ε~t dt , onde ε~t
é uma variável aleatória com
distribuição normal padrão, isto é, ε~t ~ N(0,1);
ii.
A variável aleatória ε~t é serialmente descorrelacionada, isto é, para
dois intervalos distintos t ≠ s, E (ε~t ε~s ) = 0 ;
iii.
dz~ é um processo de Markov de tempo contínuo.
Da primeira propriedade deduz-se que dz~ possui distribuição normal com
média 0 e variância dt, isto é, dz~ ~ N (0, dt ) . Pode-se observar que a variância
de um processo de Wiener aumenta linearmente com o intervalo de tempo.
A segunda propriedade nos permite afirmar que um processo de Wiener
possui incrementos independentes e é, portanto, um caso particular de processo
de Markov. Não havendo correlação entre dois valores da variável ε em instantes
de tempo distintos, então também não haverá correlação entre os respectivos
valores de dz~ . Ou seja, os valores de dz~ para quaisquer dois intervalos
diferentes são independentes, de modo que z~(t ) segue um processo de Markov.
2.1.3.
Processo de Wiener Generalizado ou Movimento Browniano com
Drift
O processo de Wiener pode ser generalizado em processos mais
complexos. A mais simples generalização é o movimento browniano com drift:
dx~ = α ⋅ dt + σ ⋅ dz~
(2)
onde x é a variável que segue o processo de Wiener generalizado, α e σ são
constantes, dt é o incremento de tempo e dz~ é o incremento de Wiener. A
constante α é chamada de parâmetro de drift e implica uma taxa de crescimento
temporal (drift rate) em x~ de α por unidade de tempo. O termo σ ⋅ dz~ representa
a incerteza do caminho percorrido por x~ e a constante σ é chamada de
parâmetro de variância ou volatilidade. Pode-se notar que o processo de Wiener
Base Teórica
31
nada mais é que um caso particular do processo generalizado, no qual as taxas
de drift e variância são iguais a zero e um, respectivamente.
Em um intervalo de tempo dt, a mudança na variável x~ , denominada dx~ ,
possui
distribuição
normal
com
média
αdt e variância σ2dt, isto é,
dx~ ~ N (αdt ,σ dt ) . Tanto a média como a variância aumentam linearmente com
o intervalo de tempo.
2.1.4.
Movimento Browniano Generalizado ou Processo de Itô
O movimento browniano generalizado ou processo de Itô nada mais é do
que uma generalização do movimento browniano com drift na qual os
parâmetros de drift e variância podem variar no tempo. É dado pela seguinte
equação:
dx~ = α ( x, t ) ⋅ dt + σ ( x, t ) ⋅ dz~
(3)
onde d~
z é um incremento de Wiener e α(x,t) e σ(x,t), agora funções conhecidas
e determinísticas do estado atual x~ e do tempo t, são denominados taxa de
crescimento esperado instantâneo e variância instantânea do processo de Itô.
O processo de Itô possui média dada por α ( x, t ) ⋅ dt e variância igual a
(
)
σ 2 ( x, t ) ⋅ dt , isto é, dx~ ~ N α ( x, t )dt , σ ( x, t ) dt .
2.1.5.
Movimento Geométrico Browniano (MGB)
Trata-se de um caso particular do processo de Itô no qual α(x,t)= αx e
σ(x,t) = σx, α e σ constantes. Substituindo na eq. (3):
dx~ = αx ⋅ dt + σx ⋅ dz~
Dividindo-se o MGB por x o resultado é um MAB:
(4)
Base Teórica
32
dx~
= α ⋅ dt + σ ⋅ dz~
x
(5)
Ou seja, as variações proporcionais de x (i.e., dx~ / x ) possuem distribuição
normal pois se trata de um MAB. Portanto, se ln(x) tiver distribuição normal, x
terá distribuição lognormal. A média e a variância do MGB são respectivamente
(
2
)
x 0 e αt e x 02 e 2αt e σ t − 1 , onde x0 é o valor de x em t=0.
2.1.6.
Processo de Reversão à Média ou de Ornstein-Uhlenbeck
Movimentos brownianos tendem a divergir de seus pontos iniciais. Essa
característica pode ser verdade para algumas variáveis econômicas, como
preços de ativos de especulação, mas não o é para commodities como o
petróleo, por exemplo, cujo preço estaria relacionado a seu custo marginal de
produção de longo prazo. Assim, enquanto no curto prazo poder-se-ia modelar o
preço do petróleo como um MGB, tal modelagem não seria apropriada em
análises de longo prazo. Nesse caso, um modelo mais apropriado para o preço
do petróleo seria um processo de reversão à média, cuja forma mais simples é
dada pela equação:
dx~ = η (x − x )dt + σdz~
(6)
onde η é a velocidade de reversão, x é o nível para o qual x tende a reverter, σ
é o parâmetro de volatilidade e dz~ é um incremento de Wiener.
Um processo de reversão à média é um processo de Markov, muito
embora seus incrementos não sejam independentes. Isso pode ser visto através
da eq. (6), onde se vê que a variação esperada de x depende da diferença entre
x e x. Além disso, quanto mais distante estiver x de seu valor normal x , maior
será a probabilidade de a variável retornar para x .
Sendo x0 o valor da variável x no instante t=0, o valor esperado de x em
qualquer instante futuro t é dado por x + (x 0 − x )e −ηt . Nota-se que esse valor
esperado tenderá a x para valores elevados de t. A variância de (x t − x ) , por
Base Teórica
sua vez, é dada por
33
(
)
σ2
1 − e −2ηt . Analisando a expressão, pode-se observar
2η
que para valores elevados da velocidade de reversão (η→∞) a variância do
processo tende a zero, o que significa que x nunca se desviaria de x nesse
caso. Por outro lado, caso a velocidade de reversão fosse zero (η=0), a
expressão para a variância de xt resumir-se-ia a σ2t, o que corresponde
simplesmente a um movimento browniano.
2.1.7.
Lema de Itô
Processos de Itô são processos estocásticos em tempo contínuo. Porém,
assim como processos de Wiener, não são diferenciáveis.
No entanto, haverá ocasiões onde será necessário diferenciar funções de
processos de Itô. Desenvolvido em 1951 pelo matemático japonês Kiyosi Itô, a
propriedade que ficou conhecida como Lema de Itô permite derivar qualquer
processo estocástico de uma variável que seja função de outra variável que siga
outro processo estocástico.
Seja x~(t ) uma variável estocástica que siga o processo descrito pela eq.
~
(3) e seja F ( x, t ) uma função pelo menos duas vezes diferenciável em x e uma
~
vez em t. O diferencial dF desta função é dado pelo lema de Itô:
∂F
∂F 1 2
∂ 2F
∂F ~
~
+ a( x , t )
+ b ( x, t ) 2 ⋅ dt + b( x, t )
dF =
⋅ dz
∂t
∂x 2
∂x
∂x
(7)
~
Portanto, F ( x, t ) também segue um processo de Itô com média igual a
∂F
∂F 1 2
∂ 2F
∂F
+ a( x, t )
+ b ( x, t ) 2 e variância igual a b( x, t )
∂t
∂x 2
∂x
∂x
2
.
Base Teórica
34
2.2.
Métodos Numéricos de Avaliação de Ativos
Quando métodos analíticos não são possíveis ou não são conhecidos,
existem basicamente três métodos numéricos usados para se avaliar ativos que
seguem processos estocásticos: árvores binomiais, diferenças finitas e
simulação de Monte Carlo.
2.2.1.
Modelo Binomial
Esse modelo, proposto por Cox, Ross e Rubinstein em 1979, assume que
em um intervalo de tempo dt o preço do ativo pode realizar um movimento de
alta (up) ou baixa (down) com probabilidades p e 1-p, respectivamente.
Basicamente, esse método procura discretizar o processo de neutralidade ao
risco representado pela equação diferencial parcial (EDP) de Black e Scholes
para então utilizar programação dinâmica para determinar o valor do ativo.
Figura 2: Árvore binomial de três passos.
Na figura, u e d correspondem aos fatores de subida e descida de preços,
respectivamente. S é o preço do ativo no instante t=0.
Estendendo esse método para árvores com maior número de passos,
torna-se possível representar todos os caminhos que o preço de um ativo pode
seguir ao longo do tempo. Os autores mostram em seu artigo que os parâmetros
são dados por:
Base Teórica
35
•
u = eσ
•
d = u −1
•
dt = T/n, onde n é o número de passos na árvore entre os instantes
dt
inicial e final
•
p=
e r ⋅dt − d
, se o ativo não pagar dividendos.
u −d
No caso de o ativo pagar dividendos a uma taxa contínua q, a equação
torna-se p =
e ( r −q )⋅dt − d
.
u −d
Cox, Ross e Rubinstein mostram que conforme se aumenta a discretização
do tempo (aumentando-se n), o modelo binomial converge para um MGB.
Demonstra-se também que, aumentando-se n, o resultado do método binomial
converge para a solução analítica de Black e Scholes.
Na prática, ao se construir uma árvore binomial que represente os
movimentos no preço de um ativo, procura-se escolher os parâmetros u e d
sendo conhecida a volatilidade do preço o ativo. O preço pode subir de um fator
u ou decrescer de um fator d, sendo que nesse caso (mundo real) as
probabilidades são q e 1-q, onde q é dada por q =
e µ ⋅dt − d
, sendo µ o
u −d
parâmetro de drift do MGB que descreve a trajetória do preço do ativo.
2.2.2.
Método das Diferenças Finitas
O Método das Diferenças Finitas avalia um derivativo pela resolução da
EDP obedecida por ele. Essa equação diferencial é transformada em um
conjunto de equações diferenças, as quais são resolvidas interativamente.
Para ilustrar essa abordagem, consideremos uma put americana sobre um
ativo que não paga dividendos. A EDP a que a opção em questão deve
satisfazer (equação diferencial de Black-Scholes-Merton) é:
Base Teórica
∂f
∂f
∂ 2f
1
+ rS
+ σ 2S 2
= rf
∂t
∂S 2
∂S 2
36
(8)
Divide-se o tempo de vida da opção (T) em N intervalos de tempo iguais,
cada um de cumprimento δt = T/N, resultando em um total de N+1 instantes de
tempo (0, δt, 2δt, ..., T).
Escolhe-se Smáx como sendo um valor para o preço do ativo de tal forma
que, uma vez atingido esse valor, a put não possua praticamente valor nenhum.
Dividindo o intervalo [0, Smáx]em pequenos intervalos δS = Smáx/M, obtêm-se M+1
valores para o preço do ativo igualmente espaçados entre si (0, δS, 2δS ,...,
Smáx). O valor Smáx é escolhido de modo que um desses valores seja o valor atual
do ativo.
Os instantes de tempo e os valores do ativo formam um plano composto
por (M+1)×(N+1) pontos, conforme mostra a figura 3.
Figura 3: Representação gráfica do grid do método das diferenças finitas.
Cada ponto (i,j) é uma coordenada cartesiana desse plano e corresponde
a um instante iδt e um preço jδS. A variável fi,j representa o valor da opção no
ponto de coordenadas (i,j).
Base Teórica
37
2.2.2.1.
Método das Diferenças Finitas Implícito
Para um ponto (i,j) desse plano, a derivada ∂f/∂S pode ser aproximada pela
expressão:
f i , j +1 − f i , j −1
∂f
=
∂S
2δ S
(9)
A derivada segunda em S, ∂2f/∂S2, pode ser aproximada por:
∂ 2f
∂S 2
=
f i , j +1 + f i , j −1 − 2f i , j
δS2
(10)
Para a derivada de f no tempo, ∂f/∂t, a aproximação será dada por:
f i +1, j − f i , j
∂f
=
∂t
δt
(11)
Substituindo as eq. (9). (10) e (11) na EDP (8) e dado que S=jδS, podemos
reescrever a eq. (8) como:
a j f i , j −1 + b j f i , j + c j f i , j +1 = f i +1, j
onde:
aj =
1
1
rjδ t − σ 2 j 2δ t
2
2
b j = 1 + rδ t + σ 2 j 2δ t
1
1
c j = − rjδ t − σ 2 j 2δ t
2
2
(12)
Base Teórica
38
O valor da opção (put) no instante T é max (K-ST, 0), onde ST é o valor do
ativo em t=T e K é o preço de exercício. Então:
fN , j = max [K − jδ S, 0]
j = 0, 1, ... , M
(13)
O valor da opção é K quando o preço do ativo é zero, portanto:
f i ,0 = K
i = 0, 1, ..., N
(14)
O valor da opção é igual a zero quando S=Smáx, de modo que:
f i ,M = 0
i = 0, 1, ..., N
(15)
As eq. (13), (14) e (15) definem o valor da opção nas condições de
contorno S=0, S=Smáx e t=T. Para encontrar o valor de f em todos os outros
pontos utiliza-se a eq. (12). Iniciando pelos pontos (T-δt), chega-se a um sistema
com (M-1) equações e (M-1) incógnitas:
a j fN −1, j −1 + b j fN −1, j + c j f N −1, j +1 = f N , j
j = 1, 2, ..., M-1
cujo lado direito é calculado pela eq. (13). Além disso, as eq. (14) e (15) nos dão
que fN-1,0 = K e que fN-1,M = 0.
Uma vez solucionado o sistema, cada valor de fN-1,j é comparado com (KjδS). Se fN-1,j for menor, o exercício antecipado é ótimo no instante (T-δt) e fN-1,j
será igual a (K-jδS). Repete-se esse procedimento até se determinar o valor da
opção em t=0.
2.2.2.2.
Método das Diferenças Finitas Explícito
O método das diferenças finito implícito possui como vantagem o fato de
ser robusto, isto é, de sempre convergir para a solução da equação diferencial
Base Teórica
39
conforme δS e δt tendem a zero. Porém, possui o inconveniente de que M-1
equações têm de ser resolvidas simultaneamente para calcular os valores fi,j a
partir dos valores fi+1,j. Podemos simplificar esse método assumindo que δf/δS e
δ2f/δS2 no ponto (i,j) são os mesmos no ponto (i+1,j). Nesse caso, as eq. (9) e
(10) ficam, respectivamente:
f i +1, j +1 − f i +1, j −1
∂f
;
=
∂S
2δ S
∂ 2f
∂S 2
=
f i +1, j +1 + f i +1, j −1 − 2f i +1, j
δS2
Substituindo na eq. (8) essa se torna:
a * j f i +1, j −1 + b * j f i +1, j + c * j f i +1, j +1 = f i , j
(16)
onde:
a*j =
1
1
1
− rjδ t + σ 2 j 2δ t
1 + rδ t
2
2
b*j =
1
1 − σ 2 j 2δ t
1 + rδ t
c *j =
1
1
1
rjδ t + σ 2 j 2δ t
1 + rδ t 2
2
(
)
A essa abordagem dá-se o nome de Método das Diferenças Finitas
Explícito. Como as condições de contorno são as mesmas tanto no método
implícito como no explícito, os valores da opção em t=T já são conhecidos e os
valores em (T-δt) serão obtidos através da eq. (16), e assim recursivamente até
t=0.
Apesar de mais simples que o método implícito, o método explícito nem
sempre converge para a solução da equação diferencial, dependendo dos
intervalos δS e δt empregados. Uma condição suficiente para assegurar a
estabilidade do método é escolher δ t ≤
1
.
σ M2
2
Base Teórica
40
2.2.3.
Simulação de Monte Carlo (SMC)
Esse método usa a avaliação neutra ao risco. O payoff esperado em um
mundo neutro ao risco é calculado usando-se uma amostragem aleatória
repetida a partir das distribuições de probabilidade de cada uma das variáveis de
entrada que determinam o fluxo de caixa, que é então descontada à taxa livre de
risco, obtendo-se assim uma distribuição de probabilidades ou um “perfil de
risco” do VPL.
