Simulação Numérica para Predição de Flhas em compenentes

Transcrição

Magalhães, R.R. - Tese de D.Sc., PEI/EP/UFBA, 2011
Preliminares
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
TERMO DE APROVAÇÃO
RICARDO RODRIGUES MAGALHÃES
SIMULAÇÃO NUMÉRICA PARA PREDIÇÃO DE FALHAS EM
COMPONENTES AUTOMOTIVOS USANDO DADOS DE TESTES
CÍCLICOS DE BANCADA E DE DURABILIDADE VEICULAR
Tese aprovada como requisito parcial para a obtenção do grau de Doutor
em Ciências em Engenharia Industrial, Universidade Federal da Bahia, pela
seguinte banca examinadora:
1
Silvio Alexandre Beisl Vieira de Melo – Orientador___________________________
Doutor em Engenharia Química – UFRJ
Universidade Federal da Bahia
Cristiano Hora de Oliveira Fontes – Orientador_____________________________
Doutor em Engenharia Química – UNICAMP
Alberto Borges Vieira Júnior_____________________________
Doutor em Engenharia Mecânica – UFU
Robson da Silva Magalhães_____________________________
Doutor em Engenharia Industrial - UFBA
Sonia Aparecida Goulart de Oliveira_____________________________
Doutora em Mecânica dos Sólidos - Brown University
Universidade Federal de Uberlândia
Roberto Alves Braga Junior_____________________________
Doutor em Engenharia Agrícola – UNICAMP
Universidade Federal de Lavras
Salvador, 30 de Setembro de 2011.
1
Conforme resolução do Programa, o conjunto de orientadores teve a representação de 1 (um) único voto
no parecer final da banca examinadora.
Preliminares
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
M188 Magalhães, Ricardo Rodrigues
Simulação numérica para predição de falhas em
componentes automotivos usando dados de testes cíclicos de
bancada e de durabilidade veicular / Ricardo Rodrigues
Magalhães. – Salvador, 2011.
185 f. : il. color.
Orientador: Prof. Dr. Silvio Alexandre Beisl Vieira de Melo,
Prof. Dr. Cristiano Hora de Oliveira Fontes
Tese (doutorado) – Universidade Federal da Bahia. Escola
Politécnica, 2011.
1. Indústria automobilística. 2. Automóveis – Peças durabilidade (engenharia). 3. Metodos de elementos de
contorno. I. Melo, Silvio Alexandre Beisl Vieira de. II. Fontes,
Cristiano Hora de Oliveira . III. Universidade Federal da Bahia.
IV. Título.
CDD.: 629.04
Preliminares
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
AGRADECIMENTOS
À Deus e a Nossa Senhora Aparecida, pelo dom da vida.
À minha esposa, Lígia, pela compreensão.
Aos meus pais, Celso e Vanda, pela dedicação.
À Denise Sara Key e a São Lourenço, pela imensa ajuda nos artigos.
Aos meus orientadores, Silvio Alexandre Beisl Vieira de Melo e Cristiano Hora de
Oliveira Fontes, pela amizade, apoio e acompanhamento desta tese de doutorado.
À Ford, pelo suporte na realização dos experimentos e pela permissão de publicações
dos artigos relacionados a esta tese.
iii
Preliminares
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
ÍNDICE
1
Introdução
1.1
Considerações gerais e contextualização...........................................................
03
1.2
Os objetivos do trabalho....................................................................................
07
1.3
A metodologia geral do trabalho........................................................................
07
1.4
A organização do trabalho.................................................................................
08
2
Fundamentação teórica sobre o desenvolvimento de novos produtos
automotivos
2.1
Introdução..........................................................................................................
11
2.2
Conceitos básicos de fadiga...............................................................................
13
2.3
Noções sobre a mecânica da fratura...................................................................
18
2.4
A instrumentação veicular.................................................................................
21
2.5
2.5.1
2.5.2
Testes utilizados na indústria automotiva..........................................................
Teste de bancada................................................................................................
Teste de durabilidade.........................................................................................
23
24
26
2.6
Conclusão...........................................................................................................
27
2.7
2.7.1
2.7.2
Nomenclatura.....................................................................................................
Símbolos............................................................................................................
Letras gregas......................................................................................................
28
28
28
2.8
Referências bibliográficas..................................................................................
29
3
Revisão bibliográfica sobre o método de elementos de contorno
3.1
Introdução..........................................................................................................
35
3.2
3.2.1
3.2.2
3.2.3
O método de elementos de contorno..................................................................
Breve histórico do MEC.....................................................................................
Fundamentação teórica do MEC........................................................................
Modelagem para determinação de distribuição de tensões em um corpo
sólido..................................................................................................................
A relação entre deformação e deslocamento.....................................................
Equações de Navier e Vetor de Galerkin...........................................................
A solução fundamental de Kelvin......................................................................
38
39
40
3.2.4
3.2.5
3.2.6
41
43
45
47
iv
Preliminares
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
3.2.7
3.2.8
3.2.9
As Equações Integrais de Contorno (EIC).........................................................
Resolução numérica das Equações Integrais de Contorno................................
O cálculo dos tensores nodais............................................................................
49
51
57
3.3
3.3.1
3.3.2
A implementação computacional da metodologia proposta..............................
Geração das matrizes H e G...............................................................................
A escolha do método para análise numérica......................................................
59
61
62
3.4
Conclusão...........................................................................................................
63
3.5
3.5.1
3.5.2
Nomenclatura.....................................................................................................
Símbolos............................................................................................................
Letras gregas......................................................................................................
64
64
64
3.6
Referências bibliográficas..................................................................................
66
4
Failure analysis and design of a front bumper using finite element
method along with durability and rig tests
4.1
Introduction........................................................................................................
75
4.2
Material and methods.........................................................................................
76
4.3
4.3.1
4.3.2
4.3.3
Theory and calculation.......................................................................................
A short overview of fatigue...............................................................................
Failure tests........................................................................................................
Finite element method........................................................................................
78
78
79
80
4.4
4.4.1
4.4.2
4.4.3
Results and discussions......................................................................................
Numerical results...............................................................................................
Rig test results....................................................................................................
Fatigue results....................................................................................................
81
81
84
86
4.5
Conclusions........................................................................................................
87
4.6
References..........................................................................................................
88
5
Stress analysis using BEM as support for fatigue life prediction in the
automotive industry
5.1
Introduction........................................................................................................
96
5.2
5.2.1
5.2.2
Mathematical modeling.....................................................................................
BEM contribution to the identification of stress fields......................................
Fatigue life prediction........................................................................................
97
97
98
5.3
Material and methods......................................................................................... 100
v
Preliminares
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
5.4
5.4.1
5.4.2
Results and discussions...................................................................................... 103
Simulation results............................................................................................... 103
Experimental results........................................................................................... 105
5.5
Conclusions........................................................................................................ 109
5.6
5.6.1
5.6.2
Nomenclature..................................................................................................... 111
Symbols............................................................................................................. 111
Greek Symbols................................................................................................... 111
5.7
References.......................................................................................................... 112
6
Stress analysis of a front bumper fascia using the boundary element
method
6.1
Introduction........................................................................................................ 119
6.2
The use of BEM for stress analysis.................................................................... 121
6.3
Material and methods......................................................................................... 125
6.4
Results and discussions...................................................................................... 128
6.5
Conclusions........................................................................................................ 132
6.6
6.6.1
6.6.2
Nomenclature..................................................................................................... 134
Symbols............................................................................................................. 134
Greek Symbols................................................................................................... 134
6.7
References.......................................................................................................... 135
7
Conclusões e sugestões
7.1
Conclusões......................................................................................................... 141
7.2
Sugestões para trabalhos futuros........................................................................ 142
7.3
Referências bibliográficas.................................................................................. 143
Apêndice
A.1
Introdução.......................................................................................................... 145
A.2
A.2.1
A.2.2
CATIA®............................................................................................................. 146
Modelagem de superfícies................................................................................. 146
Problemas na modelagem de superfícies........................................................... 149
vi
Preliminares
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
A.3
HYPERMESH®................................................................................................ 150
A.4
A.4.1
A.4.2
ANSYS®............................................................................................................ 154
O processo de geração de malhas no ANSYS®................................................. 155
A extração dos dados da malha.......................................................................... 155
A.5
A.5.1
A.5.2
A.5.3
NASTRAN®......................................................................................................
Análise estrutural via MEF................................................................................
Pontos de restrição.............................................................................................
Os dados de saída...............................................................................................
A.6
FDYNAM®....................................................................................................... 158
A.7
A.7.1
A.7.2
A.7.3
Matlab®..............................................................................................................
Código GERA_NOS.inp....................................................................................
Código GERA_ELEM.inp.................................................................................
Código PRINCIPAL.m......................................................................................
A.8
Conclusão........................................................................................................... 164
A.9
A.9.1
A.9.2
Nomenclatura..................................................................................................... 165
Símbolos............................................................................................................ 165
Letras gregas...................................................................................................... 166
A.10
Referências bibliográficas.................................................................................. 167
156
156
157
157
158
159
159
160
vii
Preliminares
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
LISTA DE FIGURAS
1.1
Exemplos de geometria complexa (a) e geometria simples (b)
03
1.2
Veículo com pára-choque metálico
04
2.1
Concepção do veículo de argila
11
2.2
Integração das etapas de desenvolvimento
12
2.3
Trilho fraturado por fadiga
13
2.4
Curva de fadiga generalizada
15
2.5
Exemplo gráfico de ciclos de tensão constante
16
2.6
Ciclos de tensão com freqüências variáveis
17
2.7
Exemplo de um histograma de amplitude de tensões
17
2.8
Braço de suspensão utilizado para testes
19
2.9
Distribuição de tensões em torno de uma trinca
19
2.10
Modos de carregamento em uma trinca
20
2.11
Propagação de trincas a partir de um furo circular
20
2.12
Sinal de aceleração no eixo Z em determinada região de um helicóptero
22
2.13
Ensaio de estruturas veiculares
25
2.14
Cargas atuantes no eixo de um veículo
25
2.15
Durabilidade veicular
26
3.1
Malha de regiões com e sem refinamento
37
3.2
Malha de um veículo completo
37
3.3
Tensões atuantes em um elemento de volume
41
3.4
Forças de superfície e volume
42
3.5
Domínio físico tridimensional
47
3.6
Elemento quadrilateral tridimensional de oito nós
52
3.7
Sistema de coordenadas local
58
3.8
Rotação dos eixos cartesianos
59
3.9
Fluxograma da metodologia proposta
61
4.1
Isometric view of the bumper fascia geometry
77
4.2
Loads acting on the front axle of a vehicle
79
4.3
Partial component meshing and load direction application
81
4.4-a
FEM results for the current design
82
4.4-b
FEM results for the proposed design
83
viii
Preliminares
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
4.5
Current and proposed design
83
4.6
Electric engine used for component vibration
84
4.7
Vibration device used for rig tests
85
4.8
Cracks identified during rig tests for proposed and current design
85
4.9
Crack identified during durability test for the current design
86
4.10
Wöhler curves for experimental and numerical data
87
5.1
Transformation of the multiaxial to the uniaxial stress state
100
5.2
Bracket drawing with the main dimensions
101
5.3
Original and proposed geometries and critical areas
102
5.4
Principal stresses results (simulation using BEM for the original geometry)
104
5.5
Principal stress results (simulation using BEM for the proposed geometry)
104
5.6
Strain gauge rosette configuration
105
5.7
Time series data of stress evolution from rosettes A and B
106
5.8-a
Rainflow matrix of stresses for rosette A
106
5.8-b
Rainflow matrix of stresses for rosette B
107
5.9
Fatigue curve from data of rosettes A and B
108
5.10
Failures observed during durability tests
109
6.1
Complex (a) and simple geometry (b)
120
6.2
BEM quadrilateral element of eight nodes
123
6.3
Front bumper fascia mesh
125
6.4
Current and proposed design
126
6.5
Flowchart with the proposed algorithm
127
6.6
Extracted surface from the (a) proposed and (b) original design
129
6.7
Mesh refinement for the (a) proposed and (b) original design
129
6.8-a
BEM stress analysis for the proposed design
130
6.8-b
BEM stress analysis for the original design
130
6.9-a
FEM stress analysis for the proposed design
131
6.9-b
FEM stress analysis for the original design
132
A.1
Pacotes computacionais empregados em cada etapa
145
A.2
Representação da curva de Bézier
146
A.3
Representação de um tipo de B-Spline
147
A.4
Representação de um tipo de NURBS
A.5
Exemplo de irregularidades de superfície no CATIA
148
®
149
ix
Preliminares
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
A.6
Exemplo de uma superfície qualquer a ser discretizada
150
A.7
Tipos de linhas em subdomínios
151
A.8
Variáveis envolvidas na discretização do contorno
152
A.9
Superfície com o contorno discretizada
153
®
A.10
Exemplo de geração de malhas no HYPERMESH
A.11
Vista posterior e pontos de restrição do pára-choque
154
157
x
Preliminares
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
LISTA DE TABELAS
3.1
Matriz G
55
3.2
Matriz H
56
5.1
Chemical, monotonic and fatigue properties of AISI 1010 steel
100
xi
Preliminares
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
LISTA DE ABREVIATURAS
BEM: Boundary Element Method;
C++: Linguagem de programação;
CAD: Computer Aided Design;
CAE: Computer Aided Engineering;
CAM: Computer Aided Manufacturing;
DoF: Degree of Freedom;
DoFs: Degrees of Freedom;
E-Con3D: Código de programa;
EIC: Equações Integrais de Contorno;
FEM: Finite Element Method;
FoMoCo : Ford Motor Company;
GL: Grau de Liberdade;
GLs: Graus de Liberdade;
IDEAS: Integrated Design and Engineering Analysis Software;
MEC: Método de elementos de contorno;
MEF: Método de elementos finitos;
NURBS: Non Uniform Rational B-Splines;
RISP: Reusable intrinsic sample point;
SAE: Society of Automotive Engineers.
xii
Preliminares
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
Resumo da Tese apresentada ao PEI/UFBA como parte dos requisitos necessários para a
obtenção do grau de Doutor em Ciências (D.Sc.)
Simulação Numérica para Predição de Falhas em Componentes
Automotivos Usando Dados de Testes Cíclicos de Bancada e de
Durabilidade Veicular
Ricardo Rodrigues Magalhães
2011
Orientadores: Silvio Alexandre Beisl Vieira de Melo
Cristiano Hora de Oliveira Fontes
Programa: Engenharia Industrial
Tensões sob cargas cíclicas são responsáveis por grande parte das falhas de
produtos automotivos ocorridas em campo. Uma das dificuldades na detecção deste tipo de
falha é que, muitas vezes, essa somente é identificada após a perda de função do componente.
Neste caso, testes acelerados de durabilidade simulam a rodagem do veículo em situações
reais de uso com o objetivo de solicitar o máximo esforço de cada componente na
identificação de falhas.
Há vários estudos para prever fenômenos de falha em componentes estruturais,
principalmente nas indústrias naval e aeronáutica. Entretanto, não se verifica na indústria
automotiva, aplicações ou metodologias que contemplem a previsão de fraturas em
componentes veiculares com geometria complexa usando o método de elementos de contorno
(MEC). Esta tese teve como objetivo principal a proposição, o desenvolvimento e a aplicação
de um novo procedimento, por meio de modelagem e simulação, para a predição de falhas em
componentes veiculares durante os testes de durabilidade.
A metodologia utilizada envolveu a modelagem geométrica dos componentes
veiculares em três dimensões, a geração da malha destes componentes e análises numéricas
usando o MEC. Valores de tensão foram coletados, via Matlab®, no intuito de identificar
pontos críticos na geometria do componente e comparar os resultados encontrados com testes
experimentais e com o método de elementos finitos (MEF).
xiii
Preliminares
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
Os resultados obtidos, aplicando elementos de contorno em geometrias simples e
complexas, atestam a consistência da metodologia empregada na previsão de campos de
tensões. No caso de componentes veiculares com geometrias complexas, o MEC apresentou
vantagem significativa sobre outros métodos, como o MEF, que exigem um esforço
computacional elevado e, portanto, altos custos de aquisição e manutenção de equipamentos.
Palavras-chave: Predição de falhas; testes cíclicos; durabilidade; elementos de contorno;
componentes automotivos.
xiv
Preliminares
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
Abstract of Thesis presented to PEI/EP/UFBA as a partial fulfillment of the requirements for
the degree of Doctor of Science (D.Sc.)
Numerical Simulation for Predicting Failures in Automotive Components
Using Cyclic Bench Test and Vehicle Durability Data
Ricardo Rodrigues Magalhães
2011
Advisors: Silvio Alexandre Beisl Vieira de Melo
Cristiano Hora de Oliveira Fontes
Programme: Industrial Engineering
Stress under cyclic loading is responsible for most of the failures that occurs in the
components of automotive industry. One of the difficulties in detecting this kind of failure is
that it is identified only after the loss of function of the component. In this case, accelerated
durability tests are used to simulate vehicles running in real situations in order to apply the
maximum effort in the components for failures identification.
There are several researches to predict structural failure phenomena, especially in
aerospace and marine industries. However, no methodologies that address the prediction of
fractures in vehicle components with complex geometry using the boundary element method
(BEM) were still applied. This thesis aims the proposal, the development and the application
of a new procedure for modeling and simulation on the prediction of failures in vehicle
components during durability tests.
The methodology involved the geometric modeling of vehicle components in
three dimensions, meshing and numerical analysis of these components using the BEM. Stress
values were collected via Matlab® in order to identify critical points in the geometry of the
component and compare the results with experimental tests and the finite element method
(FEM).
The results obtained with boundary elements application attest the consistency of
the methodology in predicting stress fields. In the case of vehicle components with complex
geometries, MEC presented significant advantage over other methods, such as FEM, which
xv
Preliminares
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
require a high computational effort and therefore high costs for acquisition and equipment
maintaining.
Keywords: Failure prediction; cyclic tests; durability; boundary element analysis; automotive
components.
xvi
Preliminares
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
LISTA DE PUBLICAÇÕES
Artigos em periódicos indexados:
• MAGALHAES, R.R.; FONTES C.H.O.; VIEIRA DE MELO, S.A.B. Failure analysis and
design of a front bumper using finite element method along with durability and rig tests.
International Journal of Vehicle Design; Manuscript IJVD-23551 accepted for publication on
Sep 05, 2011.
• MAGALHAES, R.R.; FONTES C.H.O.; VIEIRA DE MELO, S.A.B. Stress analysis using
BEM as support for fatigue life prediction in the automotive industry. International Journal of
Vehicle Design; Manuscript IJVD-28794 submitted on Sep 06, 2011.
• MAGALHAES, R.R.; FONTES C.H.O.; VIEIRA DE MELO, S.A.B. Stress analysis of a
front bumper fascia using the boundary element method. Engineering Analysis with Boundary
Elements; Manuscript EABE 2590 submitted on Jun 13, 2011.
Artigos completos em anais de congresso:
• MAGALHAES, R.R.; FONTES C.H.O.; VIEIRA DE MELO, S.A.B. Estimativa de vida em
fadiga em componentes de geometria simples sujeitos à aplicação de carregamento estático
usando o método de elementos de contorno. VI Congresso Nacional de Engenharia Mecânica.
Pb: 2010.
xvii
C. 1 - Introdução
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
CHAPTER 1
Introduction
Abstract
Automotive components with complex geometry have become increasingly
common in the automotive industry. The need to develop or adapt new procedures for
numerical analysis that can predict failures and enable the prediction of critical stresses zones
in components subjected to cyclic loading is required. The procedure suggested in this thesis
addresses the use of boundary elements as a method of validating the simulation results by
comparison with experimental data. Among other benefits, the procedure developed can be
used for failure analysis of any automotive component, reducing time and costs associated
with the product development phase in the car industry.
Keywords: Complex geometry; bumpers; numerical analysis.
1
C. 1 - Introdução
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
CAPÍTULO 1
Introdução
Resumo
Componentes veiculares com geometria complexa vêm se tornando cada vez mais
comuns na indústria automotiva. A partir daí, surge a necessidade de desenvolver ou adaptar
novos procedimentos para análise numérica capazes de prever falhas e viabilizar a previsão de
tensões críticas em qualquer região de componentes veiculares sujeitos à cargas cíclicas. O
procedimento concebido nesta tese contempla a utilização do método de elementos de
contorno (MEC), como método de validação dos resultados de simulação, por meio da
comparação com dados experimentais. Entre outros benefícios, o procedimento desenvolvido
poderá ser empregado na análise de falhas de qualquer componente automotivo, reduzindo o
tempo e os custos inerentes à fase inicial de desenvolvimento do produto.
Palavras-chave: Geometria complexa; pára-choques; análise numérica.
2
C. 1 - Introdução
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
1.1. Considerações gerais e contextualização
A utilização de componentes metálicos com geometria complexa vem
aumentando nos últimos anos na indústria automotiva. Peças de automóveis confeccionadas
com metais, que anteriormente eram apenas estruturais, passaram a ter inclusive requisitos de
aparência, resultando em geometrias complexas e de difícil produção. Entende-se neste
trabalho como geometria complexa superfícies construtivas que envolvam diferenças
irregulares entre planos e ofereçam, por isso, certo grau de dificuldade para serem produzidas.
A figura 1.1 exemplifica a diferença entre os conceitos de geometria complexa e simples no
âmbito deste trabalho. Na figura 1.1.a, toda a parte externa de um veículo é analisada
verificando-se a ocorrência de irregularidades (ou ausência de um padrão uniforme) nas
diferenças entre planos, caracterizando-se uma geometria complexa. Na figura 1.1.b, a parte
externa do componente é representada por elementos regulares, caracterizando-se uma
geometria retangular simples.
Figura 1.1 - Exemplos de geometria complexa (a) e geometria simples (b).
Os pára-choques de veículos, por exemplo, podem ser considerados componentes
com geometria complexa. Atualmente vêm sendo produzidos com material metálico em
veículos utilitários, muito embora com formas geométricas semelhantes a uma cobertura
plástica, exercendo a função estrutural e estética ao mesmo tempo, como observado na figura
1.2. Estas geometrias complexas têm suas restrições, entre as quais, o acúmulo de tensões em
regiões onde há consideráveis diferenças entre planos geométricos e que são difíceis de serem
confeccionados por meio de processos produtivos convencionais. Este é um fator crucial,
visto que muitos componentes metálicos montados nos veículos têm a finalidade não somente
estrutural, mas também de acabamento, e podem ser alvo de constantes reclamações de
consumidores, quando apresentam algum tipo de falha.
3
C. 1 - Introdução
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
Figura 1.2 - Veículo utilitário com pára-choque metálico.
O aparecimento de fraturas em componentes automotivos, devido ao uso intenso
do veículo, pode gerar tanto a insatisfação do consumidor quanto a ocorrência de acidentes
graves na aplicação em que o componente possui uma função estrutural. Dependendo das
circunstâncias, o consumidor recorre à devolução do veículo ou até mesmo à abertura de
processos judiciais contra o fabricante. Para evitar estes inconvenientes, as montadoras de
veículos adotam o teste de durabilidade durante o desenvolvimento do produto, cujo objetivo
é a identificação de problemas que possam ocorrer com o produto em uso. Este teste
basicamente simula, de forma acelerada, a rodagem do veículo em condições reais,
provocando cargas extremas impostas em cada componente.
Durante testes de durabilidade veicular, é comum a ocorrência de falha do
componente, o que leva à necessidade de modificação do produto, aonde a análise de falha e
obtenção de peças corrigidas demanda tempo. Neste caso, nem sempre se tem disponibilidade
de tempo ou recursos financeiros para a execução do teste novamente. Para não continuar o
projeto com uma peça não testada em campo, utilizam-se simuladores numéricos e testes de
bancada para simular as condições reais de rodagem do veículo.
Na simulação numérica normalmente utilizam-se sinais gerados por meio de
acelerômetros, montados na suspensão do veículo, convertidos em pulsos, que atuam como
sinais de entrada para testes de simulação. Conhecendo-se a geometria dos componentes,
obtidas em CAD (Computer Aided Design), e, usando sinais coletados pelos acelerômetros, é
possível simular numericamente as condições de rodagem do veículo quando não se tem a
possibilidade de realização dos testes de durabilidade. As simulações numéricas em veículos
são normalmente executadas pelo método de elementos finitos e servem como guia de projeto
na prevenção de falhas durante os testes experimentais. Estas simulações têm como objetivo a
prevenção de algum tipo de falha estrutural que possa ocorrer nos componentes durante os
4
C. 1 - Introdução
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
testes de bancada, oferecendo a possibilidade de modificação da geometria desses
componentes, enquanto o projeto permanecer na fase conceitual, ou seja, durante a fase de sua
elaboração em CAD.
Os testes de bancada, executados por meio de atuadores montados nos eixos do
veículo que suportam as rodas, simulam o veículo em movimento. Além disso, são simuladas
condições climáticas em câmeras especiais, reproduzindo, ao máximo, as condições naturais
de rodagem do veículo nas estradas e, para este caso, exigem-se equipamentos de alto custo e
disponibilidade de mão-de-obra qualificada. Por esta razão, alguns testes de bancada são
realizados apenas por dispositivos de esforços cíclicos que simulam as condições de uso do
veículo. Estes dispositivos podem atuar diretamente no componente, o que gera um esforço
mecânico em regiões específicas, com o objetivo de reproduzir uma situação de falha em
condições severas. Para aumentar o nível de confiança em relação ao desempenho global do
componente, é feita uma comparação entre os resultados dos testes de bancada e das
simulações numéricas previamente realizadas, considerando-se nestas últimas as mesmas
condições de efetivação dos testes, ou seja, as propriedades de materiais, restrições de
movimento, local e direção dos esforços aplicados. As regiões críticas dos componentes,
aquelas que são observadas nas simulações numéricas com os maiores níveis de tensões, são
geralmente comprovadas pelos testes experimentais. Este fato aumenta cada vez mais a
credibilidade na efetivação de modificações propostas na geometria dos componentes, ainda
na fase de projeto, o que, na maioria das vezes, é crucial para a tomada de decisões gerenciais
na indústria automotiva.
Existem muitos trabalhos sobre a previsão de fenômenos de falha em
componentes veiculares que geralmente usam métodos matemáticos conhecidos e que fazem
o uso de ferramentas computacionais para simular os testes de bancada e a durabilidade
veicular. Na indústria automotiva, usa-se predominantemente o método de elementos finitos
(MEF) para estudos relacionados à fadiga. Em alguns casos, adota-se o método de elementos
de contorno (MEC) para a realização de simulações envolvendo acústica e vibração. Para as
análises de previsão de fraturas em componentes automotivos com função estética e/ou
estruturais, tem-se a necessidade da modelagem geométrica de toda a superfície do
componente com posterior adição de espessuras e de reforços com a finalidade de gerar a
malha de elementos finitos e executar a simulação via MEF. Este processo demanda muito
tempo e mão-de-obra especializada, ocasionando um alto custo de implementação. Apesar
disso, o MEF continua sendo o método mais utilizado na indústria automotiva por ser o
pioneiro na área e por haver um elevado número de profissionais treinados e capacitados para
5
C. 1 - Introdução
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
lidar com os principais pacotes comerciais atualmente em uso e que estão baseados neste
método.
A principal diferença entre o MEC e o MEF é o fato de que o primeiro necessita
somente do contorno do domínio para ser discretizado, enquanto o segundo requer o volume
discretizado de todo o volume do componente analisado. Isto pode ser considerado uma
vantagem para análises de tensão devido à facilidades de refinamento de malha localizado e,
por esta razão, o MEC é capaz de representar regiões com pequenos detalhes sem a
necessidade de obtenção de malhas de geometrias complexas, podendo promover a predição
de campos de tensão com maior agilidade. Neste sentido, para tentar minimizar o tempo
consumido em simulações, o próprio engenheiro responsável pelo desenvolvimento do
componente pode efetuar uma análise rápida de viabilidade técnica do produto por meio da
aplicação do MEC. Esta ferramenta pode ser utilizada ainda na fase conceitual de estilo do
veículo, quando apenas as superfícies do produto são liberadas para análises de engenharia.
Estas superfícies são cascas, formadas pela parte externa do veículo, sendo possível
identificar possíveis pontos de concentração de tensões nos componentes em conseqüência da
sua forma construtiva. Neste caso, o uso do MEC para este tipo de análise pode ser um
recurso de grande importância, pois, a partir de uma análise preliminar, podem-se identificar
os pontos de concentração de tensões nos componentes e ter subsídio técnico para demonstrar
ao departamento de estilo a necessidade de alterar a superfície.
Atualmente, na indústria automotiva, os engenheiros de produto usam
computadores com memória RAM em torno de 4Gb para a realização de suas atividades
cotidianas. Esta configuração de memória em um computador pessoal é suficiente para a
realização de análises virtuais preliminares de pontos de concentração de tensão em
superfícies de componentes veiculares, aplicando o MEC e tendo como auxílio, recursos
disponíveis no aplicativo Matlab®. Sendo assim, o engenheiro não dependeria de outras áreas,
tais como os departamentos de CAD e CAE, por exemplo, para este tipo de análise. Este
procedimento pode viabilizar propostas de alterações de superfície do produto em tempo
reduzido, por não depender de outras áreas. Conseqüentemente, etapas de construção de
protótipos e realização de testes de bancada e durabilidade veicular são antecipadas.
Ao assumir um caráter de superfície, a malha do MEC reduz expressivamente a
dimensão do problema, tornando a análise estrutural do componente mais rápida. Além disso,
pode-se tratar o problema por meio de sub-modelos geométricos, proporcionando análises
locais sem a necessidade de refinamento da malha em toda a geometria do componente. Por
estes motivos, o MEC pode ser considerado uma opção interessante para análises envolvendo
6
C. 1 - Introdução
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
regiões de concentração de tensão, embora seja efetivamente pouco utilizado na indústria
automotiva.
Existem vários artigos publicados sobre o MEC para análise de regiões de
concentração de tensão em corpos-de-prova e amostras-padrão, porém sua aplicação na
prevenção do aparecimento de trincas em componentes veiculares com geometria complexa
ainda é incipiente, pouco explorada, o que justifica a realização de trabalhos nesta direção.
1.2. Os objetivos do trabalho
O principal objetivo deste trabalho foi a proposição, o desenvolvimento e a
aplicação de um procedimento, por meio de modelagem e simulação, para a predição de
falhas em componentes veiculares durante os testes de durabilidade. O procedimento
desenvolvido contempla a utilização do MEC como método de simulação e validação dos
resultados usando a comparação com dados experimentais. Para isto, estabeleceram-se como
objetivos específicos deste trabalho:
- A simulação numérica de falhas em componentes automotivos usando o método
de elementos finitos e dados de testes de bancada e durabilidade veicular para a estimativa de
vida útil;
- A análise de tensões usando elementos de contorno para a estimativa de vida útil
de componentes sob fadiga na indústria automotiva;
- A análise de tensões em geometrias complexas de componentes automotivos
utilizando sub-modelos do MEC.
1.3. A metodologia geral do trabalho
A validação do procedimento proposto deu-se por meio da comparação das
simulações via MEF e MEC, e também, por meio de dados experimentais. Para isto, adotouse como metodologia geral deste trabalho, testes de malha previamente às simulações,
objetivando-se resultados numéricos mais precisos. Além disso, as alterações de geometria
dos componentes foram executadas de forma gradual, levando-se em consideração a
experiência de técnicos e engenheiros envolvidos no processo, até a obtenção dos modelos
geométricos definitivos. Deve-se ainda levar em consideração o total de cinco veículos
7
C. 1 - Introdução
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
utilizados nos testes de durabilidade para cada componente testado, no intuito de se obter uma
maior amostragem do comportamento sob fadiga de cada componente.
1.4. A organização do trabalho
Este trabalho encontra-se dividido em capítulos contendo resumos, introduções,
metodologias, resultados, conclusões e referências bibliográficas organizados de maneira
separada para cada um deles. No início de cada capítulo, apresenta-se uma contextualização,
com sua devida inserção no contexto da tese. Os capítulos apresentam, além da
contextualização, o resumo, as palavras-chave e uma síntese das conclusões em língua
inglesa, a fim de permitir amplo acesso à comunidade científica internacional. De forma
análoga, adotou-se o mesmo procedimento nos capítulos cujos textos principais encontram-se
na língua inglesa, por se tratar de artigos inseridos na tese enviados a periódicos
internacionais. Neste caso, a contextualização, o resumo, as palavras-chave e uma síntese das
conclusões foram apresentados em língua portuguesa.
O trabalho está organizado em sete capítulos, incluindo este introdutório. O
Capítulo 2 apresenta a fundamentação teórica básica aplicada ao desenvolvimento de produtos
e à análise de falhas. O Capítulo 3 apresenta uma revisão bibliográfica voltada para a análise
de falhas em componentes veiculares, além da fundamentação teórica sobre o método de
elementos de contorno. O Capítulo 4, escrito na forma de artigo, apresenta resultados da
análise de falhas, via elementos finitos, baseados em testes de bancada e durabilidade
veicular, por meio do estudo de caso de um pára-choque metálico. Estes resultados são a base
para discussões sobre o uso do método de elementos de contorno, como uma ferramenta de
auxílio na previsão de falhas por fadiga, em componentes veiculares. O Capítulo 5, também
estruturado como um artigo, apresenta um procedimento de aplicação do MEC em
componentes veiculares, tomando-se como estudo de caso, a previsão de vida útil sob fadiga
de um suporte metálico de pára-lamas. O Capítulo 6, seguindo o formato de artigo, apresenta
resultados do uso do MEC, também em um pára-choque metálico, na previsão do campo de
tensões críticas em componentes automotivos, viabilizando o uso da metodologia adotada em
aplicações veiculares. O Capítulo 7 apresenta as considerações finais, incluindo com as
conclusões desta tese e propostas para trabalhos futuros.
8
C. 2 – Fundamentação Teórica
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
CHAPTER 2
Basic theory on the development of new automotive products
Contextualization in the Thesis
This chapter presents the basic theory related to the development of new
automotive products. A review of fatigue concepts, fracture mechanics and their
corresponding mathematical formulation is also presented.
Abstract
The prediction of fractures involving automotive components through the
application of dynamic loads is used to estimate the fatigue life of these components.
Numerical methods together with experimental data can provide fatigue life predictions and
also support changes in the design of the component. This chapter presents a basic theory
related to the development of new vehicle products, the main tests used in the automotive
industry such as the durability test and the vehicular instrumentation associated with them.
Keywords: Product development; automotive components; fatigue life.
Conclusion
Tests performed in the automotive industry depend directly on the vehicular
instrumentation that can provide database for future numerical simulations. These simulations
are used to help engineers to predict fractures in automotive components under fatigue. It
reduces timing and costs during the automotive products development conceptual phase. The
use of numerical methods for prediction of fractures in automotive components, such as FEM
and BEM, are potential tools for the fatigue failure analysis.
9
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
CAPÍTULO 2
Fundamentação teórica sobre o desenvolvimento de novos
produtos automotivos
Contextualização na Tese
Neste capítulo, são apresentados os principais fundamentos teóricos sobre o
desenvolvimento de novos produtos automotivos, além de uma revisão dos conceitos de
fadiga e da mecânica da fratura e a formulação matemática correspondente.
Resumo
A previsão de fratura envolvendo componentes automotivos, pela aplicação de
cargas dinâmicas, é utilizada para estimar a vida útil sob fadiga destes componentes. Métodos
numéricos, em conjunto com dados experimentais, podem fornecer previsões de vida útil sob
fadiga e dar suporte às alterações de desenho dos componentes. Este capítulo apresenta os
principais fundamentos teóricos sobre o desenvolvimento de novos produtos automotivos,
além de uma revisão dos conceitos de fadiga e da mecânica da fratura com suas respectivas
formulações matemáticas. Os principais testes utilizados na indústria automotiva, como o de
durabilidade, e a instrumentação veicular adotada são apresentados e discutidos.
Palavras-chave: Desenvolvimento de produto; componentes automotivos; resistência à
fadiga.
10
201
C. 2 – Fundamentação
Fundamenta
Teórica
_____________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
______________________________________________________
2.1. Introdução
A fase inicial de concepção de um componente automotivo utiliza como ponto de
partida um ou mais croquis do veículo elaborados pelos desenhistas que tentam satisfazer a
necessidade dos clientes em relação à aparência, qualidade e conforto, além de respeitar
quesitos de legislação, de segurança e de produção. A segunda etapa deste processo envolve
um trabalho bastante artesanal que compreende a migração do desenho no papel para um
modelo em argila, geralmente em escala um pra um, conforme ilustrado pela figura 2.1.
Figura 2.1 – Concepção do veículo de argila (gentilmente cedida pela FoMoCo Ltda.).
Realiza-se
se a fase de refinamento do trabalho de confecção das partes externas e
internas do veículo com o auxílio de máquinas de usinagem, que oferecem precisão suficiente
para dar à argila o aspecto de um veículo real. A partir daí, captura
captura-se a geometria do veículo
confeccionado em argila com “scanners” especiais em três dimensões, específicos para esta
aplicação, gerando nuvens de pontos que originam os arquivos CAD em três dimensões. Todo
este processo define a etapa de conceito do produto, que é o estágio
estágio em que se procura definir,
simular e analisar os objetivos dos consumidores, as possibilidades tecnológicas disponíveis e
a viabilidade econômica, que devem ser conjugados e traduzidos em uma descrição do
produto a ser desenvolvido. Esse é o estágio em que se analisa as possibilidades de criação de
um novo produto, materializadas em um conceito.
Após esta primeira etapa de desenvolvimento, Consoni e Carvalho (2002)
descrevem outras três, que complementam as fases do desenvolvimento de um produto
automotivo, conforme se segue:
- Planejamento do produto. É a etapa na qual se procura obter consistência entre
os detalhes do desenvolvimento, realizando a interligação entre o conceito e o desenho do
11
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
produto. Nesta fase, são especificados os custos e as metas de desempenho, a escolha dos
componentes e o estilo do veículo.
- Engenharia do produto. É a etapa, na qual, implementa-se o plano especificado
na etapa anterior, ou seja, trabalha-se com o detalhamento do projeto do veículo, traduzido em
termos de engenharia. Este estágio compreende três ciclos: projeto, fabricação e testes
(produção de desenhos para cada componente e sistema, construção dos protótipos e
realização de testes tendo por meta os objetivos pré-estabelecidos).
- Engenharia do processo. É a etapa na qual se estabelece a ligação entre o
conceito do produto e a fábrica. Toda informação acumulada sobre o produto é convertida em
especificações de ferramentas, equipamentos, softwares utilizados na produção, qualificação
requerida dos trabalhadores e procedimentos padrões de operação que serão empregados
durante as etapas de produção.
De maneira generalizada, a figura 2.2 representa a integração das etapas
envolvidas no desenvolvimento do produto automotivo.
Figura 2.2 – Integração das etapas de desenvolvimento (Consoni e Carvalho, 2002).
A engenharia do produto conduz estudos estáticos e dinâmicos tanto no veículo
completo como nos componentes, visando garantir a satisfação do cliente. O engenheiro do
produto atua como interface no processo inicial do projeto do veículo, fornecendo dados
necessários para outros setores e fornecedores e recebendo informações da engenharia
avançada que é o setor que faz a ligação com os setores de marketing e estratégia do produto.
Já na fase de testes veiculares, em que são utilizados vários componentes ainda protótipos, o
custo de preparação e execução dos testes é elevado. Por este motivo, simulações numéricas
são executadas no intuito de reduzir a quantidade de testes.
De certa maneira, a fase que pode auxiliar a engenharia do produto na redução de
custos é a de conceito do produto. Por meio desta fase são definidas as formas geométricas do
12
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
produto, que podem influenciar diretamente no comportamento estrutural de cada componente
e no seu processo de montagem. Se o engenheiro de produto não estiver atento a cada detalhe
de construção do componente isto poderá acarretar falhas no campo durante a fase de testes
experimentais. É possível evitar este tipo de inconveniente por meio, por exemplo, de uma
simples modificação de superfície nesta etapa do projeto, onde ainda não estão envolvidos
custos e prazos para modificação de ferramentais.
2.2. Conceitos básicos de fadiga
Um dos testes mais utilizados para validar produtos na indústria automotiva é o de
fadiga. Essencialmente, fadiga é o dano acumulado em um material quando este é solicitado
por tensões cíclicas. A fadiga pode ser classificada em dois tipos, quais sejam, a fadiga de
baixo e de alto ciclo. A fadiga de baixo ciclo é caracterizada pela existência de tensões
mecânicas alternadas, de amplitude próxima à tensão de escoamento do material, podendo
gerar seu rompimento em poucos ciclos. A fadiga de alto ciclo ocorre para níveis de tensões
mecânicas abaixo do limite de escoamento do material, o que gera a necessidade de um
número elevado de ciclos até o seu rompimento. Do ponto de vista da análise de durabilidade
veicular considera-se a fadiga de alto ciclo.
Fadiga é a causa da falha que pode ocorrer sob solicitações inferiores ao limite de
resistência do material quando este ainda se encontra na região elástica. A ocorrência de
deformações plásticas em pontos localizados do material, em conseqüência das cargas
cíclicas, pode ocasionar uma redução gradual da capacidade de carga do componente,
promovendo micro-fissuras em seu interior e conseqüente fratura que, em geral, ocorre em
sua superfície devido à concentração de tensões. Um exemplo de um trilho fraturado por
fatiga pode ser encontrado em Seo et al. (2010) conforme figura 2.3.
Figura 2.3 – Trilho fraturado por fadiga (Seo et al., 2010).
13
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
O cálculo da vida útil por fadiga foi inicialmente proposto pela regra de
Palmgren-Miner ou regra do dano linear, que estabelece que o dano total causado pela carga
cíclica é determinado pelo somatório de todos os danos parciais, conforme a equação (2.1):
n
ni
i =1 N i
D= ∑
(2.1)
onde D é o dano acumulado durante o intervalo de ciclos com carga constante, ni é o número
de ciclos de uma determinada faixa de variação de tensão e Ni é o número de ciclos
necessário para ocorrer fratura sob ação da mesma variação de tensão.
Considera-se o dano como sendo a perda parcial de funcionalidade do
componente, sendo considerado um fenômeno cumulativo e irreversível. Em geral, o dano é
causado pelas variações de carregamentos que podem ser representadas pelas seqüências
equivalentes de picos e vales de tensões. Aid et al. (2011) propuseram um novo modelo,
baseado na regra de Palmgren-Miner, para a estimativa de danos por fadiga sob carregamento
aleatório em ligas de alumínio.
Os resultados de ensaio de fadiga geralmente são apresentados numa curva tensão
versus número de ciclos (curva S-N), também conhecida como curva de fadiga ou curva de
Wohler. Um exemplo de aplicação de curvas de fadiga na indústria automotiva pode ser
encontrado em Mahadevan e Ni (2003), que utilizaram estimativa de vida para simular as
tensões provenientes de pontos de solda nas proximidades do teto de uma estrutura veicular.
Ao diminuir a tensão aplicada, a curva de fadiga do material torna-se horizontal e
o número de ciclos tende a infinito ocasionando o rompimento do corpo de prova quando o
valor de D (equação 2.1) for maior ou igual a um. Esta região do gráfico, conhecida como
joelho da curva, é denominada limite de fadiga ou resistência à fadiga do material. A figura
2.4 exemplifica melhor este tipo de situação.
14
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
Figura 2.4 – Curva de fadiga generalizada.
Deve-se levar em consideração que o critério adotado para a regra de PalmgrenMiner, em uma situação com acúmulo de dano, indica um dano máximo igual à unidade. Isto
significa que a falha ocorre quando ni = N i . No caso de dados experimentais, valores de
danos diferentes podem ocorrer, gerando limitações do método citado. Além disto, a regra de
Palmgren-Miner não considera a existência de uma interação nos danos entre vários níveis de
tensão. Apesar de suas limitações, a regra de Palmgren-Miner ainda continua sendo
largamente utilizada para cálculos de vida útil sob fadiga na indústria automotiva (Shao, Liu e
Mechefske, 2011).
Levando-se em consideração o histórico de variação de tensões nos pontos
críticos do componente analisado, também é possível obter o dano acumulado nestes pontos.
De acordo com Zhao et al. (2009), a relação entre o número de ciclos e os níveis de tensão se
dá por meio de análises de dados experimentais provenientes de ensaios em peças submetidas
a variações de tensões e pode ser expressa através da equação (2.2):
log(Ni ) = log (C) - m.log ( ∆σ )
(2.2)
onde C é o coeficiente de ductilidade em fadiga, m é uma constante do material
correspondente à inclinação da curva de fadiga e ∆ σ é a variação de tensão aplicada no
componente.
Um componente sob o efeito de fadiga está sujeito a cargas cíclicas que podem ter
amplitudes constantes ou que variem com o tempo. Para os casos de amplitudes constantes, a
contagem de ciclos pode ser executada de maneira simples. Variando-se a amplitude das
cargas com o tempo pode-se determinar cada ciclo e sua correspondente amplitude. A figura
15
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
2.5 mostra um exemplo gráfico com tensões constantes ao longo do tempo e sua histerese
referente à tensão-deformação de um teste de fadiga realizado por Lee et al. (2004).
Figura 2.5 – Exemplo gráfico de ciclos de tensão constante (adaptado de Lee et al, 2004).
A maioria dos componentes apresenta um histórico de cargas variáveis em termos
de amplitude e tensão média em condições reais. Em uma metodologia mais rigorosa, deve-se
considerar cargas com amplitude variável e neste caso recomenda-se utilizar uma técnica de
contagem conhecida como método de rainflow. Este método iniciou-se com Matsuishi e Endo
(1968) e é considerado um método de contagem de ciclos baseado na queda de água entre
picos e vales para extrair ciclos de fadiga a partir de um sinal de deformação por meio de
carregamentos com amplitude variável. Esta contagem torna-se importante quando
incorporada em conjunto com a análise cumulativa de danos.
Uma das maneiras de se realizar a contagem de ciclos, utilizando o método de
rainflow, é através da identificação do pico mais alto do gráfico, que, no caso da figura 2.6, é
o pico 17. Conta-se um ciclo quando a diferença entre o segundo pico e o vale for maior ou
igual à diferença entre o pico e o vale anterior, sendo o mesmo raciocínio aplicado para
diferenças entre vale e pico. Após o término da primeira análise, procede-se da mesma
maneira até que não seja mais possível contar a variação de tensão. Devido ao grau de
aceitação deste método, algumas normas foram estabelecidas, dentre elas a ASTM E1049-85
(1999), a qual detalha todo o processo para a contagem dos ciclos pelo método de rainflow. A
figura 2.6 apresenta um exemplo gráfico de ciclos de tensão com freqüências variáveis.
16
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
Figura 2.6 – Ciclos de tensão com freqüências variáveis.
O método de rainflow organiza as tensões em um histograma, obtendo-se como
resposta o número de ciclos em faixas de amplitude de tensão e ciclos por amplitude média de
tensão através de histogramas. Exemplos de aplicações envolvendo histogramas de tensões
em três dimensões podem ser encontrados em Moraes Jr. (2008) e Nieslony (2009), que
utilizaram o método de rainflow para a verificação da influência de carregamentos cíclicos na
previsão de vida útil sob fadiga em componentes estruturais. A figura 2.7 exemplifica um
destes histogramas.
Figura 2.7 – Exemplo de um histograma de amplitude de tensões (Nieslony, 2009).
A partir dos dados coletados pelo histograma, obtém-se a função densidade de
probabilidade para as amplitudes de ciclos de rainflow das tensões alternadas atuando em uma
17
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
estrutura (Bishop, 1999). A função que define o dano causado por um ciclo de carregamento
para um valor de tensão é representada pela distribuição lognormal (Shen, Lin e Mu, 2000):
f(n) =
 [ln(n) - x ]2 
exp −



