Aufgaben zur linearen Algebra und analytischen Geometrie I

Aufgaben zur linearen Algebra
und analytischen Geometrie I
Es werden folgende Themen behandelt:
1. Formale und logische Grundlagen
2. Algebraische Grundlagen
3. Vektorräume und LGS
4. Homomorphismen und Matrizen
5. Determinanten, Invertierbarkeit und Basiswechsel
In jedem Kapitel werden zuerst einige wichtige Begriffe und Sätze genannt, die in diesem
Abschnitt von Bedeutung sind und einige Fragen zum Verständnis dieser Definitionen gestellt.
Diese sollen dir dabei helfen, dein theoretisches Verständnis dieses Kapitels zu überprüfen.
Beachte, dass du nicht alle Aufgaben an einem Wochenende lösen kannst. Daher solltest du dir
aus jedem Kapitel einige Aufgaben ansehen und nicht von vorne nach hinten durchrechnen.
Die Aufgaben sind nicht nach Schwierigkeitsgrad sortiert!
Viel Spaß mit den Aufgaben und viel Erfolg in der Klausur.
1
1
Induktion, Äquivalenzrelation, Abbildung
1.1
1.1.1
Wiederholung
Definitionen
Wiederhole zuerst folgende Definitionen und Sätze:
Induktion, Äquivalenzrelation, Repräsentantensystem, Abbildung, injektiv, surjektiv, bijektiv, Umkehrabbildung
1.1.2
Kurzfragen
Beantworte kurz die folgenden Fragen:
• Formuliere das Induktionsprinzip.
• Was ist eine Äquivalenzrelation? Gib Beispiele an!
• Hat jede Äquivalenzrelation ein Repräsentantensystem? Wenn ja, ist dieses eindeutig bestimmt?
• Welche schönen Eigenschaften können Abbildungen haben? Gib Beispiele an, die die Begriffe
veranschaulichen.
• Sei f : M → N eine Abbildung und a ∈ N . Was ist dann f −1 (a)?
• Was ist eine Umkehrabbildung? Ist sie immer definiert? Wenn nein, wann existiert sie?
• Für welche Abbildungen gibt es Rechts- bzw. Linksinverse?
1.2
Die Fibonacci-Zahlen sind wie folgt definiert: f1 = 1, f2 = 1, fn = fn−1 + fn−2
a) Zeige, dass die n-te Fibonacci-Zahl genau dann durch 3 teilbar ist, wenn n durch 4 teilbar ist.
b) Zeige, dass zwei aufeinander folgende Fibonacci-Zahlen teilerfremd sind.
1.3
Welche der folgenden Relationen ist eine Äquivalenzrelation auf Z? Beschreibe in diesem Fall die
Äquivalenzklassen.
a) n ∼ m genau dann, wenn n + m = 2k für ein k ∈ Z.
b) n ∼ m genau dann, wenn n + m = 3k für ein k ∈ Z.
1.4
Beweise oder widerlege für Abbildungen f : M1 → M2 , g : M2 → M3 :
a) f ist injektiv, wenn g ◦ f injektiv ist.
b) g ist surjektiv, wenn g ◦ f surjektiv ist.
c) f und g sind genau dann beide injektiv, wenn g ◦ f injektiv ist.
d) f , g surjektiv ⇐⇒ g ◦ f surjektiv.
2
2
Algebraische Grundlagen
2.1
2.1.1
Wiederholung
Definitionen
Wiederhole zuerst folgende Definitionen und Sätze:
abelsch, Gruppe, Untergruppe, Restklasse, Faktorgruppe, Permutation, Transposition, symmetrische
Gruppe Sn , Körper, Ring
2.1.2
Kurzfragen
Beantworte kurz die folgenden Fragen:
• Welche Struktur bildet die Menge der Permutationen von n Elementen?
• Welche Struktur hat die Menge aller linearen Abbildungen f : V → V für einen Vektorraum
