Quanten Hall Effekt

Fortgeschrittenen Praktikum I Teil A
Quanten Hall Effekt
Nils Thielke und Robert Brauer
23. Januar 2013
Wir erklären, dass wir dieses Protokoll eigenhändig anhand des
angehängten Messprotokolls und der angegebenen Literatur
erstellt haben.
Nils Thielke
Robert Brauer
Inhaltsverzeichnis
III
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Theorie
2.1 Hall-Effekt . . . . . . . . . . . . .
2.2 Landau-Niveaus . . . . . . . . . .
2.3 Quanten-Hall-Effekt . . . . . . .
2.4 2D-Elektronengas (2DEG) . . . .
2.5 Shubnikov-de-Haas-Oszillationen
2.6 Supraleitung . . . . . . . . . . . .
2.7 Badkryostat . . . . . . . . . . . .
2.8 Lock-in-Verstärker . . . . . . . .
1
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1
1
2
2
3
3
3
4
4
3 Aufbau
5
4 Durchführung
8
1
1 Einleitung
In diesem Protokoll wird die Messung des Quanten-Hall-Effektes dargestellt. Dieser ist
ein Spezialfall des klassischen Hall-Effektes, der vorkommt, wenn die Temperatur bei
ca. 4 K und das Magnetfeld bei mehreren Tesla liegt. Zusätzlich wird ein sogenannter
Lock-in-Verstärker untersucht, der für die Messung essenziell ist. Beim Kühlen der Probe
wird außerdem die Sprungtemperatur des NbTi-Elektromagneten ermittelt.
2 Theorie
Im folgenden wird auf die Theorie eingegangen, die für den Versuch von Bedeutung
ist. Dazu gehört die Erklärung des klassischen und quantenmechanischen Hall-Effektes.
Außerdem werden die Geräte erläutert, die für den Quanten-Hall-Versuch verwendet
werden.
2.1 Hall-Effekt
Der klassische Hall-Effekt kommt in einem stromdurchflossenen Leiter vor, wenn sich senkrecht dazu ein Magnetfeld befindet. Durch die Lorentzkraft bewegen sich die Ladungsträger,
je nach Ladung, senkrecht zu Strom und Magnetfeld.
~
F~ = q~v × B.
(1)
Durch die Ladungstrennung wird ein elektrisches Feld erzeugt. Die Feldstärke steigt solange
an, bis sich zwischen Lorenzkraft und elektrischem Feld ein Gleichgewicht einstellt.
~ + ~v × B)
~ =0
q(E
(2)
Fließt der Strom in x-Richtung [~v = (vx , 0, 0)] und ist das Magnetfeld in z-Richtung
~ = (0, 0, Bz )] orientiert, dann folgt:
[B
Ey + vx Bz = 0.
(3)
Nutzt man den Ausdruck der Stromdichte (~j = nq~v ), dann ergibt sich:
Ey =
1
jx Bz .
nq
(4)
Fasst man die Ladungstrennung wie ein Plattenkondensator auf, dann kann das elektrische
Feld in eine Spannung umgerechnet werden. Für einen Plattenkondensator gilt E = Ud .
Dabei ist d der Abstand der beiden Platten. Die daraus resultierende Spannung wird
I
Hallspannung genannt. Außerdem kann für die Stromdichte j = bd
eingesetzt werden. bd
beschreibt die Querschnittsfläche des Leiters.
UH =
1 IBz
nq b
(5)
2
2 Theorie
Aus der Hallspannung und dem Strom in Längsrichtung kann der sogenannte Hallwiderstand berechnet werden.
UH
1 Bz
RH =
=
(6)
I
nq b
Die Hallspannung und der Hallwiderstand hängen somit linear vom anliegenden Magnetfeld
ab.
2.2 Landau-Niveaus
Die Energie geladener Teilchen, die sich in einem Magnetfeld bewegen ist quantisiert. Das
wiederum sorgt dafür, dass die Kreisbahnen der Teilchen auch quantisiert sind. Somit
existieren nur bestimmte Kreisbahnen, die die geladenen Teilchen, bei festem Magnetfeld,
durchlaufen können. Die Bewegung parallel zum Magnetfeld ist nicht quantisiert. Die
Energie der geladenen Teilchen beträgt:
p2
1
n ∈ ℵ0 , pz ∈ <.
(7)
~ωc + z
E(n, pz ) = n +
2
2µ
Dabei ist ωc = qB
ist die Zyklotronfrequenz. Der Abstand zwischen zwei Niveaus beträgt
µ
~ωc und ist somit vom Magnetfeld abhängig. Bei großen Magnetfeldstärken von mehreren
Tesla, wird der Abstand zweier Energieniveaus sehr groß. Ist die Temperatur unter 4.2 K,
dann wird statt dem klassischen Hall-Effekt der Quanten-Hall-Effekt beatrachtet.
2.3 Quanten-Hall-Effekt
Wenn das Magnetfeld beim Hall-Effekt sehr groß wird, dann können nur noch bestimmte
Kreisbahnen von den geladenen Teilchen durchlaufen werden. Dadurch ergibt sich nur zu
bestimmten Hallspannungen ein Gleichgewicht von Lorenzkraft und elektrischem Feld. Die
Hallspannung bzw. der Hallwiderstand ist daher quantisiert. Vorraussetzung für diesen
Effekt ist ein 2D-Elektronengas. In diesem Elektronengas ist die Bewegungsrichtung parallel
zum Magnetfeld blockiert. Auch wird eine sehr kleine Temperatur von ca. T = 4.2 K
benötigt, da sich sonst die Fermienergie zu stark aufweitet. Durch die Aufweitung wird
die Quantisierung der Energiezustände verschmiert und der Effekt der Quantisierung ist
kaum nachweisbar. Beim Quanten-Hall-Effekt ist der Hallwiderstand im Gegensatz zum
klassischen nicht mehr vom Material abhängig. Er wird wie folgt berechnet:
RH =
h
RK
=
2
νe
ν
ν∈ℵ
(8)
Dabei ist RK der von Klitzing’sche Elementarwiderstand. Betrachtet man nur die Steigung
des Hall-Widerstandes, dann kann aus ihr die Ladungsträgerdichte n bestimmt werden.