2s 2
ns 2π
1
(2.3)
onde x e s são respectivamente, a média e o desvio padrão do logaritmo de Ni e n é o número
de ocorrências da amplitude de tensão alternada.
2.3. Noções sobre a mecânica da fratura
A ocorrência de trincas é muito freqüente em testes de origem cíclica e podem
surgir naturalmente devido à não homogeneidade na estrutura granular e cristalina dos metais.
Partículas de composição química diferente do metal utilizado na confecção do componente
ou imperfeições granulares do material são comuns no processo de fabricação. O resultado
desta não-homogeneidade é uma distribuição irregular de tensões no material. Regiões onde
as tensões apresentam-se de maneira mais severa são pontos onde normalmente inicia-se o
dano por fadiga. Uma abordagem que lida diretamente com a ocorrência de trincas em regiões
com elevada concentração de tensão é de fundamental importância para o tratamento deste
tipo de fenômeno.
A concentração de tensão em regiões de componentes automotivos com
geometrias complexas facilita o surgimento de trincas. Um braço de suspensão, por exemplo,
é um componente estrutural com formas geométricas complexas, como se pode perceber na
figura 2.8. Este tipo de componente apresenta diferenças de planos geométricos difíceis de
serem produzidos através de processos convencionais e este é um fator que facilita o provável
surgimento de trincas.
Neste caso, para uma maior precisão nos cálculos estruturais, torna-se necessário
o uso de técnicas precisas não-destrutivas de detecção de trincas, aliadas aos conceitos da
Mecânica da Fratura que auxiliam nos resultados de previsão de vida útil sob fadiga.
18
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
Figura 2.8 – Braço de suspensão utilizado para testes em Fourlaris et al. (2007).
As tensões mecânicas próximas à extremidade de uma trinca podem ser descritas
por uma grandeza relacionada à taxa de liberação de energia necessária para a propagação de
trincas. Denomina-se esta grandeza de fator de intensidade de tensão, que relaciona o nível de
tensão aplicada no componente ao tamanho da trinca. Aplicando-se tensões em torno de uma
trinca, conforme indicado na figura 2.9, tem-se a seguinte equação (2.4):
(2.4)
k = σ . π .a
onde k é o fator de intensidade de tensão, σ é a tensão aplicada no componente e a é a
metade do comprimento da trinca.
Figura 2.9 – Distribuição de tensões em torno de uma trinca.
Neste caso, o valor de k representa o fator de intensidade de tensão para o modo
de carregamento I (carregamento em tração e deslocamento das superfícies da trinca
perpendicularmente a si mesmas), ou seja, quando ocorre a abertura da ponta da trinca. Além
19
201
C. 2 – Fundamenta
Fundamentação Teórica
_____________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
______________________________________________________
deste, existem ainda mais dois modos de carregamento, sendo o modo II, o de cisalhamento
puro, no qual o deslocamento das superfícies ocorre perpendicularmente à frente de
propagação da trinca. O modo III é conhecido como modo de rasgamento, no qual o
deslocamento das superfícies ocorre em paralelo à frente de propagação da trinca. A figura
2.10 representa os três modos de carregamento.
Figura 2.10 – Modos de carregamento em uma trinca.
Um modelo desenvolvido por Newman e Ruschau (2007) considerou a trinca
surgindo a partir de um furo circular em uma placa finita sujeita à aplicação de tensão
uniforme, para comparação de resultados obtidos por vários algoritmos que usam o fator k na
predição do crescimento de trincas. A figura 2.11 ilustra a propagação de trincas partindo de
um furo circular.
Figura 2.11 – Propagação de trincas a partir de um furo circular.
De maneira simplificada e fazendo uso dos conceitos da Mecânica da Fratura,
assume-se
se que a propagação de uma trinca é dada pela taxa de propagação, que se
correlaciona com
m a variação do fator de intensidade de tensão, de acordo com a equação (2.5):
da
dN
= C .∆k m
(2.5)
onde da/dN é a taxa de propagação da trinca e ∆k é a variação do fator de intensidade de
20
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
tensão.
Segundo Leonel et al. (2010), em problemas de fadiga, a combinação entre o
método de elementos finitos e procedimentos de otimização são utilizados para a realização
de análises de risco de propagação de trinca no modo I, levando-se em consideração as
incertezas estruturais e de cargas aplicadas às estruturas. Neste caso, o tratamento
probabilístico é justificado principalmente quando os fenômenos envolvidos na análise
apresentam grande variabilidade. Este é o caso tanto do carregamento atuando em uma
estrutura veicular durante os deslocamentos verticais das rodas, quanto na curva de Wohler,
associada ao fenômeno de fadiga de um material. Desta forma, é razoável supor que o
tratamento probabilístico da vida útil sob fadiga seja um procedimento mais confiável e
abrangente do que a forma determinística elementar (Hougaz, 2005). Este fato é levado em
consideração para a análise de elementos finitos (MEF), que utilizam dados probabilísticos
provenientes do campo para simulações de danos em estruturas veiculares.
2.4. A instrumentação veicular
A análise de falhas em componentes automotivos exige grande experiência dos
engenheiros e projetistas em termos de vivência na área e conhecimentos específicos como
vibrações e instrumentação veicular. Vibrações mecânicas são, em geral, movimentos
oscilatórios de uma massa (ou massas) em torno de uma posição de referência. Em
componentes veiculares, por exemplo, vibração é o resultado de forças dinâmicas internas não
compensadas, criadas por deslocamentos alternados. Podem-se descrever os tipos de
movimentos de um corpo através de grandezas como o deslocamento, que é a distância do
afastamento da massa de sua posição de referencial; a velocidade, que é a derivada (taxa de
variação) da função distância no domínio do tempo; e a aceleração, que é a taxa de variação
da função velocidade no domínio do tempo.
O movimento harmônico, expresso em termos de deslocamento, é a forma mais
simples de vibração. Quando analisado em função do tempo, este movimento é representado
por uma função senoidal que envolve também sua amplitude. A variação nos valores de
velocidade e aceleração com a freqüência é importante para formar as bases para critérios na
análise vibracional e também para a seleção da variável que será utilizada na detecção e
análise de falhas.
Vibrações reais encontradas na análise de componentes veiculares raramente são
21
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
provenientes de movimento harmônico puro. A vibração é comumente conseqüência de uma
combinação de vários movimentos harmônicos, de diferentes amplitudes e freqüências e
movimentos aleatórios, cujos valores instantâneos não podem ser descritos por uma única
função elementar e somente as propriedades estatísticas da vibração são conhecidas. Um
exemplo disso são os sinais provenientes de acelerômetros instalados em uma suspensão
veicular. A figura 2.12 ilustra dados de vibração (aceleração/g, sendo g = 9,81 m/s2) utilizados
por Aykan e Celik (2009) em suas análises para a determinação de vida útil sob fadiga em um
componente estrutural de um helicóptero.
Figura 2.12 - Sinal de aceleração no eixo Z em um componente estrutural de um helicóptero
(Aykan e Celik, 2009).
Em um sinal desta natureza, a escolha do valor numérico a ser utilizado para
determinar as suas características pode implicar em grandes diferenças. O valor de pico
(amplitude do movimento) não considera o histórico da onda naquele intervalo de tempo que
gerou tal pico, mas tem vantagens quando é necessário determinar se a vibração é de natureza
impulsiva como, por exemplo, originária de engrenagens ou mancais de rolamentos.
O valor pico a pico (diferença entre os valores máximos positivos e negativos do
movimento) pode ser utilizado, por exemplo, quando for medido o deslocamento relativo de
um eixo dentro de um mancal. Já o valor eficaz do sinal oferece uma estimativa da energia
contida na vibração e é um parâmetro largamente utilizado para a estimativa da severidade da
vibração em carcaças de máquinas ou medidas externas, como, por exemplo, na carroceria de
automóveis.
Um dos sensores mais usados na captação de sinais em testes de durabilidade
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veicular é o acelerômetro. Este sensor está disponível comercialmente em grande número de
tipos e de modelos, atendendo as mais variadas particularidades em medições de
deslocamento em razão das características apresentadas abaixo (Marçal, 2000):
- Respostas dinâmicas que podem atingir freqüências na ordem de kHz.
- Deslocamentos e velocidades podem ser facilmente obtidos por integração do
sinal, que é mais estável que diferenciação.
- Medições de movimentos transientes (choques) são melhor obtidas do que com
sensores de deslocamentos ou de velocidade.
- Forças destrutivas em máquinas, em geral, são retratadas mais fielmente por
aceleração do que por velocidade ou deslocamento.
Para o melhor funcionamento deste tipo de sensor, é necessário conhecer o
desempenho total de um sistema mecânico em termos de aceleração e massa. Em aplicações
onde acelerações devem ser medidas, os acelerômetros têm sido usados porque dispensam
alimentações externas.
A tecnologia, as especificidades e as características do projeto podem direcionar
os diversos tipos de sensores, possibilitando uma grande margem de escolha para atender às
necessidades de investigação. A escolha apropriada do tipo de sensor deve ser baseada em
características básicas, porém importantes e decisivas para que se possa instrumentar um
processo de forma a se obter o melhor resultado possível. Além de outras aplicações, a
instrumentação veicular deve ser utilizada em rotas de durabilidade no intuito de coletar dados
de campo para serem utilizados numericamente via MEF na análise de falhas em
2.5. Testes utilizados na indústria automotiva
Realizam-se vários testes na indústria automotiva para detecção de falhas. Como
exemplo cita-se o teste de envelhecimento, choque térmico e vibração, sendo este último um
teste dinâmico capaz de prever a formação de trincas em componentes sujeitos a cargas
cíclicas. Dentre os tipos de testes dinâmicos, incluem-se os testes de bancada e durabilidade,
que não são aplicados apenas para a homologação de um projeto, mas também para o
processo de desenvolvimento de um componente. Decisões podem ser tomadas com base na
execução de testes acelerados, dependendo do grau de aceleração. Para auxiliar este processo,
métodos estatísticos (Romlay, Ouyang and Nizam, 2011) podem ser empregados como um
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meio de tratar os dados coletados nestes testes. A realização dos testes de durabilidade tornouse prioridade para as indústrias automotivas no sentido de oferecer maior segurança aos seus
clientes.
No princípio, os testes de bancada eram realizados apenas em um eixo do
componente e com amplitude constante. Com a evolução nos métodos de testes, auxiliada
pela era digital, a aquisição de sinais tornou-se comum na indústria automotiva, sendo
possível a instrumentação e realização de testes que possam simular a rodagem do veículo em
campo. Esta evolução fez com que os engenheiros de produto pudessem identificar as falhas
com maior freqüência, diminuindo o tempo de reação.
Nos testes de vida acelerados, como a durabilidade veicular, o tempo de operação
do produto é simulado no intuito de promover o acúmulo de dano esperado em condições de
campo. Nota-se que não somente o tempo de operação pode influenciar na resistência
mecânica do componente, mas também eventuais defeitos provenientes da matéria prima e
dos processos de fabricação. Essas características levam a uma mudança da distribuição de
probabilidade da resistência mecânica do componente com o tempo em função do número de
ocorrências da carga e em conjunto com suas magnitudes e durações.
As falhas podem ser monitoradas por dados completos (valor exato da falha) ou
por dados censurados (casos em que o teste é interrompido sem ocorrência de falhas,
utilizando a faixa em que se encontra o valor da falha) conjugados com dados completos.
Deve-se obter, em serviço, a seqüência representativa dos ciclos de tensão em que um
componente está submetido, para que seja estatisticamente avaliada, visando a obtenção de
um espectro de tensão. É importante ressaltar que um fabricante de automóveis, por exemplo,
não sabe com exatidão de que modo seus produtos serão usados pelo consumidor. Deste
modo, tenta-se simular condições mais severas que possam eventualmente representar
diversos tipos de situações, podendo-se até mesmo aumentar a vida útil de um componente
em fadiga, devido à presença de tensões residuais nesses componentes.
2.5.1. Teste de bancada
Um ensaio clássico usado na análise de falhas em componentes veiculares
consiste em submeter corpos-de-prova por solicitações repetidas e tomar nota do número de
ciclos até o aparecimento de fraturas. No caso de ensaios de estruturas veiculares, a carga
cíclica é aplicada nos eixos do veículo, conforme ilustrado na figura 2.13, em que Karbassian,
Bonathan e Katakami (2009) simularam o teste de durabilidade veicular para analisar a parte
estrutural da caçamba de um veículo utilitário.
24
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Figura 2.13 – Ensaio de estruturas veiculares (Karbassian, Bonathan e Katakami, 2009).
Para a determinação do cálculo de vida útil sob fadiga de um componente
veicular, faz-se necessário primeiramente tomar como base uma situação em que o veículo
encontra-se em carga máxima de rodagem, ou seja, o seu peso próprio mais cinco adultos e
120 kg de bagagem. De acordo com Fourlaris et al. (2007), as cargas simultâneas atuantes em
situação de rodagem são laterais (eixo y), longitudinais (eixo x) e verticais (eixo z), tomandose como exemplo o eixo dianteiro de um veículo, conforme observado na figura 2.14.
Figura 2.14 – Cargas atuantes no eixo de um veículo (adaptado de Fourlaris et al., 2007).
Tomando-se como referência as cargas atuantes nos eixos do veículo, torna-se
necessário realizar a decomposição destas cargas até o ponto onde o componente está
localizado e, a partir daí, aplicar freqüências e amplitudes adequadas para cada eixo na
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realização do teste de bancada.
2.5.2. Teste de durabilidade
O teste durabilidade simula, de forma acelerada, a rodagem do veículo em
situações reais, simulando o comportamento de cada componente. Todos os componentes do
veículo, sem exceção, são afetados por este tipo de teste e, por esta razão, todos devem estar
montados no veículo de forma correta desde o início do teste. A figura 2.15 representa uma
foto panorâmica de um campo de prova de durabilidade e veículos em condições severas de
uso durante a prova.
Figura 2.15 – Durabilidade veicular (gentilmente cedida pela FoMoCo Brasil Ltda).
Os testes de durabilidade acelerada na indústria automotiva normalmente são
equivalentes a 240.000 km em serviço ou dez anos de uso do veículo nas mais severas
condições de uso às quais o motorista pode submeter o veículo. Em função disto, e através do
uso de pavimentos com muitas imperfeições, os componentes estão sujeitos em todo
momento à ocorrência de vibrações mecânicas.
Segundo Wannenburg et al. (2009), o primeiro passo para qualquer teste de
durabilidade envolve a definição das condições de carregamento do veículo. A indústria
automotiva tem realizado esforços para correlacionar estas condições de carregamento com o
perfil de seus clientes ou aplicar um histórico padrão de carregamento em função do tempo,
além de extensivas medições em campo.
Para gerar este histórico padrão de carregamento em função do tempo em testes de
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durabilidade, geralmente são colocados acelerômetros na suspensão do veículo. A partir da
instrumentação nestes locais pré-definidos, o veículo inicia a rodagem e os sinais são captados
e armazenados para serem analisados e reutilizados em simulação computacional ou através
de testes específicos de bancada, conhecidos como 4-post. Estes, por sua vez, são dispositivos
dispostos em quatro cilindros hidráulicos acionados por meio de sinais coletados dos testes de
durabilidade. Este tipo de teste pode reproduzir não somente a rodagem do veículo em campo,
mas também estabelecer condições climáticas artificiais, dependendo do tipo de equipamento
e recursos disponíveis. Além disso, os sinais coletados nos testes de durabilidade servem
como histórico de dados de entrada para simulações numéricas futuras e que utilizam os
mesmos parâmetros da rota em que o veículo foi instrumentado.
2.6. Conclusão
Os testes utilizados na indústria automotiva dependem diretamente da
instrumentação veicular na geração de banco de dados para futuras simulações numéricas.
Estas simulações, por sua vez, ajudam engenheiros a prever fraturas em componentes
automotivos, quando estes estão sujeitos a solicitações por fadiga, reduzindo tempo e custos
durante o desenvolvimento de novos produtos automotivos. Métodos numéricos para a
predição de fraturas em componentes automotivos, como o MEF e o MEC, são instrumentos
indispensáveis aos profissionais para a análise de falhas por fadiga.
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2.7. Nomenclatura
2.7.1. Símbolos
D: dano acumulado durante o intervalo de ciclos com carga constante;
ni: número de ciclos de uma determinada faixa de variação de tensão;
Ni: número de ciclos para ocorrer fratura sob ação de uma variação de tensão constante;
C: coeficiente de ductilidade em fadiga;
m: constante do material correspondente à inclinação da curva de fadiga;
f(n): função que define o dano causado por um ciclo de carregamento;
x : média do logaritmo de Ni;
s: desvio padrão do logaritmo de Ni;
n: número de ocorrências da amplitude de tensão alternada;
k: fator de intensidade de tensão;
a: metade do comprimento de uma trinca;
da/dN: taxa de propagação da trinca;
∆k: variação do fator de intensidade de tensão.
2.7.2. Letras gregas
σ : tensão aplicada no componente;
∆ σ : variação de tensão aplicada no componente.
28
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
2.8. Referências bibliográficas
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31
C. 3 – Revisão Bibliográfica
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
CHAPTER 3
Bibliographic review on the boundary element method
The main goal of this thesis is the proposition and application of a new procedure
based on boundary element method (BEM) for predicting fractures in automotive
components, enabling the reduction of computational effort and skilled labor in the analysis of
the feasibility of product modification.
The literature about BEM is abundant. However the number of papers focused on
its application for fractures prediction in automotive components is still incipient. Within the
general context of this thesis, this chapter presents a literature review about the failure
analysis on automotive components based on the BEM, as well as its formulation for
vehicular applications.
Abstract
There are several commercial programs for structural analysis. They use
numerical techniques that are able to simulate stress concentration fields in automotive
components. As an example, there is the finite element method (FEM) which requires skilled
labor and involves high costs for its acquisition and maintenance. In addition, this method
also requires high computational effort and dedicated workstations. The improvement of
existing models, aided by the constant evolution of computers and the use of new numerical
methodologies for vehicular applications, such as the boundary element method (BEM), tend
to reduce timing and costs for simulations. In this chapter, the formulation and a brief
background of the BEM are presented, as well as failure analysis on automotive components
supported by numerical simulations.
Keywords: Boundary element method; automotive components; fractures prediction.
32
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Conclusions
In this chapter, a lot of references about the boundary element method were
presented and discussed. Some of them refer the use of BEM in many applications, such as
the analysis of fractures in standard parts and plates. There are few references on the
application of BEM in the automotive industry for structural applications. Specific works for
vehicle components are related to acoustics and vibration fields, confirming that its use for
predicting failures in the automotive industry still needs further research. This justifies this
thesis that proposes to develop a procedure, in an innovative way, to simulate the stress
concentration in automotive components via BEM, allowing its application to decision
making in industry and encouraging further research in this area.
33
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CAPÍTULO 3
Revisão bibliográfica sobre o método de elementos de contorno
O principal objetivo desta tese é a proposição, o desenvolvimento e a aplicação de
um novo procedimento baseado no método de elementos de contorno (MEC) para a previsão
de fraturas em componentes automotivos, possibilitando a redução do esforço computacional
e da aplicação de mão-de-obra especializada para análises de viabilidade de modificação de
produto.
A literatura sobre o MEC é abundante, entretanto a quantidade de trabalhos
voltados para sua aplicação na previsão de fraturas em componentes automotivos ainda é
incipiente. Dentro do contexto geral desta tese, este capítulo tem como objetivo apresentar
uma revisão bibliográfica sobre a análise de falhas em componentes automotivos e sobre o
MEC, bem como sua formulação como base para aplicações veiculares.
Resumo
Há diversos pacotes computacionais existentes no mercado para análise estrutural
e que utilizam técnicas numéricas capazes de simular campos de concentração de tensões em
componentes veiculares. Como exemplo, cita-se o método de elementos finitos, que necessita
de mão-de-obra qualificada e envolve custos elevados para sua aquisição e manutenção, além
de exigir elevado esforço computacional e estações de trabalho dedicadas. O aprimoramento
dos modelos existentes, auxiliados pela evolução constante dos computadores e a utilização
de novos métodos numéricos para aplicações veiculares, como exemplo o método de
elementos de contorno (MEC), tendem a reduzir os tempos e custos de simulação. Nesse
capítulo, a formulação e um breve histórico do MEC são apresentados, assim como a análise
de falhas em componentes automotivos suportada por simulações numéricas.
Palavras-chave: Método de elementos de contorno; componentes automotivos; previsão de
fraturas.
34
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3.1. Introdução
Para a análise de falhas em componentes automotivos, deve-se documentar todo o
histórico do teste através de dados estatísticos, da configuração de cada amostra testada e dos
dispositivos de teste. Deve-se levar em consideração também a localização dos componentes
no veículo e os esforços sofridos durante a realização dos testes. Além disso, técnicas
numéricas podem auxiliar a predição de defeitos durante os testes e os resultados numéricos
devem
estar
sempre
à
disposição
para
comparações
com
resultados
obtidos
experimentalmente.
Os métodos numéricos, especialmente o método dos elementos finitos, foram
introduzidos na engenharia na década de 50, mais especificamente para análises estruturais na
engenharia aeronáutica, e tiveram seu uso difundido através das formulações de Bathe (1982).
Heys, Dakin e John (1995) correlacionaram o método dos elementos finitos com eventos de
durabilidade em componentes veiculares.
Bishop (1999) afirmou que, independente da situação na qual um componente é
submetido a cargas cíclicas, o mesmo pode ser analisado através do uso de técnicas de
elementos finitos, as quais podem gerar resultados ainda na fase de concepção do projeto.
Oh e Bai (2001) trabalharam com a estimativa de tempo de vida através de dados
de falha adicionais após o período de garantia de um produto utilizando a distribuição de
Weibull. O modelo inclui simulações para análise de sensibilidade envolvendo essas
estimativas.
Carboni, Beretta e Finzi (2003) analisaram o efeito de defeitos de manufatura na
vida útil sob fadiga e no crescimento de trincas para rodas de caminhão. Nesse estudo foram
usados dois lotes de peças, sendo um dos lotes com componentes que apresentaram falhas
prematuras detectadas em serviço e outro padrão de produção.
Firat e Kocabicak (2004) apresentam um novo método prático de avaliação de
durabilidade baseado em deformações locais. Nesse trabalho são revisados alguns dos
aspectos computacionais da análise de dano por fadiga e predição de vida, de forma a aplicar
o procedimento a um caso industrial com rodas de liga leve sujeitas à cargas multiaxiais de
fadiga.
Segundo Rai e Singh (2004), as informações de campo advindas dos veículos em
garantia são fundamentais para se estimar a confiabilidade do produto, uma vez que os testes
laboratoriais não são capazes de simular perfeitamente o desempenho em campo.
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Svensson, Johannesson e Maré (2005) basearam-se na hipótese de crescimento de
trinca como mecanismo de dano, seguindo a regra linear de dano durante um teste utilizando
carregamento de amplitude constante e variável.
Segundo Alves (2008), o estudo da confiabilidade na indústria automotiva é feito
basicamente de três maneiras: simulação computacional baseada em modelos analíticos de
predição, testes físicos analisados sob uma ótica estatística ou uma combinação dessas duas
opções. Pode-se considerar a combinação entre a simulação computacional e testes físicos
como a melhor opção para a análise de falhas em componentes automotivos.
Em testes de vida acelerado, como em durabilidade veicular, o comprimento de
uma trinca é usado como um indicador de fadiga. De acordo com Wang et al. (2009), em um
determinado instante o processo de degradação sofre um pequeno acréscimo em uma porção
total de degradação, seguindo uma distribuição lognormal. O processo de aumento no
comprimento de uma trinca pode ser considerado como um exemplo deste tipo de
distribuição, devendo-se ressaltar também que a trinca pode ser derivada de outros processos
de degradação, como a corrosão.
Outros trabalhos utilizaram elementos finitos em suas análises veiculares, como
em Palma, Petracconi e Ferreira (2009), que analisaram falhas provenientes de esforços
solicitantes em ganchos de reboque com o auxílio do método de elementos finitos. Wang e
Zhang (2010) utilizaram elementos finitos para prever falhas por fadiga em rodas de
automóveis.
Para análises tridimensionais de fratura são propostos alguns métodos numéricos,
dentre estes o MEF (método de elementos finitos) e o MEC (método de elementos de
contorno). Estes métodos exigem o refinamento da malha na vizinhança da trinca ou nas
proximidades da superfície onde se pretende realizar a análise (Maligno et al. 2010). O
processo de refinamento consiste em melhorar a versão da malha discretizada, ou seja,
diminuir a distância entre os nós, e, conseqüentemente, o tamanho dos elementos na região do
refinamento da malha. A distância entre os nós, por sua vez, depende da quantidade de
elementos definidos para a região da trinca. Neste caso, a modelagem matemática
compreende mais especificamente o uso das equações 2.4 (intensidade de tensão em torno da
trinca) e 2.5 (taxa de propagação da trinca) que permitem prever os deslocamentos dos nós
nas vizinhanças da trinca. A figura 3.1 ilustra uma malha discretizada por Fajdiga e Sraml
(2009), contendo regiões com e sem refinamento da malha.
36
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Figura 3.1 – Malha de regiões com e sem refinamento (Fajdiga e Sraml, 2009).
O desenvolvimento de novos métodos numéricos e algoritmos, o aprimoramento
dos modelos existentes e a evolução constante dos computadores reduziram em muito o
tempo gasto na simulação, o que é desejável principalmente quando se tem a necessidade de
modelagem do veículo como um todo. Em alguns casos, cria-se a malha do veículo completo
para determinar o campo de tensão em um único ponto, como em Lee e Han (2009), que
usaram o método de elementos finitos para simular as tensões em um ponto nas proximidades
da suspensão dianteira veicular. A figura 3.2 representa o esquema da malha utilizada neste
estudo.
Figura 3.2 – Malha de um veículo completo (Lee e Han, 2009).
No caso do modelo geométrico exemplificado na Figura 3.2, uma alternativa para
não realizar novas simulações em toda a malha do veículo em razão de mudanças de
geometria nas regiões críticas, o que exigiria elevado esforço computacional, seria a utilização
de um sub-modelo da região em destaque. Sub-modelos compreendem a extração de regiões
de interesse na superfície do componente e geração da malha para estas regiões críticas
selecionadas. De acordo com Mellings et al. (2005), esta abordagem compreende a extração
de valores do tensor tensão ou das forças de superfície e deslocamento das regiões críticas
através de um modelo inicial geométrico do MEF. Em seguida, utilizam-se os valores do
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tensor tensão ou das forças de superfície e deslocamento no sub-modelo do MEC a partir do
mapeamento destes valores na região crítica do modelo do MEF. Por meio deste
procedimento, obtêm-se valores específicos de tensões através do MEC viabilizando-se, desta
forma, a avaliação de modificações de geometria apenas na região de interesse e a prevenção
de falhas em geometrias complexas sem a necessidade de elevado esforço computacional.
A partir da previsão do surgimento de trincas em ensaios cíclicos de bancada,
auxiliados pela modelagem numérica e sua correlação com dados de testes de durabilidade,
pode-se avaliar a possibilidade de obtenção de uma relação matemática deste fenômeno que
auxilie os engenheiros de produto no desenvolvimento de suas atividades.
3.2. O método de elementos de contorno
Sabe-se que quanto mais completa for a análise desejada, maior será o grau de
complexidade e, conseqüentemente, maior a dificuldade em se obter uma solução adequada.
Porém, com o avanço da informática, os engenheiros de produto passaram a ter acesso a
equipamentos de alta capacidade que, aliados ao desenvolvimento dos métodos numéricos,
permitem a elaboração de programas computacionais que possibilitam uma análise estrutural
baseada em modelos mais refinados. Dentre os vários métodos numéricos existentes, destacase o método de elementos de contorno (MEC). Seu desenvolvimento deu-se após o
surgimento dos chamados métodos de domínio, diferenças finitas ou elementos finitos.
No MEC, as equações diferenciais que regem determinado problema físico são
transformadas em equação integral de contorno para a superfície do problema. Estas integrais
são numericamente resolvidas para os elementos discretizados no contorno. O método fornece
resultados de tensão ou deslocamento no contorno e no domínio de problemas físicos em
geral, caracterizando-se na classe dos métodos que calculam o fator de intensidade de tensão a
partir do campo de tensão ou do campo de deslocamentos no corpo.
Ao contrário dos demais métodos que possuem incógnitas em pontos específicos
no domínio e no contorno do problema, o MEC possui incógnitas apenas em pontos
pertencentes ao contorno do problema. Tal diminuição da dimensão do problema faz com que
o MEC tenha como características principais a redução das aproximações envolvidas em
qualquer análise numérica e a diminuição da ordem dos sistemas de equações lineares a serem
resolvidos.
38
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3.2.1. Breve histórico do MEC
Betti (1872) foi o primeiro a estudar a teoria da elasticidade com equações
integrais relacionando forças de superfície e deslocamentos aplicados no contorno. Fredholm
(1903) aplicou estas equações integrais para formular os problemas de valor de contorno e
demonstrou a existência de soluções para estas aplicações. A partir dai, o surgimento de
computadores com alta velocidade de processamento ajudou na implementação de soluções
rápidas nos procedimentos numéricos.
Rizzo (1967) obteve uma equação integral de contorno para tensões no interior do
corpo elástico, linear e isotrópico. Jaswon, Maiti e Symm (1967) desenvolveram uma das
primeiras formulações do MEC para flexão de placas ainda quando a técnica era conhecida
como método das equações integrais de contorno. Posteriormente, Cruse (1969) derivou uma
forma explícita desta representação para corpos elásticos tridimensionais.
Os primeiros textos do MEC foram publicados por Brebbia, Alarcón e Dominguez
(1978) e, a partir daí, grande volume de trabalho foi apresentado por vários outros autores,
ampliando seu uso. Bézine (1980) propôs uma formulação do MEC para análise de vibrações.
Kamiya e Kamigaito (1982) aplicaram o MEC a problemas sujeitos à variação de
temperatura.
Ng, Cheung e Xu (1990) realizaram um estudo utilizando uma combinação do
MEC com o Método dos Elementos Finitos. Hu & Hartley (1994) estudaram o uso do MEC
na flexão de uma placa simples apoiada em vigas de seção transversal retangular. Hartley
(1996) analisou pavimentos de edifício considerando apenas colunas internas por meio da
aplicação do MEC.
Já no século XXI, Fernandes e Venturini (2002) apresentaram uma formulação do
MEC considerando vigas de concreto com uma variação considerável de espessura e o
comportamento dos elementos como uma membrana para reduzir os graus de liberdade do
sistema. Supriyono (2006) apresentou um estudo de placas, baseado no MEC, considerando a
não-linearidade geométrica do componente.
Atualmente o MEC vem sendo amplamente utilizado pela comunidade científica
em vários tipos de estudos, como em Solis et al. (2009), que utilizaram elementos de contorno
na análise tridimensional para detecção de trincas em materiais piezo-elétricos, em Niu et al.
(2009) que propuseram uma nova metodologia para o MEC no campo de tensões em regiões
próximas a entalhes de placas planas, e em Galvín e Dominguez (2009), que aplicaram
análises numéricas e experimentais de vibração na indústria ferroviária.
O MEC também tem sido aplicado na indústria automotiva, principalmente nas
39
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
áreas de acústica e vibração, como em Müller, Cotoni e Connelly (2009), que realizaram uma
investigação numérica para estudar a acústica em torno de um veículo e Herrin et al. (2007)
que utilizaram o MEC na análise de sistemas de exaustão veicular. Porém, a aplicação do
MEC, especificamente, na análise de fratura em componentes automotivos ainda é incipiente.
Vários periódicos nacionais e internacionais de renome na área de fratura e fadiga não
contemplam registros do uso do MEC para análise de tensões em componentes automotivos.
Dentre estes periódicos destacam-se Engineering Analysis with Boundary Elements,
Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Engineering Fracture Mechanics,
Computers & Structures, Computers in Industry, International Journal of Fatigue,
International Journal of Vehicle Design, Engineering Failure Analysis, Journal of the
Brazilian Society of Mechanical Sciences and Engineering, International Journal of
Automotive Technology, entre outros.
A próxima seção apresenta a fundamentação teórica do MEC como uma forma de
inserir, resumidamente, seus conceitos básicos necessários para o estudo e previsão de tensões
em componentes automotivos.
3.2.2. Fundamentação teórica do MEC
Em aplicações de engenharia, como na análise de tensões, um fator que apresenta
extrema relevância é a complexidade da geometria envolvida, principalmente na indústria
automotiva. Para geometrias simples submetidas às condições de contorno bem definidas e
utilizando-se materiais de comportamento simples (teoricamente homogêneo, linear e
isotrópico), uma abordagem matemática do tipo analítica pode ser suficiente para obter os
resultados desejados. Entretanto, no caso de aplicações veiculares, em que os componentes
apresentam, em sua maioria, geometrias complexas, a abordagem matemática é bem mais
complexa. Desta forma, para se obterem resultados satisfatórios, é necessária a utilização de
técnicas de cálculo numérico.
Um tipo de integral de domínio, semelhante àquela utilizada pelo método dos
elementos finitos, pode ser trabalhada matematicamente até se transformar numa integral
equivalente de contorno. Isto é, uma integral que pode ser avaliada apenas no contorno, mas
que apresenta uma correlação com o domínio de maneira a possibilitar a obtenção de
resultados em qualquer ponto do domínio, uma vez resolvida no contorno. Esse procedimento
descreve resumidamente o MEC e, através desta técnica, realizam-se aproximações no
contorno, a partir da divisão do mesmo em pequenas superfícies chamadas elementos de
contorno.
40
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
3.2.3. Modelagem para determinação de distribuição de tensões em um corpo sólido
O objeto em estudo compreende um corpo finito de material isotrópico,
homogêneo e linear, sujeito a um sistema de forças de superfície e de corpo ou de volume.
Um elemento de volume finito deste objeto está representado na figura 3.3. O estado de
tensão fica definido em termos das tensões normais σ xx , σ yy e σ zz e das tensões tangenciais
ou de cisalhamento τ xy = τ yx , τ xz = τ zx e τ yz = τ zy , considerando-se a simetria entre elas.
Figura 3.3 – Tensões atuantes em um elemento de volume.
Para as faces opostas às representadas na figura 3.2, tem-se as tensões atuantes
σ xx x , τ xy
x
e τ xz x ; σ yy , τ yx
y
y
e τ yz ; σ zz z , τ zx
y
z
e τ zy
z
para os eixos x, y e z,
respectivamente.
Efetuando-se um balanço de forças em cada uma das três direções e, em seguida,
tomando-se o limite para ∆x, ∆y e ∆z → 0, chega-se a um sistema de três equações
diferenciais parciais (equações 3.1-a, 3.1-b e 3.1-c), as quais representam a condição de
equilíbrio para um elemento de volume infinitesimal, quando as forças de corpo forem iguais
as forças gravitacionais.
∂σ xx ∂τ xy ∂τ xz
+
+
+ ρg x = 0
∂x
∂y
∂z
(3.1-a)
41
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
∂σ yy
∂τ yx
∂τ yz
+ ρg y = 0
(3.1-b)
∂σ zz ∂τ zx ∂τ zy
+
+
+ ρg z = 0
∂z
∂x
∂y
(3.1-c)
∂y
+
∂x
+
∂z
onde ρ é a massa específica do sólido e gx, gy e gz são as componentes do vetor aceleração da
gravidade nas respectivas direções x, y e z.
Em um ponto qualquer do sólido apresentado na figura 3.3, as componentes de
tensão são expressas de forma indicial generalizada por σ ji . A partir daí, definem-se forças
de superfície que atuam no plano tangente à superfície deste ponto através da equação:
(3.2)
t j = σ ji n j
onde n j são componentes da normal ao plano e t j são forças de superfície, conforme figura
3.4.
Figura 3.4 – Forças de superfície e volume (adaptado de Chaves, 2003).
Nota-se, por meio da figura 3.4, que a representação das componentes das forças
de volume ( b j ), atuantes no corpo sólido em questão, dá origem à equação de equilíbrio
generalizada, conforme segue:
σ ji ,i + b j = 0
(3.3)
onde b j são forças de volume atuantes no corpo sólido em questão.
Os índices utilizados nesta tese seguem a notação indicial de Einstein, onde os
42
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
índices repetidos indicam somatórios e a vírgula precedendo o índice indica a derivada em
relação à coordenada cartesiana relativa ao índice. Esta notação é aplicada, inclusive, na
relação entre deformação e deslocamento, apresentada a seguir.
3.2.4. A relação entre deformação e deslocamento
Define-se como deformação específica linear a variação de comprimento que um
elemento infinitesimal sofre da condição inicial para a condição deformada, dividido pelo seu
comprimento inicial. Assim como para as tensões, as deformações específicas também são
referidas ao sistema de eixos cartesianos (x, y, z) podendo ser deformações específicas
normais (ε) ou de distorção (γ). O estado de deformação em um ponto (x, y, z) do corpo é
definido por seis componentes de deformação específica, que são: εx, εy, εz, γxy, γxz, γyz.
Cada ponto da placa sofre um deslocamento e pode ser expresso através de
componentes de deslocamento (u, v e w) paralelas, respectivamente, aos eixos x, y e z.
Admitindo-se a hipótese de pequenos deslocamentos, as deformações específicas são
definidas através das equações abaixo:
εx =
∂u
∂x
(3.4-a)
εy =
∂v
∂y
(3.4-b)
εz =
∂w
∂z
(3.4-c)
Desta maneira, definem-se as distorções angulares através das equações:
γ xy =
∂u ∂v
+
∂y ∂x
∂v ∂w
+
∂z ∂y
(3.5-b)
∂u ∂ w
+
∂z ∂x
(3.5-c)
γ yz =
γ xz =
(3.5-a)
Por sua vez, as deformações específicas cisalhantes podem ser representadas em
função das distorções angulares através das equações:
43
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
ε xy =
1
γ xy
2
(3.6-a)
ε yz =
1
γ yz
2
(3.6-b)
ε xz =
1
γ xz
2
(3.6-c)
A relação entre deformação e deslocamento traduz as possíveis mudanças de
posição de cada ponto em um corpo sob uma determinada ação de forças externas. Uma
alteração na posição relativa entre quaisquer desses pontos, devido a um deslocamento,
configura uma deformação. Definindo-se o deslocamento de um ponto qualquer, pertencente
ao corpo, por u, as componentes do tensor de deformações podem ser expressas, de forma
generalizada, pela equação:
ε ji = (u j ,i + u i , j )/ 2
(3.7)
Podendo ainda relacionar as componentes de tensão com as componentes de
deformação através da conhecida lei de Hooke generalizada, tem-se:
σ ji = C ijkl ε kl
(3.8)
CijkI é definido como um tensor de quarta ordem formado por coeficientes que
contém as constantes elásticas do material:
C ijkl = λδ ij δ kl + µ ( δ ik δ jl + δ il δ jk )
(3.9)
δ é o delta de Kronecker. µ e λ são propriedades do material, conhecidas como
constantes de Lamé e podem ser estimadas pelas equações abaixo:
µ =G =
E
2(1 +ν )
(3.10)
44
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
λ=
νE
2νG
=
(1 − 2ν )(1 + ν ) (1 − 2ν )
(3.11)
onde G é o módulo de elasticidade transversal do material, E é o módulo de elasticidade
longitudinal e ν é o coeficiente de Poisson.
1 → se, j = i
Sendo o valor do delta de Kronecker definido por δ ji = 
, a equação
0 → se, j ≠ i
3.8 pode ser escrita da seguinte forma:
(3.12)
σ ji = λ .ε kk δ ji + 2 µε ji
A equação 3.12 fornece a relação entre tensão e deformação do material na
condição de um corpo finito de material isotrópico, homogêneo e linear. Na forma matricial,
tem-se:
ν
1 − ν
σ x 
 ν
1 −ν
σ 

