Vorlesung 11

11.Vorlesung EP WS2009/10
I. Mechanik
6. Hydro- und Aerodynamik
7. Schwingungen
a) freie ungedämpfte Schwingung
b) gedämpfte Schwingung
c) erzwungene gedämpfte Schwingung
d) Überlagerung von Schwingungen, Schwebung
e) gekoppelte Schwingsysteme, z.B. Pendel
8. Wellen
Versuche:
Erzwungene Schwingung mit
ω < ω0, ω = ω0, ω > ω0 („Texastower“)
„Tacoma Bridge“ Film
Glas zersingen
Gekoppelte Pendel
Wellenkette
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c) Erzwungene (gedämpfte) Schwingung Versuch Texastower
x1(t) Kraft F = - D x1(t)
Gegeben:
Gedämpfter Oszillator mit Eigenfrequenz ωE =
mit δ = γ/ 2M
x(t)
D
− δ 2 = ω02 − δ 2
M
Treibende periodische Kraft F1cos(ωt) mit Kreisfrequenz ω
Differentialgleichung für die Bewegung:
d 2 x  dx 
M 2 + γ  + Dx = F1 ⋅ cos(ωt )
dt
 dt 
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Lösung: x(t) = A2·cos(ωt – φ2) für t >> Einschwingzeit
• Schwingung mit anregender Frequenz ω
• Amplitude A2 und Phase φ2 hängt von relativer Anregungsfrequenz ω/ω0
und Dämpfung δ ab.
Ersetze in Bildern γ → δ
Maximale Amplitude
A2 =
F1 / M
(ω − 2δ − ω ) + ( 2ωE δ )
2
0
2
2 2
2
Phasenverschiebung φ2 gegenüber der
Auslenkung der Anregung
2δω
tan ϕ 2 = 2
ω0 − ω 2
kleine Dämpfung
große Dämpfung
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Das Phänomen Resonanz
Bei erzwungenen Schwingungen reichen kleine Kräfte aus, um mit der Zeit sehr
große Amplituden zu erzeugen. Resonanz amplitude maximal, wenn für
Erregerfrequenz ω gilt:
ω2 = ω02 – 2 δ2 = ωE2 – δ2
→Auto mit kaputten Stoßdämpfern Tacoma bridge –Film und
Versuch Zersingen eines Glases
(siehe Diagramm auf voriger Seite)
(d.h. Schwingung läuft
der Kraft um 90° = π/2
hinterher)
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d) Überlagerung von Schwingungen ähnlicher Frequenz
führt zu Amplitudenmodulationen bzw. Schwebungen
5 Perioden
5.5 Perioden
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7. Schwingungen
e) Gekoppelte Oszillatoren: Zu Überlagerungen von Schwingungen
kommt es bei gekoppelten Schwingsystemen
Versuch: gekoppelte Pendel
Beobachtung: Durch die schwache Federkopplung wirkt eine erzwingende Kraft F2
auf das zunächst ruhende Pendel. Nach mehreren Schwingungen
nimmt die Amplitude von x1(t) ab, während m2 mit wachsender Amplitude
schwingt, bis m1 still steht. Dann wiederholt sich der Vorgang in umgekehrter
Richtung, d.h. die Schwingungsenergie wechselt periodisch von Pendel 1
zu Pendel 2.
Jedes Pendel vollführt somit eine Schwebung. Diese läßt sich als Überlagerung
von 2 Schwingungen mit leicht verschiedenen Frequenzen darstellen.
→ sogenannte „Eigenschwingungen“.
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7. Schwingungen
Gekoppelte Oszillatoren
z.B. 2 Schwerependel mit zwischengespannter Feder.
Es gibt zwei Schwingungsmoden („Eigenschwingungen“):
Überlagerung beider Schwingungsmoden ergibt Schwebung:
Oszillation wechselt von
einem Pendel zum anderen
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Von 2 gekoppelten über sehr viele gekoppelte Oszillatoren
zum nächsten Kapitel
8. Wellen
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8.Wellen
Ausbreitung von Schwingungen -> Wellen
Bei gekoppelten Pendeln
breitet sich die Schwingung
von einem zum nächsten aus
Welle entsteht durch lokale Anregung oder Störung eine Mediums , die sich
durch Kopplung auf benachbarte schwingungsfähige Systeme ausbreitet …
= Modell für Wellen im Medium (Festkörper oder Fluid), wobei die
Kopplungsfeder für die intermolekularen Kräfte steht.
Versuch: Wellenkette (mit Torsionspendel) – Damit die Welle am
entfernten Ende nicht reflektiert wird, ist dort zunächst eine Dämpfung
eingeschaltet, die später (→stehende Welle) ausgeschaltet wird.
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