V ? Was ist die Antwort, wenn man nur bijektive Abbildungen betrachtet?
• Wie sehen die Elemente einer Faktorgruppe aus? Was stellen sie geometrisch dar, wenn die
zugrunde liegende Gruppe ein Vektorraum ist?
• Was ist der Unterschied zwischen Körpern und Ringen?
Gib Beispiele an, die den Unterschied verdeutlichen.
• Gib Beispiele an, die die Unterschiede und Gemeinsamkeiten zwischen den Strukturen Gruppe,
Ring und Körper verdeutlichen.
• Skizziere in einem Diagramm, welche Struktur ein Spezialfall einer anderen ist.
2.2
Sei G eine Gruppe mit einer geraden Anzahl an Elementen. Zeige, dass es in G außer dem neutralen
Element e noch ein weiteres selbstinverses Element a gibt, d.h. a · a = e.
Was kann man über die Anzahl der selbstinversen Elemente sagen?
2.3
Sei (G, ·) eine Gruppe. Zu festem x ∈ G definiert man auf G eine weitere Verknüpfung ◦ : G×G →
G durch
a ◦ b := a · x · b.
Zeige, dass dann auch (G, ◦) eine Gruppe bildet. Gib außerdem das neutrale Element und zu einem
Element a ∈ G das Inverse an.
2.4
Sei (G, ·) eine Menge mit einer assoziativen Inneren Verknüpfung. (Dies nennt man auch eine
Halbgruppe)
a) Es gebe ein Element e ∈ G mit e · a = a für alle a ∈ G. Weiter gebe es zu jedem Element a ∈ G
ein Element a0 ∈ G mit a0 · a = e.
Zeige, dass (G, ·) damit eine Gruppe ist.
b) In G seien die Gleichungen a · x = b und y · c = d für alle a, b, c, d ∈ G eindeutig lösbar.
Zeige, dass (G, ·) damit eine Gruppe ist.
2.5
Sei K ein Körper, a, b ∈ K. Zeige, dass a2 = b2 genau dann, wenn a = b ∨ a = −b gilt.
3
2.6
Seien R1 und R2 Ringe. Zeige, dass R1 × R2 mit den Verknüpfungen
(r1 , r2 ) + (s1 , s2 ) := (r1 + s1 , r2 + s2 )
(r1 , r2 ) · (s1 , s2 ) := (r1 s1 , r2 s2 )
eine Ring ist. Sind R1 und R2 nun zusätzlich Körper. Besitzt R1 × R2 Nullteiler? Ist R1 × R2
kommutativ? Besitzt R1 × R2 ein Einselement?
2.7
√
√
Es seien R := a + b 2 | a, b ∈ Z und K := a + b 2 | a, b ∈ Q . Zeige:
a) R ist mit diesen Einschränkungen und den Verknüpfungen von R ein Ring.
b) K ist mit diesen Einschränkungen und den Verknüpfungen von R ein Körper.
2.8
etwas schwieriger
a) (Kleiner Satz von Fermat)
Zeige durch Rechnen in K = Zp für eine Primzahl p, dass für x ∈ K gilt: xp = x.
b) (Satz von Wilson)
Zeige, dass in Zp gilt: (p − 1)! = −1. (Fakultät wie üblich definiert)
2.9
Sei f : (R, +) → (R× , ·) definiert durch f (x) = 2x .
a) Zeige, dass f ein Gruppenhomomorphismus ist.
b) Bestimme kern(f ) und Bild(f ).
2.10
Sei (G, ◦) eine Gruppe und a ∈ G. Zeige, dass die Abbildung f : G → G mit f (b) = a ◦ b ◦ a−1
einen Isomorphismus von Gruppen darstellt.
2.11
a) Finde eine Permutation σ ∈ S4 mit min{i > 0 | σ i = id} = 4.
b) Gib einen injektiven Gruppenhomomorphismus ϕ : Z/4Z → S4 an.
4
3
Vektorräume und LGS
3.1
3.1.1
Wiederholung
Definitionen
Wiederhole zuerst folgende Definitionen und Sätze:
Lineares Gleichungssystem, Matrix, Vektorraum, Untervektorraum, Abbildung, lineare Abhängigkeit,
