A contextualização histórica de algumas fórmulas matemáticas e

Transcrição

FUNDAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DE RONDÔNIA – UNIR
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA – DME
CAMPUS DE JI-PARANÁ
REGIANE FRANKLIN
A CONTEXTUALIZAÇÃO HISTÓRICA DE ALGUMAS
FÓRMULAS MATEMÁTICAS E SEUS DESCOBRIDORES:
UM SUPORTE AO TRABALHO DOS PROFESSORES DE
MATEMÁTICA.
Ji-Paraná
2014
1
FUNDAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DE RONDÔNIA – UNIR
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA – DME
CAMPUS DE JI-PARANÁ
REGIANE FRANKLIN
A CONTEXTUALIZAÇÃO HISTÓRICA DE ALGUMAS
FÓRMULAS MATEMÁTICAS E SEUS DESCOBRIDORES:
UM SUPORTE AO TRABALHO DOS PROFESSORES DE
MATEMÁTICA.
Trabalho de Conclusão de Curso submetido
ao Departamento de Matemática e
Estatística, da Universidade Federal de
Rondônia, Campus de Ji-Paraná, como
parte dos requisitos para obtenção do título
de Licenciado(a) em Matemática, sob a
orientação do professor Dr. Ariveltom
Cosme da Silva.
Ji-Paraná
2014
REGIANE FRANKLIN
A CONTEXTUALIZAÇÃO HISTÓRICA DE ALGUMAS FÓRMULAS
MATEMÁTICAS E SEUS DESCOBRIDORES: UM SUPORTE AO TRABALHO DOS
PROFESSORES DE MATEMÁTICA.
Este Trabalho de Conclusão de Curso foi julgado adequado como parte dos requisitos para
obtenção do título de Licenciada em Matemática e teve o parecer final como Aprovado, no
dia 28.07.2014, pelo Departamento de Matemática e Estatística, da Universidade Federal de
Rondônia, Campus de Ji-Paraná.
Banca Examinadora
___________________________________________
Prof. Ms. Reginaldo Tudéia dos Santos (membro)
___________________________________________
Prof. Ms. Fernando Luiz Cardoso (Membro)
___________________________________________
Prof. Dr. Ariveltom Cosme da Silva (Orientador)
Dedico este trabalho a minha
família, em especial a minha mãe,
Antônia, meus irmãos, Edimar,
Ednaldo, Luciane, Rosane e
Rosângela e sobrinhos, Edilaine,
Edson e Heloisa.
AGRADECIMENTOS
A construção de um estudo acadêmico gera uma dedicação fora do comum e o tempo
parece ser sempre curto, mas os objetivos finais são de grande satisfação. Neste trajeto, muitas
coisas acontecem; amizades são feitas, conhecimentos adquiridos que jamais serão
esquecidos. Muitas foram as pessoas que ajudaram, aqui deixo meus agradecimentos:
Primeiramente, a Deus pela paz, saúde e inteligência concedida a mim durante todos
esses anos em que estive na Universidade.
Aos meus amigos Roseny Alves e Rudson Carlos, pelo companheirismo e apoio
durante estes quatro ano de faculdade.
A minha amiga Clemilda pelo incentivo e apoio durante a realização deste trabalho.
Aos amigos que fiz na Universidade, desde o início do curso, até os mais novos, por
terem prestado ajuda e companheirismo nestes anos de faculdade.
Ao meu orientador Ariveltom Cosme da Silva, por toda ajuda e dedicação na
construção deste trabalho.
Aos meus professores que foram responsáveis por me guiar para uma formação mais
sólida e completa.
Aos amigos adquiridos desde que vim morar em Ji-Paraná, aos demais familiares e
para todos aqueles que de uma forma ou de outra contribuíram para o engrandecimento de
minha pessoa.
RESUMO
FANKLIN, Regiane. A contextualização histórica de algumas fórmulas matemáticas e seus
descobridores: um suporte ao trabalho dos professores de matemática. 2014. 00f. Monografia
(Licenciatura em Matemática) – Departamento de Matemática e Estatística, Universidade
Federal de Rondônia, Ji-Paraná.
Este trabalho foi desenvolvido no intuito de trazer mais informações ao leitor a respeito da
presença de homens que atuaram na área da matemática. Contém a biografia de matemáticos e
suas contribuições para o crescimento dessa ciência. Também é apresentado e analisados,
dados colhidos em uma pesquisa realizada na Escola Estadual de Ensino Fundamental e
Médio Juscelino Kubitschek de Oliveira em Ji- Paraná – RO. O objetivo foi verificar se os
alunos do Ensino Médio conhecem os Matemáticos que construíram as fórmulas que eles
usam em sala de aula, e se é feita uma abordagem histórica sobre estes estudiosos pelos
professores durante a aplicação dos conteúdos.
Palavras- chave: Matemáticos, contribuições matemáticas, fórmulas e alunos.
LISTA DE FIGURAS
Figura1: Representação geométrica do Método da Tangente de Newton
Figura 2 : Retas paralelas cortadas por retas transversais.
Figura 3: Reta com dois pontos.
Figura 4: Segmento de reta.
Figura 5: Circunferência.
Figura 6: Ângulos retos.
Figura 7: Retas e ângulos.
Figura 8: Ponto e reta.
Figura 9: Gráfico Cartesiano.
Figura 10: Representação geométrica do Método da Tangente de Leibniz.
Figura 11: Elipse.
Figura 12: Hipérbole.
Figura 13: Parábola.
Figura 14: Os alunos conhecem os matemáticos que construíram as fórmulas que eles usam em
sala.
Figura 15: Conhecimentos dos alunos sobre a contribuição dos estudiosos para a evolução da
Matemática.
Figura 16: Abordagem histórica dos conteúdos matemáticos em sala, isso é feito pelo
professor?
Figura 17: Metodologia usada pelo professor em sala de aula.
Figura 18: Apresentação histórica de matemáticos, pode auxiliar na compreensão dos
conteúdos?
Figura 19: Opinião dos alunos quanto ao maior rendimento escolar e interesse pela Matemática
caso seja aplicado a história envolvendo os matemáticos e suas fórmulas.
ÍNDICE
INTRODUÇÃO...................................................................................................................10
1. DEFINIÇÕES DE FÓRMULAS E EQUAÇÃO.........................................................11
2..ALGUNS DOS GRANDES GÊNIOS............................................................................12
2.1.BHÁSKARA...................................................................................................................12
2.1.1 Contribuições................................................................................................................15
2.2 PITÁGORAS...................................................................................................................16
2.2.1 Contribuições................................................................................................................17
2.3 ISAAC NEWTON...........................................................................................................18
2.3.1 Contribuições................................................................................................................21
2.4 ALBERT EINSTEIN......................................................................................................23
2.4.1 Contribuições...............................................................................................................24
2.5 TALES DE MILETO................ .....................................................................................26
2.5.1 Contribuições...............................................................................................................27
2.6 EUCLIDES .....................................................................................................................28
2.6.1 Contribuições................................................................................................................29
2.7 FERMAT.........................................................................................................................31
2.7.1 Contribuições................................................................................................................32
2.8 RENÉ DESCARTES.......................................................................................................33
2.8.1 Contribuições................................................................................................................34
2.9 LEIBNIZ.........................................................................................................................35
2.9.1 Contribuições...............................................................................................................36
2.10 LEONHARD EULER...................................................................................................38
2.10.1 Contribuições.............................................................................................................40
2.11 HEPÁTIA.....................................................................................................................41
2.11.1 Contribuições.............................................................................................................42
3. METODOLOGIA...........................................................................................................44
4. RESULTADO E DISCUSSÕES.....................................................................................44
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS..........................................................................................51
6..REFERÊNCIAS..............................................................................................................52
7.ANEXOS...........................................................................................................................55
10
INTRODUÇÃO
Ao longo da História da Matemática, teorias foram sendo construídas por estudiosos e
fórmulas foram sendo feitas a fim de atender alguma necessidade, e com isso cada vez mais a
matemática se faz presente em situações simples do cotidiano.
As fórmulas ou equações matemáticas não são apenas úteis para resolver situaçõesproblemas – também podem ter uma beleza própria, não só devido a sua função, mas pela sua
forma, e as verdades simples e poéticas que contém, trazendo em cada símbolo um significado
e informação diferente.
Uma forma simples, que impulsiona a aprendizagem e interesse dos alunos em conhecer
a beleza das fórmulas e equações é apresentar os conceitos existentes e contextualizá-las,
trazendo assim, a importância de cada uma delas.
De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais - PCNs (2000, p.30).
O conhecimento da história dos conceitos matemáticos precisa fazer parte da
formação dos professores para que tenham elementos que lhes permitam mostrar aos
alunos a Matemática como ciência que não trata de verdades eternas, infalíveis e
imutáveis, mas como ciência dinâmica, sempre aberta à incorporação de novos
conhecimentos.
Os primeiros seres humanos viviam sem equações matemáticas, não conheciam os
conceitos e as fórmulas para efetuar os cálculos simples exigidos naquela época. Com o passar
do tempo, a necessidade de cálculos mais elaborados foram surgindo e assim foram sendo
criadas muitas equações para resolver os mais diversos tipos de problemas das mais diversas
áreas do campo do conhecimento.
A apresentação dessas fórmulas, teoremas e equações aos alunos, apresentada com uma
abordagem histórica de seus descobridores ou criadores, os ajudaria a compreender os
conteúdos? Aguçaria o interesse destes pela matemática?
Visando uma melhor abordagem quanto às fórmulas conhecidas pelos alunos, sobre
quem foram esses estudiosos, se os alunos conhecem as histórias destes descobridores, este
trabalho tem por objetivo mostrar que as fórmulas são muito mais que simples ferramentas.
Além das equações, este trabalho também pretende mostrar relatos sobre seus descobridores, as
insatisfações por trás da descoberta e o que elas dizem sobre a natureza do nosso mundo.
Esse trabalho está assim distribuído:
No capítulo um é abordado sobre as definições de fórmula e equações, trazendo
conceitos voltados para a Matemática.
11
No capítulo dois traz informações sobre alguns dos grandes gênios da Matemática, estes
que trouxeram contribuições para esta ciência e que são usadas até os dias atuais pelos alunos.
Será apresentado e discutido no último capítulo uma pesquisa realizada com os alunos
do Ensino Médio de uma escola de rede pública de Ji-Paraná, que refere-se ao conhecimentos
destes alunos sobre grandes estudiosos matemáticos.
1. DEFINIÇÕES DE FÓRMULA E EQUAÇÃO
De modo geral, a evolução de cada cultura se dá em tempos distintos e de formas
distintas, cada qual sofrendo influências peculiares intrínsecas da própria civilização, da época
vivida e de outros diversos fatores. Em relação a evolução da matemática:
Em todas as formas de cultura e sociedade, mesmo as mais rudimentares, encontramos
algum conceito de número e, a ele associado, algum processo de contagem. Pode-se
dizer que o processo de contagem consistia, a princípio, em fazer corresponder os
objetos a serem contados com os objetos de algum conjunto familiar (chamado
conjunto de contagem): os dedos da mão, do pé, pedras, etc.
Com a necessidade de contagem de uma quantidade maior de objetos (como, por
exemplo, o número de cabeças de gado, árvores ou de dias), o homem sentiu que era
necessário sistematizar o processo de contagem, e os povos de diversas partes do
mundo desenvolveram vários tipos de sistemas de contagem. Estabelecia-se, então,
um conjunto de símbolos, juntamente com algumas regras que permitiam contar,
representar e enunciar os números. Alguns desses conjuntos continham cinco, outros
dez, doze, vinte ou até sessenta símbolos, chamados “símbolos básicos”.
Hoje, o processo de contagem consiste em fazer corresponder os objetos a serem
contados com o conjunto {1, 2, 3...}. Para se chegar à forma atual, aparentemente
tão semelhante à anterior, foram necessárias duas grandes conquistas que estão
intimamente relacionadas: o conceito abstrato de número e uma representação
adequada para esses. (SOUZA, 2006)
No campo da matemática, enquanto algumas civilizações já possuíam métodos de
contagem eficientes outras ainda caminhavam na construção de símbolos que representassem
as quantidades no seu processo de contagem. Assim, em todos os aspectos da vida humana,
cada cultura caminha a seu passo, evoluindo e não obstante sofrendo influência de outras
culturas quando por motivos os mais variados entram e/ou mantêm contato.
