Zinsderivate - Mathematics TU Graz

Zinsderivate
Stefan Waldenberger
15. Jänner 2008
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung und Begriffsbestimmung
1.1 Wiederholung . . . . . . . . . . . . .
1.2 Zinskurven . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Verwendung der Zinskurven .
1.2.2 Zinskurvenszenarien . . . . .
1.3 Prinzip der Kursberechnung . . . . .
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2 Zinsderivate
2.1 Zinsswap (Plain Vanilla Swap) . . . . .
2.1.1 Wert eines Swaps . . . . . . . . .
2.1.2 Veränderung der Zinskurve . . .
2.2 Equity-Swap . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Rendite-Swap(Constant Maturity Swap)
2.4 Interest Rate Derivatives Options . . . .
2.4.1 Swaptions . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Caps . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3 Accrual Swaps . . . . . . . . . .
2.4.4 Wertberechnung . . . . . . . . .
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1.1
Einführung und Begriffsbestimmung
Wiederholung
Derivat
Ein Derivat ist ein Finanzmarktinstrument, dessen Wert sich auf den Wert von Handelsgütern
bezieht (Basiswert, Underlying asset). Dieser Basiswert kann ein Rohstoff, eine Aktie, oder auch
etwas Anderes sein.
In diesem Proseminar sind diese Underlyings Zinssätze, weswegen man auch von Zinsderivaten
spricht.
1.2
Zinskurven
Der Wert eines Zinsderivats muss natürlich von den aktuellen Zinskurven abhängen, da der Basiswert eines Zinsderivats immer mit Zinssätzen zu tun hat. Deswegen betrachten wir zuerst einmal
Zinskurven, genauer gesagt Nullzinskurven (Zero-Curves, Spot-Curves).
Man unterscheidet hier zwischen Geldmarkt (Veranlagungszeitraum bis zu einem Jahr) und Kapitalmarkt (Veranlagungszeitraum ab einem Jahr). Unten sehen Sie die aktuellen Kurven [3] [4]
Auf der x-Achse ist der Veranlagungszeitraum (Maturity) aufgetragen, auf der y-Achse der
Zinssatz (Zero), den man erhält, wenn man sein Kapital auf diese Dauer veranlagt.
Diese Zerokurven müssen zuerst einmal durch Bootstrapping berechnet werden, d.h. indem
man mehrere Coupon-Bonds hernimmt und sich aus deren Zinssätzen und Kursen seine Zerokurve
berechnet. Dies soll hier jedoch aus zeitlichen Gründen nicht behandelt werden.
1.2.1
Verwendung der Zinskurven
Die Notwendigkeit diese Zero-Kurven zu berechnen kommt daher, dass man aus ihnen die Forward
Rates berechnen kann. Zur Wiederholung Forward Rates sind die Zinssätze, die ich bekomme,
wenn ich mein Kapital zum Zeitpunkt T bis zum Zeitpunkt S veranlage.
Zum Beispiel: Wenn ich mein Geld in 3 Jahren (also 2011) für 2 Jahre (bis 2013) veranlage, kann
ich mit einem Zinssatz rechnen, der der Forward Rate entspricht.
Mit diesen ist es dann leicht möglich, den Wert von Zinsderivaten zu bestimmen, allerdings werden
die Forward Rates aus der aktuellen Zinskurve berechnet, d.h. sobald sich die Zinskurve verändert,
ändern sich auch die Forward Rates, wodurch sich dann auch wieder der Wert meines Derivats
verändert. Da also diese Zinskurvenveränderung hauptsächlich den Wert von Derivaten (und genauso von Anleihen) bestimmt, möchte ich hier zuerst ein paar Begriffe erklären.
2
1.2.2
Zinskurvenszenarien
Die Veränderung der Zinskurve setzt sich im Wesentlichen aus Shifts und Twists zusammen. Bei
Shifts handelt es sich um ein Verschieben der Zinskurve nach oben oder unten. Bei Twists wird
die Zinskurve steiler oder flacher.
