Momentos de 2.a ordem das superficie plana
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Momentos de 2.a ordem das superficie plana
Momentos de 2.a ordem das superficie plana Dtfinições. - Variação dos momentos pela translação dos eixos. - Variação dos momento pela rotação dos eixos. - Ellipses de inercia. Applicaçõts : determinação - Antipolos. dos momentos de inercia, ellipse de inercia e nucleo central. 1- Definições. São momentos de 2.a ordem o momento de inercia e o momento centrifugo. Momento de inercia de uma superfície S em relação a um eixo x, é a somma dos productos de cada um dos elementos dS da superfície pelo quadrado da distancia x d'este elemento ao eixo considerado; lx == ~~2dS Momento centrifugo ou momento de inercia composto de uma superfície plana em relação a 2 eixos x, y é a somma dos productos de cada um dos elementos da superfície pelas distancias delle aos eixos considerados: lxy ==/ xydS - 134 - sendo . x e y as distancias do elemento dS respectivamente aos eixos. E' de vantagem em muitas applicações graphicas da Resistencia, considerar momentos de inercia obliquos, isto é, momentos em que os comprimentos x não são normaes ao eixo, mas parallelos a uma direcção qualquer. Vejamos a relação que liga os 2 generos de momentos de inercia. == Jx'2dS == x2 dS logo I ,x == f -cos 1 OU I'x == - -f x2dS cos rx I'x ,/ .,-:r -' I X 1 X COS IX 2 1X 2 ••• I'x 1 == -cos -rx 2 fx D'ahi concluimos que, uma vez obtido o momento de inercia em relação a um eixo, facil é deduzir-se o momento de inercia obliquo em relação ao mesmo eixo. Tambem podemos considerar momentos centrifugas obli- quos, em que os comprimentos x e y são avaliados lamente a 2 direcções quaesquer. par~lle - 135 - ==f x'y'dS l'xy Vejamos a relação que liga os dois generos de momen; tos centrifugas. x y I' == x' cos a == y ' cos fJ _· xy - 1 co sacos fJ lxy 2 - Variação dos momentos de 2.a ordem pela translação dos eixos. A) Momento de inercia. Seja x um etxo em relação ao qual o momento de inercia é Supponhamos agora um etxo x1 parallelo a x,_ e delle distante de z; temos: d5 Gl I o f : ± I I 1 1 ,:X:O I o lx 1 I ==f (x-f.z)2dS ==f x2dS + 2 f xzdS +f z dS 2 lx 1 == lx + 2z j xd S + z2 S - j xdS é 136 - o momento estatico da figura em ·relação ao eixo x; temos então: j xdS == Sxo representando a distancia do centro de gravidade ao eixo x; substituindo vem: X0 Vejamos qu~l o valor a attribuir a z pa'ra que a expressão do movimento de inercia seja a menor possivel. ••• z • == -- X0 Este resultado mostra que o valor menor do momento de inercia para os eixos parallelos a uma direcção qualquer corresponde ao que passa pelo centr<? de gravidade da figura. Para este eixo temos: IXo == lx lx 0 -::=: 2x 0 2S lx - + x 0 2S x0 2 S Esta expressão mostra que o momento de inercia de uma superficie plana em relação a um eixo qualquer, é egual ao momento de inercia da mesma superficie em relação .ao eixo parallelo, passando pelo seu centro ~e gràvidade, augmentado do producto da mesma area, pelo quadrado da distanci~ entre os 2 eixos. A simples observação d'esta ultima expressão, nos mostra mais uma ve?Ja que .o momento de inercia minimo corresponde ao valor Xo o. 137 B) Momento centrifugo. Sejam xx e yy dois eixos quaesquer no plano de uma figura Chamando x, y respectivamente as distancias de um elemento dS de superfície aos eixos xx e yy, temos que o momento centrifugo da superficie em relação aos eixos é: lxy ==f xydS Supponhamos agora, que os 2 eixos, se desloquem parallelamente, sendo a e b as distancias das novas posições ás antigas; temos: lx1y1 ==f (x +a) (y+b) dS ==I (xy + ay + ab + bx) d S ==f xyd s + a I ydS + b xdS + ab s r lxlyl lx y == lxy 1 1 + aSyo + bS:xo + abS sendo ( x0 ,. Yo) as distancias dos centros de gravidade aos eixos na posição primitiva. Si os novos eixos tiverem para origem o centro de gravidade, temos: IXoYo == lxy- XoYoS : • lxy == lxoYo+ XoYoS y, .(;----.