Considerando um derivativo que dependa de uma única variável de
mercado S que gera um payoff no instante T e assumindo que as taxas de juros
são constantes, podemos valorar o derivativo da seguinte maneira:
1. Gerar uma amostra aleatória para valores de S em um mundo neutro
ao risco.
2. Calcular o payoff do derivativo.
3. Repetir os passos 1 e 2 pra se obterem várias amostras de valor para
o payoff do derivativo em um mundo neutro ao risco.
4. Calcular a média dos payoffs para se obter uma estimativa do payoff
esperado em um mundo neutro ao risco.
5. Descontar o payoff esperado à taxa livre de risco para se obter uma
estimativa do valor do derivativo.
Por exemplo, supondo que a variável de mercado siga um processo, em
um mundo neutro ao risco, dado por:
dS = µ̂S ⋅ dt + σ S ⋅ dz
(17)
onde dz é um incremento de Wiener, µ̂ é o retorno esperado em um mundo
neutro ao risco e σ é a volatilidade. Para simular o caminho percorrido por S,
divide-se a vida do derivativo em N intervalos curtos de cumprimento δt e a
equação (17) aproximada fica:
S(t + δ t ) − S(t ) = µˆS(t )δ t + σ S(t )ε δ t
(18)
Base Teórica
41
onde S(t) representa o valor de S no instante t e ε, uma variável aleatória com
distribuição normal padrão. A eq. (18) nos permite calcular o valor de S em
qualquer instante de tempo. Outra maneira de se simular o caminho percorrido
por S é através da expressão:
S(t + δ t ) = S(t ) ⋅ e
µˆ −
σ2
2
δ t +σ ε δ t
(19)
A simulação de Monte Carlo é particularmente adequada para opções que
dependam de múltiplas variáveis de estado ou opções que dependem do
caminho percorrido pela variável S, que pode seguir qualquer processo
estocástico. A precisão dos resultados da SMC pode ser melhorada
aumentando-se o número de simulações, porém a um custo computacional mais
alto.
Base Teórica
42
2.3.
Técnicas de Otimização Dinâmica sob Incerteza
Existem dois métodos matemáticos para resolução de modelos de opções,
sejam elas financeiras ou reais: programação dinâmica e análise de direitos
contingenciais. Ambos estão intimamente relacionados e levam a resultados
idênticos em várias situações, mas partem de pressupostos diferentes quanto ao
mercado financeiro e às taxas de desconto que as firmas usam para descontar
seus fluxos de caixa. Enquanto na programação dinâmica a taxa de desconto
exigida pelo ativo é a taxa de retorno ajustada ao risco, na análise de ativos
contingentes usa-se a taxa livre de risco (risk-free rate) obtida junto ao mercado
de capitais, o que dá um tratamento menos subjetivo à taxa de desconto. Por
outro lado, o método dos ativos contingentes parte da premissa de existência de
mercados completos, ou seja, mercados onde o número de estados possíveis é
menor ou igual ao número de ativos negociados.
2.3.1.
Programação Dinâmica
O método da programação dinâmica é uma ferramenta genérica e é usado
principalmente para avaliar ativos não replicáveis ou situações onde o mercado é
incompleto. Esse método divide uma seqüência de decisões em apenas duas
componentes: a decisão imediata e uma função de valoração que engloba as
conseqüências de todas as decisões subseqüentes. No caso de o horizonte de
planejamento ser finito, a última decisão a ser tomada no fim desse horizonte
pode ser encontrada usando-se técnicas tradicionais de otimização estática. A
solução encontrada fornece a função de valoração a ser usada na avaliação da
penúltima decisão, e assim sucessivamente até o instante inicial. Esse método
pode ser usado também em horizontes de planejamento infinito, característica
que parece dificultar o problema mas que é simplificada pelo fato de que cada
decisão tomada leva a outro problema semelhante ao original. Isso não apenas
facilita a solução numérica do problema como também por vezes torna possível
obter uma caracterização teórica da solução e, em algumas situações, até
mesmo uma solução analítica.
Base Teórica
43
A programação dinâmica pode ser representada essencialmente pela
seguinte equação, conhecida como Equação de Bellman ou Equação
Fundamental da Otimalidade:
Ft ( x t ) = max π t ( x t , u t ) +
ut
1
E [Ft +1 ( x t +1 )]
1+ ρ
(20)
onde:
•
xt = variável de estado no instante t;
•
ut = variável de decisão no instante t;
•
ρ = taxa de desconto (variável exógena);
•
Ft(xt) = valor da oportunidade de investimento no instante t;
•
πt(xt,ut) = lucro imediato no instante t;
•
E[Ft+1(xt+1)] = valor de continuação (valor esperado no instante t dos
fluxos de caixa futuros a partir do instante t+1.
Em suma, o primeiro termo do lado direito da eq. (20) é o lucro imediato e
o segundo termo constitui o valor de continuação. A ação ótima no instante t é
aquela que maximiza a soma desses dois componentes.
Como afirmam Dixit e Pindyck (1994), a idéia por trás dessa equação é
formalmente expressa no Princípio da Otimalidade de Bellman: “Uma política
ótima tem a propriedade de, qualquer que seja a ação inicial, as escolhas
remanescentes constituírem uma política ótima no que diz respeito ao
subproblema iniciado no estado que resulta das ações iniciais.”
Em tempo contínuo, após alguma manipulação algébrica, a equação de
Bellman toma a seguinte forma:
ρ ⋅ F ( x, t ) = max π ( x, u, t ) +
u
1
E [dF ]
dt
(21)
Ou seja, para um investidor que mantenha o ativo de valor F(x,t) por um
curto intervalo de tempo, o fluxo de benefícios imediato junto com o ganho
esperado de capital produzem uma taxa de retorno total igual a ρ. Isso fica mais
claro ao reescrevermos a eq. (21):
Base Teórica
ρ=
π ( x, u, t )
F
44
+
E [dF ] / dt
F
que assim é escrita como a fórmula de Gordon: K 1 =
(22)
D1
+g.
P0
A taxa de desconto, na prática, pode ser interpretada como o custo de
oportunidade do capital, devendo ser igual ao retorno que o investidor poderia
ganhar em outra oportunidade de investimento de igual risco.
2.3.2.
Direitos Contingenciais (Contingent Claims Analysis)
O método da análise de direitos contingenciais é usado em situações de
mercado completo ou para ativos replicáveis e seus fundamentos vêm da teoria
de finanças. Um projeto de investimentos é definido como um fluxo de custos e
benefícios que variam no tempo e que dependem do desdobramento de eventos
futuros incertos. Uma firma que possua o direito a uma oportunidade de
investimento ou a um fluxo de lucros operacionais de um projeto já completado
possui um ativo que tem valor. Supõe-se que uma economia moderna possua
mercados para os mais variados tipos de ativos, com riscos e retornos os mais
diversos. No caso de esse projeto ser um desses ativos transacionados no
mercado, ele terá um preço de mercado conhecido e determinado pelo equilíbrio
entre oferta e demanda desse mercado. Além disso, mesmo ele não sendo
negociado no mercado, como essa metodologia parte da hipótese de mercado
completo, pode-se calcular um valor implícito para o ativo relacionando-o a
outros ativos, combinando-os em carteiras de modo a replicar exatamente o
retorno presente e futuro do projeto de investimento em questão (portfolio
replicante). Assim, em equilíbrio, o valor da oportunidade de investimento
(projeto) deve ser igual ao da carteira de ativos que o replica, pois qualquer
diferença entre os dois valores daria margem a ganhos de arbitragem.
O primeiro passo nesse método é montar uma carteira φ livre de risco.
Para tanto, assume-se uma posição longa (comprada) na opção de investir no
ativo (F0) e uma posição curta (a descoberto) em n posições no ativo base, cujo
preço unitário é P0. Assim, a carteira sem risco é dada por φ0 = F0 – nP0. O
Base Teórica
45
número de posições do ativo base será ajustado de maneira a neutralizar o risco
ao qual a carteira está exposta, fazendo com que seu valor no instante seguinte
independa do fato de o preço do ativo subir ou cair. Conseqüentemente, na
ausência de oportunidades de arbitragem, sua taxa de retorno será igual à taxa
livre de risco r. Essa situação é ilustrada pela figura 4.
P0
φ1+
P1+
φ1-
P1-
φ0
tempo
t=0
t=1
Figura 4: Evolução da carteira φ para dois possíveis cenários.
Aqui, φ0 é o valor inicial da carteira. Após um intervalo de tempo de um
período, dois cenários podem ocorrer: um de aumento no preço (P1+) ou um de
queda (P1-), para os quais a carteira assume os valores φ1+ e φ1-,
respectivamente. Como a carteira é livre de risco, seu valor no instante t=1 deve
ser o mesmo quer o cenário seja positivo quer seja negativo, isto é, φ1+ = φ1- = φ1.
A partir dessa relação de igualdade, a carteira é dimensionada calculando-se o
valor de n.
Isso feito, faz-se uma relação entre o lucro esperado e o lucro obtido. O
lucro esperado é dado pela remuneração da carteira, rφ0, enquanto o lucro obtido
é o ganho de capital, φ1 - φ0, mais os dividendos distribuídos pelo ativo, nrP0
(negativos, pois se trata de uma posição vendida, sendo, portanto, um custo). A
relação entre os dois lucros deve ser de igualdade de modo a não existirem
oportunidades de arbitragem. Assim:
rφ 0
remuneraçã o
= φ1 − φ 0 − n ⋅ r ⋅ P0
ganho de
capital
dividendos
(23)
Base Teórica
46
Por fim, resolve-se matematicamente essa igualdade até se obter a
equação diferencial parcial. Em seguida, devem-se estabelecer as condições de
contorno que modelam as opções.
Esse método, embora de aplicação mais restrita que o anterior, dispensa a
escolha de uma taxa de desconto ajustada ao risco do projeto, razão pela qual
se tornou um método bastante popular na área de finanças.
Opções Reais
3
Opções Reais
Esse capítulo aborda alguns aspectos da abordagem tradicional de análise
de investimentos por fluxo de caixa descontado e da teoria de opções reais.
Expõe também os principais tipos de opções reais.
3.1.
A Abordagem Tradicional – Método do Valor Presente Líquido (VPL)
Um dos tópicos mais importantes no estudo das finanças é o da análise de
investimentos. Empresas e investidores em geral estão sempre investindo em
projetos de ativos reais, sejam eles tangíveis ou intangíveis, dos mais variados
tipos. No momento de investir em um projeto, a questão que invariavelmente se
coloca é o quanto vale tal projeto. A partir dessa informação serão tomadas as
decisões de investimento.
A abordagem tradicional por fluxo de caixa descontado responde a essa
questão através da metodologia do Valor Presente Líquido. Nela, calcula-se o
valor presente dos fluxos de caixa líquidos esperados ao longo da vida útil do
projeto. A decisão de investir é tomada a partir da seguinte regra:
Se VPL > 0
Investe
Se VPL < 0
Não investe
Se VPL = 0
Indiferente entre investir ou não
No entanto, há aspectos dessa metodologia que são questionáveis. O fluxo
de rendimentos futuros, por exemplo, é suposto seguindo um padrão rígido e por
isso pode ser previsto até um futuro distante, não levando em conta as
incertezas e as ações gerenciais que serão tomadas frente a mudanças de
cenário. As incertezas são tratadas muito superficialmente através da escolha de
taxas de desconto ajustadas ao risco do projeto e as ações gerenciais, isto é, a
Opções Reais
48
flexibilidade operacional ou estratégica do projeto, não são levadas em conta.
Outra suposição implícita na metodologia do VPL é quanto à irreversibilidade do
investimento. Parte-se do princípio que os tomadores de decisão assumirão o
compromisso de seguir uma estratégia operacional estática, não importando os
desvios de cenário que porventura venham a ocorrer.
Copeland e Antikarov (2001) fazem uma analogia dessa metodologia com
uma viagem de automóvel. Suponha que se está planejando uma viagem de
carro desde Boston até Los Angeles. Qualquer motorista pegaria um mapa
rodoviário e traçaria a rota mais curta entre essas duas cidades, procurando
pegar sempre as auto-estradas para tirar proveito dos limites de velocidades
mais altos. Tudo está planejado até que se pega a estrada, quando então o
motorista se depara com um engarrafamento ou um desvio na rota principal –
tudo isso, é claro, não era esperado.
A analogia com decisões de orçamentação de capital é imediata. O valor
presente líquido lida somente com fluxos de caixa esperados, descontados a
uma taxa constante pois se assume que o risco do projeto será o mesmo ao
longo da vida do projeto. É como assumir que se pode cruzar o país usando a
rota esperada – sem engarrafamentos, sem desvios, sem tempo ruim – sem
habilidade para responder às incertezas.
Opções Reais
49
3.2.
A Abordagem de Opções Reais
Sabemos que, no mundo real, os fluxos de caixa futuros são incertos e não
seguem necessariamente nossas expectativas originais. Ao longo do tempo,
incertezas técnicas e econômicas vão-se revelando e, dependendo do projeto, o
gerente terá flexibilidade para alterar a estratégia inicial para melhor aproveitar
oportunidades que venham a surgir, ou reagir a um cenário desfavorável de
modo a minimizar perdas.
A abordagem de opções reais é capaz de quantificar o valor dessa
flexibilidade operativa e estratégica. Como afirma Trigeorgis (1996), essa
flexibilidade gerencial pode ser vista como um conjunto de opções sobre ativos
reais que agregam valor ao projeto. O gerente de projeto, que tem o direito de
realizar um investimento e com isso receber em troca um projeto, é visto como
detentor de uma opção que lhe dará o direito (mas não a obrigação) de exercê-la
no momento em que lhe for mais conveniente. A analogia com opções de
compra americanas é imediata e é sumarizada na tabela 1.
Tabela 1: Analogia entre uma opção financeira e uma opção de investir em um projeto
Opção de compra de uma ação
Opção real de um projeto
Valor da ação
Valor presente dos fluxos esperados
Preço de exercício
Valor do investimento
Tempo até o exercício
Tempo até desaparecer a oportunidade de
investimento
Volatilidade da ação
Volatilidade do projeto
Taxa de juros livre de risco
Taxa de juros livre de risco
Assim como nas opções financeiras, essa flexibilidade gerencial aumenta o
valor da oportunidade de investimento em um projeto aumentando seu potencial
de ganho, bem como limita as perdas relativamente às expectativas iniciais de
um gerenciamento passivo. Essa expansão no valor da oportunidade de
investimento é refletida em um VPL expandido (VPLE), dado pela soma do VPL
estático (VPLS), do projeto sem essa flexibilidade, com o valor da opção de
flexibilidade operacional.
Opções Reais
VPLE = VPLS + valor da opção
50
(24)
Para Amram e Kulatilaka (1999), a abordagem de opções reais possui três
componentes de uso valioso para os gerentes de projetos:
1. Opções são decisões contingenciais. Uma opção é a oportunidade de
tomar uma decisão após ver como os eventos se desdobram. Na data
da tomada de decisão, caso os eventos tenham tomado um rumo
positivo, a decisão a ser tomada é uma. Caso contrário, a decisão será
outra. Isso significa que o payoff de uma opção não é linear – ele muda
conforme a decisão tomada. Decisões fixas (não-contingenciais)
possuem payoff linear pois toma-se sempre a mesma decisão, não
importando o que acontecer.
2. Avaliações de opções estão alinhadas com avaliações do mercado
financeiro. A abordagem de opções reais utiliza informações e
conceitos tirados do mercado financeiro para avaliar payoffs complexos
de todos os tipos de ativos reais. O resultado disso é que se faz uma
comparação de “maçãs com maçãs” entre opções gerenciais,
alternativas no mercado financeiro e oportunidades de transações e
investimentos internos, como joint-ventures, licenças tecnológicas e
aquisições.