Dimension, Basis
3.1.2
Kurzfragen
Beantworte kurz die folgenden Fragen:
• Was ist der Unterschied zwischen einem Erzeugendensystem und einer Basis?
• Gib drei Charakterisierungen des Begriffs der linearen Unabängigkeit an.
• In welchen Situationen kann man Matrizen verwenden?
• Gib verschiedene Beispiele für Vektorräume an.
Was für Gemeinsamkeiten / Unterschiede gibt es?
• Welche Struktur hat die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems?
Unterscheide zunächst zwischen homogenen und inhomogenen Systemen und verallgemeinere
dann die Antwort.
3.2
Löse das lineare Gleichungssystem
2x1
6x1
−4x1
− x2
+ 6x2
− 4x2
+
3x3
= −2
= −4
= 1
über R, Z3 , Z7 und Z13 .
3.3
Sind folgende Mengen Teilräume des R3 bzw. R2 ? Begründe deine Antwort. Skizziere zuerst die
Teilmengen
des R2 . Gib für die Teilräume jeweils
eine Basis an.
3
a) x ∈ R | (x1 , x2 , x3 ) = (4x2 , x1 − x2 , 0)
b) x ∈ R2 | x1 = x2 ∨ x
1 = −x2
2
2
2
c) x ∈ R | x1 + x2 ≤ 1
d) x ∈ R2 | (x1 , x2 ) = (x1 , 1)
3.4
2
4
−2
,
und C :=
,
Basen des Q2 sind.
3
2
3
1
2
b) Bestimme die Koordinaten des Vektors v = 3 ·
+2·
bzgl. der Basis C.
−1
3
a) Zeige, dass B :=
1
−1
5
3.5
Bestimme jeweils die Dimension und eine Basis des erzeugten Teilraums von R3 :
a) {(1, −2, 1), (2, 1, −1), (7, −4, 1)}
b) {(1, −3, 7), (2, 0, −6), (3, −1, −1), (2, 4, −5)}
c) {(1, 2, −3), (1, −3, 2), (2, −1, 5)}
d) {(−1, −1, −1), (0, 0, 0), (1, 1, 1)}
3.6
Die Menge Cn kann sowohl als Vektorraum über C als auch über R aufgefasst werden. Zeige:
a) Eine über C linear unabhängige Menge in Cn ist auch über R linear unabhängig.
b) Die Elemente (1 − i, i), (2, −1 + i) ∈ C2 sind linear abhängig über C, aber linear unabhängig
über R.
c) Finde eine Basis von C2 über R.
3.7
Für welche a ∈ K ist das folgende lineare Gleichungssystem eindeutig lösbar über dem Körper K?
Bestimme alle Lösungen des Systems
a) im Fall K = R
b) im Fall K = Z5
c) im Fall K = Z7
x1
x1
2x1
3x1
+
+
+
+
x2
4x2
3ax2
x2
+ x3
+ 2x3
+ x3
+ x3
6
=
=
=
=
0
3
1
0
4
Homomorphismen und Matrizen
4.1
4.1.1
Wiederholung
Definitionen
Wiederhole zuerst folgende Definitionen und Sätze:
Lineare Abbildungen (Homomorphismus), Isomorphismus, Endomorphismus, Automorphismus,
Matrix einer Abbildung, Kern, Bild, Rang, Dimensionsformel, Reguläre Matrix
4.1.2
Kurzfragen
Beantworte kurz die folgenden Fragen:
• Wie berechnet man den Rang einer Matrix?
• Welche Daten braucht man, um die Matrix einer Abbildung aufzustellen?
• Kann man injektive, surjektive oder bijektive Abbildungen an ihren Matrizen erkennen?
Wenn ja, wie?
4.2
Welche der folgenden Abbildungen sind linear? Begründe deine Antwort! Gib ggf. die Matrix bzgl.
der Standardbasis an.
a) f1 : R3 → R3 , f1 (x, y, z) = (x + y + z, x − z, 0)
b) f2 : R3 → R3 , f2 (x, y, z) = (x + y, y + z − 1, x − z)
c) f3 : R2 → R2 , f3 (x, y) = (x2 + y, x)
d) f4 : Z22 → Z22 , f4 (x, y) = (x2 + y, x)
4.3
  
