Klassifikation und Darstellungen von Clifford

Klassifikation und Darstellungen von
Clifford-Algebren
Christoph Winges
Ausarbeitung zum Seminarvortrag über Klassifikation und Darstellungen
von Clifford-Algebren im Seminar zum Atiyah-Singer-Index-Theorem bei Roman Sauer und Tibor Macko, gehalten am 27.10.2009 an der WWU Münster.
Klassifikation der Clifford-Algebren Cl n und Cln
Erinnerung. Für den Fall V = Rr+s , qr,s (x) = x21 + . . . + x2r − x2r+1 − . . . − x2r+s notieren
wir Cl r,s := Cl (V, q).
Fakt. Jede Clifford-Algebra Cl r,s hat eine abstrakte Darstellung (als Algebra) durch Erzeuger e1 , . . . , er+s , welche den Relationen
(
−2δij i 6 r
ei ej + ej ei =
2δij i > r
unterliegen.
Definition. Setze Clr,s := Cl r,s ⊗R C.
Bemerkung. Es gibt einen Isomorphismus Cl (Cn , qr,s ⊗ C) ∼
= Clr,s . Zusammen mit
der Tatsache, dass über C alle quadratischen Formen äquivalent sind, folgt insbesondere
Clr,s ∼
= Cln , wann immer r + s = n.
Definition. Seien k ⊆ K Körper. Eine K-Darstellung von Cl (V, q) ist ein k-AlgebraHomomorphismus
ρ : Cl (V, q) → homK (W, W )
wobei W ein endlich dimensionaler K-Vektorraum ist.
Bemerkung. Durch eine solche K-Darstellung ρ wird W zu einem Cl (V, q)-Modul:
Definiere skalare Multiplikation durch ϕ · w := ρ(ϕ)(w), ϕ ∈ Cl (V, q), w ∈ W .
Definition. Eine K-Darstellung ρ : Cl (V, q) → homK (W, W ) heißt reduzibel, falls es
eine nicht-triviale Zerlegung W = W1 ⊕ W2 gibt, sodass ρ(ϕ)(Wi ) ⊆ Wi für i = 1, 2 und
ϕ ∈ Cl (V, q). Mit ρi (ϕ) := ρ(ϕ) können wir schreiben ρ = ρ1 ⊕ ρ2 .
Wi
ρ heißt irreduzibel, falls ρ nicht reduzibel ist.
1
Bemerkung. Jede K-Darstellung ρ besitzt eine Zerlegung in irreduzible Darstellungen
ρ = ρ1 ⊕ · · · ⊕ ρk .
Definition. Seien ρ1 : Cl (V, q) → homK (W1 , W1 ) und ρ2 : Cl (V, q) → homK (W2 , W2 )
zwei K-Darstellungen. ρ1 und ρ2 heißen äquivalent, falls es einen Isomorphismus von
Vektorräumen F : W1 → W2 gibt, sodass F ◦ ρ1 (ϕ) ◦ F −1 = ρ2 (ϕ) für alle ϕ ∈ Cl (V, q).
Definition. Wir setzen
• νn := Anzahl der Äquivalenzklassen irreduzibler R-Darstellungen von Cl n
νnC := Anzahl der Äquivalenzklassen irreduzibler C-Darstellungen von Cl n
• dn := min{dimR (W ) Es gibt eine irreduzible R-Darstellung Cl n → homR (W, W )}
dC
n := min{dimC (W ) Es gibt eine irreduzible C-Darstellung Cl n → homC (W, W )}
• Mn bezeichne die Grothendieck-Gruppe, die von den Äquivalenzklassen irreduzibler R-Darstellungen von Cl n erzeugt wird.
Analog bezeichne MC
n die Grothendieck-Gruppe, die von den Äquivalenzklassen
irreduzibler C-Darstellungen von Cl n erzeugt wird.