 y
 ν
ν
σ z 

E
0
. 0
 =
τ
ν
ν
(
1
+
).(
1
−
2
)

 xy 
 0
0
τ 
xz

 

τ yz 
0
 0
ν
ν
0
0
0
0
1 −ν
0
0
0
1 − 2ν
2
0
0
1 − 2ν
2
0
0
0
0
0
0

 ε x 
 ε 
0  y 
 ε 
0  . z 
 γ xy 
0  γ 
  xz 
1 − 2ν  γ yz 
 
2 
(3.13)
As relações entre deformação e deslocamento, e também, tensão e deformação são
empregadas em equações diferenciais, denominadas Equações de Navier, as quais estão
apresentadas na subseção seguinte.
3.2.5. Equações de Navier e Vetor de Galerkin
Na análise estrutural, um dos principais objetivos compreende a predição de
comportamento dos materiais quando submetidos a esforços específicos. Isto implica na
determinação das tensões internas geradas, em resposta às condições de contorno impostas e o
campo de deslocamentos induzido por esta distribuição de tensões. Para relacionar estas
tensões e deslocamentos em condições iniciais de esforços (carregamentos e pontos de
fixação), utilizam-se as chamadas equações de Navier. Estas equações têm como origem as
45
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
equações 3.1-a, 3.1-b e 3.1-c, levando-se em consideração as relações entre deformação e
deslocamento (equação 3.7), substituídas nas relações tensão-deformação (equação 3.12),
obtendo-se as seguintes expressões, para o caso tridimensional:
∂ 2u x
∂x 2
∂ 2u y
∂x 2
+
+
∂ 2u x
∂y 2
∂ 2u y
∂y 2
+
+
1
+
1 − 2ν
 ∂ 2u
∂ 2 u y ∂ 2 u z  − ρg x
x

=
+
+
 ∂x 2

x
y
x
z
G
∂
∂
∂
∂


(3.14-a)
1
+
1 − 2ν
 ∂ 2 u x ∂ 2u y ∂ 2u  − ρg y
z 

+
+
=
 ∂y∂x ∂y 2

∂
y
∂
z
G


(3.14-b)
 ∂ 2u x ∂ 2u y ∂ 2 u
z

+
+
 ∂z∂x ∂z∂y ∂z 2

(3.14-c)
∂ 2u x
∂z 2
∂ 2u y
∂z 2
∂ 2u z ∂ 2u z ∂ 2u z
1
+
+ 2 +
2
2
1 − 2ν
∂x
∂y
∂z
 − ρg
z
=

