Curvas e Superfícies no Espaço através de Exemplos 1. Reta

Curvas e Superfícies no Espaço através de Exemplos
Fernando Deeke Sasse
UDESC-Joinville
1. Reta tangente, plano normal, vetor normal
Curva dada por função vetorial
1. Encontrar o vetor tangente, a equação da tangente e a equação do plano normal à curva dada
por
Solução:
, em t=3. Ilustre graficamente.
restart:
with(LinearAlgebra):
with(plots):
r:=[t^(2/3),t,ln(t)+10];
(1.1.1)
rf := unapply(r,t);
(1.1.2)
rf(3)[1];
(1.1.3)
vtan:=unapply(diff(rf(t),t),t);
(1.1.4)
Em
:
tp:=3:
vtanp:=evalf(vtan(tp));
(1.1.5)
A reta tangente é a reta que passa pelo ponto e tem a direção de
.
eqreta:=[x-rf(tp)[1]=k*vtan(tp)[1],y-rf(tp)[2]=k*vtan(tp)
[2],z-rf(tp)[3]=k*vtan(tp)[3]];
(1.1.6)
retaT:=simplify([op(2,isolate(eqreta[1],x)),op(2,isolate
(eqreta[2],y)),op(2,isolate(eqreta[3],z))]);
(1.1.7)
Plano normal:
PlanoNormal:=(x-rf(tp)[1])*vtan(tp)[1]+(y-rf(tp)[2])*vtan
(tp)[2]+(z-rf(tp)[3])*vtan(tp)[3]=0;
(1.1.8)
p1:=implicitplot3d(PlanoNormal,x=-5..5,y=-10..10,
z=0..15,axes=frame):
c1:=spacecurve(r,t=-2..15,color=red,thickness=2):
c2:=spacecurve(retaT,k=-5..7,color=blue,thickness=2):
display([c1,c2,p1],axes=FRAME,labels=[x, y, z],scaling=
constrained);
Curva dada pela intersecção de duas superfícies
2. Determine a reta tangente à curva dada pela intersecção das superfícies
no ramo correspondente a positivo. Em tal ramo escolha um ponto.
e
Faça um gráfico mostrando simultaneamente a reta tangente, a curva e as duas superfícies .
Solução:
s1:=x^2+y^2+z^2-25;
(1.2.1)
s2:=x+y*z+y^2+z-17;
(1.2.2)
ps1:=implicitplot3d(s1,x=-5..5,y=-5..5,z=-10..5):
ps2:=implicitplot3d(s2,x=-5..5,y=-5..5,z=-10..5):
display([ps1,ps2],axes=FRAME,labels=[x, y, z],scaling=
unconstrained);
diff(s1,x);
(1.2.3)
with(linalg):
D1:=matrix([[diff(s1,y),diff(s1,z)],[diff(s2,y),diff(s2,z)]
]);
(1.2.4)
D2:=matrix([[diff(s1,z),diff(s1,x)],[diff(s2,z),diff(s2,x)]
]);
(1.2.5)
D3:=matrix([[diff(s1,x),diff(s1,y)],[diff(s2,x),diff(s2,y)]
]);
(1.2.6)
vtan:=[det(D1),det(D2),det(D3)];
(1.2.7)
Transformando a lista acima numa função,
vtanf:=unapply(vtan,[x,y,z]);
(1.2.8)
Com ajuda do gráfico, vamos escolher um ponto de intersecção das duas superfícies que tenha
coordenada
.
s10:=subs(y=2,s1);
(1.2.9)
s20:=subs(y=2,s2);
(1.2.10)
ss1:=solve({s10,s20},{x,z});
(1.2.11)
ss2:=allvalues(ss1);
(1.2.12)
Cada uma dessas soluções corresponde a uma curva. Vamos escolher a curva correspondente à
primeira solução:
slist:=convert(ss2[1],list);
(1.2.13)
Um ponto de intersecção é portanto dado por
p:=[op(2,slist[2]),2,op(2,slist[1])];
(1.2.14)
O vetor tangente `a curva no ponto p é
vtanp:=evalf(vtanf(p[1],p[2],p[3]));
(1.2.15)
A reta tangente é dada por
eqretaT:=evalf([x-p[1]=k*vtanp[1],y-p[2]=k*vtanp[2],z-p[3]=
k*vtanp[3]]);
(1.2.16)
retaT:=simplify([op(2,isolate(eqretaT[1],x)),op(2,isolate
(eqretaT[2],y)),op(2,isolate(eqretaT[3],z))]);
(1.2.17)
Vamos agora montar a equação da curva
sol2:=solve({s1,s2},{x,z});
(1.2.18)
sol3:=allvalues(sol2);
(1.2.19)
subs(x=p[1],y=p[2],z=p[3],sol3[1]);
(1.2.20)
subs(x=p[1],y=p[2],z=p[3],sol3[2]);
(1.2.21)
(1.2.21)
O resultado acima mostra que
pertence à parte da curva currespondente à primeira solução.