Satz. Für 1 6 n 6 8 haben wir
n
1
2
3
4
5
6
7
8
Cl n
C
H
H⊕H
H(2)
C(4)
R(8)
R(8) ⊕ R(8)
R(16)
νn
1
1
2
1
1
1
2
1
dn
2
4
4
8
8
8
8
16
Mn
Z
Z
Z⊕Z
Z
Z
Z
Z⊕Z
Z
Cln
C⊕C
C(2)
C(2) ⊕ C(2)
C(4)
C(4) ⊕ C(4)
C(8)
C(8) ⊕ C(8)
C(16)
Des Weiteren gelten für alle m, k > 1
1. Cl m+8k ∼
= Cl m ⊗ Cl 8
Clm+2k ∼
= Clm ⊗ Cl2 .
2. dm+8k = 24k dm
k C
dC
m+2k = 2 dm .
3. Mm+8k ∼
= Mm
∼ C
MC
m+2k = Mm .
2
νnC
2
1
2
1
2
1
2
1
dC
n
1
2
2
4
4
8
8
16
MC
n
Z⊕Z
Z
Z⊕Z
Z
Z⊕Z
Z
Z⊕Z
Z
Lemma. Für alle n, r, s > 0 gilt
1. Cl n,0 ⊗ Cl 0,2 ∼
= Cl 0,n+2
2. Cl 0,n ⊗ Cl 2,0 ∼
= Cl n+2,0
3. Cl n+8,0 ∼
= Cl n,0 ⊗ Cl 8,0
4. Cl 0,n+8 ∼
= Cl 0,n ⊗ Cl 0,8
5. Cl r,s ⊗ Cl 1,1 ∼
= Cl r+1,s+1
Beweis.
1. Sei e1 , . . . , en+2 eine ONB für Rn+2 , q := −kxk2 . Wähle Standarderzeuger
0
e1 , . . . , e0n , e001 , e002 für Cl n,0 und Cl 0,2 . Definiere eine R-lineare Abbildung f : Rn+2 →
Cl 0,2 ⊗ Cl 0,n+2 durch
(
e0i ⊗ e001 e002 1 6 i 6 n
f (ei ) :=
1 ⊗ e00i−n n + 1 6 i 6 n + 2
Da f (x)f (x) = kxk2 1 ⊗ 1, setzt sich f vermöge der universellen Eigenschaft von
Clifford-Algebren zu einem Algebrahomomorphismus f˜: Cl 0,n+2 → Cl n,0 ⊗ Cl 0,2
fort. Da das Bild von f ein Erzeugendensystem von Cl n,0 ⊗ Cl 0,2 enthält, ist f˜
surjektiv, aus Dimensionsgründen also ein Isomorphismus.
2. Analog.
3. Cl n+8,0 ∼
= Cl n,0 ⊗ Cl 0,2 ⊗ Cl 2,0 ⊗ Cl 0,2 ⊗ Cl 2,0 ∼
= Cl n,0 ⊗ Cl 8,0
4. Analog.
5. Wähle eine q-orthogonale Basis e1 , . . . , er+1 , ε1 , . . . , εs+1 von Rr+s+2 , wobei q(ei ) =
1 und q(εj ) = −1. Nach Wahl passender Basen e01 , . . . , e0r , ε01 , . . . ε0s für Rr+s und
e001 , ε001 für R2 definiere f : Rr+s+2 → Cl r,s ⊗ Cl 1,1 durch
(
e0i ⊗ e001 ε001 1 6 i 6 r
f (ei ) :=
1 ⊗ e001
i=r+1
(
ε0j ⊗ e001 ε001
f (εj ) :=
1 ⊗ ε001
Die Behauptung folgt dann wie eben.
3
16j6s
j =s+1
Lemma. Es gilt
1. R(n) ⊗ R(m) ∼
= R(nm)
2. R(n) ⊗R K ∼
= K(n)
K ∈ {C, H}
3. C ⊗R C ∼
=C⊕C
4. C ⊗R H ∼
= C(2)
5. H ⊗R H ∼
= R(4)
Beweis.