~'~-----~---'--:r . ~ Esta expressão mostra que o momento centrifugo de uma superfície plana em relação a 2 eixos orthogonaes quaesquer, é egual ao momento centrifugo relativo, aos eixos parallelos que passam pelo centro de gravidade, augmentado do producto de area da figura pelas distancias do centro cte graYidade, aos eixos na posição primitiva: -138 - 3 - Vaiiação dos momentos de 2.a ordem pela rotação dos eixos. A) Momento de inercia. Supponhamos a superfície S em relação a um eixo aa, é Ia== fa 2 CUJO momento de inercia d S Façamos o eixo aa gyrar em torno de um dos seus pontos O. :c Para estudar a variação dos a momentos de inercia, vamos considerar os eixos rectangulares Ox e Oy, passando por O. Para uma posição Oa do eixo, fazendo o angulo (X com Ox, temos: Projectando o contorno OPR sobre Oa, terrios: O Q == x cos (X +y sen (X temos então: Ia == f[ x2 ==f (x + y ==f[(1 - cos 2 : : -: r(x .; 2 x 2 cos 2 2 - sen 2 a + y2 -- 2 (X) +y x2 ( x c os 2 COS 2 Ia == lx cos 2 y 2 sen 2 (X - + (1 (X + y sen (X - a - sen 2 X y2 y sen 2 + ly sen 2 (X - )2] d S 2 x y sen (X - (X) (X - (X) (X cos x y sen 2 (X) (X] dS dS dS lxy sen 2 a Como caso particular, teremos para um eixo Ob normal a Oa -139 - Vejamos agora qual o angulo a., que corresponde ao la maximo ou mínimo. ~:; 2 I y sen a: cos a. -- 2 lx sen a. cos a. - (ly - lx ) sen 2 a. tg 2 a. == 2 lxy cos 2 a. == o == 2 I xy sen 2 a. 2 I xy ly - fx Temos assim 2 angulos entre Oo e 180o differindo entre si de um angulo recto. A derivada segunda é positiva para um e negativa para outro; logo um delles corresponde ao la mínimo e outro ao la maximo. Em qualquer ponto O, existe, pois sempre, 2 eixos normaes entre si, para os quaes o momento de inercia da superfície é respectivamente maximo e minimo, comparado com os momentos de inercia, tomados em relação aos outros eixos, passando pelo mesmo ponto. Esses eixos, recebem a denominação especial de eixos principaes de inercia da superfície plana no ponto em questão. Escolhidos para eixos coordenados, de modo a terem a os valores O e 90o, da formula: tg 2 a: == tem-se: lxy == O O momento centrifugo em relação aos eixos principaes o para é pois nullo. A reciproca é verdadeira. Si Ixy 2 eixos orthogonaes, elles são eixos principaes de inercia. Com effeito, a formula anterior, deixa ver, que para I xy o, tg 2 a. assume o valor zero e portanto == == e - B) 140 Momento centrifugo. Vejamos agora a alteração do momento centrifugo em relação a um systema de 2 eixos pela rotação deste systema em torno da intersecção dos 2 eixos. Como o caso mais commum é de um systema de 2 eixos orthogonaes, este será o unico que vamos considerar. ==f abdS b == x cos ex + y sen ex a == y cos ex - x sen ex Iab ' Iab == { (y cos ex - == j (yx cos = (cos 2 ex - 2 x sen ex) (x cos ex +y sen ex) dS x2 sen ex cos ex + y2 sen ex cos ex - xy sen 2 ex) dS ex - + sen 2 ex) Ixy sen ex cos ex (lx - Iy) lx - ly I sen 2 ex Iab xy cos 2 ex 2 + == Ellipses de inercia. Ellipse de inercia da superficie em relação a um ponto é uma representação graphica da variação do momento de · inercia, em relação a um eixo que gyra em torno do ponto. Tomemos 2 eixos coordenados rectangulares passando por um ponto qualquer O da superficie considerada. fazendo um eixo Oa que passa pela origem, assumir todas as posições poss'iveis em torno de O, sabemos que a formula que dá a variação do momento de inercia é: 4 - Ia == Ix cos 2 ex· + Iy sen 2 ex - I xy sen 2 ex Antes de continuar observemos que os momentos de 2.a ordem, (mesmo os obliquos) são a somma dos productos .de areas por productos de 2 distancias. Nestas circumstancias podemos sempre considerar o quociente de um momento de inercia pela area da ·superficie - 14t - dada pelo quadrado de um certo comprimento i que chamaremos raio de gyração. Tambem é sempre possível representar o quociente do momento centrifugo, pela area da superfície considerada, como sendo egual a uma area C que chamaremos superfície centrífuga. Temos então: lx _. -lx 2 - s lx == Six fxy == C lxy == S C s 2 Podemos então escrever a equação de la da seguinte forma: ia ix 2 cos 2 a. iy 2 sen 2 a. - C sen 2 a. == ia == + fix + 2 cos 2 a. + iy 2 C Sén ~ sen2 a. - y==PQ-RQ ia== PQ sen (90- a.) :. PQ == cos a. Si para cada posição do eixo Oa, lhe traçarmos paraiia , estas leias a distancias parallelas envolverão uma ellipse, chamada ellipse de inercia do ponto O. Com effeito, a equação dessas parallelas é: + y== ~~ cos a. + X tg a. Substituindo i a pelo seu valor, vem: 1 (ix 2 cos 2 a. +i 2 sen 2 a - C sen 2 a.) 142- Com auxilio da primeira derivada dessa equação podemos eliminar o parametro variavel tg a e assim obteremos a equação dos pontos da curva envolvida por aquella serie de parallelas. - 2 (y ou - 2 y x + 2 C 2 if 2 tg a tg a == - 2 C + 2 iy 2 tg a Íy 2 ) == xy - C xy- C tg a) x == - X + 2 x2 tg a (x 2 :. tg a == ----=--X 2 . - ly 2 Substituindo este valor na equação das parallelas, vem: [Y - X xy X 2 2- . - - 1x ly 2 2 y - 1 C • 2 - xy - xy X 2 • C -1 y 2 2 2 xy- C - · 2 [ xy X 2 +. C ly • 2 [xy _X C ]2 - -1y + i 2 (xy x2 Y ly l. 2 - C Iy 2 2 ~ i Y2) (y2 - + 2 - . ly Íx 2) - + ix2iy2- i y2 y2 - 2Cxy - Cl2 . 