física (eletromagnetismo) corrente elétrica e

FÍSICA (Eletromagnetismo)
Corrente Elétrica e Resistência
Prof. Dr. Sergio Turano de Souza
FÍSICA (ELETROMAGNETISMO)
CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA
Nos capítulos anteriores estudamos as propriedades de cargas em repouso, assunto da eletrostática. A partir
deste capítulo iniciaremos o estudo das correntes elétricas, ou seja, das cargas em movimento.
1 CORRENTE ELÉTRICA
Quando ligamos uma bateria às duas extremidades de um condutor, uma diferença de potencial V é criada e,
se o comprimento do fio for ℓ, então um campo elétrico de módulo E = V/ℓ será criado dentro do condutor.
Este campo elétrico ⃗E atuará sobre os elétrons, imprimindo-lhes um movimento resultante no sentido oposto
a ⃗E. Se uma carga líquida dq passa através de qualquer superfície num intervalo de tempo dt, dizemos que
foi estabelecida uma corrente elétrica, cuja intensidade é definida por
.
Para uma corrente em um fio, dq é a carga que passa que passa através de uma seção transversal em um
tempo dt. A unidade SI de corrente é o ampère (A), definido como
1 ampère = 1 coulomb/segundo
Figura 1 - Cargas em movimento através de uma área A. A taxa com a qual a carga flui através da área é definida como
a corrente I. A direção da corrente é a direção do movimento das cargas positivas. (Fonte: Serway 3ed.)
Note que é necessário que exista o escoamento de uma carga resultante dq para que se estabeleça uma
corrente. Além disso, a carga resultante que atravessa uma dada superfície pode ser positiva ou negativa.
Por razões históricas, convencionou-se dizer que a corrente possui a mesma direção do fluxo das cargas
positivas, como mostra a Figura 1. Nos condutores elétricos, como cobre ou alumínio, a corrente é devida ao
movimento de elétrons com carga negativa. Portanto, a corrente num condutor possui direção oposta ao
movimento dos elétrons. No entanto, se estamos considerando um feixe de prótons carregados
positivamente num acelerador, a corrente possui a mesma direção do movimento dos prótons. Portanto, é a
carga líquida em movimento que define o sentido da corrente elétrica. Por exemplo, a Figura 2 mostra quatro
seções de área pelas quais fluem diferentes quantidades de cargas positivas e negativas, o que resulta em
diferentes intensidades e sentidos para a corrente elétrica em relação ao movimento das cargas.
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Figura 2 - Cargas movem-se através de quatro regiões: (a) A carga líquida é positiva, portanto a corrente I tem o mesmo
sentido das cargas positivas; (b) A carga líquida é positiva e o sentido da corrente é o mesmo do movimento das cargas;
(c) A carga líquida é nula, portanto não há corrente fluindo na região; (d) A carga total é negativa e a corrente possui
sentido oposto ao do movimento das cargas. (Fonte: Serway 3ed.)
2 RESISTÊNCIA
Vimos anteriormente que o campo elétrico no interior de um condutor é zero. Entretanto, isto é válido apenas
se o condutor estiver em equilíbrio eletrostático. Nesta seção vamos descrever o que acontece quando
cargas num condutor não estão em equilíbrio, ou seja, quando há um campo elétrico no interior do condutor.
Considere um condutor com uma seção transversal de área A transportando uma corrente I. A densidade de
corrente J no condutor é definida como a corrente por unidade de área:
onde J possui unidades de A/m2. Esta expressão é válida apenas se a densidade de corrente é uniforme e
somente se a superfície da seção de área A é perpendicular à direção da corrente. De uma forma geral, a
densidade de corrente é uma quantidade vetorial e está relacionada com a corrente I pela expressão
onde dA é um elemento de superfície e a integral é calculada sobre toda a superfície em questão.
O campo elétrico exerce uma força F = qE sobre os portadores de carga (elétrons) em um condutor, mas
esta força não produz uma aceleração resultante porque os elétrons colidem continuamente com os átomos
ou íons que fazem parte do condutor. O efeito das diversas colisões resulta numa pequena velocidade média
adquirida pelos elétrons, chamada velocidade de deriva ou arrasto, vd. Como os elétrons possuem carga
negativa, o sentido da velocidade de deriva é oposto ao do campo elétrico (Figura 3). O número de elétrons
livres ou de condução em um comprimento L de um fio condutor é nAL, onde n é o número de elétrons por
unidade de volume e AL é o volume do comprimento L do fio. A carga que atravessa o fio num intervalo de
tempo Δt = L / vd é Δq = (nAL)e. Logo, a corrente I é dada por:
Como J = I/A, temos que
Ou, em termos vetoriais, temos que:
onde o sinal negativo indica que para os elétrons J e vd possuem sentidos opostos.