Escolhemos então y como parâmentro em sol3[1].
y:=t;
(1.2.22)
curva1:=simplify([op(2,op(1,sol3[1])),t,op(2,op(2,sol3[1]))
]);
(1.2.23)
curva2:=simplify([op(2,op(1,sol3[2])),t,op(2,op(2,sol3[2]))
]);
(1.2.24)
r1:=spacecurve(retaT,k=-0.1..0.1,color=blue,thickness=3):
c1:=spacecurve(curva1,t=0..7,color=black,thickness=3,
numpoints=1000):
c2:=spacecurve(curva2,t=0..7,color=black,thickness=3,
numpoints=1000):
display([c2,c1,r1],axes=FRAME,labels=[x, 'y', z],scaling=
unconstrained);
display([ps1,ps2,c1,c2,r1],axes=FRAME,labels=[x, y, z],
scaling=unconstrained);
Parametrização por comprimento de arco, vetor normal
Caso simples
3.
Dada a curva dada pela função vetorial
,
(i) Grafique e parametrize a curva em termos do comprimento de arco a partir da origem nos
sentidos positivos dos eixos x,y,z e calcule
(ii) o comprimento da curva entre t=0 e t=3,
(iii) o vetor tangente unitário em t=2,
(iv) o vetor normal unitário em t=2.
Solução:
(i)
restart:
with(plots):
r := [t^2, 4*t^3/3, t^4] ;
(1.3.1.1)
Inicialmente vamos fazer a troca de variáveis:
t:=u^(1/2):
assume(u>0);
r;
(1.3.1.2)
Façamos um gráfico da curva:
spacecurve(r,u=0..2*Pi,axes=FRAME,labels=[x, y, z],
scaling=unconstrained,thickness=2,color=blue);
O vetor tangente é dado por
rt:=diff(r,u);
(1.3.1.3)
Seu módulo é dado por
rtm:=simplify((sum(rt[i]^2,i=1..3))^(1/2));
(1.3.1.4)
O comprimento de arco entre
e
é dado por
eq:=s=int(rtm,u=0..u1);
(1.3.1.5)
Temos duas soluções para
:
sol:=[solve(eq,u1)];
(1.3.1.6)
(1.3.1.6)
O problema pede a parametrização para valores positivos das coordenadas, de modo que
tomamos
sigma:=simplify(subs(u=sol[1],r));
(1.3.1.7)
(ii) O comprimento de arco entre t=0 (u=0) e t=3 (u=9) é dado por
Int(rtm,u=0..9)=int(rtm,u=0..9);
(1.3.1.8)
(iii) O vetor tangente em qualquer ponto é
vt:=diff(r,u);
(1.3.1.9)
Em t=2 (u=4) temos
vt2:=subs(u=4,vt);
(1.3.1.10)
(iv) Vamos usar o fato de que dt/ds=1/rtm para escrever o vetor tangente unitário l como
for i to 3 do sigma[i]:=rt[i]*1/rtm od;
(1.3.1.11)
Tal vetor é de fato unitário:
simplify((sum(sigma[m]^2,m=1..3))^(1/2));
1
Para calcular o vetor normal fazemos o mesmo :
N:=[]:
for j to 3 do
(1.3.1.12)
n[j]:=diff(sigma[j],u)*1/rtm;
N:=[op(N),n[j]];
od:
N:=simplify(N);
(1.3.1.13)
A ortogonalidade pode ser verificada:
simplify((sum(sigma[e]*N[e],e=1..3))^(1/2));
0
(1.3.1.14)
norma:=proc(L)
local i;
simplify(sqrt(sum(L[i]^2,i=1..3))):
end;
(1.3.1.15)
versor:=proc(u)
local j,L,N;
L:=[];
N:=norma(u);
for j to 3 do
L:=[op(L),simplify(u[j]/N)]:
od;
end;
(1.3.1.16)
O vetor normal unitário é então dado por
NU:=versor(N);
(1.3.1.17)
Verificando,
norma(NU);
1
Em
(1.3.1.18)
(u=4),
subs(u=4,NU);
(1.3.1.19)
(1.3.1.19)
Parâmetro não integrável
4. Dada a curva definida pela função vetorial
represente a curva
em termos do comprimento de arco, calcule, no ponto correspondente a t=1, o vetor tangente
unitário, o vetor normal unitário, a reta normal. Faça o gráfico da reta normal e da curva,
simultâneos.