2 2 - ]2 • 2C + 2 ix 2) - 2 (xy- C) 2 x2y2- x2jx2- y2iy2 ix 2 x 2 X • -- ly lx xy- C 2xy + x 2 • == . x2- Iy 2 +i 2 xy- C iy 2) (y 2 (x2 X 2 (y 2 - ix2) - y (x 2 - X + - 2C xy - C x2 - iy 2 x2- i y 2C xy - - + (xy- C)2 =o (xy - C) 2 = o x2y2 + 2Cxy- Cl = O ix 2 i l + C2 = o - 143 - que é a equação de uma ellipse referida a um systema de coordenadas rectangulares cuja origem é o centro da ellipse. Esta ellipse, chamada ellipse de inercia da superfície em relação a O, é uma representação graphica dos momentos de inercia relativos aos eixos que passam por O. Com effeito, para se achar o momento de inercia em relação a um eixo que passa por O, basta determinar a distancia que vae d'elle á tangente a ellipse que lhe é paraileia, elevai-a ao quadrado e multiplicar pela area S da figura: lx == S ix 2 A representação graphica dos momentos de inercia oblíquos dos eixos que gyram em torno de O é ainda a mesma ellipse. Com effeito, supponhamos que os comprimentos sejam tomados parallelamente a Oy, e considerem um eixo qualquer Oa; sabemos que _- /f':1., a e + .la + -1s - - l/f:-s _ v + ia = COS IX - - -- i' a a I' cos s 2 IX _ - - COSa IX t/l'a s Ora, a figura nos mostra que Q R = ia = Q P cos IX Q P _:_ i'a portanto a ellipse de inercia é a mesma quer .se considerem os momentos obliquos ou não, sendo que no Lo caso os raios de gy"ração são obHquos e no 2.o perpendiculares aos eixos consia. derados. I Si o ponto O fôr o centro da gravidade, a conica recebe o nome particular de Ellipse Central de lnercia. - 144 - Quando os etxos coordenados se confundem com os que chamamos eixos principaes de inercia, vimos que lxy -=- O A equação de ellipse se reduz então a x2 -. -2 ly y2 + -:--;= lx 1 que é a equação de uma ellipse referida a diametros conjugados. Como os eixos considerados são rectangulares, concluimos que os eixos p-rincipaes de inercia são os eixos da ellipse de inercia. Vejamos agora uma representação graphica da superfície centrifuga C. Considerando a equação: ( x2 - iy 2 ) ( y2 - y ix C)2 = o 2 ) -- (xy - vemos que fazendo X = y y + iy = + ix A.y X resulta • X y- c y c X c X =- y + -- +~ ly c lx que são as coordenadas dos pontos de tangencia dos pares de parallelas aos eixos coordenados, traçados pelas extremidades dos ra10~ de gyração. 145Traçando- e os diametro d'e e pontos de tangencia verifica-se que os triangulos hachurados tem para areas a expressão c 2 Si os etxos coordenados se confundem com o "' etxo principaes concluiremos, mai uma vez, pela imples obsero, isto é, que o vação da figura que C o e portanto I_y momento centrifugo em relação aos eixos principaes da ellipse de inercia é nullo. Vamos demonstrar agora que o momento centrifugo em relação a 2 diametros conjugados da ellipse de inercia tambem é nullo. Sejam Ox e Oy os 2 eixos principaes e Ox 11 Oy1 os 2 diametros conjugados. Chamemos x, y respectivamente as distancias de um elemento dS de superfície aos eixos Ox e Oy; Xt , Yt respectivamente as distancias aos eixos Ox, e Oyl. As equações dos eixos Oy1 a ÜX 1 são respectivamente: b2 x --- m Y sendo mm' x - m'y x- m y yI y 1 + m2 - :. m' - x - m'y ; Xt - i1+ m '2 m y) (x - m'y) _ -K m x y - m' x y + y2 m m' K (x - Xt Yt -= - - x2 - (x 1 y1 d S ~ fx -=- b 2 S ly= a2 S ' = ~ (1, - m lxy- m'lxy + m m'ly) · - -146 Si os comprimentos forem tomados obliquamente, temos: Xt = y1 = X) , cosa. y 1 ' cos~ I x1Y1 = f ,, x 1 y 1 cosa.cos{J === o; f x 1 'y •' = o isto é, o theorema tambem se verifica para o caso de momentos centrifugas obliquos. Construcção. Para se construir as ellipses de iner.. cia o unico processo realmente pratico é, determinadas as direcções dos eixos principaes e respectivos momentos de inercia, deduzir os raios de gyração, isto é, os semieixos maior e menor, e com elles traçar a curva por pontos. Quanto á determinação dos eixos principaes e respectivos momentos de inercia, veremos quando tratarmos das