Gradient, Divergenz und Rotation

Dr. Dirk Hecht
Institut für Allgemeine Elektrotechnik
Oktober 2009
Gradient, Divergenz und Rotation - ganz kurz
(Bemerkung: Alle Ausdrücke werden in kartesischen Koordinaten dargestellt. Bei Zylinder- bzw. Kugelkoordinaten
ergeben sich andere Ausdrücke. → Hilfsblätter)
Der NABLA - Operator
Die Verwendung des NABLA-Operators erweist sich als nützlich bei der
Definition und Berechnung der vektoranalytischen Ausdrücke Gradient,
Divergenz und Rotation. Er ist folgendermaßen definiert:
∇ = ∂ e x  ∂ e y  ∂ e z
∂x
∂y
∂z
Der NABLA-Operator ist ein Differentialoperator, der Vektoreigenschaften
besitzt.
Der Gradient
Der Gradient einer skalaren Funktion ϕ(x, y, z), geschrieben grad ϕ oder ∇ 
ist durch
grad  = ∇  =


∂ e  ∂ e  ∂ e  = ∂  e  ∂  e  ∂  e
∂ x x ∂y y ∂z z
∂x x ∂ y y ∂ z z


definiert. Bei der Gradientenbildung wird der NABLA-Operator auf eine skalare
Funktion angewendet, das Ergebnis ∇  ist ein Vektor. Der Gradient eines
skalaren Feldes zeigt in die Richtung seines stärksten Anstieges.
Die Divergenz
 x , y, z . Die Divergenz dieses Vektorfeldes,
Gegeben sei das Vektorfeld B
 oder ∇⋅B
 ist durch
geschrieben div B
 = ∇⋅B
=
div B
=
∂ Bx
∂x

 ∂∂x e
∂ By
∂y
x


 ∂ e y  ∂ e z ⋅B x e x  B y e y  Bz e z =
∂y
∂z
∂ Bz
∂z
definiert. Hier wird der NABLA-Operator auf ein Vektorfeld angewendet, das
Ergebnis ist ein Skalar. Die Divergenz ist ein Maß für die Quellendichte eines
Vektorfeldes.
Die Rotation
 , geschrieben
 x , y , z . Die Rotation von H
Gegeben sei das Vektorfeld H
 oder ∇× H
 ist in kartesischen Koordinaten definiert durch:
rot H
 = ∇×H
=
rot H
∣
e x
=∂
∂x
Hx
e y
∂
∂y
Hy
∣
 ∂∂x e
x
 ∂ e y  ∂ e z
∂y
∂z
 × H e
x
x
e z
∂ = e ∂ Hz −∂ Hy  e ∂ H x −∂ Hz
x
y
∂z
∂y
∂z
∂z
∂x
Hz

 
 H y e y  H z e z =
 
 e z
∂ Hy
∂x
−
∂ Hx
∂y

Bei der Bildung der Rotation wird der NABLA-Operator auf ein Vektorfeld
angewendet, die Rotation dieses Vektorfeldes ist wiederum ein Vektorfeld. Die
Rotation ist ein Maß für die Wirbeldichte eines Vektorfeldes.
.