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Logisches und Widersprüchliches
Wahr oder falsch? Antinomien Logik-Rätsel Paradoxien Logisches und Widersprüchliches Manfred Dobrowolski Universität Würzburg Die Umkehr der Höflichkeit Wahr oder falsch? Antinomien Logik-Rätsel Logisches und Widersprüchliches 1 Wahr oder falsch? 2 Antinomien 3 Logik-Rätsel 4 Paradoxien 5 Die Umkehr der Höflichkeit Paradoxien Die Umkehr der Höflichkeit Wahr oder falsch? Antinomien Logik-Rätsel Paradoxien Die Umkehr der Höflichkeit Aussagen Eine Formel oder ein Satz der Alltagssprache heißt Aussage, wenn sie wahr oder falsch sein kann. Wahr oder falsch? Antinomien Logik-Rätsel Paradoxien Die Umkehr der Höflichkeit Aussagen Eine Formel oder ein Satz der Alltagssprache heißt Aussage, wenn sie wahr oder falsch sein kann. Beispiele: 2 < 5, 3 = 5, Sokrates hatte eine Glatze. Wahr oder falsch? Antinomien Logik-Rätsel Paradoxien Die Umkehr der Höflichkeit Aussagen Eine Formel oder ein Satz der Alltagssprache heißt Aussage, wenn sie wahr oder falsch sein kann. Beispiele: 2 < 5, 3 = 5, Sokrates hatte eine Glatze. In der Alltagssprache gibt es Aussagen (?), die wahr werden, indem man sie ausspricht. Welche? Wahr oder falsch? Antinomien Logik-Rätsel Paradoxien Die Implikation Wenn es regnet, dann ist die Straße nass.“ ” Die Umkehr der Höflichkeit Wahr oder falsch? Antinomien Logik-Rätsel Paradoxien Die Umkehr der Höflichkeit Die Implikation Wenn es regnet, dann ist die Straße nass.“ ” Wenn Albert Einstein den Nobelpreis nicht bekommen hätte, ” dann wäre er an Hänschen Klein verliehen worden.“ Wahr oder falsch? Antinomien Logik-Rätsel Paradoxien Die Umkehr der Höflichkeit Die Implikation Wenn es regnet, dann ist die Straße nass.“ ” Wenn Albert Einstein den Nobelpreis nicht bekommen hätte, ” dann wäre er an Hänschen Klein verliehen worden.“ Es gibt 2 heiße Kandidaten auf einen Preis, nämlich E und K. Wenn E den Preis nicht bekommen hätte, ” dann wäre er an K verliehen worden.“ Wahr oder falsch? Antinomien Logik-Rätsel Paradoxien Die Umkehr der Höflichkeit Wahrheitstafel der Implikation Die Mathematik definiert die Wahrheit der Implikation durch die Wahrheitstafel A\B w f w w w A=Voraussetzung, B=Behauptung f f . w Wahr oder falsch? Antinomien Logik-Rätsel Paradoxien Die Umkehr der Höflichkeit Wahrheitstafel der Implikation Die Mathematik definiert die Wahrheit der Implikation durch die Wahrheitstafel A\B w f w w w f f . w A=Voraussetzung, B=Behauptung Eine Implikation ist daher immer wahr, wenn die Voraussetzung falsch ist. Damit sind alle Aussagen über mögliche Preisträger wahr. Wahr oder falsch? Antinomien Logik-Rätsel Paradoxien Die Umkehr der Höflichkeit Der modus ponens Ein mathematischer Beweis besteht aus einer Folge von Aussagen, die entweder von vorneherein als richtig angesehen werden oder aus der folgenden Schlussregel, dem modus ponens, abgeleitet werden können: Wahr oder falsch? Antinomien Logik-Rätsel Paradoxien Die Umkehr der Höflichkeit Der modus ponens Ein mathematischer Beweis besteht aus einer Folge von Aussagen, die entweder von vorneherein als richtig angesehen werden oder aus