Applicações os processos mais praticas. Uma vez traçada a ellipse de inercia, si se quizer obter o raio de gyração em relação a um eixo qualquer que passa pelo centro da curva, basta achar a distancia d'elle á tangente a ellipse que lhe é parallela; no caso de momentos obliquos, o comprimento é tomado parallelamente á direcção considerada. Uma vez achado o raio de gyração, eleva-se ao quadrado, multiplica-se pela area e obtem-se o momento de . . mercta. ~· I Ix = S.lx 2 e I'x = s··lx 2 Ainda num caso particular dos momentos obliquos ha uma construcção que nos dá immediatamente o raio de gyração sem necessitllr o traçado das tangentes. Sabemos que 147 - Ia -= cos 2 a Ix + ly fg 2 a.- fxy tg a. ou pOIS lxy --= O Pela extremidade do semi eixo de comprimento ty levanto uma normal até encontrar Üa e faço ST -= ix. O triangulo RST nos dá: RT 2 = = Íy 2 RS 2 tg2 a. :. RT = + ST + Íx 2 2 y i'a quando se toma Oy para direcção do momento obliquo. Temos então RT, o raio de gyração relativamente á direcção Oy, correspondente ao eixo Oa. a. Si qmzermos agora o momento de inercia, vem Ia = I'a cos 2 a. = S.RT2 • cos 2 a. Circulo de inercia. Ha pontos para os quaes os momentos de inercia da superfície em relação a um eixo que gyra em torno de cada um d'elles são constantes. A ellipse transforma-se então num circulo, chamado circulo de inercia. Vejamos quantos pontos desse genero existem e como determinai-os. A variação dos momentos de inercia pela rotação de um eixo em torno do centro de gravidade é expressa por: - 148 - Como consideramos para eixos Ox e Oy os eixos principaes da ellipse, temos: Para um eixo a parallelo a0 temos: ora ao = c D ·= c E - D E = y cos Ia = Ia0 logo + S (y cos a: a; - - X X sen a; sen a:) 2 + Sy ·z cos a: - 2 Sxy sen a: cos a + Sx sen a Ia -= lx cos a + ly sen a + Sy cos a - 2Sxy sen a cos a + Ia = Iao 2 2 2 = ( Six 2 2 + Sy c os 2 a 2) + Sx 2 2 2 2 2 _sen a + (Si + Sx y2 cos 2a = 2) sen 2 a - 2xyS sen 2 2 cos 2 a - sen 2 a: 1 = cos 2 a: sen 2 ex 1 + cos2ex = 2cos 2 ex ou 1 - cos2ex = 2sen 2 ex + 1 + cos2o: .cos 2 ex =- - - - 2 1 - cos2ex sen 2 a: == - -- 2 . •• Ia = S(ix 2 +y 2) 1 + cos2ex + S(iy + x) _1~_c_os_2_ex 2 2 · sen2ex - 2xy S . I, = ~ 2 2 [ix + y + (ix + y cos2cx +i, + x'- (i + x cos 2ex - 2xy sen 2cx ] 2 2 y 2 2 2 ) 2 ) 2 a -149- r. ~ ~ [Íx 2 + i .. + x2 + y2 + (ix 2 - i1 2 x2 - +y 2 ) 2xy sen 2a.] cos 2cx - Esta é a expressão para o momento de inercia da superfície em relação a um eixo parallelo a ao que faz o angulo ex com o eixo x e que passa pelo centro de gravidade. Seu valor será sempre positivo quaesquer que sejam as inclinações ex e a distància entre os eixos a e a o. Vejamos agora um ponto tal que, todos os eixos que passam por elle têm um momento de inercia constante. Para que isto se dê é necessario que o valor I a seja independente de ex, logo é prec1so que { Íx 2 - j/ - +y X2 2 = xy = o -t + I+ y 0 e teremos la = _§_ (i X 2 2 iy 2 x2 2) As equações de condição representam duas conicas cujas intersecções determinam os pontos do plano para os quaes os momentos de inercía em relação aos eixos que gyram em torno d'elles são constantes. Para estes pontos as ellipses de inercía se transformam em círculos, chamados círculos de inercia. Si xy = o a equação fornece para x = o para y = o Concluímos então que 2 d' estes pontos são imaginados e que os 2 reaes se encontram no eixo menor da ellipse -- 150 - -centra-l, distante do centro, de um tancia. focal e comprim~nto egual á dis- ~ si iy > ix isto é sendo Ox o eixo maior. Estes pontos são por isso designados pelo nome de anti focos. Para eixos que passam por estes pontos teremos: I =- const ~ 2 [·lx 2 + .ly + (,J· r ly portanto eu 2 . 2 - - lx • 2 )2 l -= s iy 2 1.2 --- 1•y 2 . I -= ly O que mostra que o raio do circulo de inercia é sempre egual ao semi-eixo maior da ellipse central de inercia. 