Solução:
Neste problema vamos ver que em geral a relação entre s e t não pode ser dada em termos de
funções elementares.
O gráfico da curva é dado por
restart:
with(plots):
norma:=proc(L)
local i;
simplify(sqrt(sum(L[i]^2,i=1..3))):
end;
(1.3.2.1)
versor:=proc(u)
local j,L,N;
L:=[];
N:=norma(u);
for j to 3 do
L:=[op(L),simplify(u[j]/N)]:
od;
end;
(1.3.2.2)
r:=[2*cos(t),4*sin(t),t];
(1.3.2.3)
spacecurve(r,t=0.1..Pi/1.1,axes=FRAME,labels=[x, y, z],
scaling=unconstrained);
c1:=spacecurve(r,t=0.1..Pi/1.1,axes=FRAME,labels=[x, y,
z],color=red,thickness=2):
O vetor tangente é dado por
rt:=diff(r,t);
(1.3.2.4)
Seu módulo é dado por
rtm:=norma(rt);
(1.3.2.5)
O comprimento de arco entre
e
s:=Int(rtm,t=0..tau);
é dado por
(1.3.2.6)
s:=value(s);
(1.3.2.7)
plot(s,tau=0..2);
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
sf:=unapply(s,tau);
(1.3.2.8)
Vemos acima que a relação entre e
é dada em termos de integrais elíticas, ou seja não
pode ser expressa através de funções elementares (sin, cos exp, log). Isso significa que a
mudança de parametrização não é aconselhável.
Vamos então usar o fato de que dt/ds=1/
para escrever o vetor tangente
como
for i to 3 do sigma[i]:=rt[i]*1/(5+12*cos(t)^2)^(1/2) od;
(1.3.2.9)
Tal vetor deve ser unitário:
normsigma:=norma(sigma);
(1.3.2.10)
Para calcular o vetor normal fazemos o mesmo :
N:=[]:
for j to 3 do
n[j]:=diff(sigma[j],t)*1/(5+12*cos(t)^2)^(1/2);
N:=[op(N),n[j]];
od:
N;
(1.3.2.11)
Podemos verificar que este vetor é realmente normal ao vetor tangente:
simplify((sum(sigma[k]*N[k],k=1..3))^(1/2));
0
(1.3.2.12)
A reta que tem a direção do vetor tangente
(ou rt) em um ponto qualquer é dada por
eqretatan:=[x-r[1]=k*sigma[1],y-r[2]=k*sigma[2],z-r[3]=k*
sigma[3]];
(1.3.2.13)
retaT:=simplify([op(2,isolate(eqretatan[1],x)),op(2,
isolate(eqretatan[2],y)),op(2,isolate(eqretatan[3],z))]);
(1.3.2.14)
Vamos escrever a lista acima como uma lista de funções de :
retaTf:=unapply(retaT,t);
(1.3.2.15)
Em
temos
retaT1:=evalf(retaTf(1));
(1.3.2.16)
A reta que tem a direção do vetor normal é dada por
eqretanorm:=[x-r[1]=k*N[1],y-r[2]=k*N[2],z-r[3]=k*N[3]];
(1.3.2.17)
Escrevendo em forma de lista,
retaN:=simplify([op(2,isolate(eqretanorm[1],x)),op(2,
isolate(eqretanorm[2],y)),op(2,isolate(eqretanorm[3],z))]
);
(1.3.2.18)
retaNf:=unapply(retaN,t);
(1.3.2.19)
Em
,
retaN1:=evalf(retaNf(1));
(1.3.2.20)
Vamos agora fazer o gráfico da curva e das retas, simultaneamente.
r1:=spacecurve(retaT1,k=-3..3,color=blue,thickness=2):
r2:=spacecurve(retaN1,k=-3..3,color=black,thickness=2):
display([r1,r2,c1],axes=FRAME,labels=[x, y, z],scaling=
constrained);
Exemplo utilizando o pacote VectorCalculus
1.Encontrar o vetor tangente, a equação da reta tangente, do vetor normal unitário e a equação do
plano normal à curva dada por
t=4.