der folgenden Schlussregel, dem modus ponens, abgeleitet werden können: Wenn es regnet, dann ist die Straße nass“ ” Es regnet“ ” —————————————————— Die Straße ist nass“ ” A ⇒ B A ———– B Wahr oder falsch? Antinomien Logik-Rätsel Paradoxien Die Umkehr der Höflichkeit Die Antinomie des Epimenides Wir nehmen an, es gibt nur Lügner, die immer lügen, und Wahrheitssprecher, die immer die Wahrheit sagen. Wahr oder falsch? Antinomien Logik-Rätsel Paradoxien Die Umkehr der Höflichkeit Die Antinomie des Epimenides Wir nehmen an, es gibt nur Lügner, die immer lügen, und Wahrheitssprecher, die immer die Wahrheit sagen. Ein Kreter sagt: Alle Kreter lügen“. ” Wahr oder falsch? Antinomien Logik-Rätsel Paradoxien Die Umkehr der Höflichkeit Die Antinomie des Epimenides Wir nehmen an, es gibt nur Lügner, die immer lügen, und Wahrheitssprecher, die immer die Wahrheit sagen. Ein Kreter sagt: Alle Kreter lügen“. ” Ist das wahr, so behauptet er, dass er ein Lügner ist. Ist das falsch, so behauptet er, dass er gar kein Lügner ist. Wahr oder falsch? Antinomien Logik-Rätsel Paradoxien Die Umkehr der Höflichkeit Die Antinomie des Epimenides Wir nehmen an, es gibt nur Lügner, die immer lügen, und Wahrheitssprecher, die immer die Wahrheit sagen. Ein Kreter sagt: Alle Kreter lügen“. ” Ist das wahr, so behauptet er, dass er ein Lügner ist. Ist das falsch, so behauptet er, dass er gar kein Lügner ist. Was ist an dieser Argumentation falsch? Wahr oder falsch? Antinomien Logik-Rätsel Paradoxien Die Umkehr der Höflichkeit Die Antinomie des Epimenides Wir nehmen an, es gibt nur Lügner, die immer lügen, und Wahrheitssprecher, die immer die Wahrheit sagen. Ein Kreter sagt: Alle Kreter lügen“. ” Ist das wahr, so behauptet er, dass er ein Lügner ist. Ist das falsch, so behauptet er, dass er gar kein Lügner ist. Was ist an dieser Argumentation falsch? Richtig lautet die Antinomie: Der Satz, den ich jetzt ausspreche, ist falsch“. ” Wahr oder falsch? Antinomien Logik-Rätsel Paradoxien Die Umkehr der Höflichkeit Ein Klassiker der Unterhaltungsmathematik Ein Urwaldforscher wird von einem einheimischen Stamm gefangengenommen. Es stellt sich heraus, dass dieser Stamm aus Kannibalen besteht, die ihn töten und verspeisen wollen. Sie sagen zu ihm: Von deiner nächsten Aussage machen wir abhängig, wie ” wir dich zubereiten: Entsprechen deine nächsten Worte der Wahrheit, so werden wir dich kochen. Solltest du allerdings lügen, dann wirst du gegrillt“. Wahr oder falsch? Antinomien Logik-Rätsel Paradoxien Die Umkehr der Höflichkeit Ein Klassiker der Unterhaltungsmathematik Ein Urwaldforscher wird von einem einheimischen Stamm gefangengenommen. Es stellt sich heraus, dass dieser Stamm aus Kannibalen besteht, die ihn töten und verspeisen wollen. Sie sagen zu ihm: Von deiner nächsten Aussage machen wir abhängig, wie ” wir dich zubereiten: Entsprechen deine nächsten Worte der Wahrheit, so werden wir dich kochen. Solltest du allerdings lügen, dann wirst du gegrillt“. Der Forscher sagt etwas, das ihm das Leben rettet. Was? Wahr oder falsch? Antinomien Logik-Rätsel Paradoxien Die Umkehr der Höflichkeit Ein Klassiker der