3. A abordagem de opções pode ser usada para projetar e gerenciar
investimentos estratégicos pró-ativamente. Os payoffs não-lineares
podem ser usados como ferramenta de projeto.
Opções Reais
51
3.3.
Tipos de Opções Reais
Existem diversos tipos de opções reais operacionais. Trigeorgis (1996) lista
alguns que ocorrem naturalmente nos investimentos (opções de adiar, contrair,
fechar e abandonar o investimento) e outros que podem ser planejados e
empreendidos a um custo adicional (opções de expandir e trocar de uso, por
exemplo). Os principais tipos são:
3.3.1.
Opção de Adiar o Investimento
Muitas vezes, projetos analisados com base em um determinado fluxo de
caixa esperado e uma taxa de desconto possuem VPL negativo. Porém, com o
passar do tempo, as incertezas resolvem-se e os fluxos de caixa podem assumir
valores diferentes daqueles previstos inicialmente, assim como a taxa de
desconto apropriada pode mudar. Assim, projetos que não são economicamente
viáveis inicialmente podem passar a sê-lo após certo tempo. Projetos cujo
investimento possa ser adiado possuem um valor adicional: o valor da opção de
adiar o investimento (opção de esperar).
Uma opção que dê aos gerentes de projeto o direito (porém não a
obrigação) de adiá-lo por um período para então tomarem sua decisão com base
no VPL (se positivo) possui as características de uma opção de compra (call).
Imaginemos um projeto que possua essa característica de poder ser
adiado, como, por exemplo, a concessão do direito de exploração de uma jazida
petrolífera. A empresa detentora dos direitos possui a capacidade de adiar o
início do projeto até o instante t, caso a cotação do petróleo no mercado não
esteja propícia, e assim esperar uma melhora na conjuntura econômica mundial.
Sendo Vt o valor presente dos fluxos de caixa futuros se o investimento for
realizado no instante t, a regra de decisão será:
•
Se Vt > I
Investir (VPLt > 0)
•
Se Vt < I
Não investir (VPLt > 0)
Opções Reais
52
Sendo que, não havendo investimento em t, o montante gasto pela
empresa para obter a licença será perdido.
Em suma, uma opção de adiar o investimento pode ser encarada como
uma call do valor bruto do projeto, Vt, com um preço de exercício igual ao
montante requerido para investir, I.
3.3.2.
Opção de Expandir
Uma vez iniciado um projeto, os gerentes podem ter flexibilidade para
alterá-lo de diversas formas no decorrer de sua vida útil. Podem, por exemplo,
investir em instalações com capacidade maior do que a necessária para ter a
possibilidade de aumentar a produção no futuro caso isso se torne necessário.
Pode também investir em um projeto piloto, mesmo com VPL negativo, que
servirá no futuro como ponto de partida para outros projetos. Em ambos os
casos, a oportunidade de investimento pode ser pensada como um projeto a cujo
valor está agregada uma opção de investir em outro projeto (uma call). A
existência dessa opção pode fazer com que projetos que a princípio não são
lucrativos, pelo critério do VPL estático, o sejam num momento futuro.
3.3.3.
Opção de Contrair
De modo análogo ao da opção de expandir, existe a opção de contrair o
investimento no caso de a conjuntura futura não ser favorável à atividade que se
está desenvolvendo. Essa opção real seria análoga a uma put, cujo preço de
exercício seria o valor da parte do projeto que poderia ser contraída. Esta opção
torna-se relevante em situações nas quais a demanda pelo produto a ser
produzido é incerta, podendo ser menor do que o projetado, ou em situações
onde o investimento inicial é baixo se comparado aos custos futuros de
manutenção.
Opções Reais
53
3.3.4.
Opção de Suspender Temporariamente
Uma das falhas da metodologia tradicional (VPL) é devida à suposição de
que os fluxos de caixa futuros serão suficientes para garantir a continuidade do
projeto ao longo de sua vida útil. Contudo, essa premissa revela-se pouco
realista. Podem ocorrer situações ou conjunturas de mercado que tornem o
projeto deficitário, fazendo com que as receitas não sejam suficientes para cobrir
os custos. Nesses casos, a gerência pode optar por suspender temporariamente
a produção por um certo tempo até que a conjuntura de mercado melhore e a
receita seja suficiente para cobrir os custos variáveis de produção. A operação
do projeto pode então ser vista como uma opção de comprar suas receitas,
pagando para isso os custos variáveis de operação.
3.3.5.
Opção de Abandono ou Troca de Uso
Em alguns casos a gerência tem a alternativa, caso a conjuntura de
mercado seja desfavorável e o projeto ainda não tenha chegado ao fim de sua
vida útil, de abandoná-lo por um determinado valor ou em detrimento de um uso
alternativo. O uso alternativo a ser feito abrange tanto o que será produzido
como o(s) insumo(s) usado(s) na produção. Assim, a opção de abandono ou
troca de uso comporta-se como uma put, cujo preço de exercício é o valor de
revenda do projeto ou seu valor no melhor uso alternativo existente.
Discussão de Trabalhos Anteriores
4
Esse capítulo expõe o modelo tradicionalmente usado para cálculo do
valor da terra e para a determinação da idade de corte economicamente ótima,
conhecido como fórmula de Faustmann, e cita alguns trabalhos ulteriores que
buscaram generalizar seu uso em ambientes de incerteza. Em seguida, resume
alguns trabalhos que estudam o impacto do aquecimento global na economia e
examinam as implicações dos créditos de carbono em setores afetados. Desses
trabalhos foram tirados alguns dos modelos usados nessa dissertação.
4.1.
Modelos de Determinação da Idade Ótima de Corte e Valor da Terra
A fórmula atribuída a Faustmann6, também conhecida como Valor
Esperado da Terra (VET), vem sendo usada por administradores de recursos
florestais há mais de 150 anos para calcular idades de corte economicamente
ótimas e preços máximos de terrenos descampados. Ela permite calcular o valor
de uma unidade vazia de terreno usado unicamente em exploração florestal,
sobre um horizonte de tempo infinito e com rotações de mesma duração. A
figura 5 ilustra de forma simples o modelo de Faustmann. Nela, R representa a
duração da rotação.
Figura 5: Crescimento e corte no modelo determinístico de Faustmann (Fonte: adaptado
de Buongiorno, 2001)
6
Faustmann, M. Calculation of the value which forest land and immature stands
possess for forestry. Journal of Forest Economics, v.1, p.7-44, 1995.
55
Segundo Rodriguez, Bueno e Rodrigues (1997), a fórmula de Faustmann é
dada pela seguinte relação:
VET =
P ⋅ V (R ) − c ⋅ e r ⋅t
(e r ⋅t − 1)
(25)
onde P é o preço da madeira por unidade de volume, líquido de custos de
desbaste; V(R), o
volume de madeira por unidade de área na idade R; c
corresponde ao custo de reflorestamento; e r é a taxa de desconto instantânea.
O valor esperado da terra corresponde ao valor presente da série infinita
de receitas líquidas obtidas no final de ciclos de produção florestal que se
repetirão ad infinitum. A idade de corte economicamente ótima é calculada nesse
modelo como sendo a idade que maximiza o VET. Aplicando as condições de
primeira ordem obtemos7:
V ' (R )
c
V (R ) −
P
=
r
1 − e − rt
(26)
Ou seja, o valor de VET será máximo no instante t que tornar a igualdade
acima verdadeira. Esse seria o momento ótimo de corte das árvores.
Trata-se de um modelo puramente determinístico, tanto em seus
parâmetros biológicos quanto econômicos. A taxa de crescimento das árvores é
suposta conhecida, bem como todos os preços e custos envolvidos. Também é
um modelo estático no sentido de que a seqüência e o timing das decisões serão
sempre os mesmos. De maneira resumida, o modelo de Faustmann considera
que (Rodriguez, Bueno e Rodrigues, 1997):
•
o terreno será utilizado unicamente para a condução de uma série infinita
de rotações florestais idênticas;
•
o empreendedor florestal pode adquirir ou tomar emprestados recursos a
uma taxa de juros conhecida e constante ao longo do tempo;
•
a demanda por madeira é conhecida, constante e perfeitamente elástica;
7
A demonstração encontra-se no Apêndice C.
•
56
a função de produção florestal e os custos de reforma e manutenção da
floresta são conhecidos e constantes no tempo; e
•
a floresta é imediatamente reformada após o corte e os ciclos se repetem
indefinidamente, apresentando sempre os mesmos níveis de produção e
tecnologia.
Os autores demonstram que, para o caso de uma única rotação, nem
sempre a idade de corte recomendada por critérios econômicos resulta em
rotações florestais mais curtas do que a idade recomendada pelo critério
volumétrico, uma idéia bastante generalizada no meio de planejamento florestal.
Segundo os autores, sob o ponto de vista volumétrico, a idade ótima de
corte é a que resulta no maior volume anual médio ao longo de diversas
rotações. Por resultar em um volume anual médio maior do que aquele que seria
obtido se a floresta fosse cortada em qualquer outra idade, a decisão de cortá-la
quando
o
incremento
médio
anual
(IMA)
for
máximo
se
justifica.
Matematicamente, idade ótima de corte é aquela que maximiza o IMA:
max IMA =
V (t )
t
(27)
onde V(t) é o volume da floresta no instante t.
Da condição de primeira ordem obtém-se que a condição para máximo é
que:
dV (t ) V (t )
=
dt
t
(28)
ou seja, a idade ótima será o momento em que o IMA for máximo e isso se dará
quando ele for igual ao incremento corrente anual (ICA), ou seja, quando
ICA=IMA. Já do ponto de vista econômico, os autores utilizam o modelo de
Faustmann e a idade de corte economicamente ótima é aquela que soluciona a
eq. (26).
Os autores seguem analisando os casos em que as rotações ótimas
calculadas pelos dois critérios são iguais e concluem que, contrariamente à
crença comum, existirão situações nas quais a rotação economicamente ótima
57
(REO) é maior do que a rotação volumetricamente ótima (RVO). Isso ocorrerá
quando a taxa de desconto utilizada for inferior ou igual ao inverso da idade para
a qual o IMA é máximo. Esse resultado mostra uma diferença interessante entre
empreendimentos florestais em países tropicais e em países temperados. Visto
que no Brasil são comuns cultivos de eucaliptos com IMA máximo por volta dos
6 ou 7 anos, existem situações nas quais taxas de juros abaixo de 14,3% e
16,7% recomendariam REO mais longas do que as RVO. Enquanto isso, em
países de clima temperado, onde as florestas possuem crescimento mais lento,
às vezes com REO superiores a 100 anos, REO mais longas que RVO só
ocorreriam para taxas de descontos menores que 1%.
Em seguida, fazem uma análise gráfica do problema. Para representarem
as curvas de produção volumétrica V(t) eles fazem uso do modelo log-recíproco
de Schumacher 8:
V (t ) = α ⋅ e
−β
t
(29)
onde os parâmetros α e β são obtidos pelo ajuste da transformação linear do
1
modelo, lnV = ln α − β , a um conjunto de dados.
t
Buongiorno (2001) faz uma generalização do modelo de Faustmann
usando processos de decisão de Markov, admitindo que os estados futuros da
floresta e dos preços dos produtos florestais são conhecidos apenas como
distribuições de probabilidades de passagem de um estado para outro. Nesse
tipo de modelo, as leis que regem o movimento entre estados que representam
os diferentes preços possíveis são cadeias de Markov.
A formulação estocástica da fórmula de Faustmann é análoga à
formulação determinística da eq. (25) no sentido de que ela busca a seqüência
de decisões que maximize o valor descontado esperado dos rendimentos sob
um horizonte infinito, dada uma condição inicial específica. A formulação geral
da função objeto é:
8
Schumacher, F.X. A new growth curve and its application to timber yield studies.
Journal of Forestry, v.37, p.819-820, 1939.
Max V ( X 0 ) = E
dt
∞
t =0
58
r ( X t , d t )β t X 0
(30)
onde Xt representa o estado do sistema em t que, em vez de ser determinístico,
passa a ser uma variável aleatória; dt é a decisão no instante t; r é o retorno
instantâneo da decisão dado um estado específico; e β é o fator de desconto
β =(1+g)-T, no qual g é a taxa de juros e, T, o número de anos entre as tomadas
de decisão.
Segundo
esse
modelo,
as
soluções
dos
processos
de
decisão
markovianos fornecem a melhor decisão para cada estado bem como o valor da
floresta (terra e árvores), dado o estado da floresta. Dessa maneira ele incorpora
ao modelo de Faustmann a aleatoriedade, fator chave tanto na economia como
na biologia, mas que faltava àquele modelo.
Também procurando levar em consideração a incerteza na avaliação de
recursos florestais, Morck, Schwartz e Stangeland (1989) estudam o problema
da determinação da duração ótima de um investimento florestal, ou seja, o
momento ótimo de corte das árvores. Em seu modelo, consideram o preço (P) e
o estoque de madeira (I) de uma floresta de pinheiros brancos no Canadá como
variáveis estocásticas seguindo processos de Itô distintos:
~
dP
= µ P (P, t ) ⋅ dt + σ P (P, t ) ⋅ dz~P
P
~
d I = [µ I (I, t ) − q(P, I, t )] ⋅ dt + σ I (I, t ) ⋅ dz~I
(31)
(32)
onde z~P e z~I são processos de Wiener em ℜ 2 possivelmente correlacionados.
Sendo tanto o preço como o estoque de madeira variáveis estocásticas, o
problema torna-se não somente estocástico como também assimétrico. A
assimetria é devida à possibilidade de se exercer a opção de parar a produção
de madeira temporariamente se os preços estiverem desfavoráveis.
Nessa modelagem, a taxa de variação esperada nos estoques da floresta,
I,
é instantaneamente reduzida por q(P,I,t), a quantidade instantânea de
madeira produzida denominada taxa de corte. Essa taxa q é a variável de
controle ótimo estocástico e é determinada implicitamente pelo modelo junto com
59
o valor da floresta. O valor de um arrendamento florestal seria, portanto, o valor
de uma opção de derrubar as árvores no momento mais vantajoso.
Nesse mesmo contexto de incerteza quanto ao preço e ao estoque de
madeira, Levi (1996) avaliou concessões para a exploração de reservas
florestais por períodos de tempo finitos, determinando a política de controle
ótimo estocástico, isto é, o padrão de corte das árvores em função do preço da
madeira e da quantidade de madeira estocada na biomassa florestal em
determinado instante, ambos modelados como processos de Itô. Para isso, usou
como exemplo uma floresta de eucaliptos no estado do Espírito Santo, trazendo
sua análise para mais próximo da realidade brasileira.
Encarando sob outro prisma, Conrad (1997) utiliza a abordagem de valor
de uma opção para analisar a decisão de preservar uma floresta centenária em
um parque nacional nos EUA. No caso estudado, a floresta possui um estoque
de madeira e gera um fluxo de amenidades, representando a soma de vários
benefícios como habitat para a fauna local, controle de inundações e visitação. O
autor considera o volume de madeira e seu valor comercial como sendo
conhecidos e constantes, enquanto os valores futuros da amenidade gerada são
incertos e seguem um movimento geométrico browniano. O modelo também
considera o fluxo de amenidades (não observável) como sendo proporcional ao
fluxo de visitação do parque (observável), permitindo assim o cálculo dos
parâmetros de drift e volatilidade do MGB. Com isto o autor deriva soluções
analíticas para o valor da amenidade que justificaria a preservação da floresta
em detrimento de sua derrubada para comercialização de sua madeira (fronteira
crítica).
