EL-9650 Übungsaufgaben für die gymnasiale Oberstufe

GTR-Fortbildung OSA Fr – Grundkenntnisse SHARP EL 9650
A.Zitterbart, StD
Aufgaben
1. Aus einem rechteckigen Karton (40 cm x 20 cm) soll durch Einschneiden an den Ecken eine
Schachtel mit übergreifendem Deckel hergestellt werden. Bestimmen Sie die Höhe der Schachtel so,
dass das Volumen der Schachtel möglichst groß wird.
a) Erstellen Sie für die Zielfunktion eine Wertetabelle.
b) Stellen Sie die Funktion im Bereich des lokalen Maximums graphisch dar und bestimmen Sie das
Maximum.
c) Bestimmen Sie die Nullstellen der Zielfunktion sowie die maximale bzw. minimale Steigung des
Graphen.
2. Newtonverfahren
a) Geben Sie den Funktionsterm f(x) = x + sin( x − 2) sowie den Term der Ableitung in den
Funktionsspeicher ein.
b) Ermitteln Sie einen geeigneten Startwert für das Newtonverfahren zur Bestimmung der Nullstelle.
c) Führen Sie das Newton-Verfahren im Hauptbildschirm durch.
 2 6 1 5


3. Lösen Sie das folgende LGS:  4 9 6 1 
 5 3 2 7


4. Am 27.6.2002 erschien im Schwarzwälder Bote das
nebenstehende Diagramm.
Der Verlauf der Kurve legt nahe, logistisches Wachstum
anzunehmen.
a) Stellen Sie die Zahl der Mobilfunk-Teilnehmer als
Funktion der Zeit ab 1992 dar.
b) Bestimmen Sie unter der Annahme logistischen
Wachstums aus den gegebenen Werten einen
geeigneten Funktionsterm.
c) Mit welcher Zahl von Mobilfunk-Teilnehmern ist nach
diesem Modell auf lange Sicht zu rechnen ?
5. Vom Punkt P( -3 / 0 ) soll eine Tangente an das Schaubild
der Funktion f mit f(x) = (x+2)(x-1)(x-4) gelegt werden.
Der Mathematikunterricht in der Oberstufe mit einem grafikfähigen Taschenrechner
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Lösungen
1. Aus einem rechteckigen Karton (40 cm x 20 cm) soll durch Einschneiden an den Ecken eine
Schachtel mit übergreifendem Deckel hergestellt werden. Bestimmen Sie die Höhe der Schachtel so,
dass das Volumen der Schachtel möglichst groß wird.
a) Erstellen Sie für die Zielfunktion eine Wertetabelle.
b) Stellen Sie die Funktion im Bereich des lokalen Maximums graphisch dar und bestimmen Sie das
Maximum.
c) Bestimmen Sie die Nullstellen der Zielfunktion sowie die maximale bzw. minimale Steigung des
Graphen.
Eingabe der Funktion im Y-Editor Y=
Mit 2nd TBLSET kann man Startwert und Schrittweite der Tabelle eingeben.
TABLE liefert dann die Tabelle, in der man sich mithilfe der Cursor-Tasten
bewegen kann.
Die Tabelle ermöglicht einen Überblick über die vorkommenden Zahlenwerte.
Insbesondere sieht man, dass das Minimum in der Nähe von x = 3.8 liegt. Mit
diesen Informationen kann man mit WINDOW das Graphikfenster einstellen.
Oder man wählt die ZOOM-Taste und benutzt eine Voreinstellung.
GRAPH stellt die Funktion dar.
2nd CALC öffnet ein Menü zur Bestimmung des Maximums.
Der SHARP sucht sofort das Maximum innerhalb des sichtbaren Fensters.
Mithilfe von ZOOM (insbesondere ZoomOut) verschafft man sich einen
Überblick über die Funktion.
Mit ZOOM / Box wählt man dann den entsprechenden Ausschnitt.
2nd CALC öffnet ein Menü zur Bestimmung der Nullstellen.
X_Incpt führt einen dann weiter.
Der SHARP beginnt gleich zu rechnen und findet die Nullstelle in der Nähe des
Cursors.
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Wiederholt man 2nd CALC / X-Incpt, findet der GTR die nächste Nullstelle.
Wendepunkte werden als Extrempunkte der 1. Ableitung bestimmt. Daher wird
zunächst im Y-Editor die Ableitung von Y1 als weitere Funktion definiert.
Den entsprechenden Operator erhält man mithilfe der MATH-Taste.
Die Variable Y1 erhält man mit der VARS-Taste.
Auch hier verschafft man sich mit der Tabelle zunächst einen Überblick über
nötige Fenster-Einstellungen
2. Newtonverfahren
a) Geben Sie den Funktionsterm f(x) = x + sin( x − 2) sowie den Term der Ableitung in den
Funktionsspeicher ein.
b) Ermitteln Sie einen geeigneten Startwert für das Newtonverfahren zur Bestimmung der Nullstelle.
c) Führen Sie das Newton-Verfahren im Hauptbildschirm durch.
 2 6 1 5