1. Prüfe, dass R(nm) die universelle Eigenschaft des Tensorprodukts erfüllt.
2. Der offensichtliche Isomorphismus von Vektorräumen ist auch ein Algebrahomomorphismus.
3. Die Abbildung C ⊕ C → C ⊗R C, die auf einer Basis durch (1, 0) 7→ 12 (1 ⊗ 1 + i ⊗ i),
(0, 1) 7→ 12 (1 ⊗ 1 − i ⊗ i) gegeben ist, ist ein Isomorphismus.
4. Definiere eine R-lineare Abbildung f : C ⊕ H → homC (H, H) (d.h. wir fassen H als
C-Vektorraum auf) durch f (z, q) := zxq̄. Diese induziert eine R-lineare Abbildung
f˜: C ⊗R H → homC (H, H) ∼
= C(2), bei der es sich sogar um einen Algebrahomo˜
morphismus handelt. f ist injektiv (kann auf einer natürlichen Basis für C ⊗R H
nachgeprüft werden), also aus Dimensionsgründen ein Isomorphismus.
5. Definiere f : H ⊕ H → homR (H, H) ∼
= R(4) durch f (q1 , q2 ) := q1 xq2 und argumentiere wie eben.
Fakt. Sei K ∈ {R, C, H}. Die natürliche Darstellung ρ von K(n) auf K n ist bis auf
Äquivalenz die einzige irreduzible R-Darstellung von K(n).
K(n) ⊕ K(n) hat bis auf Äquivalenz genau zwei irreduzible R-Darstellungen, nämlich
ρi := ρ ◦ πi , i = 1, 2, wobei πi Projektion auf die i-te Komponente sei.
Beweis. (Klassifikationssatz) Die 8-Periodizität von Cl n haben wir bereits gezeigt. Weiterhin ist
Cln+2 ∼
= Cl n+2,0 ⊗ C ∼
= Cl n,0 ⊗ Cl 0,2 ⊗ C ∼
= Cln ⊗ Cl2
Mit Hilfe der gezeigten Lemmata können wir die Clifford-Algebren Cl n und Cln rekursiv
berechnen (Bemerke, dass wir bereits wissen: Cl 1 ∼
= C, Cl 2 ∼
= H, Cl 0,1 ∼
= R ⊕ R, Cl 0,2 ∼
=
∼
R(2), Cl 1,1 = R(2)).
Also ist jede Clifford-Algebra entweder eine Matrixalgebra oder direkte Summe zweier
Matrixalgebren, damit folgt unter Verwendung des Faktums
(
(
2 n ≡ 3 (mod 4)
2 n ungerade
C
νn =
νn =
1 sonst
1 n gerade
ebenso wie die Aussagen über dn und dC
n.
4
Die verbleibenden Behauptungen folgen unmittelbar aus der Beobachtung, dass Mn bzw.
MC
n die freien abelschen Gruppen sind, die von den Äquivalenzklassen der irreduziblen
R- bzw. C-Darstellungen von Cl n erzeugt werden.
Die reelle Spinor-Darstellung
Erinnerung. Das (orientierte) Volumenelement ist gegeben durch ω = e1 . . . en ∈ Cl n ,
wobei e1 , . . . , en eine (positiv orientierte) ONB von Rn ist.
n+1
Das komplexe Volumenelement ωC ist gegeben durch ωC := ib 2 c ω.
Die Volumenelemente haben folgende Eigenschaften:
• Ist n ungerade, so sind ω und ωC zentral. Anderenfalls gilt zumindest ϕω = ωα(ϕ),
ϕ ∈ Cl n .
(
1 n ≡ 3 (mod 4)
2
• ω =
und ωC2 = 1.
−1 n ≡ 1 oder 2 (mod 4)
−
+
−
• Es gibt Zerlegungen Cl n ∼
= Cl +
n ⊕ Cl n , falls n ≡ 3 (mod 4), und Cln = Cln ⊕ Cln ,
±
falls n ungerade, wobei Cl ±
n = (1 ± ω)Cl n und Cln = (1 ± ωC )Cln .
Proposition. Sei ρ : Cl n → homR (W, W ) eine irreduzible R-Darstellung.
