professores de matemática em um grupo de estudos

UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO
RONALDO BARROS ORFÃO
PROFESSORES DE MATEMÁTICA EM UM GRUPO DE ESTUDOS:
UMA INVESTIGAÇÃO SOBRE O USO DE TECNOLOGIA NO
ENSINO DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
SÃO PAULO
2012
4
RONALDO BARROS ORFÃO
MESTRADO ACADÊMICO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
PROFESSORES DE MATEMÁTICA EM UM GRUPO DE ESTUDOS:
UMA INVESTIGAÇÃO SOBRE O USO DE TECNOLOGIA NO
ENSINO DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Dissertação apresentada à banca examinadora do
Programa de Pós-Graduação da Universidade
Bandeirante de São Paulo, como exigência parcial
para a obtenção do título de Mestre em Educação
Matemática, sob a orientação da Profª Dra Nielce M.
Lobo da Costa.
SÃO PAULO
2012
5
Orfão, Ronaldo Barros - Professores de Matemática em um
Grupo de Estudos: Uma Investigação Sobre o uso de Tecnologia no
Ensino de Funções Trigonométricas.
.
Dissertação (Mestrado Acadêmico) – Universidade Bandeirante de
São Paulo, Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática.
Orientadora: Profª. Drª. Nielce M. Lobo da Costa.
Palavras-chave:
Desenvolvimento
Profissional
Docente,
Trigonometria, Trabalho Colaborativo, Grupo de
Estudos, Geogebra.
6
RONALDO BARROS ORFÃO
PROFESSORES DE MATEMÁTICA EM UM GRUPO DE ESTUDOS: UMA
INVESTIGAÇÃO SOBRE O USO DE TECNOLOGIA NO ENSINO DE FUNÇÕES
TRIGONOMÉTRICAS.
DISSERTAÇÃO APRESENTADA À UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO
PAULO, COMO EXIGÊNCIA DO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, PARA OBTENÇÃO DO TÍTULO DE MESTRE EM
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA.
BANCA EXAMINADORA.
7
Dedicatória
Este trabalho é dedicado a todos os que
acreditam
sociedade
em
que,
justa,
para
devemos
formar
ter
uma
bons
profissionais em constante desenvolvimento
e aperfeiçoamento para que possamos
promover uma educação de qualidade.
8
AGRADECIMENTOS
À minha família, pela força e esperança das quais precisei para enfrentar a
caminhada, em especial, à minha esposa, Anna Valquíria, que sempre me
incentivou nos momentos mais difíceis, além de acreditar em mim e ser,
incondicionalmente, o meu porto seguro.
À Profa. Dra. Nielce Meneguelo Lobo da Costa, orientadora e amiga, pela dedicação
e paciência, pelos conselhos e incentivo nos momentos de incertezas no decorrer da
realização desta pesquisa.
Às professoras da Banca Examinadora: Profa. Dra. Janete Bolite Frant, Profa. Dra.
Abigail De Albuquerque Lins (Bibi Lins) e Profa. Dra. Silmara Alexandra da S.
Vicente, por aceitarem o convite para participar da banca examinadora deste
trabalho, pela avaliação cuidadosa que fizeram, pelas sugestões e críticas que me
ajudaram a alcançar os resultados aqui apresentados.
Aos professores do Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da
UNIBAN-SP, sempre compromissados e prontos a ajudar.
À Diretora Patrícia Martins Seabra, por acreditar e apoiar meu trabalho, me
concedendo o espaço para realizar minhas pesquisas de campo.
Aos amigos e companheiros; Antônio Carlos, Celso, Everaldo, Rosana, Rosely,
Wanderlei, Leandro, sem os quais esta pesquisa não seria realizada.
Aos companheiros mestrandos e doutorandos da UNIBAN-SP, pelos momentos
agradáveis, dos quais tenho certeza vou sentir saudades.
Aos professores e colegas de trabalho, em particular ao inspetor Moisés, que
compartilharam comigo a maioria dos momentos em que se desenvolveu minha
jornada como educador.
A todos meus amigos, e de modo particular à minha mãe e meus irmãos Rosenil,
Ronildo, Luiz e Suzana pela constante torcida, apoio e compreensão nos momentos
de ausência que se fizeram necessários para a realização deste trabalho.
Aos professores do GdS, que me permitiram vivenciar o sentido de uma comunidade
colaborativa.
Aos alunos que concordaram em participar como sujeitos da pesquisa, que apesar
de anônimos, foram importantes para a conclusão da mesma.
9
RESUMO
O objetivo desta pesquisa foi identificar quais são os fatores relevantes para
impulsionar o desenvolvimento profissional docente que emergem em um grupo de
estudos de professores de Matemática ao investigarem o uso de tecnologia para o
ensino de trigonometria. A fundamentação teórica se constituiu a partir dos conceitos
de conhecimento profissional, de reflexão e de desenvolvimento profissional do
professor de matemática, na perspectiva de grupos de trabalho colaborativo. A
metodologia da pesquisa foi a qualitativa do tipo Design Experiment desenvolvido
por Cobb. Foi constituído um grupo de estudos formado por seis professores de
matemática de uma escola da Educação Básica na grande São Paulo. O grupo se
reuniu durante um semestre letivo para investigar o processo de ensino e
aprendizagem de trigonometria com o uso de recursos tecnológicos. Os dados foram
coletados por meio de questionário, entrevistas, gravação em áudio e vídeo e pelos
materiais produzidos pelos sujeitos e seus alunos. A análise dos dados apontou
como fatores relevantes para o desenvolvimento profissional docente: características
específicas do grupo, tais como, participação voluntária, confiança mútua, objetivos
comuns e interesse em buscar alternativas para o ensino de trigonometria; o
conhecimento do conteúdo específico – as discussões do grupo favoreceram a
(re)conceituação de conceitos, tais como; o de radiano e o de periodicidade; a
participação colaborativa durante todo o tempo e especialmente quando aplicaram
atividades com os alunos; o conhecimento pedagógico do conteúdo – as discussões
viabilizaram a análise e a reflexão sobre ensino de trigonometria, em particular das
funções seno e cosseno, temática para o qual desenvolveram metodologias
diferenciadas; o conhecimento tecnológico do conteúdo – utilizar o software, analisar
pesquisas de seu uso no ensino e criar atividades e aplicá-las com os alunos
auxiliou a construir esse conhecimento. A pesquisa evidenciou que, no contexto
investigado, o estabelecimento de grupos de estudos, envolvendo a parceria
universidade-escola foi uma possibilidade viável para impulsionar o desenvolvimento
profissional docente e auxiliar na integração dos recursos tecnológicos ao ensino de
trigonometria.
Palavras chaves: Desenvolvimento Profissional Docente, Trigonometria, Trabalho
Colaborativo, Grupo de Estudos, Geogebra.
10
ABSTRACT
The objective of this research was to identify which relevant factors trigger the
professional development in the educational area that emerges from a mathematic
study group, this group uses technology to teach trigonometry. The theoretical
fundamentals were based in the concept of professional knowledge, reflection and
development from the perspective of collaborative working groups. The Methodology
of research was the qualitative type of the Design Experiment developed by Cobb.
This methodology is constituted by a mathematics study group of six mathematics
teachers from a school of basic education situated in the metropolitan region of São
Paulo. The group met themselves through a semester of classes with the purpose of
investigate
the teaching and learning process through the use of technological
resources. The data was collected through questionnaires, interviews, audio records
and videos of the meetings, diaries of the researcher and the materials produced by
the subjects and his students. The analyses of the data pointed out the following
relevant factors for the professional teacher: specific group characteristics such as:
voluntary participation, mutual trust, common purpose, and the search of alternatives
to use the technology for the teaching of trigonometry. The group discussions favor
the (re)conceptualization of conceptions such as radian; The collaborative
participation of students during all the time, especially when activities to them were
applied; The pedagogic knowledge of the content – and the discussions – made
possible the analyses and reflection about the teaching of trigonometry, theme on
which was developed different methodologies for teaching ;the technological
knowledge of the content- utilization of a software, research analyses of its use in the
teaching process to create this knowledge –the creation of activities for the students ,
helped us to build this knowledge. The research highlighted that in the context
investigated the establishment of groups involving partnership between the basic
school-university was a viable opportunity to trigger the professional development to
integrate technology in the teaching of trigonometry.
Key words: Teaching Professional Development, Trigonometry, Collaborative Work,
Studying Groups.
11
Lista de Figuras
Figura 1: Tela Apresentação do Geogebra ............................................................... 19
Figura 2: Tela Apresentação da Unidade de Aprendizagem de Trigonometria ......... 52
Figura 3: Apresentação do Portal do Professor......................................................... 53
Figura 4: Apresentação do RIVED ............................................................................ 54
Figura 5: Tela de Apresentação da Matemática Multimídia – M³ .............................. 57
Figura 6: Interface inicial do applet............................................................................ 75
Figura 7: Construção do Número  ........................................................................... 78
Figura 8: Relação Entre as Unidades de Grau e Radiano ........................................ 79
Figura 9: Introdução ao ciclo trigonométrico.............................................................. 81
Figura 10: Apresentação da Relação Fundamental da Trigonometria ...................... 84
Figura 11: Gráfico de Aproveitamento das Atividades .............................................. 86
Figura 12: Crescimento e Decrescimento das Funções Seno e Cosseno ................ 89
Figura 13: Comparação Entre as Relações Seno e Cosseno de um Ângulo no Ciclo
Trigonométrico .......................................................................................................... 91
Figura 14: Deslocamento Vertical das Funções Seno e Cosseno............................. 93
Figura 15: Amplitude das Funções Seno e Cosseno ................................................ 94
Figura 16: Atividades dos Alunos .............................................................................. 96
Figura 17: Variação do Período das Funções Seno e Cosseno ................................ 97
Figura 18: Deslocamento Horizontal das Funções Seno e Cosseno ........................ 98
Figura 19: Fotografia do Movimento de um Pistão .................................................. 100
Figura 20: Funções Seno e Cosseno com o Motor de um Cilindro ......................... 100
Figura 21: Relação das Funções Seno e Cosseno com o Motor de Quatro
Cilindros .................................................................................................................. 101
Figura 22: Fotografia Motor 4 Cilindros ................................................................... 102
Figura 23: Atividade I Trigonometria com Molas ..................................................... 103
12
Figura 24: Atividade II Trigonometria com Molas .................................................... 105
Figura 25: Definição da função seno ....................................................................... 106
Figura 26: Tela de Apresentação do Software Geogebra ....................................... 138
Figura 27: Construção do aplicativo relacionando: Ciclo Trigonométrico, Função
Seno e Função Cosseno. ........................................................................................ 149
Apêndices
Apêndice I: Questionário para Avaliação dos Alunos .............................................. 122
Apêndice II Questionário de Identificação dos Sujeitos da Pesquisa ...................... 123
Apêndice III: Identificação dos Sujeitos da Pesquisa .............................................. 127
Apêndice IV: Entrevista de Encerramento ............................................................... 131
Apêndice V: Autorização do Responsável .............................................................. 132
Apêndice VI: : Resposta do Questionário Final ....................................................... 133
Apêndice VII: Tela de Apresentação do Geogebra ................................................. 138
Apêndice VIII: Construção deum Arquivo para dar Significado ao Número  ......... 140
Apêndice IX: Construção de um Arquivo que Relaciona o Ângulo o Comprimento do
Arco, e o Radiano. ................................................................................................... 144
Apêndice X: Construção de um Arquivo Ciclo Trigonométrico ................................ 146
13
Anexos
Anexo I: Autorização da Comissão de Ética............................................................ 152
Anexo: II Trecho da Dissertação de Oliveira (2010) ................................................ 153
Anexo III: Trecho da Dissertação de Quintaneiro (2010) ........................................ 154
Anexo IV: Trecho da Dissertação de Goios (2010) ................................................. 154
Anexo V: Trecho da Dissertação de Lobo da Costa (1997) .................................... 154
Anexo VI: Trecho da Dissertação de Quintaneiro, (2010) ....................................... 154
Anexo VII: Texto Referente a Discussão do Motor a Explosão ............................... 154
Anexo VIII: Texto Discutido no 12º Encontro, Motor 4 Cilindros .............................. 154
Anexo IX: Atividades para Avaliação discutidas no 14º Encontro. .......................... 154
Lista De Quadros
Quadro 1: Síntese da Revisão de Literatura ............................................................. 27
Quadro 2: Trabalho Colaborativo: Contexto para o Desenvolvimento Profissional
Docente ..................................................................................................................... 42
Quadro 3: Características da Fundamentação Teórica ............................................. 47
Quadro 4: Resumo das Atividades Ensino e Aprendizagem de Trigonometria ......... 55
Quadro 5: Características do Design Experiment ..................................................... 59
Quadro 6: Resumo do Roteiro Inicial de conteúdos para o Grupo de Estudos ......... 61
Quadro 7: Perfil dos Professores .............................................................................. 67
Quadro 8: Resumo das Atividades Discutidas no Grupo .......................................... 69
Quadro 9: Características Emergentes para o Desenvolvimento Profissional
Docente ................................................................................................................... 109
Quadro 10: Resumo dos Conteúdos Abordados e a Relação com o Software ....... 113
14
SUMÁRIO
1. APRESENTAÇÃO ................................................................................................. 16
1.1 Definição do Problema de Pesquisa ............................................................... 20
1.2 Revisão de Literatura ....................................................................................... 20
2. FUNDAMENTAÇÃO.............................................................................................. 31
2.1 Conhecimento Profissional Docente ................................................................ 31
2.2 Grupo de Estudos ............................................................................................ 40
2.3 TIC no Processo de Ensino e Aprendizagem de Matemática .......................... 49
2.3.1 Tecnologia para o Ensino e a Aprendizagem de Funções
Trigonométricas ................................................................................. 51
3. METODOLOGIA DA PESQUISA .......................................................................... 59
3.1 Design Experiment........................................................................................... 59
3.2 Desenvolvimento da Pesquisa ......................................................................... 62
3.3 Levantamento de Dados .................................................................................. 63
3.4 Caracterização da Escola MEAC ..................................................................... 65
3.5 Formação do Grupo de Estudo ........................................................................ 66
3.6 Atividades Desenvolvidas nos Encontros do Grupo ........................................ 69
4. DESENVOLVIMENTO E DISCUSSÃO DOS ENCONTROS ................................ 72
4.1 Os Encontros ................................................................................................... 72
5. CONCLUSÕES E CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................... 109
5.1 Fatores Referentes às Características Específicas do Grupo ....................... 110
5.2 Fatores Referentes ao Conhecimento do Conteúdo Matemático .................. 110
5.3 Fatores ligados à Participação Colaborativa .................................................. 111
5.4 Fatores ligados ao Conhecimento Pedagógico do Conteúdo ........................ 112
5.5 Fatores relacionados ao Conhecimento Tecnológico do Conteúdo ............... 113
5.6 Considerações Finais .................................................................................... 115
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................................ 118
Apêndice ................................................................................................................. 123
Anexo ...................................................................................................................... 153
15
CAPÍTULO 1
APRESENTAÇÃO
16
1. APRESENTAÇÃO
O foco desta pesquisa foi o desenvolvimento profissional de professores de
Matemática em um grupo de estudos, investigando os aspectos favoráveis, ou não,
para o uso de tecnologia no ensino de funções trigonométricas.
Entendemos o desenvolvimento profissional na acepção de Ponte & Oliveira
(2002):
[...] um processo de crescimento na sua competência em termos de
práticas lectivas e não lectivas, no autocontrolo da sua actividade
como educador e como elemento activo da organização escolar. O
desenvolvimento profissional diz assim respeito aos aspectos ligados
à didáctica, mas também à acção educativa mais geral, aos aspectos
pessoais e relacionais e de interacção com os outros professores e
com a comunidade extra-escolar.(apud Lobo da Costa, 2004, p.56)
Este projeto se desenvolveu na Linha de Pesquisa de Formação de
Professores que Ensinam Matemática. Nesta pesquisa, investigamos quais são os
aspectos favoráveis do uso da tecnologia, em particular com o software Geogebra, e
como promover situações em um grupo de estudos que facilitem o trabalho de um
professor reflexivo em sua prática pedagógica.
O estudo agrega contribuições de minha experiência profissional, das
disciplinas oferecidas pela universidade Uniban, e também é subsidiado pela minha
participação do GdS1. Ministro aulas de Matemática no Ensino Básico há 19 anos, e
durante este período, tenho encontrado resistência, por parte dos alunos, quanto ao
ensino e aprendizagem dessa disciplina, de tal forma que aprender matemática
costuma ser considerado um privilégio para poucos.
Este contexto, ligado ao ensino e aprendizagem de Matemática, é mais
complexo, uma vez que muitas pessoas enfrentam com naturalidade a dificuldade
de entender tal disciplina, que tem sido fruto de um ensino tecnicista onde se
privilegia a técnica, numa relação professor-aluno extremamente autoritária, bem
como metodologias de ensino que privilegiam procedimentos mecânicos de
memorização, desfavoráveis a uma aprendizagem significativa dos alunos. O
1
GdS, Grupo de Sábado, formado em 1999, na Faculdade Educação da UNICAMP, é um grupo
colaborativo, onde professores do Ensino Básico e pesquisadores se reúnem para aprimorar em seu
desempenho profissional, discutir suas práticas pedagógicas e aperfeiçoar em suas práticas na
formação continuada de professores que ensinam Matemática. Iniciei a participação no grupo em
outubro 2010.
17
conceito é, muitas vezes, deixado para o segundo plano, dando-se mais ênfase às
técnicas e resolução de exercícios repetitivos.
Segundo Fiorentini (1995), a formação tecnicista parte do pressuposto que a
matemática consiste basicamente no desenvolvimento de habilidades , na fixação de
conceitos estimulados por atividades que facilitem a memorização dos fatos e
exercicios operantes para desenvolver habilidades e atitudes computacionais e
manipulativas, capacitando o aluno à resolução de exercicios ou de problemas
padrões.
Por sua vez, os professores, por serem, em muitos casos, oriundos de uma
formação tecnicista, acreditam que a melhor maneira de ensinar é da mesma forma
que aprenderam. Na literatura existem referências sobre tal questão, por exemplo:
Existe uma convicção de que o papel da escola em todos os níveis é
o de "educar" seus alunos, entendendo por "educação" transmitir um
conjunto organizado e sistematizado de conhecimentos de diversas
áreas, desde a alfabetização, passando por matemática, língua
portuguesa, ciências, história, geografia, física, biologia e outras, até
aqueles conhecimentos próprios de uma formação profissional nos
cursos de graduação de uma faculdade - e exigir deles memorização
das informações que lhes são passadas e sua reprodução nas
provas e avaliações. (Masetto 2000, p.134)
Partimos do pressuposto que a escola necessita de um professor que esteja
disposto a aprender a aprender e a aprender a ensinar. Concordamos com Fiorentini
(2005), que os professores escolares também produzem conhecimentos a partir dos
desafios de sua prática. O professor, na perspectiva de desenvolvimento
profissional, constitui-se em um agente reflexivo de sua prática pedagógica,
passando a buscar, de forma autônoma ou colaborativamente, subsídios teóricos e
práticos que ajudem a compreender e a enfrentar os problemas e desafios de seu
trabalho escolar.
Nesta pesquisa em Educação Matemática, na linha de formação de
professores que ensinam matemática, tivemos a oportunidade de ponderar sobre
três de minhas inquietações:
1) O desenvolvimento profissional do professor de Matemática;
2) O papel do professor reflexivo sobre sua prática pedagógica; e
3) O uso de softwares educativos na sala de aula.
18
Escolhemos o assunto funções seno e cosseno por este ser fundamental para
a educação básica, uma vez que muitos conceitos podem ser modelados de forma
periódica como, por exemplo, nos fenômenos ondulatórios, movimentos circular,
circuitos elétricos, corrente elétrica, as fases da Lua, as estações do ano na
Astronomia.
Ao fazer tal escolha, fomos ao encontro da Proposta Curricular do Estado de
São Paulo que propõe este mesmo conteúdo, uma vez que está associado ao
movimento de corpos redondos e deve ser abordado no primeiro bimestre da
segunda série do Ensino Médio. Outro ponto favorável foi o fato dos professores
centrais, envolvidos na pesquisa, ministrarem aula nesta série em questão.
Apesar de sua relevância, muitos estudantes, ao concluírem o Ensino Básico,
não têm um conhecimento sólido sobre essas funções, podendo apresentar
dificuldades, principalmente aqueles que vão prosseguir em seus estudos, e os que,
por ventura, não forem, perdem a oportunidade de conhecer este conceito que
modela fenômenos periódicos.
Os estudos sobre aplicações de tecnologias computacionais para o ensino da
matemática, que vem sendo observados nas últimas décadas, dão conta de que, por
várias vezes, era atribuído à maquina o sucesso ou fracasso do experimento. Sobre
tal evento, Giraldo & Carvalho (2004), apud Hasche2 (2004, p.1), apoiados nos
trabalhos de Laudares & Lachini (2000), afirmam que o uso da tecnologia nas aulas
de matemática tem valor relevante, pois proporciona ao professor mais uma opção
além do modelo tradicional. Porém, os autores advertem que a preparação e a
motivação dos professores, aliadas ao planejamento criterioso das atividades é que
vão possibilitar uma atitude investigativa dos alunos.
Diante disso, demanda-se uma necessidade de formação docente que capacite
o professor a lidar com ferramentas computacionais de modo que possa criar tarefas
apropriadas para esta nova possibilidade na maneira de ensinar e que também o
possibilite assumir um papel de guia no aprendizado dos seus alunos.
2
http://www.limc.ufrj.br/htem4/papers/39.pdf.
19
Optamos pelo software Geogebra3, uma vez que ele reúne Geometria e
Álgebra ao mesmo tempo, com distribuição gratuita e fácil acesso. Este software foi
desenvolvido por Markus Horhenwarter, em 2004, na Universidade de Salzburg.
Trata-se de um sistema de geometria dinâmica que permite construções
manipuláveis por equações. O software apresenta uma característica voltada para
relacionar várias funções ao mesmo tempo; duas visões são características do
Geogebra: uma expressão em álgebra que corresponde à representação de um
objeto da geometria e uma expressão em geometria que corresponde à
representação de um objeto em álgebra, segundo Ribeiro (2009)
O Geogebra fornece três diferentes vistas dos objetos matemáticos:
a Zona Gráfica, a Zona Algébrica, ou numérica, e a Folha de Cálculo.
Elas permitem mostrar os objetos matemáticos em três diferentes
representações: graficamente (e.g., pontos, gráficos de funções),
algebricamente (e.g., coordenadas de pontos, equações) e nas
células da folha de cálculo. Assim, todas as representações do
mesmo objeto estão ligadas dinamicamente e adaptam-se
automaticamente às mudanças realizadas em qualquer delas,
independentemente da forma como esses objetos foram inicialmente
criados. (p. 6 tradução de Ribeiro, 2009).
Figura 1: Tela Apresentação do Geogebra
Fonte: Ajuda Geogebra Manual Oficial da Versão 3.2
3
http://www.geogebra.org
20
1.1 Definição do Problema de Pesquisa
O objetivo desta pesquisa foi identificar quais são os fatores relevantes para
impulsionar o desenvolvimento profissional docente que emergiram em um grupo de
estudos de professores de Matemática ao investigarem o uso de tecnologia para o
ensino de trigonometria.
Nossa abordagem, para o desenvolvimento dessa pesquisa, foi relacionar o
uso da tecnologia para o ensino dos conteúdos propostos ao consequente
desenvolvimento profissional do professor de Matemática. Procuramos entender
como os professores raciocinam e implantam ideias matemáticas e as modificam em
seu trabalho, após conhecer os recursos tecnológicos, e também como o
conhecimento matemático se desenvolve ao longo dos estudos em grupo.
A questão orientadora da pesquisa foi a seguinte:
Quais os fatores relevantes para impulsionar o desenvolvimento profissional docente
que emergem em um grupo de estudos de professores de matemática ao
investigarem o uso de tecnologia no ensino de trigonometria?
1.2 Revisão de Literatura
A partir de uma revisão da literatura constatamos a existência de pesquisas
referentes ao tema trigonometria, cujos sujeitos foram alunos da Educação Básica,
porém, encontramos um pequeno número de estudos relativos à formação do
professor e uso de tecnologia para o ensino de trigonometria com grupos de
professores. Consideramos que isso, por si só, já pode ser considerada uma
justificativa para desenvolver uma pesquisa direcionada ao desenvolvimento
profissional do professor.
Com a facilidade de acesso à tecnologia, acreditamos ser possível investigar a
mediação professor-aluno, formando um grupo de estudos para desenvolver
trabalhos específicos em trigonometria, uma vez que as demandas escolares são
frutos da era da informática. Entendemos que desenvolver atividades usando uma
metodologia do século passado, parece não contribuir para a formação do cidadão
do século XXI.
21
Segundo Fiorentini (2005), nas décadas de 70 e 80, os cursos de formação
continuada
de
professores
eram
tratados
como
reciclagem,
treinamento,
aperfeiçoamento de professor com técnicas e metodologias de ensino de
matemática. Estes cursos admitiam que, com o passar dos tempos, os professores
defasavam-se em conteúdos e metodologias, não sendo capazes, eles próprios, de
produzirem novos conhecimentos e se atualizarem a partir da prática, necessitando,
para isso, tomar conhecimento e novos saberes curriculares produzidos pelos
especialistas. Ao contrário desta linha de pensamento, nos anos 90,através de
estudos internacionais acerca do pensamento do professor, observou-se que,
primeiro: os professores escolares também produzem, a partir dos desafios da
prática, saberes profissionais relevantes e fundamentais e segundo: os resultados
das experiências e estudos dos próprios formadores-pesquisadores, alguns
realizados em colaboração com professores escolares, mostravam que os cursos
sob o modelo da racionalidade técnica4 pouco acrescentavam aos conhecimentos
dos docentes dentro do ambiente escolar.
O professor, neste olhar de desenvolvimento profissional, constitui-se num
agente reflexivo de sua prática pedagógica, passando a buscar, colaborativamente,
subsídios teóricos e práticos que ajudem a compreender e a enfrentar os problemas
e desafios do trabalho em sala de aula. Trata-se de um processo não linear, de idas
e vindas, de avanços e retrocessos, cada vez mais amplos e completos, de reflexão
sistemática sobre a ação educativa.
Hoje em dia, com o maior acesso à tecnologia e consequentemente ao grande
número de informações, os discentes chegam à escola ansiando pela continuidade
deste avanço tecnológico, e rejeitando veementemente o sistema educacional que
privilegia a técnica, a lousa e o giz.
Identificamos trabalhos acadêmicos que possuem uma estreita relação com o
presente estudo que comentamos a seguir. O levantamento revelou que a temática
“O Professor e o uso da Tecnologia para o Ensino de Trigonometria”, tem sido pouco
explorada nas pesquisas da área de Educação Matemática. Foram encontradas
4
Segundo Fiorentini (1995), a formação tecnicista parte do pressuposto que a matemática consiste
basicamente no desenvolvimento de habilidades , na fixação de conceitos estimulados por atividades
que facilitem a memorização dos fatos e exercicios operantes para desenvolver habilidades e atitudes
computacionais e manipulativas, capacitando o aluno a resolução de exercicios ou de problemas
padrões.
22
pesquisas desenvolvidas como parte de mestrados e/ ou doutorados, como é o caso
das dissertações de LOBO DA COSTA (1997), FERREIRA MARTINS (2003),
GOIOS (2010),ROSENBAUM (2010), DAMASCO NETO (2010), THAIS DE
OLIVEIRA (2010) e QUINTANEIRO (2010), a maioria deles fazendo uso da
tecnologia em experiências realizadas com aluno. A seguir, discutimos as pesquisas
acima citadas expondo como cada uma delas contribuiu para a nossa investigação.
Lobo da Costa (1997) investigou o uso de dois diferentes contextos de
aprendizagem para trigonometria – denominados pela pesquisadora de contexto do
Mundo Experimental e do Computador –, focados na introdução das funções seno e
cosseno, partindo da premissa de que é possível conceituá-las de maneira
significativa para o aluno. Para isso, a autora preparou uma sequência didática e
trabalhou com dois grupos de alunos, sendo que para um deles iniciou o assunto
com atividades no computador e dando continuidade por manipulações no mundo
experimental e, para outro grupo, a ordem da introdução foi invertida.
No contexto do “Mundo Experimental‖, os alunos resolveram grupos de
atividades, manipulando experimentos construídos pela autora a partir de materiais
como ―Simulador de Alarme Óptico‖, ―Roda com Caneta a Laser‖, e ―Pêndulo de
Areia‖. No contexto do computador foram utilizados dois softwares: o Cabri-géomètre
e o Graphmática. No primeiro software, foram criados arquivos contendo o círculo
trigonométrico e, nele, um ponto móvel P. O aluno, ao movimentar o ponto ao longo
do círculo, podia observar as projeções de P sobre os eixos, associando cada arco
ao seno e ao cosseno correspondente. No software Graphmática, procurou viabilizar
a exploração do gráfico das funções a partir de suas representações algébricas. As
conclusões da pesquisadora estabeleceram que a ordem de introdução do conteúdo
interferiu na aprendizagem dos alunos. O grupo que passou primeiro pelas
atividades do mundo experimental obteve mais sucesso.
Em relação ao estudo de Lobo da Costa (1997), as atividades para exploração
do ciclo trigonométrico, usadas com o software Graphmática, nos auxiliaram a
desenvolver atividades similares com o software Geogebra, como por exemplo, a
exploração de um ponto P, que se movimenta em uma circunferência de raio 1, por
meio dela é possível visualizar as coordenadas do ponto são (cos (P),seno(P)). No
caso, vale enfatizar que, usando os recursos do Geogebra, podemos visualizar o
23
ângulo associado ao ponto P com a unidade em grau ou em radiano, visualizando o
comprimento do arco e sua representação linear, relacionando o arco com sua
projeção no eixo da abscissa. Nesta demonstração a pesquisadora lançou mão de
dois softwares o Cabri-géomètre e o Graphmática, e neste estudo, fizemos
demonstrações similares usando apenas o software Geogebra, por ser um software
free, o que torna um facilitador para nossa pesquisa e para o trabalho em sala de
aula. Também fazendo o estudo dos parâmetros das funções seno e cosseno (f(x) =
a + b sen (c x+ d) e g(x)= a + b cos (c x + d), com a, b, c, d Є R e c ≠ 0.