1
1
Gibt es eine lineare Abbildung f : R3 → R3 mit Kern(f ) = span  1  ,  1  und
1
0
 


1
1
Bild(f ) ⊆ span  2  ,  2 ?
0
3

Wenn ja, gib eine solche an.
4.4
Eine R-lineare Abbildung f : R2 → R3 habe eine Darstellungsmatrix der Gestalt


1 a3
M :=  a −1 
b 2
mit a, b ∈ R.
Welche Werte kann die Zahl dim(kern(f )) annehmen?
7
4.5
Bestimme die Darstellungsmatrix der linearen Abbildung

R3
→
R2



(1, 0, 0) 7→ (3, 7)
f:
(0, 1, 0) 7→ (−1, 4)



(0, 0, 1) 7→ (2, −2)
bzgl. den Basen {(1, 2, 1), (−1, 3, 2), (0, 4, 3)} und {(1, 3), (1, 2)}.
4.6
Bestimme den Rang der folgenden Matrizen.
Beschreiben die Matrizen eine injektive,
surjektive, bijektive


 Abbildungen?


0
2 −1 1 0
4 1 5
 1
 1

2
0
1
 c) A3 := 
a) A1 :=  0 1 1  b) A2 := 
 1
 −1 0
1 3 
4 4 8
4
0 −1 1


 0
0 1 1
0 1 2 1 1
 1 2 4 
 1 2 3 0 4 



d) A4 := 
 1 1 1  e) A5 :=  1 1 0 1 1 
4 3 1
4 3 0 2 1
1
2
1
3
1
3
1
2

1
4 

1 
1
4.7
a) Wie muss man a, b, c ∈ R wählen, so dass eine R-lineare Abbildung
f : R3 → R3 existiert mit f (1, 0, 1) = (0, b, 1), f (0, 1, 1) = (a, 2b, 0),
f (1, 1, 0) = (3, 0, 2c) und f (3, 2, 1) = (a + 1, 4, 3c)?
b) Ist die Abbildung f eindeutig bestimmt?
4.8
Es sei
f : R3 → R3 mit (x1 , x2 , x3 ) → (x1 − x2 , x3 , x2 + x3 )
Bestimme die Darstellungsmatrizen MBB (f ), MCC (f ), MBC (f ) und MCB (f ), wobei

    
     
0
0
1
1
2
1
B := { 1  ,  1  ,  1 } und C := { 0  ,  1  ,  1 }
1
1
1
0
3
2
Dabei sei MBC (f ) die Darstellungsmatrix von f von V mit der Basis B nach V mit der der Basis
C.
4.9
Sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum und seien v1 , . . . , vm ∈ V . Wir würden gerne Klineare Abbildungen f : V → K n mit f (vi ) = ei für i = 1, . . . , m und g : K n → V mit g(ej ) = vj
für j = 1, . . . , n definieren.
1. Unter welchen Voraussetzungen sind f und g wohldefiniert?
2. Unter welchen Voraussetzungen sind f und g für alle Elemente eindeutig bestimmt?
8
4.10
1. Gegeben sind zwei Matrizen A ∈ K 3×2 und B ∈ K 2×3 .
Sei f die durch A ∗ B definierte Abbildung.
Untersuche die Erfüllbarkeit der folgenden Aussagen. Gib jeweils ein Beispiel an oder beweise
die Unerfüllbarkeit.
(a) {f (e1 ), f (e2 ), f (e3 )} ist linear unabhängig.
(b) {f (e1 ), f (e2 ), f (e3 )} ist linear abhängig.
(c) {f (e1 ), f (e2 ), f (e3 )} ist ein Erzeugendensystem von R3 .
2. Untersuche die entsprechenden Fragen für die durch B ∗ A definierte Abbildung g.
4.11
Sei f : Q3 → Q3 die Q-lineare Abbildung mit
 
 
 
−2
3
1
f (e1 ) = 4 und f (e2 ) = 7 und f (e3 ) =  3 
0
1
1
 
 
3
2
1. Gib eine Q-lineare Abbildung g : Q3 → Q3 an, so dass f ◦ g den Vektor 0 auf 4 und
0
0
 
 
1
1
den Vektor 1 auf 7 abbildet.
1
1
 
 
2
3
2. Gib eine Q-lineare Abbildung h : Q3 → Q3 an, so dass h ◦ f den Vektor 0 auf 4 und
0
0
 
 
1
1
den Vektor 1 auf 7 abbildet.
1
1
4.12
Sei K ein Körper und V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum und f : V → V ein Endomorphismus.
Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
1. Bild(f ) = Ker(f )
2. f ◦ f = 0 und dim(V ) = 2 ∗ Rang(f )
4.13
Bestimme die Darstellungsmatrix der lineare Abbildung

R3
→
R2



(1, 0, 0) 7→ (3, 7)
f:
(0, 1, 0) 7→ (−1, 4)