Só a partir do domínio de um sistema de contagem, foi possível o surgimento de
Equações e Fórmulas, portanto, considerando a necessidade de diferenciar e melhor definir
alguns termos que serão amplamente mencionados no presente estudo, com objetivo de
maximizar a compreensão do conteúdo, fazem-se essenciais algumas definições acerca de tais
termos.
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O termo Equação numa definição que está diretamente voltada à matemática, se
evidencia como sendo:
[...] uma sentença matemática formada por uma igualdade composta por expressões
matemáticas contendo ao menos uma incógnita. Cada uma das expressões da
igualdade contém coeficientes e incógnitas. Os coeficientes são os valores
determinados. As incógnitas são os valores desconhecidos que dependendo do valor
que assumam, podem tornar a equação verdadeira ou falsa. (MATEMÁTICA
DIDÁTICA,2008).
Trata-se de uma resolução matemática, representada por valores conhecidos e valores
desconhecidos, sendo esses valores apresentados – da forma que conhecemos - por números e
letras, sendo os números as expressões exatas dos valores conhecidos, e as letras as expressões
dos valores desconhecidos, onde o resultado verdadeiro dependerá do valor que substituirá a(s)
letra(s).
Quanto à Fórmula o Dicionário Aurélio traz a definição como um “Modo já
estabelecido para requerer, declarar, executar, etc., alguma coisa, com palavras precisas”
(FERREIRA, 2008). Aplicado este conceito à matemática, temos que fórmula é uma
representação simbólica de informações, que no caso quantitativo da matemática, expressa uma
relação entre duas quantidades, isto é, cria uma relação entre um símbolo numérico que
corresponde a uma quantidade abstrata, ou a uma letra que corresponde a um número, ou a um
conjunto de símbolos que corresponderá a determinado resultado, etc.
Em posse de tais informações, cabe atinar para o contexto histórico visando conhecer
o nível de desenvolvimento matemático em que se encontrava a civilização, e então, saber se na
determinada época já eram conhecidas e utilizadas equações e/ou fórmulas.
2. ALGUNS DOS GRANDES GÊNIOS
2.1 BHÁSKARA
Entre os séculos 500 e 1150 d.C. registros históricos mostram que no campo matemático
a civilização hindu teve grande desenvolvimento. Diferentemente dos Gregos que visavam por
clareza e lógica na demonstração de suas equações matemáticas, os hindus possuíam uma
forma empírica, expressa por versos que não raramente eram imbuídos de uma linguagem
mística e obscura, sendo pouco utilizadas as demonstrações das equações, as quais quando
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apresentadas, não dispunham de números imaginários, mas em forma sincopada (por meio de
abreviações) (FRAGOSO, 1999, p.29-31).
Ao longo dos séculos, muitos foram os matemáticos indianos que se destacaram tanto no
campo da matemática, quanto no da astronomia e astrologia. Um dos mais conhecidos foi
Bháskara de Akaria (1114 - 1185 d.C.) também conhecido como Bhaskaracharya nascido em
Vijayapura, local de excelente tradição de matemáticos. Filho de uma família de astrônomos,
que por influência do pai, dedicou-se desde muito cedo a estudar matemática e astronomia,
dando seqüência a tradição familiar. Foi diretor num dos maiores e mais reconhecidos centros
de pesquisas matemáticas e astronômicas, o Observatório de Ujjain, o maior centro de
pesquisas matemáticas e astronômicas da Índia na época, fama adquirida por excelentes
matemáticos como Varahamihira e Brahmagupta, que ali tinham trabalhado e construído uma
forte escola de astronomia matemática, onde se especializou em álgebra, aprofundando seus
estudos sobre sistemas numéricos e equações (ANDRADE, FRAZÃO e AGUIAR, 2014).
Conforme Fragoso (1999, p.30-32), uma de suas obras mais conhecidas foi o livro
Lilavati Vijaganita Grahagonita Gola, que trata em quatro capítulos de questões relacionadas à
aritmética, sendo organizados em Poesia, Matemática, Astronomia e Geometria. A obra escrita
em versos possui bases poéticas e é intitulada com o nome de sua filha o que a envolveu em um
véu de lendas e estórias que intentam explicar os motivos que o levaram a escrever tal
homenagem. Uma das lendas mais conhecidas e difundidas foi a de que:
Lilavati era o nome da filha de Bháskara, significando “a linda menina dos olhos
fascinantes”. Conta a lenda que astrólogos predisseram data e hora propícias para o
seu casamento. Como o tempo era marcado através do relógio d’água (dois recipientes
com água dispostos em níveis distintos, onde a água passa de um para o outro
marcando assim o horário) naqueles dias, Lilavati, ansiosa, debruçou-se sobre um dos
recipientes e, por obra do destino, uma das pérolas que adornava seus cabelos caiu
interrompendo o fluxo d’água e, desse modo, sem a referida cronometragem, ela não
se casou. Em sua tristeza, seu pai, Bháskara, resolveu imortalizá-la através do título de
sua obra, pois criam que quando se colocava o nome de uma pessoa em um livro, esta
viveria para sempre. (FRAGOSO, 1999, p.31-32).
Para consolar a filha em sua tristeza por não mais poder se casar, Bháskara dera o nome
da menina a seu livro intentando imortalizá-la, conforme a crença da época.
Graças a essas histórias sobre a homenagem feita a filha, Bháskara ficou amplamente
conhecido, inclusive entre as pessoas de pouco conhecimento no campo da Matemática diz
Silveira (2001). Ainda segundo a autora, na obra Lilavati Bháskara trata de aritmética, e é na
obra intitulada Bijaganita definida como sendo:
14
[...] um livro sobre Álgebra [os indianos foram os pais da Álgebra e a chamavam de
Outra (=Bija) Matemática (=Ganita), pois nasceu depois da matemática tradicional
que dedicava-se aos cálculos aritméticos e geométricos].
Bháscara gasta a maior parte desse livro mostrando como resolver equações. Embora
não traga nenhuma novidade quanto à resolução das equações determinadas, ele traz
muitos novos e importantes resultados sobre as indeterminadas. Para os matemáticos,
é exatamente nas suas descobertas em equações que reside sua importância histórica.
(SILVEIRA,2001).
Reconhecendo a importância da obra para as equações indeterminadas, a autora nega os
créditos à Bháskara com relação às contribuições para as equações determinadas dizendo que o
que ele traz na obra Bijaganita é “uma mera cópia do que já tinham escrito outros
matemáticos”, corroborando assim, com outros autores, como Guelli (1995, p.36) apud Fragoso
(1999, p.34) que diz que “Mesmo com todo o seu talento, Bháskara não pode dar o passo
fundamental no desenvolvimento das equações, ou seja, a descoberta de sua fórmula”. Garbi
(1997, p.23) apud Fragoso (1999, p.34) esclarece ainda que “A fórmula de Bháskara não foi
descoberta por Bháskara. Conforme ele mesmo relatou no século 12, a mencionada fórmula
fora encontrada um século antes pelo matemático hindu Shidhara e publicada em uma obra que
não chegou até nós”.
Outrossim, Silveira (2001) diz que “Bháskara nem sabia o que é uma fórmula. As
fórmulas surgem na Matemática só 400 anos depois de sua morte, consequentemente, não
poderia ele ter descoberto fórmula nenhuma”. Na época em que o matemático viveu, as
equações eram resolvidas por meio de Regras: (... uma descrição por extenso dos
procedimentos para resolver um problema, por exemplo uma equação) que na época de
Bháskara, tipicamente, tinham a forma de poesias que iam descrevendo as operações a realizar
para resolver o problema.
Outra menção interessante, de Vailati (2007, p. 5-6), diz que “Somente no Brasil a
fórmula geral para a solução das equações do 2.º grau está ligada ao matemático hindu
Bháskara II” (1114-1185). Vailati concorda com Silveira (2001) que esse equívoco que liga
Bháskara a equação do segundo grau não é comum, ocorrendo apenas no Brasil.
Vailati (2007, p.5-6) afirma que “[...] a equação do 2º grau é resultante de um processo
longo de sistematização do conhecimento iniciado pelos babilônicos (2000 a.C) e culminando
na Renascença Européia (Séc. XV e XVI)”. Logo, percebe-se que mais de um matemático
contribuiu para que a dita fórmula resultasse na fórmula que conhecemos hoje.
Para explicar sobre o fundamento usado na construção da fórmula de resolução de
equações do 2º grau, BRASIL (2008) diz que “O fundamento usado para obter esta fórmula é
buscar uma forma de reduzir a equação do segundo grau a uma do primeiro grau, através da
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extração de raízes quadradas de ambos os membros da mesma”. Ou seja, é através dela que
podemos resolver problemas que envolvam equações quadráticas.
Silveira (2001), afirma que com relação as equações do segundo grau determinadas:
[...] fez grandes contribuições e essas estão expostas no Bijaganita. Pode-se dizer que
essas contribuições, principalmente a invenção do método interativo do chakravala e
sua modificação do clássico método kuttaka correspondem ao ápice da matemática
indiana clássia, podendo-se acrescentar que é somente com Euler e Lagrange que
voltaremos a encontrar desenvoltura técnica e fertilidade de idéias de porte
compatíveis. (Silveira ,2001).
As contribuições de Bháskara para a matemática são notáveis como demonstra a autora
acima mencionada, contudo, por virtude de uma associação pouco conveniente não se pode
desmerecer seus méritos com relação as suas contribuições a matemática.
2.1.1 CONTRIBUIÇÕES
A evolução da fórmula se deu da seguinte maneira:
Partindo da fórmula geral das equações de 2º grau:
ax2 + bx + c = 0
(1)
com a diferente de zero;
Multiplicando ambos os membros por 4a:
4a2x2 + 4abx + 4ac = 0;
(2)
Somando b2 em ambos os membros:
4a2x2 + 4abx + 4ac + b2 = b2;
(3)
Reagrupando:
4a2x2 + 4abx + b2 = b2 - 4ac
(4)
O primeiro membro é um trinômio quadrado perfeito (2ax + b)2 = b2 - 4ac
Tirando a raiz quadrada dos dois membros e colocando a possibilidade de uma raiz
negativa e uma positiva ( )
: (2ax + b) =
(5)
Isolando a incógnita x
2ax = -b
Logo a fórmula da equação do segundo grau é:
(CAMPAGNER, 2007).
(6)
16
A utilização da equação do segundo grau se dá da seguinte forma: “Na engenharia é
usada para estudar lançamentos, trajetória de parábolas e materiais; em física nos movimentos
uniformemente variados, lançamentos, queda livre, entre outros; em administração ou
economia, pode ser usada para descobrir o lucro máximo de uma empresa” (CARVALHO,
2008).
2.2 PITÁGORAS
Tudo o que hoje se conhece sobre a biografia de Pitágoras advém de relatos de outros
autores que viveram séculos depois dele, visto que todos os registros da época de sua vida se
perderam. Estima-se que ele tenha vivido entre 569 – 480 a.C., nascido na ilha de Samos,
localizada na Grécia. Em suas viagens Pitágoras visitou o Egito, a Babilônia e talvez até a
Índia, onde buscou conhecer e aprender tudo o que cerceava o conhecimento matemático de
cada uma dessas culturas, desde suas ideias à suas religiões (WAGNER, 2009, p.1).
Bastian (2000, p.13) em complemento ao que diz Wagner ainda relata que Pitágoras
Observou que os Egípcios e Babilônicos calculavam por meio de “receitas”, que
produziam respostas corretas e eram passadas de geração a geração, sem que ninguém
questionasse o porquê delas. Para ele era importante entender os números, suas
relações e não meramente utilizá-los.
Durante as peregrinações, ele observou não só informação matemática e astronômica,
como também muitas ideias religiosas. (2000, p.13).
Quando voltou a sua terra natal, após suas viagens, Pitágoras se deparou com a cidade
dominada pelos persas, o que fê-lo partir para Crotona, uma colônia Grega localizada na Itália.