G

Ou ainda, de forma generalizada:
1
 1 
u i , jj + 
u j , ji + bi = 0
G
 1 − 2ν 
(3.15)
As equações diferenciais de Navier (equações 3.14-a, 3.14-b e 3.14-c) podem ser
transformadas em equações diferenciais biharmônicas, utilizando um vetor de derivadas de
segunda ordem, chamado de vetor de Galerkin (Gx, Gy e Gz). Cada uma das três equações
diferenciais parciais de segunda ordem apresentadas (equações 3.14-a, 3.14-b e 3.14-c) estão
acopladas, o que significa que só podem ser resolvidas tendo-se os três valores de
deslocamento, não sendo possível obter uma solução analítica. O desacoplamento das
equações de Navier, utilizando o vetor de Galerkin, é obtido a partir da substituição das
componentes do deslocamento por funções previamente especificadas. Neste caso, estas
funções compreendem a segunda derivada de um vetor específico (vetor de Galerkin)
conforme mostram as equações seguintes:
ux =
∂ 2Gx
∂x 2
+
∂ 2Gx
∂y 2
+
∂ 2Gx
∂z 2
1
−
1 − 2ν
 ∂ 2G
∂ 2G y ∂ 2G z
x

+
+
 ∂x 2
∂x∂y ∂x∂z





(3.16-a)
46
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
uy =
uz =
∂ 2G y
∂x 2
∂ 2G z
∂x 2
+
+
∂ 2G y
∂y 2
∂ 2Gz
∂y 2
+
+
∂ 2G y
∂z 2
∂ 2Gz
∂z 2
1
1 − 2ν
 ∂ 2G
∂ 2G y ∂ 2Gz
x

+
+
2
 ∂y∂x
∂y∂z
∂
y





(3.16-b)
1
−
1 − 2ν
 ∂ 2G
∂ 2G y ∂ 2Gz
x

+
+
 ∂z∂x
∂z∂y
∂z 2





(3.16-c)
−
As equações de equilíbrio (equações 3.16-a, 3.16-b e 3.16-c) representam as
mudanças nas variáveis dependentes, em que a solução compreende o vetor de Galerkin. A
partir da substituição de mudança de variável, proposta nas equações 3.16-a, 3.16-b e 3.16-c,
tem-se um novo sistema de equações parciais de quarta ordem, com variáveis desacopladas,
de tal forma que se torna possível a obtenção do vetor de Galerkin como solução.
As equações de Navier (equações 3.14-a, 3.14-b e 3.14-c) presumem a existência
de condições de contorno para cada direção do deslocamento (ux, uy e uz) em cada coordenada
espacial (duas em x, duas em y e duas em z). Ao se usarem as forças de volume, a solução da
equação de Navier (equação 3.15) passa a ser representada pela solução fundamental de
Kelvin.
3.2.6. A solução fundamental de Kelvin
A solução fundamental de Kelvin fornece respostas de tensão e deslocamento de
um ponto genérico em um domínio infinito ( Ω * ), chamado domínio fundamental, devido à
aplicação de uma carga unitária (p) em outro ponto desse domínio, chamado de ponto campo
(q). A figura 3.5 representa esta condição de contorno.
Figura 3.5 – Domínio físico tridimensional (Chaves, 2003).
47
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
Considera-se como r(p,q) a distância entre o ponto de aplicação da carga e o ponto
campo. As derivadas relativas às coordenadas dos pontos p e q são representadas por:
r, pi =
p − qi
∂r
= i
∂xi ( p )
r
(3.17-a)
r,qi =
q − pi
∂r
= i
∂xi ( p )
r
(3.17-b)
∂r
∂r
=−
∂xi ( p )
∂xi ( q )
(3.17-c)
onde pi e qi são coordenadas de p e q na direção i.
A solução tridimensional clássica de uma carga pontual em um meio infinito é
conhecida como solução de Kelvin. O problema de Kelvin na elasticidade tridimensional
envolve a contribuição em um meio elástico infinito, homogêneo e isotrópico de um dado
ponto de carregamento. Admite-se que a força unitária é aplicada em um ponto interno do
corpo quando se deseja monitorar os efeitos desta força em outro ponto em qualquer posição
no domínio. A solução deve satisfazer a duas condições físicas, sendo a primeira que todas as
tensões devem ser desconsideradas quando a distância entre p e q tender a infinito. A segunda
condição refere-se à condição que as tensões devem ser singulares no próprio ponto p, ou seja,
tende a infinito assim como a distância entre p e q tende a zero. Esta solução fundamental
tridimensional satisfaz as equações de Navier (equações 3.14-a, 3.14-b e 3.14-c) e atende às
hipóteses de um carregamento singular em um meio infinito. Em sua forma analítica, as
soluções fundamentais para deslocamentos, forças de superfície e forças de volume seguem as
respectivas equações:
u j ( q ) = U ji ( p , q )ei ( p )
(3.18-a)
t j ( q ) = T ji ( p , q )ei ( p )
(3.18-b)
b j = δ ( p , q ) ei ( p )
(3.18-c)
onde ei é o vetor unitário na direção xi e δ ( p , q ) é a função delta de Dirac (Antosik,
48
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
Mikusinski e Sikorski, 1973). Os valores de Uji e Tji são definidos pelas equações abaixo:
U ji ( p, q) =
[
(3 − 4ν )δ ji + r, j r,i
1
16πG (1 − ν )
r ( p, q )
T ji ( p, q) = −
]
(3.19-a)

1  ∂r
1
(1 − 2ν )δ ji + 3r, j r,i − (1 − 2ν )(ni r, j − n j r,i ) 
2 
r  ∂n(q)
 8π (1 −ν )
[
] [
]
(3.19-b)
A solução fundamental de Kelvin deve satisfazer as equações integrais de
contorno, apresentadas na subseção seguinte.
3.2.7. As Equações Integrais de Contorno (EIC)
O método de elementos de contorno consiste em transformar o modelo na forma
diferencial (equações 3.16-a, 3.16-b e 3.16-c) para a forma integral, considerando, neste caso,
todo o contorno da região analisada. Ou seja, o método age somente sobre o contorno. Isto
significa que a equação integral final deve ser uma equação integral sobre o contorno da
região analisada.
A transformação das equações integrais pode ser executada por diversas maneiras,
sendo uma delas por meio do Teorema da Reciprocidade desenvolvido por Betti (1872). Este
teorema tem sido amplamente utilizado numa variedade de aplicações na mecânica dos meios
contínuos. No caso deste trabalho o Teorema da Reciprocidade serviu como auxílio na
obtenção da expressão integral para o cálculo de tensão e deslocamento a partir das
propriedades do material e aplicação de cargas em regiões do componente veicular.
Basicamente, o teorema estabelece que, se um corpo elástico está sujeito a dois estados
diferentes de forças, sendo um estado inicial ( σ *ji , ε *ji ) e outro final ( σ ji , ε ji ), o trabalho
realizado pelas tensões no sistema inicial ( σ *ji ) sobre as deformações específicas do sistema
no estado final ( ε ji ) é igual ao trabalho realizado pelas tensões do estado final ( σ ji ) sobre as
deformações específicas do estado inicial ( ε *ji ). Esta situação está representada por meio da
equação:
*
*
∫ σ ji ε ji dΩ = ∫ σ ji ε ji dΩ
Ω
(3.20)
Ω
49
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
Aplicando-se a relação deformação-deslocamento (equação 3.7) na equação 3.20,
tem-se:
σ *ji
Ω
∫
∂u j
∂xi
dΩ = ∫ σ ji
Ω
∂u *j
∂xi
(3.21)
dΩ
Integrando-se por partes o primeiro membro da equação 3.21 e transformando-se
a integral de domínio em integral de contorno, mediante a Segunda Identidade de Green
(Kane, 1994), obtém-se:
∫
σ *ji u j ni dΓ
−∫
Γ
u j σ *ji ,i dΩ
= ∫ σ ji
Ω
Ω
∂u *j
∂xi
dΩ
(3.22)
Aplicando-se as equações 3.2 e 3.3 no primeiro membro da equação 3.22, tem-se:
*
*
∫ t j u j dΓ + ∫ u j b j dΩ = ∫ σ ji
Γ
Ω
Ω
∂u *j
∂xi
dΩ
(3.23)
Seguindo-se os passos anteriores, de forma análoga, para o segundo membro da
equação 3.23, obtém-se:
*
*
*
*
∫ t j u j dΓ + ∫ b j u j dΩ = ∫ t j u j dΓ + ∫ b j u j dΩ
Γ
Ω
Γ
(3.24)
Ω
Substituindo-se a equação 3.18-c no último termo do primeiro membro da
equação 3.24 e fazendo-se uso das propriedades da função delta de Dirac (Antosik,
Mikusinski e Sikorski, 1973), tem-se:
*
∫ b j u j dΩ = u j e i ( p )
(3.25)
Ω
Substituindo-se as equações 3.18-a, 3.18-b e 3.25 na equação 3.24 e
considerando-se um ponto Q no contorno Γ e que a distância entre p e Q tende a infinito,
obtém-se equação:
50
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
u j ( p) = ∫ U ji ( p, Q).ti (Q)dΓ(Q) − ∫ T ji ( p, Q).ui (Q)dΓ(Q) + ∫ U ji ( p, q).bi (Q)dΩ(q)
Γ
Γ
(3.26)
Ω
Esta equação é conhecida como Identidade de Somigliana para deslocamentos.
Assim como os deslocamentos, as tensões σ
ji
em um ponto p podem ser expressas em
termos de dados do contorno e forças de volume. Derivando-se a expressão da Identidade de
Somigliana para deslocamentos em relação às coordenadas xi , e, substituindo-a na relação
deformação-deslocamento (equação 3.7) e na Lei de Hooke (equação 3.8), obtém-se a
expressão integral para o cálculo de tensão, conforme equação abaixo:
σ ji ( p) = ∫ Dkij ( p, Q).t k (Q)dΓ(Q) − ∫ S kij ( p, Q).u k (Q)dΓ(Q) + ∫ Dkij ( p, q)bk (Q)dΩ(q)
Γ
Γ
(3.27)
Ω
onde Dkij e S kij são tensores utilizados para o caso tridimensional e apresentados em Cruse
(1969).
Esta expressão integral para o cálculo de tensão (equação 3.27) é denominada
Identidade de Somigliana para tensões. Ela representa a equação integral de contorno a ser
utilizada para a solução numérica, pelo método dos elementos de contorno, quando o material
é isotrópico, linear e elástico, conforme apresentado na subseção seguinte.
3.2.8. Resolução numérica das Equações Integrais de Contorno
Elementos de contorno consistem em geometrias descritas por funções
polinomiais sobre as quais as integrais de contorno são calculadas. Segundo Chaves (2003),
para o tratamento numérico das EIC (equações 3.26 e 3.27) deve-se discretizar o contorno Γ
do sólido em elementos de superfície (elementos de contorno), gerando-se uma malha com
certa quantidade de nós (pontos do contorno) onde os valores de deslocamentos e forças de
superfície podem ser conhecidos ou não.
A utilização de elementos de contorno implica no cálculo de um conjunto de
integrais de contorno para cada um deles. Para contemplar o cálculo do sólido completo, e não
cada elemento isoladamente, deve-se somar as contribuições de cada conjunto de integrais por
meio de um sistema de equações na forma matricial que engloba todos os elementos e as
condições de contorno. O sistema linear, para um problema genérico tridimensional,
considerando como exemplo a solução para deslocamentos, teria a seguinte configuração:
51
201
C. 3 – Revisão Bibliogr
Bibliográfica
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
*
*
 u11
u12
u1 
 *
 
*
u2  = ∫ u21 u22
u  Γ u * u *
 3
 31 32
*
*
* 
*
*
* 
 t11
 u11
u13
t12
t13
u12
t1 
u1 








*
*
*
*
*
*
u23
 t 2 dΓ − ∫ t 21 t 22 t 23  u 2 dΓ + ∫ u 21 u22
Γ *
Ω *
*
*  
*
*  
u33
 t3 
t31 t32 t33  u3 
u31 u32
* 
u13
b1 
*  
u23  b2 dΩ (3.28)
*  
u33
 b3 
Os elementos de contorno usam, geralmente, forma triangular ou quadrilateral,
podendo as funções interpoladoras ser constantes, lineares, quadráticas ou de ordem superior.
Se as funções de forma e de interpolação tiverem a mesma ordem para valores nodais, os
elementos são considerados isoparamétricos.
O elemento utilizado neste trabalho tem a forma quadrilateral, de ma
maneira que
cada lado possa se distorcer livremente até que se encontre a melhor forma para adaptar-se
adaptar à
geometria do modelo que está sendo discretizado. Cada elemento apresenta oito pontos de
referência, chamados de nós, sendo dispostos em cada vértice da geometria
geometria quadrilátera e um
no centro de cada aresta. O elemento é contínuo, ou seja, compartilha seus nós com o
elemento vizinho, permitindo que sejam utilizadas funções de forma quadráticas para
interpolar valores através dos nós do elemento.
As funções de forma determinam como as propriedades variam ao longo do
elemento. No caso da geometria proposta, qualquer ponto do elemento pode ser encontrado a
partir da utilização dessas funções de forma e dos valores nodais do elemento. No caso do
elemento quadrilateral
ateral contínuo de oito nós, utilizam-se
utilizam se funções de forma quadráticas, e, tanto
a geometria quanto as demais grandezas físicas, bem como o comportamento das forças de
superfície ou deslocamentos são representadas pelas mesmas funções de forma. A figura 3.6
representa um elemento quadrilateral tridimensional de oitos nós a partir de coordenadas
intrínsecas que são determinadas por meio de um sistema de coordenadas fixado ao elemento.
Figura 3.6 – Elemento quadrilateral tridimensional de oito nós.
As funções de forma que representam o elemento em questão podem ser descritas
52
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
a partir das equações a seguir:
1
h (1) = (1 − a1 )(1 − a 2 )( −a1 − a 2 − 1)
4
1
h ( 2) = (1 + a1 )(1 − a 2 )(a1 − a 2 − 1)
4
1
h (3) = (1 + a1 )(1 + a2 )(a1 + a 2 − 1)
4
1
h ( 4) = (1 − a1 )(1 + a 2 )(−a1 + a 2 − 1)
4
1
2
h (5) = (1 − a1 )(1 − a 2 )
2
1
2
h ( 6) = (1 − a 2 )(1 + a1 )
2
1
h ( 7 ) = (1 − a12 )(1 + a 2 )
2
1
2
h (8) = (1 − a2 )(1 − a1 )
2
(3.29)
onde a1 e a2 são coordenadas intrínsecas e h( i ) são as funções de forma.
Com o uso das funções de forma (equação 3.29), é possível obter a localização de
grandezas (tensões ou deformações) sobre o elemento, bem como sua variação. Nota-se que
as funções de forma são válidas num sistema de coordenadas preso ao elemento e são sempre
as mesmas para representar todos os elementos que possam ser definidos na malha do
contorno. É necessário, também, que os elementos de contorno sejam transformados em
elementos equivalentes num sistema de coordenadas parametrizado. Isto significa mapear as
coordenadas globais dos elementos, definidas segundo o modelo, para coordenadas
paramétricas de um elemento genérico. Isso é feito com o auxilio de uma ferramenta de
transformação chamada método de Jacobi. Este método compreende a transformação de um
sistema de coordenadas em outro sistema de coordenadas equivalente. No caso dessa
aplicação em elementos de contorno, o Jacobiano fará a transformação de uma geometria
quadrilateral irregular em um sistema global, utilizado para descrever todos os elementos do
problema, para uma geometria quadrilateral regular em um sistema parametrizado cujas
coordenadas sempre são dadas entre os valores -1 e 1. Aplica-se este método a cada elemento
de contorno possibilitando que seja calculado o valor numérico do integrando composto pela
solução fundamental, funções de forma e o Jacobiano. Assim, para cada elemento, a equação
integral é avaliada a partir do seu grau de liberdade (GL), podendo ser um deslocamento ou
53
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
uma força de superfície, conforme expresso pelas equações abaixo:
1