Dafür haben sich folgende Bezeichnungen eingeführt:
• Bearish: Die Zinskurve verschiebt sich nach unten (i.A: Schlecht für Kurse)
• Bullish: Die Zinskurve verschiebt sich nach oben (i.A: Positiv für Kurse)
• Steepen: Eine Versteilerung der Zinskurve
• Flatten: Eine Verflachung der Zinskurve
Das folgende Bild zeigt die Zinskurve im August 2007 und eventuell mögliche Szenarien.
Zu erwähnen ist, dass die Zinskurve zum damaligen Zeitpunkt ausgesprochen flach war.
1.3
Prinzip der Kursberechnung
Berechnungen erfolgen auf dem No-Arbitrage-Prinzip, d.h. dass keine der beiden Vertragsparteien
einen risikolosen Gewinn machen kann. Um den Kurs eines Forwards zu berechnen, spielt also
immer der Zeitwert des Geldes eine Rolle. Der Wert eines Forward Contracts ist nämlich immer
die Summe der abgezinsten Zahlungsströme. Abgezinst bedeutet Zeitwert des Geldes, d. h. wie
viel Geld ich heute risikolos veranlagen müsste, um dann den Wert des Zahlungsstroms zu dessen
Zeitpunkt zu haben.
Dies wird jedoch anschließend noch genauer behandelt.
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2
2.1
Zinsderivate
Zinsswap (Plain Vanilla Swap)
Bei einem Zinsswap tauscht man einen fixen (fix) Zinssatz gegen einen variablen (floating) auf einen
ausgemachten Basiswert. Diese beiden Zinssätze nennt man die Legs eines Swaps. Leg 1 wäre hier
der fixe Zinssatz, während Leg 2 der variable Zinssatz wäre. Der variable Zinssatz ist meist ein
LIBOR oder EURIBOR Satz.
Man zahlt zum Beispiel einen fixen Zinssatz und erhält dafür einen variablen. Man zahlt oder
bekommt also effektiv immer genau die Differenz zwischen dem aktuellen variablen Zinssatz und
dem Fixen.
Diese Zahlungen finden zu bestimmten festgelegten Zeitpunkten statt (normalerweise jedes Viertel, Halb- oder Jahr). Der Vertrag hat damit auch eine festgelegte Dauer.
Zum Beispiel:
Firma A und B gehen einen Swap auf den Basiswert von 1.000.000 ein. Firma A verpflichtet sich
einen fixen Zinssatz von 4% jährlich zu zahlen, während Firma B sich verpflichtet den 12-MonatsEURIBOR zu zahlen. Die Zahlungen sollen jährlich bis 2012 erfolgen.
Wenn man nun über die Jahre die Zahlungen vergleicht und aufschreibt, erhält man eine Cash
Flow Tabelle.
Dies ist nun also die Cash Flow Tabelle der Firma A mit den erfundenen zukünftigen Werten für
den EURIBOR
Date
12-M-EUR Floating
1.1.2009
3,5%
35.000
1.1.2010
3,8%
38.000
1.1.2011
4,3%
43.000
1.1.2012
4,5%
45.000
GESAMT
Die Cash Flow Tabelle für Firma B
tauscht werden.
Fix
-40.000
-40.000
-40.000
-40.000
Gesamt
-5.000
-2.000
+3.000
+5.000
+1.000
würde genauso aussehen, nur dass hier die Vorzeichen ver-
Man sieht nun, dass es keinen Sinn macht den Basiswert zu tauschen, da dieser ja nur hin und her
gewechselt werden würde.
Man kann daher einen Swap auch als einen Austausch von 2 Anleihen betrachten, nämlich 2 Anleihen mit dem gleichen Basiswert und gleicher Laufzeit, wobei eine Anleihe 4% fix als Coupon zahlt
und die andere den 12-M-EUR.
In der Realität werden Verträge über Zinsderivate nur selten zwischen zwei Firmen direkt abgeschlossen, sondern normalerweise geht man diesen Vertrag mit einem Finanzinstitut ein, z.B. einer
Bank. Die Bank verrechnet dann ca. 3 Basispoints (bp).