Gleichung 6 lautet für ein 2D-Elektronengas wie folgt:
RH =
B
.
ne
(9)
2.4 2D-Elektronengas (2DEG)
3
Für die Ladungsträgerdichte folgt dann:
n=
1 B
.
e RH
(10)
2.4 2D-Elektronengas (2DEG)
Ein 2D-Elektronengas kann erzeugt werden, indem zwei Halbleiter mit unterschiedlich
großer Bandlücke zusammengefügt werden. Durch die unterschiedlich große Bandlücke,
entsteht ein Bereich, indem das Energieband ein Minimum besitzt. Ist das Minimum stark
genug ausgeprägt, dann können die Elektronen den Bereich kaum noch verlassen. Da dieses
Minimum im Energieband nur in einer Bewegungsrichtung erzeugt wird, kann so eine
Bewegungsrichtung blockiert werden. Die Bewegungsmöglichkeit der Elektronen besteht
dann nur noch in 2 Dimensionen.
2.5 Shubnikov-de-Haas-Oszillationen
Liegt die Fermienergie innerhalb eines Landauniveaus, dann können die Elektronen überall
im 2DEG streuen. Das führt dazu, dass der elektrische Widerstand ansteigt. Liegt die
Fermienergie dagegen zwischen zwei Landauniveaus, dann ergibt sich durch die Erhöhung
des Energiebandes an den Rändern ein Kanal. Durch das Magnetfeld können sich die Elektronen in jedem Kanal nur in eine Richtung bewegen, was dazu führt, dass der Widerstand
auf nahezu Null sinkt. Die Änderung des Widerstandes in Abhängigkeit der Position der
Ferminenergie, wird Shubnikov-de-Haas-Oszillation genannt. Das Widerstandsminimum
wird durch die Geometrie der Probe stark beeinflusst, da das Vorkommen der Randkanäle
essenziell für die Leitfähigkeit ist. Aus den Abständen der Maxima bzw. Minima kann mit
folgender Gleichung die Ladungsträgerdichte n bestimmt werden.
n=
e
1
1
1
h Bi − Bi+1
(11)
2.6 Supraleitung
Ein Supraleiter besteht aus einem Material, welches beim Unterschreiten einer sogenannten
Sprungtemperatur besondere Eigenschaften aufweist. Die erste ist, dass der ohmsche
Widerstand Null wird. Der zweite ist, dass ein äußeres Magnetfeld nur minimal in den
Supraleiter eindringen kann. Wird die Sprungtemperatur überschritten, so besitzt der
Supraleiter wieder seine ursprünglichen Eigenschaften. Das gleiche gilt auch, wenn ein
externes Magnetfeld eine kritische Feldstärke überschreitet. Unterschieden wird bei den
Supraleitern in zwei Arten. Die erster Art besitzen die oben genannten Eigenschaften.
Die Supraleiter zweiter Art haben einen Zwischenzustand, in dem die Magnetfelder als
Flussschläuche in das Material eindringen können. Mit Supraleitern können sehr starke
4
2 Theorie
Elektromagneten gebaut werden, da sie auch bei sehr großen Strömen keine Verlustleistung
haben.
2.7 Badkryostat
Um niedrige Temperaturen zu realisieren wird ein Kryostat benötigt. Eine Variante ist
der Badkryostat. Das zu kühlende Objekt ist dabei von der Kryoflüssigkeit umgeben. Um
Temperaturen von ca. T = 80 K zu erreichen wird flüssiger Stickstoff als Kryoflüssigkeit
verwendet. Soll die Temperatur auf ca. T = 4.2 K sinken, dann wird flüssiges Helium
benötigt. Da flüssiges Helium wesentlich teurer als flüssiger Stickstoff ist, wird erst mit
Stickstoff vorgekühlt, und dann mit Helium die Temperatur auf T = 4.2 K gebracht.
2.8 Lock-in-Verstärker
Der Lock-in-Verstärker wird verwendet um kleine Wechselspannungssignale zu messen.
Dazu besitzt der Verstärker zwei Eingänge. Der erste ist der Signaleingang, an dem das
kleine Wechselspannungssignal angeschlossen wird. Der zweite ist der Referenzeingang.
An ihm muss ein Signal angeschlossen werden, welches die gleiche Frequenz wie das zu
messende Signal besitzt. Intern werden beide Signale multipliziert und durch einen Tiefpass
und Integrator der Gleichspannungsanteil am Ausgang ausgegeben. Mit einem Phasenregler
kann die Phase des Referenzsignals verändert werden. Besitzen Referenz- und Eingangssignal die gleiche Frequenz, dann erzeugt die Multiplikation ein Gleichspannungssignal. Um
das zu zeigen, ist im folgenden die Multiplikation von zwei Sinussignalen dargestellt. Nur
wenn die Frequenzen übereinstimmen, ist der cos (...) im ersten Term konstant, und wird
so zu einem Gleichspannungssignal.