Unterhaltungsmathematik Ein Urwaldforscher wird von einem einheimischen Stamm gefangengenommen. Es stellt sich heraus, dass dieser Stamm aus Kannibalen besteht, die ihn töten und verspeisen wollen. Sie sagen zu ihm: Von deiner nächsten Aussage machen wir abhängig, wie ” wir dich zubereiten: Entsprechen deine nächsten Worte der Wahrheit, so werden wir dich kochen. Solltest du allerdings lügen, dann wirst du gegrillt“. Der Forscher sagt etwas, das ihm das Leben rettet. Was? Ich werde gegrillt werden“. ” Wahr oder falsch? Antinomien Logik-Rätsel Paradoxien Die Umkehr der Höflichkeit Superspiel Ein Zweipersonenspiel heißt normal“, wenn es nach endlich vielen ” Zügen zu Ende ist. Wahr oder falsch? Antinomien Logik-Rätsel Paradoxien Die Umkehr der Höflichkeit Superspiel Ein Zweipersonenspiel heißt normal“, wenn es nach endlich vielen ” Zügen zu Ende ist. Das Superspiel“ besteht darin, dass der anziehende Spieler ein ” beliebiges normales Spiel nennt, das dann mit dem anderen Spieler im Anzug gespielt wird. Existiert Superspiel? Wahr oder falsch? Antinomien Logik-Rätsel Von Rittern und Schurken Auf einer Insel leben nur Ritter: sagen immer die Wahrheit, Schurken: lügen immer. Paradoxien Die Umkehr der Höflichkeit Wahr oder falsch? Antinomien Logik-Rätsel Paradoxien Die Umkehr der Höflichkeit Von Rittern und Schurken Auf einer Insel leben nur Ritter: sagen immer die Wahrheit, Schurken: lügen immer. Von zwei Inselbewohnern sagt einer: Wir sind beides Schurken.” ” Wer ist wer? Wahr oder falsch? Antinomien Logik-Rätsel Paradoxien Die Umkehr der Höflichkeit Von Rittern und Schurken Ein Tourist kommt an eine Weggabelung. Er weiß, dass der eine Weg in die Freiheit führt und der andere in den Untergang. Vor jedem dieser beiden Wege steht ein Inselbewohner, von denen der Tourist weiß, dass einer von beiden ein Ritter und der andere ein Schurke ist. Mit welcher Frage an einen der beiden Inselbewohnern findet der Tourist den Weg in die Freiheit? Wahr oder falsch? Antinomien Logik-Rätsel Paradoxien Die Umkehr der Höflichkeit Von Rittern und Schurken Ein Tourist kommt an eine Weggabelung. Er weiß, dass der eine Weg in die Freiheit führt und der andere in den Untergang. Vor jedem dieser beiden Wege steht ein Inselbewohner, von denen der Tourist weiß, dass einer von beiden ein Ritter und der andere ein Schurke ist. Mit welcher Frage an einen der beiden Inselbewohnern findet der Tourist den Weg in die Freiheit? Wenn ich deinen Nachbarn fragen würde, ob dein Weg ” in die Freiheit führt, was würde er sagen?“ Wahr oder falsch? Antinomien Logik-Rätsel Paradoxien Die Umkehr der Höflichkeit Von Rittern und Schurken Auf einer Insel leben 100 Einwohner, die Ritter oder Schurken sind. Ein Forscher befragt die Einwohner nach der Anzahl der Schurken auf der Insel. Wahr oder falsch? Antinomien Logik-Rätsel Paradoxien Die Umkehr der Höflichkeit Von Rittern und Schurken Auf einer Insel leben 100 Einwohner, die Ritter oder Schurken sind. Ein Forscher befragt die Einwohner nach der Anzahl der Schurken auf der Insel. Er erhält vom ersten Einwohner die Antwort Einer“, vom zweiten ” die Antwort Zwei“, und so fort bis