Foi em Crotona que fundou sua escola, que desenvolvia estudos nos campos da matemática,
filosofia e ciências naturais, e que além de um centro de estudos, era uma sociedade secreta, ou
seja, uma irmandade unida por rituais secretos (BASTIAN, 2000, p.13).
Corroborando com Bastian (2000, p.13), Wagner (2009, p.2) ainda levanta
questionamentos interessantes, dizendo que:
Como todos os documentos daquela época se perderam, tudo o que sabemos veio
através de referências de outros autores que viveram séculos depois. Por isso,
Pitágoras é uma figura obscura na história da Matemática e, para dificultar ainda mais
as coisas, a sua escola, além de secreta, era comunitária, ou seja, todo o conhecimento
e todas as descobertas eram comuns, pertenciam a todos. Assim, não sabemos sequer
se foi o próprio Pitágoras que descobriu o teorema que leva o seu nome, pois era
comum naquela época dar todo o crédito de uma descoberta ao mestre. Não
conhecemos também qual foi a demonstração original, mas historiadores acreditam
que deva ter sido alguma usando áreas. Wagner (2009, p.2).
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Bastian (2000, p.14), indica outras evidências que também levam a crer que Pitágoras
não tenha sido o criador do teorema.
O lema da escola pitagórica, “Tudo é número”, deixa transparecer uma forte afinidade
com a Mesopotâmia. Segundo os historiadores, mesmo o Teorema, ao qual o nome de
Pitágoras está tradicionalmente ligado, já era conhecido dos Babilônicos, havia mais
de um milênio antes. Porém foram os pitagóricos os primeiros a demonstrá-lo, o que
justificaria a denominação do “Teorema de Pitágoras”, como ficou conhecido.
Bastian (2000, p.14),
Mesmo considerada a hipótese de que Pitágoras não tenha descoberto seu Teorema, sua
colaboração para a matemática foi extremante relevante, pois a partir de suas ideias que a
Matemática teve início como uma ciência (WAGNER, 2009, p.1).
“O grande mérito de Pitágoras teria sido a percepção de que os números existem
independentemente do mundo concreto. Desse modo, ele poderia descobrir verdades que
ficariam acima de preconceitos ou opiniões”. Isso, graças ao pensamento de que a existência
dos números, partindo do conceito concreto – já conhecido - existe também no conceito
abstrato, ou seja, no campo imaginário, permitindo alcançar verdades absolutas e incontestáveis
(BASTIAN, 2000, p.13-14).
Ademais “O Teorema de Pitágoras é um dos mais belos e importantes teoremas da
matemática de todos os tempos e ocupa uma posição especial na história do nosso
conhecimento matemático. Foi onde tudo começou”. Pitágoras deu o passo inicial para que a
matemática se tornasse uma ciência e ainda demonstrou um dos teoremas mais relevantes para
da matemática.
Alguns autores julgam o Teorema de Pitágoras como um dos mais, senão o mais
importante teorema da matemática, pois com ele é possível encontrar a medida de um lado de
um triângulo retângulo, a partir da medida de seus outros dois lados. Ademais, o uso do
teorema se dá em diversas situações, como por exemplo, para saber as medidas de um dos lados
de uma rampa, isso porque “É possível utilizar a regra de Pitágoras em praticamente todas as
figuras geométricas planas, pois, de alguma forma elas podem ser divididas em triângulos”. Um
exemplo é o quadrado, visto que para “determinar a medida da bissetriz de um ângulo interno
18
usando a mesma fórmula, basta perceber que a bissetriz seria a hipotenusa de um triângulo
inscrito no quadrado: Assim, h² mediria: a² + b²” (MARTINS, 2012).
Outro exemplo citado por Silva (2011) é:
Dois navios A e B partem em sentidos diferentes: o primeiro para o norte e o segundo
para o leste, o navio A com velocidade constante de 30 Km/h e o navio B com
velocidade constante de 40 Km/h. Qual será a distância entre eles após 6 horas?
Distância percorrida pelo navio A após 6 horas:
D = 30*6 = 180 Km
Distância percorrida pelo navio B após 6 horas:
D = 40 * 6 = 240 Km
Veja o esquema:
Aplicando o Teorema de Pitágoras
N
d² = 180²�240²
d²�32400�57600 d²�90000180kmdistância:D
�
D�300L
240km
Logo, a distância entre eles após 6 horas é de 300 km.
Através dos exemplos mencionados, é possível perceber a presença do Teorema na vida
cotidiana.
2.3 ISAAC NEWTON
Isaac Newton, esse é o nome da personalidade que é considerada como sendo o cientista
que causou o maior impacto na história da ciência. Viveu entre 1642-1727 e nasceu na
Inglaterra em 25 de dezembro. Foi morar com a avó aos dois anos de idade e nunca conheceu o
pai, um rico fazendeiro que veio a morrer antes de seu nascimento. Na escola foi considerado
um aluno mediano visto que nunca se destacara, isso porque na verdade lhe faltava interesse
nas matérias estudadas, todavia utilizava o tempo que sobrava estudando outras matérias que o
interessavam, tais como geometria. Possuía habilidades manuais, tendo inclusive construído um
19
moinho de vento e um quadrante solar de pedra que encontram-se atualmente na Sociedade
Real de Londres (ANDRADE, FRAZÃO E AGUIAR, 2014).
Segundo o biógrafo estadunidense Richard S. Westfall em sua obra “A vida de Isaac
Newton” - considerada pelos críticos como uma das, se não a melhor e mais rica obra
biográfica da vida de Newton - apud Pantone Junior (2001), diz que foi graças a ajuda de um
tio que ele ingressou na faculdade de Cambridge, onde aos dezoito anos formou-se em artes.
Antes de sua formatura, porém, devido ao surto de peste bubônica que vitimou grande parte da
população da Inglaterra, a universidade de Cambridge assim como as demais escolas e
universidades do país, foram fechadas. Por um período médio de dois anos Newton esteve a
morar com sua mãe (1665-1666), e foi nesse espaço tão curto de tempo que ele deu início a
bases de toda a sua obra. Em um relato seu, ele diz:
"No início do ano de 1665, descobri o método de aproximação a uma série desse tipo
e a regra para reduzir qualquer potência de qualquer binômio a tal série. No mesmo
ano, em maio, descobri o método das tangentes de Gregory e Slusius e, em novembro
obtive o método direto das fluxões, e no ano seguinte, em janeiro, a teoria das cores, e
em maio seguinte desvendei o método inverso das fluxões. e no mesmo ano, comecei
a pensar na gravidade como se estendendo até a órbita da Lua e ... deduzi que as
forças que mantêm os planetas em suas órbitas devem [variar], reciprocamente, com o
quadrado de sua distância do centro em torno do qual eles giram.... Tudo isso foi nos
dois anos da peste, 1665 - 1666. Pois, nessa época, eu estava no auge de minha fase de
invenção e me interessava mais pela matemática e pela filosofia do que em qualquer
ocasião posterior". (WESTFALL, 1995 apud PANTONE JUNIOR, 2001).
Nesse relato do próprio Newton, fica evidente que foi esse período o mais produtivo de
sua vida em relação as suas descobertas, principalmente na área da matemática e filosofia.
No ano de 1671, Isaac voltou para a universidade, onde sucedeu o professor de
matemática Isaac Barrow. Todavia, “Conta-se que Newton foi um professor medíocre, que não
conseguia transmitir suas idéias com clareza e que frequentemente faltava às aulas”. Nesse
mesmo ano Newton começara a estreitar relações com o secretário da Royal Society, o que
culminou no ano seguinte na publicação de seu artigo sobre as cores, pela Royal. Newton saiu
então do anonimato (WESTFALL, 1995 apud PANTONE JUNIOR, 2001).
Relacionando todos os campos em que Newton atuou, estão: matemática, mecânica,
física, astronomia, química, teologia e inclusive alquimia. Descobrindo ainda o cálculo
infinitesimal, sendo que em quase todas essas áreas publicou trabalhos (ANDRADE, FRAZÃO
e AGUIAR, 2014).
Newton escreveu alguns tratados de alquimia que não tiveram muita importância, até
por que não foram publicados. Já em teologia, os tratados de Newton, caso tivessem
20
sido publicados, provavelmente dariam o que falar e talvez até o condenassem à
fogueira, isso por que Newton não era muito ortodoxo, seus artigos criticavam a
santíssima trindade ou o trinitarismo em contraposição ao unitarismo. (WESTFALL,
1995 apud PANTONE JUNIOR, 2001).
Seus trabalhos voltados a alquimia e a teologia não foram publicados em virtude, ora
pelo fato de que Newton não os achava relevantes, ora por possuírem críticas que constituiriam
afronta aos padrões religiosos da época, e que possivelmente o comprometeria.
Newton nunca se casou, durante sua carreira travou batalhas intelectuais com três
estudiosos, Hobert Hooke, Christiaan Huygens e Leibniz, fez fortuna na Bolsa Londrina, foi
sócio correspondente da Academia Francesa de Ciência. Em 1703 foi eleito presidente da
Sociedade Real, foi eleito duas vezes membro do Parlamento, foi nomeado pela Rainha Ana em
1699, Diretor da Casa da Moeda, que mais tarde, em 1705 lhe concedeu o título de “Sir”,
tornando-o o primeiro cientista a receber tal honra (ANDRADE, FRAZÃO e AGUIAR, 2014).
Um fato interessante, da vida de Newton é o de que ele, mesmo aos seus oitenta anos de idade,
afirmava orgulhar-se por ouvir e enxergar muito bem e principalmente por possuir ainda todos
os seus dentes (WESTFALL, 1995 apud PANTONE JUNIOR, 2001).
A Newton são atribuídos o desenvolvimento do Cálculo Infinitesimal, leis básicas da
mecânica, em seus estudo de óptica descobriu que “[...]a luz é o resultado do veloz movimento
de uma infinidade de minúsculas partículas emitidas por um corpo luminoso”. E ainda, que a
luz branca é composta por sete cores que separam-se por meio de um prisma. Ele fabricou o
primeiro telescópio refletor, descobriu as leis que regem os fenômenos das mares, elaborou a
Lei de Gravitação Universal, tratou também sobre a velocidade do som e a densidade do ar
(ANDRADE, FRAZÃO E AGUIAR, 2014).
Faleceu em 1727, e está enterrado ainda hoje na Abadia de Westminster. Em Cambridge
foi elevada uma estátua em sua homenagem, a qual possui a seguinte frase: "Ultrapassou os
humanos pelo poder de seu pensamento". Dentre suas obras destacam-se Method of Fluxions
(1671), Philosophiae Naturalis Principia Mathhematica (1687), Opticks (1704), Arithmetica
Universalis (1707), The Chronology of Ancient Kingdoms Amended (1728). (ANDRADE,
FRAZÃO e AGUIAR, 2014).
21
Muitas foram as descobertas de Newton, as quais abrangem áreas distintas, contudo o
que consagrou Newton, foi a lei da gravitação Universal e as três leis de Newton, publicadas na
obra Princípios Matemáticos da Filosofia Natural.
A primeira lei de Newton (a lei da inércia), descreve o que ocorre com os corpos que
estão em equilíbrio, por exemplo: Um objeto que repousa sobre sua mesa, por exemplo, está em
equilíbrio estático, e tende a permanecer nessa situação indefinidamente. No caso dos corpos
em movimento, podemos imaginar um carro em movimento que freia bruscamente. Os
passageiros serão lançado para frente porque tendem a continuar em movimento.
A segunda lei (o princípio fundamental da dinâmica, a força), explica o que ocorre
quando não há o equilíbrio, é representada matematicamente pela fórmula F = ma, da equação,
onde m = massa, F = força escalar resultante e a = aceleração escalar.Como exemplo pode-se
citar que os carros podem aumentar e diminuir suas velocidades graças ação de forças aplicadas
pelo motor e pelo freio respectivamente.
A terceira lei (a lei da ação e reação) mostra como é o comportamento das forças
quando temos dois corpos interagindo entre si. Segundo a terceira lei, se um corpo faz uma
força em outro, imediatamente ele receberá desse outro corpo uma força de igual intensidade,
igual direção e sentido oposto à força aplicada, é representada pela fórmula
e
, onde
.
