Análise soft e análise hard

Análise soft e análise hard
Fernando Ferreira
http://www.ciul.ul.pt/˜ferferr/
Fronteiras da Matemática
17-18 de Abril de 2010
O blogue de Terence Tao
http://terrytao.wordpress.com
Soft analysis, hard analysis, and the finite convergence principle
Uma citação
“É bastante conhecido o facto de que os resultados obtidos pela
análise hard e pela análise soft podem ser mutuamente relacionados
através de vários ‘prı́ncipios de correspondência’. Acredito, porém,
que a relação entre os dois tipos de análise é muito mais próxima do
que isso; em muitos casos, a análise qualitativa pode ser vista como
uma abstracção conveniente da análise quantitativa, em que o
detalhe das dependências entre várias quantidades finitas fica
eficientemente dissimulado pelo uso da notação infinitária.”
A compacidade do intervalo [0, 1]
Teorema
Se o intervalo de números reais [0, 1] está contido numa união de
intervalos abertos então já está contido numa união finita desses
intervalos abertos.
Se
[0, 1] ⊆
[
]ai , bi [
i∈I
com ai < bi (para cada i em I), então existem ı́ndices i0 , i1 , . . . , in de I
tais que
[0, 1] ⊆ ]ai0 , bi0 [ ∪ ]ai1 , bi1 [ ∪ · · · ∪ ]ain , bin [
Um caminho infinito
[0, 1] = K0 ⊇ K1 ⊇ K2 ⊇ K3 ⊇ · · ·
com |Kr | =
1
2r ,
Tome-se w ∈
para todo o número natural r.
T
r∈N
Kr .
Para certo i ∈ I, tem-se que w ∈ ]ai , bi [.
Ora, para r suficientemente grande, w ∈ Kr ⊆ ]ai , bi [.
Contradição.
Compacidade vis-à-vis finitude
Compacidade:
∀x ∈ [0, 1] ∃i ∈ N x ∈ ]ai , bi [ ⇒ ∃l ∈ N ∀x ∈ [0, 1] ∃i ≤ l x ∈ ]ai , bi [
Colecção:
∀x ∈ F ∃i ∈ N x ∈ Xi ⇒ ∃l ∈ N ∀x ∈ F ∃i ≤ l x ∈ Xi
O princı́pio da convergência infinita
Teorema
Toda a sucessão crescente e limitada de números reais é
convergente.
Teorema (reformulado)
Toda a sucessão crescente e limitada de números reais é de Cauchy.
[0, 1]N : conjunto das sucessões de números do intervalo [0, 1].
x̃i = maxj≤i x(j)
∀x ∈ [0, 1]N ∀k ∈ N∃i ∈ N∀n ∈ N |x̃i+n − x̃i | ≤
1
2k
O princı́pio da convergência finita - 1
∀x ∈ [0, 1]N ∀k ∈ N ∃i ∈ N ∀n ∈ N |x̃i+n − x̃i | ≤
1
2k
O princı́pio da convergência finita - 1
∀x ∈ [0, 1]N ∀k ∈ N ∃i ∈ N ∀n ∈ N |x̃i+n − x̃i | ≤
1
2k
∀x ∈ [0, 1]N ∀k ∈ N ∀F ∈ NN ∃i ∈ N |x̃i+F(i) − x̃i | ≤
1
2k
O princı́pio da convergência finita - 1
∀x ∈ [0, 1]N ∀k ∈ N ∃i ∈ N ∀n ∈ N |x̃i+n − x̃i | ≤
1
2k
∀x ∈ [0, 1]N ∀k ∈ N ∀F ∈ NN ∃i ∈ N |x̃i+F(i) − x̃i | ≤
1
2k
O princı́pio da convergência finita - 1
∀x ∈ [0, 1]N ∀k ∈ N ∃i ∈ N ∀n ∈ N |x̃i+n − x̃i | ≤
1
2k
∀x ∈ [0, 1]N ∀k ∈ N ∀F ∈ NN ∃i ∈ N |x̃i+F(i) − x̃i | ≤
1
2k
∀k ∈ N ∀F ∈ NN ∀x ∈ [0, 1]N ∃i ∈ N |x̃i+F(i) − x̃i | <
1
2k
∀k ∈ N ∀F ∈ NN ∀x ∈ [0, 1]N ∃i ∈ N x ∈ Ωk,F
i
onde Ωk,F
:= {x ∈ [0, 1]N : |x̃i+F(i) − x̃i | <
i
1
}.
2k
Situação
[ k,F
[0, 1]N ⊆
Ωi
i∈N
O princı́pio da convergência finita - 1
∀x ∈ [0, 1]N ∀k ∈ N ∃i ∈ N ∀n ∈ N |x̃i+n − x̃i | ≤
1
2k
∀x ∈ [0, 1]N ∀k ∈ N ∀F ∈ NN ∃i ∈ N |x̃i+F(i) − x̃i | ≤
1
2k
∀k ∈ N ∀F ∈ NN ∀x ∈ [0, 1]N ∃i ∈ N |x̃i+F(i) − x̃i | <
1
2k
∀k ∈ N ∀F ∈ NN ∀x ∈ [0, 1]N ∃i ∈ N x ∈ Ωk,F
i
onde Ωk,F
:= {x ∈ [0, 1]N : |x̃i+F(i) − x̃i | <
i
1
}.
2k
Situação
[ k,F
[0, 1]N ⊆
Ωi
i∈N
O teorema de Tychonoff
Em RN há uma noção natural de aberto (básico). São os conjuntos
da forma:
]a0 , b0 [ × ]a1 , b1 [ × · · · × ]an , bn [ × R × R × R × · · ·
Teorema (a partir do Teorema de Tychonoff)
O espaço [0, 1]N é compacto para a topologia produto.