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Figura 3 - Representação gráfica do movimento dos elétrons em um condutor. Mudanças na direção dos movimentos
são o resultado de colisões entre elétrons e átomos no condutor. Note que o movimento líquido do elétron é oposto à
direção do campo elétrico. (Fonte: Serway 3ed.)
A densidade de corrente J e um campo elétrico E são estabelecidos em um condutor qualquer que seja a
diferença de potencial mantida ao longo do condutor. Em alguns materiais, a densidade de corrente é
proporcional ao campo elétrico:
onde a constante de proporcionalidade σ é chamada de condutividade do condutor. Esta relação é
conhecida como a lei de Ohm, que pode ser escrita como:
Para diversos materiais (incluindo a maioria dos metais), a razão entre a densidade de corrente e o
campo elétrico é uma constante σ que é independente do campo elétrico que produz a corrente.
Materiais que obedecem a lei de Ohm são chamados ˆôhmicos.
Consideremos agora um fio condutor de seção de área A e comprimento L, como mostrado na Figura 4.
Figura 4 - Uma diferença de potencial V é aplicada a um condutor cilíndrico de comprimento L e área da seção reta A,
originando uma corrente I. (Fonte: Halliday 8ed.)
Uma diferença de potencial V é mantida através do fio, criando um campo elétrico e uma corrente ao longo
do fio. Supondo que o campo seja uniforme, a diferença de potencial está relacionada com o campo pela
expressão
V = EL
Portanto, podemos expressar a magnitude da densidade de corrente no fio como
Como J = I/A, podemos escreve a diferença de potencial como
A quantidade R = L/σA é chamada de resistência do condutor. Assim, podemos definir a resistência como a
razão entre a diferença de potencial ao longo do condutor e a corrente no condutor:
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Esta equação será muito empregada na análise de circuitos elétricos. A resistência possui unidades SI de
volts por ampère, que recebe a denominação de ohm (Ω):
Esta expressão mostra que se uma diferença de potencial de 1 V ao longo de um condutor causa uma
corrente de 1 A, a resistência do condutor é de 1 Ω. Um condutor cuja função num circuito é fornecer uma
resistência específica é chamado de resistor e é representado num diagrama de circuito com o símbolo
. Para uma dada diferença de potencial, quanto maior for a resistência ao fluxo de carga, menor será
a corrente.
Em termos da resistência, podemos escrever a lei de Ohm como:
Um condutor obedece à lei de Ohm quando sua resistência é independente do valor e da polaridade da
diferença de potencial aplicada.
O inverso da condutividade é a resistividade ρ:
onde ρ possui unidades de ohm·metro (Ω · m). Como R = L/σA, podemos expressar a resistência de um
bloco uniforme de material com comprimento L como
Note que esta relação só é válida para condutores homogêneos e isotrópicos de seçãao reta uniforme e
sujeitos a um campo elétrico também uniforme.
3 ENERGIA EM CIRCUITOS ELÉTRICOS
Se uma bateria é usada para estabelecer uma corrente elétrica em um condutor, há uma continua
transformação da energia química na bateria para a energia cinética dos elétrons, isto é, para a energia
interna do condutor, o que resulta em um aumento da temperatura do condutor. Vamos determinar uma
expressão que permite calcular a taxa pela qual a energia é transferida ao condutor. Em primeiro lugar,
vamos considerar um circuito simples como o mostrado na Figura 5 onde a energia está sendo transferida
diretamente para um resistor. Como os fios que conectam a bateria e o resistor também possuem uma
resistência, parte da energia é transferida para os fios e parte para o resistor. Por simplicidade, vamos
considerar que a resistência dos fios é desprezível, portanto toda a energia fornecida ao circuito é transferida
para o resistor.
Figura 5 - Um circuito simples consistindo de um resistor de resistência R e uma bateria possuindo uma diferença de
potencial V entre seus terminais. Cargas positivas movem-se no sentido horário. (Fonte: Serway 3ed.)