1. Falls n ≡ 3 (mod 4), gilt ρ(ω) = ± id, beide Fälle treten auf und sind nicht äquivalent zueinander.
2. Falls n ≡ 0 (mod 4), gibt es eine Zerlegung W = W + ⊕ W − , W ± = (1 ± ω)W , W ±
ist Cl 0n -invariant und die zwei entsprechenden Darstellungen von Cl 0n entsprechen
unter dem Isomorphismus Cl n−1 ∼
= Cl 0n den beiden irreduziblen Darstellungen von
Cl n−1 .
Beweis.
1. Da ρ(ω)2 = id, folgt mit den Spektralsätzen, dass W in eine direkte Summe W = W + ⊕ W − zerfällt, wobei W ± = Eigρ(ω) (±1). Sei ϕ ∈ Cl n . Dann gilt für
w ∈ W+
ρ(ϕ)(w) = ρ(ϕ)ρ(ω)(w) = ρ(ω)ρ(ϕ)(w)
d.h. W + ist Cl n -invariant. Analog für W − . Da ρ irreduzibel ist, folgt dann W ∈
{W + , W − }, also ρ(ω) = ± id.
Die natürlichen Darstellungen von Cl n auf Cl ±
n durch Linksmultiplikation bezeugen, dass beide Fälle eintreten können (für Irreduzibilität: Prüfe Dimension.).
Ist ρ(ω) = ± id und F : W1 → W2 ein Vektorraumisomorphismus, folgt F ◦ ρ(ω) ◦
F −1 = ρ(ω), also sind die beiden Darstellungen nicht äquivalent.
2. Wir wissen bereits, dass W in der Form W = W + ⊕ W − spaltet. Da ω zentral in
Cl 0n ist, folgt wie im ersten Teil, dass W ± invariant unter Cl 0n ist. Zudem bildet
der Isomorphismus Cl n−1 ∼
= Cl 0n das Volumenelement ωCl n−1 auf ωCl 0n ab. Dann
folgt die Behauptung direkt aus dem ersten Teil der Proposition.
5
Definition. Durch Einschränken einer irreduziblen R-Darstellung Cl n → homR (W, W )
auf Spinn erhalten wir eine reelle Spinor-Darstellung
∆n : Spinn → GL(W )
Proposition. ∆n ist unabhängig von der Wahl der irreduziblen Darstellung.
−
±
Falls n ≡ 0 (mod 4), ist ∆n = ∆+
n ⊕ ∆n , wobei ∆n zwei irreduzible, nicht äquivalente
R-Darstellungen von Spinn sind.
Falls nicht n ≡ 0 (mod 4), ist ∆n
(
direkte Summe zweier äquivalenter Darstellungen, falls n ≡ 1 oder 2 (mod 8)
irreduzibel
sonst
Beweis. Nur im Fall n ≡ 3 (mod 4) ist überhaupt eine Wahl möglich. Bezeichnen ρ± die
zwei nicht äquivalenten Darstellungen von Cl n , so gilt aber α ◦ ρ+ (α(ϕ)) ◦ α = ρ− (ϕ)
für alle ϕ ∈ Cl n , d.h. die beiden Darstellungen sind auf Cl 0n (und damit auch auf Spinn )
äquivalent.
Für die verbleibenden Behauptungen genügt es, die Einschränkung einer irreduziblen
Darstellung auf Cl 0n zu betrachten (Da der lineare Spann von Spinn ganz Cl 0n ist, würde
sich jeder Spalt einer auf Spinn eingeschränkten Darstellung auch auf Cl 0n fortsetzen.).
Im Fall n ≡ 0 (mod 4) folgt die Behauptung direkt aus dem zweiten Teil der vorherigen
Proposition.
In den restlichen Fällen folgt die Behauptung unmittelbar aus der Klassifikation der
Clifford-Algebren (insbesondere aus den Werten für νn und dn ).
Die komplexe Spin-Darstellung
Die folgenden Aussagen werden in zum reellen Fall analoger Weise bewiesen.