(n)
 ∫ t ik h Jda 
−1

( Er )
1

(n)
 ∫ uik h Jda
−1

[ ]
( Er )
= [H ]( Er ) . u i ( n )
[ ]
( Er )
= [G ]( Er ) . t i ( n )
. ui ( n )
( Er )
. ti ( n )
[ ]
( Er )
[ ]
( Er )
(3.30-a)
(3.30-b)
onde J = ∫ ϕ (u , p ) dΓ + ∫ψ (σ , ε , u )dΩ (Burczynki, Kane e Balakrishna, 1997), ϕ (u , p ) é
Γ(a)
Ω( a )
uma função arbitrária contínua de deslocamento e força, ψ (σ , ε , u ) é uma função arbitrária
contínua de tensão, deformação e deslocamento e Er é o erro de interpolação polinomial.
A integração em cada nó de cada elemento tem como resultado uma matriz de
ordem três. Essa matriz expressa a resposta da equação integral de contorno em cada uma das
três direções do problema tridimensional para cada uma das três direções possíveis de
aplicação da carga concentrada da solução fundamental.
Realizando-se a integração em todos os pontos fonte para os oito nós de todos os
elementos, duas matrizes são geradas simultaneamente. Uma delas é o resultado das
integrações para a solução fundamental de deslocamento, chamada matriz G. A outra é
construída a partir das integrações para a solução fundamental da força de superfície,
chamada matriz H. Em forma matricial, a equação integral de contorno pode ser representada
da seguinte forma:
[H].{u} = [G].{t}
(3.31)
Tanto para a matriz G como para a matriz H, cada coluna representa o resultado
de uma integração para um determinado nó de um elemento em uma dada direção. Cada linha
representa o conjunto de resultados de integrações para todos os nós do problema em relação
a um determinado ponto fonte com o carregamento concentrado aplicado em certa direção.
Isso faz com que cada matriz tenha, no mínimo, o número de colunas na mesma quantidade
que o número de GLs do sistema. Como o número de GLs deve ser acompanhado de igual
quantidade de equações independentes para que o sistema tenha solução, é necessário criar
linhas nas matrizes de maneira que se igualem ao número de graus de liberdade, o que se
consegue colocando mais pontos fonte. Este procedimento faz com que a técnica de
54
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
construção das matrizes avalie as integrais não somente para um ponto fonte ao longo de
todos os elementos, mas também com uma quantidade de pontos fonte igual ao número de nós
do problema. Gera-se, então, a integralização de todos os pontos fonte sobre cada nó da malha
de contorno em uma única vez, obtendo-se todas as linhas das matrizes (Noritomi, 2000).
No caso da matriz G, sua construção deve obedecer a uma determinada seqüência
na colocação dos resultados de acordo com a seguinte ordem: ponto fonte e GL nas linhas;
elemento, nó local e GL nas colunas. Justifica-se este procedimento pela multiplicação dos
GLs de força de superfície que não apresentam compatibilidade quando estão sendo avaliados
em um nó, o qual é fronteira e pertence a dois elementos. Assim, para um conjunto de oito nós
de cada elemento existem oito valores de força de superfície diferentes em cada direção, e,
portanto, são criadas vinte e quatro colunas. A tabela 3.1 exemplifica este procedimento para
um melhor entendimento do processo de formação da matriz G.
Como resultado, tem-se uma matriz não quadrada, cujo número de linhas é igual
ao número de GLs. O número de colunas é igual ao produto entre o número de elementos, a
quantidade de nós de cada elemento e a quantidade de GLs de cada nó.
Tabela 3.1 - Matriz G.
O procedimento para a construção da matriz H é mais complexo, uma vez que a
matriz é multiplicada por um vetor cujos componentes são deslocamentos para os quais
existem condições de continuidade que devem ser observadas. O deslocamento relacionado a
um nó para uma dada direção é único, pois o mesmo ponto não pode se mover em uma
mesma direção com dois valores diferentes. Isso significa que, quando um nó está na fronteira
entre dois elementos e pertencente aos dois ao mesmo tempo, seu deslocamento precisa ser
compatível. Reflete-se esta condição na construção da matriz H, pois para cada nó,
independente do elemento em que está localizado, existe apenas um valor. Desta maneira, os
valores obtidos para cada integração precisam ser somados se pertencerem ao mesmo nó,
mesmo que tenham sido calculados em passos e elementos diferentes. Este método utilizado
55
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
para a formação da matriz H faz com que ela seja uma matriz quadrada de ordem igual ao
número de GLs do problema. A tabela 3.2 exemplifica este procedimento para um melhor
entendimento do processo de formação da matriz H.
Tabela 3.2 - Matriz H.
Após a formação das matrizes G e H, o processo de integração das equações
integrais de contorno está concluído. A partir daí, faz-se necessário seguir com substituição
das condições de contorno e gerar um sistema de equações representado pelas matrizes
obtidas. Isto significa determinar quais são os GLs conhecidos, substituí-los por seus
respectivos valores e proceder com os cálculos matriciais no intuito de gerar um vetor com os
valores conhecidos. Nesse processo também são agrupados os GLs desconhecidos, cuja
determinação será a solução do problema. Uma vez agrupados, os GLs desconhecidos
permitem separar as colunas das matrizes G e H pelas quais são multiplicadas. Nesta etapa,
forma-se uma matriz quadrada chamada de matriz dos coeficientes, que são os coeficientes
multiplicados por cada um dos GLs desconhecidos em todas as equações do sistema.
A partir do agrupamento dos GLs desconhecidos e conhecidos, gera-se um
procedimento denominado por permutação de colunas das matrizes G e H (Noritomi, 2000).
Através deste processo, as colunas correspondentes aos GLs conhecidos são separadas das
colunas correspondentes aos GLs desconhecidos, originando duas novas matrizes. Então,
multiplica-se a matriz correspondente aos coeficientes dos GLs conhecidos pelo vetor de seus
respectivos graus de liberdade, gerando um vetor de termos numéricos.
Quando o GL desconhecido é um deslocamento, sua permutação é única, isto
significa que existe apenas uma coluna a ser trocada por um determinado nó naquele
determinado GL. Porém, se o GL desconhecido é uma força de superfície, a permutação pode
não ser única, ou seja, para um mesmo nó, numa mesma direção, podem existir duas ou mais
forças de superfície diferentes atuando, sendo uma em relação a cada elemento que
compartilha o nó. Desta maneira, pode existir mais que uma coluna em G para um mesmo GL
56
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
de força de superfície desconhecido. Como solução, adota-se a soma algébrica entre as
colunas, ou seja, a contribuição de força de superfície de cada elemento é representada pela
soma vetorial entre as colunas de um mesmo GL. Ao aplicar as condições de contorno e
agrupar os GLs conhecidos separadamente dos desconhecidos, o resultado é a construção de
um sistema de equações na forma matricial [A].{x} = {b} (Figueiredo, 2008).
A partir da solução deste sistema matricial, determinam-se então as chamadas
respostas primárias que representam os graus de liberdade que eram desconhecidos antes da
solução do sistema. Com isto, são obtidos todos os valores de força de superfície e
deslocamento para todos os GLs do problema. No entanto, na maioria das vezes, somente
estes valores não são suficientes e são necessários resultados também na forma de tensões
nodais ou deformações através de respostas secundárias. As respostas secundárias não fazem
parte da solução direta do problema, mas são produtos de manipulação das soluções
principais. Deste modo, para que seja possível obter qualquer resposta secundária é
necessário, primeiramente, obter uma resposta básica, ou seja, calcular o tensor de tensões em
cada um dos nós do problema, conforme apresentado na subseção seguinte.
3.2.9. O cálculo dos tensores nodais
Utilizam-se resultados primários de força de superfície e deslocamento nodais
como informações iniciais para gerar um tensor de tensões nodal completo. Para isto, faz-se
necessário a definição de um sistema de coordenadas local para cada nó e que tenha um de
seus eixos normal e outro tangencial à superfície do elemento no nó.
Para a análise do problema em um nó, deve-se estabelecer um sistema de
coordenadas local X i com a origem sobre o nó estudado e direção X1 tangente à superfície
do elemento de contorno, sendo crescente no mesmo sentido da coordenada intrínseca a1 .
Define-se a direção de X 3 pela normal à superfície do elemento de contorno e para fora do
domínio. Por fim, tem-se a direção X 2 que deve ser perpendicular a X1 e X 3 , conforme
ilustrado na figura 3.7.
57
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
Figura 3.7 – Sistema de coordenadas local.
Este sistema de coordenadas faz com que o tensor de tensões se relacione
diretamente com as forças de superfícies nodais, desde que as mesmas sejam transformadas
para o sistema de coordenadas local. A partir dessa transformação, as forças de superfície
nodais passam a atuar na superfície do tensor definido para o sistema de coordenadas local.
Isto significa que os componentes de cisalhamento normal, na superfície em que estão
localizadas as forças de superfície nodais transformadas, já estão determinados.
Considerando-se novamente a relação deformação-deslocamento (equação 3.7) e a
Lei de Hooke (equação 3.8), pode-se representar as equações para cada tensor de tensões da
seguinte maneira (Chaves, 2003):
νσ 33 + 2G (ε 11 + νε 22 )
1 −ν
νσ + 2G (ε 22 + νε 11 )
= 33
1 −ν
σ 11 =
σ 22
σ 33 = t 3
σ 12 = 2Gε 12
σ 13 = t1
σ 23 = t 2
(3.32)
Deve-se transformar as tensões locais para o sistema de coordenadas globais
através de uma matriz de rotação [R], tomando-se como referência a simbologia apresentada
na figura 3.8.
58
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
Figura 3.8 – Rotação dos eixos cartesianos (Chaves, 2003).
A matriz [R] é constituída pela transformação das coordenadas dos eixos
cartesianos rotacionados, conforme abaixo:
a x
R = a y
 a z
bx
by
bz
cx 
c y 
c z 
(3.33)
Para o sistema de coordenadas globais, utiliza-se a transposta da matriz [R],
conforme equação abaixo:
σ = Rσ R T
(3.34)
Esta equação transforma a geometria do sistema de coordenadas local para global.
Uma vez resolvida, a equação 3.34 determina os componentes do tensor de tensões do sistema
local para o sistema global, concluindo o procedimento de cálculo para um nó do problema.
Adota-se o mesmo procedimento para os demais nós de forma a existir um tensor de tensões
de ordem três para cada nó do problema.
3.3. A implementação computacional da metodologia proposta
O desenvolvimento do algoritmo para aplicação em componentes veiculares foi
inspirado em aplicações similares de análise estrutural, dentre elas, cita-se o trabalho
desenvolvido por Noritomi (2000). No referido trabalho, o autor desenvolveu um código de
programa denominado E-Con3D para a análise tridimensional de tensões em estrutura óssea
59
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
para aplicação em bioengenharia. A implementação computacional da metodologia proposta
compreendeu as seguintes etapas:
a) Modelagem dos componentes em três dimensões. Nesta etapa, utilizou-se o desenho
mecânico auxiliado por computador por meio da modelagem do componente em três
dimensões. Para isto, optou-se pelo uso de aplicativos computacionais específicos, como o
CATIA®.
b) Criação da malha e análises numéricas através do método de elementos finitos (MEF).
Nesta etapa, a malha do componente foi gerada por meio do pacote computacional ANSYS®.
Estabeleceram-se a localização, direção e valores das cargas aplicadas nos componentes em
teste, gerando arquivos de dados que contêm as coordenadas dos nós e a matriz de
conectividade entre os nós e os elementos do modelo geométrico tridimensional.
c) Simulação usando o MEC. Nesta etapa, realizou-se a simulação da aplicação de
carregamentos. Valores de tensão foram coletados via Matlab®, conforme fluxograma
apresentado na Figura 3.9, no intuito de identificar pontos críticos na geometria do
componente veicular e comparar os resultados encontrados em testes experimentais e por
meio do MEF.
d) Previsão de vida útil sob fadiga. Nesta etapa, empregou-se o pacote computacional
FDYNAM®, desenvolvido e usado por uma empresa do ramo automotivo para a previsão de
vida útil sob fadiga de componentes e estruturas e obtenção dos valores de danos por meio de
um número de ciclos pré-estabelecidos. Para maiores detalhes de todos os pacotes
computacionais utilizados, vide seção Apêndice.
Os arquivos de dados de entrada do problema devem ser extraídos da base de
dados do pacote computacional ANSYS®, por meio de uma função programada em
linguagem própria desse pacote (comandos apresentados no Apêndice). Basicamente, a
estrutura de dados é composta por cinco arquivos texto, que devem conter as coordenadas de
todos os nós do problema no sistema global, a matriz de conectividade entre elementos e nós,
as condições de contorno de deslocamento e os elementos aos quais se aplicam, as condições
de contorno de carregamento e os elementos aos quais se aplicam, e as propriedades do
material, juntamente com a máxima dimensão do problema e o número de pontos de Gauss
para a integração numérica. O número de pontos de Gauss é utilizado por um método que tem
se mostrado eficiente para problemas de equações integrais de contorno, denominado de
quadratura gaussiana que é um método clássico de integração numérica. Através deste
método, a integral é avaliada em pontos pré-determinados, não igualmente espaçados (ao
contrário dos métodos baseados nas fórmulas de Newton-Cotes), e para os quais são
60
201
C. 3 – Revisão Bibliogr
Bibliográfica
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
calculados pesos denominados de pesos da quadratura gaussiana. Os pesos da quadratura
assim como os pontos de integração podem ser obtidos com base nas fórmulas de Gauss
GaussLegendre (Chapra e Canale, 1998). Estas fórmulas são capazes
capazes de fornecer resultados exatos
de integração de polinômios até o grau (2n-1)
(2
sendo n o número de pontos de integração
integração.
O programa principal do Matlab® recebe os dados em formato padrão de texto e
os converte em vetores e matrizes para dar prosseguimento
prosseguimento à resolução numérica do modelo.
A Figura 3.9 apresenta um fluxograma com o procedimento padrão para a identificação das
funções desenvolvidas durante a execução do programa, bem como as fases anteriores, até a
fase de pós-processamento
processamento dos dados para a visualização
visualização das tensões críticas provocadas pelo
carregamento aplicado.
Figura 3.9 – Procedimento computacional proposto.
3.3.1. Geração das matrizes H e G
O processo de formação das matrizes H e G depende das integrais de contorno e
da colocação
ação dos resultados dessas operações em posições adequadas das matrizes globais.
Tanto a matriz H quanto a matriz G são construídas levando-se
se em consideração a disposição
61
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
geométrica dos nós do problema, ou seja, o posicionamento e a conectividade de cada um
deles. Uma vez formadas, as matrizes H e G passam a representar o comportamento genérico
da geometria do problema, que será particularizado de acordo com as condições de contorno
aplicadas.
Para a geração das matrizes H e G, utilizou-se uma técnica denominada RISP
(Reusable Intrinsic Sample Point), desenvolvida por Kane (1994), a qual forma matrizes por
colunas, onde um elemento é fixo e os pontos fontes são percorridos. Segundo Lourenço
(2000), esta técnica torna-se atrativa quando comparada com a técnica padrão, uma vez que
não é necessário recalcular o valor do Jacobiano, dos pontos campo e do vetor normal ao
elemento em cada iteração.
Alguns métodos de otimização, tais como os métodos de otimização de forma e
otimização paramétrica, podem ser implementados para viabilizar as análises numéricas
através do MEC. Utilizou-se, nesta tese, o método de otimização para a reutilização das
matrizes H e G. Sem ele, a opção por realizar uma segunda análise para a mesma geometria,
mas utilizando condições de contorno diferentes, levaria mais tempo, devido a
particularidades no procedimento de geração das matrizes H e G. Com o uso deste método de
otimização, utilizam-se as mesmas matrizes geradas para a realização de novas análises.
3.3.2. A escolha do método para análise numérica
Como se trata de uma análise de esforços envolvendo campo de tensões em
componentes veiculares, deve-se aplicar a teoria da elasticidade linear, que trata das relações
entre tensões e deformações no regime elástico do material. As relações matemáticas
existentes descrevem, neste caso, o comportamento dos materiais quando submetidos a
solicitações externas, relacionando os esforços aplicados ao componente com respostas de
tensão ou deslocamentos. A partir dos dados de entrada (carga aplicada, pontos de ancoragem
e fixação do elemento, geometria e propriedades do material), obtêm-se como resultados
(variáveis de saída a serem preditas pelo modelo) os valores do tensor de tensões para cada nó
do problema com base nas relações matemáticas apresentadas neste capítulo.
Com tudo isso, o motivo da escolha do MEC para este tipo de aplicação foi
devido à sua característica de necessitar da discretização da malha apenas no contorno para a
realização das aproximações numéricas. Isto significa que para estudos envolvendo problemas
de origem tridimensional a malha de elementos de contorno assume um caráter de superfície,
ao invés de volume, reduzindo-se o tamanho do problema em uma dimensão e tornando as
análises mais rápidas. Este aspecto deve ser considerado do ponto de vista de complexidade
62
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
na solução uma vez que as matrizes G e H ficam reduzidas.
3.4. Conclusão
Neste capítulo, foram apresentadas e discutidas várias referências sobre os
trabalhos que formalizaram o método de elementos de contorno. Porém, uma boa parte delas
refere-se ao uso do MEC em aplicações diversas, como na análise de fraturas em corpos-deprova padrão ou em aplicações estruturais em placas retangulares com espessura qualquer.
São poucas as referências sobre a aplicação do MEC na indústria automotiva, e, quando
encontradas, referem-se a aplicações na área de acústica e vibração, confirmando que o seu
uso para a previsão de falhas em componentes automotivos ainda pode ser considerado
incipiente. Esta constatação, juntamente com o potencial comprovado deste método, sustentou
o trabalho desenvolvido, no âmbito tecnológico industrial, que contemplou também o
desenvolvimento de um novo procedimento para a simulação de concentração de tensões em
componentes automotivos, comprovando-se inclusive a eficácia desta estratégia para o apoio
à tomada de decisões na etapa de desenvolvimento de produto da indústria automotiva. A
metodologia desenvolvida compreende o arcabouço computacional proposto (conforme
Figura 3.9) e a sua eficiência foi validada, conforme será exposto nos capítulos seguintes,
através de testes experimentais consolidados para a previsão de vida útil sob fadiga de
O uso do MEF para este tipo de análise já é bastante difundido na indústria
automotiva, como apresentado no Capítulo 4. O desenvolvimento de um novo procedimento,
baseada nos princípios que vêm sendo empregados para o MEF, porém, fazendo uso de um
método mais simples, que dispensa estações de trabalho dedicadas e mão-de-obra
especializada, como o MEC, tem grande valor tecnológico e acadêmico. O Capítulo 5 faz uso
desta metodologia aplicada a um suporte de pára-lamas e o Capítulo 6 apresenta resultados do
MEC voltados para o mesmo componente, simulado pelo MEF, como forma de comparar os
recursos utilizados pelos dois métodos a partir de uma metodologia similar.
63
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
3.5. Nomenclatura
3.5.1. Símbolos
gx, gy e gz: componentes do vetor aceleração da gravidade nas direções x, y e z;
nj : componentes da normal ao plano;
t j : forças de superfície;
b j : forças de volume;
u, v, w: componentes de deslocamento;
u: deslocamento de um ponto qualquer;
CijkI: tensor de quarta ordem formado por coeficientes que contém constantes elásticas do
material;
G: Módulo de elasticidade transversal;
E: Módulo de elasticidade longitudinal;
p: ponto de aplicação da carga;
q: ponto campo;
r(p,q): distância entre o ponto de aplicação da carga e o ponto campo;
ei : vetor unitário na direção xi ;
Dkij , S kij : tensores utilizados para o caso tridimensional;
a1, a2 : coordenadas intrínsecas;
h (i ) : funções de forma;
Gx , Gy , Gz: vetor de Galerkin;
Er: erro de interpolação polinomial;
[R]: matriz de transformação das coordenadas dos eixos cartesianos rotacionados;
3.5.2. Letras gregas
σ xx , σ yy , σ zz : tensões normais;
τ xy , τ yx , τ xz , τ zx , τ yz , τ zy : tensões tangenciais ou de cisalhamento;
∆x, ∆y, ∆z: variação nas dimensões de um elemento;
64
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
ρ: massa específica do sólido;
σ ji : componentes de tensão na forma indicial generalizada;
εx, εy, εz: deformações específicas nas direções x, y e z;
γ xy , γ xz , γ yz : distorções angulares;
δ : delta de Kronecker;
ν : coeficiente de Poisson;
µ , λ : constantes de Lamé;
Ω , Γ : domínio e contorno, respectivamente;
δ ( p, q ) : função delta de Dirac;
ϕ (u , p ) : função arbitrária contínua de deslocamento e força;
ψ (σ , ε , u ) : função arbitrária contínua de tensão, deformação e deslocamento.
65
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70
C. 4 – Análise de falha via MEF
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
CAPÍTULO 4
Análise de falha e de desenho de um pára-choque dianteiro utilizando o
método de elementos finitos, testes de bancada e durabilidade
O objetivo deste capítulo é apresentar, na forma de um artigo científico, uma
análise de falha, baseada no método de elementos finitos (MEF), para a previsão de vida útil
sob fadiga de um pára-choque metálico dianteiro de um veículo utilitário, onde se verifica a
potencialidade do MEF como ferramenta de apoio à modificação de produto ainda na fase
conceitual do projeto.
Embora a metodologia proposta neste trabalho tenha como foco o uso do método
de elementos de contorno (MEC), o MEF é um método consolidado em várias áreas e,
principalmente, na previsão de falhas em componentes automotivos. Por este motivo, uma
breve revisão sobre o MEF é apresentada neste capítulo, juntamente com resultados das
análises numéricas e dos testes experimentais, com aplicação direta na indústria automotiva.
Os resultados servirão como base para discussões apresentadas no capítulo 6 que está
relacionado com a proposta do uso do MEC como ferramenta de auxilio na previsão de falhas
por fadiga para o mesmo componente analisado neste capítulo, ou seja, um pára-choque
metálico dianteiro de um veículo utilitário.
O artigo foi aceito com correções em 31 de Maio de 2011 para publicação no
periódico International Journal of Vehicle Design. Em 06 de Junho de 2011, a versão final do
artigo, apresentada em seguida, foi submetida com as devidas alterações sugeridas pelos
revisores.
Resumo
Este artigo apresenta um estudo de caso, que compreende a aplicação do método
dos elementos finitos (MEF) em um pára-choque dianteiro, a fim de prever possíveis falhas
por fadiga. As estimativas de distribuição de tensões e danos acumulados foram obtidas
usando o MEF juntamente com resultados de testes de bancada. Também foram realizados
testes de durabilidade veicular e alterações geométricas foram propostas no projeto do
71
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componente analisado com base nos resultados das simulações obtidas a partir de MEF.
Obteve-se coerência na comparação entre os resultados dos testes experimentais e as
simulações do MEF. O estudo de caso adotado demonstra potencial redução de tempo e
custos durante a fase de desenvolvimento de produto na indústria automotiva. O MEF
também pode ser usado como suporte na tomada de decisões durante a fase de concepção do
produto.
Palavras-chave
Danos por fadiga; pára-choque dianteiro; método de elementos finitos; testes de
bancada; durabilidade veicular.
Conclusões
Neste capítulo, uma aplicação do MEF na indústria automotiva foi apresentada.
Resultados dos testes de bancada e durabilidade confirmaram melhoraria significativa da
geometria proposta em relação ao desenho atual de um pára-choque metálico, prevista pelo
MEF. Esta coerência nos resultados confirma que a modelagem numérica deve ser levada em
consideração sempre que alterações no componente forem propostas durante a fase de
desenvolvimento de produto na indústria automotiva. Isto prova que o MEF é uma poderosa
ferramenta de apoio à tomada de decisão sobre as mudanças possíveis no estilo de um
componente dentro da indústria automotiva.
Resultados obtidos por meio do MEF podem orientar projetistas e engenheiros de
produto na obtenção de melhor desempenho de seus componentes em termos de requisitos de
durabilidade. Mais especificamente, o MEF ajuda na prevenção da localização em que uma
trinca pode ocorrer e também pode ser usado como suporte para a tomada de decisões durante
o andamento do projeto, reduzindo o tempo e os custos durante a fase de lançamento do
produto em desenvolvimento.
72
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CHAPTER 4
Failure analysis and design of a front bumper using finite element method
along with durability and rig tests
The purpose of this chapter is to present, in a scientific paper standard, a failure
analysis based on finite element method (FEM) for predicting fatigue life in a metallic front
bumper of a light truck vehicle, where there is the potentiality of the FEM as a tool to support
product modifications in the conceptual phase of the project.
Although the methodology proposed in this work has focused on the use of
boundary element method (BEM), the FEM is a consolidated method in many areas mainly in
predicting failure in automotive components. For this reason, a brief review of the FEM is
presented in this chapter, along with results of numerical analysis and experimental tests, with
direct application in the automotive industry. The results provide support for discussions
presented in the Chapter 6 which is related to the proposal of using BEM as a tool for fatigue
failure prediction of the same component discussed in this chapter, namely, a metallic front
bumper of a light truck vehicle.
The paper was accepted with corrections on May 31, 2011 for publication in the
International Journal of Vehicle Design. On June 6, 2011, the final version was submitted
with changes suggested by the reviewers, according to the following standard.
Abstract
This work presents a case study that comprises the application of the finite
element method (FEM) to the design of a front bumper in order to predict possible failures
caused by fatigue. Stress distribution and damage estimates were obtained by using FEM
together with rig tests results. Vehicle durability tests were also performed and geometric
changes were proposed in the design of the component analyzed based on the simulation
results obtained from FEM. A good agreement between experimental data and FEM
predictions was found. The case study and results demonstrate that time and cost can be
73
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
reduced in the course of the product development phase in the automotive industry. FEM also
can be used to support decision-making during the design phase of the product.
Keywords
Fatigue damage; front bumper; finite element method; rig tests; vehicle durability.
74
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
4.1. Introduction
The heavy use of steel body components with complex geometry is a feature of
the construction of light truck vehicles in the automotive industry. These help to keep the
design competitive, however, they can contribute to fatigue life reduction when the
components are submitted to cycle loads.
In automotive engineering there is a tendency to develop products in the shortest
possible time, building and testing prototypes with an emphasis on analytical durability
assessment methods. Furthermore, the current trends in the automotive industry are the use of
virtual modeling in order to reduce experimental tests as much as possible (Veloso et al.,
2009).
Many papers have been published about failure prediction for automotive
components using statistical data (Romlay, Ouyang and Nizam, 2011). An alternative is the
use of finite element method (FEM) in the study of body and chassis failures (Reboh et al.,
2008; Palma et al., 2009). Studies using a combination of FEM and other numerical methods
such as Boundary Element Analysis have been performed in the automotive industry not only
for failure analysis but also for acoustic applications (Citarella et al., 2007; Chi et al., 2010).
Recently, authors have obtained good agreement between experimental data and FEM results
(He et al., 2010; Petracconi et al., 2010; Wang and Zhang, 2010; Han et al., 2010).
Vehicle durability tests are performed during the product development phase in
order to predict the occurrence of possible problems. During these tests the components are
submitted to the worst conditions and the possibility of failure occurrences is high. According
to Wannenburg et al. (2009), the first step in any durability evaluation process must involve
the definition of the loading conditions. The second step must comprise the calculation of the
stress profile caused by the input load.
The durability test simulates the operation of the vehicle in real road conditions in
order to achieve maximum performance of each component in an accelerated manner.
Sometimes, for varying reasons, a component is not available at the right time for the
beginning of the test and the test starts without the part assembled on the vehicle.
Furthermore, there is the possibility of component failure occurrence during the test which
implies product modification requiring time for failure analysis and corrected parts
acquisition. The time available or the financial resources to obtain another vehicle to run the
test again is limited. For this reason, numerical analysis and rig tests can be performed in
order to cover the gap.
75
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
In components subject to fatigue, durability tests are important to predict their
lifespan. Correct instrumentation and inspection during the test is important to guarantee a
robust process for the product validation avoiding time loss and additional costs. Furthermore,
a robust process reduces vehicle maintenance which can improve customer satisfaction.
It is often difficult to keep durability under control because many parameters are
subject to varying influences during the test, such as incorrect geometry, material, process,
etc. and these factors can contribute to component failure during the tests.
Papers generally present the use of FEM and rig test results or FEM and durability
data failure analysis in structural parts such as chassis and powertrain components. This work
presents the methodology for applying the FEM in designing of a steel bumper fascia and
attests the potentiality of this technique to support decision making in the automotive industry
related to the possible changes during the product development phase. Real data from the car
industry has been used in order to provide results that can increase the confidence level and
contribute to the continuity of the product development process without stopping the
manufacturing process. The results obtained using FEM show good agreement with
experimental data proving that the method can guide the design of a component specifically
with respect to their geometric features.
Section 4.2 shows the material and methods used for testing. Section 4.3 provides
some basic background in fatigue and FEM. In section 4.4 the numerical, experimental and
fatigue results are presented. Conclusions are presented in section 4.5.
4.2. Material and methods
The type of steel currently used by the car industry was selected for a bumper
fascia of a light truck with basic dimensions (width, length and height) of 485 x 1685 x 377
mm, respectively. More specifically, this is cold rolled steel SAE J1392 grade 035 with
thickness 1.5 mm, yield strength range from 250 to 350 MPa, tensile strength 350 MPa
minimum and elongation 0.25 minimum. Figure 4.1 shows the bumper fascia geometry used
to generate the mesh and the analyzed zone is circled.
76
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
Figure 4.1 - Isometric view of the bumper fascia geometry.
Mathematical modeling and computer simulation are basic tools for engineers and
researchers dealing with cyclic rig tests. This kind of analysis is crucial due to the limitations
of conventional methods, the geometry complexity and the behavior of three-dimensional
stress fields. There are some commercial pieces of software able to perform this kind of
analysis through structural elements which are based on numerical analysis in order to
simulate the crack rising process. Bishop (1999) states that regardless of the situation to
which a component is subjected for cyclic loading, it can be analyzed through the use of finite
element techniques, generating accurate results even in the design phase.
The development of new numerical methods and algorithms, the improvement of
existing models and the constant evolution of computers can reduce the simulation time
chiefly when entire vehicle modeling is required. In some cases, it is necessary to create a
