Phi-Bonacci

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Phi-Bonacci

Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro.
A sequência de Fibonacci
Belos problemas e resultados interessantes
Phi-Bonacci
Prof.Carlos A. Gomes
Departamento de Matemática,CCET - UFRN
[email protected]
Phi-Bonacci
Os Gregos, a geometria clássica e o número de ouro ϕ.
Phi-Bonacci
Leonardo de Pisa (Fibonacci).
Phi-Bonacci
Phi-Bonacci
ϕ−Bonacci.
Phi-Bonacci
ϕ−Bonacci.
ϕ−Bonacci e a natureza.
Phi-Bonacci
ϕ−Bonacci.
Belos problemas e resultados interessantes · · ·
Phi-Bonacci
ϕ−Bonacci.
Belos problemas e resultados interessantes · · ·
Tendo lecionado Matemática e Física a estudantes de nível
universitário durante trianta anos, acho-me ainda diante da
dificuldade didática com que me defrontei quando comecei a
lecionar, qual seja, como introduzir nas mentes adolescentes o
melhor e talvez o único motivo permanente para se estudar
Matemática, que em minha opinião, é o motivo estético.
(H. E. Huntley - A Divina Proporção - Um ensaio sobre a
Beleza na Matemática).
Phi-Bonacci
Phi-Bonacci
“O matemático não estuda a Matemática pura porque ela
seja útil; ele a estuda porque deleita-se com ela, e
deleita-se com ela porque ela é bela (H. Poincaré)".
Phi-Bonacci
“O matemático não estuda a Matemática pura porque ela
seja útil; ele a estuda porque deleita-se com ela, e
deleita-se com ela porque ela é bela (H. Poincaré)".
“Nenhum matemático pode ser um matemático completo a
menos que tenha também algo de Poeta"(K. Weirstrass).
Phi-Bonacci
Phi-Bonacci
1
2
3
Phi-Bonacci
Divisão de um segmento em “média e extrema razão".
Phi-Bonacci
Phi-Bonacci
x
1
= = ϕ (Razão áurea)
1−x
x
Phi-Bonacci
x
1
1−x
x
√
x
1
5−1
2
= ⇒x +x −1=0⇒x =
1−x
x
2
Phi-Bonacci
x
1
1−x
x
√
x
1
5−1
2
= ⇒x +x −1=0⇒x =
1−x
x
2
√
5−1
x=
(Número de ouro da geometria clássica)
2
Phi-Bonacci
Qual o valor de ϕ?
ϕ2 =
1 x
1
1−x +x
x
=
=
=1+
=1+ϕ
x 1−x
1−x
1−x
1−x
Phi-Bonacci
Qual o valor de ϕ?
ϕ2 =
1 x
1
1−x +x
x
=
=
=1+
=1+ϕ
x 1−x
1−x
1−x
1−x
√
ϕ −ϕ−1=0⇒ϕ=
2
5+1
(Razão áurea)
2
Phi-Bonacci
Qual o valor de ϕ?
ϕ2 =
1 x
1
1−x +x
x
=
=
=1+
=1+ϕ
x 1−x
1−x
1−x
1−x
√
ϕ −ϕ−1=0⇒ϕ=
2
5+1
(Razão áurea)
2
Outras relações interessantes envolvendo o número ϕ.
Phi-Bonacci
Qual o valor de ϕ?
ϕ2 =
1 x
1
1−x +x
x
=
=
=1+
=1+ϕ
x 1−x
1−x
1−x
1−x
√
ϕ −ϕ−1=0⇒ϕ=
2
5+1
(Razão áurea)
2
ϕ2 − ϕ = 1 ⇒ ϕ (ϕ − 1) = 1 ⇒ ϕ = 1 +
Phi-Bonacci
1
ϕ
Qual o valor de ϕ?
