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Extrakapitel für M3 1. Integration durch Substitution (Umkehrung der Kettenregel) Beispiel 1: Berechnen Sie das Integral I = ∫ 4 + 5 x ⋅ dx Lösung: a) Da die Wurzel eine innere Funktion hat, substituieren wir diese und leiten dann ab ... z = 4 + 5x dz (= z ' ) = 5 dx dz = 5 * dx dz dx = 5 | * dx |: 5 b) Damit setzen wir das Integral neu an: dz I = ∫ 4 + 5 x dx = ∫ z ⋅ 5 c) und integrieren nach der neuen Variablen z nach dem Vorziehen von 1/5: 3 2 1 2 1 2 3 2 1z = ⋅ z = z3 3 5 3 15 5 2 d) dann kann wieder rücksubstituiert werden und C dazugeschrieben werden: 2 2 (4 + 5 x )3 + C I= z3 = 15 15 Übungen zur Substitution: I =∫ z⋅ 1 ⋅ z dz = 5 ∫ dz = 5 1 ⋅ z dz = 5 ∫ 1b) 3a) ∫ (1 + x) dx ∫ x (3x − 1) dx −2 ∫ (7 − 71x ) dx 4a) ∫ 4b) ∫ 5a) ∫ 2x 5b) ∫x 6a) ∫ (5 x − 12) dx 6b) ∫ 7a) ∫ 5 + x dx 8a) ∫5− x 9a) ∫ sin(3x − 1) ⋅ dx 9b) ∫ cos(2 x − 1) ⋅ dx 1a) 2a) 4 2 2 2 x − 2 dx x ² − 5 dx −1 2 1 2 x³ 4 dx 2b) ∫ (3 x − 2) dx ∫ x(5 − 7 x ² )² dx 3 x2 3b) ∫ dx (5 − 4 x 3 ) 3 3 (3 − 2 x)² dx x ² + 5 dx 2 x² dx 3 1 − x³ x 7b) ∫ 2 dx x +1 4 x³ + 8 x 8b) ∫ dx ( x ² + 2)² 1c) 2c) 3c) ∫ (2 − x) dx ∫ x(3 − 2 x² ) dx 3 4 x − 14 ∫ ( x² − 7 x + 6) 4 dx 1 x( − 5) dx x 5c) ∫ − x x ² − 1 dx 4c) ∫ 6c) ∫ 9c) ∫e 5 x dx x² − 1 x 7c) ∫ dx 1 − x² x ⋅ ( x ² − 3) 8c)*) ∫ dx (3 − x ²)² 3x ⋅ dx *) zuerst kürzen! Dr. Manfred Gurtner 2009 VHS Floridsdorf Integrationsmethoden 1 2. Integration durch partielle Integration (Umkehrung der Produktregel) Beispiel 2: Berechnen Sie das Integral I = ∫ x ⋅ e x dx Lösung: Die Umkehrung der Produktregel ergibt folgende Integrationsregel: ∫ u ⋅ v' = u ⋅ v − ∫ u ' ⋅ v Schritt 1: Bestimmen, was u und was v’ sein sollen (x soll abgeleitet werden, ist also u) I = ∫ x ⋅ e x dx = ∫ u ⋅ v ' dx u = x v = ex Schritt 2: Tabelle zur Bestimmung der Ableitungen und Integrale: u’ = 1 v’ = ex Schritt 3: Anwenden der Integrationsregel: u ⋅ v’ u⋅v u’ ⋅ v x x = x ⋅ e − ∫ 1 ⋅ e x dx I = ∫ x ⋅ e dx Schritt 4 :Nun kann das Restintegral integriert werden – und wir sind fertig! I = x ⋅ e x − ∫ e x ⋅ 1 dx = x ⋅ e x − e x + C Beispiel 3: Mehrfache partielle Integration ∫ x² ⋅ sin x dx Lösung: u ⋅ v’ u ⋅ v u’ ⋅ v u ⋅ v’ 1. partielle Integration: ∫ x ² ⋅ sin x dx = x ² ⋅ ( − cos x ) − ∫ 2 x ⋅ ( − cos x ) dx = − x ² cos x + 2 ∫ x ⋅ cos x dx u⋅v [ u’⋅⋅ v 2. partielle Integration: = − x ² cos x + 2 ⋅ x ⋅ sin x − ∫ 1 ⋅ sin x dx ] = − x ² cos x + 2 ⋅ [x ⋅ sin x − (− cos x)] + C = = − x ² cos x + 2 ⋅ x ⋅ sin x + 2 cos x + C 3. und Integration des Restintegrals ergibt : Beispiel 4: Integration führt zum Ausgangsintegral: I = ∫ sin x ⋅ e x dx Lösung: u ⋅ v’ u’ ⋅ v u ⋅ v’ x x 1. partielle Integration: I = ∫ sin x ⋅ e dx = sin x ⋅ e − ∫ cos x ⋅ e x dx 2. partielle Integration: u ⋅ v u ⋅ v u’ ⋅ v x = sin x ⋅ e − cos x ⋅ e − ∫ ( − sin x ) ⋅ e x dx x 3: durch Vereinfachung ergibt sich: [ = sin x ⋅ e x − cos x ⋅ e x − ∫ sin x ⋅ e x ] dx 4: wir haben wieder das Ausgangsintegral bekommen, das wir mit I anschreiben: I = sin x ⋅ e x − cos x ⋅ e x − I |+I 5. durch Gleichungsumformung bringen wir das I auf die linke Seite und es ergibt sich: 2 ⋅ I = sin x ⋅ e x − cos x ⋅ e x |:2 I= sin x ⋅ e x − cos x ⋅ e x +C 2 Dr. Manfred Gurtner 2009 VHS Floridsdorf Integrationsmethoden 2 allgemeine Integrationsregeln: Funktion Integral = Stammfunktion f(x) = k F(x) = k·x + C ∫ (ax+b) = a x n +1 +C n +1 (ax + b) n +1 ∫ (ax+b) = +C a ⋅ (n + 1) f(x) = 1 = x −1 F(x) = ln |x| + C ∫ f(x) = sin x F(x) = – cos x + C ∫ sin (ax+b) = − cos(ax + b) +C a f(x) = cos x F(x) = sin x + C ∫ cos (ax+b) = sin( ax + b) +C a f(x) = ex F(x) = ex + C ∫ eax+b = f(x) = ax F(x) = ax / lna + C ∫ 10ax+b = f(x) = x n (n ≠ − 1) x Konstante mal Regel Integral mit Schnellsubstitution x² + b ⋅x + C 2 n 1 ln (| ax + b |) = ∫ (ax + b)–1 = +C ax + b a e ax+b +C a 10 ax+b +C a * ln 10 ∫ k· f(x) = k· ∫ f(x) ∫ f(x) + g(x) = ∫ f(x) + ∫ g(x) Summenregel Übungen zur partiellen Integration: ∫ x ⋅ e dx 11a) ∫ x ⋅ e dx 12a) ∫ x ⋅ ln x dx 13a) ∫ x ⋅ cos x dx 14a*) ∫ sin ² x dx 15a*) ∫ sin x ⋅ cos x dx 10a) x 10b) −x 11b) ∫ x²e x dx (ln x)² ∫ x dx 12b) ∫ x ² ⋅ ln x dx 13b) ∫ x ⋅ cos 2 x dx 14b*) ∫ cos ² x dx 15b) ∫ x ⋅ sin 2 x dx ∫ x ³ ⋅ e dx 11c) ∫ ln x dx 12c) ∫ x ⋅ sin x dx 13c) ∫ x ² ⋅ cos 3 x dx 14c*) ∫ sin x ⋅ e dx 15c) ∫ x ⋅ (1 − x) dx 10c) x x 10 *) die partielle Integration führt zum Ausgangsintegral Integralgleichung ( I = ....