(0, 0, 1) 7→ (2, −2)
bzgl. den Basen {(1, 2, 1), (−1, 3, 2), (0, 4, 3)} und {(1, 3), (1, 2)}.
9
4.14
1. Wie muss man a, b, c ∈ R wählen, so dass eine R-lineare Abbildung f : R3 → R3 existiert mit
f (1, 0, 1) = (0, b, 1), f (0, 1, 1) = (a, 2b, 0), f (1, 1, 0) = (3, 0, 2c) und f (3, 2, 1) = (a + 1, 4, 3c)?
2. Ist die Abbildung f eindeutig bestimmt?
4.15
Es sei f : R3 → R3 mit (x1 , x2 , x3 ) → (x1 − x2 , x3 , x2 + x3 ).
Bestimme die Darstellungsmatrizen
    von
 f bzgl. den Basen B und B, C und C, B und C und C
1
2
0
und B, wobei B := 1 , 1 , 1
   0  3 2
1
1
0
)undC:=0 , 1 , 1.
1
1
1
4.16

3
Gegeben sei ein Homomorphismus f : R3 → R3 mit Darstellungsmatrix M := 0
9
3
bzgl. der Basis E nach Basis E. Dabei sei E die
Standardbasis
des
R
.


1 0 0
Bestimme Basen B, C des R3 , so dass N := 0 1 0 die Darstellungsmatrix von
0 0 0
Basis B nach C ist.
Weiter bestimme reguläre Matrizen S, T mit N = SM T .

2
0
1
6 
4 −12
f bzgl. der
4.17

0
Es sei eine lineare Abbildung f : R3 → R3 durch M = −2
1

5 0
1 2  gegeben.
7 −1
1. Zeige, dass ker(f ◦ f ) = ker(f ) gilt.
2. Dann gibt es eine Basis B, bzgl. der es ein k ∈ {0, 1, 2, 3} gibt mit Darstellungsmatrix
A = (aij ) von f bzgl. der Basis B nach B, wobei aij = 0 für i ≤ k ∨ j ≤ k.
Bestimme das maximale k mit dieser Eigenschaft und die zugehörige Basis B.
3. Gib 2 weitere Matrizen von Abbildungen mit verschiedenen Rängen, für die ker(f ◦ f ) =
ker(f ) gilt.
4.18
     
     
1
1 
1
0 
 1
 −1
Seien A = 0 , 1 , 1 sowie B =  0  , 1 , 3 Basen des R3 . Sei g : R3 →




0
0
1
2
1
1
R3 die durch
g(x, y, z) = (2x − 5z, −x + 2y − 2z, −3x + y + 4z)T
definierte Abbildung.
1. Bestimme die Darstellungsmatrix M von g bezüglich der Basis A im Definitions- und B im
Zielraum.
10
 
 
 
 
1
1
0
1
2. Wie ändert sich M , wenn man in B den Vektor 1 durch 1 bzw. 3 durch  4 
1
2
1
−1
ersetzt?
4.19

2
Es sei A = 1
2
1
2
2

 
 
 
2
2
1
2
2 sowie v1 = 1 , v2 = 2 , v3 = 2.
3
2
2
3
1. Berechne A−1 .
2. Es sei B = {v1 , v2 , v3 } eine Basis des R3 . Wie lauten die Koordinaten des Vektors der
bezüglich der Standardbasis die Koordinaten (2, 3, 5)T hat?