restart:
with(VectorCalculus);
, em t=3, e o comprimento da curva entre t=1 e
(1.4.1)
Vetor tangente
r := <t^(2/3), t, ln(t)+10>;
(1.4.2)
rt:=TangentVector(r,t);
(1.4.3)
vrt:=convert(rt,Vector);
(1.4.4)
Em
,
rp:=subs(t=3,r);
(1.4.5)
rtp:=subs(t=3,rt);
(1.4.6)
Reta tangente
TangentLine( vrt, t=3 );
(1.4.7)
(1.4.7)
Vetor normal
N:=PrincipalNormal( r );
(1.4.8)
Np:=evalf(subs(t=3,N));
(1.4.9)
Checando o produto escalar:
evalf(DotProduct( Np, rtp));
(1.4.10)
Vetor normal unitário
Np;
(1.4.11)
(DotProduct( Np,Np))^(-1/2);
10.42262623
(1.4.12)
NpU:=Np/((DotProduct( Np,Np))^(1/2));
(1.4.13)
(1.4.13)
evalf(DotProduct( NpU,NpU));
0.9999999998
(1.4.14)
Plano normal
R:=<x,y,z>;
(1.4.15)
plano:=evalf(DotProduct(R-rp,Np))=0;
(1.4.16)
Comprimento de arco
ArcLength(r,t=1..4);
(1.4.17)
evalf(%);
3.672889060
(1.4.18)
Exercícios
1. Parametrize r( t ) = [ 2t , 6 sen t , 6 cos t ] pelo comprimento de arco a partir do ponto A(0,0,6)
nos sentidos negativos de X , Y e Z.
Em seguida, em t=2 calcule o vetor tangente unitário, a reta tangente, o vetor normal, a normal
principal e o plano normal . Faça o gráfico ilustrando os resultados.
2. Dada a função vetorial r(t) = [ 2t , 2 sen t , 4 cos t ], determine, em t=2, calcule o vetor
tangente unitário, a reta tangente, o vetor normal, a normal principal e o plano normal . Faça o
gráfico ilustrando os resultados.
3. Calcule o comprimento da curva C(t) = [2t , 3 , 3 ] do ponto A(4,24,12) ao ponto B(-2,-3,3).
4.
a)
b)
c)
d)
passo 3
e)
f)
Apresente a equação vetorial de:
parábola 6x = y², z = 5
circunferência de raio 3 no plano y = 1, centrada no eixo (x = 7, z = 0)
hélice circular centrada no eixo OX, de raio 4 e passo 6
hélice elíptica centrada no eixo OZ, de raios 1 na direção OX, 2 na direção OY e
elipsóide circular de raios 10 e 15, centrados na origem e eixo principal em OY.
sela x² - y = 5z².
6. Parametrize as curvas do problema anterior pelo comprimento de arco e, no ponto determine o
vetor tangente, a reta tangente, o vetor normal unitário, o plano normal e a reta normal no ponto
correspondente a s=1.
2. Curvatura, torção, tríade de Serret-Frenet
Cálculo de curvatura e torção a partir de primeiros princípios
1. Encontrar a curvatura e a torção da curva dada por
, para qualquer t,
fazendo os cálculos a partir de primeiro princípios, sem o auxílio de fórmulas prontas
Solução:
Inicialmente vamos determinar o vetor tangente unitário
.