Insley e Rollins (2002) usam a abordagem das opções reais para examinar
questões de ordem práticas surgidas no gerenciamento de florestas estatais no
Canadá, com respeito a propostas de aumentar a produção de madeira através
de um gerenciamento florestal intensivo. Existindo volatilidade no preço da
madeira, o valor da floresta aumenta pois assim existirá flexibilidade quanto às
datas de desbaste, que serão determinadas com base no volume e preço da
madeira naquele instante. Os autores, então, desenvolvem um modelo de
opções reais de dois fatores para a decisão de corte considerando infinitas
rotações e modelando o preço da madeira com um processo estocástico de
reversão à média:
60
dP = η (P − P )dt + σPdz
(33)
A decisão de cortar as árvores é então formulada como um problema de
paralisação temporária, no qual o administrador deve decidir em cada período se
é preferível desbastá-las ou esperar até o período seguinte. O processo de
decisão pode ser descrito por uma equação de Bellman:
V (t , P,Q ) = Max (P − C )Q + V (t , P,0); A +
E [V (t + ∆t , P,Q )]
(1 + ρ )
(34)
onde V é o valor da oportunidade de corte; P é o preço da madeira; C
corresponde ao custo de corte por unidade; Q, ao volume total de madeira da
floresta; A é o valor da amenidade gerada pela floresta de pé (por exemplo, o
uso como área de recreação) líquido dos custos de gerenciamento por período;
e ρ é a taxa de desconto anual.
O modelo é usando, então, para calcular o valor de uma floresta
canadense assumindo total flexibilidade quanto ao instante de corte das árvores.
Os autores comparam, então, esse valor com o valor da floresta calculado
considerando-se limitações impostas pelo Estado quanto ao momento de
desbaste. Os autores fazem ainda essa análise para três diferentes níveis de
intensidade de gerenciamento florestal (extensivo, básico e intensivo).
61
4.2.
Efeito Estufa e Créditos de Carbono
Nordhaus (1991) estuda o impacto de políticas que visam a mitigar o efeito
estufa sobre a economia num cenário global idealizado para a metade do século
XXI. Seu modelo simplificado do processo de ajuste de temperatura possui a
seguinte forma:
T (t ) = α {µM (t ) − T (t )}
(35)
M (t ) = β E (t ) − δM (t )
(36)
onde T(t) é o aumento da temperatura média global na superfície terrestre
devido ao aumento na concentração de GEE; M(t) é a concentração atmosférica
antropogênica de GEE de equivalente em CO2.; E(t) são as emissões
antropogênicas de GEE também em CO2 equivalente; µ e α são parâmetros do
modelo de aquecimento; β é parâmetro relativo à emissão de CO2-equivalente; e
δ é a taxa anual de remoção de CO2-equivalente da atmosfera. Em seguida,
supõe que a economia se encontra em estado estacionário de recursos, isto é,
todos os fluxos físicos na economia global são constantes, muito embora o valor
real de atividade econômica esteja crescendo. Nesse estado, o consumo per
capita no instante t, c(t), é dado por:
[
]
c(t ) = y * e ht g (E * ) − φ (T * )
(37)
onde y* é uma constante; y*eht é o produto per capita da economia antes de
qualquer redução de emissões e sem danos ao clima; h é a taxa de crescimento
da economia; g(E) representa o custo de redução das emissões; e φ(T)
representa a função dano devido ao efeito estufa. Os asteriscos representam as
variáveis no estado estacionário (steady state).
O nível ótimo de redução de emissões nesse modelo seria dado quando:
g ' (E * ) = µβφ ' (T * )Γ
(38)
onde Γ é um fator de valor presente e é dado por Γ =
62
α
(r + δ − h )(r + α − h )
. A eq.
(38) afirma que o nível ótimo de redução de GEE ocorre quando o custo
marginal corrente de redução das emissões de GEE se iguala ao valor presente
do dano marginal devido a maiores concentrações.
Guthrie e Kumareswaran (2003) examinam a capacidade de subsídios e
taxas sobre o carbono incentivarem os proprietários de florestas a aumentarem
sua área verde e a prolongarem suas rotações, ambas atitudes que
aumentariam o armazenamento de carbono e ajudariam a mitigar as mudanças
climáticas. Os autores argumentam que, sob o Protocolo de Quioto, a
distribuição de créditos de carbono seria necessária caso se desejasse algum
tipo de incentivo. Comparam, então, três diferentes esquemas de alocação
desses créditos para esses proprietários: (i) um pagamento lump-sum, efetuado
no início da plantação e que deve ser devolvido no momento do desbaste; (ii) um
regime de fluxo, no qual os créditos seriam alocados proporcionalmente à
mudança no estoque de carbono na floresta e devolvidos no momento do corte
das árvores; e (iii) um regime de estoque, onde esses créditos seriam alocados
proporcionalmente ao estoque total de carbono da floresta, sendo que nesse
último o proprietário não precisaria devolver os créditos acumulados no momento
do corte.
Em seu modelo, os autores consideram o volume de madeira como sendo
determinístico, estando toda a incerteza concentrada no preço de mercado da
madeira, que é modelado como seguindo um processo de Itô. Em seguida,
utilizando um modelo de opções reais, eles examinam os efeitos da incerteza no
preço futuro sobre o timing dos desbastes, sobre as decisões de replantioabandono e sobre o valor da floresta. Terminam por concluir que o esquema
lump-sum, que é o mais simples, dá forte incentivo ao proprietário para não
abandonar o empreendimento em detrimento de outro uso alternativo para a
terra. No entanto, ao fazer a opção de abandono menos atrativa, isso diminui o
valor da opção de adiar o corte das árvores, levando a rotações mais breves do
que caso não houvesse créditos de carbono. Os outros dois esquemas
alocacionais (fluxo e estoque de carbono) induzem a comportamentos similares
por parte dos proprietários de terras. Sob esses esquemas, no entanto, o
replantio é adiado, diferentemente do regime lump-sum. Ambos desestimulam o
63
corte de árvores e encorajam rotações mais longas, levando a um aumento no
seqüestro de carbono.
Lambie (2002) faz uma análise, sob a luz da Teoria de Opções Reais, de
como os investimentos de firmas poluentes são afetados pela distribuição de
créditos de carbono numa política de controle de emissões de GEE. O autor usa
como exemplo uma firma australiana de geração termelétrica a carvão que deve
tomar a decisão de investir numa nova planta geradora frente a dois possíveis
cenários em relação à forma de distribuição de permissões de emissão
transacionáveis. No primeiro cenário, a firma recebe gratuitamente as
permissões de emissão necessárias; no segundo, ela é obrigada a adquiri-los a
preço de mercado. A incerteza do exemplo está restrita aos preços do insumo
(carvão) e do produto final (eletricidade).
Sohngen e Mendelsohn (2003) desenvolvem um modelo teórico de
controle para seqüestro de carbono que visa a explorar o papel potencial das
florestas na mitigação do efeito estufa. De maneira a lidar com a questão da
permanência do carbono seqüestrado, o modelo usa o preço anual de aluguel de
carbono, definido como o valor do armazenamento de uma tonelada de carbono
pelo período de um ano, no lugar do preço do carbono. Os autores mostram que,
conforme o CO2 se acumula na atmosfera, o preço de aluguel do carbono
seqüestrado deve aumentar com o tempo e, através de um modelo empírico,
mostram que o seqüestro de carbono é custoso, mas que proprietários de terras
podem seqüestrar uma quantidade substancial de CO2 simplesmente aumentado
suas áreas florestadas ou prolongando suas rotações. Os autores citam alguns
estudos que prevêem que o seqüestro de carbono por florestas corresponderia a
cerca de um terço da redução total de CO2, e que as florestas tropicais
corresponderiam a mais de dois terços dessa fração.
Cunha-e-Sá e Rosa (2004) procuram analisar o problema do proprietário
de uma floresta de eucaliptos em Portugal em determinar a lucratividade da
produção de madeira de eucalipto considerando os benefícios do seqüestro de
carbono pela floresta. Os autores frisam que, por fazer parte do Anexo B do
Protocolo de Quioto e por possuir um dos menores índices de emissões de GEE
per capita dentre os países ditos industrializados, Portugal possui grande
potencial não só para atingir suas metas de redução como também para
desenvolver atividades de implementação conjunta com outros países
desenvolvidos.
64
Para tanto, os autores analisam o efeito de taxas e subsídios aplicados no
carbono (seqüestrado ou liberado) sobre a duração ótima da rotação em
eucaliptais portugueses. Utilizam para essa análise o modelo de Faustmann
modificado de modo a introduzir o seqüestro de carbono. São feitos dois ajustes
ao modelo: primeiro, convertem a estimativa de volume de madeira
industrializável numa estimativa da biomassa florestal total; em seguida, estimam
a quantidade de carbono nessa biomassa. A percepção da mudança no estoque
de carbono torna-se, portanto, relevante para se levarem em consideração os
benefícios do seqüestro de carbono. Os autores supõem em seu modelo que
agências públicas providenciarão o pagamento de um subsídio anual pelo
volume total de CO2 seqüestrado e, analogamente, cobrarão uma taxa no
momento do desbaste igual aos custos externos do carbono lançado na
atmosfera, internalizando assim os benefícios e custos externos sob a
perspectiva dos proprietários das florestas.
O valor presente dos benefícios do seqüestro de carbono sob uma rotação
de duração T é representado por:
T
CB0 = PC α iν ' i (t )e −rt dt
(39)
0
onde νi(t) representa o volume de madeira na idade t; α é um fator que converte
de volume de madeira para volume de carbono; PC corresponde ao valor social
do carbono seqüestrado; r é a taxa de desconto; e o subscrito i considera as
várias possíveis espécies.
Seguindo a metodologia proposta por van Kooten9 et al., o custo externo
da liberação de uma unidade de carbono é subtraído do valor líquido de madeira
no instante t para a espécie i:
V0 = Piν i (t )e − rt − PC α i (1 − β i )ν i (t )e − rt
9
van Kooten, G.C; Binckley, C.S.; Delcourt, G. Effect of Carbon Taxes and
Subsidies on Optimal Forest Rotation Age and Supply of Carbon Services. American
Journal of Agricultural Economics, v.77, n.2, pp. 365-374, 1995.
(40)
65
Dependendo do uso a ser feito da madeira, a fração utilizada em estruturas
de armazenamento de longo prazo, β , poderá variar. Caso β =0, todo o carbono
será liberado de volta à atmosfera depois do corte, enquanto se β =1 não haverá
custos sociais devidos à liberação de carbono.
O valor presente dos benefícios totais, isto é, da produção de madeira e do
seqüestro de carbono sob múltiplas rotações de duração T é dado, então, por:
T
Piν i (T )e −rT − PC α i (1 − β i )ν i (T )e − rT + PC α iν ' i (t )e − rt dt
0
PV0 =
(1 − e −rT )
(41)
onde PCαi representa o subsídio anual para cada m3 de madeira acrescido ao
estoque e PCαi(1-β ) é a taxa cobrada para cada m3 de madeira desbastada.
Maximizando-se a eq. (41) com relação a T, assumindo que as condições
de segunda ordem para um máximo são válidas, obtém-se a condição de
primeira ordem da qual pode-se derivar a duração ótima para a rotação, T*:
T
G 'T =
r
G(T ) − PC α i (1 − β i )ν i (T ) + PC α iν ' i (t )e −rt dt − PC α i β iν ' i (T )
− rT
1− e
0
(42)
onde G(t ) = Piν i (t ) . Reescrevendo:
G 'T
r
=
G(T ) 1 − e − rT
+
r
1 − e −rT
T
PC α iν ' i (t )e −rt dt − PC α i (1 − β i )ν i (T ) − PC α i β iν ' i (T )
0
G(T )
(43)
ou, sob outra forma:
T
r
1− e
V 'T
r
=
+
− rT
V (T ) 1 − e
− rT
PC α iν ' i (t )e −rt dt − PC α iν i (T )
0
V (T )
(44)
66
onde V (T ) = Piν i (T )e − rT − PC α i (1 − β i )ν i (T )e − rT .
A eq. (43) esclarece o papel dos benefícios oriundos do carbono e do uso
da madeira na decisão ótima quanto à duração da rotação. O segundo termo do
lado direito da eq. (43) introduz um ”balanço de carbono”. Caso esse termo seja
negativo, isso prolongará a duração da rotação; caso contrário, a rotação será
abreviada. O resultado final dependerá tanto do valor social do carbono liberado
no instante T* como de mudanças na percepção quanto ao estoque de carbono,
também em T*. Em relação a β , para valores elevados desse parâmetro a
duração da rotação será abreviada pois o custo social da liberação de carbono
no momento do desbaste será menor.
A partir desses resultados, outra maneira de explicar o papel do carbono é
reescrevendo-se a eq. (44):
V 'T = V (T ) r − PC α
V 'T
+ rPV0
V (T )
(45)
onde V 'T = PCν ' (T ) − PC α (1 − β )ν ' (T ) , avaliado em T=T*. Essa expressão mostra
que os benefícios obtidos postergando-se o desbaste mais um período têm que
compensar o custo de oportunidade de se deixar as árvores de pé mais o custo
de aluguel do terreno. A principal diferença resultante de se introduzir benefícios
oriundos do carbono, concluem os autores, é o fato de a taxa de retorno de
investimentos florestais ter que ser ajustada como conseqüência do seqüestro
de carbono.
Os autores aplicam o modelo para florestas de eucalipto portuguesas e
concluem que, uma vez que os benefícios oriundos do carbono seqüestrado são
internalizados, obtém-se um “balanço de carbono” que afeta a escolha da
rotação ótima. Apesar de os pagamentos devidos aos benefícios do seqüestro
de CO2 criarem um incentivo ao corte prematuro, tanto o custo das emissões
como a tendência de crescimento das árvores tenderão a prolongar as rotações.
Cairns e Lasserre (2004), fixando-se no caso de atividades florestais,
argumentam que, qualquer que seja o instrumento econômico usado para
incentivar a redução de CO2 para níveis socialmente ótimos (taxas sobre
emissões ou créditos de carbono transacionáveis), torna-se necessário
67
contabilizar os efeitos do carbono atmosférico e o total de carbono assimilado
pela
floresta
(green
accounting).
Essa
contabilização
deve
levar
em
consideração o risco de destruição por incêndios florestais ou deterioração por
pragas, dois eventos que liberariam carbono de volta para a atmosfera.
Os autores, então, propõem um modelo de contabilização de carbono
fixado por uma atividade de florestação que leva em consideração o risco de
destruição por incêndio ou pragas bem como a utilização que será feita da
madeira. Com base nesse modelo, sugerem políticas a serem tomadas pelas
autoridades responsáveis pela distribuição de créditos de carbono.
Para construir esse modelo, consideram uma floresta que é continuamente
plantada, derrubada e replantada cuja n-ésima rotação foi plantada em tn
(normalizando t0=0). Essa floresta poderia tanto ser cortada num instante tn+Tn,
onde Tn é a duração da n-ésima rotação, como atacada por algum evento
destrutivo (praga ou incêndio) em t < tn+Tn. Um evento desse tipo que destruísse
completamente a floresta é modelado como um evento de Poisson com taxa ρ
suposta constante. Nesse caso, a probabilidade de a n-ésima rotação sobreviver
ao instante t seria igual a e − ρ ( t −t n ) e a probabilidade de ocorrer um incêndio no
intervalo (t, t+dt) seria ρe − ρ ( t −t n ) . No caso de uma destruição apenas parcial de
uma fração φ ∈ (0,1) da floresta, o evento seria modelada como um Poisson com
taxa π em um intervalo (t, t+dt).
Nesse modelo, a quantidade de carbono fixada na biomassa da floresta no
instante t seria dada por f(t - tn); logo, a taxa de crescimento instantânea seria
f (t − t n ) , abstraindo-se de possíveis danos parciais durante a rotação.