Martins (2003) estudou o conceito de seno e cosseno de forma coordenada,
partindo do triângulo retângulo, passando pelo círculo trigonométrico e finalizando
com os gráficos de funções correspondentes, tentando proporcionar aos alunos,
condições para atribuir significados a tais conceitos. Para isto, a autora elaborou
uma sequência didática composta de sete atividades, com o objetivo de investigar se
aluno do 2º ano do Ensino Médio, podia, por meio destas sequências e com o auxilio
do software Cabri-Géomètre, utilizar estes conhecimentos.
A elaboração e a aplicação destas atividades foram feitas à luz da dialética
ferramenta-objeto e interação entre domínios de Regine Douady, visando a
aprendizagem construída a partir dos conhecimentos prévios do aluno.
Os resultados desta pesquisa apontam que elaborando uma sequência didática
adequada e usando a tecnologia com eficiência, o aprendizado deixa de ser algo
sem significado, e que o uso do software Cabri-géomètre pode auxiliar os
aprendizes a visualizarem o movimento do ponto sobre a circunferência, trazendo
melhorias significativas para o aprendizado. Vale ressaltar que tal software não é
livre, o que pode se tornar um obstáculo para o professor utilizar em escolas
públicas.
A dissertação de Goios (2010), que também fez parte de nossa revisão de
literatura, refere-se a uma pesquisa cujo objetivo foi investigar quais são os aspectos
que favorecem o ensino da trigonometria no Ensino Médio, especificamente quanto
ao ensino do círculo trigonométrico, em um ambiente utilizando recursos digitais.
Para o desenvolvimento de aprendizagem, o autor utilizou o conceito de
Cenário para Investigação desenvolvida por Skovsmose que tem como princípio
fundamental a aprendizagem dos alunos por meio de investigações. O pesquisador
24
analisou a produção de significados apresentada por um grupo de oito alunos da
primeira série do Ensino Básico em uma escola no interior de São Paulo, durante as
aulas de trigonometria para a exploração do ciclo trigonométrico.
Um cenário para investigação é aquele que convida os alunos a
formular questões e procurar explicações. O convite é simbolizado
por seus ―Sim, o que acontece se...?‖. Dessa forma os alunos se
envolvem no processo de exploração. O ―Por que isto?‖ do professor
representa um desafio, e os ―Sim, por que isto...?‖ dos alunos
indicam que eles estão encarando o desafio e que estão em busca
de explicações. Quando os alunos assumem o processo de
exploração e explicação, o cenário para investigação passa a
constituir um novo ambiente de aprendizagem. (Skovsmose (2008),
apud Goios, p.36)
Foi elaborado um cenário para o ensino do ciclo trigonométrico utilizando o
RIVED5, e um applet6, criado pelo autor, no software Geogebra, no qual se podia
perceber, de forma dinâmica, a variação dos valores do seno e cosseno com a
aplicação de atividades. Foi constatada a dificuldade dos alunos ao trabalharem com
ângulos medidos em radiano, pois, segundo o autor, os alunos, ao estudar ângulos,
estão familiarizados com a unidade de medida graus, sendo que a representação
dos mesmos em radianos, usando números irracionais, foi considerado pelo
pesquisador como um obstáculo para os alunos. Para minimizar esta dificuldade foi
proposto, como primeira atividade, uma situação onde foi trabalhado exercícios
revendo as principais propriedades de números racionais e irracionais.
Em sua conclusão, Goios (2010) enfatiza:
... que o uso de recursos digitais nas aulas de trigonometria é uma
prática que trouxe muitos pontos positivos, mesmo quando estes
recursos apresentam falhas que podem ser aperfeiçoadas. Pois a
utilização destes recursos além de ser uma fonte motivadora traz
também novas possibilidades para a construção do conhecimento da
trigonometria, possibilidade estas diferentes das que se apresentam
em uma aula com papel e lápis, que não seriam possíveis sem a
utilização do computador. (p.126)
5
RIVED, Rede Internacional Virtual de Educação, é um programa da Secretaria de Educação a
Distância do MEC, onde se encontra no sítio www.rived.mec.gov.br o que chama de ―Objetos de
aprendizagem‖, para o Ensino Médio.
6
Applet é um pequeno programa feito para ser usado em uma página da Internet. Um applet pode
realizar animações interativas, cálculos rápidos ou outras tarefas simples sem ter que mandar a
requisição do usuário para o servidor.
Fonte: http://pt.shvoong.com/internet-and-technologies/websites/2156949-que-%C3%A9-umapplet/#ixzz1ougoI1NQ (Acesso em 12 março 2012.)
25
O autor sugere, para futuras pesquisas sobre ensino de trigonometria, que
sejam desenvolvidas atividades no círculo trigonométrico, usando as unidades do
arco em grau e em radiano, pois os alunos preferem trabalhar somente com a
unidade em grau, com as escalas decimais no eixo do seno e cosseno e em seguida
as funções seno e cosseno.
Essa pesquisa nos auxiliou subsidiando o design de nossa pesquisa, uma vez
que planejamos discutir essas questões no grupo de estudos.
A próxima dissertação pesquisada foi a de Rosenbaum (2010), que verificou
como compatibilizar perspectivas construtivistas de aprendizagem no ensino de
funções trigonométricas com as pesquisas da área de Educação Matemática. A
mesma realizou a pesquisa com dois professores e 70 alunos da 2º série do Ensino
Médio, divididos em duas turmas, em uma escola da rede pública do Estado de São
Paulo, com a fundamentação teórica de Simon (1995, apud Rosenbaum (2010) ,
sobre o uso de Trajetória Hipotética de Aprendizagem THA.
A teoria THA - Trajetória Hipotética de Aprendizagem – considera o
caminho que o aluno deve seguir para a construção do conhecimento
pretendido. Segundo Simon são três as fases da THA: Os objetivos
do professor; as atividades de ensino e o processo hipotético de
aprendizagem. Aprendizagem e o processo hipotético de
aprendizagem abrangem hipóteses acerca do entendimento e dos
pensamentos mobilizados pelos aprendizes no desenvolvimento das
atividades de ensino. (Rosenbaum, 2010)
A pesquisadora usou materiais manipulativos: régua, compasso, calculadoras,
aplicações de softwares.
Os resultados da pesquisa evidenciaram que o uso de THA potencializou o
desenvolvimento de uma aprendizagem significativa, e que a relação do
professor/aluno é decisiva para ocorrer esta ação.
Com este estudo, pretendemos , assim como fez Rosenbaum, aproximar as
teorias de Ensino em Matemática, fazendo uma conexão com a prática do trabalho
do professor em sala de aula, buscando uma aplicação prática, vinda do
conhecimento discente incorporar as funções seno e cosseno, minimizando a
distância entre o uso da tecnologia e a prática docente, apropriando-se das
pesquisas realizadas neste campo.
26
Roque (2010) fez uma pesquisa baseada na teoria da representação Semiótica
de Duval, contemplando uma sequência didática para o estudo de funções
trigonométricas usando o software Geogebra com um grupo alunos do Ensino
Médio. Nesta teoria:
Na matemática a especificidade das representações consiste em que
elas são relativas a um sistema particular de signos, à linguagem, à
escrita algébrica ou aos gráficos cartesianos e elas podem ser
convertidas em representações equivalentes num outro sistema
semiótico, podendo tomar significações diferentes pelo sujeito que as
utiliza (Duval, p.57, apud, Roque 2010)
O autor teve como objetivo pesquisar as dificuldades que os estudantes
enfrentam ao depararem com as funções trigonométricas e suas representações.
...no caso de funções trigonométricas, via que os alunos sabiam
o formato comum dos gráficos, mas não conseguiam perceber
as transformações que o gráfico sofria ao se alterar um
parâmetro qualquer da função, ou até mesmo a relação que
havia entre o seu gráfico e o círculo trigonométrico... (p.15)
Para o autor, o uso de uma ferramenta digital, aliada a uma metodologia
proposta, facilita o aprendizado. O uso do Geogebra, por ser um software dinâmico
de geometria, se mostrou como um recurso tecnológico facilitador para a
aprendizagem, levando os alunos a interagirem de modo efetivo e participativo na
construção do conhecimento matemático, manipulando os diferentes registros de
representação.
Oliveira (2010) investigou uma abordagem no ensino de trigonometria partindo
da trigonometria no triângulo retângulo até sua forma analítica no círculo
trigonométrico. Formulou atividades com diferentes metodologias que justificassem o
estudo da trigonometria, contextualizou diversas aplicações destas funções e
construiu uma sequência de atividades que permitisse que o professor ultrapassasse
os limites de lousa e giz, trabalhando de forma dinâmica. Para isto, a pesquisadora
usou o software Geogebra e desenvolveu atividades para serem exploradas de
forma ativa. Oliveira dividiu seu trabalho em dois grupos distintos: no primeiro grupo,
usou quatro atividades com materiais de manipulação, a construção das tábuas
trigonométricas, o inclinômetro, o radiano e as funções trigonométricas com
canudos, e no segundo grupo construiu seis atividades no software Geogebra.
Esta pesquisa tem semelhança com a nossa tanto no que se refere aos
conteúdos desenvolvidos com os alunos, quanto ao uso do software Geogebra,
27
porém
foi
direcionada
à
aprendizagem
de
trigonometria,
sendo
que
o
desenvolvimento do estudo foi realizado com alunos e nosso trabalho foi direcionado
ao desenvolvimento profissional do professor.
Já Quintaneiro (2010) trabalhou com o ensino de conceitos fundamentais em
trigonometria, realizando um estudo exploratório, em que foram analisadas a
abordagem de trigonometria em um dos livros didáticos mais comumente adotados
em escolas de Ensino Médio no Estado do Rio de Janeiro. Participaram deste
trabalho três professores da rede pública de Ensino Médio.
Para este autor, o livro didático oferece vários fatores conflitantes relativos ao
conceito de funções trigonométricas. Um deles é o fato de que não é sempre que os
conceitos tratados em um mesmo volume são consistentes entre si, tanto do ponto
de vista matemático, quanto no ponto de vista pedagógico, observando-se que, no
início do estudo de seno e cosseno, estavam sendo associados a valores angulares,
medidos em graus. Logo em seguida, são mencionados arco e ângulo sem deixar
claro que a unidade radiano pode expressar uma medida linear.
Nesse tipo de abordagem, são omitidas algumas questões importantes,
tais como: Por que o uso da unidade radiano é necessário? Como é
possível que um mesmo conceito matemático possa ser definido de
formas diferentes? ... Acreditamos que tal abordagem possa apresentar
uma intenção de ―facilitar‖ o trabalho dos alunos, poupando-os das
dificuldades inerentes à essência do próprio conceito, embora isso
possa resultar em fatores de conflito potencial. (p.1)
Ao relacionar o seno medindo ora em graus, ora em radiano, sem fazer
qualquer distinção, podemos ser levados a respostas errôneas, como por exemplo:
f :R→R, f (x) = sen(x) (de domínio real),então f (30º ) = 0,5, se o domínio é real
não faz sentido mencionar 300 e sim f (/6 ) = 0,5.
Quadro 1: Síntese da Revisão de Literatura
Autor
Pesquisa
Observações
Investigou o uso de dois diferentes contextos de
Utilizamos como referência as
aprendizagem para trigonometria – denominados
atividades para exploração do
pela pesquisadora de contexto do Mundo
ciclo trigonométrico usadas
Lobo da Costa
Experimental e do Computador, focados na
com os softwares Cabri-
(1997)
introdução das funções seno e cosseno, partindo
géomètre e Graphmática.
da premissa de que é possível conceituá-las de
Desenvolvemos atividades
28
maneira significativa para o aluno.
similares, com o software
Geogebra.
Martins (2003)
Estudou o conceito de seno e cosseno de forma
Adaptamos atividades similares
coordenada, partindo do triângulo retângulo,
no triângulo retângulo mudando
passando pelo ciclo trigonométrico e finalizando
do software Cabri-géomètre
com os gráficos de funções correspondentes,
para o Geogebra.
com o auxilio do software Cabri-Géomètre.
Investigou os aspectos que favorecem o ensino
Aproveitamos as ideias como,
da trigonometria no Ensino Médio,
por exemplo, o uso das
Goios
especificamente quanto ao ensino do círculo
unidades de grau e radiano
(2010)
trigonométrico, em um ambiente utilizando
minimizando os obstáculos
recursos digitais e o conceito de Cenário para
encontrados pelo autor.
Investigação de Skovsmose.
Verificou como compatibilizar perspectivas
Aproximamos as teorias de
construtivistas de aprendizagem no Ensino de
Ensino em Matemática,
Funções Trigonométricas, com as pesquisas da
fazendo uma conexão com a
Rosenbaum
área de Educação Matemática com a
prática do trabalho do professor
(2010),
fundamentação teórica de Simon, sobre o uso de
em sala de aula, minimizando a
Trajetória Hipotética de Aprendizagem THA.
distância entre o uso da
tecnologia e a prática docente
apropriando-se das pesquisas
realizadas neste campo.
Pesquisou uma sequência didática para o estudo
Verificamos que desenvolvendo
de funções trigonométricas, usando o software
o estudo das funções
Roque
Geogebra com um grupo de alunos do Ensino
trigonométricas usando o
(2010)
Médio, baseada na teoria da representação
software Geogebra, viabiliza-se
Semiótica de Duval.
o aprendizado dos alunos
frente aos recursos que o
software de geometria dinâmica
oferece.
Esta pesquisa tem semelhança
com a nossa, tanto no que se
refere aos conteúdos
Investigou uma abordagem no ensino de
desenvolvidos com os alunos,
Oliveira
trigonometria partindo da trigonometria no
quanto ao uso do software
(2010)
triângulo retângulo até sua forma analítica no
Geogebra, porém foi
ciclo trigonométrico.
direcionada à aprendizagem de
trigonometria, sendo o
desenvolvimento do estudo
29
realizado com alunos e nossa
pesquisa se desenvolve com
um grupo de professores.
Pesquisou o Ensino de Conceitos Fundamentais
Exploramos o conceito
em Trigonometria por meio de um estudo
fundamental da trigonometria e
Quintaneiro
exploratório sobre a abordagem de trigonometria
a passagem de grau para
(2010)
em um dos livros didáticos mais comumente
radiano e sua necessidade de
adotados em escolas de Ensino Médio no Estado
visualização do ciclo
do Rio de Janeiro.
trigonométrico para a função
trigonométrica.
As abordagens acima vêm ao encontro de nossa pesquisa, uma vez que se
referem à mesma temática, contudo, observamos a carência de estudos
endereçados à formação continuada do professor e à divulgação destas
abordagens. Neste trabalho, nos propusemos a desenvolver estudos sobre
trigonometria com um grupo de professores de Matemática.
30
CAPÍTULO 2
FUNDAMENTAÇÃO
31
2. FUNDAMENTAÇÃO
Neste segundo capítulo, apresentamos a fundamentação teórica usando
como referência os trabalhos de Shulman (1986) sobre o conhecimento
profissional docente, os de Schön (1992) sobre os professores como
profissionais reflexivos, os saberes profissionais do professor segundo Tardif
(2002), o conceito de Desenvolvimento Profissional Docente de Ponte (1999),
a contribuição da tecnologia na formação continuada dos professores a partir
dos estudos de Ponte, Oliveira e Varandas (2008), além disso, discutimos a
formação continuada do professor sob o olhar de grupos de trabalho
colaborativo, a partir das pesquisas de Fiorentini (1994) entre outros.
2.1 Conhecimento Profissional Docente
Segundo os trabalhos de Shulman (1986) sobre a compreensão do
processo de construção do conhecimento do professor, a base do
conhecimento para o ensino refere-se ao que um professor deve saber para
ensinar.
Na matemática, o docente, para que possa ingressar na profissão com
um repertório mínimo de conhecimentos e habilidades, necessita desenvolver
condições de interagir e intervir no processo de ensinar e aprender nas
diferentes áreas do conhecimento e modalidades de ensino, ampliando seu
repertório profissional de modo a subsidiar a compreensão que o professor
necessita para promover a aprendizagem dos alunos.
Shulman (ibid.) influenciou a formação profissional docente nas duas
últimas décadas com sua obra: ―Paradigms and research programs for the
study of teaching‖ (Paradigmas e programas de pesquisa para o estudo do
ensino) que analisa os respectivos paradigmas para que haja uma construção
sólida do conhecimento e aprendizagem que leve ao desenvolvimento efetivo
da prática profissional do professor.
Shulman aponta três categorias distintas do conhecimento para o
professor. A saber:
32
1-
Conhecimento
do
Conteúdo:
refere-se
aos
conhecimentos
específicos da disciplina que o professor leciona, incluindo as compreensões,
conceitos e procedimentos, entre outros fatores relacionados com esta
disciplina
em
seus
diferentes
domínios
de
conhecimentos.
Pensar
corretamente sobre o conhecimento do conteúdo requer ir além do
conhecimento de fatos ou conceitos de um domínio e conhecimento
curricular.
Os professores não devem ser capazes apenas de definir
para os estudantes as verdades aceitas em um determinado
domínio. Eles também devem ser capazes de explicar por que
uma proposição particular é considerada válida e porque vale
a pena conhecê-la e também como ela se relaciona com
outras proposições, tanto dentro da disciplina como fora dela,
na teoria e na prática (Shulman (1986) p.9, tradução livre) 7
2- Conhecimento Pedagógico do Conteúdo: refere-se ao que vai além
do conhecimento da disciplina para o ensino, evidenciando uma forma
particular de conhecimento que incorpora os aspectos mais pertinentes a sua
sensibilidade dentro de uma categoria de conhecimento pedagógico que
inclui, para os tópicos mais regularmente ensinados em sua área de ensino,
várias estratégias de representação das ideias, incluindo ilustrações,
exemplos, demonstrações de diferentes formas de representar e formular o
assunto, tornando compreensível para os outros.
Uma vez que não existe uma única forma de representação, o professor
deve ter em mãos várias fontes de dados para suas representações. Algumas
advêm da prática docente e outras de investigações. Se esses pressupostos
forem equivocados, o conhecimento dos professores precisará de fontes para
a (re)-organização e compreensão dos alunos. O conhecimento baseado na
investigação é um componente importante para a compreensão pedagógica
do assunto.
3-Conhecimento Pedagógico Geral: refere-se aos mecanismos de
ensinar e aprender, reconhecer os conhecimentos prévios dos alunos,
conhecimentos relacionados com normas e valores éticos, conhecimento do
7
Teachers must not only be capable of defining for students the accepted truths in a domain.
They must also be able to explain why a particular proposition is deemed warranted, why it is
worth knowing, and how it relates to other propositions, both within the discipline and
without, both in theory and in practice.
33
cotidiano escolar que envolve atitudes pequenas como, por exemplo, grupos
de trabalho em sala de aula, atitudes em maior escala, como o manejo de
classe, interação com os alunos e conhecimentos de outras disciplinas que
venham a enriquecer a compreensão dos conceitos de sua área, conhecer o
currículo como política em relação aos órgãos oficiais, assim como programas
e materiais destinados ao ensino específico.
Para contemplar os saberes profissionais docentes, e o desenvolvimento
profissional acreditamos ser necessário usarmos os conceitos de Schön
(1995, apud Polini, 2010) sobre o pensamento reflexivo a reflexão-na-ação, a
reflexão-sobre-a-ação
e
reflexão
sobre-a-reflexão-na-ação.
Schön,
inspirando-se nos estudos de Dewey, escreveu sobre a importância do papel
da reflexão para a resolução de algum problema ou dificuldade real no
momento em que elas acontecem. Os trabalhos de Schön (ibid) contribuíram
para a inclusão das teorias sobre a prática da reflexão no campo da formação
de professores. Estes conceitos de reflexão possibilitam ao professor
condições de repensar sobre sua prática docente.
No conceito ―reflexão-na-ação‖, o professor reflete e interpreta a partir de
sua ação no momento exato em que acontece uma situação inesperada na
sala de aula. É um movimento intuitivo que propicia uma construção de
conceitos e novas teorias, com a finalidade de oferecer uma melhor
aprendizagem. É nesse momento que o docente deve estar atento aos
conhecimentos que o aluno traz de fora dos muros escolares.
Na ―reflexão-sobre-a-ação‖, o professor faz uma reconstituição sobre
sua atuação na sala de aula, pois é no momento em que está afastado da
prática que o profissional analisa a situação ocorrida e reflete sobre quais
foram os significados atribuídos.
Para o autor, a ―reflexão sobre-a-reflexão-na-ação‖ admite que o
professor tenha uma postura investigativa sobre sua ação, um olhar crítico
(re) organizando, assim, outras estratégias que a prática exige. Este tipo de
reflexão leva o professor a pensar sobre sua ação, pensando no foi
observado, e de que outras maneiras ele poderia resolver situações que
viessem a ocorrer.
34
Ao introduzir o conceito de reflexão na ação, Schön (2000) o faz com o
objetivo de trazer o conhecimento profissional para dentro da sala de aula,
para que as tomadas de decisões possam ser feitas pelo professor durante o
desenvolvimento da aula, a fim de observar a maneira como desenvolve seu
trabalho em sala. Estas decisões que o professor deverá tomar afetarão
diretamente o seu ensino, como por exemplo, a postura do professor no
ambiente escolar e fora dele, a mudança no plano de aula, a maneira de
interpretar os erros cometidos pelos alunos ao realizarem as tarefas, etc.
Assim, em momento posterior à aula, quando o professor reflete sobre
as ocorrências que levaram às suas tomadas de decisão, considerando-as
sensatas ou não, configura-se sua reflexão sobre a reflexão na ação e tal
postura leva a um impulso em seu conhecimento profissional.
As reformas educativas oferecem uma oportunidade para re-examinar as
questões referentes a uma crise de confiança profissional na educação. Esta
crise pode se encontrar entre o saber escolar e a reflexão na ação dos
professores e alunos. Segundo Schön (1992), quando estamos em um meio
de processo de reforma educativa e tomamos consciência do baixo
desempenho escolar, atribuímos a culpa às escolas e professores, o que
significa culpar as próprias vitimas do sistema educativo.
Em suma, para Schön (2000), um professor reflexivo permite-se, num
primeiro momento, ser surpreendido pelo que o aluno faz, para em seguida,
refletir sobre este fato e procurar compreender a razão pela qual foi
surpreendido, caracterizando assim, a reflexão sobre a reflexão na ação.
Atualmente uma das competências exigidas do professor é que ele
procure minimizar a distância entre o saber teórico e o saber prático é neste
momento que o professor se depara com a incerteza e com os conflitos
inerentes a sua prática. Para o docente, não basta simplesmente resolver os
problemas técnicos através de seus conhecimentos científicos, ele deve ter
habilidade para resolver os conflitos que aparecem do decorrer de sua prática
profissional. Schön (2000) aponta que:
35
Quando o profissional reflete-na-ação, em um caso que ele
percebe como único, prestando atenção ao fenômeno e
fazendo vir à tona sua compreensão intuitiva dele, sua
experimentação é, ao mesmo tempo, exploratória, teste de
ações e teste de hipóteses. As três funções são preenchidas
pelas mesmas ações. E desse fato deriva ao caráter distintivo
da experimentação na prática. (p.65).
Já Tardif (2002), afirma que o conhecimento profissional do professor
envolve além dos saberes aprendido na universidade e as categorias do
conhecimento segundo Shulman (1986), há também a necessidade de
reconhecer as diversidades dos saberes, utilizando a experiência que o
docente adquire em outras esferas da vida social como, por exemplo, sua
historia de vida e educação familiar, para manifestar suas ideias e
conhecimentos curriculares sobre sua própria formação profissional.
O autor valoriza a experiência docente na prática e na competência
profissional. Para ele, no momento em que a pessoa escolhe o ofício de ser
professor, já vivenciou a rotina escolar por pelo menos 12 anos quando aluno
na formação básica, sendo esta, sua primeira fonte de formação. As
experiências, hábitos e rotina levam o docente a adquirir valores e
representações sobre a prática docente. Como consequência, as relações
que os docentes estabelecem com os saberes geram, ao mesmo tempo,
relações sociais com os grupos e organizações que os produzem. Na
profissão de professor, a relação com o trabalho é acompanhada de uma
relação social com os grupos que produzem estes saberes, incorporando ao
trabalho, a elaboração do currículo, por exemplo. Com isso, concordamos
com o autor que os saberes do professor podem ser expostos conforme o
quadro a seguir.
36
Quadro 1 – Os saberes dos professores, segundo Tardif (2002, p.215)
Saberes do Professor
Fontes Social de
Modos de integração no
Aquisição.
Trabalho Docente
Saberes Pessoais dos
Família, ambiente de vida e
Pela historia de vida e pela
Professores
educação no sentido lato
socialização primária.
etc..
Saberes Provenientes da
A escola primaria e
Pela formação e pela
Formação Escolar Anterior
secundaria os estudos não
socialização pré-profissionais
especializados etc..
Saberes Provenientes da
Os estabelecimentos de
Pela formação e pela
Formação Profissional do
formação de professores, os
socialização profissionais nas
Magistério.
estágios, os cursos de
instituições de formação de
reciclagem, etc.
professores.
Saberes Provenientes dos
Na utilização de
Pela utilização das
Programas e Livros Didáticos
―ferramentas‖ dos
―ferramentas‖ de trabalho,
Usados no Trabalho.
professores, programas livros
sua adaptação as tarefas.
didáticos cadernos de
exercícios fichas, etc.
Saberes Provenientes da sua
A prática do oficio na escola
Pela prática do trabalho e
Própria Experiência na
e na sala de aula, a
pela socialização profissional
Profissão na Sala de aula e
experiência dos pares etc.
na Escola.
Tomando como referência o trabalho de Schön (1995) em relação à
reflexão na ação e sobre a ação, Perrenoud (2002) afirma que o ofício de
professor vai além do conhecimento do conteúdo ensinado, é necessário
dominar um conjunto de saberes que abrange os meios didáticos e
transversais provenientes para o seu desenvolvimento profissional, é
necessário também compartilhar experiências com os colegas incrementando
sua maturidade construída ao longo da carreira. Em relação a se tornar
professor reflexivo, o autor destaca que:
Todos nós refletimos na ação e sobre a ação, e nem por isso
nos tornamos profissionais reflexivos. É preciso estabelecer a
distinção entre a postura reflexiva do profissional e a reflexão
episódica de todos nós sobre o que fazemos. (Perrenoud
2002, p. 13).
37
Para este autor, cada um reflete de uma maneira sobre sua prática,
contudo se esta reflexão não for constante, não conduzirá necessariamente à
tomada de decisões e mudança de prática. Todo professor, no inicio de
carreira, para garantir sua sobrevivência na profissão, reflete sobre sua
prática e esta reflexão espontânea não é capaz de lhe tornar um profissional
reflexivo. Para ser considerado um professor reflexivo ele não pode parar de
refletir sobre sua prática, mesmo em momentos de segurança, pois a reflexão
faz parte de sua identidade profissional, ele adquire modelos e conceitos
embasados em vários saberes, interagindo com outros profissionais. Esta
reflexão traz novos conhecimentos que não se limitam ao modelo que
aprendeu em sua formação inicial. Uma postura reflexiva é imprescindível ao
professor que deseja desenvolver-se profissionalmente.
Para o desenvolvimento de uma prática reflexiva é necessário se
beneficiar da reflexão, isto é, fazer os ajustes dos meios necessários que
admitam uma intervenção mais eficaz e mais segura, reforçar a imagem de si
mesmo como um profissional reflexivo em processo de evolução, capitalizar
um saber que permita a compreensão de dominar outros problemas
profissionais. Por falta de confiança, o professor pode deixar de desenvolver
autonomia profissional, atrelando-se à obrigação de cumprir a grade horária,
respeitar os programas e os procedimentos prescritos. Ao exercer uma prática
reflexiva, o docente assume riscos e desconfortos e terá que tomar decisões
difíceis para escolher o caminho correto.
Perrenoud
(2002),
enfatiza
que
um
profissional
deve
unir
as
competências de alguém que elabora, imagina e apresenta soluções para as
questões que surgirão no decorrer do seu trabalho. Tal competência para o
trabalho pode ser entendida como a capacidade de organizar o desvio entre o
trabalho prescrito e o trabalho prático. Concordamos com o autor, quando ele
afirma que a competência profissional está ligada à capacidade de refletir
sobre a sua ação e que esta capacidade está em sintonia permanente com as
experiências e saberes profissionais vivenciados no exercício da profissão.
Segundo Ghedin (2005), o pensamento reflexivo é o precursor da
capacidade de construir uma consciência crítica, ao mesmo tempo em que
38
amplia os nossos conhecimentos. No campo reflexivo, encontramos a
possibilidade de romper com o paradigma de valores de uma sociedade
dominante e injusta. Pensar faz parte do ser humano, mas poucos refletem
sobre o pensamento; é através do pensamento reflexivo que corrigimos
falhas, revemos conceitos e, principalmente, refletimos sobre nossas ações.
Estes pensamentos contribuem para certas percepções da realidade,
entretanto somente o pensar reflexivo é capaz de gerar possibilidades de
autonomia. Para Ghedin (2005):
O pensamento reflexivo parte de uma realidade, uma situação
existencial e constrói uma visão de mundo que se encontra
como dizem alguns, ao nível do senso comum. Chamaria este
estágio do pensamento de percepção inicial do ser. Porém, só
é possível instaurar um processo reflexivo-crítico se
passarmos deste momento para uma interpretação analítica,
isto é, se for possível captar, a partir de uma reflexão inicial,
os significados e o sentido das coisas, (p. 25).
Segundo o autor, a reflexão sobre a prática surge da necessidade de
compreender uma escola mais reflexiva e compreender o seu contexto
constituindo uma forma que define a característica do professor e seu
desenvolvimento profissional. Nesta perspectiva, é necessário considerar a
construção de seus saberes, os saberes pedagógicos, a escola como seu
lugar de aprendizagem e trabalho e sua participação na organização e gestão
da escola.
Ultimamente, está em evidência a necessidade da formação do
professor como educador que contemple a seu desenvolvimento profissional
permanente.