V = Vsig Vref sin(ωsig t + θsig ) sin(ωref t + θref )
1
V = Vsig Vref cos ([ωsig − ωref ]t + θsig − θref )
2
1
− Vsig Vref cos ([ωsig + ωref ]t + θsig + θref )
2
(12)
(13)
Über die Einstellung der Sensitivität, kann vom Ausgangssignal das Eingangssignal berechnet werden. Außerdem kann die Zeitkonstante des Tiefpasses und Integrators durch einen
Regler eingestellt werden. Der Lock-in-Verstärker hat mehrere Ausgänge. Der X-Ausgang
gibt das Gleichspannungssignal aus, welches durch die Multiplikation erzeugt wurde. Der
Y-Ausgang gibt die Gleichspannung aus, die bei der Multiplikation des Eingangssignals mit
dem um 90° phasenverschobenen Referenzsignal erzeugt wurde. In Abbildung 1 wird die
Abhängigkeit des X- und Y-Ausgangs von der√Phasenlage dargestellt. Der R-Ausgang gibt
den Betrag von X- und Y-Ausgang aus (R = X 2 + Y 2 ). Kleine Signale können gemessen
werden, da viele Frequenzen, und damit auch der Großteil des Rauschens, gesperrt wird.
5
1.0
U
V
0.5
0.0
0.5
1.00
X-Ausgang
Y-Ausgang
1
2
3
θ
rad
4
5
6
Abbildung 1 – X- und Y-Ausgangsspannung in Abhängigkeit der Phasenlage.
3 Aufbau
Zu Beginn des Versuches muss das 2DEG auf T = 4.2 K heruntergekühlt werden. Dazu wird
ein Badkryostat verwendet. Wie in Abschnitt 2.7 beschrieben, wird zuerst mit flüssigem
Stickstoff und danach mit flüssigem Helium gekühlt. Doch davor ist es wichtig, dass
die Kammer mit dem 2DEG evakuiert wird. Die sonst enthaltene Luft und Feuchtigkeit
würde sonst die Kühlfähigkeit beeinträchtigen. Da das Vakuum jedoch schlecht die Wärme
leitet, wird Helium hineingepumt. Nachdem der Stickstoff eingepumpt wurde und den
Badkryostaten auf ca. T = 80 K heruntergekühlt hat, muss dieser herausgeblasen werden.
Um auch den Rest an Stickstoff herauszubekommen muss gewartet werden, bis dieser
verdampft ist. Ist der Stickstoff komplett entfernt, kann das flüssige Helium hineingepumpt
werden. Da das Helium wesentlich kälter als der Stickstoff ist, muss für die Befüllung
spezielle Rohre verwendet werden. Diese besitzten eine Vakuumisolierung. Beim herunterkühlen mit dem Helium wird gleichzeitig die Sprungtemperatur des supraleitenden
Elektromagneten gemessen. Beträgt die Temperatur des 2DEG T = 4.2 K, dann kann
der Quanten-Hall-Effekt gemessen werden. In Abbildung 2 ist der Versuchsaufbau dazu
dargestellt.
Zur Messung der Sprungtemperatur werden zwei der drei Lock-in-Verstärker verwendet.
Der erste misst über einen Vorwiderstand den angelegten Strom. Der zweite misst die
Spannung über dem Elektromagneten. Zusätzlich ist noch ein Widerstand eingebaut, der
den Strom begrenzt. Über R = UI kann dann der Widerstand berechnet werden. Ein
Computerprogramm nimmt alle Daten auf. Da die Temperatur und der Widerstand über
der Zeit aufgetragen werden, kann an ihnen die Sprungtemperatur abgelesen werden. Es ist
6
3 Aufbau
der Punkt, an dem der Widerstand nahezu Null wird. Die Messschaltung ist in Abbildung
3 dargestellt
Die Messung des Hallwiderstandes und des Längswiderstandes, werden alle drei Lockin-Verstärker verwendet. Der erste misst wieder den angelegten Strom, der zweite die
Hallspannung und der dritte die Spannung in Längsrichtung. Aus den Spannungen und
dem Strom kann dann wieder der Widerstand berechnet werden. Hier wird ebenfalls der
Computer verwendet. Dieser kann den Elektromagneten steuern und die Magnetfeldstärke
messen. Aus Magnetfeldstärke und den jeweiligen Widerständen kann dann die charakteristische Kurve des Quanten-Hall-Effektes dargestellt werden. Die Messschaltung ist in
Abbildung 4 dargestellt.
Schnitt A-B
Quenchventil - - - - - ,
• Hinweis·
der Probenraum ist mit
einem Sicherheitsventil
(P=0,45bar) an den
Anbauten (Pumpleitung
etc.) abzusichernl _---'
S!
Probenhalter
Si-Ventil 1/2"-0,2bar Probenrohr - _ _ _--.
Anschluss DN40 KF
.
Schnitt C-D
~~l--------r
Abgas Stromzu-
~
führungen Magne~}=,
I
Anschluss Stromzu.
führungen Magnet ~
Abgas DN25 KF, mit Abgas Stromzu­
führungen Magnet
,
~T~
,
I
IW
I
I
I
~ Ir- ~p- -
I
I
--------~
1-
~
I
I
I
I
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t
Evakuier- [
Ventil und
Berstscheibe
Dewar
I
I
I
I
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f----""
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1.-0-40,6 - -+--+-+-tI---+
I
I
I
I
I
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Bus Bars - -+--+-+-11
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He- Tank ---it-+-H~
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halteplatte
B-pol. StromdurchfOhrung
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stifte,
federnd
(3x1200)
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I
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C
"Tl
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Probenrohr
Innenmantel Dewar
Abgasadapter
mit Si-Ventil,
m~ Quenchvenlil,
~\---
~OlU~~MW
A/
Stromzuführungen
Magnet
Magnethalteplatte
/- -
-
-
LHe- Levelsensor
~
Bohrung Bus Bars
LHe- Levelsensor
•
A
A2
Gewindestangen MB
(3x1200)
LHe-Ein
~.
~
LHe-Fülltrichter
mit Halteblech
Cf)
r-+
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Gewindestangen
und Muttern ~ ~
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Schnitt G-H
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LHe-Peilstab
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g
1
Dewar
,
DN16 KF
Probenraum •
!