5 -- Antipolos. Supponhamos uma superfície plana S com a respectiva ellipse central de inercia. Chama-se antipolo X de um eixo x qualquer do plano, o ponto symetrico em relação ao centro de gravidade do polo do eixo x, relativamente a ellipse central. Nucleo central é o logar geometrico dos antipolos X dos eixos x que envo,vem a superficie dada ·sem cortai-a. Para os pontos que estiverem dentro do nucleo central, as anti-polares respectivas não cortam a superfície, o contrario se dando para os pontos que estiverem fora. 151 Sendo de grande utilidade o conhecimento da · posição d'esse ponto em um grande numero de construcções graphicas, vamos ver alguns processos para a sua determinação. a) Seja O o centro de gravidade com a respectiva ellipse de inercia e x um eixo qualquer cujo antipolo se procura. A partir de O tomemos Ox 0 um comprimento egual a ix0 , unamos o ponto f ao ponto E e por f levantemos uma normal a Ef, que cortará OE em P. Este ponto P distará de um comprimento PE =- X0 + OP Os triangulos EFO e OPf dão o. Of OP Of :.OP = R OE T . lxo Of2 OE ~----+-----~----~~ XQ 2 Xo logo PE -= Xo + • 2 ~ H E Xo Por P tracemos uma parallela a x até encontrar o diametro da ellipse conjugado a x 0 • A intersecção X é o antipolo de x. Para que isto se dê é necessario que o ponto X' symetrico de X em relação a O, seja o polo, isto é, que se verifique a equação. (HX' B' B) - - 1 ou HB' X' B' HB X' B 1 152- Ofa - ~-- · ~ HB': HB -ER' ·.· ER .:. X'B' - X'B P'R' P'R ER = Xo . + P'R --=- - ix 0 + OP' = ER' lx 0 = X0 - + OP = i'x0 ix 0 •.• .io.l'·· ..... P'R' -- HB' HB X'B' XB • lxo- ' Xo "2) ) ( +~ ( . 2) + X ~ ) ( ( • X0 . lx 0 : lx 0 Xo lx0 -- lxo 1 x0 •· - ' - - 1x0 X - .- 2 lx 0 - + lx - lxo -. 0 3 1xo 2 -- Xo ---~--------~----- ----- +. i'xo ·X o - • ' + 2 . lxo- Xo lx 0 1 2 lxo - X o- o que prova que a construcção feita, nos conduz ao antipolo. Si se quizer evitar a construcção basta tomar no eixo conjugado a x um ponto X que delle diste de . Xx = Xo + 2 lxo - - Xx Xo Vejamos a distancia do antipolo X a um eixo y normal a x e cuja distancia ao centro de gravidade seja y0 . 153 QX QP + PX TO+ PX = PX RB Yo _L ' PX OP OR • 2 ~ PX Xo --=-- c lxo PX = ~ Xo . .. QX = Yx = Yo + X-co b) O segundo processo para a determinação do antipolo de um eixo, basea-se na propriedade muito importante dos antipolos, que vamos demonstrar de uma maneira extremamente simples. (*) Si nos elementos dS da superfície S, applicarmos na me~ma direcção e sentido, forças dF proporcionaes as areas dos elementos e calcularmos o mo .. menta estatico de cada força em relação ao eixo x, obtemos productos proporcionaes aos momentos estaticos dos elementos de area, relativamente ao eixo x: df = KdS xdf= xKdS Appliquemos agora nos elementos de area forças proporcionaes aos respectivos momentos estaticos, já calculados. A resultante d'essas forças, tem o seguinte valor algebrico: K' fxdf = K' fKxdS = KK' fxdS = À fxdS isto é, uma quantidade proporcional ao momento estatico da area, em relação ao eixo. «0 ponto de applicação da resultante d'essas for~s que exprimen grandezas proporcionaes aos momentos esta(•) Esta demonstração não encontramos em nenhum tratado. - 154 - ticos dos elementos de superfície, em relação a x é o antipolo X de x.» Com effeito, uma vez applicadas aos elementos de superfície dS, forças K' xdF proporcionaes aos momentos estaticos, em relação a x podemos calcular os momentos estaticos d'essas forças relativamente ao mesmo eixo x e obtemos valores proporcionaes, aos momentos de inercia dos elementos de superfície em relação a x: (K'xdF)x = = K'x 2 df KK'x 2 dS = Ãx 2 dS Por outro lado sabemos que para um systema qualquer de forças, o moment0 estahco da resultante é egual á somma dos momentos estaticos das componentes, portanto: Ãfx 2 dS = (ÀjxdS) q sendo q a distancia do ponto de applicação da resultante ao eixo x. A equação acima póde ser escripta da seguinte fórma: lx = qfxdS • •• Temos tambem + Xo 2 S + Xo S + x,2) = sx.(x• + i:: fx = lx0 lx = Six02 = S(ix. 2 fx = ••• 2 Sx 0 xx Q = Xx 2 ) (1) Por um ponto qualquer de x, levantemos uma normal y. Os momentos estaticos em relação a y das forças proporcionaes aos momentos estaticos dos elementos de are~ em relação a x, têm por som ma: f K'xdfy ====- f KK'xydS = À lxy - 155 - Por outro lado temos que o momento estatico da resultante é egual á somma dos momentos estaticos das componentes: ). lxy .::= (). f xdS) p lxy == p f xdS == Sx 0 p sendo p a distancia do ponto de applicação da resultante ao eixo y. já vimos anteriormente que: lxy = lxyo + x0 y0 S = (C+x0 y0 ) S ~ Sy 0 [ x0 + ~] = lr + Xoc] - Sxo Yo lxy -= SXoYx SyoXy ••• p -= Yx (2) As egualdades (1) e (2) provam que o ponto de applicação da resultante dos momentos estaticos confunde-se com o anti-polo. Vejamos agora a construcção graphica do