Graças a ele sabemos que tudo está em movimento e que “um corpo, uma vez que esteja
em movimento, continuará nesse movimento, a não ser que seja impedido de continuar por
alguma causa externa”, isto é, para Newton um corpo não pode parar por si só. Apenas uma
causa externa pode impedir o corpo de continuar no seu movimento. Um exemplo dessa
demonstração é a influência do ar no tempo de queda de um objeto até que este toque no chão.
Uma pena, em relação a queda de uma pedra, por exemplo. Essa interferência faz com que a
pena leve mais tempo que a pedra para tocar no chão, tempo este, que seria o mesmo, tanto
para a pena quanto para a pedra, se não houvesse a presença do ar para interferir no movimento
(BALOLA, 2010).
Também é atribuído a Newton o desenvolvimento do Cálculo Infinitesimal, onde
fundamentou suas ideias em duas noções básicas: a de fluentes e a de fluxão. Newton
desenvolveu seu Cálculo a partir de ideias sobre a origem e natureza do movimento que
remontam aos estudos de Galileu. O Método das Tangentes de Newton (Fig.1), também
conhecido como Método das Fluxões, resolveu o problema da determinação do traçado da
tangente a uma curva dada por uma equação f(x,y) = 0 onde as variáveis x e y representavam
22
grandezas que “fluem” com o passar do tempo – os fluentes – e suas velocidades, chamadas de
fluxões. (BRAGA, 2006, p.157).
Nas palavras de Newton:
Chamando de fluxões os aumentos das velocidades dos movimentos, e de fluentes às
quantidades geradas esclareci aos poucos (nos anos de 1665 e 1666) o método das
fluxões que aproveito aqui na quadratura das curvas. As fluxões são semelhantes aos
aumentos dos fluentes, os quais são gerados em intervalos de tempos iguais, mas são
infinitamente pequenos; e para ser mais exato, diria que estão na primeira razão dos
aumentos nascentes, mas podem ser representados por quaisquer linhas proporcionais
a elas. Se as áreas ABC, ABDG forem descritas pelas ordenadas BC e BD, que se
movem uniformemente ao longo da base AB, então as fluxões dessas áreas estarão
entre si como as ordenadas BC e BD que as descrevem e poderão ser representadas
por aquelas ordenadas; isto é, tais ordenadas estão na mesma proporção que os
aumentos nascentes das áreas. (NEWTON, 1704, apud BARON e BOS, 1985, v.3,
p.31)
Usou como representação geométrica do método da Tangente:
Figura1: Representação geométrica do Método da Tangente de Newton
Fonte: Baron e Bos (1985, v.3 p.31)
Segundo Boyer (1992, p.48), Newton representava por x e y a velocidade associada aos
respectivos fluentes x e y que, em notação atual, correspondem a dx/dt e dy/dt. Denominava de
“momento” ao pequeno incremento que um fluente sofre num pequeno intervalo de tempo . Os
momentos eram representados por xo e yo . Considerava que se uma relação f(x,y) = 0 é válida
para x e y em todos os instantes, também o será para x + xo e y+ yo sendo xo e yo intervalos de
tempo infinitamente pequenos. Para entendermos o procedimento adotado por Newton,
tomaremos como exemplo a mesma equação usada por ele, em 1666, para encontrar,
analiticamente, a inclinação de uma curva dada por uma equação f(x,y) = 0. (BOYER, 1992,
p.20-21).
Newton definiu a integração como sendo as quantidades fluentes para as fluxões dadas.
Portanto o teorema fundamental do cálculo está contido na definição de integração, onde tomar
23
as fluxões e os fluentes são operações inversas. O teorema fundamental do cálculo tem o
seguinte enunciado:
“ Se f é uma função contínua num intervalo I que contém o número a e para cada x pertencente
a I temos F (x) = ∫ f (t) dt, então F é uma função derivável e F’(x) = f(x) ” (LEITHOLD, L. ,1994).
2.4 ALBERT EINSTEIN
Albert Einstein nasceu em 14 de março de 1879, em Ulm, Wurttemberg, sul da
Alemanha, mas cresceu em Munique, capital da Bavária. Seu pai Hermann Einstein tinha
talento para inventar aparelhos elétricos, tanto era que tirava seu sustento de uma oficina
eletrotécnica. Contudo, com o nascimento de Einstein decidiu se mudar para Munique, onde
abriria uma oficina em sociedade com seu irmão Jacob, o que lhe traria melhor retorno
financeiro. Quando criança, Einstein não tinha muita aptidão com matérias como geografia e
história, preferia aquelas voltadas ao cálculo e lógica. Na escola, foi suspenso algumas vezes
por comportamento desatento e não se destacava como um aluno excepcional. Aos doze anos
aprendia álgebra e geometria com seu tio (BRASIL ESCOLA, 2001).
Em 1900 concluiu sua graduação em Física pela Escola Politécnica Federal da Suíça e
em 1903 casou-se com Mileva Maric com quem teve três filhos. Em 1909 após ter publicado
seus artigos na “Revista Anais de Física”, teve seu trabalho reconhecido passando a lecionar na
Universidade de Zurique e na Universidade de Praga, tornando-se em 1912 o físico da Escola
Politécnica Federal da Suíça. Um ano depois passou a lecionar na Universidade de Berlin e
tornou-se membro da Academia de Ciência da Rússia. Em 1913, recebera o convite para ser
diretor do instituto Kaiser Wilhelm de Física substituindo Jacobus Hendricus Van’t Hoff
falecido em 1910. (ANDRADE, FRAZÃO E AGUIAR, 2014).
A proximidade com Planck, Laue, Rubens e Nernst teve efeito eletrizante nas idéias
de Einstein. Suas pesquisas sobre os fenômenos gravitacionais, originadas em
Zurique, puderam ser brilhantemente finalizadas e apresentadas à Academia Prussiana
de Ciências em 4 de novembro de 1915, sob o título de Teoria da Relatividade
Generalizada. Einstein solucionara o problema da harmonia celeste. Segundo ele,
todas as tentativas anteriores para esclarecer a estrutura do Universo tinham se
baseado numa suposição falsa: os cientistas julgavam que o que parecia verdadeiro a
eles , quando observavam o Universo de sua posição relativa, devia ser verdadeiro
para todos os que observavam o Universo de todos os outros pontos de vista. Para
Einstein, não existia essa verdade absoluta. A mesma paisagem podia ser uma coisa
para o pedestre, outra coisa totalmente diversa para o motorista, e ainda outra coisa
diferente para o aviador. A verdade absoluta somente podia ser determinada pela soma
24
de todas as observações relativas. Em oposição à doutrina newtoniana, Einstein
declarava que tudo se acha em movimento (e não que tendem a permanecer em
repouso). (RBASIL ESCOLA, 2001).
Quando passou a exercer a função de diretor do Instituto Kaiser, o tempo despendido
com aulas passou a ser dedicado ao desenvolvimento de seus estudos sobre sua Teoria da
Relatividade, onde buscava solucionar o problema da harmonia celeste. Seus resultados foram
obtidos a partir do momento que Einstein desconsidera o ponto de vista dos estudiosos
anteriores como Isaac Newton, e passa a considerar o seu inverso, que diz respeito a defesa de
que tudo está em movimento e não em inércia como apontara Newton.
E foi em 1921 que recebeu o tão conceituado Prêmio Nobel de Física, por sua Teoria
Geral da Relatividade publicada em 1915 (ANDRADE, FRAZÃO E AGUIAR, 2014).
Dois anos antes de eclodir a segunda guerra mundial Einstein desistiu de seus cargos em
Berlin e mudou-se para os Estados Unidos, onde trabalhou no Instituto de Estudos Avançados
de Princeton. Em 1945 aposentou-se de seu ofício nas universidades dedicando-se no ano
seguinte a apoiar projetos para a formação de um governo mundial, e logo assumiu seu papel
na troca de segredos entre as grandes potências atômicas no intuito de promover a paz mundial
A partir do Postulado da Relatividade e do Postulado da Constância da Velocidade da
Luz, que Einstein construiu a Teoria da Relatividade, a qual lhe colocou no rol dos maiores
gênios da humanidade (ANDRADE, FRAZÃO E AGUIAR, 2014).
A teoria da relatividade é composta de duas outras teorias: Teoria da Relatividade
Restrita, que estuda os fenômenos em relação a referenciais inerciais, e a Teoria da
Relatividade Geral, que aborda fenômenos do ponto de vista não inercial. Apesar de
formar uma só teoria, elas foram propostas em tempos diferentes, no entanto ambas
trouxeram o conhecimento de que os movimentos do Universo não são absolutos, mas
sim relativos. (BRASIL ESCOLA, 2001).
Essa teoria, é uma medida de movimento através do espaço. Um exemplo é o brilho das
estrelas. Sabemos que esse brilho provém de uma estrela distante que pode ter existido a
milhões de anos atrás, isso porque “[...] o tempo é uma dimensão do espaço, e o espaço é uma
dimensão do tempo” (BRASIL ESCOLA, 2001).
25
A relatividade pode não ser um assunto muito comum no dia a dia, mas ela faz parte do
nosso cotidiano. Quando aproximamos da velocidade da luz tudo muda, nesse sentido a
relatividade é muito importante. Não é possível ver como isso ocorre utilizando carros e aviões,
mas as partículas subatômicas podem se movimentar muito rápido, podendo alcançar
velocidades bem próximas à velocidade da luz.
Um instrumento muito comum na atualidade, utiliza mecanismos advindos da
relatividade para determinar com alta precisão a posição na Terra, esse é o conhecido GPS.
Encontrado em celulares de última geração, esse instrumento depende de 24 satélites ao redor
da Terra para a determinação correta da posição, mas se não fosse a relatividade, todas as
medidas estariam erradas. Os cálculos e correções relativísticos são necessários em
consequência da velocidade dos satélites, aproximadamente 14 mil km/h. Essa velocidade é
realmente pequena se comparada com a velocidade da luz, mas mesmo assim os cálculos são
necessários.
Einstein, desenvolveu a equação
, como um desdobramento de sua teoria da
relatividade especial. Ela expressa a chamada "equivalência entre massa e energia". Para se
entender o que isso quer dizer, é preciso compreender o significado dos seus três símbolos.
Em E = mc², E significa quantidade de energia; m, massa, e c, uma das constantes
fundamentais da física, que tem o valor fixo de 300 mil quilômetros por segundo (tal constante
é muitas vezes chamada "velocidade da luz no vácuo", pois esta tem valor idêntico). Assim, um
quilograma de massa (m = 1 kg) corresponde a uma energia de
E = (1 kg) x (300.000.000 metros por segundo) ² = 9 x 1016 joules
Uma pequena quantidade de matéria pode equivaler a uma gigantesca quantidade de energia. O
motivo é o tamanho muito grande do valor da constante c (e ainda por cima elevada ao
quadrado).
2.5 TALES DE MILETO
Tales de Mileto viveu entre 640 a.C. a 550 a.C., nasceu em Mileto, hoje, atual Turquia,
foi fundador da escola Jônica e um dos primeiros pensadores pré-socráticos, pois conforme
explica Brito ( 2008).
26
De acordo com a tradição histórica, a fase inaugural da filosofia grega é conhecida
como período pré-socrático, isto é, anterior a Sócrates. No período pré-socrático ou
cosmológico (do final do séc. VII ao final do séc. V a.C.) a Filosofia se ocupa
fundamentalmente com a origem do mundo e as causas das transformações na
Natureza. Os pré-socráticos são os primeiros filósofos. Eles buscavam um princípio
(arkhé), uma explicação racional (logos) do mundo e da natureza (physis), portanto, os
filósofos pré-socráticos faziam Cosmologia. (Brito, 2008).
Foi um dos primeiros pensadores que buscavam explicações racionais para explicarem
os fenômenos naturais e as origens do mundo e de tudo o que os rodeia de forma a não
recorrerem a explicações baseadas nas crenças em Deus e entidades divinas.
Tales também é considerado o primeiro filósofo do Ocidente e juntamente com os
filósofos Anaximandro de Mileto, Anaxímenes de Mileto, Heráclito de Éfeso e Parmênides de
Eléia, os quais destacaram-se por seus estudos racionais. Estes ficaram conhecidos como os
filósofos da natureza, cada qual defendia algo como sendo a causa material do mundo (BRITO,
2008).