–I 2⋅I = ...) oder man ersetzt den Integranden durch eine andere Winkelfunktion laut folgender Tabelle: sin 2 x 2 cos²x = 1 – sin²x cos² x = (cos 2x + 1) / 2 Regeln für SIN/COS: sin x⋅ cos x = sin²x + cos²x =1 cos 2x = cos² x – sin² x Dr. Manfred Gurtner 2009 VHS Floridsdorf und und sin²x = 1 – cos²x sin² x = (1– cos 2x) / 2 Integrationsmethoden 3 3. Integration durch Partialbruchzerlegung Integrale, die komplizierte Brüche enthalten, lassen sich in Teilbrüche zerlegen, die integrierbar sind Beispiel 5: Lösen Sie das Integral ∫ 2 x² − 5 ⋅ dx x² − 4 Lösung: Dieser Bruch lässt sich zerlegen. 1. durch Polynomdivision, wenn der Zählergrad größer oder gleich dem Nennergrad ist: (2x² – 5) : (x² – 4) = 2 –(2x² – 8) / +3 Rest 2 x² − 5 3 = 2+ daraus ergibt sich folgende Zerlegung: x² − 4 x² − 4 2. der Restbruch wird weiter zerlegt, indem zuerst die Nullstellen des Nenners gesucht werden: x² – 4 =0 x1,2 = {2,–2} und mit dem Satz von Vietá zerlegt man den Nenner als Produkt (x–Nullstelle)*(x–Nullstelle): x² – 4 = (x–2)⋅(x+2) 3. Damit kann man nun den unbestimmten Ansatz für den Restbruch machen: 3 3 A B = = + x ² − 4 ( x − 2)( x + 2) ( x − 2) ( x + 2) 4. Diese Gleichung multipliziert man mit dem Nenner (x–2)⋅(x+2): 3 = A ⋅ ( x + 2) + B ⋅ ( x − 2) und durch Einsetzen der Nullstellen erhält man die Variablen A und B: x=2 3 = A⋅(2+2) + B⋅(2–2) 3 = 4⋅A A = 3/4 = 0,75 x = –2 3 = A⋅(–2+2) + B⋅(–2–2) 3 = –4⋅B B = –3/4 = –0,75 5. damit kann man nun das Integral lösen: 2x² − 5 0,75 0,75 ∫ x² − 4 ⋅ dx = ∫ 2 + ( x − 2) − ( x + 2) dx = 2 x + 0,75 ⋅ ln | x − 2 | − 0,75 ⋅ ln | x + 2 | +C Regeln für die Partialbruchzerlegung: 1. wenn Zählergrad >= Nennergrad Polynomdivision 2. Nullstellen des Nenners suchen und Nenner damit zerlegen 2x − 5 A B = + x ² − 4 ( x − 2) ( x + 2) 4. mit Nenner multiplizieren und die Nullstellen einsetzen liefert A und B 5. Integration der Partialbrüche (werden meist Logarithmen!) 3. unbestimmter Ansatz des Restbruchs, analog zum Beispiel: Übungen zur Partialbruchzerlegung: 2 x² + x dx x 5 dx 17a) ∫ x−5 1 dx 18a) ∫ x² − 9 x² 19a) ∫ dx x² − 4 16a) ∫ Dr. Manfred Gurtner 2009 x² − 4 x + 4 dx x−2 4x dx 17b) ∫ x−2 x+5 18b) ∫ dx x² + x x² − x 19b) ∫ dx x ² − 10 x + 25 16b) ∫ VHS Floridsdorf x² − 4 dx x+2 3x² dx 17c) ∫ x+4 5x − 8 18c) ∫ dx x² − 5 x 2 19c) ∫ dx x² + x − 6 16c) ∫ Integrationsmethoden 4 Lösungen: (ohne „+C“) 5 1a) (1 + x ) −1 71 ⋅ (71x − 7) 4a) 2 ( 2 x − 2) 3 3b) 3 − (3 − 2 x ²)² 2c) 8 −2 3c) 1 24(5 − 4 x 3 ) 2 3 4b) 3 ⋅ (2 x − 3) 3( x ² − 7 x + 6)³ 1 4c) − ⋅ 5 (5 x − 1) 6 6 5 10 ( x ² + 5)³ 3 6b) − 3 ( x ³ − 1)² 2 5a) 2 (x − 5) 3 3 5c) − ( x ² − 1) 5b) 3 6a) 4 12 3 2b) − (5 − 7 x ²) 42 5 2 3 2a) (3x − 1) 18 3a) 4 1c) − ( x − 2) 4 1b) (3 x − 2) +C 2 5 x − 12 5 7a) ln (|x+5|) 3 6c) x² − 1 7b) ln(| x ² + 1 |) 7c) − ln(| x ² − 1 |) 2 8b) 2⋅ln(x²+2) 8c) ln(| x ² − 3 |) 2 4 8a) − ln(| x − 5 |) 2 - cos(3x - 1) 3 10a) (x–1)⋅ex 2 3x e 3 10c) (x³–3x²+6x–6)⋅ex sin( 2 x − 1) 2 9a) 9b) 11a) (-x-1)⋅e–x 10b) (x²–2x+2)⋅ex (ln x) 3 11c) x⋅ ln x – x 11b) 3 12b) x ³(3 ln x − 1) 12c) sin x – x⋅ cos x 12a) x ² ⋅ ln x − x ² 2 9c) 9 4 13a) cos x + x⋅ sin x 13b) cos 2 x + x sin 2 x 13c) 2 x ⋅ cos(3 x) + ( x ² − 2 ) ⋅ sin(3 x) 9 4 2 ∫ sin ² x = ∫ sin x ⋅ sin x = − cos x ⋅ sin x − ∫ − cos x ⋅ cos x = − cos x ⋅ sin x + ∫ 1 − sin ² x 14a) = − cos x ⋅ sin x + x − ∫ sin ² x 2 * ∫ sin ² x = − cos x ⋅ sin x + x ∫ sin ² x = 14b) | + ∫ sin ² x 3 27 sin x ⋅ cos x x sin 2 x x + = + 2 2 4 2 |: 2 − cos x ⋅ sin x + x 2 14c) ex⋅(sin x – cos x)/2 15a) − cos ² x = − cos 2 x + C 4 2 15b) sin( 2 x) − 2 x ⋅ cos(2 x) 4 11 12 15c) − x ⋅ (1 − x) − (1 − x ) 11 132 x² x² 16a) x² + x 16b) − 2x 16c) − 2x 2 2 17a) 5⋅ln(|x–5|) 17b) 4⋅(2⋅ln(|x–2|) + x) 17c) 1,5⋅(32 ⋅ln(|x+4|) + x⋅(x-8)) ln(| x + 3 |) + ln(| x − 3 |) 18a) 18b) 5⋅ln(|x|) – 4⋅ln(|x-+1|) 18c) 8 ⋅ ln(| x |) + 17 ⋅ ln(| x − 5 |) 6 19a) ln(|x-2|) + ln(|x+2|) + x 5 20 19b) 9⋅ln(|x-5|) – +x x−5 19c) − 2 ⋅ (ln(|| x + 3) − ln(| x − 2 |) ) 5 LINKS: Substitution: http://de.wikipedia.org/wiki/Integration_durch_Substitution http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/4/substitutions.3/ http://brinkmann-du.de/mathe/gost/diff_int_01_04.htm http://de.wikipedia.org/wiki/Partielle_Integration partielle Integration: Partialbruchzerlegung: http://de.wikipedia.org/wiki/Partialbruchzerlegung Integrationsmaschine (Mathematica) http://www.mathe-online.at/Mathematica/ allgemeines: http://www.mathematik.net/Integ-1/ia-001.htm Dr. Manfred Gurtner 2009 VHS Floridsdorf Integrationsmethoden 5