Sobrevivendo a floresta até a idade Tn, nesse momento ocorrerá o corte das
árvores; delas, somente uma fração λn é utilizável, enquanto a fração restante
(1-λn) será descartada transformando-se imediatamente em dióxido de carbono
(por incineração ou decomposição, por exemplo); essa fração λn é determinada
pela escolha dos insumos (redução do desperdício) e pelo mix de produtos feitos
a partir da madeira. A parte utilizável é empregada na produção de um mix de
produtos de madeira em que a proporção de cada produto i seria Γni e sua taxa
de decaimento (retorno do carbono para a atmosfera por decomposição), γni,
assumida constante. Por simplicidade, os autores optaram por considerar um
vetor de produtos unidimensional: Γni = Γ = 1 e γni = γn.
68
O estoque de carbono em uma floresta é um tipo de capital, enquanto
fluxos como f(t) são um tipo de investimento. Nesse contexto, os autores
consideram duas maneiras possíveis de se avaliarem os créditos de carbono em
um instante t ≥ 0, dado o valor de uma emissão como sendo p(t): o primeiro
método avalia (1) o lucro sobre e a depreciação do valor do estoque de carbono
corrente na floresta e (2) a depreciação do valor do estoque contido em produtos
florestais previamente produzidos. Isso envolveria imputar e capitalizar fluxos
futuros sob um horizonte de incertezas e então calcular as taxas de mudança
dos valores capitalizados. No caso de seqüestro de carbono, os créditos seriam
dados imediatamente pelo valor presente do carbono a ser seqüestrado por
todas as rotações futuras.
O segundo método, teoricamente igual ao primeiro porém muito mais
simples, envolve medir apenas os fluxos correntes de valor (lucro sobre e
depreciação dos estoques) a preços correntes, em vez de primeiro computar os
valores do estoque (como valores presentes de fluxos avaliados a preços
futuros) e só então calcular a derivada. Seja δms, m<n, um indexador das
rotações passadas que sobreviveram até a maturidade e foram cortadas, ou
seja, δms=1 se a m-ésima rotação sobreviveu e δms=0, caso contrário.
Similarmente, seja δmp um índice das rotações nas quais houve destruição
parcial (de tal forma que δmp=0 caso não tenha havido destruição parcial). O
crédito no instante t∈(tn, tn+Tn) (i.e., nos instantes estritamente entre os cortes
planejados) é dado pela fórmula:
{[
C (t ) = p(t ) f (t − t n ) − ( ρ + πφ ) ⋅ f (t − t n )
−
n −1
]
δ ms λm f (Tm )(1 − δ mp )γ m e −γ m ( t −tm −Tm )
}
(46)
m =1
Nessa fórmula, o crédito C(t) envolve somente mudanças físicas ocorrendo
no instante t, avaliadas a preço corrente p(t) conforme determinado pelo preço
corrente das permissões de emissão.
Com base nesse modelo, os autores sugerem a seguinte política para
distribuição de créditos de carbono para atividades florestais:
69
1. Imputar um crédito de p(t ) ⋅ f (t − t n ) sobre o valor do carbono fixado
pelo crescimento real da floresta nas datas t estritamente entre cortes
planejados, nas quais a idade da floresta é t-tn.
2. Imputar um débito de p(t ) ⋅ f (t − t n ) nas datas t em que ocorrer
destruição total e um débito de φp(t ) ⋅ f (t − t n ) quando houver
destruição parcial.
3. Imputar um débito pelo valor do decaimento corrente dos produtos
florestais no valor de δ ms ⋅ f (Tm ) ⋅ λm (1 − δ mp ) ⋅ γ m ⋅ p(t ) ⋅ e −γ m (t −t m −Tm ) , em
todas as datas, para cada corte passado m<n.
4. Imputar
um
débito
discreto
pelo
valor
da
perda,
(1 − λn )(1 − δ np ) ⋅ f (Tn ) ⋅ p(t n + Tn ) , no momento do corte das árvores.
5. Não imputar nenhum crédito ou débito para culturas futuras, m>n, pois
essas não são avaliadas até que sejam realmente plantadas.
Essa política consiste, portanto, em creditar o crescimento corrente da
floresta ignorando os riscos de incêndio e pragas (item 1) e cobrar pelas perdas
devidas a fogo ou pestes no momento em que elas ocorrerem (item 2). Uma
conseqüência benéfica dessa política é que haverá incentivo para que sejam
tomadas ações de prevenção contra incêndios e pestes. Por outro lado, não há
fluxo de receitas sobre o qual a taxa devida a fogo e a pragas possa ser cobrada
da mesma maneira que o débito imputado pelas perdas em tn + Tn (item 2).
Sendo assim, o país ou a firma que fosse responsável por essa cobrança
perderia o valor das amenidades ambientais e o provável valor da madeira que
seria produzida. O fluxo de despesas discreto e súbito causado pela destruição
total ou parcial poderia ocasionar dificuldades para o país/firma, levando-os ao
mercado de capitais ou de permissões para cobrirem os custos dessa súbita
liberação de carbono. No caso de esses países/firmas serem avessos ao risco, o
risco de incorrerem em tais custos poderia reduzir os incentivos para que
investissem em projetos de seqüestro de carbono.
Contudo, observam os autores, não havendo correlação entre incêndios e
ataques de pragas, o mercado de seguros poderia desenvolver ferramentas que
70
ajudassem a cobrir esses riscos. Além do mais, o fato de as emissões de
carbono se dispersarem uniformemente na atmosfera implicaria um preço de
permissões de emissão p(t) também uniforme em nível mundial. Havendo um
preço internacional, poderia também haver um mercado internacional para esse
tipo de seguro, aumentando a competição e, portanto, a eficiência desse
mercado.
Modelo e Resultados
5
Modelo e Resultados
Esse capítulo apresenta o modelo empregado nesse trabalho, os
parâmetros utilizados e os resultados obtidos.
As simulações foram realizadas com o programa Matlab.
5.1.
Modelos Florestais
A análise em questão se concentra sobre dois produtos: a madeira e o
carbono, esse sob a forma de CO2. De maneira a se determinar o valor total da
floresta, torna-se necessário saber o valor da madeira e o valor do carbono
armazenado pela biomassa florestal. O valor da madeira é dado pelo produto
entre o volume de madeira produzida e seu preço de mercado. Já o valor do
carbono armazenado será dado pelo produto entre o volume de CO2-equivalente
seqüestrado pela floresta e seu preço no comércio internacional de emissões.
Supondo uma floresta uniforme, o volume da biomassa florestal ao longo
do tempo é determinístico e pode ser representado pela curva de crescimento de
Schumacher, conforme apresentada por Rodriguez, Bueno e Rodrigues (1997):
Yj = α ⋅ e
−β
t
(47)
onde Yj é o volume (m3/ha) de madeira comercializável de uma floresta com
idade j no instante t. Os autores supracitados obtiveram os valores de α=751,336
e β =6,0777 para este modelo em seu estudo de eucaliptais no interior do estado
de São Paulo.
A quantidade de carbono seqüestrada, Qj,C (ton/ha), é calculada a partir do
volume Yj através da relação proposta por Adger e Brown, conforme citada por
Ariste e Lasserre (2001):
Modelo e Resultados
Q j,C = Y j ⋅ γ ⋅ D ⋅ ρ
72
(48)
onde γ é um fator de correção para o fato de o volume total da biomassa ser
superior ao volume que será comercializado como madeira. Esse fator fornece a
razão entre a biomassa total (raízes, tronco, ramos e folhas) e o volume de
madeira utilizável. D é a densidade da madeira (ton/m3) e ρ é o percentual de
carbono nela presente.
Ariste e Lasserre (2001) utilizam um fator γ de 1,6 para o caso canadense.
Carvalho (2000) argumenta que valores para D próximos de 0,500 g/cm3
(ou ton/m3) estão dentro de uma faixa aceita para a produção de celulose de
eucalipto.
Segundo o Australian Greenhouse Office (AGO, 2002), aproximadamente
50% da biomassa seca do eucalipto é composta por carbono. Isso corresponde
a um fator ρ de 0,50, se supusermos que esta proporção é uniforme para todas
as partes da árvore.
O valor de uma tonelada de carbono armazenado será dado pelo valor de
mercado de um Certificado de Emissões Reduzidas (CER) para o equivalente
em CO2 seqüestrado. Para se chegar à quantidade equivalente de CO2 (ton/ha)
a partir do carbono presente na biomassa (Qj,C) usa-se a expressão:
Q j ,CO2 = Q j ,C ⋅ 3,664
(49)
onde o fator 3,664 corresponde à razão entre as massas de 1 mol de CO2
(44,01088g) e de 1 mol de carbono (12,011g).
Modelo e Resultados
73
5.2.
Modelo Teórico
O problema de exploração florestal possui três características importantes.
A primeira é o fato de as decisões serem parcialmente irreversíveis. Esta
irreversibilidade é devida ao fato de uma floresta, uma vez derrubada, levar
alguns anos para se regenerar e atingir a maturidade (no caso do eucalipto pode
levar 7 ou 14 anos, dependendo do uso a ser feito da madeira). Em segundo
lugar, trata-se de um problema estocástico. A receita que será obtida com a
extração da madeira não é conhecida uma vez que o preço desse produto oscila
estocasticamente ao longo do tempo. Paralelamente, existe também o fato de o
problema de exploração florestal ser um problema dinâmico, pois se desejam
estudar as idades ótimas de corte ao longo do tempo. Estas três características
justificam o uso da Teoria das Opções Reais para avaliar o cultivo florestal e
determinar a duração ótima das rotações.
A modelagem do problema segue aquela adotada por Ariste e Lasserre
(2001), a qual foi inspirada na de Thomson (1992). Este modelo pressupõe
válidas as seguintes hipóteses:
•
A floresta gera uma externalidade climática, isto é, o armazenamento de
CO2 pela floresta dá a ela um potencial de diminuir o nível de GEE na
atmosfera. A intensidade desta externalidade é função do volume da
biomassa florestal e, portanto, da idade das árvores;
•
O valor do benefício social da redução de CO2 da atmosfera é exógeno e
é refletido no valor de mercado dos CERs;
•
O crescimento das árvores não é afetado por elementos aleatórios;
•
O preço da madeira é estocástico e segue um movimento geométrico
browniano;
•
A floresta é explorada por sua madeira e por sua capacidade de absorver
CO2. De outra forma a exploração florestal seria abandonada após o
corte das árvores e o terreno nu seria aproveitado para um melhor uso
alternativo;
•
O horizonte de planejamento é infinito; e
•
O objeto da análise é uma floresta uniforme, isto é, um conjunto de
árvores todas da mesma espécie e com a mesma idade.
Modelo e Resultados
74
O processo estocástico do preço da madeira é dado por um movimento
geométrico browniano:
dP = µPdt + σPdz
(50)
onde P é o preço do ativo no instante t; µ é a taxa de crescimento esperado de P
(parâmetro de drift); σ representa a volatilidade de P (desvio-padrão
instantâneo); e dz é o incremento de um processo de Wiener.
Para a solução do problema será utilizado o modelo binomial de Cox, Ross
e Rubinstein (1979). Neste modelo, o processo estocástico contínuo do preço do
ativo descrito pela eq. (50) é substituído por um caminho aleatório discreto com
dois estados, u (up) e d (down), que correspondem a uma alta e uma baixa do
preço, respectivamente. Supondo que o preço inicial do ativo é P, no instante
seguinte ele poderá aumentar até o nível u⋅P (estado de alta) ou cair até d⋅P
(estado de baixa). A probabilidade de um movimento de alta é π e, portanto, a
probabilidade de um movimento de baixa é 1-π.
π
u⋅P
P
1-π
d⋅P
δt
Figura 6: Árvore binomial com 1 passo
Quando o intervalo de tempo δt tende a zero, o processo binomial
converge para o MGB contínuo dado pela eq. (50) e os parâmetros u, d e π são
dados pelas expressões u = e σ
δt
, d = u −1 e π =
e µ ⋅δt − d
.
u −d
A partir desta estrutura básica, pode-se construir uma árvore que mostre
as possíveis evoluções do preço ao longo do tempo e suas respectivas
probabilidades.
Modelo e Resultados
75
Quando se consideram os benefícios relativos ao carbono seqüestrado,
torna-se relevante, além da área florestal, saber a quantidade de CO2 liberada
quando a floresta é derrubada, fator que dependerá do uso dado à madeira pois
diferentes usos terão impactos distintos na liberação de CO2 após o corte. Para
se levar esse fato em consideração, o modelo faz uso de um coeficiente λ, tal
que 0≤λ≤1, definido como sendo a fração do carbono que retorna à atmosfera
durante e após o corte das árvores, na forma de CO2 (queima) ou de CH4
(decomposição). Caso a madeira seja utilizada na construção civil ou na
indústria moveleira ela permanecerá integralmente conservada e o carbono
restará seqüestrado, tendo o coeficiente neste caso o valor λ=0. Por outro lado,
o benefício ecológico do seqüestro do carbono será parcial se a madeira for
utilizada para a indústria de papel e celulose ou de outros materiais recicláveis,
onde o coeficiente assumirá valores intermediários (0≤λ≤1). No outro extremo
temos o caso no qual a madeira é transformada em lenha ou carvão, situação na
qual ela será queimada e todo o carbono armazenado retornará para a
atmosfera, o que corresponderia a um benefício ecológico nulo e teríamos então
λ=1.
Qualquer que seja o cenário em questão (λ=0, 0<λ<1 ou λ=1), se a floresta
fosse derrubada hoje a sociedade receberia o valor do terreno, o valor da
madeira e o valor correspondente ao benefício ecológico líquido, sendo esse
último dado pelo valor capitalizado dos fluxos de benefícios correspondentes à
manutenção de uma fração (1-λ) da massa total de carbono armazenada na
madeira. Caso a decisão seja a de esperar mais um período, o valor da floresta
incluirá o valor social do carbono armazenado nas árvores. Durante essa espera,
a sociedade ainda colhe o benefício do CO2 absorvido pela floresta, benefício
este cujo valor será refletido nos CERs gerados.
O critério de maximização do fluxo de caixa impõe que, qualquer que seja
a decisão tomada pelo administrador florestal, o valor total da floresta para a
sociedade será o maior dentre dois valores: o valor alcançado pelo corte
imediato das árvores e a esperança daquele que será obtido ao se aguardar
mais um período. Essa relação pode ser expressa como uma equação de
Bellman:
Modelo e Resultados
76
V (Pt ,Yt , j , Z ) = Max Pt Yt , j + (1 − λ )
Z
Qt , j + V (Pt ,Yt ,0 , Z ) ;
r
E [V (Pt +1,Yt +1, j +1, Z )] − C + ZQt , j
(1 + r )
(51)
onde Pt é o preço da madeira no instante t; Yt,j é o volume de madeira no
instante t para uma floresta com idade j; Z é o valor de mercado de um CER; Qt,j
é a quantidade de CO2 armazenada no instante t para uma floresta de idade j; C
representa os custos necessários para a gestão da floresta durante o período de
espera; r é a taxa de desconto apropriada.
O valor total da floresta caso haja corte imediato das árvores é dado pela
soma de três termos: PtYt,j, que representa a receita obtida com a venda da
madeira no instante t da floresta com idade j; o termo V(Pt,Yt,0,Z), que representa
o valor do terreno de uma floresta de idade j=0 (antes do plantio das mudas) no
instante t; e o termo (1-λ)(Z/r)Qt,j, que representa o estoque de benefício
ecológico líquido dado que uma fração λ do CO2 seqüestrado retorna à
atmosfera. Este valor total é comparado com aquele que é esperado caso se
opte por aguardar mais um período. Esse valor, por sua vez, é dado pela soma
do valor da floresta no instante seguinte, V(Pt+1Yt+1,j+1,Z), com o fluxo do
benefício ecológico obtido durante a espera, ZQt,j, subtraído o custo de gestão C
incorrido durante a espera.
