X - Hochschule Bochum

Inhalte
 Mathematische Grundlagen
– Koordinatensysteme
– Ebene und räumliche
Koordinatentransformationen
– Zentralperspektive
HS BO – Lab. für Photogrammetrie:
Ebene und räumliche Koordinatensysteme
1
Ebene
Bildkoordinatentransformation
Verschiebung (Translation)
(2 Parameter):
x, y
T
x‘, y‘
Über Translationen werden die ParallelVerschiebungen zweier ebener Koordinatensysteme
beschrieben.
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Ebene und räumliche Koordinatensysteme
2
Ebene
Bildkoordinatentransformation
Translationen:
y‘
Y
P
x0
X‘
y0
X
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Ebene und räumliche Koordinatensysteme
3
Ebene
Bildkoordinatentransformation
Translationen:
x’ = a0 + x
y’ = b0 + y
Mit a0=x0 und b0=y0 folgt
x, y
T
x‘, y‘
x’ = x0 + x
y’ = y0 + y
x0, y0
– Translationen
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Ebene
Bildkoordinatentransformation
Drehung (Rotation)
(1 Parameter):
x, y
T
x‘, y‘
Über die Rotation wird die gegenseitige Verdrehung zweier
ebener Koordinatensysteme beschrieben.
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Ebene
Bildkoordinatentransformation
Rotation:
Y
P
α
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X
Ebene und räumliche Koordinatensysteme
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Ebene
Bildkoordinatentransformation
Rotation:
x’ = a1*x - b1*y
y’ = b1*x + a1*x
x, y
T
x‘, y‘
Mit a1=cos α und b1= sin α folgt
x’ = x*cos α - y*sin α
y’ = x*sin α + y*cos α
α – Drehwinkel
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Ebene
Bildkoordinatentransformation
Dreh-Verschiebung
(3 Parameter):
x, y
T
x‘, y‘
Die Dreh-Verschiebung beschreibt die Rotation und
gleichzeitige Translation zweier ebener Koordinatensysteme.
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Ebene
Bildkoordinatentransformation
Dreh-Verschiebung:
Y
P
x0
α
y0
X
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Ebene
Bildkoordinatentransformation
Dreh-Verschiebung:
x’ = a0 + a1*x - b1*y
y’ = b0 + b1*x + a1*x
Mit a0=x0 und b1= y0 sowie
x, y
T
x‘, y‘
a1=cos α und b1= sin α folgt
x’ = x0 + x*cos α - y*sin α
y’ = y0 + x*sin α + y*cos α
x0, y0 – Translationen
α
– Drehwinkel
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Ebene
Bildkoordinatentransformation
Ebene Helmerttransformation
(4 Parameter):
x, y
T
x‘, y‘
Die ebene Helmerttransformation dient der Transformation
zweier ebener Koordinatensysteme mit
 2 Verschiebungen
 1 Drehwinkel und
 1 Massstab
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Ebene und räumliche Koordinatensysteme
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Ebene
Bildkoordinatentransformation
Ebene
Helmerttransformation:
Y
P
x0
y0
α
X
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Ebene
Bildkoordinatentransformation
Ebene
Helmerttransformation:
x’ = a0 + m*(a1*x - b1*y)
y’ = b0 + m*(b1*x + a1*x)
Mit a0=x0 und b1= y0 sowie
x, y
T
x‘, y‘
a1=cos α und b1= sin α folgt
x’ = x0 + m*(x*cos α - y*sin α)
y’ = y0 + m*(x*sin α + y*cos α)
x0, y0
α
m
– Translationen
– Drehwinkel
– Massstabsfaktor
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Ebene
Bildkoordinatentransformation
Ebene Affintransformation
(6 Parameter):
x, y
T
x‘, y‘
Die ebene Affintransformation dient
der Transformation zweier ebener Koordinatensysteme mit
 2 Verschiebungen
 1 Drehwinkel
 1 Scherungswinkel und
 2 getrennten Massstäben
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Ebene und räumliche Koordinatensysteme
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Ebene
Bildkoordinatentransformation
Ebene Affintransformation:
β
Y
P
x0
y0
α
X
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Ebene
Bildkoordinatentransformation
Ebene Affintransformation:
x’ = a0 + a1*x + a2*y
y’ = b0 + b1*x + b2*x
Mit a0=x0 und b0=y0 folgt
x, y
T
x‘, y‘
x’ = x0 + mx*x*cos α - my*y*sin (α+β)
y’ = y0 + mx*x*sin α + my*y*cos (α+β)
x0, y0 – Translationen
α
– Drehwinkel
β
– Scherungswinkel
mx, my – Massstabsfaktoren für x und y
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Ebene
Bildkoordinatentransformation
Bilineare Transformation:
Ist eine Erweiterung der Affintransformation um ein
gemischtes Glied.
x’ = a0 + a1*x + a2*y + a3*x*y
y’ = b0 + b1*x + b2*x + b3*x*y
Die bilineare Transformation
wird z.B. bei der zwangsfreien
Transformation und
Interpolation von
Vierecksmaschen genutzt
(Réseaugitter, digitale
Oberflächenmodelle).
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Ebene
Bildkoordinatentransformation
Polynomtransformation
Mit Polynomen vom Grade n lassen sich nicht lineare
Verformungen beschreiben.
j
n
X = ∑∑ a ji * x j −i * y i
j =0 i =0
n
j
Y = ∑∑ b ji * x j −i * y i
j =0 i =0
mit n: Grad des Polynoms
Bei n=1:
Affintransformation
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Ebene
Bildkoordinatentransformation
Polynomtransformation
Mit Polynomen vom Grade n lassen sich nicht lineare
Verformungen beschreiben.
x’ = a00 + a10*x + a11*y + a20*x2 + a21*x*y + a22*y2
y’ = b00 + b10*x + b11*y + b20*x2 + b21*x*y + b22*y2
Polynom mit n=2
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Ebene
Bildkoordinatentransformation
Polynomtransformation
Die Anzahl der zu bestimmenden Koeffizienten beträgt
u=(n+1)*(n+2)
Zur Bestimmung der u Koeffizienten sind mindestens u/2
Punkte notwendig.
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Ebene
Bildkoordinatentransformation
Projektivtransformation
Die Projektivtransformation beschreibt
die zentralprojektive Abbildung zweier
ebener Koordinatensysteme
aufeinander.
O
Sämtliche Abbildungsstrahlen
durchlaufen geradlinig das
Projektionszentrum O.
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Ebene
Bildkoordinatentransformation
Projektivtransformation
Die Transformationsgleichung lautet:
ao + a1 * x + a2 * y
X=
1 + c1 * x + c2 * y
O
bo + b1 * x + b2 * y
Y=
1 + c1 * x + c2 * y
Zur Bestimmung der 8 Koeffizienten
müssen 4 identische Punkte vorliegen,
von denen nicht mehr als 3 auf einer
Geraden liegen dürfen.
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Praktikum:
Projektivtransformation
Anwendung der Projektivtransformation
Kubit Photoplan ist ein Beispiel für eine einfach zu bedienende
Softwarelösung zur Erstellung digitaler maßstabsgerechter
Darstellungen aus Fotos. Datengrundlage sind ein oder mehrere
Messbilder bzw. Fotos eines Objektes, die auf zu definierende
Objektebenen entzerrt werden. Die Software liefert die notwendigen
Bilddaten und Geometrieinformationen zur Erstellung von Zeichnungen,
Bildplänen oder digitalen 3D-Modellen mit weiterverarbeitenden
s1
Programmen.
T
s2
s2
s1
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Räumliche (3D-)
Koordinatensysteme
Die Auswertung (Punktbestimmung) in der Photogrammetrie
erfolgt in räumlich kartesischen Koordinatensystemen.
Z
Y
X
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Räumliche (3D-)
Koordinatensysteme
Liegen 3D-Punkte in einem Ausgangssystem vor und sind in
ein Zielsystem zu transformieren, so werden hierfür 3DTransformationen genutzt.
P(X,Y,Z)
Z
Y
X
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Räumliche (3D-)
Koordinatensysteme
Die notwendigen Transformationsparameter setzen sich
zusammen aus Translationen und Rotationen.
P(X,Y,Z)
Z
κ
Y
ϕ
Y0
X0
Z0
ω
X
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Räumliche Drehungen
Während in ebenen Transformationen die Rotationen um
einen Drehpunkt definiert sind, werden räumliche Drehungen
nacheinander um die drei Achsen des räumlichen
Koordinaten-systems ausgeführt.
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Drehmatrix mit
Eulerschen Winkeln
0
1