ϕ2 =
1 x
1
1−x +x
x
=
=
=1+
=1+ϕ
x 1−x
1−x
1−x
1−x
√
ϕ −ϕ−1=0⇒ϕ=
2
5+1
(Razão áurea)
2
ϕ2 − ϕ = 1 ⇒ ϕ (ϕ − 1) = 1 ⇒ ϕ = 1 +
Phi-Bonacci
1
ϕ
ϕ2 = ϕ + 1 ⇒ ϕ =
√
Phi-Bonacci
1+ϕ
ϕ2 = ϕ + 1 ⇒ ϕ =
ϕ=
√
√
1+ϕ
Phi-Bonacci
1+ϕ
ϕ2 = ϕ + 1 ⇒ ϕ =
√
√
1+ϕ
p
√
=
1+ 1+ϕ
ϕ=
Phi-Bonacci
1+ϕ
ϕ2 = ϕ + 1 ⇒ ϕ =
√
√
1+ϕ
1+ϕ
p
√
=
1+ 1+ϕ
q
p
√
=
1+ 1+ 1+ϕ
ϕ=
Phi-Bonacci
ϕ2 = ϕ + 1 ⇒ ϕ =
√
√
1+ϕ
1+ϕ
p
√
=
1+ 1+ϕ
q
p
√
=
1+ 1+ 1+ϕ
r
q
p
√
=
1+ 1+ 1+ 1+ϕ
ϕ=
Phi-Bonacci
ϕ2 = ϕ + 1 ⇒ ϕ =
√
√
1+ϕ
1+ϕ
p
√
=
1+ 1+ϕ
q
p
√
=
1+ 1+ 1+ϕ
r
q
p
√
=
1+ 1+ 1+ 1+ϕ
ϕ=
..
.
Phi-Bonacci
ϕ2 = ϕ + 1 ⇒ ϕ =
√
1+ϕ
√
1+ϕ
p
√
=
1+ 1+ϕ
q
p
√
=
1+ 1+ 1+ϕ
r
q
p
√
=
1+ 1+ 1+ 1+ϕ
ϕ=
..
. r
=
q
p
√
1 + 1 + 1 + 1 + ···
Phi-Bonacci
Lembrando que
ϕ=1+
1
ϕ
Phi-Bonacci
Lembrando que
ϕ=1+
ϕ= 1+
1
ϕ
1
ϕ
Phi-Bonacci
Lembrando que
ϕ=1+
ϕ= 1+
= 1+
1
ϕ
1
ϕ
1
1
1+ ϕ
Phi-Bonacci
Lembrando que
ϕ=1+
ϕ= 1+
= 1+
= 1+
1
ϕ
1
ϕ
1
1
1+ ϕ
1
1+
1
1
1+ ϕ
Phi-Bonacci
Lembrando que
ϕ=1+
ϕ= 1+
= 1+
= 1+
1
ϕ
1
ϕ
1
1
1+ ϕ
1
1+
1
1
1+ ϕ
..
.
Phi-Bonacci
Lembrando que
ϕ=1+
ϕ= 1+
= 1+
= 1+
..
.
= 1+
1
ϕ
1
ϕ
1
1
1+ ϕ
1
1+
1
1
1+ ϕ
1
1+
1+
1
1
1
1+ +···
Phi-Bonacci
Como dividir um segmento dado em razão áurea?
Phi-Bonacci
Como dividir um segmento dado em razão áurea?
Phi-Bonacci
Retângulo áureo
Phi-Bonacci
Retângulo áureo
Phi-Bonacci
Como construir um retângulo áureo
Phi-Bonacci
Como construir um retângulo áureo
Phi-Bonacci
Uma propriedade interessante do retângulo áureo
Phi-Bonacci
Uma propriedade interessante do retângulo áureo
“Quando de um retângulo áureo você retira um quadrado cujo
lado é o menor dos lados do retângulo original, o retângulo que
resta ainda é um retângulo áureo.
Phi-Bonacci
De fato,
a
= ϕ ⇒ a = bϕ
b
Phi-Bonacci
De fato,
a
= ϕ ⇒ a = bϕ
b
Assim,
b
b
b
1
ϕ
=
=
=
= 2
=ϕ
a−b
bϕ − b
b (ϕ − 1)
ϕ−1
− ϕ}
|ϕ {z
=1
Phi-Bonacci
De fato,
a
= ϕ ⇒ a = bϕ
b
Assim,
b
b
b
1
ϕ
=
=
=
= 2
=ϕ
a−b
bϕ − b
b (ϕ − 1)
ϕ−1
− ϕ}
|ϕ {z
=1
Ora, como
áureo.