0
2 −1
3. Eine lineare Abbildung sei bzgl. der Standardbasis gegeben durch C = −3 −2 4 .
−2 0
2
Berechne die Matrix dieser Abbildung bzgl. der Basis B.
11
5
Determinanten. Invertierbarkeit und Basiswechsel
5.1
Wiederholung mit Kurzfragen
Beantworte kurz die folgenden Fragen:
• Woran erkennt man, ob eine Matrix invertierbar ist? Gib notwendige und hinreichende
Bedingungen an.
• Welche Typen von Elementarmatrizen gibt es?
• In welchen Situationen kann man sinnvoll Elementarmatrizen anwenden?
• Was passiert bei Multiplikation einer Matrix mit Elementarmatrix von links?
Was passiert bei Multiplikation von rechts?
• Betrachte das Verfahren zur Invertierung einer Matrix.
Kann man in diesem Verfahren auch Spaltenoperationen statt Zeilenumformungen verwenden?
Kann man Spalten- und Zeilenoperationen beide verwenden?
• Warum kann eine Abbildung verschiedene Matrizen haben?
• Wie hängen zwei verschiedene Matrizen einer Abbildung zusammen?
• Ändert sich der Rang einer Matrix durch Multiplikation mit einer invertierbaren Matrix A?
Wenn ja, warum; wenn nein, warum nicht?
• Gib zwei praktische Anwendungen der Determinante an.
• Was sagt die Determinante über die Abbildung aus, die durch die Matrix beschrieben wird?
• Sei f : V → V ein Homomorphismus, B eine Basisfolge von V . Hängt det(MBB (f )) von B
ab? Wenn ja, warum, wenn nein, warum nicht?
5.2
Berechne die Determinanten der Matrizen:


0
 −1
b) C := 
 −2
0

1 0 1
a) A :=  −1 1 1  ∈ Q3×3
−2 2 1


a
b
a+b
a+b
a  ∈ K 3×3
c) B :=  b
a+b
a
b

x
a
..
.



d) D := 

 a
a
a
x
..
.
a
a
..
.
···
···
..
.
···
···
a
a
x
a
a
a
..
.




 ∈ K n×n

a 
x
12

3 0 1
1 2 1 
 ∈ Z4×4
7
0 2 1 
2 1 0
5.3
a) Löse das lineare Gleichungssystem
2x1
6x1
−4x1
− x2
+ 6x2
− 4x2
+
3x3
= −2
= −4
= 1
mit Hilfe der Cramerschen Regel.
b) Berechne die Inverse der Matrix

2
A =  −4
2

0 1
3 0 
1 0
mit der Cramerschen Regel.
5.4
Stelle die Matrix der Ableitung als Abbildung von den Polynomen von Grad höchstens 3 auf die
Polynome vom Grad höchstens 2 bzgl. verschiedener Basen der beiden Räume auf. Bestimme dann
auch die Basiswechselmatrizen.
5.5

2
a) Zeige, dass gilt:  1
2
1
2
2
 
2
2
2 · 1
−2
3
1
2
−2

−2
−2  = I3
3
    

1
2 
 2
b) Sei B =  1  ,  2  ,  2  = {v1 , v2 , v3 } eine Basis des R3 .


2
2
3
Berechne die Koordinaten von x = 2e1 + 3e2 + 5e3 bzgl. der Basis B.
c) Eine lineare Abbildung sei bzgl. der Standardbasis gegeben durch


0
2 −1
 −3 −2 4 .
−2 0
2
Berechne die Matrix dieser Abbildung bzgl. der Basis B.
5.6
Sei K ein Körper, V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum. Sei f : V → V ein Automorphismus
mit f 2 = f .
Zeige, dass der Endomorphismus f − idV nicht invertierbar ist.
13
5.7
Überprüfe, ob die Matrix A invertierbar ist:
a) K = Z5

1 2
 0 1

 2 4

 1 1
2 4
1
0
3
1
4
4
4
1
2
0
1
3
2
1
2
1
a
1

1
1 
a






b) Für a ∈ R, K = R

a
 1
1
c) K = R, Z3 , Z7 und Z13

2
A =  −4
2

0 1
3 0 
1 0
5.8
Zeige oder widerlege die folgenden Behauptungen für einen bel. Körper K:
a) Für A = (aij ) ∈ K n×n mit aij = δij gilt det(A) = (−1)n−1 · (n − 1).
b) Sei B = (bij ) ∈ K n×n schiefsymmetrisch, d.h. A = −A> .
Dann gilt: n ungerade ⇒ det(B) = 0.
1 i=j+1∨i=j−1
c) Sei Cn = (cij ) ∈ K n×n mit cij =
.
0
sonst
0 n ungerade
Dann gilt det(Cn ) =
1
n gerade
5.9
Sei A ∈ K k×k , B ∈ K n×n und C ∈ K k×n . Behauptung:
A C
det
= det(A) · det(B)
0 B
Dabei bezeichne 0 die (n × k)-Nullmatrix.
a) Zeige die Behauptung durch direktes Nachrechnen.
b) Zeige die Behauptung mit Induktion nach k.
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