A água é, para Tales, a causa material do mundo; aquilo que subjaz a toda a mudança.
Para ele, a água permanece a mesma, em todas as transformações dos corpos, apesar
dos diferentes estados: sólido, líquido e gasoso. "(…) Tudo é água e, por
consequência, a terra está sobre a água". (BRITO, 2008).
Graças as suas observações do mundo, Tales defendeu a água como sendo a origem
material do mundo, pois a água era presente em quase tudo que ele via, sendo que a própria
terra encontrava-se sobre a água. Fosse em estados diferentes, líquido, sólido ou gasoso, a água
permanecia imutável.
Sobre a doutrina da água, Tales ainda afirma que "a alma, como vida, também era
constituída de água e, assim sendo, “todas as coisas estariam cheias de deuses”. Dessa forma,
pôde Tales declarar que a magnésia (ímã) atrai o ferro por também possuir uma alma."
(BRASIL ESCOLA, 2001).
Seu maior mérito fora o de sua doutrina com relação a água, uma vez que ele antecipou
algumas teorias evolucionistas, onde o mundo surge da água e a evolução acontece por
processos naturais. Além dessa doutrina, Tales ainda previu como ocorre o eclipse solar através
de suas observações sobre o sol e a lua em seus estudos astronômicos em 585 a. C., o que veio
a ser posteriormente comprovado pelos astrônomos. (ANDRADE, FRAZÃO e AGUIAR,
2014).
27
Vivendo em uma época onde pouco se sabia sobre as origens do homem e do planeta,
sendo as explicações advindas de causas sobrenaturais, - atribuídas aos deuses ou entidades
divinas - Tales foi o primeiro pensador racional, pois baseando-se naquilo que ele via, buscava
explicar como tudo se originou. Logo, ao perceber que nós (seres humanos), os animais e as
plantas precisavam de água para sobreviver, e ainda – dado o pouco conhecimento que se tinha
– que o mundo parecia rodeado e sustentado por água, buscou encontrar as causas e origens
para a existência de tudo baseando-se em explicações racionais, advindas da observação e da
razão (BRASIL ESCOLA, 2001).
Tales ficou conhecido por desenvolver um estudo que ficou conhecido como Teorema
de Tales. Com este teorema, é possível medir a altura da pirâmide com base em sua sombra.
Chegou a essa conclusão observando os raios solares e a maneira com que chegam à Terra, o
matemático conseguiu concluir que eles são inclinados e paralelos um ao outro. Logo,
imaginou que seria possível saber o comprimento de uma pirâmide se uma estaca fosse
colocada ao lado.
Diante desse experimento, Tales observou que o comprimento da sombra da estaca era
proporcional à sua medida, assim a altura de uma pirâmide seria por consequência proporcional
a sua sombra. A partir daí nasceu a proporcionalidade que relaciona as linhas paralelas e as
transversais. O Teorema de Tales é representado da seguinte forma:
Figura 2 : Retas paralelas cortadas por retas transversais
Assim, temos que:
O Teorema afirma que quando duas retas transversais cortam um feixe de retas
paralelas, as medidas dos segmentos delimitados são proporcionais.
28
2.6 EUCLIDES
Pouco se sabe sobre a vida de Euclides, porém sua contribuição a ciência o tornou
merecedor do título Pai da geometria. Viveu em Alexandria, no Egito por volta do século III
a.C., tendo sido professor de matemática na Escola Real de Alexandria. (ANDRADE,
FRAZÃO e AGUIAR, 2014).
Como menciona Andrade, Frazão e Aguiar (2014), o Egito nesta época, já era
reconhecido pelos seus avanços nas áreas de geometria, o que era visível a partir dos projetos
realizados para a construção de pirâmides, alguns dos grandes matemáticos conhecidos
atualmente, como Tales de Mileto e Pitágoras, estiveram no Egito em busca de adquirirem
novos conhecimentos acerca de geometria e matemática, porém, todo o conhecimento egípcio
sobre tal matéria, não se encontrava documentado. Eram conhecimentos passados de geração a
geração, de pai para filho, e foi ai que Euclides entrou, posto que ele:
[...] recolheu todas as obras de Tales, Pitágoras e Platão e dos gregos e egípcios que o
precederam. Sua contribuição não consistiu na solução de novos problemas de
geometria, mas na ordenação de todos os métodos conhecidos, formando um sistema
que permitia reunir todos os fatos conhecidos para descobrir e provar novas ideias. (EBiografias).
Juntado todo esse conhecimento de forma explicativa e coerente, Euclides publicou um
livro intitulado “Elementos”, com 13 volumes, onde registrou tudo o que se sabia sobre
geometria egípcia daquela época. (ANDRADE, FRAZÃO E AGUIAR, 2014).
Foi através de Euclides, que Alexandria passou a ser considerado o centro mundial do
esquadro e do compasso. (ANDRADE, FRAZÃO E AGUIAR, 2014).
Para completar seu trabalho, Euclides enunciou o famoso "Postulado das Paralelas", que
afirma: " Se uma reta, interceptando duas outras, forma ângulos internos do mesmo lado,
menores do que dois ângulos retos, estas outras, prolongando-se ao infinito, encontrar-se-ão no
lado onde os ângulos sejam menores do que dois ângulos retos".
Euclides não documentou apenas os conhecimentos na área de geometria como também
no campo da óptica, acústica, consonância e dissonância, tanto que “Dos ensinamentos de
Euclides dependem o estudo da mecânica, do som, da luz, da navegação, da ciência atômica, da
Biologia, da medicina, enfim de vários ramos da ciência e da tecnologia” (ANDRADE,
FRAZÃO E AGUIAR, 2014).
29
O nome de Euclides ficou na história da ciência para sempre associado à primeira
concepção da Geometria como um conjunto sistematizado e lógico de propriedades. Muitas
dessas propriedades eram já utilizadas anteriormente, de forma dispersa e com objetivos, mas
Euclides organizou-as de forma lógica e demonstrou-as tomando como ponto de partida um
conjunto reduzido de proposições que toma como verdadeiras sem necessitarem de
demonstração e a que se chama axiomas ou postulados.
Proposição
a) Teoremas: declaração acerca de propriedades relacionadas com um determinado objeto
que não provam existência de nada.
b) Problemas: diretivas para a construção de um objeto que provam a existência de algo.
Axiomas (noções comuns) - verdades matemáticas que não necessitam de demonstração
para serem aceitas.
Postulados - É uma proposição cuja verdade, ainda que não tenha a evidência de um axioma,
se admite sem uma demonstração. Euclides aponta cinco postulados ou suposições
fundamentais sobre objetos geométricos. Esses postulados são:
1.
(É possível) traçar uma e uma só linha reta de qualquer ponto a qualquer outro
ponto.
Figura 3: Reta com dois pontos.
2.
(É possível) prolongar continuamente um segmento, a partir de qualquer das
suas extremidades numa linha reta [tanto quanto se queira].
Figura 4: Segmento de reta.
3.
(É possível) traçar uma circunferência com qualquer centro e raio.
30
Figura 5: Circunferência
4.
Todos os ângulos retos são iguais.
Figura 6: Ângulos retos.
5.
Se uma linha reta cai sobre outras duas de modo que os dois ângulos internos de
um mesmo lado sejam nos seus conjuntos [isto é, na sua soma] menores que dois
ângulos retos, então as duas linhas retas, se prolongadas indefinidamente, encontram-se
num ponto do mesmo lado em que os dois ângulos são inferiores a dois retos.
Figura 7: Retas e ângulos.
E também um axioma conhecido como Axioma das Paralelas, que consiste em:
Por um ponto exterior a uma reta se pode traçar uma única paralela.
31
A este método estrutural chamamos Axiomático. Assim, Euclides com Os Elementos,
constitui o primeiro e mais nobre exemplo de um sistema lógico e ideal.
2.7 FERMAT
Pierre de Fermat nasceu em 17 de agosto de 1601, em Beaumont-de-Lomagne, foi
servidor público em 1631. Pierre foi conselheiro do parlamento de Toulouse, advogado e
oficial do Governo.
Em 1636 elaborou, usando a álgebra de Viéte e reconstruindo o trabalho
de Apolonius, que é um estudo sobre cônicas, onde o grego Apolônio de Praga em seu tratado
“As Cônicas”, introduziu os nomes elipse, hipérbole e parábola às secções planas no cone, são
chamadas genericamente secções cônicas, pois são obtidas através da intersecção de uma
superfície cônica por plano, um sistema semelhante ao de Descarte no ramo da geometria
analítica.
Ele não considerava a matemática como a principal tarefa de sua vida, entretanto tinha
a matemática como uma inspiração e desafio valendo-se de várias horas de seu dia na
contribuição de áreas como o cálculo geométrico e a teoria das probabilidades (MONTEIRO,
2010).
Sua matéria preferida era a área das probabilidades onde ele elaborou seu teorema mais
importante, o teorema de Fermat, no qual ele explica "Que para n um inteiro maior que dois,
não há valores inteiros positivos x, y, z, tais que xn + yn = zn e que tinha uma prova
verdadeiramente maravilhosa, mas que a margem era demasiadamente estreita para contê-la."
(GRUPO ESCOLAR, 2009).
O grande teorema de Fermat ou o "último teorema de Fermat" foi o mais desafiador
para estudiosos e matemáticos, que desde a sua morte procurou-se a sua demonstração, que
ocorreu somente em 1995 por Andrew Willes, o qual recebeu um prêmio de 50 mil libras pela
fundação Wolfskhel (GRUPO ESCOLAR, 2009).
32
Após a comprovação da veracidade do Último Teorema de Fermat, demonstrado em
1994 por Wiles, muitos matemáticos acreditam que Fermat estava enganado quanto a seu
teorema, pois para a demonstração do mesmo, são necessárias ferramentas da Teoria dos
Números muito avançadas e que não existiam na época de Fermat, como o uso de
procedimentos com curvas elípticas, formas modulares e representação galoisianas, todavia,
ainda não é conhecida nenhuma forma de se aplicar o presente teorema, sendo possível apenas
entendê-lo
graficamente
considerando
a
curva
da
equação
quando
, não passando esta curva por qualquer ponto que possua coordenadas racionais
diferentes de zero. (SINGH, 1998).
Na demonstração do teorema, Fermat alegou ser muito simples. Ele diz-nos apenas que
a equação
não tem soluções com números inteiros quando n é maior do que 2.
Quando n é igual a 2 isso não acontece, como podemos ver através do exemplo
.
Mas, disse Fermat, se n for maior do que 2, não encontraremos no conjunto infinito dos
números inteiros uma única solução para a equação indicada.
Mesmo hoje com as demonstrações de Willes, provando o Teorema de Fermat, apenas
um décimo dos especialistas em teoria dos números consegue compreendê-la plenamente, ou
seja, não é algo fácil de entender, tampouco fora para se desvendar (GALVÃO, 2014).
2.8 RENÉ DESCARTES
Filósofo, matemático e físico, René Descartes nasceu na França em La Haye, hoje
chamada Descartes em 31 de março de 1596. Seu pai era Joachim Descartes, um advogado,
juiz, grande proprietário de terras e possuidor do título de Escudeiro, que indicava primeiro
grau da nobreza. Estudou no mais conceituado colégio da França na época, o Colégio Jesuíta
Royal Henry - Le Grand, que funcionava no castelo jesuíta chamado De La Flèche e
posteriormente na Universidade de Pitiers, formando-se em direito. (ANDRADE, FRAZÃO E
AGUIAR, 2014).
Conforme Andrade, Frazão e Aguiar (2014), Descartes esteve no exército de Maurício
de Nassau, atuou como instrutor da Rainha Cristina na Suécia em 1649 e ainda, de certa forma,
como a consciência da princesa Elisabeth em 1644. Logo cedo, aos 22 anos começou a
desenvolver sua "geometria analítica" e seu "método de raciocinar corretamente", distanciando
seus ideais de ensino, daqueles em prática na época, até que no ano de 1619 desenvolve uma
33
proposta de ciência unitária e universal que tinha como base, métodos científicos modernos,
para os quais ele
Propôs fazer uma filosofia que nunca acreditasse no falso, que fosse fundamentada
única e exclusivamente na verdade. Uma nova visão da natureza anulava o significado
moral e religioso dos fenômenos naturais. Determinava que a ciência deveria ser
prática e não especulativa. (Andrade, Frazão e Aguiar, 2014).