b
a−b
= ϕ, segue que o retângulo menor também é
Phi-Bonacci
Repretindo o mesmo processo com o novo retângulo
áureo podemos obter um novo retângulo áureo e assim
sucessivamente, conforme ilustra a figura a seguir:
Phi-Bonacci
Se ligarmos os vértices diametralmente opostos dos quadrados
que foram construídos a partir de cortes apropriados (como foi
sugerigo no slide anterior) um retângulo âureo por arcos de
circunferência, obtermos a famosa figura (que é a logomarca
oficial da SBM - Sociedade Brasileira de Matemática)
Phi-Bonacci
Vale a pena comentar que a espiral apresentada na figura
anterior não é de fato uma espiral logarítmica “honesta", ou
seja, uma curva cuja a equação em coordenadas polares
(ρ, θ), seja dada por:
ρ = beaθ , a, b ∈ R+
cuja representação gráfica é mostrada a seguir (e não é a
justaposição de arcos de circunferências!)
Phi-Bonacci
Vale a pena comentar que a espiral apresentada na figura
anterior não é de fato uma espiral logarítmica “honesta", ou
seja, uma curva cuja a equação em coordenadas polares
(ρ, θ), seja dada por:
ρ = beaθ , a, b ∈ R+
cuja representação gráfica é mostrada a seguir (e não é a
justaposição de arcos de circunferências!)
Phi-Bonacci
Uma outra propriedade do retângulo áureo: Um diagonal
do retângulo áureo original e uma diagonal do novo
retângulo formado, quando do retângulo original retiramos
um quadrado, são perpendiculares, conforme a ilusta a
figura a seguir (por quê?)
Phi-Bonacci
Phi-Bonacci
O ponto de interseção dessas diagonais é conhecido como
“umbigo do mundo"ou “olho de Deus".
Phi-Bonacci
Retângulos áureos espalhados pelo mundo.
Phi-Bonacci
Retângulos áureos espalhados pelo mundo.
Phi-Bonacci
Phi-Bonacci
Phi-Bonacci
Phi-Bonacci
Phi-Bonacci
Phi-Bonacci
Phi-Bonacci
Phi-Bonacci
Phi-Bonacci
Phi-Bonacci
Phi-Bonacci
1
2
3
Phi-Bonacci
Phi-Bonacci
Nasceu em Pisa (Itália) - 1175.
Phi-Bonacci
Leonardo Fibonacci (diminutivo de fillius de Bonacci).
Phi-Bonacci
Leonardo Bigollo (o viajante).
Phi-Bonacci
Leonardo Bigollo (o viajante).
Primeiros estudos de Matemática - Professores islâmicos.
Retorna para a Itália em 1200 e escreve o seu primeiro
livro.
Phi-Bonacci
Principais obras:
Líber Abacci (livro de cálculo) - 1202: Foi revisto em 1228.
Foi neste livro que Fibonacci falou pela primeira vez do
problema dos coelhos.
Phi-Bonacci
Principais obras:
Pratica Geometricae - 1220: Onde descreve seus
conhecimentos sobre Geometria e Trigonometria.
Phi-Bonacci
Principais obras:
Flos - 1225: Neste Manuscrito Fibonacci apresenta as
soluções de três problemas que lhe tinham sido colocados
por João de Palermo, um membro da corte do Imperador
Frederico II.
Phi-Bonacci
Principais obras:
Flos - 1225: Neste Manuscrito Fibonacci apresenta as
soluções de três problemas que lhe tinham sido colocados
por João de Palermo, um membro da corte do Imperador
Frederico II.
Liber quadratorum - 1225: É o maior livro que Fibonacci
escreveu, no qual aproxima raízes cúbicas, obtendo uma
aproximação correta até a nona casa decimal.
Phi-Bonacci
O PROBLEMA DA REPRODUÇÃO DOS COELHOS:
Phi-Bonacci
Um homem pôs um par de coelhos num lugar cercado por
todos os lados por um muro. Quantos pares de coelhos podem
ser gerados a partir desse par em um ano se, supostamente,
todo mês cada par dá à luz um novo par, que é fértil a partir do
segundo mês e nenhum coelho morre durante o processo?
Phi-Bonacci
Um homem pôs um par de coelhos num lugar cercado por
todos os lados por um muro. Quantos pares de coelhos podem
ser gerados a partir desse par em um ano se, supostamente,
todo mês cada par dá à luz um novo par, que é fértil a partir do
segundo mês e nenhum coelho morre durante o processo?