---;
......~110~~---- Zentrierslifte für
A3
Draufsicht
A3
MagnethBlteplalte
(3x1200)
Schnitt E-FI Draufsicht Magnet
Abbildung 2 – Versuchsaufbau des Quanten-Hall-Effekts. Dargestellt ist der Badkryostat
mit supraleitenden Elektromagneten.
7
V1
V2
R1
R2
R3
V0
Abbildung 3 – Aufbau der Messung zur Sprungtemperatur des Supraleitenden Magneten.
V0 ist die Spannungsquelle, V1 ist die Spannung für die Strommessung über dem
Vorwiderstand R1, V2 ist die Spannungsmessung über dem Elektromagneten R2.
R3 wird verwendet um den Strom konstant zu halten (R2 = 1 MΩ).
V2
2D Elektronengas (2DEG)
V3
V1
R1
R2
V0
Abbildung 4 – Aufbau der Messschaltung zum Quanten-Hall-Effekt. V0 ist die Spannungsquelle, V1 ist die Spannung für die Strommessung über dem Vorwiderstand
R1, V2 ist die Spannungsmessung in Längsrichtung und V3 ist die Spannungsmessung der Hallspannung. R2 wird verwendet um den Strom konstant zu halten
(R2 = 1 MΩ).
8
4 Durchführung
4 Durchführung
Die Dauer der Kühlung auf T = 4.2 K bietet die Möglichkeit den Lock-in-Verstärker
auf seine Funktion zu testen. Als erstes wird das Ausgangssignal untersucht. Dafür
wird am Signaleingang ein Sinussignal mit Upp = 100 mV und f = 1 kHz angelegt. Als
Referenz dient der Sync-Ausgang des Funktionsgenerators. Am Lock-in-Verstärker wird die
Sensitivität auf Umax = 100 mV gestellt. Das heißt dass 10 V am Ausgang des Verstärkers
für 100 mV am Eingang stehen. Zu beachten ist, dass der Referenzgrenzwert für das
Sync-Signal des Funktionsgenerators auf 2 V gestellt werden muss, da das Signal keinen
Nulldurchgang besitzt. Da der Effektivwert des Eingangssignals am Ausgang verstärkt als
Gleichspannungssignal ausgegeben wird, muss dieses berechnet werden.
Ueff =
100 mV 1
√ = 35.36 mV
2
2
(14)
Wenn die Phase des Referenzsignals 0° beträgt, dann sind Eingangs- und Referenzsignal
Phasengleich. Theoretisch müsste sich dann am X-Ausgang die folgende Gleichspannung
einstellen:
35.36 mV · 10 V
= 3.54 V
(15)
Uaus =
100 mV
Der Y-Ausgang muss Null sein, da der cos(0° + 90°) = 0 ist. Um das Verhalten vom Xund Y-Ausgang zusätzlich deutlich zu machen, werden in Tabelle 1 die Ausgangssignale
zu verschiedenen Phasenlagen dargestellt. Den Fehler
schätzen wir mit 0.1 V auf Grund
√
der Ableseungenauigkeit ab. Den Fehler für R = X 2 + Y 2 berechnet sich nach:
s
2 2
∆X · X
∆Y · Y
√
∆R =
+ √
(16)
X2 + Y 2
X2 + Y 2
Unter Berücksichtigung des Ablesefehlers, wird die Erwartung des Ausgangssignals bestätigt.
Wie in Gleichung 13 aus Seite 4 beschrieben, hängt das Ausgangssignal wie folgt von der
Phase ab.
UX ≈ cos (θsig − θref ) = cos (0° − θref ) = cos (θref )
UY ≈ cos (θsig + θref + 90°) = sin (0° + θref ) = sin (θref )
(17)
(18)
Soll das Eingangssignal also möglichst korrekt am X-Ausgang ausgegeben werden, muss
die Phase so eingestellt werden, dass der Y-Ausgang minimal wird. Dies hat auf den
R-Ausgang keine Auswirkung, da dieser nur den Betrag ausgibt.
9
Phase
0°
45°
90°
135°
180°
225°
270°
315°
X-Ausgang
3.6 ± 0.1 V
2.6 ± 0.1 V
0.0 ± 0.1 V
−2.6 ± 0.1 V
−3.6 ± 0.1 V
−2.6 ± 0.1 V
0.0 ± 0.1 V
2.5 ± 0.1 V
Y-Ausgang
0.0 ± 0.1 V
−2.5 ± 0.1 V
−3.6 ± 0.1 V
−2.6 ± 0.1 V
0.0 ± 0.1 V
2.5 ± 0.1 V
3.6 ± 0.1 V
2.5 ± 0.1 V
√
R = X2 + Y 2
3.6 ± 0.1 V
3.6 ± 0.1 V
3.6 ± 0.1 V
3.7 ± 0.1 V
3.6 ± 0.1 V
3.6 ± 0.1 V
3.6 ± 0.1 V
3.5 ± 0.1 V
Tabelle 1 – Tabelle mit den Werten des X- und Y-Ausgangs des Lock-in-Verstärkers.
Als nächstes wird der Einfluss der Zeitkonstanten auf das Ausgangssignal untersucht. Dazu
wird ein Sinussignal mit Upp = 500 mV und f = 1 kHz am Signal- und Referenzeingang
des Lock-in-Verstärkers angelegt. Dieses wird über den Funktionsgenerator zusätzlich
mit einem Rechtecksignal amplitudenmoduliert. Die Modulationstiefe liegt bei 50 % und
die Modulationsfrequenz beträgt 1 Hz. Hier muss der Referenzgrenzwert auf 0 V gestellt
werden, da das Sinussignal 2 V nicht erreichen kann, aber einen Nulldurchgang besitzt.