mesh of the whole vehicle in order to determine the field of stress at a particular zone as
shown in Lee and Han (2009) that simulated stress concentration in a front rail structure.
In this work, stress concentration zones were identified by FEM analysis. The
component was subjected to cycle loading in order to promote interactions between cyclic and
structural analysis. FEM results provided the necessary information to start rig tests such as
the point of load application and the frequency required for the component vibration. FEM
was also used to identify the higher load application without needing to obtain the material
yield strength at the stressed points. The results predicted by the FEM were important to
specify and support a small but important change in the component geometry.
In order to obtain FEM results, various pieces of software were used in a
systematic way (Han et al., 2009; Hou et al., 2009). In the first one, called component
modeling and FEM analysis, IDEAS® (Integrated Design and Engineering Analysis Software)
was used which does 3D component modeling. A good shape and surface interface was
77
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
required in this step to generate the mesh via Hypermesh® which is a high-performance finite
element pre-processor. It provides a highly interactive and visual environment to analyze
product design performance and also develops a robust meshing for any complex geometry
analysis. Additionally, MSC Nastran® was used for load application. It is one of the most
widely used finite element analysis solvers that simulate stress, dynamics and vibration in
complex systems for reliable and accurate results. Finally, Fdynam® (Ford’s in-house
dynamic fatigue software) was used to assess fatigue life. Not only the static effects but also
the dynamic effects of the loading and structure are accurately captured by this software,
providing a proven and consistent analysis platform.
In the second step (rig tests), experimental data (number of cycles supported by
the front bumper until the occurrence of failure) were generated in order to compare with the
durability test results (percentage of the accumulated mileage until the occurrence of failure).
In the last step (durability test), the vehicle durability test was performed for the
current and proposed front bumper geometry in order to validate FEM and rig tests results.
This last step confirmed the positive impact of proposed change in the design of the
component.
4.3. Theory and calculation
4.3.1. A short overview of fatigue
The fatigue life method was first proposed in 1924 by Palmgren (1924), refined
later by Miner (1945) and comprises the use of the Palmgren-Miner rule or linear damage rule
which establishes that the total damage caused by cyclic loading is determined by the sum of
all partial damages, as shown in Equation (4.1):
D= ∑
ni
Ni
(4.1)
where D is the accumulated damage during the interval of cycles with constant load, ni is the
number of cycles in a given stress range and Ni is the number of cycles required to fail under
constant stress.
Results from fatigue tests are generally presented in a curve that shows the stress
values as a function of the number of cycles known as a Wöhler curve. This curve example
78
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
applied to the automotive industry can be found in Mahadevan and Ni (2003) who present the
reliability of stress data from a welding point to the roof of a vehicle.
The Wöhler curves show that the applied stress reduces while the resistance of the
component remains constant. The number of cycles increases meaning in this case that the
failure is generated when this number tends to infinity. This is referred to as the fatigue
strength of the material. The criteria used by Palmgren-Miner’s rule in a situation with
damage accumulation indicates maximum damage when D is equal to one (ni = Ni). However,
the maximum damage is not always equal to one in experimental conditions showing the
limitations of this method. Moreover, Palmgren-Miner’s rule does not consider the existence
of an interaction between damage at most stress levels. Despite its limitations, the PalmgrenMiner rule is still applied in fatigue studies together with finite element simulations, one of
the goals of this work.
4.3.2. Failure tests
A typical test used in the automotive industry comprises the imposition of cycle
loads on the components until failure occurrence with the simultaneous recording of the
number of cycles. The cyclic load is applied to the axle of the vehicle in a 4-Poster road
simulator durability test (Karbassian et al., 2009).
In order to determine the fatigue lifetime of a vehicle component, first it is
necessary to consider a situation where the vehicle is fully loaded. The total load acts
simultaneously in the lateral (y axis), longitudinal (x axis) and vertical (z axis) directions
according to the referential located at the front axle of the vehicle, as shown in Figure 4.2.
Figure 4.2 - Loads acting on the front axle of a vehicle (Foularis et al., 2007).
79
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
The loads act on the vehicle axles and they are transferred to the structure through
the wheels to the suspension acting in the zone where the component is located.
As a result of loads acting on vehicle structures, the mechanical stress acting on
the component should be recorded through experimental tests or FEM analysis generating
data to calculate the damage.
The load to be applied produces a constant stress range whose value is determined
by the difference between the maximum and minimum stress applied to the component.
According to Lee et al. (2004), the fatigue limit is generally associated with the appearance of
cracks and may extend throughout the test resulting in premature failure.
Crack occurrence is common in cycle testing and cracks can arise naturally due to
a non homogeneity in the granular and crystalline structure of metals. Particles of different
chemical composition or granular imperfections in the material can appear during metal
manufacturing processes. The result of this non-uniformity generates an uneven stress
distribution inside the component. The zones where these stresses arise together with the
residual stress normally start up the damage. An approach capable of predicting crack
occurrence has significant importance for the treatment of it.
In this work, the levels of accumulated damage were simulated at points of stress
concentration provided by FEM in order to predict failure during the rig tests also supported
by the results of durability. When the component fails, a new geometry is proposed and the
results are compared providing high levels of confidence to continue with the product
development without issues.
4.3.3. Finite element method
FEM is a numerical technique that looks for approximate solutions of partial
differential equations as well as integral equations. The method is based on finite elements
definition (mesh discretization of a continuous domain inside a set of discrete sub-domains)
that originally arises from the structural analysis of the object or component to be modeled.
The first reference to the application of FEM was the work of Clough (1960) who applied this
method to a specific problem involving stress in airplanes. Initially the method was more
commonly used in the aeronautics industry. Nowadays the method is still used in this area,
however, it has been much enhanced by the advances in computing (Murat and Mehmet,
2009). A complete background to FEM can be found in Zienkiewicz (1970) and its
formulation is presented by Zienkiewicz and Taylor (1989). In the car industry, FEM is used
in the first stages of process design to reduce product development time by providing the
80
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
numerical solution of nonlinear problems associated to stress distribution analysis and fatigue
damage (Firat et al., 2009).
FEM is based on the assumption that the displacement of each element may vary
inside the body analyzed. To do a complete discretization, all loads applied to the structure
must be condensed into a set of equivalent discrete nodal forces. A set of equations is
formulated for the set of discrete nodes in order to describe the dynamic balance between the
internal and external forces applied on each node and also the effect of the node’s stiffness.
One of the ways to predict damage is through Equation (1). With the amount of
load applied, it is possible to simulate the displacement of each node, generating deformations
and stress distribution across the surface.
Recent advancement using FEM to solve bumper design (Marzbanrad, Alijanpour
and Kiasat, 2009) and other body sheet metal parts (Mehmet and Vahdet, 2011) has been used
in the automotive industry to reduce stress concentration in components with complex
geometry.
4.4. Results and discussions
4.4.1. Numerical results
The mesh was generated based on the current design geometry of the component
with 4 node 1st order element. The first natural frequency for this application was obtained
with 43 Hertz under a cyclic load of 80 N with a range of 10%.
In order to achieve the limit load value, a random load was applied to the mesh in
the direction and location shown in Figure 4.3. This was increased until the material yield
strength (minimum 250 MPa) in the zones of stress concentration of the component was
reached.
Figure 4.3 - Partial component meshing and load direction application.
81
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
The number of cycles in which the virtual fail occurred was at 125000 cycles and
the damage predicted by FEM for the current design geometry was 3.24 as shown in Figure
4.4-a. The picture shows the damaged zone clearly. It was caused by a notch added to the
component to facilitate the stamping process.
Figure 4.4-a - FEM results for the current design.
To alleviate the stress concentration effect, the notch was removed from the
geometry causing stress relief in that zone in order to improve the performance of the part
under cyclic loads. Figure 4.4-b shows a maximum damage of 0.4 for the proposed design
using FEM. The Figure 4.5 shows the detail of the changes made in the geometry of the
component.
82
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
Figure 4.4-b - FEM results for the proposed design.
Figure 4.5 - Current and proposed design.
The stress concentration point of the current design is slightly above the proposed
design (Figures 4.4-a and 4.4-b). FEM results show a significant reduction in the maximum
damage considering the changes made in the geometry. Based on a comparison between the
new (proposed) and the current design, it can be seen that the fatigue lifetime of the
component under analysis improved its structural performance as a result of the geometry
changes at least 8 (eight) times.
83
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
4.4.2. Rig test results
Cyclic rig tests were performed in order to compare with the FEM results. Two
samples of a metallic bumper fascia stamped according to both shapes tested by FEM analysis
(with and without geometry changes) were submitted to the rig tests.
An electric engine with a weight of 2.6 kg was attached to the samples in order to
provide the component vibration as shown in Figure 4.6.
Figure 4.6 - Electric engine used for component vibration.
The bumper fascia samples were clamped to a device at the same position used in
vehicle assembly. A static load of 80 N was applied to the left side of the component in order
to get the deformation in the zone where the electric engine was attached. Figure 4.7 shows
the electric engine acting on the component in order to achieve the deformation value (6 mm)
obtained from the static load application.
84
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
Figure 4.7 - Vibration device used for rig tests.
A vibration with a frequency of 37.85 Hz was applied to the component for each
of the two samples (with and without geometry changes) until they reached the same value as
the deformation obtained from the static load. The tests were performed until there was a
visible crack. The failure zones (considering the current and proposed geometry) predicted by
the FEM were confirmed by rig tests.
The number of cycles obtained for the current and proposed design was 124400
and 203000, respectively. This means that the results from the rig tests with the proposed
geometry change has improved its fatigue life by 38.7%. Figure 4.8 shows the cracks
observed at the end of the test for the current and proposed design.
Figure 4.8 - Cracks identified during rig tests for proposed and current design.
85
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
4.4.3. Fatigue results
The durability test was performed to validate the FEM and the rig test results. The
vehicle was assembled with representative parts for validation including the front bumper
fascia stamped without the proposed changes from the FEM and the rig test. The current
design level of the part was checked focusing on the same area where the failure occurred
according to the rig tests and FEM analysis. Cracks were identified on both sides of the
component, the longest crack on the right side as illustrated in Figure 4.9. Based on the
vehicle mileage traveled, the failure occurred at 144000 km.
Figure 4.9 - Crack identified during durability test for the current design.
A new front bumper fascia was stamped with the proposed geometry changes
according to the FEM and rig test results. A new durability test was carried out and the
proposed sample was checked focusing on the area where the failure occurred in the previous
durability test. The new durability test finished without any failure occurrence, considering
the total test mileage (240000 km). It implies that the proposed changes to the surface to fix
the crack issue improved its durability by at least 40%. Figure 4.10 presents the Wöhler
curves for experimental and numerical data providing a comparison of the results obtained
from the durability and FEM model.
86
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
Figure 4.10 - Wöhler curves for experimental and numerical data.
4.5. Conclusions
This paper presents the methodology and results from the application of FEM to
the design of a steel bumper fascia, which then underwent rig and durability tests. As regards
the number of cycles, the disagreement between the rig test and FEM results found in this
work could be explained by the residual stress or material imperfections caused by the
manufacturing process of the part. However, both results show improvement regarding the
geometry changes proposed, confirmed by durability test results. Numerical modeling and
correlation results with data from durability tests can help designers and engineers to predict
failure during product development phases. In the presented case study, FEM was a powerful
tool to support decision making about possible design changes. Accurate results can be
obtained by using FEM to guide designers to achieve better component performance in terms
of durability requirements. More specifically, predicting the instant when the crack occurs can
also be used as support for decision-making about the project progress, reducing time and cost
during the product development launch phase.
87
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90
C. 5 – Análise de tensões via MEC
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
CAPÍTULO 5
Análise de tensões via MEC como auxílio para a predição de vida
útil sob fadiga na indústria automotiva
No contexto do objetivo e foco desta tese, este capítulo apresenta, em forma de
artigo, uma primeira aplicação que demonstra o potencial de uso do método de elementos de
contorno (MEC) como ferramenta de auxílio para a previsão de fraturas em componentes
veiculares. O estudo de caso compreendeu a análise de fratura em um suporte de pára-lamas
onde se verificou, entre outros, a coerência entre os resultados experimentais e preditos pelo
MEC. Apesar de não possuir elementos regulares, o que caracterizaria uma geometria
complexa no contexto deste trabalho, o suporte de pára-lamas analisado possui dimensões
reduzidas em relação a outros componentes veiculares, possibilitando realizar as simulações
no componente completo, sem causar problemas de memória no computador.
Por se tratar de um artigo inserido na tese, apresentou-se a teoria do MEC de
maneira reduzida, focando na apresentação dos resultados obtidos nas simulações do MEC e
na sua aplicação para a previsão de vida útil sob fadiga, auxiliada por extensômetros. É
apresentada a predição do campo de tensões críticas e estes resultados são validados com
testes experimentais de durabilidade veicular. Os resultados encontrados serviram como base
para uma segunda aplicação do MEC em componentes veiculares que está apresentada no
Capítulo 6.
Resumo
A previsão de fraturas em componentes automotivos, por meio da aplicação de
cargas dinâmicas, é utilizada para estimar a vida útil sob fadiga dos componentes. Métodos
numéricos em conjunto com dados experimentais podem fornecer previsões precisas e
também dar suporte para decisões de mudança no desenho de componentes. O método de
elementos de contorno (MEC) é uma técnica numérica consolidada, utilizada na análise de
problemas estruturais em várias aplicações, mas a sua utilização na indústria automotiva não é
difundida para análise de tensões. Este trabalho apresenta um procedimento para estimar a
91
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
vida útil sob fadiga de componentes automotivos sob cargas dinâmicas, considerando o efeito
de alterações geométricas nestes componentes. O MEC foi aplicado juntamente a uma
proposta de ferramenta em simulações para suportar mudanças no projeto de componentes
automotivos e também fornecer uma alternativa simples e eficiente para predizer a
distribuição de tensões nestes componentes. Além disso, a previsão de vida útil sob fadiga,
obtida a partir de sinais de tensão por meio de extensômetros, foi comparada com resultados
de durabilidade veicular, realizados para verificar a funcionalidade do componente, prevendo,
inclusive, o local do aparecimento de fraturas.
Palavras-chave
Método de elementos de contorno; componentes automotivos; vida útil sob
fadiga.
Conclusões
Neste capítulo, adotou-se um procedimento para a predição da localização de
fraturas via MEC com potencial aplicação na análise estrutural de componentes automotivos.
Um suporte de pára-lamas foi tomado como estudo de caso, o qual está diretamente
relacionado com a indústria automotiva. Extensômetros foram posicionados no local indicado
pelas simulações do MEC, e os sinais de tensão coletados, foram utilizados na previsão de
vida útil sob fadiga do componente. Resultados de durabilidade confirmaram o aparecimento
de trincas no local previsto e também as melhorias da proposta de alteração de projeto,
suportados pelo MEC. Estes fatores atestam o uso do MEC como ferramenta de auxilio para
prever a vida de fadiga em componentes automotivos e na detecção de falhas.
A principal contribuição do MEC na análise numérica de componentes
automotivos é a sua simplicidade. O MEC não requer estações de trabalho dedicadas e nem
mão-de-obra especializada para executar as simulações. É mais simples que o método de
elementos finitos, bastante utilizado atualmente na indústria automotiva. Engenheiros de
produto sem treinamento especial em simulações numéricas podem realizar análises em
computadores comuns. Estas análises são, geralmente, realizadas pelo departamento de CAE
(Computer-Aided Engineering), que requerem certa burocracia para a realização das
simulações. Por este motivo, o procedimento proposto reduz tempo, contribuindo para a
redução de custos no desenvolvimento de novos produtos. Por outro lado, vale ressaltar que
92
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
este artigo não tinha a intenção de comparar o desempenho numérico entre o BEM e FEM
considerando que ambos têm características particulares e são métodos consolidados.
No estudo de caso apresentado, o procedimento adotado foi uma poderosa
ferramenta para apoiar a tomada de decisões sobre possíveis alterações de projeto. Os
resultados obtidos puderam orientar engenheiros de produto a obterem melhor desempenho do
componente em termos de durabilidade. Mais especificamente, as previsões de fratura e sua
localização durante o processo de projeto foi usado para reduzir tempo e custo durante a fase
de lançamento do produto em desenvolvimento.
93
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
CHAPTER 5
Stress analysis using BEM as support for fatigue life prediction in the
automotive industry
In the context of the purpose and focus of this thesis, this chapter provides, in a
scientific paper standard, a first application that demonstrates the potential use of the
boundary element method (BEM) as support for fractures prediction in vehicle components.
As a case study, a fracture analysis of a fender bracket was provided. It was verified the
consistency between the experimental results and the results predicted by the BEM. Despite
having no regular elements which would characterize a complex geometry in the context of
this work, the fender bracket analyzed has small dimensions considering other vehicle
components, allowing the complete simulations of the component without lack of memory on
the computer.
Because it is a paper inserted in the thesis, the BEM theory was presented in a
reduced way with focus in the simulation results and its application for predicting fatigue life,
supported by strain gauges. This chapter presents simulation results via BEM in predicting
critical stress zones and compares them with the cracks location found experimentally through
durability test. These results were supported by mathematical theory of BEM, seen in Chapter
3. It was also useful in this thesis for a second application of the BEM in vehicle components
which is presented in the Chapter 6.
Abstract
The prediction of fractures in automotive components through the application of
dynamic loads is used to estimate the fatigue life of these components. Numerical methods
together with experimental data can provide accurate predictions and can also support
changes in the component design. The boundary element method (BEM) is a consolidated
numerical technique used in the analysis of structural problems in several applications but its
use in the automotive industry is not widespread. This work presents a procedure for
estimating the fatigue life of automotive components under dynamic loads while considering
the effect of geometric changes on them. BEM was applied along a proposed tool in
94
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simulations to support design changes of automotive components and also provided a simple
and efficient alternative for predicting stress distribution in these components. Furthermore,
the fatigue life prediction obtained from the strain gauge signals was consistent with the
results provided by the durability tests performed to verify component functionality including
the appearance of fractures.
Keywords
Boundary element method; automotive components; fracture analysis.
95
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
5.1. Introduction
Since the mid-nineteenth century, scientists and engineers have made pioneering
contributions to the understanding of fatigue in materials. The first fatigue investigations were
reported by W. A. S. Albert who performed repeated loading tests on steel chain in 1829.
Fatigue failure in railway axles was the first time that many similar machine parts had been
subjected to millions of cycles at stress levels below the yield point. In 1843 W. J. M.
Rankine recognized the characteristics of fatigue failure and noted the danger of stress
concentrations in machine components. Between 1852 and 1870 August Wöhler set up and
conducted the first systematic fatigue investigation (Ariduru, 2004).
Automotive vehicles such as cars and trains are constantly prone to problems of
fatigue. In the car industry, in particular, applications use the finite element method (FEM) to
predict component fatigue behavior (Palma, Petracconi and Ferreira, 2009; Lee and Han,
2009; He, Wang and Gao, 2010). These authors discuss the use of finite element analysis to
predict the fatigue life and identify the critical points in the component. Currently there is a lot
of research which uses mathematical methods and computational tools to simulate fatigue life
tests in structural components (Martins et al., 2007; Shirani and Harkegard, 2011) and most of
them use the FEM as a support (Warhadpande et al, 2010).
A traditional approach in the automotive industry is to consider the occurrence of
component failure as soon as a crack is found (As et al., 2005). This simplification allows
designers to use linear elastic stress results obtained through dynamic simulations using the
FEM for fatigue life analysis. Numerical simulation was implemented because it provides a
cheap and easy way to perform this analysis as well as to support the decision making
(Samad, Ali and Sidhu, 2011). Samad, Ali and Sidhu (2011) applied FEM to evaluate the
durability in a jounce bumper.
Despite its proven effectiveness in the fracture analysis of standard samples
involving metallic components and other materials (Ribeiro et al., 2009; Leonel et al., 2010;
Hatzigeorgiou and Beskos, 2011; Pasta, 2011), the use of the boundary element method
(BEM) for structural analysis in the automotive industry remains incipient. Works using this
method in the automotive industry usually focus on vibro-acoustic analysis (Kim, Lee and
Lee, 2007; Citarella, Federico and Cicatiello, 2007; Müller, Cotoni and Connelly, 2010) and
do not deal specifically with structural problems involving fatigue life estimation.
This paper focuses on fracture location using the records of stresses to generate a
fatigue life curve for automotive components. The procedure proposed comprises the use of
96
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
BEM supported by experimental data through strain gauge signals. A case study involving
geometry changes in a bracket is presented and discussed. The part was subjected to dynamic
loads (FD, see Figure 5.2) after the identification of the critical areas (regions with stress
above the ultimate strength of the material). Strain gauge rosettes provided partial time series
data of stress evolution which are used for fatigue life estimation. The fatigue life prediction
obtained from the strain gauges signals was compared with durability tests in order to
evaluate the application of BEM in the design of automotive parts.
The sequence of steps comprised the identification of critical areas based on
expert knowledge, and the use of BEM as a simulation method to support the proposal of a
new geometry for the prototype. Experimental stress measurement in the critical areas and the
fatigue curve was obtained. Finally, durability testing was performed in order to compare
experimental results with the fatigue life prediction results.
5.2. Mathematical modeling
5.2.1. BEM contribution to the identification of stress fields
The basic problem to be solved comprises the prediction of stress fields using the
BEM in a component which is subjected to a static load. According to Brebbia, Alarcon and
Dominguez (1978), the traction boundary integral equation is used together with the
displacement boundary integral equation in such a way that it overcomes the need for subregions.
Hooke’s law can be represented in terms of stress and elastic strain tensors,
according to Equation (5.1):
Tij = C ijkl Eij
(5.1)
where Tij is the stress tensor, E ij is the elastic strain tensor and C ijkl is a fourth order tensor
consisting of coefficients which contain the elastic constants of the material. The indices k and
l emerged from the direction of the stress tensor (Cruse, 1969).
Considering an elastic and isotropic material, the tensor C ijkl can be expressed by
the Equation (5.2):
97
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
C ijkl = λδ ij δ kl + µ (δ ik δ jl + δ il δ jk )
(5.2)
where δ is the Kronecker delta, µ and λ are material properties knowing as Lamé
constants.
In this work, once the experts identified possible critical areas in the prototype and
a new geometry was proposed, BEM was applied as a simulation tool to validate it and also to
provide the stress distribution throughout the region of interest. The simulation results were
important to support and guide the experiments by using strain gauge rosettes in order to
obtain stress measurements in the critical areas.
5.2.2. Fatigue life prediction
Fatigue life prediction makes use of the Palmgren-Miner or linear damage rule
which establishes that the total damage caused by cyclical loading is determined by the sum
of all partial damages as shown in Equation (5.3):
D= ∑
ni
Ni
(5.3)
where D is the accumulated damage during the interval of cycles with constant load, ni is the
number of cycles in a given stress range and Ni is the number of cycles required to fail under
constant stress.
Results from fatigue tests are generally presented in a curve that shows the stress
values as a function of the number of cycles to failure, known as Wöhler curve. This curve
describes the mechanical behavior of the material under fatigue. The function governing the
curve is an empirical law proposed by Basquin (1910) as shown in Equation (5.4):
σ a = σ 'f .( 2 N i ) b
(5.4)
where σ a is the stress amplitude, σ 'f is the fatigue strength coefficient and b is the Basquin
exponent.
Morrow (1964) modified Equation (5.4) in order to include the effect of mean
stress, generating the Basquin-Morrow expression as follows:
98
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
σ a = (σ 'f − σ m ).( 2 N i ) b
(5.5)
where σ m is the mean stress.
In designing for durability, the presence of nonzero mean stress can influence the
fatigue behavior of materials due to the presence of tensile or compressive normal mean
stress. In conjunction with the local strain-life approach, many models have been proposed to
quantify the effect of the mean stresses on fatigue behavior. According to Lee et al. (2004),
one of the most commonly used models in the ground vehicle industry was proposed by
Morrow (1968).
The Wöhler curves show points of constant stress while the number of cycles
increases, meaning in this case that the failure is not detected when the number of cycles tends
to infinity. The curve transition region between variable and constant stresses is referred to as
the fatigue limit of the material. The criteria used by Palmgren-Miner’s rule in a situation with
damage accumulation indicates maximum damage when D is equal to one (ni = Ni). However,
the maximum damage is not always equal to one in experimental conditions, a limitation of
this method. Moreover, Palmgren-Miner’s rule does not consider the existence of an
interaction between damage at most stress levels. Despite its limitations, the Palmgren-Miner
rule is still applied in fatigue studies and it can be supported by boundary element simulations
to improve the component fatigue life, one of the goals of this work.
Most automotive components have a variable history of loads in terms of
amplitude and mean stress in real conditions. In this case, the use of a technique known as the
rainflow counting method is recommended. This method began with Matsuishi and Endo
(1968) with the advantage of using the fatigue damage accumulation (Miner’s rule). It is
widely used for the fatigue life assessment in structural components under non-constant
amplitude loading. This method provides a histogram that relates amplitudes and mean values
of stresses with the number of cycles. These results enable the computation of the expected
fatigue life under random loading conditions. The method is based on the waterfall between
peaks and valleys to extract cycles of fatigue from stress or strain signals with variable
amplitude. Figure 5.1 exemplifies the transformation of the multiaxial stress state to the
uniaxial one during a fatigue life assessment supported by the rainflow counting method.
Because of its acceptance, some standards have been established which detail the process for
cycle counting using the rainflow method, e.g. ASTM E 1049-85 (1999).
99
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
An application of linear multiaxial fatigue failure criteria was proposed by
(Nieslony (2009). In the cited paper, the equivalent stress history was subjected to the
rainflow cycle-counting method, which allows determining the amplitudes and meaning
values of counted cycles, their occurrence moment and time of duration. Also, the influence
of the stress mean value was taken into consideration with the Morrow’s model. Figure 1
exemplifies the typical procedures used for fatigue life assessment under random loading for
reduction from multiaxial stress state to the equivalent uniaxial one from a part of time
history, as used in this paper.
Figure 5.1 - Transformation of the multiaxial to the uniaxial stress state (Nieslony, 2009).
In order to validate and implement the procedure for applying the BEM, a fender
bracket with constant thickness of 2.5 mm composed of AISI 1010 steel was used in the case
study. This component has an important structural function in vehicles mainly supporting