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Uma quantidade de carga positiva q move-se ao longo de todo o circuito criando uma corrente I. Entre os
pontos a e b, a carga move-se através da bateria e a energia potencial elétrica do sistema aumenta por uma
quantidade U = qV enquanto a energia potencial química na bateria diminui pela mesma quantidade. Quando
a carga move-se de c até d através do resistor, o sistema perde energia potencial elétrica durante as colisões
dos elétrons com os átomos no resistor. Neste processo, a energia é transformada em energia interna
correspondendo a um aumento do movimento vibracional dos átomos no resistor. Nos segmentos bc e da
não ocorre nada, já que desprezamos a resistência do fio condutor. Portanto, quando a carga retorna ao
ponto a, parte da energia foi transferida para o resistor na forma de energia interna.
O resistor está normalmente em contato com o ar, logo, como sua temperatura aumenta, a energia interna é
transferida para o ar na forma de calor. Além disso, o resistor também emite radiação térmica, uma outra
forma de transferência de energia. Após um certo intervalo de tempo, o resistor atinge uma temperatura
constante e a energia fornecida pela bateria é balanceada pela energia liberada pelo resistor na forma de
calor ou radiação. A taxa pela qual o sistema perde energia potencial elétrica à medida que a carga q
atravessa o resistor é então
onde I é a corrente no circuito. O sistema ganha esta energia potencial quando a carga passa através da
bateria, ao custo da diminuição da energia química da bateria. Portanto, a potência P = dU /dt que dá a taxa
de perda de energia potencial é
P = IV
Como para um resistor V = IR, podemos expressar a potˆencia transferida para o resistor como:
Se a corrente I é expressa em ampères, V em volts e R em ohms, a unidade SI de potência é o volt·ampère
ou watt:
O processo pelo qual a potência é perdida como energia interna em um condutor de resistência R é
frequentemente chamado aquecimento Joule ou efeito Joule.
PROBLEMAS
1 Uma corrente de 5 A percorre um resistor de 10 W durante 4 minutos. (a) Quantos coulombs e (b) quantos
elétrons passam através da seção transversal do resistor neste intervalo de tempo?
4 A quantidade de carga q (em coulombs) que passa através de uma superfície de área 2,00 cm2 varia com o
tempo de acordo com a equação q = 4t3 + 5t + 6, onde t é dado em segundos. (a) Qual é a corrente
instantânea que atravessa a superfície em t = 1,00 s? (b) Qual é o valor da densidade de corrente?
5 Uma corrente elétrica é dada pela expressão i(t) = 100 sen (120π t), onde i está em ampères e t em
segundos. Qual é a carga total transportada pela corrente de t = 0 a t = (1/240) s?
6 Uma lâmpada possui uma resistência de 240 W quando uma diferença de potencial de 120 V atravessa-a.
Qual é a corrente na lâmpada?
7 Um resistor é composto por uma barra de carbono que possui uma seção reta de área de 5,00 mm2.
Quando uma diferença de potencial de 15,0 V é aplicada através de uma das pontas da barra, ela carrega
uma corrente de 4,00 x 10-3 A. Encontre (a) a resistência da barra de carbono e (b) o comprimento da barra
(considere que a resistividade do carbono é de 3,5 x 10-5 Ω·m).
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8 Suponha que você deseja fabricar um fio uniforme usando 1,00 g de cobre. Se o fio tiver uma resistência
de 0,500 Ω e se todo o cobre for utilizado em sua confecção, qual será (a) o comprimento e (b) o diâmetro do
fio? Considere que a densidade do cobre é 8,92 x 103 kg/m3 e a resistividade do cobre é 1,70 x 10-8 Ω·m.
9. Um fio de metal de resistência R é cortado em três pedaços iguais que são então conectados lado a lado
para formar um novo fio de comprimento igual a 1/3 do tamanho original. Qual é a resistência deste novo fio?
10 Uma torradeira possui uma potência de 600 W quando conectado a uma fonte de 120 V. Qual é a corrente
que a torradeira transporta e qual sua resistência?
11 Uma bateria de 10,0 V é conectada a um resistor de 120 W. Ignorando a resistência interna da bateria,
calcule a potência transferida para o resistor.
12 Uma diferença de potencial de 120 V é aplicada a um aquecedor cuja resistência é de 14 W, quando
quente. (a) A que taxa a energia elétrica é transformada em calor? (b) A 5 centavos por kW·h, quanto custa
para operar este dispositivo durante 5 horas?
Respostas
1 (a) 1200 C; (b) 7; 5 _ 1021
4 (a) 17,0 A; (b) 85,0 kA/m2
5 0,265 C
6 500 mA
7 (a) 3,75 kW; (b) 536 m
8 (a) 1,82 m; (b) 280 µm
9
10 5,00 A e 24,0 W
11 0,833 W
12 (a) 1028 W; (b) 25 centavos