antipolo X de um eixo x, baseada nesta importante propriedade dos antipolos. Divide-se a figura dada, em outras menores cujas ellipses centraes de inercia. se saibam construir. Pelo primeiro processo ou pelo terceiro que veremos determinam-se os antipolos do eixo x em relação a cada uma das ellipses. No centro de gravidade de cada uma das figuras parciaes, applicamos forças proporcionaes ás areas respectivas; pelos processos da grapho-estatica determinam-se os momentos estaticos d'essas forças que devem ser applicadas nos antipolos. Oraphicamente determinam-se as direcções das resultantes d'essas novas forças, primeiro considerando-as paraileias ao eixo e depois normaes. A intersecção nos dará o ponto de applicação das forças momentos estaticos, isto é, o antipolo de x. c) O terceiro processo baseia-se. nas seguintes considerações: vimos que Xo Yx = Yo Xy 156Admittamos por um momento que x e y são differentes de zero, isto é, que nem o eixo x nem o eixo y passam pelo centro de gravidade. Si Xy = O isto é, si o etxo x contem o centro y, vamos tambem que Yx = O isto é, que o eixo y contem o centro X; logo: Si o antipolo de um eixo cahe sobre um outro eixo, o antipolo d'este ultimo cahe sobre o primeiro. Vejamos agora a construcção . do antipolo de um eixo, baseada /. \ nesta propriedade e _para a qual, apenas é necessari? o conhecimento de dois diametros conjugados. ·. Das intersecções E e F do ' eixo dado x com os diametros o OP e OQ se constroem as antipolares. O antipolo correspondente ao eixo x, devendo se encontrar nas 2 antipolares só póde se achar na sua intersecção. Para construir a antipolar do ponto E por exemplo, determinam-se os antipolos R e S dos dois eixos EO e EQ (pelo l.o processo, agora simplificado, pela escolha que fizemos dos eixos) . A recta que une R a S é ·a antipolar do ponto E, visto que contem os antipolos de dois eixos que se cortam em E. 6 - Applicações. Determinação dás momentos de inercia, ellipse de inercla e nucleo central de superfícies planas. a) Vejamos primeiramente o caso que mais frequentemente se apresenta na pratica e de facil resolução. Supponhamos uma superfície da qual se conheçam dois ou um -- 157 - eixo de aos dois segunda dade, se equação. symetria, e cujos momentos de inercia em relação eixos na primeira hypothese ou ao eixo unico na e a normal á elle levantada pelo centro de gravisaibam determinar analyticamente com auxilio da lx =f x2 d S Ora, cada eixo de symetria é um eixo principal de inercia. Com effeito, tal recta passa evidentemente pelo centro de gravidade e si a escolhermos para eixo dos x, a normal no mesmo ponto sendo eixo dos y, a cada x correspondem dois y eguaes e contrarios, o que acarreta lxy = Jxy dS = O Visto isto, tell'\OS exactamente os momentos principaes de inercia, deduzimos d'elles os raios principaes de gyração que são os semi-eixos e facil então se torna a construcção da ellipse centraJ de inercia por pontos. Para se construir o nucleo central determinam-se os antipolos das rectas que envolvem a superfície pelo primeiro ou terceiro processos já estudados. b) Caso geral. Seja uma superfície plana qualquer e supponhamos que se queira obter o momento de inercia dessa superfície em relação a um eixo qualquer do plano, a ellipse de inercia relativa á um ponto qualquer do mesmo plano e o nucleo central. Divide-se a superfície em figuras simples das quaes se saiba determinar as ellipses centraes de inercia, isto é, em figuras que correspondam ao caso particular que acabamos de analysar. Momento de inercia. Supponhamos primeiro que se queira calcular o momento de inercia em relação a um eixo qualquer do plano. Pelos primeiros processos que vamos estudar obtem-se os - 158 - momentos de inercia de cada figura parcial em ~elação ao eixo dado. O momento de inercia da figura total é a somma. Os ultimos processos nos dão directamente o momento total. A) A equação I nos dá o v_a lor do momento de inercia da superfície em relação a um eixo qualquer, quando se conhece um eixo parallelo áquelle passando pelo centro da gravidade. Podemos escrever essa expressão da seguinte fórma: Da figura tiramos + ~ RT : . lx == S X RT Íx 0 2 Xo 2 2 2 ... - . ....... o a - R. R Supponhamos momentos obliquos (direcção aa) l'x == _ Ix_ cos 2 a == s (~~ + 2 cos a I'x == 2 Xo_ - ) 2 cos a s X Rf 2 == s (i' + Xo2 