Drehung mit ω um die X-Achse: D (ω ,0,0) =  0 cos ω
 0 sin ω

 cos ϕ

Drehung mit ϕ um die Y-Achse: D (0,ϕ ,0) =  0
 − sin ϕ

Drehung mit κ um die Z-Achse:
 cos κ

D(0,0,κ ) =  sin κ
 0

HS BO – Lab. für Photogrammetrie:
0 

− sin ω 
cos ω 
0 sin ϕ 

1
0 
0 cos ϕ 
− sin κ
cos κ
0
0

0
1 
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Drehung um die X-Achse
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Räumliche Drehungen
Die Rotationsmatrizen sind orthonormal, d.h.
R-1 = RT und R*RT = E
Die räumliche Gesamtdrehung setzt sich aus hintereinander
ausgeführten Einzeldrehungen zusammen.
Die Drehreihenfolge ist nicht beliebig!
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Räumliche Drehungen
Die Gesamtdrehung wird häufig um mitgedrehte Achsen in
der Reihenfolge ω, ϕ, κ durchgeführt.
Für die Darstellung der Koordinaten des Punktes P im
gedrehten System xyz werden die Rotationsmatrizen in
umgekehrter Reihenfolge miteinander multipliziert:
x = RT * X
mit
RT = RT κ * RT ϕ * RT ω
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Räumliche Drehungen
Die Transformation in das Zielsystem XYZ erfolgt mit der
Gesamtdrehung:
R = R ω * R ϕ * Rκ
mit
cosϕ cosκ