Estas
necessidades
devem
estar
relacionadas
ao
desenvolvimento dos alunos, como elemento fundamental no processo
educativo da escola. Para Gilles Ferry (1987, apud Ponte, 1999):
a formação dos professores é o problema-chave do sistema
educativo. Ela influencia a orientação da escola, não apenas
no plano de transmissão dos conhecimentos, mas também no
das normas e valores, constituindo um lugar de forte
concentração ideológica. (p.2)
O conhecimento profissional do professor é composto de conhecimento,
vindo de sua formação, do conhecimento prático da experiência e do
conhecimento vindo de sua reflexão. Estes conhecimentos têm um aspecto
39
fortemente pessoal e consolidam-se através da reflexão sobre a experiência.
Ponte, Oliveira e Varandas (2001) afirmam, ainda, que não basta ao professor
ter um conhecimento puramente técnico oriundo da prática e da reflexão, é
indispensável, também, que este profissional possua domínios e habilidades
com a TIC, uma ferramenta cada vez mais presente no ensino, principalmente
nos conteúdos matemáticos. Os professores, ao conhecer e dominar estas
novas tecnologias, mudam sua forma de trabalho e o modo como se
relacionam com outros professores.
Ponte, Oliveira e Varandas (2001) afirmam, ainda, que os professores de
matemática precisam saber usar, na sua prática, as TICs, incluindo não só
softwares educacionais próprios para a sua disciplina, como também
softwares de outras disciplinas em geral.
O uso destas tecnologias permite uma perpectiva inovadora para o
ensino da matemática, reforçando as interpretações gráficas, as novas formas
de representação e manipulação simbólica, enfatizando mais o conceito do
que os cálculos aritméticos. Deste modo, as TICs podem favorecer o
desenvolvimento dos alunos em importantes competências, bem como
atitudes mais positivas em relação à matemática, estimulando uma visão mais
completa sobre a natureza desta ciência.
Concordamos com as ideias de Miskulin (1999), quando afirma que os
avanços da Ciência e da Tecnologia presumem mudanças e novas visões do
mundo, que está em constante transformação, decorrente de uma sociedade
moderna frente às informações que são processadas de uma maneira rápida
e contínua. Então, torna-se necessário a formulação de uma prática educativa
coerente, que priorize uma formação reflexiva e consciente de professores,
respondendo à necessidade atual da sociedade norteada pela Tecnologia.
Esta ação deve considerar os avanços da ciência e da tecnologia, porém
devem ser elaboradas de modo a estabelecer uma relação harmoniosa entre
os valores culturais, científicos e humanos.
Com um novo ambiente tecnológico, uma nova cultura profissional deve
estar
presente
na
formação
do
professor,
torna-se
necessário
e
imprescindível repensar e redimensionar a postura deste profissional diante
do trabalho diário, visando propiciar aos alunos conhecimentos e ações
40
próprias com as novas tendências modernas, que se estabelecem, cada vez
mais, com os avanços da tecnologia.
A presença da tecnologia faz parte do cotidiano em diversos setores da
sociedade, então é importante que nós, professores, façamos reflexões
críticas para a introdução e uso da tecnologia em sala de aula. Para Miskulin
(1999).
A Tecnologia não consiste apenas em um recurso a mais
para os professores motivarem as suas aulas, consiste,
sobretudo em um meio poderoso que pode propiciar aos
alunos novas formas de gerarem e disseminarem o
conhecimento, e, consequentemente, propiciar uma formação
condizente com os anseios da sociedade. (p.6).
O processo de formação continuada de professores de matemática que
buscam utilizar este recurso de forma reflexiva e exploratória em ambientes
computacionais significa apropriar-se desta nova cultura e a utilização plena e
consciente da exploração, representação e construção de conceitos
matemáticos.
2.2 Grupo de Estudos
Nos últimos anos, os estudos de formação continuada de professores e
a criação de grupos de estudos, que se tornam grupos colaborativos, vêm
ganhando força por parte dos educadores matemáticos.
...o desenvolvimento profissional do professor corresponde a
um processo de crescimento na sua competência em termos
de práticas letivas e não letivas, no autocontrole da sua
atividade como educador e como elemento ativo da
organização escolar. O desenvolvimento profissional diz
assim respeito aos aspectos ligados à didática, mas também
à ação educativa mais geral, aos aspectos pessoais e
relacionais e de interação com os outros professores e com a
comunidade extraescolar... (Ponte 1997 p. 3).
Para Day (1999, apud Saraiva e Ponte 2003), o desenvolvimento
profissional do professor está diretamente ligado a todas as suas experiências
de aprendizagem individuais ou com as de outras pessoas do contexto
escolar. Nesse sentido, o professor deve rever renovar e ampliar seus
41
compromissos, quanto ao aprimoramento de sua prática escolar. O ensino e o
aprendizado de qualidade se desenvolvem de forma crítica ao conhecimento
essencial de sua prática profissional.
Em um mundo em constante mudança, urge que a escola também se
transforme e o professor se veja, permanentemente, como um aprendiz, um
agente ativo em seu exercício de trabalho, e com uma pré-disposição de
colaborar com os colegas, quanto à prática letiva. Neste sentido, pode-se
criticar a perspectiva que encara a aprendizagem como uma forma
fragmentada de informações e de competência especifica de ordem prát
Segundo Fiorentini e Nacarato (2005), toda mudança vem acompanhada
de momentos de incertezas e dúvidas, portanto, é importante que o professor
tenha uma base de apoio pedagógico sólida, para que possa enfrentar e
controlar, com segurança, as possíveis tensões que estas mudanças de
comportamento trazem. Por esse motivo, é imprescindível dar respaldo e
tempo necessários para que essas ansiedades, típicas do que é novo, se
dissipem levando o professorado a refletir sobre suas próprias inseguranças
que, muitas vezes, tornam-se um dos maiores obstáculos à mudança.
Um tipo de trabalho que vem se desenvolvendo nos últimos anos é o
trabalho colaborativo, constituído por grupos de educadores e professores da
Escola Básica e pesquisadores da universidade – mestrandos, doutorandos,
pesquisadores em geral – e/ou instituições responsáveis pelos projetos
envolvendo as escolas. Esse tipo de trabalho vem sendo indicado por
pesquisadores
como
um
contexto
propício
para
o
desenvolvimento
profissional, tanto dos professores quanto dos pesquisadores (Lobo da Costa,
2006).
O estudo de Lobo de Costa (2004) indicou características sobre o
trabalho colaborativo, mostradas na figura II.
42
Quadro 2: Trabalho Colaborativo: Contexto para o Desenvolvimento Profissional Docente
Fonte: Lobo da Costa (2004), p 223.
.
A pesquisadora afirma que as seguintes características contribuem para
a formação de um grupo de trabalho colaborativo: a participação voluntária, a
relação igualitária e de confiança entre os participantes, é o fato de todos os
elementos terem ―voz‖ ativa e a prática pedagógica dos professores ser
assunto das discussões.
Saraiva e Ponte (2003) realizaram um trabalho colaborativo referente ao
desenvolvimento profissional do professor de matemática, identificando quais
fatores influenciam este desenvolvimento. Analisaram a prática direta de dois
professores entre 1993 e 1997, no ensino secundário e que trabalharam na
concretização de novos programas referentes a esta disciplina. Assim,
constataram que o desenvolvimento profissional é um processo que se
concretiza ao longo de períodos alicerçados no tempo de observação das
aulas do outro. Tal procedimento é um ponto de partida para a reflexão.
Um trabalho de grupo colaborativo, que tem se destacado na Educação
Matemática, está acontecendo, desde 1999 até os dias atuais, sob
responsabilidade de Fiorentini (2000), que reúne professores universitários e
da escola básica que ensinam matemática, para formar uma comunidade
reflexiva e investigativa acerca de como os alunos estão aprendendo
matemática. Tal comunidade foi denominada Grupo de Sábado (GdS), da
Faculdade de Educação de Campinas (Unicamp). O GdS constitui-se uma
comunidade que tem por objetivo discutir espontaneamente as práticas no
ensino e aprendizagem em Educação Matemática, diferentemente daquelas
43
reuniões realizadas em escolas ou academias, onde se compartilha
experiências e problemas relativos à prática pedagógicas de ensinar e
aprender matemática em sala de aula, pelos múltiplos problemas oriundos de
ser estar professor.
O termo comunidade de prática foi introduzido por Lave e Wenger (apud
Fiorentini 1991,), para designar a prática social de um coletivo de pessoas
que:
Comunga um sistema de atividades no qual compartilham
compreensões sobre aquilo que fazem e o que significa em
suas vidas e pressuposto de ser aprendizagem um fenômeno
social que acontece mediante participação ativa em práticas
de comunidades sociais e construção de identidades com
estas comunidades (p.99).
No caso do GdS, seu domínio comum de interesse e de significação é a
Educação Matemática e o trabalho docente em sala de aula na escola básica.
O resultado do repertório cultural sobre esta dinâmica é fruto da negociação
de significados do grupo que implica a participação permanente de todos os
membros dessa comunidade em um processo contínuo da experiência
humana à produção de objetos matemáticos.
A dimensão do grupo se manifesta pelo engajamento e compromisso
mútuo em torno de questões e temas de mesmo interesse, ou seja, como
ensinar e aprender matemática de modo participativo e que não siga os
modelos apostilados, pois o grupo defende que a posição do professor é um
fator primordial para uma prática efetiva, desenvolvendo, experimentando,
investigando e negociando com seus pares e alunos as alternativas de ensino
desejável e possível para cada realidade.
... Voluntariedade, identidade e espontaneidade. A
participação no grupo é voluntária, onde todos contribuem e
aprendem com os seus colegas, com um interesse comum o
que imprime ao grupo uma identidade. Segundo Fiorentini
(2004, p. 54)
Outros pesquisadores, como Costa (2011), ao observar que em seu
local de trabalho, uma escola municipal em Cubatí, Estado da Paraíba,
predominava o individualismo e o isolamento profissional, aliado à má
utilização dos recursos tecnológicos disponíveis na unidade escolar, criou um
grupo de estudo formado por seis professores de matemática desta escola,
44
tendo
como
objetivo
formar
um
ambiente
que
proporcionasse
o
desenvolvimento individual e profissional destes docentes, assim como o uso
pedagógico da tecnologia. Para isso, o grupo utilizou os softwares Geogebra,
Régua e Compasso, Winplot, Máxima e o Graphmática. A autora enfatiza que:
Houve
um
aumento
da
confiança gerada
pelo
estabelecimento de vínculos de amizade, o que acarretou em
mais segurança e autonomia profissional diante das situações
e problemas diversos vivenciados na prática pedagógica dos
professores envolvidos. (Costa, 2011, p.166)
A SEESP8 apresenta outra possibilidade, objetivando articular os
diversos segmentos da escola para a construção e implementação do seu
trabalho pedagógico, fortalecer a unidade escolar como instância privilegiada
do aperfeiçoamento de seu projeto pedagógico e (re) planejar e avaliar as
atividades de sala de aula, tendo em vista as diretrizes comuns que a escola
pretende imprimir ao processo ensino-aprendizagem. Constam, na resolução
número 17, de 28 de janeiro de 1988, artigo 3º, que institui nas escolas
paulistas o HTP9, para as escolas básicas (de 1ª a 4ª série), tomando como
referência as horas de jornada de trabalho do professor, que numa jornada de
40 horas aulas semanal, 26 horas aulas seriam cumpridas em sala de aula, 6
horas aulas seriam cumpridas em reunião com o corpo docente da escola,
onde o professor trabalharia liderado pelo professor coordenador pedagógico,
e 8 horas aulas seriam cumpridas em local de livre escolha do professor.
Em 1991, com o projeto da escola padrão, a SEESP, propunha entre
outras atribuições, a extensão do HTP para as demais séries do ensino
básico, (hoje Ensino Fundamental e Ensino Médio), com a opção do professor
escolher, ou não, fazer parte deste grupo de estudo. Caso optasse por fazer o
número de horas destinadas ao HTP, tais encontros seriam proporcionais ao
número de aulas atribuídas, e cada hora aula de participação em reuniões de
HTP seria acrescida em seus vencimentos. Em 1998, o HTP passa a ser
denominado HTPC, fazendo parte compulsoriamente da jornada de aulas do
professor, sendo proporcional ao número de horas aula, com um mínimo de 2
8
Secretaria Estadual de Educação de São Paulo.
Horário de Trabalho Pedagógico
9
45
e um máximo de 7 encontros, entre 10 e 33 horas aula atribuídas ao
professor.
A legislação sobre HTPC é normalizado pela Portaria CENP10 nº
1/96L.C. nº 836/97. Os encontros devem ocorrer na unidade escolar e serem
conduzidos, preferencialmente, pelo Professor Coordenador Pedagógico.
Há trabalhos de pesquisa como o de Vicentino (2010) que investigou
quais as implicações e possibilidades nos encontros de HTPC nas escolas
públicas, como espaço de formação continuada para a atuação do professor
de Matemática. A investigação foi realizada em uma escola da rede pública
estadual de São Paulo, descreveu 13 encontros ocorridos no segundo
semestre de 2009 e relata quais são suas implicações no trabalho docente.
Após acompanhar o trabalho de dois professores de matemática que atuam
no Ensino Médio e partindo do pressuposto de que a melhoria da qualidade
do processo de ensino e aprendizagem envolve a questão da formação
continuada de professores, o autor constatou que existe pouca participação
dos docentes envolvidos nas reuniões e uma insatisfação destes, em relação
ao modo como tais encontros são conduzidos pelo Professor Coordenador
Pedagógico, destacando haver uma lacuna de formação entre eles.
Segundo Vicentino (ibid.):
As HTPC na escola constituem-se em uma proposta de
trabalho na qual a colaboração não é espontânea, uma vez
que os professores devem cumpri-las, como parte de sua
jornada de trabalho docente. Observamos que essa
característica pode ser uma das responsáveis pela pouca
participação dos docentes da escola nas atividades e
discussões propostas nos encontros, (p. 103).
Outra pesquisa sobre HTPC foi a realizada por Bozzini e Oliveira (2006).
Segundo as pesquisadoras o espaço destinado ao HTPC, representa um
avanço para ampliar as discussões coletivas, entretanto os horários
destinados a estas reuniões geralmente ocorrem nas trocas de turnos dos
alunos, o que facilita o horário para os professores, mas que, no entanto,
10
CENP Conselho Executivo de Normas e Padrão
46
prejudica a participação efetiva desses docentes, uma vez que os mesmos já
estão cansados por virem de uma pesada jornada de trabalho.
Embora haja, no papel e no discurso, uma indicação
governamental para que os trabalhos desenvolvidos na
escola sejam coletivos (e interdisciplinares), as condições de
trabalho impostas impedem ou dificultam que isso aconteça.
(p. 36).
Admitimos como certas as afirmações das autoras e apontamos que é
necessária
uma
reestruturação
no
HTPC,
para
que
não
haja
comprometimento do desenvolvimento do trabalho pedagógico, pois, não
raro, ocorrem atrasos e falta de clareza nas informações o que ocasiona uma
descontinuidade no trabalho desenvolvido pela Secretaria da Educação do
Estado, principalmente quanto à participação dos professores que se sentem
desestimulados e comparecem às reuniões apenas para cumprir uma
obrigação profissional.
De modo diverso do que ocorreu nas pesquisas de Vicentino (2010) e de
Bozzini (2006), Santos (2011), com o respaldo da direção, utilizou o horário
do HTPC para constituir um grupo de estudo formado por ela mesma e por
seis professores de Matemática que trabalham na escola, tomando como
referência para as discussões e o trabalho do grupo os materiais do Ensino
Fundamental II do Currículo do Estado de São Paulo. A autora concluiu que o
HTPC pode ser considerado um espaço de formação continuada do
professor, desde que seja conduzido por um mediador com a visão do que
deva ser um grupo colaborativo, ao contrário dos que são conduzidos pelo
Professor Coordenador, que, costumeiramente, se limitam a passar recados
ou tarefas burocráticas.
Os pesquisadores Christiansen e Walther (1986, apud. Saraiva e Ponte,
2003) apontam que o desenvolvimento e a aprendizagem do professor
ocorrem quando este realiza atividades que não realizava antes, e sempre
envolve alguma nova aprendizagem. Esta mudança ocorre somente quando o
professor está disposto a mudar.
Para estes autores ―Ninguém muda
ninguém, ou seja, a mudança vem, em grande parte, de dentro de cada um‖
(p.4). Estas afirmações delatam outro fator relevante para que o HTPC não
47
seja considerado como um grupo colaborativo, pois a formação do professor
tem que ocorrer de dentro para fora, e nestes encontros, as atividades, por
muitas vezes, vem como projetos e ordens de cima para baixo, contrariando,
mais uma vez, a essência da colaboração na qual os sujeitos do grupo têm e
precisam ter voz ativa para fazer as adaptações necessárias para o bom
desenvolvimento das rotinas escolares. Nota-se que, dentro de uma mesma
escola, há realidades diferentes comparando-se os turnos da manhã, tarde e
noite, pois cada turno compõe-se de diferentes professores e alunos com
ideias e reflexões distintas. O que dizer, então, se compararmos escolas de
bairros diferentes. A realidade escolar nos mostra a necessidade de projetos
diferenciados em que haja um envolvimento efetivo dos sujeitos que
participarão do desenvolvimento do trabalho. A seguir o quadro II relaciona a
fundamentação teórica que faz parte desta pesquisa, assim como suas
principais características que tomamos como referência.
Quadro 3: Características da Fundamentação Teórica
Autor
Trabalho
Características
Conhecimento do Conteúdo
Shulman (1986)
Conhecimento Profissional
Conhecimento Pedagógico do Conteúdo
Docente
Conhecimento Pedagógico Geral
Reflexão na Ação
Schön (2000)
Profissional Reflexivo
Reflexão sobre a ação
Reflexão sobre a reflexão na ação.
Além dos conhecimentos segundo
Tardif (2002)
Saberes Profissionais
Shulman (1986), os saberes do
professor, dentro e fora do ambiente
escolar.
Perrenoud
(2002)
Práticas Reflexivas
Dominar o conjunto de saberes
profissional aliado à reflexão segundo
Schön (2000) para o desenvolvimento
profissional.
48
Ghedin (2005)
Pensamento Reflexivo
A reflexão atrelada à capacidade de
construir uma consciência crítica.
Ponte & Varanda
(2001)
A contribuição da tecnologia
de informação e comunicação
para o desenvolvimento do
conhecimento e da identidade
profissional.
Realizaram um trabalho colaborativo
referente ao desenvolvimento
profissional do professor de matemática.
Prática educativa coerente, na formação
Miskulin (1999)
Avanços da Ciência e da
Tecnologia
reflexiva e consciente de professores,
respondendo à necessidade atual da
sociedade norteada pela Tecnologia
Formação de Professores
para o Ensino da Matemática
Lobo de Costa
(2004)
com a Informática Integrada à
Prática Pedagógica:
Exploração e Análise de
Trabalho Colaborativo, características
que contribuem para a constituição do
grupo de trabalho colaborativo.
Dados em Bancos
Computacionais
Grupo de Sábado (GdS) uma
Fiorentini (2000)
Grupos Colaborativos
comunidade reflexiva e investigativa,
acerca de como os alunos estão
aprendendo matemática.
O trabalho colaborativo e o
Saraiva e Ponte
(2003)
desenvolvimento profissional
do professor de Matemática
O desenvolvimento e a aprendizagem
do professor ocorrem quando este
realiza atividades que não realizava
antes, e sempre envolve alguma nova
aprendizagem.
Os Professores e a
O espaço destinado ao HTPC
Bozzini e
Construção do Espaço
representa um avanço para ampliar as
Oliveira (2006)
Coletivo Escolar: o Horário de
discussões coletivas, entretanto é
Trabalho Pedagógico Coletivo
necessário fazer adequações deste
(HTPC)
espaço para que ocorra de fato o
desenvolvimento profissional.
Vicentino (2010)
Educação Continuada do
Investigou quais as implicações e
Professor de Matemática do
possibilidades nos encontros de HTPC
Ensino Médio no Espaço
nas escolas públicas, como espaço de
49
Coletivo Escolar
formação continuada para a atuação do
professor de Matemática.
Costa (2011)
Colaboração e Grupo de
Criou um grupo de estudo formado
Estudos: Perspectivas para o
professores de matemática em escola,
Desenvolvimento Profissional
com o objetivo formar um ambiente que
de Professores de Matemática
proporcionasse o desenvolvimento
no Uso de Tecnologia
individual e profissional destes
docentes, aliado com o uso pedagógico
da tecnologia.
Santos (2011)
Educação Continuada do
Utilizou o horário do HTPC para
Professor de Matemática: Uma
constituir um grupo de estudo formado
investigação sobre Grupos de
por professores de Matemática
Estudos no Coletivo Escolar
Esses estudos subsidiaram na condução desta pesquisa por nos
fornecerem indicações no desenvolvimento profissional de professores que
ensinam Matemática no espaço escolar. Tivemos um olhar de grupo
colaborativo e usamos os conhecimentos matemáticos e pedagógicos dos
professores envolvidos na pesquisa, adaptando-os ao uso da tecnologia.
2.3 TIC no Processo de Ensino e Aprendizagem de Matemática
O uso das Tecnologias de Informação e Comunicação (TIC) no processo
de ensino e aprendizagem pode ser visto como um fator impulsionador de
mudanças na prática escolar, uma vez que propicia a formação continuada do
professor, através de estudos realizados em grupo.
Segundo Ponte, Oliveira e Varandas (2008), com os quais concordamos,
o professor deve ter conhecimento de novas tecnologias e deve, também,
saber usá-las em suas práticas pedagógicas. No caso do professor de
matemática, estas tecnologias permitem reforçar o papel da linguagem,
relevando a importância do cálculo e das manipulações algébricas, uma vez
que, usando estes recursos, o professor potencializa as possibilidades de
projetos de exploração, investigação e modelação, com isto favorecem o
desenvolvimento dos alunos e a construção de competências, revelando
atitudes positivas com relação à aprendizagem, sendo capaz de ter uma
visualização mais significativa desta ciência.
50
Faz parte do desenvolvimento profissional do professor o domínio das
TIC, cada vez mais presentes no ambiente escolar, tornando imprescindível
que o docente se familiarize com os softwares educativos constituindo um
meio educacional que auxilie a aprendizagem dos alunos para formar uma
identidade11 profissional.
Os envolvidos na formação devem adotar valores essenciais de uma
profissão que contempla aperfeiçoar-se como educador para que possa
contribuir com as instituições educacionais das quais fazem parte. Segundo
Ponte, Oliveira e Varandas (2008),:
Um professor de matemática deve ser capaz de realizar as
atividades próprias de um professor e identificar-se
pessoalmente com a profissão. Isso significa assumir o ponto
de vista de um professor, interiorizar o respectivo papel e os
modos naturais de lidar com questões profissionais (p. 163)
Segundo Ponte, Oliveira e Varandas (2002), as TIC desempenham, no
mundo de hoje, um papel fundamental na comunicação e na educação. A
tecnologia é uma ferramenta significativa no ensino das disciplinas,
principalmente no ensino de matemática, uma vez que
o seu uso pode
simplificar os cálculos, as manipulações simbólicas, reforçar e representar a
linguagem gráfica, valorizar os conceitos e aplicações na investigação em
sala de aula, viabilizar o desenvolvimento de atividades dos projetos
educativos.
A formação do professor, tanto a inicial como a continuada, deve dar
sustentação para que ele entre em contato com esta linguagem,
proporcionando situações que lhe dê condições de se familiarizar com estes
novos recursos, sendo que o acesso ao uso de novas tecnologias é um meio
de comunicação e aprendizagem das novas descobertas de ensino.
Os programas de formação inicial de professores devem ter
em atenção a importância do desenvolvimento nos
respectivos formandos de diversas competências no que se
refere ao uso das TIC no processo de ensino-aprendizagem:
Usar software utilitário; Usar e avaliar software educativo;
Integrar as TIC em situações de ensino-aprendizagem;
11
Identidade Profissional: características única, pessoal e individual de um trabalhador em
sua profissão.
51
Enquadrar as TIC num novo paradigma do conhecimento e da
aprendizagem; Conhecer as implicações sociais e éticas das
TIC. (Ponte, Oliveira & Varandas, p.3).
Valente (1993, apud, Lobo da Costa 2004), ressalta que o uso do
computador na escola pode ensinar os mais variados assuntos. Se o objeto
de estudo for a própria máquina, o ensino tem por objetivo levar o aluno ao
conhecimento técnico desta máquina, como, por exemplo as diversas
linguagens de programação, as características de funcionamento, o
computador mais adequado para o usuário, entre outras. Outra perspectiva,
que é a informática educativa, tem por objetivo desenvolver a aprendizagem.
O computador é visto como um instrumento para construir conceitos, mas não
só conceitos ligados à matemática, exemplo disso são os softwares
educativos disponibilizados na Internet.
A Internet pode ser considerada uma hiperferramenta, onde é possível
descobrir
informações
sobre
softwares,
trabalhos
que
estão
sendo
desenvolvidos na educação, exemplos de atividades com alunos, notícias
sobre encontros, relatos de experiências, entre outros, constituindo uma
grande comunidade de grupos colaborativos. Há uma variedade de
atividades, com assuntos específicos, nas redes de comunicação à
disposição dos usuários.
2.3.1 Tecnologia para o Ensino e a Aprendizagem de Funções
Trigonométricas
Existem, na Internet, vários materiais, das mais variadas disciplinas,
disponíveis para o ensino e aprendizagem. Relacionamos alguns aplicativos
ligados diretamente ao estudo de trigonometria, como por exemplos: TIC
desenvolvido pelo Instituto Federal Fluminense Campus Centro, O Portal do
Professor, RIVED, o Portal Matemática Multimídia – Coleção de recursos
educacionais M3.
O Instituto Federal Fluminense Campus Campos-Centro (2008), com o
objetivo de incentivar o uso do TIC para a melhoria do ensino de Matemática
e
aprendizagem
desenvolvimento
no
ensino,
profissional
desenvolveu
dos
ações
professores
de
destinadas
Matemática,
ao
e
52
disponibilizando na Internet recursos12 pedagógicos que possam facilitar a
utilização destes aplicativos com fins didáticos, criando também o instituto
Geogebra do Rio de Janeiro, sob a coordenação do pesquisador Humberto
José Bortolossi13, com o propósito de agregar interessados no uso deste
software como ferramenta de ensino e aprendizagem criando uma
comunidade aberta que compartilha o seus conhecimentos no treinamento,
desenvolvimento
de materiais de apoio para alunos e professores
promovendo a colaboração entre profissionais e pesquisadores, na pagina14
encontra-se tutoriais instruindo o usuário a manusear o software.
As TIC, quando utilizadas corretamente, podem contribuir para o
processo de ensino e aprendizagem. No entanto, para utilizar estas
tecnologias é necessário que o professor saiba onde buscar os recursos que
favoreçam a utilização pedagógica desta tecnologia.
Figura 2: Tela Apresentação da Unidade de Aprendizagem de Trigonometria
Fonte: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/sobre.html
O Portal do Professor15 foi lançado em 2008 em parceria com o
Ministério da Ciência e Tecnologia, como objetivo de apoiar os processos de
formação de professores e enriquecer a sua prática pedagógica. É um espaço
público e pode ser acessado por todos os interessados.
12
http://www.es.iff.edu.br/softmat/projetotic/trigonometria_dinamica/2Apresentacao.html
Professor Adjunto III, Doutor em Matemática, Universidade Federal Fluminense Instituto de
Matemática Departamento de Matemática Aplicada
14
http://www.geogebra.im-uff.mat.br/vtt.html
15
http://portaldoprofessor.mec.gov.br/sobre.html
13
53
Para produzir e compartilhar sugestões de aulas, os professores podem
difundir
suas
ideias,
propostas,
sugestões
metodológicas
para
o
desenvolvimento dos temas curriculares e uma proposta colaborativa.
Qualquer pessoa pode acessar as sugestões, desde que inscritos e logados
no ambiente do Portal. Em julho de 2011, havia 89 propostas para o ensino e
aprendizagem de trigonometria no Ensino Básico.
Figura 3: Apresentação do Portal do Professor
Fonte: http://rived.mec.gov.br/site_objeto_lis.php
O RIVED16 é um Programa da Secretaria de Educação à Distância SEED, que tem por objetivo a produção de conteúdos pedagógicos digitais,
na forma de objetos de aprendizagem. Estes conteúdos objetivam estimular o
raciocínio e o pensamento crítico dos estudantes, associando o potencial da
informática às novas abordagens pedagógicas. A meta que se pretende
atingir, disponibilizando esses conteúdos digitais, é melhorar a aprendizagem
das disciplinas da educação básica e a formação cidadã do aluno, além de
promover a produção e publicar na web os conteúdos digitais para acesso
gratuito. Neste ambiente, estão disponibilizados 120 objetos de Biologia,
Química, Física e Matemática para o Ensino Médio. Entre eles, 3 aplicativos
envolvendo trigonometria, trigonometria com molas, aplicando as noções de
trigonometria e o mundo da trigonometria.
16
http://rived.mec.gov.br/site_objeto_lis.php
54
Concordamos com Thais de Oliveira (2010) quando ela afirma que:
... Aulas tradicionais tornam-se inconcebíveis, pois para que
os alunos desenvolvam habilidades e competências exigidas
no Ensino Médio, a sua formação deve contemplar uma
integração com os conteúdos. (p.51)
Figura 4: Apresentação do RIVED
Fonte: http://m3.ime.unicamp.br/portal/
A Internet disponibiliza, ainda, uma coleção de recursos educacionais
Matemática Multimídia17 – M³ –para subsidiar o trabalho dos professores que
ensinam Matemática no Ensino Médio. Trata-se de recursos em mídias
digitais, desenvolvidos pela UNICAMP, os quais visam ampliar as
possibilidades metodológicas. São mais de 350 recursos educacionais no
formato
de
vídeos,
áudios,
softwares
e
experimentos
disponíveis
gratuitamente.
Para o estudo de trigonometria estão disponíveis doze aplicativos
disponibilizados em três arquivos, descritos a seguir:
1º Arquivo: O Guia do Professor para visualização em Tela e um
guia para impressão.