Sendo o preço Pt uma variável que segue um processo estocástico, só se
pode calcular com exatidão o valor da floresta no caso de ela ser derrubada
imediatamente, visto que nesse caso tanto Pt como Yt são conhecidos. Os
valores V(Pt,Yt,0,Z) e V(Pt+1Yt+1,j+1,Z) dependem da realização de preços incertos
ao longo do tempo.
Em qualquer instante t, o processo estocástico pode ser descrito por dois
estados: o preço Pt e o volume Yt. O modelo binomial determina o processo
seguido pela variável preço, de modo que os valores V(Pt,Yt,0,Z) e
V(Pt+1,Yt+1,j+1,Z) podem ser determinados explicitamente em cada nó da árvore
binomial dado que a função de crescimento das árvores é conhecida.
Substituindo E[V(Pt+1,Yt+1,j+1,Z)] por seu valor em t, calculado a partir das
probabilidades π e 1-π:
Modelo e Resultados
77
V (Pt ,Yt , j , Z ) = Max Pt Yt , j + (1 − λ )
Z
Qt , j + V (Pt ,Yt ,0 , Z ) ;
r
πV (uPt ,Yt +1, j +1, Z ) + (1 − π )V (dPt ,Yt +1, j +1, Z ) − C + ZQt , j
(1 + r )
(52)
onde V(uPt, Yt+1,j+1, Z) e V(dPt, Yt+1,j+1, Z) representam o valor da floresta um
período à frente nos caso de elevação e queda do preço, respectivamente.
O mesmo raciocínio pode ser aplicado em relação ao valor do terreno nu.
Uma vez derrubada, a floresta pode ser regenerada para um novo ciclo de
cultivo ou convertida para um uso alternativo caso a primeira alternativa não seja
economicamente atrativa. O mesmo critério de maximização do fluxo de caixa
nos fornece o valor do terreno descampado:
V (Pt ,Yt ,0 , Z ) = Max
πV (uPt ,Yt +1,1, Z ) + (1 − π )V (dPt ,Yt +1,1, Z ) − C
(1 + r )
− R ; Alt
(53)
onde V(uPt, Yt+1,1, Z) e V(dPt, Yt+1,1, Z) representam respectivamente o valor da
floresta com um ano de idade um período à frente nos caso de elevação e queda
do preço.
Caso a decisão seguinte ao corte seja a de reiniciar imediatamente o
cultivo, incorrer-se-á num custo de regeneração R e no período seguinte a
floresta será composta por um uma plantação de mudas com idade j=1,
mantidas a um custo C. Caso a decisão seja a de alienar o terreno para um uso
alternativo, esse será vendido pelo valor Alt ou, caso não haja nenhum outro uso
para o terreno, simplesmente abandonado (Alt=0).
Modelo e Resultados
78
5.3.
Resolução
As eq. (52) e (53) mostram que o valor esperado de adiar o corte e o valor
do terreno dependem dos respectivos valores no instante seguinte; portanto,
valores futuros devem ser avaliados em primeiro lugar. Problemas desta
natureza são resolvidos através de programação dinâmica. Além disso, trata-se
de um problema de horizonte infinito. Isso impõe uma dificuldade, que será
contornada substituindo-se o horizonte infinito por um horizonte finito tal que
t=1,2,3,...,T, onde T é um período final para o qual somos obrigados a
abandonar a atividade florestal, cortando as árvores independentemente da
idade e preço da madeira e vendendo o terreno para um uso alternativo. Se
escolhermos um período T suficientemente grande o erro de aproximação torna-
se desprezível.
O processo recursivo inicia-se em t=T e avalia, para cada nó de preço e
volume, se a decisão ótima é derrubar a floresta ou esperar mais um período, ou
seja, se o valor imediato do corte, dos benefícios externos e do terreno são
maiores do que o valor presente do valor esperado da decisão ótima do período
seguinte, assim até o instante presente (t=0).
A condição de fronteira é o valor da floresta no estágio final t=T, isto é, a
soma dos valores da madeira, do benefício ecológico líquido e do terreno para
cada nó terminal da árvore. Neste instante o valor do terreno é considerado
como sendo exógeno e dado por V(PT, YT,0, Z)=Alt, ficando o valor da floresta
neste instante como sendo:
V (PT ,i ,YT , j , Z ) = PT ,i YT , j + (1 − λ )
i = 1, 2, 3, ..., I
Z
QT , j + Alt
r
(54)
j = 1, 2, 3, ..., J
onde I é o número total de nós terminais da árvore binomial (I = 2T-1) e J é a
idade máxima (em períodos) alcançada pelas árvores permitida no modelo de
maneira que, caso a floresta atinja a idade J, a decisão deve ser derrubá-la
independente do preço.
Em seguida, as eq. (52) e (53) são aplicadas para cada nó da árvore no
instante t=T-1 de maneira a determinar V(PT-1, YT-1,j, Z) e o valor do terreno nu
Modelo e Resultados
79
V(PT-1, YT-1,0, Z). A escolha da estratégia de maior valor para cada instante traz
embutida a decisão ótima de derrubar as árvores ou de esperar e, uma vez que
se optou por derrubá-las, de regenerar ou abandonar o terreno. Este
procedimento continua retroativamente até o nó inicial, em t=0.
O modelo binomial avalia a decisão de corte para cada nó da árvore, ou
seja, para cada preço considerado o modelo determina a idade na qual a
maturidade financeira do investimento florestal é atingida. Se a idade real da
floresta for maior que a idade de maturação calculada deve-se derrubá-la; caso
contrário, deve-se deixá-la desenvolver-se aguardando um período. No período
seguinte, aplica-se o modelo mais uma vez para o preço de mercado observado
e outra decisão gerencial pode ser tomada com base nos resultados.
A relação entre idade ótima de corte e preço da madeira é calculada com
base num modelo determinístico. Isso pode ser feito fixando-se os parâmetros
de drift e volatilidade do MGB da eq. (50) em zero, o que torna P constante.
Outra maneira seria analiticamente, pela maximização do valor presente líquido
do investimento florestal em função da idade de corte A. Considerando-se o caso
de uma única rotação, o VPL da floresta é dado por:
V1 ( A) = e −rA PY ( A ) − R + e − rA (1 − λ )
A
Z
Q( A ) + e −rt ZQ(t )dt
r
0
(55)
Isto é, no momento do corte a floresta de idade A retorna a seu
administrador o valor líquido da madeira, PY(A), o valor do carbono seqüestrado
líquido das perdas ecológicas, (1-λ)(Z/r)Q(A), e o fluxo de dividendos graças ao
serviço de seqüestro de carbono pela floresta, dado pela integral na eq. (55).
Após o corte das árvores a terra está pronta para ser novamente cultivada
e receber as mudas para a próxima rotação. Sendo o preço constante nesse
modelo, as rotações subseqüentes terão igual duração (A1= A2= ... =A). O VPL
da floresta levando-se em consideração todas as infinitas rotações futuras será
dado por:
V ( A) =
∞
e −rωA e − rA PY ( A) − R + e −rA (1 − λ )
ω =0
A
Z
Q( A) + e − rt ZQ(t )dt
r
0
(56)
onde ϖ representa a rotação, isto é, a duração do intervalo de tempo entre a
regeneração e o corte das árvores.
Modelo e Resultados
80
A condição de primeira ordem para o valor ótimo de A requer que o
benefício obtido por se manter a floresta de pé seja igual ao custo de
oportunidade por não se dar início ao corte10.
P
∂Y ( A)
Z ∂Q( A)
+ λZQ( A) + (1 − λ )
= rV ( A) + rPY ( A)
∂A
r
∂A
(57)
O lado esquerdo da eq. (57) representa o benefício de se conservar a
floresta de pé. O termo P
∂Y ( A )
é o incremento da receita líquida obtida com a
∂A
madeira por unidade de tempo; λZQ(A) corresponde à diferença entre o fluxo de
benefício ecológico fornecido pela floresta viva, ZQ(A), e o fluxo de benefício
uma vez derrubada a floresta, (1-λ)ZQ(A). Numa situação na qual todo o
carbono permanece armazenado (λ=0), o dividendo ecológico será o mesmo
havendo ou não o corte das árvores. No caso de haver alguma perda ecológica
(0<λ<1), parte desse dividendo desaparece durante ou após o corte; nesse caso,
adiar o momento do desbaste prolonga o recebimento desses dividendos e o
aumento temporal no valor do carbono seqüestrado é dado por
Z ∂Q( A)
. Se
r
∂A
houver perda total após o corte (λ=1) esse dividendo desaparece.
Do lado direito da eq. (57), o termo rPY(A) é o custo de oportunidade de se
manter a floresta de pé e corresponde ao rendimento ganho aplicando-se a
receita líquida obtida com a venda da madeira a uma taxa de juros r. Além disso,
o fato de se adiar o corte das árvores implica outro custo de oportunidade, que é
o custo de se retardar o desbaste das plantações futuras. Esse custo é medido
como um custo de oportunidade do terreno nu e é dado por rV(A). Conforme
mostra a eq. (56), este custo inclui o valor da madeira de futuras plantações e o
valor do carbono que será armazenado futuramente.
A condição de primeira ordem dada pela eq. (57) traduz-se na condição de
que a floresta deve ser desbastada quando a soma do valor marginal da
madeira, do valor líquido do carbono seqüestrado e do dividendo incremental
obtido for igual à soma do custo de oportunidade de investir o capital que seria
obtido com a venda da madeira e com o custo de oportunidade do terreno. Esse,
10
Demonstração no Apêndice A.
Modelo e Resultados
81
por sua vez, já inclui os valores do carbono seqüestrado e da madeira nos ciclos
de cultivo futuros.
Fazendo Z=0 na eq. (57) obtemos o modelo de Faustmann11. Nele, o valor
do crescimento marginal da madeira cobre por si só os custos de oportunidade
associados à madeira e ao terreno, o que implica, ceteris paribus, um maior
aumento de volume.
11
Demonstração no Apêndice B.
Modelo e Resultados
82
5.4.
Parâmetros
Os valores dos parâmetros C, D, R e Alt serão baseados nos dados
fornecidos por Levi (1996). Em seu trabalho, desenvolvido sobre projetos de
exploração de eucaliptais na região Sudeste do Brasil, o custo do solo
apropriado para o cultivo de eucalipto situa-se entre US$ 400 e US$ 500 por
hectare. O valor médio dessa faixa, US$ 450/ha, será tomado como valor de
revenda do terreno para uso alternativo, subentendendo-se que não se está
considerando nenhuma valorização ou desvalorização do terreno devido à
atividade de cultivo de eucaliptos. Essa premissa é discutível, visto que a
atividade em questão normalmente se instala em áreas com economia pouco
desenvolvida e, com o passar do tempo, promove o desenvolvimento e o
progresso da região e, conseqüentemente, a valorização das terras. Porém, para
simplificar o modelo, o valor do terreno será considerado constante e exógeno.
O custo de regeneração da floresta, D, é igual a US$ 500/ha nas melhores
condições. O custo de manutenção C, relativo às despesas incorridas com a
prevenção de pragas e incêndios e também à competição das árvores pela luz
solar, é tido como decrescente ao longo do período de rotação. Levi utiliza a
seguinte relação custo-idade:
Tabela 2: Custo de manutenção ao longo da rotação
Idade
Custo de manutenção
(US$/ha)
2º ano
100
3º ano
60
4º ao 7º ano
40
Por simplicidade, considerou-se o custo de manutenção como constante e
igual à média ponderada dos valores da tabela 2, isto é, C = US$ 45,7/ha por
ano. Outra simplificação do modelo é quanto aos custos de extração e transporte
da madeira. Segundo Levi, os custos de extração são função do volume da
madeira extraída. Os custos de transporte, por sua vez, são função do peso da
madeira extraída, que é proporcional ao volume se supusermos constante a
densidade. Para todos os efeitos, o modelo considerará os custos de extração
Modelo e Resultados
83
contidos nos custos de regeneração e os custos de transporte desprezíveis,
como seria o caso se as indústrias se encontrassem nas redondezas da área de
cultivo.
A idade máxima das árvores, J, foi fixada em 30 anos. A partir dessa idade
supõe-se que as árvores começam a morrer. O intervalo de tempo considerado
no modelo também foi fixado em 30 anos. Apesar de, teoricamente, estarmos
considerando um horizonte de planejamento infinito, a fixação de um horizonte
de 30 anos conduz a resultados que se alteram muito pouco se estendermos o
horizonte de tempo. A taxa de juros livre de risco foi fixada em 14% ao ano. O
valor da tonelada da redução de emissão de CO2 equivalente (preço do carbono)
será considerado como igual a $1, valor próximo do negociado na Chicago
Climate Exchange (CCX) durante a confecção desse trabalho. Todos os valores
estão expressos em dólares.
Modelo e Resultados
84
5.5.
Resultados
Basicamente, o modelo utilizado mostra que a duração da rotação, isto é, a
idade ótima de corte das árvores, aumenta consideravelmente em situações de
baixa no preço da madeira em comparação com o modelo de Faustmann, que
não leva em consideração o seqüestro de carbono. O gráfico da Fig. 7 mostra a
relação entre o preço de mercado da madeira de eucalipto, P, e a duração ótima
da rotação de acordo com os modelos de Faustmann (VET), Ariste-Lasserre (AL) para os casos de seqüestro integral (λ=0) e liberação total (λ=1) com Z=1 e
com o critério volumétrico exposto por Rodriguez, Bueno e Rodrigues (1997).
Figura 7: Relação entre o preço da madeira e a idade de corte
A diferença entre os casos de liberação total (λ=1) e de seqüestro integral
(λ=0) é visível, tanto no modelo de Ariste-Lasserre como no de Faustmann com
carbono. Enquanto no primeiro caso a idade de corte é bastante sensível a
situações de baixa no preço da madeira, no segundo caso essa idade é pouco
afetada pelo preço, ocorrendo uma leve tendência de se abreviar a rotação com
o aumento do preço da madeira. Essa diferença pode ser explicada levando-se
em consideração que, para λ=1, após o corte das árvores todo o carbono será
devolvido à atmosfera, resultando num saldo de carbono igual a zero, fazendo
desaparecer assim os CERs que haviam sido alocados ao empreendimento,. Por
Modelo e Resultados
85
outro lado, mantendo-se a floresta de pé, o estoque de carbono seqüestrado é
conservado e continua-se a receber os benefícios oriundos desse fluxo, levando
a uma postergação do corte das árvores e, portanto, a um prolongamento da
idade de corte, que será tanto maior quanto menor for o preço da madeira
praticado no mercado. Já para um λ=0, o carbono permanecerá seqüestrado
após o corte das árvores e o administrador não terá incentivos para adiar o corte
de modo a compensar uma suposta perda com a liberação. Torna-se mais
vantajoso, nesse caso, cortar logo as árvores e replantar a floresta para tirar
proveito da venda da madeira e do carbono que será absorvido pela rotação
seguinte. Nota-se também na figura 7 que, para λ=0, a rotação é somente
ligeiramente abreviada com o aumento do preço da madeira. Observa-se
também que o modelo A-L conduz sempre a rotações mais longas que o modelo
VET nos dois casos (λ=0 e λ=1)
O modelo de Faustmann sem carbono, por sua vez, tomou uma posição
intermediária entre os modelos de A-L e Faustmann com carbono. Se
considerarmos o seqüestro de carbono nesse modelo, o efeito também será o de
abreviar a rotação, conforme mostram as curvas VET λ=0 e λ=1. Contudo, para
preços elevados, o ganho obtido pela venda da madeira suplanta os ganho e
perdas com o carbono, fazendo as diferenças entre os modelos diminuírem e as
respectivas idades ótimas de corte convergirem para valores próximos e
independentes do preço. A rotação ótima encontrada pelo método volumétrico,
por sua vez, independe de P pois é calculada usando-se apenas considerações
acerca do crescimento volumétrico da floresta.