Der Sync-Ausgang des Funktionsgenerators wird nicht als Referenz verwendet, da dieser
auf die Modulationsfrequenz eingestellt ist. Der Lock-in soll aber auf die Sinusfrequenz
einrasten, daher wird das Sinussignal auf beide Eingänge gelegt.
Erwarten würde man, das das Ausgangssignal des Lock-in-Verstärkers bei der Erhöhung der
Sinusamplitude ebenfalls einen Sprung macht. Dieser wird aber von der Geschwindigkeit
begrenzt sein, da der Tiefpass und Integrator einige Zeit braucht um das neue Signal zu
verarbeiten. Um nun das Verhalten zu betrachten, wird am Oszilloskop auf Kanal 1 das amplitudenmodulierte Sinussignal und auf Kanal 2 das Ausgangssignal des Lock-in-Verstärker
gelegt. Dabei ist zu beachten, dass mit dem Sync-Ausgang des Funktionsgenerators getriggert wird, damit aussagekräftige Bilder entstehen. Die Oszilloskopbilder sind in Abbildung
5 und 6 dargestellt. Die Breite der Rechteckfunktion beträgt (500 ± 1) ms. Die Höhe des
Minimal- und Maximalwertes beträgt am Eingang Uein = (75 ± 1) mV bzw. (200 ± 1) mV.
Am Ausgang betragen die Werte Uaus = (1.6 ± 0.1) V bzw. (4.5 ± 0.1) V. Die Fehler haben
wir anhand der Ableseungenauigkeit abgeschätzt.
Es zeigt sich deutlich, dass die Zeitkonstante die Geschwindigkeit bestimmt, mit der das
Ausgangssignal dem Eingangssignal folgen kann. Betrachtet man die Filtersteilheit, so sind
nur minimale unterschiede zu erkennen. Es scheint so, als ob die Zeitkonstante hauptsächlich
die Flankensteilheit beeinflusst. Um zu vergleichen, wie schnell das Ausgangssignal auf 99 %
des Endwertes angsteigt, ist in Tabelle 2 die Zeitdauer für verschiedene Zeitkonstanten und
Filtersteilheiten zusammengestellt. Es zeigt sich, dass die Dauer ungefähr dem 5-fachen
der Zeitkonstante entspricht. Eine kleine Zeitkonstante hat den Vorteil, dass die Flankensteilheit groß ist. Der Nachteil ist aber, das durch die geringe Integrationszeit Rauschen
das Signal stören kann. Bei großen Zeitkonstanten ist es umgekehrt. Das Rauschen wird
geringer, die Flankensteilheit nimmt ab.
10
4 Durchführung
(a) τ = 3 ms
(b) τ = 10 ms
(c) τ = 30 ms
(d) τ = 100 ms
(e) τ = 300 ms
(f ) τ = 1 s
(g) τ = 3 s
(h) τ = 10 s
Abbildung 5 – Oszilloskopbild zur Darstellung des Einflusses der Zeitkonstanten eines
Lock-in-Verstärkers. Oben ist das Ausgangssignal des Lock-in-Verstärkers und unten
das Amplitudenmodulierte Signal des Funktionsgenerators dargestellt. Der Tiefpass
des Lock-in ist auf 6 dB/oct. eingestellt.
11
(a) τ = 3 ms
(b) τ = 10 ms
(c) τ = 30 ms
(d) τ = 100 ms
(e) τ = 300 ms
(f ) τ = 1 s
(g) τ = 3 s
(h) τ = 10 s
Abbildung 6 – Oszilloskopbild zur Darstellung des Einflusses der Zeitkonstanten eines
Lock-in-Verstärkers. Oben ist das Ausgangssignal des Lock-in-Verstärkers und unten
das Amplitudenmodulierte Signal des Funktionsgenerators dargestellt. Der Tiefpass
des Lock-in ist auf 12 dB/oct. eingestellt.
12
4 Durchführung
Filtersteilheit
6 dB/oct.
6 dB/oct.
6 dB/oct.
6 dB/oct.
12 dB/oct.
12 dB/oct.
12 dB/oct.
12 dB/oct.
Zeitkonstante Dauer bis 99 % des Endwertes
τ = 3 ms
(20 ± 20) ms
τ = 10 ms
(60 ± 20) ms
τ = 30 ms
(160 ± 40) ms
τ = 100 ms
(400 ± 60) ms
τ = 3 ms
(20 ± 20) ms
τ = 10 ms
(60 ± 20) ms
τ = 30 ms
(160 ± 40) ms
τ = 100 ms
(400 ± 60) ms
Tabelle 2 – Tabelle mit den Zeiten, die das Ausgangssignal eines Lock-in-Verstärkers
braucht um dem Eingangssignal zu folgen.
Als letzter Punkt der Untersuchung des Lock-in-Verstärkers soll das Extrahieren von
Signalen betrachtet werden. Dazu wird das Sync-Signal des Funktionsgenerators auf
den Signaleingang des Lock-ins gelegt. Davor muss noch ein Abschwächer angeschlossen
werden, da das Sync-Signal sonst zu groß wäre. Hinter der Abschwächung beträgt es
U = (300 ± 1) mV. Das Rechtecksignal enthält viele verschiedene Sinusschwingungen. Die
Summe der Schwingungen sind in Gleichung 19 dargestellt.