2º Arquivo: O Software, experimento ou vídeo com o material
disponibilizado para ser utilizado diretamente pelos seus alunos;
17
http://m3.ime.unicamp.br/portal/
55
3º Arquivo: O Guia do Professor com alguns aprofundamentos
teóricos e recomendações metodológicas para o uso docente do
material.
Quadro 4: Resumo das Atividades Ensino e Aprendizagem de Trigonometria
Titulo
Formato
Resumo
Medir a altura de uma árvore utilizando
um instrumento rudimentar que foi
A altura da árvore
Experimento
chamado de medidor de ângulos,
construído com um transferidor, um
canudinho e um fio de prumo, usando o
princípio de funcionamento do teodolito.
Reprodução de um problema histórico,
O túnel de Eupalinos com 1,036 Km,
construído na cidade de Samos, na
Grécia, que consiste em cavar de um
Engenharia de grego
Experimento
lado e sair do outro local apropriado.
Por questão de logística, duas equipes
de escavação deveriam começar nos
pontos que seriam a entrada e a saída
do túnel, em qual direção deveriam ser
feita as escavações.
Apresentação do conceito de
movimento oscilatório, períodos e
Roda-gigante
Experimento
pontos de máximos e mínimos de
funções periódicas.
Apresentação de quatro atividades,
sendo que, nas duas primeiras, o aluno
aprenderá como funcionam as
equações paramétricas experimentando
As curvas de Lissajous
Software
as curvas que ele mesmo criou. Em
seguida, é apresentado às curvas de
Lissajous envolvendo a soma de
funções trigonométricas.
Apresentação de fenômenos periódicos
que podem ser modelados pela função
seno. Ao longo das atividades, são
Ondas trigonométricas
Software
apresentados como cada parâmetro a,
b, c, d, f(x) = a seno (b x + c) + d, pode
ser ajustado ao fenômeno observado.
56
Apresentação de alguns aspectos
matemáticos do percurso dos raios
Trigonometria e halos
Software
luminosos que são refletidos ou que
podem ser refratados ao passar por
duas interfaces planas que separam
meios transparentes.
Apresentação do conceito de domínio
de uma função, no caso seno ou arco
Trigonometria e raios luminosos
Software
seno, usando, passo a passo, a
explicação do fenômeno da refração.
para meios transparentes resumida na
Lei de Snell.
O programa aborda uma jovem
estudante Alice, que está sonhando
com Matemática. O senhor Josué
Alice e a lei dos cossenos e
aparece no sonho e demonstra várias
Alice e algumas relações
relações trigonométricas, envolvendo o
trigonométricas
Vídeo
seno e o cosseno de ângulos, Com
figuras e equações bem interessantes.
Josué e um cantor, que também está no
sonho, cantando as demonstrações
fáceis de entender.
Apresentação de diferentes relações
matemáticas presentes na natureza.
Durante a realização de um trabalho de
campo a personagem Ana envia as
Naturalmente
Vídeo
fotos que tira para Artur, que a auxilia
no seu processo de descoberta de
conceitos presentes nas formas
geométricas e conceitos da
trigonometria.
Apresentação das relações entre as
medidas dos lados de um triângulo
Os ângulos e as torres
Vídeo
retângulo com seus ângulos, usando
fotos de torres inclinadas cujo
comprimento da torre é conhecido.
Na ficção, após um naufrágio, um jovem
Perdido no globo
Vídeo
precisa determinar as coordenadas
exatas de sua latitude e longitude para
assim fazer um pedido de socorro.
57
Um fazendeiro, preocupado em
determinar um caminho alternativo para
o curral, procura a ajuda de seu afilhado
que mora na cidade. O Jovem utiliza os
Um caminho para o curral
Vídeo
conceitos geométricos referentes ao
triângulo retângulo e consegue
determinar tal caminho.
Figura 5: Tela de Apresentação da Matemática Multimídia – M³
Fonte: ttp://m3.ime.unicamp.br/portal/
Fazendo uso destes recursos disponibilizados na internet, o professor
tem a oportunidade de conhecer os trabalhos que estão sendo desenvolvidos,
participar de chats e orientações à distância, postar suas atividades,
desenvolver trabalhos em colaboração com outros grupos, fazer um link entre
sua prática pedagógica e estes novos recursos que se encontram
disponibilizados.
58
CAPITULO 3
METODOLOGIA DA PESQUISA
59
3. METODOLOGIA DA PESQUISA
Neste capítulo, discutimos a metodologia, destacamos os detalhes do
levantamento de dados, a caracterização da escola, a caracterização dos
professores envolvidos na pesquisa, os encontros do grupo e, por último,
apresentamos uma síntese sobre os encontros do grupo.
3.1 Design Experiment
A metodologia utilizada nesta pesquisa foi à qualitativa, do tipo Design
Experiment.
Tal
metodologia
originou-se
nos
Estados
Unidos
aproximadamente em 1970, esse surgimento deve-se ao fato de se utilizar
métodos de pesquisa desenvolvidos fora da educação.
Depois foi trazida para a educação com o objetivo de preencher a lacuna
entre a prática da pesquisa e a prática de ensino, além de suprir a
necessidade de um paradigma que levasse em consideração os avanços dos
alunos mediante uma comunicação matemática interativa. Ela tem como
característica fazer intervenções que (re) examinam a aprendizagem em
contextos projetados para produzir uma aprendizagem significativa, utilizando
metodologias de experimento impulsionadas ao entendimento teórico e
prático.
Cobb (2003) identificou na metodologia Design Experiment, cinco
características conforme segue:
Quadro 5: Características do Design Experiment
Desenvolver uma classe de teorias tanto sobre o processo de
De s i gn E x pe r i ment
aprendizagem como os meios para dar suporte a tal aprendizagem.
Buscar por novas formas de aprendizagem, com uma intervenção
passo-a-passo.
O design é interativo nesta metodologia, as conjecturas são
geradas ou refutadas.
O design é interativo nesta metodologia, as conjecturas são
geradas ou refutadas.
Não existem conjecturas prontas e inalteráveis que devem ser
simplesmente aplicadas.
60
A metodologia de design teve seu início com Brown & Collins (1992) e
foi denominada ensino de pesquisa em aprendizagem. Este tipo de estudo
visa conhecer e realizar experimentos em condições definidas, na tentativa de
levar a experimentação à situações reais, tendo como meta aperfeiçoar o
projeto de modo que funcione na prática.
Optamos pela metodologia Design Experiment por apresentar um
modelo dinâmico o qual permite fazer as mudanças necessárias conforme o
desenvolvimento da pesquisa. Com os trabalhos de investigação, procura-se
problematizar a pesquisa, construindo e desenvolvendo mecanismos para
confrontá-lo com a teoria já existente.
Seguindo
a
metodologia
de
Design
Experiment,
construímos
previamente uma proposta para a pesquisa de campo. O planejamento incluiu
três fases para o desenvolvimento da pesquisa, dispostas como se segue:
Primeira fase:
 Apresentação e discussão da proposta ao grupo;
 Aplicação de questionário para levantamento do perfil dos professores
e de informações sobre o uso que fazem de metodologias inovadoras
durante as práticas pedagógicas;
 Realização de estudos conjuntos sobre a temática ―Ensino da
Trigonometria‖;
 Confecção de um "Diário de Bordo" para o registro de observações e
análises didáticas.
Segunda fase:
 Elaboração de atividades (ou adaptação) para aplicação em sala de
aula;
 Preparação de uma sequência didática a ser aplicada com os alunos;
 Aplicação, em sala de aula, das sequências elaboradas pelo grupo ;
 Entrevista semiestruturada com os participantes do grupo de estudo.
Terceira fase:
 Reflexão e discussão em grupo sobre a aplicação da sequência;
 Aplicação de um segundo questionário, equivalente ao que foi aplicado
na primeira fase, para a investigação de possíveis reflexos na prática
profissional da experiência didática realizada.
61
Em relação aos conteúdos a serem abordados, o primeiro design do
Grupo de Estudos “O Uso da Tecnologia no Ensino de Matemática” teve
como ponto de partida:
1) As razões trigonométricas no triângulo Retângulo;
2)
As discussões a respeito das unidades de medida de ângulo com as
unidades medidas em grau e radiano;
3)
O estudo da trigonometria, quando ela toma a sua forma atual tendo como
referência os trabalhos de Euler (1707-1783), que adota a medida do raio
de um círculo como unidade e define funções aplicadas a um número e não
mais a um ângulo como era feito até então;
4)
A modelação de uma aplicação destas funções no movimento periódico do
motor de quatro cilindros, utilizando-se o software Geogebra.
Um roteiro inicial do conteúdo matemático para ser investigado com o
Grupo de Estudos encontra-se no quadro a seguir:
Quadro 6: Resumo do Roteiro Inicial de conteúdos para o Grupo de Estudos
Conteúdos Matemáticos
Software Geogebra
P
Numero .
L
Triângulo Retângulo
A
Teorema de Pitágoras
Usando as ferramentas deste software,
N
Razões trigonométricas:
para a criação dos arquivos (detalhadas
E
Relação fundamental:
sen2x+cos2x=1
J
Ciclo Trigonométrico
A
Crescimento e decrescimento
D
do seno e cosseno
O
Relação entre as unidades de
nos Apêndices), é possível visualizar as
construções que permitem investigar os
conteúdos matemáticos em sua
representação algébrica e geométrica
uma a uma ou simultaneamente.
grau e radiano
Funções seno e cosseno:
f(x) = a + b sen (cx+d)
g(x) = a + b cos (cx+d)
Na próxima seção discutimos o desenvolvimento da pesquisa e
explicitamos o que do planejamento inicial foi mantido.
62
3.2 Desenvolvimento da Pesquisa
Inicialmente foi constituído um grupo de trabalho denominado “O Uso da
Tecnologia no Ensino de Matemática”, formado por dois pesquisadores da
Universidade, sendo esses a professora orientadora e o autor desta pesquisa,
(caracterizando, assim, a ligação entre a escola básica e a universidade), e
seis professores de uma escola pública do município de Suzano na grande
São Paulo, na qual se desenvolveu a pesquisa.
O grupo se reuniu durante um semestre, totalizando 14 encontros
formais e diversos informais (encontros durante o expediente escolar).
O desenvolvimento da pesquisa deu-se em três fases, dispostas a
saber:
Segunda fase
Primeira fase
Característica
Apresentação e discussão da proposta ao
grupo.
Traçar os objetivos centrais do grupo.
Aplicação
de
questionário
para
levantamento do perfil dos professores
e de informações do uso que fazem de
metodologias durante as práticas
pedagógicas.
Conhecer a formação e o perfil de cada
integrante do grupo.
Realização de estudos conjuntos sobre a
temática ―Ensino da Trigonometria.
Conhecer os estudos realizados
envolvendo esta temática.
Confecção de um "Diário de Bordo" para
o registro de observações e análises
didáticas.
Fazer anotações e acompanhar o
desenvolvimento da pesquisa.
Elaboração de atividades (ou adaptação)
para aplicação em sala de aula.
Elaborar atividades no grupo para
acompanhar o desenvolvimento dos
alunos.
Preparação de uma sequência didática a
ser aplicada com os alunos.
Elaborar atividades no grupo para
acompanhar o desenvolvimento dos
alunos.
Aplicação, em sala de aula, das
sequências elaboradas pelo grupo.
Acompanhar o desenvolvimento das
sequências com os alunos.
Entrevista semi-estruturada com
participantes do grupo de estudo.
Terceira fase
Objetivo
os
Levantamento do perfil de cada
participante e obtenção de
informações sobre expectativas.
Reflexão e discussão em grupo sobre a
aplicação da sequência.
Confrontar com a fundamentação
Teórica.
Aplicação de um segundo questionário,
equivalente ao que foi aplicado na
primeira fase, para a investigação de
possíveis
reflexos
na
prática
profissional, da experiência didática
realizada.
Obter informações sobre a visão de
cada um sobre sua participação no
grupo.
63
Em relação ao planejado, foi possível desenvolver as fases com
algumas adaptações, entretanto a criação do protocolo para observação da
aplicação da sequência didática em sala de aula que estava prevista não foi
feita pelo grupo.
.
Quanto ao conteúdo matemático, foi possível desenvolver o que estava
previsto; contudo, ao longo dos encontros, diversas decisões foram tomadas
que caracterizaram o design experiment, tais como estudos sobre materiais
pedagógicos, inserção para discussão no grupo de textos teóricos, trechos de
dissertações e materiais digitais de portais educacionais.
3.3 Levantamento de Dados
O processo de levantamento de dados foi feito usando as seguintes
técnicas e instrumentos:
Fonte
Caracterização
Questionários
Dois questionários - o primeiro para levantamento do perfil do professor, o
segundo para avaliação da formação do grupo.
Entrevista
Uma entrevista com cada professor que participou do grupo: ―O Uso da
Tecnologia, no Ensino de Matemática‖
Materiais
produzidos pelos
sujeitos de
pesquisa
Arquivos digitais dos professores.
Diário de bordo.
Atividades didáticas.
Gravações, filmagens e fotos feitas durante os encontros e aulas.
Diário de Bordo
Relatórios das reuniões.
Os professores produziram materiais como notas de campo, atividades
didáticas, arquivos digitais, fotos e vídeos que foram utilizados como
documentos para a pesquisa.
Fizemos dois tipos de observações.
1)
Observação direta: realizada pelo pesquisador por meio de observação
durante as reuniões e conversas entre os professores na rotina escolar
(conversas no corredor, na sala dos professores, nas trocas de turnos,
etc..)
64
2)
Observação indireta, realizada pelo pesquisador, por meio de avaliação
das respostas das duas entrevistas semiestruturadas, aplicadas ao
grupo e pelas anotações no diário de bordo, entre outras.
Na primeira entrevista, foi feito um levantamento sobre o perfil de cada
professor e sua expectativa acerca do estudo que se iniciava e na segunda,
avaliamos o que cada professor observou dos estudos em grupo, e da
observação dos relatos efetuados pelo grupo de estudo e pelos alunos. Os
roteiros das entrevistas se encontram no Apêndice I.
Em uma primeira entrevista, fizemos um levantamento do perfil de cada
professor e sua expectativa acerca do estudo que se iniciava e na segunda
entrevista, identificamos a avaliação dos estudos em grupo, feito pelos
professores, e da observação dos relatos efetuados pelo grupo de estudo e
pelos alunos. Os encontros do grupo e aulas dos professores envolvidos na
pesquisa foram gravados. Os roteiros das entrevistas se encontram no
Apêndice II.
A escolha da escola, para o desenvolvimento da pesquisa, surgiu a
partir de conversas com professores de matemática que lecionam na mesma
escola em que atua o pesquisador. Estes professores declararam-se
interessados em aprimorar a prática pedagógica e discutir, no grupo de
estudos, temáticas atreladas ao ensino e aprendizagem.
Além disso, contamos com o fato deste pesquisador fazer parte do
corpo docente desta escola há cinco anos e possuir vínculo de amizade e
companheirismo com todo pessoal que faz parte do ambiente escolar. Outro
fator determinante, que viabilizou o desenvolvimento da pesquisa, foi que a
escola possui infraestrutura adequada, com uma sala de vídeo equipada com
um micro computador e data show, para o planejamento das atividades e a
aplicação com os alunos e que houve apoio irrestrito da direção da escola.
Entendemos ser importante ressaltar que os professores aderiram
voluntariamente ao projeto, especialmente graças aos laços de amizade e
companheirismo existentes entre os docentes desta unidade escolar, uma
vez que a maioria dos professores de matemática ministram aulas no local há
muitos anos e esse clima de confiança foi sendo construído ao longo do
tempo.
65
3.4 Caracterização da Escola MEAC18
A escola MEAC é uma escola pública da rede estadual, localizada no
município de Suzano, grande São Paulo, inaugurada em 1983, e conta,
atualmente, com aproximadamente 2.000 alunos distribuídos em três turnos,
sendo que o da manhã funciona com seis salas de 9º ano do Ensino
Fundamental e nove salas de 1º ano do Ensino Médio, o período da tarde
com quatro salas de 6º ano, cinco salas de 7º ano e sete salas de 8º ano,
todas do Ensino Fundamental e, no período noturno, com sete salas de 2º
ano do Ensino Médio cinco salas de 3º ano do Ensino Médio e duas salas de
suplência de 2º e 3º ano do Ensino Médio.
Quanto ao espaço físico, a escola possui 17 salas de aula com as
carteiras em bom estado, dois pátios espaçosos, uma cozinha equipada, uma
lanchonete prestadora de serviço, um laboratório, no qual são desenvolvidas
as aulas práticas de Física, Química e Biologia, um anfiteatro, com
capacidade para 250 pessoas, devidamente equipado com aparelho de som,
ar condicionado, computador e um data-show. Possui, ainda, uma sala de
informática19 São Paulo, equipada com 16 computadores, onde trabalham
seis monitores20 divididos em duplas que auxiliam os alunos e a comunidade
entre os três turnos. Há, também, uma sala de aula adaptada para as
reuniões de HTPC, com diversos materiais pedagógicos a disposição do
professor, uma sala de vídeo que possui um computador com acesso a
internet, data-show, televisão 29 polegadas para os professores utilizarem de
acordo com o seu plano pedagógico. Na parte exterior da escola, há um
estacionamento amplo que acomoda todos os veículos dos professores e
funcionários, uma quadra coberta e estão sendo construídas mais duas
quadras e uma área livre externa para uso de atividades extraclasse.
18
Este é um nome fictício, da escola que foi realizada a pesquisa.
O laboratório de informática foi montado pelo Programa Acessa São Paulo. Instituído em
julho de 2000, o programa oferece para a população do Estado de São Paulo o acesso às
novas tecnologias da informação e comunicação (TIC), em especial à internet. Podem utilizar
este ambiente na escola, os alunos fora de seu turno de aula, assim como qualquer pessoa
da comunidade.
20
Estes monitores são alunos do 2º ano Ensino Médio, da escola pública e são remunerados.
19
66
A gestão escolar se compõe por uma diretora efetiva há sete anos na
escola, duas vice-diretoras, sendo que uma há quatro anos no cargo e a
segunda há um ano no cargo, dois professores coordenadores pedagógicos,
sendo o primeiro, efetivo na disciplina de Geografia exercendo o cargo há
cinco anos, e o segundo há cinco anos como professor coordenador
pedagógico.
O corpo docente é constituído por 65 professores efetivos 21, 46
professores OFA22. Destes, sete são professores efetivos de Matemática.
Esta é uma escola que se destaca pela participação em projetos
pedagógicos, como por exemplo: Dança de Salão23 e Xadrez na Escola. Além
desses projetos, é realizada, também, a festa Julina que é um marco para a
comunidade, reunindo, todo ano, aproximadamente vinte cinco mil pessoas
em dois dias de festa. Os alunos moram, em sua maioria, próximos à escola e
a frequentam desde os anos iniciais, sendo esta uma característica decisiva
para o envolvimento da comunidade com a instituição.
3.5 Formação do Grupo de Estudo
No primeiro dia, após as férias, momento em que os docentes retornam
à escola para a atribuição das aulas24, apresentei aos professores de
Matemática e ao coordenador pedagógico a proposta de, juntos, constituirmos
um grupo de estudo, com o objetivo de fazer uma investigação sobre o uso da
tecnologia no ensino de funções trigonométricas. Durante a conversa com
estes professores, fiz o convite de maneira informal e apresentei a estes
alguns recursos que o software Geogebra oferece para o ensino e
aprendizagem de matemática.
Quando apresentei aos professores os novos recursos a serem usados
em sala de aula, notei que a maioria se interessou e, assim, combinamos que
21
Professores concursados que fazem parte do corpo efetivo da escola
Ocupante de Função Atividade, a sigla designa os professores admitidos em caráter
temporário, lecionando, enquanto não existe um professor efetivo ou em substituição destes,
quando designado para outras funções.
23
Há dois vídeos no youtube (sistema de vídeos interativos):
http://www.youtube.com/watch?v=a4Y8IU3jA7A e
http://www.youtube.com/watch?v=cMTtTt0xq9Y
24
Momento em que a diretora da escola atribui as aulas para os professores conforme
resolução da Secretaria da Educação do Estado de São Paulo
22
67
nos reuniríamos ao longo do semestre, em sessões semanais realizadas
todas as segundas-feiras das 17:30 às 18:50 horas. Dos sete professores de
Matemática, apenas um deles não se comprometeu em participar do grupo,
justificando que não dispunha de tempo para as discussões que
posteriormente viriam a ser realizadas.
Os materiais e registros produzidos pelos sujeitos foram coletados
mediante Termo de Consentimento Livre e Esclarecido que se encontra no
Anexo II.
Os professores envolvidos na pesquisa estão aqui identificados por
pseudônimos: Batista, com formação em Geografia que é o Professor
Coordenador Pedagógico da escola; João, Teixeira, Valquíria, Helena,
Joaquim, José e Ronaldo – todos estes professores de Matemática atuantes
na escola – sendo que Ronaldo tem dupla função: a de integrante do grupo e
também de pesquisador, estabelecendo a ligação entre a escola e a
universidade. O perfil foi traçado tomando-se como referência a análise do
questionário que se encontra no Apêndice II.
Uma síntese com as principais características dos professores
envolvidos na pesquisa encontra-se no quadro abaixo.
Quadro 7: Perfil dos Professores
Nome.
Formação
Séries que
Tempo
Conhecimento
Motivação que o
atua.
de
de Software
(a) levou a
Serviço.
Educacional
participar do
Grupo
João
Licenciatura
7º e 8º anos,
em
2ª e 3ª
Matemática
Teixeira
séries do
Conhecer o
software,
13 anos
Não
Geogebra e
Ensino
participar de uma
Médio.
pesquisa.
Licenciatura
8ºano, 1ª, 2ª
Conhecer novas
em
e 3ª séries
Matemática
do Ensino
Mestrado
Médio.
em Ensino
de Ciências
e
11 anos
Sim, mas
metodologias,
nunca utilizou.
para o Ensino de
Matemática.
68
Matemática
Valquíria
Licenciatura
7ºano
20 anos
em
Sim, mas
Curiosidade em
nunca utilizou.
conhecer o
Matemática
software
Geogebra.
Licenciatura
8º ano e 1ª
em
série do
Matemática
Ensino
Helena
Aprimoramento
15 anos
Não
profissional.
Médio
Curiosidade em
José
Licenciatura
em Física
Ensino
3 anos
Não
aprender o
Médio
software
Geogebra
Participar de
Batista
Ronaldo
5 anos
Licenciatura
Coordenador
em
Pedagógico
os colegas
Geografia
(PC).
professores.
Licenciatura
7º e 8º anos,
1ª e 2ª
séries do
Ensino
Médio.
em
Matemática
Sim
discussões com
Sim e já havia
Formação
utilizado
Profissional.
19 anos
Destacamos que, dos professores de matemática envolvidos, apenas o
Professor Ronaldo já havia utilizado software educacional, os demais não o
conheciam, porém mostraram-se curiosos e ansiosos em fazer parte do grupo
que veio a se formar, motivados pela possibilidade de conhecer softwares
educativos.
Consideramos como professores centrais do grupo de estudo João,
Teixeira e Ronaldo, os demais professores relacionados não participaram de
todas
as
reuniões,
por
diferentes
razões:
acúmulo
de
trabalho,
incompatibilidade de horário, problemas de saúde, entre outras. O PC, por
diversas vezes, acompanhou as reuniões, tendo como interesse principal a
formação profissional dos professores envolvidos e o conhecimento da
metodologia de como um grupo de estudo pode vir a formar um grupo
colaborativo.
69
3.6 Atividades Desenvolvidas nos Encontros do Grupo
No quadro abaixo, relacionamos as datas dos encontros, o resumo das
atividades desenvolvidas, bem como os participantes envolvidos:
Quadro 8: Resumo das Atividades Discutidas no Grupo
Encontro
Ações
1º em
14 fev. 2011
Apresentação e discussão da proposta ao grupo.
Aplicação de questionário.
Apresentação inicial do Geogebra.
2º em
21 fev. 2011
3º em
14 mar 2011
Realização de estudos conjuntos sobre a temática ―Ensino da
Trigonometria‖.
Manipulação do applet desenvolvido por Thais de Oliveira.
Discussão e reflexão sobre a recepção dos alunos quanto ao
applet. Apresentação de um arquivo relacionando o movimento de
um ponto no círculo trigonométrico
Participantes
João, Teixeira,
Ronaldo,
Helena e o
Batista.
João, Teixeira,
Ronaldo, e
Valquíria.
João, Teixeira,
Ronaldo e
Joaquim.
4º em
21 mar 2011
Discussão do problema de pesquisa de Quintaneiro, relacionando
a função seno e cosseno e a relação entre a unidade de grau e
radiano.
João, Teixeira,
Ronaldo, e
Valquíria
5º em
28 mar 2011
Reflexão das atividades aplicadas, questionamento dos resultados
obtidos, discussão sobre as funções:
João, Teixeira,
Ronaldo e
Joaquim.
f :R→ R, f (x) = sen(x) e f :R→ R, f (x) = cos(x)
6º em
04 abr.
2011
Discussão sobre como relacionar o crescimento e decrescimento
do seno no ciclo trigonométrico, associando as unidades em grau e
radiano, com a apresentação de dois aplicativos.
João, Teixeira,
Ronaldo e
Helena.
7º em
11 abr.
2011
Discussão sobre o deslocamento vertical da função seno e
cosseno.
João, Teixeira,
Ronaldo,
Helena e
Joaquim.
f :R→ R, f (x) = a + sen(x) e
f :R→ R, f (x) = a + cos(x).
8º em
18 abr.
2011
Discussão sobre a amplitude nas funções seno e cosseno.
f :R→ R, f (x) = a + b sen(x) e
f :R→ R, f (x) = a + b cos(x)
João, Teixeira,
Ronaldo e
Helena.
70
9º em
25 abr.
2011
Discussão das atividades desenvolvidas por Thais de Oliveira e
construção de um aplicativo para discussão da função: construção
das funções, f(x)= a + b sen (c x +d), verificando os a variação dos
parâmetros, a, b, c e d, sendo c≠0.
João, Teixeira,
Ronaldo,
Helena e
Joaquim
10º em
02 mai.
2011
Discussão acerca do caderno do aluno fornecido pela SEESP, e
adaptação as atividades para desenvolver um aplicativo para
trabalhar com a função:
João, Teixeira,
Ronaldo e
Valquíria.
f(x)= a + b sen (c x +d),
11º em
16 mai.
2011
Discussão sobre como desenvolver uma aplicação da função seno
no movimento de um cilindro de motor de motocicleta.
João, Teixeira
e Ronaldo.
12º em
23 mai.
2011
Discussão sobre a aplicação da função seno em um motor de
quatro cilindros.
João, Teixeira,
Ronaldo, e
Valquíria.
13º em
30 mai.
2011
Discussão acerca do trabalho de Goios e consulta ao site ―TIC no
Processo de Ensino e Aprendizagem de Matemática‖,
João, Teixeira,
Ronaldo e
Helena.
14º em
06 jun. 2011
Consulta ao site ―Portal do Professor‖
João, Teixeira,
Ronaldo e
Batista.
No próximo capítulo, discutimos e analisamos cada encontro do grupo
de estudos.
71
CAPÍTULO 4
DISCUSSÃO E ANÁLISE DOS
ENCONTROS
72
4. DESENVOLVIMENTO E DISCUSSÃO DOS ENCONTROS
4.1 Os Encontros
O grupo “O Uso da Tecnologia no Ensino de Matemática” se reuniu no
interior da escola, fora de seu horário de trabalho, às segundas feiras das
17:30 h às 18:50 h, durante um semestre (14 encontros) com a proposta de
discutir sobre o ensino e aprendizagem de trigonometria e desenvolver
atividades que pudessem ser aplicadas em sala de aula, sempre conectadas
ao conteúdo programático que estava sendo desenvolvido em classe,
respaldadas pelo Caderno do Aluno25 fornecido pela SEESP. Além disso,
tínhamos como objetivo aplicar e analisar as atividades construídas em
conjunto, fazendo estudos reflexivos sobre a prática docente.
Utilizamos a primeira pessoa do plural para referirmo-nos às decisões e
situações que envolvem o pesquisador (Ronaldo) e a Universidade na figura
da orientadora desta pesquisa e a primeira pessoa do singular para referirmonos ao professor e pesquisador Ronaldo como elemento do grupo e
participante dos encontros. Dessa forma procuramos tornar mais simples o
entendimento do texto para o leitor e separamos os dois papéis que o autor
deste estudo desempenhou ao longo da pesquisa: o de pesquisador e de
professor membro do grupo de estudo.
1º Encontro
No primeiro encontro, apresentei a proposta ao grupo para realizarmos
estudos conjuntos sobre a temática ―Ensino da Trigonometria‖ usando os
recursos do software Geogebra. A partir da aceitação da proposta, discutimos
a necessidade de iniciar as investigações desde a trigonometria no triângulo
retângulo até o ciclo e as funções trigonométricas e foi estabelecido como
objetivo do grupo atingir estudos até as funções seno e cosseno. Isso vinha
ao encontro da programação do conteúdo que o grupo desenvolveria com
seus alunos.
25
Material criado em 2007 como parte do Programa ―São Paulo Faz Escola‖ da SEESP,
trata-se da implantação de um currículo único para todas as escolas da rede pública estadual.
Com este Programa, todos os alunos da rede recebem material didático e há uma
uniformização nos planos de aula.
73
Em seguida, os professores responderam ao questionário que se
encontra no Anexo II e na sequência, fiz uma explanação referente aos
principais recursos que exploraríamos no software.
Com os membros do grupo, cada um a frente do seu computador,
realizei a manipulação do software para a visualização no Data-show. Foram
discutidas as seguintes ferramentas do software: Janela algébrica, campo
geométrico, caixa de entrada e ícones que aparecem na tela inicial.
Mostrei ao grupo como poderíamos fazer algumas construções básicas
tais como: polígonos regulares, polígonos não regulares, ponto, reta, círculos,
retas paralelas e perpendiculares, entre outras construções elementares.