Phi-Bonacci
Phi-Bonacci
A sequência de Fibonacci:
Phi-Bonacci
A sequência de Fibonacci:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, · · ·
Phi-Bonacci
Definição
A sequência (fn )n∈N , tal que f1 = 1, f2 = 1 e
fn+1 = fn + fn−1 , ∀n ∈ N, n > 1
é chamada de sequência de Fibonacci.
Phi-Bonacci
Definição
A sequência (fn )n∈N , tal que f1 = 1, f2 = 1 e
fn+1 = fn + fn−1 , ∀n ∈ N, n > 1
é chamada de sequência de Fibonacci.
Teorema
O n−ésimo termo da sequência de Fibonacci é dado por
"
√ !n #
√ !n
1
1+ 5
1− 5
fn = √
−
2
2
5
Phi-Bonacci
Demonstração:
Phi-Bonacci
Demonstração:
Sejam ϕ e ϕ 0 as raízes da equação x 2 − x − 1 = 0. Assim,
Phi-Bonacci
Demonstração:
ϕ2 = ϕ + 1 e ϕ 02 = ϕ 0 + 1
Phi-Bonacci
Demonstração:
ϕ2 = ϕ + 1 e ϕ 02 = ϕ 0 + 1
Multiplicando-se as igualdades acima por ϕn e ϕ 0n , segue que:
Phi-Bonacci
Demonstração:
ϕ2 = ϕ + 1 e ϕ 02 = ϕ 0 + 1
ϕn+2 = ϕn+1 + ϕn e ϕ 0n+2 = ϕ 0n+1 + ϕ 0n
Phi-Bonacci
Demonstração:
ϕ2 = ϕ + 1 e ϕ 02 = ϕ 0 + 1
ϕn+2 = ϕn+1 + ϕn e ϕ 0n+2 = ϕ 0n+1 + ϕ 0n
ϕn+2 − ϕ 0n+2
ϕn+1 − ϕ 0n+1 ϕn − ϕ 0n
=
+
ϕ − ϕ0
ϕ − ϕ0
ϕ − ϕ0
Phi-Bonacci
Definindo xn =
ϕn −ϕ 0n
ϕ−ϕ 0 ,
Phi-Bonacci
Definindo xn =
ϕn −ϕ 0n
ϕ−ϕ 0 ,
ϕn+2 − ϕ 0n+2
ϕn+1 − ϕ 0n+1 ϕn − ϕ 0n
=
+
ϕ − ϕ0
ϕ − ϕ0
ϕ − ϕ0
Phi-Bonacci
Definindo xn =
ϕn −ϕ 0n
ϕ−ϕ 0 ,
ϕn+2 − ϕ 0n+2
ϕn+1 − ϕ 0n+1 ϕn − ϕ 0n
=
+
ϕ − ϕ0
ϕ − ϕ0
ϕ − ϕ0
xn+2 = xn+1 + xn
Phi-Bonacci
Definindo xn =
ϕn −ϕ 0n
ϕ−ϕ 0 ,
ϕn+2 − ϕ 0n+2
ϕn+1 − ϕ 0n+1 ϕn − ϕ 0n
=
+
ϕ − ϕ0
ϕ − ϕ0
ϕ − ϕ0
xn+2 = xn+1 + xn
Mas,
ϕ + ϕ 0 = 1 , ϕ.ϕ 0 = −1 e ϕ − ϕ 0 =
Phi-Bonacci
√
5
Definindo xn =
ϕn −ϕ 0n
ϕ−ϕ 0 ,
ϕn+2 − ϕ 0n+2
ϕn+1 − ϕ 0n+1 ϕn − ϕ 0n
=
+
ϕ − ϕ0
ϕ − ϕ0
ϕ − ϕ0
xn+2 = xn+1 + xn
Mas,
ϕ + ϕ 0 = 1 , ϕ.ϕ 0 = −1 e ϕ − ϕ 0 =
√
5
Portanto,
x1 =
ϕ1 − ϕ 01
ϕ2 − ϕ 02
=
1
e
x
=
=1
2
ϕ − ϕ0
ϕ − ϕ0
Phi-Bonacci
Portanto a sequência (xn )n∈N é a sequência de Fibonacci.