2.1.1
Wert eines Swaps
Berechnung über Anleihen
Wie wir ja schon festgestellt haben, kann ein Swap ja auch als die Differenz von zwei verschiedenen
Anleihen dargestellt werden (5% fix vs. 3-M-EURIBOR entspricht einer Fixcouponanleihe mit 5%
und einem Geldmarktfloater mit dem 3-M-EURIBOR).
Der Wert des Swaps V = Bf ix −Bf loat , also der Unterschied zwischen dem Wert der Fixzinsanleihe
und dem Wert der variabel verzinsten Anleihe. Dies gilt wenn ich den fixen Coupon erhalte und
den variablen zahle. Im umgekehrten Fall gilt dann natürlich V = Bf loat − Bf ix . P
n
Bf ix ist ja wie wir bereits wissen die Summe der abgezinsten Cash Flows Bf ix = i=1 ke−ri ti +
Ke−rn tn
4
Bf loat kann berechnet werden, indem man sich überlegt, dass ein Geldmarktfloater nach einem
Zahlungstag immer Kurs 100 hat, also genau das eingesetzte Kapital wert ist. Zwischen zwei
Zahlungsperioden hat er den Wert Bf loat = Ke−r1 t1 + k ∗ e−r1 t1 , wobei K das eingesetzte Kapital,
k ∗ die inzwischen bekannte Floating Rate und r1 der risikolose Zinssatz für die Dauer t1 ist.
Berechnung über Forwards
Der Wert des Swaps muss der Zeitwert der kommenden Geldflüsse sein, da ansonsten ja Arbitrage
möglich wäre. Deshalb ist es möglich, den Wert eines Forwards analog zu Anleihen durch die abgezinsten Zahlungsströme zu berechnen, wobei für die Zahlungsströme die Forwards zur Berechnung
herangezogen werden.
Beispiel
Anschließend noch ein kleines Beispiel zur Berechnung von Swaps, das ich von [1] übernommen habe. Man sieht hier, dass auch wirklich mit beiden Methoden das gleiche herauskommt. Betrachten
wir also einen Swap auf einen nominellen Wert von 100 Millionen mit halbjährlichen Zahlungen,
indem wir einen 6-M-LIBOR bezahlen und dafür eine fixe Rate von 8% erhalten. Die Zinsraten für
3,9,15 Monate seien 10.0%,10.5%,11.0%.
Dann folgt mit der Methode der Bewertung durch Anleihen:
Bf ix = 100 ∗ 0.08 21 ∗ e−0.25∗0,10 + 4 ∗ e−0.75∗0.105 + 4 ∗ e−1.25∗0.11 + 100 ∗ e−1.25∗0.11 = 98.24
Der 6-M-LIBOR sei momentan 10.2%. Damit folgt:
Bf loat = 100 ∗ 0.102 12 ∗ e−0.25∗0,10 + 100 ∗ e−0.25∗0,10 = 102, 51
Der Wert des Swaps ist also für uns 98.24 − 102.51 = −4.27 Millionen.
Die Forwards können, wie im Proseminar über Anleihen bereits erklärt, berechnet werden, wodurch man die Halbjahresforwardraten 11.044% und 12.102% für 3 bzw. 9 Monate erhält. Damit
kann man nun also die Zahlungsströme berechnen:
1.Termin (3 Monate): 100 ∗ (0.08 − 0.102) ∗ 12 ∗ e−0.25∗0.10 = −1.07
2.Termin (9 Monate): 100 ∗ (0.08 − 0.11044) ∗ 12 ∗ e−0.75∗0.105 = −1.41
3.Termin (15 Monate): 100 ∗ (0.08 − 0.12102) ∗ 12 ∗ e−1.25∗0.11 = −1.79
Zählt man nun diese Zahlungsströme zusammen, so erhält man −1.07 + (−1.41) + (−1.79) =−4.27
und damit das gleiche Ergebnis wie oben. Es führen also tatsächlich beide Methoden zur selben
Antwort.