Neste encontro, os professores mostraram-se entusiasmados e curiosos
em relação ao software e o quanto e como poderíamos explorá-lo nas aulas
de matemática. Na sequência, os docentes manipularam livremente o
software de modo a começar a conhecê-lo melhor e fizeram construções
elementares, tais como reflexão de figuras, construções de triângulos com as
medidas dos lados e ângulos, gráfico da função do segundo grau, etc.
O professor Batista permaneceu na sala por 20 minutos, ausentando-se
a seguir, devido às atribuições ligadas a sua função de coordenador
pedagógico, antes, porém, comentou:
―Quando construí, junto com o grupo, um triângulo qualquer pôde
observar que o arquivo possibilita que sejam feitas as medidas dos ângulos
internos, podemos visualizar, também, que para os triângulos construídos
neste arquivo a soma dos ângulos internos é igual a 180º‖.
Tal fato causou satisfação a todos os presentes, justamente por ser
uma demonstração de fácil percepção.
Em minha formação na escola básica, achava as aulas de
Matemática muito teóricas. O professor bem que tentava
encontrar alguma relação com o cotidiano, mas eu entendia
muito pouco, apesar de gostar das aulas. Sempre quis conhecer
uma aplicação parecida com esta, (se referindo à visualização
do teorema da soma dos ângulos internos de um triângulo
qualquer).
DB26, p. 1.
26
Diário de Bordo.
74
Essa fala revela que, ao longo do encontro, ocorreu o que Ponte,
Oliveira e Varandas (2003) afirmam sobre a importância dos professores se
apropriarem das TIC como ferramentas de auxilio para preparar atividades a
serem desenvolvidas em sala de aula, tendo-as como uma alternativa de
apoio à aprendizagem, um instrumento de conhecimento pessoal, uma fonte
que deixa à disposição do professor um arsenal de métodos e diferentes
formas de representações para o conhecimento do conteúdo.
Ao final do encontro, o professor João, referindo-se à apresentação das
construções básicas do software e a visualização de que a medida da soma
dos ângulos internos de um triângulo qualquer é 180º, comentou:
Eu sempre acreditei que isto fosse verdade, mas não
conseguia entender o porquê. Agora basta ver por que eles
não estão alinhados. Então só pode formar 180º, caso
contrário seria uma reta.
D.B. p 2
Essa fala evidencia que o professor está em processo de construção de
conhecimento específico do conteúdo matemático e também do pedagógico
do conteúdo, entendendo como sendo vantajosa a utilização do software.
2º Encontro
No segundo encontro, discutimos parte da dissertação de Oliveira (2010,
p. 101-104), na qual a autora apresenta um applet27 que foi criado para
auxiliar o aluno a aprender as razões trigonométricas no triângulo retângulo,
partindo das regularidades obtidas nos triângulos retângulos semelhantes.
Neste applet, existe um seletor  no canto superior esquerdo que ao ser
manipulado mostra que as razões trigonométricas seno e cosseno dependem
somente dos ângulos, não importando a medida dos lados do triângulo. Tal
texto encontra-se na íntegra no Anexo II.
27
http://www.pion.sbfisica.org.br/pdc/index.php/por/Material-didatico/Razoes-Trigonometricas
75
Figura 6: Interface inicial do applet
Fonte: Oliveira (2010 p 101.)
Por ser um aplicativo estruturado para ser dinâmico e de fácil
manipulação, durante a apresentação do applet no Data-show, todos os
envolvidos manifestaram interesse em desenvolver com os seus alunos as
razões trigonométricas mostradas.
Ao explorar este applet, João, um dos professores que estava vendo
pela primeira vez uma aplicação deste software, declarou que nunca tinha
utilizado nenhum aplicativo educacional, pois sempre usava o giz e lousa para
desenhar os triângulos retângulos, o que nem sempre permitia manter suas
respectivas escalas. Ele comentou:
...com este recurso, fica bem mais fácil desenvolver as aulas.
Acredito que os alunos se sentirão motivados com o
reconhecimento de um conceito já visto por eles, agora sendo
apresentado com um recurso diferente, poderemos
apresentar o mesmo conteúdo de diversas formas.
Verificando que o seno de um ângulo não depende do lado e
sim da medida do ângulo.
DB, p. 2.
76
Observamos que o professor João relacionou o que estava sendo
discutido com a sua prática pedagógica. Para ele, até então, a característica
mais importante é a de promover a motivação dos alunos. Nesse caso, estão
presentes os saberes da experiência citados por Tardif (2002), que afirma que
os saberes adquiridos e validados pela experiência são incorporados pela
vivência individual e coletiva sob a forma de hábitos e de habilidades, de
saber fazer e de saber ser.
O professor João, que também não conhecia este applet, se mostrou
confiante com esta nova proposta, pois um de seus comentários foi:
...Com a ilustração é mais fácil explorar as relações
trigonométricas, pois ficam bem visíveis e da forma que o
aplicativo foi estruturado ficam em evidência essas relações.
(referindo-se às diversas ilustrações que são possíveis
visualizar no aplicativo).
DB, p. 2.
Esta fala do professor João evidencia que o que mais lhe chamou a
atenção foi a possibilidade de como o software pode facilitar a visualização
por parte dos alunos. Durante a manipulação dos applets, constatamos que o
grupo
estava
num
processo
de
desenvolvimento
do
conhecimento
pedagógico, relacionando o uso da TIC para o ensino de matemática, que,
segundo afirma Ponte (2003), a formação do professor é o problema chave no
sistema educacional e que o docente deve se apropriar da TIC, como uma
alternativa cada vez mais presente no conteúdo escolar, principalmente os
relacionados com a matemática.
Ao final da reunião, decidimos que durante a semana aplicaríamos, em
sala de aula, usando o Data-show, os applets desenvolvidos por Oliveira
(2010), e que no próximo encontro, discutiríamos uma maneira de introduzir
as relações entre o raio, diâmetro e comprimento da circunferência.
77
3º Encontro
Nesse terceiro encontro, os estudos do grupo centraram-se nas relações
entre o comprimento da circunferência, seu diâmetro, raio e o número , e na
discussão de como iríamos fazer a revisão deste conteúdo com os alunos.
Iniciamos a reunião comentando sobre a participação dos alunos quanto
à apresentação dos triângulos retângulos semelhantes e as razões
trigonométricas, utilizando os applets discutidos no encontro anterior do
grupo. Surgiram os seguintes comentários:
Teixeira: Com o dinamismo do software, fica mais fácil os
alunos entenderem o significado de triângulos semelhantes
e que as razões trigonométricas dependem somente dos
ângulos e não das medidas dos lados dos triângulos.
João: Com o uso do software, fica mais interessante o
trabalho em sala de aula e o envolvimento dos alunos.
Ronaldo: Com o software é possível ministrar uma aula mais
dinâmica e menos expositiva e o envolvimento dos alunos
torna a resolução dos exercícios mais fácil.
D. B. p 3.
Vale ressaltar que o professor Teixeira enfatizou em sua fala que o
software pode auxiliar o aprendizado do aluno, enquanto João e Ronaldo
enfatizam características como motivação do aluno e dinamismo da aula.
Nesta discussão, observamos o conceito de Schön (1995) sobre a
reflexão na ação, que ocorre, segundo o autor, quando o professor com seus
conhecimentos faz uma análise da situação e toma decisões no momento em
que se desenvolve a aula.
Em um segundo momento, apresentei ao grupo dois arquivos
previamente preparados por mim: o primeiro para a validação do número ,
figura 6, com: raio variável, destacando o diâmetro, o comprimento e suas
relações com este número irracional.
78
Figura 7: Construção do Número 
Fonte: Acervo próprio
Este arquivo relaciona o comprimento da circunferência com o raio e o
diâmetro. Com uma calculadora e após preencher uma tabela com os valores
da tela exposta no projetor e dividir o comprimento da circunferência pelo
diâmetro é possível verificar a constante . A construção deste arquivo se
encontra no Apêndice VIII.
Usando este arquivo é possível mostrar para o aluno, de forma
dinâmica, as relações entre o comprimento, diâmetro e raio da circunferência
o com o número .
Na sequência, apresentei ao grupo o resumo da dissertação de Goios
(2010, p.124—125), o texto na integra encontra-se no Anexo III, no qual ele
enfatiza que os alunos, por terem dificuldades, preferem fazer as operações
usando a unidade somente em grau, omitindo, sempre que possível, o
radiano.
Uma sugestão para minimizar a dificuldade dos alunos com
as medidas em radianos seria os objetos de ensino
apresentar de forma conjunta às medidas em graus e
radianos, para que os alunos pudessem se familiarizar com
estes valores. Também é necessário um trabalho anterior
com os números racionais e irracionais, pois a dificuldade
com estes números dificultam a compreensão dos alunos com
os valores em radianos. Goios (2010, p.125).
79
Ao explorar o segundo arquivo, figura 8, enquanto apresentava a tela,
discutimos no grupo a relação entre ângulo medido com a unidade, ora em
grau, ora em radiano.
Figura 8: Relação Entre as Unidades de Grau e Radiano
Fonte: Acervo próprio
Este arquivo relaciona o ângulo com a unidade em grau e seu valor em
radiano, assim como é possível visualizar o arco.
A partir deste momento, o grupo manifestou interesse em conhecer a
maneira de construir tais telas. Assim, fizemos a construção detalhada destas
telas, que se encontram no Apêndice VII.
Após uma breve discussão sobre a construção do círculo, relacionando
o comprimento e o diâmetro, chegamos ao consenso de que deveríamos
construir uma sequência de atividades dirigidas aos discentes, de modo que
estes, num primeiro momento, visualizassem no Data-show a construção do
número  e logo em seguida, a relação entre arco e radiano, visto que o
assunto já havia sido abordado em sala de aula de maneira tradicional, via
lousa e giz.
Fiz então o seguinte comentário:
Ronaldo: Os alunos compreendem a relação entre 180º e o
rad. Fazem até as conversões entre grau e radiano, via
regra de três simples, mas não é fácil entender, em primeira
instância, o significado de radiano e a necessidade de usar o
radiano, que é a ―transformação‖ de grau para número real.
Com este aplicativo poderemos visualizar esta relação grau/
radiano, e visualizar, também, o radiano como medida de
arco.
DB, p 4.
80
Naquela
semana,
estávamos
ensinando,
na
sala
de
aula,
a
transformação de unidade de grau para radiano e vice versa, usando regra de
três simples. Então, resolvemos que levaríamos os alunos à sala de vídeo e
apresentaríamos a eles, no Data-show, as duas telas. O grupo elaborou o
seguinte questionário, a ser aplicado aos alunos:
1)
2)
3)
4)
5)
O que é arco de uma circunferência?
Quais são os dois sistemas de medidas para medir arcos e ângulos?
O que é a medida de um radiano?
Como você poderia medir o comprimento de uma circunferência?
O que você aprendeu, na aula, com o auxilio do programa Geogebra,
que não tinha aprendido antes, quando foi explicado usando-se
apenas giz e lousa?
Questionário preparado pelo grupo em 14 de março 2011.
Com esta discussão, estávamos negando o modelo de racionalidade
técnica. Conforme Fiorentini (2005) aponta, consideramos que foi
fundamental tomar como ponto de partida a experiência e os saberes que o
professor possui no decorrer de seu ofício, transformando um conteúdo
abstrato de difícil compreensão em um estudo de reflexão, buscando a
solução colaborativamente.
Para o encontro seguinte, combinamos que iríamos partir da
circunferência e discutir uma sequência didática relacionando o ciclo
trigonométrico com as razões trigonométricas. Então surgiu no grupo o
seguinte questionamento:
João: Eu sei que o ciclo trigonométrico tem raio igual a 1, mas
como que vocês explicam isto?
Teixeira: Eu parto do principio de que se a circunferência tem
360º qualquer que seja o raio, então pela semelhança de
triângulos, eu explico que caso o raio fosse diferente de 1 não
haveria perda de conteúdo, mas por convenção, o raio da
circunferência trigonométrica é 1.
Ronaldo: Há algum tempo, venho mostrando aos alunos uma
situação parecida com a que o Teixeira falou. Uso esta figura
(mostrando a figura XXI) onde podemos visualizar de forma
dinâmica, a semelhança de triângulos, mas volto neste
assunto quando falamos da relação fundamental da
trigonometria, sen2x+cos2 x =1 .
D.B. p 4.
Nestas falas podemos perceber o que Fiorentini (2004) aponta como
uma comunidade de prática, na qual os professores da escola básica se
81
reúnem com o objetivo aprender e ensinar matemática. Os três professores
tinham dúvidas de como iniciar o assunto do ciclo trigonométrico. Após o
esclarecimento das dúvidas e da troca de experiências, com a participação
dos envolvidos no grupo, estes professores demonstraram mais confiantes
neste conteúdo.
Figura 9: Introdução ao ciclo trigonométrico.
Fonte: Acervo Próprio
4º Encontro
O encontro iniciou-se com uma discussão sobre a utilização das
unidades de medidas de arcos, grau e radiano.
Vale enfatizar que antes deste quarto encontro, em conversa informal o
professor João comentou:
Eu sei relacionar as unidades grau e radiano via regra de três,
mas não vejo aplicação prática, e ainda não entendi a razão
de se usar radiano.
D.B. p.4
Após este relato, o pesquisador preparou o material para a reunião,
apoiando-se na pesquisa feita por Quintaneiro (2010), na qual ele relata a
82
necessidade de se trabalhar com o radiano como unidade de medida. A visão
dinâmica do software pôde auxiliar na discussão uma vez que é possível
visualizar que o radiano é a medida linear referente ao comprimento do arco,
e o grau é a medida angular.
Foi possível perceber que os professores não tinham claro a
necessidade de se usar a unidade em radiano e o estudo em grupo favoreceu
uma reconstrução sobre este conteúdo vindo ao encontro ao que Shulman
(1986) chama de conhecimentos específicos da disciplina que o professor
leciona, incluindo as compreensões, conceitos e procedimentos. Pensar
corretamente sobre o conhecimento do conteúdo requer ir além do
conhecimento de fatos ou conceitos de um domínio e conhecimento
curricular.
Nesta reunião, após a discussão sobre as unidades de medidas
angulares, o conteúdo matemático discutido foi o ciclo trigonométrico e a
relação fundamental sen2x+cos2x=1, assim como a relação entre o
crescimento e decrescimento do seno e cosseno.
Discutimos, também, como os alunos se manifestaram em relação as
atividades anteriores que relacionavam o comprimento da circunferência, o
diâmetro, a relação entre a unidade de grau e radiano. Trechos do diálogo
entre os professores integrantes do grupo de estudo:
João: Devemos continuar a discussão, pois ainda não me sinto seguro
em trabalhar com este software. Neste encontro, quero tirar
algumas dúvidas, como por exemplo, de que maneira relacionar o
ponto em movimento com o valor do seno.
DB. p. 4.
No depoimento do professor João, podemos confirmar o que Fiorentini e
Nacarato (2005), afirmam, ou seja, que toda mudança vem acompanhada de
momentos de incertezas e dúvidas, portanto, é importante que o professor
tenha uma base de apoio pedagógico sólida, para que possa enfrentar e
controlar, com segurança, as possíveis tensões que estas mudanças de
comportamento trazem. Por esse motivo, é imprescindível dar respaldo e
tempo necessários para que essas ansiedades, típicas do que é novo, se
dissipem e naturalmente levar o professor a refletir sobre suas próprias
83
inseguranças que, muitas vezes, tornam-se um dos maiores obstáculos à
mudança. Nesse aspecto o apoio do grupo pode ser fundamental.
Teixeira: Uma situação é apresentar para os alunos o que é o
comprimento de um arco, outra é mostrar para eles o
movimento do arco em uma tela, fazendo no mesmo instante
várias representações, o que na lousa fica muito restrito. Os
alunos até que aceitam fazer as transformações de grau para
radiano, mas sem nenhum significado.
DB. p. 4.
Pelos dizeres do prof. Teixeira, percebemos que as ações do grupo iam
ao encontro das ideias de Ponte (2002), segundo as quais o uso da
tecnologia permite uma perpectiva inovadora para o ensino da matemática,
reforçando as interpretações visuais, as novas formas de representação e
manipulação simbólica, enfatizando mais o conceito do que os cálculos
aritméticos. Deste modo, a TIC favorece o desenvolvimento dos alunos em
importantes competências, bem como em atitudes positivas em relação à
matemática, estimulando uma visão completa sobre a natureza desta ciência.
Também discutimos nesse encontro, um trecho da dissertação de
Quintaneiro (2010, p. 12--13), o qual enfatiza o domínio das funções seno e
cosseno como sendo o conjunto dos números reais e daí a necessidade de
usar a unidade radiano. Estes textos se encontram na íntegra no Anexo III.
Apresentei ao grupo uma tela previamente preparada que relaciona o
radiano com o seno e o cosseno no ciclo trigonométrico, com um ponto ―P‖
que, ao ser movimentado, mostrava suas coordenadas P= (cos(x), sen(x)).
Conforme o movimento deste ponto, era possível visualizar que para qualquer
valor de x, prevalece a identidade sen2x+cos2x=1, também estava visível, na
tela, a relação entre as unidades de grau e radiano. A construção deste
arquivo se encontra no Apêndice VIII.
84
Figura 10: Apresentação da Relação Fundamental da Trigonometria
Fonte: Acervo próprio
Durante a exploração deste arquivo, o professor João deu a seguinte
sugestão:
João: Na próxima reunião, podemos discutir a passagem do
seno do ciclo trigonométrico para a função seno, uma vez que
é possível construir outra tela sem abandonar esta, usando a
caixa de ―inserir objeto‖.
DB p. 5.
Novamente, na observação feita pelo professor João, podemos
constatar que quando o docente se sente apoiado, se coloca na posição de
aprendiz e vai dissipando naturalmente os obstáculos. Fiorentini e Nacarato
(2005) enfatizam que é necessário dar tempo para que o docente possa
apropriar-se e mudar sua prática, controlando, assim, as tensões que
naturalmente surgirão.
A partir desta última tela, construímos
atividades para serem
desenvolvidas em duas aulas: a primeira relacionando o valor do seno
medindo em grau e radiano e a segunda tela relacionando os valores para o
cosseno. Com as telas expostas no projetor, discutiríamos com os alunos as
dúvidas e constatações. Com o questionário, pretendíamos avaliar o que os
alunos assimilaram até aquele momento, e a partir desta avaliação
determinaríamos o destino das aulas, isto é, se prosseguiríamos com o
85
conteúdo ou retomaríamos o ciclo trigonométrico. Este questionário se
encontra no Apêndice I.
Neste momento, a partir da observação feita pelo professor João,
entendemos que ocorrera o que Shulman (1986) chama de: Conhecimento
Pedagógico do Conteúdo. Este busca uma maneira que vai além do
conhecimento da disciplina para o ensino, procurando uma forma particular de
conhecimento
que
incorpora
os
aspectos
mais
pertinentes
a
sua
sensibilidade, tentando encontrar várias estratégias de representação das
ideias de diferentes formas de representar e formular o assunto, tornando-o
compreensível para os outros.
Verificamos também que cada um reflete de uma maneira. Como
pontua Perrenoud (2002), verificamos que mesmo dentro de um grupo de
estudos, cada um reflete sobre sua prática de modo diferente. Assim, no calor
das reuniões, somos levados a uma constante reflexão e a diversas tomadas
de decisões que podem nos conduzir a uma mudança de prática.
Finalizamos este encontro com o acordo de que seria aplicado aos
alunos o questionário e uma avaliação diagnóstica sobre os conhecimentos
dos alunos quanto ao crescimento e decrescimento das funções seno e
cosseno já preparados no encontro anterior.
5º Encontro
Iniciamos a reunião discutindo o gráfico (Figura 10), que apresenta o
desempenho dos alunos ao responderem o questionário preparado no último
encontro. O questionário foi composto por cinco perguntas envolvendo o
crescimento e decrescimento do seno no ciclo trigonométrico.
A correção do questionário e a tabulação dos dados foram feitas pelo
professor Ronaldo, dias antes desse encontro.
86
Número
de alunos
250
200
150
Certas
Erradas
100
50
0
1
2
3
4
5
Questões
Figura 11: Gráfico de Aproveitamento das Atividades
De posse destes dados e do questionário respondido pelos alunos,
discutimos as respostas.
A análise feita, foi a seguinte:
1º questão: Complete a tabela com valores do seno no ciclo trigonométrico.
Ângulo
seno
0o
90º
180º
270º
360º
Devido ao alto índice de acertos, concluímos que os alunos
compreenderam os valores do seno em uma volta, atribuindo o maior e o
menor valor para estas razões. (D.B. p 6.)
2º Questão: Qual o maior e o menor valor que pode assumir o sen x, sendo 0o≤ x ≤
360º?
87
A segunda questão teve um índice de aproveitamento de 85%, o que
nos levou a concluir que os alunos entenderam que o valor do seno esta
compreendido em [1,-1]. (D.B. p 6.)
3º Questão. Quando o seno é crescente e decrescente?
Ângulo
Seno
o
0 ≤ x ≤ 90º
90º ≤ x ≤ 180º
180º ≤ x ≤ 270º
270º ≤ x ≤ 360º
Devido ao alto índice de erros, concluímos que os alunos associaram
que no segundo quadrante o valor do seno é positivo, mas decrescente.
Concluímos que os alunos associaram o valor positivo ao crescimento, o que
é um erro. ( D.B. p 6.)
4º Questão. Observando o ciclo trigonométrico no Data-show, complete a tabela. Em
qual ângulo o valor do seno será o mesmo?
Ângulo
Em qual ângulo o seno é o mesmo?
15o
30º
45º
60º
75º
90º
Nesta questão, esperávamos que os alunos associassem o conceito de
que o ângulo e seu suplemento têm o mesmo valor para o seno. Devido ao
baixo desempenho, este foi o primeiro desconforto para o grupo, pois
percebemos que os alunos ainda não haviam atingindo o objetivo, uma vez
que houve índice de acertos de 40%.( D.B. p 6.)
5º Questão. Quando a soma de dois ângulos é igual 180º?
88
O índice de acerto foi de 40%. Concluímos que deveríamos trabalhar
novamente o conceito de ângulos suplementares, pois observamos que se os
alunos não identificavam tais ângulos, como consequência teriam dificuldades
em comparar seus senos.
Exemplos de algumas respostas dos alunos:
―Quando os valores dos senos são iguais‖.
―Quando são ângulos suplementares‖
―não sei responder‖
―não sei‖
Anotações de sala de aula, abril 2011.
Após análise das respostas surgiram os comentários:
Teixeira: Nas próximas aulas, vamos retornar a esta mesma tela
(apontando para a tela No 9) dando mais ênfase ao cosseno e
fazer a comparação com o seno no círculo trigonométrico
associado ao valor da função cosseno, enfatizando que as
propriedades de crescimento e decrescimento para o seno
são iguais para o cosseno, com uma diferença de /2 rad.
Assim, poderemos retornar ao assunto sem que este fique
maçante e rever, ora o seno no ciclo trigonométrico, ora o
cosseno.
João: Podemos preparar, também, umas das primeiras telas
que você (apontando para o Ronaldo), nos mostrou sobre a
soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer, e
comentar o significado de ângulos suplementares.
DB p.6
Para tanto, construímos um arquivo no qual poderíamos associar os
valores do ciclo trigonométrico, relacionando o ângulo com radianos e verificar
o porquê, no segundo quadrante, o seno é positivo, mas as funções são
decrescentes com a função y = sen x, e y= cos x. Para o desenvolvimento das
aulas, fizemos um novo questionário dando mais ênfase para o cosseno.
89
Fazendo uso da tecnologia para proporcionar uma forma exploratória e
reflexiva em ambientes computacionais, nós, do grupo de estudos, estávamos
nos apropriando desta nova cultura e utilizando-a de forma plena e consciente
de modo a explorar, representar e construir conceitos matemáticos,
proporcionando aos alunos novas formas de obter o conhecimento, Miskulin
(1999),
Exploramos o arquivo (Figura 12), que relaciona o valor do máximo e do
mínimo das funções seno e cosseno, em que é possível visualizar em qual
quadrante estas funções são crescentes e decrescentes, os pontos em que o
seno e cosseno são iguais, as unidades de medida de ângulo em grau e
radiano, e a necessidade de atribuir valores reais no domínio da função. A
construção deste arquivo se encontra no Apêndice XI.
Figura 12: Crescimento e Decrescimento das Funções Seno e Cosseno
Fonte; Acervo Próprio.
.
6º Encontro
Neste encontro, discutimos a dissertação de Lobo da Costa (1997, p. 24-26), sobre a passagem da trigonometria do triângulo retângulo para o ciclo
trigonométrico a partir da história, utilizando as ideias discutidas por Euler
(1707-1783) que definem funções aplicadas a um número e não mais a um
ângulo, fazendo a transição das razões trigonométricas para as funções
90
periódicas, envolvendo o ciclo trigonométrico como se fosse um fio
inextensível, a reta imaginada como um carretel. Este texto se encontra na
integra no Anexo V.
A função de Euler E: R
C1, que possibilita encontrar sen x
e cos x, como função de uma variável real x, abriu para a
trigonometria as portas da Análise Matemática e de inúmeras
aplicações às Ciências Físicas‖. Lobo da Costa (1997, p. 26).
Discutimos, ainda, as atividades que relacionavam o crescimento e
decrescimento do cosseno e constatamos que havíamos sanado as dúvidas
referentes ao mau desempenho apresentado no questionário IV.
Para desenvolver as atividades referentes às ideias de Euler, criamos
uma tela onde relacionávamos ora o seno, ora o cosseno, ora os dois.
Fazendo a transição do seno e cosseno do círculo trigonométrico para a
função de R em R.
Teixeira: Com o passar das aulas, vou me aperfeiçoando com
o uso do software e pelo jeito, todas as telas são bem
parecidas, muda somente um detalhe ou outro. Com uma
melhor familiarização do software, vamos aprendendo a
construir as telas.
DB. p 7.
Observamos que o prof. Teixeira, através de seus relatos, tem aprendido
e construído conhecimentos ao longo dos encontros.
Nesta oportunidade, vivenciamos que o desenvolvimento profissional é
um processo que se concretiza ao longo de períodos alicerçados no tempo de
discussão e troca de experiências entre os participantes do grupo de estudos.
Este procedimento é um fator relevante de motivação para continuarmos os
estudos e a reflexão. Saraiva e Ponte (2003)
Assim, ficou decidido que, durante a semana, trabalharíamos com os
alunos o ciclo trigonométrico, os valores do seno e cosseno, fazendo a
transição das razões trigonométricas para as funções periódicas envolvendo o
ciclo trigonométrico.
91
Figura 13: Comparação Entre as Relações Seno e Cosseno de um Ângulo no
Ciclo Trigonométrico
Fonte: Acervo Próprio.
7º Encontro
Neste sétimo encontro, o conteúdo matemático em discussão foi o
deslocamento vertical da função f(x)= a + sen(x) e g(x)= a + cos (x),
discutindo as implicações do parâmetro ―a‖. Nesta ocasião, comentamos
sobre a satisfação de estarmos tendo aulas mais produtivas, como ilustra o
trecho de diálogo abaixo:
Teixeira: Em outros anos, quando não conhecia o software,
tinha muita dificuldade em mostrar para o aluno o porquê de
quando o valor do seno aumenta, o cosseno diminui, usando
as coordenadas do ciclo trigonométrico.
João: Eu até que demonstrava a relação fundamental da
trigonometria, percebia que os alunos aceitavam, mas poucos
entendiam.
Ronaldo: Explicar o ciclo trigonométrico usando o software e a
tela que desenvolvemos na última reunião, torna a aula muito
mais produtiva.
DB p.7
O professor Teixeira comentou que propôs uma atividade para verificar
se
era
o
momento
adequado
para
aprofundar
no
assunto
‖ciclo
trigonométrico‖ e começar a definir a função. Acrescentou que estava
92
bastante satisfeito com o rendimento dos alunos, fato também constatado
pelos outros integrantes do grupo.
Discutimos, também, trechos da dissertação de Quintaneiro (2010, p. 814), os quais indicam a existência de duas necessidades de se usar o raio
como unidade de medida. Na primeira delas, ele enfatiza que ao demonstrar o
limite fundamental
=1, devemos trabalhar com a unidade em
radiano.
Ao comentar esta passagem, o professor Teixeira comentou:
Na época da faculdade, eu sabia e usava este limite
fundamental, mas não tinha nem ideia desta demonstração.
Agora vejo claramente porquê é fundamental, movimentando
o ponto ‖P‖, na tela do computador, usando a figura 11,
quando o valor de ―x‖, em radiano tende para zero, o valor do
= 1.
D.B. p.8.
Na segunda etapa, o autor justifica que usando o raio como unidade de
medida, podemos relacionar o valor do seno com o valor do arco tanto na
medida angular, como linear. (este texto se encontra na integra no Anexo VI).
Vale ressaltar que o grupo voltou a discutir o trecho da dissertação de
Goios (2010), especialmente quanto à definição das funções seno e cosseno
com domínio real. Foi discutida, também, a questão de abordar em sala de
aula graus e radianos. Na conclusão de seu estudo,, o autor enfatiza:
Quanto aos valores dos ângulos devemos trabalhar em graus
e radianos de maneira a levar os alunos a construir o conceito
de ângulo com das duas formas. É aceitável que os alunos
prefiram trabalhar com as medidas dos ângulos em graus já
que esta é bem mais familiar para ele, pois além dele já
conhecer previamente os ângulos medidos em graus estes
utilizam quase sempre números inteiros para representá-los,
não aparecendo os números racionais em forma de fração ou
decimais e irracionais como na medidas em radianos, mas as
aplicações das funções trigonométricas nos dias atuais são
de grande importância e não podemos ignorar as medidas em
radianos, mas sim ajudar os alunos a sua compreensão (p.
125)
93
O professor João informou que desenvolveu o ciclo trigonométrico
relacionando os valores dos ângulos em grau e em radiano, diminuindo os
obstáculos informados por Goios, mas mesmo assim, os alunos preferem
usar a unidade em grau e que esta mudança demora a acontecer.
