Matemática Básica I Nome LEGÍVEL (letras maiúsculas): Matrícula:

MB1 V2 18/07/2016
D R . S IMON G. C HIOSSI @ G MA / U FF
Matemática Básica I
Prova V2 – turma A1 – 18 / 07 / 2016
Nome LEGÍVEL (letras maiúsculas):
Matrícula:
B
R ESPOSTAS SEM EXPLICAÇÃO NÃO SERÃO CONSIDERADAS .
B
(1) Determine o intervalo dos valores m para que exista x , em cada caso:
a)
cos x = m 2 − 8
b)
2 sin(2x) + 1 = m
(2) Seja f (x) = 4 − 3x−5 , com 0 É x É 10.
c)
[1.5]
m
4 tan x = .
3
[2 ]
a) Use translações e reflexões para esboçar o gráfico de f ;
b) Encontre a expressão da função inversa;
c) Esboce o gráfico da função inversa.
(3) Analise o sinal da expressão
[1.5]
4
8
−
.
x −2 x −1
(4) Transforme os seguintes números complexos para a forma polar:
p
1
3
a) − +
i
b) − i
3
3
[2 ]
(5) Exprima cos(4x) em termos de cos x, sin x .
[1 ]
(6) Resolva a equação
[2 ]
log2 (x + 1) = log4 (2x + 5) .
(Se quiser pode usar a fórmula (logc a)(loga b) = logc b .)
1
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GABARITO
1. a) Como o cosseno cos x de x sempre é um
p qualquer x , precisamos
p número entre −1 e 1 para
impor −1 É m 2 − 8 É 1. Isso é, 7 É m 2 É 9. Assim,
b) Como 2 sin(2x)+1 = m implica sin(2x) =
expressão Y , então temos
−1 É
7 É m É 3 ou −3 É x É − 7.
m −1
, e sin(Y ) é um número entre −1 e 1 para qualquer
2
m −1
É 1 =⇒ −2 É m − 1 É 2 =⇒ −1 É m É 3.
2
m
c) A imagem da função tangente é R (qualquer número real é a tangente de um x ), então tan x =
12
é definida para qualquer m .
2. a) Construimos o gráfico de f partindo do gráfico de y = 3x (azul), translando a direita para
obtermos y = 3x−5 (marrom), refletindo com respeito ao eixo x para obtermos y = −3x−5 (laranja) e por
fim translando para acima produz y = −3x−5 + 4 (vermelho, 0 É x É 10).
b) Como
y = −3x−5 + 4 ⇐⇒ 4 − y = 3x−5 ⇐⇒ log3 (4 − y) = x − 5 ⇐⇒ log3 (4 − y) + 5 = x,
então a função inversa é y = f −1 (x) = log3 (4 − x) + 5.
c) O gráfico da função inversa (verde):
2
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3.
Começamos somando as frações
4
8
4(x − 1) − 8(x − 2)
−4x + 12
−
=
=
.
x −2 x −1
(x − 2)(x − 1)
(x − 2)(x − 1)
Analisando os sinais de −4x + 12, x − 2 e x − 1 encontramos:
intervalo: (−∞, 1) (1, 2) (2, 3) (3, +∞)
sinal de − 4x + 12:
sinal de x − 2:
sinal de x − 1:
+
–
–
+
–
+
+
+
+
–
+
+
−4x + 12
:
(x − 2)(x − 1)
+
–
+
–
sinal de
Aliás, a fração zero
−4x + 12
é zero para x = 3 (quando o numerador for = 0).
(x − 2)(x − 1)
4
8
−
é:
x −2 x −1
• positivo para x ∈ (−∞, 1) ∪ (2, 3);
Então
• zero para x = 3;
• negativo para x ∈ (1, 2) ∪ (3, +∞).
4p. Para escrever um número complexo a + i b em forma polar ρe i θ precisamos calcular o módulo
ρ=
a2 + b2 e o p
ângulo θ (por meio das relações cos θ = a/ρ, sin θ = b/ρ ).
1
3
a) Para − +
i temos:
3
3
v
uµ ¶ Ã p !2
u 1 2
3
2
ρ=t −
+
=
3
3
3
e assim
1 3
cos θ = − · ,
3 2
p
3 3
2
sin θ =
· =⇒ θ = π.
3 2
3
p
3
2
1
i = e 2i π/3 .
Então − +
3
3
3
b) Analogamente para −i :
ρ=
q
(0)2 + (−1)2 = 1
e assim
cos θ = 0,
3
sin θ = −1 =⇒ θ = π.
2
Então −i = e 3i π/2 .
(NB: geometricamente o número complexo −i corresponde ao ponto (0, −1) no círculo unitário, logo
seu módulo é 1 e seu argumento 3π/2.)
3
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5.
Podemos usar a fórmula cos(2θ) = 2 cos2 θ − 1 duas vezes:
cos 4x = 2(cos 2x)2 − 1
= 2(2 cos2 x − 1)2 − 1
= 2(4 cos4 x + 1 − 4 cos2 x) − 1
= 8 cos4 x + 1 − 8 cos2 x.
Alternativamente, lembrando que
cos(4x) + i sin(4x) = (cos x + i sin x)4
¡
¢2
= (cos x + i sin x)2
= (cos2 x − sin2 x + 2i sin x cos x)2
[só precisamos da parte real]
= (cos2 x − sin2 x)2 − 4 sin2 x cos2 x + i (· · · )
segue-se
cos(4x) = cos4 x + sin4 x − 6 sin2 x cos2 x.
(Este é o mesmo resultado do que antes se transformarmos sin2 x = 1 − cos2 x .) )
6.
Em primeiro lugar é preciso impor
½
x +1 > 0
2x + 5 > 0
então
x > −1
(0.1)
Para resolver, mudamos base em log4 (2x + 5) com a fórmula de mudança de base
log4 (. . .) =
log2 (. . .)
log2 4
=
log2 (. . .)
2
.
A equação vira
log2 (x + 1) =
1
log2 (2x + 5)
2
=⇒
2 log2 (x + 1) = log2 (2x + 5) ,
ou seja
log2 (x + 1)2 = log2 (2x + 5) .
Isso implica (x + 1)2 = (2x + 5), isso é x 2 + 1 + 2x = 2x + 5 =⇒ x 2 = 4 =⇒ x = ±2.
Mas as restrições (0.1) excluem −2, então a única solução é x = 2.
4