2.1.2
Veränderung der Zinskurve
Ich möchte nun anhand dieses einfachen Swaps erklären wie sich der Wert verändert, wenn sich
die Zinskurve verschiebt.
Ich betrachte jetzt das Beispiel von oben:
• Bearish: Man sieht sofort, dass wenn die Zinskurve nach unten verschoben wird, dann der
Wert des Derivats steigen wird, da die Differenz 0.08 − ... kleiner wird.
• Bullish: Hier ist es eben genau umgekehrt, da die Zinskurve nach oben verschoben wird und
die Differenz sich jetzt noch weiter vergrößert.
• Flatten & Steepen: Eine Verflachung oder Versteilerung der Kurve wird unseren Swap kaum
beeinflussen. Der Grund warum sich der Wert trotzdem ändern wird, ist, dass in einem Twist
abhängig vom Drehpunkt immer noch ein Shift steckt.
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2.2
Equity-Swap
Bei einem Equity-Swap wird einem Zinssatz ein Aktienindex anstelle eines anderen Zinssatzes gegenübergestellt. Hierbei berechnet man dann die prozentuelle Veränderung des Aktienindex und
vergleicht dann diese mit dem variablen Zinssatz.
Zum Beispiel könnte man folgenden Equity Swap abschließen:
Leg 1 sei ein fixer Zinssatz von 5%, Leg 2 der ATX und die Zahlungen sollen halbjährlich erfolgen.
Der Betrag auf den der Vertrag abgeschlossen wird sei wieder 1.000.000.
Man zahlt also jetzt halbjährlich 1.000.000 ∗ 0.05/2 = 25.000 und erhält dafür die prozentuelle
Veränderung des Aktienindex. Angenommen der ATX ist seit dem 1.1.2008 um 4 % gewachsen
so erhält man 1.000.000 ∗ 0.04 = 40.000. Man würde also zu diesem Zeitpunkt einen Gewinn von
40.000 − 25.000 = 15.000 machen.
Würde der ATX um 3 % fallen, so müsste man erstens die 25.000 zahlen und zweitens auch noch
den Kursverlust 1.000.000 ∗ 0, 03 = 30.000 zahlen, also insgesamt −25.000 − 30.000 = −55.000.
Man verliert also zu diesem Zeitpunkt 55.000.
Man kann Equity-Swaps auch auf einzelne Aktien abschließen. Somit kann man sich gegen das
Risiko von Kursverlusten durch Aktien abzusichern:
Befürchte ich zum Beispiel, dass der ATX stark verlieren wird, so gehe ich also einen Payer-EquitySwap ein, d.h. ich bezahle die prozentuelle Veränderung des ATX und erhalte dafür einen fixen
Zinssatz. Nehmen wir also das Beispiel von oben her:
Steigt der ATX um maximal 5%, angenommen 4%, so habe ich immer noch einen Gewinn von
1.000.000 ∗ (0.05 − 0.04) = 10.000 mit meinem Derivat. Die Gewinne die ich dabei außerdem noch
mit meinen Aktien mache sind hier allerdings noch nicht dabei. Fällt der ATX, angenommen 4%,
so habe ich einen hohen Gewinn 1.000.000 ∗ (0.05 + 0.04) = 90.000, wobei auch hier wieder zu
bercksichtigen ist, dass meine Aktien dann wahrscheinlich auch Verluste erzielen werden. Steigt er
jedoch um mehr als 5%, so habe ich einen Verlust.
Wenn ich also bereits Aktien aus dem ATX besitze, diese jedoch aus vielleicht steuerlichen Gründen
nicht verkaufen will (in Österreich zahlt man eine “Spekulationssteuer“, wenn man Aktien vor Ablauf eines Jahres mit Gewinn verkauft), so kann ich als Alternative einen Equity-Swap eingehen
und mich gegen das Risiko von Kursverlusten absichern.
2.3
Rendite-Swap(Constant Maturity Swap)
Bei einem Constant Maturity Swap wird ein Geldmarktzinssatz gegen einen Kapitalmarktzinssatz
getauscht.