Facto fácil
Fixe-se i, j, k ∈ N. O conjunto
{x ∈ RN : |x̃i+j − x̃i | <
é aberto na topologia produto.
1
}
2k
O princı́pio da convergência finita - 2
Situação
[ k,F
[0, 1]N ⊆
Ωi
i∈N
Situação esclarecida
Existe l ∈ N tal que
[ k,F
[0, 1]N ⊆
Ωi
i≤l
∀k ∈ N ∀F ∈ NN ∀x ∈ [0, 1]N ∃i ∈ N x ∈ Ωk,F
i
∀k ∈ N∀F ∈ NN ∃l ∈ N∀x ∈ [0, 1]N ∃i ≤ l x ∈ Ωk,F
i
O princı́pio da convergência finita - 2
Situação
[ k,F
[0, 1]N ⊆
Ωi
i∈N
Situação esclarecida
Existe l ∈ N tal que
[ k,F
[0, 1]N ⊆
Ωi
i≤l
∀k ∈ N ∀F ∈ NN ∀x ∈ [0, 1]N ∃i ∈ N x ∈ Ωk,F
i
∀k ∈ N∀F ∈ NN ∃l ∈ N∀x ∈ [0, 1]N ∃i ≤ l x ∈ Ωk,F
i
O princı́pio da convergência finita - 3
∀k ∈ N∀F ∈ NN ∃l ∈ N∀x ∈ [0, 1]N ∃i ≤ l |x̃i+F(i) − x̃i | <
1
2k
Teorema (Princı́pio da convergência finita)
Dados k ∈ N, F : N 7→ N e 0 ≤ x0 ≤ . . . ≤ xM ≤ 1, onde M é
suficientemente grande, dependente de k e F, então existe
0 ≤ i ≤ i + F(i) ≤ M tal que |xn − xm | < 21k , para todos
i ≤ n, m ≤ i + F(i).
“[o princı́pio] afirma que toda a sequência monótona, limitada, de
comprimento finito, mas suficientemente grande, contém quantidades
de meta-estabilidade, de qualidade arbitrariamente grande, com um
erro pré-especificado de tolerância
1
,
2k
na qual a duração da
meta-estabilidade ultrapassa o seu começo i por uma função
arbitrária F também ela especificada de inı́cio”.
O teorema de van der Waerden
Teorema (versão soft)
Suponhamos que os números naturais são coloridos por meio de um
número finito de cores. Então há progressões aritméticas
monocromáticas arbitrariamente longas.
Teorema (versão hard)
Dados c, k ∈ N, existe N ∈ N tal que, sempre que o conjunto
{1, . . . , N} é colorido com c cores, então existe uma progressão
aritmética monocromática de comprimento k.
De soft a hard
Seja dado um número c de cores e k ∈ N:
∀f ∈ {1, . . . , c}N ∃a, b ∈ N+ ∀m, n < k f (a + bn) = f (a + bm)
Vem:
∃l ∈ N∀f ∈ {1, . . . , c}N ∃a, b ≤ l ∀m, n < k f (a + bn) = f (a + bm)
Ponha-se agora:
N = l + lk
O teorema da recorrência de
Furstenberg
Teorema
Seja (X, µ, T) um espaço de probabilidades munido duma aplicação
T : X 7→ X tal que:
1. T é uma bijecção.
2. T e T −1 são aplicações mensuráveis.
3. µ(T[Z]) = µ(Z), para todo o subconjunto mensurável Z de X.
Sejam dados k ≥ 2 e Y ⊆ X mensurável de medida positiva. Então
existe r > 0 tal que µ(Y ∩ T r Y ∩ . . . ∩ T (k−1)r Y) > 0.
O teorema de Szemerédi
Teorema (versão soft)
Seja A um conjunto aleatório estacionário de inteiros tal que
P(0 ∈ A) > 0. Seja k ≥ 2. Então, existe r > 0 tal que
P(0 ∈ A ∧ r ∈ A ∧ . . . ∧ (k − 1)r ∈ A) > 0.
Teorema (versão hard)
Sejam k ≥ 2 e 0 < δ ≤ 1. Então existe um inteiro positivo N tal que
todo o subconjunto A de {−N, . . . , N}, com |A| ≥ δ(2N + 1), contém
pelo menos uma progressão aritmética de comprimento k.
Matemática . . . matemática
Um subconjunto X de N tem densidade superior positiva se
lim sup
n
{1, . . . , n} ∩ X
>0
n
Teorema (Szemerédi)
Seja X ⊆ N de densidade superior positiva. Então X tem progressões
aritméticas de comprimento arbitrariamente grande.
Ainda que os primos tenham densidade superior nula, tem-se:
Teorema (Green - Tao)
Os números primos têm progressões aritméticas de comprimento
arbitrariamente grande.
Green, Ben; Tao, Terence (2008): “The primes contain arbitrarily long
arithmetic progressions”, Annals of Mathematics 167: 481-547,
arXiv:math.NT/0404188.
Kurt Gödel
A interpretação dialectica
http://terrytao.wordpress.com/2007/05/23/soft-analysis
-hard-analysis-and-the-finite-convergence-principle/
Gödel - Shoenfield:
A
;
AS = ∀x∃yAS (x, y)
Ferreira - Oliva:
A
;
˜ ∃cA
˜ U (b, c)
AU = ∀b
http://www.ciul.ul.pt/˜ferferr/logica.html