1
1
4h
sin(ωt) + sin(3ωt) + sin(5ωt) + ...
f (t) =
π
3
5
(19)
Dabei ist h die Hälfte des Signalmaximums und ω = 2πf die Winkelfrequenz der Schwingung. Das Rechtecksignal enthält nur ungerade Vielfache der Grundfrequenz. Nun soll
eine Schwingung extrahiert werden. Dazu wird als Referenzsignal ein Sinussignal vom
Funktionsgenerator verwendet. Die Frequenz des Sinus- und des Sync-Signals sind gleich,
daher erwarten wir am Ausgang die verstärkte erste Komponente des Rechtecksignals. Die
Sensitivität des Verstärkers ist auf 1 V eingestellt. Der theoretische Wert am Ausgang des
Lock-in-Verstärker ergibt sich dann zu:
U1 =
4 · 150 mV 10 V
= 1.91 V
π
1V
(20)
Da dies der Maximalwert ist, muss er noch in den Effektivwert umgerechnet werden. Dieser
beträgt dann:
1.91 V
U1,eff = √
= 1.35 V
(21)
2
Nach dem Phasenabgleich messen wir am Ausgang U1,eff = (1.6 ± 0.1) V. Dies ist in der
gleichen Größenordnung wie der theoretische Wert. Der Unterschied könnte intern im Lockin-Verstärker verursacht werden. Als nächstes wird der Lock-in-Verstärker auf 2f gestellt.
Das bedeutet, dass der Lock-in-Verstärker die doppelte Frequenz des Referenzeingangs
verwendet. Das X- und Y-Ausgangssignal des Lock-in-Verstärkers ist in Abbildung 7
dargestellt. Kanal 1 ist am X-Ausgang und Kanal 2 ist am Y-Ausgang angeschlossen.
Die Abbildung zeigt, dass die Ausgangssignale fast keinen Gleichspannungsanteil mehr
enthalten. Dies wird auch erwartet, da ein Rechtecksignal nur ungerade Frequenzen besitzt.
Somit kann keine 2f Komponente extrahiert werden.
13
Abbildung 7 – Oszilloskopbild beim Extrahieren von Signalen mit einem Lock-inVerstärker. Die Referenzfrequenz wurde verdoppelt. Ein Rechtecksignal liegt am
Eingang des Lock-in an. Die Referenz ist ein Sinussignal. Kanal 1 und 2 sind am Xund Y-Ausgangs des Lock-in angeschlossen.
Nachdem die Kühlung im Badkryostaten mit flüssigem Stickstoff abgeschlossen ist, kann
beim Kühlen mit flüssigem Helium die Sprungtemperatur des Supraleitenden Elektromagneten bestimmt werden. Der Elektromagnet besteht aus Niob-Titan. Der Aufbau der
Messung ist in Abbildung 3 im Abschnitt 3 dargestellt. Am Computer werden die Daten
der zwei Lock-in-Verstärker erfasst und gespeichert. Die Einstellungen der beide Lock-ins
sind in folgender Tabelle zusammengefasst.
Lock-in-Verstärker
Zeitkonstante
1 (Strommessung)
100 ms
2 (Spannung über Magnet) 100 ms
Sensitivität
300 µV
30 µV
Tabelle 3 – Tabelle mit den Zeitkonstanten und Sensitivitäten der beiden Lock-inVerstärker, die zur Messung der Sprungtemperatur verwendet werden.
Aus der Messung des Stromes und der Spannung über dem Elektromagneten, kann der
Widerstand berechnet werden. Das Ergebnis der Messung ist in Abbildung 8 dargestellt.
Der Übergang zur Supraleitenden Phase beginnt bei ungefähr 10 K. Abgeschlossen ist
er aber erst bei ca. 9 K. Somit schätzen wir für die Sprungtemperatur einen Fehler von
±0.5 K ab. Die Sprungtemperatur beträgt:
TS = 9.5 ± 0.5 K.
(22)
In der Literatur liegt der Wert der Sprungtemperatur von NbTi bei 9.2 K. Unsere Messung
bestätigt somit die Theorie. Die Steigung in der Umgebung der Sprungtemperatur wird
14
4 Durchführung
mit einem Python-Skript zum Fitten von Kurven ermittelt. Sie beträgt:
Ω
R
= 30.2 ± 0.7 .
T
K
(23)
Der Fehler wurde dabei vom Python-Skript berechnet. Dieses nutzt den sogenannten
Levenburg-Marquardt-Algorithmus. Das der Widerstand auch in der Supraleitenden Phase
nicht exakt Null wird, ist dem Widerstand der Kabel geschuldet. Diese haben, bei so
kleinen Widerständen, einen signifikanten Anteil am Gesamtwiderstand.
25
NbTi-Elektromagnet
Widerstandsänderung
20
Ω
R
15
10
5
08.0
8.5
Abbildung 8 – Widerstand
Elektromagneten.
9.0
in
9.5
10.0
T
K
Abhängigkeit
10.5
der
11.5
12.0
Temperatur
eines
11.0
NbTi-
Nachdem das 2DEG im Badkryostaten eine Temperatur von T ≈ 4 K erreicht hat, kann
die Messung des Quanten-Hall-Effektes durchgeführt werden. Der Aufbau der Messung
ist in Abbildung 4 im Abschnitt 3 dargestellt. Diesmal werden drei Lock-in-Verstärker
verwendet. Diese werden wieder über den Computer ausgewertet. Das Computerprogramm
kann ebenfalls den Elektromagneten steuern. Dieser soll bei der ersten Messung nur
auf B = 1 T eingestellt werden, um die Funktionsfähigkeit zu testen. Bei diesem Test
haben wir gleichzeitig die Einstellungen für Zeitkonstante und Sensitivität am Lock-in
angepasst. Die Einstellungen für die richtige Messung, sind in Tabelle 4 zusammengefasst.
Dabei wird der Elektromagnet bis B = 9 T betrieben. Das Ergebnis der Messung ist in
Abbildung 9 dargestellt. Es ist deutlich zu erkennen, dass der Hall-Widerstand Plateaus
besitzt. Ebenfalls ist am gleichen Punkt der Abfall des Längswiderstandes zu sehen.