R =  cosω sinκ + sinω sinϕ cosκ
 sinω sinκ − cosω sinϕ cosκ

− cosϕ sinκ
cosω cosκ − sinω sinϕ sinκ
sinω cosκ + cosω sinϕ sinκ
sinϕ


− sinω cosϕ 
cosω cosϕ 
X=R*x
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Räumliche Drehungen
Aus den Koeffizienten der räumlichen Drehmatrix R lassen
sich die Drehwinkel berechnen:
sin ϕ = r13
r23
tan ϖ = −
r33
mit
r12
tan κ = −
r11
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 r11 r12
R =  r21 r22

 r31 r32
r13 
r23 

r33 
Ebene und räumliche Koordinatensysteme
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Räumliche Drehmatrizen mit
Eulerschen Winkeln
Drehreihenfolge ω, ϕ, κ:
R=
cos ϕ cos κ


D(ω , ϕ , κ ) =  cos ω sin κ + sin ω sin ϕ cos κ
 sin ω sin κ − cos ω sin ϕ cos κ

− cos ϕ sin κ
cos ω cos κ − sin ω sin ϕ sin κ
sin ω cos κ + cos ω sin ϕ sin κ
sin ϕ


− sin ω cos ϕ 
cos ω cos ϕ 
Drehreihenfolge ϕ, ω, κ:
R=
 cos ϕ cos κ + sin ω sin ϕ sin κ

D(ϕ , ω , κ ) = 
cos ω sin κ
 − sin ϕ cos κ + sin ω cos ϕ sin κ

HS BO – Lab. für Photogrammetrie:
− cos ϕ sin κ + sin ω sin ϕ cos κ
cos ω cos κ
sin ϕ sin κ + sin ω cos ϕ cos κ
cos ω sin ϕ 

− sin ω 
cos ω cos ϕ 
Ebene und räumliche Koordinatensysteme
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Räumliche Drehmatrizen mit
Eulerschen Winkeln
Drehreihenfolge ω, ϕ, κ:
Für den Luftbildfall gilt: ω,
ϕ, κ -> 0
⇒ cosα -> 1
⇒ sinα -> dα und
 1

D (ω ,ϕ ,κ ) =  dκ
 dϕ

− dκ
1
dω
dϕ 

− dω 
1 
⇒ dα ⋅ dα = 0
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Räumliche
Ähnlichkeitstransformation
Die räumliche Ähnlichkeitstransformation dient der formtreuen
Transformation eines dreidimensionalen kartesichen
Koordinatensystem xyz in ein entsprechendes Zielsystem XYZ.
P(X,Y,Z)
Z
κ
Y
ϕ
Y0
X0
Z0
ω
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X
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Räumliche
Ähnlichkeitstransformation
Die räumliche Ähnlichkeitstransformation
(3D Helmerttransformation) wird durch 7 Parameter beschrieben:
3 Translationen – 3 Rotationen – 1 Maßstab
P(X,Y,Z)
Z
κ
Y
ϕ
Y0
X0
Z0
ω
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X
Ebene und räumliche Koordinatensysteme
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Räumliche
Ähnlichkeitstransformation
Xi  X0
 r11 r12
 Y  =  Y  + m * r r
 i  0
 21 22
 Z i   Z 0 
 r31 r32
r13   xi 
r23  *  yi 
  
r33   zi 
mit:
xi
yi
Xi Yi
zi
Zi
- Koordinaten im Modellsystem (Ausgangssystem)
- Koordinaten im Objektsystem (Zielsystem)
X0 Y0 Z0
- Translationen
µ
- Maßstabsfaktor
R
- räumliche Drehmatrix
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Ebene und räumliche Koordinatensysteme
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Räumliche
Ähnlichkeitstransformation
Zur Bestimmung der 7 Parameter sind mindestens 7
Beobachtungen erforderlich.
Diese werden aus den Koordinatenkomponenten von mindestens
3 räumlichen verteilten Passpunkten entnommen, die nicht auf
einer Geraden liegen dürfen.
Z
P3
Y
P2
P1
ω
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X
VPP
Ebene und räumliche Koordinatensysteme
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