restart:
r := [t^(2/3), t, ln(t)+10];
(2.1.1)
rt:=diff(r,t);
(2.1.2)
Notemos que
, ou seja,
Ds:=sqrt(rt[1]^2+rt[2]^2+rt[3]^2);
(2.1.3)
Não há necessidade de integrar tal equação. Tudo o que necessitamos é calcular
sigma:=[seq(rt[i]/Ds,i=1..3)];
(2.1.4)
Podemos verificar que este vetor é unitário:
norma:=proc(L)
local i;
simplify(sqrt(sum(L[i]^2,i=1..3))):
end;
(2.1.5)
norma(sigma);
1
(2.1.6)
Outro modo de obter o mesmo resultado seria simplesmente calcular
versor:=proc(u)
local j,L,N;
L:=[];
N:=norma(u);
for j to 3 do
L:=[op(L),simplify(u[j]/N)]:
od;
end:
sigma2:=versor(rt);
(2.1.7)
norma(sigma2);
1
(2.1.8)
O vetor normal é dado por
N:=[]:
for j to 3 do
nn[j]:=diff(sigma[j],t)/Ds;
N:=[op(N),nn[j]];
od:
N;
(2.1.9)
Podemos verificar que este vetor é realmente normal ao vetor tangente:
simplify((sum(sigma[k]*N[k],k=1..3))^(1/2));
0
(2.1.10)
A curvatura K é dada pelo módulo de N, ou seja,
K1:=norma(N);
(2.1.11)
O vetor nomal unitário é
n:=simplify(versor(N));
(2.1.12)
norma(n);
1
(2.1.13)
Para calcular a torção devemos calcular antes o vetor binormal, b =
x :
prodvect:=proc(a,b)
local c ;
c:=[a[2]*b[3]-a[3]*b[2],a[3]*b[1]-a[1]*b[3],a[1]*b[2]-a
[2]*b[1]]
;
end;
(2.1.14)
(2.1.14)
b:=prodvect(sigma,n);
(2.1.15)
norma(b);
1
(2.1.16)
Devemos calcular agora
dbs:=[]:
for j to 3 do
nnn[j]:=simplify(diff(b[j],t)/Ds);
dbs:=[op(dbs),nnn[j]];
od:
dbs;
(2.1.17)
(2.1.17)
A torção é dada por 1/ norma do vetor acima:
T1:=1/norma(dbs);
(2.1.18)
Cálculo de curvatura e torção através de fórmulas
2. Encontrar a curvatura e a torção da curva dada por
utilizando fórmulas.
Solução:
, para qualquer t,
r := [t^(2/3), t, ln(t)+10];
(2.2.1)
rt:=diff(r,t);
(2.2.2)
rtt:=diff(rt,t);
(2.2.3)
rttt:=diff(rtt,t);
(2.2.4)
A curvatura pode ser calculada através da fórmula:
K2:=sqrt(norma(prodvect(rt,rtt))^2/(norma(rt)^6));
(2.2.5)
(2.2.5)
Podemos comprovar que os dois cálculos estão de acordo:
K1-K2;
0
(2.2.6)
Vamos definir um procedimento para calular o produto escalar:
dot:=proc(a,b)
local i;
simplify((sum(a[i]*b[i],i=1..3))):
end:
A torção pode ser dada por
T2:=1/((dot(rt,prodvect(rtt,rttt))/(norma(prodvect(rt,rtt))
)^2));
(2.2.7)
O cálculo anterior resultou em
T1;
(2.2.8)
que coincide com o que fizemos aqui:
simplify(T1,assume=positive);
(2.2.9)
Façamos os gráficos da curvatura e torção:
with(plots):
p1:=plot(K1,t=0..5,color=blue):
p2:=plot(T1,t=0..5,color=red):
display([p1,p2],view=[0..5,-1..10] );
10
8
6
4
2
0
1
2
3
4
5
t
Cálculo de curvatura e torção utilizando o pacote VectorCalculus
3. Encontrar os vetores unitários tangente, normal e binormal, a curvatura e a torção da curva
dada por
, para qualquer t, utilizando o pacote VectorCalculus.
with(VectorCalculus);
(2.3.1)
r := <t^(2/3), t, ln(t)+10>;
(2.3.2)
A curvatura é dada por
K3:=simplify(Curvature(r));
(2.3.3)
Tal resultado é equivalente aos obtidos anteriormente, pois
simplify(K1-K3,assume=positive);
0
(2.3.4)
Para torção temos
T3:=1/simplify(Torsion(r));
(2.3.5)
simplify(T1-T3,assume=positive);
0
Os vetores tangente, normal e binormal unitários são dados respectivamente por
rt1:=simplify(TNBFrame(r)[1]);
(2.3.6)
(2.3.7)
n1:=simplify(TNBFrame(r)[2]);
(2.3.8)
b1:=simplify(TNBFrame(r)[3]);
(2.3.9)
Exercícios
1. Dada a função vetorial r(t) = [ 2t , 2 sen t , 4 cos t ], determine, em t=2, determine a tríade de
Serret-Frenet, o plano osculador, a curvatura e a torção . Faça o gráfico ilustrando os resultados.
2. Faça o mesmo para as curva
,
,
.
3. Encontrar os pontos da curva
onde a curvatura possui um
mínimo (local).
