1 Taylorreihe für Funktionen mehrerer Variablen
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1 Taylorreihe für Funktionen mehrerer Variablen
1 Taylorreihe für Funktionen mehrerer Variablen Die Taylorreihe für skalare Funtionen mehrerer Variablen T (x1 , · · · , xd ) = ∞ X n1 =0 ··· (x1 , · · · , xd ) um die Stelle (a1 , . . . , ad ) lautet ∞ X (x1 − a1 )n1 · · · (xd − ad )nd ∂ n1 ∂ nd f (a1 , · · · , ad ) n1 · · · n1 ! · · · nd ! ∂x1 ∂xnd d n =0 d wobei die partiellen Ableitungen an der Stelle (a1 , a2 , . . . , ad ) zu nehmen sind. Als anschaulicheres Beispiel hier die Taylorreihe zweiter Ordnung, also bis zu den zweiten Ableitungen, einer Funktion von den beiden Variablen x und y, in der Umgebung (a,b) wobei die partiellen Ableitungen in der Schreibweise 2 fxy = ∂xy f= ∂2 ∂x∂y f = fyx geschrieben sind: f (x, y) ≈ f (a, b) + (x − a)fx (a, b) + (y − b)fy (a, b) + 1 (x − a)2 fxx (a, b) + 2(x − a)fxy (a, b)(y − b) + (y − b)2 fyy (a, b) . 2! Das ist äquivalent (einfach mal nachrechnen) zu der kompakteren Schreibweise: T (x) = f (a) + (x − a)T ∇f (a) + Wobei speziell im Fall zweier Variablen x und y gilt: (mit 1 (x − a)T 2! H (a)(x − a) + · · · f x = (x, y)und a = (a, b)) ∂x ∇f (a) = f (a, b): Gradient ∂y 2 2 ∂xx ∂xy f (a, b): Hesse-Matrix. und f (a) = 2 2 ∂yy ∂yx H Gradient und Hessematrix lassen sich natürlich auf einen Fall mehrerer Variablen ausweiten, zum anschaulichen Durchrechnen ist dieser Fall allerdings angenehmer. 1