Proposition. Sei ρ : Cln → homC (W, W ) eine irreduzible C-Darstellung.
1. Ist n ungerade, gilt ρ(ωC ) = ± id, beide Fälle treten ein und sind nicht äquivalent
zueinander.
2. Ist n gerade, existiert eine Zerlegung W = W + ⊕ W − in Cln0 -invariante Unterräume, welche den beiden irreduziblen Darstellungen von Cln−1 entsprechen.
Definition. Durch Einschränken einer irreduziblen C-Darstellung Cln → homC (W, W )
auf Spinn erhalten wir eine komplexe Spin-Darstellung
∆C
n : Spinn → GLC (W )
Proposition. ∆C
n ist unabhängig von der Wahl der irreduziblen Darstellung.
Falls n ungerade, ist ∆C
n irreduzibel.
+
−
±
C
Falls n gerade, ist ∆n = ∆C
⊕ ∆C
, wobei ∆C
zwei irreduzible, nicht äquivalente
n
n
n
C-Darstellungen von Spinn sind.
6
Z2 -graduierte Clifford-Moduln
Ein Z2 -graduierter Clifford-Modul ist ein Cl n -Modul W mit einer Zerlegung W = W 0 ⊕
W 1 , sodass Cl in · W j ⊆ W i+j für i, j ∈ Z2 .
cn ist definiert als die Grothendieck-Gruppe der Z2 -graduierten Cl n Definition. M
Moduln.
Bemerkung. Die Kategorie der Z2 -graduierten Cl n -Moduln ist äquivalent zur Katecn ∼
gorie der ungraduierten Cl n−1 -Moduln. Insbesondere ist damit M
= Mn−1 (Bemerke, dass wir irreduzible Darstellungen von Cl n auch als einfache Cl n -Moduln auffassen
können.).
Proposition. Es gibt natürliche Paarungen
cn ⊗ M
cm → M
cn+m
M
c∗ := L M
cn zu einem graduierten Ring wird.
sodass M
n>0
b von Clifford-Algebren Cl n , Cl m ist definiert als
Das Z2 -graduierte Tensorprodukt ⊗
b m )0 = (Cl 0n ⊗ Cl 0m ) ⊕ (Cl 1n ⊗ Cl 1m )
(Cl n ⊗Cl
b m )1 = (Cl 1n ⊗ Cl 0m ) ⊕ (Cl 0n ⊗ Cl 1m )
(Cl n ⊗Cl
wobei die multiplikative Struktur gegeben ist durch
0
(ϕ ⊗ ψ)(ϕ0 ⊗ ψ 0 ) := (−1)deg(ψ) deg(ϕ ) (ϕϕ0 ) ⊗ (ψψ 0 )
für ψ und ϕ0 von reinem Grad.
Die lineare Abbildung Rn ⊕ Rm → Cl n+m definiert durch (v, 0) 7→ v ⊗ 1, (0, w) 7→ 1 ⊗ w
b m.
induziert einen Isomorphismus Cl n+m ∼
= Cl n ⊗Cl
b zweier Z2 -graduierter Moduln V und W über Cl n
Das Z2 -graduierte Tensorprodukt ⊗
bzw. Cl m ist definiert durch
b )0 = (V 0 ⊗ W 0 ) ⊕ (V 1 ⊗ W 1 )
(V ⊗W
b )1 = (V 1 ⊗ W 0 ) ⊕ (V 0 ⊗ W 1 )
(V ⊗W
b m gegeben durch
mit skalarer Multiplikation mit Elementen aus Cl n ⊗Cl
(ϕ ⊗ ψ)(v ⊗ w) := (−1)deg(ψ) deg(v) (ϕv) ⊗ (ψw)
b ist ein Z2 -graduierter Cl n+m -Modul; das Z2 -graduierte Tensorprodukt induD.h. V ⊗W
c∗ .
ziert die Produktstruktur auf M
C
cn definieren und erhält mit Hilfe Z2 -graduierter Tensorprodukte
Analog kann man M
cC .
einen graduierten Ring M
∗
7