3. Lösen Sie das folgende LGS:  4 9 6 1 
 5 3 2 7


Mithilfe von MATRIX / EDIT / erscheint die Matrix, in die man die Koeffizienten
eingeben kann.
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Mit MATRIX / MATH erzeugt man auf dem Hauptbildschirm den Befehl rrowEF
Mit MATRIX / NAME wählt man die entsprechende Matrix.
4. Am 27.6.2002 erschien im Schwarzwälder Bote das nebenstehende
Diagramm.
Der Verlauf der Kurve legt nahe, logistisches Wachstum
anzunehmen.
a) Stellen Sie die Zahl der Mobilfunk-Teilnehmer als Funktion der
Zeit ab 1992 dar.
b) Bestimmen Sie unter der Annahme logistischen Wachstums aus
den gegebenen Werten einen geeigneten Funktionsterm.
c) Mit welcher Zahl von Mobilfunk-Teilnehmern ist nach diesem
Modell auf lange Sicht zu rechnen ?
Mit STAT / EDIT kommt man in den Listen-Editor und kann dann die
Koordinaten der Punkte eingeben.
Mit STAT / REG / Rg_logistic gelangt man in das Menü für die Regression.
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Im Hauptbildschirm gibt man ein: Rg_logistic (L1,L2,Y1)
Damit wird die Regression durchgeführt und das Ergebnis in Y1 gespeichert.
Mit 2nd STATPLOT kann man die Darstellung der Listenpunkte aktivieren.
Geht man mit dem Cursor auf GRAPH, kann man auch eine Darstellung der
Datenpunkte wählen.
Mithilfe von ZOOM / Stat passt man den Bildschirm für die Darstellung der
statistischen Daten an.
Den Grenzwert kann man aus dem Funktionsterm entnehmen: 64,14
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5. Vom Punkt P( -3 / 0 ) soll eine Tangente an das Schaubild
der Funktion f mit f(x) = (x+2)(x-1)(x-4) gelegt werden.
Die Tangentensteigung an der Berührstelle x ist gleich der Steigung der Geraden durch die beiden
Punkte P( -3 / 0 ) und B( x / f(x) ):
f ( x) − 0
f ' ( x) =
x+3
Eingabe des Funktionsterms und der Ableitung im Y-Editor;
nur Y1 wird aktiviert.
Eingabe des Punktes in die Listen L1 und L2 mithilfe von STAT / EDIT
Mit 2nd STAT PLOT wird das Menü aktiviert, um die Darstellung des
Datenpunktes einzuschalten.
Mit ZOOM / Dec wird die Situation visualisiert.
Dabei zeigt sich, dass die y-Achse unpassend skaliert ist.
Korrekturmöglichkeit mit WINDOW !
Alternative:
Man stellt den Zoomfaktor für die y-Achse auf 2, den für die x-Achse auf 1.
Jetzt kann man mit ZoomOut die y-Achse passend einstellen.
Eine Analyse der Graphik lässt bei x = -1, x = 2 und x = -4 Tangenten
erwarten.
Bearbeitung des Problems mit dem SOLVER
2nd SOLVER aktiviert den Gleichungslöser; man gibt die Gleichung ein ....
.... und merkt, dass man etwas falsch gemacht hat.
Beim SHARP können in Gleichungen keine Funktionsvariablen verwendet
werden; d.h. die Gleichung muss explizit angegeben werden.
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Der erste Schätzwert wird als Startwert (für das Newton-Verfahren)
eingegeben.
Mit 2nd EXE wird das Lösungsverfahren gestartet.
Die gefundene Lösung sollte dann für eine spätere Verwendung in einer
Variablen abgelegt werden.
Graphische Darstellung der gefundenen Lösungen
GRAPH stellt die Situation nochmals dar.
Mit 2nd DRAW / T_Line( erhält man die Möglichkeit, die x-Koordinate des Berührpunktes einer
Tangenten einzugeben. Dazu muss man aber zuerst in den Hauptbildschirm wechseln !
T_Line(Y1,A) kann als Befehl aufgefasst werden, der veranlasst, dass das Schaubild gezeichnet wird
und die Tangente im angegebenen Kurvenpunkt gelegt wird.