3. Superfícies
Vetor normal e plano tangente a uma superfície
1. Determinar o vetor normal e o plano tangente à superfície
1. Plotar os resultados.
restart:
with(plots):
em u=1, v=
r := unapply([u, v, sin(v*u)],u,v);
(3.1.1)
plot3d(r(u,v),u=0..2,v=0..2,grid=[25,15],style=patch,axes=
FRAME,labels=[x, y, z],scaling=unconstrained);
du:=diff(r(u,v),u);
(3.1.2)
dv:=diff(r(u,v),v);
(3.1.3)
prodvect:=proc(a,b)
local c ;
c:=[a[2]*b[3]-a[3]*b[2],a[3]*b[1]-a[1]*b[3],a[1]*b[2]-a
[2]*b[1]]
;
end:
N:=unapply(prodvect(du,dv),u,v);
(3.1.4)
Np:=evalf(N(1,1));
(3.1.5)
rp:=evalf(r(1,1));
(3.1.6)
PlanoTangente:=(x-rp[1])*Np[1]+(y-rp[2])*Np[2]+(z-rp[3])*Np
[3]=0;
(3.1.7)
eqreta:=[x-rp[1]=k*Np[1],y-rp[2]=k*Np[2],z-rp[3]=k*Np[3]];
(3.1.8)
RetaN:=simplify([op(2,isolate(eqreta[1],x)),op(2,isolate
(eqreta[2],y)),op(2,isolate(eqreta[3],z))]);
(3.1.9)
p1:=implicitplot3d(PlanoTangente,x=-3..3,y=-3..3,
z=0..3,style=patch,axes=frame,color=orange):
p2:=plot3d(r(u,v),u=-1..3,v=-1..3,grid=[15,15],style=patch,
axes=FRAME,labels=[x, y, z],scaling=constrained,color=blue)
:
p3:=spacecurve(RetaN,k=-2..2,axes=frame,color=black,
thickness=2):
display(p3,p2,p1);
Superfície dada por
2. Determine o plano tangente a uma superfície dada por
Solução: Vamos escrever a equação da superfície como
restart:
with(plots):
eq:=x^3+y^3+z^3= 10;
no ponto (1,2,1).
(3.2.1)
implicitplot3d(eq,x=-10..10,y=-10..10,z=-10..10,axes=frame,
scaling=constrained,numpoints=2000);
Vamos escolher e como parâmetros, de modo que
. Definindo
temos que
Diff(z,x)=-Diff(phi,x)/Diff(phi,z);Diff(z,y)=-Diff(phi,y)
/Diff(phi,z);
(3.2.2)
Com
phi:=x^3+y^3+z^3- 10;
(3.2.3)
temos
r:=unapply([x,y,z],x,y,z);
(3.2.4)
rx:=[1,0,implicitdiff(phi,z,x)];
(3.2.5)
ry:=[0,1,implicitdiff(phi,z,y)];
(3.2.6)
prodvect:=proc(a,b)
local c ;
c:=[a[2]*b[3]-a[3]*b[2],a[3]*b[1]-a[1]*b[3],a[1]*b[2]-a
[2]*b[1]]
;
end:
N:=unapply(prodvect(rx,ry),x,y,z);
(3.2.7)
rp:=r(1,2,1);
(3.2.8)
Np:=N(1,2,1);
(3.2.9)
PlanoTangente:=(x-rp[1])*Np[1]+(y-rp[2])*Np[2]+(z-rp[3])*Np
[3]=0;
(3.2.10)
eqreta:=[x-rp[1]=k*Np[1],y-rp[2]=k*Np[2],z-rp[3]=k*Np[3]];
(3.2.11)
RetaN:=simplify([op(2,isolate(eqreta[1],x)),op(2,isolate
(eqreta[2],y)),op(2,isolate(eqreta[3],z))]);
(3.2.12)
p1:=implicitplot3d(PlanoTangente,x=-10..10,y=-10..10,
z=-10..10,style=patch,axes=frame,color=orange):
p3:=spacecurve(RetaN,k=-2..2,axes=frame,color=blue,
thickness=2):
p2:=implicitplot3d(eq,x=-10..10,y=-10..10,z=-10..10,axes=
frame,scaling=constrained,numpoints=6000):
display(p3,p2,p1);
Exercícios
Na questões 1 a 6 determine as equações do plano tangente e da normal às seguintes superfícies
nos pontos M indicados. Faça o gráfico quando apropriado:
1.
, M(1,2,9) ,
2.
, M(3,4,12) ,
3.
, M(3,1,-1) ,
, M(
4.
5.
),
,
ponto qualquer.
6.
,
7. Determinar o plano tangente à superfícies
.
8. Mostrar que as superfícies
,
intersecção.
,
(pseudo-esfera),
,
.
que seja paralelo ao plano
são ortogonais nos seus pontes de