Zum Beispiel könnte man einen 6-M-LIBOR gegen einen 10-J-Spotrate tauschen.
Da meistens der 10-J-Satz höher liegen wird, als der 6-M-LIBOR, wird normalerweise dann auf
den 6-M-LIBOR noch ein Aufschlag aufgerechnet.
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2.4
2.4.1
Interest Rate Derivatives Options
Swaptions
Analog zu Anleihen kann man auch auf Zinsderivate Optionen kaufen. Diese sind also dann z.B. das
Recht einen Zinsswap zu bestimmten Konditionen zu einem bestimmten Zeitpunkt in der Zukunft
einzugehen (European Swaption).
Mit einer Swaption kann eine Firma also zum Beispiel sicher gehen, einen gewissen variablen Zinssatz, den sie z.B. in einem Jahr 5 Jahre lang zahlen muss, gegen einen bereits heute feststehenden
fixen Zinssatz tauschen zu können. Zum Beispiel könnte man einen 6-M-LIBOR gegen einen fixen
Zinssatz von 8% in einem Jahr tauschen wollen. Liegt zu diesem Zeitpunkt dann der fixe Zinssatz
eines solchen Swaps unter 8%, so verfällt der Vertrag einfach. Liegt er jedoch darüber, so wird er
eingelöst und man erhält seinen Swap trotzdem mit 8%.
2.4.2
Caps
Bei einem Cap ist ein Leg des Derivats die positive Differenz zwischen einem LIBOR Zinssatz und
einem fixen Zinssatzes, während der andere Leg fix ist.
Beispiel:
Der Vertrag soll auf einen Basiswert von 1.000.000 abgeschlossen werden. Leg 1 sei ein fixer Satz
von 2%, Leg 2 sei das Max(6-M-LIBOR - 0.04, 0), also der capped Leg. Steht also jetzt der 6-MLIBOR auf 6,5%, so zahlt Leg 1 20.000, während Leg 2 1.000.000 ∗ max(0.065 − 0.04, 0) = 25.000
zahlt. Wäre der 6-M-LIBOR auf 3,5% so wäre Leg 1 unverändert, während Leg 2 dieses mal
1.000.000 ∗ max(0, 035 − 0.04, 0) = 0 zahlen müsste.
Analog zu Caps existieren auch Floors, wobei diese genauso definiert sind. Hier ist also dann
der 2. Leg z.B. das Max(0.04 - 6-M-LIBOR,0).
2.4.3
Accrual Swaps
Bei einem Accrual Swap wird der fixe Zinssatz nur an den Tagen gezahlt, wenn eine bestimmte
Bedingung erfüllt ist (meist wenn der Floating Leg in einem bestimmten Prozentbereich liegt).
Zum Beispiel könnte ein Accrual Swap so aussehen, dass die fixe Rate von 8% nur dann gezahlt
wird, wenn der 3-M-LIBOR zwischen 5% und 7% ist. Ist dies zum Beispiel an 216 Tagen im Jahr
216
= 47342 bezahlt werden.
der Fall gewesen, so müssten auf 1.000.000 nur 1.000.000 ∗ 0.08 ∗ 365
Der Floating Leg wird aber ganz normal bezahlt.
2.4.4
Wertberechnung
Die Wertberechnung von solchen Optionen auf Zinsderivaten wird in der Praxis mit dem Black’s
Modell durchgeführt. Das werde ich jedoch nicht mehr behandeln.
Literatur
[1] John C. Hull: Options, Futures and Other Derivates, Pearson Prentice Hall, 2006, 6. Auflage
[2] Hansjörg Albrechter: Finanz- und Versicherungsmathematik 1, Version 2006
[3] http://www.bloomberg.com/markets/rates/germany.html
[4] http://service.grz.at/oabfinet.nsf/a3429db78dd9224d412567f9005c23b3?OpenView
&Start=1&Count=30&Expand=1.2.3#1.2.3 (Raiffeisen Landesbank OÖ)
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