Problematisch an diesem Vorgehen ist, dass die GTR nicht automatisch alle Lösungen der Gleichung
liefert. Der Schüler muss die graphische Situation entsprechend analysieren, um alle Lösungen
erhalten zu können.
Bearbeitung des Problems mit einer Hilfsfunktion
Umformung der Gleichung führt auf eine Hilfsfunktion, deren Nullstellen
bestimmt werden müssen.
(Zur Bedeutung dieser Methode sei nur auf die vielen Abi-Aufgaben
vergangener Jahre verwiesen.)
Man beachte, dass nur Y3 aktiviert ist.
Die Darstellung dieser Funktion führt – nach mehrmaligem ZoomOut auf
nebenstehende Graphik:
Die Nullstellen der eingegebenen Hilfsfunktion stimmen nicht mit den
Berührstellen der Tangenten überein, die zuvor geschätzt bzw. mit dem
SOLVER bestimmt wurden. Grund: Fehlerhafte Eingabe des Funktionssterms !
Korrigierte Darstellung:
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Es erscheint für die Schüler daher besser, die nicht umgeformte Gleichung für
die Hilfsfunktion zu benutzen (auch wenn dann eine Polstelle erscheint).
Die Nullstellen der Hilfsfunktion werden graphisch bestimmt und in Variablen
abgelegt.
Dann können, wie oben beschrieben, die gefundenen Tangenten graphisch
dargestellt werden.
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Einsatz des GRT im Abitur
„Es bleibt das Grundprinzip bestehen, dass in der Abiturprüfung der Lösungsweg durch die Schüler
deutlich erkennbar darzustellen ist (nachvollziehbar und in logisch einwandfreier und gut lesbarer Form).
Auch bei Nutzung des GTR haben die Schüler den Lösungsweg zu kennzeichnen, z.B. indem sie in
Kurzform die benutzten GTR-Verwendungen bei der Problemlösung in nachvollziehbarer Weise
darstellen.
Sachsen / Abiturprüfung in Mathematik
Aufgabe 1
Für jedes t (t ∈ IR , t > 0) ist eine Funktion ft durch y = ft(x) =
1
gegeben.
ln( tx)
Vom Punkt P( 0 ; 2 ) aus werden zwei Tangenten an den Graph der Funktion ft gelegt.
Ermitteln Sie je eine Gleichung dieser Tangenten. Es existiert genau ein Wert t, für den der Schnittwinkel
dieser Tangenten extremal wird. Ermitteln Sie diesen Wert t.
Lösung:
eine konventionelle symbolische Rechnung liefert für die Steigungen der beiden Tangenten
−t
m1 =
bzw. m 2 = −4 t e .
e
t
− + 4t e
m1 − m 2
Für den Tangens des Schnittwinkels gilt tan ϕ =
= e
4 2
1 + m1m 2
1+
t
e
GTR:
Interpretation : Y ist der max.mögliche Winkel im Bogenmaß.
ϕmax= Y 180/π
oder :
GTR:
Interpretation : Y ist der max.mögliche Winkel im Bogenmaß.
ϕmax= Y 180/π
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Aufgabe 2
Gegeben ist die Funktion f : x →
320 ⋅ e x
,
( 40 + e x ) 2
x ∈ IR . K ist das Schaubild von f.
Untersuchen Sie K auf Symmetrie.
Lösung:
V\
Vermutung: Gf sym. zu Achse senkrecht durch den Hochpunkt
CALC, Maximum
→ H( 3.68887... / 2 );
d.h.
die Gleichung der Achse muss mithilfe der Ableitung bestimmt werden.
Alternative: Lösung der Gleichung f(x) = 2
im Abitur dann der übliche Symmetrienachweis ohne GTR
___________________________________________________________________________________
Lineare Regression durch eine Ursprungsgerade.
Dazu muss der GTR programmiert werden. Die Daten werden in die Listen L1 und L2 abgelegt.
PRGM / NEW; dann Namen des Programms eingeben.
Man landet im Programm-Editor.
-*/3&(
@4UBUT--
ΣYZΣY→. “MX“→:
1SJOU“.“ 1SJOU.
1MU4DBUUS…--
;N4UBU
5JQQ5SJDLT
45"5$"-$@4UBUT
7"3445"59:
13(.13(.
13(.*0
13(.4@1-05EBOO 45"51-054%4DBUUS
;PPN;00.4UBU
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