Symmetrie als fundamentale Idee

Symmetrie als fundamentale Idee
"Ideen, die starke Bezüge zur Wirklichkeit haben,
verschiedene Aspekte und Zugänge aufweisen, sich
durch hohen inneren Beziehungsreichtum auszeichnen
und in den folgenden Schuljahren immer weiter
ausbauen lassen." (Winter 1976)
1. Thesen zum Thema Mathematik und Schule
2. Symmetrie vor und während der Grundschule
3. Mathematisierungen
4. Friese
5. Symmetrie im weiteren Sinne
6. Symmetrisieren
1
Symmetrie als fundamentale Idee (Winter):
1. Formaspekt:
Eine "Hälfte" ist Wiederholung der anderen
2. Algebraischer Aspekt:
Beschreibung der Achsensymmetrie einer ebenen
Figur durch 2 Deckabbildungen
3. Ästhetischer Aspekt:
Gleichmaß, Wiederholung (Rhythmus)
4. Ökonomisch-technischer Aspekt:
Minimierung von Kraft, Arbeit und Aufwand
5. Arithmetischer Aspekt:
Gerade Zahlen haben ein achsensymmetrisches
Grundmuster
2
I. Thesen zum Thema Mathematik und Schule
1. Mathematik beginnt weit vor der Grundschule.
2. In der (Grund-) Schule werden wichtige mathematische Methoden erstmals verbindlich erworben und
geübt.
3. Mathematik lebt, will entdeckt werden.
4. Mathematik ist von hoher Allgemeinbildung.
3
II. Symmetrie vor und während der Grundschulzeit
Vor der Grundschulzeit
1. Entdecken des Phänomens Symmetrie
2. Bestreben der Kinder nach Ordnung und Schönheit
3. Unmittelbare Anschauung
Während der Grundschulzeit
1.Grundvorstellung: Achsensymmetrie
2. "Experimentelles Geo" (Andelfinger)
3. Begriffe durch Einüben von Sprechweisen
4
Charakterisierung der Grundschulsymmetrie
1. Entdeckung des Phänomens: Achsensymmetrie
2. Zugänge zur Achsensymmetrie: Legen, Falten,
Schneiden, Bauen Zeichnen, Spiegeln
3. Vernachlässigung vieler Spiegelphänomene
4. Förderung verbaler Ausdrucksmöglichkeiten
5. Förderung der Kreativität: Bauen mit Klötzen,
Arbeiten am Geobrett
5
Symmetrie
Begriff Symmetrie (von griechisch syn (=zusammen) und metron
(=Maß))
Symmetrie gibt es in vielen verschiedenen Bereichen, nicht nur in der
Mathematik
Wir betrachten hier die Symmetrie in der Geometrie.
Symmetrien im Zweidimensionalen:
Achsensymmetrie: Symmetrie die bei Dingen auftritt, die entlang einer
Symmetrieachse gespiegelt sind.
Punktsymmetrie: (Eigenschaft geometrischer Objekte)
Ein geometrisches Objekt (z. B. ein Viereck) heißt (in sich)
punktsymmetrisch, wenn es eine Punktspiegelung gibt, die dieses Objekt
auf sich abbildet.
Der Punkt, an dem diese Spiegelung erfolgt, wird als Symmetriezentrum
bezeichnet.
Obwohl eine solche Punktspiegelung einer Drehung um 180° entspricht,
ist die Punktsymmetrie von der Drehsymmetrie zu unterscheiden. Sie
bildet lediglich den Spezialfall einer Drehsymmetrie.
6
7
III.Mathematisierungen
Von der Anschauung zur Theorie:
Deckungsgleich
Kongruent
Drehen, verschieben, spiegeln
Kongruenzabbildung
Abbildungsvorgänge der gesamten Ebene:
Verschiebungen, Drehungen und Spiegelungen:
bijektive Abbildungen der Ebene auf sich.
Definition: Eine längentreue Bijektion der Ebene auf
sich heißt eine Kongruenzabbildung oder eine
Bewegung der Ebene.
Vorher:
Abbildungsgeometrie
Bewegen von Figuren
Invarianten einer Abbildung
8
Kongruenzabbildungen:
Def. Achsenspiegelung
Eine Spiegelung in der Ebene an X ist eine Abbildung der Ebene auf
sich, für die gilt:
-
Genau alle Punkte von X bleiben fest
-
Für jeden Punkt A = X und dessen Bildpunkt A' gilt:
Die Verbindungsstrecke AA' schneidet X senkrecht und von X
halbiert.
Def. Verschiebung
Eine Verschiebung in der Ebene ist eine Abbildung auf sich, bei der
für je zwei Punkte A und B und deren Bildpunkte A' und B' gilt:
-
Die Verbindungspfeile AA' und BB' sind parallel, gleich gerichtet
und gleich lang.
Def. Drehung
Eine Drehung in der Ebene um einen Punkt Z und um einen Winkel α
ist eine Abbildung der Ebene auf sich, für die folgendes gilt.
-
Genau Z bleibt fest
-
Für jeden Punkt A ≠ Z und dessen Bildpunkt A’ gilt:
-
-
ZA
=
ZA'
∠ AZA’ = α
9
Gruppe der Kongruenzabbildungen:
-
Spiegelung (Achsenspiegelung)
-
Verschiebung: (Doppelspiegelung an parallelen Achsen)
-
Drehung (Doppelspiegelung an sich schneidenden Geraden)
-
Schubspiegelung (Spiegelung verkettet mit einer Verschiebung in
Richtung der Spiegelachse)
Bemerkungen:
1. In der GS Spiegelung betont: jede Kongruenzabbildung der Ebene
aus Achsenspiegelungen aufgebaut werden kann.
2. Umkehrung des Umlaufsinnes eines Dreiecks bei Spiegelung,
Schubspiegelung.
3. Drehung oder Verschiebung "in der Ebene":
uneigentliche Bewegung
Spiegelung und Schubspiegelung; Klappen notwendig:
eigentliche Bewegung
Def.: Eine Figur heißt symmetrisch, wenn es (mindestens) eine
nichtidentische Bewegung gibt, die die Figur auf sich abbildet.
10
Zusatz zur VL:
Symmetrien eines Dodekaeders
-
12 Flächen
-
6 Paare sich parallel gegenüberliegender regulärer Fünfecke
-
wobei jeweils die Verbindungsgerade der Umkreismittelpunkte der Fünfecke
durch den Mittelpunkt des Dodekaeders verläuft.
Anzahl der Ebenensymmetrien:
die mind. eine Polyederkante halbieren: 15
die keine Kante halbieren: 0
Anzahl der Drehsymmetrien:
-
Symmetrieachsen, die mind. eine Polyederfläche in deren
Umkreismittelpunkt schneiden: 6
-
die durch 2 einander gegenüberliegenden Polyederecken verlaufen: 10
-
die zwei einander gegenüberliegende Polyederkanten halbieren: 15
Punktsymmetrie:
Dodekaeder haben 1 Mittelpunkt
11