fenders. The main chemical, monotonic and fatigue properties of AISI 1010 steel are
presented in Table 5.1.
Table 5.1 - Chemical, monotonic and fatigue properties of AISI 1010 steel (ASM, 1996).
Chemical
composition
C (%): 0.08-0.13
Mn (%): 0.3-0.6
P (%): 0.04 max
S (%): 0.05 max
Elasticity
modulus
Yield
strength
Poisson's
ratio
Ultimate
strength
200 GPa
180 MPa
0.29
325 MPa
σ 'f
b
661 MPa -0.12
100
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________________________________________
Figure 5.2 shows a 2D drawing of the bracket, with the main dimensions (mm),
used to generate the 3D drawing, the mesh for the simulation and also for the production of
the prototypes.
Figure 5.2 - Bracket drawing with the main dimensions.
In order to reduce the stresses in the analyzed zone (circled area in Figure 5.2) a
geometry change was proposed in the original design, based on the procedure supported by
BEM. Initially, critical areas in the original geometry were identified, based on the experience
and knowledge of the designers and engineers (Kellera, Goblina and Farnworthb, 1985; Guida
and Pulcini,
ini, 2002). The two critical areas (right and left side of each geometry), highlighted in
Figure 5.3, were considered for the prototype to be analyzed. In the case studied, the experts
initially suggested that the inclusion of a concavity in the part bending
bending (Figure 5.3) could
improve its structural features. A simulation test using BEM was carried out to support and
validate this suggestion. In this case, a new mesh was generated with modifications only in
the critical areas. The results of the new BEM sim
simulation
ulation proved the stress reduction in the
analyzed zone. This design change was performed to reduce the stress level in the critical
areas below the material’s ultimate strength. Figure 5.3 shows the change proposed for the
original geometry and the critical
cal areas.
Once the critical stress zones in the original geometry were identified (circled area
in Figure 5.3), BEM was used to simulate the stress level over the mesh of the component
101
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
considering simulated clamping load (place where the component is attached to the vehicle,
marked with X in Figure 5.2) and a static load (Fs) also indicated in Figure 5.2.
Figure 5.3 - Original and proposed geometries and critical areas.
The BEM simulation was processed on personal computers using about four
gigabytes of memory. This provides a significant simplification of the process of stress
analysis performed in the production environment even considering that the FEM can be
facilitated by the use of current softwares (CAD/CAM). Dedicated workstations (which
generally use computers with more than twenty gigabytes of virtual memory to process the
analysis) and specialized human resources, as with simulations using FEM, were not
necessary. The time required for this application using FEM would be approximately two
times greater than the time spent using BEM to achieve the same results. This total time also
comprises the documentary procedure to request the analysis, follow up and reports. In
addition, FEM specialists are not always available to perform the analysis when required. As
result, most simulations have to be performed in parallel with other component simulations.
In terms of labor and computational costs, the use of BEM implies savings of over 50% in
each simulation.
The next step in the procedure for applying the BEM comprised the production of
prototypes for the experiments, with the same characteristics considered in simulations,
including material and thickness. Two critical areas (right and left side of the original
geometry), highlighted in Figure 5.3, were considered for the strain gauges location in the
prototypes.
102
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
For the experiments, stress measurements using strain gauge rosettes in the critical
areas were obtained through a running board dynamic loading test (a part of routine testing of
durability), applied to the original design.
Through the experimental tests, a rainflow cycle count from the stress
measurements was obtained using the time history of stresses in the critical zone of the
component. A Wöhler curve and fatigue life prediction was generated. Finally, a durability
test was performed in order to confirm the failure location, predicted by the BEM simulations,
and the fatigue life of the component, predicted by the experimental results.
5.4.1. Simulation results
Following the steps in the procedure for applying the BEM, initially a mesh of the
original geometry was generated, containing 930 nodes and 328 elements. The mesh
discretization is an essential feature of BEM. In this case, it was performed until the PC
processing limit used in the simulations (four gigabytes of memory). A commercial software
(ANSYS®) was used to generate the mesh with eight nodes each element for three
dimensional analyses. Mesh, loads and material information were extracted from the
ANSYS® database as inputs for stress analysis simulation of the component via MATLAB®
code.
In the simulation, clamping loads were imposed on the three points marked with
X in Figure 5.2. Additionally, a static load was applied to the mesh in the direction and
location, also shown in Figure 5.2. This was increased until it exceeded the material’s ultimate
strength in the critical areas, reaching the value of 190 N. Figure 5.4 shows the principal
stresses distribution, predicted by BEM, considering the original geometry.
103
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
Figure 5.4 - Principal stresses results (simulation using BEM for the original geometry).
Figure 5.4 shows the critical stress zones (areas in red), highlighted on the right
and left sides of the part (stress above the material’s ultimate strength, 325 MPa). As result of
the bracket modification (Figure 5.3, proposed geometry), a new mesh was generated
containing 1182 nodes and 408 elements. The same load (190 N) was applied to the
component, also in a vertical direction, between the two holes. Clamping loads were
simulated in the same region, according to Figure 5.2. Figure 5.5 shows the principal stress
distribution, predicted by BEM, considering the proposed geometry.
Figure 5.5 - Principal stress results (simulation using BEM for the proposed geometry).
104
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
Figure 5.5 shows a stress level reduction in the critical zones (areas in red), below
the material’s ultimate strength, for the proposed geometry. The BEM simulation results
found that the principal stress values obtained for the original geometry were more than 400
MPa. For the proposed geometry it was less than 300 MPa. Therefore, these first simulation
results demonstrate that changes in the surface design are necessary for the satisfactory
structural performance of the bracket. The stress distribution predicted by BEM confirmed the
existence of critical areas in the part bending zones.
5.4.2. Experimental results
In this step, dynamic stresses were collected using strain gauge rosettes assembled
in a prototype part (Figure 5.6) with the same original geometry of the bracket. A static case
was used only to simulate where the fracture took place in the component. For this reason no
experimental results are presented for this.
The rosettes were placed in the same region where the critical areas were
identified by BEM results as shown in Figure 5.6.
Figure 5.6 - Strain gauge rosette configuration.
Figure 5.6 shows rosettes A and B positioned on the critical areas of the bracket in
order to obtain stress measurements during the experimental tests. The part was assembled in
the vehicle and 35 seconds after the partial durability test, stress measurements were obtained.
A time series graph, representing the evolution of the stresses, is presented in Figure 5.7.
105
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________________________________________
ime series data of stress evolution from rosettes A and B.
Figure 5.7 - Time
Figure 5.7 shows a non
non-uniform
uniform stress profile with different peaks and valleys.
The cycle count was performed using a rainflow method in order to find the matrix of stresses
in the time domain from
m the strain gauge rosette signal. The histograms are shown in Figure
5.8-a and Figure 5.8-b.
Figure 5.8--a - Rainflow matrix of stresses for rosette A.
106
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________________________________________
Figure 5.8-b - Rainflow matrix of stresses for rosette B.
The histograms represent stress amplitude and mean stress associated to the time
series data of stress evolution as shown in Figure 5.7. Through these figures, the stress signals
are arranged according to the number of cycles in a three dimensional graph in order to
generate a fatigue life curve.
After the rainflow cycle counting, the fatigue stress life based on Morrow’s theory
was performed in order to predict the number of cycles, associated to the fail occurrence due
to the stress signals from both rosettes (A and B). Even though
though rosette B presented points with
a higher degree of scatter than rosette A,, both graphs show that the number of cycles in each
situation tends to infinity when stresses are between 50 MPa and 100 MPa, as seen in Figure
5.9. Rosette B graph also shows lower
lower stress values at the beginning of the curve, which may
represent higher vulnerability under cyclic loading in the bracket zone where the rosette was
installed.
107
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________________________________________
Figure 5.9 - Fatigue curve from data of rosettes A and B.
According to Palmgre
Palmgren-Miner’s
Miner’s rule, when the accumulated damage is equal to
one (D = 1), there is a probability of failures. Based on this, the fatigue life estimated in this
work is equal to 60% of the total mileage traveled in the durability road for rosette A and 84%
for rosette B.
As the last step, a durability test was performed in order to validate the fatigue life
prediction and the place where the failure was detected in the component. The effectiveness of
the change in the geometric design (according to the BEM results)
results) was also verified. The
vehicle was tested at a speed of 80 km/h. Two prototype brackets of the original geometry
were assembled on the left (LH) and right (RH) side of the vehicle. The prototypes were
checked focusing on the same area where the BEM approach
approach identified the critical stress
areas. Fractures were observed in both parts tested as illustrated in Figure 5.10.
Failures were detected at 20824 km for the bracket LH and 32416 km for the
bracket RH, considering a total mileage of 35200 km for this vehicle durability test.
Therefore, failures were detected at 59.2% (LH) and 92.1% (RH) of the total mileage
traveled. These durability results show fatigue life close to the values pred
predicted by the
experimental procedure (60% and 84%, respectively) based on the stress measurements
108
108
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
through strain gauge rosettes. This demonstrates that the original geometry had a design
weakness.
Figure 5.10 - Failures observed during durability tests.
Figure 5.10-b also shows that although the bracket was not completely broken,
fractures appeared from the two critical areas (right and left side, highlighted in Figure 5.3)
attesting the effectiveness of BEM to predict the location of failures.
Similarly, a pair of brackets was stamped with the proposed geometry (Figure
5.3). A new durability test was carried out. The proposed sample was checked, focusing on
the area where the failure was detected in the previous test. The new durability test finished
without a failure occurrence. This implies that the proposed changes to the surface design to
fix the fracture issue improved its performance as previously evidenced by the BEM results.
5.5. Conclusions
This paper presented a procedure for fatigue life prediction with potential
application in the structural analysis of vehicle components. The procedure comprises the use
of BEM to validate necessary changes in design components and allow the measurement of
stresses, through the location of strain gauges, only in places pre-defined by the simulation
results. Durability results confirmed the stress analysis consistency, the effectiveness of the
design change proposal, both supported by BEM, and also the efficiency of the procedure
presented for fatigue life prediction. External factors, such as the incorrect use of the strain
gauge, resonance and loading differences could explain the small differences between
experimental and durability results. However, the use of BEM as a support for fatigue life
109
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
prediction in automotive components was effective in identifying where the failure was
detected.
The main contribution of using BEM for numerical analysis in automotive
components is its simplicity. BEM does not require dedicated workstations nor specialized
labor and computational apparatus needed for the simulations. It is simpler than FEM, which
is currently being used in the automotive industry. Product engineers without special training
in numerical simulations can carry out the analysis on their regular desktop computers,
otherwise performed by the department of CAE (Computer-Aided Engineering). This saves
time, contributing to reduce costs in developing new products. On the other hand, it is
noteworthy that this article was not intended to compare numerical performances between the
BEM and FEM considering that both have particular features and are consolidated methods.
In the case study presented, the procedure adopted was a powerful tool to support
decision-making about possible design changes. The results obtained can guide product
engineers to achieve better component performance in terms of durability. More specifically,
fracture predictions and location during design process can be used to reduce time and cost
during the product development launch phase.
110
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
5.6. Nomenclature
5.6.1. Symbols
D
=
Accumulated damage during the interval of cycles with constant load
ni
=
Number of cycles in a given stress range
Ni
=
Number of cycles required to fail under constant stress
b
=
Basquin exponent
Tij
=
Stress tensor, MPa
E ij
=
Elastic strain tensor
FD, FS
=
Dynamic and static load, respectively, N
C ijkl
=
Fourth order tensor consisting of coefficients which contain the elastic
constants of the material.
5.6.2. Greek Symbols
σa
=
Stress amplitude, MPa
σ 'f
=
Fatigue strength coefficient, MPa
σm
=
Mean stress, MPa
σ eq ( t )
=
Equivalent stress used as an input for the rainflow cycle counting, MPa
δ
=
Kronecker delta
µ ,λ
=
Lamé constants
111
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
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114
C. 6 – O uso de sub-modelos via MEC
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
CAPÍTULO 6
Análise de tensões em um pára-choque dianteiro utilizando o
método dos elementos de contorno
Este capítulo apresenta, na forma de um artigo científico, a análise e resultados do
nível de tensões em um componente automotivo com geometria complexa. A simulação de
componentes com geometria complexa implica em elevação significativa de esforço
computacional e de memória. Por este motivo, o uso de sub-modelos baseados no MEC, que
reduzem o tamanho do modelo geométrico, especificando regiões de interesse, é uma
ferramenta potencial nestes casos. O componente utilizado como estudo de caso compreende
um pára-choque metálico, típico componente da indústria automotiva, sujeito a solicitações de
cargas estáticas e dinâmicas. Dentro do contexto geral desta tese, este capítulo apresenta o uso
de sub-modelos do MEC na análise de concentração de tensões, além de continuar
evidenciando a potencialidade da metodologia que foi aplicada para predição de vida útil sob
fadiga no capítulo 5. Concentração de tensões e fadiga são os dois grandes problemas no
projeto de componentes automotivos e estão sendo tratados nesta tese de forma a obter
soluções numéricas via MEC, evidenciando a viabilidade da metodologia desenvolvida em
aplicações veiculares.
Resumo
A concentração de tensões é um dos problemas mais comuns relacionados a
componentes veiculares e a análise numérica oferece uma contribuição significativa para a
indústria automotiva no tratamento deste tipo de problema. Este trabalho apresenta um estudo
de caso, baseado em sub-modelos do MEC, para análise de tensões, considerando mudanças
de geometria em um pára-choque dianteiro submetido a altos níveis de tensão. Os resultados
obtidos foram comparados com os resultados gerados pelo Método dos Elementos Finitos
(MEF), que é um método consolidado e amplamente utilizado na indústria automotiva para
análise de tensões. As comparações realizadas confirmam a simplicidade computacional do
MEC, por meio da utilização de sub-modelos, e seu potencial para reduzir custos e tempo no
115
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
desenvolvimento de novos produtos automotivos.
Palavras-chave
Método dos elementos de contorno; análise numérica; pára-choque dianteiro;
componentes automotivos; análise de tensões.
Conclusões
Neste capítulo, um procedimento para análise de tensões na indústria automotiva
foi apresentado, sendo que um pára-choque dianteiro foi tomado como estudo de caso. Um
problema específico, envolvendo análise de tensões e que faz uso de sub-modelos do MEC,
foi resolvido por meio de alteração de desenho. Neste tipo de análise, o MEC pode ser usado
como uma poderosa ferramenta para dar suporte a mudanças no projeto, durante o
desenvolvimento do produto. Os resultados do campo de tensões obtidos, usando o MEC,
podem orientar projetistas a alcançar melhor desempenho do componente, em termos de
requisitos estruturais.
Na análise de componentes com geometrias complexas as simulações requerem
considerável esforço computacional ocasionando falta de memória virtual para a simulação.
Neste contexto, o uso de sub-modelos baseados no MEC e que restringem ou reduzem a área
de interesse do problema representa uma estratégia bastante promissora. A principal
contribuição em usar o MEC na prevenção de concentração de tensão em componentes
automotivos é a sua simplicidade. A estratégia da geração de sub-modelos supre a
necessidade de estações de trabalho dedicadas, que geralmente usam computadores com mais
de vinte gigabytes de memória virtual e dispensa a necessidade de mão-de-obra especializada
para as simulações que envolvem geometrias complexas e são baseadas essencialmente na
análise via elementos finitos. Engenheiros de produto, sem treinamento especial em análise
numérica ou no uso de simuladores comerciais, podem realizar simulações em seus próprios
computadores pessoais que utilizam cerca de quatro gigabytes para executar tarefas básicas.
Portando, o procedimento adotado pode auxiliar na redução de custos e tempo no
desenvolvimento de novos produtos automotivos.
116
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
CHAPTER 6
Stress analysis of a front bumper fascia using the
boundary element method
This chapter presents, in a scientific paper standard, the analysis and results of the
stress level in an automotive component with complex geometry. Components of this nature
require memory consumption in the simulations and for this reason, the use of sub-models,
based on BEM which use only regions of interest in the analysis to reduce the size of the
geometric model, is suggested. The component used as a case study comprises a metallic front
bumper which is a typical component of the automotive industry subjected to static and
dynamic loads. Within the general context of this thesis, this chapter presents the use of BEM
sub-models in the analysis of stress concentration as well as continues evidencing the
methodology capability which dealt the use of BEM for fatigue life applications in Chapter 5.
Stress concentration and fatigue are the two major problems in the design of automotive
components. They are being treated in this thesis in order to obtain numerical solutions via
BEM, demonstrating the feasibility of the developed methodology in vehicular applications.
Abstract
Stress concentration is one of the most common problems related to automotive
components. Numerical analysis is of great interest to the automotive industry to deal with
this kind of problem. Boundary Element Method (BEM) is a technique which can be used in
stress analysis and here it is specifically focused on a front bumper fascia. This work presents
a method based on BEM sub-model for stress analysis considering a geometry change in a
front bumper fascia which is a typical structural component subjected to conditions of stress
in the automotive industry. The results obtained using the proposed method are compared
with results generated by the Finite Element Method (FEM) which is a consolidated method
widely used in the automotive industry in stress analysis. The conclusions attest to the
consistency and computational simplicity of the BEM sub-model and its potential to reduce
cost and time in developing new products.
117
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
Keywords
Boundary element method; numerical analysis; front bumper fascia; automotive
components; stress analysis.
118
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
6.1. Introduction
The Boundary Element Method (BEM) is a well known numerical technique for
solving a wide range of problems in applied science and engineering (Aour et al., 2007). One
of the advantages of this method is that only the boundary needs to be discretized in order to
compute the solution for the whole domain. The elements, generated by the discretization
process, are arranged on the surface of the material and represent the boundary conditions.
Betti (1872) was the first author to study the theory of elasticity using integral
equations relating the strength and displacements applied on the surface boundaries. Fredholm
(1903) used integral equations to formulate the problems of boundary value and demonstrated
the existence of a solution using a specific numerical method (“Operator Theory”) applied to
a problem in which continuous partial derivatives are allowed. Rizzo (1967) obtained a
boundary integral equation for stresses within an elastic, linear and isotropic body. Jaswon et
al. (1967) developed one of the first formulations of BEM to bend plates when the technique
was known as the boundary integral equations method. Later, Cruse (1969) developed a
numerical solution for three-dimensional problems involving unknown surface tractions and
displacements through a fully automated process to investigate a significant problem with
stress singularities. Since then, a large number of works have been published by several other
authors expanding the use of this method (Dominguez and Ariza, 2000; Supriyono and
Aliabadi, 2006; Solis et al., 2009; Niu et al., 2009). In general, they are related to specific
standard samples or plates in order to predict crack geometry. None of these applications were
in the automotive industry.
Currently the most commonly applied method in the automotive industry for
stress analysis is the Finite Element Method – FEM (Yildiz and Duzgun, 2010). FEM is based
on a finite elements definition (mesh discretization of a continuous domain inside a set of
discrete sub-domains) which originally arises from the structural analysis of the component to
be modelled. Initially the method was used in the aeronautics industry and nowadays the
method is still used in this area, however, much enhanced by the advances in computing
(Murat and Mehmet, 2009). It has also been used in the first steps of a process design to
reduce product development timing (Lee and Han, 2009) and failure prediction for automotive
components using statistical data (Romlay, Ouyang and Nizam, 2011). The main difference
between BEM and FEM is the fact that in the former only the boundary of the domain needs
to be discretized whereas the latter requires the entire volume discretization of the component
analyzed. This can be considered an advantage for stress analysis due to the local remeshing
119
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
facilities. For this reason BEM is capable of representing regions with small details without
complex meshing and it also provides good prediction for the stress field.
BEM is a consolidated method in engineering (Ribeiro et al., 2009; Paiva and
Mendonca, 2010; Irsa and Galybin, 2010) and other related areas (Peratta, 2008; Mezoued et
al., 2010). Even though the use of BEM is increasing in the automotive industry, mainly in the
acoustic and vibration areas (Kim et al., 2007; Uehara et al., 2007; Citarella et al., 2009), it is
still not applied for stress analysis in automotive components.
This work presents a methodology for applying the BEM for stress analysis in
automotive components based on the sub-model technique (Lucht, 2009). It comprises the
extraction (or selection) of small surface areas of a steel bumper fascia and application of
traction to obtain specific values of stresses in the areas selected. The areas can be selected
based on historical data of a failure which occurred in similar components or through stress
distribution predicted by FEM. The approach presented comprises a number of techniques put
together in an original way to analyze a complex case study to support decision making in the
automotive industry related to the possible changes during the product development phase.
It should be understood that a surface with a complex geometry is one in which
there are structural differences that cannot be generated by traditional manufacturing
processes. Figure 6.1 illustrates the difference between these two concepts (simple and
complex geometry). In the case of the Figure 6.1-a (complex geometry), Müller, Cotonou and
Connelly (2009) carried out a numerical investigation to study the acoustics around a vehicle.
In the case of the Figure 6.1-b (simple geometry), Herrin et al. (2007) used BEM in the
analysis of vehicular exhaust systems.
Figure 6.1 - Complex (a) and simple geometry (b).
120
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
Bumpers, for instance, can be considered components with a complex geometry.
Currently they are being made from a metallic material for application in light trucks.
Although metallic bumpers have similar shapes to plastic covers (only esthetic function), they
are considered a structural as well as an esthetic component when applied to light trucks.
In this work, a bumper fascia surface with complex geometry was considered. The
sub-model technique has been used to reduce the size of the original model and thus the
computational effort, enabling the use of BEM without needing a dedicated workstation. The
use of the proposed method in the automotive industry can provide quick results with easy
manipulation and interpretation for all product engineers. It also can help them to have
technical support for styling change proposals based on preliminary surface release.
Section 6.2 provides some basic BEM background for stress analysis. Section 6.3
shows the materials and methods used for the numerical analysis. Results and discussion are
presented in section 6.4 and conclusions in section 6.5.
6.2. The use of BEM for stress analysis
The basic problem to be solved by using BEM comprises the prediction of stress
fields in a component which is subjected to loads on its surface. The numerical procedure
requires some preliminary definitions such as the number of elements and nodes, load
direction and position, clamps and material properties. The method can be applied to any
material characteristic and thickness with no restrictions on geometry.
There are some numerical integration techniques such as Cramer and Gauss
methods which can be used to solve boundary integral equations. Cramer is a method to solve
linear systems by using determinants, but the method has computational restrictions (Hoteit et
al., 2002). The most efficient method for this specific application is the Gauss integration in
which the boundary integral (Eq. 6.1) is evaluated at specific points for which the weights of
Gaussian Quadrature must be calculated (Stroud and Secrest, 1966). Finally, a partial result is
obtained, equivalent to the integral value related to the area influenced by the Gauss points
where the Gauss weights are evaluated. This procedure provides results for the polynomial
equations, generated from the boundary conditions, which depend on the number of Gauss
points. In the case of the boundary integral equation, the integrand is a polynomial function.
The Gaussian Quadrature method turns the boundary equation (Eq. 6.1) into a polynomial
equation. It is based on Somigliana's identity and must be solved through the boundary
121
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
element method as it is a problem which comprises a linear, homogeneous and isotropic
material. The complete formulation of the BEM can be found in Rizzo and Shippy (1977).
C ji ( P)u i ( P) + ∫ T ji ( P, Q)u i (Q) dΓ(Q) = ∫ U ji ( P, Q)t i (Q)dΓ(Q) + ∫ U ji ( p, q) Bi (q)dΩ
Γ
Γ
(6.1)
Ω
Boundary integrals in the case studied, which comprise the integral equation for
elasticity boundary problem, involve integrands that contain the fundamental solutions for the
surface strength and displacement. Moreover, the degrees of freedom (DoFs) which are
generated by the moving points of each node at each axis coordinate (x, y and z) must be
determined for the surface strength and displacement. To estimate the numerical value of the
integral, it is necessary to obtain sufficient data to evaluate the fundamental solutions such as
the value of the distance between the load concentration point and the point of observation
numerically. This means that the surface discretization, which represents the boundary, must
be defined to provide other information such as the number of elements, the number of nodes
and DoFs required to solve the problem.
The procedure of boundary surface discretization comprises the definition of a
boundary element pattern divided into small standard areas in order to interpolate the real
surface to be analyzed. These elements can have various shapes and contain a variable
number of reference points which enables the interpolation of data used in the numerical
solution. The element adopted in this work has a quadrilateral shape (Figure 6.2) although it
can be freely changed in order to fit the geometry that is being discretized within the
quadrilateral boundaries. Each element has eight reference points, called nodes, located in the
corners of the geometry and also at the center of each edge. The element is continuous such
that its nodes are shared with neighboring elements enabling the use of quadratic shape
functions to interpolate displacement values over all the nodes of the elements.
In the case of a continuous quadrilateral element with eight nodes, quadratic shape
functions are used. Geometries and other physical properties, as well as the behavior of the
surface loads or displacements are represented by the same shape functions. Surface strength
behavior or displacements are represented by the same shape function and therefore the
element can be regarded as isoparametric. Figure 6.2 represents a three-dimensional
quadrilateral element of eight nodes based on a global coordinate system which is attached to
the element.
122
C. 6 – O uso de sub-modelos
modelos via MEC
_____________________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
Figure 6.2 - BEM quadrilateral element of eight nodes.
The shape functions that represent
represent the element are described by the following
equations:
1
(1 − a1 )(1 − a2 )(−a1 − a2 − 1)
4
1
= (1 + a1 )(1 − a2 )(a1 − a2 − 1)
4
1
= (1 + a1 )(1 + a2 )(a1 + a2 − 1)
4
1
= (1 − a1 )(1 + a2 )(−a1 + a2 − 1)
4
1
2
= (1 − a1 )(1 − a2 )
2
1
= (1 − a22 )(1 + a1 )
2
1
= (1 − a12 )(1 + a2 )
2
1
= (1 − a22 )(1 − a1)
2
h(1) =
h ( 2)
h ( 3)
h ( 4)
h (5)
h( 6)
h( 7)
h (8 )
(6.2)
where a1 and a2 are global coordinates and h(i) (i = 1,…,8) is the shape function.
The use of these functions enables the location of the nodes and the variation of
their position. The shape functions are valid under a coordinate system attached to the element
and these are always the same to represent every element that can be defined iinside the
boundary mesh. Moreover, it is necessary to transform the boundary elements into equivalent
elements according to a parameterized coordinate system. This mapping from the global
coordinates to parametric coordinates is performed using the Jacobi transformation method
(Varga, 1962). In this case, the Jacobian matrix changes the geometry from irregular to a
regular quadrilateral geometry in which the coordinates are usually normalized within the
range [-1;1].
1;1]. The application of this procedure on each
each boundary element provides the
numerical solution of the boundary integral based on the fundamental solution for
displacements, using the shape functions (Equation 6.2) together with the Jacobian matrix.
123
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
Thus, for each element, the integral equation can be evaluated from the DoFs which are
associated to a surface strength or displacement related through the following equations:
1