Outro fator que influencia a duração da rotação é o valor do benefício
ecológico, Z, refletido no preço do certificado de redução de emissão de carbono
e cuja influência é ilustrada pelas Fig. 8 e 9. A mesma tendência de diminuição
da rotação com o aumento no preço é observada conforme Z aumenta. Para
λ=1, após o corte das árvores, todo o carbono será devolvido à atmosfera,
resultando num saldo de carbono nulo. Mantendo-se a floresta de pé, o estoque
de carbono seqüestrado é mantido, continuando o administrador florestal a
receber os benefícios oriundos do fluxo do CO2 absorvido, levando a um
adiamento do corte das árvores e, portanto, a um prolongamento da idade de
corte, que será tanto maior quanto maior for a perda pela liberação imediata do
carbono, ou seja, quanto maior for Z. A sensibilidade em relação ao preço Z é
maior para baixos valores de P. Isso ocorre porque a importância relativa do
Modelo e Resultados
86
carbono seqüestrado nesse caso é maior que a importância de P na
determinação da rotação ótima.
Para λ=0, a tendência da rotação também é de se abreviar com o aumento
no preço da madeira, porém a influência de Z se dá de maneira peculiar. Para
valores baixos de P, a tendência é de que baixos valores de Z aumentem a
idade de corte das árvores. Aumentando-se P, atinge-se um valor onde a idade
ótima de corte independe de Z e a partir do qual a situação se inverte, tendo
então altos valores de Z o efeito de aumentar a idade de corte. Outra diferença
está na variação na idade de corte, que é muito menor no caso λ=0 para uma
mesma faixa de P.
Figura 8: Relação entre P e a idade de corte para vários valores de Z e λ=1 (modelo A-L)
Modelo e Resultados
87
Figura 9: Relação entre P e a idade de corte para vários valores de Z e λ=0 (modelo A-L)
O uso que será feito da madeira, e portanto o percentual do carbono
efetivamente seqüestrado (1-λ), também influencia a duração da rotação, no
sentido de prolongá-la para valores de λ próximos de 1. O efeito desse
percentual sobre a rotação, no entanto, ocorre de maneira desigual de acordo
com o preço da madeira. Para valores baixos de P, a influência de Z sobre a
rotação é bastante sentida, conduzindo a um aumento de até 33% na duração
da rotação (caso Z=5) variando-se λ de 0 até 1. Para valores altos de P, por
outro lado, a influência de Z é pequena, provocando um aumento de 1% na
rotação nessa mesma escala de variação de λ (também caso Z=5). Os gráficos
das figuras 10, 11 e 12 ilustram essa relação.
Modelo e Resultados
Figura 10: Relação entre λ e a idade de corte para vários valores de Z e P=15
88
Modelo e Resultados
89
Nos três gráficos o efeito de Z sobre a duração da rotação ocorre no
sentido de prolongá-la, sendo mais intenso esse efeito quanto menor o
percentual de carbono retido (1-λ). Esse resultado é intuitivo, pois havendo um
percentual menor de carbono sendo mantido após o corte existirá maior
interesse por parte dos administradores de retardar o corte das árvores e assim
se beneficiarem dos fluxos de dividendos gerados pela absorção do carbono,
interesse que será tanto maior quanto mais valiosos forem os dividendos
ganhos. A influência do preço da madeira, por outro lado, ocorre no sentido
contrário. Quanto maior P, menor a variação na duração da rotação para um
dado aumento em λ pois menor será o interesse de se adiar o corte.
Essa mesma análise, feita variando-se o preço da madeira para três
situações possíveis para Z, mostra a mesma tendência de prolongamento das
rotações, tendência essa que se acentua conforme diminui o preço da madeira e
conforme se aumenta Z ou λ, como se vê nas figuras 13, 14 e 15.
Modelo e Resultados
Figura 13: Relação entre λ e a idade de corte para vários valores de P e Z=1
90
Modelo e Resultados
91
Um aumento no preço da madeira se traduz em um aumento no custo de
oportunidade de se manter a floresta intacta, contribuindo para a abreviação da
rotação. Aumentos em λ ou Z, por outro lado, tornam a espera mais atrativa,
levando ao prolongamento da rotação.
As tabelas 3, 4 e 5 mostram a evolução do valor da floresta e da idade de
corte (em negrito) das árvores de acordo com o preço da madeira conforme os
modelos de
Faustmann e de Ariste-Lasserre com liberação total (λ=1) e
seqüestro integral (λ=0), respectivamente.
Tabela 3: Valor da floresta e idade de corte de acordo com P para o modelo de
Faustmann.
Preço ($)
Idade
(anos)
P=10
P=20
P=30
P=40
P=50
P=60
P=70
P=80
P=90
P=100
5
3.140
5.830
8.519
11.209
13.899
16.596
19.306
22.024
24.748
27.475
5 1/12
3.178
5.907
8.635
11.364
14.092
16.821
19.561
22.308
25.061
27.818
5 2/12
3.217
5.983
8.750
11.516
14.283
17.049
19.819
22.596
25.379
28.165
5 3/12
3.254
6.058
8.863
11.667
14.471
17.275
20.079
22.886
25.699
28.516
5 4/12
3.291
6.133
8.974
11.815
14.656
17.498
20.339
23.180
26.023
28.870
5 5/12
3.328
6.206
9.084
11.961
14.839
17.717
20.595
23.473
26.351
29.229
5 6/12
3.364
6.278
9.192
12.106
15.020
17.934
20.848
23.762
26.676
29.589
5 7/12
3.400
6.349
9.299
12.248
15.198
18.147
21.097
24.046
26.996
29.945
5 8/12
3.435
6.419
9.404
12.389
15.373
18.358
21.343
24.327
27.312
30.297
5 9/12
3.469
6.489
9.508
12.527
15.547
18.566
21.585
24.604
27.624
30.643
5 10/12
3.503
6.557
9.610
12.664
15.717
18.771
21.824
24.878
27.931
30.985
5 11/12
3.537
6.624
9.712
12.799
15.886
18.973
22.060
25.148
28.235
31.322
6
3.570
6.691
9.811
12.932
16.052
19.173
22.293
25.414
28.534
31.655
Modelo e Resultados
92
Tabela 4: Valor da floresta e idade de corte de acordo com P para λ=1 e Z=1 no modelo
A-L.
Preço ($)
Idade
(anos)
P=10
P=20
P=30
P=40
P=50
P=60
P=70
P=80
P=90
P=100
5
3.140
5.830
8.519
11.209
13.899
16.589
19.279
21.968
24.658
27.348
5 1/12
3.178
5.907
8.635
11.364
14.092
16.821
19.549
22.278
25.006
27.734
5 2/12
3.217
5.983
8.750
11.516
14.283
17.049
19.816
22.583
25.349
28.116
5 3/12
3.254
6.058
8.863
11.667
14.471
17.275
20.079
22.883
25.688
28.492
5 4/12
3.291
6.133
8.974
11.815
14.656
17.498
20.339
23.180
26.021
28.863
5 5/12
3.328
6.206
9.084
11.961
14.839
17.717
20.595
23.473
26.351
29.229
5 6/12
3.364
6.278
9.192
12.106
15.020
17.934
20.848
23.762
26.676
29.589
5 7/12
3.400
6.349
9.299
12.248
15.198
18.147
21.097
24.046
26.996
29.945
30.297
5 8/12
3.435
6.419
9.404
12.389
15.373
18.358
21.343
24.327
27.312
5 9/12
3.469
6.489
9.508
12.527
15.547
18.566
21.585
24.604
27.624
30.643
5 10/12
3.503
6.557
9.610
12.664
15.717
18.771
21.824
24.878
27.931
30.985
5 11/12
3.537
6.624
9.712
12.799
15.886
18.973
22.060
25.148
28.235
31.322
6
3.570
6.691
9.811
12.932
16.052
19.173
22.293
25.414
28.534
31.655
6 1/12
3.603
6.757
9.910
13.063
16.216
19.370
22.523
25.676
28.829
31.983
6 2/12
3.636
6.821
10.007
13.193
16.378
19.564
22.750
25.935
29.121
32.306
6 3/12
3.668
6.885
10.103
13.320
16.538
19.756
22.973
26.191
29.408
32.626
6 4/12
3.699
6.948
10.197
13.446
16.696
19.945
23.194
26.443
29.692
32.941
6 5/12
3.730
7.010
10.291
13.571
16.851
20.131
23.411
26.692
29.972
33.252
6 6/12
3.761
7.072
10.383
13.694
17.004
20.315
23.626
26.937
30.248
33.559
6 7/12
3.791
7.132
10.474
13.815
17.156
20.497
23.838
27.179
30.521
33.862
6 8/12
3.821
7.192
10.563
13.934
17.305
20.676
24.047
27.419
30.790
34.161
6 9/12
3.851
7.251
10.652
14.052
17.453
20.853
24.254
27.654
31.055
34.456
6 10/12
3.880
7.309
10.739
14.169
17.598
21.028
24.458
27.887
31.317
34.747
6 11/12
3.908
7.367
10.825
14.284
17.742
21.200
24.659
28.117
31.576
35.034
7
3.937
7.424
10.910
14.397
17.884
21.371
24.857
28.344
31.831
35.318
7 1/12
3.965
7.480
10.994
14.509
18.024
21.539
25.053
28.568
32.083
35.598
7 2/12
3.992
7.535
11.077
14.620
18.162
21.704
25.247
28.789
32.332
35.874
7 3/12
4.020
7.589
11.159
14.729
18.298
21.868
25.438
29.007
32.577
36.147
7 4/12
4.047
7.643
11.240
14.836
18.433
22.030
25.626
29.223
32.819
36.416
7 5/12
4.073
7.696
11.320
14.943
18.566
22.189
25.812
29.436
33.059
36.682
7 6/12
4.099
7.749
11.398
15.048
18.697
22.347
25.996
29.646
33.295
36.945
7 7/12
4.125
7.801
11.476
15.152
18.827
22.502
26.178
29.853
33.529
37.204
7 8/12
4.151
7.852
11.553
15.254
18.955
22.656
26.357
30.058
33.759
37.460
7 9/12
4.176
7.903
11.629
15.355
19.081
22.808
26.534
30.260
33.987
37.713
7 10/12
4.201
7.953
11.704
15.455
19.206
22.957
26.709
30.460
34.211
37.962
7 11/12
4.226
8.002
11.778
15.554
19.330
23.105
26.881
30.657
34.433
38.209
8
4.250
8.051
11.851
15.651
19.451
23.252
27.052
30.852
34.652
38.453
Modelo e Resultados
93
Tabela 5: Valor da floresta e idade de corte de acordo com P para λ=0 e Z=1 no modelo
A-L.
Idade
Preço ($)
(anos)
P=10
P=20
P=30
P=40
P=50
P=60
P=70
P=80
P=90
P=100
5,01
3.952
6.676
9.400
12.124
14.847
17.571
20.295
23.019
25.743
28.467
5,02
3.958
6.686
9.415
12.143
14.872
17.600
20.329
23.057
25.786
28.514
5,03
3.964
6.697
9.430
12.163
14.896
17.629
20.362
23.095
25.828
28.561
5,04
3.970
6.707
9.445
12.183
14.920
17.658
20.396
23.133
25.871
28.609
5,05
3.976
6.718
9.460
12.202
14.945
17.687
20.429
23.171
25.914
28.656
5,06
3.982
6.728
9.475
12.222
14.969
17.716
20.462
23.209
25.956
28.703
5,07
3.987
6.739
9.490
12.242
14.993
17.744
20.496
23.247
25.999
28.750
5,08
3.993
6.749
9.505
12.261
15.017
17.773
20.529
23.285
26.041
28.797
5,09
3.999
6.760
9.520
12.281
15.041
17.802
20.562
23.323
26.083
28.844
5,10
4.005
6.770
9.535
12.300
15.065
17.830
20.595
23.360
26.126
28.891
5,11
4.011
6.781
9.550
12.320
15.089
17.859
20.629
23.398
26.168
28.937
5,12
4.017
6.791
9.565
12.339
15.113
17.887
20.662
23.436
26.210
28.984
5,13
4.023
6.801
9.580
12.359
15.137
17.916
20.695
23.473
26.252
29.031
5,14
4.028
6.812
9.595
12.378
15.161
17.944
20.727
23.511
26.294
29.077
29.123
5,15
4.034
6.822
9.610
12.397
15.185
17.973
20.760
23.548
26.336
5,16
4.040
6.832
9.624
12.417
15.209
18.001
20.793
23.585
26.378
29.170
5,17
4.046
6.842
9.639
12.436
15.233
18.029
20.826
23.623
26.419
29.216
5,18
4.052
6.853
9.654
12.455
15.256
18.057
20.859
23.660
26.461
29.262
5,19
4.057
6.863
9.669
12.474
15.280
18.086
20.891
23.697
26.503
29.308
5,20
4.063
6.873
9.683
12.493
15.304
18.114
20.924
23.734
26.544
29.354
5,21
4.069
6.883
9.698
12.513
15.327
18.142
20.956
23.771
26.586
29.400
5,22
4.075
6.894
9.713
12.532
15.351
18.170
20.989
23.808
26.627
29.446
5,23
4.080
6.904
9.727
12.551
15.374
18.198
21.021
23.845
26.668
29.492
5,24
4.086
6.914
9.742
12.570
15.398
18.226
21.054
23.882
26.710
29.538
5,25
4.092
6.924
9.757
12.589
15.421
18.254
21.086
23.919
26.751
29.583
5,26
4.097
6.934
9.771
12.608
15.445
18.282
21.118
23.955
26.792
29.629
5,27
4.103
6.944
9.786
12.627
15.468
18.309
21.151
23.992
26.833
29.674
5,28
4.109
6.954
9.800
12.646
15.491
18.337
21.183
24.029
26.874
29.720
5,29
4.114
6.965
9.815
12.665
15.515
18.365
21.215
24.065
26.915
29.765
5,30
4.120
6.975
9.829
12.684
15.538
18.393
21.247
24.102
26.956
29.811
5,31
4.126
6.985
9.844
12.702
15.561
18.420
21.279
24.138
26.997
29.856
5,32
4.131
6.995
9.858
12.721
15.584
18.448
21.311
24.174
27.038
29.901
5,33
4.137
7.005
9.872
12.740
15.608
18.475
21.343
24.211
27.078
29.946
5,34
4.143
7.015
9.887
12.759
15.631
18.503
21.375
24.247
27.119
29.991
5,35
4.148
7.025
9.901
12.777
15.654
18.530
21.407
24.283
27.159
30.036
5,36
4.154
7.035
9.915
12.796
15.677
18.558
21.438
24.319
27.200
30.081
5,37
4.159
7.045
9.930
12.815
15.700
18.585
21.470
24.355
27.240
30.125
5,38
4.165
7.054
9.944
12.833
15.723
18.612
21.502
24.391
27.281
30.170
5,39
4.171
7.064
9.958
12.852
15.746
18.640
21.533
24.427
27.321
30.215
5,40
4.176
7.074
9.972
12.871
15.769
18.667
21.565
24.463
27.361
30.259
5,41
4.182
7.084
9.987
12.889
15.792
18.694
21.596
24.499
27.401
30.304
5,42
4.187
7.094
10.001
12.908
15.814
18.721
21.628
24.535
27.441
30.348
5,43
4.193
7.104
10.015
12.926
15.837
18.748
21.659
24.570
27.481
30.393
5,44
4.198
7.114
10.029
12.944
15.860
18.775
21.691
24.606
27.521
30.437
5,45
4.204
7.124
10.043
12.963
15.883
18.802
21.722
24.642
27.561
30.481
5,46
4.209
7.133
10.057
12.981
15.905
18.829
21.753
24.677
27.601
30.525
5,47
4.215
7.143
10.071
13.000
15.928
18.856
21.784
24.713
27.641
30.569
5,48
4.220
7.153
10.085
13.018
15.950
18.883
21.816
24.748
27.681
30.613
5,49
4.226
7.163
10.099
13.036
15.973
18.910
21.847
24.783
27.720
30.657
5,50
4.231
7.172
10.113
13.054
15.996
18.937
21.878
24.819
27.760
30.701
Modelo e Resultados
94
Pode-se observar nas tabelas 3 e 4 que o valor da floresta calculado
segundo os modelos de Faustmann e Ariste-Lasserre com λ=1 são idênticos
para florestas com idades no intervalo entre 5 e 6 anos, não obstante as
diferentes idades de corte. Esse fato se verificou para valores de P menores que
100. Contudo, para valores de P mais altos as diferenças entre os modelos se
realçam, fato esse que é ilustrado pela tabela 6.