schließlich vom hundertsten die ” Antwort Hundert“. Wieviele Schurken gibt es auf der Insel? ” Wahr oder falsch? Antinomien Logik-Rätsel Paradoxien Die Umkehr der Höflichkeit Retro-Analyse Jan Mortensen 1956 Schwarz am Zug. Was war der letzte weiße Zug? Wahr oder falsch? Antinomien Logik-Rätsel Paradoxien Die Umkehr der Höflichkeit Am Marterpfahl 1 2 3 Drei Forscher werden von einem Indianerstamm gefangen genommen und hintereinander an drei Marterpfähle gebunden. Wahr oder falsch? Antinomien Logik-Rätsel Paradoxien Die Umkehr der Höflichkeit Am Marterpfahl 1 2 3 Drei Forscher werden von einem Indianerstamm gefangen genommen und hintereinander an drei Marterpfähle gebunden. Es gibt drei schwarze und zwei rote Marterpfähle. 1 sieht die Farben von 2 und 3, 2 sieht 3, 3 sieht nichts. Wahr oder falsch? Antinomien Logik-Rätsel Paradoxien Die Umkehr der Höflichkeit Am Marterpfahl 1 2 3 Drei Forscher werden von einem Indianerstamm gefangen genommen und hintereinander an drei Marterpfähle gebunden. Es gibt drei schwarze und zwei rote Marterpfähle. 1 sieht die Farben von 2 und 3, 2 sieht 3, 3 sieht nichts. Wer die Farbe seines Pfahls erkennt, wird freigelassen. Wahr oder falsch? Antinomien Logik-Rätsel Paradoxien Die Umkehr der Höflichkeit Am Marterpfahl 1 2 3 Drei Forscher werden von einem Indianerstamm gefangen genommen und hintereinander an drei Marterpfähle gebunden. Es gibt drei schwarze und zwei rote Marterpfähle. 1 sieht die Farben von 2 und 3, 2 sieht 3, 3 sieht nichts. Wer die Farbe seines Pfahls erkennt, wird freigelassen. Nach einer Weile nennt Forscher 3 die Farbe seines Pfahls und kommt frei. Wie konnte er das wissen? Wahr oder falsch? Antinomien Logik-Rätsel Paradoxien Die Umkehr der Höflichkeit Weitere Wahrheitstafeln (A oder B) wahr ⇔ A wahr oder B wahr oder beide wahr, (A und B) wahr ⇔ A wahr und B wahr. Wahr oder falsch? Antinomien Logik-Rätsel Paradoxien Die Umkehr der Höflichkeit Weitere Wahrheitstafeln (A oder B) wahr ⇔ A wahr oder B wahr oder beide wahr, (A und B) wahr ⇔ A wahr und B wahr. Wir verwenden die logischen Konjunktionen ∨ oder (nicht ausschließend) ∧ und ¬ Verneinungszeichen Wahr oder falsch? Antinomien Logik-Rätsel Paradoxien Die Umkehr der Höflichkeit Weitere Wahrheitstafeln In Tafelform können wir die obigen Regeln so schreiben: A\B w f w w w f w f Tafel für ∨ A\B w f w w f f f . f Tafel für ∧ Wahr oder falsch? Antinomien Logik-Rätsel Paradoxien Die Umkehr der Höflichkeit Verneinungsregeln Es gelten die Verneinungsregeln für Aussagen A, B ¬(A ∨ B) ⇔ ¬A ∧ ¬B, ¬(A ∧ B) ⇔ ¬A ∨ ¬B, ¬(A ⇒ B) ⇔ A ∧ ¬B. Folgt direkt aus den Wahrheitstafeln. Wahr oder falsch? Antinomien Logik-Rätsel Paradoxien Die Umkehr der Höflichkeit Zurück zur Antinomie des Epimenides Die Antinomie beruht darauf, dass in der Alltagslogik der Satz Alle Kreter lügen“. ” verneint wir durch Alle Kreter lügen nicht“. ” Wahr oder falsch? Antinomien Logik-Rätsel Paradoxien Die Umkehr der Höflichkeit Zurück zur Antinomie des Epimenides Die Antinomie beruht darauf, dass in der Alltagslogik der Satz Alle Kreter lügen“. ” verneint wir durch Alle Kreter lügen nicht“. ” Die Alltagslogik ist