Noether-Theorem (wichtig für QM, QFT) Jede einparametrige Schar

Noether-Theorem (wichtig für QM, QFT)
Jede einparametrige Schar von Transformationen, unter denen die Wirkung invariant ist,
führt zu einer Erhaltungsgröße!
Zur Erinnerung:
(
Falls
ist zyklisch), gilt:
(i) generalisierter Impuls erhalten:
(ii) L "invariant" unter Verschiebung von
:
(Funktionale Form ändert sich nicht)
Betrachte Transf.:
Transformierte
Lagrange-Fkt.:
alte Koord., ausgedrückt durch neue Koord.
Fazit:
Zentrale Idee heute:
Frage:
[da L nicht von
hat dieselbe funktionale Form wie L
(dieselbe Abhängigkeit von seinen Koordinaten)
Erhaltungsgröße
zyklisch
NOETHER
abhängt, (1)]
"L ist invariant"
Invarianz von L
Gibt es einen allgemeinen Zusammenhang zwischen Transf.,
die Lagrange-Fn. invariant lassen, und Erhaltungsgrößen?
Satz: Noether-Theorem
Gegeben sei eine ein-eindeutige Koordinatentransformation,
in einem kontinuierlich veränderlichen, differenzierbarem Parameter
Für
sei diese Transformation die Identität. Wenn die Lagrange-Fn. unter
dieser Transf. invariant ist, gibt es eine Erhaltungsgröße (Integral der Bewegung):
Beispiel:
Rotation um
z-Achse für:
hängt nur vom Abstand zur z-Achse ab
fest
i) Zugang über kartesische Koord.:
Betrachte Rotation um z-Achse:
Def. transformierte
Lagrange-Funktion:
selber nachrechnen
Fazit:
invariant unter Rot. um z-Achse!
Erhaltungsgröße:
Drehimpuls um z-Achse
ii) Zugang über
Zylinder-Koord.:
zyklisch
Generalisierter Impuls:
oder: Invarianz unter
Check:
Beweis des Noetherschen Satzes:
(verallg. von (80.4))
Def. transformierte
Lagrange-Funktion:
Einerseits: Betrachte:
gilt für alle ε,
also auch für ε=0
ε=0 erleichtert die
Analyse
Andererseits: Invarianz
der Lagrange-Fn. bedeutet:
[
hat dieselbe
funktionale Form wie L]
[denn L hängt nicht von ε ab]
Erhaltungsgröße
Erweitertes Noether-Theorem:
Wenn sich die Lagrange-Fn. unter der Koord.Transf. (2.2) um eine Eichtr. verändert,
lautet die Erhaltungsgröße:
Beweis: analog zum vorigen Beweis:
[denn L hängt nicht von ε ab]
gilt für alle ε,
also auch für ε=0
Beispiel: Freier Fall im Schwerfeld:
Betrachte Galileo-Transf.:
Def. transformierte
Lagrange-Funktion:
Erhaltungsgröße:
Ist (7) wirklich konstant? Check mittels Lösung d. Bewegungsgl.:
In diesem Fall ist die erhaltene Größe
eine der Anfangsbedingungen!
Bemerkungen:
1) Lagrange-Mechanik: kont. Symmetrie liefert Erhaltungsgröße;
aber Umkehrung erst in der Hamiltonschen Mechanik gültig
2)
I ist im Prinzip Funkt. von ε aber ε-Abhängigkeit bringt keine neue Information.
Deswegen immer nur Betrachtung von
Deshalb reicht tatsächlich schon Invarianz unter infinitesimal Transf. wobei
Terme vernachlässigt werden.
Im Beispiel von (3.2):
selber nachrechnen
Wie erwartet, ist L zur Ordnung
invariant unter (1)'
deswegen ist Noether-Theorem anwendbar, mit Erhaltungsgröße:
3) Das Noether-Theorem gilt nicht für Transf, die nicht von einem kontinuierlichen
Parameter abhängen. Beispiel Koordinatenspiegelung:
Bisher war Zeitabhängigkeit ausgeklammert.
Satz:
Lagrange-Fn. sei unter Zeittransl. invariant:
Dann ist
eine Erhaltungsgröße.
(Bemerkung: für skleronome (zeitunabhängige) Zwangsbedingungen wird I später zur Hamiltonfn.)
Beweis:
Für zeitunabhängige Potenziale aber rheonome(zeitabhängige) Zwangsbed., liefert
obiger Satz eine Erhaltungsgröße, die aber nicht als Energie zu interpretieren ist:
Beispiel: Perle auf rotierndem Stab (Vorlesung 10, Seite L22):
Check:
Ist I wirklich konstant? Nutze Lösung d. Bewegungsgl.:
Energie kann hier keine Erhaltungsgröße sein, da Zwangskraft Arbeit verrichtet!
Virialsatz: "Nachtrag" zur Newtonschen Mechanik (keine Zwangskräfte)
Gelegentlich/häufig ist die Lösung von Systemen mit vielen Freiheitsgraden schwierig bis
unmöglich. Nützliche Information kann dann der Virialsatz liefern.
Def.: Zeitlicher Mittelwert
einer Größe:
z.B. T oder U
Satz (Virialsatz):
Falls alle
und
im Verlauf der Zeit endlich bleiben, gilt:
z.B. für Planeten
auf Ellipsen, oder
Gasteilchen im Behälter
Beweis:
part. Integration
endlich
wenn
τ
Lemma: Für Potentialkräfte dessen Potential eine homogene Funktion n-ten Grades ist,
z.B.:
besagt der Virialsatz:
(d.h. in jedem Term kommt dieselbe Potenz von r vor)
Beweis:
Für homogene Funktionen gilt:
einerseits:
andererseits:
Einsetzen:
Speziell für Virialsatz:
WOW!
Beispiele:
(i) Harmonischer Oszillator:
Energieerhaltung gilt immer:
(ii) Kepler-Problem:
Ein Satellit, der durch Reibung Energie verliert (E wird negativer),
gewinnt an kinetischer Energie (fliegt schneller)!
Bemerkung:
Zusammenfassung: Noether-Theorem
Noethersches Theorem
Wenn die Lagrange-Funktion unter der ein-eindeutigen Koordinatentranformation
invariant ist, ist
eine Erhaltungsgröße
(Integral der Bewegung).
Erweitertes Noether-Theorem:
Wenn sich die Lagrange-Fn. unter der Koord.Transformation um eine Eichtransformation ändert,
lautet die Erhaltungsgröße:
Virialsatz:
Falls
Für homogenes Potential,
im Verlauf der Zeit endlich bleiben, gilt:
gilt