x 'o 2 ) - 159 B) Determinação pelos antipolos. Sabemos que == S IX sen do Xo Xx Xx == S _2(~ cos a; == + Xo a; ., sendo x 'x == x 'o + I 2 Xo == s x 'o Xx cos . ~ X X 2 Xn x 'o Em vez de calcular Xx por esta ultima formula é mais pratico determinar graphicamente a posição de X pelo 1.0 ou pelo 3.o processo de determinação de antipolos. Mede-se em seguida a distancia de X ao eixo x, que é justamente Xx ou o comprimento x 'x . C). Determinação pelo circulo de inercia. Sabemos que Ia, Ia 1 a. \ \ \ \ == Ia + 2za S + z S == iy S + Sz(z + 2a 0 2 2 0) -160• b2 Baixando-se pots dos antifocos 8 1 e B2 as .normaes bt e sobre o eixo a1 e observando-se que z b 1 , vem: == b2 == b + 2a 1 0 =-: z + 2a 0 Momentos obliquos O) Determinação pêlo processo Culmann. Temos: IX== S XoXx;:== az XoXx == a b z Xx == a b cz -r> I 11 11/ No centro da gravidade de cada uma das figuras componentes applicam-se forças z' parallelas ao eixo x e proporcionaes ás areas respectivas. Determinam-se em seguida graphicamente os momentos estaticos (*) das diversas areas em relação a x e applicam-se nos antipolos de x em relação ás diversas ellipses, fo_rças z" parallelas ao eixo e propo~cionaes aos momentos estaticos achados. Os antipolos s~o determinados por qualquer dos processos atraz indicados. Novamente e da mesma maneira determinam-se os momentos estaticos dessas ultimas forças, cuja somma é proporcional ao momento de inercia da area total. Supponhamos uma figura da qual o momento de inercia em relação ao eixo x se quer determinar. Divide-se a figura em rectangulos, cujas areas se reduzem a uma base arbitraria a e com os segmentos proporcionaes z' fórma-se a recta das forças na direcção parallela a x, projectando-as em seguida do polo P, situado a uma distancia arbitraria b. Applicando nos centros de gravidade dos rectangulos fqrças z horizontaes, com o auxilio do polygono funicular determinam-se segmentos z" com as intersecções dos lados Estes segmentos i" do polygono funicular com o eixo a. são proporcionaes aos momentos estaticos, de accordo com o que se sabe de grapho-estatica. Consideram-se agora estes segmentos, como novas forças, projectamos em seguida a de um novo polo P', a uma \ I (*) Para a determinação graphica dos momentos estaticos vide Guidi, Scienze delle Costruzioni, l.o volume. - 161 distancia arbit~aria c; applicando agora as forças parallelamente a x nos antipolos que se determinam por qualquer um dos processos já vistos. Os lados extremos do segundo polygono funicular interceptam sobre o eixo x o segmento ~ z'" Teremos então lx = Momentos )' ==== lx = obliquos x cos 2 a abc~z'" a __!:: __c _ ~z'" -= ab'c'~z'" cosa cosa Nota Muitas vezes,. como no caso em que x passa pelos centros de gravidade das figuras parciaes, temos necessidade de empregar uma outra construcção. Sabemo_s que designando )x o momento de inercia de uma das figuras parctaes. Reduzindo S a uma base a, temos + Applico a uma distancia yx0 2 ix/ do eixo x uma força parallela a x e egual a F. Com o polygono funicular obtenho o producto F 0 2 ix02 representado por bz". Applicando no yx + mesmo ponto força agora egual a z", isto é, F 2 Vx + obtenho com novo polygono funicular o producto F 02 ixo b (x2+i 2) 0 b xo representado por cz'" Jx == S (V X0 2 -_ abz ,r, x0 2 + Íx 2 0 -1- ,·x 2 0 2 ) == a F -- abcz'" l' X0 2 + ix 2 0 VX0 2 + ix/ == J - abc"z'" I x-~x- " ...J - 162 Obtem-se facilmente ,/ y Xo2 +. l xo pela seguinte construc- 2 . ção: · Tomo sobre O X 0 a partir de O um comprimento uno a extremidade a P e tenho J·ustamente ,/r x O 2 + 1•Xo2 1x 0 ; , I I ' I ----------~----------x Momentos obliquos J'x ==a [f -v x'o2 + i'xo2] -v x'o 2 + i'xo2 == a b' [ z" -v x'o 2 + i'xo2 == a b' c' z'" + i'xo2 se obtem analogamente. l'x ==a b' c' ~ z"' sendo que vx 'o 2 E) Determinação pelo processo Land-Mohr. Vamos suppor a figura dada dividida em faixas de alturas pequeníssimas de fórma que se possa escrever . Jx == SxoXx == Sx 0 ( Xo + • 2 1 : 0 ) == Sx 2 0 0 fazendo S == a z' vem Jx == a z x0 2 == a z ' x0 x0 I lx == a b ~ z" X0 == a b z 'f == 2 a b ~ _!