Phi-Bonacci
Assim, para todo n natural,
Phi-Bonacci
fn = xn =
ϕn − ϕ 0n
(Fórmula de Binet).
ϕ − ϕ0
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fn = xn =
ϕn − ϕ 0n
ϕ − ϕ0
Como ϕ e ϕ 0 são as raízes da equação x 2 − x − 1 = 0, segue
que:
Phi-Bonacci
fn = xn =
ϕn − ϕ 0n
ϕ − ϕ0
que:
√
√
√
1− 5
1+ 5
0
, ϕ =
e ϕ − ϕ0 = 5
ϕ=
2
2
Phi-Bonacci
fn = xn =
ϕn − ϕ 0n
ϕ − ϕ0
que:
√
√
√
1− 5
1+ 5
0
, ϕ =
e ϕ − ϕ0 = 5
ϕ=
2
2
Portanto,
"
√ !n
√ !n #
1
1+ 5
1− 5
fn = √
−
2
2
5
Phi-Bonacci
Uma revista especializada em números de Fibonacci...
Phi-Bonacci
1
2
3
Phi-Bonacci
1)Na figura abaixo o triângulo ABC é equilátero e está inscrito
no círculo Γ . Se M e N são pontos médios dos lados AB e AC e
P é a interseção do prolongamento do segmento MN com o
círculo Γ , mostre que o ponto N divide o segmento MP em
razão áurea.
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2)Determine as posições dos pontos E e F sobre os lados AB e
BC do retângulo ABCD para que os triângulos ADE, BEF e
CDF possuam áreas iguais.
Phi-Bonacci
3)(OMRN-2013)Um retângulo
√ de ouro é um retângulo de
dimensões 1 × ϕ, onde ϕ = 5+1
é a conhecida razão auréa.
2
Este tipo de retângulo goza da propriedade de que ele pode
ser dividido num quadrado e num retângulo semelhante ao
retângulo original. Este processo continua infinitamente
conforme ilustra a figura a abaixo:
Diante do exposto, mostre que:
1+
1
1
1
+ 4 + 6 + ··· = ϕ
2
ϕ
ϕ
ϕ
Phi-Bonacci
4)Mostre que o comprimento da diagonal de um pentágono de
lado 1 mede ϕ.
Phi-Bonacci
5)Na figura abaixo o triângulo ABC é isósceles tal que BC = 1,
AB = AC e ∠BAC = 36◦ , mostre que:
AB = AC = ϕ
Phi-Bonacci
6)Sendo ϕ a razão áurea, mostre que:
sen54◦ = cos36◦ =
1
ϕ
2
sen18◦ = cos72◦ =
1
2ϕ
Phi-Bonacci
7)Sendo (f1 , f2 , f3 , · · · , fn , fn+1 , · · · ) a sequência de Fibonacci, e
ϕ a razão áurea, mostre que:
ϕn = fn .ϕ + fn−1
Phi-Bonacci
8)Sendo (f1 , f2 , f3 , · · · , fn , fn+1 , · · · ) a sequência de Fibonacci, e
ϕ a razão áurea, mostre que:
fn+1
=ϕ
n→∞ fn
lim
Phi-Bonacci
9)A sequência de Fibonacci (fn )n∈N∪{0} é definida por

0,
se n = 0

fn =
1,
se n = 1 os primeiros termos dessa

fn−2 + fn−1 se n > 1
sequência são, portanto,
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, · · ·
1 1
Considerando a matriz A =
.
1 0
Mostre que An =
fn+1 fn
fn fn−1
, para todo n natural.
Phi-Bonacci
10)Para todo inteiro n ≥ 1, demonstre a identidade de Cassini
para números de Fibonacci:
fn+1 .fn−1 − fn2 = (−1)n
Phi-Bonacci
11)Determine o número inteiro a para que o polinômio
d(x) = x 2 − x − 1
seja um fator do polinômio p(x) = ax 17 + bx 16 + 1.
Phi-Bonacci
12)Na faixa 1 × 10, mostrada na seguir, cada quadrado é
pintado ou de azul ou de vermelho, mas dois quadrado
adjacentes não podem ser pintados de azul.
De quantas maneiras distintas podemos realizar a pintura?
Phi-Bonacci
Obrigado!
Phi-Bonacci

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