Na sequência, discutimos a função seno, y = a + sen (x), e o
deslocamento vertical, Fizemos esta discussão com a seguinte tela:
Figura 14: Deslocamento Vertical das Funções Seno e Cosseno
Fonte: Acervo Próprio
Com este aplicativo, é possível visualizar o deslocamento vertical. O
software permite visualizar o movimento das funções, fazer a comparação
onde as funções são iguais e verificar o porquê são iguais. Com o software, a
representação gráfica se torna mais perceptível, sendo possível mostrar
várias funções ao mesmo tempo.
Nesta reunião, vivenciamos o Conhecimento do Conteúdo, segundo
Shulman (1986), quando afirma que o professor leciona no momento em que
apropria-se
do
conhecimento
específico
da
disciplina,
incluindo
as
compreensões, conceitos e procedimentos, entre outros fatores relacionados
com o conteúdo, fazendo, assim, um elo com o uso da TIC.
94
8º Encontro
Neste oitavo encontro, o conteúdo matemático discutido foi a variação
vertical e a amplitude da função seno e função cosseno. Construímos um
aplicativo (figura 13) que pudesse visualizar, ao mesmo tempo, a variação da
amplitude, assim como também o deslocamento vertical das funções
f(x)=a+bsen(x) e g(x)=a+bcos(x).
Figura 15: Amplitude das Funções Seno e Cosseno
Fonte: Acervo Próprio
A passagem do ciclo trigonométrico para as funções nem sempre é vista
de modo elementar pelos alunos. Acreditamos, também, que a aprendizagem
não é construída de maneira linear, é um processo de idas e vindas. Então,
apresentei novamente a dissertação de Oliveira (2010, p. 96--98), onde a
autora desenvolveu uma atividade ―trigonometria nos canudos‖. Esta atividade
trabalha com material concreto, sendo possível visualizar as razões
trigonométricas, fazendo uma ligação entre o ciclo trigonométrico e as
funções. Decidimos, assim, que iríamos construir as funções seno e cosseno
de
forma
artística,
usando
materiais
manipuláveis
e
imaginação.
Pretendíamos abordar, de uma outra maneira, que existem ângulos diferentes
com o mesmo valor para o seno, portanto a medida do ―canudo‖ teria que ser
a mesma. Assim, durante a semana, desenvolveríamos, em sala de aula, a
―Trigonometria com Criatividade‖.
95
Vivenciamos, neste encontro, as ideias de Schön (2000), que afirma
existir uma enorme distância entre o conhecimento científico
e o
conhecimento prático entre os educadores, e que não basta simplesmente o
professor ter o conhecimento técnico, é necessário que ele busque
habilidades para resolver os conflitos que aparecem no decorrer da prática
docente. Confirmamos este fato na fala abaixo, do prof. Teixeira.
Teixeira:
...em outras épocas, quando eu não conhecia o Geogebra,
para eu conseguir explicar para os alunos a variação do
deslocamento vertical e amplitude, usava mais da metade da
aula só para desenhar os gráficos. Agora com este aplicativo,
acredito estar conseguindo atingir muito mais alunos. Na
última atividade que apliquei, apenas duas alunas não
conseguiram realizar as tarefas, sendo que uma delas ―vive
no mundo da lua‖ e a outra faltou nas últimas aulas por motivo
de saúde...
DB, p. 8.
Neste
depoimento,
podemos
vivenciar,
ainda,
o
Conhecimento
Pedagógico do Conteúdo segundo Shulman (1986), quando afirma que o
conhecimento do professor vai além da disciplina para o ensino, evidenciando
uma forma particular dentro de uma categoria de conhecimento pedagógico
que inclui, para os tópicos mais regularmente ensinados em sua área de
ensino, várias estratégias de representação das ideias, incluindo ilustrações,
exemplos, demonstrações de diferentes formas de representar e formular o
assunto, tornando-as compreensíveis para os outros.
9º Encontro
Neste encontro, o conteúdo matemático desenvolvido foi a variação do
período das funções seno e cosseno. Fizemos a construção da função f(x) = a
+ b seno (c x ) e g(x) = a+ b cos(c x).
Verificamos as atividades ―Trigonometria com Criatividade‖ desenvolvida
pelos alunos, e ficamos muito satisfeitos com o resultado, uma vez que,
segundo o relato dos professores, foram desenvolvidas com interesse,
criatividade e capricho. Neste momento, surgiram os seguintes comentários:
96
Ronaldo: Meus alunos começaram a realizar as atividades na
sala, mas não deu tempo para terminarem e alguns deles
terminaram em casa.
Teixeira: Os meus alunos ultrapassaram minha expectativa,
tanto pelo envolvimento deles nas atividades, quanto nos
trabalhos produzidos. Como minhas aulas foram dobradas28
todos conseguiram concluir as atividades.
João: Com uma dinâmica de aula diferente, os alunos
participaram de forma mais efetiva da aula, nem eu imaginava
uma atividade ‖legal‖ como esta.
DB p. 9
Figura 16: Atividades dos Alunos
Fonte: Acervo Próprio
Nesta conversa, podemos perceber o que Ghedin (2005), chama de
pensamento reflexivo como sendo o precursor da capacidade de construir
uma consciência crítica, ao mesmo tempo em que amplia os conhecimentos.
Em seguida, fizemos a construção das funções, f(x)= a + b sen(c x +d) e
verificamos a variação dos parâmetros, a, b, c e d.
No momento em que verificamos as atividades dos alunos e a maneira
como estes as desenvolveram, vivenciamos as afirmações de Shulman
(1986), quando enfatiza que o Conhecimento Pedagógico do Conteúdo vai
além do conhecimento disciplinar para o ensino.
Buscamos outras estratégias de representação, tais como ilustrações,
apresentação de exemplos, demonstrações de diferentes formas de
representar e formular o assunto, tornando-o compreensível para os alunos.
97
Figura 17: Variação do Período das Funções Seno e Cosseno
Fonte: Acervo Próprio
Este último arquivo permite verificar, de forma dinâmica, a interferência
dos parâmetros a, b, c, e d nos gráficos das funções: f(x)= a + b sen (c x +d) .
Para a verificação, basta movimentar o cursor no parâmetro desejado,
podendo ser feito um a um ou combinações entre eles.
10º Encontro
Neste encontro, o conteúdo matemático estudado foi o deslocamento
horizontal das funções seno e cosseno, usando as relações: f(x) =a +b
sen(cx+d) e g(x) = a+ b cos (c x + d).
Aproveitamos a construção do arquivo anterior e introduzimos a variável
―d‖. Após manusearmos tal arquivo, destacamos os comentários:
João: No ensino de função do segundo grau, é difícil perceber
e ensinar que o parâmetro positivo desloca a função para o
quadrante negativo, (fazendo uma referência na lousa y= (x +
u)2. O parâmetro u é sinal contrário de x. Nos anos anteriores,
eu jamais chegava a comentar esta parte da função com a
visualização. Neste aplicativo, eu consigo visualizar que se ―d‖
for igual a /2, ou múltiplo de /2, a função seno coincide com
a função cosseno e vice- versa.
Teixeira: Agora vejo com mais clareza que sen (x) = cos (
x)
(fazendo um rascunho de um triângulo retângulo).
DB p. 11.
Neste dialogo, constatamos que ocorreu aprendizagem do docente em
concordância com os pesquisadores Christiansen e Walther (1986), quando
98
afirmam que o desenvolvimento e a aprendizagem do professor ocorrem
quando ele realiza atividades que não realizava antes, envolvendo sempre
uma nova aprendizagem. Considerando o depoimento do professor,
verificamos que a mudança ocorreu efetivamente.
Figura 18: Deslocamento Horizontal das Funções Seno e Cosseno
Fonte: Acervo Próprio
11º Encontro
Neste encontro, o conteúdo matemático desenvolvido foi uma aplicação
da função periódica em uma aplicação prática.
Iniciamos a reunião com o questionamento:
Pesquisador: Vocês sabem por que uma moto CG é dita como
sendo de 125 cilindradas?
João: Tem a ver com a potência da moto, a 250 é mais potente,
mas não sei o significado deste valor.
Pesquisador: 125 cilindradas significa dizer que a câmara de
combustão do motor possui aproximadamente 125cm3.
Teixeira: Como assim?
D.B. p. 12
Apresentei ao grupo um texto (encontrado na integra no Anexo VII),
disponibilizado pelo Portal São Francisco28, e no Portal ―Brasil Escola29‖ o
28
Portal São Francisco, é uma pagina disponibilizada na internet, que tem por objetivo
subsidiar a pesquisa escolar para estudantes e professores, com conteúdos relacionado com
os mais variados ramos do conhecimento, instituído pelo Colégio São Francisco em 1999.
http://www.portalsaofrancisco.com.br/alfa/motor-a-explosao/motor-a-explosao.php
29
(http://www.brasilescola.com/matematica/cilindradas-um-motor-combustao.htm, acesso em
10 maio 2011)
99
qual esclarece o funcionamento básico do motor de um cilindro. De imediato,
mostrei o exemplo:
O motor de uma moto é considerado monocilíndrico (um
cilindro). Determine a cilindrada do motor de uma moto com
as seguintes especificações: Diâmetro do cilindro: 56,5 mm
Curso do pistão: 49,5 mm:
Brasil Escola
Após a resolução deste exemplo, obtivemos como resultado um valor
aproximado de 124 cm3 que o fabricante da motocicleta arredonda para 125
cilindradas. Em seguida, mostrei ao grupo uma tela previamente preparada
por mim, (figura XVII), que relaciona o ciclo trigonométrico com o movimento
do pistão. Durante a discussão, destacamos o diálogo:
Pesquisador: podemos associar o movimento de ―vai e vem‖ do
pistão com o ciclo trigonométrico, (mostrado a animação na
tela do data show) e o deslocamento, ―a vida‖ do motor, à
função seno ou cosseno, como se fosse o fio inextensível se
deslocando ao eixo real que seria a estrada, o que vocês
acham?
João: ´Legal´, e podemos falar de vários outros conceitos. (se
referindo ao volume, fórmula para calcular a cilindrada,
deslocamento vertical para fixar o pistão)
D.B. p. 12
Nesta ocasião, nossas reflexões foram ao encontro das ideias de
Shulman (1986), a partir do momento em que constatamos a presença do
Conhecimento Pedagógico do Conteúdo e o Conhecimento Pedagógico
Geral, pois ao discutirmos o movimento do pistão, estamos associando o
conteúdo matemático a uma aplicação prática e usando mecanismos
necessários para ensinar e aprender, valorizando o conhecimento prévio do
aluno, uma vez que estes sabiam que o motor funciona, mas desconheciam a
relevância desta aplicação da função periódica no funcionamento do pistão.
100
Figura 19: Fotografia do Movimento de um Pistão
Fonte: youtube http://www.youtube.com/watch?v=IuEn-Aimc0M
Figura 20: Funções Seno e Cosseno com o Motor de um Cilindro
Fonte: Acervo Próprio
12º Encontro
Neste encontro, o conteúdo matemático discutido foi uma aplicação
prática para funções periódicas.
Durante a semana, percebemos o entusiasmo dos alunos com o
princípio de funcionamento do motor da motocicleta, e em conversas
informais entre os professores do grupo de estudos, resolvemos que
deveríamos nos aprofundar mais na discussão sobre o funcionamento de um
motor, agora canalizando a discussão para um motor de automóvel de 4
101
cilindros, ou seja
de 4 pistões. Para introduzir o assunto em questão,
assistimos a um vídeo disponibilizado no youtube30, que mostra a montagem
e o funcionamento de um motor de automóvel. Em seguida, discutimos sua
aplicação em sala de aula e o movimento dos pistões modelados por um
ponto ―P‖ que se move obedecendo as coordenadas (cos(P), seno(P)), no
software Geogebra. O texto que se refere ao funcionamento de um motor com
quatro pistões encontra-se, na íntegra, no Anexo VIII.
Vivenciamos, nesta discussão, as três categorias do conhecimento
desenvolvidas
por
Shulman
(1986):
Conhecimento
do
Conteúdo,
Conhecimento Pedagógico do Conteúdo e Conhecimento pedagógico geral. E
podemos
constatar
que
estas
três
categorias
se
desenvolvem
simultaneamente. Vivenciamos, também, que um grupo de estudos
proporciona bases sólidas para que o professor possa enfrentar, com mais
confiança e criatividade, sua jornada na sala de aula.
Figura 21: Relação das Funções Seno e Cosseno com o Motor de Quatro Cilindros
Fonte: Acervo Próprio
30
Youtube sistema de vídeos interativos: http://www.youtube.com/watch?v=QPhJKSVI1lI
102
Figura 22: Fotografia Motor 4 Cilindros
Fonte: http://www.youtube.com/watch?v=QPhJKSVI1lI
13º Encontro
Nesta reunião, o conteúdo matemático desenvolvido foi a aplicação das
funções periódicas no movimento de uma mola.
Iniciamos discutindo o seguinte problema31:
Uma pequena bola é presa a uma mola perfeitamente elástica
apoiada em uma superfície horizontal lisa. Com a mola em seu
comprimento normal, a bolinha fica em equilíbrio, parada.
Afastando-se a bolinha 10 cm da posição de equilíbrio, a mola
fica esticada. Abandonando-se, então, ela passa a oscilar em
torno da posição inicial, realizando um movimento de vai e
vem. É possível mostrar que o afastamento x da bolinha em
relação à posição de equilíbrio é uma função periódica do
tempo t e pode ser expressa pela fórmula x= 10.cos (k t), com x
em centímetros e t em segundos. Notando que a bolinha
retorna a posição em que foi abandonada (x=10 cm) a cada 4
segundos. a) Determine o valor de k; b) Calcule o valor de x
para t=1s, t=2s, t=3s e t=10/3 s; c) visualize do gráfico de x
como função de t; d) Construa o gráfico.
Este problema foi apresentado pelo professor João, pois em conversas
informais na escola, já havíamos feito uma prévia sobre esta reunião e
resolvemos
31
que
discutiríamos
este
problema,
que
também
está
Proposto no Caderno do Aluno do 3º ano do Ensino Médio (SEESP, 2010, volume 3, p. 6)
103
disponibilizado no Portal RIVED32, o qual inclui um roteiro com orientações
para a aplicação pelo professor. Tal atividade relaciona as funções seno e
cosseno com o movimento periódico de uma mola.
Figura 23: Atividade I Trigonometria com Molas
Fonte: http://rived.mec.gov.br/atividades/matematica/trigonometria_molas/mat1_ativs1.swf
Após a leitura do problema, o professor Teixeira comentou:
...este problema é o mesmo proposto pelo RIVED. Como não
teremos computadores para todos os alunos, vamos fazer
uma discussão em sala de aula e depois construir a
animação da mola no applet.
DB. p.12
Sugestão aceita por todos, discutimos o ―Roteiro da Mola‖ que é
disponibilizado em duas atividades. Na primeira atividade33 é apresentado o
desenho de uma bola presa na extremidade de uma mola, ao lado de um
sistema de eixos cartesianos, a primeira indicação é que o aluno aperte a
tecla ―play”, onde há a animação. A partir do movimento, é construída uma
função relacionando o deslocamento da bola com o tempo, (Figura 21). No
roteio de atividade o applet traz:
Opções - disponibiliza uma calculadora adaptada onde é
possível ver os valores do seno, o esboço do gráfico da
32
http://rived.mec.gov.br/atividades/matematica/trigonometria_molas/mat1_ativs1.swf .
(Acesso em 12 maio 2011)
33
http://rived.mec.gov.br/atividades/matematica/trigonometria_molas/mat1_ativs1.swf
104
função seno e uma tabela trigonométrica com os valores do
seno e cosseno no primeiro quadrante.
Teoria - faz um resumo do significado do Movimento
Harmônico Simples, envolvendo as funções x= A cos (wt+a) e
x= A sen(wt+a) fazendo também a definição de período,
frequência, elongação, amplitude, pulsação, fase e fase
inicial.
Questões - sugere que o aluno faça uma explicação sobre a
relação do movimento da mola com o gráfico. Para esta
explicação é sugerido que ele saiba o que é período,
frequência e amplitude.
João: Eu não conhecia este aplicativo. Concordo, em parte, com
esta dissertação - referindo-se a Goios (2010. p. 22) ―o guia
parece levar o professor a “reproduzir” a atividade do mesmo
modo que fazia com o livro Didático”. Mas como
acompanhamos o Caderno do Aluno, este aplicativo é uma
maneira interessante de explorar o período e a amplitude das
funções seno e cosseno.
Teixeira: Apesar de não ter domínio em modificar esta atividade,
acredito, também, que seguir o roteiro é um bom caminho
para o seu desenvolvimento, além de que os aluno já sabem
o que é período e amplitude. Quem conseguir entender o
exercício acompanhando o Caderno do Aluno, irá reforçar
ainda mais o conceito com a animação do applet.
Ronaldo: Também concordo em parte com o julgamento feito
por Goios, apesar do roteiro vir engessado, podemos
visualizar uma aplicação do MHS.
DB. p. 13.
Este aplicativo também foi estudado por Goios (2010) cuja dissertação
foi, em parte, estudada pelo grupo.
Na segunda atividade, o applet (Figura 22) apresenta uma tela similar à
anterior, agora com duas molas. Ao clicar o botão ‖play‖ é possível visualizar,
simultaneamente ou não, dois gráficos da função seno com amplitudes
diferentes. No roteiro de questões (os outros são idênticos), o aplicativo
sugere que seja explorado o significado de amplitude e frequência.
105
Figura 24: Atividade II Trigonometria com Molas
Fonte: http://rived.mec.gov.br/atividades/matematica/trigonometria_molas/mat1_ativs1.swf
Acreditamos que, neste encontro, pudemos vivenciar a formação do
professor como educador em direção a seu desenvolvimento profissional,
uma vez que, segundo Ponte (1995), não basta ao professor ter um
conhecimento puramente técnico, oriundo da prática e da reflexão, é
indispensável, também, que este profissional possua domínios e habilidades
com a TIC, uma ferramenta cada vez mais presente no ensino, principalmente
nos conteúdos matemáticos. Os professores, ao conhecer e dominar estas
novas tecnologias, mudam o seu ambiente de trabalho e o modo como se
relacionam com outros profissionais. É importante que estes saibam usar, em
sua prática, as TICs. A inclusão do uso destas tecnologias permite uma
perspectiva inovadora para o ensino da matemática, reforçando os conceitos
e as interpretações gráficas, as novas formas de representação. Deste modo,
as TIC podem favorecer o desenvolvimento dos alunos em importantes
competências, bem como atitudes mais positivas em relação à matemática,
estimulando uma visão mais completa sobre a natureza desta ciência.
106
14º Encontro
Neste encontro, consultamos o site ―TIC no Processo de Ensino e
Aprendizagem de Matemática‖34. Verificamos que havia 19 applets, alguns
muito parecidos com os que desenvolvemos em nossas reuniões. Decidimos,
então, aplicar atividades em nossas turmas com o auxilio da apostila 35.
Selecionamos, deste material, cinco atividades propostas pelo portal
―Estudando Trigonometria com applets desenvolvidos no software Geogebra‖
para aplicarmos em nossos alunos. ( as atividades se encontram no Anexo
IX). No site ―Portal do Professor‖,
verificamos que, além de atividades
disponibilizadas para o ensino e aprendizagem de Matemática, há muitos
trabalhos relacionados a outras disciplinas.
Entre as atividades disponibilizadas para consulta, havia 89 discutindo
trigonometria nos mais diferentes níveis. Entre estas, escolhemos o applet,
figura 23, que apresenta a animação da função g(x) = d + a sen (b x + c),, por
se tratar de um estudo da função
seno e cosseno mais próxima das
atividades que estávamos desenvolvendo com nossas turmas.
Figura 25: Definição da função seno
Fonte: http://www.es.iff.edu.br/softmat/projetotic/trigonometria_dinamica/DefinicaoSeno.html
34
: http://www.es.iff.edu.br/softmat/projetotic/trigonometria_dinamica/DefinicaoSeno.html
Desenvolvida por: Larissa de Sousa Moreira e Cíntia da Silva Gomes, e orientada por:
Gilmara Teixeira Barcelos e Silvia Cristina Freitas Batista, disponível em:
http://www.es.iff.edu.br/softmat/projetotic/trigonometria_dinamica/2Apresentacao.html:
35
107
Finalizando o encontro, foi realizada a entrevista coletiva (na íntegra, no
Apêndice VI).
A análise da entrevista revelou que foi fundamental para o engajamento
dos professores e para provocar reflexões sobre o conteúdo didático,
construir materiais tanto no contexto computacional, como fora dele, usando
as experiências anteriores dos professores, como já fora constatado na
pesquisa de Lobo da Costa, 2004.
Uma evidencia para esta afirmação vem das respostas dadas pelos
professores João, Teixeira e Ronaldo ao longo da entrevista coletiva:
Pesquisador: Quais os saberes mobilizados, por você, ao
elaborar a aula de trigonometria a ser aplicada num ambiente
informatizado?
João: Passei a utilizar o software, e com isso a preparar as
aulas não mais da forma tradicional e sim com o software.
Teixeira: Os conhecimentos sobre trigonometria foram
ampliados. Discutimos e demonstramos sua aplicação no
software.
Ronaldo: Fui motivado a mudar minha prática em sala de aula,
dando menos conteúdos e discutindo mais com os alunos.
Pesquisador: Você considera que essas atividades provocaram
reflexões sobre a sua prática?
João: Eu passei a ver a trigonometria com outros olhos e a
explicar de outra maneira, mostrando, de forma mais prática,
este tópico.
Teixeira: Sim, minhas aulas ficaram mais leves e divertidas
Ronaldo: Sim, pois uma situação é desenhar a função seno ou
cosseno, outra situação é ter condições de discutir as
propriedades destas funções.
Entrevista: Julho 2011.
Acreditamos que este trecho de entrevista vem ao encontro do trabalho
que Fiorentini (2004), desenvolve no GdS em que os professores escolares36
também produzem conhecimentos a partir dos desafios de sua prática. O
professor, na perspectiva de desenvolvimento profissional, constitui-se em um
agente reflexivo de sua prática pedagógica, passando a buscar, de forma
autônoma ou colaborativamente, subsídios teóricos e práticos que o ajudem
ajudem a compreender e a enfrentar os problemas e desafios de seu trabalho
escolar.
36
Fiorentini designa com o termo ―professores escolares‖ aqueles que lecionam e
estão na ativa na Educação Básica.
108
CAPITULO 5
CONCLUSÕES E
CONSIDERAÇÕES FINAIS
109
5. CONCLUSÕES E CONSIDERAÇÕES FINAIS
Nesta pesquisa, o foco esteve no desenvolvimento profissional docente
de um grupo de estudos formado por professores de Matemática que
investigaram o uso da tecnologia no ensino de funções trigonométricas.
A questão orientadora da pesquisa foi a seguinte:
Quais os fatores relevantes para impulsionar o desenvolvimento profissional
docente que emergem em um grupo de estudos de professores de matemática ao
investigarem o uso de tecnologia no ensino de funções trigonométricas?
A análise criteriosa dos encontros do grupo e dos dados coletados nos
permitiu concluir que os fatores relevantes para o desenvolvimento
profissional docente podem ser agrupados da seguinte forma:
1) Características ligadas ao próprio grupo, 2) Características ligadas ao
conhecimento matemático do conteúdo, 3) Participação colaborativa, 4)
Conhecimento pedagógico do conteúdo, 5) Conhecimento tecnológico do
conteúdo.
O quadro abaixo sintetiza os grupos de fatores emergentes no Grupo
de Estudos.
Quadro 9: Características Emergentes para o Desenvolvimento Profissional Docente
Características
Específicas do Grupo
Conhecimento
Tecnológico do
Conteúdo
Fatores
emergentes
Conhecimento do
Conteúdo
Matemático
Conhecimento
Pedagógico do
Conteúdo
Participação
Colaborativa
Na sequência, discutimos cada um desses grupos de características.
110
5.1 Fatores Referentes às Características Específicas do Grupo
O
desenvolvimento
deste
grupo
se
deu
pelo
engajamento
e
compromisso em participar de uma pesquisa para ensinar e aprender as
funções trigonométricas usando um software educativo, pelo desafio frente ao
novo, embasado na confiança mútua que havia no corpo docente escolar,
interessados em buscar alternativas para desenvolver atividades que fossem
possíveis aplicar em um ambiente escolar.
Todos os professores do grupo já trabalhavam na escola há pelo menos
5 anos, e neste local de trabalho predominava o companheirismo e a
harmonia. Mesmo antes do início da pesquisa, esporadicamente, estes
professores trocavam suas turmas, com a anuência do coordenador
pedagógico, tendo por objetivo desenvolver o conteúdo com metodologias
diferentes para motivar os alunos e impulsionar a aprendizagem. Com a
formação do grupo, os laços de amizade se fortaleceram, reforçando ainda
mais as características de um trabalho colaborativo (apontado no capítulo 2-p.
34), aumentando a confiança entre os pares. A participação no grupo foi
voluntária, o que facilitou a troca de experiências. Vale a pena ressaltar que,
além do ambiente favorável, contávamos, também, com o fato do autor desta
pesquisa fazer parte do corpo docente, o que favoreceu o envolvimento e o
compromisso do grupo, além de facilitar o diálogo.
5.2 Fatores Referentes ao Conhecimento do Conteúdo Matemático
Ao longo dos encontros, observamos que o grupo de estudos foi se
aperfeiçoando e os conhecimentos referentes ao conteúdo matemático foram
sendo (re) construídos.
Destacamos que, antes da pesquisa, medir o arco em graus ou em
radianos era indiferente. Contudo, no terceiro e quarto encontros, após a
leitura e estudo dos textos de Quintaneiro (2010) e Goios (2010) e após as
explorações realizadas com o software, foi possível a (re)conceituação de
conceitos, como o de radiano, e também foi possível perceber que a unidade
radiano confere ao arco o status de um número real.
O conteúdo ―funções seno e cosseno‖ foi escolhido pelos docentes
111
integrantes do grupo por haver interesse em estudar, discutir e desenvolver
metodologias diferenciadas em relação a este assunto, por se tratar de um
conteúdo presente no currículo da 2º série do Ensino Médio na qual tais
professores ministram aulas.
A pesquisa confirmou que, ao estudarem em conjunto e discutirem os
conteúdos, os professores passaram a conhecer novas maneiras de abordar
este assunto. Isso fez com que eles oferecessem atividades diferenciadas na
tentativa de levar os alunos a atribuírem significado aos conceitos.
Ao longo dos encontros, pudemos observar, por meio das discussões e
gravações de conversas, que o grupo de estudo foi se aperfeiçoando e os
conhecimentos referentes ao conteúdo matemático foram se desenvolvendo.
5.3 Fatores ligados à Participação Colaborativa
Partindo
do
pressuposto
de
que
os
professores
produzem
conhecimentos ao longo da carreira, sempre iniciávamos os encontros
perguntando-lhes:
―Como você iniciaria este assunto?”
“O que você acha se...”
Assim, no decorrer dos encontros, a prática e os saberes profissionais
dos professores foram fundamentais para desencadear as discussões e levar
os professores a uma participação efetiva e colaborativa, em especial quando
aplicavam atividades aos alunos e traziam suas impressões e apreciações
para serem objetos de discussão do grupo.
A partir do momento em que o profissional acredita que pode contribuir
para a formação do aluno, motiva-se, valoriza-se, reflete sobre sua prática
frente aos desafios pertinentes a essa tarefa e percebe que seu
desenvolvimento profissional é imprescindível para que tal evento ocorra com
sucesso, uma vez que viabiliza a análise e a reflexão sobre um determinado
assunto. Citamos como exemplo, a discussão, ocorrida no terceiro encontro,
sobre como explicar aos alunos o porquê do ciclo trigonométrico ter raio igual
a 1.
Enfatizamos que o grupo de estudo, além de facilitar o acesso às
tecnologias, faz o professor ver que seu papel deve ser dinâmico, sendo ele
112
próprio, o principal protagonista , uma vez que exerce a figura de mediador e
facilitador da construção do conhecimento. Entretanto, para que isso ocorra,
ele deve inteirar-se das possibilidades que a tecnologia oferece e ter acesso
aos recursos de multimídia quebrando, consequentemente, o paradigma de
que a tecnologia não faz parte do cotidiano escolar.
5.4 Fatores ligados ao Conhecimento Pedagógico do Conteúdo
A partir dos encontros do grupo, notamos um movimento no sentido de
integrar novos recursos didáticos e metodológicos à pratica de ensino de
trigonometria no Ensino Médio. O conhecimento pedagógico do grupo sobre
o conteúdo favoreceu as discussões, viabilizou a análise e reflexão sobre o
ensino de funções trigonométricas, temática para a qual desenvolvemos
metodologias diferenciadas para o ensino do assunto citado.
O grupo abriu espaço para a exposição da criatividade e dos talentos
dos participantes. Estes se sentiram acreditados e motivados para o trabalho
de pesquisa e aperfeiçoamento. Como indício deste fato, temos a postura do
professor Teixeira que, após os primeiros encontros, sentiu-se encorajado a
buscar novos recursos fora do ambiente de trabalho e do campo desta
pesquisa, frequentando o curso ―Matemática: Sua Geração e Difusão ao
Longo da História‖ patrocinada pela Uniban Brasil, ministrado pelo Prof. Dr.
Ubiratan D´Ambrósio. Já o professor João, matriculou-se em uma
especialização na Faculdade Osvaldo Cruz, cursando ―Gestão Integrada a
Educação‖ com término em dezembro 2011. O professor Ronaldo buscou
apoio, fazendo um elo entre a Escola Básica e a Universidade, trazendo para
a escola algumas novidades tecnológicas dentro das discussões, assim como
vivenciando a prática de grupos colaborativos sendo atuante no GdS Unicamp, com a coordenação de Fiorentini, vindo ao encontro de trabalhos de
pesquisadores como, por exemplo, Lobo da Costa (2010).
Se antes o importante era ―aprender para trabalhar‖, hoje é o
―aprender a aprender sempre‖, porque os conhecimentos
aprendidos anteriormente nem sempre conseguem dar conta
das novas situações sociais. Assim, é preciso uma
aprendizagem permanente. (p.88)
113
5.5 Fatores relacionados ao Conhecimento Tecnológico do Conteúdo
Com a utilização dos recursos da Informática e no decorrer dos
encontros, o grupo teve uma oportunidade para:
1. Conhecer e aprender a usar software educativo;
2. Conhecer outras pesquisas que se desenvolveram usando software
educativo;
3. Conhecer e utilizar materiais disponíveis na Internet.
Sendo assim, os estudos do grupo não se limitaram a manusear o
software Geogebra, mas também a analisarem outras pesquisas, conhecerem
materiais que estão disponibilizados na internet, referentes ao uso de
softwares educacionais voltados para a aplicação na sala de aula, o que
construiu conhecimentos tecnológicos do conteúdo de trigonometria.