Oposto ao que era o usual, a filosofia de Descartes busca provas efetivas para validar os
conhecimentos, levando quase tudo o que se conhecia até então, a ser questionado, pela busca
da lógica.
Até mesmo Descartes sentiu o quanto abrangente era sua filosofia quando
[...] diz-se desiludido com a promessa do que julgara que delas deveria resultar, isto é,
a aquisição de um conhecimento claro e seguro de tudo o que é útil à vida. Ao
contrário, encontrava-se envolto em tantas dúvidas que lhe parecia não ter tirado outro
proveito da instrução a não ser o de ter descoberto a sua ignorância. (PEDUZZI, 2010,
p.11).
Para a surpresa de Descartes, a concepção de seu método só lhe impôs mais dúvidas
acerca de tudo, não surpreendente, a partir desse pensamento fora lançada a humanidade um
desafio que permeia tudo o que conhecemos: provar para validar a verdade.
Foi esse conjunto de pensamentos que tornaram Descartes o criador do pensamento
cartesiano, “[...] sistema filosófico que deu origem a filosofia moderna.”, apresentado em sua
obra O Discurso Sobre o Método Pensamento de 1637 e consagrado com a frase “Penso, logo
existo” que tornou-se a “[...] base de toda a sua filosofia e do futuro racionalismo científico”
Faleceu em fevereiro de 1965, aos 54 anos de idade, em decorrência de pneumonia, na
Suécia. (PEDUZZI, 2010, p.14).
De todos os estudos realizados por Descartes, o que o imortalizou e que temos como o
mais importante, foi seu método de raciocínio que foram inspirados na matemática.
Como diz Andrade, Frazão e Aguiar (2014), foi do prefácio de três de suas obras, A
Dióptrica, Os Meteoros e A Geometria que surgiu o Discurso Sobre o Método, onde
34
Nessa obra expõe as quatro regras para se chegar ao conhecimento: nada é verdadeiro
até ser reconhecido como tal; os problemas precisam ser analisados e resolvidos
sistematicamente; as considerações devem partir do mais simples para o mais
complexo; e o processo deve ser revisto do começo ao fim para que nada importante
seja omitido. (Andrade, Frazão e Aguiar, 2014).
Tão logo, fica claro que a orientação que Descartes teve para desenvolver seu método
científico foi diretamente inspirado na exatidão dos resultados matemáticos, os quais são
passíveis de serem provados, visto que o resultado advém de um desenvolvimento lógico que
parte do simples ao complexo de forma gradual e pensada, obedecendo a uma ordem própria e
evidenciando todo o procedimento de forma pormenorizada.
Rene Descartes sugeriu a união entre os estudos da Álgebra e Geometria, criando
a Geometria Analítica, desenvolveu o Sistema de Coordenadas, também conhecido
como Plano Cartesiano e desenvolveu o Método Cartesiano no qual defende que só se
deve considerar algo como verdadeiramente existente, caso possa ser comprovada sua
existência. Também conhecido como Ceticismo Metodológico, segue o princípio de
que devemos duvidar de todos os conhecimentos que não possuem explicações
evidentes. Este método também se baseia na realização de quatro tarefas: verificar,
analisar, sintetizar e enumerar.
O plano cartesiano consiste em dois eixos perpendiculares, sendo o horizontal chamado
de eixo das abscissas e o vertical de eixo das ordenadas. O plano cartesiano foi desenvolvido
por Descartes no intuito de localizar pontos num determinado espaço. As disposições dos eixos
no plano formam quatro quadrantes, mostrados a seguir:
Figura 9: Gráfico Cartesiano
35
O encontro dos eixos é chamado de origem. Cada ponto do plano cartesiano é formado
por um par ordenado (x , y ), onde x: abscissa e y: ordenada. O sistema de coordenadas
cartesianas possui inúmeras aplicações, desde a construção de um simples gráfico até os
trabalhos relacionados à cartografia, localizações geográficas, pontos estratégicos de bases
militares, localizações no espaço aéreo, terrestre e marítimo.
2.9 LEIBNIZ
Gottfried Wilhelm Von Leibniz nasceu no dia primeiro de julho de 1646, na Alemanha.
Estudou Teologia, Direito, Filosofia e Matemática, e aos vinte anos já estava preparado para
receber o título de doutor, o qual lhe foi recusado por ser ainda muito jovem. Deixou Leipzig e
foi receber o título na Universidade de Altdorf, em Nuremberg. (ECALCULO, 2000).
Ficou órfão de pai cedo e foi criado pela mãe, onde esta transmitiu a ele seus
ensinamentos e valores religiosos. Até os quatorze anos aprendeu latim e grego e outros
conhecimentos de forma autodidata. (ANDRADE, FRAZÃO E AGUIAR, 2014).
Leibniz se tornou diplomata e desde então passou a realizar muitas viagens, nas quais
esteve em contato com Huygens em 1672, o qual lhe sugeriu a leitura dos tratados de 1658 de
Blaise Pascal influenciando-o com isso a investir em sua carreira de matemático. Por
decorrência de uma de suas viagens a Londres em 1673, onde tornou-se membro da Royal
Society e adquiriu cópia da obra Lectiones Geometricae de Isaac Newton, Leibniz foi alvo de
suspeitas sobre a legitimidade de sua descoberta, visto que rumores surgiram, julgando que a
descoberta de seu cálculo se deu apenas em razão deste ter visto o trabalho de Newton nessa
sua viagem a Londres, o que atualmente foi desacreditado, uma vez que, na época da referida
viagem, Leibniz não possuía conhecimentos suficientes para compreender o trabalho de
Newton. (ECALCULO, 2000).
Leibniz se tornou membro da Royal Society após apresentar sua invenção, a máquina de
calcular, porém um dos mais importantes estudos de Leibniz foi o desenvolvimento do teorema
fundamental do cálculo no ano de 1677, todavia, sabe-se hoje, que Newton também havia
realizado tais estudos alguns anos antes, mas não havia publicado. (E CALCULO, 2000).
Além do Cálculo, Leibniz contribuiu para outras áreas da matemática. Foi ele quem
generalizou o Teorema binômio em Teorema do Multinômio, para expansões do tipo
(x + y + z)n. A primeira referência do método dos determinantes no mundo ocidental
também foi feita por ele. Leibniz reelaborou e desenvolveu o conceito de lógica
36
simbólica. Contribuiu também para a teoria de probabilidades e a análise
combinatória. (ECALCULO, 2000).
Além de suas contribuições para a matemática, Leibniz também contribuiu grandemente
para outras áreas de estudo, todavia, por conta da grande relevância de seus estudos nas áreas
de Cálculo e Matemática, as demais áreas não tiveram tanta ênfase, o que não significa que não
tenham sido importantes. (ANDRADE, FRAZÃO E AGUIAR, 2014).
Sua descoberta sobre o teorema fundamental do cálculo começou a se formar quando
Leibniz passou a relacionar o triângulo harmônico com o triangulo de Pascal, o que lhe
permitiu encontrar resultados de séries infinitas convergentes, que foram mais tarde fomentados
pelos estudos de Braiser Pascal, culminando no ano de 1676 no método para aplicar Cálculos
Diferenciais e Integrais. “O destino havia reservado a Leibniz a tarefa de elaborar uma notação
apropriada para estas operações, assim como a nomenclatura – Cálculo Diferencial e Cálculo
Integral, ambas usadas atualmente” (ECALCULO, 2000).
As fórmulas de Leibniz sobre Cálculo Diferencial são representadas por
d(xy) = xdy + ydx (derivada do produto)
d(x/y) = (ydx – xdy) / y² (derivada do quociente)
dxn = nxn-1
Posteriormente, na publicação de um periódico, Leibniz expôs seu trabalho sobre o
Cálculo Integral. “Nesse trabalho, apresenta-se o problema da quadratura como um caso
especial do método do inverso das tangentes” (ECALCULO, 2000).
Leibniz demonstrou seus cálculos e afirmou que para determinar as tangentes é
suficiente determinar a razão dy/dx. Para que isto seja feito, sabendo que y e x se relacionam
em forma de equações, atualmente conhecidas como funções, e que estas equações são
conhecidas como equações das curvas, é preciso achar as diferenças infinitamente pequenas
destas equações (conhecidas atualmente como derivadas) para que tenhamos as tangentes
desejadas.
A determinação da tangente a uma curva dependia das diferenças das abscissas e
ordenadas na medida em que essas de tornassem infinitamente pequenas e que a quadratura,
isto é área, dependia da soma das ordenadas ou retângulos infinitamente finos. Seu cálculo não
37
era baseado na noção de taxa, mas na de diferencial. Para isso deve-se aplicar as seguintes
regras:
d (u + v) = du + dv
d (u.v) = u.dv + v.du;
d (u/v) = (vdu – udv) / v²
Para trabalhar com suas ideias de diferenças Leibniz criou os símbolos dy e dx, o
primeiro para representar a diferença infinitamente pequena entre as ordenadas, o segundo para
representar a diferença infinitamente pequena entre as abscissas.” As diferenças são
‘infinitamente pequenas’. Isto significa que podem ser comparadas entre si (a razão :dy/dx é
finita). Para representar geometricamente, Leibniz usou:
Figura 10: Representação geométrica do Método da Tangente de Leibniz
Na visão de Leibniz o problema da quadratura poderia ser estudado Tomando as
ordenadas de comprimentos equidistantes uma das outras com o valor igual a 1, ao fazer o
somatório das respectivas ordenadas, teríamos um valor aproximado da quadratura da curva (da
área abaixo da curva). E se tomarmos as diferenças consecutivas das ordenadas, teríamos
valores aproximados da declividade das tangentes. Ele observou que para distâncias cada vez
menores entre as ordenadas, melhor seria a aproximação da quadratura da curva, assim como
também da declividade das tangentes à curva.
Os cálculos de Newton e Leibniz começam por caminhos distintos. O primeiro, por
interpolação de curvas e coeficientes relacionados a tais curvas. O segundo, por perceber que
somar sequências e tomar as sequências de diferenças são operações inversas. Foram caminhos
bem diferentes, mas que convergiam a um mesmo princípio em comum, a descoberta do
cálculo. Dentro deste princípio em comum, as principais diferenças foram na concepção das
quantidades variáveis e nas formas de notações utilizadas por cada um ao longo de seus
38
estudos.
2.10 LEONHARD EULER
Como dito por D'Ambrosio (2009), "Leonhard Euler talvez tenha sido o matemático
mais prolífico da história". Isso se deu devido a suas contribuições para a matemática, tais
como o Problema da Basiléia, que o tornou famoso, corroborando com Simmons (2002) apud
Gayo (2013, p.9-10) que diz que "Atualmente Euler é reconhecido como um dos mais
importantes da História da Matemática, não só por ter resolvido tal problema, mas
principalmente por ter contribuído com a matemática em diversas áreas com mais de 850
trabalhos [...]".
Quase todos os seus trabalhos já foram publicads como menciona D'Ambrosio (2009),
organizados da seguinte forma: "Na Série I, estão as “Obras Matemáticas”; na Série II, as
“Obras Mecânicas e Astronômicas”; na Série III, as “Obras Físicas e Miscelânea”; na Série IVA, a “Correspondência” e, na Série IV-B, os “Manuscritos”, consistindo em material jamais
publicado, cadernos e diários." De toda sua publicação, 40% refere-se a matemática, ficando os
outros 60% voltados ao estudo de mecânica, ótica, astronomia, magnetismo, acústica, filosofia,
entre outros tantos assuntos, que eram do interesse não apenas por dele mas de toda classe
intelectual da época.
Um fato que chama atenção, segundo D'Ambrosio (2009, p.15-16) era o seu interesse
em travar conhecimento com outros estudiosos com intuito de promover a troca de
conhecimentos. Nesta lista figuram:
Nicolaus I Bernoulli, Clairaut, D’Alembert, Lagrange, Maupertuis e Frederico II.