daher Aussagenlogik. In der Mathematik verwenden wir dagegen die Prädikatenlogik. Wahr oder falsch? Antinomien Logik-Rätsel Paradoxien Die Umkehr der Höflichkeit Prädikate sind Ausdrücke, die von einer oder mehrerer Variablen abhängen (=ein- bzw. mehrstellige Prädikate). Nachdem man für die Variablen Individuen eingesetzt hat, entsteht eine Aussage. Wahr oder falsch? Antinomien Logik-Rätsel Paradoxien Die Umkehr der Höflichkeit Prädikate sind Ausdrücke, die von einer oder mehrerer Variablen abhängen (=ein- bzw. mehrstellige Prädikate). Nachdem man für die Variablen Individuen eingesetzt hat, entsteht eine Aussage. In x ist ein Mensch“. ” können wir beliebige Lebewesen für x einsetzen: Sokrates ist ein Mensch“. ” Der Hund Lupo ist ein Mensch“. ” In jedem Fall entsteht eine Aussage. Wahr oder falsch? Antinomien Logik-Rätsel Verneinungsregeln Wir verwenden ∀ ∃ für alle“ ” es existiert“ ” Paradoxien Die Umkehr der Höflichkeit Wahr oder falsch? Antinomien Logik-Rätsel Paradoxien Verneinungsregeln Wir verwenden ∀ ∃ für alle“ ” es existiert“ ” Ist A(x) ein einstelliges Prädikat, so gelten die Regeln ¬ ∀x A(x) ⇔ ∃x ¬A(x), ¬ ∃x A(x) ⇔ ∀x ¬A(x). Die Umkehr der Höflichkeit Wahr oder falsch? Antinomien Logik-Rätsel Paradoxien Die Umkehr der Höflichkeit Allmachtspradoxon Kann der allmächtige Gott einen Stein erschaffen, der so schwer ist, dass er ihn nicht heben kann? Wahr oder falsch? Antinomien Logik-Rätsel Paradoxien Die Umkehr der Höflichkeit Allmachtspradoxon Kann der allmächtige Gott einen Stein erschaffen, der so schwer ist, dass er ihn nicht heben kann? Gott kann Steine beliebiger Schwere erschaffen und sie anschließend auch heben. Wahr oder falsch? Antinomien Logik-Rätsel Paradoxien Die Umkehr der Höflichkeit Allmachtspradoxon Kann der allmächtige Gott einen Stein erschaffen, der so schwer ist, dass er ihn nicht heben kann? Gott kann Steine beliebiger Schwere erschaffen und sie anschließend auch heben. Die Steine, die Gott nicht heben kann, bilden eine leere Menge. Wahr oder falsch? Antinomien Logik-Rätsel Paradoxien Die Umkehr der Höflichkeit Hempels Rabenparadoxon benannt nach dem Philosophen Carl Gustav Hempel (1905-1997). Wahr oder falsch? Antinomien Logik-Rätsel Paradoxien Die Umkehr der Höflichkeit Hempels Rabenparadoxon benannt nach dem Philosophen Carl Gustav Hempel (1905-1997). Hypothese: Alle Raben sind schwarz“. ” Wahr oder falsch? Antinomien Logik-Rätsel Paradoxien Die Umkehr der Höflichkeit Hempels Rabenparadoxon benannt nach dem Philosophen Carl Gustav Hempel (1905-1997). Hypothese: Alle Raben sind schwarz“. ” Beobachtet man im Folgenden einen schwarzen Raben, so kann man diese Beobachtung als Bestätigung dieser Hypothese ansehen. Wahr oder falsch? Antinomien Logik-Rätsel Paradoxien Die Umkehr der Höflichkeit Hempels Rabenparadoxon Äquivalent dazu ist die Hypothese: Alle nichtschwarzen Objekte sind keine Raben“ ” Wahr oder falsch? Antinomien Logik-Rätsel Paradoxien Die Umkehr der Höflichkeit Hempels Rabenparadoxon Äquivalent dazu ist die Hypothese: Alle nichtschwarzen Objekte sind keine Raben“ ” Beide Hypothesen werden durch einen nichtschwarzen Raben