Tabela 6: Valor da floresta com P=$400 para os modelos de Faustmann e Ariste-
Lasserre com Z=1.
P = $400
Idade
(anos)
Faustmann
A-L (λ=1)
5
109.645
110.860
120.169
5 1/12
110.877
111.999
121.417
5 2/12
112.123
113.149
122.676
5 3/12
113.383
114.310
123.948
5 4/12
114.656
115.482
125.232
5 5/12
115.942
116.664
126.529
5 6/12
117.243
117.858
127.838
5 7/12
118.558
119.064
129.160
5 8/12
119.887
120.281
130.495
5 9/12
121.231
121.510
131.843
5 10/12
122.589
122.751
133.204
5 11/12
123.938
124.003
134.579
6
125.268
125.268
135.967
A-L (λ=0)
Nesse conjunto de dados pode-se perceber a diferença no valor calculado
pelos modelos. Vê-se que o valor dado pelo modelo de A-L é superior àquele
obtido pelo modelo de Faustmann. Também pode ser notado que o seqüestro
integral do carbono atmosférico confere maior valor à floresta se comparado com
o carbono temporariamente seqüestrado. Por fim, observa-se também a
convergência dos modelos de Faustmann e A-L com seqüestro temporário para
florestas com idades acima de 6 anos.
Outra característica observada é o preço-limite para a madeira abaixo do
qual a opção de abandono é exercida. Com os parâmetros já citados esse preço
fica em torno de $291 para λ=0 e $327 para λ=1. Um dos fatores que influencia
a formação desse preço é o custo de regeneração R. Com o intuito de testar a
real influência desse parâmetro na determinação daquele preço-limite, o modelo
foi simulado para valores de R menores que o valor inicialmente considerado de
$500. Os resultados encontrados estão expostos na tabela 7.
Modelo e Resultados
95
Tabela 7: Preço-limite para diferentes custos de regeneração.
Custo de
regeneração ($)
Preço-limite ($)
λ=0
Preço-limite ($)
λ=1
500
291
327
400
231
275
300
173
206
200
116
154
100
55
92
0
0
31
A comparação desses dados sugere que no caso de seqüestro integral
(λ=0) o preço da madeira deve estar em um patamar mais baixo que no caso de
liberação total (λ=1) para que seja preferível abandonar o empreendimento.
Outro fator que exerce influência sobre preço-limite é o valor de abandono
do terreno, Alt. As simulações mostraram que, caso o terreno não possuísse
valor de mercado, i.e., Alt=0, a atividade florestal somente seria a melhor
escolha caso o preço da maneira estivesse acima de $27 (no caso de λ=1). O
modelo mostrou-se bastante robusto em relação ao valor do terreno para uso
alternativo.
Conclusões e Recomendações
6
6.1.
Conclusões
Esse trabalho mostrou que, através do pagamento de dividendos como
recompensa pela absorção de CO2, seria possível a internalização dos
benefícios sociais provenientes de uma externalidade positiva. Havendo um
mercado mundial para CERs formado por diversos agentes, todos pequenos o
suficiente de modo que por si só não tivessem influencia na formação do preço
de mercado (price takers) e havendo liquidez nesse mercado, o preço desses
certificados tenderia a refletir corretamente o valor do beneficio trazido para a
sociedade pela absorção de CO2 e outros gases de efeito estufa. A cuidadosa
definição de direitos de uso de um recurso natural – o ar – através das
responsabilidades firmadas no Protocolo de Quioto, aliadas à correta definição
do custo social da poluição por meio de um mercado para reduções de
emissões, permitiriam uma percepção do custo de oportunidade privado de
poluir, por parte dos agentes poluidores, igual à percepção, por parte da
sociedade, do custo social devido à poluição atmosférica. Essa falha de mercado
seria então corrigida, permitindo uma utilização mais eficiente desse recurso em
nível mundial.
O impacto da consideração dos dividendos gerados pelo seqüestro de
carbono em empreendimentos florestais é um dos pontos-chave desse trabalho.
A atividade florestal torna-se mais rentável ao se levar em conta esse dividendo
extra, podendo levar até mesmo a um aumento na área cultivada. Além disso,
dependendo do uso a ser feito da madeira, essa rentabilidade adicional pode ser
maior ou menor. Estando o preço da madeira abaixo de um determinado valor, a
decisão gerencial ótima é a de esperar e essa espera é remunerada pelos
dividendos
gerados
pelo
seqüestro
de
carbono,
que
representam
a
internalização do benefício ecológico produzido por este fenômeno. A destinação
a ser dada à madeira também é fator determinante dessa espera tendo em vista
que o benefício ecológico, e portanto os dividendos, são função dessa
97
destinação, refletida no modelo por intermédio do percentual λ de carbono
perdido após o corte.
No caso em que uma parcela do carbono é permanentemente
seqüestrada,
os
respectivos
dividendos
obtidos
são
mantidos
independentemente de as árvores serem derrubadas. Nesse caso, mesmo se o
mercado para madeira de eucalipto estiver passando por uma conjuntura
desfavorável e o preço da madeira estiver muito baixo, os CERs compensariam
essa perda e a floresta não seria abandonada de imediato, tornando viável a
espera por melhoras conjunturais.
Havendo o desbaste, o plantio de uma nova floresta pode gerar um maior
crescimento marginal da biomassa. Vimos que um aumento no valor do carbono,
dado por um aumento no preço de um CER, não conduz necessariamente a um
prolongamento da rotação, sendo esse comportamento dependente também do
preço pelo qual será vendida a madeira produzida.
98
6.2.
Sugestões para Trabalhos Futuros
Talvez o mais interessante seja aguardar o surgimento e a consolidação
do Mercado Brasileiro de Reduções de Emissões e desenvolver, então, um
modelo que represente de forma mais realista a distribuição de Certificados de
Emissões Reduzidas para projetos dessa natureza. Destarte, como sugestão
para futuros trabalhos poder-se-ia dar continuidade a esse estudo, já num
momento em que o mercado de reduções de emissões estivesse bem
desenvolvido, considerando também o preço do CER como uma variável
seguindo um processo estocástico. Nesse caso, haveria duas variáveis
estocásticas em questão e o método binomial não seria mais apropriado. Uma
alternativa talvez fosse o método LSM desenvolvido por Longstaff e Schwartz.
Outra possibilidade seria o uso de outros modelos de crescimento florestal mais
realistas ou de um modelo que considerasse também o risco de incêndios e
pragas, eventos aleatórios que alterariam o estoque de carbono e que não são
abordados no modelo utilizado nesse trabalho. Poder-se-ia desenvolver um
modelo que considerasse as limitações técnicas impostas à idade ideal de corte
frente à concentração de fibras de lignina na madeira, fator esse determinante
quando se pretende utilizar a polpa da madeira para se produzir celulose e que
não é levado em consideração no modelo usado nessa dissertação. Essa e
outras características próprias da cultura de eucaliptos foram deixadas de lado
nesse modelo, mas poderiam fazer parte de outro modelo mais realista.
Curiosamente, apesar de termos uma das maiores produtividades
florestais e as maiores florestas tropicais do mundo, o Brasil não possui um
mercado futuro desenvolvido para madeira e polpa de madeira como os
existentes nos EUA (CBOE e NYBOT)12. Caso tal mercado vier a se desenvolver
em nosso país, fatores como o aumento na demanda por madeira e celulose e
uma legislação ambiental que vem se tornando cada vez mais rigorosa
contribuirão para dar mais volatilidade ao preço dessa commodity. Nesse
contexto, a existência de um mercado para CERs como o MBRE pode fornecer
uma ferramenta de hedge para as indústrias produtoras de madeira e celulose.
12
Embora a madeira esteja listada como ativo negociado na Bolsa Brasileira de
Mercadorias, não foram encontrados registros de negociação deste ativo desde que
essa instituição entrou em atividade.
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Apêndice A: Condição de Primeira Ordem para a Rotação Ótima no Modelo de AristeLasserre
106
Apêndice A: Condição de Primeira Ordem para a Rotação
Ótima no Modelo de Ariste-Lasserre
O VPL de uma floresta com uma única rotação é dado pela eq. (55):
V1 ( A) = e −rA PY ( A ) − R + e − rA (1 − λ )
A
Z
Q( A ) + e −rt ZQ(t )dt
r
0
O VPL de uma floresta com infinitas rotações, por sua vez, é dado pela
soma do VPLs de todas as rotações, como mostra a eq. (56):
V ( A) =
∞
ω =0
A
Z
r
0
Essa equação pode ser reescrita na forma:
V ( A) =
∞
ω=0
e −rωA ⋅ V1 ( A) = V1 ( A) ⋅
∞
e − rωA
ω= 0
Temos que:
∞
ω=0
e − rωA =
1
1 − e −rA
Portanto, V(A) também pode ser expresso como:
V ( A) = V1 ( A) ⋅
1
1 − e − rA
A condição de primeira ordem para máximo exige que
∂V ( A ) ∂V1 ( A)
1
∂
1
=
⋅
+ V1 ( A ) ⋅
=0
− rA
∂A
∂A
∂A 1 − e − rA
1− e
∂V ( A )
= 0 . Logo:
∂A
Apêndice A: Condição de Primeira Ordem para a Rotação Ótima no Modelo de AristeLasserre
107
Como
∂V1 ( A )
Z
= e −rA − rPY ( A) + PY ' ( A) + λZQ( A) + (1 − λ )
Q' ( A)
∂A
r
e
∂
1
− re − rA
=
2
∂A 1 − e −rA
1 − e −rA
(
)
pode-se reescrever a condição de primeira ordem na forma:
e − rA
Z
− re − rA
−
rPY
(
A
)
+
PY
'
(
A
)
+
λ
ZQ
(
A
)
+
(
1
−
λ
)
Q
'
(
A
)
+
⋅ V1 ( A ) = 0
2
r
1 − e − rA
1 − e −rA
(
Após alguma manipulação algébrica chega-se à eq. (57):
PY ' ( A ) + λZQ( A) + (1 − λ )
Z
Q' ( A) = rV ( A) + rPY ( A)
r
)
Apêndice B: Condição de Primeira Ordem para a Rotação Ótima no Modelo de
Faustmann a Partir do Modelo de Ariste-Lasserre
108
Apêndice B: Condição de Primeira Ordem para a Rotação
Ótima no Modelo de Faustmann a Partir do Modelo de
Ariste-Lasserre
A condição de primeira ordem para a rotação ótima no modelo de AristeLasserre é dada por:
Z
Q' ( A ) = rV ( A) + rPY ( A)
r
PY ' ( A) + λZQ( A) + (1 − λ )
onde:
V ( A) =
∞
ω =0
A
Z
r
0
fazendo Z=0 as equações acima ficam:
PY ' ( A) = rV ( A) + rPY ( A)
onde:
V ( A) =
∞
[
e −rωA e −rA PY ( A ) − R
ω =0
]
Substituindo V(A) na condição de primeira ordem obtemos:
[
]
PY ' ( A) = r e −rA PY ( A) − R ⋅
como
∞
e −rωA =
ω =0
[
e rA
e rA − 1
∞
e −rωA + rPY ( A)
ω =0
:
PY ' ( A) = r e − rA PY ( A ) − R
] e e − 1 + rPY ( A)
rA
rA
Apêndice B: Condição de Primeira Ordem para a Rotação Ótima no Modelo de
Faustmann a Partir do Modelo de Ariste-Lasserre
Rearranjando o lado direito da equação:
PY ' ( A) =
PY ' ( A) =
Y ' ( A) =
Y ' ( A) =
Y ' ( A) =
Y ' ( A) =
rPY ( A)
e rA − 1
rPY ( A )
e
rA
−1
rY ( A )
e
rA
−1
−
−
−
r Re rA
e rA − 1
r Re rA
e
rA
−1
re rA R / P
e
rA
−1
+ rPY ( A)
+
+
(
)
rPY ( A) e rA − 1
e
rA
(
−1
÷P
)
rY ( A ) e rA − 1
e
rA
(
−1
)
rY ( A) − re rA R / P + rY ( A) e rA − 1
e
rA
−1
rY ( A ) − re rA R / P + rY ( A )e rA − rY ( A)
e rA − 1
rY ( A )e rA − re rA R / P
Y ' ( A) = r
e rA − 1
Y ( A )e rA − e rA R / P
e rA − 1
Y ' ( A ) = r [Y ( A ) − R / P ]
e rA
e rA − 1
Y ' ( A)
e rA
= r rA
Y ( A) − R / P
e −1
×
e − rA
e −rA
Chegando, finalmente, à fórmula de Faustmann:
Y ' ( A)
r
=
Y ( A ) − R / P 1 − e rA
109
110
Seja a expressão do Valor Esperado da Terra (VET):
VET =
P ⋅ V (R ) − c ⋅ e r ⋅t
(e r ⋅t − 1)
A condição de primeira ordem para máximo é:
d P ⋅ V (R ) − c ⋅ e r ⋅t
dt
(e r ⋅t − 1)
=0
que equivale a:
(e
rt
)(
) (
(e − 1)
)( ) = 0
− 1 PV ' (R ) − rc ⋅ e rt − PV (R ) − c ⋅ e rt re rt
rt
2
Desenvolvendo algebricamente:
PV ' (R )e rt − rc ⋅ e 2rt − PV ' (R ) + rc ⋅ e rt − PV (R )re rt + rce 2rt = 0
(
)
PV ' (R ) e rt − 1 = re rt (PV (R ) − c )
(
)
(
)
(
V ' (R ) e rt − 1 = re rt V (R ) − c
V ' (R ) e rt − 1
= re rt
c
V (R ) −
P
V ' (R )
V (R ) − c
=
P
re rt
rt
e −1
P
÷P
)
(
÷ V (R ) − c
(
)
÷ e rt − 1
× e − rt
P
)
V ' (R )
V (R ) − c
=
P
r
1 − e − rt
que é a condição de máximo para o VET.
111
112
Os países do Anexo I estão listados abaixo. Os países marcados com *
são os países do Anexo B (Fonte: adaptado de UNFCCC, 2005a).
Alemanha *
Islândia *
Austrália *
Itália *
Áustria *
Japão *
Belarus
Letônia *
Bélgica *
Liechtenstein *
Bulgária *
Lituânia *
Canadá *
Luxemburgo *
Comunidade Européia *
Mônaco *
Croácia *
Noruega *
Dinamarca *
Nova Zelândia *
Eslováquia *
Países Baixos *
Eslovênia *
Polônia *
Espanha *
Portugal *
Estados Unidos *
Reino Unido *
Estônia *
República Tcheca *
Federação Russa *
Romênia *
Finlândia *
Suécia *
França *
Suíça *
Grécia *
Turquia
Hungria *
Ucrânia *
Irlanda *

Flavio Daniel Baran Avaliação de uma Floresta - NIMA - PUC-Rio

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