Também há correspondência com Daniel Bernoulli, Bertrand, Bonnet, Bouguer,
Condorcet, Cramer, Delisle, Formey, Goldbach, Haller, Lalande, Lambert, Lesage,
Lomosonov, Marinoni, Sanchez, Stanislaw Poniatowski, Segner, Wettstein e outras
260 pessoas. Curiosamente, encontram-se algumas cartas na forma de pequenas notas,
tratando de assuntos os mais variados. D'Ambrosio (2009, p.15-16)
Muitos dos mais destacados estudiosos da época encontravam-se na lista de
correspondentes de Euler.
Nascido em 1707 na Basiléia, cidade localizada na Suíça, Euler veio de uma família
abastada, onde sua educação sempre foi priorizada por seu pai, Poul Euler, pastor de uma igreja
Calvinista, que sonhava que o filho seguisse seus passos como pastor. Todavia, com o passar
do tempo e a influência de Jakob Bernoulli (1654-1705) que o ensinava matemática, Euler
39
sentiu-se cada vez mais atraído para o estudo da matemática, ingressando ainda jovem na
Universidade da Basiléia onde estudou Filosofia, Medicina, Teologia, Ciências humanas e
Matemática. (SIMMONS, 2002, BOYER , 2003 APUD GAYO, 2013, p.11).
Em 1730 passou a lecionar Física e posteriormente Matemática na Academia de
Ciências de São Pitersburgo na Rússia onde permaneceu até 1741 quando foi convidado a
lecionar Matemática na Academia de Ciências de Berlim, retornando em 1766 a Academia de
Ciências de São Pitersburgo, onde trabalhou até o fim de sua vida. (SIMMONS, 2002,
BOYER, 2003, CAJORI, 2007 APUD GAYO, 2013, p.11-12).
É interessante notar que Euler é considerado um dos pioneiros da iconografia,
compreendida como o estudo das representações figuradas, tais como símbolos e
imagens, sem levar em conta o valor estético que possam ter, e o repertório de
imagens ou símbolos tradicionalmente associados a um tema, particularmente
matemáticos e religiosos. A força argumentativa de uma representação simbólica fica
bem ilustrada pelo número de contribuições de Euler ao que hoje consideramos
símbolos matemáticos. (D'AMBROSIO, 2009, p.16).
Além de seus estudos nas áreas já mencionadas posteriormente, Euler ainda contribuiu
com a área da iconografia, desenvolvendo símbolos para evidenciar suas fórmulas e teoremas.
Esses símbolos tinham seus significados fortemente arraigados a cultura matemática e religiosa,
cada qual com sua lógica para evidenciar suas formas.
Outrossim, D'Ambrosio (2009) ainda diz que:
[...] os símbolos têm força de argumento, o que é ilustrado pelo muito citado encontro
entre Euler, reconhecidamente muito religioso, e o ateísta Denis Diderot. Convidados
pela czarina Catarina II, Euler e Diderot discutiam sobre a existência de Deus. Num
certo momento, Euler diz a Diderot: "Senhor, (a + bn)/n = x, logo Deus existe.
Repliquei!", o que encerrou a discussão. (D'AMBROSIO, 2009, p.16).
O que pode ser observado em Euler, é seu profundo conhecimento, visto que este aplica
seus estudos matemáticos em todas as esferas de sua vida e não apenas na resolução de
problemas, usando-os inclusive como argumentos em assuntos afins.
Das suas 866 obras, destacam-se em especial ao campo da matemática, as contribuições
feitas para padronização das notações, como por exemplo: A sexta constante mais importante
40
da Matemática, a Constante de Euler g;; o logaritmo de x, ln x; o uso da letra å para a adição;
o f(x) para uma função de x, entre outras. (D'AMBROSIO, 2009).
Na área de cálculos:
Euler foi, sem dúvida, o maior responsável pelos métodos de resolução usados hoje
nos cursos introdutórios sobre equações diferenciais, e até muitos dos problemas
específicos que aparecem em livros de texto de hoje remontam aos grandes tratados
que Euler escreveu sobre o Cálculo – Institutiones Calculi Differentialis (1755)
e Institutiones Calculi Integralis (1768 – 1770, 3 volumes)”. (BOYER, 1974, P. 333
APUD GAYO, 2013).
Foi a partir de então que o uso de fatores integrantes e dos métodos sistemáticos passou
a ser aplicado na resolução de equações lineares de ordem superior com coeficientes constantes
e ainda, pode-se distinguir equações homogêneas e não homogêneas.
Outras contribuições muito importantes para a matemática foram: A. Fórmula de Euler
do poliedro; Problema das 7 pontes de Konigsberg; A ”outra” fórmula de Euler; Equação de
Euler Lagrange; Equações de Euler da dinâmica dos ﬂuídos; Densidade dos números primos;
Função totiente de Euler; Integrais de Euler: Funções gama e beta; Equações de Euler da
dinâmica dos corpos rígidos; Problema da Basiléia; Funções geratrizes e números de partição;
Problema de 3 corpos de Euler; Angulos de Euler; Constante de Euler-Mascheroni; Quadrados
de Euler; A Fórmula de Euler. São estes os trabalhos mais importantes no campo do cálculo e
da matemática. (SIMMONS, 2002, BOYER, 2003, CAJORI, 2007 APUD GAYO, 2013, p.1112).
Outra grande criação de Euler e que possui extrema importância na determinação do
número de arestas, vértices e faces de qualquer poliedro convexo e alguns não convexos. Essa
relação permite que os cálculos sejam realizados no intuito de determinarmos o número de
elementos
de
um
poliedro.
A
fórmula
criada
por
Euler
é
a
seguinte:
V – A + F = 2, onde V = número de vértices, A = número de arestas e F = número de faces.
A relação de Euler é válida na determinação dos elementos de um sólido convexo, por
exemplo: O número de faces de um poliedro convexo de 22 arestas é igual ao número de
vértices. Determine, utilizando a relação de Euler, o número de faces do poliedro.
Considerando que o número de faces é igual ao número de vértices, podemos representar os
valores desconhecidos pela incógnita x. Dessa forma, F = x e V = x.
Aplicando a relação de Euler:
V–A+F=2
x – 22 + x = 2
41
2x = 2 + 22
2x = 24
X = 12
Portanto, o número de faces do poliedro com 22 arestas é igual a 12.
2.11 HIPÁTIA
Hipátia (ou Hipácia, em algumas traduções) nasceu em Alexandria por volta do ano 370
D.C. Alexandria é uma cidade do Egito e foi fundada por Alexandre da Macedônia,
popularmente conhecido como Alexandre, O Grande.
Hipátia de Alexandria foi a primeira matemática de que se tem registro na História. Lá
pelo ano 400 d.C., Hipátia era a mais importante filósofa da escola platônica em Alexandria, e
os homens vinham de longe para aprender as coisas que ela dominava não só de filosofia e
matemática, como também de ciências. Seguindo a tradição Lógica, Hipátia defendia que o
universo é regido por leis e que estas leis podem ser descritas e demonstradas pela linguagem
matemática. Reza a lenda que ela nunca se casou, alegava que “já era casada com a Verdade”.
Filha de Theon, filósofo, matemático e astrônomo, diretor do Museu de Alexandria;
Hipátia cresceu em um ambiente cercado de cultura sendo guiada por seu pai nos estudos da
Matemática e Filosofia. Ele acreditava no ideal grego da “mente sã em um corpo sadio”,
estimulando a filha a exercitar tanto a mente como o corpo, contam as lendas que ele desejava
torna-la “um ser perfeito”. Há quem diga que ela, ainda bem jovem, superou seu pai no
conhecimento. De acordo com Eves (1997), “trata-se da primeira mulher a se dedicar à
matemática cujo nome figura na história dessa ciência”.
Naqueles tempos, Alexandria era o centro da atividade intelectual no mundo ocidental.
Sua biblioteca guardava milhares de trabalhos de erudição e de sabedoria antiga. O cristianismo
era florescente nessa época, tanto no aspecto político como intelectual, e começava a entrar em
conflito com as religiões e as filosofias pagãs. O edito do imperador Teodósio, a respeito das
práticas de cultos pagãos, havia desatado distúrbios entre pagãos e cristãos.
Apesar de tudo e durante um tempo, Hipátia conseguiu sobreviver e prosperar em seus
estudos e ensinamentos. Mas finalmente sua sabedoria fez-se insuportável para os interesses
opostos que sempre apagam as velas neste mundo. Assim, um grupo de monges, cumprindo os
42
desejos do bispo de Alexandria, arrastou-a para dentro de uma igreja. E com conchas de ostra,
arrancaram sua carne e queimaram seus ossos. Este foi o início do agressivo antipaganismo que
mais tarde provocou o incêndio da grande biblioteca de Alexandria. Hipátia foi uma mulher de
força incomparável que parecia não temer nada.
Morria com ela toda uma era de liberdade e florescimento filosófico e cultural em
Alexandria e certamente para todos que viviam sobre a espada afiada da nova religião. A maior
parte dos trabalhos de Hipátia se perdeu, porém no século XV foi descoberta na biblioteca do
Vaticano, uma cópia do comentário que ela fez sobre a obra de Diofanto. Escreveu também
comentários sobre a Aritmética de Diofanto e as Secções Cônicas de Apolônio.
Do seu trabalho, pouco chegou até nós. Alguns tratados foram destruídos com a
Biblioteca, outros quando o templo de Serápis (ornamentado com mármores, ouro e alabastro
de primeira qualidade) que também possuía uma biblioteca, porém foi saqueado.
No campo da matemática, Hipátia escreveu comentários sobre a "Aritmética" de
Diofanto, onde o principal tratado de Diofanto conhecido, e que ao que parece, só em parte
chegou até nós, é a "Arithmetica", uma obra contendo 130 problemas algébricos e suas
soluções numéricas [equações algébricas] e teoria dos números, além de introduzir notação
simbólica diferente para o quadrado de uma incógnita, para o cubo, exercendo grande
influência na História da Matemática. Apenas seis dos livros originais em grego sobreviveram,
o número total (13) não passa de uma conjectura. Era um tratado caracterizado por um alto grau
de habilidade matemática e de engenho. A sua "Arithmetica" assemelha-se à álgebra
babilônica em muitos aspectos, mas enquanto os matemáticos babilônicos se ocupavam
principalmente com soluções " aproximadas" de equações "determinadas" e sobretudo de
equações "indeterminadas" do 2º e do 3º graus das formas canónicas, em notação atual, Ax² +
Bx + C = y² e Ax³ + Bx² + Cx + D = y², ou conjuntos (sistemas) destas equações. É
exatamente, por esta razão - em homenagem a Diofanto - que a esta "Análise indeterminada" se
chama " Análise diofantina" ou " Análise diofântica".
Escreveu também sobre e as "Secções cônicas" de Apolônio. Ela era interessada
particularmente no estudo dos planos formados nas intersecções de um cone e nas curvas
decorrentes dessas intersecções, as chamas secções cônicas (hipérboles, parábolas e elipses). Para
exemplificar essas secções, pode definir:
43
Elipse: Lugar geométrico dos pontos, no plano, tais que é constante a soma das distâncias de
cada um desses pontos a dois pontos fixos (focos da elipse) desse plano.
Figura 11: Elipse
Hipérbole: Lugar geométrico dos pontos, no plano, tais que é constante o valor absoluto da
diferença das distâncias de cada um desses pontos a dois pontos fixos (focos da hipérbole) do
seu plano e é constante o quociente das distâncias de cada ponto da curva a um ponto fixo
(foco) e a uma reta fixa (diretriz) do plano da curva. (Esta curva é constituída por dois
"braços".)
Figura 12: Hipérbole.
Parábola: Curva plana cujos pontos distam igualmente de um ponto fixo (foco) e de uma reta
(diretriz), ambos situados no plano da curva.
Figura 13: Parábola.
44
3. METODOLOGIA
Inicialmente realizou-se uma pesquisa bibliográfica a respeito dos matemáticos e suas
contribuições para esta ciência. Após isso, selecionou-se entre tantos, alguns que foram
considerados mais citados durante o ensino fundamental e médio. O referido estudo é de
natureza qualitativa, sendo realizado com aplicação de questionário a alunos do 1º ao 3º ano do
ensino médio da Escola Juscelino Kubitschek de Oliveira - JK. Através desta abordagem
procurou-se registrar e analisar as respostas dos alunos, verificando se eles sabem à respeito
dos matemáticos que contribuíram para o desenvolvimento da matemática e se de alguma
forma os professores trazem informações sobre estes estudiosos durante as aulas.