(n)
 −1

(E)
1

(n)
 −1

(E)
[ ]
= [H ]
[ ]
= [H ]
. ui
. ui
(n) ( E )
(n) ( E )
[ ]
(6.3)
[ ]
(6.4)
(E)
. ui
(E)
. ui
(n) ( E )
(n) ( E )
where E is the error obtained in the calculation procedure that comprises the use of nonpolynomial functions, J = ∫ ϕ (u , p )dΓ + ∫ψ (σ , ε , u )dΩ . ϕ (u , p ) is an arbitrary continuous
Γ(a)
Ω( a )
function that describes the displacement and strength and ψ (σ , ε , u ) is another arbitrary
function associated to a continuous stress, strain and displacement.
Each node integration for each element results in a matrix of order three. This
matrix represents the boundary integral equation response associated to each of the three
directions. The three possible directions related to the concentrated load application for the
fundamental solution were considered.
The integration of every source point considering the eight nodes of all elements
provides two matrices. One of them (matrix G) contains the result of integrations for the
fundamental solution of displacement. The other (matrix H) is formed from the integration of
the fundamental solution valid for the surface strength. The boundary integral equation can be
represented as follows:
[H].{u} = [G].{t}
(6.5)
Each column of G and H presents the result of integration at a given node of an
element in a given direction. Each line of these matrices presents the result for the set of
integrations at every node of the problem with a chosen point for the load application in a
chosen direction. Each matrix has the number of columns equal to the number of DoFs of the
system. The number of DoFs should be adjusted to match the number of independent
equations to be solved. The procedure for the construction of the matrices G and H enables
the evaluation of the boundary integral with a number of points equal to the number of nodes
124
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
of the problem. The number of elements contained in the rows of the matrices is equal to the
number of nodes in the boundary mesh. The elements of matrix G must be arranged according
to a sequence that comprises the chosen point for application of the load, the DoFs of rows,
the local node and the DoFs of columns. Each set of eight nodes for each element has eight
different values of strength surfaces in each direction, creating twenty-four columns. The
number of rows is equal to the number of DoFs.
The BEM discretization process deals with equations involving only boundary
integrals which require less computation. Moreover, the method can be used for three
dimensional problems which require mesh modification or refinement. As in most numerical
methods that involve domain discretization, the refinement process comprises the reduction of
size of each element in order to improve the accuracy of the results. On the other hand,
excessive refinement can cause a stop in the numerical procedure due to the size of the
generated file. The simplicity of mesh generation and refinement by using BEM is an
important tool for reducing the computational time in problems associated with prediction of
stress concentration.
The type of steel currently in use in the automotive industry was selected to be
used in a front bumper fascia for a light truck. More specifically, this is cold rolled steel SAE
J1392 grade 035 with thickness 1.5 mm, yield strength range from 250 to 350 MPa, tensile
strength 350 MPa minimum and elongation 0.25 minimum. Figure 6.3 shows the front
bumper fascia mesh, the proposed direction and location of the static load applied (red arrow)
and the analyzed zone is circled. Clamping loads were applied at the same position of the
component attachment points in the vehicle.
Figure 6.3 - Front bumper fascia mesh.
125
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
In order to compare two situations in the project, a geometry change was proposed
on the original design. Figure 6.4 shows the changes in detail made in the geometry of the
component prior to performing the numerical analysis.
Figure 6.4 - Current and proposed design.
In this kind of problem, the number of elements and nodes considered can exceed
the computer memory available to perform the numerical procedure. Moreover, the use of
tools for standard mesh generation leads to several time consuming problems including
components with complex geometries (Maligno et al. 2010). An alternative approach to this
problem is to create a BEM sub-model. It comprises the discretization of the geometry only in
the region where the stress concentration zone is located. According to Mellings et al. (2005),
a field mapping approach is used to extract the stresses from the cut surfaces of the model and
convert them into equivalent tractions in the BEM sub-model. This process enables the use of
BEM to predict stress fields in complex geometries.
In order to implement the proposed methodology in this paper, a standard
algorithm was used according to flowchart presented in Figure 6.5. Additionally, this work
proposed another algorithm for three-dimensional analysis using a technique called RISP
(Reusable Intrinsic Sample Point) developed by Kane (1994) in order to speed up the matrices
G and H construction process.
126
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
Figure 6.5 - Flowchart with the proposed algorithm.
As can be seen in the flowchart (Figure 6.5), the use of BEM for threedimensional stress analysis via MatLab® was proposed. Moreover, the use of commercial
software such as Catia® and Ansys® to generate the geometry and mesh of components is
required. It was necessary to create files containing the input data of the problem extracted
from Ansys® database. Basically, the input data are five files in text format. The first contains
the coordinates of all the problem nodes in a global system. The second file contains the
connectivity matrix between elements and nodes. Initial displacement boundary conditions for
each element under clamping are contained in the third file. The fourth file contains traction
conditions for each element submitted to the loads. Finally, the fifth file is the combination of
material properties, maximum dimension of the problem and the number of Gauss points. The
main program receives the input data (included in the text files) and converts them into
vectors and matrices. Finally, the postprocessing data provides the stresses around the
geometry as a consequence of the applied load.
127
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
As a first alternative, the identification of possible zones of stress concentration in
the component analyzed could be done using historical data of failure which occurred in
similar components. The knowledge and experience of the specialist could also be considered
in this step. Although there are few works in the open literature on this procedure (Kellera et
al., 1985; Guida and Pulcini, 2002), historical data and expert knowledge are used in the
automotive industry in the analysis of various vehicle components such as engine, chassis,
electrics and body components.
In this work, the identification of possible critical zones was performed through a
mapping of stresses using FEM. In this simulation, a load of 120 N was applied on the point
shown in Figure 6.3, producing the stress distribution. The critical zones were selected based
on the stress values (regions with stress within the range of material yield strength, 250 to 350
MPa) The values of traction forces existing in the nodes adjacent to the critical zones were
transferred to the simulation with BEM sub-model. The complete procedure comprised the
following steps:
1. Stress analysis using FEM
2. Selection of the critical zones
3. Mesh refinement in order to generate the BEM sub-model
4. Transfer of traction values in the contours of critical zones to the BEM sub-model
5. Performing the stress analysis through the BEM sub-model.
In order to generate BEM sub-models, a small surface was extracted from the
original and proposed design of the front bumper fascia. Figure 6.6 shows the selected area
for each case.
128
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
Figure 6.6 - Extracted surface from the (a) proposed and (b) original design.
Figure 6.7 shows the mesh refinement for the proposed (Figure 6.7-a) and original
design (Figure 6.7-b) in order to generate the BEM sub-model for both extracted surfaces.
Figure 6.7. Mesh refinement for the (a) proposed and (b) original design.
In the case of this work, the refined BEM sub-model generated 996 nodes and 304
elements for the original geometry and 899 nodes and 271 elements for the proposed
geometry. The maximum stress (σ1) results obtained was illustrated by Figure 6.8-a and
Figure 6.8-b.
129
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
Figure 6.8-a. BEM stress analysis for the proposed design.
Figure 6.8-b. BEM stress analysis for the original design.
Based on the BEM sub-model results, it was found that the maximum stresses
values obtained for the original geometry was approximately 270 MPa (within the material
yield strength range) and for the proposed geometry, 180 MPa (below the material yield
strength range). Therefore BEM sub-model results represent a 28% improvement considering
the changes proposed in the surface of the front bumper fascia. The FEM model results show
an improvement of 25% according to Figure 6.9-a and Figure 6.9-b (maximum stress values
130
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
obtained for the original geometry was 301 MPa and for the proposed geometry, 219 MPa).
These results attest to the consistency of the stress analysis performed by the methodology
proposed. Furthermore, the time spent in each application (one for each geometry) using only
FEM was about 4 hours. The time spent in each application using the BEM sub-model
procedure was 1.5 hours (without considering the time of initial mapping of stresses carried
by FEM). Additionally, the structure needed in this case does not include a dedicated
workstation nor skilled labor to carry out the analysis. This demonstrates the advantage of the
BEM sub-model and its potential application in the automotive industry on problems related
to the prediction of stress distribution in vehicle components.
Figure 6.9-a - FEM stress analysis for the proposed design.
131
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
Figure 6.9-b - FEM stress analysis for the original design.
Instead of using FEM to identify possible critical zones in the component such as
the one done in this work, it is perfectly feasible to accomplish this step using historical data
of failure together with the expert knowledge in order to avoid the time spent in the FEM
analysis.
6.5. Conclusions
In this work, a method for stress analysis in the automotive industry was
presented. A front bumper fascia was taken as a case study. The purpose of this work was to
solve a problem involving stress analysis using the BEM sub-model. In this kind of analysis,
BEM can be used as a powerful tool to support design changes during product development.
The stress field results obtained by using BEM in this work can guide product designers to
achieve better component performance in terms of structural requirements.
In the analysis of components with complex geometry, the entire BEM model
requires considerable computation causing a lack of virtual memory available for simulation.
In this case, the methodology presented shows that the use of a local area remeshing is an
alternative for decision taking about geometry changes.
The main contribution of using BEM to predict stress in automotive components
is its simplicity. The strategy of the BEM sub-model does not need dedicated workstations
(which generally use computers with more than twenty gigabytes of virtual memory to
132
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
process the analysis) nor specialized labor and the FEM applications similarly. Product
engineers without special training in numerical analysis (CAE) may carry out the analysis on
their own personal computers which use about four gigabytes to perform basic work. This
process will help to reduce costs and time in developing new products.
133
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
6.6. Nomenclature
6.6.1. Symbols
a1, a2
=
intrinsic coordinates
h (i )
=
shape functions
E
=
procedure error for non-polynomial functions calculation
pi
=
unitary load
Pji
=
applied load
ti
=
unitary surface traction
Tji
=
surface traction
Cji
=
free term
ui
=
unit displacement
Uji
=
displacement
Bi
=
volume load
n
=
unitary vector
q
=
unitary field point
Q
=
field point
[H], [G]
=
Matrix of integrations of the fundamental solution for surface strength
and displacement, respectively.
6.6.2. Greek Symbols
εi
=
deformation in the local coordinate system
σi
=
local coordinate system stress
Γ, Ω
=
boundary and domain, respectively
134
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
6.7. References
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138
C. 7 – Conclusões e sugestões
________________________________________________________________________________________________________________________________________
CHAPTER 7
Conclusions and suggestions
Abstract
In this chapter some final comments are rendered, providing an overview of the
whole work. Moreover, a number of suggestions are devised for further studies and researches
continuing the developments made throughout this work. These suggestions cover the
development of new algorithms, via BEM, applied to the automotive industry, conduct case
studies to other vehicle components and use the proposed methodology take into account
thermal and mechanical effects derived from the manufacturing processes of vehicle
components.
Keywords: Boundary element method; automotive components; manufacturing processes.
139
________________________________________________________________________________________________________________________________________
CAPÍTULO 7
Conclusões e sugestões
Resumo
Neste capítulo são enfatizados as principais conclusões e resultados provenientes
das aplicações do procedimento proposto e dos estudos de caso analisados. Além disso, uma
lista de sugestões é apresentada para trabalhos e pesquisas futuras a fim de dar continuidade
aos desenvolvimentos realizados ao longo deste trabalho. Estas sugestões abrangem o
desenvolvimento de novos algoritmos, via MEC, aplicado à indústria automotiva, realização
de estudos de caso para outros componentes do veículo e aplicação da metodologia proposta,
levando-se em consideração, efeitos térmicos e mecânicos, derivados dos processos de
fabricação de componentes veiculares.
Palavras-chave: Método de elementos de contorno; componentes automotivos; processos de
fabricação.
140
________________________________________________________________________________________________________________________________________
7.1. Conclusões
Considerando os resultados obtidos com o uso do MEF, e comparando-os com os
resultados dos testes de bancada, observou-se a melhoria na distribuição de tensão da
geometria proposta em relação à geometria original, conforme apresentado no capítulo 4.
Porém, o MEF requer mão-de-obra especializada e estações de trabalho dedicadas na
modelagem e simulação do problema.
Um novo procedimento foi proposto e testado, que envolve desde a aquisição de
dados até a simulação computacional com predição de campo de tensões, baseado no método
de elementos de contorno para a previsão de fratura em componentes automotivos. Neste
sentido, chegou-se às seguintes conclusões:
•
Os resultados referentes ao MEF foram comparados com aqueles obtidos
através da metodologia proposta utilizando o MEC. A estratégia utilizada
pelo procedimento proposto, via MEC, dispensa a necessidade de mão-deobra especializada e estações de trabalho dedicadas para as simulações que
envolvam propostas de alterações em geometrias complexas, que
atualmente, estão baseadas essencialmente na análise de elementos finitos.
•
Os resultados obtidos por meio da aplicação de elementos de contorno em
geometrias simples e complexas atestam a consistência da metodologia
empregada na previsão do campo de tensões. Pode-se levar em
consideração ainda simulações de cargas estáticas para o cálculo de
estimativa de vida de componentes sujeitos a cargas cíclicas, através do
uso de parâmetros de fadiga do material, como abordado em Magalhães,
Fontes e Vieira de Melo (2010).
•
Mesmo na análise de componentes com geometria complexa, na qual as
simulações exigem um considerável esforço computacional e podem
causar falta de memória virtual, o procedimento proposto mostra que o uso
de um refinamento localizado da malha, por meio de sub-modelos do
MEC, é viável e capaz de prever regiões com elevados níveis de tensão.
Particularmente neste caso (geometria complexa), que representa
indubitavelmente a maior parte dos problemas e demandas da indústria
automobilística, o MEC com sub-modelos apresenta uma vantagem
significativa sobre outros métodos, como o MEF, que exigem um esforço
141
________________________________________________________________________________________________________________________________________
computacional elevado e, portanto, altos custos de aquisição e manutenção
de equipamentos.
A real contribuição deste trabalho para o tema foi a aplicação do MEC em
componentes automotivos, prevendo a ocorrência de fraturas, auxiliando propostas de
modificação do produto e fornecendo resultados de tensão de fácil interpretação para técnicos
e engenheiros. Portanto, o contexto operacional de aplicação do MEC na indústria automotiva
implica na facilitação e maior acessibilidade à análises de falha através de simulações
numéricas.
7.2. Sugestões para trabalhos futuros
Levando-se em consideração as várias possibilidades para trabalhos futuros,
alguns temas são sugeridos para dar continuidade e aplicabilidade ao procedimento proposto
nesta tese, os quais estão listados abaixo:
- O desenvolvimento de um algoritmo, via elementos de contorno, para o cálculo
da taxa de crescimento de trincas, aplicado à indústria automotiva;
- A realização de estudo de casos de outros componentes automotivos para
diferentes tipos de aplicações veiculares e compará-los com testes experimentais no intuito de
ampliar a utilização do procedimento proposto;
- A utilização do procedimento proposto, levando-se em consideração efeitos
térmicos derivados de processos de fabricação do componente, como, por exemplo, a
soldagem por resistência elétrica em pontos específicos da carroceria de um automóvel;
- A consideração de efeitos mecânicos provenientes de processos produtivos para
a confecção de componentes automotivos, como tensões residuais e acabamento superficial,
que surgem durante o processo de estampagem ou usinagem destes componentes;
- A aplicação do procedimento proposto em outros tipos de materiais utilizados na
indústria automotiva, como, por exemplo, em materiais compósitos e polímeros.
142
________________________________________________________________________________________________________________________________________
Magalhaes, R.R., Fontes C.H.O. and Vieira De Melo, S.A.B., 2010, “Estimativa de vida em
fadiga em componentes de geometria simples sujeitos à aplicação de carregamento
estático usando o método de elementos de contorno”, VI Congresso Nacional de
Engenharia Mecânica, Paraíba – Br.
143
Apêndice
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
APÊNDICE
Pacotes computacionais utilizados
Resumo
Neste apêndice são apresentados e descritos os pacotes computacionais utilizados
ao longo do trabalho e as principais funções desempenhadas por cada um destes pacotes.
Palavras-chave
CATIA®; NASTRAN®; FDYNAM®; HYPERMESH®; ANSYS®; Matlab®.
144
Apêndice
_____________________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
A.1. Introdução
Esse capítulo apresenta os pacotes computacionais utilizados em cada etapa do
processo envolvendo o procedimento proposto na tese. Estas etapas e os respectivos pacotes
computacionais empregados em cada uma delas estão descritos na Figura A.1. A seguir, cada
um destes pacotes computacionais é apresentado de forma detalhada, e, também, como os
mesmos estão inseridos no contexto desta tese.
Figura A.1 – Pacotes computacionais empregados em cada etapa.
145
Apêndice
_____________________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
A.2. CATIA®
O CATIA® é um pacote computacional utilizado para modelamento geométrico
em três dimensões. Trata-se
se de uma plataforma multi
multi-CAD/CAM/CAE
CAD/CAM/CAE de programas
comerciais, escrito na linguagem C++, podendo ser utilizado em todo o ciclo de vida do
produto (Plantenberg, 2008).. Este pacote computacional é usado principalmente na indústria
automotiva para projetar componentes estruturais como portas, vigas, barras laterais e
componentes da carroceria em geral.
A.2.1. Modelagem de superfícies
A modelagem geométrica em três dimensões é uma etapa prévia ao processo de
simulação computacional e consiste em gerar superfícies ou objetos sólidos no computador
que representam e descrevem o componente a ser analisado. O CATIA® usa representações de
superfícies conhecidas como NURBS - Non Uniform Rational B-Splines (Farin, 1999) que
são generalizações das curvas de Bézier e B-Splines (Piegl and Tiller, 1996).
As curvas de Bézier são conjuntos de pontos em que todas as suas coordenadas
obedecem a uma expressão polinomial. Estas curvas são construídas
construídas parametricamente com
os coeficientes das coordenadas de alguns pontos, chamados pontos de controle. O uso de
pontos de controle oferece uma interpretação geométrica simples e intuitiva das curvas de
Bézier. Estes pontos podem ser exemplificados por P0, P1, P2 e P3 na Figura A.2. A posição
geométrica destes pontos de controle determina as características da curva, como
concavidade, curvatura ao longo do segmento, suavidade, entre outras.
Figura A.2 – Representação da curva de Bézier.
A curva de Bézier é representada pela poligonal (segmentos de reta consecutivos)
que contém a própria curva para o intervalo de variação de um parâmetro, normalmente
denominado por t,, que varia de zero a um. Cada valor deste parâmetro produz um ponto, que
deve estar entre o primeiro e último pontos de controle, que no caso da Figura A.2, valores
146
Apêndice
_____________________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
entre P0 e P3, respectivamente. Nota-se
Nota se que pontos intermediários definem a trajetória da
curva. Quanto mais valores atribuídos ao parâmetro t,, mais pontos são gerados, suavizando a
trajetória da curva. O grau do polinômio que define a curva de Bézier é definido pelo número
de pontos de controle da curva menos um, sendo o polinômio expresso pela
pela equação abaixo:
n
b n (t ) = ∑ b j B nj (t )
(A.1)
j =0
onde bn(t) é um ponto da curva correspondente ao parâmetro t, n é o grau do polinômio da
curva e bj são os pontos de controle (P0, P1, P2 e P3 no caso da Figura A.2) de cada
coordenada da curva (x, y, z). O termo Bin (t ) é dado pela equação:
n
Bin (t ) =  t i (1 − t ) n −i
i
(A.2)
B-Splines
Splines são junções de várias curvas de Bézier, onde se tem a possibilidade de
alterar a posição de um ponto com implicações locais, ou seja, sem que isto interfira em toda a
curva. A Figura A.3 representa um tipo de B-Spline.
B
Figura A.3 – Representação de um tipo de B-Spline.
B
Uma B-Spline
Spline de ordem k que se aproxima de n+1 pontos de controle (P0, P1, ...,
Pn) é expressa pela equação em seguida (Rogers and Adams, 1990):
P(t ) = ∑ N i ,k (t ) Pi ( 2 ≤ k ≤ n + 1 , t min ≤ t ≤ t max )
(A.3)
i =0,n
147
Apêndice
_____________________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
onde t 0 ≤ t1 ≤ ... ≤ t n+k são os nós (pontos do domínio) e N i ,k é um polinômio de ordem k
(grau k-1) em cada intervalo t i < t < t i +1 .
As NURBS são compostas de B-Splines,
B Splines, que geram superfícies com formas
determinadas pelos pontos de controle, os quais obedecem as coordenadas atribuídas pelo
usuário do CATIA®. A representação de um tipo de NURBS é apresentada pela Figura A.4.
Portanto, o usuário possui a flexibilidade de definir a forma geométrica que melhor representa
o componente analisado.
Figura A.4 – Representação de um tipo de NURBS.
Superfícies NURBS, de grau p na direção u, e, grau q na direção v, são funções
polinomiais que podem ser descritas por meio da equação:
n
m
S w (u , v ) = ∑ ∑ N i , p (u ) N j ,q (v) Pi ,wj ( 0 ≤ u , v ≤ 1 )
(A.4)
i = 0 j =0
B
e Pi ,wj formam uma rede de pontos
onde N i , p (u ) e N j ,q (v) são funções polinomiais B-Splines
de controle da superfície em coordenadas homogêneas (substituem o sistema de coordenadas
cartesianas na computação gráfica, o que permite representar pontos no infinito em qualquer
direção).
As superfícies NURBS foram utilizadas como método para a criação de cada
modelo geométrico dos componentes analisados nesta tese (capítulos 4, 5 e 6), através do
pacote computacional CATIA®.
148
Apêndice
_____________________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
A.2.2. Problemas na modelagem de superfícies
Ao modelar geometricamente um componente no CATIA®, o usuário gera
diversas superfícies NURBS, que devem ser conectadas entre si para formar a superfície do
objeto como um todo. Nestas conexões, podem surgir descontinuidades em função de
pequenas diferenças geométricas entre regiões de superfícies di
distintas,
stintas, ocasionando em
irregularidades na superfície do componente. Para a obtenção de melhores resultados nos
processos de resolução numérica, deve-se
deve se levar em consideração estas irregularidades na
superfície e corrigi-las.
las. A correção se dá por meio da mudança
mudança de posição de pontos controle
para que se tenha o ajuste das B-Splines
Splines e conseqüente melhoraria na conexão entre todas as
regiões da superfície. A figura A.5 representa alguns problemas encontrados na superfície do
pára-choque
choque analisado nos capítulos
capítulos 4 e 6, a partir da modelagem geométrica realizada pelo
CATIA®.
Figura A.5 – Exemplo de irregularidades de superfície no CATIA®.
No caso do modelo geométrico do pára-choque,
pára choque, houve mudança de posição de
diversos pontos de controle, no intuito de se obter a conexão adequada entre regiões da
superfície do pára-choque
choque (capítulo 4 e 6). Uma vez corrigido, não houve reincidência de
irregularidades na mesma região e verificou-se
verificou se todas as conexões de superfícies no pára
párachoque para evitar problemas na resolução
resol
numérica.
Após a modelagem geométrica completa dos componentes analisados (capítulos
4, 5 e 6), foram geradas as malhas iniciais com a finalidade de se realizarem as simulações
através do MEF e do MEC, tomando-se
tomando se as devidas precauções de conexões entre as regiões
da superfície. O processo completo envolvendo a criação de malhas a partir de superfícies
149
Apêndice
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
regulares, geometricamente descritas segundo a representação NURBS, é tratado na seção
seguinte.
A.3. HYPERMESH®
O HYPERMESH® é um pacote computacional utilizado na geração de malhas a
partir de modelos geométricos para análises numéricas. Este pacote computacional trabalha
como um pré-processador, permitindo análises de concepção do produto em um ambiente
interativo e gerando malhas para projetos complexos de diferentes espessuras e configurações
(Altair Engineering, 2007).
A importação dos modelos geométricos, gerados no CATIA®, ocorre por meio de
arquivos em formatos específicos que contêm todos os dados geométricos do modelo, os
quais são utilizados pelo HYPERMESH® para a criação da malha. O processo de geração das
malhas do pára-choque analisado no capítulo 4 ocorreu por meio do HYPERMESH® e, com
base nas superfícies criadas no CATIA®, compreendeu o uso de malhas com elementos
quadrangulares em superfícies com geometria complexa.
O processo de geração de uma malha pode ser exemplificado a partir da superfície
de um componente qualquer, conforme ilustrado na Figura A.6.
Figura A.6 – Exemplo de uma superfície qualquer a ser discretizada.
O pré-processamento de uma superfície é baseado em técnicas de subdivisões
recursivas que controlam a dimensão de cada elemento criado em função da curvatura em
diferentes regiões da superfície, permitindo a modelagem de superfícies complexas.
150
Apêndice
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
Uma das opções para a criação de malhas no HYPERMESH® se dá por meio de
um algoritmo que utiliza um método denominado advancing front (Moller and Hansbo,
1995), que se baseia nas etapas iniciais de definição dos subdomínios e discretização do
perímetro da superfície (fronteira) em partes com dimensões estabelecidas previamente pelo
usuário. Para cada segmento da fronteira, criam-se elementos ao longo da superfície até o
fechamento de todo o perímetro. Finalmente, utiliza-se o processo de suavização da malha
para corrigir algum tipo de distorção de elementos e que ocorre por meio de um segundo
algoritmo, denominado smoothing (Canann, Tristano and Staten, 1998).
Subdomínios são compostos por três tipos de linhas, quais sejam, linhas de
contorno, linhas de furo e linhas internas (Teixeira, 2003). Linhas de contorno são conjuntos
de segmentos conectados que definem as fronteiras do subdomínio na superfície. As linhas de
furo são consideradas segmentos conectados pelas formas internas de um contorno, sendo que
a propagação da malha ocorre para fora destes segmentos. As linhas internas servem como
auxílio na criação dos nós em regiões específicas da superfície. Estes três tipos de linhas
podem ser visualizados por meio da figura A.7-a e a propagação da malha em A.7-b.
Figura A.7 – Tipos de linhas em subdomínios (Teixeira, 2003).
O processo de discretização do contorno se dá por meio da realização de
subdivisões sucessivas até que a tolerância angular seja satisfeita e que não se tenha nenhum
segmento maior que o definido pelo usuário. Portanto, o número de segmentos gerados em
uma linha é representado pela equação:
151
Apêndice
_____________________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
ni =
C
L
(A.5)
onde ni é o número de partes da linha, C é o comprimento total da linha e L é a dimensão
máxima dos lados de cada elemento.
O espaçamento paramétrico inicial entre os pontos da linha (ti) é representado por:
ti = 1 / ni
(A.6)
O ângulo entre os vetores tangentes das extremidades, para cada segmento, é
definido por:
cos A j =
Tj
Tj
.
T j +1
(A.7)
T j +1
(A.8)
L j = Pj +1 − Pj
onde Aj é o ângulo entre os vetores tangentes das extremidades e Lj é o comprimento do
ângulo entre os vetores tangentes das extremidades, Pj é um ponto da curva e Tj é o vetor
referente a este ponto.
A Figura A.8 apresenta as variáveis envolvidas no processo de discretização de
um contorno qualquer.
Figura A.8 – Variáveis envolvidas na discretização do contorno.
152
Apêndice
_____________________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
Se, em todos os segmentos, Aj for menor que o ângulo máximo entre os vetores
tangentes das extremidades e Lj < L,
L o processo se completa. Senão, deve-se
se subdividir cada
segmento, de acordo com a equação:
t kj +1 = t kj / 2
(A.9)
onde t kj representa o comprimento do segmento j antes de subdivisão e t kj +1 é o comprimento
dos dois segmentos após a subdivisão.
ivisão.
O resultado deste processo corresponde a pontos no contorno do espaço
paramétrico da superfície, representado pela Figura A.9.
Figura A.9 – Superfície com o contorno discretizada.
Ao final, tem-se
se a discretização completa da superfície, que é normalmente
seguida pela suavização da malha.. Um dos processos de suavização é conhecido como
suavização Laplaciana (Canann, Tristano and Staten, 1998) no qual ocorre o
reposicionamento dos nós, fazendo com que os mesmos tornem-se
tornem se o centróide do polígono
formado pelos nós vizinhos. Esta atualização dos nós é realizada pela seguinte equação:
m
n
n
∑ wi 0 ( X 1 + X 0 )
X 0n +1 = X 0n + φ i =1
m
(A.10)
∑ wi 0
i =1
onde X 0n é o vetor posição do nó zero, m é o número de incidentes, wi 0 é o fator que
relaciona as distâncias real e paramétrica entre o nó i e 0 e φ é o fator de suavização no
intervalo [0,1].
153
Apêndice
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
A Figura A.10 ilustra o processo como um todo, partindo-se da superfície
representada na Figura A.6, passando pela discretização do contorno (Figura A.9) até a
discretização completa da superfície com a devida suavização.
Figura A.10 – Exemplo de geração de malhas no HYPERMESH®.
As malhas dos componentes desta tese, geradas pelo HYPERMESH®, foram
utilizadas nas simulações do MEF. Para as simulações do MEC, utilizaram-se malhas geradas
pelo pacote computacional ANSYS® que permite a extração dos dados da malha (coordenadas
dos nós e a matriz de conectividade entre nós e elementos) para serem processados no
Matlab®, conforme fluxograma apresentado na Figura 3.9. Este processo de utilização dos
dados da malha gerada no ANSYS® está detalhado na seção seguinte.
A.4. ANSYS®
O ANSYS® é um pacote computacional baseado no método dos elementos finitos.
O ANSYS foi utilizado nos capítulos 5 e 6 para gerar as malhas dos componentes veiculares e
exportar seus dados (coordenadas dos nós e a matriz de conectividade entre nós e elementos)
para serem processados no Matlab® usando elementos de contorno.
O pacote computacional ANSYS® está dividido em três módulos principais: préprocessador (criação da malha), processador (análise e seleção dos dados de saída) e pósprocessador (visualização dos resultados). Nos capítulos 5 e 6, utilizou-se o módulo préprocessador para gerar malhas dos componentes veiculares, processo o qual está detalhado a
seguir.
154
Apêndice
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
A.4.1. O processo de geração de malhas no ANSYS®
O processo para geração de malhas no ANSYS® obedece aos mesmos conceitos
apresentados na seção A.3. Antes de se gerar a malha do modelo geométrico, é importante
verificar qual tipo é o mais apropriado para as análises, ou seja, malha livre ou malha
mapeada. A malha livre não tem restrições em termos de formas do elemento e nenhum
padrão especificado. Uma malha mapeada está restrita em termos de forma do elemento
(ANSYS User's Manual, 2007).
O controle de malha é uma opção que o pacote computacional ANSYS®
disponibiliza aos usuários, o qual permite estabelecer fatores como a forma do elemento, a
posição do nó e o tamanho do elemento a ser utilizado. Além disso, o ANSYS® dispõe da
opção em utilizar controle de malha padrão, a qual faz uso de uma malha adequada para o
modelo a ser analisado. Neste caso, a posição do nó, a forma e o tamanho elemento são prédefinidos pelo pacote computacional em função da geometria do componente, das linhas dos
subdomínios (Figura A.7) e do tipo do elemento, o qual está descrito a seguir.
A.4.2. A extração dos dados da malha
No caso deste trabalho, geraram-se malhas das geometrias dos componentes
utilizando elemento quadrilateral de oito nós do tipo Shell93, conforme descrito no capítulo 3
(Figura 3.6). Este elemento é adequado para modelar malhas de superfícies complexas e por
este motivo foi usado no componente. Possui três graus de liberdade em cada nó e suas
formas de deformação são quadráticas em ambos os sentidos no plano.
Dois arquivos de programa foram criados na linguagem do pacote computacional
ANSYS®, especificamente para o processo de extração das coordenadas dos nós e elementos,
necessários para serem utilizados como dado de entrada no Matlab®. O primeiro código foi
utilizado para extrair as coordenadas de cada nó da malha da geometria analisada e o segundo,
foi utilizado extrair valores das oito posições relativas aos nós de cada elemento.
Ao gerar os arquivos em formato de texto, e, juntamente com os demais (arquivos
contendo as condições de contorno iniciais de deslocamento e de carregamento, as
propriedades do material e o número de pontos de Gauss), todos os dados de entrada estavam
prontos para serem processados pelo programa principal através do Matlab®, de acordo com o
fluxograma apresentado pela figura A.1.
155
Apêndice
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
A.5. NASTRAN®
O NASTRAN® é um potente e consolidado pacote computacional, que possui
soluções que incluem estática linear e não linear, dinâmica, acústica, análise térmica, etc.
(MSC-NASTRAN, 2005). No caso desta tese, o NASTRAN® foi utilizado no capítulo 4 nas
simulações envolvendo análises estáticas, que estão inclusas no pacote básico do produto.
Além de outras, as ferramentas deste pacote básico incluem a funcionalidade de importação
da malha gerada pelo HYPERMESH® e a aplicação de cargas e restrições para análises
estáticas, seguindo as etapas apresentadas pela figura A.1.
A.5.1. Análise estrutural via MEF
A análise estrutural é a aplicação mais usual do método de elementos finitos. O
pacote computacional NASTRAN® é capaz de realizar análise estática para determinar
deslocamentos, tensões e deformações sob condições de carga estática, envolvendo análises
lineares e não-lineares. A análise modal também é empregada para calcular freqüências
naturais e modos de vibração de uma estrutura. A análise harmônica é usada para determinar a
resposta de uma estrutura para cargas harmonicamente variáveis no tempo. A análise
dinâmica é usada para determinar a resposta de uma estrutura para cargas arbitrariamente
variantes no tempo. Além dessas, o NASTRAN® é usado também na área de acústica e outras
aplicações (MSC-NASTRAN, 2005).
O MEF é uma técnica numérica que procura soluções aproximadas de equações
diferenciais parciais, bem como equações integrais. Definem-se elementos finitos como uma
malha de discretização de um domínio dentro de um conjunto contínuo de distintos subdomínios. O MEF é baseado no pressuposto de que o deslocamento de cada elemento pode
variar dentro do corpo analisado considerando a sua rigidez. Para a completa discretização do
componente analisado, todas as cargas aplicadas à estrutura devem ser condensadas em um
conjunto de forças nodais discretizadas. Suas equações foram elaboradas para o conjunto de
nós a fim de descrever o equilíbrio dinâmico entre as forças internas e externas aplicadas em
cada nó e também o efeito da rigidez do nó, de acordo com a equação abaixo:
F (t ) = Mu&& + Cu& + Ku
onde F é o vetor de carga nodal,
(A.11)
M ⋅ u&& são as forças inerciais, C ⋅ u& são forças de
amortecimento, K ⋅ u são as forças elásticas, u é o vetor deslocamento nodal, u& é o vetor de
156
Apêndice
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
velocidade nodal, u&& é o vetor aceleração nodal, M é a matriz de massa, C é a matriz de
amortecimento e K é a matriz de rigidez.
No capítulo 4 desta tese, que tratou das análises via elementos finitos, pontos de
concentração de tensão foram identificados inicialmente por especialistas e estes pontos ou
regiões foram o foco da análise estrutural auxiliada pelo pacote computacional NASTRAN®.
A.5.2. Pontos de restrição
Antes de se realizar qualquer análise numérica, utilizando o NASTRAN® ou
qualquer outro pacote computacional, deve-se considerar pontos de restrição na estrutura para
a simulação do modelo geométrico, ou seja, regiões em que o componente encontra-se fixo na
contra-peça, para as quais o deslocamento é nulo. No caso do pára-choque analisado nesta
tese, estes pontos seguiram rigorosamente as mesmas fixações do componente no veículo,
aproximando-se ao máximo da realidade. A Figura A.11 apresenta, em vermelho, os pontos
de restrição utilizados na análise virtual do pára-choque.
Figura A.11 – Vista posterior e pontos de restrição do pára-choque.
A.5.3. Os dados de saída
Por meio do sistema de pós-processamento do pacote computacional
®
NASTRAN , visualizam-se resultados de tensão, deformação e deslocamento do modelo
geométrico, em função das propriedades de material, carregamentos e pontos de restrição,
empregados na análise estrutural. A visualização dos resultados é de fácil interpretação por
meio de ferramentas gráficas, que auxiliam na compreensão dos valores gerados.
Na indústria automotiva, o MEF vem sendo utilizado nas primeiras etapas do
projeto e do processo para reduzir o tempo de desenvolvimento de produto, fornecendo
soluções numéricas para problemas estáticos, satisfazendo o uso do pacote computacional
NASTRAN®, para análises estruturais, que em conjunto com outros softwares, passa a realizar
também a análise de fadiga, como o FDYNAM ®, utilizado nesta tese e apresentado na seção
a seguir.
157
Apêndice
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
A.6. FDYNAM®
O FDYNAM® foi desenvolvido e é utilizado pela Ford Motor Company em
simulações para avaliar a resistência à fadiga de componentes automotivos. O pacote simula,
não somente efeitos estáticos, mas também efeitos dinâmicos de carga e estrutura, que são
simulados de maneira confiável (Ma et al., 2007).
A malha geométrica, as amplitudes de tensões alternadas e a caracterização do
material em análise são os dados de entrada requeridos para a simulação de vida útil sob
fadiga de componentes automotivos utilizando o pacote computacional FDYNAM®. As
amplitudes das tensões estão relacionadas com as amplitudes de vibração do componente que
normalmente são coletadas por meio de instrumentação veicular em campos de prova.
Considerando estas informações como dados de entrada, é possível simular diversas situações
de fadiga do componente por meio do pacote computacional FDYNAM®.
Para as simulações de vida útil sob fadiga, o FDYNAM® utiliza os princípios da
regra de Palmgren-Miner (equação 2.1) para o cálculo do dano acumulado, levando-se em
consideração o histórico da variação de tensões em pontos críticos de componentes veiculares.
No contexto geral desta tese, o FDYNAM® foi utilizado no capítulo 4 como uma
ferramenta para a execução das simulações de fadiga no pára-choque, a partir da malha gerada
no HYPERMESH®, para a obtenção dos valores de danos causados pela aplicação de cargas
cíclicas no componente.
A.7. Matlab®
Para a obtenção dos dados de entrada, utilizados no Matlab® versão 6.5,
primeiramente extraiu-se os dados da malha no ANSYS® através de códigos denominados
nesta tese por GERA_NOS.inp e GERA_ELEM.inp. Os arquivos gerados foram NOS.txt e
CONECT.txt, contendo as coordenadas de todos os nós do problema no sistema global e a
matriz de conectividade entre elementos e nós, respectivamente. Ao gerar os arquivos em
formato de texto, e, juntamente com os demais (arquivos contendo as condições de contorno
iniciais de deslocamento e de carregamento, as propriedades do material e o número de pontos
de Gauss), os dados de entrada foram processados pelo código principal, denominado por
PRINCIPAL.m, baseado no programa E-Con3D (Noritomi, 2000). Os códigos mencionados
encontram-se detalhados a seguir.
158
Apêndice
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
A.7.1. Código GERA_NOS.inp
/prep7
! Criando uma matriz temporaria p/ armazenar info
*dim,nodes,array,ndinqr(0,14),3
! Obtendo informacoes do modelo
*vget,nodes(1,1),node,1,loc,x
*vget,nodes(1,2),node,1,loc,y
*vget,nodes(1,3),node,1,loc,z
! Comando para gerar o arquivo NOS.txt
/output,NOS,txt
! Gerando valores da variavel nodes nas 3 posicoes ref as coordenadas de cada no
*vwrite,nodes(1,1),nodes(1,2),nodes(1,3)
(f16.9,f16.9,f16.9)
/output
finish
A.7.2. Código GERA_ELEM.inp
/prep7
! Criando uma matriz temporaria p/ armazenar info
*dim,elem,array,elmiqr(0,14),8
*do,i,1,8
! Obtendo informacoes do modelo
*vget,elem(1,i),elem,1,node,i
*enddo
! Comando para gerar o arquivo CONEC.txt
/output,CONECT,txt
! Gerando valores da variavel elem nas 8 posicoes ref aos nos de cada elemento
*vwrite,elem(1,1),elem(1,5),elem(1,2),elem(1,6),elem(1,3),elem(1,7),elem(1,4),elem(1,8)
(f8.0,f8.0,f8.0,f8.0,f8.0,f8.0,f8.0,f8.0)
/output
finish
159
Apêndice
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
A.7.3. Código PRINCIPAL.m
home
close all
clear all
NODPT = 0;
NCOND = 0;
T0 = clock;
TOEntrada = clock;
% ### CARREGA OS DADOS DE ENTRADA ###
load Props.txt;
% ### Primeiro arquivo com uma coluna e quatro linhas, sendo:
MAXL = Props(1,1);
% MAXL - Máxima dimensão do modelo (mm);
E = Props(2,1);
% E - Modulo de Elasticidade (N/mm2);
NU = Props(3,1);
% NU - Coeficiente de Poisson (admensional);
IGAUS = Props(4,1);
% IGAUS - Qtde de pontos de Gauss para integracao;
% ### Lê o arquivo NOS.txt e cria a matriz NOS (NNP) ###
load NOS.txt;
NNP = size(NOS,1);
for ii = 1:NNP
X(ii) = NOS(ii, 1) ;
Y(ii) = NOS(ii, 2) ;
Z(ii) = NOS(ii, 3) ;
end;
% ### Lê o arquivo CONECT.txt ###
load CONECT.txt;
NEL = size(CONECT,1);
NBPTU = 0;
160
Apêndice
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
% ### Entrada de condições de contorno de deslocamento ###
load CDCDesl.txt;
CondContDesl = CDCDesl;
NBCU = size(CondContDesl,1); %disp([NBCU]);
for ii = 1:NBCU
MNEL(ii) = CondContDesl(ii,1);
MCOND(ii) = CondContDesl(ii,2);
for jj = 1:8
UPRES(ii,jj) = CondContDesl(ii,(jj + 2));
end;
end;
% ### Entrada de restrições pontuais nas quais as trações são nulas ###
if NBPTU ~= 0
condContTracNula = [NODPT NCOND;
NODPT NCOND;
NODPT NCOND];
for ii = l:NBPTU
NODPT(ii) = CondContTracNula(ii,1)
NCOND(ii) = CondContTracNula(ii,2)
end;
end;
% ### Entrada de condições de contorno de deslocamento ###
load CDCTens.txt;
CondContTens = CDCTens;
disp(['Condições de contorno de Tensao:']);
disp([' JNEL P PXX PYY PZZ PXY PXZ PYZ CDC']); disp([CDCTens]);
% ### JNEL = qtde de elementos sujeitos a condição de contorno;
% ### P = carregamento uniforme sobre um elemento;
% ### PXX, PYY, PZZ, PXY, PXZ, PYZ = condição de contorno do estado de tensão
% ### sobre cada elemento elemento.
disp(['NBCP - Quantidade de elementos de contorno de tensao =']);
161
Apêndice
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
NBCP = size(CondContTens,1); disp([NBCP]);
TempoEntrada = etime(clock,TOEntrada);
% ### Calcula e armazena coordenadas e pesos dos pontos de Gauss ###
TOInteGauss = clock;
[XG,CG] = INTEGAUS(IGAUS);
TempoInteGauss = etime(clock,TOInteGauss);
% ### Avalia as condições de contorno ###
fprintf('Avaliando Condições de Contorno\n');
TOBcs = clock;
[NELM,JT,jt_local,ICOND,TPRES,NBCT] = BCS(NBCU,NBCP,IGAUS,CONECT,X, Y,
Z,CondContTens);
% ### BCS: função que realiza a leitura dos vetores de entrada e cria vetores contendo as
condições de contorno ###
TempoBcs = etime(clock,TOBcs);
fprintf('Condições de Contorno avaliadas\n');
fprintf('Tempo gasto p/ avaliação das condições de contorno = %1.3f\n\n',TempoBcs);
% ### Comando PACK p/ salvar as variáveis em disco rígido e limpar a memória ###
cwd = pwd;
cd(tempdir);
pack
cd(cwd)
fprintf('Formando matriz [A] e vetor BT\n');
TOFrMtrx = clock;
fprintf('Lendo matrizes [H] e [G] pré-formadas\n' );
[A,BT,NLIBD] = FRMTRX2 (NNP, NEL,NBCU,NBPTU,NBCT, IGAUS,MAXL, NU, E,
CONECT,NELM,MNEL,NODPT,UPRES,TPRES,ICOND,MCOND,NCOND,JT,
jt_local,
CG,XG,X, Y, Z) ;
% ### FRMTRX2: função que recebe as condições de contorno e as matrizes H e G,
formando matriz [A] e vetor BT;
TempoFrMtrx = etime(clock,TOFrMtrx);
162
Apêndice
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
fprintf('Matriz [A] e vetor BT formados\n' );
fprintf('Tempo p/ formar a matriz [A] e vetor BT = %1.3f\n\n',TempoFrMtrx);
% ### Solucao do sistema matricial por meio da eliminação de Gauss ###
TOGauss_eli = clock;
load BT.mat;
B = A \ BT; % [B] = Gauss_eli(A,BT);
TempoGauss = etime (clock,TOGauss_eli);
fprintf ('Sistema resolvido\n' ) ;
% ### Retorna valores nodais para deslocamentos e tensoes ###
TOOutPut = clock;
NZ = zeros(NNP,1);
Tracao = zeros(8*NEL,1);
for N = 1:NBCU
M = MNEL(N);
for I = 1:8
INOD = CONECT (M,I);
if NZ(INOD) ~= MCOND(N)
NODE = 3 * (INOD -1) + MCOND(N);
TRACT(NODE) = BT(NODE)* E;
BT(NODE) = UPRES(N,I) / MAXL;
Tracao ( 8* (M-1)+I,MCOND(N) ) = TRACT (NODE) ;
NZ(INOD) = MCOND(N);
end;
end;
end;
% ### Remove o fator de escala para valores calculados de deslocamento ###
for I = 1:NLIBD
BT(I) = BT(I) * MAXL;
end;
% ### Vetores de saida para deslocamento nodal ###
163
Apêndice
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
for I = 1:NNP
Desloc(I,1) = BT(3 * I - 2);
Desloc(I,2) = BT(3 * I - 1);
Desloc(I,3) = BT(3 * I) ;
end;
for cdctrac = 1:NBCT
Tracao ((8* (NELM(cdctrac) -1) + jt_local (cdctrac)),ICOND (cdctrac)) = TPRES(cdctrac);
end;
[SigNodal] = TensNodal(Tracao,Desloc,NEL,NNP,CONECT,X, Y, Z, E,NU) ;
% ### TensNodal: função que trata os resultados finais;
fprintf('Vetores e matrizes de resultado prontos\n');
%disp([' ']);
fprintf('Tempo de preparação do resultado = %1.3f\n',TempoOutPut);
%disp([' ']);
TempoProcesso = etime(clock,T0);
fprintf('Tempo total de processamento = %1.3f\n\n',TempoProcesso);
% ### Salva o arquivo .mat e fecha todos os arquivos abertos para leitura ###
save('TENSAO','Tracao','Desloc','SigNodal','TempoProcesso')
fprintf('Resultados salvos no arquivo chamado "TENSAO.mat"');
fclose ('all') ;
A.8. Conclusão
Os pacotes computacionais utilizados foram adequados ao propósito estabelecido
neste trabalho, permitindo a geração de modelos geométricos e malhas, além da execução das
análises estáticas e dinâmicas via simulação numérica para a identificação de falhas em
componentes veiculares.
164
Apêndice
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
A.9. Nomenclatura
A.9.1. Símbolos
bn(t): ponto da curva correspondente a um parâmetro t;
n: grau do polinômio da curva de Bézier;
bj : pontos de controle da curva de Bézier;
N i ,k : polinômio de ordem k;
Pi ,wj : rede de pontos de controle da superfície em coordenadas homogêneas
N i , p (u ) , N j ,q (v) : funções B-Splines;
ni: número de partes da linha;
C: comprimento total da linha;
L: dimensão máxima dos lados de cada elemento;
ti: espaçamento paramétrico inicial entre os pontos da linha;
Aj: ângulo entre os vetores tangentes das extremidades;
Lj: comprimento do ângulo entre os vetores tangentes das extremidades;
Pj: ponto da curva;
Tj : vetor referente a este ponto;
t kj : comprimento do segmento j antes de subdivisão;
t kj +1 : comprimento dos dois segmentos após a subdivisão;
X 0n : vetor posição do nó zero;
m: número de incidentes;
wi 0 : fator que relaciona as distâncias real e paramétrica entre o nó i e 0;
F: vetor de carga nodal;
M ⋅ u&& : forças inerciais;
C ⋅ u& : forças de amortecimento;
K ⋅ u : forças elásticas;
u: vetor deslocamento nodal;
u& : vetor de velocidade nodal;
u&& : vetor aceleração nodal;
M: matriz de massa;
C: matriz de amortecimento;
K: matriz de rigidez.
165
Apêndice
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
A.9.2. Letras gregas
φ : fator de suavização no intervalo [0,1].
166
Apêndice
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
A.10. Referências bibliográficas
Altair Engineering, 2007, “Hypermesh Version 8.0 - User’s Manual”, Altair Computing Inc.
ANSYS, 2007, “User's Manual - Version 11.0”, Swanson Analysis Systems Inc.
Canann, S.A, Tristano, J.R. and Staten, M.L, 1998, “An approach to combined laplacian and
optimization-based smoothing for triangular, quadrilateral, and quad-dominant meshes”
In: Seventh international meshing roundtable, pp.479–494.
Farin, G., 1999, “NURBS – from Projective Geometry to Practical Use”, 2nd edition, AK
Peters, Ltd., 267p.
Ma, Z., Shahidi, B., Lee, M.J. Zhou, S. and McNamee, M., 2007, “CAE Driven Body
Durability and Upfront Structure Development of the New Ford Edge”, MSC Software
Corporation's 2007 Americas VPD Conference, 11p.
Moller, P. and Hansbo, P., 1995, “On Advancing Front Mesh Generation in Three
Dimensions”, International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 38,
pp.3551-3569.
MSC-NASTRAN, 2005, “User’s Manual - Release 2005”, MSC Software Corporation.
Noritomi, Pedro Yoshito, 2000, “Desenvolvimento de um programa base em elementos de
contorno para aplicações a análises mecânicas tridimensionais em bioengenharia”,
Dissertação (Mestrado em Engenharia Mecânica) - Universidade Estadual de Campinas,
Campinas, 145 p.
Piegl, L.A. and Tiller, W., 1996, “The NURBS Book (Monographs in Visual
Communication)”, 2nd Edition, Springer, 646p.
Plantenberg, K., 2008, “An Introduction to CATIA V5 Release 17”, Schroff Development
Corporation, 412p.
167
Apêndice
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
Rogers, D.F. and Adams, J.A., 1990, “Mathematical Elements for Computer Graphics”, 2nd
Edition, McGraw-Hill, 611p.
Teixeira, Fábio Gonçalves, 2003, “Modelamento paramétrico e geração de malha em
superfícies para aplicações em engenharia”, Tese (Doutorado em Engenharia Mecânica) Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, 129 p.
168

Simulação Numérica para Predição de Flhas em compenentes

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