widerlegt. Wahr oder falsch? Antinomien Logik-Rätsel Paradoxien Die Umkehr der Höflichkeit Hempels Rabenparadoxon Äquivalent dazu ist die Hypothese: Alle nichtschwarzen Objekte sind keine Raben“ ” Beide Hypothesen werden durch einen nichtschwarzen Raben widerlegt. Die Beobachtung eines gelben Autos würde dann die obige Hypothese bestätigen. Wahr oder falsch? Antinomien Logik-Rätsel Paradoxien Die Umkehr der Höflichkeit Paradox der unerwarteten Hinrichtung Einem Gefangenen wird am Sonntag mitgeteilt, er werde nächste Woche um 12 Uhr hingerichtet. Allerdings würde der genaue Tag für ihn eine Überraschung sein. Wahr oder falsch? Antinomien Logik-Rätsel Paradoxien Die Umkehr der Höflichkeit Paradox der unerwarteten Hinrichtung Einem Gefangenen wird am Sonntag mitgeteilt, er werde nächste Woche um 12 Uhr hingerichtet. Allerdings würde der genaue Tag für ihn eine Überraschung sein. Nun überlegt er sich: Wenn ich am Samstagabend noch lebe, muss ich am Sonntag hingerichtet werden, was aber keine Überraschung wäre. Also fällt der Sonntag als Hinrichtungsdatum weg. Dann weiß ich aber am Freitagabend, wenn ich noch lebe, dass ich am Samstag hingerichtet werde - ebenfalls keine Überraschung usw., ich kann also überhaupt nicht hingerichtet werden! Wahr oder falsch? Antinomien Logik-Rätsel Paradoxien Die Umkehr der Höflichkeit Paradox der unerwarteten Hinrichtung Einem Gefangenen wird am Sonntag mitgeteilt, er werde nächste Woche um 12 Uhr hingerichtet. Allerdings würde der genaue Tag für ihn eine Überraschung sein. Nun überlegt er sich: Wenn ich am Samstagabend noch lebe, muss ich am Sonntag hingerichtet werden, was aber keine Überraschung wäre. Also fällt der Sonntag als Hinrichtungsdatum weg. Dann weiß ich aber am Freitagabend, wenn ich noch lebe, dass ich am Samstag hingerichtet werde - ebenfalls keine Überraschung usw., ich kann also überhaupt nicht hingerichtet werden! Am Mittwoch taucht der Henker zur Hinrichtung auf – vollkommen unerwartet. Wahr oder falsch? Antinomien Logik-Rätsel Paradoxien Die Umkehr der Höflichkeit Smullyan vs Schnabel Der Logiker Raymond Smullyan hatte mit seinen Freunden ein Schubert-Konzert des großen Pianisten Arthur Schnabel besucht. Nach der Aufführung waren alle tief berührt und man überlegte lange, ob man Schnabel mit einem Anruf stören könne. Nach langer Diskussion rief Smullyan an und gratulierte Schnabel zu seinem wunderbaren Konzert. Wahr oder falsch? Antinomien Logik-Rätsel Paradoxien Die Umkehr der Höflichkeit Smullyan vs Schnabel Schnabel antwortet am Telefon: Ja, die Sonate A-Dur, Nr. 959, beginnt ja mit einem klassisch gehaltenen Satz, aber dann ... und redete und redete ... Wahr oder falsch? Antinomien Dobrowolski vs Kellnerin Logik-Rätsel Paradoxien Die Umkehr der Höflichkeit Wahr oder falsch? Antinomien Logik-Rätsel Paradoxien Dobrowolski vs Kellnerin Leise, ganz leise: Frau Kellnerin, der Salat ist etwas sauer. Die Umkehr der Höflichkeit Wahr oder falsch? Antinomien Logik-Rätsel Paradoxien Die Umkehr der Höflichkeit Dobrowolski vs Kellnerin Leise, ganz leise: Frau Kellnerin, der Salat ist etwas sauer. Kellnerin: Mein Salat ist nicht sauer!