Houve a preocupação em associar esta tecnologia à experiência e ao
saber do professor. Todos os participantes já haviam trabalhado com as
razões seno e cosseno, porém não conheciam a mesma aplicação
desenvolvida no software. Isso fez com que os professores desenvolvessem
uma postura mais crítica em relação ao que é possível fazer com o apoio do
software.
Construir atividades no computador, oportunizaram aos professores e
aos alunos vivenciarem uma nova maneira de aprender um conteúdo,
diferente da maneira tradicional, e dar a ambas as partes a liberdade de
exercer livremente a imaginação e a criatividade, o que pode ser considerado
um passo fundamental na direção de institucionalizar o uso da tecnologia no
cotidiano didático, favorecendo o domínio sobre as ferramentas tecnológicas.
O quadro abaixo resume os conteúdos matemáticos estudados pelo
grupo com o software Geogebra e, em cada encontro, o que surgiu de novo
no entendimento do Grupo:
Quadro 10: Resumo dos Conteúdos Abordados e a Relação com o Software
Conteúdo Matemático
Software Geogebra
Número 
O software acrescenta novas possibilidades para a
exploração da relação entre o comprimento da
circunferência e seu diâmetro. Isto é, com o uso do
software é possível visualizar com dinamismo o valor do
114
número . Vale ressaltar que, além dos materiais
manipulativos, como por exemplo, barbante e objetos
circulares, usados anteriormente pelos professores, é
possível explorar o número também com o software.
Relação entre as
unidades de grau e
radiano
Com o auxilio e dinamismo de software, é possível
visualizar que o radiano representa um arco de forma
linear, envolvendo o ciclo trigonométrico como se fosse
um fio inextensível, a reta imaginada como um carretel.
(c.f. Euler)
Triângulo Retângulo
Com o uso do software, é possível construir com
precisão os triângulos, podendo-se conferir as medidas
e relacioná-las com as escalas e unidades de medidas,
pode-se ampliar ou reduzir as medidas dos lados,
mantendo as propriedades do triângulo.
Razões
trigonométricas:
Relação fundamental:
sen2x+cos2x=1
É possível comparar várias razões trigonométricas, por
semelhança de triângulos, fazendo, nas medidas, várias
construções com precisão.
Ciclo trigonométrico
Crescimento e
decrescimento do seno
e cosseno
Com o auxilio e dinamismo de software, foi possível
visualizar que, conforme o valor do seno aumenta, o
valor do cosseno diminui e vice-versa, confirmando a
relação fundamental da trigonometria: sen2x+cos2x=1.
f(x) = a + b sen (c x + d)
O software auxilia a visualização dos parâmetros a, b,
c, d destas funções que envolvem seno e cosseno e as
relações com a Imagem, Amplitude e Período,
relacionando dinamicamente com estes parâmetros.
g(x)= a+ b cos(c x+ d )
Nesta pesquisa, entendemos que a formação de um grupo de estudos,
dentro da unidade escolar e com a característica de ter uma ligação entre a
universidade e a escola, foi um fator relevante para impulsionar o
desenvolvimento profissional do grupo e pode ser uma alternativa para
desenvolver na escola uma perspectiva de organização aprendente.
Quando o professor se apropria da TIC, ele aumenta seu leque de
conhecimentos que, aliado a sua experiência e ao seu conhecimento vindo da
reflexão, incrementam seu desenvolvimento profissional. Ponte (1999) afirma
ainda, que os professores de Matemática precisam saber usar softwares
115
educacionais, principalmente os relacionados com sua disciplina, favorecendo
assim o seu desenvolvimento profissional.
5.6 Considerações Finais
A metodologia Design-Experiment, utilizada nesta pesquisa, possibilitou
fazer as intervenções necessárias para re-examinar a aprendizagem nos
contextos, os quais foram projetados para produzir uma aprendizagem
significativa, utilizando metodologias de experimento impulsionadas para o
entendimento teórico e prático para que houvesse interesse, tanto do grupo
de estudos, sujeitos da pesquisa, como dos alunos.
Relacionar o conteúdo matemático – periodicidade - com o movimento
dos pistões de um automóvel, com motor de quatro cilindros, foi determinante
para que houvesse a motivação dos alunos para entender movimentos
periódicos.
Foram envolvidos, na pesquisa, os professores de Matemática: João,
Teixeira, Ronaldo, Valquíria, Helena, Joaquim e José. Consideramos como
professores centrais do grupo de estudo, os docentes Teixeira, João e
Ronaldo por terem participado ativamente de todos os encontros e atividades.
Os demais professores relacionados não participaram de todas as discussões
em grupo, contudo foram importantes no desenvolvimento do estudo, pois
enquanto discutíamos o deslocamento vertical e a amplitude das funções
seno e cosseno, professoras tais como as professoras Valquíria e Helena,
que não lecionavam no segundo ano e, então, não aplicaram atividades de
trigonometria, desenvolveram funções do segundo grau em suas turmas. O
conceito de deslocamento pôde ser aproveitado de modo mais dinâmico com
o auxilio do software, o que possibilitou fazer uma analogia com a função do
segundo grau, no deslocamento do vértice desta função. O professor José,
que ministra aulas de Física, desenvolveu no software funções que permitiram
visualizar as características do movimento uniforme e do movimento
uniformemente variado. O professor Joaquim, que ministra aulas no Ensino
Fundamental, desenvolveu, com seus alunos, alguns conceitos fundamentais
de Geometria, como a Condição de existência do triângulo, soma dos ângulos
116
internos de um triângulo qualquer, condição de alinhamento de três pontos,
construção da circunferência, construção de polígonos regulares e irregulares.
Em relação ao software Geogebra, destacamos que ele foi relevante
para os estudos do grupo, uma vez que os professores envolvidos
mostraram-se satisfeitos com a nova metodologia desenvolvida para suas
aulas e com o fato deste software possuir características funcionais de fácil
entendimento e manipulação e ainda ser distribuído livremente. O software
possibilitou a construção de uma sequência didática a ser desenvolvida em
sala de aula. Uma dificuldade que tivemos ao lidar com este software foi que
ao apresentamos o ciclo trigonométrico, as frações são representadas por
números decimais como, por exemplo:
é representado por 1,57...
Apontamos, também, como dificuldade a ser superada, o fato de que na
escola não há computadores suficientes para todos os alunos. Sendo assim,
as apresentações, no Data-show, tornam-se o único recurso disponível aos
professores para explorar o software com os alunos. Acreditamos que, se
todos os discentes tivessem manipulado o software, poderíamos ter outro
nível de participação dos alunos e talvez pudéssemos aprofundar mais os
conteúdos. Contudo, cremos ser um avanço o professor ter acesso ao
computador em seu ambiente de trabalho, uma vez que tal fato era
impensável há alguns anos.
Para as próximas pesquisas, referentes a este tema, sugerimos que se
trabalhe logo de início, as unidades usadas em grau e radiano, apesar dos
alunos preferirem trabalhar com as unidades em grau. Conforme apontou
Goios (2010), trabalhar as unidades em radiano prepara os alunos para o
estudo das funções trigonométricas de domínio real.
Como fator positivo para a escola, destacamos a disposição dos
professores, não só os de Matemática, mas também os de outras disciplinas,
em participar de grupos de estudos entre os pares, o que motivou a discussão
de possíveis soluções para os problemas envolvendo suas disciplinas.
Entendemos que esta pesquisa tornou evidente que, no contexto
investigado, o estabelecimento de grupos de estudos na escola, envolvendo a
117
parceria universidade-escola, foi uma possibilidade viável para impulsionar o
desenvolvimento profissional docente e integrar o uso da tecnologia para o
ensino de trigonometria, especialmente quando os professores têm a
oportunidade de levar para a sala de aula o que é discutido no grupo de
estudos.
Finalizamos esta pesquisa convictos de que contribuímos, de maneira
positiva, para a melhora
do ensino na escola na qual se desenvolveu a
pesquisa, para o aperfeiçoamento dos professores nela envolvidos, bem
como para o enriquecimento do aprendizado dos discentes.
118
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122
Apêndice I: Questionário para Avaliação dos Alunos
Apêndice I
Questionário para Avaliação dos Alunos
Nome ______________________________________ No ______ 2º Série _______
1º questão: Complete a tabela com valores do seno para uma volta no ciclo
trigonométrico.
Ângulo
0o
seno
90º
180º
270º
360º
2º Questão: Qual o maior e o menor valor que pode assumir o sen x, sendo
0o≤x≤360º?
3º Questão. Quando o seno é crescente e decrescente?
Ângulo
0o ≤ x ≤ 90º
90º ≤ x ≤ 180º
180º ≤ x ≤ 270º
270º ≤ x ≤ 360º
Seno
4º Questão. Observando o ciclo trigonométrico no Data-show, complete a
tabela. Para qual ângulo teremos os valores iguais para o seno?
Ângulo
Em qual ângulo o
seno é o mesmo?
15o
30º
45º
60º
75º
90º
5º Questão. Quando a soma de dois ângulos é igual a180º?
123
Apêndice II Questionário de Identificação dos Sujeitos da Pesquisa
Apêndice II
Questionário de Identificação dos Sujeitos da Pesquisa
TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO
Entendo que fui convidado (a) a participar como voluntário (a) dessa
pesquisa e acredito ter sido suficientemente informado (a) segundo o que li e
o que me foi explicado a respeito da mesma. Ficaram claros para mim, quais
os
propósitos
do
estudo,
as
garantias
de
confidencialidade
e
de
esclarecimentos permanentes bem com o fato de que minha participação é
isenta de despesas.
Eu ______________________________________________,concordo,
voluntariamente, em participar deste estudo e poderei retirar o meu
consentimento a qualquer momento, antes ou durante o mesmo, sem
penalidades ou perda de qualquer benefício que eu possa ter adquirido com a
minha participação neste estudo.
RG
Declaro que obtive de forma apropriada e voluntária o Consentimento Livre e
Esclarecido deste colaborador para a participação neste estudo.
Pesquisador responsável pelo estudo
Ronaldo Barros Orfão
Suzano ______/_____/ 20_____
124
QUESTIONÁRIO DE IDENTIFICAÇÃO
1. Dados pessoais:
Nome: ____________________________________________________________
Idade: ____________________
e-mail: _____________________________________________________________
Telefone: __________________
2. Situação funcional:
Colégio onde leciona: _________________________________________________
Cargo: _____________________________________________________________
3. Formação Acadêmica:
Magistério: Sim (
)
Não (
)
Ano de Conclusão:___________
Instituição___________________________________________________________
Graduação:
Sim (
)
Não (
)
Curso: _____________________________________________________________
Ano de Conclusão:___________
Instituição___________________________________________________________
Pós-Graduação: Sim (
)
Não (
)
Curso: _____________________________________________________________
Ano de Conclusão:___________
Instituição___________________________________________________________
4. Há quanto tempo você leciona? Em qual série você prefere lecionar?
___________________________________________________________________
5. O que o levou a ser professor?
6. Comente a respeito das aulas de Matemática que você teve quando era
estudante.
7. Você acha que a metodologia utilizada por seus professores seria adequada para
ensinar as crianças de hoje? Por quê?
____________________________________________________________________
8. Quando estudante você aprendeu trigonometria?
125
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
9. Se sim, em que momentos?
Ensino Fundamental (
)
Ensino Médio (
)
Ensino Superior (
)
10. Como você avalia seu aprendizado de trigonometria?
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
11. Quando você era aluno, durante as aulas de trigonometria, eram utilizados
materiais concretos? E outros recursos didáticos?
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
___________________________________________________________________
12. Na época em que você era aluno, algum de seus professores marcou, positiva ou
negativamente, sua vida estudantil a ponto de, hoje, você, como profissional,
espelhar-se nele para ensinar seus alunos? Comente.
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
___________________________________________________________________
13. Como você procura ensinar trigonometria para seus alunos?
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
14. Quais as principais dificuldades que você identifica nos seus alunos durante o
processo de aprendizagem de trigonometria?
____________________________________________________________________
___________________________________________________________________
15. Quais recursos didáticos você acredita que possam auxiliar a aprendizagem de
trigonometria? Por quê?
____________________________________________________________________
16. Você já experimentou utilizar esses recursos com alguma classe ? Comente.
____________________________________________________________________
126
17. Você conhece softwares de Geometria Dinâmica? Quais?
____________________________________________________________________
18. Você já trabalhou com os alunos algum software para usar em suas aulas? Qual
a reação dos alunos?
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
19. Você gostaria de acrescentar alguma informação sobre sua prática?
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
Muito obrigado!]
Ronaldo Barros Orfão
127
Apêndice III: Identificação dos Sujeitos da Pesquisa
b
Apêndice III
Identificação dos Sujeitos da Pesquisa
Caracterizamos o perfil dos professores de Matemática que participaram
diretamente (João, Teixeira e Ronaldo) e indiretamente (Valquíria, Helena,
Joaquim, José) da pesquisa, assim como o professor coordenador (Batista)
que acompanhou a pesquisa. O perfil foi traçado tomando-se como referência
a análise do questionário que se encontra no Apêndice I.
Batista, no ano da pesquisa, tinha 27 anos, sendo um ano atuando em
sala de aula como professor de geografia e cinco anos atuando como
professor coordenador. Optou por ser professor pela admiração que tinha por
seus professores. É Licenciado em Geografia, Universidade Guarulhos
(2007), pós-graduação em Gestão Educacional (2010). Quando estudante,
sempre aprendeu com aulas tradicionais. Avalia como sendo ruim seu
aprendizado em matemática. Utiliza-se da tecnologia em sua vida profissional.
Até o inicio desta pesquisa, não teve contato com nenhum tipo de software
educativo e aceitou participar deste estudo pela oportunidade de entrar em
contato com estes softwares. Sua participação foi motivada por estar
interessado em conhecer os recursos tecnológicos que iríamos investigar e o
possível desempenho do grupo de estudo.
O professor João, no ano da pesquisa, tinha 45 anos, com 13 anos
atuando em sala de aula como professor de matemática somente em escola
publica. Tornou-se professor de Matemática por ter tido dificuldades em
entender a disciplina no Ensino Básico. É Licenciado em Matemática pela
Faculdade Osvaldo Cruz (2000). Esta cursando ―Gestão Integrada‖ na mesma
faculdade com previsão de término para 2011. Quando estudante, sempre
aprendeu com aulas tradicionais, sem métodos atrativos. Atuando como
professor, procura, na medida do possível, mostrar a aplicação da matemática
de maneira concreta. Nunca teve contato com softwares educativos e no
início dos estudos mostrou-se resistente quanto ao uso de software. No
entanto, no decorrer dos encontros, segundo seus relatos, foi se sentindo
confiante com o uso do Geogebra.
128
Em minhas aulas de trigonometria, usava praticamente o
básico. Agora elas se tornaram mais dinâmicas, posso dizer
que aprendi com o Geogebra.
O professor Teixeira, no ano da pesquisa, possuía 29 anos, com 11
anos atuando em sala de aula como professor de Matemática somente em
escola pública. Tornou-se professor seguindo a tradição familiar. É Licenciado
em Matemática pela Universidades Braz Cubas, Mogi das Cruzes (2001). Fez
mestrado em Ensino de Ciências e Matemática pela Universidade Cruzeiro do
Sul, São Paulo (2007). Quando estudante, sempre aprendeu com aulas
tradicionais e hoje acredita que para se ensinar matemática é preciso se estar
em constante atualização. Quando aluno, tanto no Ensino Básico como na
graduação, nunca teve aulas em que seus professores usassem recursos
tecnológicos. Até o momento do primeiro encontro com o grupo de estudos,
não havia entrado em contato com software educativo.
A professora Valquíria, no ano da pesquisa, possuía 43 anos, com 20
anos atuando em sala de aula como professora de Matemática em escolas
publica e privadas. Cursou três anos de Engenharia Química’, mas optou pela
licenciatura por acreditar no oficio de professora, inspirada por uma
professora no antigo ginásio. É Licenciada em Matemática pela Universidade
Braz Cubas, Mogi das Cruzes, (2001), fez pós-graduação em Coordenação
Pedagógica pela Universidade Veiga de Almeida (2004). Acredita que as
aulas de matemática devem ser pautadas pelo dinamismo do professor. Em
sua formação não teve contato com os software educacionais e até o início
deste estudo, não os conhecia.
Como aprendi em aulas tradicionais, acreditava ser este o
melhor caminho, mas estou mudei de opinião após frequentar
algumas das reuniões do grupo de estudo.
129
A professora Helena, no ano da pesquisa, tinha 46 anos, com 15 anos
atuando em sala de aula como professora de Matemática somente em escola
pública. Optou por ser professora por satisfação pessoal. É Licenciada em
Matemática pela Faculdade Metropolitana Unida (1991). Fez especialização
em Educação Matemática pela PUC-SP (2006). Quando estudante, sempre
aprendeu com aulas tradicionais, teve pouco contato referente ao ensino de
trigonometria e acredita que seu conhecimento evoluiu devido sua dedicação
própria. Conhece os seguintes softwares: Graphmática, Geogebra, CabriGéomètre, porém, até o começo destes encontros, não havia usado estes
aplicativos em sala de aula e nem participou de todos os encontros do grupo.
Porém, avaliou que depois de frequentar alguns encontros do grupo, obteve
confiança para explorar os recursos do Geogebra e usá-los em sala de aula.
O professor Joaquim, no ano da pesquisa, possuía 50 anos, sendo 30
anos atuando em sala de aula como professor de matemática e trabalha no
período da manha na escola privada e no período da tarde na escola pública.
Optou por ser professor alimentado pelo desejo de encontrar formas
interessantes e agradáveis de aprender matemática. É Licenciado em
Matemática pela Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de Moema (1980)
e Pedagogia (1984), pela Faculdades São Marcos. Cursou Pós-graduação em
Psicopedagogia (1996), Educação Especial (2006). Quando estudante,
sempre aprendeu com aulas tradicionais, que visavam a memorização e a
repetição de conceitos. Conhece os softwares Graphmática, Geogebra, Cabrigéomètre, Winplot, porém ainda não se sente confiante em explorar estes
software em sala de aula.
O professor José, no ano da pesquisa, tinha 34 anos, com três anos
atuando em sala de aula como professor de Física, somente em escola
pública. Optou por ser professor pensando nas oportunidade de trabalho. É
Licenciado em Física pelo Instituto Federal (2007. Quando estudante, sempre
aprendeu com aulas tradicionais, teve pouco contato referente ao ensino de
trigonometria e em sua opinião tudo era muito abstrato, sem preocupação
com a aplicação prática da matemática. Até o início desta pesquisa, não teve
contato com nenhum tipo de software educativo e aceitou participar do grupo
de estudos pela oportunidade de entrar em contato com estes softwares.
130
Ronaldo, autor deste trabalho, neste ano com 48 anos, sendo 18 anos
atuando em sala de aula como professor de matemática em escolas públicas
e privadas. Licenciado em Matemática, pela Universidade Camilo Castelo
Branco, São Paulo (1995). Participou de cursos patrocinados pela SEESP,
como por exemplo, ―Teia do saber, Reciclagem‖. Participou, também, do
Curso de Verão em Cálculo no Rn na Universidade São Paulo (1998), fez
especialização em ―Tópicos de Análise e Álgebra Linear‖ pela Universidade
São Paulo,(1999). Cursou um semestre como aluno regular em Mestrado
Educação Matemática (PUC,2000), membro ativo do GdS desde 2010.
Tornou-se professor por gostar de matemática e de trabalhar com
adolescentes. Quando estudante no Ensino Básico, comentou que teve bons
professores e sempre recorda-se de uma professora de matemática que
ministrava as aulas com dedicação e carinho. Na graduação, teve pouco
contato com a tecnologia e hoje estudando com este recurso, tornou suas
aulas mais dinâmicas. Aprendeu alguns recursos com o software CabriGéomètre, mas não trabalhou em sala. Usa e incentiva o uso da tecnologia na
escola e trabalha com o softwares educacionais Winplot e Graphmática desde
2007 .
Apêndice IV: Entrevista de Encerramento
131
Apêndice IV.
ENTREVISTA SEMI-ESTRUTURADA
1. Em relação às atividades dos encontros, você considera que elas
provocaram reflexões a respeito do tema abordado? Descreva essas
reflexões.
2. Você considera que essas atividades provocaram reflexões sobre a sua
prática? Descreva essas reflexões.
3. Quais os saberes mobilizados, por você, ao elaborar a aula de
trigonometria a ser aplicada num ambiente informatizado?
4. Foi possível aplicar a sequência didática com seus alunos?
5. Qual a sua avaliação da aplicação das atividades em sala de aula?
6. De que forma essa atividade ajudou (ou não) a sua prática pedagógica?
7. Como você avalia o uso de software para o ensino da trigonometria? Que
outros recursos você já utilizou para ensinar funções trigonométricas?
8. Você tem mais a acrescentar a respeito desse processo como um todo?
Apêndice V: Autorização do Responsável
132
Apêndice V
Autorização do Responsável
TERMO DE CONSENTIMENTO E LIVRE ESCLARECIMENTO.
O seu filho (a) ___________________________da _____ Série____,
por ser aluno desta Unidade Escolar, foi convidado (a) a participar do estudo,
que tem como tema ―Professores de Matemática em Grupo de Estudo
Investigando o Ensino de Matemática‖. O objetivo desta pesquisa é investigar
indícios de desenvolvimento profissional docente, discente e contribuições do
uso da tecnologia nas aulas de matemática.
Ao participar deste estudo, os senhores permitirão que sejam coletados
os dados necessários por meio de questionário, filmagens, entrevistas e áudio
para o uso na pesquisa.
Eu, professor Ronaldo Barros Orfão, responsável pelo estudo, estarei a
sua disposição para sanar qualquer dúvida a respeito deste projeto.
Fica estabelecido que seu filho (a) está participando de livre e
espontânea vontade e que, se desejar, tem o direito de desistir de sua
participação a qualquer momento. As informações nessa pesquisa, serão
mantidas em sigilo, garantindo desta forma, seu anonimato. A divulgação dos
resultados será utilizada somente para esta pesquisa.
Não haverá despesas pessoais para o participante em qualquer fase do
estudo.
Suzano, ________________________ 2011
Responsável
Ronaldo Barros Orfão
Assinatura
Apêndice VI: : Resposta do Questionário Final
133
Apêndice VI
Seguem as questões e as respostas dos professores:
1. Em relação às atividades dos encontros, você considera que elas
provocaram reflexões a respeito do tema abordado? Descreva essas
reflexões.
Valquíria: Sim, precisei retomar o tema, rever conceitos para
adequá-los ao uso da tecnologia.
João: Sim, minhas reflexões foram voltadas para uma forma
diferente de explicar o tema abordado, mostrando para os
alunos que o tema não deve ficar no caderno, que eles
podem ir além.
Helena: Sim, pois me levou a refletir sobre a relevância de estar
me atualizando em relação às novas metodologias para
incrementar a prática docente.
Teixeira: Sim, reflexões positivas, pois quando mostramos para
os alunos o conteúdo em um software, fica ainda mais fácil
sua visualização e sua compreensão.
José: Sim, as reflexões foram positivas, e percebi que os alunos
e eu ficamos motivados com o uso da tecnologia.
Ronaldo: Sim, fui motivado a mudar minha prática em sala de
aula, dando menos conteúdos e discutindo mais com os
alunos.
2. Você considera que essas atividades provocaram reflexões sobre a sua
prática? Descreva essas reflexões.
Valquíria: Sim, principalmente sobre a abordagem do tema que
pesquisou conceitos para vencer modos tradicionais de
ensinar e aprender.
João: Eu passei a ver a trigonometria com outros olhos e a
explicar de outra maneira, mostrando de forma mais prática
este tópico.
Teixeira: Sim, minhas aulas ficaram mais leves e divertidas
Helena: Certamente, uma vez que me fez ver
possibilidades para apresentar o conteúdo.
José: Sim, as aulas ficaram mais atraentes.
novas
134
Ronaldo: Sim, pois uma situação é desenhar a função seno ou
cosseno, outra situação é ter condições de discutir as
propriedades destas funções.
3. Quais os saberes mobilizados por você, ao elaborar a aula de trigonometria
a ser aplicada num ambiente informatizado?
Valquíria: Além de dominar os conceitos é preciso ter o
conhecimento básico de informática.
João: Passei a utilizar o software, e com isso preparar as aulas
não mais da forma tradicional e sim com o software.
Teixeira: Os conhecimentos de trigonometria foram abordados
de maneira dinâmica, assim, podíamos discutir para
aplicarmos nos softwares e mostrarmos para os alunos.
Helena: Partindo dos saberes já utilizados pude apresentar o
conteúdo de maneira mais dinâmica e motivadora
José: Dominar os conceitos a serem apresentados e ter um
conhecimento básico de informática
Ronaldo: Os saberes do conteúdo a serem ministrados e os
recursos tecnológicos sobre os quais eu tenho conhecimento.
4. Foi possível aplicar a sequência didática com seus alunos?
Valquíria. Em parte, sim
João: Se tivéssemos mais tempo, a sequência seria muito
melhor, mas mesmo assim, foi possível.
Teixeira: Sim, com mais propriedades que antes do software.
Helena: Sim, os alunos mostraram-se interessados e fizeram
questionamentos mais relevantes em relação ao conteúdo
apresentado.
José: Sim, foi possível aplicar, pois as reuniões em grupo deram
sustentação para me sentir seguro e esclarecer minhas
dúvidas.
Ronaldo: Com as reuniões e as reflexões foi possível elaborar e
discutir as sequências com os alunos.
5. Qual a sua avaliação da aplicação das atividades em sala de aula?
135
Valquíria: Interessante, os alunos ficam mais atentos e
interagem mais com o professor e colegas.
João: Muito positiva, motivou-me a fazer reflexões sobre minha
prática.
Teixeira: Foi uma experiência muito valida, e já estou
começando a usar o software para outros conteúdos, como
por exemplo, funções do primeiro e segundo grau.
Helena: A turma mostrou-se mais interessada e motivada por
estar familiarizada com
algumas das tecnologias
apresentadas.
José: Os alunos gostaram e participaram mais, aprendendo com
mais facilidade e participando mais efetivamente das aulas.
Ronaldo: Positiva, somente com lousa e giz, fica muito difícil
envolver a maioria dos alunos.
6. De que forma os estudos de grupo ajudou (ou não) a sua prática
pedagógica?
Valquíria. As reuniões contribuíram com a minha prática, à
medida que também estimulou a preparação das aulas e a
minha busca pelo conhecimento tecnológico.
João: Aprendi que não se deve ficar só no caderno e lousa,
precisamos usar outras ferramentas. Ao discutir os problemas
relacionados com a escola com os colegas do grupo, percebi
que não me sentia mais sozinho.
Teixeira: Mudou muito minha prática, minha concepção em
relação aos softwares educativos. Principalmente no início,
pois quebrou minha rejeição e tive a oportunidade de me
expor aos poucos.
Helena: Tornou as aulas mais dinâmicas e claras, levando os
alunos a participarem mais ativamente das aulas.
José: Trocando experiências, vivenciando
completamente nova para mim.
uma
situação
Ronaldo: Mostrando várias outras maneiras e formas de
ministrar o conteúdo e tendo a oportunidade de discutir com
colegas de uma mesma escola.
136
7. Como você compara o uso de software para o ensino da trigonometria e
que outros recursos você já utilizou para ensinar funções trigonométricas?
Valquíria. Não utilizei outros recursos especificamente a não ser
tentar ―prender‖ a atenção do aluno durante as explicações. A
aulas com o software são mais dinâmicas, propiciando
situações de aprendizagem mais rápidas, comparadas ao uso
tradicional da lousa. ―Os desenhos‖ feitos na lousa não são
perfeitos e também demora mais para fazê-los. Já no
software bastam alguns ―clics‖.
João: Muito mais dinâmicas, e não utilizei outros recursos a não
ser o software
Teixeira: Não há uma comparação e sim um aliado, o software
ajuda a fixar as concepções e as teorias pré-determinadas
nas aulas tradicionais.
Helena: Apesar de usar objetos manipuláveis, observei que o
uso do software facilitou a aprendizagem e motivou os alunos.
José: Nunca utilizei outros recursos.
Ronaldo: O uso do software facilita muito o ensino e a
aprendizagem, somente com aulas tradicionais não é
possível, outros recursos que utilizo são materiais
manipuláveis.
8. Você tem mais a acrescentar a respeito desse processo como um todo?
Valquíria: A proposta é muito interessante e viável. O professor
precisa apenas de tempo para conhecer o software e montar
suas aulas. Esse ―tempo‖ precisa fazer parte do seu horário
de trabalho e não fora dele, para que o professor também
tenha qualidade de vida junto sua família. É necessário,
também, estar com outros professores para a troca de
experiência ( dúvidas, aulas preparadas, dicas sobre o
software, entre outros) e também para praticar. É muito
desagradável estar usando uma tecnologia e não conhecer
comandos e seus recursos. O aluno percebe isso, como
também percebe quando o professor não domina certos
conceitos ou não prepara a sua aula. Acredito que seja
essencial um investimento na formação do professor, ou
melhor, na formação tecnológica do professor, principalmente
aqueles que se formaram há mais de 15 anos e não tinham a
informática presente nos currículos das universidades, mas
que hoje é uma realidade nas escolas.
137
João: Seria muito bom que a maioria utilizassem estes recursos,
eu não utilizei antes por não ter conhecimento.
Teixeira: Como já disse foi uma experiência muito rica e muito
válida, que vou levar para outros conteúdos para melhor
compreensão por parte dos meus alunos. Gostaria de
ressaltar também que os encontros semanais que tivemos
para discutirmos sobre a aplicação do software foram muito
produtivos para o grupo e para o meu aperfeiçoamento.