Dieser wird hier jedoch nicht komplett Null, sondern besitzt einen Minimalwiderstand.
Zu dem Hall-Widerstand ist eine Gerade angefittet1 worden. Die Steigung beträgt mit
R
Fehler B
= 3.122 ± 0.002 kΩ
. Aus dieser Steigung kann mit Gleichung 10 auf Seite 3 die
T
1
Mit einem Python-Skript
15
Lock-in-Verstärker
Zeitkonstante Sensitivität
1 (Strommessung)
100 ms
100 µV
2 (Hall-Widerstand) 100 ms
10 mV
3 (Längswiderstand) 100 ms
3 mV
Tabelle 4 – Tabelle mit den Zeitkonstanten und Sensitivitäten der drei Lock-in-Verstärker,
die zur Messung des Quanten-Hall-Effektes verwendet werden.
Ladungsträgerdichte mit Fehler berechnet werden.
n=
∆n =
1
1
= 2.0 · 1015 m−2
e 3.122 kΩ
T
(24)
1 0.002 kΩ
T
= 1.28 · 1012 m−2
2
e (3.122 kΩ
)
T
(25)
Als nächstes werden die einzelnen Plateaus identifiziert und zusammengetragen. Dies ist
in Tabelle 5 zu sehen. Zusätzlich zu unseren Messwerten, haben wir die theoretischen
Plateau
ν=1
ν=2
ν=4
ν=6
ν=8
ν = 10
Magnetfeldstärke
7.17 T − 7.93 T
3.58 T − 3.93 T
1.82 T − 1.89 T
1.25 T
0.94 T
0.75 T
RH (gemessen)
23.4 ± 0.3 kΩ
12.35 ± 0.05 kΩ
6.31 ± 0.03 kΩ
4.27 ± 0.02 kΩ
3.2 ± 0.02 kΩ
2.6 ± 0.01 kΩ
RH (Theorie)
25.82 kΩ
12.91 kΩ
6.45 kΩ
4.30 kΩ
3.23 kΩ
2.58 kΩ
Längswiderstand
1.84 ± 0.04 kΩ
0.37 ± 0.03 kΩ
0.15 ± 0.01 kΩ
0.14 ± 0.01 kΩ
0.2 ± 0.01 kΩ
0.01 ± 0.005 kΩ
Tabelle 5 – Tabelle mit den Widerständen und Magnetfeldstärken der einzelnen Plateaus
beim Quanten-Hall-Effekt.
Werte aus Gleichung 8 berechnet und damit die Plateaus identifiziert. Durch das starke
Magnetfeld entarten die Energieniveaus zum Spin. Sinkt das Magnetfeld unter einen
bestimmten Wert, dann hebt sich diese Entartung auf. Dadurch kommen ab ν = 2 nur
noch ganzzahlige Plateaus vor.
Trägt man den Längswiderstand über die reziproke Magnetfeldstärke auf, dann kann man
aus den Abständen der Minima die Ladungsträgerdichte berechnen. Dies geschieht nach
Gleichung 11 auf Seite 3. Die Werte der Minima und deren Abstände zueinander sind
in Tabelle 6 zusammengefasst. Auch hier sorgt die Spinentartung dafür, dass nicht jeder
Zustand voneinander getrennt vorkommt. Daher muss berücksichtigt werden, dass ab
ν = 4 der Abstand der Minima dem Doppelten entspricht. Aus den Abständen kann der
Mittelwert berchnet werden. Er beträgt mit Fehler:
1
∆
= (0.138 ± 0.003) T−1 .
(26)
B
Berechnet man damit die Ladungsträgerdichte, dann ergibt sich:
n=
e
1
= 1.75 · 1015 m−2 .
−1
h 0.138 T
(27)
16
4 Durchführung
30
25
Hall-Widerstand Rxy
Längswiderstand Rxx
Hallgerade
R
kΩ
20
15
10
5
00
2
4
B
T
6
8
10
Abbildung 9 – Hall- und Längswiderstand in Abhängigkeit des Magnetfeldes. Die HallR
gerade besitzt folgenden Parameter: B
= 3.122 ± 0.002 kΩ
.
T
Und für den Fehler:
∆n =
e 0.003 T−1
= 3.8 · 1013 m−2
h (0.138 T−1 )2
(28)
Die Berechnung der Ladungsträgerdichte durch die Hall-Gerade und der Shubnikov-deHaas-Oszillation ergibt ähnliche Ergebnisse. Mit Einbeziehung der Fehler ergibt sich jedoch
nicht der selbe Wert. Daher muss es noch weitere Fehlerquellen geben, die bis jetzt noch
nicht berücksichtigt wurden. Es könnten zum Beispiel Unreinheite der Probe weitere Fehler
verursachen.
Minima B −1
∆ B1
ν=1
0.133 T−1 ν=2
0.271 T−1 0.138 T−1
ν=4
0.539 T−1 0.5 · 0.268 T−1
ν=6
0.812 T−1 0.5 · 0.273 T−1
ν=8
1.095 T−1 0.5 · 0.283 T−1
Tabelle 6 – Tabelle mit den Magnetfeldstärken der Minima.
Literatur
17
3.0
Längswiderstand Rxx
2.5
R
kΩ
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
0.2
0.4
0.6
1 /1
0.8
1.0
1.2
B T
Abbildung 10 – Der Längswiderstand aufgetragen über dem reziproken Magnetfeld.
