1 Taylorreihe für Funktionen mehrerer Variablen

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Taylorreihe für Funktionen mehrerer Variablen
Die Taylorreihe für skalare Funtionen mehrerer Variablen
T (x1 , · · · , xd ) =
∞
X
n1 =0
···
(x1 , · · · , xd )
um die Stelle
(a1 , . . . , ad )
lautet
∞
X
(x1 − a1 )n1 · · · (xd − ad )nd ∂ n1
∂ nd
f (a1 , · · · , ad )
n1 · · ·
n1 ! · · · nd !
∂x1
∂xnd d
n =0
d
wobei die partiellen Ableitungen an der Stelle
(a1 , a2 , . . . , ad )
zu nehmen sind.
Als anschaulicheres Beispiel hier die Taylorreihe zweiter Ordnung, also bis zu den zweiten Ableitungen, einer Funktion
von den beiden Variablen x und y, in der Umgebung (a,b) wobei die partiellen Ableitungen in der Schreibweise
2
fxy = ∂xy
f=
∂2
∂x∂y f
= fyx
geschrieben sind:
f (x, y) ≈ f (a, b) + (x − a)fx (a, b) + (y − b)fy (a, b) +
1 (x − a)2 fxx (a, b) + 2(x − a)fxy (a, b)(y − b) + (y − b)2 fyy (a, b) .
2!
Das ist äquivalent (einfach mal nachrechnen) zu der kompakteren Schreibweise:
T (x) = f (a) + (x − a)T ∇f (a) +
Wobei speziell im Fall zweier Variablen x und y gilt: (mit
1
(x − a)T
2!
H (a)(x − a) + · · ·
f
x = (x, y)und a = (a, b))
∂x
∇f (a) =
f (a, b): Gradient
∂y
2 2 ∂xx ∂xy
f (a, b): Hesse-Matrix.
und
f (a) =
2
2
∂yy
∂yx
H
Gradient und Hessematrix lassen sich natürlich auf einen Fall mehrerer Variablen ausweiten, zum anschaulichen
Durchrechnen ist dieser Fall allerdings angenehmer.
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