_ z" Xo 2 x0 163 ~ 1 é a area S' comprehendida z X0 2 entre o polygono funicular e o eixo x. A sommatoria lx == 2 a b S' lx -==a~ ou fazendo . z' S' ... mas fx b == a~ ~ 2: z' 2 z' ==S == SS Na realidade para se empregar este processo deveria dividir a figura em faixas de altura minima; póde-se porém evitar esta complicação observando que a curva em que degenera o polygono funicular quando as faixas se tornam de altura infinitesimal, é inscripta no polygono. Este facto nos fornece um meio de traçar com sufficiente approximação a curva, ainda que esteja a figura dada dividida em faixas de grande altura. Ellipse de inercia. Vejamos agora a construcção da ellipse de inercia em relação a um ponto qualquer que podemos suppor ser o centro da gravidade. Achamos pelos processos vistos os momentos de inercia em relação a 2 eixos orthogonaes passando pelo centro. Ao mesmo tempo determinamos o momento centrifugo da superfície em relação aos 2 eixos. Para isto podemos em pregar (no caso em que os 2 eixos são parallelos aos eixos principaes de todas as ellipses de inercia das figuras parciaes), a equação sendo pots C0 ==o para cada uma das figuras parciaes e sommar os resultados. Tambem podemos empregar o processo dos polygonos 164 funicularep. Supponhamos 2 eixos x e y em relação aos quaes se quer o momento centrifugo da figura. Admittamos em cada figura parcial applicada no centro de gravidade uma força proporcional a aerea. O momento estatico da area parcial será a z x 0 ==a b z . 1/ I consideremos agora a grandeza z'' como uma nova força applicada no mesmo ponto e depois de tel-a disposto parallelamente ao eixo construimos com um segundo polygono funicula,r o momento estatico z" y0 ==c z"' - temos então a z x0 y 0 == a b c z fff I Para todo o systema de forças ~ em que ~z'" extremos do Obtidos da superficie mula a z' x0 y0 == a b c ~ z"' é o segmento interceptado sobre y pelos lados 2.o polygono funicular. assim os momentos de inercia e centrifugos em relação aos 2 ei:~os orthogonaes, pela foríg 2 (X == 2 I xy ly- lx deduzimos a situação dos eixos principaes e os raios de gy, ração principaes, d'onde traçamos a ellipse por pontos. Póde-se obter o mesmo resultado graphicamente pelo processo do circulo de Land-Mohr. Vejamos os fundamentos theoricos d' essa construcção de Land-Mohr. Si imprimirmos ao systema OXY um movimento de rotação, os momentos de inercia relativos a nova posição dos eixos são dados, como já vimos, pelas equações. 165 ~ fx 1 IY1 == ~x -1 1L - [ Jy--; lx == --lx +2 ly + [ fy -2 COS 2>: + lxy Sen 2>: fx cos 2a l l + fxy sen 2a Vamos suppor que os novos eixos OX 1 e OY1 são os principaes de inercia; nestas circumstancias tg 2a == '2 fxy fy- fx ou lx + ly logo lx 1 I Yl fy- fx 2 fxy sen2a 2 fx + 2 ly fxy tg2a + lxy sen 2 a Appliquemos em OD numa escala conveniente uma grandeza igual a lx e .em seguida, na mesma escala OT uma grandeza egual a lxy . Com o diametro OC construamos um circulo de raio: lx + ly 2 Em D appliquemos normalmente a x o segmento DT egual a lxy . a direita si fôr positivo e a esquerda em caso contrario. O ponto T assim determinado recebe o nome de centro de inercia ou ponto principal de inercia. Unindose este ponto ao cen- ,, ,/ , B ,,," ,' ,, - 166 - tro do circulo por uma recta e prolongando-a até encontrar a circujllferencia obtemos o~ pon~9s E e ~· Os_segmentos. TE e TF representam na escala adoptada os momentos .de iner_cia principaes procurados e ao mesmo tempo OE e OF serão os eixos principaes de inercia. Com effeito, em virtude d' essa · construcção realisada temos ~- 2y y== 90 - ~ tg p == tg (180 - 2q:>) == DT - tg2~ == -- 0M tg (:J == - OM - - CD tg 2~ == - Iy tg 2 ~ _ 2 I xy _ 2 Ixy -1X - ly ly - lx. ' - ---- - o que prova que OE e OF são .os eixos principaes de inercia. · Por outro lado r == lx + ly 2 lxy == MT sen TE == r - TF MT == MT == ___hL ~ sen2~ lx + ly _ -~ __ IA 2 sen2cp --=- == r + MT == lx + ly + 2 I xy sen2cp IB 167 de accordo com o que já foi visto anteriormente, sendo OA o eixo principal inclinado de cp sobre o eixo OX e OB o outro eixo principal. Determinados assim os eixos pripcipaes da ellipse de inercia facil é construir a ellipse. Nucleo central. Para se determinar o nucleo central, obtem-se pelos processos estudados (l.o e 3.o), os antipolos das rectas que envolvem a figura e unem-se os em seguida. ARY TORRES. Bibliographia : Paula Souza - Resistencia dos Materiaes. C. Ouidi - Scienze delle Costruzioni. A. Foppl - Résistance des Matériaux. Culman - Statique graphique. Levy - La Statique .graphique. Beljord Roxo - Resistencia dos Materiaes.