Helena: O processo é ativo e ajuda o aluno a interagir de
maneira mais efetiva com o andamento das aulas, facilitando,
assim, a aprendizagem.
José: É uma proposta interessante, motivadora, que atrai o aluno
e o estudo em grupo mobiliza os envolvidos para enfrentar
com mais naturalidade os conflitos em sala de aula.
Ronaldo Foi uma experiência muito produtiva, que pretendo
levar para outras áreas do conhecimento e séries, mudando
minha forma de ministrar as aulas.
Apêndice VII: Tela de Apresentação do Geogebra
138
Apêndice VII
A tela de apresentação do software Geogebra, exposta ao abrir o
aplicativo, está representada na figura 23 e apresenta o primeiro contato com
o software, contendo: as duas barras de ferramenta, janela algébrica, Janela
geométrica e caixa de entrada que são os elementos para iniciar as
construções.
Janela Geométrica: Local onde você visualiza os objetos construídos;
Janela Algébrica Trata-se da Janela Fofoqueira: conta tudo que está
relatado na Área de Trabalho.
Entrada: Local onde pode digitar os comandos.
Item
selecionado
Barra de Ferramentas 1.
Janela
Algébrica
Barra de Ferramentas 2
(ícones).
Descrição como usar o
ícone
Janela Geométrica,
Campo de Entrada
Figura 26: Tela de Apresentação do Software Geogebra
Fonte: Acervo Próprio
139
Em todos os ícones deste
campo de entrada existem
vários outros ícones que
estão relacionados com o
ícone de apresentação.
Nesta tela, temos os ícones
relacionados com a
construção da circunferência
Apêndice VIII: Construção deum Arquivo para dar Significado ao Número 
140
Apêndice VIII
Construção do número 
Este arquivo foi estruturado para visualizar a relação entre o
comprimento e o diâmetro da circunferência, ao movimentar o ―seletor a‖, que
aparece na tela no canto superior esquerdo, o valor do raio, diâmetro e
comprimento da circunferência se alteram.
Durante a aula, com uma calculadora e uma tabela, os alunos anotam os
valores visíveis e fazem a operação de divisão entre o valor do comprimento
da circunferência e o diâmetro.
Com algumas divisões, os discentes conseguem inferir que este número
é a constante .
Raio
Diâmetro
Passo.
1.
Comando
Após abrir o software Geogebra, Com
o botão direito do mouse, dê um click
em eixos.
Selecione o ícone controle deslizante
e dê um click no canto superior da
área geométrica, na janela que
aparecer, selecione mínimo 0(zero) e
máximo 20 (vinte) com incremento de
1 (um).
.
Selecione o ícone circulo ―Dado
Centro e Raio‖, dê um click no centro
da janela geométrica, o software
solicitará o valor do raio. Digite ―a‖. O
centro da circunferência será
nomeado como ―a‖
Dê um click sobre a circunferência.
2.
3.
4.
Comprimento
Comp./Diâmetro.
Ação.
O Sistema de
eixos ficará
oculto.
Este vai ser o
valor do raio
Circunferência
com raio ―a‖.
O software criará
um ponto ―B‖.
5.
Selecione ―segmento definido por dois
pontos‖.
Obs. Este segmento será o Raio.
Trace o segmento
unindo os pontos
AB.
6.
Dê um click sobre a circunferência.
O software criará
um ponto ―C‖.
Comando
Botão direito
do mouse.
141
7.
Selecione uma reta definida por dois
pontos que passará pelos pontos C e
A.
Aparecerá uma
reta, passando
por C e A.
8.
Selecione o ícone interseção de dois
objetos ( este ícone está atrás do
ícone do passo 3) e dê um click sobre
a reta e a circunferência.
Com o botão direito do mouse e
próximo a reta, dê um click e escolha
―exibir objeto‖.
Aparecerá o
ponto E
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
Selecione ―segmento definido por dois
pontos‖ e uma o ponto CE.
Obs. Este segmento será o Diâmetro.
Selecione o ícone ― segmento com
comprimento fixo‖. Na caixa de
dialogo que aparecer digite ―2*pi*a‖.
Selecione o ícone ― Inserir texto‖, na
caixa de diálogo que aparecer,
escreva ―Raio =‖ e selecione na aba
objeto a variável em letra minúscula
que corresponde ao raio.
Nota: esta variável estará visível na
janela algébrica, em caso de dúvida,
ao mexer no seletor ―a‖ poderá ser
visto o valor do raio.
O mesmo procedimento para o
―Diâmetro‖
Com o botão direito do mouse, dê um
click próximo ao ponto ―A‖ e escolha
exibir objeto.
Repita o ―passo 11‖ com a palavra
―Comprimento‖
Na ―caixa de entrada‖ digite s=f/e.
Obs: Neste aplicativo ―f‖ é o
comprimento da Circunferência e ―e‖ é
o Diâmetro.
Selecione o ícone ― Inserir texto‖, na
caixa de diálogo que aparecer,
selecione ―Formula LaTeX‖, selecione
―fração‖ substitua, ―a por
Comprimento‖ e ―b por Diâmetro‖
digite = selecione na aba objeto ―s‖.
A reta ficará
oculta
Trace o segmento
unindo os pontos
CE.
Aparecerá o
Comprimento da
Circunferência.
Aparecerá na
janela geométrica
a palavra ―Raio= ―
Aparecerá na
janela geométrica
a palavra
―Diâmetro = ―
Ficará oculto o
ponto ―A‖
Aparecerá na
janela geométrica
a palavra
―Comprimento = ―
Na janela
algébrica
aparecerá o valor
do ―‖
Ora aparecerá
3,14, ora pi.
142
18.
Selecione o ícone ―Caixa para exibir
/Esconder Objeto‖. Na caixa de
diálogo escreva ―Circunferência‖ e na
caixa abaixo selecione ―Círculo‖
Aparecerá uma
caixa exibir ou
não a
Circunferência.
19.
Selecione o ícone ―Caixa para exibir
/esconder objeto‖. Na caixa de diálogo
escreva ―Seletor‖ e na caixa abaixo
selecione ―número a‖
Aparecerá uma
caixa exibir ou
não o Seletor
20.
Selecione o ícone ―Caixa para
exibir/esconder objeto‖. Na caixa de
diálogo, escreva raio e na caixa
abaixo selecione as três variáveis que
faz parte do raio( ponto, segmento de
reta e texto)
O mesmo procedimento para o
―Diâmetro‖
Aparecerá uma
caixa selecione
ou não o Raio.
22.
O mesmo procedimento para o
―Comprimento‖
Aparecerá uma
caixa selecione
ou não o
Comprimento
23.
O mesmo procedimento para o
―Divisão do Comprimento pelo
Diâmetro‖
Aparecerá uma
caixa Divisão do
Comprimento
pelo Diâmetro.
21.
24.
25.
Aparecerá uma
caixa selecione
ou não o
Diâmetro
Aperte ctrl+shift+A, ―atalho para
Só ―aparecerá o
esconder a janela algébrica‖
aplicativo na tela‖
O objetivo do arquivo foi concluído os próximos passos são para
formatação, para dar um design diferenciado, que depende do objetivo do
usuário. Com o botão direito do mouse de um click próximo a qualquer
objeto e aparecerá a seguinte tela
Nome do primeiro objeto
selecionado, os outros podem ser
selecionados de acordo com a
próxima tela.
Exibe ou não o objeto
Ao clicar, podemos mudar as
propriedades do objeto
seguindo os passos que a
próxima tela indicar
143
Neste campo, estão todos os objetos do desenho
indicado pelas suas respectivas variáveis. Esta
janela permite ao usuário selecionar o objeto e
alterar suas propriedades, como por exemplo, cor,
nome, espessura, entre outras.
Permite modificar as propriedades básicas do objeto, como por
exemplo, nome, legenda, exibir ou não valor entre outras.
Cabeçalho
da 2º
janela de
formatação
Permite variar as
cores dos objetos.
Altera a espessura da
linha e preenchimento
de objetos.
Neste Arquivo, foi formatada a espessura do raio na cor azul, espessura
do diâmetro na cor vermelha, espessura e comprimento na cor preta. Assim
como as cores correspondentes dos textos.
Arquivo Pronto para utilizar em Sala de Aula
Fonte: Acervo Próprio.
Apêndice IX: Construção de um Arquivo que Relaciona o Ângulo o
Comprimento do Arco, e o Radiano.
144
Apêndice IX
Relação entre Ângulo o Comprimento do Arco, e o Radiano.
Este arquivo foi estruturado para visualizar a relação entre o ângulo, o
comprimento do arco e o radiano. Ao movimentar o ―Ponto B‖, que pertence a
circunferência, aparece o ângulo e o comprimento do arco em destaque.
Passo.
1.
2.
3.
4.
Comando
Construir uma
circunferência com centro
na origem e raio 1
Construir um ponto sobre a
circunferência
Construir um ponto na
interseção da abcissa e a
circunferência.
Construir um ―Arco circular
dados centros e dois
pontos‖
5.
Construir um segmento
com comprimento fixo.
6.
Medir o ângulo.
7.
Inserir texto
8.
9.
Ação.
Comando
Movimentar o ponto
para verificar se ele não
―sai‖ da circunferência.
Dar um click no eixo ―x‖
e na circunferência.
Começar pela origem.
Obs.: Verifique a
variável deste arco, pois
será usado no próximo
comando.
Após selecionar o
comando, dê um click
em um lugar da tela e
na janela que aparecer,
digite o valor da variável
anterior.
Dar um click nos pontos
DÂB.
Na caixa de diálogo que
aparecer, escrever;
―ângulo  (graus)=
(selecionar em objetos)
.
Inserir texto
Na caixa de diálogo que
aparecer, escrever;
―Ângulo  (rad.) =
(selecionar em objetos)
d..
O objetivo foi atingido. Basta formatar cores, espessura e aparência
em geral.
145
Neste arquivo, foi formatado o tamanho da fonte para médio, as espessuras
da linha do comprimento do arco e omitido os eixos.
Arquivo Pronto para utilizar em Sala de Aula
Fonte: Acervo Próprio.
Apêndice X: Construção de um Arquivo Ciclo Trigonométrico
146
Apêndice X
Construção do Ciclo Trigonométrico Discutido no 4º Encontro.
Esta construção foi feita a partir do arquivo anterior que descreveu a
visualização, a relação entre o ângulo, o comprimento do arco, e o radiano, ao
abrir o arquivo no menu ―Arquivo‖, selecionar ―Gravar Como‖ e salvar com
um nome diferente como, por exemplo, ―ciclo‖ e seguir as etapas descritas
abaixo.
Passo.
1.
2.
Comando
No menu exibir:
exibir eixos e exibir janela
algébrica.
Selecionar ícone ―Reta
Perpendicular‖
3.
Selecionar o ícone
―Interseção de objetos‖
4.
Com o botão direito do
mouse, dar um click sob as
retas perpendicular e
selecionar ―exibir objeto‖
Selecionar o ícone
―Segmento Definido por
dois Pontos‖
5.
6.
Com o botão direito do
mouse, dar um click
próximo ao ultimo
segmento, selecionar
propriedades
7.
Selecionar o ícone
―Polígono Irregular‖
8.
Inserir texto
Ação.
Aparecerá na tela os
eixos e a janela
algébrica.
Traçar duas retas
perpendiculares aos
eixos das ordenadas e
abscissas.
Dar um click nas retas
e nos eixos.
As retas
perpendiculares não
ficaram visíveis.
Construir dois
segmentos da origem
até os dois pontos
criados sob os eixos
Em propriedades,
alterar espessura da
linha e cor.
obs. O valor da variável
destes segmentos que
será o valor do seno e
cosseno
Construir um triângulo
retângulo, usando a
origem, o ponto B e o
ponto projetado sob o
eixo da abscissa.
Digitar ―Seno  = [valor
da variável
correspondente passo
6]
Comando
147
9.
Inserir texto
10.
Formatar os dois últimos
textos da mesma cor dos
segmentos do passo 6
Caixa para exibir /
Esconder objetos
11.
Digitar ―Cosseno  =
[valor da variável
correspondente passo
6]
Seguir as orientações
abaixo.
Após selecionar o último ícone, aparecerá a caixa de diálogo figura XX,
na janela legenda irá ―Caixa para Exibir / Esconder Objetos‖. Neste arquivo,
usamos este comando para: Ângulo, Radiano, Seno, Cosseno e Triângulo
Retângulo.
Na Janela ―Selecione os objetos na construção ou escolha-os de uma
lista‖. Vale a observação:
Como esta caixa é Livre na tela, então basta dar um click sob o objeto
que queremos que fique vinculado à caixa.
Exemplo: Como foi vinculado a Caixa exibir/ocultar a variável ―Seno‖.
Variável que
Exibe/oculta.
Objeto que fica
vinculado à variável.
Para selecionar, basta
dar um click sobre o
objeto na janela
Geométrica.
Após os dois
procedimentos acima,
dar um click.
148
Arquivo Pronto para utilizar em Sala de Aula
Acervo Próprio.
149
Apêndice XI
Este arquivo relaciona a visualização do ciclo trigonométrico com as
funções seno e cosseno, a sua construção depende de 3 construções
básicas, o ciclo trigonométrico, que optamos por deixar fora da origem, as
funções seno e cosseno que podem ser vistas uma a uma ou
simultaneamente.
Figura 27: Construção do aplicativo relacionando: Ciclo Trigonométrico, Função
Seno e Função Cosseno.
Fonte Acervo Próprio
Passo.
1.
2.
3.
4.
Comando
Ao abrir o software, com o
botão direito do mouse, ir
na aba ―eixo x‖ e na caixa
―distancia‖ selecionar /2.
Digitar na ―Caixa de
Entrada‖ A=(2,3)
Selecionar o ícone ―Circulo
Centro e Raio‖. Dê um
click no ponto A, em
seguida selecione 1
Selecionar o ícone
―Controle Deslizante‖, Em
seguida na caixa de diálogo
selecione mínimo 0 e
máximo 20. Com
Ação.
Somente o eixo da
abcissa ficara
configurado com a
escala em função de .
Aparecerá na janela
Geométrica o ponto A
Aparecerá uma
circunferência de
centro(2,3) e raio 1.
Vamos ter uma variável
real [0,20]
Comando
150
5.
Incremento de 0,001, na
aba ―animação‖, selecione
―Crescente‖
Digitar na ―Caixa de
Entrada‖
B=(2+cos(a),3+sin(a)
6.
Digitar na ―Caixa de
Entrada‖ C=(a, sin(a)
7.
Com o botão direito do
mouse dar um click sobre o
ponto ―C‖, e selecionar
―Habilitar Rastro‖
Com o botão direito do
mouse, dar um click sobre
o ponto ―C‖, e selecionar
―Propriedades‖ e alterar
estilo e cor (vermelho)
Digitar na ―Caixa de
Entrada‖ D=(a, cos(a)
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
O Ponto ―B‖ ficará
vinculado ao ciclo
trigonométrico e ao
seletor ―a‖.
O ponto ―C‖ ficará
vinculado à função
seno e ao seletor ―a‖,
Quando o ponto ―C‖ se
movimentar, aparecerá
na janela Geométrica, o
rastro do ponto ―C‖.
O ponto ―D‖ ficará
vinculado a função
cosseno e ao seletor
―a‖,
Quando o ponto ―C‖ se
movimentar, aparecerá
na janela Geométrica, o
rastro do ponto ―D‖.
Com o botão direito do
mouse, dar um click sobre
o ponto ―D‖, e selecionar
―Habilitar Rastro‖
Com o botão direito do
mouse, dar um click sobre
o ponto ―D‖, e selecionar
―Propriedades‖ e alterar
estilo e cor (Azul)
Selecionar o ícone ―Reta
Perpendicular‖ e dar um
click no ponto ―C‖ e em
seguida eixo da abcissa.
Selecionar o ícone
Iremos ter um ponto ―E‖
―Interseção de dois objetos‖ perpendicular ao ponto
e dar um click sobre o eixo
―C‖ e ao eixo das
da abcissa e a última reta
abcissas.
criada.
Com o botão direito do
mouse,dar um click a última
reta e selecionar ―exibir
objeto‖
Selecionar o ícone
Este segmento será a
―Segmento por dois Pontos‖ coordenada da abcissa
e unir os pontos CE
( com a unidade em
radiano) e a função
seno
151
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Com o botão direito do
mouse, dar um click sobre
o ponto ―E‖, e selecionar
―Habilitar Rastro‖
Selecionar o ícone ―Caixa
Os objetos
para Exibir/ esconder
relacionados com a
Objeto‖, em Legenda digitar
função seno ficarão
―Função Seno‖, em seguida
visíveis ou não.
selecione os objetos
relacionados com esta
função: Ponto ―C‖, Ponto
―E‖, segmento ―d‖.
Na Janela de Álgebra,
Teremos uma reta
selecionar a reta ―b‖, e com perpendicular passando
o botão direito do mouse,
por ―D‖, e perpendicular
selecionar exibir objeto.
ao eixo das abcissas.
Selecionar o ícone
Teremos um ponto ―F‖
―Interseção de dois objetos‖ perpendicular ao ponto
e dar um click sobre o eixo
―D‖ e ao eixo das
da abcissa e a última reta
abcissas.
criada.
Selecionar o ícone
Este segmento será a
―Segmento por dois Pontos‖ coordenada da abcissa
e unir os pontos DF
(com a unidade em
radiano) e a função
cosseno
Selecionar o ícone ―Caixa
Os objetos
para Exibir/ Esconder
relacionados com a
Objeto‖, em ―Legenda‖
função Cosseno ficarão
digitar ―Função cosseno‖,
visíveis ou não.
em seguida, selecione os
objetos relacionados com
esta função: Ponto ―D‖,
Ponto ―F‖, segmento ―f‖.
Formatar o ciclo trigonométrico com duas semirretas
perpendiculares, com a caixa de inserir textos inserir ―Ângulo e
Radiano‖ e associar os objetos do ciclo trigonométrico a caixa de
texto ―Inserir/ esconder Objetos‖
Anexo I: Autorização da Comissão de Ética
Anexo I
Autorização da Comissão de Ética
152
153
Anexo: II Trecho da Dissertação de Oliveira (2010)
Anexo II
Texto discutido na segunda reunião, retirado, na íntegra,
(p.101-104) da dissertação de Oliveira (2010).
’
154
155
156
Anexo III: Trecho da Dissertação de Quintaneiro (2010)
157
Anexo III
Texto retirado na íntegra da dissertação Quintaneiro (2010, p.1213), discutido no 4º encontro.
158
159
Anexo IV: Trecho da Dissertação de Goios (2010)
Anexo IV
Trechos retirados, na íntegra, da dissertação de Goios (2010, p.124126), discutidos no 3º encontro.
Quanto aos valores dos ângulos, devemos trabalhar em graus e
radianos de maneira a levar os alunos a construir o conceito de ângulo com
das duas formas. É aceitável que os alunos prefiram trabalhar com as
medidas dos ângulos em graus já que esta é bem mais familiar para ele, pois
além dele já conhecer previamente os ângulos medidos em graus estes
utilizam quase sempre números inteiros para representá-los, não aparecendo
os números racionais em forma de fração ou decimais e irracionais como na
medidas em radianos, mas as aplicação das funções trigonométricas nos dias
atuais são de grande importância e não podemos ignorar as medidas em
radianos, mas sim ajudar os alunos a sua compreensão.
Uma sugestão para minimizar a dificuldade dos alunos com as medidas
em radianos, seria os objetos de ensino apresentarem de forma conjunta as
medidas em graus e radianos, para que os alunos pudessem se familiarizar
com estes valores. Também é necessário um trabalho anterior com os
números racionais e irracionais, pois a dificuldade com estes números
dificultam a compreensão dos alunos com os valores em radianos.
Conforme
apresentado
anteriormente
as
medidas
em
radianos
apresentam alguns problemas para compreensão dos alunos o primeiro é o
próprio conceito de radianos e o segundo é o fato dos matérias didáticos
impressos trazem as medidas em radianos sempre em forma de frações ou
números inteiros acompanhados do e os objetos de ensino devido a limitação
dos softwares trazem alguns valores em frações e para a maioria dos valores
eles estão representados por números decimais, aumentado ainda mais a
dificuldade de compreensão dos alunos.
Observando as dificuldades apresentadas pelos alunos assim como os
benefícios encontrado na utilização dos OE nesta pesquisa, apresento um
applet, construído por mim através do software Geogebra, com algumas
sugestões para um modelo de OE para aulas de trigonometria. Conforme a
160
figura a seguir o OE para a função seno deverá ter as seguintes
características:
-
Escala decimal para o eixo do seno;
Linha tracejada para o acompanhamento da projeção do cateto sobre o
eixo y;
Arco AB, apresentando suas medidas em graus e radianos;
Destaque para área do ângulo formado pelo arco AB;
Escala em graus e radianos para o eixo x, quando apresentado o gráfico
da função seno;
Mesma escala para o gráfico da função e para a o círculo trigonométrico;
Opção para exibir ou ocultar o gráfico da função seno.
OE – Função Seno
Figura 32: OE Função Seno
Como já era esperado não apareceu nenhuma dificuldade no uso dos
computadores pelos alunos, confirmando que esta é uma tecnologia em que o
aluno esta preparado para utilizar, pois eles já fazem partem da geração
―Nativo Digital‖, portanto cabe aos professores, que ainda na sua maioria
pertencentes a uma geração de ―Imigrantes Digitais‖, a incumbência de
aprender como se utilizar dos recursos digitais em suas aulas. Concluindo,
esta pesquisa apresenta que o uso de recursos digitais nas aulas de
trigonometria é uma prática que trouxe muitos pontos positivos, mesmo
quando estes recursos apresentam falhas que podem ser aperfeiçoadas. Pois
a utilização estes recursos além de ser uma fonte motivadora traz também
novas possibilidades para a construção do conhecimento da trigonometria,
possibilidade estas diferentes das que se apresentam em uma aula com papel
e lápis, que não seriam possíveis sem a utilização do computador.
161
Anexo V: Trecho da Dissertação de Lobo da Costa (1997)
Anexo V
Trechos retirados, na íntegra, da dissertação Lobo da Costa (1997,
p. 24-26), discutidos no sexto encontro.
162
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Anexo VI: Trecho da Dissertação de Quintaneiro, (2010)
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Anexo VI.
Trecho, na integra, da dissertação de Quintaneiro, (2010, p. 9-13.) sobre
as duas necessidades de se usar a unidade em radiano nas funções
trigonométricas. Discutido no sétimo encontro.
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166
167
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Anexo VII: Texto Referente a Discussão do Motor a Explosão
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Anexo VII
Motor a explosão - Texto discutido no 11º encontro.
Publicado em pagina da internet no Portal São Francisco.
http://www.portalsaofrancisco.com.br/alfa/motor-a-explosao/motor-aexplosao.php. (Acesso em - 10 maio 2011.)
O texto discute o funcionamento de um motor monocilindro, utilizado em
motocicletas, compressor de ar comprimido entre outros equipamentos, que
pode ser modelado pelas funções seno e cosseno.
O motor de explosão, ou motor de combustão interna, é
amplamente usado para movimentar automóveis, ônibus, caminhões, etc. Nos
motores a álcool ou gasolina a produção do movimento começa pela queima
de combustível nas câmaras de combustão. Essa câmara contém um cilindro,
duas válvulas (uma de admissão e outra de escape) e uma vela de ignição. O
pistão que se move no interior do cilindro é acoplado a biela que se articula
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com o virabrequim. O virabrequim ao girar faz com que o movimento chegue
as rodas através do sistema de transmissão do carro.
A figura acima mostra um esquema do motor a "quatro tempos",
assim denominado porque seu funcionamento se faz em quatro etapas.
Primeiro tempo (indução)
A válvula de admissão se abre e uma mistura de combustível e ar é
injetada no cilindro através da válvula de admissão enquanto o virabrequim,
que gira, empurra o pistão para baixo.
Segundo tempo (compressão)
A válvula de admissão se fecha; a mistura é comprimida à medida
que o pistão se eleva e, antes que este chegue à parte superior, a vela se
ascende.
Terceiro tempo (potência)
A mistura acende-se; os gases quentes que se expandem,
formados na explosão, produzem uma força que faz com que o pistão abaixe
novamente, acionando o virabrequim.
Quarto tempo (exaustão)
A válvula de escape abre-se e os gases são expulsos pelo pistão
que se eleva.
Os motores modernos usam sistemas eletrônicos que regulam com
precisão a quantidade e o teor da mistura introduzida nos cilindros,
conhecidos por injeção eletrônica.
171
Para melhorar o rendimento dos motores, estes funcionam,
normalmente, com vários cilindros. Em um motor de quatro cilindros, quando
um dos cilindros está em aspiração, outro está em compressão, o terceiro
está em explosão e o quarto está em exaustão.
Se o motor está parado, os primeiros movimentos do pistão são
feitos através de um motor elétrico, conhecido como motor de arranque.
Depois das primeiras explosões do combustível o motor de arranque é
desligado e os pistões passam a funcionar em ciclos, como os que foram
descritos.
Funcionamento dos Motores de Combustão Interna
O potencial de energia do petróleo é muito elevado. A energia nele
concentrada pode liberar-se instantaneamente como na pólvora, produzindo
uma explosão, com grande efeito mecânico.
Para que isso aconteça é necessário que ele seja queimado em
uma mistura apropriada com certa percentagem de oxigênio.
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Segundo Tempo
Primeiro Tempo
O pistão desce deixando entrar a
mistura de combustível e comburente
O pistão sobe comprimindo a mistura
gasosa até que ...
Terceiro Tempo
Quarto Tempo
Sob a ação de uma faísca elétrica,
provocada pela vela, ocorre a
explosão.
O pistão sobe, provocando a saída
dos gases produzidos na combustão.
A seguir o ciclo de repete
Anexo VIII: Texto Discutido no 12º Encontro, Motor 4 Cilindros
173
Anexo VIII
Texto discutido no 12º encontro. Postado por Marcos Noé, em Equipe Brasil
Escola
Disponível em: http://www.brasilescola.com/matematica/cilindradas-um-motorcombustao.htm (Acesso em 18 maio de 2011.)
Corte longitudinal de um motor movido a combustão
Os veículos automotores são movidos em razão da conversão de
formas de energia em energia mecânica, que é gerada nos motores a
combustão e transferida em forma de movimento para as rodas. Carros,
motos e caminhões utilizam motores a combustão, que diferenciam entre as
modalidades de acordo com a quantidade de cilindradas (cc). Existem motos
de 150, 250, 400, 500, 600, 750, 1000 cilindradas entre outras. Já os carros
apresentam em seus modelos siglas, veja alguns exemplos: 1.0 (1000 cc), 1.4
(1.400 cc), 1.6 (1.600 cc), 2.0 (2.000 cc), 3.0 (3.000), 4.1 (4.100 cc).
O termo ―cilindrada‖ vem de cilindro e é originalmente conhecido
como o volume de deslocamento do motor, isto é, a capacidade em volume
da câmara de um pistão. Os motores à combustão possuem cilindros
(câmaras), onde ocorrem a explosão (ar + combustível + faísca) que
movimenta os pistões, os quais estão ligados pela biela ao virabrequim, que
recebe toda a força do movimento dos pistões, transmitindo a energia
mecânica para o volante do motor que está conectada à caixa de velocidades
(marchas), cuja força motriz será transmitida ou não. Na outra extremidade do
virabrequim encontra-se uma polia, responsável por colocar em movimento
através de uma correia outros equipamentos como a bomba de água, o motor
174
do ar condicionado, a bomba da direção hidráulica e etc. Veja esquema
representativo de um motor a combustão:
Para entendermos melhor o que vem a ser volume de um cilindro,
vamos trabalhar com o exemplo de um carro 1.0. No carro 1.0, isto é, 1000
cilindradas, temos quatro cilindros (quatro pistões e quatro bielas). Uma
cilindrada corresponde a 1000 cm³, que equivalem a 1 litro. Como o carro
possui 1000 cilindradas e quatro cilindros, cada cilindro comporta 250 ml de
gás, e ele aspira e expira um litro de gás por cada volta completa do
virabrequim.
As cilindradas de um motor são calculadas de acordo com o
diâmetro e o curso de um pistão, sempre dados em milímetros (mm).
Utilizamos a seguinte expressão matemática na determinação da cilindrada
de um motor a explosão:
Onde:
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N = Número de cilindros do motor
π = 3,14
d = diâmetro do cilindro
C = curso do pistão no interior do cilindro
O diâmetro e o curso do pistão costumam ser informados em
milímetros, por isso devemos transformar para centímetros, para isso basta
dividirmos por 10.
Exemplo 1
Determine as cilindradas de um motor com as seguintes
especificações técnicas:
Número de cilindros: 04
Diâmetro do cilindro: 82,07 mm → 82,07/10 = 8,207 cm
Curso do pistão:75,50 mm → 75,50/10 = 7,550
π = 3,14
Exemplo 2
O motor de uma moto é considerado monocilíndrico (um cilindro).
Determine a cilindrada do motor de uma moto com as seguintes
especificações:
Diâmetro do cilindro: 56,5 mm → 56,5/10 = 5,65 cm
Curso do pistão: 49,5 mm → 49,5/10 = 4,95 cm
π = 3,14
O motor da moto possui 124 cc, mas na venda a indústria costuma
informar 125 cc.
Anexo IX: Atividades para Avaliação discutidas no 14º Encontro.
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Anexo IX
Atividades selecionadas da apostila elaborada por: Larissa de Sousa
Moreira e Cíntia da Silva Gomes, discutidas no 14º encontro. Disponibilizadas
várias atividades para o estudo de trigonometria utilizando-se o software
Geogebra.
http://www.es.iff.edu.br/softmat/projetotic/trigonometria_dinamica/Apostila.pdf,
Acesso em 20 maio 2011.
1) Identifique em qual quadrante pode pertencer o ângulo  apresentado
em cada item, faça o rascunho do ciclo trigonométrico se achar
necessário.
2) Identifique o sinal de:
3) Nos Parênteses , coloque V para as afirmações verdadeiras e F para
as afirmações falsas.
4) Identifique o sinal de:
5) Dadas as funções abaixo, faça o esboço do gráfico, determine o
conjunto imagem, o período
e a amplitude de cada uma
delas.