Participaram do estudo 60 alunos de ambos os sexos, sendo 21 alunos do 1º ano, 20 do
2º ano e 19 do 3° ano, todos devidamente matriculados, com idade entre 17 e 22 anos.
As questões que foram abordadas no questionário buscaram analisar: a) Quais
matemáticos os alunos conheciam, b) Se sabiam quais foram as contribuições que estes
estudiosos trouxeram para a matemática, c) Como é feito a abordagem dos conteúdos pelo
professor e d) Se o professor relacionar as fórmulas com seu respectivo descobridor, iria ajudar
na compreensão dos conteúdos estudados.
Com o consentimento da direção da escola e dos professores das respectivas turmas,
foi aplicado um Termo de Consentimento Livre Esclarecido - TCLE, explicando o intuito do
estudo para que estes autorizassem a participação no estudo. Após o recebimento do TCLE
assinado autorizando a participação, foi aplicado o questionário aos alunos. Em seguida a
aplicação dos questionários, estes foram organizados e analisados, sendo apresentados na forma
de gráficos, analisados e discutidos.
4. RESULTADO E DISCUSSÕES
A seguir serão apresentados os resultados da coleta de dados realizada com os 60 alunos
do Ensino Médio.
No gráfico da Figura 14, estão organizadas as informações obtidas na primeira pergunta
do questionário em anexo, sendo que, os alunos deveriam assinalar o nome do matemático que
eles conheciam, ou que em algum momento ouviram falar sobre.
45
Figura 14: Os alunos conhecem os matemáticos que construíram as fórmulas que eles usam em
sala?
De acordo com os resultados obtidos, os matemáticos mais conhecidos são: Isaac
Newton, Bháskara, Pitágoras e Albert Einstein. Curiosamente, o maior número de discentes que
conhecem estes estudiosos são do 2º ano, tendo em vista que estes possuem um ano escolar a
menos que os alunos do 3º ano, a probabilidade deles já terem ouvido falar sobre estes
matemáticos seriam menores.
Em relação ao número de alunos do 1° ano que responderam o questionário, menos da
metade conhecem estes estudiosos, fato que possivelmente ocorreu devido ser alunos do
primeiro ano no Ensino Médio, e por consequência, estuda menos assuntos de matemática que
os demais alunos da pesquisa. Porém, em se tratando de Bháskara, pode ser considerado
estranho esse número de alunos que afirmaram conhecer, pois desde o final do Ensino
Fundamental eles já usam a fórmula de Bháskara para resolver equações do 2º grau.
O fato dos alunos terem apenas duas aulas semanais é um fator prejudicial, pois os
professores não tem tempo suficiente para introduzir a história desses matemáticos durante as
aulas. O que poderia auxiliar nesse processo de ensino aprendizagem, seria a inclusão de uma
disciplina, na grade curricular, que trataria apenas de resgatar essas histórias.
46
Quando questionados se sabiam quais foram as contribuições que estes matemáticos
trouxeram para a Matemática que conhecem hoje, as respostas colhidas estão organizados no
gráfico da Figura 15:
Figura 15: Conhecimentos dos alunos sobre a contribuição dos estudiosos para a evolução da
Matemática.
Diante dos resultados, infelizmente, os alunos não conhecem qual foi a contribuição
que cada matemático trouxe para a matemática. Nas três turmas de Ensino Médio, o número de
alunos que afirmaram não conhecer ou que apenas viram os nomes desses estudiosos em livros
foi superior aos que disseram conhecer as contribuições dadas para a matemática.
Um dos motivos que levam a essa falta de conhecimento foi esclarecido quando foram
questionados se durante as explicações dos conteúdos matemáticos o professor (a) faz uma
introdução dos conteúdos, apresentando o matemático responsável pela construção da fórmula
que irá (ou não) favorecer na resolução dos problemas nos conteúdos estudados. O resultado
pode ser mostrado no gráfico da Figura 16:
47
Figura 16: Abordagem histórica dos conteúdos matemáticos em sala, isso é feito pelo
professor?
De acordo com o gráfico, os professores não apresentam o matemático responsável ou
apenas citam os nomes em alguns casos, consequentemente os alunos não tem acesso a tais
informações em sala, ou quando tem, não é suficiente para que o aluno compreenda a
importância deste estudioso para a evolução da matemática.
Diante de uma análise do gráfico acima, questiona-se: O responsável por essa ausência
de conhecimento é apenas dos professores? Todo aluno é responsável por aquilo que deseja
saber, basta aguçar sua curiosidade na busca por informações.
Ainda se referindo às aulas de matemática, os alunos foram questionados sobre como é
feita a apresentação dos conteúdos em sala, qual é a metodologia usada pelo professor. As
respostas assinaladas foram organizadas no gráfico da Figura 17.
48
Figura 17: Metodologia usada pelo professor em sala de aula.
Analisando o gráfico, a metodologia usada pelos professores é tradicional, segundo
(KURI; SILVA; PEREIRA, 2006), esta metodologia caracteriza-se pelo uso de apostila
didática, a qual contém o conteúdo da disciplina e resolução de exercícios-modelo por parte do
professor e proposição de exercícios para os alunos.
Mais da metade dos alunos afirmaram que os professores apenas colocam as fórmulas na
lousa e explica exemplos. Esse comportamento por parte do professor pode ser explicado como
um aproveitamento de tempo, pois procuram mostrar aos alunos uma forma rápida e prática de
resolver os exercícios, isso considerando que as fórmulas aceleram a resolução, o que em
alguns casos e para alguns alunos, utilizar as fórmulas estabelecidas pelo professor não
facilitam o desenvolvimento das atividades.
Quando questionados, se os professores fizessem a apresentação histórica dos
descobridores destas fórmulas, ajudaria a compreender os conteúdos, a afirmação foi de todas
as três turmas, como mostra o gráfico da Figura 18.
49
Figura 18: Apresentação histórica de matemáticos, pode auxiliar na compreensão dos
conteúdos?
De acordo com os resultados, a maioria dos alunos afirmaram que a apresentação
histórica destas fórmulas iria ajudar na compreensão dos conteúdos. Para 6, dos 19 discente do
3° ano, introduzir a história dessas fórmulas não ajudaria a compreender os conteúdos, talvez,
essa opinião é devido a uma desmotivação que eles tem em relação a aprendizagem da
matemática, ou simplesmente acreditam que conhecer as fórmulas já é suficiente para aprender
e resolver os exercícios.
O professor juntamente com a escola, poderão se organizar a fim de conscientizar esses
alunos quanto a importância de se conhecer as histórias desses Matemáticos e suas fórmulas,
isso poderá ser através de projetos desenvolvidos no ambiente escolar. Essa atitude irá
beneficiar não apenas esses alunos, mas também todos os discentes do âmbito escolar.
Buscar meios que favoreçam a aprendizagem dos estudantes do Ensino Médio da
Escola Juscelino Kubitschek de Oliveira pode auxiliar tanto na aprendizagem, como na
motivação do aluno quanto à matemática. Isso pode ser comprovado diante dos dados
organizados no gráfico da Figura 19:
50
Figura 19: Opinião dos alunos quanto ao maior rendimento escolar e interesse pela Matemática
caso seja aplicado a história envolvendo os matemáticos e suas fórmulas.
Os alunos, na maioria, confirmaram que se interessariam mais pela matemática se
conhecessem como ela foi sendo construída com o passar dos anos. Dos 60 alunos que
responderam o questionário, 49 deles afirmaram que o seu interesse aumentaria e apenas 11
opinaram de forma contrária.
De uma forma geral, os estudantes precisam ser incentivados, tanto pelo professor como
pela Escola. Possivelmente, a carência de conhecimento entre esses alunos do Ensino Médio
quanto a história que envolve a Matemática, seja decorrente da quantidade de aulas semanais
de matemática que possuem, assim os professores preferem priorizar a explicação rápida e
objetiva dos conteúdos e a resolução de exercícios para melhor fixação do que fazer uma
contextualização histórica de cada assunto a ser abordado.
51
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Estudar a biografia de alguns dos matemáticos que contribuíram por parte da história da
construção e evolução da Matemática, sem dúvida, é muito enriquecedor, pois conhecemos as
histórias que envolvem a construção de algumas fórmulas que são usadas por professores em
sala de aula e que podem ajudar na resolução de muitos problemas nas diversas áreas do
conhecimento.
Acredito que ensinar Matemática sem explicitar a origem e as finalidades dos conceitos
é contribuir para o aumento da falta de interesse de aprendizagem da mesma, daí a necessidade
de uma metodologia que associe à História da Matemática as questões a serem estudadas.
De acordo com a pesquisa realizada na Escola JK, os alunos não conhecem, ou apenas
ouviram falar ou viram os nomes em livros, de matemáticos que contribuíram grandemente
para a evolução desta ciência. São poucos os alunos que sabem as contribuições que estes
estudiosos trouxeram para o avanço da Matemática.
Os resultados apontaram que a forma como é trabalhado os conteúdos, não favorecem a
aprendizagem sobre a história envolvendo os matemáticos e suas fórmulas, pois os professores
ainda utilizam uma metodologia tradicional no desenvolvimento destes conteúdos.
Em se tratando das aulas de Matemática, o fato de ter apenas duas aulas semanais desta
disciplina, pode influenciar na forma como o professor vai trabalhar os conteúdos, pois o
docente não tem tempo suficiente para se aprofundar nos tópicos dos conteúdos trabalhados.
Ainda de acordo com a pesquisa, os alunos se interessariam mais pelo ensino da
Matemática caso os docentes apresentassem uma abordagem histórica antes de aplicar
exemplos de resolução de exercícios.
Assim, acredito que as informações apresentadas no desenvolvimento deste trabalho
devam fornecer à docentes, um instrumento auxiliar didático, já que ele traz a biografia e as
contribuições que alguns matemáticos trouxeram para a matemática.
Será disponibilizado uma cópia na biblioteca da escola em que foi feito esta pesquisa.
Este trabalho trouxe a biografia de alguns matemáticos que contribuíram para o avanço da
matemática. Sabendo que também houve mulheres que participaram desta evolução, aos
interessados em conhecer as histórias sobre mulheres que também deixaram contribuições para
o desenvolvimento da matemática, indico um artigo sobre “AS MULHERES NA MATEMÁTICA”,
escrito por Kátia Cristina da Silva Souza.
52
6. REFERÊNCIAS
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55
7. ANEXO
56
1)
Qual é a série que você estuda?
( ) 1º ano do Ensino Médio
2)
Já ouviu falar sobre os matemáticos citados abaixo? Assinale com um X naquele que
conhece.
( ) Bhaskara
( )Pitágoras
( )Isaac Newton
( )Albert Einstein
( )Talles de Mileto
( )Euclides de Alexandria
( )Pierre de Fermat
( )Rene Descartes
( )Leonhard Euler
( )Al-Khwarizmi
( ) Arquimedes
( )Gottfried Leibniz
( )Carl Gauss
3)
Dos matemáticos assinalados acima, você sabe qual foi a contribuição que ele trouxe
para a matemática que você aprende na escola?
( ) Sim
( ) Não
( ) Já encontrei estes nomes em livros, mas não sei quais foram as contribuições.
4)
Durante as explicações dos conteúdos matemáticos, seu professor (a) faz uma
introdução dos conteúdos, apresentando o matemático responsável pela construção da fórmula
que irá (ou não) favorecer na resolução dos conteúdos?
( ) Sim
( ) Não
( ) Em alguns casos
5)
Como é feito a apresentação dos conteúdos?
( ) Coloca a fórmula na lousa e explica exemplos.
( ) Faz as deduções das fórmulas e depois explica com exemplos.
( ) Só explica os exemplos e não se preocupa em mostrar as fórmulas.
6)
Seu professor relaciona as fórmulas com seus respectivos descobridores, explicam quem
foram estes estudiosos?
( ) Sim
( ) Não
( ) Em alguns casos
7)
Na sua opinião, se o professor fizer a apresentação histórica dos descobridores destas
fórmulas, ajudaria a compreender os conteúdos?
��
��
��

A contextualização histórica de algumas fórmulas matemáticas e

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