Literatur
[Balshaw 1991] Balshaw, N.H.: Elementary Practical Cryogenics: technical Notes and
Glossary of Terms. Oxford Instruments Limited, 1991 http://books.google.de/
books?id=mlnxPgAACAAJ
[Bergmann u. a. 2005] Bergmann, L. ; Schaefer, C. ; Kassing, R.: Lehrbuch der
Experimentalphysik 6. Festkörper. De Gruyter, 2005 (Lehrbuch Der Experimentalphysik).
http://books.google.de/books?id=tdwCl-fzOuoC. – ISBN 9783110174854
[Datta 1997] Datta, S.: Electronic Transport in Mesoscopic Systems. Cambridge University
Press, 1997 (Cambridge Studies in Semiconductor Physics and Microelectronic Engineering). http://books.google.de/books?id=28BC-ofEhvUC. – ISBN 9780521599436
[Hunter 2007] Hunter, John D.: Matplotlib: A 2D graphics environment. In: Computing
In Science & Engineering 9 (2007), May-Jun, Nr. 3, S. 90–95
[Ibach u. Lüth 2008] Ibach, H. ; Lüth, H.: Festkörperphysik: Einführung in die Grundlagen. Springer, 2008 (Springer-Lehrbuch). http://books.google.de/books?id=
P8aUFvNpjbQC. – ISBN 9783540857945
[Jones u. a. 2001] Jones, Eric ; Oliphant, Travis ; Peterson, Pearu u. a.: SciPy: Open
source scientific tools for Python. http://www.scipy.org/. Version: 2001–
[Klaus von Klitzing 2005] Klitzing, Jurgen W. Rolf Gerhardts v. Rolf Gerhardts G.
Rolf Gerhardts: 25 Jahre Quanten-Hall-Effekt. In: Physik Journal 4 (2005), Nr. 6
18
Literatur
[von Klitzing u. a. 1980] Klitzing, K. von ; Dorda, G. ; Pepper, M.: New method
for high accuracy determination of the fine structure constant based on quantized Hall
resistance. In: Phys.Rev.Lett. 45 (1980), S. 494–497. http://dx.doi.org/10.1103/
PhysRevLett.45.494. – DOI 10.1103/PhysRevLett.45.494
[v. Klitzing 1984] Klitzing, Klaus v.: The quantized hall effect. In: Physica B+C 126
(1984), Nr. 1–3, 242 - 249. http://dx.doi.org/10.1016/0378-4363(84)90170-0. –
DOI 10.1016/0378–4363(84)90170–0. – ISSN 0378–4363
[MATLAB 2010] MATLAB: version 7.10.0 (R2010a). Natick, Massachusetts : The
MathWorks Inc., 2010
[Meade 1983] Meade, L.: Lock-in amplifiers: principles and applications. P. Peregrinus
on behalf of the Institution of Electrical Engineers, 1983 (IEE electrical measurement
series). http://books.google.de/books?id=cg9TAAAAMAAJ
Fortgeschrittenen Praktikum I Teil A
Korrektur zu Quanten Hall Effekt
Nils Thielke und Robert Brauer
23. Januar 2013
1
1 Zu Seite 7
Die folgenden Abbildungen wurden mit Punkten für die korrekte Verkabelung versehen.
V1
R1
V2
R2
R3
V0
Abbildung 1 – Aufbau der Messung zur Sprungtemperatur des Supraleitenden Magneten.
V0 ist die Spannungsquelle, V1 ist die Spannung für die Strommessung über dem
Vorwiderstand R1, V2 ist die Spannungsmessung über dem Elektromagneten R2.
R3 wird verwendet um den Strom konstant zu halten (R2 = 1 MΩ).
2
2 Zu Seite 9
V2
2D Elektronengas (2DEG)
V3
V1
R1
R2
V0
Abbildung 2 – Aufbau der Messschaltung zum Quanten-Hall-Effekt. V0 ist die Spannungsquelle, V1 ist die Spannung für die Strommessung über dem Vorwiderstand
R1, V2 ist die Spannungsmessung in Längsrichtung und V3 ist die Spannungsmessung der Hallspannung. R2 wird verwendet um den Strom konstant zu halten
(R2 = 1 MΩ).
2 Zu Seite 9
Die Sensitivität des Lock-ins lag für die Messung bei 300 mV. Beim Ablesen der Messwerte
aus den Abbildungen 5 und 6 ergeben sich die selben Werte, wie in unserem Laborbuch.
Jedoch haben wir die Ableseungenauigkeit zu gering abgeschätzt. Sie müsste bei 50 mV
am Eingang und 100 mV am Ausgang liegen. Für die Werte ergibt sich also am Eingang
Uein = (75 ± 50) mV bzw. (200 ± 50) mV und am Ausgang Uaus = (1.6 ± 0.1) V bzw.
(4.25 ± 0.1) V. Da mit diesen Fehlern die Messwerte nicht der 50 % Modulation entsprechen,
kann es an einer falschen Einstellung des Funktionsgenerators oder an der Güte der
Modulation liegen. Wir haben leider keine weiteren Hinweise in unserem Laborbuch
gefunden.
3
3 Zu Seite 13
Die Sensitivität des Lock-ins bei der Messung des in Abbildung 7 gezeigten Signals, liegt
bei 1 V. Die Amplitude des Wechselspannungssignal beträgt am Eingang dann 50 mV.
Diese hohe Eingangsspannung können wir uns nur durch Rauschen erklären. Die größe
der Zeitkonstanten haben wir uns nicht notiert, sie müsste aber zwischen 3 ms und 30 ms
gelegen haben, da wir selten andere Werte eingestellt hatten.
4 Zu Seite 15
[...]Zusätzlich zu unseren Messwerten, haben wir die theoretischen Werte aus Gleichung
8 berechnet und damit die Plateaus identifiziert. Durch das starke Magnetfeld wird die
Entartung der Energieniveaus zum Spin aufgehoben. Sinkt das Magnetfeld unter einen
bestimmten Wert, dann setzt diese Entartung wieder ein. Dadurch kommen ab ν = 2 nur
noch ganzzahlige Plateaus vor.[...]